文档文本内容
高一数学学科
注意事项：
1．本题共4 页，满分150 分，考试时间120 分钟．
2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．
4．结束后，只需上交答题卡．
选择题部分
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据复数几何意义得
，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得
，
.
故选：B.
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
B. 一个多面体至少有4 个面
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱
【答案】B
【解析】
【详解】用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A 错误；
多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故B 正确；
正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面投影落在底面正多边形的中心，故C 错误；
矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故D 错误.
3. 已知向量
，若向量
与
的方向相反，则实数
的值为（ ）
A.
B.
C. -1
D.
【答案】A
【解析】
【详解】由向量
，得
，则
不共线，
若向量
与
共线，则
，解得
，
此时
，即向量
与
的方向相反，
所以实数
的值为
.
4. 在
中，已知
，则
（ ）
A. 120°
B.
或
C. 60°
D.
或
【答案】D
【解析】
【详解】由正弦定理
，
所以
，
又
，所以
所以
或
．
5. 已知点
，
，
，则以
，
为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. 1
B.
C. 5
D.
【答案】C
【解析】
【详解】由点
，得
，
则
，
，即
，
所以以
，
为邻边的平行四边形的面积
.
6. 如图，矩形
是水平放置的平面四边形
用斜二测画法画出的直观图，其中
，则原四边形
中最长边的长度为（ ）
A.
B.
C. 4
D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】将直观图还原为原图，如图，
在直观图中，
，则
，
故在原图中，
，
，
所以
，而
，
所以原四边形ABCD 中最长边为6.
7. 如图所示，在同一个平面内，向量
，
，
满足：
，
与
的夹角为
，且
与
的夹角为
，若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量加法的平行四边形法则可得
，结合正弦定理可得
，
根据题意运算求解．
【详解】如图
根据向量加法的平行四边形法则可设：
，
则
，
∴
，
在△
中，由正弦定理可得：
，
∵
且
为锐角，则
，解得
，
∴
.
8. 设
是边长为1 的正三角形，M 是
所在平面上的一点，且满足
，
则当
取最小值时，
的值为（ ）
A.
B. 3
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算得出
，
，再应用数量积公式化简，换
元即可求出最小值.
【详解】如图，
，
，
，
，得
.
，
，
设
，则
.
当
，即
，也就是
时，
取最小值.
故选:C.
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6 分，有选错的得0 分，部分选对得部分分）
9. 已知复数
，其中
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
为实数，则
D. 若
为纯虚数，则
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，
，
无解，A 错误；
对于B，
，则
，B 正确；
对于C，
，由
为实数，得
，C 正确；
对于D，
，
由
为纯虚数，得
且
，解得
，D 正确.
10. 若向量
，
满足
，
，则（ ）
A.
B.
与
的夹角为
C.
D.
在
上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式、投影向量的定义逐一判断即可.
【详解】A：
，
因此本选项不正确；
B：由上可知
，
因为
，所以
，因此本选项正确；
C：因为
，
所以
，因此本选项正确；
D：
在
上的投影向量为
，
因此本选项正确，
故选：BCD
11. 在
中，角
的对边分别为
为
的面积，且
，
，下列选项正确的是（ ）
A. 若
，则
有两解
B.
周长的取值范围为
C. 若
为锐角三角形，则
的取值范围是
D. 若
为锐角三角形，边
上的中线长的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化后，由余弦定理求出
，即可判断A，由正弦定理及三角恒等变换可得
，利用正弦型三角函数值域的求法判断B，由正弦定理
，结合
的范围
求解即可判断C，利用向量及数量积的运算、余弦定理求出中线长的范围判断D.
【详解】由正弦定理可得
，即
，
由余弦定理可得
，因为
，所以
，
当
时，由
知，不存在满足条件的
，故A 错误；
由正弦定理可知
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
周长
，故B 正确；
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，又
，所以
，故C 正确；
当
为锐角三角形时，
，所以
，
所以
，令
，则
，
由余弦定理，
，
所以
，设
上的中线为
，如图，
又
，所以
，即
，所以
，即
上的中线长的取值范围是
，故
D 正确.
非选择题部分
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
12.
___________．
【答案】0
【解析】
【详解】
.
13. 已知圆锥的表面积为
，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】
设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为
，构造方程，可求出半径.
【详解】设圆锥的底面的半径为
，圆锥的母线为，
则由
得
，
而
故
，
解得
，
故答案为：.
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两
个对应关系：
圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形
弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．
14. 已知向量
满足
，设
，其中
，则动点
的轨迹的长度是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系并求出点
的轨迹，结合对称性求出长度.
【详解】由
，得
，
而
，则
，以点
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，
则
，设
，由
，得
，
于是
，解得
，而
，则
，
即
，显然
，
即点
满足方程
，因此点
的轨迹关于原点
对称，
当
时，
，且
，点
的轨迹是线段
，其长度为
；
当
时，
，且
，点
的轨迹是线段
，
线段端点为
，长度为
，即当
时，点
的轨迹长度为
，
由对称性得当
时，点
的轨迹长度为
，
所以动点
的轨迹的长度是
.
四、解答题（本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设
，复数
．
（1）若
是实数，求
；
（2）若
是关于
的方程
的一个根，求
的值．
【答案】（1）3 （2）
或
【解析】
【分析】（1）根据复数的除法和复数概念可得
，再由复数模的计算公式计算求解；
（2）将复数
代入方程，根据复数相等列方程组计算求解即可.
【小问1 详解】
，
因为
是实数，于是
，则
，即
，
所以
；
【小问2 详解】
因为复数
是关于
的方程
的一个根，
所以
，整理得
，
所以
，解得
或
当
时，
；
当
时，
．
16. 《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底
面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”
与“刍童”
的组合体中，
已知
，且三棱锥
的体积为
．
（1）求该组合体的体积；
（2）若点
为线段
上的动点，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设刍童
的高为，利用几何体的体积公式，转化求解即可；
（2）根据两点之间线段最短，当
三点共线时
取得最小值，即
的长.
【小问1 详解】
设棱台
的高为，
由
，得
，
记上底面
的面积为
，下底面
的面积为
，
则
，
所以
，
又
，
所以该组合体的体积为
；
【小问2 详解】
将
绕着直线
旋转至平面
，
当
三点共线时，
取得最小值．
因为
，
所以在
中，
所以
的最小值为
．
17. 如图，在梯形
中，
，点
是线段
上的动点．
（1）若
，
，
三点共线，试用
和
表示
；
（2）设
，若
与
的夹角的余弦值为
，求
．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】
【分析】（1）先由
、
、
三点共线，结合题设条件根据相似三角形得到
，再利用向量三
角形法则可得；
（2）设
，先求出
，并利用向量
表示向量
,
再利用向量模及向量的
夹角的公式列出方程求解即得.
【小问1 详解】
由已知得
，则
，所以
，
因为
，所以
【小问2 详解】
设
，
由已知得
与
的夹角为
，
所以
，
由（1）知
，
所以
，
因为
，
所以
，
记
与
的夹角为
，则
，
化简得
，解得
或
，
当
时，
，不符；
所以
，即
的值为
．
18. 在
中，角
的对边分别为
，已知
．
（1）求
；
（2）若
，且
的外接圆半径为1，求
的面积；
（3）若
为边
上一点，且
，求
的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式、同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可；
（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【小问1 详解】
因为
，由正弦定理可得
，
又
，则
，
所以
，
即
，又
，则
，
所以
，
所以
，由
，得
；
【小问2 详解】
由
，得
，
由
，得
，可得
，
所以
．
【小问3 详解】
因为
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
又在
中，
，
所以
，
因为
，所以
，
当
即
时，
的最大值为
．
19. 如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
，
分别是与
轴、
轴正方向同
向的单位向量，则称平面坐标系
为
仿射坐标系．若在
仿射坐标系下
，则把有序数
对
叫做向量
的仿射坐标，记为
．
（1）若
，
，计算
的大小；
（2）若
，
，
，有同学认为“
”的充要条件是“
”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设
，
，
，若
对
恒成立，求
的最大值．
【答案】（1）
（2）不正确，理由见解析
（3）
．
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积及向量的模求解即可.
（2）根据向量的数量积运算律求出
，结合向量垂直的坐标表示判断即可.
（3）根据向量的数量积及向量的模求出
，
，结合已知条件得到
，根据向量夹角
的计算公式求解即可.
【小问1 详解】
因为
，则
，又
，
则
.
【小问2 详解】
不正确，理由如下：因为
，则
，
又
，
，
则
，
若
，则
，则
，
所以“
”的充要条件是“
”，
故“
”的充要条件是“
”是不正确的．
【小问3 详解】
因为
，
，
，则
，
，
．
由
，得
，
所以
，
即
对
恒成立，
又因为
，所以
，
解得
，
所以
，
又因为
，所以
，则
.
所以
的最大值为
．
