精品解析：上海市行知中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高一_下学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
行知中学高一期中考试数学试卷
2023.04
一、填空题（第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分，满分 54分）
6m，8mm＜0，
1. 已知角  的终边经过 则sin _______.
4
【答案】
5
【解析】
【分析】由条件得出点P到原点的距离r，再利用任意角的三角函数的定义可得sin的值.
【详解】根据角的终边经过点P(6m,8m) (m0)，
所以r  6m2 8m2  100m2 10m，
8m 4
所以sin  ，
10m 5
4
故答案为： ．
5
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，需注意角终边上的点的坐标有字母时，求点P到原点的距离
r时的符号，属于基础题．
2. 已知向量a r 2,3 ，b  3,2，则a  与b  共线，则实数_________．
9
【答案】
4
【解析】
【分析】根据向量平行得到2233，解得答案.
【详解】向量a r 2,3 ，b  3,2，a  与b  共线，则2233，解得 9 .
4
9
故答案为：
4
3. 一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．
【答案】2rad
【解析】
1
【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由2Rl 4， lR1求解.
2
【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，
则2Rl 4．①
第 1 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
1 1
由扇形的面积公式S  lR，得 lR1．②
2 2
由①②得R1，l2，
l
∴ 2rad．
R
∴扇形的圆心角为2rad．
故答案为：2rad
ai
4. 复数z  （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为__________.
1i
【答案】1
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简复数z，由几何意义可得z所对应的点的坐标，进一步可得答案.
ai (ai)(1i) a1 a1 a1 a1
【详解】由已知，z     i，所以z所对应的点为( , )，
1i (1i)(1i) 2 2 2 2
a1
此点在实轴上，所以 0，解得a1.
2
故答案为：1
【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的几何意义，是一道容易题.
1
5. 若log x  1，则x的取值范围是_______．
1 2
2
 3 1 1 5
【答案】  ,    , 
 2 2 2 2
【解析】
【分析】先求函数定义域，再根据函数的单调性求解.
 1 1  1 y log x
【详解】解：该函数的定义域为： ,    , ，log x 1log 2，又 1 在定
 2 2  1 2 1 2
2 2
1  3 5
义域上单调递减，故 x 2，解得：  , ，
2  2 2
 3 1 1 5
综上x的取值范围是  ,    , .
 2 2 2 2
 3 1 1 5
故答案为：  ,    , 
 2 2 2 2
第 2 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
3 
sincos2tan 
 
 7 1  2 
6. 已知为第三象限角，且sin     ，则 
 2  5   
cot3sin  
 
 2 
_____________.
2 6
【答案】
5
【解析】
【分析】利用诱导公式计算出cos的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin的值，然后利用诱导公
式以及同角三角函数的基本关系可求出结果.
 7  7    1
【详解】由诱导公式可得sin    sin   4  sin    cos ，
 2   2   2 5
2
 1 2 6
Q为第三象限角，则sin 1cos2 1   ，
 
 5 5
3 
sincos2tan 
 
 2  sincoscot 2 6
因此，  sin .
   cotcos 5
cot3sin  
 
 2 
2 6
故答案为： .
5
【点睛】本题考查利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
7. 已知函数y f(x)，若 f sinx3cos2x，则 f cosx__________．
【答案】3cos2x
【解析】
 
【分析】利用诱导公式先将 f cosx 中的cosx化为sin  x ,然后将 f sinx3cos2x中x替换成
 2 

x，进而再利用诱导公式化简即得.
2
 π   
【详解】 f cosx f  sin  x  3cos2  x  3cos2x3cos2x,
 2   2 
故答案为：3cos2x.
8. 设a0且a 1，若log (sinxcosx)0，则sin8 xcos8 x______．
a
【答案】1
第 3 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【解析】
【分析】根据对数函数的运算性质，得到sinxcosxa0 1，再根据三角函数的基本关系，准确化简，
即可求解，得到答案.
【详解】设a0且a 1，若log (sinxcosx)0，
a
所以sinxcosxa0 1，所以sinxcosx2 sin2 xcos2 x2sinxcosx1，
又sin2 xcos2 x1，所以sinxcosx0，
又由  sin2 xcos2 x 2 sin4 xcos4 x2sin2 xcos2 x1，
则sin4 xcos4 x1
所以sin8 xcos8 x  sin4 xcos4 x 2 2sin4 xcos4 x   sin4 xcos4 x 2 1
故答案为1．
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角函数的基本关系
式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
x3a3,x0
9. 若函数 f x 在x, 上为严格增函数，则实数a的取值范围是__．

ax,x0
 4
【答案】 1,

 3
【解析】
【分析】根据增函数的定义及所给条件列出关于实数a的不等式组，解之即可求得实数a的取值范围.
x3a3,x0
【详解】函数 f x 在x, 上为严格增函数，

ax,x0
a 1 4  4
可得 ，解得1a ，故实数a的取值范围为 1,

，
3a31 3  3
 4
故答案为： 1,

 3
10. 已知函数 f x Asinxb  A0,0,  的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
   
，直线x 是其图像的一条对称轴，且 f    f  ，则 f x 的解析式为___________.
2 3  4  2
第 4 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
 
【答案】 f x2sin  4x  2
 6 
【解析】

【分析】首先根据函数的最大值和最小值，列式求A,b，根据周期公式求，再代入对称轴x ，求
3
，最后再验证，确定函数的解析式.

【详解】 f   1
 4 
【点睛】本题考查根据三角函数的性质求函数的解析式，重点考查公式计算，属于基础题型.
        
11. 已知a,b为单位向量,且|ab| 2|ab|,则a在ab上的投影为_____
6
【答案】
3
【解析】
【分析】
由已知向量等式两边平方求得a

b

，进一步求出
a  ab 
，
ab 
的值，再根据投影的概念，即可求
出结果．
r r r r
【详解】由a  ,b  为单位向量,知 a  b  1,由且|a  b  | 2|a  b  |,得  ab 2 2  ab 2 ,
即 a2 2ab  b  2 2a2 4ab  2b  2 , ∴ ab   1 ．
3
则 ab  ＝  ab 2 ＝ a2 2ab  b 2  1 2 1＝ 2 6 ． a  ab  a2 ab  1 1  4 ．
3 3 3 3
4
∴ a  在a  b  上的投影为 a a  a   b  b   2 3 6  3 6 ．
3
6
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查平面向量的数量积运算,考查了平面向量投影的概念,是中档题．
1
12. 函数y  的图像与函数y 2sinx(2 x4)的图像所有交点的横坐标之和等于_______．
x1
【答案】4
【解析】
第 5 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和.
1
【详解】由于函数y  与函数 y 2sinx2 x4 均关于点M 1,0 成中心对称，
x1
结合图形两函数有如图所示的A,B,C,D共4个交点，其中A,D和B,C 都关于点M 对称.
其横坐标分别记作x ,x ,x ,x ,则有 x x 212，同理有x x 2，
1 2 3 4 1 4 2 3
所以所有交点的横坐标之和为4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数
的图象和对称性之，属中档题，关键是熟练掌握分式函数和正弦型函数的图象的对称性.
二、选择题（本大题共 4题，满分 20分）
13. 在  ABC中，已知D为BC上的一点，且满足BD4DC，则  A  D  （ ）
3 1 2 3 1 4 4 1
A. AB AC B. AB AC C. AB AC D. AB AC
4 4 5 5 5 5 5 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；
 4
【详解】因为BD4DC，所以BD BC,
5
    4  4  1 4
所以AD ABBD AB BC  AB ACAB  AB AC.
5 5 5 5
故选：C.
14. 已知复数z 23i，则（ ）
A. z的实部为2 B. z的虚部为3i
C. z在复平面内对应的点在第三象限 D. z 23i
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数z  x yix,yR 的实部为x,虚部为y,对应点 x,y ,共轭复数为z  x yi,进行判定.
第 6 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
【详解】复数z 23i的实部为2，虚部为3，对应点坐标
2,3
,是第四象限，共轭复数为z23i，
故选：A.
m
15. 若幂函数 （m,nN*，且m、n互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
y  xn
m m
A. m、n是奇数且 1 B. m是偶数，n是奇数，且 1
n n
m m
C. m是偶数，n是奇数，且 1 D. m、n是偶数，且 1
n n
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果.
m
【详解】将分数指数式化为根式， y  xn  n xm ，
由定义域为R，值域为0,知n为奇数，m为偶数，故排除A、D，
又由幂函数y x，当1时，图像在第一象限的部分下凸，
当01时，图像在第一象限的部分上凸.
故选：C
【点睛】本题考查了幂函数的性质，需熟记幂函数的性质，属于基础题.
16. 已知a，b，，R，满足sincosa，cossinb，0a2 b2 4，有以下2个
结论：
①存在常数a，对任意的实数bR，使得sin
的值是一个常数；
②存在常数b，对任意的实数aR，使得cos
的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ）
A. 结论①、②都成立
B. 结论①不成立、②成立
C. 结论①成立、②不成立
第 7 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
D. 结论①、②都不成立
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将sin 和cos 用a，b表示即可.
【详解】对于结论①，
∵sincosa，cossinb，
∴a2 sin22sincoscos2，b2 cos22cossinsin2，
∴a2 b2 22sincos2cossin22sin ，
a2 b2 2
∴sin ，
2
a2 b2 2
∴当a为常数，bR时，sin 不是一个常数，故结论①不成立；
2
对于结论②，
方法一：
∵absincoscossin
sincossinsincoscossincos
cossincossincos
又∵sincos
sincoscossincoscossinsin
sincoscos2sin2sincoscos2sincossincossin2
  sin2cos2  sincos  sin2cos2  sincos
sincossincos
∴abcossincossincos
cossincos
a2 b2 2
cos cos
2
第 8 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
2ab
化简得cos ，
a2 b2
∴存在常数b0，对任意的实数aR，使得cos0，故结论②成立.
方法二：（特值法）
π π 
当 时，bcossincos    sinsinsin0，
2 2 
π π
∴ ，∴coscos 0.
2 2
∴存在常数b0，对任意的实数aR，使得cos0，故结论②成立.
故选：B.
【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法
可以有效验证其正确性，减少运算量.
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76分）
17. 设z为关于x的方程x2 mxn0m,nR 的虚根，i为虚数单位.
（1）当z 1i时，求m、n的值；
（2）在（1）的条件下，若nai,aR，3，求a的取值范围.
m2
【答案】（1） ；（2） 5, 5
 
n2
【解析】
【分析】（1）将z 1i代入方程，并根据复数相等时实部、虚部对应相等计算m、n的值；
（2）根据复数模的计算公式： n2 a2 ，n的值已知，再根据不等式3即可求解出a的取值范
围.
【详解】（1）将z 1i代入方程可得：1i2 m1in0，所以mnm2i 0，
mn0 m2
所以有： ，解得 ；
m20 n2
（2）因为n2，所以2ai，所以 4a2 3，则4a2 9，
解得： 5 a 5，所以：a 5, 5.
 
【点睛】本题考查实系数方程的解以及复数的模长计算，难度较易.
（1）已知实系数方程的虚根，求解方程中参数的方法：将虚根代入方程，利用复数相等计算参数值；
第 9 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（2）复数的模长计算：已知复数z abi，则 z  a2 b2 .
18. 已知向量  x、  y  满足： x 1， y 2，且(x2y) · (2x y)5．
 
（1）求x与 y的夹角；
（2）若(xmy) y ，求实数m的值．
 1
【答案】(1)  (2) m
3 4
【解析】
 
x y 1
      cos  
【分析】（1）由(x2y)(2x y)5展开，可解出xy 1，根据向量夹角公式   ，即可
x  y 2
求出夹角的大小；
（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程即可求出m的值．
   
【详解】（1）∵(x2y) (2x y)5

 2   2  
∴2 x 5xy2 y 5 xy 1
 
xy 1
cos 
∵  
x  y 2

∴ ．
3
  
（2）∵(xmy) y
     2
∴(xmy)y 0，即xym y 0
1
∴14m0m ．
4
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算律，向量的夹角公式，向量垂直与数量积的关系的应用，
属于基础题．
19. 如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5公里，
3
与小岛D相距为3 5公里．已知角A为钝角，且sin A  ．
5
第 10 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）记CDB为，CBD为，求sin(2)的值．
2 5
【答案】（1）2 （2）
25
【解析】
【分析】(1) 在△ABD中，利用余弦定理即可求解；
5
(2) 在△BCD中，先利用正弦定理求出sin ，然后利用两角和的正弦公式即可求解.
5
【小问1详解】
由题意可知：AB BC 5，BD3 5，
3 4
因为角A为钝角，sin A  ，所以cosA ，
5 5
在△ABD中，由余弦定理得，AD2  AB2 2ADABcosA BD2，
所以AD2 8AD200，解得AD2或AD10（舍），
所以小岛A与小岛D之间的距离为2．
【小问2详解】
BC BD
在△BCD中，由正弦定理  ，因为AC π，
sin sinC
3 5
所以sinC sin(πA)sinA ，则sin ，
5 5
2 5
因为BC  BD，所以为锐角，所以cos ，
5
3
因为sin()sin(πC)sinC  ，
5
4
cos()cos(πC)cosC  ，
5
所以sin(2)sin[()]
2 5
sincos()cossin() ．
25
 
20. 已知函数 f x4sinxcos  x   3xR ．
 3
（1）将函数形式化简为y  Asinxb的形式，写出其振幅、初相与最小正周期；
第 11 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
（2）求函数 f x 的最小值与此时所有x的取值；

（3）将函数 f x 的图像向右移动 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a0a1 倍
6
得到y  gx 的图像，如果y  gx 在区间 1,1 上至少有100个最大值，那么求a的取值范围．
  
【答案】（1）y 2sin  2x ；振幅为2，初相 ，最小正周期.
 3 3
7
（2）2；x k,kZ
12
4
（3）0a
199
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简后直接由定义求振幅、初相与最小正周期；
 3
（2）直接令2x  2k求最小值；
3 2
（3）先平移变换后，求出y sinx在y轴左右两侧的第50个最大值点，列出不等式即可.
【小问1详解】
  1 3
f x4sinxcos x  3 4sinx cosx4sinx sinx 3
 
 3 2 2
 
2sinxcosx2 3sin2 x 3 sin2x 3(1cos2x) 3 sin2x 3cos2x 2sin  2x ，
 3
 2
振幅为2，初相 ，最小正周期 .
3 2
【小问2详解】
   3 7
由 f(x)2sin  2x ，可得当2x  2k时，取得最小值2，此时x k,kZ.
 3 3 2 12
【小问3详解】
     
f(x)2sin  2x 向右移动 个单位得到y 2sin  2x   2sin2x，再将所得图像上各点的
 3 6  3 3
2  2  2 2
横坐标缩短到原来的a0a1 倍得到y  gx2sin  x ，x1,1 ， x   ,  ，又
a  a  a a
 197
y sinx在y轴右侧的第50个最大值点为 492 ，在y轴左侧的第50个最大值点为
2 2
第 12 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
2 197


3 199 a 2 4 4
 492 ，故 ，解得a ，所以0a .
2 2 2 199 199 199

 
 a 2
21. 对于两个定义域相同的函数 f x 和gx ，若存在实数m,n，使hxmf xngx ，则称函数
hx 是由“基函数 f x 和gx ”生成的.
4 1 1 4
（1）若hx9x 是由“基函数 f x2x a和gx x 2”生成的，求实数a的值；
x x 2 x
1
（2）试利用“基函数 f xlog  4x 1  和gx x1”生成一个函数hx ，使之满足hx 为偶函
2 2
数，且h 0 1.
①求函数hx
的解析式；
②已知n3,nN*,x 0 1,x n 1，对于区间 1,1 上的任意值x 1 ,x 2 , ，x n1 x 1  x 2    x n1  ，
n n
若 hx
i
hx
i1
 M 恒成立，求实数M 的最小值.（注： x
i
 x
1
x
2


x
n
.）
i1 i1
【答案】（1）1；
5
（2）①h(x)log (4x 1)x2；②2log .
2 2 4
【解析】
4 1 1 4
【分析】(1)根据题意，可得hx9x m(2x a)n( x 2)，化简，利用对应项的系数相
x x 2 x
等即可求解；
1
①设h(x)mlog (4x 1)n( x1)，根据函数hx 为偶函数得出n2m，再结合h 0 1，即可
2 2
求出m,n的值，进而求出函数的解析式；
② 利 用 定 义 证 明 函 数 的 单 调 ， 将 式 子 化 简 为
n
 hx hx  h(1)h(1)h(x )h(x ) h(x )h(x ) ，然后根据条件求解即可.
i i1 k k1 k1 k
i1
【小问1详解】
4 1 1 4
由已知，可得hx9x m(2x a)n( x 2)，
x x 2 x
第 13 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
 n
2m 9
 2 m4
4  n 4nm  
则9x   2m  x ma2n，则4nm4 ，解得n2 ，
x  2 x  
ma2n0 a1



所以实数a的值为1.
【小问2详解】
1
①设h(x)mlog (4x 1)n( x1)，
2 2
n
因为 hx 为偶函数，所以h(x)mlog (4x 1) xn，
2 2
n n
由h(x)h(x)，可得mlog (4x 1) xnmlog (4x 1) xn，
2 2 2 2
4x 1
整理可得mlog ( )nx，即mlog 4x nx，所以2nx 4mx，
2 4x 1 2
所以nx2mx对任意x恒成立，所以n2m，
x
所以h(x)mlog (4x 1)2m( 1)m[log (4x 1)x]2m，
2 2 2
又因为h 0 1，所以mlog 22m1，所以m 1，
2
故函数hx 的解析式为h(x)log (4x 1)x2.
2
4x 1
②由①知h(x)log (4x 1)x2log 2.
2 2 2x
在[0,1]内任取x,x ，且x  x ，
1 2 1 2
4x 1 1 4x 2 1 (4x 1 1)2x 2
则h(x )h(x )log 2log 2log ，
1 2 2 2x
1
2 2x
2
2 (4x
2
1)2x
1
因为(4x 1 1)2x 2 (4x 2 1)2x 1 (2x 2 2x 1)(22x 1 x 2 2x 1 2x 2)
(2x 2 2x 1)2x 1 x 2(2x 1 2x 2)(2x 2 2x 1)(12x 1 x 2)，x  x ，
1 2
所以2x 2 2x 1 0，2x 1 x 2 1，所以12x 1 x 2 0，
(4x
1
1)2x
2
所以(2x 2 2x 1)(12x 1 x 2)0，即0 1，
(4x
2
1)2x
1
(4x
1
1)2x
2
所以log 0，即h(x )h(x )，
2 (4x
2
1)2x
1
1 2
第 14 页 共 15 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V:
jiajiao6767 )
所以函数h(x)在[0,1]上是增函数，同理可证，函数h(x)在[1,0]上是减函数.
设x
k
0 x
k1
(x
k
 x
k1
),k 0,1,2,3,

,n1，
则h(x
0
)h(x
1
)

h(x
k
),h(x
k1
)h(x
k2
)

h(x
n
)，
n
所以  hx
i
hx
i1
 h(x
0
)h(x
1
)h(x
1
)h(x
2
)

h(x
k1
)h(x
k
) h(x
k1
)h(x
k
)
i1
h(x
k2
)h(x
k1
)h(x
k3
)h(x
k2
)

h(x
n
)h(x
n1
)
h(x )h(x ) h(x )h(x ) h(x )h(x )
0 k k1 k n k1
h(1)h(1)h(x )h(x ) h(x )h(x ) ，
k k1 k1 k
n 5
当且仅当x 0或x 0时，  hx hx  有最大值2h(1)2h(0)2log ，
k k1 i i1 2 4
i1
5
故M 的最小值为2log .
2 4
【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决
问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本
质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是
制胜法宝.
第 15 页 共 15 页