专题14圆锥曲线的综合问题（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题14圆锥曲线的综合问题-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题14 圆锥曲线的综合问题 一、单选题 x2 y2  1 1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线y2 2pxp 0的焦点是双曲线3p p 的一个焦点，则 p ( ) A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解析】  p  ，0 抛物线y2 2pxp 0 的焦点是   2  ， x2 y2  1   双曲线3p p 的一个焦点是 2 p，0 ， p 2 p， 由条件得 2 解得 p 16. 故选：D. 2．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积为 ，则 的值为 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 抛物线 的准线为 ， 双曲线 的两条渐近线为 ， 可得两交点为 ， 即有三角形的面积为 ，解得 ，故选A．3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆 与双曲线 有公共点P，则P与双 曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A．48 B．24 C．2 D． 【答案】B 【解析】 结合椭圆性质,可以得到 建立方程 ,得到点P的坐标为 , 故 ,故选B. mn0 mx yn0 nx2 my2 mn 4．（2019·湖北省高二期中）若 ，则方程 与 所表示的曲线可能是图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 x2 y2  1 mx yn0 即为直线 y mxn ， nx2 my2 mn 即为曲线 m n ，mn0. x2 y2  1 对于A选项，由直线方程可知，m0，n0，则曲线 m n ，mn0表示圆或椭圆，A选项错误； x2 y2  1 对于B选项，由直线方程可知，m0，n0，则曲线 m n ，mn0不存在，B选项错误； x2 y2  1 对于C选项，由直线方程可知，m0，n0，则曲线 m n ，mn0表示焦点在x轴上的双曲线， C选项正确； x2 y2  1 对于D选项，由直线方程可知，m0，n0，则曲线 m n ，mn0表示焦点在 y 轴上的双曲线， D选项错误. 故选：C. x2 8y 5 5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线 的焦点为圆心， 为半径的圆，与直2x ym0 m 线 相切，则 （ ） 1 9 1 9 3 7 7 A． 或 B． 或 C． 或 D．-3或 【答案】C 【解析】 x2 8y 0,2 抛物线 的焦点为 , x2 8y 5 0,2 r  5 以抛物线 的焦点为圆心, 为半径的圆可得:圆心为 ,半径 ， 2x ym0 由直线 与圆相切,可得: |02m| d   5 圆心到直线的距离 41 , m3 7 解得 或 . C 故选: . x2 y2  1 6．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程4t t1 的曲线为C，下面四个命题中正确的个数 是 1t 4 ①当 时，曲线C不一定是椭圆； t 4或t1 ②当 时，曲线C一定是双曲线； 5 1t  ③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 2 ； t 4 ④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 . A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】5 t  对于①，当 2 时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确 t 4 t 1 对于②，当 时表示焦点在y轴上的双曲线，当 曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，所以一定是双曲 线，所以②正确 4t 0  t10 对于③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 ，解得 5 ，所以③正确  1t  4t t1  2 4t 0  对于④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 t10 ，解得 t 4 ，所以④正确 综上，四个选项都正确 所以选D x2 y2  1 7．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线x2 2py(p0)的准线被双曲线 3 2 截得的弦长为 6，则该抛物线的焦点坐标是( )  1   1 0, 0,     A． 32 B．(0,32) C． 2 D．(0,2) 【答案】D 【解析】 x2 y2  1 因为抛物线x2 2py(p0)的准线被双曲线 3 2 截得的弦长为6 2  p     p 32  2  所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为 3, ，代入双曲线中  1  2  3 2 p 4 0,2 得 ，所以焦点坐标为故选：D x2 y2  1 8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线y2 4 3x的准线与双曲线a2 b2 的两条渐近线分 2 3 别交于A,B两点若双曲线的离心率是 3 ，那么 AB （ ） 4 2 3 A． 2 B．3 C． 2 D． 3 【答案】A 【解析】 y2 4 3x x 3 抛物线 的准线 . c 2 3 b 3 3  ,c2 a2 b2   y  x  a 3 ， a 3 ，因此双曲线的渐近线方程为： 3 ， x 3,  双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：  3 ，得 根据双曲线的对称性可知： y  x  3 y 1,AB 2 故选：A x2 y2 x2  1  y2 1 9．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆 6 2 和双曲线 3 的公共焦点为F,F ,P 1 2 cosFPF 是两曲线的一个公共点,则 1 2的值等于 1 1 A．3 B．4 1 3 C．9 D．5 【答案】A 【解析】 由题意知F（﹣2，0），F（2，0）， 1 2 x2 y2  9   6  2 1   x2  2   解方程组 x2  y2 1 ，得  y2  1 ．  3  2 3 2 2    3 2 2    3 2 2   ，  PF 2 ，  PF 2 ，  取P点坐标为 2 2 ， 1  2 2 ， 2  2 2 ，        3 2  3 2  1 2 2  2 2 2    cos∠FPF = 1 2 = ． 1 2  3 2  1  3 2  1 2   2   1 2 2 2 2     3 故选A． 10．（2019·福建省高三一模（理））如图，点 是抛物线 的焦点，点 , 分别在抛物线 和圆 的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，则 周长的取值范围是( )A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），准线方程为y＝﹣1， 圆（y﹣1）2+x2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r＝2， ∴|FB|＝2，|AF|＝y +1，|AB|＝y ﹣y ， A B A ∴三角形ABF的周长＝2+y +1+y ﹣y ＝y +3， A B A B ∵1＜y ＜3， B ∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）． 故选：B． 二、多选题 x2 y2  1 11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程3t t1 所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误 的是（ ） C 1t 3 C 1e 2 A．若 为椭圆，则 B．若 是双曲线，则其离心率有 C t 3 t 1 C y 1t 2 C．若 为双曲线，则 或 D．若 为椭圆，且长轴在 轴上，则 【答案】AD 【解析】x2 y2  1 若t 2，方程3t t1 即为x2  y2 1，它表示圆，A错； x2 y2  1 对于选项B，若t 1，则方程可变形为3t 1t ，它表示焦点在x轴上的双曲线； 1t (3t)2 2 e= 1+  1  2  2 3t 3t t3 ， 1e 2 y2 x2  1 若t 3，则方程可变形为t1 t3 ，它表示焦点在y轴上的双曲线； t3 (t1)2 2 e= 1+  1  2  2 t1 t1 t1 ， 1e 2 ，故 B 正确； x2 y2  1 对于选项C，若t 1，则方程可变形为3t 1t ，它表示焦点在x轴上的双曲线； y2 x2  1 若t 3，则方程可变形为t1 t3 ，它表示焦点在y轴上的双曲线，故C正确； x2 y2  1 对于选项D，若2t 3，则03t t1，故方程3t t1 表示焦点在y轴上的椭圆； x2 y2  1 若1t 2，则0t13t ，故3t t1 表示焦点在x轴上的椭圆，则D错； 故选：AD x2 y2 x2 y2 M：  1(a b0) N：  1 12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆 a2 b2 ，双曲线 m2 n2 ． 若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论 正确的是（ ） e 31 e2 A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率     AF AF 0 BF BF 0 C．椭圆上不存在点A使得 1 2 D．双曲线上存在点B使得 1 2【答案】ABD 【解析】 c 3c I ,  如图，设 ，则由正六边形性质可得点  ， FF 2c 2 2   1 2 c2 3c2 b2  1 2 33 由点I 在椭圆上可得4a2 4b2 ，结合a2 b2 c2可得a2 ， b2 e  1  42 3  31  椭圆离心率 1 a2 ， 2a2 2c2   24  31 2 a2 0      cosFAF 0 AF AF 0 当点A为椭圆上顶点时， 1 2 ，此时 1 2 ； c 3c 点 I  ,  在双曲线N： x2  y2 1的渐近线上可得 n  c  3 c即 n  3, 2 2   m2 n2 m 2 2 m n2 e  1  13 2  双曲线的离心率为 2 m2 ,   BF BF 0 当点B为双曲线的顶点时，易知 1 2 . 故选：ABD.y2 2pxp 0 13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线 C ： 的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的 P Q M PQ O 直线与抛物线交于 ， 两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） C y 1 PQ A． 的准线方程为 B．线段 的长度最小为4 uuur uuur C．M 的坐标可能为 3,2 D． OPOQ3 恒成立 【答案】BCD 【解析】 焦点F 到准线的距离即为 p 2 ，所以抛物线 C 的焦点为 F1,0 ，准线方程为 x1 ，A项错误. PQ x P1,2 Q1,2 PQ 4 当 垂直于 轴时长度最小， 此时 ， ，所以 ，B项正确. y2 4x  设Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2 ，直线 PQ 的方程为 xmy1 .联立 xmy1 ，消去 y 可得 x2   4m2 2  x10 ，消去x可得 y2 4my40 ，所以 x 1 x 2 4m2 2 ， y 1  y 2 4m ，当   m1 M3,2 x x 1 y y 4 OPOQ x x  y y 3 时，可得 ，所以C正确，又 1 2 ， 1 2 ，所以 1 2 1 2 ，所以 D正确.故选：BCD 三、填空题 x2 y2  1 x2 16y 14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线 m n 的离心率为2，且一个焦点与抛物线 的焦点相 同，则此双曲线的方程是___________． y2 x2  1 【答案】 4 12 【解析】 c 抛物线x2 16y的焦点为 0,4 在y轴上,故双曲线c4,又a 2a2 , b2 c2 a2 12 故 . y2 x2  1 故双曲线的方程为 4 12 . y2 x2  1 故答案为： 4 12 y  kx2 y2 x k 15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线 与抛物线 只有一个交点，则实数 的值 为______ 1 【答案】0或 8 【解析】 k2x2 (4k1)x40 联立直线方程与抛物线方程可得： ， ①若k 0，则x4，满足题意； 1 k  ②若k 0，则(4k1)2 16k2 0，解得 8. 1 综上所述，k 0或 8.1 故答案为：0或 8 x2 y2  1 16．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆 3 2 内一点P1,1 引一条恰好被 P点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________ 2x3y50 【答案】 【解析】 Ax ,y ,Bx ,y  k 由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于 1 1 2 2 两点，斜率为 ， x2 y2 1  1 1   3 2  则 x 2 2  y 2 2 1 ，两式相减得  2  y 1  y 2  y 1  y 2 ，即  2  21 k ，所以 k  2 ，  3 2 3 x x x x 3 21 3 1 2 1 2 2 y1 x1 所以所求直线方程为 3 ，即2x3y50. 2x3y50 故答案为： . x2 y2 17．（2020·浙江省高三月考）已知直线l:ykx1k 0，椭圆 C: 4  3 1 ，点F1,0 ，若直线 A，B ABF ABF   和椭圆有两个不同交点 ，则 周长是___________， 的重心纵坐标的最大值是 ___________ 3 【答案】 8 6 【解析】 由题意知，可知 l:ykx1k 0 恒过定点 1,0 ，此点为椭圆的左焦点，记为F'. AF  AF' 2a 4, BF  BF' 2a 4 ABF 则 .所以 的周长为AB  AF  BF  AF'  AF  BF'  BF 448 Ax ,y ,Bx ,y  .设 1 1 2 2 y  y 0 y  y y  1 2  1 2 设 ABF 的重心纵坐标为 y .则 0 3 3 .联立直线与椭圆方程得  0  x2 y2   1  4 3  3  6 ，整理得 4 y2  y90 .   y kx1  k2   k 6 6k k y  y   则 36  3   1  ， 1 2 3 4k2 3   36  4  144  1  0 4 k2 k2   k2  k2 y  y 2k 2 y  1 2   0 3 4k2 3 3 3 所以 4k  .当 时，4k  2 43 4 3， k k 0 k 3 2 3 4k  3 y   当且仅当 k ，即k  2 时，等号成立，此时 0 4 3 6 ； 当 时， 4k  3     4k  3   2 4k    3   4 3 ，当且仅当4k  3 ， k0 k  k   k  k 3 2 3 k  y     即 2 时，等号成立，此时 0 4 3 6 .  3   3 y  ,00,  3 综上所述： 0 6 6 .所以 的重心纵坐标的最大值是 .     ABF 6  3 故答案为: ; . 8 6 四、解答题 x2 y2 2 C:  1(ab0) 18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆 a2 b2 过点( 2,1)且离心率为 2 . （1）求椭圆C的方程；P0,3   （2）是否存在过点 的直线 l 与椭圆C相交于A，B两点，且满足PB2PA．若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. x2 y2 14  1 y  x3 【答案】（1） 4 2 ；（2）存在这样的直线，直线方程为： 2 . 【解析】 2 1  1 （1）由已知点代入椭圆方程得a2 b2 2 c 2 e  由 2 得a 2 可转化为a2 2b2 a2 4,b2 2 由以上两式解得 x2 y2  1 所以椭圆C的方程为： 4 2 . （2）存在这样的直线.   PB2PA 当l的斜率不存在时，显然不满足 , l : y kx3 所以设所求直线方程 代入椭圆方程化简得：  12k2 x2 12kx140 12k 14 x x  x x  1 2 12k2 ① 1 2 12k2 .② 7 (12k)2 414  12k2 0,k2  4 , Ax ,y ,Bx ,y  设所求直线与椭圆相交两点 1 1 2 2   x 2x PB2PA 由已知条件 可得 2 1,③7 7 k2   综合上述①②③式子可解得 2 4符合题意, 14 y  x3 所以所求直线方程为： 2 . x2 y2  1 19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：a2 b2 (a＞b＞0)过 3 1 P(1, ) 点 2 ，离心率为2 . （1）求椭圆C的方程； 3 （2）若斜率为 2 的直线l与椭圆C交于A，B两点，试探究OA2 OB2是否为定值？若是定值，则求出 此定值；若不是定值，请说明理由． x2 y2  1 【答案】（1） 4 3 （2）是定值，7 【解析】 c 1 e  （1）由离心率 a 2，得a∶b∶c＝2∶ 3∶1， x2 y2  1 则可设椭圆C的方程为4c2 3c2 ， 3 1 3 P(1, )  1 由点 2 在椭圆C上，得4c2 4c2 ，即c2＝1， x2 y2  1 所以椭圆C的方程为 4 3 3 （2）设直线l的方程为y＝ 2 x＋n，A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，3 3 1 x 2 所以OA2＋OB2＝x2 ＋3－4 x2 + x 2 ＋3－4 2 ＝4 (x2 ＋ x 2 )＋6. 1 1 2 1 2  3 y  xn  2 由 消去y得3x2＋2 nx＋2n2－6＝0.  3x2 4y2 12 3 2 3 2n2 6 当Δ＞0时，x 1 ＋x 2 ＝－ 3 n，x 1 x 2 ＝ 3 ， 4n2 4n2 12 x2 x 2  (x x )2－2x x＝  从而 1 2 1 2 1 2 3 3 ＝4， 所以OA2＋OB2＝7，为定值． C: y2 4x 20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线 . P C Q(2,3) P Q y （1）若 是抛物线 上任一点， ，求点 到 和 轴距离之和的最小值； ABC C C F ABC   （2）若 的三个顶点都在抛物线 上，其重心恰好为 的焦点 ，求 三边所在直线的斜率 的倒数之和. 101 【答案】（1） （2）0 【解析】 Q y |PQ||PF |1|QF |1 10 1 （1）由抛物线定义可知：P到 和 轴距离之和 ， Q,P,F 当 三点共线时，取最小值.  y2   y2   y2  A 1 ,y  B 2 ,y  C 3 ,y  （2）设  4 1  ，  4 2  ，  4 3  ，∵ F(1,0) ∴ y  y  y 0 . 1 2 3 y2  y2 1 2 1 y  y 1 y  y 1 y  y 4 又   1 2 ，同理：  2 3 ，  1 3 k y  y 4 k 4 k 4 AB 1 2 BC AC1 1 1   0 ∴k k k AB BC AC x2 y2  1  3 21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆 C: a2  b2 1ab0 经过点   3, 2   ，    1, 2    ， 点A是椭圆的下项点. C （1）求椭圆 的标准方程； A l l y  x E F OE  OF l （2）过点 且互相垂直的两直线 1， 2与直线 分别相交于 ， 两点，已知 ，求直线 1 的斜率. x2  y2 1 【答案】（1） 4 （2）1 2 【解析】  3 1  1  a2 4b2 （1）由题意得  1 3 ，解得 a2 4，   1  a2 4b2 b2 1 x2  y2 1 所以椭圆C的标准方程为 4 ； A0,1 l l l : y k x1 y  x （2）由题意知 ，直线 1， 2的斜率存在且不为零，设直线 1 1 ，与直线 联立方 y k x1  1 1   1 E ,  程有 y  x ，得  k 1 k 1  . 1 1     1 1 F ,  设直线 1 ，同理  1 1  ， l : y  x1  1  1   2 k  k k  1 1 11 1  因为 ，所以 k 1 1 ， 1  1 OE  OF k 1 1 1 1  , k  0 k 1 1 1 k ① 1  1 1 无实数解； k 1 1 1 1  ,k  2,k2 2k 10 k 1 1 1 k 1 1 ② 1  1 1 ，解得 ， k k 1 2 1 1 l 1 2 综上可得，直线 1的斜率为 . C y2 2px(p 0) F F l 22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线 与抛物 3 AB 5 线C交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为2 ， . （Ⅰ）求抛物线C的方程； l l C （Ⅱ）若直线 的倾斜角为锐角，求与直线 平行且与抛物线 相切的直线方程. 1 y  2x 【答案】（Ⅰ）y2 4x（Ⅱ） 2 【解析】 A(x ,y ) B(x ,y ) （Ⅰ）设 1 1 ， 2 2 ， 3 x x 3 1 2  因为AB的中点的横坐标为2 ，所以 2 2. AB  AF  BF  px x 5 根据抛物线定义知 1 2 . p35 p 2 所以 ，解得 ，C y2 4x 所以抛物线 的方程为 . l yk(x1) k 0 （Ⅱ）设直线 的方程为 ， . y2 4x 则由  y k(x1) 得k2x2   2k2 4  xk2 0. 2k2 4 2k2 4 x  x  3 所以 1 2 k2 ，即 k2 ，解得k 2. l y 2xb 设与直线 平行的直线的方程为 ， y2 4x  由 y 2xb 得 4x2 (4b4)xb2 0 . 1 b 依题知(4b4)2 16b2 0，解得 2. 1 y  2x 故所求的切线方程为 2. C:x2 2py(p 0) P P 23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点 在抛物线 上，且点 的纵坐标 为1，点P到抛物线焦点F 的距离为2 C （1）求抛物线 的方程； y H F l C A B （2）若抛物线的准线与 轴的交点为 ，过抛物线焦点 的直线 与抛物线 交于 ， ，且 | AF ||BF | AB HB ，求 的值. x2 4y 4 【答案】（1） （2） 【解析】 P(x ,1) （1）设 0 ，由抛物线定义，点 P 到抛物线焦点 F 的距离为2p 1 2p2 故 2 C x2 4y 故抛物线 的方程为： ； x2 4y F(0,1) y 1 H(0,1) （2）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ， ； Ax ,y  Bx ,y  设 1 1 2 2 ， AB y kx1 x2 4kx40 直线 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ， x x 4k x x 4 ∴ 1 2 ， 1 2 ，…① k k  1 AB HB 由 ，可得 AB HB ， y 1 y 1 k k  1 k  2 又 AB AF x ， HB x ， 1 2 y 1 y 1 1  2 1 ∴ x x ， 1 2 y 1y 1x x 0 ∴ 1 2 1 2 ， 1 1  x2 1 x2 1 x x 0    即4 1 4 2  1 2 ， 1 1 x2x2   x2 x2 1x x 0 ∴16 1 2 4 1 2 1 2 ，…② x2 x2 16 把①代入②得， 1 2 ， 1 1 | AF ||BF | y 1 y 1  x2 x2  164 则 1 2 4 1 2 4 .