专题01 集合与常用逻辑用语
考点01 集合中元素、子集个数问题
考点02 由集合间包含的关系求参数的范围
考点03 充分条件与必要条件的判断及参数范围问题
考点04 量词命题得否定，及参数范围问题
考点05 常用逻辑用语与集合综合
考点01 集合中元素、子集个数问题
1.（2024 高一上·全国·专题练习）若集合A ={x|m x
2+2 x +2=0}中有两个元素，则实数m 的取值范围为
（ ）
A．{m|m≠0}
B．¿
C．¿
D．¿
【分析】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得.
【解析】依题意，方程m x
2+2 x +2=0有两个不等的实根，则m≠0且Δ=2
2−4 m×2>0，解得m< 1
2且
m≠0，
所以实数m 的取值范围为m< 1
2且m≠0.
故选：C.
2.（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合P ={n|n=2k −1,k ∈N ∗,k ≤10}，Q = {2,3,5}，则集合
T ={xy|x∈P , y ∈Q}中元素的个数为（ ）
A．30
B．28
C．26
D．24
【分析】根据题意得到P = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，再结合T ={xy|x∈P , y ∈Q}求解即可.
【解析】P ={n|n=2k −1,k ∈N ∗,k ≤10}= {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，Q = {2,3,5}，
因为T ={xy|x∈P , y ∈Q}，
当x∈P , y =2时，xy为偶数，共有10个元素.
当x∈P , y =3时，xy为奇数，
此时xy =3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10个元素.
当x∈P , y =5时，xy为奇数，
此时xy =5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.
综上T ={xy|x∈P , y ∈Q}中元素的个数为10+10+8=28个.
故选：B.
3（2023·四川南充·模拟预测）定义集合A ∗B = {z∣z = xy , x∈A , y ∈B}，设集合A = {−1,0,1}，
B = {−1,1,3}，则A ∗B中元素的个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】根据集合的新定义求得A ∗B，从而确定正确答案.
【解析】因为A = {−1,0,1}，B = {−1,1,3}，
所以A ∗B = {−3,−1,0,1,3}，
故A ∗B中元素的个数为5.
故选：B.
4.（2023·河北·模拟预测）若集合U 有71 个元素，S ,T ⊆U且各有14，28 个元素，则∁S∪T (S∩T )的元
素个数最少是（ ）
A．14
B．30
C．32
D．42
【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【解析】设S∩T = M , M中有x个元素，则0≤x ≤14 , x∈N,
所以S∪T中的元素个数为14+28−x = 42−x，因此∁S∪T (S∩T )中的元素个数为S∪T中的元素减去
S∩T中的元素个数，即为42−x−x = 42−2 x，
由于0≤x ≤14 , x∈N，所以42−2 x∈[14,42]，故当x =14时，有最小值14
故选：A.
5.（2024·宁夏·一模）已知集合A = {−1,0,1}，B =¿，则集合B 的真子集个数是（ ）
A．4
B．7
C．8
D．15
【分析】先求出集合B，再求真子集个数即可.
【解析】由题意得B =¿，
故集合B 的真子集个数为2
3−1=7.
故选：B.
6.（2024·全国·模拟预测）已知集合{1,0}⊆B{−1,0,1,2}，则满足条件的集合B的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据包含关系确定B中的元素后可得正确的选项．
【解析】由{1,0}⊆B可得1∈B且0∈B，根据B为{−1,0,1,2}的真子集，
可得B = {1,0}或B = {1,0,−1}或B = {1,0,2}，故满足条件的集合B的个数为3.
故选：A.
7.（2024·全国·模拟预测）已知集合A = {−1,0,1}，B =¿，则集合B的真子集个数为（ ）
A．8
B．16
C．31
D．63
【分析】根据题意，利用列举法求化简集合B，从而求得集合B的真子集个数.
【解析】依题意，得z =−1−1+1=−1；z =−1+0+1=0；z =−1+1+1=1；
z =0−1+1=0；z =0+0+1=1；z =0+1+1=2；
z =1−1+1=1；z =1+0+1=2；z =1+1+1=3，故B = {−1,0,1,2,3}，
其真子集的个数为：2
5−1=31．
故选：C.
8.（2024·全国·模拟预测）已知集合A ={(x , y)|x , y ∈Z , 且xy = 4}，B ={(x , y)|x ≤y}，则A ∩B的子集
的个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
【分析】根据集合的描述法确定集合A中的元素，根据交集的概念可得A ∩B，从而根据其元素个数得子
集个数.
【解析】因为A ={(x , y)|x , y ∈Z, 且xy = 4} ={(1,4),(2,2),(4,1),(−1,−4),(−2,−2),(−4 ,−1)}，
B ={(x , y)|x ≤y}，
所以A ∩B ={(1,4),(2,2),(−2,−2),(−4 ,−1)}，所以A ∩B的子集个数为2
4=16．
故选：D．
考点02 由集合间包含的关系求参数的范围
9.已知集合
有三个元素
.若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．0 或1
【答案】C
【解析】因为
，所以
或
.
当
即
时，
，满足题意；
当
即
时，
若
，则
，满足题意；若
，则
，不满足题意；
综上，实数
的值为
或1.故选：C
10.（高一上·四川德阳·期末）若
，则
．
【答案】2
【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.
【解析】因为
，
所以
或
，
若
，
，不满足互异性；
若
或2，又
，所以
11.已知集合
，且
，则
取值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合
，且
，
所以
或
.
当
时，解得：
或
.
而
，不符合元素的互异性，故
或
.故选：B
12..已知集合
，且
，则
（ ）
A．
B．
或
C．3
D．
【答案】D
【解析】由集合
，得
，解得
且
，
显然
，由
，得
，而
，解得
，
当
时，
，符合题意，
所以
.
13.若集合
中有5 个元素，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若集合
中有5 个元素，则这五个元素只能是：
，
这表明
，即实数
的取值范围为
.
故选：D.
14.已知集合
．
（1）若A 中没有元素，求
的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求
的值，并求集合A；
（3）若A 中至少有一个元素，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）当
时，集合
，当
时，集合
；（3）
【解析】（1）
中没有元素，
且
，
，解得
，
所以
的取值范围为：
；
（2）①当
时，集合
，
②当
时，
，
，解得
，此时集合
，
综上所述，当
时，集合
，当
时，集合
；
（3）
中至少有一个元素，则当
中只有一个元素时，
或
；
当
中有2 个元素时，则
且
，即
，解得
且
；
综上可得，
时
中至少有一个元素，即
.
15.（高一·浙江·期末）已知集合
，集合A 中至少有3 个元素，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
且集合A 中至少有3 个元素，
.故选：C
16.若集合
有且仅有2 个子集，则满足条件的实数m 组成的集合是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【解析】由题设集合有2 个子集，则集合中仅含一个元素，
所以
有且仅有一个解，
当
，则
，满足要求；
当
，则
，满足要求；
综上，满足条件的实数m 组成的集合是
.
17.设集合
．
(1)若
中只有一个元素，求实数的值；
(2)若
中至多只有一个元素，求实数的取值范围．
【答案】(1) 或
(2)
或
．
【解析】（1）集合
表示关于的方程
的解集，
当
时，由
，解得
，则
，符合题意；
当
时，因为
中只有一个元素，则
，解得
，此时
，符合题意
综上可得
或
；
（2）因为
中至多只有一个元素，由（1）可知
时符合题意；
当
，则
，解得
；
综上可得，实数的取值范围为
或
.
18.已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．1 B．0 或1 或3 C．0 或3 D．3
【答案】C
【解析】因为
，所以
或
.
若
，则
，满足
；
若
，则
或
，
当
时，
，满足
；
当
时，
，集合
不满足元素的互异性，不符合题意；
综上所述：
或
，故选：C.
19.（2025 高一·全国·专题练习）若集合
，
，且
，则实数
的值可以是（ ）．
A．2
B．2，
C．2，
，0
D．2，
，0，1
【答案】C
【分析】因为
，所以
．逐一令
解方程，注意检验元素的互异性即可.
【详解】因为
，所以
．
当
时，集合
不满足集合元素的互异性；
当
时，
或
（舍去），即
，
此时
，
，满足
；
当
时，
或
，
当
时，
，
，满足
，
当
时，
，
，满足
．
所以
或
或
．
20.已知
，
，且
，则a 的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题意，集合
，
当
时，即
，解得
，此时满足
，
当
时，要使得
，则
或
，
当
时，可得
，即
，此时
，满足
；
当
时，可得
，即
，此时
，不满足
，
综上可知，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
21.设集合
，若
是
的真子集，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为集合
，
，
当
时，
，
是
的真子集，
当
时，
，因为
是
的真子集，所以
或
，解得
或
，
故选：B
22.已知集合
，且满足
，求实数
可能取的一切值．
【解析】
，
可能为
，
，
.
当
时，
无解，故
，满足
，
当
时，则
，解得
，
当
时，则
，解得
.
综上，实数
的取值为
.
23.已知
，
，若
，求m 的值．
【解析】
，若
则
，满足
，
若
则
，则
或
，
解得
或
，
所以
或
或
.
24.多选）已知集合
，且
，则实数
可能的取值是
（ ）
A．
B．0
C．-1
D．
【答案】ABC
【解析】
，且
，则：
①当
时，
或
，解得
或
，A 适合题意；
②若
，则
，解得
，
③若
，则
，此时无解，
④若
，则
，此时无解，不合题意；
综上：
的值为0 和
.
25.已知集合
，若
，
为常数，求实数m 的取值范围．
【解析】①若
，满足
，则
，解得
．
②若
，满足
，则
解得
．
由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为
．
26.已知集合A={x|1≤x<7}，B={x|a<x≤2a+3}，若B⊆A ，求满足条件的a 的取值范围．
【答案】
【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.
【详解】当
时，满足
，此时，有
，解得：
；
当
时，要使
，只需
，解得：
.
综上，实数
的取值范围为
.
27.已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合
，
，又
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.故选：B
28.若
，
，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_______.
【答案】
【分析】先求出集合
中不等式的解集，再由
列不等式组求解即可.
【详解】解：由已知
，
，
当
时，
，解得
当
时，
，解得
，
综合得
.
故答案为：
29.集合
，
，若
A ⊆B
，则实数a 的取值范围是_______.
【答案】
【分析】先化简集合
，再根据集合间的基本关系，与集合
进行集合包含关系运算即可，注意讨论子集
中的空集的情况.
【详解】
，若
，则
是
的子集，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
综上，实数
的取值范围是
．
30.已知集合
，
．
(1)若
，求m 的取值范围．
(2)若
，求m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若
，如图所示，
则
，解得
，
所以m 的取值范围为
；
（2）若
，有
和
两种情况，
当
时，
，解得
，
当
时，如图所示，
则
，解得
，
综上，m 的取值范围为
．
考点03 充分条件与必要条件的判断及参数范围问题
31.（2024·天津·二模）已知a,b∈R，则“a=b=0”是“|a+b|=0”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【解析】若a=b=0，则|a+b|=0，即充分性成立；
若|a+b|=0，例如a=1,b=−1，满足条件，但a=b=0不成立，即必要性不成立；
综上所述：“a=b=0”是“|a+b|=0”的充分不必要条件.
故选：A.
32.（2024·四川成都·模拟预测）命题“x + y ≤6”是“x ≤2，或y ≤4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】通过命题相互是否推出判断充分不必要条件.
【解析】命题“x + y ≤6”是“x ≤2，或y ≤4”的充分不必要条件.
即：“x + y ≤6 ⇒ x ≤2，或y ≤4”，且“x ≤2，或y ≤4 ⇒ x + y ≤6”.
① “x + y ≤6 ⇒ x ≤2，或y ≤4”.
证明：用反证法.假设“x ≤2，或y ≤4”不成立，
则x>2，且y >4.
所以有x + y >6，这与已知x + y ≤6矛盾.
故假设错误，即x ≤2，或y ≤4成立.
②“x ≤2，或y ≤4 ⇒ x + y ≤6”.
因为当x =2, y =100时，满足条件x ≤2，或y ≤4，
此时x + y =102，不满足x + y ≤6.
故“x ≤2，或y ≤4”⇒“x + y ≤6”.
故选：A.
33.（2023·上海普陀·二模）设a,b为实数，则“a>b>0”的一个充分非必要条件是（ ）
A．❑√a−1>❑√b−1
B．a
2>b
2
C．1
b > 1
a
D．a−b>b−a
【分析】由充分非必要条件定义，根据不等式的性质判断各项与a>b>0推出关系即可.
【解析】由❑√a−1>❑√b−1，则¿，可得a>b≥1，可推出a>b>0，反向推不出，满足；
由a
2>b
2，则|a|>|b|，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
由1
b > 1
a，则a>b>0或b>0>a或0>a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
由a−b>b−a，则a>b，推不出a>b>0，反向可推出，不满足；
故选：A.
34.（2023·江苏南京·模拟预测）设A，B，C，D 是四个命题，若A 是B 的必要不充分条件，A 是C 的充分
不必要条件，D 是B 的充分必要条件，则D 是C 的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断即可.
【解析】因为A是B的必要不充分条件，所以B⇒A，A推不出B，
因为A是C的充分不必要条件，所以A ⇒C，C推不出A，
因为D是B的充要条件，所以D⇒B，B⇒D，
所以由D⇒B，B⇒A，A ⇒C可得D⇒C，
由C推不出A，A推不出B，B⇒D可得C 推不出D.
故D 是C 的充分不必要条件.
故选：B.
35.（23-24 高三上·四川·期中）已知p: x−a>0,q: x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围
为（ ）
A．{a∣a<1}
B．{a∣a≤1}
C．{a∣a>1}
D．{a∣a≥1}
【分析】先化简条件，利用充分不必要条件列出不等关系，求解即可.
【解析】p: x>a，因为p是q的充分不必要条件，所以a>1.
故选：C.
36.（2023·云南昆明·模拟预测）已知集合A =¿，B =¿，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的
所有可能取值构成的集合为（ ）
A．{−1,0,1}
B．{−1,1}
C．{1}
D．{−1}
【分析】由题意，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的a的值即可．
【解析】由题，A = {−2,2}，BA，
当B =∅时，有a=0，符合题意；
当B≠∅时，有a≠0，此时B ={
2
a}，所以2
a =2或2
a =−2，所以a=±1.
综上，实数a的所有可能的取值组成的集合为{−1,0,1}.
故选：A.
37.（23-24 高一上·贵州黔西·期末）关于x的方程x
2+ax +1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（ ）
A．a>2或a<−2
B．a≥2或a≤−2
C．a<1
D．a>2
【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.
【解析】由方程关于x的方程x
2+ax +1=0有两个不相等的实数根，则满足a
2−4>0，
解得a>2或a<−2，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是a>2或a<−2.
故选：A.
38.（22-23 高一下·浙江·期末）已知条件p:| x +1|>2，条件q: x>a，且¬ p是¬q的充分不必要条件，则
a的取值范围是（ ）
A．a≤1
B．a≥1
C．a≥−1
D．a≤−3
【分析】解不等式得到p: x<−3或x>1，根据题意得到q是p的充分不必要条件，从而得到两不等式的包
含关系，求出答案.
【解析】由条件p:|x +1|>2，解得x<−3或x>1；
因为¬ p是¬q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，
故A ={x|x>a}是B =¿或x>1}的真子集，
则a的取值范围是a≥1，
故选：B．
考点04 量词命题得否定，及参数范围问题
39.已知集合
，集合
，若命题“
”是命题“
”的充要条件，则
实数a 的值是 ．
【答案】
【解析】由
，可得
，解得
，
所以
，
又命题“
”是命题“
”的充要条件且
，则
，所以
.
40.（2024·高一·广东佛山·期中）若命题
：
为命题：
，
的充要条件，则
的值是
．
【答案】
【解析】
命题
是命题的充要条件，
，解得：
.
故答案为：.
41.若“
”是“
”的充要条件，则实数m 的取值是 ．
【答案】3
【解析】由
得
，故
，
因为“
”是“
”的充要条件，
所以
，解得
，所以实数m 的取值是3.
42.已知集合
，
.若
是
的充分条件，求实数
的取值
范围.
【答案】
【分析】根据
是
的充分条件，则
，建立关系式，解之即可．
【详解】解：若
是
的充分条件，则
，
①当时
，即
，即
，
②当
时，即
，
若
，则
，
综上，若
是
的充分条件，则实数的取值范围为
.
44.集合
，
，若
的充分条件是
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，因为“
”的充分条件是“
”，
所以
，即
，解得
，即实数a 的取值范围为
.故选：B
45.集合
，集合
，其中
．若“
”是“
”的充分条
件，求的取值范围．
【答案】
【分析】因为“
”是“
”的充分条件，故
，
故
，解得
故“
”是“
”的充分条件，a 的取值范围为
考点05 常用逻辑用语与集合综合
46.（23-24 高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合A ={x|−3<2 x +1<7}，B =¿或x>2}，
C ={x|3a−2< x<a+1}．
(1)求A ∩(∁R B)；
(2)若“p: x∈∁R( A ∪B)”是“q: x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先求出集合A，再求出∁R B，最后由交集的运算求出A ∩(∁R B)；
（2）先求出A ∪B，再求出∁R( A ∪B)，再由充分不必要条件构造关于a的方程组，解出即可.
【解析】（1）因为A ={x|−3<2 x +1<7}={x|−2< x<3}，又∁R B = {x|−4≤x ≤2}，
所以A ∩(∁R B)= {x|−2< x ≤2}.
（2）A ∪B =¿或x>−2}，所以∁R( A ∪B)= {x|−4≤x ≤−2}，
因为“p: x∈∁R( A ∪B)”是“q: x∈C”的充分不必要条件，
则∁R( A ∪B)⊆C，又C ={x|3a−2< x<a+1}，
所以¿.
47.（22-23 高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合A = {x∣2≤x ≤7}，B = {x∣−3m+ 4≤x ≤2m−1}，且
B≠∅．
(1)若p:∀x∈A , x∈B是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若q:∃x∈B , x∈A是真命题，求实数m的取值范围．
【分析】（1）依题意可得A ⊆B，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由B≠∅求出m的取值范围，依题意可得A ∩B≠∅，求出A ∩B =∅时参数的取范围，即可得解.
【解析】（1）由于p:∀x∈A , x∈B是真命题，所以A ⊆B．
而B≠∅，所以¿，解得m≥4，故m的取值范围为{m|m≥4}．
（2）因为B≠∅，所以−3m+ 4≤2m−1，解得m≥1．
由q为真命题，得A ∩B≠∅，
当A ∩B =∅时，−3m+ 4>7或2m−1<2，解得m< 3
2．
因为m≥1，所以当A ∩B =∅时，1≤m< 3
2；
所以当A ∩B≠∅时，m≥3
2．故m的取值范围为{m|m≥3
2}．
48.（23-24 高一上·吉林·阶段练习）已知集合A =¿ B =¿.
(1)若A ⊆B，求实数m的取值范围；
(2)命题p：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.
【分析】（1）由A ⊆B，根据A =∅，A ≠∅分类求参数即可；
（2）命题p是真命题即A ∩B≠∅，先求A ∩B =∅时，m的取值范围−3≤m<−2或m>7，
进而可得A ∩B≠∅时m的取值范围.
【解析】（1）若A =∅，满足A ⊆B，此时m−2>2m+1，即m<−3，
当A ≠∅时，要使A ⊆B，则¿，即¿，即−1≤m≤2，
综上实数m的取值范围为(−∞,−3)∪[−1,2].
（2）命题p：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，等价于A ∩B≠∅，
若A ∩B =∅时，
当A =∅，满足A ∩B =∅，此时m−2>2m+1，即m<−3，
当A ≠∅时，m≥−3，
若A ∩B =∅，则满足¿或¿，
即−3≤m<−2或m>7，
综上若A ∩B =∅，得m>7或m<−2，
则当A ∩B≠∅时，即实数m的取值范围是[−2,7].
49.（23-24 高一上·云南德宏·期末）设集合A ={x|m−3< x<m+3,m∈R}，集合B ={ x| x<2或x>6}．
(1)当m=2时，求A ∩B，A ∪B；
(2)设命题p: x∈A，命题q: x∈B，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案.
（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得m的取值范围.
【解析】（1）当m=2时，A ={x|−1< x<5}；
所以A ∩B ={x|−1< x<2}，A ∪B ={x| x<5或x>6}．
（2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集；
∴m+3≤2或m−3≥6，解得：m≤−1或m≥9，
所以，实数m的取值范围是（−∞,−1]∪[9,+ ∞)．
