镇海中学 2025 学年第二学期期末考试
高一年级数学试卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点P ( 1,2,3 )关于xOy平面的对称点P′的坐标（ ）
A．(−1,−2,3 ) B．(−1,2,3 ) C．( 1,2,−3 ) D．( 1,−2,−3 )
2．一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知一组数据x ，x ，…，x 的平均数为 2，方差为 1，则数据2x −3，2x −3，…，2x −3的平
1 2 n 1 2 n
均数和方差为分别为（ ）
A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4
4．从 1~10这 10个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被 2 整除，事件B表示选到的数能
被3整除，则事件AB的概率是（ ）
1 2 1 1
A． B． C． D．
2 5 10 5
5．已知向量a =( 4,2,4 )，b =( 1,−2,2 )，若 ( a +λb ) ⊥ ( a −2b ) ，则λ=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
6．已知某5个数的平均数为2，方差为3，现加入数据2，则这6个数的方差为（ ）
5 3
A．3 B． C．2 D．
2 2
7．在空间直角坐标系O−xyz中，A ( 2,0,0 )，B ( 0,2,2 )，点P满足PA⋅PB=1，则点P到x轴距离的
最大值为（ ）
A．2+ 3 B．4 C．3+ 2 D．2+ 2
8．已知三棱锥A−BCD中，二面角A−BC−D为 60，棱AD与平面ABC和平面BCD所成的角均为θ，
π
AD与BC所成的角为 −θ，则tanθ=（ ）
2
1 3 2 5 2 7
A． B． C． D．
2 2 5 7
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分．
学科网（北京）股份有限公司9．已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球x个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若
事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出 4 个红色小球，1 个黑色小球”为不可能事件，
事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则x可以为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1 1 2
10．甲、乙、丙 3名运动员击中目标的概率分别为 ， ， ．若他们 3人分别向目标各发一枪，且他们
3 2 3
相互之间没有影响，则这3枪中（ ）
8
A．至少有一枪命中目标的概率为
9
1
B．恰好有一枪命中目标的概率为
9
C．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让甲打第2枪
D．若要连续命中两枪的概率最大，则应该让丙打第2枪
11．已知三棱锥P−ABC的底面ABC是一个边长为 1的正三角形，且三棱锥的外接球球心O为AP的中
点，则下列结论正确的是（ ）
A．AP，BO与平面ABC所成的角相等
B．二面角B−AP−C的大小可能为30
6
C．若二面角O−BC−P的正切值为 2，则三棱锥的高为
3
3
D．若∠PBC =45°，则球O的表面积为 π
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知直线l与经过A ( 2,1 )，B ( 3,4 )两点的直线垂直，则直线l的斜率为_______．
13．已知在直三棱柱 ABC−ABC 中，∠BAC =90°， AB=3， AC = AA =4，点E为棱 AB 靠近
1 1 1 1
点B的三等分点，点F 为AC 的中点，则直线AE与CF 所成角的余弦值为_________．
1 1 1
14．已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为 2 的菱形，侧面ABP为正三角形，PC ⊥ BD，则四
棱锥P−ABCD体积的最大值为_________．
四、解答题：本题共 5题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 ． 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 ABCD−ABC D 中 ， M 为 C D 中 点 ， AB= AD= AA =1 ，
1 1 1 1 1 1 1
{ }
∠BAD=∠AAB=∠AAD=60°，设AB =a，AD=b ，AA =c，以 a,b,c 为空间的一个基底．
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司{ }
（1）用基底 a,b,c 表示向量AM ，并求出线段AM 的长度；
AP
（2）直线AM 与平面ABD交于点P求 的值
1 AM
16．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评
估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部 8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出 100
颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间[
60,120
]内（单位：克），将所得数据分成
6
组：[
60,70
)，[
70,80
)，[
80,90
)，[
90,100
)，[
100,110
]，[
110,120
]，并据此绘制得到频率分布直方
图如图所示．
（1）求图中a的值；
（2）估计这批蜜桔的平均质量；
（3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占 10%，合格品占 35%，次品占 55%，
则合格品的质量应不低于多少克？
17．在长方体ABCD−ABC D 中，底面ABCD边长为 2 的正方形，侧棱∣AA∣=3，点E，F 分别在
1 1 1 1 1
棱AA 和棱DD 上，且AE =1，DF =2．
1 1
（1）求证：BD⊥C E．
1
学科网（北京）股份有限公司（2）平面C EF 与平面BCF 夹角的余弦值．
1
（3）直线AC与平面C EF 夹角的正弦值．
1
18．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形且AB=2AD=4，AD⊥ BD，△PAD为等边三角形，
PC =2 6，O为AD中点．
（1）证：OP⊥平面ABCD；
（2）设N 为侧棱PC上一点，四边形AENF 是过A，N 两点的截面，分别交PD，PB于E，F 两点，
BD//平面AENF ．
（Ⅰ）证：EF//BD
1
（Ⅱ）设PN =λPC，是否存在λ，使得点P到面AENF 的距离为 ．
2
19．学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜
打分，喜欢记为1，不喜欢记为-1．每位同学对n道菜品的喜好可以表示为一个n维向量
a =( a ,a ,,a )，其中每个分量a ∈{ 1,−1 }（i =1，2，，n）．我们称a为该生的n维喜好向
1 2 n i
量．已知a =( a ,a ,,a )，b =( b,b ,,b )为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：
1 2 n 1 2 n
n
a⋅b =∑ab ．若a⋅b =0，则称他们“口味互补”．
i i
i=1
（1）试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补．
（2）证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补．
（3）设有 8名学生，对本学期 96道菜的喜好向量两两口味互补．已知 96道菜中有m道菜，这 8名同学
都喜欢，求证：m≤12．
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