专题04空间向量与立体几何（单元测试卷）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习

专题04 《空间向量与立体几何》单元测试卷 一、单选题 1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)， D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中， A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），   AB CD ∴ =（﹣2，﹣2，2）， =（1，1，﹣1），   AB CD ∴ =﹣2 ， ∴直线AB与CD平行． 故选：A． ABCDABC D M AC BD 2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体 1 1 1 中， 为 与        AB a AD b AAc BM 的交点若 1 1 ， 1 1 ， 1 ，则下列向量中与 1 相等的向量是（ ） 1  1   1  1    a b c a b c A． 2 2 B．2 21  1   1  1   a b c  a b c C．2 2 D． 2 2 【答案】A 【解析】  1     BM  BABC BM  BBBM 如图所示， ， 2 ， 1 1   1   1  1   BM c ab  a b c 1 2 2 2 . 故选：A 3．（2019·江苏省高二期中）已知向量 a  0,1,1 ， b  1,2,1 .若向量a  b  与向量 c  2,m,4 平 m 行，则实数 的值是（ ） 2 10 A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【解析】         ab(1,1,2) ab c  abc 由已知， ，因为 与 共线，所以存在实数 ，使得 ，故 12  1   ，即 1m ，解得 2 . (1,1,2)(2,m,4)   24   m2 故选：A.1  a  AA' 4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点， 2 ，  1  1 b  AB c  AD     2 ， 3 ，AE xayb zc ，则（ ） 1  A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x 2，y＝1，z＝1 1 3   C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x 2，y＝1，z 2 【答案】A 【解析】     1   1 AE  ACCE  AC CC' AB AD CC' 2 2   1     AB AD AA'2b3ca 2 故选：A A(1,2,1) B(1,0,1) 5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点 ， ，则正方体 外接球体积是（ ） 32  A．4 3 B． 3 C．32 3 D．4 【答案】A 【解析】 A,B 容易知： 是正方体的体对角线上的两点坐标AB 22 22 22 2 3 1 r  AB 3 故正方体外接球半径为 2 4 V  r3 4 3 故 3 故选：A.    OA(1,2,3), OB(2,2,1), OC (1,1,2) 6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知 ，若点D是   BCOD AC中点，则 ( ) 3  A．2 B． 2 C．-3 D．6 【答案】D 【解析】    OA(1,2,3), OB(2,2,1), OC (1,1,2)  ,  1   3 5   B  C  O  C  O  B  1,3,1 , OD 2 OAOC    1, 2 , 2  ,   3 5 BCOD113 1 6 2 2 . 故选:D.   ABCDABC D AM 2MC, 7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 1 1 1 1中， 1     AM  xAB yADzAA 1，则实数x，y，z的值分别为( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , A．3 3 3 B．3 3 3 C．3 3 3 D．3 2 3 【答案】C 【解析】  AM 2MC,  1  2 AM  AC, 1 3 1       AC  ACAA  AB AD AA, 1 1 1   2 2 2 2 AM  AC  AB AD AA, 1 3 1 3 3 3 1    2 2 1 2 2 1 AM  AA  AM  AB AD AA x ，y  ，z  1 1 3 3 3 1 , 3 3 3. 故选:C. ABCABC 8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱 1 1 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA CAA 60 AB BC 1 1 ，则异面直线 1与 1所成角的余弦值为（ ） 3 6 3 3 A． B． C． D． 3 6 4 6 【答案】B 【解析】  A  A  c  A  B  a  A  C  b  设棱长为1， 1 ， ， ab   1 b  c  1 ac  1 由题意得： 2 ， 2， 2  A  B  ac  B  C    B  C    B  B  b  ac  1 ， 1 1   A  B    B  C  ac  b  ac ab  a2acb  cacc2  1 1 1 11 1 1 2 2又  A  B   ac2  a2 2acc2  3 1  B  C    b  ac2  b  2 a2 c2 2ab  2b  c2ac  2 1     AB BC 1 6 cos AB,BC  1 1   1 1  A  B    B  C  6 6 1 1 6 即异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为： 6 1 1 本题正确选项：B ABCABC AA  ABC AA 3 9．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 底面 ， 1 ， AA ABC AB AC  BC 2 ，则 1与平面 1 1所成角的大小为 30� 45 60 90 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 BB 取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以 1为z轴，建立空间直角坐标系， A1,0,0 A 1,0,3 AA 1,0,31,0,00,0,3 可得 ， 1 ，故 1 ，而   B 1 1,0,3,C 1 0, 3,3 ，设平面ABC 的法向量为 m=a,b,c ，根据 1 1 m  A  B  0,m  A  C  0，解得 m   3, 3,2  ， 1 1  cos m,  A  A   m  AA 1  1  1 m | AA | 2 . 1 AA ABC 300 故 1与平面 1 1所成角的大小为 ，故选A． A(1,6),B(3,8) x 60 10．（2020·山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知 ，现沿 轴将坐标平面折成A,B 的二面角，则折叠后 两点间的距离为（ ） 2 41 41 17 17 A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】 AC CD,BDCD 如图为折叠后的图形，其中作 AC 6,BD8,CD4 则 ，     ACCD0,BDCD0  x 60  沿 轴将坐标平面折成 的二面角  CA,DB 60 两异面直线 所成的角为 ．     CADB  CA  DB .cos60 24 可得：     AB ACCDDB 故由     | AB|2| ACCDDB|2 得 2 2 2        AC  CD  DB 2ACCD+2CDDB2ACDB 2 2 2        AC  CD  DB 2ACCD+2CDDB2CADB 3616644868 | AB|2 17 故选：D. 二、多选题 11．（2019·江苏省南京师大附中高二期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果    AB2,1,4 AD4,2,0 AP1,2,1 ， ， ，下列结论正确的有（ ）     AP  AB AP AD A． B．    AP AP//BD C． 是平面ABCD的一个法向量 D． 【答案】ABC 【解析】     APAD0 APAB 0 因为 ， ，所以A，B正确，   APAD0 因为    A  P    A  B  0 所以 A  P 是平面ABCD的一个法向量，所以C正确，     BD BA AD2,3,4 AP1,2,1   , 不满足APBD，则D不正确 故选：ABC. ABCDABC D AD C D E F 12．（2020·福建省高二期末）在正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 1 1和 1 1的中点，则下 列结论正确的是( ) AC // CEF BD CEF A． 1 1 平面 B． 1 平面  1   CE  DADD DC 1 B C． 2 D．点D与点 1 到平面CEF的距离相等 【答案】AC 【解析】 E F AD C D EF //AC AC // CEF 对A,因为 , 分别是 1 1和 1 1的中点故 1 1,故 1 1 平面 成立. ABCDABC D BD2,2,2 对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体 1 1 1 1边长为2则 1 ，      FC 0,1,2 .故 B 1 DFC 01430 .故 B 1 D,FC 不互相垂直.又CF 属于平面CEF.故 B 1 D 平 CEF 面 不成立. 1   C  E  1,2,2 DADD 1 DC 对C,同B空间直角坐标系有 ,2 1  1    2,0,00,0,20,2,01,2,2 CE  DADD DC 1 2 .故 2 成立. 对D, 点 D 与点 B 1到平面 CEF 的距离相等则点 D 与点 B 1中点 O 在平面 CEF 上.连接 AC,AE 易得平面 CEF 即平面 CAEF .又点 D 与点 B 1中点 O 在 A 1 ACC 1上,故点 O 不在平面 CEF 上.故D不成立.故选：AC ABCABC BC BC 13．（2020·江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱 中，所有棱长为1，又 与 交于点O，则（ ） 1uuur 1uuur 1uuur A．= AB AC AA B． AO 2 2 2 AOBC 3 π C．三棱锥 ABBO 的体积为 24 D．AO与平面BB′C′C所成的角为6 【答案】AC 【解析】 由题意，画出正三棱柱ABCABC如图所示，    1   1  1 AO ABBO AB BCBB  AB AC AB  AA 向量 2 2 2 1uuur 1uuur 1uuur  AB AC AA ，故选项A正确； 2 2 2 1 2  3 2 在 △AOC 中， AC 1 ， OC= 2 2 ，OA  2      2    1， OA2 OC2  AC2 AO BC ，所以 和 不垂直，故选项B错误； 1 S  在三棱锥ABBO中， BBO 4， 3 h 点 A 到平面 BBO 的距离即 ABC中BC边上的高，所以 2 ，  1 1 1 3 3 V  S h    所以 ABBO 3 BBO 3 4 2 24 ，故选项C正确； 设BC中点为D，所以ADBC ，又三棱柱是正三棱柱， 所以AD平面BBCC， AOD AO 所以 即 与平面BB′C′C所成的角，1 OD 1  2 ，所以 ，故选项D错误. cosAOD   AOD OA 1 2 3 故选：AC 三、填空题 a  (3, 5) b  (1, 1) a  b  8 14．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）已知向量 2， ， x， ，且 ，则 x的值为______． 【答案】8 【解析】 ab  3,2,51,x,132x58 x8 ，解得 ． a  (2,1,2) b  (4,2,m) a  b  m 15．（2020·河南省高二期末）若向量 ， ，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为________. 【答案】m5且m4 【解析】    a  b a  b0 a  b 由 与 的夹角为钝角可得 且 与 不共线，  nDC 2bc0 1 则   n  E  C  a2xb0 即 m5 且 m4 . m5 m4 故答案为： 且 . ABCDABC D CC 16．（2019·山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体 1 1 1 1中，M为棱 1的中点， BD 则异面线 1与AM所成角的余弦值为________.3 【答案】 9 【解析】    DA,DC,DD 分别以 1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1， 1   1 A(1,0,0),B(1,1,0),M(0,1, ),D (0,0,1) BD (1,1,1),AM (1,1, ) 则 2 1 ，可得 1 2 ，则 1   11   BD AM 2 3 cos BD,AM  1     1 |BD || AM | 1 9 ，即异面直线 与AM所成角的余弦值为 3 . 1 3 11 4 BD 9 1 3 故答案为： 9 ABCD ADPQ 17．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面 M,E,F PQ,AB,BC ME ABCD 互相垂直， 分别为 的中点，则直线 与平面 所成角的正切值为________； 异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．30 【答案】 2 ， 30 【解析】 AB,AD,AQ AB,AD,AQ x,y,z 由 两两垂直，分别以 所在的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，   AB2 A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,1,2) EM (1,1,2),AF (2,1,0) 设 ，则 ，所以 ，其中平面   EM n 6 的一个法向量为 ，所以 与平面 所成角的正弦值为sin   ，  EM  n  3 ABCD n (0,0,1) ME ABCD   EM AF cos 所以 ；又向量 与 所成角的余弦值为     EM  AF tan 2 EM AF 30  30  (0, ] 30 ，又 2 ，所以异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是 30 ．四、解答题 18．（2019·包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥 的侧棱 两两垂直，且 ， ， 是 的中点. （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求直线AE和平面OBC的所成角. 【答案】（1） ；（2） 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， （1） ， ，故 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 . （2）平面 的法向量为 ， ，故 ，因 ，故 ，故 与平面 所成的角为 . 19．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如图，在长方体 中， ， ，点 、 分别为 、 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A 为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0, ), (1,1, ), , , , , 与BE是平面BDE内两条相交直线 平面BDE （2）由（1）进一步可得F(0， )， 设平面BDE的法向量为 ，可取 ， 设平面FBE的法向量为 ， 由 ,可得 ，取x=1，可得 (1,-2, ) . 由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为20．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥 中， 底面四边形 ，四边形 是直角梯形，且 ， ，点 是 棱 的中点， 是 上的点，且 . (1)求异面直线 与 所成的角的余弦值； (2)求 与平面 所成的角的正弦值． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 (1)建系以 为原点，如图， ， 所以(2） ， ，设 是平面 的法向量， 则 ，即 ，取 所以 与平面 所成的角的正弦值 . 21．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体 中， 分别是 的中点。 （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请证明你的结论。 【答案】（1） ；（2）存在点 ，满足 ，使得 平面 ；证明见解析 【解析】 以 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为 则 ， ， ， ， ， ， ， （1）设异面直线 与 所成角为 ， ，即异面直线 与 所成角的余弦值为： （2）假设在棱 上存在点 ， ，使得 平面 则 ， ， 设平面 的法向量 ，令 ，则 ， ，解得： 棱 上存在点 ，满足 ，使得 平面 22．（2019·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图， 平面 ， ， 交 于点 .（1）证明： ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 （1）证明1：在 中, . 因为 交 于点 ,所以 . 因为 平面 , 所以 ,所以 . 又因为 平面 ,所以 平面 所以 平面 ,所以 . 证明2：如图,以 为原点,分别以 为 轴,建立空间直角坐标系. 在 中, .因为 交 于点 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 （2）解：由（1）可知, , . 设平面 的法向量为 , 所以 即 令 ,则 ,所以 . 设直线 与平面 所成角为 ,则 . 23．（2019·安徽省高二期中）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角 梯形， ， ， .（1）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值； （2）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长. 【答案】(1) (2) 【解析】 以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，则各点的坐标为 ． （1） 因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量， ． 因为 ． 设平面 的法向量为 ，则 ， 即 ，令 ，解得 ． 所以 是平面 的一个法向量，从而 ， 所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ． （2） 因为 ，设 ，又 ，则 ， 又 ， 从而 ， 设 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时， 的最大值为 ． 因为 在 上是减函数，此时直线 与 所成角取得最小值． 又因为 ，所以 ．