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福建莆田第一中学2025-2026 学年下学期第一学段考试试卷
高一数学
一、单选题
1．已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
2．已知点
，则
在
上的投影向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
4．如图，已知
中，
为
的中点，
，若
，则
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E，H 分别是边AB，AD 的中点，点F，G 分别是边BC，CD 上
的点，且
，则（ ）
A．EF 与GH 平行
B．EF 与GH 异面
C．EF 与GH 的交点一定在直线AC 上
D．EF 与GH 的交点可能在直线AC 上，也可能不在直线AC
上
6．如图，圆锥的母线
长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点
出发，沿表面爬到
的
中点
处，则其爬行的最短路线长为
，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知在
中，
，则
的形状为（ ）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或
直角三角形
8．已知正方体
的体积为
，则四棱锥
与四棱锥
重叠部分的体积
是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．设
是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．如图，这是一个正方体的平面展开图，
分别是棱
的中点，则在该正方体中
（ ）
A．
B．
与
是异面直线
C．
相交于一点
D．
11．在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
的取值范围为
三、填空题
12．在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知
，则
__________．
13．Rt
中，
为
的外接圆上一动点，则
的最大值为
__________．
14．如图，正四棱锥
中，点
和
分别为棱
和
的中点．若过A，E，F 三点的平面与侧面
的交线线段长为
，则该四棱锥的外接球的体积为__________．
四、解答题
15．已知
与的夹角
.
(1)求
的值；
(2)若向量
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围.
16．如图，有一码头
和三个岛屿
，
，
，
.
（1）求
两个岛屿间的距离；
（2）某游船拟载游客从码头
前往这三个岛屿游玩，然后返回码头
.问该游船应按何路线航行，才能使
得总航程最短？求出最短航程.
17．如图，三棱柱
中，侧面
均为菱形，
，
为
AB 的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的大小．
18．已知菱形
的边长为
，平面
外一点
在平面
上的射影是
与
的
交点
是等边三角形．
(1)求证：
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)若点
是线段
上的动点，问：点
在何处时，直线
与平面
所成的角最大？求出最大角的正
弦值，以及此时线段
的长．
19．在
中，角A，B，C 的对边分别为
的面积为．已知
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的最小值；
(3)若
分别在边
上，且
，求
面积的最小值．
参考答案
1．D
2．C
3．C
4．C
5．C
6．A
7．D
8．D
9．BC
10．ABC
11．AC
12．
13．
14．
15．(1)
(2)
16．（1）
（2）
17．(1)证明见解析；
(2)
18．(1)证明见解析
(2)
(3)点
在线段
上靠近点
的4 分点处，此时
，
19．(1)
(2)
