抛物线的阿基米德三角形讲义-原卷版_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0618数学_抛物线的阿基米德三角形讲义--2027高考数学

抛物线的阿基米德三角形
目 录
高考分析 .............................................................................................................................................................. 1
学习目标 .............................................................................................................................................................. 2
知识要点 .............................................................................................................................................................. 2
解题策略 .............................................................................................................................................................. 8
题型归纳 .............................................................................................................................................................. 9
题型01：定点问题 ............................................................................................................................................... 9
题型02：定直线问题 ......................................................................................................................................... 14
题型03：定值问题 ............................................................................................................................................. 19
题型04：参数问题 ............................................................................................................................................. 22
题型05：面积问题 ............................................................................................................................................. 25
题型06：点坐标 ................................................................................................................................................ 30
题型07：证明.................................................................................................................................................... 34
题型08：阿基米德三角形的综合应用 ................................................................................................................. 39
一. 考查位置
高考圆锥曲线大题（第20/21题）高频二级结论模型，常在抛物线大题压轴、选填压轴出现；新高考全国卷、地方
卷每年1–2次直接/间接考查。
二. 命题特点
1
学科网（北京）股份有限公司1.不直接考定义，常隐藏在切线、弦中点、面积、定点定值、最值中
2.核心围绕：两条切线+一条弦构成阿基米德三角形
3.常结合：韦达定理、中点、斜率、面积、定点、最值、参数范围
4.难度：中档偏难，属于圆锥曲线提分关键点，掌握结论可大幅简化计算
三. 高频考法
1.证明：顶点与弦中点连线平行于抛物线对称轴
2.求：阿基米德三角形面积、最小面积
3.定点：切线交点恒过定点
4.定值：斜率积、向量数量积、面积比例定值
5.最值：面积最值、距离最值
1. 准确识别抛物线阿基米德三角形结构：
抛物线弦AB，过A、B分别作切线交于P，则三角形PAB即为阿基米德三角形
2. 熟记并会推导5大核心性质，不硬背，理解来源
3. 能在大题中规范使用结论（可直接用，也可简单证明）
4. 掌握通法+二级结论两套解题路径，大题优先通法，选填直接秒杀
5. 熟练解决：面积、定点、定值、最值四类高频题型
6. 能快速构造模型，将复杂抛物线切线问题转化为阿基米德三角形模型
知识点一：圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线方程 曲线上一点(x ,y )处的切线方程
0 0
x2 + y2 =r2 x x+ y y=r2
0 0
圆
(x−a)2 +(y−b)2 =r2 (x −a)(x−a)+(y −b)(y−b)=r2
0 0
2
学科网（北京）股份有限公司2 2
𝑥𝑥 +𝑦𝑦 +𝐷𝐷𝑥𝑥+𝐸𝐸𝑦𝑦+𝐹𝐹 =0
其中 𝑥𝑥0+𝑥𝑥 𝑦𝑦0+𝑦𝑦
𝑥𝑥0𝑥𝑥+𝑦𝑦0𝑦𝑦+𝐷𝐷 +𝐸𝐸 +𝐹𝐹 =0
2 2
2 2
x2 (y2 𝐷𝐷 +𝐸𝐸 −4𝐹𝐹 >0) x x y y
+ =1 (a>b>0) 0 + 0 =1
a2 b2 a2 b2
椭圆
2 2
𝑦𝑦 𝑥𝑥
𝑦𝑦0𝑦𝑦 𝑥𝑥0𝑥𝑥
𝑎𝑎
x22+
−𝑏𝑏
y22=
=
1
1
(𝑎𝑎
(a
>
>
𝑏𝑏
0
>
,b
0
>
)
0) 𝑎𝑎
x
0
2x+
− 𝑏𝑏
y2
0
y=
=
1
1
a2 b2 a2 b2
双曲线
2 2
𝑦𝑦 𝑥𝑥
𝑦𝑦0𝑦𝑦 𝑥𝑥0𝑥𝑥
2− 2 =1(𝑎𝑎>0,𝑏𝑏 >0) 2 − 2 =1
𝑎𝑎 𝑏𝑏 y𝑎𝑎 0 y= p𝑏𝑏(x+x 0 )
2
𝑦𝑦 = 2𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑝𝑝>0)
抛物线 2
𝑦𝑦 =−2𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑝𝑝>0) 𝑦𝑦0𝑦𝑦 =−𝑝𝑝(𝑥𝑥+𝑥𝑥0 )
2
𝑥𝑥 = 2𝑝𝑝𝑦𝑦(𝑝𝑝>0) 𝑥𝑥0𝑥𝑥 =𝑝𝑝(𝑦𝑦+𝑦𝑦0)
2
𝑦𝑦 =−2𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑝𝑝>0) 𝑥𝑥0𝑥𝑥 =−𝑝𝑝(𝑦𝑦+𝑦𝑦0)
知识点二：抛物线阿基米德三角形
一、定义
抛物线的弦与两端点的切线围成的三角形叫做阿基米德三角形。
二、切线方程
a、过抛物线y2 =2px上的一点P(x ,y )的切线为yy =p(x+x )
0 0 0 0
b、过抛物线y2 =−2px上的一点P(x ,y )的切线为yy =−p(x+x )
0 0 0 0
c、过抛物线x2 =2py上的一点P(x ,y )的切线为xx =p(y+y )
0 0 0 0
d、过抛物线x2 =−2py上的一点P(x ,y )的切线为xx =−p(y+y )
0 0 0 0
证法1：设抛物线x2 =2py ( p >0 ) 上一点M ( x ,y ) 的切线方程为： y− y =k ( x−x ) ，代入x2 =2py ( p >0 ) ，整
0 0 0 0
理得x2 −2pkx−2py +2pkx =0，由∆=0，得4p2k2 +4 ( 2py −2pkx ) =0⇒ pk2 −2x k+2y =0
0 0 0 0 0 0
x
因为抛物线上一点处的切线是唯一的， ∴ 关于k的一元二次方程 pk2 −2x k+2y =0有两个相等的实数根，∴k = 0
0 0 p
x
所求的切线方程为 y− y 0 ( x−x ) ，即x x= x2 + py− py ，又x2 =2py ， ∴ 过抛物线x2 =2py ( p >0 ) 上一点
0 p 0 0 0 0 0 0
( ) x x = p(y+ y )
M x ,y 的切线方程为： 0 0 。
0 0
x2 x x
证法2：导数法： y = ⇒ y′= ，甴导数的几何意义得所求切线的斜率为∴k = 0 所求的切线方程为
2p p p
3
学科网（北京）股份有限公司y− y =k ( x−x ) ，即x x= x2 + py− py ，又x2 =2py ， ∴ 过抛物线x2 =2py ( p >0 ) 上一点M ( x ,y ) 的切线
0 0 0 0 0 0 0 0 0
( )
方程为：xx = p y+ y 。
0 0
三、性质
2
1.抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的 。
3
2.阿基米德三角形底边（弦AB）上的中线平行于抛物线的轴。
( ) ( ) ( )
证明：设A x ,y ,B x ,y ,M为弦AB的中点，则过A的切线方程为 yy = p x+x ，过B的切线方程为
1 1 2 2 1 1
yy = p ( x+x ) ，y2 =2px y2 =2px 联立方程
2 2 1 1， 2 2
y2 y2
y ⋅ 1 − y ⋅ 2
 yy = p ( x+x )( 1 ) ( 1 ) y x+x 2 2p 1 2p
 1 1 ， ⇒ 1 = 1 ⇒ y x+ y x = y x+ y x ⇒ x=
yy = p ( x+x )( 2 ) ( 2 ) y x+x 1 1 2 2 2 1 y − y
2 2 2 2 1 2
y2 y2  y y y2 
y 2 ⋅ 2 1 p − y 1 ⋅ 2 2 p y y p ( x+x ) p   2 1 p 2 + 2 1 p   y + y
= = 1 2 ,y = 1 = = 1 2
y − y 2p y y 2
1 2 1 1
 y y y + y  x +x y + y 
解得两切线交点Q

 1 2 , 1 2

，又M 1 2 , 1 2 ，∴MQ||x轴
 2p 2   2 2 
3、QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行.
( ) ( ) x +x y + y   y y y + y 
证明：设A x ,y ,B x ,y ，弦AB的中点M 1 2 , 1 2 ，则Q

 1 2 , 1 2


1 1 2 2  2 2   2p 2 
y y y2 + y2
1 2 + 1 2
x +x y2 + y2 2p 4p ( y + y )2 ( y + y )2 y + y 
1 2 = 1 2 ⇒ = 1 2 ⇒ P 1 2 , 1 2  带入抛物线 y2 =2px满足方程，所以
 
2 4p 2 8p  8p 2 
( )
p y + y 2p y − y 2p y − y 2p
点P在抛物线上，k = y′= y = 1 2 = k = 1 2 = 1 2 = ∴k =k
p切 y 2 y + y AB x −x y2 − y2 y + y p切 AB
1 2 1 2 1 2 1 2
4
学科网（北京）股份有限公司p
( )
4、若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内的定点 则另一顶点 的轨迹为一条直线y = x+x 。
y 0
0
𝐀𝐀𝐀𝐀 𝐂𝐂 𝐐𝐐
( ) ( ) ( ) ( )
证明：设A x ,y ,B x ,y ,C x ,y 为抛物线内的定点，弦AB的过定点C，Q x,y ，
1 1 2 2 0 0
y y y + y
满足x= 1 2 ，y = 1 2 ，
2p 2
y − y y − y 2p y − y
k =k ⇒ 1 2 = 1 0 ⇒ = 1 0
AB AC 1 ( ) 1 y + y 1
y2 − y2 y2 −x 1 2 y2 −x
2p 1 2 2p 1 0 2p 1 0
⇒ y2−= y2 − y y + y y − y y ⇒+y y − y y − y y +2px =0
1 1 1 0 1 2 2 0 1 2 1 0 2 0 0
y y y + y
x= 1 2 ,∴2px− ( y + y ) y +2px =0y = 1 2 ∴2px−2yy +2px =0
2p 1 2 0 0 2 0 0
p
( ) ( )
⇒ yy = p x+x ∴y = x+x
0 0 y 0
0
5、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 方程为: ,
𝐥𝐥 𝐥𝐥 𝐥𝐥 𝐚𝐚𝐚𝐚+𝐛𝐛𝐛𝐛+𝐜𝐜=𝟎𝟎
则定点的坐标为 .
𝐜𝐜 𝐛𝐛𝐛𝐛
𝐂𝐂�𝐚𝐚,− 𝐚𝐚�
p b c
( ) ( )
证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线 y = x+x ，与y =− x− 表示同一条直线，其中 x ,y
y 0 a a 0 0
0
 p a  pb
  y =− b  y 0 =− a
是弦AB经过的定点，所以 0 ⇒
px c c
 0 =−  x =
  y b  0 a
0
可得：弦AB所在的直线过定点 .
c bp
C�a,− a�
6、抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹．
p
( ) ( )
证明：由性质4的证明可知：点Q的轨迹方程为直线 y = x+x ，其中 x ,y 为弦AB的经过的定点．∵点C又
y 0 0 0
0
x +x y +y 2p p
为弦AB的中点，∴x = 1 2 ,y = 1 2 ，而弦AB所在的直线方程斜率由点差法可得k = ，又∵直线
0 2 0 2 y + y y
1 2 0
5
学科网（北京）股份有限公司AB与Q的轨迹方程不重合，故可知两线平行．
7、底边为 的阿基米德三角形的面积最大值为 .
𝟑𝟑
𝐚𝐚
𝐚𝐚 𝟖𝟖𝐛𝐛
( ) ( ) x +x y + y   y y y + y 
证明：设A x ,y ,B x ,y ，弦AB的中点M 1 2 , 1 2 ，Q

 1 2 , 1 2


1 1 2 2
 2 2   2p 2 
，
x +x y y y2 + y2 y y ( y − y )2 a2 1 1 a2 a3
点Q到AB的距离d ≤ QM = 1 2 − 1 2 = 1 2 − 1 2 = 1 2 ≤ ∴S = ad ≤ a = 8、
2 2p 4p 4p 4p 4p 2 2 4p 8p
.
2
|AF|⋅|BF|=|QF|  p  p p p2  y y  2 y2 + y 2 p2
AF ⋅ BF = x +  ⋅ x +  = x x + (x +x )+ = 1 2  + 1 2 +
 1 2   2 2  1 2 2 1 2 4  2p  4 4
证明： ，
 y y p 2  y + y  2  y y  2 y2 + y 2 p2
QF 2 = 1 2 −  + 1 2  = 1 2  + 1 2 + = AF ⋅ BF
 2p 2   2p   2p  4 4
．
所以 .
2
|AF|⋅|BF|=|QF |
8、抛物线上任取一点 (不与 重合), 过 作抛物线切线交 于 ,连接 , 则 的面积是 面积的2
倍 𝐈𝐈 𝐀𝐀,𝐀𝐀 𝐈𝐈 𝐐𝐐𝐀𝐀,𝐐𝐐𝐀𝐀 𝐒𝐒,𝐓𝐓 𝐀𝐀𝐈𝐈,𝐀𝐀𝐈𝐈 △𝐀𝐀𝐀𝐀𝐈𝐈 △𝐐𝐐𝐒𝐒𝐓𝐓
证明：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成曲面区域的面积为阿基米德三角形面积的三分之二可知：∆ABI 的
面积是弦AB与抛物线围成的曲面面积减去弦AI和弦BI 与抛物线围成的曲面面积，即
2 2 2 2( )
S =S −S −S = S − S − S = S −S −S
ABI 曲AB内 曲AI内 曲BI内 3 ∆AQB 3 ∆ASI 3 ∆BTI 3 ∆AQB ∆ASI ∆BTI
1 1 1 1( )
S =S −S −S = S − S − S = S −S −S
QST 曲AB外 曲AI外 曲BI外 3 ∆AQB 3 ∆ASI 3 ∆BTI 3 ∆AQB ∆ASI ∆BTI
所以 的面积是 面积的2倍
△ABI △QST
6
学科网（北京）股份有限公司9、在阿基米德三角形中,
∠𝐐𝐐𝐐𝐐𝐀𝐀=∠𝐐𝐐𝐐𝐐𝐀𝐀
10、若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 的轨迹为准线,反之，若阿基米德三角形的顶点 在准线上,则底边一定过焦
点。 𝐐𝐐 𝐐𝐐
p p p
( )
证明：因为点Q的轨迹方程为直线 y = x+x ，且x = ,y =0⇒ x=−
y 0 0 2 0 2
0
p p p c pb  p 
反之，若Q的轨迹方程为x=− ⇒ x+ =0⇒a=1,b=0,c= ，因为弦AB过得定点为 ,− = ,0，
2 2 2 a a   2 
所以弦AB过焦点。
11、若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为
𝟐𝟐
p p p2 p2 𝐛𝐛
证明：k = ,k = ⇒k ⋅k = = =−1，所以QA⊥QB
QA y QB y QA QB y y − p2
1 2 1 2
1 ( ) 1
S = QF y + y ≤ p⋅2p = p2
∆QAB 2 1 2 2
12、在抛物线上任意取一点I ,（不与A、B重合），过I 做抛物线的切线交QA、QB、于S、T两点，则三角形QST的
重心在准线上。
( ) ( ) ( )
A 2pt2,2pt ,B 2pt2,2pt ,I2pt2,2pt
1 1 2 2 3 3
 p ( )
l :y= x+2pt2
 TS 2pt 3
 3 ⇒T(2pt t ,p(t +t ))
p ( ) 2 3 2 3
l :y= x+2pt2
TB 2pt 2
证明：
2
2pt p
过T做QA的垂线，(点斜式)方程为：y−p(t +t ) = 1(x−2pt t )与准线x=− 交点为
2 3 p 2 3 2
 p 
− ，p(t +t +t ) +4ptt t ,显然此点具有对偶性，同理可得三条垂线与准线的交点相同。
 2 1 2 3 1 2 3 
7
学科网（北京）股份有限公司知识点三：椭圆中的阿基米德三角形
设椭圆 的弦为 过 ， 两点做椭圆切线，交于 点，称 为阿基米德三角形,
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
𝐶𝐶:𝑎𝑎 2+𝑏𝑏 2 =1(𝑎𝑎 >𝑏𝑏 >0) 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝑄𝑄 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝑄𝑄
则有:
性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上.
2
𝑎𝑎
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑃𝑃(𝑚𝑚,0) 𝑄𝑄 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚
其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 𝑃𝑃 的斜率成等差数列𝑄𝑄, 即 .
𝐴𝐴𝑄𝑄,𝑃𝑃𝑄𝑄,𝐴𝐴𝑄𝑄 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝑘𝑘𝐴𝐴𝑃𝑃+𝑘𝑘𝐵𝐵𝑃𝑃
性质 3: 当 点为焦点时, .
𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑄𝑄 ⊥𝐴𝐴𝐴𝐴
知识点四：双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线 的弦为 过 ， 两点做双曲线切线，交于 点，称 为阿基米德三
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
角形, 则有: 𝐶𝐶:𝑎𝑎 2−𝑏𝑏 2 =1(𝑎𝑎,𝑏𝑏 >0) 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝑄𝑄 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝑄𝑄
性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在直线 上.
2
𝑎𝑎
其中𝐴𝐴,𝐴𝐴 当 点为左𝑃𝑃( 𝑚𝑚(右,0) )焦点时, 点位于左 (右𝑄𝑄) 准线上. 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚
𝑃𝑃 𝑄𝑄
性质 2: 直线 的斜率成等差数列, 即 .
𝐴𝐴𝑄𝑄,𝑃𝑃𝑄𝑄,𝐴𝐴𝑄𝑄 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝑘𝑘𝐴𝐴𝑃𝑃+𝑘𝑘𝐵𝐵𝑃𝑃
性质 3: 当 点为焦点时, .
𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑄𝑄 ⊥𝐴𝐴𝐴𝐴
概念混淆：误将任意弦与切线构成的三角形当作阿基米德三角形，忽略核心条件 ——弦的中点与抛物线顶点连线平行于
对称轴，或切线需与抛物线相切于弦的端点。
切线方程失误：求切线方程时，记错抛物线切线公式（如y2 =2px在点(x ,y )处切线为y y= p(x+x )，或代入点坐标
0 0 0 0
时符号出错。
面积公式误用：阿基米德三角形面积与弦长、抛物线参数 p 相关，易混淆为普通三角形面积公式，忽略面积与弦到焦点
距离的关联，或计算时遗漏参数 p 的系数。
性质推论遗漏：忽略 “阿基米德三角形的外接圆过抛物线焦点”“切线交点轨迹与抛物线的对偶关系” 等推论，导致解
题时无法利用隐含条件简化计算。
策略一：通用解题四步法（大题必用）
1. 设点设线
设A( , ),B( , )，直线AB:x=my+n（抛物线优先设横截式，减少计算）
2. 联立抛物线
𝑥𝑥1 𝑦𝑦1 𝑥𝑥2 𝑦𝑦2
联立 =2px 与直线，得韦达： + ,
2
8 𝑦𝑦 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2 𝑦𝑦1𝑦𝑦2
学科网（北京）股份有限公司3. 求切线交点P
抛物线切线方程：y =p(x+ )
联立两条切线，解得P坐标
𝑦𝑦0 𝑥𝑥0
4. 用性质求解目标
①平行对称轴：直接用 =
1 𝑦𝑦𝑃𝑃 ( 𝑦𝑦𝑀𝑀 ) 1
②面积：S = QF y + y ≤ p⋅2p= p2
∆QAB 2 1 2 2
③定点/定值：用韦达化简
④最值：转化为单变量函数求范围
策略二：二级结论秒杀法（选填、大题快速验算）
策略三：避坑提醒
1. 大题不能只写结论，必须简单推导切线交点或联立过程
2. 开口向左/上/下抛物线，性质形式略有变化，优先统一用 =2px
3. 面积公式优先用纵坐标差，计算远简单于横坐标 2
𝑦𝑦
题型 01：定点问题
x2 1
【典型例题1】已知曲线C：y= ，D为直线y=− 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
2 2
（1）证明：直线AB过定点：
5
（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
2
1 1 1
解析：（1）设D(t,− ),A(x ,y ),则 y = x2 ．又因为 y = x2 ，所以 y' = x.
2 1 1 1 2 1 2
1
故y + = x (x −t)，整理得2tx −2y +1=0.设B(x ,y )，同理得2tx −2y +1=0.
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2
A(x ,y ),B(x ,y )都满足直线方程2tx−2y+1=0.于是直线2tx−2y+1=0过点A,B，而两个不同的点确定一条
1 1 2 2
直线，所以直线AB方程为2tx−2y+1=0.即2tx+(−2y+1)=0，
1
当2x=0,−2y+1=0时等式恒成立．所以直线AB恒过定点(0, ).
2
9
学科网（北京）股份有限公司 1
y =tx+

1  2
（2）由（1）得直线AB的方程为 y =tx+ .由 ，可得x2 −2tx−1=0，
2  x2
y =
 2
于是x +x =2t,x x =−1,y + y =t(x +x )+1=2t2 +1
1 2 1 2 1 2 1 2
| AB|= 1+t2 |x −x |= 1+t2 (x +x )2 −4x x =2(t2 +1).设d ,d 分别为点D,E到直线AB的距离，则
1 2 1 2 1 2 1 2
d = t2 +1, d = 2 .因此，四边形ADBE的面积S = 1 | AB| ( d +d )= ( t2 +3 ) t2 +1.设M为线段AB的
1 2 t2 +1 2 1 2
 1
中点，则M t,t2 + ，
 2

  
( ) ( )
由于EM ⊥ AB，而EM = t,t2 −2 ，AB与向量(1,t)平行，所以t+ t2 −2 t =0，解得t =0或t =±1.当t =0时，
S =3；当t =±1时S =4 2，因此，四边形ADBE的面积为3或4 2.
【典型例题2】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角
形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C:x2 =2py(p>0) 的焦点为F，直线l:y=2过点F，过x轴下方的一点P作C
的两条切线l,l ，且l,l 分别交x轴于点A,B，交l于点M,N.
1 2 1 2
(1)若�PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
(2)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点；
(3)求�PMN面积的最小值.
【答案】(1)∠MPN =90
(2)证明见解析
64 3
(3)
9
【分析】（1）通过求出抛物线方程和切线斜率，利用斜率乘积判断两切线垂直得出角度；
（2）先求出切线方程，进而得到A、B坐标，再根据外接圆性质证明过定点；
（3）通过联立直线与抛物线方程求出M 、N 坐标，进而表示出�PMN的面积，再求其最小值.
p
【详解】（1）由题意得 =2，则 p=4，
2
所以抛物线C的方程为x2 =8y，
因为�PMN为阿基米德三角形，
所以l,l 分别与抛物线C切于点M,N，
1 2
不妨设点M
在y轴左侧，则M(−4,2),N(4,2)
.
1
由x2 =8y，得y= x2，
8
10
学科网（北京）股份有限公司1
则y′= x，
4
所以l 的斜率为−1,l 的斜案为1，
1 2
所以l ⊥l ，
1 2
所以∠MPN =90.
（2）由（1）可知抛物线C:x2 =8y，
 x2 
设l,l 分别与抛物线C切于点Qx, 1 ，
1 2  1 8 
 x2 
Rx , 2 ,x,x ≠0
 2 8  1 2
1 1
由（1）可知直线PQ的斜率为 x ，直线PR的斜率为 x ，
4 1 4 2
x2 x x x2
所以直线PQ的方程为y− 1 = 1(x−x ).即y= 1 x− 1
8 4 1 4 8
x2 x x x2
直线PR的方程为y− 2 = 2 (x−x )，即y= 2 x− 2 ，
8 4 2 4 8
x +x xx  x  x 
所以P 1 2 , 1 2 ,A 1,0,B 2 ,0.
 2 8   2   2 
设�PAB外接圆的圆心为G(m,n)
，
则圆心G在线段AB的垂直平分线上，
x +x
所以m= 2 2 ，
4
x +x x  2 x −x  2
则圆G的半径为 GA =  1 2 − 1 +n2 =  2 1 +n2 ，
 4 2   4 
 x +x  2 x −x  2
所以圆G的方程为x− 1 2  +(y−n)2 = 2 1 +n2，
 4   4 
又点P在圆G上，
x +x  2 xx  2 x −x  2
所以 1 2  + 1 2 −n = 2 1 +n2，
 4   8   4 
xx x2x2 nxx xx +16
即 1 2 + 1 2 − 1 2 =0，所以n= 1 2 ，
4 64 4 16
 x +x  2  x x +16 2
所以x− 1 2  +y− 2 2 
 4   16 
x −x  2 xx +16 2
= 2 1 + 1 2 
 4   16 
11
学科网（北京）股份有限公司x +x xx +16 xx
整理得x2− 1 2 x+y2− 1 2 y+ 1 2 =0，
2 8 4
x +x x x  y
即x2+y2−2y− 1 2 x+ 2 2 1− =0，
2 4  2

x2+y2−2y=0
 x=0
令x=0 ，得 ，

y=2
y
1− =0
 2
所以�PAB的外接圆过定点
(0,2)
.
x x2 x x2
（3）由（2）可得l 的方程为y= 1 x− 1 ,l 的方程为y= 2 x− 2 ，
2 4 8 2 4 8
又直线MN:y=2，
x 8  x 8 
所以M 1 + ,2,N 2 + ,2，
 2 x   2 x 
1 2
1 8 8
所以 MN = (x −x )+ −
2 1 2 x x
1 2
1 16(x −x ) x −x 16
= x −x + 2 1 = 1 2 ⋅1− ，
2 1 2 xx 2 xx
1 2 1 2
x +x xx 
由（2）可得P 1 2 , 1 2 ，
 2 8 
xx
所以点P到直线MN的距离为d = 1 2 −2 ，
8
1 x −x  16 xx 
所以S = ⋅ 1 2 ⋅1−  1 2 −2
�PMN
2 2  xx  8 
1 2
令xx =−t2,t >0, x −x =r，
1 2 1 2
由 (x +x )2 =(x −x )2+4xx =r2−4t2 ≥0，
1 2 1 2 1 2
得r≥2t，当x +x =0时等号成立，
1 2
1 r  16 t2+16
所以S = ⋅ ⋅1+ ⋅
�PMN 2 2  t2  8
r ( t2+16 )2 ( t2+16 )2
= ≥
32t2 16t
( t2+16 )2
令 f (t)= ,t>0，
16t
12
学科网（北京）股份有限公司1 2 ( t2+16 ) ⋅2t⋅t− ( t2+16 )2
则 f′(t)= ⋅
16 t3
( t2+16 )( 3t2−16 )
=
16t2
令
f′(t)>0，得t> 4 3
；
3
令
f′(t)<0，得0<t< 4 3
，
3
 4 3 4 3 
所以 f (t) 在  0,  上单调递减，在  ,+∞ 
 3   3 
上单调递增，
4 3 64 3
所以 f(t) min = f    3    = 9 ，
4 3 4 3 4 3 4 3
此时x = ,x =− 或x =− ,x = ，
1 3 2 3 1 3 2 3
64 3
所以�PMN面积的最小值为 .
9
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义可求得切线的斜率，表示切线方程，联立方程可表示点P的坐标；通过设
xx =−t2,t >0, x −x =r，由 (x +x )2 =(x −x )2+4xx =r2−4t2 ≥0，得r≥2t，当x +x =0时等号成立，把三角
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
形的面积表示为关于t的函数，利用函数的单调性求解最小值.
【变式训练1-1】抛物线C:x2 =4y，F为C的焦点，过抛物线外一点N 作抛物线C的两条切线，A，B是切点.
(1)若点N 的纵坐标为−2，求证：直线AB恒过定点；
(2)若|AB|＝2，求∆ABC面积的最大值;
(3)证明：|FA|·|FB|=|FN|2.
【变式训练1-2】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三
角形称为抛物线的切线三角形．已知抛物线C:x2 =2py(p>0) 的焦点为F，直线l:y=2过点F，过x轴下方的一点P
作C的两条切线l 和l ，且l ，l 分别交x轴于点A，B，交l于点M，N．
1 2 1 2
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若△PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
(3)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点．
【变式训练1-3】在A，B之间部分上的任意一点，抛物线C在点Q处的切线分别交PA，PB于点M ，N .
13
学科网（北京）股份有限公司 p
(1)若AP⊥PB，证明：直线AB经过点0, ；
 2
S
(2)若分别记�PMN，�ABQ的面积为S ，S ，求 1 的值.
1 2 S
2
1 1
【变式训练1-4】已知以动点P为圆心的� P与直线l：x=− 相切，与定圆� F ：(x−1)2 + y2 = 相外切.
2 4
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；
（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M 、N（MN 不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M 、N ，直线l交
1 1
x轴于点A，记∆AMM 、∆AMN 、∆ANN 的面积分别为S 、S 、S ，且S2 =4S S ，证明：直线MN 过定点.
1 1 1 2 3 2 1 3
【变式训练1-5】抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三
角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：x2 =2py(p>0) 的焦点为F，直线l：y=2过点F，过x轴下方的一点P
作C的两条切线l ，l ，且l ，l 分别交x轴于点A，B，交l于点M，N.
1 2 1 2
(1)若�PMN为阿基米德三角形，求∠MPN；
(2)证明：切线三角形PAB的外接圆过定点.
题型 02：定直线问题
【典型例题1】阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理
学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称�PAB为“阿基米德三角
形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，�PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）�PAB为直角三角形，
且PA⊥PB；（3）PF ⊥ AB．已知过抛物线x2 =16y焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，过点A，B处的切线交于
点P，若点P的横坐标为2，则直线AB的方程为（ ）
A．x+2y−8=0 B．x−2y+8=0
C．x−4y+16=0 D．x+4y−16=0
【答案】C
【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点P的坐标，进而得解.
【详解】抛物线x2 =16y的焦点F的坐标为 (0,4) ，准线方程为y=−4，
由题意知，�PAB为“阿基米德三角形”，可得P点必在抛物线的准线上，
14
学科网（北京）股份有限公司4−(−4)
所以点P(2,−4)
，直线PF的斜率为 =−4，
0−2
1
又因为PF ⊥ AB，所以直线AB的斜率为 ，
4
1
所以直线AB的方程为y= x+4，即x−4y+16=0,
4
故选：C．
1  
【典型例题2】已知点P是抛物线C: y = x2 −3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⋅PB=−4.
4
( )
（1）判断点D 0,1 是否在直线 AB上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB的外接圆的圆心，点M 到x轴的距离为d ，点N ( 1,0 ) ，求 MN −d 的最大值.
65+1
【答案】（1）不在，证明见详解；（2）
8
【分析】
 
（1）假设直线方程 y=kx+b，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算PA⋅PB=−4，可得b=−1，然后验证可得
结果.
（2）分别计算线段PA,PB中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M 的轨迹方程y =2x2，然后可得焦点
1
F ，结合抛物线定义可得 MN −d ≤ NF + ，计算可得结果.
8
【详解】
( ) ( )
（1）设直线方程 y=kx+b，A x ,y ,B x ,y
1 1 2 2
根据题意可知直线斜率一定存在，P ( 0,−3 )
y =kx+b

则 1 ⇒ x2 −4kx−4 ( 3+b )=0
y = x2 −3
 4
x x =−4 ( 3+b ) ,x +x =4k
1 2 1 2
∆=(−4k )2 +16b+48
 
PA=( x ,y +3 ) ,PB =( x ,y +3 )
1 1 2 2
 
则PA⋅PB= x x +( y +3 )( y +3 )
1 2 1 2
 
PA⋅PB= x x + y y +3 ( y + y )+9
1 2 1 2 1 2
15
学科网（北京）股份有限公司y y =( kx +b )( kx +b )=k2x x +kb ( x +x )+b2
1 2 1 2 1 2 1 2
y + y =kx +b+kx +b=k ( x +x )+2b
1 2 1 2 1 2
 
PA⋅PB= ( k2 +1 ) x x +( 3k+kb )( x +x )+b2 +6b+9
1 2 1 2
 
由PA⋅PB=−4
所以 ( k2 +1 ) x x +( 3k+kb )( x +x )+b2 +6b+9=−4
1 2 1 2
将x x =−4 ( 3+b ) ,x +x =4k 代入上式
1 2 1 2
化简可得b2 +2b+1=0，所以b=−1
则直线方程为 y =kx−1，
所以直线过定点 ( 0,−1 ) ，∆=(−4k )2 +16b+48>0
( )
所以可知点D 0,1 不在直线上.
( )
（2）设M x ,y
M M
 x y −3
线段PA的中点为E 1, 1 
 2 2 
 x y −3
线段PB的中点为G 2 , 2 
 2 2 
y +3
则直线PA的斜率为k = 1 ，
PA x
1
y +3
直线PB的斜率为k = 2
PB x
2
y −3 x  x 
可知线段PA的中垂线的方程为
y− 1 =− 1 x− 1

2 y +3 2 
1
1 4 x2
由 y = x2 −3，所以上式化简为 y =− x+ 1 −1
1 4 1 x2 8
1
4 x2
即线段PA的中垂线的方程为 y =− x+ 1 −1
x2 8
1
同理可得：
4 x 2
线段PB的中垂线的方程为 y =− x+ 2 −1
x 2 8
2
16
学科网（北京）股份有限公司 4 x 2  x x ( x +x )


y =−
x 2
x+
8
2 −1

x
M
=− 1 2
32
1 2
则 2 ⇒
 4 x2  x2 +x 2 +x x −8
y =− x+ 1 −1 y = 1 2 1 2
  x2 8   M 32
1
由（1）可知：x +x =4k,x x =−4 ( 3+b )=−8
1 2 1 2
 x x ( x +x )
x =− 1 2 1 2
 M 32 x =k
所以 ⇒ M
 x2 +x 2 +x x −8 y =2k2
y = 1 2 1 2 M
  M 32
( )
即M k,2k2 ，所以点M 轨迹方程为 y =2x2
 1
焦点为F0, ，
 8
 1 1
所以 MN −d = MN −  MF −  = MN − MF +
 8 8
当M,N,F三点共线时， MN −d 有最大
1 1 65+1
所以 MN −d = MN − MF + ≤ NF + =
8 8 8
【点睛】
本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b，第（2）问中关键在于得到点M 的轨迹方程，直线
与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.
【典型例题3】已知动点Q在x轴上方，且到定点F ( 0,1 ) 距离比到x轴的距离大1.
（1）求动点Q的轨迹C的方程；
( )
（2）过点P 1,1 的直线l与曲线C交于A，B两点，点A，B分别异于原点O，在曲线C的A，B两点处的切线分
别为l ，l ，且l 与l 交于点M ，求证：M 在定直线上.
1 2 1 2
【答案】（1）x2 =4y (y ≠0) ；（2）证明见解析
【分析】
（1）设Q(x,y) (y >0)，由到定点F ( 0,1 ) 距离比到x轴的距离大1，可得 x2 +(y−1)2 − y =1，化简可得点Q的轨
迹C的方程；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为1，设直线l的方程为 y =k(x−1)+1(k ≠1)与x2 =4y联立，设 A ( x ,y ) ，
1 1
17
学科网（北京）股份有限公司B ( x ,y ) ，可得x +x ，x x 的值，又 y =
x2
，所以 y′ =
x
，可得切线l 的方程，同理可得切线l 的方程，求出交
2 2 1 2 1 2 1 2
4 2
点坐标，可得其在定直线上.
【详解】
解：（1）设Q(x,y) (y >0)，
则有 x2 +(y−1)2 − y =1，化简得x2 =4y (y ≠0) ，
故轨迹C的方程为x2 =4y (y ≠0) .
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为1，
设直线l的方程为 y =k(x−1)+1(k ≠1)与x2 =4y
联立得x2 −4kx+4k−4=0，
( ) ( )
设A x ,y ，B x ,y ，
1 1 2 2
则x +x =4k ，x x =4k−4，
1 2 1 2
x2 x
又 y = ，所以 y′ = ，
4 2
x
所以切线l 的方程为 y = 1(x−x )+ y ，
1 2 1 1
x x2
即 y = 1 x− 1 ，
2 4
x x2
同理切线l 的方程为 y = 2 x− 2
2
2 4
x +x x x
联立得x= 1 2 =2k， y = 1 2 =k−1.
2 4
两式消去k得x−2y−2=0，
当k =1时，x=2， y =0，
所以交点M 的轨迹为直线x−2y−2=0，去掉 ( 2,0 ) 点.
因而交点M 在定直线上.
【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的综合计算能力，属于难题.
【变式训练2-1】抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称�PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线
的焦点F时，�PAB具有以下特征：
①P点必在抛物线的准线上；②PF ⊥ AB．
18
学科网（北京）股份有限公司若经过抛物线y2 =4x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为�PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为
（ ）
A．x−2y−1=0 B．2x+y−2=0
C．x+2y−1=0 D．2x−y−2=0
【变式训练2-2】过抛物线C:x2 =2y内一点P(1,1) 任意作弦AB，分别过A,B作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求
证：点Q在定直线上．
【变式训练2-3】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为 阿基米德三角形 对于抛物线C:y=2ax2给
出如下三个条件：
 1 1
①焦点为F0, ; ②准线为y=− ; ③与直线4y−1=0相交所得弦长为1．
 4 4
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程;
(2)已知�ABQ是 (1) 中抛物线的 阿基米德三角形 ，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若直线AB经
过点 (0,3) ，试判断点Q是否在一条定直线上?如果是，求出定直线方程;如果不是，请说明理由．
【变式训练2-4】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，
2）为线段AB的中点．
（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；
（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．
【变式训练2-5】已知抛物线C:x2 =2py(p>0)的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于A,B两点．
（1）若以AB为直径的圆的方程为 ( x−2 )2 +( y−3 )2 =16，求抛物线C的标准方程；
（2）过点A,B分别作抛物线的切线l ,l ，证明：l ,l 的交点在定直线上．
1 2 1 2
1  
【变式训练2-6】已知点P是抛物线C: y = x2 −3的顶点，A，B是C上的两个动点，且PA⋅PB=−4.
4
（1）判断点D ( 0,−1 ) 是否在直线 AB上？说明理由；
（2）设点M 是△PAB的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.
题型 03：定值问题
【典型例题1】已知以F(2,0)
为焦点的抛物线C的顶点为原点，点P是抛物线C的准线上任意一点，过点P作抛物线C
的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，设直线PA，PB的斜率分别是k 和k .
1 2
19
学科网（北京）股份有限公司(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程.
(2)求证：k ⋅k 为定值.
1 2
(3)求�PAB面积的最小值.
【答案】(1)标准方程为y2 =8x，准线方程为x=−2
(2)证明见解析
(3)16
【分析】（1）根据焦点坐标求解即可；
（2）设切线的方程为y−t=k(x+2)
，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（3）直线AB的方程为x=my+n，将其与抛物线方程联立，利用kk =−1得到n=2且t =4m，再利用弦长公式和两点
1 2
间距离公式求解即可.
p
【详解】（1）由题意知抛物线C的标准方程为y2 =2px（p>0）且 =2，∴p=4，
2
∴抛物线C的标准方程为y2 =8x，准线方程为x=−2；
（2）证明：设点P的坐标为 (−2,t) ，t∈R，
由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为k，则切线的方程为y−t=k(x+2)
，
 y2 =8x
联立方程组 ，消去x，得ky2−8y+8t+16k =0，
y−t=k(x+2)
∴Δ=(−8)2−4k(8t+16k)=0得2k2+tk−2=0（*），
又∵k 、k 为方程（*）的两根，由韦达定理得k k 1为定值；
1 2 1 2
（3）由题知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+n，A(x,y ) ，B(x ,y ) ，
1 1 2 2
 y2 =8x
联立方程组 整理得y2−8my−8n=0，∆=64m2+32n>0，
x=my+n
∴y +y =8m，y y =−8n，
1 2 1 2
20
学科网（北京）股份有限公司y −t y −t
∵kk =−1，∴kk = 1 ⋅ 2 =−1，
1 2 1 2 x +2 x +2
1 2
 y2  y2 
整理得 1 +2 2 +2+(y −t)(y −t)=0，
 8  8  1 2
代入有n2+16m2+t2−4n−8mt+4=0，
∴(n−2)2+(t−4m)2 =0，∴n=2且t =4m，
t
∴AB：x= y+2，故直线AB过定点F(2,0) .
4
∴y +y =2t，y y =−16，
1 2 1 2
∴ AB =

1+
t2 
 ( 4t2+64 ) =
t2+16
，
 16 2
−16−t2
点P到直线AB的距离为d = = 16+t2 ，
16+t2
∴S = 1 AB ⋅d = 1 ⋅ t2+16 ⋅ 16+t2 = 1( 16+t2) 2 3 ，
�PAB
2 2 2 4
因为函数 y= x 3 2在 [0,+∞) 单调递增，而16+t2 ≥16，
1 3
∴当t=0时， (S ) = ⋅(16) 2 =16，
�PAB min 4
所以�PAB面积的最小值为16.
【变式训练3-1】已知抛物线C：y2 =2px的焦点为F(1,0)，准线与x轴交于点A，点M 在第一象限且在抛物线C上，
AM
则当 取最大值时，直线AM 方程为（ ）
FM
A．y=2x+1 B．y=2x−1 C．y=x+1 D．y=x−1
【变式训练3-2】阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与
4
过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线C: y2 =8x的焦点为F，顶点为O，斜率为
3
的直线l过点F且与C交于M,N两点，若�PMN为阿基米德三角形，则 OP = ．
【变式训练3-3】如图，已知抛物线 的焦点为F 过点 的直线交抛物线于A ，B 两点，
直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N ．
21
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）记直线MN的斜率为 ，直线AB的斜率为 证明： 为定值
 p
【变式训练3-4】已知抛物线Γ:x2 =2py(p>0) 的焦点为F，点M2, 在抛物线Γ上．过点F的直线l与Γ及圆
 2
x2+(y−1)2 =1依次相交于点A,B,C,D，如图．
(1)求抛物线Γ的标准方程；
(2)证明： AC ⋅ BD 为定值；
(3)过A,B两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点N ，求△ACN与�BDN的面积之积的最小值．
题型 04：参数问题
 3 3
【典型例题1】已知动点M 到点0, 的距离比它到直线y+3=0的距离小 ，记动点M 的轨迹为C.
 2 2
(1)求轨迹C的方程.
(2)已知直线l:y=kx+3与轨迹C交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为l ，l ，且l ，l 相交于点P.若
1 2 1 2
|AB|=|AP|，求k.
【答案】(1)x2 =6y
1
(2)k=±
2
【分析】(1) 由抛物线定义即可得；
22
学科网（北京）股份有限公司 1
y− x2 =m(x−x )
(2) 联立 6 1 1 ，利用|AB|=|AP|，再结合向量的数量积的坐标运算即可得解.
 x2 =6y
 3 3
【详解】（1）由题意知动点M 的轨迹是以0, 为焦点，y=− 为准线的抛物线，
 2 2
所以轨迹C的方程为x2 =6y.
 1   1  x2 =6y,
（2）设Ax, x2 ，Bx , x2 ，联立方程组 得x2−6kx−18=0，
 1 6 1   2 6 2 y=kx+3,
则x +x =6k，xx =−18.
1 2 1 2
1
易知l ，l 的斜率存在，设l 的方程为y− x2 =m(x−x ) ，
1 2 1 6 1 1
 1
y− x2 =m(x−x )
联立方程组 6 1 1 ，得x2 −6mx+6mx −x2 =0.
1 1
 x2 =6y
由Δ=36m2−4 ( 6mx −x2) =0，解得m= x 1 ，
1 1
3
1 1
所以l 的方程为y = x x− x2.
1 3 1 6 1
1 1
同理可得，l 的方程为y = x x− x2.
2 3 2 6 2
 1 1  x +x
y= xx− x2 x= 1 2
  3 1 6 1   2 x +x xx 
由 ，解得 ，即点P 1 2 , 1 2 .
 y= 1 x x− 1 x2  y= x 1 x 2  2 6 
 3 2 6 2  6
  x2−x2   x −x x (x −x )  x −x x (x −x )
因为AB=x −x, 2 1 ，AP= 2 1, 1 2 1 ，PB= 2 1, 2 2 1 ，且|AB|=|AP|，
 2 1 6   2 6   2 6 
  
所以(AB+AP)⋅PB=0，即
    (x −x )2 x (x +x )(x −x )2 (x −x )2 xx (x −x )2
AB⋅PB+AP⋅PB= 2 1 + 2 1 2 2 1 + 2 1 + 1 2 2 1 =0，
2 36 4 36
化简得27+2x x +x2 = x2 −9=0，
1 2 2 2
x =−6 x =6
1 1
因此 或 ，
x =3 x =−3
2 2
1
故k=± .
2
23
学科网（北京）股份有限公司【变式训练4-1】阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利
西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿．基．米．德．三．角．
形．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形
2 2
的面积等于阿基米德三角形面积的 （即右图中阴影部分面积等于�PAB面积的 ）．若抛物线方程为y2 =2px(p>0)，
3 3
且直线x= p 与抛物线围成封闭图形的面积为6，则 p= （ ）
2
3
A．1 B．2 C． D．3
2
【变式训练4-2】如图，已知P为半圆Q:x2+(y+2)2 =4(y≤−2) 上一点，过点P作抛物线C:x2 =2py(p>0)
的两条切
线，切点分别为A,B，直线AP,BP, AB分别与x轴交于点M,N,T，记△TNB的面积为S ，△TMA的面积为S ．
1 2
(1)若C的焦点为F，且 PF 的最小值为2 5，求 p的值；
S
(2)若存在点P，使得 1 =8，求 p的取值范围．
S
2
【变式训练4-3】已知动点M 到点 (0,2) 的距离比它到直线y+4=0的距离小2，记动点M 的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程.
(2)已知直线l: y=kx+5与轨迹C交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为l ，l ，直线l ，l 相交于点P.
1 2 1 2
24
学科网（北京）股份有限公司若 AB = AP ，求k.
题型 05：面积问题
【典型例题1】过点P(−1,−2)的两条直线与抛物线C:x2 =4y分别相切于A,B两点,则三角形PAB的面积为（ ）
27 3 5
A． B．3 5 C．27 D．
2 2
1 1 1 y +2
解析：抛物线C:x2 =4y，即y = x2 ，故y′ = x，设A,B两点的坐标为A(x,y ),B(x ,y ) ，则有 x = 1 ，
4 2 1 1 2 2 2 1 x +1
1
整理得x +2y =4，同理x +2y = 4.
1 1 2 2
x+2y=4,
故直线AB的方程为x+2y=4，由 得x2+2x−8=0，
x2 =4y
故x +x =−2,xx =−8, AB = 1+ 1 (−2)2−4×(−8) =3 5，因为点P(−1,−2) 到直线AB的距离为d = −1−4−4 = 9 ，
1 2 1 2 4 12+22 5
1 9 27
故三角形PAB的面积为 ×3 5× = .故选：A.
2 5 2
【典型例题2】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线焦点F作抛物线的
弦，与抛物线交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线的切线l，l 相交于P点，那么阿基米德三角形PAB满足以
1 2
下特性：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF⊥AB.已知P为抛物线x2 =4y的
准线上一点，则阿基米德三角形PAB的面积的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
x +x
【分析】设出直线AB方程，联立抛物线求得xx =−4，通过PF⊥AB求得x = 1 2 ，进而得到M 为AB中点，由
1 2 0 2
S =S +S 表示出三角形PAB的面积，结合基本不等式求出最小值即可.
�PAB �PAM �PBM
【详解】
x2 x2
易知，焦点F(0,1)，准线方程y=−1，直线AB斜率必然存在，设AB:y=kx+1，A(x, 1 ),B(x , 2),x >0,x <0，P(x ,−1)，
1 4 2 4 1 2 0
25
学科网（北京）股份有限公司   x2 x2 
联立x2 =4y化简得x2−4kx−4=0， 显然∆>0,xx =−4；又PF⊥AB可得PF⋅AB=0，即 (−x ,2)⋅x −x, 2 − 1 =0，
1 2 0  2 1 4 4 
 x2 x2 
x +x  x +x 4 1 + 4 2 
化简得x = 1 2 ，过P作PM//y轴交AB于M 点，可得M 为AB中点，故M 1 2, ，故
0 2  2 2 
 
 
 x2 x2 
 1 + 2 
1 1 4 4
S =S +S = PM ⋅ x −x = ⋅1+ ⋅ x −x
�PAB �PAM �PBM 2 1 2 2  2  1 2
 
 
 1 x2+(−x )2 1 2x ⋅(−x )
= + 1 2 ⋅ x +(−x )  ≥ + 1 2 ⋅2 x ⋅(−x ) =4，当且仅当x =−x =2时取等. 故三角形PAB的面
 2 16  1 2 2 16  1 2 1 2
积的最小值为4.
故选：C.
【典型例题3】过抛物线y2 =2px(p>0)
的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物
线的切线l ，l 相交于点P，�PAB又常被称作阿基米德三角形．�PAB的面积S的最小值为（ ）
1 2
p2 p2
A． B． C． p2 D． 2p2
3 2
【答案】C
【解析】设出直线AB的方程，利用弦长公式求出弦长，求出两条切线的方程得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可
3
得S = p2( 1+m2) 2 ≥ p2.
△PAB
【详解】设A(x,y ) ，B(x ,y ) ，由题意可得直线AB的斜率不为0,
1 1 2 2
 p  p
因为直线AB过焦点 ,0，所以设直线AB的方程x=my+ ；
2  2
 y2 =4x

联立 p得y2−2mpy− p2 =0，
x=my+
 2
所以y +y =2mp,y y =−p2，
1 2 1 2
AB = 1+m2 (y +y )2−4y y =2p ( 1+m2)
1 2 1 2
由抛物线的性质可得过点A(x,y ) ，B(x ,y ) 的抛物线的切线方程为：
1 1 2 2
yy = p(x+x ),yy = p(x+x ) ，
1 1 2 2
yy = p(x+x ) y y p y +y  p 
联立 1 1 得x= 1 2 =− ，y= 1 2 =mp，即P− ,mp.
yy
2
= p(x+x
2
) 2p 2 2  2 
26
学科网（北京）股份有限公司p
( 1+m2)
点P到直线的距离d = ，
1+m2
S = 1 AB d = p2( 1+m2) 3 2 ≥ p2
△PAB
2
当且仅当m=0时取到最小值.
故选：C.
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理求解弦长，根据点到直线的距离求出三角形的高，根据面
积公式的特点求出最值，侧重考查数学运算的核心素养.
x2 y2  3  3
【典型例题4】已知椭圆C : + =1(a>b>0)且经过P(−2,0)，P 1, ，P 1,− ，P(1,−1)中的三点，抛物线
1 a2 b2 1 2 2 3 2 4
C :y2 =2px(p>0)，椭圆C 的右焦点是抛物线C 的焦点．
2 1 2
(1)求曲线C ，C 的方程；
1 2
(2)点P是椭圆C 的点，且过点P可以作抛物线C 的两条切线，切点为A，B，求三角形PAB面积的最大值．
1 2
x2 y2
【答案】(1)C : + =1，C :y2 =4x
1 4 3 2
(2)8 2
【分析】（1）根据对称性可得椭圆上的三个点，利用待定系数法可求椭圆的方程，从而可求抛物线的方程.
（2）设点P(x ,y ) ，PA:x=t (y−y )+x ，PB:x=t (y−y )+x ，其中t ≠t ，联立直线方程和抛物线线方程，消元
0 0 1 0 0 2 0 0 1 2
后利用判别式可得诸变量之间的关系，从而可得AB的中点M 满足PM 平行于x轴并可用x ,y 表示三角形PAB的面积，
0 0
从而可求其最大值.
 3  3
【详解】（1）根据对称性可得P(−2,0)，P 1, ，P 1,− 在椭圆上，
1 2 2 3 2
9
x2 y2
故a=2，且1 4 ，故b2 =3，所以C : + =1.
+ =1 1 4 3
4 b2
p
椭圆C 的右焦点为 (1,0) ，所以 =1即 p=2，
1 2
故C :y2 =4x.
2
（2）
27
学科网（北京）股份有限公司设点P(x ,y ) ，PA:x=t (y−y )+x ，PB:x=t (y−y )+x ，其中t ≠t ，
0 0 1 0 0 2 0 0 1 2
x=t (y−y )+x
由 1 0 0 可得y2 =4 t (y−y )+x  ，
y2 =4x 1 0 0
整理得到：y2−4t y+4t y −4x =0，
1 1 0 0
所以∆=16t2−16t y +16x =0，故t2−t y +x =0，
1 1 0 0 1 1 0 0
且y = t 1 ，故A ( t2,2t ) ， 同理t2−t y +x =0，B ( t2,2t ) ，
A 2 1 1 2 2 0 0 2 2
故t ,t 为方程t2−ty +x =0的两个根，故t +t = y ,tt =x ，
1 2 0 0 1 2 0 12 0
2(t +t )
而AB的中点M 的纵坐标为 1 2 = y ，故PM 平行于x轴，
2 0
1 t2+t2
故三角形PAB面积为S = x −x × 2t −2t = 1 2 −x ×t −t
2 M 0 1 2 2 0 1 2
(t +t )2
= 1 2 −tt −x ×t −t
2 12 0 1 2
1
= y2−4x × y2−4x
2 0 0 0 0
1( )3 1  3x2  3 1  3 8 2 25  3
= y2−4x =  − 0 −4x +3 =  − x +  + 
2 0 0 2 4 0  2 4 0 3 3 
   
x2 y2
 + =1 2
由 4 3 可得3x2+16x−12=0，故x= 或x=−6（舍），
 y2 =4x 3
2
故−2≤x < ，
0 3
1 ( )3
故当x =−2时，有S = × 8 =8 2.
0 max 2
【变式训练5-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点F作抛物
线的弦，与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点作抛物线的切线l ，l 相交于点P，那么阿基米德三角形PAB满足
1 2
以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②�PAB为直角三角形，且∠APB为直角；③PF ⊥ AB，已知P为抛物线y2=x
的准线上一点，则阿基米德三角形PAB面积的最小值为（ ）
1 1
A． B． C．2 D．1
2 4
【变式训练5-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些
有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线y2 =2px(p>0)，弦AB
过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
28
学科网（北京）股份有限公司p2
A． B． p2 C．2p2 D．4p2
2
【变式训练5-3】已知直线l:y=k(x−1) 与抛物线y2 =4x交于A，B点，若 AB =8，则抛物线的“阿基米德三角形”�PAB
的面积为（ ）
A．8 2 B．4 2 C．2 2 D． 2
【变式训练5-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些
有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2 =2px(p>0)
，弦AB
过焦点，�ABQ为其阿基米德三角形，则�ABQ的面积的最小值为 ．
【变式训练5-5】抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．设抛物线为y2 =4x，弦AB
过焦点，�ABQ为阿基米德三角形，则�ABQ的面积的最小值为 ．
【变式训练5-6】如下图所示，过圆E:x2+(y+2)2 =1上任意一点G，作抛物线C:x2 =4y的两条切线l，l ，与抛物线
1 2
相切于点M，N，与轴分别交于点A，B，求四边形ABNM 面积的最大值．
【变式训练5-7】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2 =2py(p>0) 的焦点F与椭圆
y2
+x2 =1的一个焦点重合，
2
 
A,B是抛物线C上位于y轴两侧不对称的两动点，且OA⋅OB=5．
(1)求证：直线AB恒过一定点M ，并求出该点坐标；
(2)若点N 为y轴上一定点，且∠ANO=∠BNO；
（ⅰ）求出N 点坐标；
（ⅱ）过点N 作平行于x轴的直线l，在l上任取一点P作抛物线C的两条切线，切点为Q，R，求�PQR面积的最小值．
【变式训练5-8】已知抛物线C:x2 =2py(p>0) 的焦点为F，且F与圆M :x2+(y+4)2 =1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M 上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求�PAB面积的最大值．
【变式训练5-9】已知点F 是抛物线C: y2 =4x的焦点，C的两条切线交于点P(x ,y )，A，B是切点.
0 0
（1）若x =0， y =3，求直线AB的方程；
0 0
（2）若点P在直线 y = x+3上，记�PFA的面积为S ，�PFB的面积为S ，求S ⋅S 的最小值；
1 2 1 2
（3）证明：�PFA��BFP.
29
学科网（北京）股份有限公司题型 06：点坐标
【典型例题1】已知直线l:y=k(x−1) 与抛物线y2 =4x交于A，B点，若 AB =8，则抛物线的“阿基米德三角形” �PAB
顶点P的纵坐标为（ ）
1
A．±1 B．±2 C．±3 D．±
2
【答案】B
【分析】确定直线l:y=k(x−1) 过抛物线焦点，联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用弦长公式可求得k2 =1，
结合�PAB具有的性质，可求得答案.
【详解】抛物线的焦点为F(1,0) ，准线方程为x=−1，
直线l:y=k(x−1)
经过抛物线的焦点，
由题意k ≠0，设A(x,y ) ，B(x ,y ) ，
1 1 2 2
联立


y2 =4x
，得k2x2− ( 2k2+4 ) x+k2 =0，
y=k(x−1)
2k2+4 2k2+4
所以x +x = ，xx =1， AB =x +x +2= +2=8，解得k2 =1，
1 2 k2 1 2 1 2 k2
∴k=±1，
当k =1时，k =−1，所以直线PF方程为：y=−x+1，
PF
因为�PAB为“阿基米德三角形”，所以点P必在抛物线的准线x=−1上，
所以点P(−1,2)
，
由抛物线对称性可知，当k
=−1时，P(−1,−2)
，
故选：B．
【典型例题2】我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的�PAB（P为两切线的交点）叫做“阿
基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，�PAB具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；②PA⊥PB；③PF ⊥ AB．
已知直线l：y=k(x−1) 与抛物线y2 =4x交于A、B两点，若 AB =8，则抛物线的“阿基米德三角形”�PAB的顶点P
的坐标为 ．
【答案】(−1,2)或(−1,−2)
【详解】抛物线y2 =4x的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，
设A(x,y ),B(x ,y )
，
1 1 2 2
30
学科网（北京）股份有限公司y2 =4x
由 ，得k2x2−(4+2k2)x+k2 =0，
y=k(x−1)
由∆=(4+2k2)2 −4k2⋅k2 =16k2 +16>0，
4+2k2
所以x +x = ,xx =1，
1 2 k2 1 2
4+2k2
所以 AB =x +x + p= +2=8，解得k =1或k =−1，
1 2 k2
当k =1时，因为PF ⊥ AB，所以k =−1，
PF
所以直线PF的方程为y=−(x−1)，
因为P点必在抛物线的准线x=−1上，所以x =−1，
P
所以y =−(x −1)=−(−1−1)=2，所以P(−1,2)，
P P
当k =−1时，因为PF ⊥ AB，所以k =1，
PF
所以直线PF的方程为y=x−1，
因为P点必在抛物线的准线x=−1上，所以x =−1，
P
所以y = x −1=−1−1=−2，所以P(−1,−2)，
P P
综上，�PAB的顶点P的坐标为(−1,2)或(−1,−2).
故答案为：(−1,2)或(−1,−2)
【典型例题3】已知抛物线E:y = x2，过点T ( 1,2 ) 的直线与抛物线E交
于A,B两点，设抛物线E在点A,B处的切线分别为l 和l ，已知l 与x轴交于点M,l 与x轴交于点N ，设l 与l 的
1 2 1 2 1 2
交点为P.（公众号：凌晨讲数学）
（1）证明：点P在定直线上；
（2）若�PMN 面积为 2，求点P的坐标；
31
学科网（北京）股份有限公司（3）若P,M,N,T 四点共圆，求点P的坐标.
解析：（1）设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ,P ( x ,y ) .由y = x2，得 y′=2x，所以l 方程为：y =2x ( x−x )+ y ，整理得：
1 1 2 2 P P 1 1 1 1
x +x
y =2x x−x2 .同理，l 方程为：y =2x x−x 2 .联立得：x = 1 2 ,y = x x .设直线AB的方程为 y =k ( x−1 )+2，
1 1 2 2 2 P 2 P 1 2
k
与抛物线方程联立得：x2 −kx+k−2=0，故x +x =k,x x =k−2，所以x = ,y =k−2，有 y =2x −2.
1 2 1 2 P 2 P P P
所以点P在定直线 y =2x−2上.
 x   x 
（2）在l ,l 的方程中，令 y =0，得M  1,0,N 2 ,0，所以�PMN 面积
1 2  2   2 
S = 1 MN ⋅ y = 1 ( x −x ) x x = 2.故 ( x −x )2( x x )2 =32，带入可得： ( k2 −4k+8 )( k2 −4k+4 ) =32.
2 P 4 1 2 1 2 1 2 1 2
  (k−2)2 +8    (k−2)2 −4  =0，解得：k =0或k =4.所以点P的坐标为 ( 0,−2 ) 或 ( 2,2 ) .
 1  x  1 1
（3）抛物线焦点F0, ，由M  1,0得直线MF斜率k =− =− ，
 4  2  MF 2x k
1 MP
7
所以MF ⊥MP，同理NF ⊥ NP，所以PF 是�PMN 外接圆的直径.若点T 也在该圆上，则TF ⊥TP.由k = ，
TF 4
4
得直线TP的方程为： y =− ( x−1 )+2.又点P在定直线 y =2x−2上，联立两直线方程，解得点P的坐标为
7
16 14
 , .
 9 9 
【变式训练6-1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿
基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：y2 =2px(p>0)的阿基米德三角形PAB为例，
经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②PF ⊥ AB；③PA⊥PB.已知△PAB为等轴双曲线
Γ：x2−y2 =λ（λ>0）的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F.
32
学科网（北京）股份有限公司(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）
(2)若λ=2，弦AB的中点为Q， AB FP =3 FQ ，求点P的坐标.
x2 y2 x x y y
（注：双曲线 − =1的以(x ,y )为切点的切线方程为 0 − 0 =1.）
a2 b2 0 0 a2 b2
【变式训练6-2】已知抛物线C :x2 = y，圆C :x2+(y−4)2 =1,P是C 上异于原点的一点.
1 2 1
(1)设Q是C 上的一点，求 PQ 的最小值；
2
(2)过点P作C 的两条切线分别交C 于A,B两点（异于P）.若 PA = PB ，求点P的坐标.
2 1
 
【变式训练6-3】已知抛物线x2 =4y的焦点为F ，A，B是抛物线上的两个动点，且AF =λFB(λ>0)，过A，B
两点分别作抛物线的切线，设其交点为P.
1
（1）若直线PA与x， y 轴分别交于点M ，N ，且△MON 的面积为 ，求| AF |的值；
2
（2）记△ABP的面积为S ，求S 的最小值，并指出S 最小时对应的点P的坐标.
【变式训练6-4】抛物线C:x2 =2py(p>0)的焦点为F ，过F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线C于M,N两点，O为
原点，�OMN 的面积为2.
（1）求拋物线C的方程.
（2）P为直线l: y = y ( y <0 ) 上一个动点，过点P作拋物线的切线，切点分别为A,B，过点P作 AB的垂线，垂足
0 0
为H ，是否存在实数y ，使点P在直线l上移动时，垂足H 恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出y 的值，
0 0
并求定点H 的坐标.
【变式训练6-5】如图，设抛物线 的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|–1.
2
𝑦𝑦 =2𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑝𝑝>0)
33
学科网（北京）股份有限公司（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点
M.求M的横坐标的取值范围.
【变式训练6-6】如下图，设抛物线方程为x2 =2py ( p >0 ) ，M为直线 y =−2p上任意一点，过M 引抛物线的切线，
切点分别为A，B．
（Ⅰ）设线段 AB的中点为N ；
（ⅰ）求证：MN 平行于 y 轴；
（ⅱ）已知当M 点的坐标为 ( 2，−2p ) 时， AB =4 10 ，求此时抛物线的方程；
  
（Ⅱ）是否存在点M ，使得点C关于直线 AB的对称点D在抛物线x2 =2py ( p >0 ) 上，其中，点C满足OC =OA+OB
（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
题型 07：证明
【典型例题1】设定点F(0，1)，动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切.
（1）求动点E的轨迹C的方程；
（2）设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线.
【答案】（1） ＝4y；（2）证明见解析.
【分析】 2
𝑥𝑥
EF
（1）设E点坐标为(x，y)，由E到x轴的距离等于 即可求解.
2
1 1
（2）设A，B两点的坐标分别为(x , x2)，(x , x 2)，利用导数求出曲线在A，B处切线的斜率，从而可得x2＝－
1 4 1 2 4 2
4
，再求出AB的斜率，证出 kAF＝kAB，即证.
x
1
【详解】
（1）设E点坐标为(x，y)，则EF中点为圆心，
34
学科网（北京）股份有限公司 x y+1
设为E，则E点坐标为 , .
2 2 
|EF |
∴E到x轴的距离等于 ，
2
y+1 x2 +(y−1)2
即 ＝ ，化简得x2＝4y.
2 2
∴点E的轨迹C的方程为 ＝4y.
2 1
（2）证明：由（1）知，曲𝑥𝑥线C是以F为焦点的抛物线，其方程可化为y＝ x2，
4
1 1
设A，B两点的坐标分别为(x , x2)，(x , x 2)，
1 4 1 2 4 2
1 1
∵曲线方程为y＝ ，∴y′＝ x，
4 2
2
𝑥𝑥 1 1
∴曲线在A，B处切线的斜率分别为 ＝ ， ＝ ，
2 2
𝑘𝑘1 𝑥𝑥1 𝑘𝑘2 𝑥𝑥2
1 1 4
∵ ＝－1，∴ · ＝－1，∴ ＝－ ，
2 2 x
1
𝑘𝑘1𝑘𝑘2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥2
∴A，B两点连线的斜率为
1( )
＝ 4 x x 2 2 − − x x 1 2 = 1 4 ( x 2 +x 1 )= 1 4    − x 4 +x 1    ＝－ x 1 1 ＋ 1 4 ，
𝑘𝑘𝐴𝐴𝐵𝐵 2 1 1 𝑥𝑥1
1
x2 −1 1 1
A，F两点连线的斜率为 ＝ 4 1 ＝－ ＋ x1＝ ，
x 4
x −0 1
𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴 1 𝑘𝑘𝐴𝐴𝐵𝐵
∴A，B，F三点共线.
【点睛】
4
关键点点睛：本题考查了三点共线，可以证明直线的斜率相等，解题的关键是根据A，B两点的坐标求出x2＝－ ，考
x
1
查了计算求解能力.
【典型例题2】已知抛物线C：x2 =my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线与抛物线C相交于A,B两点，在A,B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP.
【答案】(1)x2 =2y
(2)证明见解析
m m
【分析】（1）由抛物线C的方程可得焦点F到其准线的距离为 −(− ) =1，解得m，即可得出答案；
4 4
35
学科网（北京）股份有限公司1
（2）设A(x,y ) ，B(x ,y ) ，P(x ,y ) ，直线AB方程为y=kx+ ，联立抛物线的方程，得关于x的一元二次方程，
1 1 2 2 0 0 2
结合韦达定理可得x +x ，xx ，利用导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线的方程，同理可得，抛物线在点B处的
1 2 1 2
 
切线方程，联立上述两切线方程，解得x ，y ，计算AB⋅FP，即可得出答案．
0 0
m m
【详解】（1）抛物线C的焦点为F(0, )，准线方程为y =− ，
4 4
m m
所以焦点F到其准线的距离为 −(− ) =1，
4 4
因为m>0，解得m=2.
所以抛物线C的方程为x2 =2y.
1
（2）由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为y=kx+ ，
2
代入抛物线方程x2 =2y，整理得x2−2kx−1=0.
设A(x,y ) ，B(x ,y ) ，P(x ,y ) ，
1 1 2 2 0 0
则x +x =2k，xx =−1.
1 2 1 2
函数y= 1 x2的导数为y' =x，故抛物线在点A处的切线方程为y−y =x (x−x ) ，化简得y=xx− x 1 2 ，
2 1 1 1 1 2
x2
同理，抛物线在点B处的切线方程为y= x x− 2 ，
2 2
x +x xx 1
联立上述两切线方程，解得x = 1 2 =k，y = 1 2 =− ，
0 2 0 2 2
 
1
因为AB=(x −x,y −y )=(x −x )(1,k)，FP=(x ,y − )，
2 1 2 1 2 1 0 0 2
 
 1   1 1 
所以AB⋅FP=(x
2
−x
1
)
 
x
0
+k(y
0
−
2
)
 
=(x
2
−x
1
)
 
k+k(−
2
−
2
)
 
=0，
所以AB⊥FP.
【典型例题3】已知抛物线C：y2 =2x的焦点为F ，平行于x轴的两条直线l ,l 分别交C于A，B两点，交C的准线
1 2
于P，Q两点．
（Ⅰ）若F 在线段 AB上，R是PQ的中点，证明AR//FQ；
36
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）若∆PQF 的面积是∆ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）y2 = x−1．
【分析】
a2  b2   1   1   1 a+b
设A ,0,B ,b,P − ,a,Q − ,b,R − ,  ⇒ l的方程为2x−(a+
 2   2   2   2   2 2 
a−b a−b 1 −ab
b)y+ab=0．（Ⅰ）由F 在线段 AB上⇒1+ab=0，又k = = = = =−b=k ⇒ AR//FQ；
1 1+a2 a2 −ab a a 2
1 1 1 a−b
（Ⅱ）设l与x轴的交点为D ( x ,0 ) ⇒ S = b−a FD = b−a x − ,S = ⇒
1 ∆ABF 2 2 1 2 ∆PQF 2
1 1 a−b
b−a x − = ⇒ x =0（舍去），x =1．设满足条件的 AB的中点为E ( x,y ) ．当 AB与x轴不垂直时 ⇒
2 1 2 2 1 1
2 y a+b
= ( x≠1 ) ⇒ = y ⇒ y2 = x−1 ( x≠1 ) ．当 AB与x轴垂直时⇒ E与D重合⇒所求轨迹方程为
a+b x−1 2
y2 = x−1．
【详解】
1 
由题设F ,0，设l : y =a,l : y =b，则ab≠0，且
2  1 2
a2  b2   1   1   1 a+b
A ,0,B ,b,P − ,a,Q − ,b,R − , ．
 2   2   2   2   2 2 
记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x−( a+b ) y+ab=0
（Ⅰ）由于F 在线段 AB上，故1+ab=0，
a−b a−b 1 −ab
记AR的斜率为k ,FQ的斜率为k ，则k = = = = =−b=k ，
1 2 1 1+a2 a2 −ab a a 2
所以AR//FQ
（Ⅱ）设l与x轴的交点为D ( x ,0 ) ，
1
1 1 1 a−b
则S = b−a FD = b−a x − ,S = ，
∆ABF 2 2 1 2 ∆PQF 2
1 1 a−b
由题设可得 b−a x − = ，所以x =0（舍去），x =1．
2 1 2 2 1 1
37
学科网（北京）股份有限公司( )
设满足条件的 AB的中点为E x,y ．
2 y
当AB与x轴不垂直时，由k =k 可得 = ( x≠1 ) ．
AB DE a+b x−1
a+b
而 = y，所以 y2 = x−1 ( x≠1 ) ．
2
当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为 y2 = x−1
【点睛】
本题考查了1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．
【变式训练7-1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在
第一象限交点的横坐标为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l，l，设切线l，l 的交点为P，求
1 2 1 2
证：△PAB为直角三角形．
【变式训练7-2】如图，已知点P是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线C: y2 =4x上存在不同的两点A、B，满足PA、
PB的中点均在抛物线C上.
（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；
（2）设 AB中点为M ，且P(x ,y )，M(x ,y )，证明： y = y ；
P P M M P M
y2
（3）若P是曲线x2 + =1（x<0）上的动点，求∆PAB面积的最小值.
4
【变式训练7-3】设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x−y−2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、
PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB．
【变式训练7-4】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线
C:y2 =2px(p>0) 的焦点为F，A,B（A与B不关于x轴对称）是C上两点，且A,B,F三点共线，�PAB为阿基米德
三角形，P是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点.
(1)证明：点P在C的准线上；
(2)证明：PF ⊥ AB；
38
学科网（北京）股份有限公司(3)已知O为坐标原点，OP与弦AB交于点M ，求 tan∠PMA 的最小值.
（附：抛物线y2 =2px(p>0) 以点 (m,n) 为切点的切线方程为ny= p(x+m) ）
【变式训练7-5】过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称�PAB为抛物线的阿基米德三角形，
弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分
之二．如图，点P是圆Q:x2+(y+5)2 =4上的动点，�PAB是抛物线Γ:x2 =2py(p>0)的阿基米德三角形，F是抛物线
Γ的焦点，且|PF| =6．
min
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设D是“圆边形”的抛物线弧� AB上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线l交阿基米德三角形的两
切线边PA，PB于M，N，证明： AM ⋅ BN = PM ⋅ PN ．
题型 08：阿基米德三角形的综合应用
【典型例题1】圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，其中抛物线中的阿基米
德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线
y2 =2px(p>0) ，弦AB过焦点F，�ABQ为阿基米德三角形，则�ABQ为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随着点A，B位置的变化，前三种情况都有可能
【答案】B
【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线，利用韦达定理得出y +y ,y y ，再设出切线方程利用判别式为0得出切线
1 2 1 2
斜率关系即可判断.
【详解】
39
学科网（北京）股份有限公司如图，设A(x,y ) ，B(x ,y ) ，则y2 =2px ，y2 =2px ，易知直线AB的斜率不为0，
1 1 2 2 1 1 2 2
 p
p my=x−
设直线AB的方程为my=x− ，联立 2 ，
2  y2 =2px
整理得y2 −2pmy− p2 =0，则y +y =2pm，y y =−p2．易知切线的斜率肯定不为0，
1 2 1 2
 y2
y2 k (y−y )=x− 1
设过点A的切线方程为k (y−y )=x− 1 ，联立 1 1 2p，
1 1 2p 
y2 =2px
整理得y2−2pk y+2pk y −y2 =0，
1 1 1 1
则∆=(−2pk )2−4 ( 2pk y −y2) =0，即 pk = y ，
1 1 1 1 1 1
y2
设过点B的切线方程为k (y−y )=x− 2 ，同理可得 pk = y ，
2 2 2p 2 2
1
则p2kk = y y =−p2，得kk =−1， =−1，
1 2 1 2 1 2 kk
1 2
则两条切线的斜率之积为−1，故�ABQ是直角三角形．
故选：B．
【典型例题2】阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学
方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德
三角形”.已知抛物线C：x2 =8y的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为 3x−3y+6=0，关于“阿基米德三角形”
△PAB，下列结论不正确的是（ ）
32
A． AB = B．PA⊥PB
3
( )
C．PF ⊥ AB D．点P的坐标为 3,−2
【答案】D
 4 3 2 ( ) 32 3
【分析】联立方程可解得A  − ,   ,B 4 3,6 ，则 AB = ，根据导数可得k =− ,k = 3，可判断PA⊥PB，
 3 3 3 A 3 B
4 3 
利用点斜式可求得两条切线方程 3x+3y+2=0和 3x−y−6=0，联立求P   3 ,−2   ，再求k PF =− 3，可判断
PF ⊥ AB．
 3x−3y+6=0 2
【详解】联立方程 ，消去x得：3y2−20y+12=0，解得y = 或y 6
 x2 =8y 1 3 2
 4 3 2 ( ) 32
即A  − ,   ,B 4 3,6 ，则 AB = ，A正确；
 3 3 3
40
学科网（北京）股份有限公司x2 x
∵x2 =8y，即y= ,y′=
8 4
 4 3 2 ( ) 3
对于A  − ,   ,B 4 3,6 ，切线斜率分别为k =− ,k = 3
 3 3 A 3 B
∴k k =−1，即PA⊥PB，B正确；
A B
2 3 4 3
在点A的切线方程为y− =−   x+  ，即 3x+3y+2=0
3 3  3 
同理可得在点B的切线方程为 3x−y−6=0
  3x+3y+2=0  x= 4 3 4 3 
联立方程 ，解得 3 ，即P  ,−2 ，D不正确；
 3x−y−6=0 
 y=−2
 3 
−2−2
∵F(0,2) ，则 k PF = 4 3 =− 3 ，k = 3
−0 AB 3
3
∴k k =−1，即PF ⊥ AB，C正确；
PF AB
故选：D．
【典型例题3】AB为抛物线x2 =2py(p>0) 的弦，A(x,y ) ，B(x ,y ) 分别过A,B作的抛物线的切线交于点M(x ,y )，
1 1 2 2 0 0
称�AMB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边.若弦AB过焦点F，则下列结论错误的是（ ）
A．x +x =2x
1 2 0
B．底边AB的直线方程为x x− p(y+y )=0；
0 0
C．�AMB是直角三角形；
D．�AMB面积的最小值为2p2.
【答案】D
x x2 x x2
【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线AM,BM 的方程为y= 1 x− 1 和y= 2 x− 2 ，得
p 2p p 2p
1 x2 x2
到 (x −x )x= 1 − 2 ，进而可判定A正确；
p 1 2 2p 2p
点M(x ,y )在直线AM,BM 上，进而得到底边AB的直线方程，可判定B正确；
0 0
p
设直线AB:y=kx+ ，联立方程组，根据k ⋅k =−1，可判定C正确；
2 MA MB
3
取AB的中点H，化简得到�AMB的面积为S = p2( 1+k2) 2，可判定D不正确.
【详解】如图：
41
学科网（北京）股份有限公司x2 1
依题意设A(x,y ) ，B(x ,y ) ，由方程x2 =2py，可得y= ，则y′= x，
1 1 2 2 2p p
1 1
由导数的几何意义知，直线AM 的斜率为k = x ，同理直线BM 的斜率为k = x ，
AM p 1 BM p 2
可得A处的切线方程为：y−y = 1 x (x−x ) ，即y− x 1 2 = 1 x (x−x ) ，
1 p 1 1 2p p 1 1
x x2 x x2
化简可得y= 1 x− 1 ，所以直线AM 的方程为y= 1 x− 1 ，
p 2p p 2p
x x2 x x2 x x2
同理可得：直线BM的方程为y= 2 x− 2 ，所以 1 x− 1 = 2 x− 2 ，
p 2p p 2p p 2p
1 x2 x2
则 (x −x )x= 1 − 2 ，
p 1 2 2p 2p
x +x
因为x ≠ x ，解得x= 1 2 ，即x +x =2x ，所以A正确；
1 2 2 1 2 0
因点M(x ,y )在直线AM,BM 上，
0 0
可得x ⋅x − p(y +y )=0，x ⋅x − p(y +y )=0，
0 1 0 1 0 2 0 2
即A(x,y ) 在x x− p(y+y )=0上，B(x ,y ) 在x x− p(y+y )=0上，
1 1 0 0 2 2 0 0
所以底边AB的直线方程为x x− p(y+y )=0，所以B正确；
0 0
 p
p y=kx+
设直线AB:y=kx+ ，联立方程组 2 ，整理得x2−2pkx− p2 =0，
2  x2 =2py
则∆=(−2p)2+4p2 =8p2 >0且x +x =2pk，xx =−p2，
1 2 1 2
x x −p2  
因为k ⋅k = 1⋅ 2 = =−1，所以MA⋅MB=0，
MA MB p p p2
所以�AMB是直角三角形，所以C正确；
y
取AB的中点H，连接MH，根据抛物线的定义，可得MH平行 轴，
 x2 x2 
 1 + 2 
1 1 y +y p 1 2p 2p p
所以S = MH ⋅ x −x =  1 2 + ⋅ x −x =  + ⋅ x −x
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2
 
 
42
学科网（北京）股份有限公司1x2+x2 p
=  1 2 + ⋅ x −x
2 4p 2 1 2
因为x +x =2pk，xx =−p2，所以x2+x2 =(x +x )2−2xx =4p2k2+2p2，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
x −x = (x +x )2−4x ⋅x =2p 1+k2 ，
1 2 1 2 1 2
代入可得S = 1  4p2k2+2p2 + p   ⋅2p 1+k2 = 2p
( 1+k2)
2p 1+k2 = p2( 1+k2) 3 2，
2 4p 2 4
当k =0时，S = p2，所以D不正确.
min
故选：D.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：
有时需先换元后再求最值）．
【典型例题4】过抛物线y2 =2px(p>0)
的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A、B两点，M 为AB的中点，分别过A、
B两点作抛物线的切线l 、l 相交于点P.�PAB又常被称作阿基米德三角形.下面关于�PAB的描述：
1 2
①P点必在抛物线的准线上；
②AP⊥PB；
③设A(x,y ) 、B(x ,y ) ，则�PAB的面积S的最小值为
p2
；
1 1 2 2
2
④PF ⊥ AB；
⑤PM平行于x轴.
其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
p
【解析】作出图形，设点A(x,y ) 、B(x ,y ) ，设直线AB的方程为x=my+ ，将直线AB的方程与抛物线方程联立，
1 1 2 2 2
列出韦达定理，求出直线l 、l 的方程，求出点P的坐标，可判断①的正误；利用直线PA、PB斜率的关系可判断②的正
1 2
误；计算出�PAB的面积S的表达式，可判断③的正误；利用直线PF、AB的斜率关系可判断④的正误；求出直线PM的
斜率，可判断⑤的正误.综合可得出结论.
【详解】先证明出抛物线y2 =2px(p>0) 在其上一点 (x ,y ) 处的切线方程为y y= px+ px .
0 0 0 0
证明如下：
由于点 (x ,y ) 在抛物线y2 =2px上，则y2 =2px ，
0 0 0 0
43
学科网（北京）股份有限公司y2 =2px
联立 ，可得2y y= y2+2px ，即y2−2y y+y2 =0，∆=0，
y y= px+ px 0 0 0 0
0 0
所以，抛物线y2 =2px(p>0) 在其上一点 (x ,y ) 处的切线方程为y y= px+ px .
0 0 0 0
如下图所示：
p
设A(x,y ) 、B(x ,y ) ，设直线AB的方程为x=my+ ，
1 1 2 2 2
 p
x=my+
联立 2 ，消去x得y2−2mpy− p2 =0，
 y2 =2px
由韦达定理可得y y =−p2，y +y =2mp，
1 2 1 2
y2
对于命题①，抛物线y2 =2px在点A处的切线方程为y y= px+ px ，即y y= px+ 1 ，
1 1 1 2
y2
同理可知，抛物线y2 =2px在点B处的切线方程为y y= px+ 2 ，
2 2
 y2  y y p
y y= px+ 1  x= 1 2 =−
 1 2  2p 2 p
联立 ，解得 ，所以点P的横坐标为− ，
 y2  y +y 2
y y= px+ 2 y= 1 2 =mp
 2 2  2
即点P在抛物线的准线上，①正确；
p p p2
对于命题②，直线l 的斜率为k = ，直线l 的斜率为k = ，∴kk = =−1，
1 1 y 2 2 y 1 2 y y
1 2 1 2
所以，AP⊥PB，②正确；
对于命题④，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时PF ⊥ AB；
1
当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为k = ，
AB m
mp
直线PF的斜率为k = =−m，∴k ⋅k =−1，则PF ⊥ AB.
PF −p AB PF
综上，PF ⊥ AB，④正确；
对于命题③， AB = 1+m2 ⋅ y −y ，
1 2
 y +y  2
PF = p2+ 1 2  = p2+m2p2 = p 1+m2 ，
 2 
44
学科网（北京）股份有限公司所 以 ， S = 1 AB ⋅ PF = 1 1+m2 ⋅ y −y ⋅p 1+m2 = p( m2+1 ) ⋅ y + p2
△PAB 2 2 1 2 2 1 y
1
=
2
p ⋅ ( m2+1 ) ⋅  
 
y
1
+ p
y
2  
 
≥
2
p ×2 y
1
⋅ p
y
2 = p2，
1 1
m=0
当且仅当 时，等号成立，③错误；
y =±p
1
对于命题⑤，当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点P为抛物线的准线与x轴的交点，此时直线PM与x轴重
合，⑤错误.
故选：B.
【变式训练8-1】（多选）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形
有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2 =4x，弦AB过
焦点F,H 为AB的中点，O为坐标原点，�ABQ为其阿基米德三角形，则（ ）
 
A．存在点Q，使得QA⋅QB>0 B．任意点Q，都有AB⊥QF
 
C．任意点Q，都有QH ∥OF D．�ABQ面积的最小值为4
【变式训练8-2】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线C:x2 =8y，阿
基米德三角形PAB，弦AB过C的焦点F，其中点A在第一象限，则下列说法正确的是（ ）
A．点P的纵坐标为−2 B．C的准线方程为x=−2
C．若 AF =8，则AB的斜率为 3 D．�PAB面积的最小值为16
【变式训练8-3】古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名， 著有《 齐
锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ≠1)
的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的
 1 PA 1
名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A2, ,B(2,2) ．点P满足 = ，设点P的轨迹为
 2 PB 2
曲线E，下列结论正确的是（ ）
A．曲线E的方程为(x−2)2+y2 =1
B．曲线E的周长为π
3 2
C．曲线E上的点到直线x+y+1=0的最小距离为 −1
2
D．若点Q为抛物线C:y2 =4x上的动点，抛物线C的焦点为F，则 PQ + QF 的最小值为2
【变式训练8-4】阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，
定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线
C：y x2上两个不同点A,B横坐标分别为x，x ，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正
1 2
确的有（ ）
A．若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上
45
学科网（北京）股份有限公司3 3
B．若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为
4
1
C．若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值
4
|x −x |2
D．一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S = 1 2
4
【变式训练8-5】若过点C可以作抛物线的两条切线，切点分别是A,B，则称ABC为“阿基米德三角形”．已知抛物线
E:y2 =8x的焦点为F，过F的直线l交E于A,B两点，以A,B为顶点的“阿基米德三角形”为ABC，则（ ）
π
A．点C的横坐标为−2 B．∠ACB=
2
C． BC 2 > AB ⋅ BF D．ABC面积的最小值为16
【变式训练8-6】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.设抛物线y2 =2px(p>0)，
弦AB过焦点F,�ABQ为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
 
A．存在点Q，使得QA⋅QB>0
   
B．AQ⋅AB=|AF|⋅|AB|
  
C．对于任意的点Q，必有向量QA+QB与向量a =(−1,0) 共线
D．�ABQ面积的最小值为p2
【变式训练8-7】圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”，如图△MAB是抛物线
E:y2 =2px（ p>0）的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，（其中A点在B点上方），BC，AD均垂直于准线l，且C，
D为垂足，则下列说法正确的有（ ）
A．以AB为直径的圆必与准线l相切
2
CD
B． 为定值4
AF ⋅ BF
C．设点N(p,p) ，则�ANF周长的最小值为 ( 3+ 5 ) p
32
D．若弦AB的倾斜角为锐角，则tan2∠AOB⋅tan∠OFB的最小值为
9
46
学科网（北京）股份有限公司【变式训练8-8】（多选）如图，�PAB为阿基米德三角形.抛物线x2 =2py(p>0) 上有两个不同的点A(x,y ),B(x ,y ) ，
1 1 2 2
以A，B为切点的抛物线的切线PA,PB相交于点P.给出如下结论，其中正确的为（ ）
A．若弦AB过焦点，则�ABP为直角三角形且∠APB=90°
x +x xx 
B．点P的坐标是 1 2 , 1 2 
 2 2 
C．�PAB的边AB所在的直线方程为 (x +x )x−2py−xx =0
1 2 1 2
D．�PAB的边AB上的中线与y轴平行（或重合）
【变式训练8-9】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背
景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线y2 =2px（ p>0），弦AB过焦点F，�ABQ为其阿基米德三角形，则下
列结论一定成立的是（ ）
p
A．点Q在抛物线y2 =2px（ p>0）的准线x=− 上
2
 
B．存在点Q，使得OA⋅QB>0
C． QF 2 = AF ⋅ BF
D．�ABQ面积的最小值为p2
【变式训练 8-10】（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻
的背景､丰富的性齐齐生了无齐的魅力 .设A,B是抛物线C:x2 =4y上两个不同的点，以A(x ,y ),B(x ,y ) 为切点的切线
1 1 2 2
交于P点.若弦AB过点F(0,1)
，则下列说法正确的有（ ）
A．xx =−4
1 2
B．若x =2，则A点处的切线方程为x−y−1=0
1  
C．存在点P，使得PA⋅PB>0
D．�PAB面积的最小值为4
【变式训练8-11】（多选题）．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线
的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O
为坐标原点，F,F 分别为双曲线C: x2 −y2 =1的左、右焦点，过C右支上一点A(x ,y )( x > 3 ) 作双曲线的切线交x
1 2 0 0 0
3
47
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轴于点P x ,0 ，则（ ）
p
A．0<x < 3
P
B．平面上点B(4,1), AF + AB 的最小值为 37−2 3
2
15 π
C．若经过左焦点F的入射光线经过点A，且x = ，则入射光线与反射光线的夹角为
1 0 2 3
D．过点F作FH ⊥ AP，垂足为H，则|OH |= 3
1 1
【变式训练8-12】圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三
角形，若曲线C的方程为x2 =4y，弦AB过C的焦点F，设A(x,y ) ，B(x ,y ) ，P(x ,y ) ，则有x = x 1 +x 2 ，y = x 1 x 2 ，
1 1 2 2 0 0 0 2 0 4
对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P在直线y=−1上；②k ⋅k =1；③k +k =0；④ PF 2 = FA FB ，
PA PB PA PB
其中所有正确结论的序号为 ．
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