文档文本内容
高一数学试题
注意事项：
1.本试卷满分150 分，考试时间120 分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若向量
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】
2. 已知
分别为
的三个内角
的对边，若
，则角
（
）
A.
或
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】在
中，
，
由正弦定理得
，
由
，得
，所以
.
3. 复数
的虚部为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数乘法运算，结合虚部概念即可求解.
【详解】因为
，
所以复数
的虚部为
.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若直线
和平面
满足
，
，
不在平面
内，则
B. 若直线
和平面
满足
，那么
与
内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 若
是两条直线，且
，那么
平行于经过
的任何平面
【答案】A
【解析】
【详解】选项A：过直线
作平面
，设
，
又∵
，∴
，又∵
，∴
又∵
且
，∴
.因此A 正确.
选项B：如果直线
和平面
满足
，那么
与
内的任何直线平行或异面，故B 错误；
选项C：平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故C 错误；
选项D：如果
，
是两条直线，且
，那么
平行于经过
但不经过
的任何平面，故D 错误.
5. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400 米，一艘船从河岸的A 地出发，向河对岸航行．已知船的
速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，船的速度与水流速度的合速度为
，
那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A. 船头方向与水流方向垂直
B.
C.
D. 该船到达对岸所需时间为3 分钟
【答案】B
【解析】
【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导
公式求得
判断B；求出船到达对岸的时间判断D.
【详解】解：如图，
是河对岸一点，且
与河岸垂直，那么当这艘船实际沿
方向行驶时船的航程最短，
，
，故C 错误；
设船头方向与
的夹角为
，则
，则船头方向与水流方向不垂直，故A 错误；
，故B 正确；
该船到达对岸的时间为
分钟，故D 错误．
故选：B.
6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形
的直观图为梯形
其中
，
，
，
，以原四边形
的边
为轴旋转一周得到的几何体表面积为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意，
，
，
，
，
，
如图，原四边形
中，
，
，
，
，
，
直角梯形
以边
为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其表面积为：
S =πC D
2+π A B
2+π(CD + AB)BC = 4π+16π+6π×
❑√(4 ❑√2)
2+2
2=56π ．
7. 已知向量
，
，向量
在
上的投影向量的坐标为
，
在
上的
投影向量的坐标为
，则
（ ）
A. 20
B.
C. 10
D.
【答案】B
【解析】
【分析】设
，借助投影向量定义计算可得
，
，解出即可得
，再
利用模长定义计算即可得.
【详解】设
，由向量
在
上的投影向量的坐标为
，
则
，
故
，即
；
由
在
上的投影向量的坐标为
，
则
，
故
，即
；
即有
，解得
，则
，
则
.
8. 在四棱锥
中，底面
是平行四边形，E，F 分别为棱
，
上的点，
，若
平面
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解.
【详解】
连接
，与
交于点
，连接
，交
于G，连接
，
由于
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以BF //OG ，由于O 是
的中点，
所以
，
过F 作FH //CE ，交
于H，则
，
因为
，所以
，
所以
.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
与
的长度相等且方向相同或相反
B. 向量
的长度与向量
的长度相等
C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
D. 若
与
同向，且
，则
【答案】BC
【解析】
【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错；
B：向量
和
的长度都等于线段AB 的长度，因此相等，对；
C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对；
D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错.
10. 下列关于非零复数
、
的结论正确的有（ ）
A. 已知
，则
、
不一定为共轭复数
B. 若
，则
C. 若
为纯虚数，则
D.
在复平面内对应的点为
，且满足
，则点
所在的区域的面积为3π
【答案】ACD
【解析】
【分析】举例说明结合共轭复数的概念和复数的乘法公式计算即可判断AB；根据复数的有关概念建立关
于
的方程组，结合复数的几何意义计算即可判断C；根据复数乘、除法运算，结合复数的几何意义计算
即可求解.
【详解】对于A 选项，不妨取
，
，则
，
但
、
不互为共轭复数，故A 正确；
对于B 选项，不妨取
，
，则
，
但
，
，即
，故B 错误；
对于C 选项，由题意知
，解得
，得
，所以
，故C 正确；
对于D 选项，因为
，
所以
表示以点
为圆心，半径为2 的圆及其内部，
表示以点
为圆心，半径为1 的圆及其外部，
所以点
所在的区域如图所示，
故点
所在的区域的面积为
，故D 正确.
11. 已知正三棱台
，上底面
边长为2，下底面ABC 边长为6，侧棱长为4，点
在侧
面
内（包含边界）运动，且
，Q 为
上一点，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A. 正三棱台
的高为
B. 高为
，底面半径为
的圆柱可以放进该棱台内
C. 点P 的轨迹长度为
D. 过点
的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】延长正三棱台侧棱相交于点
，分析可知三棱锥
为正四面体，对于A：根据正四面体
的高以及棱台的性质分析求解；对于B，根据三棱台
的高及上底面内切圆的半径即可判断；
由
得到
，进而根据等边三角形
的内切圆半径为
求得点
的轨迹，再求轨迹长
度判断C；设正四面体
的内切球的半径为
，利用等体积法得到
，再结合题意可知过点
，
，
的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D．
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点
，由题意可知：
，
在等腰梯形
中，因为
，
，
，则
.
即
为等边三角形，可知三棱锥
为正四面体，且
.
对于A：设
为等边
的中心，
由正四面体的性质可知：
侧面
，且
，
即
点到底面
的距离为
，
又因为
，
，所以正三棱台
的高为
，故A 正确；
对于B，设
的内切圆的半径为
，则根据等面积法有：
，解得
，
因为正三棱台
的高为
，
的内切圆的半径为
，且
，
所以高为
、底面半径为
的圆柱可以放进该棱台内，故B 正确；
对于C，由A 选项知，
侧面
，且
，
因为点
在侧面
内（包含边界）运动，且
所以
，
因为等边三角形
的内切圆的半径为
， 又
，
，
所以，点
在侧面
内的轨迹为弧
和
，
而
,故
，故
为等边三角形，
所以
，所以点
的轨迹长度为
，故C 错误；
对于D，设正四面体
的内切球的半径为
，
由等体积法可得
，解得
，
因为
，所以该棱台内最大的球即正四面体
的内切球，
又因为
，
，
，
所以
为
的中点，过点
，
，
的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为
，故D 正确．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1cm 的正方体），用来展示
NaCl 晶体中
的八面体配位环境：
位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的
，则该正八面体
配位多面体模型的体积是______
.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知正八面体的底面边长以及高，代入公式即可求解.
【详解】根据图示正八面体的结构，底面为边长为
的正方形，
正四棱锥的高为正方体棱长的一半即
，
所以正八面体的体积为
.
13. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知
，
为等腰梯形
内一点（含边界），则
的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先建立直角坐标系求出各点坐标和向量坐标，再计算向量数量积转化为与横坐标相关式子，最后
确定横坐标范围从而得出数量积取值范围.
【详解】由题意可得，大三角形
为等边三角形，
又因为
，且
等边三角形，
所以
，又因为
，所以
，
作
垂直于直线
于
，
在直角
中，
，
所以
，
，
作
垂直于直线
于
，根据等腰梯形的对称性可得：
，即
，
所以大三角形
的边长为4，
，
以
为原点
，
为
轴，垂直于
为
轴，建立直角坐标系，
则
，
，
所以
，作
垂直于直线
于
，
在三角形
中，
，
，所以
，
平移直线
到
，则
，
所以
，作
垂直于直线
于
，
在三角形
中，
，
，所以
，
根据图形关系可得，等腰梯形
满足：
，
，腰长均为，
则
，设
，则
，
因此：
问题转化为求
点横坐标
的范围，
又因为等腰梯形
最小横坐标为
，最大横坐标为
，
且对梯形内任意点，
，
因此
，即
的取值范围是
.
14.
中，内角
所对的边分别为
，该三角形面积大小记为S，则
的最小
值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理、三角形面积公式、基本不等式得到
，再通过换元
，平方，结合二次函数即可求解.
【详解】由题
又
，
令
，
则
则有
且
时，原式取最小值
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量
.
（1）设
求
；
（2）若
与
垂直，求
的值.
【答案】（1）
;
（2）
.
【解析】
【分析】（1）求出
，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解；
（2）求出
的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解
.
【小问1 详解】
∵
，∴
，
∴
，∴
．
【小问2 详解】
，
由于
与
垂直，∴
，∴
．
16. 已知a，b，c 分别为
的三个内角A，B，C 的对边，若
，且
.
（1）求角C 及边c 的值；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）
，
（2）
.
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理进行求解即可；
（2）运用正弦定理，结合两角和正弦公式、余弦函数的最值性质进行求解即可.
【小问1 详解】
由
，
根据余弦定理，得
，
因为
，则
.
由
，得
，
根据正弦定理，得
，则
.
【小问2 详解】
由正弦定理可得
，
，
则
.
由
，得
.
17. 如图，
等边三角形，且点A，B 分别为线段
与
的中点.将
沿
折叠后使点O 与
点P 重合，得到四棱锥
.设点E 为线段
上一点，且
.
（1）证明：
平面
；
（2）求四棱锥
与三棱锥
的体积之比.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接
交
于点
，连接
，由A，B 分别为线段
与
的中点可得
，
结合三角形相似得到
，进而得到
，进而求证即可；
（2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可.
【小问1 详解】
证明：如图，连接
交
于点
，连接
，
由题可知
，且
.
则易有
与
相似，且相似比为1:2，即
.
又
，则
，故
，
因为
平面
，
平面
，故
平面
.
【小问2 详解】
设四棱锥
的体积为
，高为
，四边形
的面积为
，
三棱锥
的体积为
，高为
，三角形
的面积为
，
与
之间的距离为
，
三棱锥
的体积为
，三棱锥
的体积为
，
由题有
，
又
，故
，即
，
则
，又
，
有
，
即四棱锥
与三棱锥
的体积之比为
.
18. 如图在直角梯形
中，
，
，点E 为
的中点，以A 为圆心
为半
径作圆交
于点G，点P 为劣弧
（包含D，G 两点）上的一点，
与劣弧、
分别交于点F，
H．
（1）求向量
与
夹角
的余弦值；
（2）若向量
，求实数x，y 的值；
（3）求向量
与
的夹角的最大值．
【答案】（1）
（2）
，
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据题意建立以点
为原点的平面直角坐标系，再根据向量夹角的坐标运算求解即可
（2）先根据平面向量基本定理得到
，再结合
，
，
三点共线求出
，进而建
立方程组求解即可；
（3）方法一：依题意可得以
为直径的圆与圆
外切，再结合圆周角大于圆外角，进而得到向量
与
的夹角的最大值；方法二：设
，
从而，得到点
的坐标，再结合三角函数的性
质求出
的取值范围，进而即可得解．
【小问1 详解】
依题意可得
，则
，
所以以点
为原点，
，
分别为
，
轴正方向建立平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
所以⃗AC =(2,−❑√3)，
，
显然向量
与
的夹角等于向量
与
的夹角，
所以cosα =⃗
AC ⋅⃗BE
|⃗AC)⋅|⃗BE)
=
3−3
2
❑√7×❑√3 =
❑√21
14
．
【小问2 详解】
由
，
又因为
，
，
三点共线，所以
，解得
，
又⃗BH = x⃗BD + y⃗AC = x(⃗BA + 1
2⃗BC)+ y (⃗BC −⃗BA)
，
所以{
x−y = 2
5
x
2 + y = 3
5)
，解得
，
．
【小问3 详解】
法一：取
的中点
，则
，
所以以
为直径的圆与圆
外切，
因为圆周角大于圆外角，
所以
的最大值为
．
法二：设
，
，
且如（1）所建平面直角坐标系，则
，
则⃗BP =(cosθ ,❑√3−sinθ)，⃗CP =(cosθ−2,❑√3−sinθ)，
所以
= 4−2(cosθ+ ❑√3sinθ)= 4−4 sin(θ+π
6 )，
又
，则
，则sin(θ+π
6 )∈[
1
2 ,1)，所以⃗BP⋅⃗CP∈[0,2)，
所以
取到最小值0，即向量
与
的夹角的最大值为
．
19. 如图所示，
的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、
E、F 点上.岛屿A 到补给站D 的距离为岛屿A 到岛屿B 距离的
，岛屿A 和岛屿C 到补给站E 的距离相等，
补给站F 在靠近岛屿C 的
的三等分点上.设，
，
.
（1）用
，
表示，
，
；
（2）如果
，
海里，且
，求岛屿C 到补给站D 的距离；
（3）若三个岛屿围成的
的面积为
平方公里，且满足
，求岛屿A
和岛屿C 之间距离的最小值.
【答案】（1）
，
；
（2）
；
（3）12 公里.
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解；
（2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得
，从而再次利用数量积运算法则即可得解.
（3 ）由
，化简得到
，结合正弦定理得到
，利用三角形的面积公式，求得
，进而求得
的最小值，
得到答案.
【小问1 详解】
依题意，得
，因为点
为
中点，所以
，
又
在靠近岛屿
的
的三等分点上所以
，
又
，
，所以
，
；
【小问2 详解】
依题意，得
，即
，
由
可得
，则，
又
，所以
，
所以
，
所以岛屿
到补给站
的距离
；
【小问3 详解】
由
，可得
，
即
，
可得
，即
，
设
，
，由正弦定理知
，
而
，所以
，
因为
，所以
，得
，
所以当
，即
时，
取得最小值144，
即
的最小值为12，所以岛屿
和岛屿
之间距离的最小值为12 公里.
