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2023-2024学年上海师大附中闵行分校高一（下）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题
每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。
1．（4分）若复数z＝（m2﹣m﹣2）+i（m2﹣4）是纯虚数，则实数m＝ ．
2．（4分）已知向量 ＝（x，1）， ＝（﹣2，2），若 ，则实数x＝ ．
3．（4分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为 ．
4．（4分）若角 的终边过点P（4，﹣3），则 ＝ ．
5．（4分）在等差α数列{a }中，a ＝1940，a +a ＝2024，则a ＝ ．
n 1940 102 1922 84
6．（4分）设k R，向量 ＝（3，4）， ＝（k，﹣1）．若 在 方向上的数量投影为 1，则k＝
∈
．
7．（5分）方程cos2x﹣sinx＝0在区间[0，2 ]上的所有解的和为 ．
8．（5分）关于x的实系数一元二次方程x2+ π kx+3＝0有两个虚根x 和x ，若 ，则实数k
1 2
＝ ．
9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ x）（ ＞0）在[0，3 ]有且仅有5个零点，则实数 的取值范围是
． ω ω π ω
10．（5分）设无穷数列{a }的前n项和为S .若S ＝2n+1+n﹣2，则 ＝ ．
n n n
11．（5分）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，
PQ为路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝ ，C处是喷洒消毒水的喷头，
且喷射角∠DCE＝ ，已知 AB＝2，BC＝1．则消毒水喷洒在路面上的宽度 DE的最小值为
．
第1页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司12．（5分）设{a }是由正整数组成且项数为m的增数列，已知a ＝1，a ＝100，数列{a }任意相邻两项
n 1 m n
的差的绝对值不超过1，若对于{a }中任意序数不同的两项a 和a，在剩下的项中总存在序数不同的两
n s t
项a 和a ，使得a+a＝a +a ，则 的最小值为 ．
p q s t p q
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只
有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．（4分）已知等差数列{a }中，a +a +a ＝ ，那么cos（a +a ）＝（ ）
n 1 4 7 3 5
A． B．﹣ C． D．﹣
14．（4分）已知函数 ，x R，则下列判断不正确的是（ ）
∈
A．﹣2≤f（x）≤2
B．f（x）在区间（0， ）上只有1个零点
C．f（x）的最小正周期π为
π
D．直线 为函数f（x）图象的一条对称轴
15．（5分）设O是△ABC的外心，若 ，则 ＝（ ）
A．2 B． C． D．
16．（5分）已知复数z ，z 和z满足|z |＝|z |＝1，若|z ﹣z |＝|z ﹣1|＝|z ﹣z|，则|z|的最大值为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A． B．3 C． D．1
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写
出必要的步骤。
17．（14分）已知复数z是纯虚数，（z+2）2﹣8i是实数．
（1）求z；
（2）若 ，求|z |．
1
第2页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司18．（14分）已知函数 的图象与x轴的交
点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 ．
（1）求f（x）的解析式和周期．
（2）当 时，求f（x）的值域．
19．（14分）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中
的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年
增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%．
（I）设第n年该生产线的维护费用为a ，求a 的表达式；
n n
（Ⅱ）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前 n年每
年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
20．（18分）在直角坐标平面xOy上的一列点A （1，a ），A （2，a ）…A （n，a ），…，简记为
1 1 2 2 n n
{A }．若由b ＝ 构成的数列{b }满足b ＞b ，n＝1，2，…，其中 ＝（0，1），则称{A }
n n n n+1 n n
为“M点列”．
（1）判断A （1，1），A （2，1），A （3，1），…，A （n，1），是否为“M点列”，并说明理
1 2 3 n
由；
（2）判断A （1，1），A （2， ），A （3， ），…，A （n， ）．是否为“M点列”，请说明
1 2 3 n
理由，并求出此时数列{b }的前n项和T ；
n n
（3）若 A 为“M 点列”，且点 A 在 A 的右上方，任取其中连续三点 A ，A ，A ，判断
n 2 1 k k+1 2+2
△A A A 的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明．
1 k+1 k+2
21．（18分）定义向量 的“对应函数”为y＝asinx+bcosx；函数y＝asinx+bcosx的“对应向
量”为 （其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为S．
（1）设 ，求证：y＝g（x） S；
∈
（2）已知 且y＝h（x） S， 是函数y＝
∈
第3页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司h（x）的“对应向量”， ，求 ；
（3）已知 ，向量 的“对应函数”y＝f（x）在x＝x 处
0
取得最大值，当 变化时，求tan2x 的取值范围．
0
θ
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题
每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。
1．（4分）若复数z＝（m2﹣m﹣2）+i（m2﹣4）是纯虚数，则实数m＝ ﹣ 1 ．
【解答】解：z＝（m2﹣m﹣2）+i（m2﹣4）是纯虚数，
则 ，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
2．（4分）已知向量 ＝（x，1）， ＝（﹣2，2），若 ，则实数x＝ 1 ．
【解答】解：向量 ＝（x，1）， ＝（﹣2，2）， ，
则﹣2x+2＝0，解得x＝1．
故答案为：1．
3．（4分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为 ．
π
【解答】解：∵f（x）＝sin2x＝ ﹣ cos2x，
第4页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司∴f（x）的最小正周期T＝ ＝ ．
故答案为： ． π
π
4．（4分）若角 的终边过点P（4，﹣3），则 ＝ ﹣ ．
α
【解答】解： ＝﹣sin（ + ）＝﹣cos ，
∵角 的终边过点P（4，﹣3）， α α
α
∴cos ＝ ＝ ，
α
则 ＝﹣cos ＝﹣ ，
α
故答案为：﹣
5．（4分）在等差数列{a }中，a ＝1940，a +a ＝2024，则a ＝ 8 4 ．
n 1940 102 1922 84
【解答】解：等差数列{a }中，a ＝1940，a +a ＝2024，
n 1940 102 1922
又a +a ＝a +a ＝2024，
1940 84 102 1922
则a ＝84．
84
6．（4分）设k R，向量 ＝（3，4）， ＝（k，﹣1）．若 在 方向上的数量投影为1，则k＝ 3 ．
∈
【解答】解：由向量 ＝（3，4）， ＝（k，﹣1），可得 在 方向上的数量投影为：
| |cos＜ ＞＝| |• ＝ ＝ ＝1，解得k＝3．
故答案为：3．
7．（5分）方程cos2x﹣sinx＝0在区间[0，2 ]上的所有解的和为 ．
π
【解答】解：由cos2x﹣sinx＝0，即1﹣2sin2x﹣sinx＝0，解得sinx＝﹣1或 ，
在[0，2 ]，当sinx＝﹣1时 ，当 时 或 ，
π
所以所有解的和为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
8．（5分）关于x的实系数一元二次方程x2+kx+3＝0有两个虚根x 和x ，若 ，则实数k
1 2
＝ ± 2 ．
【解答】解：由题意可得， ，
∴k2＜12，|x ﹣x |2＝| ﹣4x x |＝|k2﹣12|＝8，
1 2 1 2
∴k2＝20或4，
又∵k2＜12，
∴k2＝4，
∴k＝±2．
故答案为：±2．
9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ x）（ ＞0）在[0，3 ]有且仅有5个零点，则实数 的取值范围是
ω ω π ω
[ ， ） ．
【解答】解：因为x [0，3 ]， ＞0，所以 x [0，3 ]，
要使函数有5个零点∈，则3π ω[4 ，5 ），ω ∈ πω
πω∈ π π
解得 的范围为[ ， ）．
ω
故答案为：[ ， ）．
10．（5分）设无穷数列{a }的前n项和为S .若S ＝2n+1+n﹣2，则 ＝ ．
n n n
【解答】解：由题意，当n＝1时，a ＝S ＝22+1﹣2＝3，
1 1
当n≥2时，a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
＝2n+1+n﹣2﹣2n﹣（n﹣1）+2
＝2n+1，
∵当n＝1时，a ＝3也满足上式，
1
∴a ＝2n+1，n N*，
n
∈
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学科网（北京）股份有限公司∴ ＝
＝ （ + ）
＝ +
＝ +
＝1+
＝ ．
故答案为： ．
11．（5分）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，
PQ为路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝ ，C处是喷洒消毒水的喷头，
且喷射角∠DCE＝ ，已知AB＝2，BC＝1．则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为
．
【解答】解：在△CDE中，作CF⊥DE于点F，过点B作BH⊥CF于H，
则∠HBC＝ ﹣ ＝ ，Rt△HBC中，CH＝BCsin ＝ ，
所以CF＝CH+FH＝CH+AB＝ ，则S△CDE ＝ DE•CF＝ DE，
因为S△CDE ＝ DC•ECsin∠DCE＝ DC•EC，
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学科网（北京）股份有限公司所以 DE＝ DC•EC，可得DC•EC＝ DE，
由余弦定理得DE2＝DC2+EC2﹣2DC•ECcos ＝DC2+EC2﹣DC•EC，
因为DC2+EC2≥2DC•EC，可得DC2+EC2﹣DC•EC≥DC•EC，
当且仅当DC＝EC时，等号成立，
所以DE2≥DC•EC，即DE2≥ DE，可得DE≥ ．
综上所述，当DC＝EC时，消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为 ．
故答案为： ．
12．（5分）设{a }是由正整数组成且项数为m的增数列，已知a ＝1，a ＝100，数列{a }任意相邻两项
n 1 m n
的差的绝对值不超过1，若对于{a }中任意序数不同的两项a 和a，在剩下的项中总存在序数不同的两
n s t
项a 和a ，使得a+a＝a +a ，则 的最小值为 545 4 ．
p q s t p q
【解答】解：因为数列{a }任意相邻两项的差的绝对值不超过1，a ＝1，所以0≤a ≤2，
n 1 2
又{a }是由正整数组成且项数为m的增数列，所以a ＝1或a ＝2，
n 2 2
当a ＝2时，a ≥a ≥2，此时a +a ＝3＜a +a ，
2 4 3 1 2 3 4
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项a 和a ，使得a+a＝a +a 矛盾，
p q s t p q
所以a ＝1，类似地，必有a ＝1，a ＝1，a ＝2，a ＝2，
2 3 4 5 6
由a+a＝a +a 得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
s t p q
＝a +a +...+a 要最小，则每项尽可能小，且m值要尽量小，
1 2 m
则a +a ＝4＝a +a ，a ＝3，
5 6 1 7 7
同理，a
8
＝4，a
9
＝5，…，a
m﹣6
＝98，当{a
n
}中间各项为公差为1的等差数列时，可使得m值最小，且
第8页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司满足已知条件．
由对称性得最后6项为a
m
＝a
m﹣1
＝a
m﹣2
＝a
m﹣3
＝100，a
m﹣4
＝a
m﹣5
＝99，
则 ＝a +a +...+a 的最小值S＝ +4×100+3×1+2+99＝5454．
1 2 m
故答案为：5454．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只
有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13．（4分）已知等差数列{a }中，a +a +a ＝ ，那么cos（a +a ）＝（ ）
n 1 4 7 3 5
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：∵等差数列{a }中，a +a +a ＝ ，
n 1 4 7
∴a +a +a ＝3a ＝ ，∴ ，
1 4 7 4
∴a +a ＝2a ＝ ，
3 5 4
∴cos（a +a ）＝cos ＝﹣cos ＝﹣ ．
3 5
故选：B．
14．（4分）已知函数 ，x R，则下列判断不正确的是（ ）
∈
A．﹣2≤f（x）≤2
B．f（x）在区间（0， ）上只有1个零点
C．f（x）的最小正周期π为
π
D．直线 为函数f（x）图象的一条对称轴
【解答】解：由题意， ，
对于A，因为 ，则 ，即﹣2≤f（x）≤2，A正确；
对于 B，由 f（x）＝0 得 ，即 ，满足 x （0， ）的有
∈ π
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学科网（北京）股份有限公司，B错误；
对于C，f（x）的最小正周期为 ，C正确；
对于D，当 时， ，则 ，因此 是f（x）图象的一条对称轴，D正
确．
故选：B．
15．（5分）设O是△ABC的外心，若 ，则 ＝（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：设 ，
则 ，
可得b2＝2c2，
故 ．
故选：C．
16．（5分）已知复数z ，z 和z满足|z |＝|z |＝1，若|z ﹣z |＝|z ﹣1|＝|z ﹣z|，则|z|的最大值为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A． B．3 C． D．1
【解答】解：根据题意，得|z|＝|（z ﹣z）﹣z |≤|z ﹣z|+|z |＝|z ﹣1|+1≤|z |+1+1＝3，
2 2 2 2 1 1
当z ＝﹣1，z ＝1，z＝3时，|z ﹣z |＝|z ﹣1|＝|z ﹣z|＝2，此时|z|＝3，
1 2 1 2 1 2
所以|z| ＝3．
max
故选：B．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写
出必要的步骤。
17．（14分）已知复数z是纯虚数，（z+2）2﹣8i是实数．
（1）求z；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求|z |．
1
【解答】解：（1）设z＝mi（m R且m≠0）．
则（z+2）2﹣8i＝4﹣m2+（4m﹣∈8）i为实数，
所以4m﹣8＝0，所以m＝2，
所以z＝2i；
（2）由（1） ， ，
所以 ．
18．（14分）已知函数 的图象与x轴的交
点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 ．
（1）求f（x）的解析式和周期．
（2）当 时，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）由题意可得T＝ ＝2× ，∴ ＝2．
ω
根据图象上一个最低点为 ，可得A＝2，2sin（2• + ）＝﹣2，0＜ ＜ ，
φ φ
可得 ＝ ，∴f（x）＝2sin（2x+ ），故它的周期为 ＝ ．
φ π
（2）当 时，2x+ [ ， ]，故当2x+ ＝ 时，函数取得最小值为﹣1；
∈
当2x+ ＝ 时，函数取得最大值为2，故函数的值域为[﹣1，2]．
19．（14分）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中
的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年
增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%．
（I）设第n年该生产线的维护费用为a ，求a 的表达式；
n n
（Ⅱ）若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前 n年每
第11页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
【解答】解：（I）当n≤7时，数列{a }是首项为4，公差为2的等差数列，a ＝4+2（n﹣1）＝2n+2；
n n
当n≥8时，数列{a }是首项为a ，公比为 的等比数列，又a ＝16，∴a ＝16×（ ）n﹣7
n 7 7 n
∴a 的表达式为a ＝ ；
n n
（II）设S 表示数列{a }的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
n n
当1≤n≤7时，Sn＝4n+n（n﹣1）＝n2+3n…（8分）
当n≥8时，由S ＝70，S ＝S +16× × ＝80• ﹣10．
7 n 7
该生产线前n年每年的平均维护费用 ＝
当1≤n≤7时，{ }为增数列，
当n≥8时，∵ ＞0，{ }也为增数列，
又∵ ， ， ，
则第9年初需要更新该生产线．
20．（18分）在直角坐标平面xOy上的一列点A （1，a ），A （2，a ）…A （n，a ），…，简记为
1 1 2 2 n n
{A }．若由b ＝ 构成的数列{b }满足b ＞b ，n＝1，2，…，其中 ＝（0，1），则称{A }
n n n n+1 n n
为“M点列”．
（1）判断A （1，1），A （2，1），A （3，1），…，A （n，1），是否为“M点列”，并说明理
1 2 3 n
由；
（2）判断A （1，1），A （2， ），A （3， ），…，A （n， ）．是否为“M点列”，请说明
1 2 3 n
第12页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司理由，并求出此时数列{b }的前n项和T ；
n n
（3）若 A 为“M 点列”，且点 A 在 A 的右上方，任取其中连续三点 A ，A ，A ，判断
n 2 1 k k+1 2+2
△A A A 的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明．
1 k+1 k+2
【解答】解：（1）由题意得a ＝1， ＝（1，0），
n
所以 ，
不满足b ＞b ，
n+1 n
故{A }不是”M点列”．
n
（2）由题意得 ， ，
所以 ，
显然有b ＞b ，
n+1 n
所以{A }是M点列，
n
则T
n
＝b
1
+b
2
+b
3
+⋯+b
n
＝ ；
（3）因为{A }为“M点列”，
n
所以A （k，a ），A （k+1，a ），A （k+2，a ），
k k k+1 k+1 k+2 k+2
所以 ＝（﹣1，a ﹣a ）， ＝（1，a ﹣a ），
k k+1 k+2 k+1
则 ，
因为点A 在点A 的右上方，所以b ＝a ﹣a ＞0，
2 1 1 2 1
因为{A }为M点列，所以b ≥b ＞0，
n n 1
所以（a ﹣a ）（a ﹣a ）＝﹣b b ＜0，
k+2 k+1 k k+1 k+1 k
则 ，
即 ＜0，
又∠A A A 为ΔA A A 的内角，
k k+1 k+2 k k+1 k+2
所以∠A A A 为钝角，
k k+1 k+2
所以ΔA A A 为钝角三角形．
k k+1 k+2
第13页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司21．（18分）定义向量 的“对应函数”为y＝asinx+bcosx；函数y＝asinx+bcosx的“对应向
量”为 （其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“对应函数”构成的集合为S．
（1）设 ，求证：y＝g（x） S；
∈
（2）已知 且y＝h（x） S， 是函数y＝
∈
h（x）的“对应向量”， ，求 ；
（3）已知 ，向量 的“对应函数”y＝f（x）在x＝x
0
处取得最大值，当 变化时，求tan2x 的取值范围．
0
θ
【解答】解：（1） ＝3sinx﹣4cosx，
∴ ＝（3，﹣4），∴g（x） S；
∈
（2）h（x）＝cos（x+ ）+2 cos（x﹣ ）＝cosxcos ﹣sinxsin +2 （ cosx+ sinx）
＝（cos +2）cosx+（2α﹣sin ）sinx， α α
∵h（x）α S，∴ ＝（cosα+2，2﹣sin ），
∈ α α
∴ ﹣ ＝（cos ，﹣sin ），∴（ ﹣ ）2＝cos2 +sin2 ＝1；
α α α α
（3）y＝f（x）＝（2+cos ）sinx+sin cosx＝ sin（x+ ）（tan ＝
）， θ θ φ φ
∵y＝f（x）在x＝x 处取得最大值，∴x + ＝ +2k ，∴x ＝ +2k ﹣ ，
0 0 0
φ π π φ
tan2x ＝tan（ +4k ﹣2 ）＝﹣tan2 ＝﹣ ，
0
π π φ φ
令t＝tan ＝ ，利用函数的有界性得t [﹣ ， ]，
φ ∈
第14页（共15页）
学科网（北京）股份有限公司tan2x ＝﹣ ＝﹣ ，
0
当t＝0时，tan2x ＝0，
0
当t≠0时，tan2x ＝﹣ 严格递减，得tan2x [﹣ ，0）∪（0， ]，
0 0
∈
则tan2x 的取值范围为[﹣ ， ]．
0
第15页（共15页）
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