文档文本内容
姓 名_____________
准考证号_____________
绝密★启用前
6 月高二数学
注意事项：
1．本试卷共 6页．时间 120分钟，满分 150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填
写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对
条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对
应的答题区域内．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
3 5 { }
1．已知集合A=x < x< ，B= x x2 −5x+6≤0 ，则AB=
2 2
3 3
A． −∞,
B． ,3
2 2
5 5
C． 2, D． ,3
2 2
2．已知i为虚数单位，复数z满足 ( 1+2i ) z =3+i，则z的共轭复数z =
A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i
3．已知函数 f ( x )=( x−1 ) cosx+ex，则 f′( 0 )=
A．-2 B．2 C．-1 D．1
4．已知抛物线C：y2 =2px ( p >0 ) 的焦点为F ，过点F 的直线l与C交于A，B两点，且线段AB的
FFF FFFF
中点M 到 y轴的距离为3，直线l与y轴交于点N ．若NF =2FM ，则C的标准方程为
A．y2 =4x B．y2 =6x
C．y2 =8x D．y2 =12x
学科网（北京）股份有限公司 3
5．定义在R上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x+3 )=−f ( x ) ，且当x∈
0,
时， f ( x ) 单调递减，则下列关
2
系式正确的是
A． f
(
3
)<
f
(
π
)<
f
(
2
)
B． f
(
2
)<
f
(
π
)<
f
(
3
)
C． f
(
3
)<
f
(
2
)<
f
(
π
)
D． f
(
2
)<
f
(
3
)<
f
(
π
)
6
2
6．已知二项式 x−
，则下列说法正确的是
x
A．展开式中第3项与第4项的二项式系数之比为4∶3
B．展开式中所有项的二项式系数之和为128
C．展开式中所有项的系数之和为64
D．展开式中常数项为-160
7．为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了 2025年 7-12月某城市文旅短视
频累计播放量x（单位：亿次）与当月旅游总收入y（单位：亿元）的统计数据，如下表：
月份 7 8 9 10 11 12
x/亿次 2 3 4 5 6 7
y/亿元
8 15 28 50 90 160
通过散点图分析发现， y与x的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为 yˆ =mekx（m>0，k ≠0），
令z =lny，得到z关于x的回归方程为zˆ =0.6x+tˆ，相关系数为r．则下列说法正确的是
附：x =4.5，y =58.5，z ≈3.60，e0.9 ≈2.46，e5.7 ≈299，ln50≈3.9120．
A．y关于x的回归方程为yˆ =e0.9⋅e0.6x，当x每增加1亿次时，y平均增加e0.6亿元
B．z与x的相关系数r >0，若用一元线性回归模型直接拟合y与x，得到的相关系数为r ，则 r > r
1 1
C．若 2026年 1月该城市文旅短视频累计播放量为 8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为 299
亿元
D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次
8．为推广非遗文化，某文创店推出“非遗主题盲盒”，每个盲盒内装有 1 张对应非遗项目的卡片，共有
剪纸、陶艺、戏曲、书法 4 款不同卡片，每款卡片在盲盒中出现的概率均等，且不同盲盒开出的卡片相互
独立．某同学一次性购买了 3个盲盒，设该同学抽到的不同卡片款式的数量为随机变量X ，则下列说法正
确的是
1 3
A．随机变量X ∼B3, B．P ( X =2 )=
4 8
37 87
C．E ( 2X −1 )= D．D ( X )=
8 256
学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知数列 { a }( n∈N* ) 满足a =2a +1 ( n≥2 ) ，且a =1，数列 { b } 满足b =a +1，则下列说法
n n n−1 1 n n n
正确的是
{ }
A．数列 a 为等差数列
n
{ }
B．数列 b 为等比数列
n
C．数列 { b } 的通项公式为b =2n+1
n n
a +1 1
D．数列 n 的前n项和T =1−
a a n 2n+1−1
n n+1
10．已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为 2 的正方形，顶点P在底面的投影为正方形的中心O，
高PO=1，则下列说法正确的是
3
A．异面直线PA与BC所成角的余弦值为
3
( )
B．该四棱锥的内切球的表面积为 3−2 2 π
6
C．直线PD与平面PBC 所成角的正弦值为
3
2
D．点A到平面PBC 的距离为
2
11．已知函数 f ( x )=ex−1−ax2 +( a−1 ) x，其中a∈R，e为自然对数的底数，下列结论中正确的有
( )
A．当a =0时， f x 的最小值为0
1
B．若方程 f′( x )−a+1=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ,+∞
2
C．若 f ( x )≥0对任意x∈( 0,+∞) 恒成立，则实数a的取值范围是 (−∞,1 ]
( )
D．当a =1时， f x 有且仅有3个零点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知各项均为正数的等比数列 { a } 满足log a +log a =6，则a =_________．
n 3 3 3 5 4
x2 y2
13．已知双曲线C： − =1 ( a>0,b>0 )的右焦点为F ，坐标原点为O，以线段OF 为直径的圆与
a2 b2
C的一条渐近线交于异于点O的另一点A．若 OA = 3 AF ，则C的离心率为_________．
学科网（北京）股份有限公司1 1 1
14．在三棱锥P−ABC中，侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且 + + =1．若D为空间内
PA PB PC
FFF FFF FFF FFF FFF FFF FFF FFF FFF FFF
一点，且PD=1，PD=λ ( PA+PB+PC )(λ>0 ) ，则DA⋅DB+DB⋅DC+DC⋅DA的最大值为_____
____________．
附：柯西不等式： ( a2 +b2 +c2 )( x2 + y2 +z2 ) ≥( ax+by+cz )2 ，其中a，b，c，x， y，z∈R，当
a b c
且仅当 = = （约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立．
x y z
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校
园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛．为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关
联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取 100 名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与
时长≥6课时为长时研学，<6课时为短时研学）与科创竞赛获奖情况，得到如下2×2列联表：
科创竞赛
研学时长 合计
获奖 未获奖
长时研学 25 15 40
短时研学 10 50 60
合计 35 65 100
（1）从本次抽取的科创竞赛获奖的学生中，按研学时间长短分层，采用比例分配的分层随机抽样的方法
抽取 7名学生，再从这 7名学生中随机选取 3名作为代表参加航天科普宣讲会，求选取的 3名代表中恰有
2名为长时研学的概率；
（2）依据α=0.005的独立性检验，能否认为学生科创竞赛是否获奖与航天科普研学时长有关？
n ( ad −bc )2
附：c2 = ，其中n=a+b+c+d ．
( a+b )( c+d )( a+c )( b+d )
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
a
16．（本小题满分15分）
B
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 3bsinA=a1+2sin2 ．
2
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
17．（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司如图 1，在平面四边形ABCE中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∠ABC =90°，△ACE
是边长为2的等边三角形．现将△ACE沿AC翻折至△ACD的位置，使得BD=2，如图2．
（1）设O为AC的中点，证明：DO⊥平面ABC；
（2）求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）
x2 y2 2
已知椭圆C： + =1 ( a >b>0 )的离心率为 ，且与直线x+ y− 6 =0有且只有一个公共点．
a2 b2 2
（1）求C的标准方程；
（2）设一动直线l不经过坐标原点O，与C交于M ，N 两点，且OM ⊥ON ．
（ⅰ）证明：点O到直线l的距离为定值；
（ⅱ）求△OMN面积的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知函数 f ( x )= xex −a ( lnx+x+1 ) ，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）当a =1时，求曲线y = f ( x ) 在点 ( 1, f ( 1 )) 处的切线方程；
（2）当a >0时，证明： f
(
x
)≥−alna；
（3）若对任意x>0，不等式 f
(
x
)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
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