文档内容
专题22 抛物线
【练基础】
一、 单选题
1．（2023春·全国·高三校联考）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）
反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯
等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点．图2是图1的轴截面，A，B两点关于抛物线的对称轴对
称，F是抛物线的焦点，∠AFB是馈源的方向角，记为 ，焦点F到顶点的距离f与口径d的比值 称为抛物面天
线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等．如果某抛物面天线馈源的方向角 满足， ，则其焦
径比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为： ， ， ，代入抛物线方程可得 ，
根据 ，解得 与 的关系，即可得出 ．
【详解】如图所示，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为： ， ，
，代入抛物线方程可得： ，解得 ，
由于 ，得 或 （舍）
又 ，化为： ，
解得 或 （舍）
.
故选：C.
2．（2023·福建莆田·统考二模）已知F为抛物线 的焦点，A为C上的一点， 中点的横坐标为2，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据 中点的横坐标求出 点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.
【详解】由题意得： ，准线方程为 ，
设 ，则 中点的横坐标为 ，故 ，解得： ，
由抛物线的焦半径可知： .
故选：B
3．（2023·北京平谷·统考模拟预测）已知抛物线 ，点O为坐标原点，并且经过点 ，若点P到
该抛物线焦点的距离为2，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由焦半径公式列出方程，求出 ，得到 ，求出 的长.
【详解】抛物线准线方程为 ，由焦半径可知： ，解得： .
则 ，此时 ，则 .
故选：D
4．（2023·新疆·统考一模）若 是抛物线 的焦点， 是抛物线 上任意一点， 的最小值为
，且 ， 是抛物线 上两点， ，则线段 的中点到 轴的距离为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知 ，利用抛物线的定义和梯形的中位线即可求解.【详解】
根据题意可知
如图，取AB中点E，分别过点A、B、E作 于点D、C、G，
DG与 轴交于点H.
根据抛物线的定义可得：
.
因为GE为梯形ABCD的中位线，所以
所以线段 的中点到 轴的距离 .
故选：B
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交 于 两点，当 与圆
相切时， 的中点 到 的准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设直线 的方程为 ，由直线与圆相切可得 ，再联立直线与抛物
线方程，结合焦半径公式即可得到结果.
【详解】由题意知 ，设直线 的方程为 .因为直线 与圆 相切，
所以圆心 到 的距离 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，联立 ，得 ，则 ，
所以 的中点 到 的准线的距离为
.
故选:D
6．（2023·陕西榆林·统考一模）如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建
筑轻盈､极简和雕塑般的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线
的一部分， 为抛物线 上一点， 为抛物线 的焦点，若 ，且 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】写出焦点坐标，设 ，由 得出 点坐标，根据焦半径公式得 ，再由
求得 ．
【详解】由题意知 ，设 ，则 ，由抛物线的几何性质知 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：A．
7．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点M在C上，点 ，若
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线的定义可得 ，求得 ， ，由 得∠MAF＝∠AMN，在
△AMF中由正弦定理求得 ，即可得到答案．
【详解】由题意知点A为抛物线C的准线与x轴的交点，如图，过点M作MN垂直于准线于点N，令 ，则 ，
由抛物线的定义可得 ，所以 ，所以 ．
又 ，所以∠MAF＝∠AMN，所以 ．
在△AMF中，由正弦定理得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
8．（2022·四川雅安·统考一模）过抛物线 的焦点F且倾斜角为锐角的直线 与C交于两点A，B
（横坐标分别为 ， ，点A在第一象限）， 为C的准线，过点A与 垂直的直线与 相交于点M．若
，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】由已知可求得直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，联立直线与抛物线的方程，可求出
， ，即可解得结果.
【详解】设直线 的斜率为 ，倾斜角为 ， .由抛物线的定义知， ，又 ，所以 为等边三角形，且 轴，所以 ，
则 .
，则直线 的方程为 ，
联立直线 的方程与抛物线的方程 ，可得 ，
解得 ， ，显然 ，所以 ， ，
所以， .
故选：C.
二、多选题
9．（2023·安徽·统考一模）已知 为坐标原点，点 ，线段 的中点 在抛物线
上，连接 并延长，与 交于点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．点 为线段 的中点
C．直线 与 相切 D． 在点 处的切线与直线 平行
【答案】BCD
【分析】将 代入抛物线得 ，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线 的方程与抛物线方程即
可得到 ，即可判断B，利用导数求出抛物线 在点 处的切线方程，令 ，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在 处的切线斜率，则可判断D.
【详解】对A，根据中点公式得 ，将其代入 得 ，则 ，
所以抛物线 的准线方程为 ，故A错误，
对B， ，则直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
将其代入 得 ，解得 或0（舍去），此时 ，
则 ，所以 为 中点，故B正确；
对C， ，即 ，则 ，
故抛物线 在点 处的切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
令 得 ，所以直线 为 的切线，故C正确；
对D，抛物线 在 处的切线方程的斜率为 ，
而直线 的斜率为 ，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，
所以 在点 处的切线与直线 平行.
故选：BCD.
10．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在C上，P为C上的一个动点，
则（ ）
A．C的准线方程为 B．若 ，则 的最小值为
C．若 ，则 的周长的最小值为11 D．在x轴上存在点E，使得 为钝角
【答案】BC
【分析】根据题意求出 ，即可求出准线，即可判断A；设点 ， ，则 ，根据两点的距离
公式结合二次函数的性质即可判断B；过点P作 垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，再结合图象，即可求
得 的周长的最小值，即可判断C；设 ，再判断 是否有解即可判断D.【详解】A选项：因为点 在抛物线 上，所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ，所以C的准线方程为 ，故A错误；
B选项：设点 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，故B正确；
C选项：过点P作 垂直于C的准线，垂足为N，连接MN，则 ，
易知 ， ，所以 ，
所以 的周长为
，
当且仅当M，P，N三点共线时等号成立，
所以 的周长的最小值为11，故C正确；
D选项：设 ，则 ， ，
所以 ，
因为点 在C上，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 不可能为钝角，故D错误.
故选：BC.
11．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知抛物线 （p＞0）的焦点为F，斜率为 的直线 过
点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线 过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，
直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N，则（ ）
A．C的方程为 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】对于A，根据题意设得 的坐标，再由直线 的斜率求得 ，从而求得抛物线 的方程，由此判断即可；
对于B，联立直线 与抛物线 的方程，求得 的坐标，进而求得 ，由此即可判断；对于D，设 ，
从而利用直接法求得 的坐标关于 的表达式，从而证得 ，由此判断即可；对于C，举反例排除
即可.
【详解】对于A，由题意得 ， ，所以 ，整理得p2＋6p－16=0，
又p＞0，解得p=2，所以C的方程为x2=4y，故A正确；
对于B，由选项A知双曲线C的准线方程为y=－1， ， ，直线l 的方程为 ，
1联立 ，解得x=－1或x=4，所以 ，
则 ，故B正确；
对于D，设点 ，由题意知m≠±1且m≠±4，所以直线 ，
令y=－1，得 ，即 ，故 ，
同理可得 ，故 ，所以 ，故D正确；
对于C，当m=2时， ， ，则 ， ，则 ，故C错误．
故选：ABD．
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设 ，从而利用熟练的运算能力将 的坐标表示为关于 的表
达式，从而得解.
12．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l与C交于 ，
两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（
）A．若直线l经过焦点F，且 ，则
B．若 ，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则 的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
【答案】BC
【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之
积，由 列出方程，求出 ，A错误；B选项，先得到直线 经过抛物线焦点，与A一样，设出直
线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合 求出直线l的斜率，得到倾斜角；C选项，设
，由抛物线定义结合基本不等式得到 的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点
时，得到圆M与准线相离，D错误.
【详解】A选项，由题意得： ，准线方程为 ，
当直线 的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线 ，与 联立得： ，
故 ，
则 ，所以 ，
解得： ，A错误；
B选项，因为 ，所以 三点共线，即直线 经过抛物线焦点，
当直线 的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，
故设直线 ，与 联立得： ，故 ，
因为 ，所以 ，
代入 中，得到 ，
即 ，
因为点A在第一象限，所以 ，故 ，即 ， ，
解得：
故直线l的斜率为 ，设直线l的倾斜角为 ，则 ，
解得： ，B正确；
C选项，设 ，过点 作 ⊥准线于点 ，过点 作 ⊥准线于点P，
因为以AB为直径的圆M经过焦点F，所以 ⊥ ，
则 ，
由抛物线定义可知： ，
由基本不等式得： ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，即 ，C正确；D选项，当直线l不经过焦点 时，设 ，
由三角形三边关系可知： ，
由抛物线定义可知结合C选项可知： ，即 ，
若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.
故选：BC
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或
范围．
三、填空题
13．（2023·湖北·统考模拟预测）已知 为抛物线 上一点，过点 的直线与抛物线C
交于A，B两点，且直线 与 的倾斜角互补，则 __________．
【答案】2
【分析】由题可得 ，然后利用韦达定理法，两点间距离公式结合条件即得.
【详解】由点 在抛物线 上得： ，即 ,
所以抛物线C的方程为： ,
设直线 的方程为 ， ， ,
由直线 与 的倾斜角互补得 ，
即 ，所以 ,
联立 ，得 ，所以 ， ,
所以 ，即 ，所以 ,
所以
．
故答案为：2.
14．（2023·山东威海·统考一模）已知椭圆 的右焦点为F，以F为焦点的抛物线
与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.
【答案】 ##
【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质,列出关系式,求解椭圆离心率即可.
【详解】根据椭圆和抛物线对称性及 轴，由 在抛物线上得 ， 在椭圆上得
.则由条件得： 且
即得 .
解得 （舍去），所以
故答案为:
15．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）设 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过点 作 轴的
垂线交 于点 为 轴正半轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为______．
【答案】
【分析】由题知 ，进而根据 计算即可.【详解】解：如图，由题知 ，将 代入方程 得 ，故
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，整理得 ，解得 （ 舍），
所以，抛物线 ，准线方程为：
故答案为：
16．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知抛物线 为抛物线内一点，不经过
点的直线 与抛物线相交于 两点，连接 分别交抛物线于 两点，若对任意直线 ，总存在
，使得 成立，则该抛物线方程为______.【答案】
【分析】设 ，根据 推出 ，
结合点在抛物线上可得 ， ，即可求得p，即得答案.
【详解】由题意设 ，
由 可得： ，
可得： ，同理可得： ，
则： （*）
将 两点代入抛物线方程得 ，
作差可得： ，而 ，即 ，
同理可得， ，代入（*），可得 ，
此时抛物线方程为 ，
故答案为：
四、解答题
17．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知抛物线 ，点 在C上，A关于动点 的对称点记
为M，过M的直线l与C交于 ， ，M为P，Q的中点．
(1)当直线l过坐标原点O时，求 外接圆的标准方程；
(2)求 面积的最大值．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意解得抛物线方程，设直线方程，代入抛物线方程，利用M为P，Q的中点解出P，Q的坐标，
利用圆上三点求圆的方程；
（2）把 面积表示为 的函数，利用导数研究单调性求最大值.
【详解】（1）由点 在C上，代入 ，解得 ，即 ．
因为M为A关于动点 的对称点，所以 ．
设直线 ，
联立 整理得 ，
则 ，
， ，
由M为P，Q的中点，得 ，故 ，
由 ，解得 ，
由直线l过坐标原点O，得 ，则 ，
解得 ， ，即 ， ，
设 外接圆的一般方程 ，
代入 ， ， ，解得 ， ， ，即 ，
即 外接圆的标准方程为 ．
（2）由（1）可知， ，
A到直线 的距离为 ，
则 面积 ，
，由 ，解得 ，
当 ， ，S单调递增；当 ， ，S单调递减；
故 ， 面积的最大值 ．
【点睛】思路点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理.
18．（2023·山东日照·统考一模）已知抛物线 ： 的焦点为 为 上的动点， 垂直于动直线
，垂足为 ，当 为等边三角形时，其面积为 .
(1)求 的方程；
(2)设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，试问：
是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义进行求解；（2）设 ，则 ，可得 ，由导数的几何意义可得 ，设 ， ，中点
，由点差法可得 ， ，从而可以求出 .
【详解】（1）∵ 为等边三角形时，其面积为 ，
∴ ，解得 ，
根据 和抛物线的定义可知， 落在准线上，即 ，
设准线和 轴交点为 ，易证 ，于是 ，
∴ 的方程为 ；
（2）假设存在 ，使得 ，则 线为段 的中点，
设 ，依题意得 ，则 ，
由 可得 ，所以切线 的斜率为 ，
设 ， ，线段 的中点 ，
由 ，可得 ，
所以 ，整理可得： ，即 ，所以 ，
可得 ，又因为 ，
所以当 时， ，此时 三点共线，满足 为 的中点，
综上，存在 ，使得点 为 的中点恒成立， .
【提能力】
一、单选题
19．（2023·陕西咸阳·校考一模）设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为
3，到y轴的距离为2，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B
20．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）过抛物线 （p＞0）的焦点F的直线交抛物线C于A
（x，y），B（x，y）两点，设 ， ，若n， ， 成等比数列，则 （ ）
1 1 2 2
A． B．3
C．3或 D．
【答案】B
【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果.【详解】由n， ， 成等比数列，得 ．
由抛物线的定义知， ， ，
所以 ，所以 ，
又因为 ， ，所以 ．
故选：B.
21．（2023·吉林·统考二模）已知抛物线 的焦点F与椭圆 的一个焦点重合，则下
列说法不正确的是（ ）
A．椭圆E的焦距是2 B．椭圆E的离心率是
C．抛物线C的准线方程是x=-1 D．抛物线C的焦点到其准线的距离是4
【答案】D
【分析】根据椭圆方程求出 ，求出焦距和离心率，根据抛物线 的焦点F与椭圆
的一个焦点重合求出 ，就能求出曲线和焦点到其准线的距离.
【详解】根据椭圆
可得：
所以椭圆E的焦距是 ，故A正确；
椭圆E的离心率为 ，故B正确；
又因为椭圆 的焦点为 ，
抛物线 的焦点F与椭圆 的一个焦点重合
，即所以抛物线C的准线方程是 ，故C正确；
抛物线C的焦点到其准线的距离 ，故D不正确.
故选：D
22．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知抛物线 ）的焦点为 ，准线为l，过 的直线与抛物
线交于点A、B，与直线l交于点D，若 ，则p=（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知 ，再利用数形结合可求 的值.
【详解】如图，
设准线与 轴的交点为 ，作 ， ，垂足分别为 ， ，
则 .根据抛物线定义知 , ,
又 ，所以 ，
设 ，因为 ，所以 ，
则 .
所以 ,，又 ,可得 ,所以 ，所以 ,
可得 ,即 .
故选： .
23．（2023·四川成都·成都七中校考二模）已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦
点， 在抛物线上且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用两点间距离表示 ，再结合基本不等式求最值，并且求得点 的坐标，根据双曲线上的点和焦
点坐标，即可求得双曲线的离心率.
【详解】设 ， ， ，则
，当且仅当 时取等号，此时 , ，
所以 .
故选：C
24．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， 为任
一动点．条件 ：直线 与直线 相交于点 ；条件 ：动点 在抛物线 上．则
是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分别将条件 条件 转化为与实数对 相关的解析式，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】条件 ：直线 与直线 相交于点 ，
则 ，则 ，整理得
条件 ：动点 在抛物线 上，则 ，
则 是 的充分不必要条件.
故选：A
25．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过点 的
直线与圆 相切于点 ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】由题作图，由图可得 ，根据抛物线定义可得 等于点 到准线 的距离，根据
图形可得最小值情况，从而可得 的最小值.
【详解】解：因为抛物线 ，所以焦点坐标为 ，如下图所示：连接 ，过 作 垂直准线
于 ，则在直角 中， ，
所以 ，
由抛物线的定义得： ，
则由图可得 的最小值即抛物线顶点 到准线 的距离，即 ，
所以 .
故选：B.
26．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一动点 ，
，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】抛物线的准线 的方程为 ，过 作 于 ，根据抛物线的定义可知 ，则当
三点共线时，可求 得最小值，答案可得.
【详解】解：抛物线 ： 的焦点为 ，准线 的方程为 ，
如图，过 作 于 ，
由抛物线的定义可知 ，所以则当 三点共线时， 最小为 .
所以 的最小值为 .
故选：C.
二、多选题
27．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线 上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交
点分别为M，N，则（ ）
A．C的准线方程是
B．过C的焦点的最短弦长为8
C．直线MN过定点(0，4)
D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为
【答案】AD
【分析】由题可得 为 ，进而判断A，利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B，设 为
，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C，由C分析所得的定点P，要使
到直线 的距离最大有 ，可得此时直线 的方程判断D.
【详解】将 代入 中得： ，则 为 ，
所以 的准线方程是 ，故A正确；
由题可知 的焦点为 ，可设过 的焦点的直线为 ，
由 ，可得 ，设交点为 ，
则 ， ，
所以 ，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确；
设 ， ，直线 为 ，联立抛物线得： ，所以 ， ，又 ，
所以
，
因为 ， ，即 ，
所以 ，整理得 ，
故 ，得 ，
所以直线 为 ，所以直线 过定点 ，故C不正确；
当 时， 到直线 的距离最大，此时直线 为 ，故D正确.
故选：AD.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，抛物线 ．过点 的直线 与 交于
， 两点，直线 分别与 交于另一点 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线 的斜率为
C．若 的面积为 （ 为坐标原点），则 与 的夹角为
D．若 为抛物线 上位于 轴上方的一点， ，则当 取最大值时， 的面积为2
【答案】ACD
【分析】A选项： ， 直线 的方程为 ，由直线 过点 得
即可解决；B选项：设 ， 得直线 的方程为 直线 过点 得 ，
同理 即可解决；
C选项： 得 ，设 ， ，又 得
即可；
D选项：过 作 垂直抛物线 的准线 于点 ，由抛物线定义得 直线 与抛物线相切时，
最大，设直线 .得 即可.
【详解】A选项：易知 ， ，
所以直线 的方程为 ，（利用两点式求解直线 的方程）
因为直线 过点 ，
所以 ，A正确．
B选项：设 ， ，
所以直线 的方程为 ，
因为直线 过点 ，所以 ，
同理可得 ，
所以 ，故B错误．C选项： ，（利用B选项中 ）
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 与 的夹角为 ，故C正确．
D选项：易知 为抛物线的焦点，过 作 垂直抛物线 的准线 于点 ，
如图
由抛物线的定义知， ，即 ，
当 取最大值时， 取最小值，（正弦函数的单调性的应用）
即直线 与抛物线 相切．
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
所以 ，解得 ，
此时 ，即 ，
所以 ，又点 在 轴上方，故 ，所以 ，故D正确．
故选：ACD
【点睛】思路点睛：直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离．判断方法：把直线方程和抛物线方程
联立，当得到的是一元二次方程时，根据 来判断直线与抛物线的位置关系，①若 ，则直线与抛物线相交；
②若 ，则直线与抛物线相切；③若 ，则直线与抛物线相离．当得到的是一元一次方程时，直线与抛物
线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行（或重合）
29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的准线 与 轴相交于点 ，过抛物线 的焦
点 的直线 与抛物线 相交于 两点，且 两点在准线上的投影点分别为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． 的最小值为4
C． 为定值 D．
【答案】ABD
【分析】由焦点到准线的距离可得 的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线 的方程与抛物线
的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长 的表达式，再由参数的范围可得其最小值，
判断B正确；分别表示出 可判断C不正确；表示出 ， ，由 可判断
D正确．
【详解】对于A，因为抛物线 的准线 ，
所以 ，则 ，故A正确；
对于 ，抛物线 ，过焦点的直线为 ，则 ，
整理可得 ，设 ，
可得 ， ，，
所以 ，当 时取等号，
最小值为4，所以 正确；
对于C， ，
所以
所以 ，所以C不正确；
对于D， ， ， ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.30．（2022·广东韶关·统考一模）设 是抛物线 上一点， 是 的焦点， 在 的准线 上的射影为 ，
关于点 的对称点为 ，曲线 在 处的切线与准线 交于点 ，直线 交直线 于点 ，则（ ）
A． 到 距离等于4 B．
C． 是等腰三角形 D． 的最小值为4
【答案】BCD
【分析】A选项根据抛物线方程得到焦点到准线距离 ；
B选项设 ，得到 ， ，根据坐标得到 ，或根据 即可得到
；
C选项根据直线 ， 的斜率相等得到 ，根据 是线段 中点，得到 是线段 的中点，最后利
用 和直角三角形的性质得到 即可；
D选项设直线 的方程为 ，得到 ，然后根据坐标表示出 ，最后利用基本不等式求最值
即可.
【详解】对于A，焦点到准线距离 ，A不正确.
对于B，因为 ： 的准线为 ： ，焦点为 ，设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，（或由抛物线定义知 ，所以
，）故选项B正确；对于C，因为 ，所以 处的切线斜率， ，而 ，所以 ，
从而 ，又 是线段 中点，所以 是线段 的中点，又 ，
所以 ，所以C正确.
对于D，因为 ，所以直线 的方程为 ，令 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时，最小值为4，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
31．（2023·陕西西安·统考一模）若抛物线 上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的
值为______.
【答案】2或18
【分析】由抛物线的定义得点A的坐标，代入抛物线的方程求解即可.
【详解】∵设抛物线的焦点为F，则 ，准线l方程为： ，
∴由抛物线的定义知， ，
∴点A的横坐标为 ，则 ，
又∵点A在抛物线上，
∴ ，解得： 或 .
故答案为：2或18.
32．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线E： 的焦点为F，直线l的倾斜角 ，l与抛物线交于
， 两点，且 ，过F作l的垂线，垂足为D，P为抛物线上任意一点，则 的最
小值为______．【答案】8
【分析】先设出直线l的方程并代入抛物线方程，再利用根与系数的关系及已知条件得到直线l过点
，进而得到D在以FG为直径的圆的 上运动，最后利用抛物线的定义、三角形的三边关系及垂线段最短
求解．
【详解】如图，
设直线l与x轴的交点为 ，则可设l的方程为 ，
联立 ，整理得 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 或 （舍去），G的坐标为 ．
∵ ，直线l的倾斜角 ，点D在以FG为直径的圆的 上运动分别过P，D作准线的垂线，垂足
分别为点H，I，如图
根据抛物线的定义知 ，
∴ ，当点P为ID与抛物线E的交点 时， 最小． ，
∵l的倾斜角 ，当 时，点D的横坐标 最小为5，此时 取最小值 ，故 的最
小值为8．
故答案为：833．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点P在D上，
PA与l垂直，垂足为A，若 ，则 的面积等于______.
【答案】
【分析】根据抛物线的焦半径可得 为等边三角形，即可求解边长进而得面积.
【详解】由 以及 可知 ,故 为等边三角形，所以 因此
故 ，所以 ，
故答案为：
34．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，圆 与 交于 两点，
其中点 在第一象限，点 在直线 上运动，记 .
①当 时，有 ；
②当 时，有 ；
③ 可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
【答案】①②
【分析】联立方程求得 ，结合 可得 ，当
时，点 三点共线，求得 ，即可求得 ，判断①；当 时，由 ，求得 的值，判断②；分情况讨论 为等腰直角三角形情况，判断③.
【详解】由圆 与 ，联立方程 ，解得 或 （舍），当 时，
，
所以 ，
从而 ，
即 ，因为点 在直线 上运动，所以 ，
则 ，
①当 时，点 三点共线，由于 ，
所以 ，所以 ，
由题意知 ，所以 ，故①正确；
②当 时，即 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，得 ，所以②正确；
③若 是等腰直角三角形，
则 或 或 为直角，
因为 ，
当 时，则 ，得 ，
此时 ， 不是等腰直角三角形，
由对称性可知当 时， 也不是等腰直角三角形，；
当 时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点 在 轴上，此时 ， ， ,
,即 ，故 不是等腰直角三角形，
综上所述， 不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即 ，因此要利用向量的坐标运算，表示
出 ，则①②即可判断；判断 是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即
分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.
四、解答题
35．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线 于 ， 两点，
且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 ，直线 ， 分别交准线 于 ， 两点，证明：以线段 为直径的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据
建立方程求出 得解；
（2）由直线方程求出 的坐标，计算 ，设 是以线段 为直径的圆上任意一点，根据
化简 ，根据对称性令 可得解.【详解】（1）设 ， ， ，
则联立 得 ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以
由 得 ，
即
所以 ，化简得 ，又 ，
所以 ，所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知 ， ， ，
所以 ， ，易得 ， ，
由题意知 ， ，
所以令 得 ， ，
即 ， ，
所以设 是以线段 为直径的圆上得任意一点，则有 ，
即 ，
由对称性令 得 ，所以 或
所以以线段 为直径的圆经过定点，定点坐标为 与 .
【点睛】关键点点睛：求出 的点的坐标，计算出 为定值 ，是解题的关键之一，其次写出以 为直
径的圆的方程，根据圆的方程 ，由对称性，令 求定点是解题的关键.
36．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知抛物线 的焦点为F，点F关于直线
的对称点恰好在y轴上．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线 与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，若 ，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由题意得 ，设F关于直线 的对称点为 ，根据题意列出方程组，解之即可
求解；
(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB的垂直平分线方程为
，进而得到 ，利用函数的单调性即可求解.【详解】（1）由题意得 ，设F关于直线 的对称点为 ，则 ，解得
，
∴抛物线E的标准方程为 ．
（2）由 可得 ，设 ， ，则 ， ，
∴ ，
，∴线段AB的中点坐标为 ，则线段AB的垂直平分线方程为
，令 ，得 ，故 ，
又 ，得 ．
∴ ，令 ，
则 ， ，∴ ，
易知函数 在 上单调递增，∴当 时， 取得最小值，
此时 ，故 的最大值为 ．
37．（2023·广东广州·统考二模）已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，且与 轴交于点 ，
过点 ， 分别作直线 的垂线，垂足依次为 ， ，动点 在 上.(1)当 ，且 为线段 的中点时，证明： ；
(2)记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）取 的中点 ,连接 .利用几何法，分别证明出 , 为 的角平分线，即可证
明；
（2）利用“设而不求法”分别表示出 ，解方程求出 .
【详解】（1）如图示：
当 时， 恰为抛物线 的焦点.
由抛物线的定义可得： .
取 的中点 ,连接 ,则 为梯形 的中位线，所以 .
因为 为 的中点,所以 ,所以 .
在 中，由 可得： .
因为 为梯形 的中位线，所以 ，所以 ，
所以 .同理可证： .
在梯形 中， ,
所以 ，所以 ，
所以 ,即 .
（2）假设存在实数 ，使得 .
由直线 与抛物线 交于 ， 两点，可设 .
设 ,则 ，消去 可得： ，所以 ， .
则
.
而 .
所以 ，
解得： .
38．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线 ，其焦点 与准线的距离为 ，若直线 与 交于
两点（直线 不垂直于 轴），且直线 与 另一个交点为 ，直线 与 另一个交点 .
(1)求抛物线 的方程；(2)若点 ，满足 恒成立，求证：直线 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点和准线之间距离可得 的值，由此可得抛物线方程；
（2）设 ， ，由 可知 ，利用斜率公式进行化简，可求得
；将直线 方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求得 点坐标，同理可得 点坐标，由此可求得直
线 方程，化简其方程为 ，根据直线过定点的求法可得定点坐标.
【详解】（1） 抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，即 ，
抛物线 的方程为： .
（2）由（1）知： ，
设 ， ，其中 ， ， ，
，且直线 的倾斜角均不为 ， ，
即 ， ，
， ，即 ；
直线 方程为： ，即 ，
由 得： ，
设 点纵坐标为 ，则 ，即 ，
将 代入直线 方程得 点横坐标为： ， ；同理可得： ， ，
直线 方程为： ，即 ；
， 直线 方程为： ，
则当 时， ， 直线 恒过定点 .
