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限时跟踪检测(六十五) 随机事件的概率
一、单项选择题
1．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；
②至少有一个奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
其中是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
2．(2024·山东栖霞月考)某单位电话总机室内有2部外线电话：Tel 和Tel ，在同一时
1 2
间内，Tel 打入电话的概率是0.35，Tel 打入电话的概率是0.45，两部同时打入电话的概率
1 2
是0.15，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.8 B．0.65 C．0.5 D．0.85
3．口袋内有一些大小和形状都相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球．摸出的
球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球
或白球的概率为( )
A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6
4．(2024·北大附中检测)袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有
放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A，用随机
模拟的方法估计事件A发生的概率．利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数，分别代表
“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机
模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件A发生的概率为( )
A． B． C． D．
5．投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现 1点，2点，3点，4点，5点，6点的
概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝(
)
A． B． C． D．
6．(2024·山西太原模拟)已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则
P()＝( )
A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8
7．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N中的一
个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏至少输入两次密码才能够成功开机的概
率是 ('')
A． B． C． D．
8．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被 5整除的数”的概率是( )
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名
著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件
F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件 A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝
“向上的点数为质数”，则B A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有 2个样
⊆
本点
10．(2024·海南琼山海南中学检测)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品
其中一等品有20件，二等品有70件，其余为不合格品．现在这个工厂随机抽查一件产品，
设事件A为“是一等品”，B为“是二等品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的
是( )
A．P(B)＝
B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0
D．P(A∪B)＝P(C)
11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，
其概率分布如下表所示：
所需时间(分钟) 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
三、填空题与解答题
12．某乒乓球制造商生产的乒乓球分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若
生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品
的概率为________．
13．(2024·广东惠州模拟)随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解
消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消
费者限选一种情况回答)，统计结果如表：
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”
的概率为________．
14．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球．从中任意
取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少；
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率；
(3)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率．
高分推荐题
15．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．
从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P ，恰好有三个红色和一个白色的
1
概率为P ，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P ，四种颜色各一个的概率为
2 3
P.若恰好有P＝P＝P＝P，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为( )
4 1 2 3 4
A．17 B．19
C．21 D．以上都不正确
解析版
一、单项选择题
1．从1,2，…，9中任取两数，给出下列事件：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；
②至少有一个奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
其中是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：根据题意，从1,2，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个
偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的 4个事件可得：①恰有一个偶
数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况，不是对立事件；②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个数都是奇数”不是
对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和
“两个数都是偶数”是对立事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一
个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情
况，不是对立事件．
答案：C
2．(2024·山东栖霞月考)某单位电话总机室内有2部外线电话：Tel 和Tel ，在同一时
1 2
间内，Tel 打入电话的概率是0.35，Tel 打入电话的概率是0.45，两部同时打入电话的概率
1 2
是0.15，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.8 B．0.65 C．0.5 D．0.85
解析：所求的概率为0.35＋0.45－0.15＝0.65，故选B．
答案：B
3．口袋内有一些大小和形状都相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球．摸出的
球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球
或白球的概率为( )
A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6
解析：设摸出红球的概率为P(A)，摸出黄球的概率是P(B)，摸出白球的概率为P(C)，
所以P(A)＋P(B)＝0.4，P(A)＋P(C)＝0.9，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝1－
P(A)－P(B)＝0.6，P(B)＝1－P(A)－P(C)＝0.1，所以P(B)＋P(C)＝0.7.
答案：A
4．(2024·北大附中检测)袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有
放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A，用随机
模拟的方法估计事件A发生的概率．利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数，分别代表
“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机
模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件A发生的概率为( )
A． B． C． D．
解析：共有18组随机数，其中有5组随机数里0,1都有，所以估计事件A发生的概率
为.
答案：C
5．投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现 1点，2点，3点，4点，5点，6点的
概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝(
)
A． B． C． D．
解析：因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋
－＝.
答案：B6．(2024·山西太原模拟)已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，则
P()＝( )
A．0.5 B．0.1 C．0.7 D．0.8
解析：∵随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.7，P(B)＝0.2，∴P(A)＝P(A∪B)－P(B)
＝0.7－0.2＝0.5，∴P()＝1－P(A)＝1－0.5＝0.5.故选A．
答案：A
7．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N中的一
个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏至少输入两次密码才能够成功开机的概
率是 ('')
A． B． C． D．
解析：小敏输入一次密码能够成功开机的概率是＝，由对立事件的概率公式得P＝1－
＝.
答案：B
8．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被 5
整除的数”的概率是( )
A． B． C． D．
解析：方法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这
两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的
数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为＝.故选B．
方法二：设事件A为“摸出的数为偶数”，事件 B为“摸出的数能被5整除”，则
P(A)＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.故选B．
答案：B
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名
著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件
F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件 A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝
“向上的点数为质数”，则B A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有 2个样
⊆
本点
解析：对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A错误；对于B，事
件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有事件“丙取
到《红楼梦》”“丁取到《红楼梦》”，所以 E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不
对立事件，故B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，
故C正确；对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．
答案：BCD
10．(2024·海南琼山海南中学检测)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品其中一等品有20件，二等品有70件，其余为不合格品．现在这个工厂随机抽查一件产品，
设事件A为“是一等品”，B为“是二等品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的
是( )
A．P(B)＝
B．P(A∪B)＝
C．P(A∩B)＝0
D．P(A∪B)＝P(C)
解析：由题意知A，B，C两两互斥，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则P(A∪B)＝，故
A，B，C正确，D错误．故选ABC．
答案：ABC
11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，
其概率分布如下表所示：
所需时间(分钟) 30 40 50 60
线路一 0.5 0.2 0.2 0.1
线路二 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
解析：“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A
错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)，线路二所需
的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)，所以线路一比线路二更节省时
间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概
率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的
时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，
D正确．故选BD．
答案：BD
三、填空题与解答题
12．某乒乓球制造商生产的乒乓球分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若
生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品
的概率为________．
解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C，则A，B，C
彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，则P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1
－0.03－0.01＝0.96.
答案：0.96
13．(2024·广东惠州模拟)随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解
消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”
的概率为________．
解析：由题意知，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满
意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比
较满意”或“满意”的概率为＝.
答案：
14．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球．从中任意
取一球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求：
(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少；
(2)从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率；
(3)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率．
解：(1)从中任取一球，分别记取到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，由于A，B，C
为互斥事件，根据已知，得
解得
所以任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.所以黑球的个数为9×＝3，
黄球的个数为9×＝2，绿球的个数为9×＝4，
所以袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是3,2,4.
(2)由(1)知黑球、黄球个数分别为3,2，
所以从所有黑球、黄球中任取两个球，黑球与黄球各得一个的概率是＝.
(3)从9个球中取出2个球的样本空间中共有C＝36(个)样本点，
其中两个是黑球的样本点有C＝3(个)，两个是黄球的样本点有C＝1(个)，两个是绿球
的样本点有C＝6(个)，
于是，两个球同色的概率为＝，
则两个球颜色不相同的概率为1－＝.
高分推荐题
15．一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个．
从中随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为P ，恰好有三个红色和一个白色的
1
概率为P ，恰好有两个红色、一个白色和一个蓝色的概率为P ，四种颜色各一个的概率为
2 3
P.若恰好有P＝P＝P＝P，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值为( )
4 1 2 3 4
A．17 B．19
C．21 D．以上都不正确
解析：设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a，b，c，d.
由题意得C＝CC＝CCC＝CCCC，
则有＝·b
＝·bc＝abcd，
即a＝4b＋3＝3c＋2＝2d＋1.
经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时a＝11，b＝2，c＝3，d＝5.
答案：C
