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专题03 统计的综合
题型1：样本与总体概念辨析
题型2：简单随机抽样
题型3：随机数表法的应用
题型4：分层随机抽样的计算
题型5：根据条形、扇形、折线统计图解决实际问题
题型6：平均数、中位数、众数、方差、极差的计算
题型7：样本方差计算总体方差
题型8：总体百分位数的计算
题型9：各数据加减乘除对数据的波动应用
题型10：由频率分布直方图估计样本容量，总体容量、频率
题型11：频率分布直方图与平均数、中位数、众数、百分位数
题型1：样本与总体概念辨析
1．为了了解全校200 名学生的年龄情况，从中抽取40 名学生进行调查，被抽取的40 名学生是（ ）
A．样本
B．个体
C．样本量
D．总体
【答案】A
【详解】根据定义，被抽取的40 名学生是样本.
故选:A．
2．为了了解某地参加计算机水平测试的5000 名学生的成绩，从中抽取了200 名学生进行调查分析.在这个
问题中，被抽取的200 名学生是（ ）
A．个体
B．样本
C．总体
D．样本量
【答案】B
【详解】被抽取的200 名学生是样本.
故选：B.
3．某校为了解高三年级学生体重情况，从该年级1000 名学生中抽取125 名学生测量他们的体重进行分析．
在这项调查中，抽取的125 名学生的体重是（ ）
A．总体
B．样本
C．总体容量
D．样本容量
【答案】B
【详解】抽取的125 名学生的体重是样本，
故选：B
4．从全年级20 个班中任取一个班，再从该班中任意抽取20 名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成
绩，在这次抽样中样本容量为 .
【答案】20
【详解】
从该班中任意抽取20 名学生，考察他们本学期的期中考试的数学成绩，
样本为20 名学生的数学成绩，
故在这次抽样中样本容量为20.
故答案为：20.
5．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1 000 名学生
的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（ ）
A．总体是该市参加升学考试的全体学生
B．个体是抽查的1 000 名学生中的每一名学生
C．样本量是1 000
D．样本是全体学生的数学成绩
【答案】D
【详解】总体是该市参加升学考试的全体学生，A 正确，
个体是该市参加升学考试的每一名学生，B 正确，
样本是抽查的1 000 名学生，样本量是1 000，C 正确，D 错误.
故选：D.
题型2：简单随机抽样
6．下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（ ）
①从500 个个体中一次性抽取50 个作为样本；
②将500 个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50 个作为样本；
③某班有55 个同学，指定个子最高的5 名同学参加学校组织的篮球赛；
④福利彩票用摇奖机摇奖.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】①一次性抽取与逐个不放回的抽取等价，是简单随机抽样，③不是等可能抽取，故不是简单随机
抽样，②④是简单随机抽样.
故选：C.
7．（多选）下面的抽样方法适合用简单随机抽样的是（ ）
A．校运会为参加
决赛的6 名同学安排道次
B．从某厂生产的30000 件产品中抽取600 件进行质量检验
C．全国人口普查
D．用抽签法从10 件产品中选取3 件进行质量检验
【答案】AD
【详解】A 适合用简单随机抽样；B 不适合用简单随机抽样（数量过大）；选项C，全国人口普查不是随
机抽样；D 适合用简单随机抽样．
8．（多选）对于简单随机抽样，下列说法错误的是（ ）
A．总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
B．每个个体被抽到的机会不一样，与编号有关
C．简单随机抽样允许有放回地抽取
D．从总体中逐个地进行抽取
【答案】BC
【详解】对于A，总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法，A 正确；对于B，每个个体被抽到的机会一样，
B 错误；对于C，简单随机抽样不允许有放回地抽取，C 错误；对于D，简单随机抽样是从总体中逐个地
进行抽取，D 正确．
9．一次期中考试后，某校高三年级选取了（1）班、（2）班、（3）班进行成绩分析，经统计得到这三个
班每班学生的数学成绩的优秀率（成绩不低于120 分的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：
班级
（1）
（2）
（3）
优秀率
则下列结论正确的是（ ）
A．（3）班学生的数学成绩的优秀率最高
B．这三个班学生的数学成绩的优秀率为
C．（2）班学生的人数一定最多
D．若把（1）（多选）班和（3）班学生的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为
，则（1）班人
数比（3）班人数少
【答案】AD
【详解】对于A，显然（3）班学生的数学成绩的优秀率最高，A 正确．
对于B，这三个班学生的数学成绩的优秀率为这三个班成绩优秀的学生人数与总人数之比，由于各班人数
不确定，
所以不能计算这三个班学生的数学成绩的优秀率，B 错误．
对于C，（2）班学生的数学成绩的优秀率最低，不能说是因为班级人数最多，C 错误．
对于D，因为将（1）班和（3）班学生的数学成绩合并起来计算得到的优秀率更偏向（3）班学生的数学成
绩的优秀率，所以（3）班学生的人数更多，D 正确
故选：AD
题型3：随机数表法的应用
10．某工厂利用随机数表对生产的700 个零件进行抽样测试，先将700 个零件进行编号，001，
002，……，699，700．从中抽取70 个样本，如下提供随机数表的第4 行到第6 行，若从表中第5 行第6
列开始向右读取数据，则得到的第6 个样本编号是（ ）
32 21 18 34
78 64 54 07
52 42 06 44
12 23 43 56
35 78 90 56
29
32
38
77
42
84 42 12 53
31
34 57 86 07
36
25 30 07 32
86
23 45 78 89
07
23 68 96 08
04
32 56 78 08
43
67 89 53 55
77
34 89 94 83
75
22 53 55 78
32
45 77 89 23
45
A．623
B．328
C．253
D．530
【答案】A
【详解】因为从表中第5 行第6 列开始向右读取数据，剔除不合要求（大于700 或重复）的编号，
所以依次得到的编号为：
，
所以得到的第6 个样本编号是
，
故选：A
11．某工厂利用随机数表对生产的600 个零件进行抽样测试，先将600 个零件进行编号，分别为001，
002，…，599，600，再从中抽取60 个样本.随机数表的第5 行到第7 行如下.
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
若从第6 行第6 列开始向右每次读取3 个数字，则得到的第8 个样本的编号为（ ）
A．324
B．345
C．577
D．578
【答案】B
【详解】从第6 行第6 列开始抽取三位数，分别为：
808，不满足；436，满足；789，不满足；
535，满足；577，满足；348，满足；
994，不满足；837，不满足；522，满足；
535，前面已有，故不满足；578，满足；
324，满足；577，前面已有，故不满足；
892，不满足；345，满足，且为第8 个样本的编号.
故选：B.
12．某校从500 名同学中用随机数法抽取30 人参加这一项调查．将这500 名同学编号为001，002，…
500，假设从第1 行第4 列的数字开始，则第5 个被抽到的同学的编号为（ ）
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A．331
B．047
C．447
D．672
【答案】B
【详解】由题知，选取的同学编号分别是442,175,572,175,455,608,331,047，
剔除重复数据，超过500 的数据，符合条件的是442,175,455,331,047，第五个是047.
故选：B.
13．某公司利用随机数表对生产的900 支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫苗按000，001，..，899 进行编号，
从中抽取90 个样本，若选定从第4 行第4 列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第3 行至第5
行），根据下图，读出的第6 个数的编号是 .
1676622766
5650267107
3290797853
1355385859
8897541410
1256859926
9682731099
1696729315
5712101421
8826498176
5559563564
3854824622
3162430990
0618443253
2383013030
【答案】315
【详解】由题意最先读到的1 个的编号是685，
向右读下一个数是992，992 它大于899，故舍去，
再下一个数是696，再下一个数是827，再下一个数是310，
再下一个数是991，舍去，再下一个数是696，舍去，再下一个数是729，
再下一个数是315，则读出的第6 个数是315.
故答案为：315
题型4：分层随机抽样的计算
14．用分层随机抽样的方法从某校学生中抽取1 个容量为60 的样本，其中高一年级有25 人，高三年级有
15 人.已知该校高二年级共有学生600 人，则该校学生总人数为（ ）
A．1440
B．1600
C．1800
D．2400
【答案】C
【详解】由题意可知样本中高二年级有
人，
所以高二年级占全体样本
，故该校共
人.
故选：C
15．某中学共有学生2500 人，其中男生1500 人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的
方法从该校全体学生中抽取一个容量为50 的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．25
B．15
C．30
D．20
【答案】D
【详解】2500 人中女生人数为
，
则容量为50 的样本中女生的人数为
.
故选：D
16．某市有大型超市
家，中型超市
家，小型超市
家．为掌握全市超市的营业情况，现按大型
超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为
的样本，则应抽取小
型超市（ ）
A．
家
B．
家
C．
家
D．
家
【答案】C
【详解】由题可知，总体容量
，样本容量
，所以抽样比
，
故应抽取小型超市
家.
故选：C.
17．某工厂生产A，B 两种型号的零件共10000 件，其中A 型号的零件6000 件．质检员为了解这两种型号
的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500 件进行质检，则B 型号的零件被抽到的数量
是（ ）
A．240
B．200
C．300
D．100
【答案】B
【详解】由题意可得B 型号的零件被抽到的数量是
．
故选：B.
18．（多选）为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480 名教师志愿者（480 名教师情况如图）轮流
支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150 名教师，则（ ）
A．派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B．派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%
C．派遣的老年教师有144 人
D．派遣的青年女教师有15 人
【答案】ABD
【详解】因为
，
所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%，
则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的
，
则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A，B 正确；
派遣的老年教师人数为
，故C 错误；
派遣的青年女教师的人数为
，故D 正确．
故选：ABD．
19．某学校高中部最近组织了一次野外郊游活动，活动分为登山看日出组和海边看日落组，且每位学生至
多参加其中一组.在参加活动的学生中，高一学生占20%，高二学生占30%，登山组的学生占参加活动的总
人数的
，且该组高一学生占50%，高二学生占30%.为了了解各组不同年级的学生对本次活动的满意程度，
现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为80 的样本.
(1)求在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生分别所占的比例;
(2)求在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）解：设登山看日出组的人数为x，在海边看日落组中，
设高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为
，
则
，解得
，
所以
.
故在海边看日落组中，高一学生、高二学生、高三学生所占的比例分别为
.
（2）解：由（1）可得高三学生所占的比例分别为
，
所以在海边看日落组中，高三年级应抽取的人数为
人.
题型5：根据条形、扇形、折线统计图解决实际问题
20．我国在2024 年的全国发电装机容量为33.5 亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其
占比如图所示，根据此扇形图，下面说法正确的是（ ）
A．2024 年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于90°
B．2024 年我国火电发电装机容量超过15 亿千瓦
C．2024 年我国火电发电装机容量超过新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量
D．若2025 年核电规模要达到2024 年全国发电装机容量规模的11.8%，则还要再建设的核电的发电装
机容量为3.35 亿千瓦
【答案】D
【详解】对于A：太阳能发电装机容量占26.5%，超过
，则扇形圆心角大于90°，所以A 错误；
对于B：2024 年我国火电发电装机容量占43.1%，因为
，所以B 错误；
对于C：2024 年我国火电发电装机容量占43.1%，新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量占比和
为
，所以C 错误；
对于D：还要再建设的核电的发电装机容量为
亿千瓦，所以D 正确.
故选：D.
21．（多选）某部门30 名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有
请假天数为0 的未显示）如图所示，则（ ）
A．该部门一年中请假天数为0 的人数为10
B．该部门一年中请假天数大于5 的人数为10
C．这30 名员工一年中请假天数的第40 百分位数为4
D．这30 名员工一年中请假天数的平均数小于4
【答案】ACD
【详解】对于A,该部门一年中请假人数为0 的人数为
，A 正确．
对于 B,该部门一年中请假天数大于5 的人数为
，B 错误．
对于C,因为
，且请假天数为0 的人数为10，请假天数为4 的人数为6，
所以这30 名员工一年中请假天数的第40 百分位数为4，C 正确．
对于D,这30 名员工一年中请假天数的平均数为
，D 正确．
故选：ACD.
22．（多选）近年来旅游业正从市场复苏转向高质量发展．如图是2024 年1 月1 日—1 月7 日某市冰雪大
世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ）
A．中央大街这7 日日旅游人数的极差是1.2 万人
B．冰雪大世界这7 日日旅游人数的中位数是2.4 万人
C．冰雪大世界这7 日日旅游人数的平均数比中央大街大
D．冰雪大世界这7 日日旅游人数的方差比中央大街大
【答案】BC
【详解】冰雪大世界这7 日日旅游人数从小到大排列为1.7，1.9，2.3，2.4，2.8，2.8，2.9；中央大街这7
日日旅游人数从小到大排列为0.9，1.1，1.2，1.9，2.4，2.4，2.7．
中央大街这7 日日旅游人数的极差是
万人，A 错误；
冰雪大世界这7 日日旅游人数的中位数是2.4 万人，B 正确；
冰雪大世界这7 日日旅游人数的平均数为
万人，
中央大街这7 日日旅游人数的平均数为
万人，
又
，C 正确；
冰雪大世界这7 日日旅游人数的方差为
，
中央大街这7 日日旅游人数的方差为
，D
错误．
故选：BC.
23．（多选）如图是2024 年11 月27 日国家统计局发布的2023 年1～10 月到2024 年1～10 月的各月累计
营业收入与利润总额同比增速的折线图，则下列说法错误的是（ ）
A．累计营业收入同比增速的方差大于累计利润总额同比增速的方差
B．累计利润总额同比增速的极差为
C．累计营业收入同比增速的众数为
D．累计利润总额同比增速的
分位数为
【答案】AD
【详解】对于A，根据折线图得，累计利润总额同比增速的折线图波动程度明显大于累计营业收入同比增
速的折线图波动程度，故累计营业收入同比增速的方差小于累计利润总额同比增速的方差，A 错误．
对于B，累计利润总额同比增速的最大值为
，最小值为
，故极差为
，B
正确．
对于C，观察累计营业收入同比增速的数据，
出现了3 次，出现的次数最多，故累计营业收入同比增
速的众数为
，C 正确．
对于D，将累计利润总额同比增速的数据从小到大排序为
，
累计利润总额同比增速的
分位数为
，D 错误．
故选：AD
24．（多选）为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200 名学生分
布的扇形图（如图）和前200 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题正确的是（ ）
A．成绩前200 名的学生中，高一人数比高二人数多30 人
B．成绩前100 名的学生中，高一人数不超过50 人
C．成绩前50 名的学生中，高三人数不超过32 人
D．成绩第51 名到第100 名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】ABC
【详解】A 选项，由扇形图可知，成绩前200 名的学生中，高一人数比高二人数多
人，A 正确；
B 选项，由条形图可知，高一学生在前200 名总，前100 名和后100 名学生人数相同，
故成绩前100 名的学生中，高一人数为
，B 正确；
C 选项，成绩前50 名的学生中，高一人数为
，
故高三人数不超过
人，C 正确；
D 选项，成绩第51 名到第100 名的学生中，高一人数为
，
故高二最多有
人，因此高二人数比高一少，D 错误.
故选：ABC
25．我国在2024 年的全国发电装机容量为33.5 亿千瓦，包括水电、火电、核电、风电、太阳能发电，其
占比如图所示，根据此扇形图，下列说法错误的是（ ）
A．2024 年我国太阳能发电装机容量部分的扇形圆心角小于
B．2024 年我国火电发电装机容量超过15 亿千瓦
C．2024 年我国火电发电装机容量超过新能源（太阳能、风电、核电）（多选）的发电装机容量
D．若2025 年核电规模要达到2024 年全国发电装机容量规模的
，则还要再建设的核电的发电装
机容量为3.35 亿千瓦
【答案】ABC
【详解】太阳能发电装机容量占
，超过
，则扇形圆心角大于
，A 错误．
2024 年我国火电发电装机容量占
，因为
，所以B 错误．
2024 年我国火电发电装机容量占
，新能源（太阳能、风电、核电）的发电装机容量占比和为
，C 错误．
还要再建设的核电的发电装机容量为
亿千瓦，所以D 正确．
故选：ABC.
题型6：平均数、中位数、众数、方差、极差的计算
26．一组数据：1，2，3，4，5 的第60 百分位数是（ ）
A．4
B．3.5
C．3
D．2.5
【答案】B
【详解】因为
，
所以这组数据的第60 百分位数是
.
故选：B.
27．已知一组数据为1，1，3，4，5，7，8，10，10，12，则这组数据的第75 百分位数是 ．
【答案】
【详解】这组数据共有10 个，且已按从小到大排列，则
，
所以这组数据的第75 百分位数是这组数据的第8 个数，即为10.
故答案为：10
28．某企业对一种特殊零部件进行招标，共有7 个厂商参与竞标，将7 个厂商的报价（单位：元/个）整理
得如下数据：6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3，则这组数据的70%分位数为 。
【答案】6.1
【详解】将这组数据从小到大进行排列得到5.8，5.9，5.9，6.0，6.1，6.1，6.3，
又
，则70%分位数是第五个数，即6.1.
故答案为：6.1.
29．一组数据如下：
，则这7 个数据的
分位数为 .
【答案】136
【详解】数据已经按从小大大排列，
由于
，故这7 个数据的
分位数为第2 个数136.
故答案为：136
30．有一组数据，按从小到大排列为：
，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则
为
.
【答案】
【详解】因为该组数据共6 个，且
，
所以这组数据的
分位数为从小到大第3 个数，即6，
则
，解得
．
故答案为：
．
31．设数据1，2，3，4，m 的下四分位数为m，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，且五个数中下四分位数为
，
所以由小到大排列，
在第二位，所以
.
故选：A.
32．在一次调研考试时，某学习小组对本组6 名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为
15 分的解答题，6 名同学的得分（得分均为整数）分别为
，
，…，
，统计结果为
，已知这6 名同学该解答题得分的第75 百分位数和平均数均为12，则该解答题得
分的极差为（ ）
A．4
B．3
C．6
D．5
【答案】D
【详解】因为第75 百分位数为12，所以
．
因为平均数为12，所以
因为
所以
因为
,所以
,
因为
，所以
的值可能是13，14，15.
当
时，
，因为
，且
为整数，所以
不可能，舍去，
当
时，
，因为
，且
为整数，所以
不可能，舍去，
当
时，
，因为
，且
为整数，所以
，
所以极差为
.
故选：D
题型7：样本方差计算总体方差
33．已知
组数据“
”和
组数据“
”（
）的平均数分别为
80，90，方差分别为15，20，若
，则由
这两组数据构成的所有数据的总体方差为（ ）
A．15
B．32
C．35
D．42
【答案】B
【详解】由条件可知，总体平均数
，
设
组数据的平均数为
，方差为
，
组数据的平均数是
，方差是
，
所以所有数据的总体方差
，
.
故选：B
34．（多选）在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如
果不知道样本数据，只知道抽取了高一80 人，高二60 人，高三60 人，方差分别为
，则此样本的
方差不可能为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】AB
【详解】设总平均数为
，高一的平均数为
，高二的平均数为，
高三的平均数为
，该样本的方差为
，
则
，
则此样本的方差不可能为
，故A，B 正确.
故选：AB
35．在对某中学高一年级学生身高调查中，采用按比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知
道抽取了男生30 人，其平均数和方差分别为170 和10，抽取了女生20 人，其平均数和方差分别为160 和
20，则估计高一年级全体学生的身高方差为 .
【答案】38
【详解】根据分层抽样的均值和方差的计算公式，可得：
总体均值为：
，
总体方差为：
.
故答案为：38
36．某学校有男生800 人，女生600 人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽
取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7 小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7 小时，
方差为1.4.若男女样本量按比例分配，则可估计总体方差为
､
.
【答案】1.92
【详解】由题意，总体的平均数为
小时，
根据分层随机抽样的性质，
可得总体的方差为：
.
故答案为：1.92
37．某市为了迎接全国文明城市的复查，文明办随机抽取了n 位市民进行问卷调查，调查项目是对该市各
方面文明情况的满意度，现统计他们的问卷分数，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），
已知图中从左到右的前3 个小组的频率之比为
，第2 小组的频数为
，回答下列问题：
(1)求n 的值，
(2)第60 百分位数不大于88 分，则通过复查；否则，视为不通过.试判断该调查是否通过复查；
(3)在统计该问卷调查中，通过分层随机抽样得到前两组
、
样本的平均数分别为
，
，方
差分别为，
，求这两组数据总的平均数及方差.
【答案】(1)
(2)通过
(3)平均数为
，方差为
【分析】
【详解】（1）由后2 组的频率和为
，得前3 组的频率和为
，
又前3 个小组的频率之比为
，则第一组的频率为
，
第二组的频率为
，第三组的频率为
，因此
；
（2）由前二组的频率和为
，前三组的频率和为
，
第60 百分位数为
，所以该调查通过复查；
（3）依题意，这两组数据的平均数
，
方差
，
所以这两组数据总的平均数及方差分别为
和
.
题型8：总体百分位数的计算
38．样本数据2，1，4，5，6，6，15，8 的中位数和众数分别是（ ）
A．5，6
B．5.5，6
C．6，6
D．5.5，5
【答案】B
【详解】由小到大排列：1，2，4，5，6，6，8，15，
所以中位数为
，众数为
，
故选：B
39．已知样本数据
均为正数，其方差
，则样本数据的平均数为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【详解】设样本数据
的平均数为
，
则方差
，
所以
，即
，
因为样本数据均为正数，所以
，故
.
故选：C.
40．（多选）2025 年上半年，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，某影院连续8 天的观影人数（单位：
百人）按升序排列依次为90，120，120，130，160，160，160，180，则这组数据的（ ）
A．众数为160
B．中位数为145
C．平均数为145
D．第30 百分位数为120
【答案】ABD
【详解】影院观影人数按升序排列依次为90，120，120，130，160，160，160，180，
则这组数据的众数为160，A 选项正确；
中位数为
，B 选项正确；
平均数为
，C 选项错误；
因为
，所以第30 百分位数为120，D 选项正确；
故选：ABD.
41．有一组数据24，29，
，25，22，
，20，24，28，25．若该组数据的中位数与众数相等，则平均
数为（ ）
A．24.4
B．25.8
C．24.4 或25.8
D．24.4 或24.8
【答案】D
【详解】将已知数据从小到大排列为20，22，24，24，25，25，28，29．
因为该组数据的中位数与众数相等，所以众数只能是24 和25 中的一个．
因为每组数据的中位数是唯一的，所以该组数据的众数也是唯一确定的．
又该组数据中除24，25 外其他数据均只出现一次，且
与
不可能相等，故众数只能是24 和25 中的一
个．
若中位数与众数均为24，则
，
，此时平均数为
；
若中位数与众数均为25，则
，
此时平均数为
，故该组数据的平均数为24.4 或
24.8．
故选：D.
42．记样本
、
、
、
的平均数为
，样本
、
、
、
的平均数为
．若样本
、
、
、
、
、
、
、
的平均数为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
、
、
、
的平均数为
，则
，
又因为样本
、
、
、
的平均数为
，则
，
所以，样本
、
、
、
、
、
、
、
的平均数为
，
整理可得
，
因为
，则
，故
，故
.
故选：D.
43．某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10 组，每组投篮55 次，每组投篮命中的个数分别为m，n，
48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则
（ ）
A．10
B．
C．
D．5
【答案】A
【详解】因为这组数据的平均数为48，方差为7，
所以
整理得
设
，则
，
因为
50，所以
，即
，
则
．
故选：A
44．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中m，n 的比值
．
【答案】
【详解】由茎叶图得到甲组数据的中位数为
，乙组的中位数为
，所以
，解得
；
甲组的平均数=乙组的平均数，所以
，解得
；
所以
；
故答案为：
.
45．为吸引更多优秀人才来乐山干事创业，2023 年10 月27 日，乐山市招才引智系列活动——教育人才专
场在西南大学北碚校区招聘大厅举行，其中，甲、乙两名大学生参加了面试，10 位评委打分如茎叶图所示：
(1)写出甲得分的中位数和乙得分的众数；
(2)现有两种方案评价选手的最终得分：
方案一：直接用10 位评委评分的平均值；
方案二：将10 位评委评分去掉一个最低分和一个最高分之后，取剩下8 个评分的平均值.
请分别用以上两种方案计算两位同学的最终得分，并判断哪种评价方案更好？为什么？
【答案】(1)甲得分的中位数为
，乙得分的众数为78
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）甲得分的中位数为
；乙得分的众数为78；
（2）若使用方案一：
，
，
因为
，所以甲的得分较高.
若使用方案二：
，
，
因为
，所以乙的得分较高.
方案二更好，因为有一个评委给甲选手评分为99，高出其他评委的评分很多，
方案二可以规避个别极端值对平均值的影响，评选结果更公平、更正.
题型9：各数据加减乘除对数据的波动应用
46．已知
，
，
，
这四个数的平均数为1，则
，
，
，
这四个数的平均数
为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】A
【详解】解：
，
，
故选：A.
47．设样本数据
，
，…，
的平均数为
，标准差为s，若样本数据
，
，…，
的平均数比标准差少3，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．4
D．
【答案】C
【详解】样本数据
，
，…，
的平均数为
，标准差为，
则样本数据
，
，…，
的平均数为
，标准差为
，
依题意有
，得
．
由
，知
在
上单调递增，
当
时，
取到最小值
，
所以
，
即当
时，
取得最大值4．
故选：C．
48．（多选）已知样本数据
，
（
）（
），则（ ）
A．若样本数据
的极差为R，则样本数据
的极差为
B．若样本数据
的平均值为
，则样本数据
的平均值为
C．若样本数据
的众数为N，则样本数据
的众数为
D．若样本数据
的方差为
，则样本数据
的方差为
【答案】ACD
【详解】对于A，设样本数据
中，最大值为
，最小值为
，则
，
由于
在
上单调递增，
故样本数据
中，最大值为
，最小值为
，
故
，
则样本数据
的极差为
，故A 正确：
对于B，由平均数的性质可得，样本数据
的平均值为
，故B 错误；
对于C，根据众数的定义可得，样本数据
的众数为
，故C 正确；
对于D，根据方差的性质可知，样本数据
的方差为
，故D 正确，
故选：ACD．
49．（多选）一组数据
的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记
，
的平均值为
，方差为
，极差为，中位数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】由题意可得，
，
，
，
.
故选：AD
50．数据
的平均数为
，数据
的平均数为
，其中正数
满足
，则样本数
据
的平均数的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意有：
，
所以
，
故答案为：
.
题型10：由频率分布直方图估计样本容量，总体容量、频率
51．某科研单位对Deepseek 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50 分到100
分之间的问卷）中随机抽取了100 份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率
分布直方图，这批用户问卷的得分不低于80 分的份数为（ ）
A．20
B．30
C．35
D．40
【答案】B
【详解】由图可得这批用户问卷的得分不低于80 分的频率为
，
故这批用户问卷的得分不低于80 分的份数为：
，
故选：B
52．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重(单位:克)的频率分布直方图，样本数据分
组为
.若这批产品有200 个，估计其中净重大于或等于80 克的个数是（ ）
A．110
B．140
C．150
D．90
【答案】B
【详解】由频率分布直方图，可得净重大于或等于80 克的频率为
，
所以净重大于或等于80 克的个数为
个.
故选：B.
53．某样本的频率分布直方图如图，从样本中随机抽取一个数据，若该数据落在
内的概率之比为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据数据落在
内的概率之比为
，
可设这四个小组的频率分别为
，且频率之和为，即
，
解得
，则
，解得
.
故选：D
54．某校高一年级
名同学在一次数学测验中成绩(百分制，均为整数)的频率分布直方图如图，则成绩在
之间的学生人数为 ．
【答案】5
【详解】
所以成绩在
之间的学生人数为
.
故答案为：5
55．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为100 的样本，测量它
们的尺寸（单位：
），并将数据分为
，
，
，
，
，
，
七组，其频率分布直方图如图所
示．
(1)求图中的x 值；
(2)根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从
，
两个区间共抽取出7 个产品，则每
个区间分别应抽取多少个产品；
(3)记产品尺寸在
内为A 等品，每件可获利6 元；产品尺寸在
内为不合格品，每件亏损2 元；
其余为合格品，每件可获利3 元．若该工厂一个月共生产2000 件产品，以样本的频率代替总体在各组的频
率，若单月利润未能达到10000 元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实
施升级改造．
【答案】(1)
(2)在
内抽取2 个产品，在
内抽取5 个产品
(3)需要对该工厂设备实施升级改造
【分析】
【详解】（1）由
，解得
（2）100 件样本中，尺寸在
内的样本数为
；尺寸在
内的样本数为
．
由分层随机抽样可知，在
内抽取产品数为：
个产品，在
内抽取产品数为：
个产品.
即在
内抽取2 个产品，在
内抽取5 个产品.
（3）由题意可得，这批产品中A 等品有
(件)，
这批产品中不合格品有
(件)，
这批产品中合格品有
(件)，
(元)．
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为
元，
因为
，所以需要对该工厂设备实施升级改造．
56．某大学数学专业400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽
取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：
，
，…，
，并整理得到如下
频率分布直方图：
(1)从总体的400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60 的概率；
(2)已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间
内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等.试估计总体中女生
的人数.
【答案】(1)
;
(2)
;
(3)
.
【分析】
【详解】（1）
根据频率分布直方图，可计算分数小于60 的频率为：
，
所以从总体的400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60 的概率为
；
（2）根据频率分布直方图，可计算分数小于50 的频率为：
，
所以可计算在100 人的样本中，分数小于60 的频数为：
人，
已知样本中分数小于40 的学生有人，所以分数在
内的频数为：人，
即分数在
内的频率为：
，
从而可估计总体中分数在区间
内的人数约为：
人；
（3）根据频率分布直方图，可计算分数不小于
的频率为：
，
则计算样本中分数不小于
的频数为：
人，
由于样本中分数不小于70 的男女生人数相等，所以此时男女生各有
人；
而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有
人，
所以样本中女生只有
人，
可以估计总体中女生的人数约为：
人.
题型11：频率分布直方图与平均数、中位数、众数、百分位数
57．为了深入调研学生会考模拟考试成绩，掌握学生数学会考成绩情况，现从该年级同学中随机抽取100
名学生，对其测试成绩（满分：100 分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图，下列说法不正确的
是（ ）
A．
B．众数为85
C．第70 百分位数为80
D．该样本平均成绩为76
【答案】C
【详解】对A，依题意，得
（频率之和为1），
解得
，正确；
对B，众数为最高矩形对应中点横坐标为85，正确；
对C，因为
，
，
所以第70 百分位数
，由
解得为
，错误；
对D，由频率分布直方图，估计这100 名学生测试成绩的平均数为：
，正确.
故选：C.
58．（多选）某校调查了100 位70 岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了
，
，
，
，
五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的
中间值代表，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．这100 位教职工中年龄在
的人数为55
C．这100 位教职工年龄的众数估计值为45
D．这100 位教职工年龄的中位数的估计值为42.5
【答案】AB
【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，
所以
，解得
，A 正确.
对于B，这100 位教职工中年龄在
的人数为
，B 正确.
对于C，这100 位教职工年龄的众数估计值为
，C 错误.
对于D，设这100 位教职工年龄的中位数的估计值为
，则
，解得
，D 错误.
故选：AB.
59．已知A，B 两家公司的员工月均工资（单位：万元）情况分别如图1，图2 所示：
(1)以每组数据的区间中点值为代表，根据图1 估计A 公司员工月均工资的平均数、中位数，你认为用哪个
数据更能反映该公司普通员工的工资水平?请说明理由；
(2)小明拟到A，B 两家公司中的一家应聘，以公司普通员工的工资水平作为决策依据，他应该选哪个公司?
【答案】(1)中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由见解析
(2)应该选B 公司
【分析】
【详解】（1）A 公司员工月均工资的平均数为
（万元）.
由题图1 可知A 公司员工月均工资在0.6 万元以下的比例为
，
所以A 公司员工月均工资的中位数约为0.6 万元.
用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平，理由如下：
因为平均数受每一个数据的影响，越离群的数据对平均数的影响越大，
该公司少数员工的月收入很高，在这种情况下平均数并不能较好的反映普通员工的收入水平，
而中位数不受少数极端数据的影响，可以较好的反映普通员工的收入水平.
（2）B 公司员工月均工资的平均数为
（万元），
由题图2 知，B 公司员工月均工资在0.6 万元以下的频率为
，
在0.8 万元以下的频率为
.
设B 公司员工月均工资的中位数为x 万元，则
，得
.
小明应选择B 公司应聘，理由如下：
B 公司员工工资数据较为集中，月均工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平，
B 公司员工月均工资平均数为0.69，中位数为0.7，均大于A 公司员工月均工资的中位数
，
所以以公司普通员工的工资水平作为决策依据，小明应该选B 公司应聘.
60．2025 年7 月19 日，雅鲁藏布江墨脱水电站正式宣布全面开工．这项总投资1.2 万亿元的超级工程，以
规划6000 万千瓦装机容量（相当于三峡电站的三倍）、年均发电量3000 亿千瓦时的规模，刷新了全球水
电史纪录．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量（单位：千瓦
时）划分为三档，月用电量不超过200 千瓦时的部分按0.5 元/千瓦时收费，超过200 千瓦时但不超过400
千瓦时的部分按0.6 元/千瓦时收费，超过400 千瓦时的部分按0.8 元/千瓦时收费．
(1)求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1 月份100 户居民每户的用电量，统计分析后得到如图
所示的频率分布直方图．若这100 户居民中，今年1 月份用电费用不超过220 元的占80%，求a，b 的值；
(3)根据（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数．
【答案】(1)
(2)a＝0.0015，b＝0.0020
(3)375
【分析】
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
；
当
时，
，
所以y 与x 之间的函数解析式为：
（2）由（1）可知，当
时，
，
即用电量不超过400 千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知
解得a＝0.0015，b＝0.0020．
（3）因为用电量低于300 千瓦时的所占比例为
，
用电量低于400 千瓦时的占80%，所以75%分位数在[300，400]内，
所以：
，
即用电量的75%分位数为375 千瓦时．
61．某市通过简单随机抽样，获得了1000 户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在
之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x 的值；
(2)求在被调查的用户中，用电量落在区间
内的用户数；
(3)该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准a，用电量不
超过a 的部分按平价收费，超出a 的部分按议价收费.如果希望
的居民生活用电费用支出不受影响，将
a 定为
是否合理？请说明理由.
【答案】(1)
(2)600
(3)合理，理由见解析
【分析】
【详解】（1）根据频率和为1，可知
，计算得：
；
（2）
；
（3）
，
合理，样本的第80 百分位数接近于250，由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，
在实际决策中，只要临界值近似为第80 百分位数即可，为了实际中操作方便，
可以建议市政府把月均用电量标准定为
.
