文档内容
章末检测（一) 集合与常用逻辑用语
◎◎◎◎◎◎能力测评卷◎◎◎◎◎◎
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|－1x
C．∀x∈R， ＝x
D．已知a ＝2n，b ＝3m，对于任意n，m∈N*，a ≠b
n m n m
【答案】AB
【解析】因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x ＝－1<0，使 －2x －3＝0，故A为
0 0
真命题；B显然为真命题；因为 ＝|x|，故C为假命题；当n＝3，m＝2时，a ＝b ，故D为假
3 2
命题．10．命题“∀1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥9 B．a≥11
C．a≥10 D．a≤10
【答案】BC
【解析】当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2) .因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是
max
9，所以a≥9.因为a≥9 a≥10，a≥10⇒a≥9，又a≥9 a≥11，a≥11⇒a≥9，选B、C.
11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
【答案】ABC
【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有
一个根．
①当a＝0时，
方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
②当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，
即a2＝1，所以a＝±1.
此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．
综上，a＝0或a＝±1.
12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，
∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法，其中正确的是(
)
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集
【答案】AD
【解析】数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0， ＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，
2∈Z， ∉Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{ }，则1∈M， ∈M，但1
＋ ∉M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无
限集，D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是________．
【答案】∃x∈R，x2－2x＋1<0
【解析】该命题为全称量词命题，其否定命题为存在量词命题：∃x∈R，x2－2x＋1<0.
14．集合M＝{1，2，a，a2－3a－1}，N＝{－1，3}，若3∈M且N⃘M，则a的取值为________．
【答案】4
【解析】①若a＝3，则a2－3a－1＝－1，
即M＝{1，2，3，－1}，显然N⊆M，不合题意．
②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1.当a＝－1时，N⊆M，舍去．当a＝4时，M＝{1，2，4，
3}，满足要求．
15．已知p：－12}
【解析】由p：－12.
16．(一题两空)已知集合A＝{x|－31}．
(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝B，求a的取值范围．【解析】(1)因为A∩B＝∅，所以 ，解得－6≤a≤－2，所以a的取值范围是{a|－6≤a≤
－2}．
(2)因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以a＋3<－6或a>1，解得a<－9或a>1，所以a的取值范围是{a|
a<－9或a>1}．
21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|23时，A∩C≠∅.
故a的取值范围为{a|a>3}．
22．(本小题满分 12分)已知集合 A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，
x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
【解析】A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，
因为B⊆A，所以B＝A或BA.
当B＝A时，B＝{－4，0}，
即－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入得a＝1，
此时满足条件，即a＝1符合题意．
当BA时，分两种情况：
若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.若B≠∅，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时B＝{0}，符合题意．
综上所述，所求实数a的取值范围是{a|a≤－1或a＝1}．
