湘教版高中数学必修4_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_02科三专项（笔记真题思维导图教学设计版本二）

Mathematics 普通高中课程标准实验教科书 数 学 第四册 ( 必修 ) 湖 南 教 育 出 版 社普通高中课程标准实验教科书 数 学 !! 第四册 必修 ! " 责任编辑 邹楚林 # 湖南教育出版社出版 长沙市韶山北路 号 ! ""# " 电子邮箱 # $%&’()*+*,%-.(/0 客服电话 # 12#3456"57828 湖南出版中心重印 广西区新华书店经销 湖南天闻新华印务有限公司印刷 开 印张 字数 58193:"1!37 ! # 2;26! # 351111 年 月第 版 年 月第 版第 次印刷 :116 5 3 !:138 2 # 33 <=>?825 2 6#66 ":13 " 定价 元 # 2;16 著作权所有 请勿擅用本书制作各类出版物 违者必究 ! ! " 如有质量问题 影响阅读 请与湖南出版中心联系调换 ! ! " 联系电话 # 12#3455#55857!12#3455#55852 书书书!"#$%&’()*+,-. !!!"#$%&!’()*+,-./!0123 +4567!89:;4+<=>?@ABC!DE FGHIJ"!KLMH&!N;O+PQRST! U;VW+XYRZ[!\]^+_PR‘a!DE FGHIJ"!bcMH&!bc+de!!"#+f ghij!klmnopq!DEFGHIJ"!r sMH&!tuV4vwx+yz!k[{=|}b ~rs+(cid:127)(cid:128)!b|(cid:129)(cid:130)+(cid:131)(cid:132)}b~(cid:133)+@A!D EFGHIJ"!(cid:134)(cid:135)MH&!(cid:134)(cid:135)+(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:136)(cid:139)! (cid:140)(cid:141)+(cid:142)(cid:138)(cid:143)!(cid:144)-(cid:145)(cid:146)‘(cid:147)+(cid:148)(cid:149)67!DEFG HIJ!(cid:150)(cid:151)!!(cid:152)(cid:153)MH###"#MH$KLMH$ (cid:154)(cid:155)MH$(cid:134)(cid:135)MH$k(cid:156)MH(cid:157)(cid:158)(cid:159)+(cid:160)¡¢|& £DEFGHIJ!⁄%$¥ƒ§¤'“(cid:160)¡¢|« ‹DE+GHIJ!›fifl(cid:176)–(cid:138)(cid:158)(cid:159)†‡GHIJ ·GHP(cid:181)+¶•‚„! ”»…‰(cid:138)(cid:158)(cid:159)(cid:190)(cid:129)¶¿+GHIJ###(cid:190)(cid:192)<$ G`(cid:138)¶(cid:157)J! (cid:190)(cid:192)<´ˆ˜·¯˘˙+¨(cid:201)˚¸(cid:204)!*?@/A,(BCD,6EFG)> H*:IJ!K/LM*?,6)CDN!OPQ@ RSTU=V!WXOPY*?)Z[\]^_‘a *?),6bc!defghi"jklmhi"n oN3p)q,"3HHr*(histu)*:I Jv/*?!wxyz{7|})~(cid:127)*?!(cid:128)s(cid:129) *?-s(cid:130)*?!(cid:131)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:136))*?(cid:137)(cid:138)(cid:139)9) (cid:140)(cid:141)! "s(cid:142)(cid:143)(cid:144)(cid:145)s(cid:142)(cid:143)v/(cid:146)‘23)(cid:140)(cid:147)*((cid:142) (cid:143)!(cid:148)(cid:149)(cid:150)(cid:151)(cid:152)-(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:148)(cid:159)()"s(cid:142)(cid:143)! (cid:160)¡S¢£"⁄¥Sƒ§"lmS¤'v/"s(cid:142)(cid:143) )“«!‹›hi)7fi6flO!;(cid:176)"–(cid:176)"†(cid:176)" ‡·4(cid:181)(cid:176)"¶2"•‚O„"”»s…‰)7(cid:190)¿ (cid:192)(cid:157)!tu)*:IJ@/"sJ!wxy:`"s J)(cid:140)(cid:147)Np!´·ˆ>˜(cid:150)¯2“˘˙>H<¨) fi6I(cid:201)###˚N¸„! (cid:204):x·ˆ(cid:147)˝):`!"˛ˇ—(cid:209)(cid:210)(cid:211)(cid:212)(cid:213)(cid:214)" *?-"sJ(cid:157)(cid:215)(cid:216))(cid:140)(cid:147)(cid:217)(cid:218)-(cid:140)(cid:147)‹(cid:219)!(cid:220)ˇ— (cid:221)5V(cid:222)(cid:149)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:156)(cid:223)&(cid:224))<¨23(cid:157)tu)*: IJ!Æ(cid:226)(cid:214)Z-ª(cid:228)(cid:222)(cid:229)*:ˇT(cid:230)(cid:218)!(cid:231)Ł*: ˇT)ØŒºV$ !! 2 书书书目 录 ８ 第 章 解三角形 问题探索 神奇的三角形 / ２ 8.1 正弦定理 / ４ 习题 1 / ９ 8.2 余弦定理 / ９ 习题 2 / １３ 8.3 解三角形的应用举例 /１３ 习题 ３ / １８ 实习作业 如何测量建筑物的高 /２０ 阅读与思考 面积与三角公式 /２２ 小结与复习 /２４ 复习题八 /２７ ９ 第 章 数 列 问题探索 从兔子问题引出的斐波纳奇数列 /３１ 9.1 数列的概念 /３４ 习题 1 /４０ 9.2 等差数列 /４２ 习题 2 /４８ 9.3 等比数列 /５０ 习题 3 /５８ 数学实验 乐音的频率比 /６０ 1阅读与思考 初识混沌 /６１ 9.4 分期付款问题中的有关计算 / ６４ 习题 4 /６６ 实习作业 教育储蓄的收益与比较 /６７ 小结与复习 /６８ 复习题九 /７３ １０ 第 章 不等式 问题探索 光的折射 /７７ 10.1 不等式的基本性质 /７９ 习题 1 /８２ 10.2 一元二次不等式 / ８３ 习题 2 / ９０ 10.3 基本不等式及其应用 /９１ 习题 3 / ９８ 10.4 简单线性规划 /１００ 习题 4 /１０７ 阅读与思考 一门应用数学学科 运筹学简介 /１０８ 小结与复习 /１１０ 复习题十 /１１４ ［多知道一点］ ｎ 个正数的算术平均数与几何平均数 / ９６ 附 录 数学词汇中英文对照表 /１１７ 28 第 章 解三角形 近测高塔远看山 量天度海只等闲 !! ! 古有九章勾股法 今看三角正余弦 近测高塔远!看 ! 山 量天度海只 ! 等闲 !! ! 边角角边细推算 周长面积巧周旋 古有九章勾!股 ! 法 今看三角正 ! 余弦 !! ! 前贤思想多奥妙 佳品醇香越千年 边角角边细!推 ! 算 周长面积巧 ! 周旋 !! ! 前贤思想多奥妙 佳品醇香越千年 !! ! 三条边和三个内角是三角形最基本的六个元 素 由这六个元素中的三个元素 其中至少要有 ! 三条边和三个内角是三角"形最基本的六个元 一条边 去定量地求出三角形的其余的边和角的 素# 由这六个元素中的三个元素 其中至少要有 ! " 过程叫作解三角形 本章学习解三角形及其在各 一条边 去定量地求出三角形的其余的边和角的 ! # 种测绘问题中的应用 过程叫作解三角形 本章学习解三角形及其在各 ! ! 种测绘问题中的应用 ! 书书书 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 问题探索 !!! 神奇的三角形 我们大家从儿童时代起就熟悉了三角形 知道它有三个角 三 ! ! 条边 但是 "" # 你可能没有听说过 神秘的百慕大三角 在那里轮船和飞机常 ! ! !!!"#$%&’! 常消失得无踪无影 "#()!*+,-. $ /01234)56! 你可能没有想过 人的两只眼睛去观察一个物体 也能产生一 ! ! 个三角形 ! 你可能没有看过 在描绘一个实际上不可能存在的物体时 平 ! ! 面上画出的图形有欺骗性 如图 图 的物体是很容易实际 ! !%"! &#’ 构作的 而图 则是彭罗斯提出的一个不可实现的对象 彭罗 ! &$’ %%% 斯三角形 ! 图 !!" 你可能没有试过 在水洼的帮助下测量树的高度 有一对父子 ! ! 一起经过一个庭园 看见在庭园中间生长着一棵大树 并且在庭园 ! ! 里有许多不大的积了水的水洼 儿子问父亲 这棵树的高度是多 ! #( 少 父亲回答 我们不要猜 可以设法计算它的高度 我知道自 )* #( ! ! 己身高是 眼睛位置的高度等于 我的步伐长等于 "!%&’! "(%&’! 现在我这样站着 使得我能见到树顶在该水洼中的影子 )%&’! ! ! 从我到影子有 步 从影子到树有 步 你能根据故事所描述的 * ! *% !* 情形 如图 算出树的高度吗 & !%+’! ) 2 书书书 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 图 !!" 你可能没有做过 在不过河的情况下 利用测角仪 皮尺 确 ! ! " ! 定这河岸一侧 两点距河对岸电视塔点 处的距离 如 !!" # # 图 !$#%$!!! 图 !!# 又如 在有建筑物阻挡的情况下 如何测量该建筑物两侧 ! ! !! 两点间的距离 如图 " # !$$%$ 图 !!$ 你可能也没有做过 在一块三角形形状的地区打 口井 现在 ! $ $ 要把这个地区分成四个小区 使这些小区形状相同 面积相等 并 ! " ! 且在每一个小区里都有一口井 怎样划分 $ & 以上种种都与三角形有关 $ 3 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 正弦定理 !８"．#１!正弦定理 !! 现实生活中涉及的测绘问题有很多 如测量河宽 山高等 往往 ! " ! 由于地形条件的制约 有一些数据不易直接测量 这时就需要我们利 ! ! 用一些易测量的数据 然后通过计算求得不易被直接测量的 ! 数据 !!!! 问题探索中提出一个实际问题 如图 在河岸一侧有 # !$"%! "!# 两点 需要确定这两点距河对岸的电视塔点 处的距离 现可以测 ! $ ! 量 的长以及图中角 和角 的大小 如何利用这三个条件去求 "# " # ! 的长度呢 "$!#$ & 为了解决这类问题 我们先来学习三角形中边 角及面积之间的 ! " 一些基本关系 ! 如图 所 示 对 任 意 !$# ! 以 的顶点 ""#$! ""#$ " 为坐标原点 边所在直线 !"# 为 轴 建立直角坐标系 % ! ! 设 分别为 &!’!( ""#$ 中角 所对边的边长 "!#!$ ! 图 为 边上的高 则点 !$# $) "# ! #! 的坐标分别为 于 $ ##(!$%!$#’%&’"!’’()"%!#$)#*’’()"! 是 的面积 !""#$ * * !! !!+* ,"#,’,$),* ’(’()"! + + !!!"#$%&’( )*+,-./012 同理可得 * 和 * ! +* &(’()# +* &’’()$! 3!456789! + + 这就是说 三角形的面积等于任意两边与它们的夹角的正弦值之 ! 积的一半 ! 将等式 中的每个式子都除以 * * * ’(’()"* &(’()#* &’’()$ + + + 4 书书书 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 得 ! !"#! " ! " # !! % % !!!"#$%&’( #$%$ #$%& #$%’ )*+,-./01 2!34 "56!"## 在三角形中 各边与它所对角的正弦的比值相等 这个结论就叫 ! ! !!$$7849:;< 作三角形的正弦定理 +!=>?>@02A "#$%&’(&)*&+),’*$-%./&##( B C "5 6 !%&# 在 即 为直角三角形的情况下 由 得 ’%012! "$&’ ! #$%’%!! ’#"$$DEFG+!" 因此 正弦定理是直角三角形相应结论的一 #$HIJKL; ? @ ) # * A 当 时 ! "*# !")&’ !%"+&’!&"#$%+&’$ ,*&- B-! #$%"&’ 当 时 "(# !"*(&’ !%""&’!&"’"!$ 槡 例 在 中 已知 求 和 !!!"#$%&’( ! ( !图 "(%! ! (".!’!)" !’"!! % &$ )*+,-./01/ ( 解 由正弦定理 得 234567.481 !!!"#$%&’( 图 ! 图 /29:! )*+,-./01/ 槡 ! ( #$%.!’ 234567.481 #$%!" $ "&/!! ( ! /29:! 或 #图图图图图图图!""&’ !"*0&’1"&’,*!&’- ;<=>!?. *图图图图图图图(".!’!’#)! *!@ > " A ? 1 #图图图图图图图!$.!’$ *B" ;<=>!?. 由此得到 !""&’!%"*&!’! *!@ > " A ? 1 槡 *B" 因此 ! ! "2! !&"#$%*&!’$ , - #$%.!’ ( 通过根据已知条件利用几何作图作三角形 可以清楚地看到例 ! ( 有两解 而例 只有一解 ! " $ 一般地 已知两边和其中一边的对角解三角形 有两解 一解 ! ! % % 例2图 无解三种情况 $ 当 为锐角时 如图 所示 *$ ( ! 0&) $ 例3图 图 0&) 当 为直角或钝角时 如图 所示 ($ ( ! 0&3 $ 6 书书书 书书书 书书书 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 图 !!" 问题 在直角三角形中 正弦定理表明 一边的长同它所对的角 " # # 的正弦值之比是一个常数 这个常数的几何意义是什么 # $ 对于一般的三角形 这个常数的几何意义又是什么 # $ 对锐角 设圆 是 的外接 "!"## $ "!"# 圆 是圆 的半径 过 作圆 的直径 !!!"#$#%!& #% $ # " $ "&# #$#%"’()*+ 连接 如图 由于 和 都是圆 #& % !!!&’ #& #! ,-!./0123 中同一条弧所对的圆周角 利用平面几何中 45! $ # 同弧所对的圆周角相等的定理 得 # #&(#!’ 又 是半圆弧所对的圆周角 半圆所对的 图 #&#" # ! !!! 圆周角一定是直角 所以 于是 # #&#"(#$%’ #)("#("&&’(&( 因此 )%&’(!’ # !!!"#$%&’! !!"!# ) * + !! ( ( ()% !$"#$%!"#$&!"#$’ &’(! &’(" &’(# (!!$%("#$%" 这个结果称为扩充的正弦定理 并且 !!"$%("#$&" %*+,*(-*-&’(*,.*/0*1&# !!#$%("#$’) 解释了 的几何意义 这个常数实际上是 ) * + ( ( # "!"# &’(! &’(" &’(# 的外接圆的直径 ’ 例 在 中 已知它的外接圆半径 !! "!"# # %(2#)(2#"(3$%# 求 及 的面积 * "!"# ,’ 解 由扩充的正弦定理 得 ! # !*()%&’("()&’(3$%(2# 可知 或 ) 2 &’(!( ( # !!(3$% 24$%5 )% ) 7 书书书 书书书 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 舍去 !!"#!"#!$!%#$%"# & 槡 因而 $ $ ! $!’#$&"#! (# )*’()’# ’()$&"## & & & * 槡 因此 在 中 为 面积 为 ! ! "%"’ !* $! ( & * 例 设 是 的外接圆的半径 是 的面积 !! + "%"’ !( "%"’ ! 求证 "!! )*, #$$(# % *+ #&$(#&+&’()%’()"’()’& 证明 由扩充的正弦定理 , ! #$$ !’()’# ! &+ 所以 $ )*, (# )*’()’# & & *+ 由 得 #&$ )#&+’()%!*#&+’()"! $ (# )*’()’#&+&’()%’()"’()’& & 练!!习 在 中 $& "%"’ ! 若 则 #$$ %#*%#!’#!"#!,#%! )#!!!!% 若 槡 则 #&$ %#+%#!"#*%#!,#$" !! *#!!!!& 在 中 && "%"’ ! 若 槡 则 #$$ )#$!*# &!%#!"#! "#!!!!% 若 槡 槡 则 #&$ *#$" &!,#$" !!’#,"#! "#!!!!& 已知 槡 求 的外接圆面积 !& ,# &!%#+%#!"#,"#! "%"’ & 在 中 已知 槡 外接圆面积为 求 *& "%"’ ! *-,# &-$!#"#!"#! !! ’& 8 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· !习!题! 1 学 而!时!!习 之 在 中 !! ""#$ ! 若 求 "!# %&"!#&#$%!$&!&$%! ’$ 若 槡 求 "&# %&!’!(&" (!"&’)%! $$ 若 槡 求 "## %&*!(&’ (!#&($%! ’! 在 中 槡 解这个三角形 并求 的面积 &! ""#$ !%&#!’&# #!"&#$%! ! ""#$ ! 在 中 若 槡 槡 求 的面积 #! ""#$ ! %&&!’& (+ &!$&!$)%! ""#$ )! 在 中 已知 槡 的外接圆面积为 求三内角 ’! ""#$ ! %&’!(&’ &!""#$ !(!! ! 在 中 已知 试判断 的形状 % ( ’ )! ""#$ ! & & ! ""#$ ! ,-." ,-.# ,-.$ 温 故!而!!知 新 在 中 如果 求证 这个命题的逆命题是 (! ""#$ ! ./0&"*./0&#&./0&$! %$&1$%! 否成立 试证明你的结论 & ! 在 中 角 所对应的边分别为 试求 的取值范围 ’ "! ""#$ !$&&#! #!$ (!’! ! ( 余弦定理 ８． ２ 余弦定理 !"#! !! 在本章开始的 问题探索 中 我们给出了这样一个实例 如图 ’ ( ! % 在一建筑物两侧有 两点 现要测量 两点间的距离 *)’! "!# ! "!# ! 我们可以测量 的长以及图中角 的大小 如何利用这 "$!#$ $ ! 三个条件去求 的长度呢 这一问题的实质是 利用两边和夹角去 "# & % 9 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 求第三边 ! 如图 以 的顶点 !!"" !"#$ $ 为坐标原点 边所在直线为 "$" % 轴 建立直角坐标系 点 " ! ""# 的坐标分别为 "#&"#$"##’$%&$" ’&’($$! 根据两点间的距离公式 得 图 " !!" """"())#’$%&$*&$)+’)&’()$ )’)$%&)$*)’&$%&$+&)+’)&’()$ )’)+&)*)’&$%&$" 即 """())’)+&)*)’&$%&$! 同理可得 !!!"#$!%&’ ()*+,-./01 ’))&)+()*)&($%&"" " 2#$345),-. &))’)+()*)’($%&#! /"678/!9:; 由上可知 三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两 % <%&’()=>,- 边与它们夹角的余弦值乘积的两倍 这个结论叫作三角形的余弦定理 ./?# " 即 #$%&’(*+,*%-*.%/+-’0(12*&$! !!!"#$%&’( !) !*+",#-. ())’)+&)*)’&$%&$ / "" ’))&)+()*)&($%&" " " " !""#$$"%$!%"# &))’)+()*)’($%&# " " " " $""&$!"%"$"&$! 余弦定理也可以写成下面的形式 &012345’ &)+()*’) $%&") )&( !!!!"!"#"!# ’)+()*&) "" $%&#) $%&’()#$"$$% )’( &$!*+,-%&.# &)+’)*() $%&/01’ $%&$) )’& 例 已知 的三边分别为 和 试求 !" !"#$ ’)3"&)4# ()45" 中最大角的度数 !"#$ ! 解 根据三角形中大边对大角的原理 是 的最大内角 " "$ !"#$ " 10 书书书 书书书 书书书 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 由余弦定理 得 $%#&’%$&(% & ! !!"#!" "$ % !!!"#$%&’( %"$"&’ % )!*+,-.%,/ 因为 是三角形的内角 所以 因此 ! !’)"!"&*’)! !"&%’)! ! 0 1" 2 3 4 , 5 中最大角的度数为 6-! #&’! &%’)% 例 在 中 已知 槡 槡 求 和 !! #&’! ! (" $!)"&+ ,!!"(-)! * &% 解 由余弦定理 得 ! ! 槡 槡 槡 槡 % *% "(%#)%$%()!"#!"$+#&+ ,$%$% $#&+ ,$" "(! !!!"#$%&’( % )!*+,-.%/0 +!*"%% 1 2 -"3 4 5 6 槡 ,0! )%#*%$(% #&+ ,$%#(.$ & +!!"#&" " 槡 " % %)* %#&+ ,$"% % 因为 为三角形的内角 所以 & !’)"&"&*’)! &"$’)% 例 在 中 是 的面积 若 !!7!8"’#&$9%%&:’;( "! #&’! !, #&’! ! ("(!)"-!," <)5!*=+>,?-@.%%,/-.0 槡 求 A1B2C-/"D3E#4 5 6 - ,! *% ,0! 解 & !-!," ()#/0!! % 槡 槡 & 即 , +!- ," .(.-#/0!! #/0!" % 78’&9%:; % % 或 <5=>?@%,-. +!!"$’)! !!"&%’)% ABC/DE# 当 时 槡 #&$ !"$’) !*%"(%#)%$()"%&!*" %&% 当 时 槡 #%$ !"&%’) !*%"(%#)%#()"$&!*" $&% 所以 为槡 或槡 !* %& $&% 槡 例 在 中 如果 * 槡 % 且 是锐角 试判 #! #&’! ! " %!#/0’" ’ ! ( % 断此三角形的形状 % 槡 解 由 及 得 % ! !#/0’" ! !’)"’"1’)! !’"(-)% % 由 * 槡 得 槡 ! " %! !*" %(% ( 根据余弦定理 !)%"*%#(%$%(*!"#’"%(%#(%$%(%"(%! +!)"(% 从而 是等腰直角三角形 +!&"(-)!!"1’)% #&’! % 11 书书书 书书书 书书书 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 例 在 中 内角 的对边分别是 且 !! "!"# ! !!"!# $!%!&! #’!"#$( 求 与槡 之间的关系 "!# $%)%%*&% %$% $ 槡 设 且 求 的值 " % "%# &’(!%&’("’ ! !#"! )*+! ( # 解 由 及余弦定理得 ! "!# #’!"#$ ! !!!"#$%&’( 槡 )!*+%!",’- % $%)%%*&% &’(#’&’(!"#$’* ’ ! ./0! % %$% 槡 即 槡 1123%4"5 +!%"$%)%%*&%#’*% %$%! $%)%%*&%’* %$%( 5 "#"$#"67 8 由于 槡 " % 9:;!%<=>?@ "%# !)"’!,-$*!"#$’.#$!&’(!%&’("’ ! # AB# 槡 又 % &’("!)"#’&’(!%&’("*(/+!%(/+"’ ! % 槡 则 % ! +!(/+!%(/+"’ ! )*+!%)*+"’ ( !- 0 又 得 )*+!))*+" )*+"!)"#’ ’!! !1)*+!%)*+" 注意到 解得 # ! )*+!))*+"’ ( !#"! )*+!’ ( 0 % 练 习 !! 在 中 !( "!"# & 已知 求 "!# %’,!&’"!!’0-$! $$ 已知 求 "%# $’2!%’"!&’#! !$ 已知 求 ""# $’%-!%’%3!&’%!! "( 在本节开头的实例中 如图 我们实地测得 %( " ,’.#! $’"--4!%’!,-4! 求 长 精确到 #’"-$! !" " !4#( 在 中 若 求 ! "( "!"# ! , "!"#’ . "$%)%%*&%#! #( 在 中 求 的面积 .( "!"# !!"’%!!#’"!"#’.! "!"# ( 在 中 求证 #( "!"# ! &&’%&’(!)$&’("( 12 书书书 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· !习!题! 2 学 而!时!!习 之 已知 中 槡 求 的大小 !! ""#$ %&"!’&#!(& "$! $ ! 已知 的三边之比为槡 求最大的内角 %! ""#$ $&%&!! ! 已知 中 求 的大小 "! ""#$ %%)’%)%’&(%! $ ! 已知三角形的三条边长分别为 和 求此三角形的面积 #! ’!$ "! ! 已知 中 槡 求 ’! ""#$ %&"!’&% "!#&!’()! (! 温 故!而!!知 新 在四边形 中 求对角 *! "#$* !##&#*&+()!#*$#&*()!"#&"!"*&’! 线 的长 "$ ! 已知 中 试判断此三角形的形状 $! ""#$ !%,-.#&’,-."! ! 在 中 槡 求 边的中线长 /! ""#$ !$#&%!"$&% "!"&"()! "# ! 已知圆内接四边形 的边长分别为 求四 +! "#$* "#&%!#$&*!$*&*"&#! 边形 的面积 "#$* ! 解三角形的应用举例 ８． ３ 解三角形的应用举例 !"#! !! 解三角形的应用问题 通常都要根据题意 从实际问题中抽象出 ! ! 一个或几个三角形 然后通过解这些三角形 得出所要求的量 从而 ! ! ! 得到实际问题的解 在这个过程中 贯穿了数学建模的思想 这种思 ! ! ! 想即是从实际问题出发 经过抽象概括 把它转化为具体问题中的数 ! ! 学模型 然后通过推理演算 得出数学模型的解 再还原成实际问题 ! ! ! 13 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 的解 ! 在航海中 由于南北方向比 " 较便于测量 通常以南北方向作 " 为标准方向 用北偏东若干度 北 " # 偏西若干度 南偏东若干度 南偏 # # 西若干度来表示方向 如图 ! !!"# 所示 如 的方 " "#""$""%""& 向角分别用北偏东 北偏西 图 $#%" !!"# 南偏西 南偏东 来表示 &#%" ’(%" )#% * 例 一货轮航行到 处 测得灯塔 在货轮的北偏东 相距 !"#$!!%& !! ’ " ( "(% ’(!"#$%&’!)*! 海里处 随后货轮按北偏西 的方向航行 半小时后 又测得灯 )# " &#% " " +,#$-./0(1 塔在货轮的北偏东 求货轮的速度 结果保留一位小数 234!+*56"7 ’(%" $ %! 8%9!#$4:;< 解 如 图 ! !!""""(’)*"(%+&#%,’(%" =>!?@A6!% &!B(4:-.*C "()’*"!#%-’(%-&#%,"#(%. ,DE>:F!G>H 可知 !")(’*"!#%-’(%-"#(%,&#%! IJKLAMNOJK LP!5M7.Q>R 由正弦定理 ’) )# , " S9!;<=!?@A /01&#% /01"#(% TU3.VQW! 得 )#/01&#% 槡 槡 ’)* ,"#$$- )%* 图 /01"#(% ! !!"" 货轮的速度为 槡 槡 " 槡 槡 +! "#$$, )%- *)#$$, )% ) 海里 时 #)#.2$ & %! 答 货轮速度为 海里 时 ’ )#.2 & ! 例 我缉私船发现位于正北方向的走私船以 海里 时的速度 "! (# & 向北偏东 方向的公海逃窜 已知缉私船的最大速度是 海里 时 ’(% " $# & ! 当发现走私船时 两船之间的距离不超过多少海 " 里才能保证缉私船在 分钟内截住走私船 结 "( ( $ 果保留两位小数 % 解 当发现走私船时 设缉私船 和走私船 ! " # 之间的距离为 海里 为走私船的逃窜路 $ . !$% 图 线 如图 所示 由题意得 设 " !!") " ""#$%*"&(%! ! !!") 14 书书书 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 缉私船在 处截住走私船 并设缉私船截住走私船所需最短时间为 ! ! " 小时 于是 ! #!$!""!%!$#""& 根据余弦定理 得 ! !"!""#$$"#""#$’($)%""("&’(%)#*! 即 槡 !!!!!!%%"""$)#" $(")($$"& 这个关于 的二次方程有正根 其正根为 " ! 槡 槡 # $+ ,- "$ (& $$" 为使缉私船在 分钟内截住走私船 必须满足 %# !( 槡 槡 # $+ ,- ("".$#! $$" $$"/".$# (" 槡 槡 #).$0& 槡 !"!!#$!%! # $+ ,- 答 当发现走私船时 只要两船之间距离不超过 海里 我缉 $ ! ).$0 ! 私船就能在 分钟内截住走私船 %# & 例 如图 池塘两侧有两建筑物 不能直接量得它们 !! 0%%)! #!%! 之间的距离 在池塘边选取 两点 并测得 & !!* ! $#!%$1#*!$%!*$ 试求 两建筑物间 -#*!$#*!$)"*!$#*%$,"*!!*$0"2! #!% 的距离 精确到 " ".%2#& 图 0%%) !!!"#$%! 分析 可以将 看成是 的斜边 因此在 ! #% 34%#*% ! 34%#*% &!"# ’ $ ! $ "" $ ! $ " $ # $ ( $ 中 知道两直角边或一直角边和一锐角 就能计算出 的长 ! ! #% & !#""#$ 解 在 中 ’"!%#( & !# #$$$$$$ ! %#!* !$#!*$1#*’-#*$%$"*!$!#*$%0"*) %#"%!%#"%%!#$ "%$"*’)"*#$)"*!!*$0"& ’""%#( & "# #$$$$$$ %#"%"%#"%%"#$ 15 书书书 书书书 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 由正弦定理得 !" $" !!!! # ! !"#$%& !"#’(%& 槡 %!!!!!!!!!$"#)% $& 在 中 "’!" !#’!"#*+&!#’"!#’(%&!#!’"#’)%&( "*+&)’(%&##’+&& 同样由正弦定理得 ’" !" # & !"#*+& !"#’+& !"#*+& %!!!!!!!!’"#)%$ & !"#’+& *!!!!"#’+&,!"#"*+&-$%&# ,!"#*+&./!$%&-./!*+&!"#$%& 槡 槡 0- ( # ! * 槡 %!!!’"#)%"$)’#& 在 中 12"$"’ ! 槡 槡 槡 !!$’# $"()’"(#)% 34( $ 槡 $)%$ ’%5*0*$)%6$5($+,(+)5)"7#& 答 两建筑物间的距离约 &$!’ 为 (+)5)7& 如图 当我们进行测量时 )%’*! ! 在视线与水平线所成的角中 视线 ! 在水平线上方的角叫作仰角 "8#9:; 视线在水平线下方的 /<;:;=82"/##! 图 角叫作俯角 )%’* "8#9:;/<>;?@;!!"/##& 例 如图 海岛 上有一座海拔 的山 在山顶上 !! )%’+! + ’%%%7 ! 的一个观察站 上午 时测得一游轮在岛正东方向的 处 俯角为 $! ’’ ! ! 时 分又测得该游轮在岛的南偏西 的 处 俯角为 如 $%&!’’ 0 $%& ’ ! $%&& 果该游轮做匀速直线运动 试求该游轮的速度 ! & 解 如图 由题意得 ! )%’+! #+$!#0%&!#+$’#0%&!#’+!# A%&)$%&#’(%&& 16 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 图 !!"# 在 中 !!"# " 槡 #"$"$$$%&’($)$"$$$ *" 在 中 !%!# " 槡 #%$"$$$%&’($)$"$$$ *" 在 中 !#%" " ""%"+ $#"+&#%+’+#"##%#,-.#%#" 槡 槡 槡 槡 $ "% $$"$$$*%+&$"$$$*%+’+/"$$$*("$$$*( ’ + $$*$$$%+" )" %"$*$$$* 因此 该游轮的速度 *$$$ " +$ $*$$$$$0&1%$*$$20&1%* ( ($ 答 该游轮的速度为 ’ *$20&1* 应用解三角形知识解实际问题的解题步骤 ’ 准确理解题意 尤其要理解应用题中的有关名词 术语所表 $"% " ( 示的量 ) 根据题意作出示意图 $+% ) 确定实际问题所涉及的三角形 并搞清该三角形的已知元素 $*% " 与未知元素 ) 选用正弦定理 余弦定理进行求解 $3% ( ) 给出答案 $#% * 上述过程可简化为 ’ 17 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· !练!习! 甲船在点 发现乙船在北偏东 的 处 乙船以 海里 时的速度向正北方向 !! " "#$ # ! $ " 行驶 已知甲船的速度是槡 海里 时 问甲船应沿着什么方向前进 才能最快 ! %$ " ! ! 与乙船相遇 # 在一幢 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角 ’! ’#( 为 塔基的俯角为 假定房屋与塔建在同 "#$! )*$! 一水平地面上 求塔的高度 ! ! 如图 所示 某直升机于空中 处观测正前 %! &$!" ! " 方地平面控制点 的俯角为 若航向不变 图 % %#$% ! &$!" 飞机继续飞行 至 处 观测地面控制点 的俯角为 问飞机再向 !###( # ! % )*$! 前飞行多远 与地面控制点 的距离最近 结果保留根号 ! % & ’# !习!题! 3 学 而 时 习 之 !!! 我舰在某岛 南偏西 且与 相距 海里的 处 发现走私舰正由 岛向北 !! " )*$ " !# # ! " 偏西 的方向以 海里 时的速度航行 如我舰恰好用 分钟追上走私舰 +*$ %# " ! !# ! 求我舰航行的速度和方向 ! 如图 海中小岛 周围 海里内有暗礁 船向正南方向航行 在 处测 ’! &$!+! " ’# ! ! # 得小岛 位于该船的南偏东 方向上 航行 海里后 在 处测得小岛 位 " %#$ ! %# ! % " 18 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 于该船的南偏东 方向上 如果此船不改变航向 继续向正南航行 有无触 !"# ! ! ! 礁的危险 " 图 图 $#%& $#%$ 如图 一艘船以 海里 时的速度向正北航行 (! $#%$! ()*) $ ! 在 处看灯塔 在船的北偏东 分钟后航行到 " # )"#!(" $ 处 在 处看灯塔 在船的北偏东 方向上 求灯塔 ! $ # !"# ! # 到 处的距离 精确到 海里 $ % "*% &! 如图 两建筑物 与 的水平距离为 从 +! $#%’! "$ %& )+,! 点测得 点的俯角 为 测得 点的俯角 为 " % ! ("#! & " !"#! 图 求这两座建筑物的高 结果可保留根号 % &! $#%’ !!! 温 故 而 知 新 如图 在平面镜 同侧有相隔 的两 -! $#)"! &% %-., 槡 点 它们到平面镜的距离分别是 ’ ) "!$! ., ) 和 槡 现要使从 点射出的光线经平面镜 ! ).,! " 反射后经过点 求光线的入射角 的度数 $! # ! 图 在与建筑物 的底端 处于同一水平面的点 !! "’ ’ $ $#)" 处测得顶端 的仰角为 沿 方向前进 至点 处 此时测得顶端 的 " #! $’ (", & ! " 仰角为 再继续沿 方向前进 槡 至点 处 此时测得顶端 的仰角 )#! $’ %" (, % ! " 为 求 的大小和建筑物 的高 +#! # "’ ! 19 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 实 习 作 业 如何测量建筑物的高 下面我们利用解斜三角形的知识 来研究如何测量教学楼或校内 ! 其他建筑物的高 ! 图 !""# 20 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 实 习 报 告 !!! 题 目 测量教学楼高 ! 测量目标 简 图 !! 测量工具 测角仪 皮尺 ! 测量方案 计算原理 与过程 测量项目 第一次 第二次 第三次 平均值 测量数据 楼高数据 本方案优点 本方案不足 其他方案 指导教师意见 21 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· 阅读与思考 !!! 面积!与!三!角!公式 本章一开始就得出了 的面积公式 ! "!"# $ "!"# % &’#$%#% " 并由此推出了三角形的正弦定理 ! ! ’(#$%!% &(#$%"! ) " " 面积是一个具有广泛应用的概念 中国古代就是通过面积巧妙 ! 地证明了勾股定理 我们下面去发现面积概念的另一个应用 利 ) """ 用上述三角形的面积公式巧妙地证明一些三角公式 ) 由于需要构造三角形 所涉及的角的大小必须受到限制 因 ! ! 此 下面提到的角都是锐角 ! ) 正弦的诱导公式 !) 如图 平行四边形 #!$ &"""! !"#* 中 记 !#*!#%’()!##!"%!) !"% 由于 (!"#%!*%&!!#%’) 图 $ $!"#* %"$ "*!"%&(#$%#’()+!$ &!"" %"$ "#!" %’(#$%!! 于是 ’ ’ !#$%#’()+!$% #$%!% %*+#!! & ( 即 !#$%#’(,+!$%*+#!) 如图 中 #"$ &"",!-."!#* !##% 是 的中点 记 ’()!" #* !#!"#%!) 由于 !"%(!#"%"*%&) $ % "!"* $ ! "!"# 图 &!", ! ! -! &(#$%#!&().!$% &(#$%!! " " 即 !#$%#!&().!$%#$%!) 22 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 正弦的和角公式 !! 如图 是 的 边上的 "!!#""# ""$% $% 高 记 "#$"#&!"#%"#&"! "$&’" "%&(""#&)! 由于 *! ""$% &* ""$# +* ""%# " $ $ $ (’%&’#!+" $& )’%&’!+ )(%&’" " ! ! ! 图 ! "!!# 得 ) ) !%&’#!+" $& %&’!+ %&’"! ( ’ 但 ) ) ! &()%" " &()%!" ( ’ ,!%&’#!+" $&%&’!()%"+()%!%&’"! 正弦的和差化积公式 +! 如 图 在 等 腰 中 "!!*" ""$% " "$&"%&("#$"-&!"#%"-& 不妨设 是 的中点 记 " " !$" "# $% ! 图 "!!* "#&)""-&.! /!* ""$-+* ""%- &* ""$% &!* ""$# " $ $ ,! (.%&’!+ (.%&’"&()%&’#$"#! ! ! 又 $ /! #$"#& #!+" $" ! ) !+" ,!%&’!+%&’"&! %&’ ! . ! ) /! &()%##"-" . 而 ! ##"-& #$"-0#$"#&!0 !+" & !0"" ! ! !+" !0" ,!%&’!+%&’"&!%&’ ()% ! ! ! 三角形的面积公式具有如此奇妙的应用 真是令人兴奋 你还 " % 能利用三角形的面积公式推导出其他的三角公式吗 & 23 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· !!! 小结与复习 一 指导思想 ! 通过对任意三角形边角关系的探究 让学生发现并掌握三角形 ! 中的边长和角度之间的数量关系 并认识到运用它们可以解决一些 ! 与测量和几何计算有关的实际问题 ! 二 内容提要 ! 本章的主要内容有正弦定理 余弦定理 解斜三角形的四种情 " " 况以及解斜三角形的应用 解三角形在中学数学中被广泛应用 它 ! ! 是由三角形中已知的边和角 至少包括一条边 的大小 求出其余 # $ ! 边和角的大小的理论 是从数量角度进一步认识三角形中各元素间 ! 关系的依据 也能培养我们分析问题 解决问题的能力 ! " ! 本章的重点是斜三角形的解法 必须逐步熟练掌握并能正确 ! 运用 ! 本章的难点是余弦 正弦定理的实际运用 以及 已知两边和 " ! % 其中一边的对角解斜三角形 的问题 & ! 解斜三角形有四种类型 ’ 已知两角 及边 由内角和公式求角 再由正弦定 !! "!# $! %! 理求出 唯一解 &!’# $! 已知两边 与其夹角 由 求 "! &!’ "! $"(&")’"*"&’#$%"! 出 再由余弦定理求出角 唯一解 $! #!% # $! 已知三边 由余弦定理可求出角 唯 &! $!&!’! "!#!% # 一解 $!!! 已知两边 及角 由正弦定理求角 由内角和公式 ’! $!& "! #! 求角 %!!! 24 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 三 学习要求及需要注意的问题 ! 学习要求 !! ! 掌握余弦定理 正弦定理及其推导过程 并能运用它们解 !!" # $ 斜三角形 ! 通过解斜三角形 了解解斜三角形在实际测绘问题中的广 !"" $ 泛应用 培养我们把实际问题转化为数学问题 并利用已有知识加 $ $ 以解决的能力 从而提高我们分析问题 解决问题的水平 $ # ! 需要注意的问题 "! ! 将某些实际问题转化为解三角形问题 是常遇到的应用问题 $ ! 解这类问题 关键是如何将实际问题转化为数学问题 并画出示意 $ $ 图 这有助于将抽象问题具体化 形象化 通常总是将实际问题中 $ # ! 的长度 角度看作三角形的边和角 从而构建三角形 进而运用有 # $ $ 关知识去解决问题 解这类问题时还要注意近似计算的要求 ! ! 四 参考例题 ! 例 货轮在海上以 海里 时的速度沿着南偏东 的方向 !! #$ % #$% 航行 货轮在 点观测灯塔 在其南偏东 的方向上 航行半小 $ " # &$% $ 时到达 点 观测灯塔 在其北偏东 的方向上 求货轮到达 $ $ # ’(% $ $ 点时与灯塔 的距离 # ! 分析 根据题意 画出图形 图 ! $ ! 在 中 线段 是半小 )&"’"! "#"$ $ "$ 时路程 只要根据所给方向角的数据 $ $ 求出 的大小 由正弦定 ##"$$## $ 理可得出 的长 #$ ! 解 在 中 ! ! "#"$ $"$%#$* % 图 " )&"’ 海里 "$! "$ !!!!##"$%&$%+#$%,-$%$ !!!!##$"%#$%.’(%,!$(%$ 25 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· !!!!""#!"#$%!&#$’!#($")*($$ 由正弦定理 得 &%+,-""&% .#+,-&#$ 槡 海里 # !"%# # #!#.! "$ +,-" +,-*($ 答 货轮到达 点时 的距离是 槡海里 $ % %" !# . $ 例 如图 所示 有两条交点是 且相交成 角的直路 !! "%./ # ’ 0#$ 图 甲 乙分别在射线 "%./ 上 起初甲离 点 (()#**)$ & ’(#’* # ’ &12# 乙离 点 后来两人同时以 的速度 甲沿$$#的方向 ’ !12# *12’3 # (() # 乙沿$$#的方向步行 *)* $ 起初 两人相距多远 !!" # ( 用含有 的式子表示 后两人之间的距离 !." + +3 $ 什么时候两人相距最近 !&" ( 分析 本题是已知两边及其夹角求第三边的简单应用问题 ! $ 解 设甲 乙两人最初的位置是 ! !!" & "#&# 则 !"&. #’".,’&.-.)’")’&)45+0#$ ! #&.,!.-.6&6!6 #/$ . 槡 !!!!!"&# /!12"$ 答 起初两人相距槡 远 $ /12 $ 设甲 乙两人 后的位置 !." & +3 分别是 则 .#/# ".#*+#&/#*+$ 当点 在点 的右侧或 点 . ’ ’ # 即 时 如图 所示 & #%+% # "%." # 图 * "%." !./.#!&%*+".,!!’*+".-.!&%*+"!!’*+"45+0#$$ 26 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 当点 在点 的左侧 即 时 如图 所示 ! ! " ! #! ! #"$% ! " 图 #"$% ""!$$%#"#&!$$’#&’"#$$&$#"#&!$#&’"#$()*&$+,( 注意到 上面两式实际上是统一的 所以 ! ! !$$%"##$&$"#’-! 即 槡 "!$% "##$&$"#’-#./$( 答 后两人之间的距离为槡 %#0 "##$&$"#’-./( # &$$ #!$!$$%"##& ’"! " & )"#% #0$( " 答 在第 分钟时 最短 最短距离是 % &1 !!$ ! $./( """ 复 习 题 八 """ 学 而 时 习 之 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 &( #""$ 槡 #2$*%&!+% $!,%!"""""" 槡 #3$*%&!+% $!-%!+, #4$*%&!,%!!-%!+, 27 书书书８ 第 章 解三角形 ··················································· !!"!"#""#$"#$% 在 中 则 &% !&$’ #&($(’""’&’## !(#()" !""" 槡 !(""’&’# !)""’&’ # 槡 槡 槡 !*""’ #’& !!""’ &’ # 在 中 其面积为槡 则 !*#*) 等于 #% !&$’ #&"+$%##""# ## !""" ,-.&*,-.$*,-./’ 槡 槡 & #0 !("# # !)" # 槡 槡 1 # #0 !*" !!" # & 在 中 2% !&$’ # 已知 求 !"" !""$#&"+$%#$"23%# )$ 已知 槡 求 !&" !""#)" ##&"#$%# #$ 已知 求 !#" #"0#)""$#&"#$%# !$ 已知 槡 求 !2" !" "0##"&#)"## &% 在平行四边形 中 已知 槡 求此平行四边 3% &$’+ # &$""$ ##&’"#$#$"+$%# 形的面积 % 在 中 已知 槡 槡 面积 +% !&$’ # !" "4##" "## ,"3# 求 )% 如图 两条笔直的公路相交成 角 两辆汽车 4% 1%#$# +$% # 和 同时从交点 出发 分别沿两条公路行驶 & $ - # % 如果汽车 的速度是 那么汽车 应以多 & 2156&7# $ 图 大的速度行驶 才能使这两辆汽车在出发 后相距 1%#$ # "7 精确到 2#56’ ! "56&7" 温"故"而""知"新 在 中 若 槡 则 1% !&$’ # ,-.&(,-.$(,-.’""’ &’"# ’"""""% 在 中 内角 所对的边分别是 已知 0% !&$’ # &#$#’ !###)% 1#"3)#’"&$# 则 /8,’"""""% 在 中 已知 则 的形状是 "$% !&$’ # &!"#*)#,-.&&",-.$,-.’# !&$’ """"% 28 书书书８ 解三角形 第 章 ··················································· 在 中 面积为 槡 周长为 求此三角 !!! !"#$ !%"&"’!#("#$! !# %&’(! (#&’! 形的各边长 ! 如图 一航船在 处观测到北偏东 方向上有 !(! )"%!! " *+$ 一灯塔 航船向正东方向以 海里 时的速度航行 #! (# # 后到达 处 又观测到灯塔 在北偏东 方 !,+- $ ! # !+$ 向上 此时航船与灯塔相距多少海里 结果保留 ! $ % 根号 图 & )"%! 上 下#而##求 索 已知 槡 % !& % !& 且函 !%! )%*&( %./0!*+&1.!*+ +&1.!*, ,! %!$#!*%!&! % % 数 的最小正周期为 )%*& !! 求函数 的解析式 %!& )%*& ’ 在 中 角 所对的边分别为 若 %(& !"#$ ! "!#!$ %!&!’! )%#&(!!%(%! 槡 试求 的值 &( %! ’ ! 某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在 !*! - 航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口 ! ! - 北偏西 且与该港口相距 海里的 处 并以 %#$ (# " ! 海里 时的航行速度沿正东方向匀速行驶 如图 %# # ! 假设该小艇沿直线方向以 海里 时的航行 )"%(! . # 速度匀速行驶 经过 与轮船相遇 ! /- ! 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇 图 %!& ! )"%( 航行速度的大小应为多少 $ 假设小艇的最高航行速度只能达到 海里 时 试设计航行方案 即确 %(& %# # ! % 定航行方向与航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并 &! ! 说明理由 ! 29 书书书9 第 章 数 列 玉兔子孙世代传 棋盘麦塔上摩天 !! ! 坛坛罐罐求堆垛 步步为营算连环 !! ! 数列寻根属函数 自成一格意盎然 !! ! 等差等比初学步 登堂入室看来年 !! ! 按照某种规则排好的一列数叫作数列 本章 ! 将呈现产生数列的方式 讨论数列的性质 研究 ! ! 两类最简单的数列 等差数列和等比数列 并 """ ! 探求数列在数学建模和解决实际问题中的应用 ! 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 问题探索 !!! 从兔子问题引出的斐波纳奇数列 公元 年 商人出身的意大利数学家斐波纳奇提出了一个 !"#" ! 有趣的兔子问题 假定一对刚出生的小兔子一个月后能长成大兔 "# 子 再过一个月后就能生出一对小兔子 并且以后每个月都生一对 ! ! 小兔子 设所生小兔子都是一雌一雄 均无死亡 问一对刚出生的 ! ! ! 兔子一年后可繁殖多少对兔子 $% !!!"#$%&’ 我们先把前几个月的情况列出来 " !!"#$%&’())$"(**+,# 第 个月只有一对刚出生的兔子 (*-.,$! ! !"#!& ! 第 个月时 第一对兔子怀孕但未生出小兔子 所以还是只有 " ! ! 一对兔子 !"#!& " 第 个月时 第一对兔子生出了一对小兔子 所以这时一共有 $ ! ! 两对兔子 !"#"& $ 第 个月时 第一对兔子又生一对小兔子 而第二对兔子正在 % ! ! 怀孕 这时有 对兔子 ! $ !"#$& % 第 个月时 第一对兔子和第二对兔子都生了小兔子 所以这 & ! ! 时共有 对兔子 & !"#&& & 照上述关系递推下去 不难算 ! 出 就是说 一年过去 !" #!%%! ! !" 以后 一对兔子会变成 对兔子 ! !%% ! 我们用 表示 一 对 幼 兔 用 #"% ! 表示正怀孕的大兔 那么图 ##% ! ’’ 就表示出了兔子递增的情况 把 ! ! 数字列出来就形成一个数列 图 兔子繁殖中的数学 "!!!! ’!!! "!$!&!(!!$!"!!$%!&&!(’!!%%!"$$!( 31 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 这个数列就是著名的斐波纳奇数列 !!"#$%&’’"()*+)%’)"! 斐波纳奇数列的特点是 从第 项起 每一项都是前两项的 # , $ 和 而且前一项与后一项的比值 逐渐趋向黄金数 也就是说 越 $ $ ! $ 往后的各项 此比值越接近 所以这个数列也称为黄金数列 $ -./01$ !2$34)%()*+)%’)"! 黄金数列与自然界中许多有趣的现象相关 例如 雄蜂家系数 ! $ 目的分布就符合斐波纳奇数列 因为一般动物都有父母 而雄蜂却 ! $ 例外 它只有母亲 即蜂后 而没有父亲 蜂后产的卵 若能受 $ ! " ! $ 精 则孵化出雌蜂 未来发育成为工蜂或蜂后 若不能受精 则孵 $ $ % $ 化为雄蜂 这样 雄蜂就有母无父 而雌蜂则有父有母 如果从一 ! $ $ ! 只雄蜂开始 往上追溯它的祖先 那么第 代祖先的数目刚好就是 $ $ " 黄金数列第 项 如图 所示 " # $ 5&6 ! " 图 雄蜂世系图 5!6! 在自然界美丽的花朵中 许多花瓣的数目也符合斐波纳奇数 $ 列 我们常见的花瓣数目是 有一位学 ! ,$7$1$0,$60$,8$’! 者曾耐心地数过一朵重瓣的芍药花 发现它有 个花瓣 与 $ 6,, $ 的数目一致 另一位学者数了另一朵花 却是 瓣 但 # $6,, ! $ 079 ! 0, 他发现其中 瓣与其他 瓣有显著差异 是特别长而且向内蜷 0, 088 $ 曲的 这种情况表明这朵花的花瓣数目是由 和 合 ! #$0, # $088 9 06 成的 ! 生活中的许多情况也与斐波纳奇数列相符 例如上台阶的方式 ! 就是如此 ! 只有一个台阶时 只有一种走法 $ $#$0% 0 32 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 两个台阶走法有 种 一阶一阶上或一步上两个台阶 所以 ! ! ! !"!" ! 个台阶时 走法有 共 种不同方法 " ! #$#$#!!$#!#$!! " ! 因此 !""" " 个台阶时 走法可以是 % ! #$#$#$#!#$#$!!#$!$#!! 共 种走法 故 $#$#!!$!! & ! !"&" % ## 算下去的结果得到一个数列 $ #!!!"!&!’!#"!!#!"%!&&!’(!#%%!!""!"))!*#+! (’)!# 这与斐波纳奇数列是十分相似的 # 与斐波纳奇数列情况接近的实际例子在自然界和生活中数不胜 数 为了推动此项研究 年 在霍加特博士的倡议下成立了 # !#(*" ! 斐波纳奇协会 并创办了 斐波纳奇季刊 刊物创办的前 年就 ! % &# " 发表了近 页有关的研究成果 直到现在 科学家和业余数学 #+++ # ! 爱好者们对黄金数列的研究热情仍不减当年 # 33 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 数列的概念 !９"．#１!数列的概念 !! 在问题探索中 兔子总对数按月依次排列为 ! "!!!!"!#!$! %!!#!"!!#&!$$!%’!!&&!"##!# 如图 在超市的货架上堆放罐头 最顶上一层有 个罐头 ’$#! ! " ! 其余每一层的罐头数都比它上面一层的罐头数多 个 共堆了 层 " ! % ! 从上到下每层的罐头数依次为 " "!&!(!%!!)!!"!!&!!(! 图 ’$# 我国从 年到 年的国内生产总值依次为 单位 亿元 !’%’ "))" % " &" !(’)’*"!!%$&+*’!"!(!+*%!"((#%*!!#&(#&*&! &(+$’*&!$%&+%*!!(+%%&*(!+&++"*&!+’$$#! %")$&! %’&)&! ’$’##! !)"#’%! 把这三个例子的共同特征抽象出来便得到了数列的概念 " 按某种规则依次排列的一列数叫作数列 数列中的 !"#$%&’( %,-./-01-&! )!*+,-./01 每一个数叫作数列的项 排在第 位的数叫作数 23*-&’0! %2-3456,-./-01-&! ! 列的首项 或叫作数列的第 项 排在第 位的数叫 %7-89:0;2-34& ! ! " 作数列的第 项 依次类推 排在第 位的数叫作数列的第 项 " ! ! " " %"$ 2<2-34&# 数列通常写成 其中 表示数列的第 项 #!#!#!#!#! # " ! ! " " " 数列也可以简记为 项数有限的数列称为有穷数列 ’#(! %6:0:2- " 项数无限的数列称为无穷数列 ,-./-01-&! %:06:0:2-,-./-01-&! 例 数 的所有不足近似值按从小到大依次排列得到一个数 #! ! 34 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 列 试写出它的前 项 并判断此数列是有穷数列还是无穷数列 ! ! ! ! !!!"#$%!!& 解 数 的不足近似值的前 项分别为 "$%!#$!&%$% ! ! ! !#$&$’("!’()* !!"!"#$!"#$%!"#$%$!"#$%$&!"#$%$&’!"#$%$&’(! +,"-*./"$! 由于它的每一项都不是无理数 而数 是无理数 它的不足近似 01%&$)))$!& ! ! ! $)))) $! 2 3 & 值可以无限地写下去 所以这个数列是无穷数列 ! ! $)))))$!4567 例 某家庭记录 年内每月的用电量如下 89:;7<=>"+ !! ())( " ?!@%!’()*+ 月份 ,"AB$!" !CD $ ( " % & * EFGHIJK5L( 用电量 #$+,%-& $$) $() ’) .) *( .) ""M*NOPQR# 月份 ! . ’ $) $$ $( 用电量 #$+,%-& $)" $$& .% *& .$ ’& 将用电量按月份排列得到一个 项的数列 试写出该数列的最大项 $( ! ’ 最小项 首项 末项 并以月份作为横坐标 用电量作为纵坐标 在 ’ ’ ( ! ! 直角坐标系中描述该家庭这一年中每月的用电情况 ! 解 每一个月的用电量依次记为 最大项为 ! "!"!)!" ! $ ( $( 最小项 首项 末项 作图如图 "#$()! "#*(! "#$$)! " #’&! ’*%! ( & $ $( !!!"#$%&’! ()*+,-./01 *2! 图 ’*% 从图上可以清楚地看到 这个家庭哪个月用电量最多 哪个月用 ! ! 电量最少 哪些月用电量在增加 哪些月用电量在减少 用电量随月 ! ! ! 份的变化也一目了然 ! 当月份给定时 月用电量也就唯一确定 ! ! 喜欢动脑筋的同学通过例 马上就会发现一个现象 数列不就是 ( ! 一种函数吗 + 35 书书书 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 是的 数列就是一种函数 只不过是定义在正整数集 或其 ! ! !! " 有限子集 上的函数 如果已知定义在正整数集上的函数 那 # ! !""#! 么 就是一个数列 另一方面 如果已知数列 那么 我们 $!""#% # ! $$%! ! " 把表示位置的量看作自变量 数列的项就可看作 位置 的函数值 !!!"#$%&’( ! & ’ ! 就是一个定义在正整数集 或其有限子集 上的函数 因 )!!*+!,-./ $%!""# " # ! " )!($01234! 此 数列的概念和定义在正整数集 或其有限子集 上的函数的概念 "56! ! " # 确实是同一个概念 # 如果数列 的第 项 可以用关于 的一个公式表示 那么 $$% " $ " ! " " 这个公式就称为数列 的通项公式 $$% "!"#"$%&’"$()*$(+&%## " 从函数的观点看 数列的通项公式就是函数的解析表达式 ! # 例 根据数列 的通项公式 写出数列的前 项及第 "" $$% ! , " 项 "&- #"" "’. " ,#" "-#$% ("""" ".#$%/0/1 ’ # " "&- " / 解 在通项公式中依次取 得到数列的前 项 " "-# "%-!.!,! , 分别为 通项公式 中的 用 来代替 得到数列的 - - 2 !3! ( $ " "&- ! . / " !!!"#$%&’( 第 项是 )!*"+! "’- "&- # "&. 同 一样 依次取 得到数列的前 项分别 ".# "-# ! "%-!.!,! , 为 通项公式 中的 用 来代替 得到数列的第 .4 ,5 -! ! ( $ " "&- ! / -6 " 项是 " ,#"&- "&- /0/1 ’ # / 练 习 """ 根据下列数列 的通项公式 写出它的前 项 -# $$% ! 4 ) " " "-#$% ("""""" ".#$%"’-#"( " "&- " ",#$%".’-( " "/#$%#."’4## " " 36 书书书 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 根据下列数列 的通项公式 写出它的第 项 第 项与第 项 !! !"" # "# $ !##$ %# % # #! &"’"$&%"’##( ! &!’"$#%&’( ! # # ! 已知无穷数列 $! ##$#)#)##!%"#)! 求这个数列的第 项 &"’ * ! 是不是这个数列中的项 如果是 是第几项 &!’** * # * 例 已知数列 的通项公式为 求数列 的 !! !"" "$"$#%"*"# !"" 最小项 # # # !!!!""!"#! !"# ! !$!"#$ "!" #% &’()*#$$! 解 &"*+$#&##,’# 数列 具有性质 !" # $% ! !" # " " " (" ! ()(" , # !"%!"#! !"#!$!" ’$#%"*&#$-’! #$ "!" #%&’() 而 由于 所以数列 的第 项最 +#$$ ")")"))! "$"#"$!# !"" , - ) * , - # 小 其最小项的值为 # "! 例 表明数列的通项公式在讨论数列的性质时起着至关重要的 % 作用 因此 寻找已知数列的通项公式成为数列中十分重要的一个 # # 问题 ! 数列的前面几项 有可能揭示出该数列的某种规律 我们根据这 # # 些规律有可能写出该数列的一个通项公式 ! 例 如图 根据图形及相应的点数 "! *+.# # 写出点数所成数列的一个通项公式 ! 解 前 个图形的点数分别为 和 ! $ "#% -# 通过对这 个图形的观察 发现第 个图形应 $ # % 图 *+. 当如图 相应的点数是 总结这些图形 *+,# "#! 变化呈现的规律 发现第 个图形的垂直方向 # # 恰是 个点 两侧分别是 个点 相应的点 # # #%" # 数是 因此 第 个图形的 #&!&#%"’$$#%!# # # 点数 满足 " "$$#%!! 图 # # 例 写出下面数列的一个通项公式 *+, #! % &"’"#%"#"#%"#"#)( &!’"#%#*#",#!.#)( 37 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· ""!# !""# $"!# %""# !!" # # # #$# " ! $ % 解 数列中正负号交替出现 当 是奇数时 第 项为正 ! !#" # $ # $ % 当 是偶数时 第 项为负 由此发现 数列的第 项可以是 $ # $ # # $ 因此 数列的一个通项公式是 !!#"$"## # %&!!#"$"## $ 数列的前 项分别可改写为 和 根据这个 !"" % #"#""#!"#$" %"# 规律 数列的第 项可以是 因此 数列的一个通项公式是 # $ $"# # %&$"# $ 这个数列的前 项的分母都是序号加 奇数项的分子是分 !!" $ ## 母的平方减 偶数项的分子是分母的平方加 由此规律 这个数 !!!"#$%&’( ## ## # )*#$%!(+,- 列的第 项可以是!$"#"""!!#"$ 因此 这个数列的一个通项公式 -./01!2345 $ # # $"# 6*78901:;! 是 !$"#"""!!#"$ %& # $ $"# 练 习 !!! 说出下列数列的一个通项公式 使它的前 项分别是下列各数 ## # $ & !#"##!#%#&%!!!!!!!! !"""#$#’#(% # # # # !!"##!$#)#!#’% ! !$" # # # # " ! $ % 观察下列数列的变化规律 用适当的数填空 并写出每个数列的一个通项公 "# # # 式 & !#"!!"#"#!!#$#!%#!!"#!&#$% !"""#$#(##’#!!"#’$#$% " # " # # !!"## # # # #!!"# #$# ! " % ! $ 我们可以通过数列 的通项公式 得到数列 相邻两项的关 ’%( # ’%( $ $ 系 反过来 能否从数列相邻两项的关系中 得到数列的通项公式呢 # # # ) 38 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 例 某种细菌在实验室的培养过程中 每小时分裂一次 一个分 !! ! " 裂为两个 经过 这种细菌由 个可繁殖成多少个 #! !"#! ! $ 解 设经过 这种细菌由 个可繁殖成 个 细菌的个数形 ! !#! ! " ! ! 成一个数列 由题意 细菌每小时分裂一次 得 %"&! ! ! " $"" ! !#! ! 由 根据 得 依此类推 "!"!#% "$"! " $"" "$$! !"$"%!’! ! !#! ! " % 于 是 经 过 这 种 细 菌 由 个 可 繁 殖 成 " $"!"$$&’(! !"#! ! !" 个 $&’( %!! 如果数列 的任一项 与它的前一项 之间的关系可用一 %"& " " ! !#! ! 个公式来表示 即 那么这个公式就叫作数列 ! " !#! $&"" ! #!!"!! %" ! & 的递推公式 称为数列 的初始条件 ")*+,)-./*01)2,34#(" %"& ".5.6.43 ! ! 由递推公式和初始条件可确定数列 这是给定数列的 +157.6.15#% %"&! ! 又一种重要方法 许多同数列有关的应用问题最后都归结为这种数学 % 模型 而且这种方法便于计算机编程进行计算 ! % 例 根据递推公式和初始条件 "! !!!!"#$%&’ ()*+,-! $" !#! $"" ! #!"!"!#! !!./012!34 # !! ! %" ! $!% 56!789:;<= 写出数列 的前 项 (>?@3ABCDE %"& 8 % 解 反复利 ! 用递推公式很容易填表 F!GH"# I!/01 ! ) JK L G M "#$! % &""# #!NJKL!O ! ! " % $ 8 ’ "#$! PQRGHS!T U!VWGH"!/0 " ! % 9 !8 %! ’ ! ! 1XYZ[\]GM> 于是 数列 的前 项分别是 !! ! %"& 8 !!%!9!!8!%!% ?$"# %(^J_! ! 练 习 !!! 写出下列数列的前 项 !% 8 ) "!#" ! $!!" ! $" !’! #""!""#( ! ""#" ! $!!" ! $ " " !’! "!""#( "%#"$"!" $""’!% ! !#! ! 39 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 若数列 的通项公式 试求 与 的递推关系 !! !" # " " # $!## " # " #%" $#!!% ! "习"题 1 学"而"时"习"之 写出 "! & 的所有不足近似值按从小到大依次排列所得数列的前 项 # $"% # ’ $ 的所有过剩近似值按从大到小依次排列所得数列的前 项 # $!% # ! $ 写出区间 内能被 整除的整数按从小到大的顺序排列所得数列的 !! ("%%#!%%) & 前 项 $ ! 已知数列 的通项公式为 $! !"" "$$#%"# # # 写出它的前 项 $"% ’ ’ 求第 项及第 项 $!% #&" !# ’ 当 时 计算 $$% #!! # &" # %" #%" ! 根据通项公式 填写下表 ’! "$!$"($#%# & # # " ! $ * "" * * " "!) &%! # 观察下面数列的变化规律 用适当的数填空 并写出每个数列的一个通项 #! # # 公式 !"" $"%$"%#$#*#$"%#)"#!’$#*’ " " " " $!%%"# #$"%# #% # #$"%#*’ ! ’ # & 槡 槡 槡 $$%"# !#$"%#!# ##$"%# +#*! 观察下面数列的变化规律 写出每个数列的第 项 &! # "% ! " " " " $"%% # #% # #*’ !," !,! !,$ !,’ " " " " $!%% # #% # #*’ $,# #,+ +,* *,"" 40 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· " ! $ % !!" # # # #$% # " ! $ # " ! $ !$"# #" #! #$ #$! " ! $ % 温!故!而!知!新 根据数列 的通项公式 写出它的前 项及第 项 ’()#! &! &"’ "$ # $ "# !!!! # # " 已知无穷数列 *! #+"#"+!#!+$#$##!#%#"#$! 求这个数列的第 项和第 项 !#" #, !# ! 是不是这个数列中的项 如果是 是第几项 !""$", ( # ( 证明 不是这个数列中的项 !!" )-, ! 根据下面的图 及相应的点数 写出点数所成数列的通项公式 .! .*& # ! 图 .*& 写出下面每个数列的前 项 #,! % ! #" #%# $!" # %"# # " #%# $ # # %# " # # !#"" !!!!!!! !""" $"$#% # $"$!! # 一列火车从 城驶往 城 铁路上设有 个车站 包括起点站 和终点站 ##! & ’ # #, ! & 火车上附有一节邮政车厢 每停靠一站都要卸下前面各站发往该站的邮 ’"! # 袋各一个 同时又装上该站发往后面各站的邮袋各一个 设从第 站出发时 # # # # 邮政车厢内的邮袋数为 个 写出 的前 项 " ##%#%#,# &"’ $ ! # # 某人于某年初在银行存入一年期定期储蓄 万元 到期后把本息续存一年期 #"! " # 定期储蓄 以后每次到期后都按上述方式续存 设银行一年期定期储蓄的年 # ! 利率为 且储户每次在取得利息时应支付利息的 作为利息税 设 "/%"0# ",0 # 该储户存满 年后所能得到的本利为 万元 试写出 的前 项 # " ! &"’ ! ! # # 41 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 等差数列 !９"．#２!等差数列 !! 某住宅小区的绿化建设有如下统计数据 ! 年 份 ! !""" #$$$ #$$! #$$# 绿化覆盖率 "%# &’$ &’( (’) "’* 从 年起 每一年的绿化覆盖率与上一年的绿化覆盖率有何 !! #$$$ $ 关系 根据这一发展趋势 年的绿化覆盖率应为多少 若将 % $#$$+ % 年的绿化覆盖率记为 年的绿化覆盖率记为 依次类 !""" !$#$$$ !$ ! # 推 得到数列 则当 时 与 有何关系 $ &!’$ ""# $! ! % " " "#! 我们不难得到 从 年起 每一年的绿化覆盖率比上一年的 ! #$$$ $ 绿化覆盖率多 年的绿化覆盖率应为 当 时 $’(%(#$$+ !$’#%( ""# $ !#! $$’(%% " "#! 一般地 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项之差都 $ # $ 等于同一个常数 那么这样的数列称为等差数列 $ ",-./012/.34-56 这个常数叫作数列的公差 公差通 7-288.59#$ "351159:.;;2-2932#$ 常用字母 表示 & % 于是 如果当 时 均有 那么 数列 是等 !!!"#$%&’! $ ""# $ !#! $&$ $ &!’ " "#! " ()&"#! 差数列 % 例 已知数列 是等差数列 !!!"#$%&’! $! &! " ’ % 如果 求公差 和 ()&"#! "!# !$<$!$#$ & !( ! # + 如果 求公差 和 "## !$<$!$#$ & !% + # ! 解 由等差数列的定义 可知 "*#()&+, ! $ "$# 公差 ’ " ! "!# &$! # #! ! $#+$! + $! # ’&$#!% 公差 "## &$!#!$+$!$!#&$#!% "*#()&+, + # ! # ’ " " $# ! 例 #! 如果 ($ !’) $ 那么数 ( 称为 ! 和 ) 的等差中项 % # 试证 成等差数列 当且仅当 是 和 的等差中项 !! !"#!"" !!$($) $ ( ! ) % $% !!%" &’( 证明 如果 成等差数列 由等差数列的定义得 )*+,"# ! !$($) $ (#!$ 42 书书书 书书书 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 那么 即 所以 是 和 的等差中项 %&! !"#! !#$%&!! #$ ! # % ! ’ ! 反过 来 如果 是 和 的等差中项 那么 推出 ! # % ! ! #$ %&! ! !!!"#$%&! ! 即 由等差数列的定义知 成等差数列 !#$%&!! #"%$!"#! !%!#!! ’ 由上例可知 若某三个数成等差数列 则可设这三个数分别为 ! ! 其中 为公差 (")!(!(&)! ) ’ 例 求证 若 的三个内角的度数可以构成等差数列 则 !! " "*+, ! 中一定有一个内角为 "*+, "#$’ 证明 的三个内角的度数可以构成等差数列 !-!"*+, ! 可以设 的三个内角的度数分别为 和 .! "*+, (")!( (&)’ 由于三角形的三个内角度数之和为 %&#$! !!!"!!#$%& .!#(")$&(&#(&)$$%&#$!($"#$’ ’ ( )" * + , - 中必有一个内角为 .!"*+, "#$’ ./! 例 已知数列 是公差为 的等差数列 是常数 设数列 "! %%& ) !0 ! / 满足 %#& #$0%’ / / / 求证 数列 是等差数列 并求数列 的首项和公差 " %#& ! %#& ’ / / 证明 对任意正整数 因此 数 ! /!# /&% "# / $0% /&% "0% / $0)! ! 列 是首项为 公差为 的等差数列 %#& 0%! 0) ’ / % 练 习 !!! 已知数列 是等差数列 %’ %%& ’ / 如果 求公差 和 #%$ %$!!%$(! ) %’ % ’ ! 如果 求公差 和 #!$ %$(!%$!! ) %’ ! ’ % 已知 是方程 的两根 求 的等差中项 !’ 1!/ (!&!(")*# ! 1!/ ’ 中 角 为 求证 三内角 成等差数列 ’’"*+, ! + "#$! " *!+!, ’ 若数列 的通项公式为 求证 数列 成等差数列 (’ %%& %$!/"%! " %%& ’ / / / 43 书书书 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 如果数列 的首项为 公差为 那么根据等差数列的定 !!" !# ## " ! 义 可以得到 # !$!%##!$!%##!$!%##$#!$! % !!!"#$%&’( " ! # " $ # " "$! 将上述 个等式相加得到 )!*+’! # %"!"&& "$! !$!%%"$!&#& " ! 由此得到 !%!’%"$!&# " ! 当 时 该等式的两边均是 这表明该等式对所有正整数 "%! # !# ! 都成立 因而它就是等差数列 的通项公式 ""!# # !!" # " 这个公式表明 当公差 不为零时 是关于变 # # #!%!’%"$!&# " ! !!!" !!" "#$% 量 " 的一次函数 # 其图象是斜率为 # 的一条直线上的一系列点 ’ 反过 !"&’()*+ 来 对任意一次函数 由于 !"#$"%&’ # (%)&%#)’*# (%"’!&$(%"&%#%"’!&’*$ 数列 就是公差为 的一个等差 #"$*%## (%!&#(%"&#$#(%"&#$ # 数列 & 例 在 与 中间插入 个数 使这 个数成等差数列 求所 "$ % #& & # % # 插入的 个数 & & 解 记这 个数所成的等差数列为 公差为 $ % !#!#$#!# ## ! " % 其中 根据等差数列的通项公式 !%%#!%#&& #!%!’’#%%( ! % % ! 得 因此 所插入的 个数分别为 ’#%#&# #%$& # & !"#!&#")#"$# 和 "% #"& 例 已知等差数列 #$ %#*#"#$& 求该数列的第 项 %!& ") & 是不是该数列的项 %"&$!"! ( 该数列共有多少项位于区间 内 %#& )$"))#)* ( 解 记该数列为 公差为 由 得数 $ !!"# ## !%%##%*+%,+## " ! 列的通项公式是 !%%+#%"$!&%$#"’!!& " 该数列的第 项 %!& ") ! %$#-")(!!,+$.& ") 解方程 得 因此 是该数列 %"& $#"’!!,+!"!# "%$$# #$!"! 的项 &$$ 44 书书书 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 解不等式 得 该数列位 %% "%% !!" !"##!$!"#%%!## !"! # ! ! 于区间 内的项从第 项起直至第 项 共 项 $!"####% & ’# # (’ $ 例 我国北方某地区为了防止沙漠流动 缓解沙尘暴的侵蚀 !" # # 决定建立若干条防沙林带 其中最前面一条长 最后面一条 # %!!)*# 长 各条林带的长度成等差数列且公差为 试求该防 "+!)*# &#)*$ 沙林带的条数 $ 解 用 表示防沙林带从前至后各条的长度所成的等差数列 " &%’ # " 由已知条件 有 由通项公式 得 # %&%!!#%&"+!#’&&#$ # "+!, % " 解得 %!!-!"!%"(&#$ "&.$ 答 该防沙林带一共有 条 ( . $ 练 习 """ 等差数列 中 %$ &%’ # " 求首项和公差 求 !%"%&%+#%&%## )!""%&%##% &&# % $ & ’ & %# %& 梯子的最高一级宽 最低一级宽 中间还有 级 各级的宽度成 "$ !!/*# %%#/*# %# # 等差数列 计算梯子中间各级的宽度 # 0 等差数列 中 取出 的所有奇数项 组成一个新的数列 !$ &%’ #%&%##%&%+# &%’ # " & ’ " 求证 为等差数列 并求其公差 &)’$ (&)’ # $ " " 已知数列 是公差不为 的等差数列 求 和 的等差中项 &$ &%’ # # % % $ " % ""#% 如图 在某学校举行的运动会开幕式上 有一队列表演节 +*1# # 目 第一次变阵为 第一行站 个同学 第二行站 个 第六行 $ ( % # ! #+# 站 个 若干次变阵后又得到这样的一种站法 第一行站 个 第 %% $ ( %% # 二行站 个 第六行站 个 + #+# % $ 请同学们思考 队列中总共有多少个同学 可以采用哪些方法进 ( , 行计算 从计算中你发现了什么 , , 若将总人数记为 则 *# ( 45 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 图 !!" !! ! "$#%#"#$$#!! ! # !! ! "$$#!#"#$$!! " # 由 得 !#" !!!!!!&! " $$#$$%#$%#!%#"#$$$#$% # "#%$& "’&# &!!!!!! "%#$ # 对于一般的等差数列 能否用上面求和的方法 去求它的前 &’’# # ( 项和 ( ( 设等差数列 的前 项和为 &’’ ( ! # ( ( 即 !"’#’#’#"#’# ( $ & % ( 根据等差数列的通项公式 上式可以写成 # !"’#$’#)%#"#)’#$(*$%)*$ # ( $ $ $ 再把项的次序反过来 又可以写成 #! ( !"’#$’*)%#"#)’*$(*$%)*$ $ ( ( ( ( 把 和 两边分别相加 得 !"#$%&’( # $ # )!*+#$’! !!!!&! "$’#’%#$’#’%#"#$’#’% ( $ ( $ ( $ ( "($’#’%$ $ ( 由此得到等差数列 的前 项和的公式 !!" " " ($’#’% !" $ ( ( & 等差数列的前 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半 因为 ( $ ’" ( 46 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 所以上面的式子又可以写成 !"!#$!"%# ! #!#$!" &’#!" % # ! " 例 某体育场一角的看台是这样安排的 每一排都比前一排多 !! # 两个座位 看台第一排有 个座位 共有 排 # !# # "$ ( 第 排有几个座位 !!" !$ $ 这一角里共有多少座位 !"" $ 解 设第 排的座位有 个 则得到数列 ! # ! # %!&!!"#""$"#%!& # # # 构成一个首项为 公差为 的等差数列 !## " ( 由通项公式 第 排的座位数 !!" # !$ ! ’!#%&’"())( !$ 共有多少座位是求该数列的前 项之和 根据等差数列前 !"" "$ # # 项和的公式 这一角里共有的座位数 "$’!& # & ’"$’!#% )"(*+$( "$ " 例 已知一个等差数列的前 项的和是 前 项的和是 "! !$ )!$# "$ 求该数列的通项公式 !""$# ( 解 记该数列为 公差为 由等差数列前 项和的公式 ! %!&# %# # !!!"! #$%" # ! &’%()*+,- #!#$!" 得 & ’#!" %# .!/0123456 # ! " !! #"-789:# $& !$ ’!$! ! ",#%’)!$# !! # %& "$ ’"$! ! "!&$%’!""$( 解这个二元一次方程组 得 # $!’,# ! !! # %%’*( 该数列的通项公式为 *! !’,%*!#$!"’*#$"( # 例 已知数列 的前 项和为 求 的前 项 并 #$! %!& # & ’#"# %!& ) # # # # 求它的通项公式 ( 解 !!’&’!#!’&$&’)#!’&$&’#( !!!"# !!" "$" ! ! " " ! ) ) " 当 时 %&’#" #( #&" #! # ’& # $& #$! ’#"$!#$!""’"#$!# !#!!!!$"$!%& 又 也满足上式 !"$ !’! # #"%#"%! $"""%& ! 所以通项公式为 !!’"#$!( # 47 书书书 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· !练!习! 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列 的前 项和 !! ! ""# # $$ # # %!&"%"!"%!#!#%$’ ! # %"&"%!"!&%’"!#%"%’ ! %&&"(" %!%!#%"%! " #’! 一个堆放铅笔的 型架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层 "! ’ ! 多放一支 若最上面一层放 支 这个 形架上共堆放了多少支铅笔 !%!& "% ! ’ ( 若 形架上要堆放 支铅笔 一共需要堆放多少层 %"& ’ !%( ! ( 在等差数列 中 为 的前 项之和 且 求 &! ""# !$ ""# # ! "%"(!$ %$!%!& # # # ! !) $ 数列 的通项公式 求 的最大值 并求对应的 值 ""# # !%"& $# ! # ! 已知数列 的前 项和为 求 的前 项 并求它的通项公式 *! ""# # $!$%#"(#! ""# & ! ! # # # # !习!题! 2 学!而!时!习!之 已知数列 是等差数列 请在下表中填入适当的数 !! ""# ! $ # 公差 " " " & " ! " & ( ’& + ’( " 已知数列 和 是两个无穷等差数列 公差分别为 和 试证数列 "! ""# ")# ! & *! ""( # # # 是等差数列 并求它的公差 )# ! ! # 三个数成等差数列 它们的和为 且第三个数是第一个数的三倍 求这三个数 &! ! +! ! ! 已知 是一个等差数列 根据所给条件填写下表 *! ""# ! $ # " & # " ! # ! ’& ’)) ( !% !" + !" +! 48 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 已知 是等差数列 !! !"# " ! 若 求 若 求 #"$ " # $%$%" % $!% " "# & !! #$$ " " &" & $"$%" ’ $%% " ( ! 已知 两个数列 和 都是等差数 &! ’"(% ’%"%"%"%( ’%)%)%)%)%( " $ # " $ # ’ 列 且公差分别为 和 求 % * *% *)*! " $ " $ 在等差数列 中 求 %! !"" %"&"&"&"&"$’!*% "&"! # # ’ ! & % $ + 已知数列 为等差数列 前 项和为 +! !"" % # +! # # 若 求 若公差 求 #"$ " $ &" ! $"(%+ ! $’*% " " !&! #$$ *$$%" "! $%"*% + "! & 若 求 及公差 ##$ "$"%"$%!!%+$%’*!% # *& " # # 若 求 及 ! " ! #’$ "$ %*$% %+$ % # "& " & & # $ # 若 求 #!$ "&"&"$&%"&"&"$%#% + & # ! % $ ’ & "** 若 求 #&$ "&"$#*% "&"&"&"&" & # ( $ ’ & + "* 若 求 #%$ "$$**% + & & "" 若 求 #+$ +$"!%+ $&*% + ! ! "* "! 已知数列 的前 项和为 试写出 的前 项 并求 的通项 (! !"" # +$#$&"% !"" # % !"" # # # # 公式 ! 已知等差数列 的前 项和为 且 求该数列的 "*! !" # " # + # % " # $"$%+ "$#*%+ "#$*% 公差 的取值范围 * ! 温!故!而!!知!新 已知直角三角形的三边成等差数列 求证 三边之比为 ""! % ’ #)’)!! 求证 从一个首项为 公差为 的无穷等差数列 中 取出数列中的所 "$! ’ "% * !"" % " # 有奇数项 或偶数项 依原来的先后次序组成的新数列仍是等差数列 并分 # $% ! 别求它们的首项和公差 ! 在通常情况下 从海平面到 高空 高度每增加 气温就下降某一 "#! % "*,- % ",-% 固定数值 如果某地海拔 处的气温是 海拔 处的气温是 % ",- +.!/% !,- 求海拔 处的气温 0"%.!/% +,- ! 一个等差数列共 项 其和为 前 项之和为 后 项之和为 求 "’! # % "**% "* $!% "* %!% #! 一个梯形两底边长分别为 和 将梯形一腰 等分 过每一分点 "!! "$1- $$1-% "* % 作平行于梯形底边的直线 求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和 % ! 已知平面凸 边形 的内角度数之和为 若一凸 边形各 "&! # ##%#$ ##%$$"+*2% # 49 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 内角的度数成等差数列 公差是 最小内角是 求 ! !"#! !""#! !" 等差数列 的公差为 且前 项和 求 ! !$" "## ! !"" $ %!&’! #&#&#&$&# " ! % !"" ! ( ’ )) 已知等差数列 的前 项和为 !*" "## ! $! ! ! 求证 成等差数列 %!& ’$!$’$!$’$ ( % & % + & 求证 成等差数列 %%& ’$!$’$!$’$ ( ( + ( ) + 试推广 和 的结果 写出你的结论并加以证明 %(& %!& %%& ! " 等比数列 !９"．#３!等比数列 !! 有一天 小罗在上数学课时 顺手拿起桌上的草稿纸折起飞机来 ! ! 了 但很快被老师发现 老师没有动怒 问小罗 这张纸你可以重 ! ! ! ’) 复对折多少次 小罗停了一下 随口说 次 老师要求他下课 *+ ! ’)%" ,+ 以后去完成 但无论他怎样努力 完成 次对折都很困难 " ! ) " 为什么草稿纸重复对折次数这样少呢 我们来看下面的一张表 * 报纸未对折时厚度记为 面积记为 % (! )&’ 对折次数 报纸厚度 报纸面积 ! " (%%"-( )% ) %" ! ! ! %(%%!-( )% ) % %! ! ! % &(%%%-( )% ) & %% ! ! ( *(%%(-( )% ) * %( ! ! & !+(%%&-( )% ) !+ %& $ $ $ ! ! * %’+(%%*-( )% ) %’+ %* 由此可见 草稿纸厚度随着每对折一次就增加一倍 而其面积则 !! ! ! 相应地减小一半 加上草稿纸本身的拉力 把草稿纸对折第九次无疑 ! ! 比一次对折 张纸更困难 %’+ , 50 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 经过此次事件以后 小罗对数学产生了浓厚的兴趣 ! ! 如果我们把草稿纸第 次对折后的厚度记为 便得到了一个 " #! " 数列 数列 满足 # "##! "## " %"$"!"%! " " # "$! 一般地 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的比都 ! " ! 等于同一个常数 这样的数列叫作等比数列 !"#$%&’( ! $#$%&$’()*+(%#($,- 这个常数叫作等比数列的公比 公比通常用 $)&’*+,-. ,)%.%! $*%&&%.(/’)%%! /)! 表示 & ! 也就是说 当 时 如果 那么数列 称为等比数 # ! "!" ! " %&! "## # " "$! 列 称为数列 的公比 !& "## ! " 例 下列命题是否成立 如果成立 给出证明 如果不成立 !" & ! ’ ! 举出反例 ! 若数列 是一个以 为公比的等比数列 则这个数列一定 $!% "## ! ! " 是等差数列 ’ 若数列 是一个以 为公差的等差数列 则这个数列一定 $"% "## 0 ! " 是等比数列 ! 解 成立 以 为公比的等比数列是常数列 而任何一个 " $!% ! ! ! 常数列都是等差数列 因此 命题 成立 ! ! $!% ! !!" "!"#$%! 不成立 如各项均为 的数列是一个以 为公差的等差数 !""!#&##"!$ $"% ! 0 0 列 根据等比数列的定义 它不是等比数列 因此 命题 不成立 ! ! ! ! $"% ! 例 已知数列 求证 "" "##! ( " 若数列 是公差为 的等差数列 则数列 是公比 # $!% "## ’ ! "!0"# " 的等比数列 &%!0’ ’ 若数列 是公比为 的正项等比数列 则 是公差 $"% "## & ! "1### " " 的等差数列 ’%1#& ! 证明 对每个 # 且 !0 # "(! !0 # " (’ " $!% "!!0"#0" " % %!0’! # # !0" !0" 因此 数列 是公比 的等比数列 ! "!0 # "# &%!0’ ! !!"#$%&’ 对每个 ()*&+()", $"% "!1## "(! $1## " %1#$# " &%$1## " %1#&! -!.%/01()2 因此 数列 是公差 的等差数列 ! "1### ’%1#& ! 3451+"67! " 51 书书书 书书书 书书书 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 例 如果 同号 且 槡 那么 是 的等比中 !!!""#!!! !! !!" ! #$% !"! !# !!" 项 与性质 是等差数列 当且仅当 是 和 的等差中项 "$%&’()%*’ & "!!#!" ! # ! " # (+,-./0" 作类比 试写出等比中项的性质 ! & 解 是等比数列 当且仅当 是 和 的等比中项 !!!#!" ! # ! " & 如果 成等比数列 由等比数列的定义得 那么 # " !!#!" ! $ ! ! # 即 槡 所以 是 和 的等比中项 !"!! #!$!"! #$% !"! # ! " & #$%&"!" #’$ 反过来 如果 是 和 的等比中项 那么 槡 推出 ("!! )$* + , ! # ! " ! #$% !"! #!$ !"#" %!"$"%!" !& -. 即 # " 由等比数列的定义知 成等比数列 !"! $ ! !!#!" & /01& ! # !练!习! 已知数列 是等比数列 "& $!% & ’ 如果 求公比 和 &"’ !$#!!$!! ( !( ! $ " 如果 求公比 和 &!’ !$!!!$#! ( !& " $ ! 已知 是方程 的两根 求 的等比中项 !& )!’ *!+%*+!&’ ! )!’ & 若数列 的通项公式为 求证 数列 成等比数列 " $& $!% !$ ! ) $!% & ’ ’ &,$’’ ’ 若数列 是等比数列 数列 满足 那么数列 有怎样的特点 为 " #& $!% ! $#% #$ ! $#% * ’ ’ ’ ! ’ ’ 什么 * 设数列 是一个首项为 公比为 的等比数列 $!% !! ( & ’ " 能否通过对求等差数列的通项公式的方法作类比 求出等比数列 ! 的通项公式呢 * 对每个正整数 依照等比数列的定义 ’! ! 当 时 ’"! ! ! !!!!!! !$(! ! " 52 书书书 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· ! !"#! ! " " ! ! $ $ %# "#! !"#!! ! ! ! " ! ! ! ! # " !"! 把这 个等式的两边分别相乘得 $%# !" # !"$! ! !"#$%&’( !! $"#$%#!!"!#$%#& ! $ # )*+&% # 当 时 该等式的两边都是 这表明该等式对所有正整数 $"# ! !! # 都成立 $ & 于是 等比数列 的通项公式为 ! #!$ $ !!!"#$%&!’ #(!"!")!#"*" !"!#$%# $ # "#$""!#%"+,-./ 例 已知数列 是公比为 的等比数列 #012342& !! #!$ # & $ 若 求 的通项公式 %#& !""!!"$%! ! ’ " $ $ 若 求 %"& !"#"$!#"&’"!!"!’"(#&%%! $& # $ 解 由等比数列的通项公式 ! %#& !!"!#""!!"!#%"$%! " # $ # 两式两边分别相除 得 由 得 因此 " ! #!"")!#"!& !#""! !" & ! # # ! 这个数列的通项公式是 " !" ’!$%#""(!$%"& $ ! 由等比数列的通项公式 得 %"& ! !"!’"(#&%%"!#$%#"#"$( $ # 所以 即 %#&$%# "$%*$!!’"(#&%%"$%$! !$%*$"$%$! $"+& $ 例 某电信产品自投放市场以来 经过三次降价 单价由原来 "! ! ! 的 元降到 元 这种电信产品平均每次降价的百分数大约是多 #)% $, ! 少 精确到 % #-&( 解 设平均每次降价的百分数是 那么每次降价后的单价应是 ! (! 降价前的单价的 倍 这样将单价与三次降价后的单价依次排 %#*(& & 列 就组成一个等比数列 其中 由等 ! #!$! !"#)%!!"$,!$"%& $ # % 比数列的通项公式 得 ! $,.#)%%#*(&%*#! 53 书书书 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 整理后 得 ! 槡 # ! ! "!"!##" !!"!" !$%&’## # # 因此 ! !"!"$%&’#!#!() 答 上述电信产品平均每次降价的百分数大约是 $ #!() 例 污水处理厂通过清除水中污染物对污水进行处理 并生产 !" ! 出有用的肥料和清洁用水 在处理过程中 可以每小时从处理池中清 ! ! 除掉残留污染物的 !*() 一天后污染物含量降低到什么程度 "!# % 使污染物含量减半至少要多少小时 "*# % 解 设污水中污物的初始含量为 又设 小时后残留在池中 " $! % $ 的污物量为 这个问题的数学模型是数列 它满足 $! &$’! % % $$ %&! ""!"$%!*#$ % "$%++$ % ! # %$ ! "$%++$ $ # 因此 根据题意 数列 是首项为 公比为 的等比 ! ! &$’ $%++$! $%++ % $ 数列 利用通项公式 得 ! ! $"$%++%$# % $ 所以 一天后污染物含量降低了 "!#$ "$%++*,$!$%$-$! ! *, $ $ 左右 ’-( # 为求何时污物含量会减半 从 解出 "*# ! $"$%++%$ "$%-$ %! % $ $ 得 因此 至少要 小时 污物才会减至一半 %"./0 $%-!-%,*! ! & ! # $%++ 答 一天后污染物含量降低了 左右 使污染物含量减半至 $ ’-( ! 少要 小时 & # 练 习 """ 求下列等比数列 的通项公式 !# &$’ $ % ! ! ! "!#!!’ ! !’ !()""" "*#$"+!$"*# * , + # - 某农科院培育水稻新品种 如果第一代得到 粒种子 并且从第一代起 由 *# ! !*$ ! ! 54 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 粒种子 到第 代大约可以得 !"# ! $ 到这个新品种的种子多少粒 " 如果在等比数列 中 那么 %! #"$ !$%#&’%(!$!#!’!(!!"! "!"!"! !!!"!#$%&’ # $ # ’ 有什么关系呢 证明你的结论 ()*+,-.!/0 " " ! ( 12!"#$%"&" 在等比数列 中 若 求 的值 提示 利用上题结论 &! #"$ ! "%"&’! """"" & ’ (! # % ’ " & ( ) !# 相传 古印度的舍罕王打算重赏国际象棋 如图 的发明者 ! & ’)’( 宰相西萨 班 达依尔 于是 这位宰相跪在国王面前说 陛 ))) % % ! ! ’* !!!"#$!%&’ 下 请您在这张棋盘的第一个小格内放一粒麦子 在第二个小格内放 ()*+,-./01 ! ! 2345!()678 两粒 第三小格内放四粒 照这样下去 每一小格都比前一小格加一 ! ! ! 934:;59<= 倍 陛下啊 请把放满棋盘上所有 个 >!?@ABCD" ! ! (& EFGHIJK! 小格的麦粒都赏给您的仆人吧 国王慷 +, LMNO.(P! 慨地答应了宰相的要求 他下令将一袋麦 9)PQRST! ! 9QPU.VW! 子拿到宝座前 计数麦粒的工作开始了 ! ! 9UPXYZ[! 第一小格内放一粒 第二小格内放两粒 N\Q!U\X! ! ! ]^_‘FGH! 第三小格内放四粒 还没放到第二十 -- 格 袋子已经空了 一袋又一袋的麦子被 ! ! 图 扛到国王面前来 国王很快看出来 即 ’)’ -- ! 使拿来全印度的小麦 也无法兑现他对宰相许下的诺言 那么 这位 ! + ! 聪明的宰相到底要多少麦粒呢 " 我们来计算一下所需麦粒数 ’ 每一个小格内的麦粒数依次为 其总 !!"!""!"%!"&!-!"(%! 和记为 则 ) ! #) &!*"*&*)*-*"("%"(%! ! (& (& 式右边每一项的 倍是它的后一项 因此 ! " ! ") &"*&*)*!(*-*"(%%"(&!## " (& !!!"#$%&’ 由 可得 "*! #) &"(&*!! $(!"#!$% (& 一般地 设公比为 的等比数列 的前 项和是 $&##"’##(’)’(*++$"$+" ! ( #"$ # # )*+,-.#,!/ )&"%"%"%-%"! #,0123456- # ! " % # 由 78!9120:;& # " # &(" #*! ! ’<=>?@AB" 55 书书书 书书书 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 得 #! " #$ ! %$ " %$ # %!%$ "&! %$ " " ! " $’! " #$ " %$ # %$ $ %!%$ " %$ "%! ( !!!!"#$%&" ) #!%’$! " #$ ! &$ "%! #$ ! #!%’"$( 当 时 $#!%’"$ 或 $&$’ ’%! "!# ! ! !!# ! " % " !%’ " !%’ 当 时 所以等比数列的求和公式为 ’#! "!#"$( & " ! !!!"#!$%&’ #$ ! #!%’"$ #’%!$" 或 #$ ! &$ " ’ #’%!$" !%’ !%’ (!)*+,"-./ ! " #" ! ! ! " #" 01"#!234!5 $"$ ! !!!#’#!$ $"$ ! !!#’#!$ 678" 例 求等比数列 从第 项到第 项的和 !! !"""$"!" & !’ ( 解 由 得 ! $#!"$#"" ’#"( ! " !(#!%"$$ )!!!# #!&" $ !%" !(#!%"!’$ !!!! # #!’"#( !’ !%" 所以 从第 项到第 项的和为 " & !’ ! &!#!’’)( !’ $ 例 已知 是等比数列 的前 项和 成等差 "! ! ’$( " "!"!"! " " # * + 数列 试求 的公比 " ’$( ( " 解 成等差数列 !*!!"!"! " # * + !!)!!%!#"!( # + * 若 则 ’#!" !##$"!#+$"!#*$" # ! + ! * ! 由 可得 与题设矛盾 $%’ !%!%"!" " ! # + * )!!’%!( 由 $#!%’#$ $#!%’+$ "$#!%’*$ ! % ! # ! " !%’ !%’ !%’ 整理后 得 " ’#%’+#"’*( *!’%’")!!,’##"’+( 槡 将 视为整体 解之得 舍去 或 即 # ! $ ’# " ’##!# $ ’##& " ’#& ( " " 例 某制糖厂第 年制糖 万吨 如果平均每年的产量比上一 #! ! & " 年增加 那么从第 年起 约几年内可使总产量达到 万吨 !’-" ! " #’ 56 书书书 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 保留到个位 ! "# 分析 由题意可知 每年产量比上一年增加的百分率相同 所以 ! $ $ 从第 年起 每年的产量组成一个等比数列 总产量则为等比数列的 ! $ $ 前 项和 ! " 解 设制糖厂第 年的产量为 万吨 由题意 是一个等 ! ! # " $%#& ! ! 比数列 其中 由于 $ #$"$%$!#!$%$!&!" &$’$" ! ! "!!(!&!!" ’!! $’$" !(!&! 整理后 得 $ ! !&!!$!&)" 两边取对数 得 $ !!!!*+!&!,*+!&)" 用计算器求得 年 *+!&) !!!!!$ ""! "" *+!&! 答 约 年内可以使总产量达到 万吨 ’ " ’$ " 例 据报载 某地区毁林严重 据统计 在 世纪 年代 !"! $ " $ -$ .$ 末 每时平均毁林约 森林面积每年以 的速度 $ /.01-$ ’&)%!’&2% !"# ! " # $! 减少 迄今被毁面积已达 目前还剩 请 $!"#%$&&&&"# $ !&’3!$401-$ !&23!$401-" 你回答以下几个问题 ’ 如果以每时平均毁林约 计算 剩下的森林经过多少 !!" /.01- $ 年将被毁尽 # 根据 计算出的年数 如果以每年 的速 !-" !!" !$ ’&)%!’&2% 度减少 计算 年后的毁林情况 $ ! " 若按 的速度减少 估算经过 年后 经过 年后 !’" ’&)% $ !"$ ( -$$ ( 经过 年后及经过 年后森林面积的情况 经过多少年森林将被 -"$ ’$$ $ 毁尽 # 解 如果每时平均毁林约 则每年平均毁林 ! !!" /.01-$ /.3-/3’)",/-$/.$!01-"$ 列出比式 !&23!$4 故剩下的森林大约经过 年将被毁尽 "/"&-$ /" " /-$/.$ 若以 速度减少 用计算器计算 年后还剩的森林面 !-" ’&)% $ /" 积为 !&23!$4(!!($&$’)"/""’&)"3!$)!01-"" 57 书书书 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 若以 速度减少 年后还剩的森林面积为 !"#$ !%& ’"#(’)*!"’+)")!##%&!!"’*(’),"-./#" 经过 年后 还剩约 经过 年后 约 "!# ’&) ! *"**(’)%-./$ /)) ! 剩 经过 年后 约剩 经过 年后 ’"/%(’)%-./$ /&) ! ’#0,-./$ !)) ! 约剩 经过 年后 约剩 森林几乎毁尽 !’*-./$ &’/ ! )"’!%-./! " """" 练 习 求等比数列 从第 项到第 项的和 ’ ’ ’ ’" ’!# ! !# !%! & ’) " / % 0 已知一个等比数列的第 项为 第 项为 求它的前 项之和 /" ! /’! % +,!! & $" & 一个球从 的高处自由落下 每次着地后又跳回到原来高度的一半 当它 !" !/. ! ! 第 次着地时 共经过的路程是多少 , ! & 设 是由正数组成的等比数列 为其前 项和 已知 求 %" ’%( !$ & " %%’’!$’*! $" & & / % ! & 习题 3 """ 学 而 时 习 之 """"" 已知数列 是公比为 的等比数列 试在下表中填入适当的数 ’" ’%( ( ! ) & % % % % % ’ / ! % & #’ ! % / 在 和 之间插入两个数 使前三个数依次成等差数列 后三个数成等比数列 /" / # ! ! ! 试写出这个数列 " 设数列 的通项公式为 且 求证 是等比数列 !" ’) & ( ) & ’!(/&! * & ’) /&#’ +) /& ! )’* & ( " 已知数列 是公比为 的等比数列 试根据所给条件填写下表 %" ’%( ( ! ) & % ’ ( & % & )")! # , #/ * !/ ’ / /&, 58 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 在 与 中间插入 个数 使这 个数成等比数列 求这个等比数列 !! "#$ ! ! ! % ! ! 求有穷等比数列 的各项的和 ( &! #%!"’!"!"! ! #)" 已知等比数列 中 求 及前 项和 ( ( %! ##$ !#%"#*%!&%" !#% ! $ $ ’! $ ( " $ ’$ $ 设等比数列 的前 项和为 公比为 +! ##$ $ ’! &! $ $ 如果 求 (+’ ( %(& ’% !&% ! #’ & ) # ( 如果 求 %#& ’%()!#%#! &! " ( 如果 求 %"& #(#(#%#(!#(#(#%)#! ’’ ( " ! # ) + $ 如果 求 %)& ’%(!!’ %&$! ’ ! ! ($ (! 温!故!而!!知!新 对等差数列的性质 若 是公差为 的等差数列 是任意正整数 则 ’! ( ##$ ) !*!$ ! $ 作类比 得出对任意等比数列成立的相应性质 并给出 #"#%%*"$&)) ! ! * $ 证明 ! 假设世界人口每年增加 求 年后的世界人口是现在人口的多少倍以及 ($! (,! #! 人口翻一番所需的时间 若年增长率为 结果又如何 - #,! * 已知 以与残留的含量成比例 衰变率 衰减 的半衰期 即衰减 ((!%(& (). % & !(). % 为含量的一半所需的时间 为 年 建立一个用 确定年代的模型 & !%"$ ! (). ’ 考古学家发现一个古人猿的颅骨 只残留原先的 含量的 古人猿 %#& ! (). (,! 的颅骨已存在多少年了 * 已知等比数列 求使得该等比数列前 项和 大于 的最 (#! &!"!(*!!"! $ ’ ((*! $ 小的 值 $ ! 已知 是首项为 公差为 的等差数列 为 的前 项和 ("! ##$ (’! "# !’ ##$ $ ! $ $ $ 求通项 及 %(& # ’’ $ $ 设 是首项为 公比为 的等比数列 求数列 的通项公式及 %#& #+"#$ (! " ! #+$ $ $ $ 其前 项和 $ , ! $ 59 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 数学实验 !!!! 乐音的频率比 声音是由振动的物体发出的 振动频率越高 音调越高 比 ! ! ! 如 音乐中 ! ! "!"#!" "#$#!# "%&#!$ "’(#!% ")"#!& "*(#! $ 这 个音 用简谱表示 一个比一个高 就是说 ’ ")&#!! "!"# ! " # ! 它们的频率一个比一个高 ! 已经知道高八度的$ ! 的频率是 的 倍 那么 ! " ! ! 的频率 "!#!$!%!&!’ 分别是 的多少倍呢 ! % 从 到$要经过 个半度音 假设所有的音的地位平等 每 ! ! #" ! ! 升高半度 频率乘以同一个倍数 从 到$经过 个半度 频率 ! "! ! ! #" ! 变成 倍 可见 上述 个音中 从 到 升高半 " ! "#"#"!"#"# # "! ! ! # $ 度 从 到$升高半度 其余相邻的音相差两个半度 故各音的频 ! ’ ! ! ! 率比依次为 & !!!!#!" # $ !" # % !"# & " !"# ’ " !" % ( !" # # # " !"! 用计算机按上面所说的频率产生乐音 并在喇叭中播送出来 或者 ! ! 进一步将它们编成乐曲 听一听你自己编写的曲子 ! ! 例如 试一试运行下面的 语句 听一听效果 ! )*+,- ! & !"#$%!&’ *."&$&/."0"#’#"#&1.! ()*+,-.!/0 1234!50167 +2345*!1&+2345*"/0"!1&+2345*"/0(!1 89:;! +2345*"/0&!1&+2345*"/0’!1&+2345*"/06!1 +2345*"/0##!1&+2345*""!1&745 其中 产生频率为 时间长为 的音 (+2345*!1) ** 1 8 60 书书书 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 阅读与思考 !!! 初识!混!沌 随机与确定并存 有序与混沌共处 天上 人间莫非如此 混 ! ! " ! 沌 是在确定规律的支配之下长期进行紊乱运动的同义语 #!"#$%$ ! 面包师把 尺长的生面条拉长成 尺 从中点切断 然后把右 & ’ ! ! 半段左移 重合到左半段上 原来在生面条上距左端点为 的一粒 ! ! " 黑芝麻移动到何处是唯一确定的 设那粒黑芝麻移动到距左端点 ! # 处 则 ! % ! &" ’"!! ! (""# ! ’ #$%#"$$$ !& " ’"&&!! """& ! & ’ 同样地 对 尺长的生面条进行第二轮的拉伸 左移 重合 ! & " " ! 那粒黑芝麻距左端点多远当然还是唯一确定的 如此重复上述简单 ! 的确定的动作 轮之后 按理说这粒黑芝麻究竟离左端点多远它 !’ ! 是可以预测的 但是 事情并非如此简单和可以预测 ! ! ! 设这粒黑芝麻一开始距左端点的距离为 经过第 轮的拉 "! ’ ( 伸 左移和重叠后 这粒黑芝麻距左端点的距离为 黑芝麻的 " ! "! ’ 位置产生的数列 满足递推关系 和初始条件 %" ’ & " ’(& $%#" ’ $ 如何发现数列 的变化规律呢 需要有个绝招 " $%#"$! %"& ’ ! & ( ’ 闭区间 中的任意实数 都可以用十进制表示成 ((!&) " ) ) ) "$ & ( ’ (*( ’ (* $()))*)* &( &(’ &(’ & ’ ’ 的形式 其中每个 类似地 也可以 ! ) ’ %(!&!’!*!*!+&! !" ’ 写成 * * * "$ &( ’(*( ’(* $()***** ’ ’’ ’’ & ’ ’ 61 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 的形式 其中每个 这就是 中的实数 的二 ! ! ! "!!"#! $!!"% # " 进制表示 例如 在十进制表示下 而在二进制表示 # $ & ! %!%&’’ $ 下 利用实数的二进制表示就很容易发现数列 # " " ! % & %!%""$ $ ( (( 的规律性 设在二进制表示下 位于 中的实数 "## $ ! $!!"% # " 写成 #%!%!!(!(% " ( " 若 则 " !"## ! !%!! ( " ! ! ! ’)#*%(#% (& #&(& " &( ’ ( (( ("(" 若 则 " "#""! !%"! ( " ! ! ! ’)#*%(#(") (& #&(& " &(% ( (( ("(" 因此 无论何种情况 在二进制表示下 ! ! ! ’)#*%!%!!(!(% ( # " 于是 函数 可以形象地被叫作 砍头函数 函数 ! ’)#* + ,$ ’)#* 的这一 砍头性质 表明 在二进制表示下 若 + , ! ! #%!%!!(!(! ! " ( " 则 这也可以叫作数列 的通项公式 #%!%! ! (! "## $ " "&" "&( " 现在 取两个初始值 和 在二进制表示下 ! # #)! ! ! ! # ! %!%! " ! ( (! " ! "&" (!$$#) ! %!%! " ! ( (! " !) "&" ( ! 其中 则 当 相当大 例如 " ! "&" %!) "&" ! *# ! (#) ! *" (" $ " ! "%"!!! 时 与 几乎就是同一个点 现实的观测已无法分辨 但是 !# #) ! - ! ! ! 由 确定的数列 和由 确定的数列 的第 项分别是 # "## #) "#)# " ! " ! " # " %!%! "&" ! "&( (!$$#) " %!%!) "&" !) "&( (! 而 整整偏差了活动范围 的 真是差之 " &#(#)&’ ! $!!"% ’!*! " " ( 毫厘 谬以千里 ! - 这一结果表明 只有当面包师在反复操作面条的过程中 每次 ! ! 都不产生丝毫的偏差 黑芝麻的位置才是可以预测的 而这种情况 ! $ 62 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 在实际生活中不可能发生 因此 在多次反复操作后黑芝麻的位置 ! ! 实际上是根本不可预测的 由递推关系确定的数列对初始条件具有 " 极端敏感性 初始值的微小的变化可以造成数列本身的长期性态大 ! 的变化 这正是 混沌 的实质表现之一 ! # $ ! 在很多方面都有混沌现象产生 尽管运用了正确的气象动力学 ! 原理和最先进的电子计算机 但是想要得到长期准确的天气预报还 ! 是一件十分困难的任务 并且预报经常很不准确 这是为什么呢 ! ! % 数学给出了一个答案 气象预报依赖现在与过去的许多观测值 而 ! ! 观测值是没办法不产生丝毫误差的 由于描述气象变化的数学模型 ! 是一个混沌系统 初始观测值的非常微小的差别会造成偏差巨大的 ! 长期预报 难怪长期预报总是很难准确 美国气象学家洛伦兹 ! " 不无调侃地说 巴西热带雨林中的一只蝴蝶多扇动了一 &!"#$%&’ (# 次翅膀 就可能引发美国得克萨斯州的一场龙卷风 此话很有道 ! !$ 理 人称气象学上的 蝴蝶效应 ! # $! 在生态演化 经济运行 综合国力消长 人体心脑血管胀缩等 ) ) ) 诸多领域中都潜伏着确定性规律支配下的混沌现象 混沌常常潜伏 ! 在人们认为是得到控制的事物中 你是否相信 人们认为已经理解 ! ! 的事情可能会 无法控制 并造成不可预测的结果 # $ % 混沌是一个数学分支 也是一种科学的世界观 ! ! 63 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 分期付款问题中的有关计算 !９"．#４!分期付款问题中的有关计算 !! 分期付款方式在今天的商业活动中的应用日益广泛 被越来越多 ! 的顾客所接受 这一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款 ! 额有一定的困难 另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略 ! ! 方便顾客购物和付款 分期付款是与每个家庭 每个人的日常生活密 ! " 切相关的 ! 我们来看这方面的一个问题 # 购买一件售价为 元的商品 采用分期付款的办法 每期付 !""" ! ! 款数相同 购买后 个月第 次付款 再过 个月第 次付款 如此 ! # # ! # $ ! 下去 共付款 次后还清 如果按月利率 每月利息按复利计 ! ! ! "%&’! 算 上月利息要计入下月本金 那么每期应付款多少 $ %! & 分析 本题可通过逐月计算欠款来处理 根据题意 第 个月的 ! ! ! ! 欠款数为零 据此可得等量关系 ! # 解法一 设每月应付款 元 ! " ! 购买 个月后的欠款数为 # !"""’#%""&("( 购买 个月后的欠款数为 $ $!"""’#%""&("%’#%""&("! 64 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 即 !"""!#$""%&!#$""%"!"" 购买 个月后的欠款数为 ’ #!"""!#$""%&!#$""%"!"$!#$""%("% 即 ! !"""!#$""%’!#$""%&"!#$""%"!"" & 购买 个月后的欠款数为 ! !!!!"""!#$""%!!#$""%)"!#$""%’"!#$""%&"!#$""%"!"% 由题意 !!"""!#$""%!!#$""%)"!#$""%’"!#$""%&"!#$""%"!"#"% 即 "$#$""%"$#$""%&"$#$""%’"$#$""%)"#!"""!#$""%!%! 观察一下 上述等式有什么特点 % ’ 可以发现 上述等式是一个关于 的一次方程 且等号左边是 % " % 一个首项为 公比为 的等比数列的前 项的和 于是 "% #$""% ! % #$""%!!# !! "! #!"""!#$""%!% #$""%(# !"""!#$""%!##$""%(#$ 元 "# "#"&)$# # $% #$""%!!# 这就是说 每月应付款 元 % #"&)$# % 等式 说明了 分期付款 各次 期 所付的款以及各次 期 所付 ! ( % # $ # $ 款到最后一次付款时所生的利息之和 等于商品的售价及从购买到最 % 后一次付款时的利息之和 实际上这是分期付款中的规定 从上面的 % % 过程中我们可看出这种规定是合理可行的 于是我们有了解法二 利 % % 用分期付款的有关规定直接列出方程 % 解法二 设每月应付款 元 那么到最后一次付款时 即商品 ! " % # 购买 个月后 付款金额的本息和为 ! $ 元 #"$#$""%"$#$""%&"$#$""%’"$#$""%)"$ " 另外 元商品在购买 个月的本息和为 元 %!""" ! !"""!#$""%! % 根据题意 得 % "$#$""%"$#$""%&"$#$""%’"$#$""%)"#!"""!#$""%!% 以下同解法一 % 65 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 从数学的角度看 分期付款是等比数列前 项和的公式在购物付 ! ! 款方式上的一个实际应用 问题的关键在于需要了解分期付款到底是 " 怎么一回事 尤其要弄清以下情况和规定 ! " 在分期付款中 每月的利息均按复利计算 分期付款中规定每期 ! # 所付款额相同 分期付款时 商品售价和每期所付款额在货款全部付 # ! 清前会随着时间推移而不断增值 各期所付款额连同到最后一次付款 # 所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 这一规定是列方程解决问题的关键 $ %" !!习!题!4 上!!下!而!求!索 顾客购买一件售价为 元的商品 如果采取分期付款的方式 那么在一年 !""" " ! 内将款全部付清且每次付款数相同的前提下 商店提出了下表所示的几种付 ! 款方案 供顾客选择 ! " 方案 分几次 付款方法 类别 付清 购买后 个月第 次付款 再过 个月第 次付款 再 次 % # ! % & ! # $ 过 个月第 次付款 % $ 购买后 个月第 次付款 再过 个月第 次付款 次 & # ! & & !&! & ’ 购买后 个月第 次付款 #& ’ 购买后 个月第 次付款 再过 个月第 次付款 次 # # ! # & !&! $ #& 购买后 个月第 次付款 #& #& 注 规定月利率为 每月利息按复利计算 "()*! 试求对应于每种方案顾客应付款的总额 !!$#% " 从这 种不同的分期付款方案中 你能否发现某种规律性的东西 写出 $&% $ ! ’ 你所发现的规律 并说明理由 ! " 试抽象出上述分期付款方式的一般数学模型 并推导出每次应付款额的 $$% ! 计算公式 " 66 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 实 习 作 业 教育储蓄的收益与比较 教育储蓄是国家为鼓励城乡居民以储蓄存款方式 为子女接受非 ! 义务教育积蓄资金 促进教育事业发展而开办的 为了孩子将来能接 ! ! 受良好的高等教育 家长为子女办理教育储蓄是理想的投资 请你收 ! ! 集本地区教育储蓄的信息 思考以下问题 并将你得到的一些结论写 ! ! 成一篇报告 ! 依据教育储蓄的方式 每月存 元 连续存 年 或 年 !! ! "# ! $ " % #! 到期时一次可支取本息多少元 $ 依据教育储蓄的方式 每月存 元 连续存 年 或 年 &! ! " ! $ " % #! 到期时一次可支取本息多少元 $ 依据教育储蓄的方式 每月存 元 连续存 年 或 年 $! ! "# ! $ " % #! 到期时一次可支取本息比同档次的 零存整取 多收益多少元 % & $ 欲在 年后一次支取教育储蓄本息合计 万元 每月应存多 ’! $ ! ! 少元 $ 欲在 年后一次支取教育储蓄本息合计 万元 每月应存多 "! $ " ! 少元 $ 依据教育储蓄的方式 原打算每月存 元 连续存 年 %! ! !## ! % ! 可是到 年时 学生需要提前支取本息 一次可支取本息多少元 ’ ! ! $ 依据教育储蓄的方式 原打算每月存 元 连续存 年 可 (! ! " ! % ! 是到 年时 学生需要提前支取本息 一次可支取本息多少元 # ! ! $ 不用教育储蓄的方式 而用其他储蓄的方式 每月存 元 )! ! ! !## ! 连续存 年 到期后取出使用 试探讨以现行的利率标准可能的最大 % ! ! 收益 将得到的结果与教育储蓄作比较 ! ! 67 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· !!! 小结与复习 一 指导思想 ! !! 数列作为一种特殊的函数 是反映自然规律的数学模型 学生 ! ! 将通过对日常生活中大量实际问题的分析 建立等差数列和等比数 ! 列这两种数学模型 探索并掌握它们的一些基本数量关系 感受这 ! ! 两种数学模型的广泛应用 并利用它们解决一些实际问题 ! ! 二 内容提要 ! 本章的主要内容是数列的概念 等差数列和等比数列的通项公 ! 式和前 项和的公式 " ! 有规则地按次序排列的一列数叫作数列 从抽象的数学观点 ! 看 数列实际上就是定义在正整数集 或其有限子集 上的函 ! !" " # 数 因此 数列可以直观地表现为平面上的一系列点 给出数列的 ! ! ! 方式通常有两种 $ 第一种方式是通项公式 % 第二种方式是递推关系 ! 讨论数列主要讨论数列的变化规律 一旦数列具有通项公式 ! ! 讨论数列的变化规律可以借助函数的一些性质 否则 可以先利用 ! ! 计算机的强大计算功能 算出数列的成千上万项 再通过观察 猜 ! ! ! 测并证明数列可能的变化规律 ! 本章详细讨论了两种基本的数列 等差数列和等比数列 涉 &&& ! 及的知识点如下 $ 68 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 等 定义 从第二项起 每一项与它前一项之差都等于一个常数 ! " 递推公式 差 !!#! $%#"!"$ " "#! 通项公式 数 !! $!&#"#!$% 数 " ! 列 前 " 项和的公式 !’ $"! & "#"#!$ %"’$ ! ! &! "%" " ! " " " 定义 从第二项起 每一项与它前一项的比是非零常数 ! " 递推公式 等 ! ! " $(#"!"$ ! "#! 比 通项公式 !! $!("#! " ! 列 数 前 项和的公式 %! ! #!#("$ " #(#!$ 列 " !’ " $$ !#( &"!""" " #($!$ ! 或 %! ! #! " ( "" #(#!$ """"""’ " $$!#( &"!"""" #($!$ ! 数列是解决许多应用问题的数学模型 在数学建模的过程中 "" " " 关键是根据条件列出递推公式 ) 三 学习要求和需要注意的问题 ! 学习要求 !) ) 理解数列的概念 能用函数的观点认识数列 了解数列的 #!$ " & 通项公式 会根据数列的通项公式写出数列的任意一项 会根据数 " " 列的递推公式写出数列的前 项 # ) 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式和前 项 #"$ " " 和的公式 并能运用公式解决一些简单问题 " ) 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式和前 项 #$$ " " 和的公式 并能运用公式解决一些简单问题 " ) 需要注意的问题 ") ) 数列概念与函数概念的联系 相应于数列的函数是一种定 #!$ ! 义域为正整数集 或它的前 个数组成的有限子集 的函数 它是 # " $ " 一种自变量 等距离 地离散取值的函数 从这个意义上看 它丰 ’ ( ) " 富了学生所接触的函数概念的范围 但数列与函数并不能画等号 ) " 数列是相应函数的一系列函数值 基于以上联系 数列也可用图象 ) " 表示 从而可利用图象的直观性来研究数列的性质 数列的通项公 " ) 69 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 式实际上是相应函数的解析表达式 而数列的递推公式也是表示相 ! 应函数的一种方式 因为只要给定一个自变量的值 就可以通过 ! "! 递推公式确定相应的 这也反过来说明作为一个函数并不一 #""#! 定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式 ! 等差数列与一次函数 二次函数的联系 "!# $ % 从等差数列的通项及求和公式可以知道 公差不为零的等差数 ! 列的每一项 是关于项数 的一次函数式 前 项和 是 的二 $ " ! " % " " " 次函数式 于是可以利用一次函数和二次函数的性质来认识等差 ! 数列 !!! 等比数列与指数型函数的联系 ""# % 由于首项为 公比为 的等比数列的通项公式可以写成 $! & # 它与指数函数 有着密切联系 从而可利用指数 $ $’ #&&"! (’$) ! " & 函数的性质来研究等比数列 ! 注意等差数列与等比数列的对比 突出两类数列的基本特 "$# ! 征 等差数列与等比数列在内容上是完全平行的 包括 定义 性 ! ! % $ 质 等差还是等比 通项公式 前 项和的公式 两个数的等差 " #$ $ " $ 等比 中项 具体问题里成等差 等比 数列的三个数的设法等 " # ! " # ! 因此在学习时可采用对比法 以便于弄清它们之间的联系与区别 ! ! 顺便指出 一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是 ! 非零的常数列 ! 四 参考例题 ! 例 已知 是等差数列 !! ’$( !$ ’*"%"!$ +$ ’*&’(! " # ! " 是公比为 的等比数列 且 % (# ’,( ! ,’ ! " #) " *) 写出 和 的通项公式 "## ’$( ’,( ) " " 试求满足不等式 "!# $ +$ +*+$ -+# -+! !- "*#’), -+# ! 的正整数 -! 70 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 解 依题意 ! !!" !!"#""!!""#"$%#$%# ! ! 又 !!$%&’&#&!#$$#!!$$’%&’’( ! ’ %! !’"" )!*$ $*$ # & () ! !) !’"’%! &!*$"#!!*$"$ ( ! ’ !) !""! $$+%&’&#! $!"+%&’’( +"! "+ 由 ! "! "%"! !!! +"! +"" "+ "%!$)*# +"! " 得 +&!$+%&’&""!!"+%&’’"’ ’ !!! "%!$)$"$ # "!+"!" !) 则 !!!+"%!"+"&"")#!*"+"%( 满足不等式的正整数 为 &! + *#(#$###%( 例 在等差数列 中 已知 前 项和为 且 !! (!) # !$")# ’ , # ’ ! ’ 求当 取何值时 有最大值 并求出它的最大值 , $, # ’ #, # ( !) !( ’ 解 由 解得公差 ( ! !$")#, $, # #$% ( ! !) !( & 解不等式 ( !! $! "!’%!"#$")% !’%!"#)# ’ ! & 得 ’"!&( 均为正数 而 及以后各 &!!#!#%#! #! #! $)# ! ! " !! !" !& !* 项为负数 ( 当 或 时 有最大值 且最大值为 &! ’$!" !& #, # ’ , $, $!&)( !" !& 例 从社会效益和经济效益出发 某地投入资金进行生态环 "! # 境建设 并以此发展旅游产业 打算本年度投入 万元 以后每 # ( %)) # 年投入将比上年减少 本年度当地旅游业收入估计为 万元 ! ( *)) # ( 由于该项建设对旅游业的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会 # 比上年增加 ! ( * 设 年内 本年度为第一年 总投入为 万元 旅游业 !!" ’ ! " ! # ’ 总收入为 万元 写出 的表达式 * ( !#* * ’ ’ ’ 71 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 !!" # 解 第 年 投 入 为 万 元 第 年 投 入 为 ! !"" " #$$ $ ! #$$% 万元 第 年投入为 万元 ! "" ! ""!"" "& $%$ ! #$$% "& # ’ ’ 所以 年内的总投入为 $! ! "" ! ""!"" !!$ %#$$(#$$% "& &%&#$$% "& ! ’ ’ & !)"!’ %)$$$% "& # ’ 第 年旅游业收入 万元 第 年旅游业收入为 万 ! "" " )$$ $ ! )$$% "( ) 元 第 年旅游业收入为 万元 ! ""!"" $%$ ! )$$% "( # ) 所以 年内的旅游业总收入为 $! ! "" ! ""!"" !!’ %)$$()$$% "( &%&)$$% "( ! ) ) &!’"! ’ %"*$$% "" # ) 设至少经过 年旅游业的总收入才能超过总投入 由此 !!" ! $ 即 ’"$"$$ ! ! &!’"! ’ & !)"!’ "*$$% "" ")$$$% "& "$# ) ’ 化简得 !)"! !’"! ’% &!% "+"$# ’ ) 设 !)"! 代入上式化简整理得 (% $ !’(!"+(&!"$$ ’ 解此不等式 得 或 舍去 ! $ ! (# ("" ! "# ’ 于是 !)"! ! ! # $!!$’# ’ ’ 答 至少经过 年 旅游业的总收入才能超过总投入 ( ’ $ # 72 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 复!习!!题!九 学!而!时!!习!之 写出下面数列的一个通项公式 使它的前 项分别是下列各数 !! ! " " # " & ( !! #!$ ! ! ! ! !%& $ % ’ !) #$ 槡 槡 槡 槡 #$$!!" $!# #!" % %!" "!%& # " # & ##$ !!! ! ! !%& $ ’ ’ #$ #%$!!#!&!!"!#!!%! 已知数列 的通项公式是 $! ’#( $ 槡 #$! !$ !! #% $*+, - ! $ $ % 写出数列 的前 项 并求 ’#( ’ ! # ! $ !.. 数列 的通项为 写出数列 的前 项并求它的前 项之 #! ’#( #%$"#"!$$! ’#( % !.. $ $ $ 和 &!..! 写出下面数列 的前 项 %! ’#( % ! $ ! #!$#%!!# %#’ & ! $’! $ # $ #$$#%#!#%)!# %# "#! ! $ $’$ $’! $ 选择题 "! ! 在 和 两数之间插入 个数 使它们与 组成等差数列 则 #!$ # (##"($ $ ! #!( ! 该数列的公差为 #!!$ ("# #"( ("# ("# #/$ !!!! #0$ !!!! #1$ !!!! #2$ $ $’! $’! $’$ 已知 是等比数列 则 是等比数列 是等比数列 ’!( #$$ ’# $ ( ! "!’# $ $( &"’# $$ ( &# # $ 是等比数列 是等差数列 上述结论中恒成立的个数是 &$’34#( ! #!!$ $ #/$%!! ! #0$#!! ! #1$$!! ! #2$! 若 则 ##$ $#%#!$(%)!$)%!$! #!(!)#!!$ 73 书书书９ 第 章 数 列 ····················································· 是等差数列 但不是等比数列 !!" # 是等比数列 但不是等差数列 !"" # 是等差数列 也是等比数列 !#" # 既不是等差数列 也不是等比数列 !$" # 某工厂 月份的产值为 万元 月份的产值为 万元 %! & " #&’ # !#!""! 若该厂每月增加的产值相同 求 月份的产值及全年的总产值 !&" # &( $ 若该厂每月产值增长的百分比相同 求 月份的产值及全年的总产值 !’" # &( ! 已知数列 是等差数列 且 求 )!!&" %" $ & # " % &$#" $ &%#%"$# " %’$ $ 如果 为等比数列 其中 求 !’" %" $ & # " % &$#" $ &%#%"$# " %’$ ! 温#故#而#知#新 已知数列 的通项公式 *! %"& "&$’(&($’&(# $ $ 数列 从第几项起各项的数值逐渐增大 !&" %"& ’ $ 数列 的哪些项为正数 !’" %"& ’ $ 数列中是否存在数值与首项相同的项 !+" ’ 某区域环境噪声平均值 分贝 见右表 ,! ! " ( 如果噪声平均值依次逐年按表中的规律减 年份 &,,* &,,, ’((( ’((& 少 从 年起 经过多少年 噪声平均 # ’((& # # 分贝 -).* -).’ -%.% -%.( 值将小于 分贝 /’ ’ 在等差数列 中公差 且 求它的前 项 & &(! %"& )& # "’"’"’)’" &%(# &(( $ ’ & + - ,, 之和 * ! &(( 设 为等差数列 的前 项之和 求证 数列%*&也是等差数列 &&! * %"& $ # ( $ ! $ $ $ 已知直角三角形的三条边 为斜边 成等比数列 为公比 求 的值 &’! "###+!+ " #, # , ! 某城市 年底人口为 万 人均住房面积为 到 年底该市 &+! &,,, -(( # &/.-0’# ’((, 的人均住房面积翻了一番 假定该市每年人口的平均增长率为 求这 ! &1# &( 年中该市每年平均新增住房的面积 精确到 ! &(/0’"! 74 书书书９ 数 列 第 章 ····················································· 上!下!而!求! 索 在数列 中 设 !"! !"" # # $%"&"&"# ! ! # $ $%"&"&"# # " % & $%"&"&"! $ ’ ( ) 若数列 是公比为 的等比数列 求证 成等比数列 并 $!% !"" ’ # &$#$#$ # # ! # $ 求这个数列的公比 ’ 推广上述结论 提出新的猜想 并加以证明 $#% # # ! 已知数列 满足 且对任意 都有 !%! !"" "%*#"%## (##"!# " &" % # ! # #()! ##)! #" &#$()#%#! (&#)! 求 $!% "#"’ $ % 设 证明 是等差数列 $#% *%" )" $#"!#%# &!*" ’ # ##&! ##)! # 设 求数列 的前 项和 $$% +%$* )*%’#)!$’$*##"!#%# !+" # $! # #&! # # # 设 是一个等差数列 是一个等比数列 !&! !" # " #!*# " ! 若 试证 当 时 必有 $!% " !* %*# & #%!) # " ! &" # &(&" # %" ! &" # &(&" !)+# ! 如果存在某个正整数 使得 那么 中的等式应改成何种形 $#% ,# " %*# $!% , 式 证明你的结论 ) ! 对等比数列 类似的结论是什么 证明你的结论 $$% !*"# ) ! # 75 书书书10 第 章 不 等 式 天不均匀地不平 风云变幻大江东 天不均匀地不平!! 风云变幻大江东 ! !! ! 入水光路改方向 露珠圆圆看晶莹 入水光路改方向!! 露珠圆圆看晶莹 ! !! ! 选优汰劣费思量 极大极小造化功 选优汰劣费思量!! 极大极小造化功 ! !! ! 从头细说不等式 抽丝剥茧乐融融 从头细说不等式!! 抽丝剥茧乐融融 ! !! ! 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数 不等关系与相等关系都是客观事物的基本数 量关系 是数学研究的重要内容 本章将研究和 量关系! 是数学研究的重要内容 ! 本章将研究和 ! ! 处理不等关系 探求生产生活实际中一些问题的 处理不等关系! 探求生产生活实际中一些问题的 ! 最佳方案 最佳方案 ! ! 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 问题探索 !!! 光的折射 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 光在同一介质中沿直线传播 走的是路程最短的路线 光在反 ! ! 射时服从反射定律 反射角等于入射角 这也是从一点出发经过反 !!!"#$!%&" ! ! !!!"#$!%&" 射后到达另一点的最近的路线 看来 光在选择路线上是很 聪 ! ! " 明 的 似乎总是选择路程最短的路线 但是 光从一种介质进入 # ! ! ! !!’()*" #+$ 另一种介质时 却不走直线而走折线 没有沿着路程最短的路线运 $!,-% ! ! !!’()*" #+$ 行 是不是光变 傻 了呢 如果我们仍然认为光是聪明的而绝不 $!,-% ! " # $ 会做傻事 由物理学知识我们知道 光在不同介质中的速度不同 ! ! ! 那么 在速度小的介质中少走一些路程 在速度大的介质中多走一 ! ! 些路程 走出一条折线 即使总路程略有增加 但总时间仍然可能 ! ! ! 减少 仍然可能是划算的 这样看来 走折线不但不傻 反而可能 10.4 简单线性规划 ! ! ! ! 是绝顶聪明的表现 走一条最节省时间的路线 到底走怎样的路线 % & 才能使时间最短呢 $ 通过实验 我们得知 光在水 ! ! 面上会发生折射 如图 记入 ! !"’!! 射角为 折射角为 此时 折射 !! " ! ! 角 总小于入射角 同时 光在 " !( ! 空气与水中的速度分别为 与 " "! ! # 由光的折射定律得知 图 !"!! " $%&! !! !# ! " # $%&" 由此我们假设 " ! #"$%&!!!" # #"$%&"! 假定光线从空气中 处经过 点折射到 处所用时间为 $ % & ’! ! 从 处经过水面上另外任意一点 到达 处的时间为 哪一种 $ ( & ’! # 情况所用时间会少一些呢 $ 77 书书书 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 当 在 的右边时 如图 ! " ! !""!! &" ") !!&" ") " #!!!$ % ( % ( ! ! ’ ! ’ # ’$%&! $%&" !!&! !) " !!!!$ % ( ! # ’$%&! $%&" !!&"+&! ")+!)" *!!!$+$ % ( , ! # ’ $%&! $%&" 作 于 于 !!"&" ! !!!")" ! , ! ! # # #!!!&!#&!!)!#)!! ! # !!&"+&! )"+)! " *!!!$+$ $ !( # ! ! # ’ $%&! $%&" 即 !!"! "! " !!!$+$ $ ! + # , ! # ’$%&! $%&" "! "! #!!! ! %"!!! # %"!! $%&! $%&" !! ! " # $ !%" &#’()*$ *!!!$ ! +$ # $", 即 !!!$$$, ! # 当 在 的左边时 同理可得 ! " ! $$$, ! # 由此可知 光按折射定律所走折路 用时最短 而沿其余 ! &") , 任何一条路线 所用时间都比沿 长 即使沿折线 所 &!) &") , &") 走路程比沿直线 长 但沿 所花时间却短些 &!-) ! &") , 我们可以利用不等式解释生活中的一些现象 一些复杂的数量 ! 关系 也可以通过不等式来沟通 走进不等式吧 让我们共同体验 ! , ! 数学的无穷魅力 # 78 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 不等式的基本性质 !１"０#．!１ !不等式的基本性质 !! 某一天 甲 乙两城市的温度分别为零上 和 据气象台 ! " !! "!! 当晚预报 甲 乙两城市会同时受到冷空气影响 气温同时下降 # " ! 若气象台还预报了 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 "!# # 甲地气温在 以上 $"% #! 甲地气温为 $$% #! 甲地气温在 以下 $%% #! 这三种情况中的一种 则你能了解甲 乙两地温度间的差异吗 ! " & 用数学式子描述甲地气温三种可能的预报同甲 乙两地温度差异 " 之间的对应关系 我们得到 # # !!!""!"## $!%$"$&#$" !""#!$""# %$!# !%"#!$"%# !$"#!$"$# 10.4 简单线性规划 由此可见 要比较两个实数的大小 只要考察它们的差就可以 ! ! 了 如要证明 只须证明 即可 # &%!! &$!%# # 例 如果 且 比较 与 的大小 " "’$ !! !"# !""! ! !’$ # !"!"!##$% ! !#" 解 " "’$ $$"$!% " ! "#" &’()"" !(!! $ % ! ! !’$ !$!’$% !*+$, - . / 0 又 且 得 1% !"#! !""! !!$!’$%"#!"$!$## ""#2""#$3 )! ! $$"$!% $#!! 即 ! " $ "’$ # ""!$$"#$4/56 !$!’$% ! !’$ ! !#$ 例 比较 与 的值的大小 & 789% : " "#$ $! $!’"%$ !$$!’" # ./;<=>?% 解 由 得 ! $!’"%$$$!$$!’"%%%!! 当 时 !"# !$!’"%$"!$$!’"’ 当 时 !%# !$!’"%$%!$$!’"’ !"#$%&’( 当 时 )*+,-.!//0 !$# !$!’"%$$!$$!’"# !$%1234! 79 书书书 书书书 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· !练!习! 比较 与 的大小 !! !"#""!"##" !"#$"% ! 比较 槡 槡 与 的大小 %! !$%% %$%!"!$%# %$%!" !$%%$%!"!$%#$%!" ! 若 比较 与 的大小 ! ! &! $"&"!# ! $#! &#! 下面是高二 班小周和小罗的一些对话或有关他们的描述 !!" $ 小周对小罗说 我体重不比你轻 小罗对小周说 我体 !!" $% !& $% 重同样也不比你轻 这有可能吗 !& ’ 小周对小罗说 我比小李高 小罗对小周说 小李比我 !%" $% !& $% 高 你知道小周 小罗哪一个高吗 !& ( ’ 现在 小周比小罗的年龄要大 若干年后 小周比小罗还大吗 !&" # # # ’ 现在 小周比小罗高 假定他们在一年中身高增长的百分数 !’" # # 相同 一年后 小周比小罗还高吗 # # ’ 小周与小罗同时参加学校田径运动会的同一个短跑比赛 若 !"" # 小周比小罗跑得快 他们哪一个比赛用时会少一些呢 # ’ 通过对上述问题的探讨 你肯定很快可以得到一些结论 请你将 # ! 所得结论用数学语言进行表述 并加以完善 # ! 上述问题结论的数学抽象就是不等式的五个基本性质 ! 性质 如果 且 那么 !! $#&# &#$# $’&! 证明 !(!$#&#!)!$#&#(! (!&#$#!)!$#&$(! 即 )!$#&’(# !$’&! 性质 如果 且 那么 "! $%&# &%*# $%*! 证明 且 且 !"#$%&’( !(!$%& &%*#)!$#&%( &#*%(! )#*+! 即 )!$#*’!$#&"%!&#*"%(# $%*!!! 性质 如果 那么 #! $%&# $%*%&%*! 80 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 证明 !!!""#!$!"%#"!& 于是 即 !""’(#%"#’(#)"%#"!! "’("#’(& ! "!# !!"" 性质 设 $#!$"%!%#& !! ""#! "%$’()*+,-# 若 则 ("!! (""(#$ !&$&"&#’()* 若 则 +.,-# (#!! ("#(#& 证明 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 !!!""#!$!"%#"!& 又 !"!"!##!! !!("%(#)(""%##! ! " "$$#!"$% & 于是 若 则 即 # # ! ("!! ("%(#"!! (""(#$ ’()*+,-% 若 则 即 (#!! ("%(##!! ("#(#& "###!!"!"$ $#!$!"$%!#& 性质 如果 且 同号 那么 " " "! ""#! "!# ! # & "$’()*+,-% " # 证明 又 且 同号 即 " " #%" !!! % ) ! ""#! "!# ! #%"#!! " # "# 即 #%" " " "#"!!$! #!! # & "# " # 这些是不等式的最基本的 个性质 这些性质的证明都采用了同 # ! 样的方法 即根据大小关系的定义 作差后同 比大小 这种根据定 ! ! ! ! 义证明的方法是数学证明的重要方法之一 10.4 简单线性规划 & 不等式的证明还有其他一些方法 & 例 试证 如果 且 那么 " # #! % ""#"!! *"("!! " & ( * 证明 由 和性质 得 " " ! *"("! #! " "!& ( * !"#$%&’( 又由 和性质 得 " " )*#$%! ""! $! " & ( * !"!#!!"! 又 和性质 得 再由性质 得 " # " # ""#"! $! " ! %! " & !"#$%&’"(!# * * ( * )"#*+,-./0# 例 试证 如果 那么 !! % ""#"!! "%"#%& 123’*456 证法一 且 于是 789:;$ !!!""#"!!$!"%#"!! "’#"!& "%% <=!!"">? 即 #%)""%##""’##"!! "%"#%& !"!""@ABCD# 证法二 由 和函数 在区间 上单调递 ! ""#"! +",#),% "!!’-# 增 可得 ! "%"#%& 81 书书书 书书书 书书书 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· !练!习! 判断下列命题的真假 并说明理由 !! ! " 若 则 若 则 #!$ ""#! $""$#%!!!! #"$ ""#! "$""#$"! 回答下列问题 "! " 若 且 能否判断 与 的大小 为什么 #!$ ""#! $"%! "&$ #&% & & 若 且 能否判断 与 的大小 为什么 #"$ ""#! $"%! "$ #% & & 求证 #! " 若 且 则 #!$ ""#"$! $"%"$! "$"#%% 若 且 同号 那么 $ $ #"$ ""#! "!# !$"$! # ! " # !习!题! 1 学!而!时!习!之 比较 与 的大小 !! #’("$#’&%$ #’&"$" ! 比较下列各题中两个代数式值的大小 "! ! 与 槡 与 槡 #!$#’"(!$" ’&(’"(!%!! #"$#)&!$" #)(!$"! 如果 则有 用 或 填空 #! "###$! # ’"( ’#( $" ! ! #!$&" &#%!!!!!!#"$ % " # # ##$"" #"% #&$ !! " 下列结论是否成立 若成立 请说明理由 若不成立 试举出反例 &! & ! % ! ! 如果 那么 #!$ $&""$&#! "##% 若 则 $ #"$ "#"$!#"$! "" % # 若 则 ##$ "$"#$! ""#% 若 则 #&$ ""#!$"%! "&$"#&%! 82 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 选择题 !! ! 如果 那么下列不等式中不正确的是 ""# "!#!#$ """# " " " " "$# # " ""%# ! " ""&#"#!#’" ""(#"’!"# " # " # 如果 那么下列不等式中正确的是 "’# "!#$ """# " " "$# # "%#"’!#’ "&#"$!#$ "(#%’"#%’# " # 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 温 故 而 知 新 """ 设 比较 与 的大小 )! &!"$ &* &’%&’" ! 利用不等式的性质证明下列不等式 +! ! 若 则 ""# "!#$$##$ ""%##$##% 若 则 "’# "!#!#$$#(##$ "$##(% 若 则 "*# "##$%"####$ "#"#’#"#! 10.4 简单线性规划 一元二次不等式 !１"０#．$２"一元二次不等式 "" 许多实际问题都可以归结为解不等式 例如 据调查 某地区有 ! $ $ 万从事传统农业的农民 人均年收入为 元 为了增加农民 "## $ !### ! 的收入 当地政府积极引进资金 建立各种加工企业 对该地的农产 $ $ $ 品进行深加工 同时吸收该地部分农民进入加工企业工作 据估计 $ ! $ 如果有 万农民进入企业工作 那么剩下从事传统农业的农 & "&!## $ 民的人均年收入有望提高 问建立加工企业后 要使从事传统 ’&,! $ 农业的农民的年总收入不低于建立加工企业前的从事传统农业的农民 的年总收入 则 应怎样确定 $ & & 数学建模 通过分析 可得 ! $ ""##-&#’!###’"".’&,#$ 其中 "##/!###$ &!#! 这就是一个一元二次不等式 怎 "012342567689012:65;<=<89>2462?:9#! 83 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 样求上面不等式的解集呢 ! !!!"#$!%&’ 解决方案 初中阶段 我们学习过二次函数 能否通过二次函数 (! " # # 图象 求解一元二次不等式 # ! 一元二次方程 一元二次不等式 % 与二次函数之间究竟具有怎样的关 系 让我们先看一个例子 ! ! 二次函数 的图 "#$#%!"$&!$ 象如图 !"$#! 当 或 时 即 $### $#% #"#"# $#%!"$&!$&"& 当 或 时 即 $!## $"% #"""# $#%!"$&!$""& 图 当 时 即 !"$# #!$!% #"!"# $#% !"$&!$!"! 由此可知 通过二次函数的图象 # 可以确定对应的一元二次方程的解和 对应的一元二次不等式的解集 ! 例 解不等式 !# $#%#$%’""! 解 函数 的图象 # "#$#%#$%’ 如图 所示 方程 !"$’ # $#%#$%’&" 有两根 和 当 $#%! $#’! $!%! 或 时 函数的图象在 轴上 图 $"’ # $ !"$’ 方 因此 不等式 的解集为 # # $#%#$%’"" ’%’#%!($’’#&’(! 例 解不等式 "# %$#&($%)""! 解 由 节不等式的性质 # !"*! ( 得 若原不等式两边同乘 则需改 # %!# 变不等号的方向 因此我们只需解不 # 等式 的 $#%($&)!"!$#%($&)&" 判别式 函数 !#!$+#"&%(!"# "# 的二次项系数大于 函数 图 $#%($&) "# !"$( 84 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 图象 如图 位于 轴的上方 因此 不等式 的解集 ! !""## ! $ $ !$"#!#%!" 为 即原不等式 的解集为 "$ "!$##!"%#" "$ 例 解不等式 !$ !$"$!#!#"$ 解 方程 的判别式 $ !$"$!#!&" !%#’#&"$ 函数 的图象 如图 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 &%!$"$!#! $ !"" !!!!!!"!!# 所示 与 轴仅有一个交点且开口向上 "#$!%&’()! % $ ! $ *+,-./012! 因此不等式 的解集为 图 !$"$!#!#" !""% 3456$.%78! $$ %!%!&"$!’!&$ 通过以上三个具体例子 可以看出利用二次函数的性质就能解一 $ 元二次不等式 关键是看二次函数图象与 轴的关系 下面我们来 !"!!!!#$ $ ! $ "!#"%&’()*+ 总结利用二次函数图象解一元二次不等式 或 ’!$#(!#)#" ’!$# $!&’(),-./ 的步骤 0""123&’4) (!#)!"!’#"# $ 56#78!9:0; 计算判别式 !%($"#’)$ <=>?@A!"!# 当 时 先求出方程 的两根 和 不 !$ !#" $ ’!$#(!#)%" ! ! ! ! $ 妨设 二次函数 的图象如图 所示 !!!#$ &%’!$#(!#) !""(!)# $ ! $ 10.4 简单线性规划 因此 不等式 的解集为 不 $ ’!$#(!#)#" !"*$!#(!!$#*#$ ! $ 等式 的解集是 ’!$#(!#)!" !!$!#$ ! $ !)# !*# !+# 图 !""( 当 时 函数 的图象顶点 在 ! ( # $$ !%" $ &%’!$#(!#) " $" ! $’ 轴上 其余部分都在 轴的上方 如图 所示 因此 不等式 $ ! $ !""(!*# $ $ 的解集为 不等式 ! (# ! ( # ’!$#(!#)#" "*$" ( " $#* $ ’!$# $’ $’ 的解集为 (!#)!" "$ 85 书书书 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 当 时 二次函数 的图象全部位于 轴 !! !!" ! "#$%#&’%&( % 的上方 如图 所示 因此不等式 的解集为 ! $""%#&$ ! $%#&’%&("" 不等式 的解集为 #)*!&*$! $%#&’%&(!" #! 上述方法是一种数形结合的方法 二次函数的图象直观地提供了 ! 一种解一元二次不等式的方法 ! 问题 利用数形结合解一元二次不等式的思想 你能提出解其他 % ! 类型的不等式的方法吗 & $练$习$ 解下列不等式 $! % #$$!%#)’%&#""’ $ ##$)%#&(%"%’ #!$)%#))%&$%"’ $ #)$%#)#%&!&"! 解不等式 #! %#$""*%$(("""(#$+#%,$&$""-(""" #%""$! 利用不等式的基本性质 我们可以把对一些其他不等式的求解转 ! 化归结为一元二次不等式的求解 ! 例 解不等式组 !$ (!%#)’%)$"%"! ’ )#%#)(%&#""! 分析 解不等式组当然是求出使每个不等式都成立的 的值所 $ % 组成的集合 它应该是每个不等式的解集的交集 ! ! 解 方程 的根为 和 因此 不等 $" $ !%#)’%)$"." %#)$ %# ! ! ! 式 的解集是 ) $"* !%#)’%)$"%" )$! ! ! 方程 的根为 和 因此 不等式 $ #%#)(%&#." %# %##! ! #%#) # 86 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 的解集是 把这两个不等式的解集 " $# !!""!# #$! """!"$#% " 在数轴上表示出来 立刻看出 它们的交集是 $ $# " $#% ! ! #$! " "! ! " % 这就是原不等式组的解集 % 例 解不等式 !"$ !# !"% %!#" 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 分析 由不等式的基本性质 原不等式可化为 !"$ # %! #"& %!#" 由不等式的基本性质 不等式可进一步化为 #!!"! !#$ !#% ’! $#% %!#" %!#" 解法一 上面这个不等式是不等式组 # &!#$!#! % ! ’%!#"$# 与 &!#$$#! % " !"#$%&%’ ’%!#"!# ()*+! 的解集的并集 由 得 由 得 所以原不等式的解 "" # % ! !()! " !( !$ ! % 10.4 简单线性规划 集为 "" # !$ % % 解法二 因为两个数的商与这两个数的积同号 所以 !#$ # ! $# %!#" !"#$%&’( 可化为解不等式 由于它的解集是 所以 )*+! "" # "!#$#"%!#"#$#! !$ ! ! % 原不等式的解集为 "" # !$ % % 问题 你还能用其他方法解这个不等式吗 & ’ 练 习 ### 当 时 解关于 的不等式 $% &$’ ! ! & !#& "$#"!#&#"!#’#*#(####### ""# *#% !#’ 87 书书书 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 解不等式 ""!##$"$! !! ! !%! ""###""$!# 下面我们研究同解一元二次不等式有联系的问题 ! 例 已知不等式 的解集为 求实数 !!!"#$%&’( !" "!#%"#&#% "$$$$##$ 的值 )*+,-! %$& ! 解 由一元二次不等式解集的结构知 方程 有实 " $ "!#%"#&’% 根 和 因此 "’$$ "’$#$ $"!#%"#&’""#$#""###’"!#&"# 于是 $$ %’&$&’$! 例 当 为何值时 关于 的方程 无实数根 "" ( $ " "!#"($##"#&’% % 解 由一元二次方程根的知识 无实数根的 " $"!#"($##"#&’% !!!"#$%&’( 条件是 即 从而 因 )*+,-! !’"($##!$#(#%$ $&#($##&$ $$#(#)$ 此 当 时 无实数根 $ ($"$$$)# $"!#"($##"#&’% ! 问题 根据这两个例子 你会提出一些问题的反向思考吗 ! $ % 练 习 """ 求函数 的定义域 #! )’*+"$"!$""#!# ! 当 为何值时 关于 的方程 分别满足 无实数根 !! ( $ " "!#"($$#"#(’%$ !"## % 有两正实根 "!# % 复杂抽象的数量关系 可以通过不等式来沟通 可以利用不等式 $ $ 来解决 下面我们来看两个实例 $ ! 例 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离 与速度 #" *",# 之间有如下关系式 其中 是比例系数 +"-,&.# !*’(’,’+!$ ( $(! 是汽车质量 若某辆卡车不装货物 司机重量忽略不计 以 %$, ! " # 的速度行驶时 从刹车到停车需要走 当这辆卡车装着 $(-,&. $ !%,! 等于车重的货物行驶时 为了保证安全 要在发现前面 处有障 $ $ !%, 88 书书书 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 碍物时能在离障碍物 以外处停车 则最高时速应低于多少 设卡 !" ! " 车司机发现障碍物到踩刹车需经过 #$#$ 解 设卡车本身质量为 速度为 刹车滑行距离为 ! !! ""%"%&#! 则依题意可得 将 代入得 ’* #""#! #$%&!&"’& "$()!#$’* %&!$ & ()’ 又卡车司机从发现障碍物到踩刹车需经过 此时卡车行驶的 #$! 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 路程为 因此 #*** !" "& $ ""#& ! ()** #+ 即 !" -* ! ’%&’!&"’"’*,!! ! "’’ "(#!"*& !"!!#$%& #+ ()’ #+ 解得 !"!""#!# !(’."""#+& 答 最高时速应低于 ’ #+%"%&& 例 某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为 !! # 万元 辆 出厂价为 万元 辆 年销售量为 辆 本年度为适 % ! #/’ % ! #*** & 应市场需求 计划提高产品档次 适度增加投入成本 若每辆车投入 ! ! ! 成本增加的比例为 则出厂价相应提高的比例为 )"*")"##! */.!)! 同时年销售量预计增加的比例为 为使本年度的年利润比上年 */))& 有所增加 则投入成本增加的比例 应在什么范围内 年利润 出 ! ) $ " $" 10.4 简单线性规划 厂价 投入成本 年销售量 ( #* # 解 设本年度的年利润为 万元 则上年度的利润为 ! + ! "#/’,##* 万元 本年度的投入成本为 万元 辆 出厂价 #***0’** ! #1"#2)# % ! 为 万元 辆 销售量为 辆 #/’1"#2*/.!)# % ! #***1"#2*/))# & 因此 本年度的年利润为 ! !!+$(#/’1"#2*/.!)#("#2)#)*#***1"#2*/))# $()*)’’’*)’’**!"*")"##& 为使本年度的年利润比上年有所增加 则 ! ()*)’’’*)’’**#’**& ! 又 *")"#! " 联立 解得 # !" *")" & ( 答 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的 ’ ! 比例 应在 内 " ## ) *! & ( 89 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· !练!习! 某船从甲地沿河顺流航行 到达乙码头 停留 后再逆流航行 !"#$! ! %&$’( 到达丙地 若水流速度为 且该船要在 内完成航行任务 )*+#$ ! ,#$"-! "- ! 则船的速度至少为多少 # !习!题! 2 学 而!时!!习 之 解下列不等式 )! $ %)&"*#"#+"&’!!!!!!%*&#*"*$"#""&’ ) %%&%"*$*"$ "&’ %,&)+.*,"##/"*’ % %"&%"$)&*#+$&’ %+&"*$*&%+"$)’ %!&#"*$,"#,#&’ %0&!"%#)""%!"#)&%"#)&! 解下列不等式组 *! $ ’,"*#*!"$)0$&! ’%"*$"#*%&! %)&& %*&& ("*#+"$0"&’ (,"*#)""$/$&! 解下列不等式 %! $ * *"$, %)& "%’ %*& $)! %."" "#% 温 故 而 知 新 !!! 已知关于 的方程 有两个同号且不相等的实数根 求实数 的 ,! " %"*#)&"$%&& ! % 取值范围 ! 设关于 的不等式 的解集为 求实数 "! " %’#*&"*$*%’#*&"#,"& %#(!$(&! 90 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 的取值范围 ! " 设不等式 和 !" #"$#!!$!! #"$%#%&"$!"" 求使得不等式 和 同时成立的 的取值范围 "## ! " # $ 求使得不等式 和 至少有一个成立的 的取值范围 ""# ! " # $ 求使得不等式 和 都不成立的 的取值范围 "&# ! " # " 已知 为实数 解下列关于 的不等式 ’" ! % # & 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 "###"$"!#$&!"!$$ ""#&!"#"$"!#$#!$" 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计 每生 (" & 产产品 百台 其总成本为 且 其销售收入 万 #" #% &"##% &"##’")#$ ("##" 元 满足 # & $$$*%#"%%*"#$$*( "$’#’+#% ("##’# & %#$*" "#(+#" 要使工厂赢利 产量 应控制在什么范围 % # ’ 基本不等式及其应用 !１"０#．$３&基本不等式及其应用 && 10.4 简单线性规划 某公司设计了如图 所示的一块绿化景观地带 这块绿化景 #$(’ % 观地带的内圈周长为 两条平行直线的两端用半圆形弧相连 %$$,% 接 两条平行线段的长为 这样的设计有什么好处呢 你能举 % #$$," ’ 出这样设计的一个理由吗 ’ 图 #$(’ 为了解决这个谜团 我们有必要先掌握一些恒成立的基本不等 % 式 例如 恒成立 请同学们尝试一下 如果把 用 替 " &#""$ " % # !$) 代 你会有什么发现呢 % ’ 91 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 定理 对任意实数 必有 当且仅当 时 !! !!"! !!#"!"!!"" !$" 等号成立 #% 证明 !&!!!#"!’!!"$"!’"#!""! 等号成立当且仅当 即 (!!!#"!"!!"% "!’"#!$"! !$"% 定理 如果 是正实数 那么 !#" 槡 当且仅当 时 "! !!" ! " !"" !$" ! 等号成立 #% 证法一 !#" 槡 # 槡 !&! ’ !"$ "!#"’! !"# ! ! # 槡 槡 $ "!’"#!""! ! 因此 !#" 槡 等号成立当且仅当槡 槡 即 ! " !"! !$"! !$"% ! !"# "#$!% ! ! 证法二 由定理 可得 槡 #&’()*$! !# ! # "#$!%#&+,) 槡 槡 槡槡 槡 !#" 槡 *$$ !!"!#!#""#! "!!"#!#""! !"# ! " !"% -.#$&’() 证法三 如图 所示 取长为 的线段 为 的 ! #"!$ " !#" )*"+ )* *$/0123&+, 中点 在 上取点 使 作以 为直径的圆 过点 作 )*$$ " )* ," ),$!" )* " , 交上半圆于 连接 和 ,-$)* -" )- *-% 是直径 在半圆弧上 &!)* "- " (!%)-*$%"&% !"#$%&’( )!*+,-! &!-,$)*" (!%)-,$%,*-"%,)-$%,-*" 于是 ,- ,) 槡 &),-’&-,*" $ ",-$ !"% ,* ,- 图 是圆的半径 #"$$ &!+- " !#" (!+-$ % ! 由于 是直角三角形 的斜边 故 即 !#" +- +,- " +-",-" " ! 槡 当且仅当点 和点 重合时 即 时 成立 !"" , + " !$" "+-$,- % 定理 和定理 中的不等式通常称为基本不等式 # ! "’()*+*,-./(0*1 2*-)#% 92 书书书 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 例 已知 和 为实数 求证 #!#"$! 当且仅当 !! ! " ! "!!#"!" ! ! 时等号成立 !$" % 证法一 #!#"$! !!!#!"!’#!#"$! !&!!!#"!’ $ !!!!"#$!%& ! ! ’()! !!#"!’!!" #!’"$! $ $ ""! ! ! 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 #!#"$! (!!!!!!!#"!" % ! 等号成立当且仅当 即 #!’"$!$"! !$"% 证法二 #!#"$! !!#"!#!!" !&! $ ! ! ! 根据定理 因此 #!!!"#!!#"!! ! #!#"$! !!!#!"! # $!!#"!% ! ! 根据定理 当且仅当 时等号成立 #! !$" % 这两种证明思路有较大的差异 证法一采用了比较法证不等式 ! % 证法二是利用了基本不等式作为基础 再采用不等式的性质推导所要 ! 求证的结论 这种证题方法通常叫作综合法 10.4 简单线性规划 ! % 例 对任意三个正实数 求证 "! !!"!)! " 槡 槡 槡 当且仅当 时等号成立 !#"#)" !"# ")#)!! !$"$) % 证明 槡 槡 !&!!!"!)$"!(!!#""! !"!"#)"! ")!)# 槡 把上述三个式子的两边分别相加 得 !"!)!! ! !!!!!#!#"#)$"!# 槡 !"# 槡 ")# 槡 )!$! !!!"!!#$%& ’()*!"""#"+ 槡 槡 槡 (!!!!#"#)" !"# ")#)!% ,-./0123"- 等号成立当且仅当 且 和 即必须 4/567# !$"! "$) )$!! !$"$)% 练 习 !!! 已知 都为正数 求证 + * #% *!+ ! "##$ # "!%#!$#*#+$#*!#+!$#*$#+$$"%*$+$% * + 93 书书书 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 已知 均为正实数 试证 !! "!#!$ ! "#"%#$##%$$#$%"$!""#$! 基本不等式可以用来求某些函数的最值 ! 例 已知 都为正数 求证 !" &!’ ! " 如果积 是定值 那么当 时 和 有最小值 槡 !!!"#$%&’( ##$ &’ (! &)’ ! &%’ ! (% )*+,-./01! 如果和 是定值 那么当 时 积 有最大值 *! #!$ &%’ *! &)’ ! &’ ! $ 证明 都为正数 &%’ 槡 "+"&!’ !," ! &’! ! 积 是定值 槡 当且仅当 时等号成立 ##$ &’ (!&%’!! (! &)’ ! 因此 当 时 和 有最小值 槡 ! &)’ ! &%’ ! (! 和 是定值 槡 * *! 当且仅当 时等 #!$ &%’ *! &’# $&’# ! &)’ ! $ 号成立 因此 当 时 积 有最大值 *! ! ! &)’ ! &’ ! $ 例 求函数 的最小值 # "" -#&$)&% #&%%$ ! & ! ! ! " !!# $ 槡 ! 解 利用定理 得 # # 当且仅当 !""##"$ %&’ "+&%%! ! &% !! && )!! " & & ()$ 即 时等号成立 函数的最小值为 # &) ! &)# !"," !! & 例 求函数 槡 的最大值 #" -#&$) &##&&$#%&&&#$ ! 解 利用定理 槡 "+%&&&#!,&%%!#&&%%! !!&##&&$# &%##&&$ # 当且仅当 即 # 时 槡 # 因 ) ! &)#&&! &) ! &##&&$) ! ! ! ! ! 此 当 时 函数取到最大值 其最大值 # ##$ # ! &) ! ! -#&$ ’() )- ) ! ! ! ! 在使用基本不等式求函数的最值时 以下几点特别要加以注意 ! " 使用定理 时要注意条件 涉及的量为正实数 #! ! ! % !"#$%&’( 不等式的一边应当是一个常数 !! % )*+,-.!/01 等号成立时自变量的值必须在函数的定义域内 以保证得到 "2 3!4 5!6 7 *! ! &!# 的常数在函数的值域中 ! 94 书书书 书书书 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 一旦这三个条件中有一个不能满足 则用基本不等式求函数最值 ! 的方法就会失效 这时 要考虑用其他的方法来求函数的最值 ! ! ! !练!习! 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 求函数 的最小值 ! !! ""##$#% "#"!# ! #&! 求函数 的最大值 "! ""##$"!###$#"$"!$##"%###!# ! 日常生活中 我们经常会遇到如何使材料最省 利润最高 成本 ! % % 最低等问题 这些问题一般可借助基本不等式来处理 ! ! 例 动物园要建造一面靠墙的 间面 !! " 积相同的长方形熊猫居室 如图 如 " !%&&#! 果可供建造围墙的材料长是 那么宽 ’%(! # 为多少米时才能使所建造的 间熊猫居室总 " 图 !%&& 面积最大 此时 最大总面积是多少平方米 10.4 简单线性规划 ’ ! ’ 解 设每间熊猫居室的宽为 间熊猫居室的总面积为 ! #(!" 则 间熊猫居室的总长为 ’("! " "’%$’##(! 由题意得 !#"%!’%$’#"%!(!%$#$!%! 间熊猫居室的总面积 (!" ’$#"’%$’##! ! !(’#%"’%$’##)" "") !"!!#$%& !!’$ )’#"’%$’### $ $*)! ’ ’ " ’ ’!"#"!"#!##() 当且仅当 即 时 上式等号成立 $ ’#$’%$’#! #$) ! ! !" ! %!#"!"#!##$ 答 当熊猫居室的宽为 时 间熊猫居室的总面积最大 最 * )( !" ! 大总面积为 *)("! 例 一艘船从 地逆水到 地 已知 两地相距 "! * + ! *!+ "%%+(! 水速为 船在静水中的速度为 的最大值可以达到 ,+(+-! , ", !"!!#$!% 若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比 &’()!"#$"%!* "%+(+-#! ! 且当 时 每小时的燃料费为 元 则为了使全程燃 +,#-./# ,$!""+(+-# ! *"% ! 料费最省 船的实际速度应为多少 ! ’ 95 书书书 书书书 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 解 设每小时的燃料费为 元 全程燃料费为 元 则 ! ! ! ! ! !" ! ! 其中 是比例系数 且 又当 时 "## #$"! # "#"##! !"!$ & $"!" ! ! $%$ !###$" " () # !"%"#!’#"&!’!" "!###$%$’ (!(###&)$" ! $%$ $%$ 当且仅当 即 时取等号 () () !" !!# $ % $!’$%$’ #!(! $%$* ! $"!( & $%$ $%$ !!!" &’()*+, 答 为了使全程燃料费最省 船的实际速度应为 -$%" % ! !(+,&-& 下面我们接着来探讨本节开头提出的绿化景观地带 如图 " !#’%# 的设计理由之一 面积最大 % & 设平行线段长为 半圆形直径为 中间的矩形区域面积 *,! +,! 为 ,,"& 由题意可知 且 %,"+*!! !"*(!+")##! ! !"!+("*#" "#### ’!," $"!+#$""*#$ " & "! "! " ! 当且仅当 即 时等号成立 !!+""*""##!! !*"!## & 因此 当平行线段长为 时 中间矩形区域的面积 最大 ! !##, ! , & 由此可知 某公司的绿化景观地带的设计有其内在的数学理由 ! ! 至于是否还有其他理由 是否可以做出更合理 更美观的设计 请同 ! ( ! 学们课后继续探讨 & 多 知 道 一 点 个正数的算术平均数与几何平均数 ! 我们知道 如果 为正数 那么 ! -!. ! -(. 槡 !! # -.& " 当且仅当 时上式取 号 -". ""# & 上面的结论能否推广到三个正数的情形 即若 为正数 ! -!.!/ ! 是否必有 -(.(/ # 槡 . -./ 呢 $ . 96 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 为了解决这一问题 我们先令 则上述问 ! !"#!!$"%!!&"’!( 题就转化为 若 为正数 是否必有 #!)%!)’! " #!%!’ ! !#%’# ! 我们先比较 与 的大小 #!)%! #"%)#%" ( ""#!)%!*$#"%)#%"%" $#!*#"%%)$%!*#%"% "#"$#*%%)%"$%*#% 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 " $#*%%"$#)%%( 为正数 +"#!% !,"#!)%!*$#"%)#%"%!#( 即 " #!)%!!#"%)#%"(" ! 同理可得 """""%!)’!!%"’)%’"!"" " """""""""’!)#!!’"#)’#"("""" # 将 式两边分别相加 得 !"# ! """$#")%!)’!%!#"%)#%")%"’)%’")’"#)’#" " $#"%)%’"%)$#%")’"#%)$%"’)’#"% "%$#")’"%)#$%")’"%)’$%")#"% !%&"#’)#&"%’)’&"#% 10.4 简单线性规划 "$#%’( 即 #!)%!)’! ,"#!)%!)’!!!#%’! " !#%’( ! 显然 当且仅当 时 上式等号成立 ! #"%"’ ! ( +" #!"!!%!"$!’!"&! !)$)& 槡 ! ," ! !$&( $ ! 显然 当且仅当 时上式的等号成立 ! !"$"& ( 我们也把 !)$)& ! 槡 ! !$& 分别叫作三个正数 !!$!& 的算术平均 ! 数与几何平均数 ( 于是 式可以说成 三个正数的算术平均数不小于它们的几何 !$ " 平均数 ( 一 般 地 对 于 个 正 数 我 们 把 ! - !!!!’!! $-!"%! % " - ! % )! " )’)! -! 槡 - !!&’&! 分别叫作这 - 个正数的算术平均数 - % " - 97 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 与几何平均数 这时有 ! !! ! ! "! " """! # " 槡 # !!#"#!! # ! " # 当且仅当 时 等号成立 于是 对任意正整数 !$!$"$! ! % ! ! " # 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 !!!"#$%&’( #!# % )*+,#$%!-. /0123! !!! 练 习 制作一个面积为 形状为直角三角形的铁支架框 有下列四种长度的铁管 !% !#"! ! 供选择 较经济 够用 又耗材最少 的是 ! " ! # "!!# "$#%&’#!!!! "(#%&)#!!!! "*#+#!!!! ",#+&"# 要挖一个面积为 的矩形鱼池 周围长 宽分别为 和 的堤堰 要 "% %-"#" ! $ -# %# ! 想占地总面积最小 鱼池的长和宽应为多少 ! % 习题 3 !!! 学 而 时 习 之 !!!!! 证明下列不等式 并讨论等号成立的条件 !% ! & 若 则 "!# !#.! !"!-""!"’ 若 则 ""# !&$%! !""&"")’ 若 则 槡 ! "-# ’!$($!! (""!/("#$ ’ " 若 则 & ! "%# !&%.! " ""’ ! & 对任意实数 和 % "+# ! &!!""&"" "-% !""&""! 求函数 " !#的最大值 "% )"(#$("!/"(#.&(& % " 求函数 的最小值 ! -% )"(#$(" "(#’!# % ("! 98 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 求函数 槡 的最大值 !! "!#"$# "##$!%!#!"" ! 求函数 的最大值 " &! "!#"$!#% !#"%" ! # 温#故#而##知#新 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 某商品计划两次提价 有甲 乙 丙三种方案 其中 经两次提价后 ’! # $ $ # &$’$%! # 哪种方案提价的幅度大 为什么 % % 次 第一次提价 第二次提价 方案 甲 &( ’( 乙 ’( &( 丙 &%’ &%’ ( ( $ $ 甲 乙两人同时从 地出发 沿同一条线路步行到 地 甲在前一半时间的行 )! $ ( # ) ! 走速度为 后一半时间的行走速度为 乙用速度 走完前半段路程 用速度 *# +& * # 走完后半段路程 若 问甲 乙两人谁先到达 地 + ! *%+# $ ) % 下列结论是否成立 若成立 请说明理由 若不成立 试找出反例 *! % # & # ! 10.4 简单线性规划 若 则 若 则 槡 !"" *+$%# *$%+$$$*+&##!$" *+$%# *%+&$ *+& 槡 槡 若 则 若 则 * + + * !+" *+$%# % &$& !!" *+"%# % !,$& + * * + 函数 #$%+ 的最小值为 !&" -$ 槡 $& #$%$ 函数 ! 的最大值为 槡 !’" -$$#+#, !#$%" $#! +! # 某工厂建造一个长方体无盖贮水池 其容积为 深度为 如果池 ,! # !*%%-+# +-# 底每 的造价为 元 池壁每 的造价为 元 怎样设计水池能使总 "-$ "&% # "-$ "$% # 造价最低 最低总造价需要多少元 # % 现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报 它的印刷面积为 上下空 "%! # "$*.-$# 白各 两边空白各 如何确定海报尺寸可使四周空白面积最小 $.-# ".-# % 通过大量的观察 人们总结出一个描述通过某隧道的平均车速 与车 ""! # .!/-’0" 流量 辆 秒 关系的经验函数 则平均车速 +’1*. "!."! ’ " ("!."$ ! . .$ "1’.% %!,1& $$ 多大时 车流量 最大 最大车流量是多少 # "!." % % 99 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 简单线性规划 !１"０#．$４!简单线性规划 !! 在生产管理和各种经营活动中经常提出一类问题 如何合理地使 ! 用有限的人力 物力 财力等资源 以便得到最好的经济效果 " " ! ! 实际情境 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别 # " ! 为 元 元 甲 乙产品都需要在 两种设备上加工 !""" "#""" ! " ""# ! 在设备 上加工一件甲产品所需工时分别为 加工一件 ""# $%"#%! 乙产品所需工时分别为 两种设备每月有效使用工时 #%"$%!""# 数分别为 和 如何安排生产可使收入最大 &"" ’""! $ 数学建模 设甲 乙两种产品每月的产量分别为 件 件 每 # " $ "% ! 月的销售收入为 千元 由题意 这个函数称为线性目 & ! !&’!$(#%! 标函数 在 满足一定的限制条件下 %()*+,-./0+12)3+45*12).*&! $!% ! 线性目标函数 何时能取最大值 由题意 设备 每月有 &’!$(#% $ ! " 效使用工时数为 加工 件甲产品需要工时数 加工 件乙产 &""! $ $! % 品需要工时数 因此 同样 考虑设备 得 #%! !$(#%"&""’ ! # #$( 当然 和 还必须满足条件 和 为求解方便起 %"’""’ !$ % $#" %#" % 见 我们暂时忽略 必须是自然数的条件 而代之于 和 ! $!% ! $#" %# 的条件 这些条件称为 需要满足的线性约束条件 " &! $!% %()*+,- 于是 这个问题的数学模型是 1.*62-,)*21.*7)2).*&! ! # %$(#%"&""! 在自变量 满足约束条件 #$(%"’""!的情况下 求目标 $!% $ ! $#"! &%#" 函数 的最大值 &’)%$!%&’!$(#% ! 解决方案 分三步 # ! 第一步 我们先研究二元一次不等式 表示的平面 # $(#%"&"" 区域 ! 方程 的解集表示直线 如图 $(#%’&"" *#$(#%+&""8"! 100 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 垂直于 轴的直线 同 !"!!"! " "#" " 直线 交于点 $""%#&#$"" ’#"$ " 当点 沿直线 向上移动 &%$ ’ "#" " " 到点 时 必有 则 (#"$&% $ &!&$ " ! ! " " %#& )$""!" %#&)$""%"& " ! " " 当点 沿直线 向下移动到点 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 ’ "#" " 时 必有 则 *#"$&% $ &"&$ "% 图 " # # " " 由此 !"!!" #&)$"""" %#&)$""%"! # " " 看出 直线 把 平 面 分 成 两 部 分 不 等 式 $ $""%#&)$""%" $ !"#$%&’( 的解集是以直线 为边界 不含边界 的上半平面 而不 "%#&!$"" $ # % $ )*+,-.%/01 等式 的解集是以直线 为边界 含边界 的下半平面 2!3456789! "%#&#$"" $ # % ! :;%<=>%?!@ 一般地 直线 把平面分成两部分 当 时 $ $"+"%,&%-#" $ ,!" $ ABCDEFGH#$ 不等式 的解集是以直线 为边界 含边界 此时 画 %&’()"IGH! +"%,&%-$" $ # $ $ JK?L7:K%0/!?)@A !( $)"!!## $$###)$*+##)$,$+##" #% &’( &’( 答 当第一化工厂每天处理工业废水 万立方米 第二化工厂每 B0+CD!EF@A $ $ ! B9GH+,!IJK 天处理工业废水 万立方米时 两个工厂处理工业废水的总费用最 LM<=>0/9:? $ ! 少 且为 元 )GH+,0./" @ ! $+## % ABNO9:P)JK 0<=>! $练$习$ 画出下列不等式表示的平面区域 $% % "$#!"-%#%$$$ "-#!"#*$&#%$$$ ".#!*-#’"% "!"#*!’#! 画出不等式组 表示的平面区域 -% $!!"#(#! % #!’. " .!*-#*-’#! !*-#"-(#! 已知 求 的最大值和最小值 .% $! ($!"# % - !( ! . ##(#! 咖啡馆配制两种饮料 甲种饮料每杯含奶粉 咖啡 糖 乙种饮料每 "% ! %/& "/& ./% 杯含奶粉 咖啡 糖 每天原料的使用限额为奶粉 咖啡 "/& !/& $#/0 .1##/& 糖 如果甲种饮料每杯能获利 元 乙种饮料每杯能获利 -###/& .###/0 #23 ! 元 每天在原料使用限额内饮料全部售出 每天应配制两种饮料各多少杯 $2- ! ! 能获利最大 ’ 106 书书书 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· !!! 习题 4 学 而!时!!习 之 试画出下列不等式的解集描述的平面图形 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 !! ! !!""""#$##!!!!!!!!! !""#%""#$# !#"#$"$#$$# ! !%"#%%"$%! 试画出下列不等式组的解集描述的平面图形 "! ! ’#%"%"$ ’$"%"%$$ !!"& ! !""& (!%#%## ("#$"$"%$# ’#%#"$#"$$ ’"%"$ "#%#"$&%$$ !#"&"$#"$$ ! !%"& #"$$ ("%#"$# (""$! ’"%"$ 当 满足 时 求 的最大值和最小值 #! #$" !&"$#"$$! $ &’"$"# ! 10.4 简单线性规划 ("%#"$ 温!故!而!!知!新 试用不等式组的解集描述下列平面图形 %! ! 以 为顶点的等腰梯形的内部及其边界 !!" (!!$$"$)!"$$"$*!$$""$+!$$!" # 以 为顶点的三角形的内部及其边界 !"" (!"$$"$)!%$$"$*!#$"" ! ’#%’"$’%$$ 当 满足 时 求 的最大值和最小值 ’! #$" !&#%""$$ ! $ &’#$" ! (#%# 某工厂在计划期内要安排生产甲 乙两种产品 每生产一件产品甲可获利 &! % $ " 元 每生产一件产品乙可获利 元 加工每件产品甲需要消耗 原料 占 $ # ! ( %()$ 用设备工时数为 加工每件产品乙需要消耗 原料 占用设备工时数为 !# ) %()$ 工厂计划内库存 原料 库存 原料 设备使用工时数为 问 "! ( !&()$ ) !"()$ *$ 如何安排生产计划可使该工厂获利最多 & 107 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 阅读与思考 !!! 一门应用数学!学!科!——!—!运筹学简介 本节讨论了简单线性规划问题 问题中共涉及两个变量 由此 ! ! 已经可以体会出线性规划理论的应用价值 一般线性规划的数学模 ! 型及其解法是由丹捷格 在 年为解决美国空 "!"#"$%&’()*# +,-. 军军事规划问题时提出的 此后 随着线性规划在理论上趋于成 ! ! 熟 特别是在电子计算机能处理成千上万个变量和决策条件的线性 ! 规划问题之后 线性规划的应用领域更为广泛和深入 从解决技术 ! ! 问题的最优化设计到工业 农业 商业 交通运输业 军事 经济 $ $ $ $ $ 计划和管理决策等领域都可以发挥作用 线性规划已经成为现代科 ! 学管理的重要手段之一 ! 由于现实问题的复杂性 变量之间关系的多样性 人们从军事 ! ! 科学 工农业生产 经济和社会问题等诸多领域不断提出新问题 $ $ ! 产生了新的数学模型 这些问题的研究和解决导致一门内容丰富的 ! 应用数学学科 运筹学的产生和发展 线性规划只是运筹学的一 %%% ! 个分支 运筹学是一门应用科学 它广泛应用现有的科学技术知识 ! ! 和数学方法 解决实际中提出的许多问题 为决策者选择最优决策 ! ! 提供定量依据 ! 在建立和解决实际问题中的各类数学模型 如能源模型 教育 " $ 模型 军事对策模型 宏观经济模型 的过程中 运筹学形成了许 $ $ # ! 多分支 运筹学的主要分支包括数学规划 线性规划 非线性规 ! " $ 划 整数规划 目标规划 动态规划 随机规划等 图论与网络 $ $ $ $ #! ! 排队论 随机服务系统理论 存贮论 对策论 决策论 维修更 " #! ! ! ! 新理论 搜索论 可靠性和质量管理等 ! ! ! 运筹学的早期研究可追溯到 世纪初 军事运筹学中的兰彻 /0 ! 108 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 斯特 战斗方程是在 年提出的 排队论的先驱 !!"#$%&’(&)" *+*, # 丹麦工程师爱尔朗 年在哥本哈根电话公司研究电 !-)."#/"*+*0 话通信系统时提出了排队论的一些著名公式 存贮论的最优批量公 # 式是在上世纪 年代初提出的 等等 运筹学的早期应用主要集 12 # ! 中在军事领域 最早的运筹学研究小组成立于 世纪 年代末 # 12 32 # 由一些英 美科学家组成 其目的是研究战争中的一些战术性问 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 $ # 题 例如 如何配置雷达才能更好地应付德国的空袭 遭受德国潜 ! # # 艇攻击时如何使船队损失最少 反潜深水炸弹爆炸深度多少最合理 # 等问题 为决策者选择最优决策提供定量依据 稍后 英 美军队 # ! # $ 中的一些运筹学研究组织开始着重研究战略性问题 例如未来武器 # 系统的设计和未来战争的战略 甚至分析苏联政治局计划的行动原 # 则和将来的行动预测 同时 运筹学在民用方面的应用也得到了蓬 ! # 勃的发展 在市场销售方面 应用于广告预算和媒介的选择 竞争 ! # # 性定价 新产品开发 销售计划的制定 在库存管理方面 应用于 # # % # 多种物资库存量的管理 确定某些设备的能力或容量 在空运方 # % 面 应用于飞行航班和飞行机组人员服务时间的安排 在计算机和 # % 10.4 简单线性规划 信息系统方面 应用于计算机的内存分配 研究不同排队规则对磁 # # 盘和磁鼓工作性能的影响 在城市管理方面 应用于各种紧急服务 % # 系统的设计和运用 等等 这些只是对运筹学应用的粗略描述 特 % ! ! 别在经济领域 新的数学模型的建立和研究使一些杰出的经济学家 # 获得了诺贝尔经济学奖 ! 上世纪 年代中期 钱学森 许国志等教授把运筹学从西方 42 # $ 引入我国 并结合我国的特点在国内推广应用 我国的运筹学工作 # ! 者为解决粮食部门的合理粮食调运问题提出了 图上作业法 给 & ’# 出邮递员合理投递路线的解法 国外称之为 中国邮路问题 ! & ’"!52 年代 以华罗庚为首的一批数学家积极推广优选法 把优选法应用 # # 于配方 配比的选择 生产工艺条件的选择 工艺参数的确定 工 $ # # # 程设计参数的选择 仪器仪表的调试等 为我国运筹学的研究和应 # # 用赶超国际先进水平奠定了基础 ! 109 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· !!! 小结与复习 一 指导思想 ! 学生将通过具体情境 感受到现实世界和日常生活中存在着大 ! 量的不等关系 求解一元二次不等式 并解决一些实际问题 能用 ! ! " 二元一次不等式组表示平面区域 并尝试解决一些简单的二元线性 ! 规划问题 认识基本不等式并进行简单应用 体会不等式 方程及 " ! # 函数之间的联系 ! 二 内容提要 ! 本章讨论不等式问题 内容主要涉及如何证明不等式 如何解 ! ! 不等式以及如何应用不等式求函数的最值和解决生产实际问题 ! 在证明不等式的部分 本章证明了不等式的 个基本性质和 ! ! " 个定理 它们分别是 ! $ 如果 且 那么 #! ""#! #""! "$#! 不等 如果 且 那么 "! "##! ##%! "#%! 式的 设 那么 $! "##! "&%##&%! 基本 设 若 则 若 则 %! "##! %#&! "%##%" %$&! "%$#%! 性质 如果 且 同号 那么 # # !! "##! "!# ! $ ! " # 对任意实数 必有 当且仅当 时等号 定理 "!#! ""&#"%""#% "$# # 成立 &! 如果 是正实数 那么 槡 当且仅当 时等号 "&# 定理 "!# ! % "#% "$# " " 成立 &! 不等式的性质和定理是证明不等式的基础 证明不等式有很多 !! ! 种方法 本章只介绍了具有一般意义的两种方法 也是证明不等式 ! ! 110 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 的基本方法 这两种证明不等式的基本方法可以总结为 ! " 方法 比较法 !" ! 方法 综合法 "" ! 在解不等式的部分 本章主要讨论了一元二次不等式的解法 求 ! ! 解一元二次不等式 主要是借助二次函数的图象 根据函数的零点 ! ! ! 直接得出一元二次不等式的解集 设 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 ! "##$$%#"&’#&(#%!#$! 判 别 式 " " !!# !$# !## 的图象 )$"##$ 的解集是 或 % ’& "##$!# %#$### #!#& #$#%* ! ! " "% 的解集是 "##$## %#$#####& & & ! " 的解集是 或 "##$’# %#$#(# #’#& ! ! ! " 的解集是 % ’& "##$(# %#$#(#(#& * & ! " "% 二元一次不等式组的解集可以通过平面图形来描述 设 10.4 简单线性规划 "" ! 记方程 表示的直线为 "##!)$$%#&’)&(#’’#$! %#&’)&($# 当 时 的解集可以用直线 上方 含边界 的平 +! ’!# !"##!)$’# + # $ 面区域来描述 的解集可以用直线 下方 含边界 的平 !"##!)$(# + # $ 面区域来描述 当 且 时 的解集可以用直 ! ’$#! %!# !"##!)$’# 线 右边 含边界 的平面区域来描述 的解集可以用直 + # $ !"##!)$(# 线 左边 含边界 的平面区域来描述 其他情况可以利用不等式的 + # $ ! 性质等价转化为上述情况处理 ! 在求函数最值的部分 本章讨论了两种函数最值的求法 ! " 一种是能用基本不等式求出最大值或最小值的函数 在用基本 ! 不等式求函数最值的时候 必须注意三个要点 这三个要点分别是 ! ! " 涉及的量必须为正实数 !! ’ 不等式一边应当为定值 "! ’ 等号成立时自变量的值必须在函数的定义域内 $! ! 111 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 一旦这三个要点不能同时被满足 说明该函数的最值不能用基 ! 本不等式来求解 ! 另一种是定义在一个多边形区域上的二元一次函数最值的求 法 设 是定义在一个多边形区域上的二元一次函数 ! ""#!$# ! 的最值可以用图解法来求解 ""#!$# ! 三 学习要求和需要注意的问题 ! 学习要求 !! ! 理解不等式的性质及其证明 "!# ! 掌握一元二次不等式的解法 ""# ! 掌握两个正数的算术平均值不小于几何平均值的定理 并 "## ! 会应用 ! 掌握用综合法和比较法证明简单的不等式 "$# ! 了解二元一次不等式表示平面区域 了解线性规划的意 "%# ! 义 并能简单应用 ! ! 需要注意的问题 "! ! 对于公式 和 %&’ 槡 应注意以下两点 "!# %"&’"!"%’ ! %’ $ " 一是公式成立的条件 前者只要求都是实数 而后者要求都是 ! ! 非负实数 ! 二是它们都带有等号 因此 对两个定理中 当且仅当 ! ! % %(’ 时取等号 这句话中的 当且仅当 的含义要搞清楚 & % & ! 表示的是直线 的某一侧 ""#)#&*$&+"& )#&*$&+(& 的平面区域 不包括边界 而 所表示的平面区域 " #! )#&*$&+!& 包括边界直线 由于对在直线 的 )#&*$&+(&! )#&*$&+(& 同一侧的所有点 实数 的符号相同 所以只需在 "#!$#! )#&*$&+ ! 此直线的某侧任取一点 把它的坐标代入 由 "#!$#! )#&*$&+! & & 其值的符号即可判断 表示直线的哪一侧 )#&*$&+"& ! 四 参考例题 ! 例 已知 都是正数 !# %!’!,!- ! 112 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· 求证 !"!"#$%#"!$#"%#!!!"$%& 分析 运用平均值不等式 结合不等式的基本性质 是证明本 " $ $ 题的关键 & 证明 都是正数 "’"!$"$$$% $ (""""!"#"$$%#"$!$#"$"%#"& 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 !"#$% 槡 ("""" ! !"%$%#"$ # !$#"% 槡 """"" ! !$%"%#"& # 由不等式性质 得 "!"#$%#"!$#"%# $ " !!"$%$ ! 即 """""""!"#$%#"!$#"%#!!!"$%& 例 工厂的设备使用一段时间后 需要更新 但若更新过 !" $ & 早 老设备的生产潜力未得到完全发挥就抛弃 易造成损失 若更 $ $ & 新过晚 老设备生产效率低下 维修费用昂贵 也会造成损失 现 $ $ $ & 有一台价值为 元的设备 维修 燃料及动力消耗费用每年以 $""" $ ’ 元增加 假定这台设备报废后余值为 要使工厂为这台设备 %#" & "$ 支付的年平均费用最少 这台设备应在哪一年更新 10.4 简单线性规划 $ ( 解 设这台设备使用 年后更新 这时共消耗的资金为 " )")$" # # $ %#")")#’# $"""&%#""’&#&%&)&)#*$"""& & # 设平均每年消耗资金为 则 +$ %#")")#’# $"""& # $""" +* * #’(")#’("& ) ) 槡 因为 $""" $""" #’(")#’("!# ,’(")#’(" ) ) 槡 *’("" ##’("%#!##)*!$ 当且仅当 即 时等号成立 又 $""" *’(")$ )%*)"* & )$" # $ ) 当 时 元 当 时 元 )** $+%#!##)$(" #& )*$ $+*#!!"" #& 所以使用 年时年平均费用最少 最少费用为 元 * $ #!##)$( & 答 这台设备更新的最佳年限是 年 ! * & 113 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 复 !习!题!十 学 而!时!!习 之 证明下列不等式 !! ! 若 则 "!# ""#""$ "##""##% 对任意 "$# $#!$$"$%$#$"$%!#$% 对任意 "## $#!$$$"%$&&% 若 则 $$&’$%& ! "%# $%&!$ &( ! $$%$$%! # 证明不等式 $! ! 若 则 "!# "$#$"$’$($"$ "’"#(% 若 则 "$# ""#""$’"(""$ "$’"#$(! 证明不等式 #! ! 若 是非负实数 则 "!# "$#$’ $ ""#$%’$#%#"’$%"$#%’""$%#$#&’"#’% 若 是非负实数 则 槡 槡 "$# "$# $ "%#%$&$""%##% 若 则 " # ! ! "## """$#""$ % & % ! #$ "$ " # 解不等式 %! ! "!#&#$$%)$&%$"%!!!!!!"$#%$$&$"$%$&’"% "##%$$$&$&$$!"% "%#&!$$$$&$&$$!! 求函数 的最小值 ! &! )"$#* &$""$$$%# ! %($ 求函数 " !#的最大值 ’! )"$#*"!*$$#$$"!($$#"$$$ ! $ )$$%+’#$ 满足线性约束条件 $%$+’#$的目标函数 的最大值是 +! ( ,*$%+ "!!# $&"$ *+&" 114 书书书１０ 不等式 第 章 ····················································· $ !!"" !#" % !&"% !’"$ 温!故!而!知!新 1100..11 不不等等式式的的基基本本性性质质 设 为直线 上的点 如果点 与点 之间的距离不超过 求 (! "!##$" %&%’ # " (!%#"" $# 的取值范围 # ! 已知关于 的不等式 的解集为! " "" 求 和 的值 )! ’ #’%)$’)%"* * # # # $ ! % $ 已知 试写出二个一元二次不等式 使它的解集分别为 "*! +#,# # !""!*-#+"$!,#)-"$! !%"!+#,"! (’)%%%"*# 在约束条件 ’)%&"# 下 求 的最大值 ""! !’ # .&/!’#%"&%*’ ! %%+# )’%" (’)$%&$# 在约束条件 下 求 的最小值 "%! !’’)%&%# # .&/!’#%"&’)%% ! 10.4 简单线性规划 )%&" (%’*%)%&*# 设 满足约束条件 (’*%*,%*#若目标函数 "$! ’#% ’ .&#$’)%!#"*#$"*" ’&*# )%&*! 的最大值为 则 的最小值为 (# #)$ !!!!! 某旅店有 张床位 若每张床位一晚上的租金为 元 则可全部租出 若 ",! %** ! +* # # 将出租收费标准每晚提高 元 为正整数 则租出的床位会相应减少 "*’ !’ "# 张 若要使该旅店某晚的收入超过 元 则每个床位的出租价格可定 "*’ ! "%-** # 在什么范围内 % 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产 车皮甲种肥料需要的主要原料 "+! & # " 是磷酸盐 硝酸盐 产生的利润为 元 生产 车皮乙种肥料需 ,.# "(.# "**** $ " 要的主要原料是磷酸盐 硝酸盐 产生的利润为 元 现有库存磷 ".# "+.# +*** ! 酸盐 硝酸盐 如何计划生产可使工厂获利最多 "*.# --.# % 证明不等式 "-! ’ 115 书书书１０ 第 章 不等式 ····················································· 若 且 则 !!" !!"#"!" !""# !"##!#"#!$#"$$ 若 是实数且 则 !#" !#" !""# !"$#!$"#!%#"%$ 把 和 中的不等式推广到一般情形 并证明你的结论 !$" !!" !#" # $ $$$$$ 上 下 而 求 索 汽车加油的学问 随着人们生活水平的不断提高 轿车已经进入普通老百姓的家庭 有了轿车 !&$ # $ 就需要购买汽油 如果汽油的价格经常发生波动 如何购买汽油最经济是值 # # 得研究的一个问题 $ 假设甲 乙 丙三位朋友总是同时到某一加油站购买汽油 甲每次花费 % % # #"" 元 乙每次购买 汽油 丙则是随意的 有时候花费 元 有时候购买 # $"’ # # #"" # 汽油 $"’ $ 如果甲 乙 丙三人购买了两次汽油 第一次油价为 元 升 第二次 !!" % % # ()$* & # 油价为 元 升 那么甲 乙 丙三人购买汽油的方式哪种最经济 ()+& & # % % ’ 你能提出更一般的数学问题并给出解答吗 !#" ’ 116 书书书附 录 ····················································· 附 录 ! 数学词汇中英文对照表 按词汇所在页码的先后排序 ! " 中文名 英 文 名 页 码 !!! !! ! ! ! 三角形的正弦定理 ! !"#$%&$’($)’*%("+#,-$! . 扩充的正弦定理 ! $/%$#0$0!"#$%&$’($) 1 三角形的余弦定理 ! 2’!"#$%&$’($)’*%("+#,-$! 34 仰角 ! +#,-$’*$-$5+%"’# 36 俯角 ! +#,-$’*0$7($!!"’# 36 斐波纳奇数列 ! 8"9’#+22"!$:;$#2$ <= 黄金数列 ! ,’-0$#!$:;$#2$ <= 数列 ! !$:;$#2$ <> 数列的项 ! %$()’*!$:;$#2$ <> 首项 ! -$+0"#,%$() <> 第 项 ! ! !?%&%$() <> 有穷数列 ! *"#"%$!$:;$#2$ <> 无穷数列 ! "#*"#"%$!$:;$#2$ <> 通项公式 ! ,$#$(+-%$()*’();-+ <6 递推公式 ! ($2;(!"5$*’();-+ <@ 初始条件 ! "#"%"+-2’#0"%"’# <@ 等差数列 ! +("%&)$%"27(’,($!!"’# >= 公差 ! 2’))’#0"**$($#2$ >= 等比数列 ! ,$’)$%("27(’,($!!"’# .3 公比 ! 2’))’#(+%"’ .3 117 书书书附 录 ····················································· 中文名 英 文 名 页 码 !!! !! ! ! ! 混沌 ! !"#$% &’ 一元二次不等式 ! ()#*+#,-!-./()#0-,1$2$./3#+-#40/ 56 基本不等式 ! 4#%-!-./()#0-,-/% 78 线性目标函数 ! 0-./#+$49/!,-3/2).!,-$. ’:: 线性约束条件 ! 0-./#+!$.%,+#-.,!$.*-,-$. ’:: 线性规划 ! 0-./#+;+$<+#==-.< ’:6 可行解 ! 2/#%-40/%$0),-$. ’:6 可行域 ! 2/#%-40/+/<-$. ’:6 最优解 ! $;,-=#0%$0),-$. ’:6 118 书书书