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高一下学期期中考试
数学
时量：120 分钟 满分：150 分
一､选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 设集
.集合
.则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到集合 ，再利用集合的交集求解.
【详解】
又
，所以
故选：B
2. 若
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数乘法运算求解判断.
【详解】因为
，所以
.
故选：C.
3. 如图，在
中，
，
为 CD 的中点，设
，
，则
（
）
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
【详解】由已知得
.
故选：D.
4. 函数
的图象关于直线
对称的图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数
的图象，再结合对称性可得合适的选项.
【详解】函数
的图象可视为将函数
的图象向上平移 个单位，
所以，函数
的图象如下图所示：
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所以，函数
的图象关于直线
对称的函数的图象如 A 选项中的图象.
故选：A.
5. 若
外接圆的半径为
，内角
的对边分别为
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知等式由正弦定理边化角解得
，又
，可求 的值.
【详解】由
，有
，得
，
因为
，所以
，所以
或
，
又
，所以
应舍去，则
.
又
，解得
.
6. 若平面向量 ， ， 满足
，
，
，
，则 ， 夹角的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用
，
与
即可确定 在 上的投影与 在 上的投影， 方向为 x 轴正方向
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建立平面直角坐标系，即可确定 ， 的横坐标，设出坐标由
得到两向量纵坐标的关系后，列出
， 夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定 ， 夹角的范围，注意
即 ， 的夹角为锐角.
【详解】设
，
，
，以 O 为原点， 方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系，
，
，
，
， ， 三者直接各自的夹角都为锐角，
，
，
，
，
，即 在 上的投影为 1， 在 上的投影为 3，
，
，如图
，
即
，且
则
，
由基本不等式得
，
，
与 的夹角为锐角，
，
由余弦函数可得： 与 夹角的取值范围是
，
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故选：C.
7. 已知函数
，当
时，方程
的根的个数是
（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，画出函数
的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即
可得到结果.
【详解】
设
，则
，即
，故
，
因为
，故
，画出
的大致图象，由图象可知
与
共有 6 个公共点，
故原方程共有 6 个根.
故选：D.
8. 已知直四棱柱
的棱长均为
.以
为球心，
为半径的球面与侧面
的交线长为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先找出平面
截球面的截面圆的圆心是
的中点
，再找到截面圆的半径和交线.
【详解】如图，取
的中点为
因为
，直四棱柱
的棱长均为 2，
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所以
为等边三角形，所以
，
又四棱柱
为直四棱柱，
所以
平面
，
又
在平面
内，故
，
因为
侧面
，所以
侧面
，
设 为侧面
与球面的交线上的点，则
，
因为球的半径为
，所以
，
所以侧面
与球面的交线上的点到
的距离为
，
取
的中点为
的中点为
，连接
、
，
则
，所以侧面
与球面的交线是扇形
的弧
，
则
，所以
，根据弧长公式可得
.
二､多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 在
中，
，则
的面积可以是（
）
A.
B. 1
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由余弦定理求出
，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
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【详解】解：∵
，
由余弦定理得
，
∴
，
∴
，或
，
∴由
的面积公式
得
或
，
故选：AD．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．
10. 将函数
(
)的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则下列说法正确的是（
）
A.
B. 函数
的最小正周期为
C. 函数
的图象关于点
成中心对称
D. 函数
的一个单调递减区间为
【答案】BD
【解析】
【分析】先由三角函数的图象变换求出
的值并判断选项 A，再求出
的解析式，然后根据三角函数的
性质逐项判断 B，C，D 即可得解.
【详解】
的图象向右平移
个单位长度后得到
，
而
，则
，即
，A 不正确；
此时
，其周期
，B 正确；
由
，得
，即
的对称中心为
(
)，C 不
正确；
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由
，解得
，即
的单调减区
间为
，
当
时，
是函数
的一个递减区间，D 正确.
故选：BD
11. 已知正方体
的棱长为 1，平面
与对角线
垂直，则（
）
A. 该正方体的每条棱所在直线与平面
所成角均相等
B. 平面
截该正方体所得截面面积的最大值为
C. 直线
与平面
内任一直线所成角的正弦值的最小值为
D. 当平面
与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题需要利用正方体的性质，且当平面
位置变化时，平面
始终与对角线垂直入手去考虑.
【详解】对于 A，因为平面
与对角线
垂直，又
平面
，
所以平面
与平面
平行或重合，而正方体各棱与平面
所成角，即为体对角线
与正方体各
棱所成角的余角，
由正方体的对称性易得体对角线
与正方体各棱所成角均相等，
故直线
与平面
所成角也相等，故 A 正确；
对于 B，当平面
沿对角线
平行移动时，
只有当平面
移动到平面
（
分别为所在棱的中点）时，面积最大.
又由题易知，六边形
为正六边形，可求得
，
则平面
截此正方体所得截面面积的最大值为
，故 B 错误；
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对于 C，直线
与平面
内任一直线所成角的正弦值的最小值，
即为直线
与平面
所成角的正弦值，不妨取平面
为平面
，又
，
故等价于求
与平面
所成角，设
与平面
交于点
，
因为
平面
，所以
为所求角，
，则
，故 C 正确；
对于 D，当平面
与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分，
，
同理可得
当平面
与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
，故 D 正确.
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三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 一个圆台的母线长为 5，上、下底面圆直径长分别为 2，8，则圆台的高为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直
角梯形的性质求得.
【详解】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形
，
其中上底长为 2，下底长为 8，腰长为 5，如图所示：
作 CD⊥AB 与 E,则 CE 为圆台的高 h,
∴高 h＝
.
故答案为：4
13. 已知 P 是一个圆锥的顶点，
是母线，
，该圆锥的底面半径是 1．B、C 分别在圆锥的底面上，
则异面直线
与
所成角的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过
作
交底面圆锥于
点，则
为异面直线
与
所成角，结合余弦定理与
余弦函数的性质即可得
的取值范围，从而得所求最值.
【详解】
如图，过
作
交底面圆锥于
点，连接
，
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因为
，则
为异面直线
与
所成角，
所以
，
又
，所以
，即
，
因为
，函数
在
上单调递减，所以
，
故异面直线
与
所成角的最小值为
.
故答案为：
.
14. 已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，则
的取值范围为______
．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得
，从而可求得
的一个大范围，根据
，可得
，再由
的范围分类讨论，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为函数
在区间
上有且仅有一个零点，
所以
，所以
，
由
，可得
，
由
，得
，
当
，即
时，
则
，解得
，
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所以
，
当
，即
时，
则
，解得
，
综上所述：
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为
或
的形式；
（2）将
看成一个整体；
（3）借助正弦函数
或余弦函数
的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称
性、单调性等）解决相关问题.
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量
，
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量平行的坐标公式计算即可；
（2）由
，平方可得
，再根据数量积的坐标运算可求得
，再根据二倍角的正余弦
公式及平方关系化弦为切即可得解.
【小问 1 详解】
因为
，
所以
，即
，
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所以
；
【小问 2 详解】
因为
，
所以
，
即
，所以
，
即
，所以
，
所以
.
16. 如图，在棱长均为 2 的正三棱柱
中，
为棱
的中点．
（1）求证：直线
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
（3）若
为棱
上一点，且
，求直线
与平面
所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）连接
交
于点
，根据线面平行的判定定理可得
平面
；
（2）根据面面垂直的判定定理可得平面
平面
；
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（3）根据线面垂直的判定定理证得
平面
，得
为直线
与平面
所成的角可得
答案．
【小问 1 详解】
连接
交
于点
，连接
．
在
中，
为
的中点，
为
的中点．
是
的中位线，
，
平面
平面
，
平面
；
【小问 2 详解】
在正三棱柱
中，
平面
平面
，
，
在等边
中，
为
的中点，
，
又
是平面
内的两条相交直线，
平面
，又
平面
，
平面
平面
；
【小问 3 详解】
连接
，
和
都是直角三角形，且
，
，
，
，
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由（2）得，平面
平面
，平面
平面
，又
平面
，
平面
，则
为直线
与平面
所成的角．
在
中，
，则
所以直线
与平面
所成角的正切值为
.
17. 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成 3 个功能区：
区域为桃树林和
散养走地鸡，
区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，
区域为小型鱼塘供休闲垂钓.已知
.
（1）若
，求
和
的长度；
（2）当
为何值时，鱼塘
的面积最小，最小面积是多少？
【答案】（1）
，
（2）15°时面积最小，最小值为
.
【解析】
【分析】（1）先根据题干条件得到
，利用余弦定理求出
，进而求出
；
（2）设
，应用正弦定理及三角形面积公式可得
，
再应用和角正弦公式、二倍角正余弦及辅助角公式化简分母，最后由正弦型函数的性质求最值.
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【小问 1 详解】
在
中，
，
则
，所以
，
在
中，
，
所以
.
于是
，
在
中，
，
在
中，
，所以
.
【小问 2 详解】
设
，
在
中
，得
，
在
中，
，得
，
所以
的面积
因为
，所以当
时面积最小，最小值为
.
18. 已知函数
.
（1）若集合
.
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（i）若函数
为奇函数，求不等式
的解集；
（ii）若函数
为偶函数，关于 的不等式
有解，求实数
的取值范围；
（2）设
若对于区间
上的任意实数
，不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）（i）
；（ii）
（2）
.
【解析】
【分析】（1）（i）由 奇函数定义，求得
，通过
换元，求解得出得
或
，再解指数
不等式即可求解；（ii）由偶函数定义求得
，通过
换元， 由单调性求得
，原式化为
，结合单调性即可求解.
（2）根据偶函数特征与函数的单调性求得
的值域为
.由不等式
恒成立，根据 的正负分情况解不等式即可求得其取值范围.
【小问 1 详解】
（i）因为函数
为
上的奇函数，故
，解得
，
则
，此时因
，函数
为奇函数，
则不等式
，设
，代入整理得
，
解得
或
（舍），即
，解得
，
故原不等式的解集为
.
（ii）因为函数
为偶函数，故
，
即
，因
不恒为 0，故
，则
，
则
（*），
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设
，因
，则
，
而函数
在
上单调递减，在
上单调递增，故
，
由（*）左式可得
，
则（*）可化为
，
因函数
在
上单调递减，则
，
故
.
【小问 2 详解】
根据（1）知，
当
时，
，设
，则
，
此时函数
在
上单调递增，则
；
当
时，
，设
，则
，
此时函数
在
上单调递增，故
，
又函数
在
上为偶函数，故当
时，
.
综上所述，
的值域为
.
因对于区间
上的任意实数
，不等式
恒成立，
则当
时，即
，即
，解得
，则
；
当
时，即
，即
，显然成立；
当
时，即
，即
，解得
则
.
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综上所述，
.
19. 已知复数
的三角形式是
，其中 是复数 的模， 是复数 的
辐角.当
时， 称为辐角的主值，记为
.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的
几何意义：若
，则
.即模相乘，辐角相加.
（1）写出复数
的三角形式，并计算
（三角形式），由此归纳出
的三角形式；
（2）设复平面上单位圆内接正十六边形的 16 个顶点对应的复数依次为
（逆时针顺序），其中
.求复数
在复平面所对应不同点的个数；
（3）设复数
不全为实数，
，证明：
.
【
答
案
】
（
1）
（2）8 个
（3）证明见解析
【解析】
【分析】(1)写出
的三角形式，再观察规律；
(2) 根据三角函数的周期性求解；
(3) 根据
导出三角关系再求解.
【小问 1 详解】
，故
.故
.
【小问 2 详解】
正十六边形每边对应的圆心角为
，故任意一个顶点逆时针旋转
可得到下一个顶点，
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即
.
故
，
由三角函数的周期性知，
，即
以 8 为周期，所以一共对应 8 个不同的点.
【小问 3 详解】
设
是复数
的辐角主值，
是复数
的辐角主值，
，则
.
，即
，
即
.
又因为
，所以
.
采用反证法：假设
，因为
不全为实数，则
，所以
.
即
，进一步得到
，
又
，所以
，所以
，
故
，这与
矛盾，故假设不成立，
从而
.
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