文档内容
安徽师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期11月期中
数学（A）试题
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ，若 ， ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．已知直线 与直线 .“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若圆 与圆 有三条公切线，则 （ ）
A．21 B．19 C．9 D．
5．已知直线 ，从点 射出的光线经直线 反射后经过点 ，则光线从 到 的路
程为（ ）
A． B． C． D．
6．直三棱柱 中， ， 、 分别是 、 的中点， ，则 与
所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，若直线 上存在点 ，使得 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
8．已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，点 是椭圆 上位于第一象限的一点，且
与 轴平行，直线 与 的另一个交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 共线
B．已知 ，若 夹角为锐角，则
C．若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
D．若向量 能构成空间的一个基底，则 也能构成空间的一个基底
10．已知圆 过点 ，动点 直线 上任意一点，过 向圆 引两条切
线，切点分别为为 ，记 的最小值为 的最大值为 .下列说法正确的是（ ）
A．圆 的标准方程为
B．
C．四边形 的面积范围为
D．当 时，四边形 的外接圆与圆 的交点所在的直线为
11．已知正方体 的棱长为 ，其中 ，点 为线段 的中点，则下列选项正确的是（ ）
A． 时，
B． 时，三棱锥 的体积为定值
C．当点 落在以 为球心， 为半径的球面上时， 的最小值为1
D． 时，直线 与面 的交点轨迹长度为
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，已知 ，则点 到直线 的距离为 .
13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是
圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知 ， ，若动点P满足 ，
设点 的轨迹为 ，过点 作直线 ， 上恰有三个点到直线 的距离为1，则满足条件的一条直线 的
方程为 .
14．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与C交于M，N两点，设 的内切
圆圆心为 ，外接圆圆心为 ，则 的值为 ．
四、解答题
15．已知 为实数，设直线 .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 与 的距离.16．已知圆 过两点 ，且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)若过圆心 的直线 在 轴， 轴上的截距是互为相反数，求直线 的方程.
17．已知圆 ，圆 ，过点 作圆 的切线，切线的长
为2.
(1)求圆 的方程；
(2)直线 经过点 ，且与圆 交于 两点， ，求 的方程和 的值.
18．如图1，在半径为2的扇形 中， ， 是弧PQ上的动点（不含 ， ），过点 作
，交 于点 .
(1)当 时，求此时 的长；
(2)当 的面积取得最大值时，将扇形 沿着 折起到 ，使得平面 平面 （如图2
所示）.求此时直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)在第（2）问的条件下，探究在图2中的线段 上是否存在点 ，使得四面体 内切球的半径为
？并说明理由.
19．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2) ， 为椭圆 上两个不同的点，且 ，
①求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标；②过 点作直线 的垂线，垂足为 ，求 的最大值.参考答案
1．B
【详解】直线 化为点斜式得， ，
所以直线的斜率为 ，所以倾斜角为 ，
故选：B.
2．A
【详解】 ， ， ，
， ， ， ，
.
故选：A.
3．A
【详解】 和 平行，
，
或 .
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， .
“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
4．C
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
由圆 与圆 恰有三条公切线，得圆 与圆 外切，则即 ，解得 ，
故选：C
5．D
【详解】设点 关于直线 的对称点为 ，
则有 ，解得 ，即
因为光线从A到 的路程即 的长，而 .
所以光线从A到 的路程为 .
故选：D.
6．C
【详解】由题意可知 平面 ，且 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分
别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 、 、 、 ，
， ， .故 与 所成的角的余弦值为 .
故选：C.
7．C
【详解】设 ，
，即 ，
化简得 ，
故点 在以 为圆心，1为半径的圆上，
∵若直线 上存在点 ，使得 ，
∴直线 与圆 有交点，
∴圆心到直线 的距离为 ，
两边同时平方，得 ，
继续化简得 ，解得 .
故选：C.
8．B
【详解】由 令 ，得 ，
由于 与 轴平行，且 在第一象限，所以 .
由于 ，
所以 ，即 ，将 点坐标代入椭圆 的方程得 ，
，
，
所以离心率 .
故选：B
9．ACD
【详解】对于A，若 ，则 ，即 ，则 共线；
A正确；
对于B ，且 与 不共线，解得： ，且 ，B不正确；
对于 四点共面，C正确；
对于D，假设 也能构成空间的一个基底，
则存在实数 ，使得 ，
方程组无解，
不共面， 可以构成空间的一组基底，D正确.故选：ACD.
10．AD
【详解】对于A项，因为圆 过 ，且 的中点坐标为 ，
故 ,且
该点 与 的三点距离相等，所以 为圆 的圆心，即 ，
且圆 的半径 .
所以圆 的标准方程为 ，故A项正确.
对于B项，因为 ，所以易证 ，所以
，
又因为 ，所以 ，结合 在 单调递减，
又因为 ，当且仅当 最小时， 取最小值，
即 ，此时 ， ，
，即
此时 最大，且 最大值是一个钝角，
因为 为直线 上的一个动点， 可以一个锐角连续变化一个钝角，
所以，当 时， ，所以 ，故B项错误.对于C项，因为 ，所以
，
所以当 时，即 ， ，故C项错误.
对于D项，因为 ，所以 四点共圆.
当 时，此时 ，所以直线 ，
又因为 ，解得 ，此时 ，
四点共圆的圆心 ，半径为 ，所以圆 ，
联立圆 减去圆 的方程得直线： ，故D项正确.
故答案为：AD.
11．ABD
【详解】如图，建立以 为原点的空间直角坐标系.则
.A选项，因
，则 ，
又 ，则 .
又 ，则 ，即 ，故A正确.
B选项， ，设平面 法向量为 ，则 ，取 ，又 时， ，
则 ，即 平行于平面 ，得点 到平面 距离 为定值，
故 为定值.故B正确；
C选项，因 ，点 落在以 为球心， 为半径的球面上，
则 ，
令 ，因为 ，则 .
则 ，
当且仅当 时取等号，则 的最小值为 ，故C错误.
D选项，因 ，
则 ，
即点 在线段 上.连接 ，分别交 于 ，
故 ，即 为交点轨迹.又 ，
则 .故D正确.故选：ABD.
12．
【详解】由题意 ， ，
所以 在 的射影为： .
所以点 到直线 的距离为： .
故答案为：1
13． 或 （写出一条即可）
【详解】因为 ，点 满足 ，设 ，
则 ，化简得 ，
因为圆 上恰有三个点到直线 的距离为1，
所以圆心到直线的距离为1.
若直线 的斜率不存在，
直线 的方程为 ;
若直线 的斜率存在,
设直线 的方程为 ，
即 ， ，解得 ,直线 的方程为: .
故答案为： 或 （写出一条即可）
14．
【详解】
由题意可得 ，由 ，解得 和 ，
即 ，易知直线 经过点 ，
由 可得 ，
故 的外接圆圆心 为 的中点，即 ，
又 的内切圆圆心为 ，则由 平分 ，故点 在 轴上，不妨设 ，
易得直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离等于该点到直线 的距离，即 ，解得 或 （不合题意，舍去），故得 ，
故 .
故答案为： .
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，解得 .
（2）因为 ，所以 ，解得 ，
此时 ，即
由两直线之间的距离公式
16．(1)
(2) 或
【详解】（1）由 可知中点 ，
设过 的 中垂线 斜率为 ，
，则 .
所以 ，即
由 ，解得 ，故 ，圆 的半径为 ，
故圆 的标准方程为
（2）①若直线 过原点，满足题意，则可设 ，
因为直线 过 ，所以 ，则 .
②若直线 不过原点，由于直线 在 轴， 轴上的截距是互为相反数，
设 ，因为直线 过 ，
所以 ，则 ，即
综上所述：直线的方程为 或 .
17．(1)
(2)1
【详解】（1）过点 作圆 的切线，设切点为 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，
所以圆 .
（2）显然，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，整理得， ，
解得 或 ，
所以 的方程为 或 ；
在 中， ，
所以 .
18．(1) ；
(2) ；
(3)不存在，理由见解析.
【详解】（1）由题意，
， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
由正弦定理 ，代入数据解得：
（2）由题意及（1）得，
因为 ， ，所以 ，设 ，则
在 中，由正弦定理，得 ，
即 ，所以
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ，
以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以
设平面OPE的法向量 ，，即
得到
∴直线 与平面 所成角的正弦值：
.
（3）由题意，（1）及（2）得，
由（2）知 ， ，
， ，
所以 ， ，
，
所以四面体 的表面积为 ，
设四面体 内切球的半径为 ，则四面体 的体积
解得 ，因为 ，所以
所以在线段 上不存在点 ，使得四面体 内切球的半径为 .
19．(1)(2)①证明见解析，定点坐标为 ；② .
【详解】（1）由题意知 ，故 ，即 ，
又因为椭圆过点 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为: .
（2）①设 ， ，
，
(i)当直线 斜率不存在时，设 ，
联立 得 ，
，
解得 (舍)或 ，此时 .
(ii)当直线 斜率存在时，设 ，
联立 得 ，
.
又 ，
，整理得 ，
将 代入整理得 ，
，
或 ，
当 时， ， 过点 ，不成立；
当 时， ，则 过定点 ，
综上所述， 过定点 .
② 过定点 ，
，即 在以 为直径的圆上，
圆心为 的中点 ，半径 ，
