文档内容
微考点 6-5 利用二级结论秒杀抛物线中的选填题
【考点目录】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
【考点分类】
考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为 直线的 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，则
① .
.
②
③ , .
【精选例题】
【例1】倾斜角为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线相交于A，B两点，则 （ ）
A． B．4 C．6 D．8
【例2】已知 是抛物线 上的两点，且直线 经过 的焦点，若 ，则
（ ）A．12 B．14 C．16 D．18
【例3】已知抛物线 ，弦 过抛物线的焦点 且满足 ，则弦 的中点到 轴的距离为
（ ）
A． B．3 C． D．4
【例4】（多选题）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点
（ 在第一象限）， 为坐标原点，若 ，则（ ）
A．
B．直线 的斜率是
C．线段 的中点到 轴的距离是
D． 的面积是
【跟踪训练】
1．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线 交抛物线于两点 ， ．若弦长 ，
则直线 的斜率为 ．
2．（多选题）在直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的倾斜角为
的直线 与 相交于 ， 两点，且点 在第一象限， 的面积是 ，则（ ）
A． B．C． D．
3．（多选题）已知直线l： 过抛物线C： 的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．抛物线C上的动点到直线 距离的最小值为
4．（多选题）已知直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线 交于 两点，点
为 的准线与 轴的交点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．过 的焦点的最短弦长为4
C．当 时，直线 的倾斜角为
D．存在2条直线 ，使得 成立
考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F， 是过 的直线与抛物线的两个交点，求证：
.
②一般地，如果直线 恒过定点 与抛物线 交于 两点，那么.
③若 恒过定点 .
【精选例题】
【例1】（多选题）已知抛物线 ： 的的焦点为 ， 、 是抛物线上两点，则下
列结论正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【例2】（多选题）已知抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线 交抛物线于 ， 两点
（ ）
A．直线 的方程为 B．原点到直线 的距离为
C． D．
【例3】（多选题）已知抛物线C： 的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，下列说法正确的
是（ ）
A．若AB中点M的横坐标为3，则 的最大值为8
B．若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的倾斜角为C．设 ，则 的最小值为
D．若 ，则直线AB过定点
【跟踪训练】
1．（多选题）过抛物线 （ ）焦点F的直线与抛物线交于 ， 两点，则说法
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）已知点 在抛物线 的准线上，过抛物线 的焦点 作直线 交 于
、 两点，则（ ）
A．抛物线 的方程是 B．
C．当 时， D．
3．（多选题）已知 是抛物线 上不同于原点 的两点，点 是抛物线 的焦点，
下列说法正确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．C．若 ，则直线 经过定点
D．若点 为抛物线 的两条切线，则直线 的方程为
考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式
①已知 是抛物线 中过焦点 的两条相互垂直的弦， 存在最小值，
且最小值为 .
②已知 是抛物线 中过焦点 的两条相互垂直的弦，则四边形 的面积
的最小值为 .
【精选例题】
【例1】（多选题）过抛物线C： 的焦点F作两条互相垂直的直线 和 ，设直线 交抛物线C于
A，B两点，直线 交抛物线C于D，E两点，则 可能的取值为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
【例2】在平面直角坐标系 中，已知动圆 与圆 内切，且与直线 相切，设动圆圆
心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线与曲线 相交于 ， 两点和 ， 两点，求四边形 的面积
的最小值.
【跟踪训练】1．已知F为抛物线 的焦点，过F作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与C交于A，B两点，直
线 与C交于D，E两点，则 的最小值为
2．已知抛物线 .其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线 的焦点F，且与抛物线
相交于A，B两点和C，D两点，则四边形 面积的最小值为 ．
考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式
设直线 与抛物线 相交所得的弦 的中点坐标为 ，则
【精选例题】
【例1】已知抛物线 的一条弦 恰好以点 为中点，弦 的长为 ，则抛物线的准线方程
为（ ）
A． B． C． D．
【例2】直线 与抛物线 交于 两点， 中点的横坐标为2，则 为（ ）
A． B．2 C． 或2 D．以上都不是
【例3】直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，线段 中点的纵坐标为1，O为坐
标原点，则O到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知直线 与抛物线 相交于 两点，若线段 的中点坐标为 ，则直线 的方程为
（ ）
A． B．C． D．
2．已知抛物线 的焦点为 ，第一象限的 、 两点在抛物线上，且满足 ，
.若线段 中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 .
3．已知抛物线 ，过点 的直线交抛物线 于 两点，若 为 的中点，则直线 的方
程为 .
考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
【精选例题】
【例1】（多选题）已知 是抛物线 上的两动点， 是抛物线的 焦
点，下列说法正确的是（ ）
A．直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 的准线相切
B．直线 过焦点 时， 的最小值为6
C．若坐标原点为 ，且 ，则直线 过定点
D．与抛物线 分别相切于 两点的两条切线交于点 ，若直线 过定点 ，则点 在抛物线
的准线上
【例2】（多选题）已知抛物线 的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在
x轴上方），则（ ）A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【跟踪训练】
1．（多选题）设 是坐标原点，直线 经过抛物线C：
的焦点F，且与C交于A，B西点， 是以 为底边的等腰三角形， 是抛物线C的准线，
则（ ）
A．以 直径的圆与准线 相切 B．
C． D． 的面积是
2．（多选题）已知抛物线 的焦点 在直线 上，直线 与抛物线交于点 （
为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．准线方程为
C．以线段 为直径的圆与 的准线相切
D．直线 的斜率之积为定值
考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论
①知识要点：如图，假设抛物线方程为 ， 过抛物线准线上一点 向抛物线引两条切线，切点分别记为 ，其坐标为 . 则以点
和两切点 围成的三角形 中，有如下的常见结论:
结论1.直线 过抛物线的焦点 .
结论2.直线 的方程为 .
结论 3.过 的直线与抛物线交于 两点，以 分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点
的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过 点的切线方程为 ，过 点的切线方程为 ，两式相除可得：
.这就证明了该结论.
结论4. .
证明：由结论3， ， .那么 .
结论5. .
证明： ,则 .由抛物线焦点弦的性质可知 ，代入上
式即可得 ，故 .
结论6.直线 的中点为 ，则 平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点 的切线的交点 在抛物线准线上.且 的坐标为 ，显然 平行于抛物线的对称轴.
【精选例题】
【例1】已知抛物线C： ，（ ）的焦点为F， 为C上一动点，若曲线C在点
M处的切线的斜率为 ，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【例2】设抛物线C： 的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线
， ，若 与 交于点P，且满足 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例3】（多选题）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点， 在
第一象限，过 分别作抛物线的切线 ，且 相交于点 ，若 交 轴于点 ，则下列说法正确
的有（ ）
A．点 在抛物线的准线上 B．
C． D．若 ，则 的值为
【例4】已知抛物线 的焦点为F，过F的直线l倾斜角为 ，交C于 两点，过 两点分
别作C的切线 ， ，其交点为 ， ， 与x轴的交点分别为 ，则四边形 的面积为________.
【跟踪训练】1.已知抛物线 的焦点为 ，若抛物线上一点 满足 ，则过点 的切线方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．（多选题）设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切
线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A． 轴 B． C． D．
3.已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上的点的距离的最小值4．
(1)求 ；
(2)若点 在圆 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
1．已知抛物线 ： （ ），过点 且垂直于 轴的直线 交抛物线 于 ， 两点， 为
坐标原点，若 的面积为9，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
2．已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于A，B两点，若 ，则
（ ）
A．5 B．9 C．10 D．183．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交抛物线于 两点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线 与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦 的中点M的横坐标为 ，则弦
的长
5．已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与抛物线 交于 两点，若线段 的中点
为 ，则直线 的方程为 ．
6．已知抛物线 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，且 ，则直线 的方程为
.
7．（多选题）已知倾斜角为 的直线 经过抛物线 ： ( )的焦点 ，且与抛物线 交于 ，
两点(点 在第一象限)，与抛物线 的准线 交于点 ，则（ ）
A．以 为直径的圆与 轴相切
B．准线 上存在唯一点 ，使得
C．
D．
8.（多选题）已知抛物线C： 的焦点为F，过F作直线l与抛物线C交于A、B两点，分别以A、B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段 的中点为M．若点T的坐标为 ，
则（ ）
A．点M的横坐标为2 B．点M的纵坐标为3
C．直线l的斜率等于2 D．
