精品解析：上海市虹口区部分学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_七年级_下学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2022 学年度初一年级第二学期数学期末考试试卷 考试时间：90分钟 满分：100分（必做）+20分（附加题） 第 1卷必做题 100分 一、选择题（每题 2分，共 16分） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. 0.2525525552……（相邻的两个“2”之间每次增加一个“5”）； B. 3； 22 C. 8； D. ． 7 【答案】D 【解析】 【分析】整数与分数统称有理数，依据有理数的定义可得答案． 【详解】解：0.2525525552……（相邻的两个“2”之间每次增加一个“5”）是无限不循环小数，是无理数， 故A错误， 3是无限不循环小数，是无理数，故B错误， 8是无限不循环小数，是无理数，故C错误， 22 是分数，是有理数，故D正确， 7 故选D． 【点睛】本题考查的是有理数，无理数的定义，即对实数的理解，掌握定义是解题的关键． 2. 下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（ ） A. 7cm，5cm，10cm B. 8cm，6cm，4cm C. 10cm，10cm，5cm D. 5cm，5cm，10cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：A、5710，则能构成三角形，不符合题意； B、468，则能构成三角形，不符合题意； C、51010，则能构成三角形，不符合题意； D、5510，则不能构成三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查的知识点是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较小的两个数 第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 的和是否大于第三个数即可． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 B. 等腰三角形中，底边上的高是它的对称轴 C. 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D. 在两个三角形中，如果有两个内角及一条边对应相等，那么这两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线，轴对称，垂线段，等腰三角形，全等三角形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补，选项说法错误，不符合题 意； B、等腰三角形的高是线段，对称轴是直线，底边上的高不是对称轴，选项说法错误，不符合题意； C、垂线段最短，选项说法正确，符合题意； D、边的位置未确定，有两个内角及一条边对应相等的两个三角形不一定全等，选项说法错误，不符合题 意． 故选C． 【点睛】本题考查平行线，轴对称，垂线段，等腰三角形，全等三角形的判定，掌握相关知识是求解本题 的关键． 4. 若点Pa,b到y轴的距离为2，则（ ） A. a2； B. a2； C. b2； D. b2． 【答案】B 【解析】 【分析】根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离即可得出答案． 【详解】∵点Pa,b到y轴的距离为2，  a 2 ， a2 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就 是点到x轴的距离． 5. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） 第2页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. 72 B. 60 C. 58 D. 50 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等可知是b、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴的度数是72． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 6. 已知 2023n是正整数，则实数n的最大值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得n≤2023，要使要使 2023n是正整数，即可得出当n最大取2022时， 2023n是正整数． 【详解】解：∵2023n0， ∴n≤2023， 要使 2023n是正整数， 即当n2022时， 2023n=1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 7. 如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n， AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ） 第3页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A. m+n＞b+c B. m+n＜b+c C. m+n=b+c D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】延长BA至E点，使得AE=AC，连结ED、EP， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠CAD， ∵AC=AE，AP=AP， ∴△APC≌△APE（SAS）， ∴PC=PE=n， 在△BPE中，PB+PE＞AB+AE=AB+AC，即m+n＞b+c， 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，点A0,6 ，点B6,0 ，坐标轴上有一点C，使得 ABC为等腰三角形，则这  样的点C一共有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以AB的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为 第4页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所求的点C，AB的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足 ABC是等腰三角形．  【详解】解：如图，使得 ABC是等腰三角形，这样的点C可以找到6个．  故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直 观． 二、填空题（每题 3分，共 36分） 9. 36的平方根是______． 【答案】±6 【解析】 【详解】因为62 36， 则36的平方根为±6， 故答案为±6 10. 计算：3 8=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴3 8=2， 故答案为：-2 1 11. 若实数a ，则代数式a2 4a4的值为___. 2 3 【答案】3 第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 1 2 3 【详解】∵a =    =2 3 ， 2 3 2 3  2 3  2 ∴a2 4a4=（a-2）2= 2 32 =3， 故答案为3. a2 12. 化简二次根式a  的结果是________. a2 【答案】- -a2 【解析】 a2 【 详 解 】 试 题 分 析 ： 根 据 二 次 根 式 的 性 质 可 得 ：  0， 解 得 ： a 2， 则 原 式 = a2 a2 a2 a a  a2 ． a a 13. 在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣1）向右平移3个单位后得到的点的坐标是_____． 【答案】（0，﹣1） 【解析】 【分析】根据平移的性质得出所对应的点的横坐标是-3+3，纵坐标不变，求出即可． 【详解】解：将点A（﹣3，﹣1）向右平移3个单位长度，得到对应点B，则点B的坐标是（﹣3+3， ﹣1），即（0，﹣1）， 故答案为（0，﹣1）． 【点睛】本题主要考查对坐标与图形变化-平移的理解和掌握，能根据平移性质进行计算是解此题的关键． 14. 已知关于x的一元二次方程ax2 bxc0有两个相等实数根，则b2 4ac______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到b2 4ac0，即得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2 bxc0有两个相等实数根， ∴b2 4ac0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键．一元二 第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 次方程ax2 bxc0(a0)的根与b2 4ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数 根；当Δ0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程无实数根． 15. 已知关于x的一元二次方程mx2 x10有实数根，则m的取值范围是__． 1 【答案】m„ 且m0 4 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根， 计算根的判别式， 得关于m的不等式， 求解即可 【详解】解：  关于x的一元二次方程mx2 x10有实数根， 则△14m…0，且m0． 1 解得m 且m0． 4 1 故答案为m 且m0． 4 【点睛】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 ． 题目难度不大， 解题过 程中容易忽略m0条件而出错 ． 16. 等腰三角形有两条边长分别为3cm和7cm，则这个等腰三角形的周长为_____cm． 【答案】17 【解析】 【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求 解． 【详解】解：根据题意，当腰长为7cm时，7、7、3能组成三角形，周长为：77317 cm ； 当腰长为3cm时，337，7、3、3不能构成三角形， 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于 第三边，两边之差小于第三边”． 17. 已知点O在直线AB上，以点O为端点的两条射线OC、OD互相垂直，若AOC 40，则 BOD的度数是_____________． 【答案】50或130 【解析】 【分析】需要分类讨论：如图，分OC、OD在AB的同侧和异侧两种情况进行求解． 【详解】解：OC、OD互相垂直， 第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴COD90， ①如图1，OC与OD在AB的同侧时， ∵AOC 40， ∴BOD180CODAOC 180904050； ②如图2，OC与OD在AB的两侧时， ∵AOC 40， ∴AOD90AOC 904050， ∴BOD180AOD18050130， 故答案为：50或130． 【点睛】本题考查了垂线的定义和角度的计算．分类讨论是解题的关键． 18. 两个连续整数之积为20，那么这两个数是______． 【答案】4和5或5和4 【解析】 【分析】设第一个自然数为x，则第二个自然数为x1，根据两个自然数的积为20，即可得出关于x的一 元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设第一个自然数为x，则第二个自然数为x1， 根据题意得：xx120， 第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 整理，得：x2 x200， 解得：x 4，x 5． 1 2 当x4时，x15； 当x5时，x14， 故这两个整数是：4与5或5与4； 故答案是：4和5或5和4． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 如图，将  ABC绕点A逆时针旋转40得到VADE，其中点D恰好落在BC边上，那么ADE ______． 【答案】70##70度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AB AD，BAD40，ABC ADE，由等腰三角形的性质可求 ABDADB70，即可求解． 【详解】解：∵将 ABC绕点A逆时针旋转40得到VADE，  ∴AB AD，BAD40，ABC ADE， 1 ∴ABDADB 1804070， 2 ∴ADE 70， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 20. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________． 【答案】120° 第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得 △AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方 程求解． 【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N 如图所示，此时△AMN的周长最小 ∵∠ABM=90° ∴∠EBM=90° 在△AMB和△EMB中 AB BE  ABM EBM  MBMB  ∴△AMB≌△EMB ∴∠BEM=∠BAM ∴∠AMN=2∠BAM 同理可得：△AND≌△FDN ∴∠NAD=∠NFD ∴∠ANM=2∠NAD 设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y ∵∠BAD=120° x yz 120 ∴ 2x2yz 180 解得：x y 60 即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形 第10页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共 48分） 1 21. 计算：(2 12 75) ． 3 【答案】-1 【解析】 【分析】利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质即可求 解． 1 1 【详解】解：原式2 12  75 3 3 2 4 25 45 1 故答案为：-1 【点睛】本题考查了二次根式混合运算，二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． b a 22. 已知：ab2，ab1，求：b a 的值． a b 【答案】2 【解析】 【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可． 【详解】解：∵ab2，ab1， ∴a0，b0， b a b a ∴b a  ab  ab a b a b  b a      ab  a b a2 b2    ab  ab  ab2 2ab   ab ， ab 第11页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 22 21 当ab2，ab1时，原式  12． 1 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 23. 解方程：x2 4x9996． 【答案】x 102，x 98 1 1 【解析】 【分析】利用配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，即 可求解. 【详解】解：配方得：x2 4x499964 即x22 10000 开方得：x2100 x1002 x 102，x 98 1 1 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的形式选择合适的方法求解． 24. 如图，已知BC90，AE ED，AB EC，点F 是AD的中点，说明EF AD的理由． 解：∵AE ED（已知），∴AED90（垂直的意义）． 又∵ÐB=90°（已知），∴B AED（等量代换）． ∵AEC BBAE（_____________________________________________）． 即AEDDEC BBAE．∴BAE DEC（等式性质）． BC已知  在ABE与ECD中，AB EC已知  BAE DEC已证  ∴ABE≌ECD（______________________）， ∴AE  ED（ ） ∵___________________________________（已知）， 第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴EF AD（___________________________________________）． 【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；ASA；全等三角形对应边相等；点F 是AD 的中点；等腰三角形三线合一 【解析】 【分析】先利用ASA证ABE≌ECD，得到△AED是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可证EF AD． 【详解】解：∵AE ED（已知），∴AED90（垂直的意义）． 又∵ÐB=90°（已知），∴B AED（等量代换）． ∵AEC BBAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 即AEDDEC BBAE．∴BAE DEC（等式性质）． BC已知  在ABE与ECD中，AB EC已知  BAE DEC已证  ∴ABE≌ECDASA ， ∴AE  ED（全等三角形对应边相等）． ∵点F 是AD的中点（已知）， ∴EF AD（等腰三角形三线合一）． 【点睛】本题考查全等的证明和等腰三角形的性质，注意等腰三角形的“三线合一”仅指垂直于底边的那 一条直线，垂直于两腰的直线没有这个性质． 25. 已知关于x的一元二次方程x2 2xm40有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】（1）m5；（2）x 1,x 3（答案不唯一） 1 2 【解析】 【分析】（1）先确定a、b、c，然后运用一元二次方程跟的判别式解答即可； （2）根据（1）确定的m的取值范围，取一个合适的m值代入，然后解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：a 1,b2,c m4 ∴△ b2 4ac 22 4m4 204m 第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵一元二次方程x2 2xm40有两个实数根， ∴204m0 m5． （2）解：当m 1时，x2 2x30． 则（x-1）（x+3）=0 解得x 1,x 3（答案不唯一）． 1 2 【点睛】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握判别式的大小与一元二次方程根的关系是解答本 题的关键． 26. 如图EOF，OM 平分EOF，点A、B、C分别是射线OE、OM 、OF 上的点（点A、B、C 不与点O重合），联结AC，交射线OM 与点D． （1）如果AB//OC，AC平分OAB，试判断AC与射线OB的位置关系，试说明理由； （2）如果EOF 40，ABOE，垂足为点A， ADB中有两个相等的角，请直接写出DAO的  大小． 【答案】（1）AC与射线OB垂直，理由见解析；（2）DAO的大小为20或35或50． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质、角平分线的定义得出ABDAOD，再根据角平分线的定义得出 BADOAD，最后根据三角形的外角性质、领补角的定义即可得出结论； （2）先根据角平分线的定义、直角三角形的性质求出AOD和ABD的度数，再根据“ ADB中有两个  相等的角”分三种情况，然后分别根据三角形的外角性质、角的和差求解即可得． 【详解】（1）AC与射线OB垂直，理由如下： 如图1， AB//OC  ABDCOD 第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) QOM 平分EOF，AC平分OAB AODCOD，BADOAD ABDAOD ADOABDBAD 由三角形的外角性质得： ADBAODOAD ADOADB 又 ADOADB180  ADOADB90 AC OB 即AC与射线OB垂直； （2）QOM 平分EOF，EOF 40 1 AODCOD EOF 20 2 ABOE  BAO90 ABD90AOD70 如图2，由题意，分以下三种情况： ①当ADBABD70时 DAOADBAOD702050（三角形的外角性质） ②当BADABD70时 DAOBAOBAD907020 ③当ADBBAD时 ADBDAOAODDAO20  BADBAODAO90DAO 则DAO2090DAO 解得DAO35 综上，DAO的大小为20或35或50． 第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了平行线的性质、垂直的定义、三角形的外角性质等知识点，较难的是题（2），依据题 意，正确分三种情况讨论是解题关键． 27. △ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高． （1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数； （2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系； （3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数 ． 1 1 【答案】（1）∠DAE＝10°；（2）∠DAE＝ ∠C﹣ ∠B；（3）45°． 2 2 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求得BAC 80、CAE 30，再根据角平分线的定义得到 CAD40，最后根据角的和差解答即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得BAC 180BC、CAE 90C ，再根据角平分线 1 的定义得到CAD BAD  BAC，然后根据角的和差表示出来即可； 2 （3）先根据角平分线的定义得到CAE 2CAG,FCB 2FCG，再结合三角形外角的性质得到 AEC 2G，然后根据题意得到AEC 90，最后算出∠G即可． 【详解】解：（1）QB 40,C 60,BACBC 180 BAC 80 AE 是ABC的高，  AEC 90,  C 60, 第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) CAE 906030 AD是BAC的角平分线，  1 CADBAD BAC 40， 2 DAE CADCAE 10． （2）QBACBC 180, BAC 180BC AE 是ABC的高，  AEC 90, CAE 90C AD是BAC的角平分线，  1 CADBAD BAC， 2 1 DAE CADCAE  BAC90C 2 1  180C90C 2 1 1  C B 2 2 1 1 即DAE  C B； 2 2 （3） CAE和BCF 的角平分线交于点G，  CAE 2CAG,FCB2FCG QCAE FCBAEC,CAG FCGG 2FCGAEC 2FCGG2FCG2G，即AEC 2G， AE 是ABC的高，  AEC 90， G 45． 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活应用相 关知识成为解答本题的关键． 第 2卷选做题 28. 设x，x 为关于x的方程x2 2px p 0的两根， p为实数． 1 2 第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求证：2px x2 3p0． 1 2 （2）当 x x  2p3 时，求 p的最大值． 1 2 9 【答案】（1）见解析 （2） 10 【解析】 【分析】（1）由题意得出x x 2p，x x p，4p2 4p0，x 2 2px  p 0，据此知 1 2 1 2 2 2 2px x 2 3p4p2 4p0； 1 2 （2）由于|x x | x x 2 4x x  4p2 4p ，然后利用已知条件即可得到关于p的不等式，解 1 2 1 2 1 2 不等式即可求解． 【小问1详解】 ∵x、x 为x2 2px p 0的两根， 1 2 ∴x x 2p，x x p，4p2 4p＞0，x 2 2px  p 0， 1 2 1 2 2 2 ∴2px x 2 3p, 1 2 2px 2px  p3p 1 2 2（p x x）4p 1 2 4p2 4p0； 【小问2详解】 |x x | x x 2 4x x  4p2 4p  2p3 ， 1 2 1 2 1 2 9 解得： p ， 16 9 又当 p  时满足题意， 10 9 故p的最大值是 ． 10 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握方程的解的定义、根与系数的关系及根的 判别式． 29. 如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，且满足ADE 60，DE交等边三角形外角平分 第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系． （1）小明发现，当点D是边BC的中点时，过点D作DF//AC，交AB于点F，通过构造全等三角形， 能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：______； （2）如图2，当点D是线段BC上（除B、C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间 的数量关系，并说明理由； （3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD BC（其它条件不变）时，请画出图形，并直接写出 △ABC与△BDE的面积之比． 【答案】（1）AD DE；（2）不变，AD DE；证明见解析；（3）1：4． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证△ADF≌△DEC，进而问题可得证； （2）过点D作DF//AC ，交AB于点F，由题意易证△ADF≌△DEC，进而问题得证； （3）根据题意画出图形，然后由题意易得△ABD≌△DCE，则根据三角形中线把三角形的面积分成相等 的两部分可进行求解． 【详解】解：（1） △ABC是等边三角形， AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，  等边三角形外角平分线CE， ∠ACE=60°，  点D是边BC的中点，DF//AC ， △DBF是等边三角形，BD=DC，AD⊥BC， BF=BD=DC=DF=AF，∠BFD=60°， ∠AFD=∠DCE=120°，∠FDA=30°，  ADE 60，∠ADC=90°， ∠EDC=30°， ∠EDC=∠FDA， △ADF≌△DEC， AD=DE， 第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为AD=DE； （2）AD=DE，理由如下： 过点D作DF//AC ，交AB于点F，如图所示： △ABC是等边三角形， AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°， △BDF是等边三角形， ∠BFD=60°，BF=BD， AF=DC，∠AFD=120°，  等边三角形外角平分线CE， ∠ACE=60°， ∠DCE=120°， ∠DCE=∠AFD，  ADE 60， ∠CDE+∠ABD=120°，  ∠FAD+∠ABD=120°， ∠FAD=∠CDE， △ADF≌△DEC（ASA）， AD=DE； （3）△ABC与△BDE的面积之比为1∶4，由题意可作图： △ABC是等边三角形， AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°， 第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  CD BC， AC=CD=AB， ∠CAD=∠ADC=30°，  ∠ADE=60°， ∠BAD=∠CDE=90°， CE平分∠ACD， ∠ECD=∠DBA=60°， △BAD≌△CDE， S S ， BAD CDE  S BAD 2S ABC ,S BDE 2S CDE ， S 4S ， BDE ABC △ABC与△BDE的面积之比为1∶4． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形的中线及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全 等三角形的性质与判定、三角形的中线及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司