专题04空间向量与立体几何（单元测试卷）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习

专题04 《空间向量与立体几何》单元测试卷
一、单选题
1．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，
D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】A
【解析】
∵空间直角坐标系中，
A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
 
AB CD
∴ =（﹣2，﹣2，2）， =（1，1，﹣1），
 
AB CD
∴ =﹣2 ，
∴直线AB与CD平行．
故选：A．
ABCDABC D
M AC BD
2．（2019·四川省绵阳南山中学高二月考）如图，在平行六面体 1 1 1 中， 为 与
      
AB a AD b AAc BM
的交点若 1 1 ， 1 1 ， 1 ，则下列向量中与 1 相等的向量是（ ）
1  1   1  1  
 a b c a b c
A． 2 2 B．2 21  1   1  1  
a b c  a b c
C．2 2 D． 2 2
【答案】A
【解析】
 1 
   BM  BABC
BM  BBBM
如图所示， ， 2 ，
1 1
  1   1  1  
BM c ab  a b c
1 2 2 2 .
故选：A
3．（2019·江苏省高二期中）已知向量 a  0,1,1 ， b  1,2,1 .若向量a  b  与向量 c  2,m,4 平
m
行，则实数 的值是（ ）
2 10
A．2 B． C．10 D．
【答案】A
【解析】
       
ab(1,1,2) ab c  abc
由已知， ，因为 与 共线，所以存在实数 ，使得 ，故
12
 1
 
，即
1m
，解得 2 .
(1,1,2)(2,m,4)   24   m2
故选：A.1

a  AA'
4．（2020·湖南省高二期末）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点， 2 ，
 1  1
b  AB c  AD    
2 ， 3 ，AE xayb zc ，则（ ）
1

A．x＝1，y＝2，z＝3 B．x 2，y＝1，z＝1
1 3
 
C．x＝1，y＝2，z＝2 D．x 2，y＝1，z 2
【答案】A
【解析】
    1   1
AE  ACCE  AC CC' AB AD CC'
2 2
  1   
 AB AD AA'2b3ca
2
故选：A
A(1,2,1) B(1,0,1)
5．（2020·四川省双流中学高二月考）正方体不在同一侧面上的两顶点 ， ，则正方体
外接球体积是（ ）
32

A．4 3 B． 3 C．32 3 D．4
【答案】A
【解析】
A,B
容易知： 是正方体的体对角线上的两点坐标AB 22 22 22 2 3
1
r  AB 3
故正方体外接球半径为 2
4
V  r3 4 3
故 3
故选：A.
  
OA(1,2,3), OB(2,2,1), OC (1,1,2)
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知 ，若点D是
 
BCOD
AC中点，则 ( )
3

A．2 B． 2 C．-3 D．6
【答案】D
【解析】
  
OA(1,2,3), OB(2,2,1), OC (1,1,2)
 ,
 1   3 5
  B  C  O  C  O  B  1,3,1 , OD 2 OAOC    1, 2 , 2  ,
  3 5
BCOD113 1 6
2 2 .
故选:D.
 
ABCDABC D AM 2MC,
7．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 1 1 1 1中， 1
   
AM  xAB yADzAA
1，则实数x，y，z的值分别为( )
1 2 1 2 1 1 2
2 2 2 2 2
, , , , , , , ,
A．3 3 3 B．3 3 3 C．3 3 3 D．3 2 3
【答案】C
【解析】 
AM 2MC,
 1
 2
AM  AC,
1 3 1
     
AC  ACAA  AB AD AA,
1 1 1

 2 2 2 2
AM  AC  AB AD AA,
1 3 1 3 3 3 1
   2 2 1 2 2 1
AM  AA  AM  AB AD AA x ，y  ，z 
1 1 3 3 3 1 , 3 3 3.
故选:C.
ABCABC
8．（2020·银川唐徕回民中学高二月考）三棱柱 1 1 1中，底面边长和侧棱长都相等，
BAA CAA 60 AB BC
1 1 ，则异面直线 1与 1所成角的余弦值为（ ）
3 6 3 3
A． B． C． D．
3 6 4 6
【答案】B
【解析】
 A  A  c  A  B  a  A  C  b 
设棱长为1， 1 ， ，
ab   1 b  c  1 ac  1
由题意得： 2 ， 2， 2
 A  B  ac  B  C    B  C    B  B  b  ac
 1 ， 1 1
  A  B    B  C  ac  b  ac ab  a2acb  cacc2  1 1 1 11
1 1 2 2又  A  B   ac2  a2 2acc2  3
1
 B  C    b  ac2  b  2 a2 c2 2ab  2b  c2ac  2
1
 
  AB BC 1 6
cos AB,BC  1 1  
1 1  A  B    B  C  6 6
1 1
6
即异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为： 6
1 1
本题正确选项：B
ABCABC AA  ABC AA 3
9．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 底面 ， 1 ，
AA ABC
AB AC  BC 2
，则 1与平面 1 1所成角的大小为
30� 45 60 90
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
BB
取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以 1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1,0,0 A 1,0,3 AA 1,0,31,0,00,0,3
可得 ， 1 ，故 1 ，而
 
B
1
1,0,3,C
1
0, 3,3
，设平面ABC 的法向量为
m=a,b,c
，根据
1 1
m  A  B  0,m  A  C  0，解得 m   3, 3,2  ，
1 1

cos m,  A  A   m  AA 1  1

1 m | AA | 2 .
1
AA ABC 300
故 1与平面 1 1所成角的大小为 ，故选A．
A(1,6),B(3,8) x 60
10．（2020·山西省高二期末）在一直角坐标系中，已知 ，现沿 轴将坐标平面折成A,B
的二面角，则折叠后 两点间的距离为（ ）
2 41 41 17 17
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】
AC CD,BDCD
如图为折叠后的图形，其中作
AC 6,BD8,CD4
则 ，
   
ACCD0,BDCD0

x 60

沿 轴将坐标平面折成 的二面角
 CA,DB 60
两异面直线 所成的角为 ．
   
CADB  CA  DB .cos60 24
可得：
   
AB ACCDDB
故由
   
| AB|2| ACCDDB|2
得
2 2 2      
 AC  CD  DB 2ACCD+2CDDB2ACDB
2 2 2      
 AC  CD  DB 2ACCD+2CDDB2CADB
3616644868
| AB|2 17
故选：D.
二、多选题
11．（2019·江苏省南京师大附中高二期中）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果
  
AB2,1,4 AD4,2,0 AP1,2,1
， ， ，下列结论正确的有（ ）
   
AP  AB AP AD
A． B．
  
AP AP//BD
C． 是平面ABCD的一个法向量 D．
【答案】ABC
【解析】
   
APAD0 APAB 0
因为 ， ，所以A，B正确，
 
APAD0
因为    A  P    A  B  0 所以 A  P 是平面ABCD的一个法向量，所以C正确，
   
BD BA AD2,3,4 AP1,2,1  
, 不满足APBD，则D不正确
故选：ABC.
ABCDABC D AD C D
E F
12．（2020·福建省高二期末）在正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 1 1和 1 1的中点，则下
列结论正确的是( )
AC //
CEF
BD
CEF
A． 1 1 平面 B． 1 平面
 1  
CE  DADD DC
1 B
C． 2 D．点D与点
1
到平面CEF的距离相等
【答案】AC
【解析】
E F AD C D EF //AC AC // CEF
对A,因为 , 分别是 1 1和 1 1的中点故 1 1,故 1 1 平面 成立.
ABCDABC D
BD2,2,2
对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体 1 1 1 1边长为2则 1 ，
    
FC 0,1,2 .故 B 1 DFC 01430 .故 B 1 D,FC 不互相垂直.又CF 属于平面CEF.故 B 1 D 平
CEF
面 不成立.
1  
C

E

1,2,2
DADD
1
DC
对C,同B空间直角坐标系有 ,2
1  1  
 2,0,00,0,20,2,01,2,2 CE  DADD DC
1
2 .故 2 成立.
对D, 点 D 与点 B 1到平面 CEF 的距离相等则点 D 与点 B 1中点 O 在平面 CEF 上.连接 AC,AE 易得平面
CEF 即平面 CAEF .又点 D 与点 B 1中点 O 在 A 1 ACC 1上,故点 O 不在平面 CEF 上.故D不成立.故选：AC
ABCABC BC BC
13．（2020·江苏省启东中学高二开学考试）在正三棱柱 中，所有棱长为1，又 与
交于点O，则（ ）
1uuur 1uuur 1uuur
A．= AB AC AA B．
AO 2 2 2 AOBC
3 π
C．三棱锥 ABBO 的体积为 24 D．AO与平面BB′C′C所成的角为6
【答案】AC
【解析】
由题意，画出正三棱柱ABCABC如图所示，    1   1  1
AO ABBO AB BCBB  AB AC AB  AA
向量 2 2 2
1uuur 1uuur 1uuur
 AB AC AA ，故选项A正确；
2 2 2
1 2  3 2
在
△AOC
中，
AC 1
， OC=
2
2 ，OA 
2


 
 2
 

1，
OA2 OC2  AC2 AO BC
，所以 和 不垂直，故选项B错误；
1
S 
在三棱锥ABBO中， BBO 4，
3
h
点 A 到平面 BBO 的距离即 ABC中BC边上的高，所以 2 ，

1 1 1 3 3
V  S h   
所以 ABBO 3 BBO 3 4 2 24 ，故选项C正确；
设BC中点为D，所以ADBC ，又三棱柱是正三棱柱，
所以AD平面BBCC，
AOD AO
所以 即 与平面BB′C′C所成的角，1
OD 1 
2 ，所以 ，故选项D错误.
cosAOD   AOD
OA 1 2 3
故选：AC
三、填空题
a  (3, 5) b  (1, 1) a  b  8
14．（2020·山东省微山县第二中学高二月考）已知向量 2， ， x， ，且 ，则
x的值为______．
【答案】8
【解析】
ab  3,2,51,x,132x58
x8
，解得 ．
a  (2,1,2) b  (4,2,m) a  b  m
15．（2020·河南省高二期末）若向量 ， ，且 与 的夹角为钝角，则实数
的取值范围为________.
【答案】m5且m4
【解析】
  
a  b a  b0 a  b
由 与 的夹角为钝角可得 且 与 不共线，

nDC 2bc0
1
则   n  E  C  a2xb0 即 m5 且 m4 .
m5 m4
故答案为： 且 .
ABCDABC D CC
16．（2019·山东省济南一中高二期中）如图所示，在正方体 1 1 1 1中，M为棱 1的中点，
BD
则异面线 1与AM所成角的余弦值为________.3
【答案】 9
【解析】
  
DA,DC,DD
分别以 1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
1   1
A(1,0,0),B(1,1,0),M(0,1, ),D (0,0,1) BD (1,1,1),AM (1,1, )
则 2 1 ，可得 1 2 ，则
1
  11
  BD AM 2 3
cos BD,AM  1  
 
1 |BD || AM | 1 9 ，即异面直线 与AM所成角的余弦值为 3 .
1 3 11
4 BD 9
1
3
故答案为： 9
ABCD ADPQ
17．（2019·浙江省杭州高级中学高二期末）如图，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面
M,E,F PQ,AB,BC ME ABCD
互相垂直， 分别为 的中点，则直线 与平面 所成角的正切值为________；
异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是________．30
【答案】 2 ， 30
【解析】
AB,AD,AQ AB,AD,AQ x,y,z
由 两两垂直，分别以 所在的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
 
AB2 A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,1,2) EM (1,1,2),AF (2,1,0)
设 ，则 ，所以 ，其中平面


EM n
6
的一个法向量为 ，所以 与平面 所成角的正弦值为sin   ，
 EM  n  3
ABCD n (0,0,1) ME ABCD
 
EM AF
cos
所以 ；又向量 与 所成角的余弦值为  
  EM  AF
tan 2 EM AF
30  30
 (0, ]
30 ，又 2 ，所以异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是 30 ．四、解答题
18．（2019·包头市第四中学高二期中）如图，已知三棱锥 的侧棱 两两垂直，且
， ， 是 的中点.
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求直线AE和平面OBC的所成角.
【答案】（1） ；（2）
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，
（1） ， ，故
，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（2）平面 的法向量为 ， ，故
，因 ，故 ，故 与平面 所成的角为
.
19．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如图，在长方体 中， ，
，点 、 分别为 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A 为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0, ), (1,1, ),
, ,
,
,
与BE是平面BDE内两条相交直线
平面BDE
（2）由（1）进一步可得F(0， )，
设平面BDE的法向量为 ，可取 ，
设平面FBE的法向量为 ，
由 ,可得 ，取x=1，可得 (1,-2, )
.
由于二面角F-BE-D为锐二面角，故所求的二面角的余弦值为20．（2020·盘锦市大洼区高级中学高二期末）如下图所示，在四棱锥 中， 底面四边形
，四边形 是直角梯形，且 ， ，点 是
棱 的中点， 是 上的点，且 .
(1)求异面直线 与 所成的角的余弦值；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
(1)建系以 为原点，如图， ，
所以(2） ， ，设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，取
所以 与平面 所成的角的正弦值 .
21．（2019·山西省长治市第二中学校高二月考）如图，在正方体 中， 分别是
的中点。
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请证明你的结论。
【答案】（1） ；（2）存在点 ，满足 ，使得 平面 ；证明见解析
【解析】
以 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为
则 ， ， ， ， ， ， ，
（1）设异面直线 与 所成角为
，
，即异面直线 与 所成角的余弦值为：
（2）假设在棱 上存在点 ， ，使得 平面
则 ， ，
设平面 的法向量
，令 ，则 ，
，解得：
棱 上存在点 ，满足 ，使得 平面
22．（2019·绍兴市教育教学研究院高二期末）如图， 平面 ，
， 交 于点 .（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明1：在 中, .
因为 交 于点 ,所以 .
因为 平面 ,
所以 ,所以 .
又因为 平面 ,所以 平面
所以 平面 ,所以 .
证明2：如图,以 为原点,分别以 为 轴,建立空间直角坐标系.
在 中, .因为 交 于点 ,所以
,所以 ,所以 ,所以
（2）解：由（1）可知, , .
设平面 的法向量为 ,
所以 即
令 ,则 ,所以 .
设直线 与平面 所成角为 ,则 .
23．（2019·安徽省高二期中）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角
梯形， ， ， .（1）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（2）点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最小时，求线段 的长.
【答案】(1) (2)
【解析】
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，则各点的坐标为
．
（1） 因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量， ．
因为 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，解得 ．
所以 是平面 的一个法向量，从而 ，
所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ．
（2） 因为 ，设 ，又 ，则 ，
又 ，
从而 ，
设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时， 的最大值为 ．
因为 在 上是减函数，此时直线 与 所成角取得最小值．
又因为 ，所以 ．