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高一上册数学期末模拟卷Ⅱ
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用并集定义直接求解.
【详解】
集合 ，
.
故选：A.
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦的二倍角公式得 ，再将 代入化简
即可
【详解】
因为 ，
所以，
故选：D
3．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的单调性和奇偶性性质逐项分析，即可选出答案.
【详解】
解：由题意得：
对于选项A：函数 是偶函数，故不符合题意；
对于选项B：函数 是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；
对于选项C：函数 是非奇非偶函数，故不符合题意；
对于选项D：根据幂函数的性质可知函数 是奇函数，但不是单调递增函数，故
不符合题意；
故选：B
4．已知 的解集为 （ ），则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得 为方程 的根，代入计算可得；
【详解】
解：因为 的解集为 （ ），
所以 为 的根，所以 .
故选：B
5．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距 （ ）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根
据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距 正切值的乘积，即 .对
同一“表高”两次测量，第一次和第二次的天顶距分别为 和 ，若第一次“晷影
长”是“表高”的3倍，且 ，则第二次“晷影长”是“表高”的
（ ）倍
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得 ， ，再根据 结合两角差的正
切公式即可得解.
【详解】
由题意可得 ， ，
所以 ，
即第二次的“晷影长”是“表高”的 倍.
故选：B
6．命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式恒成立求出命题为真命题时 的范围，再选择其真子集即可求解.
【详解】
若“ 为真命题，得 对于 恒成立，
只需 ，所以 是命题“ 为真命题的一个充分不必要条件，
故选：A.
7．已知函数 ，若对任意的 ，且
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
不妨设 ，令 ，由题分析可得函数 在 上
单调递减，讨论 和 时，要使 在 上单调递减时需要满足的条件，
即可求出答案.
【详解】
不妨设 ，则 ，根据题意，可得 恒成立，即
恒成立.令 ，
则 恒成立，所以函数 在 上单调递减.
当 时， 在 上单调递减，符合题意；
当 时，要使 在 上单调递减，
则 解得 .
综上所述，实数a的取值范围是 .
故选：D.
8．已知函数 ，若方程的所有实根之和为4，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．m≥1 C． D．m≤1
【答案】C
【解析】
【分析】
由题对 取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】
令 ，
当 时，方程为 ，即 ，
作出函数 及 的图象，
由图象可知方程的根为 或 ，即 或 ，
作出函数 的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错
误；
当 时，方程为 ，即 ，由图象可知方程的根 ，即 ，
结合函数 的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，
故A错误.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】AC
【解析】
【分析】
两函数定义域相同，对应关系相同，则它们是同一函数，据此逐项分析即可.
【详解】
A： ， ，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函
数；
B： 定义域为R， 的定义域为 ，故两函数不为同一函数；
C： ， ，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函
数；
D： 定义域满足 ，即[1，＋∞)； 定义域满足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故两函数不为同一函数.
故选：AC.
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为减函数
C． 有且只有一个零点 D． 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义判断A，根据指数函数的性质判断B、D，令 ，解方程，即
可判断C.
【详解】
解： 函数 ， ，
， 为奇函数．故A正确．
．
在 上单调递增，所以 在 上为增函数．故B错误．
令 ，则 ，得到 ，所以 有且只有一个零点．故C正确．
在 上为增函数，
令 ，则 ，所以 ，所以 ，即 ，
解得 ， ．故D错误．
故选：AC．
11．已知 ， （m是常数），则下列结论正确的是（ ）
A．若 的最小值为 ，则B．若 的最大值为4，则
C．若 的最大值为m，则
D．若 ，则 的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据已知等式，利用基本不等式逐一判断即可.
【详解】
由已知得 ，
，解得
，当 时取等号，故A错误；
， ，当 时取等号，故B正确；
， ，当 时取等号，故C正确；
对于D，
，当 时取等号，又 ，且
，所以等号取不到，故D错误，
故选：BC.
12．已知函数 ，下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则 在 上是单调增函数B．若 ，则正整数 的最小值为2
C．若 ，把函数 的图像向右平移 个单位长度得到 的图像.则
为奇函数
D．若 在 上有且仅有3个零点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
化简函数f(x)的表达式，根据正弦函数的性质与图像再逐一分析各个选项中的条件，计
算判断作答.
【详解】
依题意， ，
对于A， ， ，
当 时，有 ，则 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B，因 ，则 是函数 图像的一条对称轴，
，整理得 ，
而 ，即有 ， ，故B正确；
对于C， ， ，
依题意，函数 ，
这个函数不是奇函数，其图像关于原点不对称，故C不正确；
对于D，当 时， ，
依题意， ，解得 ，故D正确.
故选：ABD三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知 为奇函数，当 时， ，则当 时，
___________
【答案】
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质即可求解.
【详解】
解：因为函数 为奇函数，所以当 时， ， ，
所以 .
故答案为：
14．已知角 的终边上的一点 ，则 的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角函数的定义可得 ，原式可化简为 可求解.
【详解】
因为角 的终边上的一点 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
15．函数 ， ，对 ，
都成立，则 的取值范围（用区间表示）是_______
【答案】【解析】
【分析】
分析可得 在 上递增，再将原问题转换为
分析即可
【详解】
二次函数 在区间 上递增，反比例函数 在
上增函数，指数函数 在 上递增，综上函数 在 上递增，
又原问题等价于： ，所以
，因为函数 在 上递增，所以 ，
故 ，所以 ．
所以， 的取值范围是 ．
故答案为：
16．已知函数 ，定义域为 的函数 满足 ，若函
数 与 图象的交点为 ，则
___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先判断出 的奇偶性，再根据其对称性计算即可得到答案．
【详解】
解：因为定义域为 的函数 满足 ，
所以函数 的图象关于点 对称，
因为 定义域为 ，且 ，所以 为奇函
数，
即函数 关于点 对称，
则函数 与 图象的交点关于 对称，
不妨设关于点 对称的点的坐标为 ， ， ， ，
则 ， ，
则 ， ，
同理可得， ， ， ， ，
所以 ．
故答案为： ．
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤
17．已知 ，且 在第三象限，
(1) 和
(2) .
【答案】(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数关系求解即可.
（2）利用同角三角函数关系和诱导公式求解即可.
(1)
已知 ，且 在第三象限，所以 ，
(2)
原式
18．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形
，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的
直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 .为了美观，要求海报上
所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 .设直角梯形的高为 .
(1)当 时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 的面积最
小）？
【答案】(1)
(2)当海报纸宽为 ，长为 ，可使用纸量最少．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边 ，再分别求出 ，
，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
(1)
宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 ，直角梯形的高为 ，则梯形长的底边 ，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 ，
， ，
故海报面积为 ．
(2)
直角梯形的高为 ，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 ，
，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 ，
海报宽 ，海报长 ，
故 ，
当且仅当 ，即 ，
故当海报纸宽为 ，长为 ，可使用纸量最少．
19．已知函数 ，
(1)当 时，求函数 在 的值域
(2)若关于x的方程 有解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 ，令 ，则 ，最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得 有解，参变分离可得 有解，再根据指数函
数的性质计算可得；
(1)
解：∵ ， ，
令 ，∵ ，∴ ，
∴ ， ，而对称轴 ，开口向上，∴当 时 ，当
时 ，
∴ 的值域是 .
(2)
解：方程 有解，
即 有解，
即 有解，
∴ 有解，
令 ，则 ，
∴ .
20．设命题p：实数x满足 ，命题q：实数x满足 .
(1)若 ，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)【解析】
【分析】
（1）由 ，化简命题p，命题q，再根据 为真命题，则p真且q真求解；
（2）化简两个命题 ， ，根据p是q的必要
不充分条件，由 求解.
(1)
解：当 时，若命题p为真命题，
则不等式 为 ，解得 ；
若命题q为真命题，则由 ，解得 .
∵ 为真命题，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是 .
(2)
由 ，解得 ，
又 ，
∴ .
设 ， ，
∵p是q的必要不充分条件，
∴ ，
∴ ，解得 .
∴实数a的取值范围是 .
21．已知函数 满足 ，当 时，
成立，且 ．
(1)求 ，并证明函数 的奇偶性；(2)当 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，证明见解析；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）令 ，可得 ，令 ， ，从而即可证明；
（2）由已知条件，可得 为增函数，又原不等式等价于 恒成
立，则 在 上恒成立，令 ，分离参数 即可求解.
(1)
解：令 ，可得 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 为奇函数；
(2)
解： ，即 ，
所以 ，
又当 时， 成立，所以 为增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，可得 在 上恒成立，
又 ， ，所以当 时， ，
所以 ，即 .
22．已知函数 ， ， ．(1)当 ， 时，
①求 的单调递增区间
②当 时，关于 的方程 恰有 个不同的实数
根，求 的取值范围．
(2)函数 ， 是 的零点，直线 是 图象的对称轴，
且 在 上单调，求 的最大值.
【答案】(1)① ；②
(2)
【解析】
【分析】
（1）①利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；
②由①求出函数在 上的单调区间，解方程 可
得 或 ，再根据正弦函数的性质即可得出答案；
（2）根据正弦函数的对称性与正弦函数的零点，列出方程组，再结合正弦函数的单调
性及周期性求得 的范围，再根据正弦函数的单调性检验即可得出答案.
(1)
解：①，
令 ， ，
解得 ， ，
故 的单调递增区间为 ；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ，
令 ，
故当 时， 有 个不同的实数根，
由 ，可得 或 ，
因为 有 个不同的实数根，
所以 有 个不同的实数根，且 ，
故 的取值范围为 ；
(2)
解：由题意可得 ， ，
因为 为 的零点，直线 为 图象的对称轴，
所以 ， ， ， ，
得， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，即 为正奇数，因为 在 上单调，则 ，
即 ，解得 ，
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，此时 ，
当 时， ，
所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
即 在 上不单调，不满足题意；
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，此时 ，
当 时， ，
此时 在 上单调递减，符合题意．
故 的最大值为 ．
【点睛】
本题考查正弦函数的单调性问题，三角函数的零点问题，三角函数对称性的应用，以
及与三角恒等变换的综合应用，属于拔高题．
