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高一数学试卷
一选择题：本大题共
､
8 小题，每小题5 分，共计40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若
（为虚数单位），则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则求解.
【详解】因为
，所以
.
2. 设
为两个非零向量，则“
”是“存在正数
，使得
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】
为两个非零向量，
，设
两向量的夹角为
.
充分性：
，
，即
，解得
；
不一定存在正数
，使得
成立，即充分性不成立.
必要性：
存在正数
，使得
成立，
；
，即必要性成立.
“
”是“存在正数
，使得
”的必要而不充分条件.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 正三棱锥就是正四面体
B. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 圆锥的轴截面是圆锥所有过顶点的截面中面积最大的
D. 七面体可以有10 个顶点，5 条侧棱
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间几何体的结构特征，即可求解ABD,根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公
式
即可判断C.
【详解】对于A,如果正三棱锥侧棱与底面边长不相等，就不是正四面体，故A 错误；
对于B, 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故B 错误；
对于C, 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长，
设该等腰三角形顶角为
，则截面三角形面积为
，
显然当
，面积
最大，故当圆锥的轴截面三角形顶角大于
时，
圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故C 错误；
对于D, 正五棱柱有七个面，10 个顶点，五条侧棱，D 正确.
4. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为
，过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为16 的正
方形，则该圆柱的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为
，母线长为，根据题意求出
，进而利用圆柱的体积公式即可求解.
【详解】设圆柱的底面半径为
，母线长为，由题意得：
，
因为过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为16 的正方形，
所以
，即
，所以
，
所以该圆柱的体积为
，
故选：D.
5. 在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且
，
则
的形状为（ ）
A. 钝角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由
可得
，由
可得
，确定
是等边三
角形.
【详解】由
得
，
所以
，又
，所以
.
由
，根据正弦定理可得
，
又
，
，
所以
，又
，所以
，
由正弦定理可得
.因为
，所以
是等边三角形.
故选：D.
6. 欧拉公式
（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，
它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简
的结果为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】依题意，
7. 已知
为
的垂心，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】由垂心的性质得到向量的数量积，解方程组求得
，最后求
.
【详解】因为
是
的垂心，所以
，
因为
，
所以
，
，即
，即
，
，
，
，
所以
，
.
8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数
学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到
的十四面体，且它所有的棱长都为2.则下列结论中，错误的是（ ）
A. 该石凳的表面积为
B. 该石凳的体积为
C. 有内切球，且内切球的体积为
D. 有外接球，且外接球的表面积为
【答案】C
【解析】
【分析】由题目要求，还原正方体，在正方体中观察各选项中需要用到或者求解的线段、三角形和四边形，
分别求出十四面体的表面积、体积，以及是否存在内切球及外接球.
【详解】A 选项，该石凳由6 个正方形和8 个正三角形围成，它的表面积为
，A 正确；
B 选项，如图，
该石凳由一个棱长为
的正方体截去8 个全等的正三棱锥，其体积为
，B 正确；
C 选项，该多面体由6 个正方形和8 个正三角形围成，到这6 个正方形距离相等的点为原正方体的中心，
设该点为
，
到这6 个正方形距离为
，
设
到8 个正三角形的距离为，则
，解得
，
所以该多面体不存在内切球，C 错误；
D 选项，该多面体存在外接球，其球心为原正方体的中心，它到每个点的距离为原正方体面对角线的一半，
即2，
所以球表面积为
，D 正确.
二､多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若
，则实数
的取值范围是
B. 若复数
满足
，则复数
在复平面内对应的点所构成的图形的面积为
C. 复数
在复平面内对应的点不可能在第二象限
D. 设
均为复数则
【答案】BD
【解析】
【分析】由复数的概念计算判断A；由复数的几何意义计算判断B；由复数在复平面内点坐标的特点列不
等式计算判断C；设
，由共轭复数及复数的乘法计算判断D.
【详解】对于A，若
，
则
，解得
，故A 错误；
对于B，由复数模的几何意义可知，若复数
满足
，
则复数
对应复平面上以原点为圆心，内半径为 2，外半径为 3 的圆环，
所以面积为
，故B 正确；
对于C，若复数
在复平面内对应的点在第二象限，
则
，解得
，
所以当
时，复数
在复平面内对应的点在第二象限，
故C 错误；
对于D，设
，
则
，
所以
所以
，故D 正确.
10. 在
中，角
所对的边分别为
.若
，则（ ）
A.
时，
外接圆周长为
B.
时，
的面积为
C.
时，
一定大于
D.
时，
有两解
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正余弦定理逐个分析求解即可.
【详解】选项A，由正弦定理
（
为
外接圆半径），代入
，
，外接圆周长
，A 正确；
选项B，由余弦定理
，代入
得，
判别式
，方程无解，三角形不存在，B 错误；
选项C，代入
到余弦定理得
，
解得
或
，均满足
.由正弦定理
，得
，C 正确；
选项D，
，
，大边对大角，仅存在一个解；
或由余弦定理得
，仅一个正根，三角形只有一解，D 错误.
11. 如图是底面半径为3 的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点
滚动，当这个圆
锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3 周，则（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 圆锥的体积为
C. 若一蚂蚁从点
出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点
，则爬行的最短距离为
D. 圆锥的外接球与内切球半径比值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据圆锥的性质可求解母线长，进而根据体积公式以及侧面积公式即可求解AB，根据展开图，
即可求解C，利用勾股定理即可求解球半径.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为
，则以
为圆心，
为半径的圆的面积为
，圆锥的侧
面积
，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3 周，
所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
，解得
，所以圆锥的母线长为9；圆锥的侧面积
，故A 正确；
圆锥的高
，则圆锥的体积
，故B 错误，
如图为圆锥沿
的侧面展开图，连接
，
设
，则
，故
，
则
为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为
，故C 正确.
设外接球半径
，则有
，解得
；
设内切球半径r，则有
，解得
；所以
三､填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共计15 分.
12. 边长为1 的正六边形的直观图的面积是__________.
【答案】
【解析】
【详解】由于
边长为1 的正六边形的面积为
，
故其直观图的面积为
.
13. 已知平面向量
，满足
，
，则向量
在向量
上的投影向量为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
两边平方后求出
，再利用投影向量的公式求解.
【详解】
，
其中
，所以
，解得
，
则
在
上的投影向量为
.
14. 已知向量
，函数
，若函数
在
内有两个不同的零点，则实数
的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】函数
在
内有两个不同的零点，等价于其对应的方程在给定区间内有两个
不等实根，进而转化为两个函数在给定区间内有两个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.
【详解】
，因为函数
在
内有两个零点，
所以
在
内有两个实根，得
，
即
，
即函数
在
上的图象与直线
有两个交点，
当
时，
，画出
在
上的图象如下，
结合函数图象可知，函数
在区间
上的图象与直线
有两个交点时，所以
，即
的取值范围是
.
【点睛】
四､解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数
满足
.
（1）求
；
（2）若
是实系数一元二次方程
的一个根，求方程的另一个根和
的值.
【答案】（1）
（2）
，
.
【解析】
【分析】（1）结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解；
（2）根据已知条件，推得
也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解.
【小问1 详解】
设
，
因为
，则
，
故
.得
，故
；
【小问2 详解】
因为
是实系数一元二次方程
的一个根，
若
，则
也为实系数一元二次方程
的一个根，
故
，解得
，故
.
16. 在平面直角坐标系中，
，设
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
与
的夹角是钝角，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
.
【解析】
【分析】（1）求出
的坐标，再根据两向量的数量积为
，计算即得答案；
（2）由两向量夹角为钝角，可得两向量数量积小于0，且它们不能共线，列出不等式组求解即得
的取值
范围.
【小问1 详解】
由题意得，
，
则
，
又
，所以
，解得
；
【小问2 详解】
，
由
与
的夹角是钝角，可知
且
与
不共线，
由
得
，解得
；
又由
与
共线可得
，得
，
故
的取值范围为
.
17. 如图，某铁质零件由一个正三棱台和一个正三棱柱组成，已知正三棱柱的底面边长与高均为1cm，正
三棱台的下底面边长为2cm，且正三棱台的高为1cm，现有一盒这种零件共重
（不包含盒子的质
量），取铁的密度为
．
（1）试问该盒中有多少个这样的零件？
（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，试问共需涂多少
的材料？
【答案】（1）100 个
（2）
【解析】
【分析】（1）求出正三棱柱和正三棱台的体积，得到零件的质量和盒中零件数；
（2）作出辅助线，求出零件的表面积，得到答案.
【小问1 详解】
设等边三角形的边长为
，则由三角形面积公式可得该三角形面积为
，
故正三棱柱的体积
，
正三棱台的体积
，
所以该零件的质量为
，
所以该盒中共有零件
个．
【小问2 详解】
如图，设D，
分别为三棱台所在棱的中点，O，
分别为三棱台上、下底面的中心，
连接
，OD，
，
．
因为
，所以
，
同理可得
，
所以
，
所以三棱台的侧面积为
，
所以一个零件的表面积为
．
因为
，
所以共需涂
的材料．
18. 在锐角
中，角
的对边分别为
.
（1）求角
；
（2）若
边中线
长为
，求
的面积；
（3）当
时，
的面积为
，周长为
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，将正切化成正余弦，再逆用和角正弦公式求解.
（2）利用向量数量积的运算律及余弦定理求出
，进而求出三角形面积.
（3）利用正弦定理及三角形面积公式，结合和差角的正弦化简，再利用余弦函数性质求出值域即可.
【小问1 详解】
在锐角
中，由
，得
，
即
，
由
，得
，
，所以
.
【小问2 详解】
由
是
边
上的中线，得
，
则
，而
，
于是
，由余弦定理得
，
又
，则
，联立解得
，经验证
为锐角三角形，
所以
的面积为
.
【小问3 详解】
由正弦定理得
，则
，
而
，令
，则
，由锐角
，得
，
因此
，由
，得
，
，
所以
的取值范围是
.
19. 如图所示，设
是平面内相交成
的两条射线，
分别为
同向的单位向量，
定义平面坐标系
为
仿射坐标系.在
仿射坐标系中，若
，则记
.
（1）
仿射坐标系中，
为非零向量，
，以下两个结论①若
，则
；②若
，则
是否一定成立？（请说明理由）
（2）在
仿射坐标系中，若
，且
与
的夹角为
，求
的值；
（3）如图所示，在
仿射坐标系中，
分别在
轴，
轴正半轴上，
，点
分别为
中点，求
的最小值.
【答案】（1）①成立，②不成立，理由见解析
（2）
（3）
.
【解析】
【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①
成立，②不成立；
（2）由
仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果；
（3）设
，以
为基底将
表示出来，得出数量积的表达式，再由
正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值.
【小问1 详解】
①成立，②不成立.理由如下：
若
，则存在非零实数
满足
，因此
，即
，所以①成立，
若
，可得
，
则
，因此
不成立，即②不成立；
【小问2 详解】
在
仿射坐标系中，由
，
可得
，且
，
所以
，
，可得
，
，
因为向量
与
的夹角为
，可得
，
解得
；
【小问3 详解】
在
仿射坐标系中，
分别在
轴，
轴正半轴上，
设
，其中
，所以
，
因为
，点
为
中点，可得
又因为
分别为
中点，可得
，
所以
，
可得
，
因为
，所以
，即
，即
，
又由向量
，且
，
所以
，
因为
，可得
，
代入得
，
又因为
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
