浙江杭州学军中学2026年高二下学期数学期末模拟答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0621数学

《高二下期末复习综合卷一》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B C C B C ACD ABD
题号 11
答案 ABD
1．D
【详解】因为集合A={x∣−3<x≤2} ，B={x∣−2≤x<3} ，
所以A∪B={x∣−3<x<3}．
2．B
【分析】先确定i满足关系i4n =1，i4n+1 =i，i4n+2 =−1，i4n+3 =−i，再证明i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4 =0，
由此求结论.
【详解】因为i2 =−1，所以i4 = ( i2)2 =(−1)2 =1，
所以i4n = ( i4)n =1，i4n+1 =i4n?i=i，i4n+2 =−1，i4n+3 =−i，
所以i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4 =i+(−1)+(−i)+1=0，
所以复数z=i+i2+i3+…+i2026，2026=4×506+2，
所以z=i2025+i2026 =i−1
即z=−1+i，
所以z的共轭复数为−1−i，其虚部为−1.
3．A
【分析】连接OB、OC，推导出四边形ABOC为菱形，设AOBC =D，则D为BC的中点，且AO⊥BC，
再利用投影向量的定义可得结果.
【详解】连接OB、OC，
C C C C C C C C C
因为AO= AB+ AC，则AB= AO−AC =CO，所以，AB//OC且 AB = OC ，
C C
又因为OB = OC ，则四边形ABOC为菱形，
答案第1页，共16页
学科网（北京）股份有限公司设AOBC =D，则D为BC的中点，且AO⊥BC，
C C C 1 C
因此，
BA
在BC上的投影向量为BD= BC，
2
故选：A.
4．B
【分析】利用换元法并结合二倍角的余弦公式即可得到答案.
π π 1
【详解】设 −α=t，则α= −t，sint =
3 3 3
π π  1 2 7
cos +2 −t =cos(π−2t)=−cos2t =2sin2t−1=2×  −1=− .
3 3  3 9
故选：B.
5．C
C
【分析】设P(x,y),Q(x′,y′)，结合PQ=(1,0)，得到点Q的轨迹，再根据直线与圆的位置关系求解．
C
【详解】设P(x,y),Q(x′,y′)，则PQ=(x′−x,y′−y)=(1,0)，
所以x=x′−1,y= y′，又 在直线y=x−2上，
所以y′=x′−1−2=x′−3，𝑃𝑃 即点Q在直线y=x−3上，
圆(x+m)2+y2 =1，圆心为(−m,0)，半径为 ，
1
又点Q在圆(x+m)2+y2 =1上，即直线y=x−3与圆有公共点，
−m−3
所以圆心到直线y=x−3的距离d = ≤1，
12+12
解得−3− 2≤m≤−3+ 2，故m的最大值为−3+ 2．
6．C
【分析】要算小明拿偶数个面包的情况，分两种情况讨论，小明拿 2 个面包和拿 4 个面包，运用排列
组合算出两者的总数量，最后把两种情况的数量相加，就是小明拿偶数个面包的总情况数.
【详解】若小明拿到2个面包，则有C2⋅ ( C1A2+C2) =15×14=210；
6 4 2 4
若小明拿到4个面包，则有C4⋅A2 =30种；
6 2
故小明最终拿到偶数个面包的情况有210+30=240种，
故选：C
7．B
答案第2页，共16页【分析】根据椭圆的定义和旋转体的概念可知当PA+PC =2 3时点 的轨迹是一个椭球,即可根据
PQ 𝑃𝑃
tanα= 求解最值.
BQ
【详解】由题意知，点 为动点，A、 为定点， PA+PC=2 3>AC=2 2 ，
由椭圆的定义知，点 的𝑃𝑃轨迹是以A、𝐶𝐶为焦点，AC =2 2为焦距，长轴为2 3的椭圆，
将此椭圆绕 旋转一𝑃𝑃周，得到一个椭球𝐶𝐶，即点 的轨迹是一个椭球，
而椭球面为一𝐴𝐴𝐶𝐶个椭圆，由2a=2 3,2c= 22+2 𝑃𝑃 2 =2 2，
即a= 3,c= 2，得 b= a2−c2 =1 ，
PQ
设点 在平面ABCD上的射影为Q，则tanα= ，
BQ
𝑃𝑃
又0<PQ≤1,0<BQ≤ 2，且PQ≤BQ，
π
所以当且仅当PQ=BQ时tanα最大，即α取到最大值 ，
4
故选：B．
8．C
【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得 f (x+1)= f (x)，即 f (x)是周期为1
的周期函数，利用周期性并讨论T =1、T >0且T ≠1判断④.
 x,x<0
【详解】 ，对于 f (x)= ，定义域为R，
x−1,x≥0
①
存在T =2，对于任意x∈R，都有 f (x)< f (x+2)，
但 f (x)在R上不单调递增，错误．
， f (x)是＂T −严格增函数＂，存在T >0，对任意x∈D，都有 f (x)< f (x+T)，
②
因为n≥2,T >0，所以 f (x+T)< f (x+nT)，故 f (x)< f (x+nT)，
即存在实数nT >0，使得对任意x∈D，都有 f (x)< f (x+nT)，
答案第3页，共16页
学科网（北京）股份有限公司所以 f (x)是＂nT −严格增函数＂，正确．
， f (x)=[ x ]，定义域为R，当T =1时，对任意的x∈R，都有[ x ]<[ x+1 ]，
③
即 f (x)< f (x+1)，所以函数 f (x)=[ x ]，＂T −严格增函数＂，正确．
，对于函数 f (x)=x−[x]， f (x+1)=x+1−[ x+1 ]=x+1−[ x ]−1=x−[ x ]= f (x)，
④ 1 1 1 1
所以 f (x)是周期为1的周期函数， f  = −   = ，
2 2 2 2
1  3 3 1 1
若T =1，则 f  +1= −   = = f  ，不符合题意．
2  2 2 2 2
因为 f (x)的周期为1，故不妨设0<T <1，
设x=1−T∈(0,1)，则 f (x+T)= f (1)=1−[ 1 ]=0，
而 f (x)= f (1−T)=1−T −0=1−T ，此时 f (x)> f (x+T)，矛盾；
所以函数 f (x)=x−[x]不是＂T −严格增函数＂，正确．
故选：C
9．ACD
【分析】结合椭圆的几何性质，可判定A正确，B不正确；设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F =0，将
 E=2− 3D
B(0,1),F(− 3,0)代入求得 ，结合P(x ,y ),Q(−x ,−y )，求得圆的方程，可判定C正确；
1 1 F = 3D−3 0 0 0 0
2
取点P(− 2, )，求得过点P,B,B 圆的方程，可判定D正确.
1 2
2
x2
【详解】由椭圆 +y2 =1，可得a=2,b=1，则 c= a2−b2 = 3 ，
4
对于A，由c>b，则以FF 为直径的圆与椭圆有4个交点，所以A正确；
1 2
对于B，以B,B 为直径的圆与椭圆仅有两个交点，所以B错误；
1 2
对于C，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F =0，
答案第4页，共16页E+F+1=0  E=2− 3D
将B(0,1),F(− 3,0)代入得 ，解得 ，
1 1 − 3D+F+3=0 F = 3D−3
则圆的方程为x2+y2+Dx+(2− 3D)y+ 3D−3=0,
 x2+y2+Dx +(2− 3D)y + 3D−3=0
设P(x ,y )，则Q(−x ,−y )，则 0 0 0 0 ，
0 0 0 0 x2+y2−Dx −(2− 3D)y + 3D−3=0
0 0 0 0
两式相加，可得x2+y2 =3− 3D，两式相减，可得Dx +(2− 3D)y =0，
0 0 0 0
(2− 3D)2
联立方程组，可得x2 = y2，
0 D2 0
1+ 3D 4(2− 3D)
又因为x2 +4y2 =4，联立可得y2 = ，则x2 = ，
0 0 0 3 0 3
(2− 3D)2 4(2− 3D) (2− 3D)2 1+ 3D
将其代入x2 = y2，可得 = × ，
0 D2 0 3 D2 3
即(2− 3D)(7D2− 3D−2)=0，此时方程有解，所以C正确；
对于D，设直线PQ的斜率为k，则直线PQ的方程为y=kx，
1
因为P,Q关于原点对称，则PQ中垂线的方程为y=− x，
k
3
因为A(−2,0),B(0,1)，可得线段AB 中垂线的方程为y=−2x− ，
1 1 1 1 2
y=kx 4 2
联立方程组 ，可得x2 = ，可得x=± ，
x2+4y2 =4 4k2+1 4k2+1
2 2k
因为P,Q关于原点对称，不等式x = ，则y = ，
P 4k2+1 P 4k2+1
 3
 y=−2x− 3 3 3 3
 2 k − k −
联立方程组
1
，可得
x= 2 ,y= 2
，即圆心
O′( 2 , 2 )
，
 y=− x 1−2k 1−2k 1−2k 1−2k
 k
3 3 3 3
k − k −
若O′B=O′P，即 ( 2 −0)2+( 2 −1)2 =( 2 − 2 )2+( 2 − 2k ) ，
1−2k 1−2k 1−2k 4k2+1 1−2k 4k2+1
3 3
− k (4−2k)(1−2k) 4k2+4
可得 ( 2 )2 = 4 + 4k2 +( 2 )2 ，即 (1−2k)2 = 4k2+1 ，
1−2k 4k2+1 4k2+1 1−2k
4−2k 4k2+4 3 3 1
即 = ，即 = ，所以4k2+2k =0，解得k =− ，
1−2k 4k2+1 1−2k 4k2+1 2
1 2 2
所以当PQ的斜率为− ，可得P(− 2, ),Q( 2,− )，
2 2 2
此时P,Q,A,B 四点共圆，所以D正确.
1 1
答案第5页，共16页
学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.
10．ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用异面直线夹角的向量求法判
断C；确定直角梯形是否有外接圆判断C；作图求出体积判断D.
【详解】在直棱柱ABCD−ABCD 中，BB ⊥平面ABCD，又AB⊥BC，则直线BC,BA,BB 两两垂直，
1 1 1 1 1 1
以点B为原点，直线BC,BA,BB 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
1
2
则B(0,0,0),C( 2,0,0),A(0,2,0),D( 2,1,0),M( 2,0, ),A(0,2, 2),D( 2,1, 2)，
2 1 1
C C C C C
2 1
对于A，BA =(0,2, 2),MD =(0,1, )= BA ，即MD //BA ，又D ∉直线BA，
1 1 2 2 1 1 1 1 1
因此MD //BA，即A,B,M,D 四点共面，A正确；
1 1 1 1
对于B，在梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,AB=2CD，则∠BAD为锐角，∠BCD=90，
因此∠BAD+∠BCD<180，梯形ABCD无外接圆，则棱柱ABCD−ABCD 没有外接球，B正确；
1 1 1 1
对于C，α//平面BDDB ，α∩平面ABD=l ，平面BDDB 平面ABD=BD，
1 1 1 1 1 1 1
则l //BD，令AC BD =E，连接 ，平面BDDB 平面ABC =BE，同理l //BE，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
𝐵𝐵𝐵𝐵 BE AB 2
因此直线l,l 所成的角等于直线BD,BE所成的角，由 1 = 1 1 =2，得BE= BD ，
1 2 ED CD 1 3 1 1
1 1 1
C C
2 2 2 C 2 2 2 C C C |BD⋅BE| 2 1
则E( , , 2)，BE=( , , 2),BD=( 2,1,0)，|cos〈BD,BE〉|= C C = ≠ ，
3 3 3 3 |BD||BE| 10 2
直线l,l 所成的角不为60，C错误；
1 2
对于D，令BDAC =F,AB AB=G,BC BC =H,CD CD=I,DA DA=J ，
1 1 1 1 1 1 1 1
则点G,H,I,J是直棱柱ABCD−ABCD 所在侧面矩形的中心，
1 1 1 1
1
GH //AC //IJ,GH = AC =IJ，四边形GHIJ是平行四边形，
1 1 2 1 1
答案第6页，共16页AC ⊄平面GHIJ，则AC //平面GHIJ，同理BD //平面GHIJ，而AC BD =E，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AC,BD ⊂平面ABCD，因此平面GHIJ //平面ABCD ，同选项C得BF =BE，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
而BF//BE，则四边形BBEF为平行四边形，FE//BB ，则FE⊥平面ABCD，
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1+2 3 2
FE⊥平面GHIJ，四边形GHIJ的面积S = S = × × 2 = ，
GHIJ 2 ABCD 2 2 4
四面体ABCD与四面体ABCD 的公共部分为八面体EGHIJF，
1 1 1 1
1 1 3 2 1
所以四面体ABCD与四面体ABCD 的公共部分的体积为 S ⋅EF = × × 2 = ，D正确.
1 1 1 1 3 GHIJ 3 4 2
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：作出图形确定两个四面体的公共部分是求出其体积的关键.
11．ABD
【分析】根据等比数列通项列方程求解判断A，化简所给条件构造函数，利用导数研究函数的性质确定
B，构造函数利用函数最值得到不等式，再由不等式求解判断C，构造函数，利用函数最值转化为不等
式求解判断D.
【详解】对于A选项，数列{a }是公比为 的等比数列，且a >0，
n 1
𝑞𝑞
若a +a =a +a ，则a +aq3 =aq+aq2，
1 4 2 3 1 1 1 1
即1+q3 =q+q2 ⇒q3−q2−q+1=0⇒(q−1)(q2−1)=0，
解得q=1或q=−1，故A正确；
对于B选项，a =lna +lna =ln(a ⋅a )=ln ( a2⋅q2) =2ln a ⋅q =2ln a ，
2 1 3 1 3 1 1 2
2
若q>0时，又a >0，则a >0，令 f(x)=2lnx−x，则 f′(x)= −1，
1 2 x
当x>2时， f′(x)<0，当0<x<2时， f′(x)>0，
所以函数 f(x)=2lnx−x在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
答案第7页，共16页
学科网（北京）股份有限公司所以 f(x) = f(2)=2ln2−2<0，故 f(x)=0无解，a =2lna 不成立，
max 2 2
2
若q<0时，又a >0，则a <0，令g(x)=2ln(−x)−x，则g′(x)= −1，
1 2 x
当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
g(−e−1)=e−1−2<0,g(−e)=e+2>0，由零点存在性定理知g(x)=0有解，
故a <0,q<0， 故B正确；
2
对于C选项，构造h(x)=ex−x，则h′(x)=ex−1，
当x>0时，h′(x)>0，当x<0时，h′(x)<0，
所以函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(0)=1，即ex >x，
1
所以2a =ea1 +ea2 >a +a ，即2q2−q−1>0，解得q>1或q<− ，故C错误；
3 1 2 2
1
对于D选项，构造函数k(x)=lnx−(x−1)(x>0)，则k′(x)= −1，
x
当0<x<1时，k′(x)>0，当x>1时，k′(x)<0，
所以函数在(0,1)单调递增，在(1,+∞)上单调递减，故k(x)≤k(1)=0，即lnx≤x−1，
所以a +a +a =ln(a +a +a +a )≤a +a +a +a −1，则a ≥1，
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 4
a
因为0<a <1，所以 4 =q3 >1⇒q>1，故D正确.
1 a
1
故选：ABD.
12．10
【分析】根据百分位数的定义求出40%分位数，再根据平均数定义得到方程，求得m的值.
【详解】因为该组数据共6个，且40%×6=2.4，
所以这组数据的40%分位数为从小到大第3个数，即6，
1+2+6+8+9+m
则 =6，解得m=10．
6
故答案为：10．
13．−160
【分析】根据题意，结合二项式系数性质得n=6，再根据通项公式得r=3时，展开式为常数项，再代
入通项公式求解即可.
n
1 
【详解】因为  −2x 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，
x 
答案第8页，共16页所以C2 =C4，根据组合数性质Cm =Cn−m易知n=6，
n n n n
6
1 
所以  −2x 展开式的通项公式为：
x 
6−r
1
T =Cr   (−2x)r =Cr(−2)r x2r−6,r=0,1,2,3,4,5,6,
r+1 6x 6
令2r−6=0得r=3，
所以常数项为T =C3(−2)3 =20×(−8)=−160
3+1 6
 1 
14．−∞，e+ ln2

 2 
1 
【分析】根据题意，即m< f (x)在 ,+∞上恒成立，利用导数求出函数 f(x)的最小值，即可得解.
2 
1 
【详解】由题知函数 f (x)的定义域为(0,+∞)，m< f (x)在 ,+∞上恒成立，
2 
1
f′(x)=ex−lnx−1，令r(x)= f′(x)=ex−lnx−1，则r′(x)=ex− ．
x
1
r′(x)在(0,+∞)上单调递增，r′  = e−2<0,r′(1)=e−1>0，
2
1 
且r′(x)的图像在 ,1上连续，
2 
1  1
存在x ∈ ,1，r′(x )=0，即ex0 − =0，则x =−lnx ，
0 2  0 x 0 0
0
∴
1 
当x∈  ,x 时，r(x)单调递减；
2 0
∴
当x∈(x ,+∞)时，r(x)单调递增，
0
1 1 1 
∴r(x)的最小值为r(x )=ex0 −lnx −1= +x −1>2 ⋅x −1=1>0，∴f′(x)>0， f x在 ,+∞
0 0 x 0 x 0 2 
0 0
1 1 1 1
上单调递增，∴m≤ f  = e− ln = e+ ln2，
2 2 2 2
 1 
即实数m的取值范围是−∞，e+ ln2

．
 2 
 1 
故答案为：−∞，e+ ln2

 2 
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后
答案第9页，共16页
学科网（北京）股份有限公司构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3
15．(1)
2
)
(2) 4+2 3,+∞ .

3
【分析】（1）先求出g(x)的解析式，从而得到g(x)的最小值，得到方程，求出m= ；
2
π
（2）先得到C = ，利用三角恒等变换化简，结合角的范围，求出取值范围
6
 π 1
【详解】（1） f (x)=sinx− +m的图象的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
 6 2
 π
得到y=sin2x− +m，
 6
π   π π  π
再向左平移 个单位长度后得到g(x)=sin2x+ −

+m=sin2x+ +m，
6   6 6  6
π π π π 7π
当x∈

,

时，2x+ ∈

,

，
6 2 6 2 6 
π 7π π 7π 1
故当2x+ = ，即x= 时，g(x)取得最小值，最小值为sin +m=− +m，
6 6 2 6 2
1 3
故− +m=1，解得m= ；
2 2
C  π 3 3+ 3  π 3
（2）g =sinC+ + = ，故sinC+ = ，
 2  6 2 2  6 2
 π π π 2π
因为�ABC为锐角三角形，所以C∈0, ，故C+ ∈ , ，
 2 6 6 3 
π π π
所以C+ = ，解得C = ，
6 3 6
sinA sinB sinAcosB+sinBcosA
故tanA+tanB= + =
cosA cosB cosAcosB
sin(A+B)
sinC
= =
5π   5π 5π 
cosAcos −A cosAcos cosA+sin sinA
 6   6 6 
1 1 1
= = =
− 3cos2 A+sinAcosA 1+cos2A 1  π 3 ，
− 3⋅ + sin2A sin2A− −
2 2  3 2
  π
C∈0, 
  2
因为�ABC为锐角三角形，所以 ，
 5π  π
B= −A∈0, 
  6  2
答案第10页，共16页π π π π 2π  π  3 
解得A∈ , ，故2A− ∈ , ，故sin2A− ∈

 ,1，
3 2 3 3 3   3  2 
1
 π 3  3 tanA+tanB= ≥4+2 3
sin  2A− 3   − 2 ∈   0,1− 2  ，故 sin  2A− π − 3 ，
 3 2
)
所以tanA+tanB的取值范围为4+2 3,+∞ .

16．(1) 3
21
(2)
7
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明CD⊥平面PBD，进而得到CD⊥PD，由勾股定理求解PD即
可；
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量求解平面PAB与平面PCD夹角的余弦值
即可；
【详解】（1）如图：
在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF ⊥BC于 ，
因为AB= AD=CD=1,BC =2，则FC = 1 ，所以∠DCF =60°， 𝐹𝐹
2
连接 ，在三角形BCD中，由余弦定理得：BD2 =4+1−2×2×1cos60°=3，
所以𝐵𝐵 B 𝐵𝐵 D= 3，又BC =2,CD=1，所以BD2+CD2 =BC2，
所以BD⊥CD，又CD⊥PB,BDPB=B，且BD,PB⊂平面PBD，
所以CD⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD，
因为PC =2，所以PD= 4−1= 3．
3+3−9 1
（2）在三角形BDP中，由余弦定理得：cos∠BDP= =− ，
2× 3× 3 2
所以∠BDP=120°，由于CD⊥平面PBD，
C C
所以以D为坐标原点，分别以DB,DC向量的方向为x, y轴的正方向，
过点D作垂直于DC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
答案第11页，共16页
学科网（北京）股份有限公司A   3 ,− 1 ,0  ,B ( 3,0,0 ) ，C(0,1,0),D(0,0,0)， P  − 3 ,0, 3 ，
   
 2 2   2 2
C
设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，
C  3 1  C  1 3
AB=

 , ,0

,AP=− 3, , ，
 2 2   2 2
   A  B C ⋅m C =0    2 3 x+ 1 2 y=0
C C ，所以 ，
AP⋅m=0  1 3
− 3x+ y+ z=0

2 2
令x=1，则y=− 3，z= 3，
C ( )
所以m= 1,− 3, 3 ，
C C C  3 3
设平面PCD的一个法向量为n=(a,b,c),DC =(0,1,0),DP=− ,0, ，
 
 2 2
C C b=0
 DC⋅n=0 
C C ，所以 3 3 ，
DP⋅n=0 − a+ c=0
 2 2
令a= 3，则c=1,b=0，
C ( )
所以n= 3,0,1 ，
设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
2 3 21
则cosθ= = ．
7×2 7
17．(1)X 的分布列为：
X 3 4 5
2
1 1 1 1
2 4 8 8
𝑃𝑃
23
E(X)=
8
答案第12页，共16页(2)
1
8
【分析】（1）根据比赛规则，分析比赛可能出现的各种情况，确定X 的取值，进而求出X 的分布列与
数学期望；
P ( BC ) +P(BC)
（2）根据条件概率公式求出 即可.
P ( BC ) +P ( BC ) +P(BC)
【详解】（1）由比赛规则可知， 局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，
则双方共计16分，此时双方均为18分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，
故比赛次数不会超过5；
由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，(2≤n≤5)，
则前n−1局不可能出现某人连胜 次（否则 连胜后比赛结束），
故前n−1局必定甲乙二人胜负交替2 ， 2
综上可知：比赛决出冠军时，二人比赛过程中的胜负情况有以下三种可能：
第一，比赛进行n局(2≤n≤4)，前n−1局二人胜负交替，第n局与第n−1局胜者相同，此人达成 连胜
并获得冠军（其积分不超过3×3+1=10，故未达11分）； 2
第二，比赛进行了5局，二人始终胜负交替，其中第5局获胜者获得11分，另一方9分，此时获胜者仅
积分率先达到11分并获得冠军；
第三，比赛进行了5局，前4局二人胜负交替，但第4局的获胜者在第5局连续获胜，则他同时完成 连
胜且积分率先达到11分并获得冠军. 2
即随机事件A =“第i局比赛中甲获胜”i∈{1,2,3,4,5}，B=“甲达成 连胜”，C =“甲先获得11积分”；
i
根据题意，X 的可能取值为2,3,4,5 2
2 2
P(X =2)=P(AA )+P ( A A ) =   1  +   1  = 1 ，
1 2 1 2 2 2 2
3 3
P(X =3)=P ( AA A ) +P ( A A A ) =   1  +   1  = 1 ，
1 2 3 1 2 3 2 2 4
4 4
P(X =4)=P ( A A A A ) +P ( AA A A ) =   1  +   1  = 1 ，
1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 8
1 1 1 1
P(X =5)=1−P(X =2)−P(X =3)−P(X =4)=1− − − = .
2 4 8 8
答案第13页，共16页
学科网（北京）股份有限公司于是X 的分布列为：
X 3 4 5
2
1 1 1 1
2 4 8 8
𝑃𝑃
1 1 1 1 23
故E(X)=2× +3× +4× +5× = ；
2 4 8 8 8
2 3 4
（2）根据以上分析可知：P ( BC ) =P(AA )+P ( AA A ) +P ( A A A A ) =   1  +   1  +   1  = 7 ，
1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 2 2 16
5 5
P ( BC ) =P ( A A A A A ) =   1  = 1 ，P(BC)=P ( AA A A A ) =   1  = 1 ，
1 2 3 4 5 2 32 1 2 3 4 5 2 32
1 1
故P=P
( C|(B∪C))
=
P(C)
=
P ( BC ) +P(BC)
=
32 + 32
=
1
.
P(B∪C) P ( BC ) +P ( BC ) +P(BC) 7 1 1 8
+ +
16 32 32
x2
18．(1) +y2 =1
4
(2)（i）证明见解析（ii）x+2 3y+2=0
【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和离心率求出a,b，进而得到椭圆的标准方程.
4m  2x 2y 
（2）（i）利用直线与椭圆的位置关系、直曲联立求出y = .直线联立求出M 0 ， 0  ，根
c m2+4 my −x my −x 
0 0 0 0
2m
据切线性质求出y = ，最后根据中点性质证明即可.（i i）根据中点性质得到面积关系，根据切线
M m2+4
 x +2
求出P−2，0 .再根据面积条件列方程计算.
 2y 
0
c 3 x2
【详解】（1）由题意得a=2，离心率e= = ，b= a2−c2 =1，则椭圆的标准方程为 +y2 =1.
a 2 4
（2）（i）设直线AC:x=my−2，代入到椭圆方程，化简得 ( m2+4 ) y2−4my=0，故y = 4m .
c m2+4
x=my−2
  2x 2y 
设B(x，y )(x >0，y >0)，联立直线AC，BO的方程 y ，⇒M 0 ， 0  ，
0 0 0 0  y= 0 x my −x my −x 
 x 0 0 0 0
0
x x 4y 2m
切线BP: 0 +y y=1，又AC//BP，则m=− 0.故y = ，
4 0 x M m2+4
0
所以：y =2y ，即M为线段AC中点.由AC//BP与中点M，则S =S =2S ⋅
C M �PAC �ABC �MBC
答案第14页，共16页3 x x  x +2
（ii）由中点M得S =2S = 3，将x=−2代入直线BP: 0 +y y=1，可得P−2，0 .
�PAC �PCM 2 4 0  2y 
0
1 x +2 m2 3 3
S = AP x +2 = 0 . = y (x +2)= ，
�PAC 2 c y m2+4 0 0 2
0
则y2(x +2)2 = 27 ，即 ( 4−x2) (x +2)2 =27，则(x −1)2( x2+6x +11 ) =0，x =1.
0 0 4 0 0 0 0 0 0
故m=−2 3，则AC:x+2 3y+2=0.
19．(1)增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，结合条件，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（2）根据条件，将问题转化成求证2x2+2>a(x−lnx)，构造函数t(x)=x−lnx，利用导数与函数单调
性间的关系，求得x−lnx>0恒成立，结合条件，即可证明结果；
a
（3）根据导函数在(1,e)上存在零点，则 f′(x)=0在(1,e)上有解，则有1< <e，即2<a<2e，得到函
2
x2
数 f(x)的最小值，构造函数h(x)=xlnx− −(1+ln2)x，2<x<2e，利用导数判断出其单调性，结合
4
不等式传递性可证．
a (2x−a)(x−1)
【详解】（1）函数 f(x)的定义域是(0,+∞)， f′(x)= +2x−(a+2)= ，
x x
又a<0，则2x−a>0，令 f′(x)>0，解得：x>1，令 f′(x)<0，解得：0<x<1，
所以 f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增.
（2）因为 f (x)−g(x)=alnx+x2−(a+2)x− ( −x2−2x−2 ) =alnx+2x2−ax+2，
要证曲线 f(x)在曲线g(x)=−x2−2x−2的上方，即证alnx+2x2−ax+2>0恒成立，
1 x−1
即证2x2+2>a(x−lnx)，令t(x)=x−lnx，则t′(x)=1− = ，
x x
答案第15页，共16页
学科网（北京）股份有限公司当x∈(0,1)时，t′(x)<0，当x∈(1,+∞)，t′(x)>0，
所以t(x)=x−lnx在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增，
则t(x)≥t(1)=1−ln1=1>0，所以t(x)=x−lnx>0恒成立，又2x2+2>0恒成立，a<0，
所以2x2+2>a(x−lnx)恒成立，即曲线 f(x)在曲线g(x)=−x2−2x−2的上方.
a (2x−a)(x−1)
（3）因为 f′(x)= +2x−(a+2)= ，
x x
又因为导函数 f′(x)在(1,e)上存在零点，所以 f′(x)=0在(1,e)上有解，
a
则有1< <e，即2<a<2e，
2
a  a
又当1< x< 时， f′(x)<0，则 f(x)在区间1, 上单调递减，
2  2
a a 
当 <x<e时， f′(x)>0，则 f(x)在区间 ,e上单调递增，
2 2 
a a a2 a a2
所以 f (x)≥ f  =aln + − (a+2)=alna− −(1+ln2)a，
2 2 4 2 4
x2 x x
设h(x)=xlnx− −(1+ln2)x，2<x<2e，则h′(x)=lnx+1− −(1+ln2)=lnx− −ln2，
4 2 2
x 1 1
令m(x)=lnx− −ln2，2<x<2e，则m′(x)= − <0，
2 x 2
所以h′(x)在区间(2,2e)上单调递减，又h′(2)=ln2−1−ln2=−1<0，则h′(x)<0在区间(2,2e)恒成立，
所以h(x)在区间(2,2e)上单调递减，
又h(2e)=2eln2e−e2−2e(1+ln2)=−e2，所以h(x)>−e2，
则根据不等式的传递性可得，当x∈(1,e)时， f (x)>−e2.
答案第16页，共16页