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河北石家庄二中教育集团2025-2026 学年高一下学期5 月期中考试
数学试题
一、单选题
1．设i 为虚数单位，复数z 满足
，则
为（ ）
A．
B．1
C．3
D．
2．在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
3．已知，是两条不重合的直线，
，
是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若
，
，则与
一定相交
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，
，则与是异面直线
4．若向量，满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．13
D．52
5．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1 的正方形，则
原平面图形的周长为（ ）
A．
B．
C．4
D．8
6．已知向量
满足
，且
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在四边形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为，，，若
，
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ）
A．若复数满足
，则
B．若复数
,
满足
，则
C．在复数范围内，若
是关于的实系数方程
的一根，则该方程的另一根是
D．若
，则
的最大值为
10．已知
的内角
所对边分别为
，则下列说法中正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，
，满足条件的三角形有且只有一个，则实数的取值范围为
C．点
是
所在平面内一点，若
，则点
的轨迹必过
的内心
D．在
中，若
，则
为锐角三角形
11．如图，在正三棱柱
中，
，
是棱
上任一点，则下列正确的是（ ）
A．正三棱柱
的外接球表面积为
B．
周长的最小值为
C．棱
上总存在点
，使得直线
平面
D．
为
的中点，平面
将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为
，
，则
三、填空题
12．已知向量
，
，若
，则实数
的值为______.
13．某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________．
14．已知在
中，内角
，
，
所对的边分别为，，，若
，
，
，
为线段
上一点（包含端点），则
的最小值为
________．
四、解答题
15．在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的周长．
16．如图，在
中，点
在线段
上，满足
，
在线段
上，且
，线段
与
线段
交于点
，
，
，
．
(1)求
；
(2)求
．
17．如图，直三棱柱
的体积为4，D 是
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)已知
为
中点，已知平面
与平面
的交线为，试判断与
的位置关系，并证明；
(3)求
的体积．
18．在锐角
中，，，分别是角
，
，
的对边，
(1)求角
的大小；
(2)如图，
为
内一点，
，
，
，连接
并延长交
于点
①求
；
②求
．
19．布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19 世纪提出，它通过等角条件
联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用
价值的点．其定义如下：设
是
内一点，若
，则称点P 为
的布洛
卡点，角为
的布洛卡角．如图，在
中，记它的三个内角分别为
，
，
，其对边分别为
，，，
的面积为，点
为
的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题：
(1)若
，且
，求
；
(2)若
，
的面积为
①求
；
②
的外接圆上任一点为
，试探究
是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说
明理由．
参考答案
1．B
【详解】由已知可得，
，
所以，
，
所以，
.
故选：B.
2．B
【详解】由正弦定理，
，可得
，
因
，则
，故
.
3．B
【详解】对于A，当
时，因为
，
，可得
，即与
不相交，A 错误；
对于B，因
，
，则与
没有公共点，则有
，B 正确；
对于C，由
，
可得
或
，故C 错误；
对于D，若
，则
无公共点，即
或与是异面直线，故D 错误.
4．B
【详解】
两边同时平方得
，
则
，
所以
，
，
所以
.
5．D
【详解】把直观图
转化为原图四边形
，如图所示，
由作图可知四边形
为平行四边形，
，
，
,
故周长为
.
6．D
【详解】因为
满足
，且
，
所以
，向量
在向量
上的投影向量为
，
故选：D.
7．B
【详解】连接
，取
中点
，连接
，则
且
，
所以
，
所以
．
8．C
【详解】因为三角形中
，
所以由
，可得
，
即
，
所以
，
即
，
又在锐角三角形中，
，
则
或
，即
或
（舍去）.
因为
.
由正弦定理可得
，
则
因为
是锐角三角形，所以
，
所以
，所以
，
则
.
9．AD
【详解】选项A：设
，若
，则
，此时
，
，故A 正确；
选项B：取反例，令
，
，则
，但
，
，显然
，故B 错误；
选项C：实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，若一根为
，则另一根为其共轭复数
，而
非
，故C 错误；
选项D：
表示复平面内z 对应的点在以原点为圆心、半径为1 的单位圆上，
表示圆上的点到点
的距离，
点
到原点的距离为
，故圆上点到该点的最大距离为
，故D 正确.
10．ACD
【详解】选项A：根据正弦定理
（
为
外接圆的半径），可得
，由三角形大边对大角的性质得
，故A 正确.
选项B：已知
，
，所以边
上的高为
，又满足条件的三角形有且只有一
个，则有两种情况：
当
时，
为直角三角形，满足条件的三角形有且只有一个；
当
时，
，满足条件的三角形有且只有一个，
故实数a 的取值范围是
，故B 错误.
选项C：因为
分别为
方向上的单位向量，
所以二者的和向量
在
的角平分线上，
由
得
，
即
在
的角平分线上，而三角形内心是三条角平分线的交点，故
的轨迹必过
的内心，故
C 正确.
选项D：由
可知
与
同号，三角形中最多一个钝角，故
，
，
即
均为锐角，此时
，故
为钝角，
因此
为锐角，所以三个角均为锐角，
是锐角三角形，故D 正确.
11．ACD
【详解】对于A：正三棱柱外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点，
底面正三角形边长为4，其外接圆半径
；
正三棱柱高
，球心到底面距离
，因此外接球半径满足：
，
外接球表面积
，A 正确；
对于B：
中，
为定值，周长最小时
最小，
将侧面
与侧面
翻折到同一平面内，连接
，则
的最小值为
，
，因此周长最小值为
，B 错误；
对于C：在侧面
内，过
作
，交
于，
在侧面
内，过作
交
于
，
，
所以平面
平面
，
平面
，所以
平面
，C 正确；
对于D：正三棱柱总体积
，
是
中点，取
中点
，
连接
，则
是边长为的等边三角形，取
中点
，则
，
又由
平面
可知
，
，所以
平面
，
较小体积
，
因此：
， D 正确.
12．
【详解】因为
，
，所以
，
因为
，所以
，解得
.
13．
【详解】如图所示，设球
与圆锥底面相切于点
，与母线
相切于点
，
所以
，设
，所以
，
又
，所以
，即
，
化简得：
，解得
或
（舍去），
所以圆锥的表面积为：
.
14．
【详解】
，整理得
，
，
，则
，
，
，则
，
，
由正弦定理边角互化可得
，
，
，
若
，则
，
，
，
，
又三角形中至多一个钝角，
，
，
、
、
均为锐角，
又
，则
，因为正弦函数
在
上单调递增，
则
，
.
从而
，这与
矛盾，所以
，
从而
，
，
，
，
，解得
，
因为
，所以
，
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
以
为原点，如图所示建立平面直角坐标系，
则
，
，
，设
，
，则
，
则
，
，
，
由二次函数的性质知，当
时，
取得最小值
，
所以
的最小值为
.
15．(1)
（或
）
(2)
【详解】（1）展开已知等式
，得：
，
移项化简得
.
设
外接圆的半径为R，由正弦定理
可将上式中的角化边，得：
.
根据余弦定理可得
，代入得
.
又
，故
.
（2）将
，
，
代入余弦定理
得：
，即
，解得
.
则
，
由
得
，
故
的周长为
.
16．(1)
；
(2)
.
【详解】（1）在
中，由
，得
，
由
，得
，
所以
.
（2）由
，得
，
由（1）知
，
，
则
，
，
由（1）知
，
所以
.
17．(1)证明见解析；
(2)
，证明见解析；
(3)
.
【详解】（1）在直三棱柱
中，
为
中点，连接
，由D 是
的中点，
得
，则四边形
为平行四边形，
，
而
平面
，
平面
，因此
平面
；
由
，得四边形
为平行四边形，
，
而
，则四边形
为平行四边形，
而
平面
，
平面
，因此
平面
，
又
平面
，
则平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
.
（2）
；
由（1）知
平面
，而平面
平面
，
平面
，
所以
.
（3）依题意，
平面
，
则
，
所以
的体积为
.
18．(1)
(2)①
②
【详解】（1）因为
，
所以由余弦定理可得
，
由正弦定理可得
,
即
，所以
,
由
知，
，所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
，所以
为正三角形，
设正三角形的边长为
，
，则
，
因为
，
，所以
，
，
则
，
.
在
中，
，
则
中，由正弦定理可知
，即
即
，
，解得
，即
.
②在
中，由正弦定理可知
，则
，那么
.
.
则
.
19．(1)
(2)①
②
【详解】（1）
又
,
为正三角形,
所以，
.
（2）①
，
所以
，
在
，
，
中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得
，
即
，
故
；
②在
中，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，
，
，
三式相加可得：
，
由
，可得
，
即
,
当且仅当
即
，又因为三角形内角和为
，
所以
，即
为正三角形,
；
设
的外接圆圆心为
，半径为
，则
，
由于
为正三角形，故
也是
的重心，那么
，
，
同理可知
,那么
