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高一数学学科
注意事项：
1．本题共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟．
2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．
4．结束后，只需上交答题卡．
选择题部分
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
B. 一个多面体至少有4 个面
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱
3. 已知向量
，若向量
与
的方向相反，则实数
的值为（ ）
A.
B.
C. -1
D.
4. 在
中，已知
，则
（ ）
A. 120°
B.
或
C. 60°
D.
或
5. 已知点
，
，
，则以
，
为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. 1
B.
C. 5
D.
6. 如图，矩形
是水平放置的平面四边形
用斜二测画法画出的直观图，其中
，则原四边形
中最长边的长度为（ ）
A.
B.
C. 4
D. 6
7. 如图所示，在同一个平面内，向量
，
，
满足：
，
与
的夹角为
，且
与
的夹角为
，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 设
是边长为1 的正三角形，M 是
所在平面上的一点，且满足
，
则当
取最小值时，
的值为（ ）
A.
B. 3
C.
D. 2
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对得部分分）
9. 已知复数
，其中
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
为实数，则
D. 若
为纯虚数，则
10. 若向量
，
满足
，
，则（ ）
A.
B.
与
的夹角为
C.
D.
在
上的投影向量为
11. 在
中，角
的对边分别为
为
的面积，且
，
，下列选项正确的是（ ）
A. 若
，则
有两解
B.
周长的取值范围为
C. 若
为锐角三角形，则
的取值范围是
D. 若
为锐角三角形，边
上的中线长的取值范围是
非选择题部分
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
12.
___________．
13. 已知圆锥的表面积为
，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ．
14. 已知向量
满足
，设
，其中
，则动点
的轨迹的长度是___________．
四、解答题（本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设
，复数
．
（1）若
是实数，求
；
（2）若
是关于
的方程
的一个根，求
的值．
16. 《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底
面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”
与“刍童”
的组合体中，
已知
，且三棱锥
的体积为
．
（1）求该组合体的体积；
（2）若点
为线段
上的动点，求
的最小值．
17. 如图，在梯形
中，
，点
是线段
上的动点．
（1）若
，
，
三点共线，试用
和
表示
；
（2）设
，若
与
的夹角的余弦值为
，求
．
18. 在
中，角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
，且
的外接圆半径为1，求
的面积；
（3）若
为边
上一点，且
，求
的最大值．
19. 如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
，
分别是与
轴、
轴正方向同
向的单位向量，则称平面坐标系
为
仿射坐标系．若在
仿射坐标系下
，则把有序数
对
叫做向量
的仿射坐标，记为
．
（1）若
，
，计算
的大小；
（2）若
，
，
，有同学认为“
”的充要条件是“
”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设
，
，
，若
对
恒成立，求
的最大值．
