文档文本内容
专题01 任意角和弧度制四大题型
题型一：象限角
题型二：区域角
题型三：扇形的弧长及面积
题型四：扇形中的最值问题
题型一：象限角
1．
弧度的角的终边在第几象限？（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】因为负角是按顺时针方向旋转所形成的角，
所以
角是以
轴的非负半轴为始边，绕原点
旋转
所得到的角，
所以终边落在第四象限.
故选：D.
2．若
，则
的终边位于平面直角坐标系第几象限（ ）
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【详解】因为
，所以
的终边位于第二象限.
故选：B．
3．已知集合
{
是第二象限角}，
{
是钝角}，
{
是大于
的角}，那么
的关系
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如
是第二象限角且大于
，但不是钝角，A 错；
由钝角一定大于
，但大于
角不一定是钝角，故
是
的真子集，B 对，D 错；
如
是第二象限角，但小于
，C 错；
故选：B
4．角
的终边属于第一象限，那么
的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【详解】∵角
的终边在第一象限，
∴
，
，则
，
，
当
时，此时
的终边落在第一象限，
当
时，此时
的终边落在第二象限，
当
时，此时
的终边落在第三象限，
综上，角
的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
5．若
，
，则
终边所在象限为（ ）
A．第一象限
B．第一、三象限
C．第二象限
D．第二、四象限
【答案】B
【详解】
经过第三象限，则反向延长其终边射线经过第一象限，
故
经过一三象限，
故选：B.
6．若
角与
角的终边相同，则
角的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【详解】由题知
，则
，
故
角的终边所在的象限是第三象限．
故选：C
7．（多选）已知角
的终边在第四象限，则
的终边可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BCD
【详解】由
为第四象限角，得
，
得
，
令
，
时，
，
，得
的终边在第四象限；
令
，
时，
，
，得
的终边在第二象限，
令
，
时，
，
，得
的终边在第三象限，
故选：BCD.
8．已知
，则角
的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一或第二象限
D．第三或第四象限
【答案】C
【详解】由已知，
，
当
时，
，即角
的终边在第一象限；
当
时，
，即角
的终边在第二象限．
所以角
的终边在第一或第二象限．
故选：C
9．
的终边在第 象限.
【答案】四
【详解】
，
所以
与
的终边相同，所以终边在第四象限.
故答案为：四
10．已知
，
，
，
．
(1)将
，
用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将
，
用角度制表示出来，并在
内找出与它们终边相同的所有角．
【答案】(1)
，第二象限；
，第一象限
(2)
，
和
；
，
【分析】
【详解】（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得
，
．
又由
，所以
与角
的终边相同，所以
终边位于第二象限；
，所以
与角
的终边相同，所以
终边位于第一象限；
（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得
，
．
根据终边相同角的表示，可得与
终边相同的角为
，
，当
时，
；当
时，
．
与
终边相同的角为
，
，
当
时，
．
因此，在
内，与
终边相同的角是
和
，与
终边相同的角是
．
题型二：区域角
11．终边在
轴的非负半轴上的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】终边在
轴的非负半轴上的角的集合为
.
故选：D
12．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在
间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为
和
，
所以阴影部分的区域在
间的范围是
，
所以终边在阴影部分区域的角的集合为
.
故选：C.
13．集合
中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，
此时
表示的范围与
表示的范围一样；
当时
，
，
此时
表示的范围与
表示的范围一样.
故选：C．
14．（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合；
（2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合.
【答案】（1）①
，②
，③
；
（2）
【详解】（1）由终边相同角的概念可得：
①
，
②
，
③
；
（2）
.
15．写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
【答案】
【详解】依题意，角的集合为
，
所以所求的集合为
.
16．用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于x 轴的非负半轴、终边落在阴影部分内（包括边
界）的角的集合.
【答案】图1：
；
图2：
；
图3：
.
【详解】图1：易知
；
图2：
；
图3：
或
或
或
题型三：扇形的弧长及面积
17．如图，平面图形
是扇形
截去扇形
所得到的，设圆弧
的长度是，圆弧
的长度
是
，平面图形
的面积是
，扇形
的面积是
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设扇形
的面积为
，则
，
设
，
，
，
因为
，故
，所以
，
故
，
故选：D.
18．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由
弧
和其所对的弦
围成，若弦
长度为2，弧
所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图，过点
作
，垂足为
，
由题意可知，
，
，则
，
，
则
，
，
则该弧田的面积为
.
故选：D
19．甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3 弧度，扇形面积分别为
和
，周长分别为
和
.
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3 弧度，
设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为
，
，弧长分别为，
.
，
又
，
联立
，
解得：
，
，
，
，
.
故选：B
20．如图，一个扇形纸片的圆心角为
，
，将这张扇形纸片进行折叠，使圆心
与弧
的中点
恰好重合，折痕为
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意知圆心
与弧
的中点
恰好重合，则
和
互相垂直平分，
由
，且
即知
为等腰直角三角形，故四边形
是正方形，
因为半径
，
，
所以
.
阴影部分的面积为扇形面积减去
的面积，
即
，
故选：B.
21．如图，等边
的边长为4，把
的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为
的一段，然后
分别以三个顶点
为圆心画圆弧，使得
三个内角所对的圆弧的半径均为
，它们的对顶角所
对的圆弧的半径均为
，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为
，则
该圆弧六边形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，圆弧六边形的面积
，
圆弧六边形的周长
，即
，
所以
.
故选：A
22．在一块顶角为
、腰长为2 的等腰三角形厚钢板废料
中，用电焊切割成扇形，现有如图所示的
两种方案，则（ ）
A．方案一中的扇形弧长为
B．方案一中的扇形面积为
C．方案二中的扇形弧长为
D．方案二中的扇形面积为
【答案】D
【详解】因为
是顶角为
、腰长为2 的等腰三角形，
所以
，
上的高为1，即
，
，
所以方案一中扇形的弧长为
；扇形的面积为
；
方案二中扇形的弧长为
；扇形的面积为
．
综上，选项D 正确．
故选：D
23．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是
文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．将一把折扇打开后，其所在扇形的周长为12 分米，面积是
9 平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为 弧度．
【答案】
【详解】设扇形的半径为，弧长为，
因为扇形的周长为12 分米，面积是9 平方分米，所以
，解得
，
所以扇所在扇形的圆心角为
，
故答案为：
.
24．鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有独特的性质，在机械加工业上有广泛的
应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以等边三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这
三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图，这是一个鲁洛克斯三角形，其中
的长度为
，
则中间等边三角形的面积为 .
【答案】
【详解】设中间正三角形的边长为
，
则有
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
25．如图，已知矩形
截圆
所得的弧
的长为
，
，则矩形在圆外部分的面积为
．
【答案】
【详解】设圆
的半径为，由题有
，解得
，
又
，所以
，又点
在圆上，
，则
所以矩形
的面积为
，
又扇形
的面积为
，所以矩形在圆外部分的面积为
，
故答案为：
.
26．已知一扇形的圆心角为
，所在圆的半径为
，该扇形的周长为
，则该扇形中所含弓形的面积为
.
【答案】
【详解】设扇形的弧长为，则
.
又扇形的周长为
，则
，所以
.
所以扇形的面积为
扇形中所含三角形的高为
，底为
，所以三角形面积为
，
故该扇形中所含弓形的面积为
.
故答案为：
.
题型四：扇形中的最值问题
27．已知某扇形的周长是12，则当此扇形的面积最大时，半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设扇形的半径为，弧长为，
扇形的周长为弧长与两个半径之和，即
，因此
，
扇形的面积公式为
，将
代入得：
，
这是一个关于的二次函数，二次项系数为
，函数图象开口向下，当
时，取得最大值.
故选：A.
28．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设扇形的半径为
，圆心角为
，面积为，因为
，
所以
，取等号时
，即
，
所以面积取最大值时
，
如下图所示：
设内切圆圆心为
，扇形过点
的半径为
，
为圆与半径的切点，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
故选：C.
29．如图，四边形ABCD 是边长为
的正方形，P 是圆弧
上的动点，且
，Q 是线段BC 上
的动点.当点P 固定时，点Q 将运动到使
取到最小值时的位置；当点Q 固定时，点P 将运动到使
取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q 都不再运动，且满足上述条件时，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．不存在
【答案】A
【详解】当点P 固定时，点Q 将运动到使
取到最小值时的位置，
此时，
，
则要使当点P，Q 都不再运动，且满足题中两个条件时，
，且点
离
最远，则
为
的中点，
所以
为
的中点，
连接
交
于
，
因为四边形ABCD 是边长为
的正方形，
所以
，
为
的中点，
又因
，
为
的中点，
所以
，
，
所以
，
因为
为
的中点，
所以
，
所以
.
故选：A.
30．如图，
是半径为2 的圆周上的定点，
为圆周上的动点，
.图中阴影区域的面积的最大
值为 .
【答案】
【分析】
【详解】
，
所以在扇形
中，弓形面积为
，
在等腰直角
中，
，
到
最大距离为半径加上等腰直角
底边
上的高，即为
，
所以
所以阴影面积
.
故答案为：
.
31．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点
为圆心的两个同心圆弧和延长后可通
过点
的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30 米，其中大圆环所在圆的半径为10 米，设计小圆环
所在圆的半径为
米，圆心角为
（弧度），当
时，
米；现要给花坛的边缘（实线
部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4 元/米，弧线部分的装饰费用为9 元/米，则花坛每平方米的
装饰费用
的最小值为 元（
）.
【答案】
/
【详解】由题意可得，
，解得
，
当
时，解得
，
，
装饰费为
故
，
令
，
，
则
，
∵
，当且仅当
，即
，即
时，等号成立，
∴
的最小值为
，
花坛每平方米的装饰费用
最小为
元.
故答案为：5；
.
【点睛】关键点点睛：题意可得，
，得
是解决本题的关键.
32．已知某扇形材料的面积为
，圆心角为
，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 .
【答案】
【详解】设扇形所在圆半径为，∴
如图：设割出的圆半径为
，圆心为
，∴
,
，故
，
所以最大的圆周长为
.
故答案为：
33．已知一扇形的圆心角为
，半径为R，弧长为l．
(1)若
，
，求扇形的弧长l；
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角
．
【答案】(1)
(2)扇形周长的最小值为
，此时
【分析】
【详解】（1）因为
，
，
所以扇形的弧长
；
（2）由扇形面积
，得
，
则扇形周长为
，
当且仅当
，即
时，取等号，
此时，
，所以
，
所以扇形周长的最小值为
，此时
.
34．如图1 所示的是杭州2022 年第19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象
核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整
个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2 是会徽的几何图形，设
的长度是，
的长度是
，几何图形
的面积为，扇形
的面积为
，已知
，
.
(1)求
；
(2)若几何图形
的周长为4，则当
为多少时，最大？
【答案】(1)3
(2)
【分析】
【详解】（1）由
，则
，
，
所以
，即
，
，
.
（2）由（1）知，
，
几何图形
的周长为
，
，当且仅当
，即
时，最大值为1.
35．已知一扇形的圆心角为
，所在圆的半径
．
(1)当
，求其弧所在弓形的面积．
(2)若该扇形的面积为
，当它的圆心角和半径取何值时，该扇形的周长
最小？最小值是多少？
【答案】(1)
(2)当扇形圆心角为
，半径为
时，该扇形的周长
最小，最小为.
【分析】
【详解】（1）
由题意，当
时，扇形面积
；
如图，扇形
中，连接
，则
，
所以
是正三角形，则
，
故所求弓形面积为
；
（2）设扇形弧长为，由已知扇形的面积
，则
，
则扇形的周长
，
当且仅当
，即
时等号成立，
此时半径为
，圆心角
，该扇形的周长
最小，最小为.
