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高一数学试卷
一选择题：本大题共
､
8 小题，每小题5 分，共计40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若
（为虚数单位），则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 设
为两个非零向量，则“
”是“存在正数
，使得
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 正三棱锥就是正四面体
B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的
D. 七面体可以有10 个顶点，5 条侧棱
4. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为
，过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为16 的正
方形，则该圆柱的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
，
则
的形状为（ ）
A. 钝角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
6. 欧拉公式
（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，
它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简
的结果为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知
为
的垂心，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数
学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到
的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（ ）
A. 该石凳的表面积为
B. 该石凳的体积为
C. 有内切球，且内切球的体积为
D. 有外接球，且外接球的表面积为
二､多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若
，则实数
的取值范围是
B. 若复数
满足
，则复数
在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
C. 复数
在复平面内对应的点不可能在第二象限
D. 设
均为复数则
10. 在
中，角
所对的边分别为
.若
，则（ ）
A.
时，
外接圆周长为
B.
时，
的面积为
C.
时，
一定大于
D.
时，
有两解
11. 如图是底面半径为3 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点
滚动，当这个圆
锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3 周，则（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 圆锥的体积为
C. 若一蚂蚁从点
出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点
，则爬行的最短距离为
D. 圆锥的外接球与内切球半径比值为
三､填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.
12. 边长为1 的正六边形的直观图的面积是__________.
13. 已知平面向量
，满足
，
，则向量
在向量
上的投影向量为
__________.
14. 已知向量
，函数
，若函数
在
内有两个不同的零点，则实数
的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数
满足
.
（1）求
；
（2）若
是实系数一元二次方程
的一个根，求方程的另一个根和
的值.
16. 在平面直角坐标系中，
，设
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
与
的夹角是钝角，求
的取值范围.
17. 如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正
三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重
（不包含盒子的质
量），取铁的密度为
．
（1）试问该盒中有多少个这样的零件？
（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少
的材料？
18. 在锐角
中，角
的对边分别为
.
（1）求角
；
（2）若
边中线
长为
，求
的面积；
（3）当
时，
的面积为
，周长为
，求
的取值范围.
19. 如图所示，设
是平面内相交成
的两条射线，
分别为
同向的单位向量，
定义平面坐标系
为
仿射坐标系.在
仿射坐标系中，若
，则记
.
（1）
仿射坐标系中，
为非零向量，
，以下两个结论①若
，则
；②若
，则
是否一定成立？（请说明理由）
（2）在
仿射坐标系中，若
，且
与
的夹角为
，求
的值；
（3）如图所示，在
仿射坐标系中，
分别在
轴，
轴正半轴上，
，点
分别为
中点，求
的最小值.
