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专题02 数列中的递推
教学目标
1．理解数列的定义与项、首项概念，掌握数列的分类及常见表示方法。
2．理解通项公式与递推公式含义，能区分二者异同并求数列指定项。
3．掌握数列前n 项和定义，能运用an 与Sn 的关系式求数列通项。
4．认识数列的离散型函数本质，能根据定义判断数列的单调性类型。
教学重难点
重点：数列的基本概念、分类及表示方法，通项公式与递推公式的异同。
数列前n 项和的定义，an 与Sn 的关系式及应用，数列单调性判断。
难点：灵活运用an 与Sn 的关系式，分情况求解数列的通项公式。
理解数列的离散型函数本质，根据递推公式推导数列的项。
知识点01 数列的递推公式
如果一个数列的_______两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推
公式.
数列的递推公式与其通项公式的异同：
相同点
不同点
通项公式
均可确定一个数列,
求出数列中的
_______
给出n 的值,可求出数列中的_______
递推公式
由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n 项
【即学即练】
1．已知数列
满足
，则
（ ）
A．11
B．9
C．8
D．7
2．数列
满足
，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1
知识点02 数列的前n 项和
（1）数列
的前n 项和:把数列
从_______起到_______止的各项之和,称为数列
的前n 项和,记
作
,即
.
（2）数列的前n 项和公式:如果数列
的前n 项和
与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表
示,那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式.
【即学即练】
3．若数列
的前
项和
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．设数列
的前
项和为
．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
知识点03
与
的关系式：
①当
时，
若_______
，则
的情况可并入
时的通项
；
②当
时，
若_______
，则用_______的形式表示.
【即学即练】
5．已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
6．已知数列
的前
项和
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 利用递推关系求数列的项
【例1】已知数列
满足：
，
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】正项数列
中，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【变式1-1】已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】数列
满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【变式1-3】（多选）已知数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 求数列的递推关系式
【例3】数列
的第n 项
与第
项
的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4】一点从起点
出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走
步且不经过已走过的
路线和点共有
种走法，如
，数列
相邻三项的递推关系式为 ．
【变式2-1】数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是
．又
，则
．
【变式2-2】分别写出下列数列的一个递推公式，并求各数列的第
项．
(1)
；
(2)
．
【变式2-3】一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下
的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去
，
则图③中共挖掉了 个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个递推公式
.
题型03 数列周期性的应用
【例5】已知数列
满足
，且
，则
【例6】在数列
中，如果
，都有
（
为常数），那么这个数列叫做等积数列，
叫做这个数列的公积.已知
是等积数列，
，
，公积为4，则
.
【变式3-1】在数列
中，
，
，则
.
【变式3-2】数列
满足
，
，则
.
【变式3-3】已知数列
中，
，
，则数列
前2025 项的和为（ ）
A．0
B．1012
C．2025
D．4048
题型04 累加法求数列的通项公式
【例7】已知数列
满足
，
，则
.
【例8】定义新运算：
，已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．239
B．225
C．211
D．261
【变式4-1】在数列
中，
，则
．
【变式4-2】在数列
中，
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】已知数列
满足
，
，求
．
累加法：适用于
，求
具体过程：
两边分别相加得
题型05 累乘法求数列的通项公式
【例9】已知数列
中，
，则
.
【例10】已知数列
满足
，
，求
.
【变式5-1】已知数列
中，
，则数列
的通项公式
.
【变式5-2】已知
，
，求数列
的通项．
【变式5-3】在数列
中，
，则
.
累乘法：适用于
，求
具体过程：
，两边分别相乘得
题型06 已知Sn 求通项公式an
【例11】已知数列
的前n 项和
，前n 项积记为
，当
取最大值时，n 的值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【例12】数列
的前
项和记为
，若
，则
.
【变式6-1】已知数列
的前n 项和为
，则数列
的前10 项和为 ．
【变式6-2】已知数列
的前
项和为
，且
，则
．
【变式6-3】已知数列
的前
项和
，则当
时，
．
题型07 递推式含n 项求通项公式an
【例13】若数列
满足
，则数列
的通项公式
.
【例14】已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
．
【变式7-1】在数列
中，
，则
的通项公式为 .
【变式7-2】已知数列
满足
，则
的通项公式为 .
【变式7-3】已知正项数列
，满足
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．2024
D．
一、单选题
1．已知数列
满足：
，则数列
的前4 项和
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
2．若数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．在数列
中，
，且
，则
（ ）
A．1026
B．1029
C．1032
D．1035
5．若数列
满足
，则
（ ）
A．32
B．10
C．
D．
二、多选题
6．已知数列
的前
项和为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知数列
的前
项和公式为
，则下列说法正确的是（ ）
A．数列
的首项为
B．数列
的通项公式为
C．数列
为递减数列
D．数列
为递增数列
三、填空题
8．已知数列
的前n 项和
，若
，则
的最小值为 ．
9．已知数列
满足
，记数列
的前n 项和为
，则
.
10．在数列
中，
，当
时，
，则
.
11．已知数列
满足
，
，则数列
的通项公式为
.
四、解答题
12．分别写出下列数列
的一个递推关系，并求出各个数列的第7 项：
(1)4，5，7，10，14，…；
(2)7，9，11，13，15，…；
(3)2，6，18，54，162，…
13．（1）若数列
满足
，
，求
；
（2）设数列{an}满足
，写出这个数列的前5 项.
14．已知数列
的前
项和为
．
(1)求
的最大值；
(2)求数列
的通项公式．
