构造函数法解决导数不等式问题（精讲）（解析版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0621数学

构造函数法解决导数不等式问题
1.两个基本还原
f(x)g(x)-f(x)g(x)  f(x)
①f(x)g(x)+f(x)g(x)=[f(x)g(x)] ② =

[g(x)]2  g(x)
1
 
2.类型一：构造可导积函数
①enx[f(x)+nf(x)]=[enxf(x)] 考点1：ex[f(x)+f(x)]=[exf(x)]
②xn-1[xf(x)+nf(x)]=[xnf(x)]
考点1：xf(x)+f(x)=[xf(x)] 考点2 x[xf(x)+2f(x)]=[x2f(x)]
f(x)-nf(x)  f(x)
③ =
enx  enx
  f(x)-f(x)  f(x)
考点1： =
ex  ex
 
xf(x)-nf(x)  f(x)
④ =
xn+1  xn
 
xf(x)-f(x)  f(x)
考点1： =
x2  x
  xf(x)-2f(x)  f(x)
考点2 =
x3  x2
 
⑤f(x)sinx+f(x)cosx=[f(x)sinx]
⑥f(x)cosx-f(x)sinx=[f(x)cosx]
序号 条件 构造函数
1 f(x)g(x)+f(x)g(x)≥0 F(x)=f(x)g(x)
2 f(x)+f(x)<0 F(x)=exf(x)
3 f(x)+nf(x)<0 F(x)=enxf(x)
4 xf(x)+f(x)>0 F(x)=xf(x)
5 xf(x)+2f(x)≤0 F(x)=x2f(x)
6 xf(x)+nf(x)>0 F(x)=xnf(x)
7 f(x)sinx+f(x)cosx>0 F(x)=f(x)sinx
8 f(x)cosx-f(x)sinx>0 F(x)=f(x)cosx
3.类型二：构造可商函数
f(x)-nf(x)  f(x)
① =
enx  enx
  f(x)-f(x)  f(x)
考点1： =
ex  ex
 
xf(x)-nf(x)  f(x)
② =
xn+1  xn
 
xf(x)-f(x)  f(x)
考点1： =
x2  x
  xf(x)-2f(x)  f(x)
考点2： =
x3  x2
 f(x)sinx-f(x)cosx  f(x)
③ =
sin2x sinx
2
 
f(x)cosx+f(x)sinx  f(x)
⑥ =
cos2x cosx
 
f(x)
典例一：构造 F(x)=xnf(x) 或 F(x)= ( n∈Z ，且 n≠0 )型
xn
4.(25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测)设函数fx  是定义在0,+∞  上的可导函数，其导函数为 fx  ，
2fx  +xfx  >0，并且f1  =1，则不等式x-4  2fx-4  <1的解集为 .
【答案】4,5 
【分析】根据2fx  +xfx  >0构造函数g(x)=x2f(x)，再用导数判断函数g(x)单调性，进而将所求不
等式转化为gx-4  <g1  ，结合函数g(x)的单调性可得不等式解集.
【详解】由条件2f(x)+xf(x)>0，构造函数g(x)=x2f(x)，定义域为(0,+∞).
对g(x)求导得：g(x)=2xf(x)+x2f(x)=x⋅2f(x)+xf(x)

，
因为x>0，且已知2f(x)+xf(x)>0，
所以g(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上单调递增.
由f(1)=1得g(1)=12⋅f(1)=1，
所以原不等式(x-4)2fx-4  <1可转化为gx-4  <g1  ，
所以0<x-4<1，解得4<x<5，
因此不等式x-4  2fx-4  <1的解集为4,5  .
5.(25-26高二下·重庆·阶段检测)已知定义在-∞,0  ∪0,+∞  上的偶函数fx  的导函数为fx  ，且
f1  =2，当x>0时，xfx  +2fx  >0，则使得fx 
2
> 成立的x的取值范围是 ( )
x2
A. 1,+∞  B. -1,0  ∪0,1 
C. -∞,-1  ∪1,+∞  D. -∞,-1  ∪0,1 
【答案】C
【分析】根据条件构造函数gx  =x2fx  ，求函数gx  的导数，判断函数gx  的单调性，将不等式进行转
化求解即可.
【详解】由题意，设gx  =x2fx  ，则gx  =2xfx  +x2fx  =x xfx  +2fx    ，
当x>0时，有xfx  +2fx  >0，所以当x>0时，gx  >0，
所以函数gx  =x2fx  在0,+∞  上为增函数，
因为函数fx  是偶函数，所以gx  =x2fx  是偶函数，
由fx 
2
> ，得x2fx
x2
 >2，又f1  =2，所以x2fx  >12⋅f1  ，
所以gx  >g1  ，所以g x    >g1  ，又函数gx  =x2fx  在0,+∞  上为增函数，
所以x  >1，解得x<-1或x>1，所以fx 
2
> 成立的x的取值范围是-∞,-1
x2
 ∪1,+∞  .
6.(25-26高二下·河南许昌·阶段检测)已知定义域为R的函数 fx  的导函数为 fx 
1
，且满足 f
2
 =1
，fx
2
3
 +4x<0，则当x∈0,π  时，不等式fsinx  -cos2x≤0的解集为 ( )
π
A.  0,
 6

π
B.  0,
 6

5π
∪  ,π
 6

π 5π
C.   ,
 6 6

π
D.  0,
 3

π
∪  ,π
 3

【答案】C
【分析】构造函数gx  =fx 
1
+2x2-1，则g
2

1
=f
2

1
+2× -1=0.利用导数分析其单调性，将不
4
等式fsinx  -cos2x≤0转化为gsinx 
1
≤g
2
 ，再根据gx  的单调性，结合正弦函数的性质求解即
可.
【详解】令函数gx  =fx 
1
+2x2-1,x∈R，则g
2

1
=f
2

1
+2× -1=0.
4
gx  =fx  +4x<0，所以gx  是减函数.
因为fsinx  -cos2x≤0⇔fsinx  -1-2sin2x  ≤0
⇔fsinx  +2sin2x-1≤0⇔gsinx 
1
≤g
2
 ，
1
所以sinx≥ .
2
因为x∈0,π 
π 5π
，所以x∈  ,
 6 6
 .
7.(25-26高二下·吉林长春·期中)已知fx  的定义域为0,+∞  ，fx  为fx  的导函数，且满足fx  <
-xfx  ，则不等式fx+2  >x-2  fx2-4  的解集是 ( )
A. 0,1  B. 2,+∞  C. 2,3  D. 3,+∞ 
【答案】D
【分析】构造函数，利用函数导数与函数单调性解不等式即可.
【详解】令gx  =xfx  ,x>0，则gx  =fx  +xfx  ，
因为fx  <-xfx  ⇒fx  +xfx  <0，所以gx  <0，
所以gx  在0,+∞  上单调递减，又因为x+2>0时，
所以不等式fx+2  >x-2  fx2-4  等价于x+2  fx+2  >x2-4  fx2-4  ，
即gx+2  >gx2-4  ，
x+2>0 x>-2
 
所以x2-4>0 ⇒x>2或x<-2，解得x>3，
x+2<x2-4 x>3或x<-2
所以不等式的解集为：3,+∞  .
8.(25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测)函数 fx  是定义在R上的偶函数，其导函数为 fx  ，且当x≤0
时，2fx  -xfx  <0，则不等式fx-2026  -f-1  x-2026  2<0的解集为 ( )
A. (-∞,2027) B. (2025,2027)
C. (-∞,2025)∪(2027,+∞) D. (-∞,2024)∪(2026,+∞)
【答案】B
【分析】令gx 
fx
=

，x≠0，根据题意分析gx
x2
 的单调性和奇偶性，分类讨论x-2026是否为0，结合
函数性质解不等式即可.【详解】令gx
4

fx
=

，x≠0，
x2
因为g-x 
f-x
=

-x 
fx
=
2

=gx
x2
 ，可知函数gx  为的偶函数，
又因为gx 
x2fx
=
 -2xfx 
x2 
-x 2fx
=
2
 -xfx   
x2 
，
2
当x≤0时，2fx  -xfx  <0，
若x=0，则2f0  <0，即f0  <0；
若x<0，则-x>0，2fx  -xfx  <0，可得gx  <0，
可知gx  在-∞,0  内单调递减，则gx  在0,+∞  内单调递增.
对于不等式fx-2026  -f-1  x-2026  2<0，
当x-2026=0，即x=2026时，可得f0  <0，符合题意；
fx-2026
当x-2026≠0，即x≠2026时，可得

x-2026 
f-1
<
2

-1 
，
2
即gx-2026  <g-1  =g1  ，可得x-2026  <1，解得2025<x<2027，且x≠2026；
综上所述：不等式解集为2025,2027  .
9.(25-26高二下·河南·阶段检测)设函数fx  是定义在0,+∞  上的可导函数，其导函数为fx  ，2fx 
+xfx  >0，并且f1  =1，则不等式x-4  2fx-4  >1的解集为 .
【答案】5,+∞ 
【分析】由2fx  +xfx  >0，得2xfx  +x2fx  >0，所以可构造函数 g(x)=x2f(x)，利用导数分析函
数gx  的单调性，结合g1  =1，利用gx  单调性求得不等式x-4  2fx-4  >1的解集
【详解】构造函数 g(x)=x2f(x)，其定义域为(0,+∞)，
而g(x)=2xf(x)+x2f(x)=x⋅2f(x)+xf(x)

，
由x>0，且 2f(x)+xf(x)>0，得 g(x)>0，
所以 g(x)在 (0,+∞)上单调递增.
由 f(1)=1，得 g(1)=12⋅f(1)=1，
则不等式 (x-4)2f(x-4)>1 等价于g(x-4)>g(1)，
x-4>0
所以{ ，解得 x>5，
x-4>1
即不等式(x-4)2f(x-4)>1的解集为(5,+∞).
10.(25-26高二下·湖北·期中)已知定义域为R的奇函数fx  ，其图象为连续不断的曲线，fx  的导函数
为fx  .若对任意x>0，都有2fx  +xfx  >0，且f2 
1
= ，则关于x的不等式fx
16

1
< 的解集
4x2
为 ( )
A. -2,0  B. -∞,0  ∪0,2  C. -∞,2  D. -2,2 
【答案】B
【分析】令gx  =x2fx  ，首先判断gx  的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调
性解函数不等式.
【详解】令gx  =x2fx  ，因为fx  是奇函数，即f-x  =-fx  ，
所以g-x  =-x  2f-x  =-x2fx  =-gx  ，即gx  =x2fx  是奇函数；又当x>0时，g´x
5
 =2xfx  +x2f´x  =x 2fx  +xf´x    >0，
∴g(x)在0,+∞  上单调递增，∴g(x)在-∞,0  上单调递增，且g0  =0；
fx  是定义在R上的连续函数，所以gx  在-∞,+∞  上单调递增；
又f2 
1
= ，所以g2
16

1 1
=22× = ，
16 4
对于不等式fx 
1
< ，又x∈-∞,0
4x2
 ∪0,+∞  ，所以x2∈0,+∞  ，
所以不等式fx 
1
< ,等价于x2fx
4x2

1
< ，即gx
4
 <g2  ，
所以x<2，且x≠0，即不等式fx 
1
< 解集为-∞,0
4x2
 ∪0,2  ．
11.(25-26高三·全国·一轮复习)已知 fx  是定义在R上的奇函数，fx  是函数 fx  的导函数且在
0,+∞  上fx  <1，若f2026-m  -fm  ≥2026-2m，则实数m的取值范围为 ( )
A. -1013,1013  B. 1013,+∞ 
C. -∞,-1013  D. -∞,-1013  ∪1013,+∞ 
【答案】B
【分析】设gx  =fx  -x，求导并利用导数结合fx  的单调性和奇偶性分析gx  的单调性和奇偶性，
从而转化不等式f2026-m  -fm  ≥2026-2m为2026-m≤m，进而求出实数m的取值范围．
【详解】设gx  =fx  -x，则gx  =fx  -1，
又∵在x∈0,+∞  上，fx  <1，则gx  <0，
∴函数gx  在x∈0,+∞  上单调递减，
又∵fx  是定义在R上的奇函数，则f-x  =-fx  ，
∴f-x  --x  =-fx  +x=- fx   -x  ，即g-x  =-gx  ，
∴函数gx  为R上的奇函数，
∴gx  在R上单调递减，
又∵f2026-m  -fm  ≥2026-2m，
∴f2026-m  -2026-m  ≥fm  -m，即g2026-m  ≥gm  ，
∴2026-m≤m，解得m≥1013．
12.(25-26高二下·广东汕头·期中)已知函数fx  和fx  的定义域均为D=-∞,0  ∪0,+∞  ，fx  为
偶函数，且对任意x∈D，都有xfx  -2fx  >0恒成立，f1  =2，则不等式fx-1  >2x2-4x+2的
解集为 ( )
A. -∞,0  ∪2,+∞  B. 0,2  C. 0,1  ∪1,2  D. -∞,0 
【答案】A
【分析】构造函数gx 
fx
=

，利用导数分析函数gx
x2
 的单调性，并结合函数的奇偶性，求得不等式
fx-1  >2x2-4x+2的解集.
【详解】令gx 
fx
=

，则gx
x2

fx
=
 x2-2xfx  xfx
=
x4
 -2fx 
.
x3
因为对任意x∈D，都有xfx  -2fx  >0恒成立，
所以当x<0时，gx  <0；当x>0时，gx  >0.所以函数gx
6
 在-∞,0  上单调递减，在0,+∞  上单调递增.
因为fx  为偶函数，所以gx  为偶函数，
由f1  =2，得g1 
f1
=

=2，
12
所以不等式fx-1 
fx-1
>2x2-4x+2等价于

x-1 
>2，
2
即gx-1  >g1  ⇔x-1  >1，解得x>2或x<0.
所以其解集为-∞,0  ∪2,+∞  ．
1
13.(25-26高二下·山西长治·阶段检测)已知定义域为R的函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f
2
 =
1
，fx
2
 +4x<0，则当x∈0,π  时，不等式fsinx  -cos2x≤0的解集为 ( )
π
A.  0,
 6

π
B.  0,
 6

5π
∪  ,π
 6

π 5π
C.   ,
 6 6
 D. 0,π 
【答案】C
【分析】构造函数gx  =fx  +2x2-1，对其求导，根据已知条件判断单调性，再结合已知值确定gx  的
零点，最后将不等式fsinx  -cos2x≤0转化为gsinx 
1
≤g
2
 ，利用函数单调性求解不等式.
【详解】设gx  =fx  +2x2-1，则gx  =fx  +4x.
已知fx  +4x<0，所以gx  <0，这表明gx  在R上单调递减.
1
已知f
2

1 1
= ，可得：g
2 2

1
=f
2

1
+2×
2

2 1 1 1 1
-1= +2× -1= + -1=0.
2 4 2 2
不等式fsinx  -cos2x≤0可化为：fsinx  - 1-2sin2x   ≤0，
即fsinx  +2sin2x-1≤0.
所以gsinx 
1
≤g
2
 ，
1
根据单调性可得sinx≥ .
2
已知x∈0,π 
1 π 5π
，所以sinx≥ 时， ≤x≤ .
2 6 6
综上，不等式fsinx 
π 5π
-cos2x≤0的解集为  ,
 6 6
 .
f(x)
典例二：构造 F(x)=enxf(x) 或 F(x)= ( n∈Z ，且 n≠0 )型
enx
14.(25-26高二下·四川南充·期末)已知函数fx  的导函数为fx  ，若对任意的x∈R，都有fx  >fx  ，
且f0  =2026，则不等式fx  -2026ex<0的解集为 ( )
1
A. (0,+∞) B. (-∞,0) C. -∞,
e

1
D.  ,+∞
e

【答案】A
【分析】构造函数gx 
f(x)
= ，求得gx
ex
 <0且g0 
fx
=2026，把不等式转化为

<2026，得到gx
ex

<g0  ，结合单调性，即可求解.
【详解】构造函数gx 
f(x)
= ，可得gx
ex

f(x)-f(x)
= ，
ex因为fx
7
 >fx  ，可得gx  <0，所以gx  在R单调递减，
又因为f0  =2026，可得g0 
f(0)
= =2026，
e0
则不等式fx  -2026ex<0，即fx 
fx
<2026ex，可得

<2026，
ex
即gx  <g0  ，所以x>0，即不等式fx  -2026ex<0的解集为(0,+∞).
15.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测)已知定义域为R的函数fx  满足f1  =e，且fx  -fx  <
0，则不等式fx+1  >ex+1的解集是 ．
【答案】-∞,0 
【分析】构造函数gx 
fx
=

，通过求导研究单调性，利用单调性解不等式.
ex
【详解】设gx 
fx
=

，则gx
ex

fx
=
 -fx 
.
ex
因为fx  -fx  <0，
所以gx  <0，即gx  在R上单调递减.
又g1 
f1
=

=1，
e
则fx+1  >ex+1⇔gx+1  >1=g1  ⇔x+1<1⇔x<0，
即不等式fx+1  >ex+1的解集-∞,0  .
16.(2026·陕西商洛·模拟预测)已知f(x)为函数f(x)的导函数，且对任意x∈R，f(x)-f(x)<1．若f(0)
=2026，则不等式f(x)+1>2027ex的解集为 ( )
1
A. (-∞,0) B. (0,+∞) C. -∞,
e
 D. (-∞,1)
【答案】A
f(x)+1
【分析】设函数g(x)= ，结合条件判断函数gx
ex
 的单调性，结合单调性解不等式可得结论.
f(x)+1
【详解】设函数g(x)= ，
ex
f(x)⋅ex-[f(x)+1]⋅ex f(x)-f(x)-1
则g(x)= = ．
e2x ex
f(x)+1
由对任意x∈R，f(x)-f(x)<1，得g(x)<0，则函数g(x)= 在R上单调递减．
ex
f(x)+1
因为f(x)+1>2027ex，所以 >2027，即g(x)>2027．
ex
f(0)+1
由f(0)=2026，得g(0)= =2027，所以g(x)>g(0)，解得x<0，
e0
所以不等式f(x)+1>2027ex的解集为(-∞,0)，选项A正确.
17.(2026·重庆渝中·模拟预测)设定义在R上的函数fx  的导函数为fx  ，若fx  -fx  >0，且f2  =
1
e2，则不等式f lnx
2
 < x的解集为 ( )
A. -∞,e4  B. e2,+∞  C. 0,e4  D. 0,e2 
【答案】C【分析】构造函数gx
8

fx
=

，求导可知g(x)单调递增. 将不等式转化为gln x
ex
 <g(2)，利用单调性
得 ln x<2，解得0<x<e4.
【详解】设函数gx 
fx
=

,gx
ex

fx
=
 -fx 
，由于fx
ex
 -fx  >0，
得gx  >0，则y=gx  在-∞,+∞  上单调递增，f2  =e2，
则g2 
1
=1,f lnx
2

1
< x，即g lnx
2

1
f lnx
2
=

1
f lnx
2
=
1lnx
e2

<1=g(2)，
x
于是ln x<2，解得0<x<e4．
18.(25-26高二下·河南南阳·阶段检测)定义在R上的函数fx  满足：f(x)>1-f(x)，f1  =2，f(x)是
fx  的导函数，则不等式exfx  >ex+e(其中e为自然对数的底数)的解集为
【答案】1,+∞ 
【分析】令gx  =exfx  -ex，求导判定其单调性，结合g1  =e，由gx  >g1  利用单调性即可得解.
【详解】令gx  =exfx  -ex，则gx  =exfx  +exfx  -ex=ex fx  +fx   -1  ，
因为f(x)>1-f(x)，所以fx  +fx  -1>0，故gx  >0，
即函数gx  在R上单调递增，
g1  =ef1  -e=e，
则exfx  >ex+e⇔exfx  -ex>e,即gx  >g1  ，由函数的单调性可得x>1，
故exfx  >ex+e的解集为1,+∞  .
19.(25-26高二下·山东淄博·期中)已知定义域为0,+∞  的函数fx  的导函数为fx  ，且fx  <fx  ，
则不等式fx  >e2x-1f1-x  的解集为 ( )
1
A.  ,1
2

1
B.  ,+∞
2
 C. 0,1 
1
D. 0,
2

【答案】D
【分析】构造辅助函数，将抽象不等式转化为函数单调性问题，需注意定义域的限制条件.
f(x)
【详解】构造辅助函数 g(x)= ，x∈(0,+∞).
ex
∵ gx 
fx
=
 ⋅ex-fx  ⋅ex
ex 
fx
=
2
 -fx 
，且已知 f(x)<f(x)，ex>0，
ex
∴ g(x)<0，即 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递减.
x>0
原不等式成立需先满足函数定义域：  ，解得 0<x<1.
1-x>0
由不等式fx  >e2x-1f1-x 
f(x) f(1-x)
两边同时除以 ex，可得 > ，
ex e1-x
即 g(x)>g(1-x).
∵ g(x) 在0,1  上单调递减，
1
∴ 0<x<1-x<1，解得 0<x< .
2
1
即不等式的解集为 0,
2
 .
【点睛】方法点睛：对于给出 f(x) 与 f(x) 大小关系的抽象不等式问题，可根据不等号方向构造对应辅f(x)
助函数(如本题构造 g(x)= )，将不等式转化为函数值大小关系，结合函数单调性求解.
ex
20.(25-26高二下·山东淄博·期中)定义在R上的函数fx
9
 的导函数为fx  ，若对任意实数x，都有fx 
>fx  ，且fx  +2026为奇函数，则不等式fx  +2026ex<0的解集为 ( )
A. -∞,0  B. 0,+∞ 
1
C. -∞,
e

1
D.  ,+∞
e

【答案】B
【分析】构造辅助函数gx 
fx
=

，利用导数判断其单调性，再利用fx
ex
 +2026为奇函数求出g(0)的
值，从而将原不等式转化为关于g(x)的不等式进行求解.
【详解】设gx 
fx
=

，
ex
则gx 
fx
=
 -fx 
，
ex
因为fx  >fx  ，所以gx  <0，所以gx  为定义在R上的减函数，
因为fx  +2026为奇函数，
所以f0  +2026=0，f0  =-2026，g0 
f0
=

=-2026，
e0
fx 
fx
+2026ex<0，即

<-2026，即gx
ex
 <g0  ，故x>0，
所以不等式fx  +2026ex<0的解集为0,+∞  .
21.(25-26高二下·云南楚雄·期中)已知函数fx  的导函数为fx  ，且fx  与fx  的定义域都是R，若对
∀x∈R,fx  +3fx  <0，且f2 
4
=e3，则不等式f3x  <e2-x的解集为 ( )
2
A. -∞,
3

2
B.  ,+∞
3
 C. -∞,2  D. 2,+∞ 
【答案】B
【分析】构造函数gx  =exf3x  ，根据导数及题设得出gx  在R上单调递减，结合f2 
4
=e3 得出
2
g
3
 ，根据函数单调性即可求解．
【详解】令gx  =exf3x  ，则gx  =exf3x  +exf3x  ⋅3=ex f3x  +3f3x    ，
因为对∀x∈R，fx  +3fx  <0，
所以f3x  +3f3x  <0，即gx  <0，
所以gx 
2
在R上单调递减，又g
3

2
=e3 f2 
2 4
=e3 ×e3 =e2，
由f3x  <e2-x可得exf3x  <e2，即gx 
2
<g
3

2
，解得x> ，
3
所以不等式f3x 
2
<e2-x的解集为 ,+∞
3
 ．
22.(25-26高二下·黑龙江·期中)(多选)已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f(x)，若f(0)=-1，且f
(x)-f(x)>3，则使不等式f(x)≥2ex-3成立的x的值可能为 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】CD
【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式.
f(x)+3 f(x)-f(x)-3
【详解】令函数F(x)= ，求导得F(x)= ，由f(x)-f(x)>3，
ex ex
得F(x)>0，即函数F(x)在定义域R上单调递增，由f(0)=-1，得F(0)=2，
f(x)+3
不等式f(x)≥2ex-3⇔ ≥2，即F(x)≥F(0)，解得x≥0，
ex
所以所求x的值可能为1，2.
23.(25-26高三上·吉林长春·阶段检测)已知可导函数fx
10
 的导函数为fx  ，若对任意的x∈R，都有fx 
>fx  +1且f0  =2，则不等式fx  -ex<1的解集为 ( )
A. -∞,0  B. -∞,e  C. e,+∞  D. 0,+∞ 
【答案】D
f(x)-1
【分析】构造函数g(x)= ，由题设条件可得其单调性，从而可求函数不等式的解.
ex
f(x)-1 f(x)-f(x)+1
【详解】构造函数g(x)= ，则g(x)= <0，
ex ex
∴函数g(x)在R上单调递减，
f(0)-1
∵f(0)=2，∴g(0)= =1，
e0
由fx 
f(x)-1
-ex<1得 <1，即g(x)<g(0)，
ex
∵函数g(x)在R上单调递减，∴x>0，
故选：D.
f(x) f(x)
典例三：构造 和 或 和 型
F(x)=f(x)sinx F(x)=f(x)cosx F(x)= F(x)=
sinx cosx
π π
24.(25-26高二下·广东汕尾·期中)已知函数f(x)的定义域为- ,
2 2
 ，其导函数是f(x)．若f(x)cosx
π
+f(x)sinx>0，则关于x的不等式f(x)>2f
3
 cosx的解集为 ( )
π π
A. - ,
2 6

π π
B. - ,
6 2

π π
C. - ,
3 6

π π
D.  ,
3 2

【答案】D
f(x) π π
【详解】设函数g(x)= ，x∈- ,
cosx 2 2

f(x)cosx+f(x)sinx
，求导可得g(x)= >0
cos2x
π π
所以函数g(x)在- ,
2 2
 上单调递增，
π π
易知x∈- ,
2 2
 时，cosx>0，不等式fx 
π
>2f
3

fx
cosx等价于

π
f 3
>
cosx

，即gx
π
cos
3

π
>g
3
 ，
π π
g(x)在- ,
2 2

π
上单调递增，可得x> ，
3
π π
因为x∈- ,
2 2
 ，因此不等式fx 
π
>2f
3

π π
cosx的解集为 ,
3 2
 ．
25.(25-26高二下·广东珠海·期中)已知定义在0,+∞  上的函数fx  ，满足fx  -fx  >sinx-cosx，且fπ
11

1
=2，则不等式 f2x
2
 -sinxcosx>e2x-π的解集是
π
【答案】0,
2

【分析】构造gx  =e-x fx   -sinx  ,由条件推出gx  <0得gx  在0,+∞  单调递减，再利用二倍角
公式化简原不等式,整理变形为g2x  >gπ 
π
，借助单调性得2x<π，结合定义域求出解集0<x< .
2
【详解】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-f(x)>sinx-cosx，
即f(x)-f(x)<cosx-sinx，两边同乘e-x可得e-xf(x)-e-xf(x)<e-x(cosx-sinx)，
观察可知左边为(e-xf(x))，右边为(e-xsinx)，
构造辅助函数g(x)=e-x[f(x)-sinx]，
求导得g(x)=e-x[f(x)-f(x)-cosx+sinx]<0，
所以g(x)在(0,+∞)上严格单调递减.
1 1 1
对原不等式 f(2x)-sinxcosx>e2x-π进行化简可得 f(2x)- sin2x>e2x-π.
2 2 2
即f(2x)-sin2x>2e2x-π，再两边同除以e2x，
整理得e-2x f2x   -sin2x  >2e-π，则g(2x)=e-2x[f(2x)-sin2x]，
又f(π)=2，则g(π)=e-π(f(π)-sinπ)=2e-π，
因此原不等式等价于g(2x)>g(π).
因为g(x)在(0,+∞)上严格单调递减，所以g(2x)>g(π)等价于2x<π.
π π
因为定义域2x>0，解得0<x< ，即不等式的解集为0,
2 2
 .
π
26.(25-26高二下·广东广州·期中)已知定义在0,
2

π
上的函数f(x)满足f
6
 =1，且f(x)tanx>f(x)，
f(x)是f(x)的导数，则使得不等式f(x)<2sinx成立的x的范围为 ．
π
【答案】0,
6

f(x)
【分析】根据给定条件，构造函数g(x)= ，再利用导数确定单调性并求解不等式.
sinx
π
【详解】由题意得x∈0,
2

f(x)
，令函数g(x)= ，而f(x)tanx>f(x)，
sinx
f(x)sinx-f(x)cosx cosx
求导得g(x)= = [f(x)tanx-f(x)]>0，
sin2x sin2x
π
则函数g(x)在0,
2

π
上单调递增，g
6

π
f
6
=

=2，
π
sin
6
f(x) π
不等式f(x)<2sinx⇔ <2⇔g(x)<g
sinx 6

π
，因此0<x< ，
6
π
所以x的范围为0,
6
 .
27.(25-26高二下·江苏扬州·期中)已知fx 
π
为定义在- ,0
2

π
∪0,
2
 上的奇函数，fx  为其导函数，
π
当x∈0,
2
 时，fx  tanx<fx  ，则关于x的不等式fx 
π
>2f
6
 sinx的解集为 ( )
π π
A. - ,-
2 6

π π
∪ ,
6 2

π
B. - ,0
6

π π
∪ ,
6 2
π
C. - ,0
6
12

π
∪0,
6

π π
D. - ,-
2 6

π
∪0,
6

【答案】D
【分析】构造函数Fx 
fx
=

，通过研究Fx
sinx
 的奇偶性与单调性求解不等式.
【详解】令Fx 
fx
=

，因为fx
sinx

π
为定义在- ,0
2

π
∪0,
2
 上的奇函数，
则F-x 
f-x
=

sin-x 
-fx
=
 fx
=
-sinx

=Fx
sinx
 ，所以Fx 
π
为定义在- ,0
2

π
∪0,
2
 上的偶函数.
π
当x∈0,
2
 时，sinx>0，cosx>0，由已知fx  tanx<fx  ，
所以Fx 
fx
=
 sinx-fx  cosx cosx
= fx
sin2x sin2x
 tanx-fx    <0，
则Fx 
π
在0,
2
 上单调递减，则对于不等式fx 
π
>2f
6
 sinx，
π
当x∈0,
2

fx
时，sinx>0，不等式可化为

π
f 6
>
sinx

，即Fx
π
sin
6

π
>F
6
 ，
又Fx 
π
在0,
2

π
上单调递减，解得0<x< ；
6
π
当x∈- ,0
2

fx
时，sinx<0，不等式可化为

π
f- 6
<
sinx

π
sin-
6

，即Fx 
π
<F-
6
 ，
由Fx  为偶函数，则Fx 
π
在- ,0
2

π π
上单调递增，解得- <x<- ，
2 6
所以不等式fx 
π
>2f
6

π π
sinx的解集为- ,-
2 6

π
∪0,
6
 ．
28.(25-26高二下·北京丰台·期中)已知函数f(x)的定义域为(-π,0)，其导函数f(x)满足f′(x)sinx-f(x)
π
cosx>0，则关于x的不等式f(x)<-2f-
6
 sinx的解集为 ( )
π
A. - ,0
3

π
B. -π,-
3

π
C. - ,0
6

π
D. -π,-
6

【答案】C
【分析】构造函数Fx 
fx
=
 fx
，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为
sinx

>
sinx
π
f-
6

π
sin-
6

，利用函数的单调性即可求解.
【详解】令Fx 
fx
=

，x∈(-π,0)，
sinx
因为f′(x)sinx-f(x)cosx>0，
则Fx 
fx
=
 sinx-fx  cosx
>0 ，
sin2x
所以Fx  在(-π,0)上单调递增.
π
因为sinx<0，所以关于x的不等式f(x)<-2f-
6
 sinx，fx
可化为
13

π
f- 6
>
sinx

π
sin-
6

，即Fx 
π
>F-
6
 .
因为F(x)在-π,0  上单调递增，所以由Fx 
π
>F-
6

π
可得x>- ，
6
π
由定义域知x<0，解得- <x<0.
6
π
即不等式f(x)<-2f-
6

π
sinx的解集为- ,0
6
 .
29.(2025高三·全国·专题练习)设函数fx  在R上存在导数fx  ，对任意的x∈R，有fx  -sinx=f-x 
-sin-x  ，且在0,+∞  上，fx  >cosx．若ft 
π
-sint<f -t
2

π
-sin -t
2
 ，求实数t的取值范
围．
π
【答案】-∞,
4

【分析】令gx  =fx  -sinx得出其奇偶性，结合导数研究其单调性再脱去函数符号解不等式即可.
【详解】因为fx  -sinx=f-x  -sin-x  ，设gx  =fx  -sinx，x∈R，
可得gx  =g-x  ，所以gx  为偶函数，
在0,+∞  上有fx  >cosx，所以gx  =fx  -cosx>0，
故gx  在0,+∞  上单调递增，
根据偶函数的对称性可知，gx  在-∞,0  上单调递减，
又ft 
π
-sint<f -t
2

π
-sin -t
2
 ，即gt 
π
<g -t
2
 ，所以t 
π
< -t
2
 ，
π
即t2< -t
2

2 π2 π
， -πt>0，解得t< ，
4 4
π
所以实数t的取值范围为-∞,
4
 ．
典例四：构造函数解不等式
lnπ 1 ln2
30.(25-26高二下·四川成都·期中)设a= ,b= ,c= ，则a,b,c的大小顺序为 ( )
π e 2
A. c<a<b B. a<c<b C. a<b<c D. b<a<c
【答案】A
lnx
【分析】通过构造函数f(x)= ，利用导数判断其单调性，再结合2,e,π,4的大小关系，即可比较a,b,c
x
的大小.
1
⋅x-lnx⋅1
lnx x 1-lnx
【详解】设函数f(x)= ,x>0，则f(x)= = ，令f(x)=0，得x=e，
x x2 x2
当0<x<e时，f(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f(x)<0，f(x)单调递减，
lnπ 1 ln2 2ln2 ln4
而a= =f(π)，b= =f(e)，c= = = =f(4)，
π e 2 4 4
又因为e<π<4，且f(x)在(e,+∞)上单调递减，所以f(4)<f(π)<f(e)，
即c<a<b.
31.(25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测)已知a=0.1，b=e0.1-1，c=sin0.1，则 ( )
A. b>a>c B. a>b>c C. a>c>b D. c>a>b【答案】A
【分析】构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，代入x=0.1即可比较三者大小．
【详解】比较b与a的大小：
构造函数f(x)=ex-x-1，定义域为(0,+∞)，
求导得f(x)=ex-1，当x>0时，ex>1，
故f(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
因此f(0.1)>f(0)=0，即e0.1-0.1-1>0，整理得b>a；
比较a与c的大小：
π
构造函数g(x)=x-sinx，定义域为0,
2
14
 ，求导得g(x)=1-cosx，
π
当x∈0,
2

π
时，cosx<1，故g(x)>0，所以g(x)在0,
2
 上单调递增，
因此g(0.1)>g(0)=0，即0.1-sin0.1>0，整理得a>c，
所以b>a>c．
32.(25 - 26 高二下·河北唐山·阶段检测) 定义在 0,+∞  上的函数 f x  的导函数为 fx  ，且
x3-x2+x  fx  <3x2-2x+1  fx  恒成立，则必有 ( )
A. f1 
f2
<
 f3
<
2

B. 3f1
7

f2
<
 f3
<
2

7
C. f1 
f2
>
 f3
>
2

D. 3f1
7

f2
>
 f3
>
2

7
【答案】D
【分析】构造函数gx 
fx
=

,x>0，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
x3-x2+x
【详解】由x3-x2+x  fx  <3x2-2x+1  fx  ，得x3-x2+x  fx  <x3-x2+x  fx  ．
设函数gx 
fx
=

,x>0，则gx
x3-x2+x

x3-x2+x
=
 fx  -x3-x2+x  fx 
x3-x2+x 
<0，
2
所以gx  在0,+∞  上单调递减，从而g1  >g2  >g3  ，
f1
即
 f2
>
1
 f3
>
6

，即3f1
21

f2
>
 f3
>
2

．
7
33.(2026·天津·模拟预测)设a=1.51.1，b=1.11.5，c=log 1.5，则a，b，c的大小关系是 ( )
1.1
A. a<b<c B. c<a<b C. b<a<c D. c<b<a
【答案】C
【分析】构造函数，比较出a>b，再利用中间值“2”比较c,a的大小.
lna ln1.5 lnb ln1.1
【详解】其中lna=1.1ln1.5，lnb=1.5ln1.1， = ， = ，
1.1×1.5 1.5 1.1×1.5 1.1
设fx 
lnx
= ，则fx
x

1-lnx
= ，
x2
令fx 
1-lnx
= >0得0<x<e，令fx
x2

1-lnx
= <0得x>e，
x2
故fx 
lnx
= 在0,e
x
 上单调递增，
ln1.5 ln1.1 lna lnb
所以 > ，即 > ，a>b，
1.5 1.1 1.1×1.5 1.1×1.53
a=1.51.1<
2
15

3 27
2 = < 4=2，c=log 1.5>log 1.21=2，
8 1.1 1.1
所以c>a，故c>a>b.
1 1 10
34.(2026·河南·模拟预测)若a= ,b= ,c=- ln0.9，则 ( )
8 9 9
A. b<a<c B. c<b<a C. b<c<a D. c<a<b
【答案】C
【分析】分别构造函数fx  =xlnx-x+1,x>0，gx 
x2-1
=xlnx- ,x>0，利用导数分析两个函数的
2
单调性，即可得b,c及a,c关系，从而得到答案.
【详解】令fx  =xlnx-x+1,x>0，则fx  =lnx.
当0<x<1时，fx  <0，fx  单调递减；当x>1时，fx  >0，fx  单调递增.
又f1 
10
=0，所以f
9
 >f1  =0
10 10 10 10 1
所以 ln - +1>0，即c=- ln0.9> =b.
9 9 9 9 9
令gx 
x2-1
=xlnx- ,x>0，则gx
2
 =lnx-x+1，
令hx  =lnx-x+1,x>0，则hx 
1 1-x
= -1= .
x x
当0<x<1时，hx  >0，hx  单调递增；当x>1时，hx  <0，hx  单调递减.
所以hx  ≤h1  =0恒成立，即gx  ≤0恒成立，所以gx  是减函数，
10
所以g
9
 <g1 
10

10 10 9
=0，即 ln -
9 9

2 10
-1 
10 10 9
<0，即c= ln <
2 9 9

2
-1
19 20 1
= < =
2 162 160 8
=a．
综上所述，b<c<a.
1
35.(25-26高二下·广东广州·期中)设a= ，b=ln1.01，c=e0.01-1，则下列关系正确的是 ( )
100
A. a>b>c B. b>a>c C. c>b>a D. c>a>b
【答案】D
【分析】根据题目条件和作差法比较大小，构造函数，根据函数导数判定函数单调性，进而判定函数值的
正负，判定各数值的大小.
【详解】由题可知a=0.01,b=ln1+0.01  ,c=e0.01-1，
设函数fx  =ln1+x  -x，则fx 
1 -x
= -1= ，
1+x 1+x
在0,+∞  上fx  <0，即函数fx  在0,+∞  单调递减，
可知f0  =ln1=0，当x>0时，fx  <f0  恒成立，
所以f0.01  =ln1.01-0.01<0，即a>b，
设函数gx  =ex-1-x，则gx  =ex-1，
在0,+∞  上gx  >0，即函数gx  在0,+∞  单调递增，
可知g0  =e0-1=0，当x>0时，gx  >g0  恒成立，
所以g0.01  =e0.01-1-0.01>0，即c>a，
综上所述，可知c>a>b.1 4 1
36.(25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中)已知a= ,b=ln ,c=sin ，则 ( )
6 3 6
A. a>c>b B. a>b>c C. c>b>a D. b>a>c
【答案】D
【分析】对于a,c，通过构造函数gx
16

π
=x-sinx,x∈0,
2
 ，求导确定单调性可判断，对于b,a，通过构造
fx  =ln1+2x 
1
-x,x∈0,
2
 ，求导确定单调性可判断，进而可解题.
1 1
【详解】由a-c= -sin ，构造gx
6 6

π
=x-sinx,x∈0,
2
 ，
则gx 
π
=1-cosx>0，x∈0,
2
 ，
所以gx 
π
在0,
2
 上单调递增，
1
故g
6
 >g0 
1 1
=0，即 >sin ，故a>c.
6 6
4 1 1
由b-a=ln - =ln1+2×
3 6 6

1
- ，
6
构造fx  =ln1+2x 
1
-x,x∈0,
2
 ，
则fx 
2 1-2x 1
= -1= >0，x∈0,
1+2x 1+2x 2
 ，
所以fx 
1
在0,
2
 上单调递增，
1
故f
6
 >f0 
4 1
=0，即ln > ，故b>a.
3 6
综上，b>a>c.
1
37.(2026·天津滨海新区·三模)已知实数a,b,c满足a=0.5a，b=0.5a2，c=lna，则a,b,c的大小关系为
( )
A. a<c<b B. b<a<c C. c<a<b D. c<b<a
【答案】D
【分析】先构造函数确定a的取值范围，再利用指数函数单调性比较b与a的大小，结合对数函数性质判
断c的符号，最终得到三者大小关系．
【详解】令fx  =x-0.5x，因为y=x是R上的增函数，y=0.5x是R上的减函数，
所以fx  =x-0.5x为R上的单调递增函数，
计算得f0.5 
2
=0.5-0.50.5=0.5- <0，f1
2
 =1-0.51=0.5>0，
由零点存在性定理可得方程x=0.5x得解a∈0.5,1  ，
由a∈0.5,1  ，得a2∈0.25,1 
1
，所以 >1>a，
a2
又y=0.5x为R上的单调递减函数，y=lnx在0,+∞  上单调递增，
1
所以b=0.5a2 <0.5a=a，c=lna<ln1=0，
所以c<b<a．
38.(23-24高三上·海南·阶段检测)设a=0.36-ln0.6，b=0.49-ln0.7，c=0.4761-ln0.69，则 ( )A. a>c>b B. b>c>a C. a>b>c D. c>a>b
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系，求出的单调减区间，进而利用单调性比较大小即可.
【详解】令fx
17
 =x2-lnx,x>0，则fx 
1 2x2-1  2x+1
=2x- = =
x x
  2x-1 
.
x
由x>0，得 2x+1>0.
2
所以当x> 时， 2x-1>0，fx
2

2
>0；当0<x< 时， 2x-1<0，fx
2
 <0.
所以fx 
2
在0,
2

2
上单调递减，在 ,+∞
2
 上单调递增.
2
因为0.6<0.69<0.7< ，所以f0.6
2
 >f0.69  >f0.7  ，
即a>c>b.
4 8 1
39.(2026·河北沧州·三模)设a=4-3ln ，b= ，c=3cos ，则 ( )
3 3 3
A. a>b>c B. a>c>b C. b>a>c D. b>c>a
【答案】B
【分析】令φ(x)=lnx-(x-1)，求导可得lnx≤x-1，可得a>3，令fx 
1
=cosx-1- x2
2
 ,x∈
0,1 
1
，利用导数可得cosx>1- x2
2
 ,x∈0,1  ，进而判断c>b.
1 1-x
【详解】令φ(x)=lnx-(x-1)，则φ(x)= -1= ，
x x
当x>1时，φ(x)<0，即函数φ(x)=lnx-(x-1)在(1,+∞)上为减函数，
当0<x<1，φ(x)>0，即函数φ(x)=lnx-(x-1)在(0,1)上为增函数，
所以φ(x)=lnx-(x-1)≤φ(1)=0，所以lnx≤x-1，当且仅当x=1时取到等号，
4 4 4 1 4 1
令x= ，所以ln ≤ -1= ，所以a=4-3ln >4-3× =3，
3 3 3 3 3 3
1 1
因为cos <1，所以c=3cos <3，所以a>c,a>b，
3 3
令fx 
1
=cosx-1- x2
2
 ,x∈0,1  ，求导得fx  =-sinx+x，
令hx  =-sinx+x，求导得hx  =-cosx+1>0，
所以hx  在0,1  上单调递增，所以hx  >h0  =-sin0+0=0，
所以fx  >0，所以fx  在0,1 
1
上单调递增，所以cosx>1- x2
2
 ,x∈0,1  ，
1 1 1 1
令x= ，则可得cos >1- ×
3 3 2 3

2 17
= ，
18
1 17 17 8
所以3cos >3× = > ，所以c>b，
3 18 6 3
所以a>c>b.