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微重点 17 抛物线的二级结论的应用
抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础
知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准
确地解题，还要掌握一些常用结论，特别是抛物线的焦点弦的一些二级结论，在考试中经常
用到，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．
考点一 抛物线的焦点弦
核心提炼
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x ，y)，B(x ，
1 1 2
y)(y>y)两点，则
2 1 2
(1)焦半径|AF|＝x＋＝，
1
|BF|＝x＋＝，
2
(2)焦点弦长|AB|＝x＋x＋p＝，
1 2
(3)S ＝(O为坐标原点)，
△OAB
(4)xx＝，yy＝－p2，
1 2 1 2
(5)＋＝，
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切．
考向1 焦半径、弦长问题
例1 (1)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l，l，直线l 与
1 2 1
C相交于A，B两点，直线l 与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
2
A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A
解析 如图，设直线l 的倾斜角为θ，θ∈，则直线l 的倾斜角为＋θ，
1 2
由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝＝，|DE|＝＝，
∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，
即θ＝时取等号．
∴|AB|＋|DE|的最小值为16.
(2)斜率为的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与抛物线交于A，B两点，A在第一象限
且|AF|＝4，则|AB|＝________.
答案
解析 直线l的倾斜角α＝60°，
由|AF|＝＝4，
得p＝4(1－cos α)＝2，
∴|AB|＝＝＝.
考向2 面积问题
例2 (2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B
两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
答案 64
解析 方法一 (常规解法)依题意，
抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，
直线l的方程为x＝y＋4.
由消去x，
得y2－16y－64＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则y＋y＝16，yy＝－64.
1 2 1 2
S ＝|y－y|·|OF|
△OAB 1 2
＝2
＝2＝64.
方法二 (活用结论)依题意知，
抛物线y2＝16x，p＝8.
又l的倾斜角α＝.
所以S ＝＝＝64.
△OAB考向3 ＋＝的应用
例3 (2022·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两
点，则2|AF|＋|BF|最小值为( )
A．2 B．2＋3
C．4 D．3＋2
答案 D
解析 因为p＝2，
所以＋＝＝1，
所以2|AF|＋|BF|
＝(2|AF|＋|BF|)·
＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当|BF|＝|AF|时，等号成立，
因此，2|AF|＋|BF|的最小值为3＋2.
考向4 利用平面几何知识
例4 (2022·遂宁模拟)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与抛物线交
于P，Q两点，直线l与抛物线的准线l 交于点M，若PM＝2FP，则等于( )
1
A. B. C. D．3
答案 B
解析 如图，过点P作准线的垂线交于点H，由抛物线的定义有|PF|＝|PH|＝m(m>0)，过点
Q作准线的垂线交于点E，
则|EQ|＝|QF|，
∵PM＝2FP，
∴|PM|＝2m，
根据△PHM∽△QEM，
可得＝＝，
∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m.
∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m，
∴＝＝.易错提醒 焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件；数形结合求解
时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解．
跟踪演练1 (1)已知A，B是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐
标原点，且满足AB＝3FB，S ＝|AB|，则|AB|的值为( )
△OAB
A. B. C．4 D．2
答案 A
解析 如图，不妨令直线AB的倾斜角为α，α∈，
∵AB＝3FB
∴F为AB的三等分点，
令|BF|＝t，则|AF|＝2t，
由＋＝，
得＋＝⇒t＝p，
∴|AB|＝3t＝p，
又|AB|＝，
∴＝p⇒sin α＝，
又S ＝|AB|，
△AOB
∴＝|AB|，
即＝·p⇒p＝2，
∴|AB|＝.
(2)(多选)已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物
线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下
列说法正确的是( )
A．线段AB长度的最小值为2
B．以AB为直径的圆与直线y＝－1相切
C．∠HFG＝90°
D．∠AMO＝∠BMO答案 BCD
解析 如图，取AB的中点为C，作CD⊥GH，垂足为D，
当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确；
∵直线y＝－1为准线，
∴|CD|＝(|AH|＋|BG|)＝|AB|，
故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切，
故B正确；
又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，
又BG∥FM，
∴∠BGF＝∠MFG，
∴∠BFG＝∠MFG，
同理可得∠AFH＝∠MFH，
又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，
∴FG⊥FH.
即∠HFG＝90°，故C正确；
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
∴直线AB：y＝kx＋1，由
得x2－4kx－4＝0，
∴xx＝－4，x＋x＝4k，
1 2 1 2
k ＋k ＝＋
AM BM
＝＋
＝2k＋
＝2k＋2·＝0，
∴∠AMO＝∠BMO，故D正确．
考点二 定点问题
核心提炼
抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过(2p，0)的直线与之交于A，B两点，则OA⊥OB，反之，也成立．
例5 如图，已知直线与抛物线x2＝2py交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点
D，点D的坐标为(2,4)，则p的值为( )
A．2 B．4
C. D.
答案 D
解析 如图，令AB与y轴交于点C，
∵OA⊥OB，
∴AB过定点C(0,2p)，
又D(2,4)，
∴CD＝(2,4－2p)，OD＝(2,4)，
∵OD⊥AB，
∴CD·OD＝0，
即4＋4(4－2p)＝0，
解得p＝.
易错提醒 要注意抛物线的焦点位置，焦点不同，定点是不同的；在解答题中用该结论时需
证明该结论．
跟踪演练2 已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则△AOB的面积
的最小值为________．
答案 16
解析 如图，∵OA⊥OB，
∴直线AB过定点(2p，0)，
即点C坐标为(4,0)，设直线AB：x＝ty＋4，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立⇒y2－4ty－16＝0，
Δ＝16t2＋64>0，y＋y＝4t，yy＝－16，
1 2 1 2
∴S ＝|OC||y－y|＝2|y－y|＝2，
△AOB 1 2 1 2
∴当t＝0时，S ＝16.
min
专题强化练
1．(2022·菏泽模拟)设坐标原点为O，抛物线y2＝4x与过焦点的直线交于A，B两点，则
OA·OB等于( )
A. B．－ C．3 D．－3
答案 D
解析 方法一 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x，y)，
1 1
B(x，y)，由
2 2
得y2－4ty－4＝0，
Δ＝16t2＋16>0恒成立，
则
所以OA·OB＝xx＋yy
1 2 1 2
＝·＋yy＝＋(－4)＝－3.
1 2
方法二 因为AB过抛物线的焦点，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则xx＝＝1，yy＝－p2＝－4，
1 2 1 2
所以OA·OB＝xx＋yy＝－3.
1 2 1 2
2.如图，过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C
点，若B是AC的中点，则|AB|等于( )
A．8 B．9
C．10 D．12
答案 B解析 如图所示，
令|BF|＝t，
则|BB′|＝t，
又B为AC的中点，
∴|AA′|＝|AF|＝2t，
∴|BC|＝|AB|
＝|AF|＋|BF|＝3t，
又△CBB′∽△CFE，
∴＝，
即＝⇒t＝p，
∴|AB|＝3t＝p＝9.
3．倾斜角为的直线l交抛物线C：y2＝2px(p>0)于A，B两点，且OA⊥OB，S ＝8，则抛
△AOB
物线C的方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝4x D．y2＝8x
答案 B
解析 ∵OA⊥OB，
∴直线过定点(2p，0)
设直线l的方程为x＝y＋2p，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立得y2－2py－4p2＝0，
Δ＝4p2－4×(－4p2)＝20p2>0，
∴y＋y＝2p，yy＝－4p2，
1 2 1 2
S ＝·2p·|y－y|
△AOB 1 2
＝p
＝p·＝2p2＝8，
∴p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
4．直线l过抛物线y2＝6x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，则四边形ABB′A′的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．32
答案 C
解析 不妨令直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝＝，
|BF|＝＝，
又|AF|＝3|BF|，
∴＝3·，
解得cos θ＝，
又θ∈[0，π)，∴θ＝，
∴|AF|＝＝6，|BF|＝＝2，
∴|AA′|＝6，|BB′|＝2，
∴|A′B′|＝|AB|sin θ＝8×＝4，
∴S ＝×(2＋6)×4＝16.
四边形ABB′A′
5．(多选)(2022·聊城模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过F的
直线l交抛物线C于A，B两点，则( )
A．C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则|OA|＝
C．若|AF|·|BF|＝4p2，则l的斜率为±
D．过点A作准线的垂线，垂足为H，若x轴平分∠HFB，则|AF|＝4
答案 BCD
解析 因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线为x＝－1，故A错误；
若|AF|＝4，则x ＝3，所以y＝4x ＝12，
A A
所以|OA|＝＝，故B正确；设直线AB的倾斜角为α，α∈(0，π)，
|AF||BF|＝·＝＝4p2，
∴sin2α＝，
∴sin α＝，
∴α＝30°或150°，
∴tan α＝±，故C正确；
对于D，若x轴平分∠HFB，则∠OFH＝∠OFB，又AH∥x轴，
所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠AFH，
所以HF＝AF＝AH，
所以＝x ，即x ＝3，
F A
所以|AF|＝x ＋1＝4，故D正确．
A
6．(多选)(2022·武汉模拟)斜率为k的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物
线C相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M(－1，－1)是抛物线C的准线与以AB为直径
的圆的公共点，则下列结论正确的是( )
A．p＝2 B．k＝－2
C．MF⊥AB D.＝
答案 ABC
解析 由题意知，抛物线C的准线为x＝－1，
即＝1，解得p＝2，
故选项A正确；
∵p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，
∵以AB为直径的圆与准线相切，
∴点M(－1，－1)为切点，
∴圆心的纵坐标为－1，即AB中点的纵坐标为－1，
设AB：x＝ty＋1，
联立
得y2－4ty－4＝0，
Δ＝16t2＋16>0，
∴y＋y＝4t＝－2，
1 2
∴t＝－，即k＝－2，故选项B正确；
∵k＝－2，k ＝＝，k ·k＝－1，
MF MF
∴MF⊥AB，故选项C正确；过A作AA⊥x轴，过B作BB⊥x轴，
1 1
抛物线的准线交x轴于点C，设∠BFB＝θ，
1
∴|BF|＝，
|AF|＝，
又p＝2，k＝－2，则cos θ＝，
∴＝＝
＝＝，
故选项D错误．
7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，
则直线l的斜率为______．
答案 ±2
解析 由抛物线的焦点弦的性质知＋＝＝1，
又|MF|＝2|NF|，
解得|NF|＝，|MF|＝3，
∴|MN|＝，
设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，
又|MN|＝，
∴＝，
∴sin2θ＝，∴cos2θ＝，
∴tan2θ＝8，
∴tan θ＝±2，故k＝±2.
8.(2022·攀枝花模拟)如图所示，已知抛物线C ：y2＝2px过点(2,4)，圆C ：x2＋y2－4x＋3＝0.
1 2
过圆心C 的直线l与抛物线C 和圆C 分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为
2 1 2
________．答案 13
解析 由题设知，16＝2p×2，则2p＝8，
故抛物线的标准方程为y2＝8x，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，
则＋＝＝，
圆C ：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，
2
|PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1)
＝|PF|＋4|QF|－5
＝2(|PF|＋4|QF|)－5
＝2×＋5≥4＋5＝13，
当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13.
