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福建龙岩第一中学等校2025-2026 学年第二学期期中测试
高一数学试题
一、单选题
1．已知复数z 满足
（i 为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．3
B．
C．
D．4
2．如图，点O 为正六边形
的中心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知a，b 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
4．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
5．已知向量，满足
，
，
，则在上的投影向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面积为S．若
，
，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在菱形
中，
，
，P 为菱形
所在平面内的动点，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
8．已知正四棱台
的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q 分别是侧棱
，
的中点，经过P，Q 作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．若复数
，则（ ）
A．z 的虚部为7
B．z 在复平面内对应的点位于第三象限
C．
D．z 是方程
的一个根
10．已知
的内角
的对边分别为
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
是锐角三角形
C．若
，则
D．若满足
，
的
有两个，则边长
的取值范围是
11．如图，在棱长为2 的正方体
中，Q 为
的中点，动点P 在侧面
内且满足
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则四面体
的体积为
B．若
，则
C．若存在点P，使
平面
，则
长度的最小值是
D．若
，则
的最小值为
三、填空题
12．如图，
的斜二测画法的直观图是
，其中
，那么
的面积为____．
13．在梯形
中，
，
，设
（
，
），则
____．
14．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若
，且
，则
面
积的最大值为____．
四、解答题
15．已知向量
，
．
(1)若向量
，求实数k 的值；
(2)若向量
满足
，求
的值．
16．已知复数
（
），且
为实数，其中i 为虚数单位．
(1)求复数z；
(2)在复平面内，设复数
，
，
对应的点分别为A，B，C，若四个点A，B，C，D 构成平行四
边形
，求点D 对应的复数．
17．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
的平分线交边
于点D，且
，
，求
的面积．
18．如图，在正方体
中，E，F，P 分别为棱
，
，
的中点．
(1)求证：D，B，F，E 四点共面．
(2)设平面
平面
，求证：
．
(3)棱
上是否存在一点M，使
平面
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
19．在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c．
(1)已知
．
（ⅰ）求角B；
（ⅱ）若
，且
为锐角三角形，求
面积的取值范围．
(2)设P 为
内一点，满足
，若
，
，求实数的最小值．
参考答案
1．A
【详解】
，故
，故虚部3.
2．D
【详解】
.
3．B
【详解】已知a，b 是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，
若
，
，则
或
，A 选项错误；
若
，
，
，则由线面平行的性质定理可知，
，B 选项正确；
若
，
，则
或
，C 选项错误；
若
，
，则
或与异面，D 选项错误.
4．C
【详解】在
中，由余弦定理得
，
将已知条件代入，得
，
即
，化简得
，
整理得
，因式分解得
，所以
或
，
因为三角形边长为正数，所以
.
故选项C 正确.
5．C
【详解】
，所以
，
所以在上的投影向量等于
.
6．C
【详解】由条件
可知，
，
，
所以
，根据正弦定理得，
，
因为
，所以
.
7．B
【详解】
如上图，以菱形的对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系
，
，
，
，
，
设
点坐标为
，
由
得
，化简得
，
由直线方程的性质知：
过
的中点
及
，
又因为三角形
是等边三角形，，所以
是
的垂直平分线，
所以
，
由两点之间直线段最短，得
的最小值为
，
，
的最小值为
.
8．D
【详解】由题意可知，设下底面中心为
，上底面中心为
，
则
，又因为下底面是边长为6 的正方形，
所以
到下底面各顶点的距离为
，
同理
到上底面各顶点距离为
，
设外接球球心为
，它在直线
上，
设
到
的距离为，则外接球半径满足：
，
，
所以
，解得：
，
所以球心
与下底面中心
重合，半径
，
因为
，
是侧棱
和
的中点，
所以过侧棱中点的截面平行于底面，为正方形，
边长等于上下底面边长的平均值
，所以
，
因为侧棱长
，
又
，
所以
，同理
，
在等腰
中，
，
，
作
于
，则
为
中点，
，
所以
，
即球心
到直线
的距离为2，
过直线
作球的截面，截面圆半径为
，
其中
为球心到截面的距离，当截面圆面积最小时，
最大，
且最大值为
到直线
的距离2，此时
，
，所以截面面积的最小值为
.
9．AD
【详解】
，其虚部为，A 选项正确，
在复平面对应的点为
，在第二象限，B 选项错误.
，C 选项错误.
，D 选项正确.
10．ACD
【详解】A 选项：由正弦定理
（
为
外接圆半径，
），
得
，
，
.
若
，则
，即
，故A 正确.
B 选项：由向量数量积定义，
，仅能推出
，
即角
为锐角，无法保证角
均为锐角，故B 错误.
C 选项：由余弦定理得
，变形得
.
代入已知条件
，得
，解得
.
∵
，故
，
∴
，故C 正确.
D 选项：设
，
，角
，
若
有两个解，则需要满足
，
代入数据得
，即
，故D 正确.
11．ABD
【详解】对于A，当
时，P 是线段
的中点，此时点Q 到平面
的距离为2，所以
，A 正确．
对于B，当
时，
，取线段
的中点M，则
，正方
体中
，所以
，B 正确．
对于C，取线段
的中点R，线段
的中点S，当点P 位于线段
上时，
平面
，
平面
，所以
平面
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
平面
，
平面
，
此时有
，
，
，
，所以
为直角三角形，当P 位于点S 时，
长度的最小值是
，C 错误．
对于D，当
时，点
位于线段
上，把平面
翻折展开至平面
，当点Q，P，A 三点共线
时，
取最小值，
在
中，
，
，
，由余弦定理得
，所
以
，
又
为等边三角形，所以在
中，
，所以
，
所以
，所以
，D 正确．
12．
【详解】斜二测画法中直观图坐标系
的夹角为
，
由题意
，分析可得
为等腰直角三角形，
其面积
.
斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的
倍，
所以原图形的面积
.
13．
/
【详解】由于
，故
是
的中点，故
,
故
14．16
【详解】
，可得
，
，即
，
．
令
，易知
，则
，
因此可得
，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得
，
，又
，
的面积
，当且仅当
，即
时，等号成立，因此
面积的最大值为
16．
15．(1)
(2)
【详解】（1）由
，
，
得
，
．
因为
，所以
，
解得
．
（2）由
，
，得
，
，
由
，得
，
，解得
，
所以
，则
．
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
，
则
，所以
，所以
．
（2）由题意可知
，
，
，所以
，
，
．
设
，又
为平行四边形，所以
，
即
，解得
，
，
故
，即点D 对应的复数为
．
17．(1)
(2)
【详解】（1）
，
，
即
，即
，
，
，
．
（2）在
中，由正弦定理得，
．
在
中，由正弦定理得，
．
两式相除可得
，即
．
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，解得
，
．
的面积
．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）证明：连接
．
因为
，
分别为棱
，
的中点，
所以
，又在正方体
中，
且
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
，
所以
，
，
，
四点共面．
（2）证明：由（1）知
，又
平面
A1B1C1D1，
平面
A1B1C1D1，
所以
平面
A1B1C1D1．
因为平面
平面
，
平面
，所以
．
（3）存在，且
．
理由如下：取
的中点
，连接
，
．
因为
，
分别为
，
的中点，
所以
，
，
又
，
，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
．
设
为
的中点，所以
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
故存在所求的点
，且
．
19．(1)（ⅰ）
；（ⅱ）
(2)
【详解】（1）（ⅰ）因为
，
所以由正弦定理得
，
又
，
所以
，
由
，
，所以
，
即
，又
，所以
，得
．
（ⅱ）因为
是锐角三角形，且
，所以
，
，
又
，所以
，
则
，
因为
，所以
，则
，
从而
，故
面积的取值范围是
．
（2）因为
，
所以
，所以
，
所以
，所以
为直角三角形，
．
，
设
，
，
（
，
，
），
则由
，得
，
由余弦定理得
，
，
，
故由
，得
，
即
，而
，
，故
，
当且仅当
，结合
，解得
时，等号成立，
又
，所以
，解得
或
（舍去）．
