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微专题 22 数列中的最值、范围问题
高考定位 近几年高考试题中，与数列有关的最值范围问题既有解答题，也有选
择、填空题，难度中档或偏上.
【真题体验】
1.(2024·上海卷)等比数列{a }的首项 a >0，公比 q>1，记 I ＝{x－y|x，y∈[a ，
n 1 n 1
a ]∪[a ，a ]}，若对任意正整数n，I 是闭区间，则q的取值范围是________.
2 n n＋1 n
2.(2021·浙江卷)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝－，且4S ＝3S －9(n∈N*).
n n 1 n＋1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列{b }满足3b ＋(n－4)a ＝0(n∈N*)，记{b }的前n项和为T .若T ≤λb 对
n n n n n n n
任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
【热点突破】
热点一 求数列和式的最值、范围
求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组(n≥2)确定和式的最大值；
利用不等式组(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性.
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
例 1 设数列{a }的前 n 项积为 T ，满足 T T ＋2T ＝2T (n∈N*，n≥2)，且
n n n n－1 n n－1
a ≠0，a ＝.
n 1
(1)求数列{a }的通项公式a ；
n n
(2)若数列{b }满足b ＝a ＋，求数列{b }的前n项和S 的最值.
n n n n n
训练1 (2024·成都诊断)已知数列{a }是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S 是
n n它的前n项和，满足S ＝5S .
4 2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝log a (a>0且a≠1)，求数列{b }的前n项和T 的最值.
n a n n n
例2 已知数列{a }是递增的等比数列.设其公比为q，前n项和为S ，且满足a ＋
n n 1
a ＝34，8是a 与a 的等比中项.
5 2 4
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若b ＝n·a ，T 是{b }的前n项和，求使T －n·2n＋1>－100成立的最大正整数n
n n n n n
的值.
训练2 (2024·南昌调研)已知数列{a }和{b }满足a ＋b ＝2n＋1，且{b }满足b＝
n n n n n
b ·b ，a ＝1，a ＝－1.
n n＋2 2 3
(1)求数列{a }、{b }的通项公式；
n n
(2)设数列{a }的前n项和为S ，求当S ＋2n＋1≥50时，正整数n的最小值.
n n n
热点三 求数列不等式中参数的取值范围
此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可转
化为函数的最值问题.
例3 (2024·福州质检)已知数列{a }的前 n项和为 S ，a ＝1，a ＝S ＋2n＋1，
n n 1 n＋1 n
n∈N*.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设b ＝，{b }的前n项和为T .
n n n
①求T ；
n
②若对任意的正整数n，不等式5－T <λ·2n恒成立，求实数λ的取值范围.
n
训练3 已知数列{a }中，a ＝1＋(a≠0).
n n
(1)若a＝－7，求数列{a }中的最大项和最小项的值；
n
(2)若对任意的n∈N*，都有a ≤a 成立，求a的取值范围.
n 6
【精准强化练】
一、单选题1.已知数列{a }是等比数列，若 a ·a >1，01，n的最大值为( )
n
A.10 B.11
C.20 D.21
2.(2024·合肥调研)已知数列{a }满足a ＝1，na ＝(n＋1)a ＋1，令b ＝，若对
n 1 n＋1 n n
于任意n∈N*，不等式b <4－2t恒成立，则实数t的取值范围为( )
n＋1
A. B.(－∞，－1]
C.(－∞，0] D.(－∞，1]
3.若数列{a }的前n项积b ＝1－n，则a 的最大值与最小值之和为( )
n n n
A.－ B.
C.2 D.
4.已知等差数列{a }，其前n项和为S ，S 有最小值.若<－1，则使S <0成立的n
n n n n
的最大值为( )
A.17 B.16
C.15 D.14
5.(2024·武汉调研)已知S 是等比数列{a }的前n项和，S ＝7，S ＝63，若关于n
n n 3 6
的不等式S －ta ＋33≥0对任意的n∈N*恒成立，则实数t的最大值为( )
2n n
A.12 B.16
C.24 D.36
6.在数列{a }中，a ＝1，a －a ＝n，则的最小值是( )
n 1 n n－1
A. B.
C.1 D.
7.(2024·郑州调研)如果数列{a }对任意的n∈N*均有a ＋a >2a 恒成立，那么
n n＋2 n n＋1
称数列{a }为“M－数列”，下列数列是“M－数列”的是( )
n
A.a ＝2n－1 B.a ＝－3n
n n
C.a ＝n×2n D.a ＝n2×
n n
二、多选题
8. 已知等差数列{a }的前n项和为S ，公差d≠0.若S ≤S ，则下列结论正确的
n n n 6是( )
A.a <0 B.d<0
1
C.a ＝0 D.S ≤0
6 13
9.(2024·济南调研)已知各项都是正数的数列{a }的前n项和为S ，且S ＝＋，则
n n n
下列结论正确的是( )
A.当m>n(m，n∈N*)时，a >a
m n
B.S ＋S <2S
n n＋2 n＋1
C.数列{S}是等差数列
D.S －≥ln n
n
三、填空题
10.等差数列{a }的前n项和为S ，且a －a ＝8，a ＋a ＝26，若存在正整数m，
n n 4 2 3 5
使得对一切n∈N，n≥1，≤m都成立，则m的最小值是________.
11.(2024·南京调研)已知等差数列{a }满足a ＝－1，a ＋a ＝－12，则数列{a }
n 3 4 12 n
的通项公式a ＝________；若数列的前n项和为S ，则使S >的最大正整数n为
n n n
________.
12.若x＝1是函数f(x)＝a x4－a x3－a x＋1的极值点，数列{a }满足a ＝1，a
n＋1 n n＋2 n 1 2
＝3，设b ＝log a ，记[x]表示不超过x的最大整数.设S ＝，若不等式S ≥t，
n 3 n＋1 n n
对∀n∈N*恒成立，则实数t的最大值为________.
四、解答题
13.已知等差数列{a }与正项等比数列{b }满足a ＝b ＝2，b ＝a ＝a ＋a .
n n 1 1 3 7 2 4
(1)求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)记数列{a }的前20项的和为S ，数列{b }的前n项和为T ，求满足T ≥S 的
n 20 n n n 20
n的最小值.
14.(2024·宁波调研)已知数列{a }满足：a ＝a ＋，且a ＝－.设{a }的前n项和为
n n＋1 n 1 n
T ，b ＝3n·a .
n n n
(1)证明：{b }是等差数列；
n
(2)求T ；
n
(3)若不等式T ＋≤ta 对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围.
n n【解析版】
1.(2024·上海卷)等比数列{a }的首项 a >0，公比 q>1，记 I ＝{x－y|x，y∈[a ，
n 1 n 1
a ]∪[a ，a ]}，若对任意正整数n，I 是闭区间，则q的取值范围是________.
2 n n＋1 n
答案 [2，＋∞)
解析 显然等比数列{a }递增，不妨设x≥y，
n
若x，y∈[a ，a ]，则x－y∈[0，a －a ]，
1 2 2 1
若x，y∈[a ，a ]，则x－y∈[0，a －a ]，
n n＋1 n＋1 n
若x∈[a ，a ]，y∈[a ，a ]，
n n＋1 1 2
则x－y∈[a －a ，a －a ]，
n 2 n＋1 1
∵对任意正整数n，I 都是闭区间，
n
∴a －a ≤a －a ，如图，
n 2 n＋1 n
又a >0，∴qn－2qn－1＋q≥0，
1
即qn－2(q－2)＋1≥0，对任意正整数n，上式都成立，则必有q≥2.
2.(2021·浙江卷)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝－，且4S ＝3S －9(n∈N*).
n n 1 n＋1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列{b }满足3b ＋(n－4)a ＝0(n∈N*)，记{b }的前n项和为T .若T ≤λb 对
n n n n n n n
任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)因为4S ＝3S －9，
n＋1 n
所以当n≥2时，4S ＝3S －9，
n n－1
两式相减可得4a ＝3a ，即＝.
n＋1 n
当n＝1时，4S ＝4＝－－9，
2
解得a ＝－，所以＝.
2
所以数列{a }是首项为－，
n
公比为的等比数列，
所以a ＝－×＝－.
n
(2)因为3b ＋(n－4)a ＝0，
n n
所以b ＝(n－4)·.
n
所以T ＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－4)·，①
n
所以T ＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)·＋(n－4)·，②
n
①－②得T ＝－3×＋＋＋…＋－(n－4)·
n
＝－＋－(n－4)·
＝－n·，
所以T ＝－4n·.
n
因为T ≤λb 对任意n∈N*恒成立，
n n
所以－4n·≤λ(n－4)·恒成立，所以(λ＋3)n－4λ≥0.
记f(n)＝(λ＋3)n－4λ(n∈N*)，
所以解得－3≤λ≤1.
所以λ的取值范围是[－3，1].
【热点突破】
热点一 求数列和式的最值、范围
求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组(n≥2)确定和式的最大值；
利用不等式组(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性.
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
例 1 设数列{a }的前 n 项积为 T ，满足 T T ＋2T ＝2T (n∈N*，n≥2)，且
n n n n－1 n n－1
a ≠0，a ＝.
n 1
(1)求数列{a }的通项公式a ；
n n
(2)若数列{b }满足b ＝a ＋，求数列{b }的前n项和S 的最值.
n n n n n
解 (1)由T T ＋2T ＝2T ，
n n－1 n n－1
得－＝.
又＝＝，所以＝＋(n－1)＝，所以T ＝，
n
所以a ＝＝(n≥2)，
n因为n＝1，a ＝符合上式，所以a ＝.
1 n
(2)由(1)知，a ＝，
n
所以b ＝a ＋＝＋＝－＋2.
n n
所以S ＝b ＋b ＋…＋b ＝＋＋…＋
n 1 2 n
＝－＋2n，
显然S ＝－＋2n在n∈N*上单调递增，
n
所以当n＝1时，S 的最小值是，无最大值.
n
易错提醒 利用数列和式的单调性求其最值.要首先判断其单调性，且注意数列
中的n≥1且n∈N.
训练1 (2024·成都诊断)已知数列{a }是首项等于的等比数列，公比q∈N*，S 是
n n
它的前n项和，满足S ＝5S .
4 2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝log a (a>0且a≠1)，求数列{b }的前n项和T 的最值.
n a n n n
解 (1)公比q∈N*，∵S ＝5S ，q≠1，
4 2
∴＝，解得q＝2.
∴a ＝×2n－1＝2n－5.
n
(2)b ＝log a ＝(n－5)log 2，
n a n a
∴数列{b }的前n项和T ＝log 2
n n a
＝log 2，
a
当a>1时，(T ) ＝T ＝T ＝－10log 2，无最大值；
n min 4 5 a当0－100成立的最大正整数n
n n n n n
的值.
解 (1)因为8是a 与a 的等比中项，
2 4
所以a a ＝82＝64，
2 4
则由题意得即
解得或
因为数列{a }是递增的等比数列 ，
n
所以即a ＝2，q＝2，
1
所以a ＝a qn－1＝2×2n－1＝2n.
n 1
(2)由(1)得b ＝n·a ＝n×2n，
n n
则T ＝b ＋b ＋b ＋…＋b ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
n 1 2 3 n
2T ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
n由①－②得－T ＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1，
n
即T ＝n×2n＋1－＝(n－1)2n＋1＋2，
n
所以T －n·2n＋1＝(n－1)2n＋1＋2－n·2n＋1＝2－2n＋1.
n
由T －n·2n＋1>－100，
n
得2－2n＋1>－100，
即2n<51，由于25＝32<51，26＝64>51，
所以n≤5，即使T －n·2n＋1>－100成立的最大正整数n的值为5.
n
易错提醒 解答本题要首先正确求出T ，在求n的最值时要结合T －n·2n＋1的单
n n
调性，同时注意n∈N*求解.
训练2 (2024·南昌调研)已知数列{a }和{b }满足a ＋b ＝2n＋1，且{b }满足b＝
n n n n n
b ·b ，a ＝1，a ＝－1.
n n＋2 2 3
(1)求数列{a }、{b }的通项公式；
n n
(2)设数列{a }的前n项和为S ，求当S ＋2n＋1≥50时，正整数n的最小值.
n n n
解 (1)∵b＝b ·b ，
n n＋2
∴数列{b }为等比数列.
n
∵a ＝1，a ＋b ＝5，∴b ＝4.
2 2 2 2
∵a ＝－1，a ＋b ＝7，∴b ＝8，
3 3 3 3
∴等比数列{b }的公比q＝＝2，
n
∴b ＝b qn－2＝4×2n－2＝2n，
n 2
∴a ＝2n＋1－b ＝2n＋1－2n.
n n(2)由(1)知a ＝2n＋1－2n，
n
所以S ＝－＝n(n＋2)－2n＋1＋2，
n
∴S ＋2n＋1≥50可化为n2＋2n－48≥0，
n
∵n∈N*，解得n≥6，
∴正整数n的最小值为6.
热点三 求数列不等式中参数的取值范围
此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可转
化为函数的最值问题.
例3 (2024·福州质检)已知数列{a }的前 n项和为 S ，a ＝1，a ＝S ＋2n＋1，
n n 1 n＋1 n
n∈N*.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设b ＝，{b }的前n项和为T .
n n n
①求T ；
n
②若对任意的正整数n，不等式5－T <λ·2n恒成立，求实数λ的取值范围.
n
(1)证明 因为a ＝S ＋2n＋1，
n＋1 n
所以S －S ＝S ＋2n＋1，
n＋1 n n
所以S ＝2S ＋2n＋1，所以＝＋1，
n＋1 n
所以－＝1，
所以是公差为1的等差数列.(2)解 ①因为＝＝，
所以＝＋(n－1)×1＝，
所以S ＝(2n－1)·2n－1，
n
∴b ＝＝·，
n
∴T ＝×＋×＋×＋…＋×，
n
∴T ＝×＋×＋×＋…＋×，
n
两式相减得T ＝＋＋＋…＋－×，
n
∴T ＝＋－×，所以T ＝－×，
n n
∴T ＝5－(2n＋5)×.
n
②∵5－T <λ·2n对任意的n∈N*恒成立，
n
∴(2n＋5)·<λ·2n，
则λ>对任意的n∈N*恒成立，
令C ＝，
n
∴C －C ＝－＝＝<0，
n＋1 n
∴{C }为递减数列，则当n＝1时，(C ) ＝，
n n max
∴λ>.
易错提醒 求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立，还是有解问
题，若f(n)≥M恒成立，则f(n) ≥M；若f(n)≥M有解，则f(n) ≥M.
min max
训练3 已知数列{a }中，a ＝1＋(a≠0).
n n
(1)若a＝－7，求数列{a }中的最大项和最小项的值；
n(2)若对任意的n∈N*，都有a ≤a 成立，求a的取值范围.
n 6
解 (1)∵a ＝1＋，
n
又a＝－7，∴a ＝1＋.
n
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1>a >a >a >a ，a >a >a >…>a >1.
1 2 3 4 5 6 7 n
∴数列{a }中的最大项为a ＝2，最小项为a ＝0.
n 5 4
(2)a ＝1＋＝1＋，
n
已知对任意的n∈N*，都有a ≤a 成立，
n 6
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－101，01，n的最大值为( )
n
A.10 B.11
C.20 D.21
答案 C
解析 数列{a }是等比数列，a ·a >1，01，
9 12
T ＝a ·a …a ·a ·a ＝a<1，
21 1 2 19 20 21所以使T >1的n的最大值为20.
n
2.(2024·合肥调研)已知数列{a }满足a ＝1，na ＝(n＋1)a ＋1，令b ＝，若对
n 1 n＋1 n n
于任意n∈N*，不等式b <4－2t恒成立，则实数t的取值范围为( )
n＋1
A. B.(－∞，－1]
C.(－∞，0] D.(－∞，1]
答案 D
解析 ∵na ＝(n＋1)a ＋1，
n＋1 n
则＝＋＝＋－
∴b －b ＝－，
n＋1 n
又∵b ＝(b －b )＋(b －b )＋…＋(b －b )＋b
n＋1 n＋1 n n n－1 2 1 1
∴b ＝＋＋…＋＋1＝2－<2，
n＋1
由题意可得2≤4－2t，则2t≤2，∴t≤1.
3.若数列{a }的前n项积b ＝1－n，则a 的最大值与最小值之和为( )
n n n
A.－ B.
C.2 D.
答案 C
解析 ∵数列{a }的前n项积b ＝1－n，
n n
当n＝1时，a ＝；
1
当n≥2时，b ＝1－(n－1)，
n－1
a ＝＝＝＝1＋，
n
当n＝1时也适合上式，∴a ＝1＋.
n当n≤4时，数列{a }单调递减，且a <1；
n n
当n≥5时，数列{a }单调递减，且a >1，
n n
故a 的最大值为a ＝3，最小值为a ＝－1，
n 5 4
∴a 的最大值与最小值之和为2，故选C.
n
4.已知等差数列{a }，其前n项和为S ，S 有最小值.若<－1，则使S <0成立的n
n n n n
的最大值为( )
A.17 B.16
C.15 D.14
答案 C
解析 因为等差数列{a }的前 n项和 S 有最小值，所以 a <0，公差 d>0，所以
n n 1
a >a .
9 8
因为<－1，所以a <0，a >0，且a ＋a >0，
8 9 9 8
所以S ＝＝>0，
16
S ＝＝15a <0，
15 8
所以当1≤n≤15时，S <0，
n
所以使S <0成立的n的最大值为15.
n
5.(2024·武汉调研)已知S 是等比数列{a }的前n项和，S ＝7，S ＝63，若关于n
n n 3 6
的不等式S －ta ＋33≥0对任意的n∈N*恒成立，则实数t的最大值为( )
2n n
A.12 B.16
C.24 D.36
答案 C
解析 设等比数列{a }的公比为q(q≠1)，
n则S ＝＝7，S ＝＝63，
3 6
解得q＝2，a ＝1，
1
∴a ＝2n－1，S ＝22n－1，
n 2n
∴关于n的不等式S －ta ＋33≥0，
2n n
即22n－t×2n－1＋32≥0，
即t≤2n＋1＋对任意的n∈N*恒成立.
法一 设f(n)＝2n＋1＋，n∈N*，
则f(n＋1)－f(n)＝2n＋2＋－＝2n＋1－，
当n＝2时，f(n＋1)－f(n)＝0，
当n＝1时，f(n＋1)－f(n)<0，
当n≥3时，f(n＋1)－f(n)>0，
又f(2)＝f(3)＝24，
∴当n＝2或n＝3时，f(n) ＝24 ，
min
∴t≤24，t ＝24.
max
故选C.
法二 由2x＋1＋≥2＝16，
当且仅当2x＋1＝，即x＝时等号成立，
又n∈N*，∴当n＝2或n＝3时，2n＋1＋取得最小值24，
故t≤24，t ＝24.
max
6.在数列{a }中，a ＝1，a －a ＝n，则的最小值是( )
n 1 n n－1
A. B.
C.1 D.
答案 C
解析 当n≥ 2时，a ＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )＋a ＝，
n n n－1 n－1 n－2 2 1 1
当n＝1时，a ＝1满足上式，
1
则＝＝.
因为n∈N*，n＋1≥2，
所以(n＋1)＋≥3，则(n＋1)＋－1≥2，
故≥×2＝1，当且仅当n＝1时，等号成立.故选C.
7.(2024·郑州调研)如果数列{a }对任意的n∈N*均有a ＋a >2a 恒成立，那么
n n＋2 n n＋1
称数列{a }为“M－数列”，下列数列是“M－数列”的是( )
n
A.a ＝2n－1 B.a ＝－3n
n n
C.a ＝n×2n D.a ＝n2×
n n
答案 C
解析 若a ＝2n－1，则a ＋a －2a ＝2n＋3＋2n－1－2(2n＋1)＝0，
n n＋2 n n＋1
即a ＋a ＝2a ，不满足条件，不是“M－数列”；
n＋2 n n＋1
若a ＝－3n，则a ＋a －2a ＝－(3n＋2＋3n－2×3n＋1)＝－4×3n<0，
n n＋2 n n＋1
即a ＋a <2a ，不满足条件，不是“M－数列”；
n＋2 n n＋1若 a ＝n×2n，则 a ＋a －2a ＝(n＋2)×2n＋2＋n×2n－2(n＋1)×2n＋1＝(n＋
n n＋2 n n＋1
4)×2n>0，
即a ＋a >2a ，满足条件，则是“M－数列”；
n＋2 n n＋1
若a ＝n2×，则a ＋a －2a ＝(n＋2)2×＋n2×－2(n＋1)2×
n n＋2 n n＋1
＝×
＝×，
当n＝1，2，3时，a ＋a <2a ，不满足条件，不是“M－数列”.故选C.
n＋2 n n＋1
二、多选题
8. 已知等差数列{a }的前n项和为S ，公差d≠0.若S ≤S ，则下列结论正确的
n n n 6
是( )
A.a <0 B.d<0
1
C.a ＝0 D.S ≤0
6 13
答案 BD
解析 因为S ≤S ，所以S ≤S 且S ≤S ，
n 6 5 6 7 6
即a ＝S －S ≥0，a ＝S －S ≤0，
6 6 5 7 7 6
因为d≠0，即a ，a 不同时为零 ，
6 7
所以d＝a －a <0，故B正确；
7 6
因为a ≥0，即a ＋5d≥0，
6 1
所以a >0，故A错误；
1
S ＝＝13a ≤0，故D正确；
13 7a 不一定为零，故C错误.
6
9.(2024·济南调研)已知各项都是正数的数列{a }的前n项和为S ，且S ＝＋，则
n n n
下列结论正确的是( )
A.当m>n(m，n∈N*)时，a >a
m n
B.S ＋S <2S
n n＋2 n＋1
C.数列{S}是等差数列
D.S －≥ln n
n
答案 BCD
解析 对于A，由题意可知a ＝＋，得a＝1，所以a ＝1，
1 1
由a ＋a ＝＋，得a＋2a －1＝0，
1 2 2
所以a ＝－1的最大正整数n为
n n n
________.
答案 2－n 5
解析 设等差数列的公差为d，由已知可得
解得
故数列{a }的通项公式为a ＝2－n.
n n
由S ＝a ＋＋…＋，
n 1
有＝＋＋…＋.
两式相减得
＝a ＋＋…＋－
1＝1－－
＝1－－＝.
所以S ＝，由S ＝>，得00)，
n n
因为a ＝b ＝2，b ＝a ＝a ＋a ，
1 1 3 7 2 4
所以2q2＝2＋6d＝2＋d＋2＋3d，
解得d＝1，q＝2，
所以数列{a }的通项公式为a ＝n＋1，数列{b }的通项公式为b ＝2n.
n n n n
(2)由(1)得S ＝＝230，
20
T ＝＝2n＋1－2，
n
所以T ≥S ，即为2n＋1－2≥230，
n 20
即为2n≥116.
因为y＝2x单调递增，26＝64<116<128＝27，
所以满足2n≥116的正整数n的最小值为7.
14.(2024·宁波调研)已知数列{a }满足：a ＝a ＋，且a ＝－.设{a }的前n项和为
n n＋1 n 1 n
T ，b ＝3n·a .
n n n
(1)证明：{b }是等差数列；
n
(2)求T ；
n(3)若不等式T ＋≤ta 对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围.
n n
(1)证明 因为b ＝3n·a ，
n n
所以b ＝3n＋1·a ，
n＋1 n＋1
b －b ＝3n＋1·a －3n·a
n＋1 n n＋1 n
＝3n＋1－3n·a ＝1，
n
且b ＝－2，所以b 是以－2为首项，且公差为1的等差数列，即b ＝n－3.
1 n n
(2)解 由(1)知，b ＝n－3，
n
所以a ＝＝·(n－3).
n
则T ＝(－2)·＋(－1)·＋0·＋…＋(n－4)·＋(n－3)·，于是T ＝(－2)·＋(－1)·＋0·＋…＋(n－
n n
4)·＋(n－3)·，
两式相减得T ＝－＋＋＋＋…＋－(n－3)·
n
＝－＋－(n－3)·＝－－·，
因此T ＝－－·.
n
(3)解 由T ＋≤ta ，
n n
得－·≤t(n－3)·，
依题意，t(n－3)≥对n∈N*恒成立，
当1≤n<3时，t≤＝－－×，
－－×≥－，则t≤－；当n＝3时，不等式恒成立；
当n>3时，t≥＝－－×，－－×<－，
则t≥－，于是－≤t≤－，
综上，实数t的取值范围是.
