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高一数学试题
注意事项：
1.本试卷满分150 分，考试时间120 分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若向量
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 已知
分别为
的三个内角
的对边，若
，则角
（
）
A.
或
B.
C.
D.
3. 复数
的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线
和平面
满足
，
，
不在平面
内，则
B. 若直线
和平面
满足
，那么
与
内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 若
是两条直线，且
，那么
平行于经过
的任何平面
5. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400 米，一艘船从河岸的A 地出发，向河对岸航行．已知船的
速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，船的速度与水流速度的合速度为
，
那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直
B.
C.
D. 该船到达对岸所需时间为3 分钟
6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形
的直观图为梯形
其中
，
，
，
，以原四边形
的边
为轴旋转一周得到的几何体表面积为
（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知向量
，
，向量
在
上的投影向量的坐标为
，
在
上的
投影向量的坐标为
，则
（ ）
A. 20
B.
C. 10
D.
8. 在四棱锥
中，底面
是平行四边形，E，F 分别为棱
，
上的点，
，若
平面
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
与
的长度相等且方向相同或相反
B. 向量
的长度与向量
的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若
与
同向，且
，则
10. 下列关于非零复数
、
的结论正确的有（ ）
A. 已知
，则
、
不一定为共轭复数
B. 若
，则
C. 若z =m+1+(m−1)i(m∈R)为纯虚数，则
D.
在复平面内对应的点为
，且满足1≤|z1−
1
1+i)≤2 ，则点
所在的区域的面积为3π
11. 已知正三棱台
，上底面
边长为2，下底面ABC 边长为6，侧棱长为4，点
在侧
面
内（包含边界）运动，且
，Q 为
上一点，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A. 正三棱台
的高为
B. 高为
，底面半径为
的圆柱可以放进该棱台内
C. 点P 的轨迹长度为
D. 过点
的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1cm 的正方体），用来展示
NaCl 晶体中
的八面体配位环境：
位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的
，则该正八面体
配位多面体模型的体积是______
.
13. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知
，
为等腰梯形
内一点（含边界），则
的取值范围为___________．
14.
中，内角
所对的边分别为
，该三角形面积大小记为S，则
的最小
值为________.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量
.
（1）设
求
；
（2）若
与
垂直，求
的值.
16. 已知a，b，c 分别为
的三个内角A，B，C 的对边，若
，且
.
（1）求角C 及边c 的值；
（2）求
的取值范围.
17. 如图，
等边三角形，且点A，B 分别为线段
与
的中点.将
沿
折叠后使点O 与
点P 重合，得到四棱锥
.设点E 为线段
上一点，且
.
（1）证明：
平面
；
（2）求四棱锥
与三棱锥
的体积之比.
18. 如图在直角梯形
中，
，
，点E 为
的中点，以A 为圆心
为半
径作圆交
于点G，点P 为劣弧
（包含D，G 两点）上的一点，
与劣弧、
分别交于点F，
H．
（1）求向量
与
夹角
的余弦值；
（2）若向量
，求实数x，y 的值；
（3）求向量
与
的夹角的最大值．
19. 如图所示，
的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、
E、F 点上.岛屿A 到补给站D 的距离为岛屿A 到岛屿B 距离的
，岛屿A 和岛屿C 到补给站E 的距离相等，
补给站F 在靠近岛屿C 的
的三等分点上.设，
，
.
（1）用
，
表示，
，
；
（2）如果
，
海里，且
，求岛屿C 到补给站D 的距离；
（3）若三个岛屿围成的
的面积为
平方公里，且满足
，求岛屿A
和岛屿C 之间距离的最小值.
