精品解析：上海市行知中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_下学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 行知中学高一期中考试数学试卷 2023.04 一、填空题（第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分，满分 54分） 6m，8mm＜0， 1. 已知角  的终边经过 则sin _______. 4 【答案】 5 【解析】 【分析】由条件得出点P到原点的距离r，再利用任意角的三角函数的定义可得sin的值. 【详解】根据角的终边经过点P(6m,8m) (m0)， 所以r  6m2 8m2  100m2 10m， 8m 4 所以sin  ， 10m 5 4 故答案为： ． 5 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，需注意角终边上的点的坐标有字母时，求点P到原点的距离 r时的符号，属于基础题． 2. 已知向量a r 2,3 ，b  3,2，则a  与b  共线，则实数_________． 9 【答案】 4 【解析】 【分析】根据向量平行得到2233，解得答案. 【详解】向量a r 2,3 ，b  3,2，a  与b  共线，则2233，解得 9 . 4 9 故答案为： 4 3. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 【答案】2rad 【解析】 1 【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由2Rl 4， lR1求解. 2 【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为， 则2Rl 4．① 第 1 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 由扇形的面积公式S  lR，得 lR1．② 2 2 由①②得R1，l2， l ∴ 2rad． R ∴扇形的圆心角为2rad． 故答案为：2rad ai 4. 复数z  （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为__________. 1i 【答案】1 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算化简复数z，由几何意义可得z所对应的点的坐标，进一步可得答案. ai (ai)(1i) a1 a1 a1 a1 【详解】由已知，z     i，所以z所对应的点为( , )， 1i (1i)(1i) 2 2 2 2 a1 此点在实轴上，所以 0，解得a1. 2 故答案为：1 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的几何意义，是一道容易题. 1 5. 若log x  1，则x的取值范围是_______． 1 2 2  3 1 1 5 【答案】  ,    ,   2 2 2 2 【解析】 【分析】先求函数定义域，再根据函数的单调性求解.  1 1  1 y log x 【详解】解：该函数的定义域为： ,    , ，log x 1log 2，又 1 在定  2 2  1 2 1 2 2 2 1  3 5 义域上单调递减，故 x 2，解得：  , ， 2  2 2  3 1 1 5 综上x的取值范围是  ,    , .  2 2 2 2  3 1 1 5 故答案为：  ,    ,   2 2 2 2 第 2 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3  sincos2tan     7 1  2  6. 已知为第三象限角，且sin     ，则   2  5    cot3sin      2  _____________. 2 6 【答案】 5 【解析】 【分析】利用诱导公式计算出cos的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin的值，然后利用诱导公 式以及同角三角函数的基本关系可求出结果.  7  7    1 【详解】由诱导公式可得sin    sin   4  sin    cos ，  2   2   2 5 2  1 2 6 Q为第三象限角，则sin 1cos2 1   ，    5 5 3  sincos2tan     2  sincoscot 2 6 因此，  sin .    cotcos 5 cot3sin      2  2 6 故答案为： . 5 【点睛】本题考查利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 7. 已知函数y f(x)，若 f sinx3cos2x，则 f cosx__________． 【答案】3cos2x 【解析】   【分析】利用诱导公式先将 f cosx 中的cosx化为sin  x ,然后将 f sinx3cos2x中x替换成  2   x，进而再利用诱导公式化简即得. 2  π    【详解】 f cosx f  sin  x  3cos2  x  3cos2x3cos2x,  2   2  故答案为：3cos2x. 8. 设a0且a 1，若log (sinxcosx)0，则sin8 xcos8 x______． a 【答案】1 第 3 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】根据对数函数的运算性质，得到sinxcosxa0 1，再根据三角函数的基本关系，准确化简， 即可求解，得到答案. 【详解】设a0且a 1，若log (sinxcosx)0， a 所以sinxcosxa0 1，所以sinxcosx2 sin2 xcos2 x2sinxcosx1， 又sin2 xcos2 x1，所以sinxcosx0， 又由  sin2 xcos2 x 2 sin4 xcos4 x2sin2 xcos2 x1， 则sin4 xcos4 x1 所以sin8 xcos8 x  sin4 xcos4 x 2 2sin4 xcos4 x   sin4 xcos4 x 2 1 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角函数的基本关系 式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. x3a3,x0 9. 若函数 f x 在x, 上为严格增函数，则实数a的取值范围是__．  ax,x0  4 【答案】 1,   3 【解析】 【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数a的不等式组，解之即可求得实数a的取值范围. x3a3,x0 【详解】函数 f x 在x, 上为严格增函数，  ax,x0 a 1 4  4 可得 ，解得1a ，故实数a的取值范围为 1,  ， 3a31 3  3  4 故答案为： 1,   3 10. 已知函数 f x Asinxb  A0,0,  的最大值为4，最小值为0，最小正周期为     ，直线x 是其图像的一条对称轴，且 f    f  ，则 f x 的解析式为___________. 2 3  4  2 第 4 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   【答案】 f x2sin  4x  2  6  【解析】  【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求A,b，根据周期公式求，再代入对称轴x ，求 3 ，最后再验证，确定函数的解析式.  【详解】 f   1  4  【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.          11. 已知a,b为单位向量,且|ab| 2|ab|,则a在ab上的投影为_____ 6 【答案】 3 【解析】 【分析】 由已知向量等式两边平方求得a  b  ，进一步求出 a  ab  ， ab  的值，再根据投影的概念，即可求 出结果． r r r r 【详解】由a  ,b  为单位向量,知 a  b  1,由且|a  b  | 2|a  b  |,得  ab 2 2  ab 2 , 即 a2 2ab  b  2 2a2 4ab  2b  2 , ∴ ab   1 ． 3 则 ab  ＝  ab 2 ＝ a2 2ab  b 2  1 2 1＝ 2 6 ． a  ab  a2 ab  1 1  4 ． 3 3 3 3 4 ∴ a  在a  b  上的投影为 a a  a   b  b   2 3 6  3 6 ． 3 6 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算,考查了平面向量投影的概念,是中档题． 1 12. 函数y  的图像与函数y 2sinx(2 x4)的图像所有交点的横坐标之和等于_______． x1 【答案】4 【解析】 第 5 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和. 1 【详解】由于函数y  与函数 y 2sinx2 x4 均关于点M 1,0 成中心对称， x1 结合图形两函数有如图所示的A,B,C,D共4个交点，其中A,D和B,C 都关于点M 对称. 其横坐标分别记作x ,x ,x ,x ,则有 x x 212，同理有x x 2， 1 2 3 4 1 4 2 3 所以所有交点的横坐标之和为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数 的图象和对称性之，属中档题，关键是熟练掌握分式函数和正弦型函数的图象的对称性. 二、选择题（本大题共 4题，满分 20分） 13. 在  ABC中，已知D为BC上的一点，且满足BD4DC，则  A  D  （ ） 3 1 2 3 1 4 4 1 A. AB AC B. AB AC C. AB AC D. AB AC 4 4 5 5 5 5 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；  4 【详解】因为BD4DC，所以BD BC, 5     4  4  1 4 所以AD ABBD AB BC  AB ACAB  AB AC. 5 5 5 5 故选：C. 14. 已知复数z 23i，则（ ） A. z的实部为2 B. z的虚部为3i C. z在复平面内对应的点在第三象限 D. z 23i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数z  x yix,yR 的实部为x,虚部为y,对应点 x,y ,共轭复数为z  x yi,进行判定. 第 6 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】复数z 23i的实部为2，虚部为3，对应点坐标 2,3 ,是第四象限，共轭复数为z23i， 故选：A. m 15. 若幂函数 （m,nN*，且m、n互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ） y  xn m m A. m、n是奇数且 1 B. m是偶数，n是奇数，且 1 n n m m C. m是偶数，n是奇数，且 1 D. m、n是偶数，且 1 n n 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果. m 【详解】将分数指数式化为根式， y  xn  n xm ， 由定义域为R，值域为0,知n为奇数，m为偶数，故排除A、D， 又由幂函数y x，当1时，图像在第一象限的部分下凸， 当01时，图像在第一象限的部分上凸. 故选：C 【点睛】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题. 16. 已知a，b，，R，满足sincosa，cossinb，0a2 b2 4，有以下2个 结论： ①存在常数a，对任意的实数bR，使得sin 的值是一个常数； ②存在常数b，对任意的实数aR，使得cos 的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①、②都成立 B. 结论①不成立、②成立 C. 结论①成立、②不成立 第 7 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) D. 结论①、②都不成立 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将sin 和cos 用a，b表示即可. 【详解】对于结论①， ∵sincosa，cossinb， ∴a2 sin22sincoscos2，b2 cos22cossinsin2， ∴a2 b2 22sincos2cossin22sin ， a2 b2 2 ∴sin ， 2 a2 b2 2 ∴当a为常数，bR时，sin 不是一个常数，故结论①不成立； 2 对于结论②， 方法一： ∵absincoscossin sincossinsincoscossincos cossincossincos 又∵sincos sincoscossincoscossinsin sincoscos2sin2sincoscos2sincossincossin2   sin2cos2  sincos  sin2cos2  sincos sincossincos ∴abcossincossincos cossincos a2 b2 2 cos cos 2 第 8 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2ab 化简得cos ， a2 b2 ∴存在常数b0，对任意的实数aR，使得cos0，故结论②成立. 方法二：（特值法） π π  当 时，bcossincos    sinsinsin0， 2 2  π π ∴ ，∴coscos 0. 2 2 ∴存在常数b0，对任意的实数aR，使得cos0，故结论②成立. 故选：B. 【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法 可以有效验证其正确性，减少运算量. 三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分） 17. 设z为关于x的方程x2 mxn0m,nR 的虚根，i为虚数单位. （1）当z 1i时，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，若nai,aR，3，求a的取值范围. m2 【答案】（1） ；（2） 5, 5   n2 【解析】 【分析】（1）将z 1i代入方程，并根据复数相等时实部、虚部对应相等计算m、n的值； （2）根据复数模的计算公式： n2 a2 ，n的值已知，再根据不等式3即可求解出a的取值范 围. 【详解】（1）将z 1i代入方程可得：1i2 m1in0，所以mnm2i 0， mn0 m2 所以有： ，解得 ； m20 n2 （2）因为n2，所以2ai，所以 4a2 3，则4a2 9， 解得： 5 a 5，所以：a 5, 5.   【点睛】本题考查实系数方程的解以及复数的模长计算，难度较易. （1）已知实系数方程的虚根，求解方程中参数的方法：将虚根代入方程，利用复数相等计算参数值； 第 9 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）复数的模长计算：已知复数z abi，则 z  a2 b2 . 18. 已知向量  x、  y  满足： x 1， y 2，且(x2y) · (2x y)5．   （1）求x与 y的夹角； （2）若(xmy) y ，求实数m的值．  1 【答案】(1)  (2) m 3 4 【解析】   x y 1       cos   【分析】（1）由(x2y)(2x y)5展开，可解出xy 1，根据向量夹角公式   ，即可 x  y 2 求出夹角的大小； （2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m的值．     【详解】（1）∵(x2y) (2x y)5   2   2   ∴2 x 5xy2 y 5 xy 1   xy 1 cos  ∵   x  y 2  ∴ ． 3    （2）∵(xmy) y      2 ∴(xmy)y 0，即xym y 0 1 ∴14m0m ． 4 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用， 属于基础题． 19. 如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5公里， 3 与小岛D相距为3 5公里．已知角A为钝角，且sin A  ． 5 第 10 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求小岛A与小岛D之间的距离； （2）记CDB为，CBD为，求sin(2)的值． 2 5 【答案】（1）2 （2） 25 【解析】 【分析】(1) 在△ABD中，利用余弦定理即可求解； 5 (2) 在△BCD中，先利用正弦定理求出sin ，然后利用两角和的正弦公式即可求解. 5 【小问1详解】 由题意可知：AB BC 5，BD3 5， 3 4 因为角A为钝角，sin A  ，所以cosA ， 5 5 在△ABD中，由余弦定理得，AD2  AB2 2ADABcosA BD2， 所以AD2 8AD200，解得AD2或AD10（舍）， 所以小岛A与小岛D之间的距离为2． 【小问2详解】 BC BD 在△BCD中，由正弦定理  ，因为AC π， sin sinC 3 5 所以sinC sin(πA)sinA ，则sin ， 5 5 2 5 因为BC  BD，所以为锐角，所以cos ， 5 3 因为sin()sin(πC)sinC  ， 5 4 cos()cos(πC)cosC  ， 5 所以sin(2)sin[()] 2 5 sincos()cossin() ． 25   20. 已知函数 f x4sinxcos  x   3xR ．  3 （1）将函数形式化简为y  Asinxb的形式，写出其振幅、初相与最小正周期； 第 11 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）求函数 f x 的最小值与此时所有x的取值；  （3）将函数 f x 的图像向右移动 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a0a1 倍 6 得到y  gx 的图像，如果y  gx 在区间 1,1 上至少有100个最大值，那么求a的取值范围．    【答案】（1）y 2sin  2x ；振幅为2，初相 ，最小正周期.  3 3 7 （2）2；x k,kZ 12 4 （3）0a 199 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简后直接由定义求振幅、初相与最小正周期；  3 （2）直接令2x  2k求最小值； 3 2 （3）先平移变换后，求出y sinx在y轴左右两侧的第50个最大值点，列出不等式即可. 【小问1详解】   1 3 f x4sinxcos x  3 4sinx cosx4sinx sinx 3    3 2 2   2sinxcosx2 3sin2 x 3 sin2x 3(1cos2x) 3 sin2x 3cos2x 2sin  2x ，  3  2 振幅为2，初相 ，最小正周期 . 3 2 【小问2详解】    3 7 由 f(x)2sin  2x ，可得当2x  2k时，取得最小值2，此时x k,kZ.  3 3 2 12 【小问3详解】       f(x)2sin  2x 向右移动 个单位得到y 2sin  2x   2sin2x，再将所得图像上各点的  3 6  3 3 2  2  2 2 横坐标缩短到原来的a0a1 倍得到y  gx2sin  x ，x1,1 ， x   ,  ，又 a  a  a a  197 y sinx在y轴右侧的第50个最大值点为 492 ，在y轴左侧的第50个最大值点为 2 2 第 12 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 197   3 199 a 2 4 4  492 ，故 ，解得a ，所以0a . 2 2 2 199 199 199     a 2 21. 对于两个定义域相同的函数 f x 和gx ，若存在实数m,n，使hxmf xngx ，则称函数 hx 是由“基函数 f x 和gx ”生成的. 4 1 1 4 （1）若hx9x 是由“基函数 f x2x a和gx x 2”生成的，求实数a的值； x x 2 x 1 （2）试利用“基函数 f xlog  4x 1  和gx x1”生成一个函数hx ，使之满足hx 为偶函 2 2 数，且h 0 1. ①求函数hx 的解析式； ②已知n3,nN*,x 0 1,x n 1，对于区间 1,1 上的任意值x 1 ,x 2 , ，x n1 x 1  x 2    x n1  ， n n 若 hx i hx i1  M 恒成立，求实数M 的最小值.（注： x i  x 1 x 2   x n .） i1 i1 【答案】（1）1； 5 （2）①h(x)log (4x 1)x2；②2log . 2 2 4 【解析】 4 1 1 4 【分析】(1)根据题意，可得hx9x m(2x a)n( x 2)，化简，利用对应项的系数相 x x 2 x 等即可求解； 1 ①设h(x)mlog (4x 1)n( x1)，根据函数hx 为偶函数得出n2m，再结合h 0 1，即可 2 2 求出m,n的值，进而求出函数的解析式； ② 利 用 定 义 证 明 函 数 的 单 调 ， 将 式 子 化 简 为 n  hx hx  h(1)h(1)h(x )h(x ) h(x )h(x ) ，然后根据条件求解即可. i i1 k k1 k1 k i1 【小问1详解】 4 1 1 4 由已知，可得hx9x m(2x a)n( x 2)， x x 2 x 第 13 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  n 2m 9  2 m4 4  n 4nm   则9x   2m  x ma2n，则4nm4 ，解得n2 ， x  2 x   ma2n0 a1    所以实数a的值为1. 【小问2详解】 1 ①设h(x)mlog (4x 1)n( x1)， 2 2 n 因为 hx 为偶函数，所以h(x)mlog (4x 1) xn， 2 2 n n 由h(x)h(x)，可得mlog (4x 1) xnmlog (4x 1) xn， 2 2 2 2 4x 1 整理可得mlog ( )nx，即mlog 4x nx，所以2nx 4mx， 2 4x 1 2 所以nx2mx对任意x恒成立，所以n2m， x 所以h(x)mlog (4x 1)2m( 1)m[log (4x 1)x]2m， 2 2 2 又因为h 0 1，所以mlog 22m1，所以m 1， 2 故函数hx 的解析式为h(x)log (4x 1)x2. 2 4x 1 ②由①知h(x)log (4x 1)x2log 2. 2 2 2x 在[0,1]内任取x,x ，且x  x ， 1 2 1 2 4x 1 1 4x 2 1 (4x 1 1)2x 2 则h(x )h(x )log 2log 2log ， 1 2 2 2x 1 2 2x 2 2 (4x 2 1)2x 1 因为(4x 1 1)2x 2 (4x 2 1)2x 1 (2x 2 2x 1)(22x 1 x 2 2x 1 2x 2) (2x 2 2x 1)2x 1 x 2(2x 1 2x 2)(2x 2 2x 1)(12x 1 x 2)，x  x ， 1 2 所以2x 2 2x 1 0，2x 1 x 2 1，所以12x 1 x 2 0， (4x 1 1)2x 2 所以(2x 2 2x 1)(12x 1 x 2)0，即0 1， (4x 2 1)2x 1 (4x 1 1)2x 2 所以log 0，即h(x )h(x )， 2 (4x 2 1)2x 1 1 2 第 14 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以函数h(x)在[0,1]上是增函数，同理可证，函数h(x)在[1,0]上是减函数. 设x k 0 x k1 (x k  x k1 ),k 0,1,2,3,  ,n1， 则h(x 0 )h(x 1 )  h(x k ),h(x k1 )h(x k2 )  h(x n )， n 所以  hx i hx i1  h(x 0 )h(x 1 )h(x 1 )h(x 2 )  h(x k1 )h(x k ) h(x k1 )h(x k ) i1 h(x k2 )h(x k1 )h(x k3 )h(x k2 )  h(x n )h(x n1 ) h(x )h(x ) h(x )h(x ) h(x )h(x ) 0 k k1 k n k1 h(1)h(1)h(x )h(x ) h(x )h(x ) ， k k1 k1 k n 5 当且仅当x 0或x 0时，  hx hx  有最大值2h(1)2h(0)2log ， k k1 i i1 2 4 i1 5 故M 的最小值为2log . 2 4 【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决 问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本 质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是 制胜法宝. 第 15 页 共 15 页