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高一下学期期中考试
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一､选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 设集
.集合
.则
（
）
A.
B.
C.
D.
2. 若
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在
中，
，
为 CD 的中点，设
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
4. 函数
的图象关于直线
对称的图象大致是（
）
A.
B.
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C.
D.
5. 若
外接圆的半径为
，内角
的对边分别为
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
6. 若平面向量 ， ， 满足
，
，
，
，则 ， 夹角的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数
，当
时，方程
的根的个数是
（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8. 已知直四棱柱
的棱长均为
.以
为球心，
为半径的球面与侧面
的交线长为（
）
A.
B.
C.
D.
二､多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 在
中，
，则
的面积可以是（
）
A.
B. 1
C.
D.
10. 将函数
(
)的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则下列说法正确的是（
）
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A.
B. 函数
的最小正周期为
C. 函数
的图象关于点
成中心对称
D. 函数
的一个单调递减区间为
11. 已知正方体
的棱长为 1，平面
与对角线
垂直，则（
）
A. 该正方体的每条棱所在直线与平面
所成角均相等
B. 平面
截该正方体所得截面面积的最大值为
C. 直线
与平面
内任一直线所成角的正弦值的最小值为
D. 当平面
与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 一个圆台的母线长为 5，上、下底面圆直径长分别为 2，8，则圆台的高为________．
13. 已知 P 是一个圆锥的顶点，
是母线，
，该圆锥的底面半径是 1．B、C 分别在圆锥的底面上，
则异面直线
与
所成角的最小值为__________．
14. 已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，则
的取值范围为______
．
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
16. 如图，在棱长均为 2 的正三棱柱
中，
为棱
的中点．
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（1）求证：直线
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）若
为棱
上一点，且
，求直线
与平面
所成角的正切值．
17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成 3 个功能区：
区域为桃树林和
散养走地鸡，
区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，
区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知
.
（1）若
，求
和
的长度；
（2）当
为何值时，鱼塘
的面积最小，最小面积是多少？
18. 已知函数
.
（1）若集合
.
（i）若函数
为奇函数，求不等式
的解集；
（ii）若函数
为偶函数，关于 的不等式
有解，求实数
的取值范围；
（2）设
若对于区间
上的任意实
数
，不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
19. 已知复数
的三角形式是
，其中 是复数 的模， 是复数 的
辐角.当
时， 称为辐角的主值，记为
.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的
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几何意义：若
，则
.即模相乘，辐角相加.
（1）写出复数
的三角形式，并计算
（三角形式），由此归纳出
的三角形式；
（2）设复平面上单位圆内接正十六边形的 16 个顶点对应的复数依次为
（逆时针顺序），其中
.求复数
在复平面所对应不同点的个数；
（3）设复数
不全为实数，
，证明：
.
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