江苏南京师大附中、天一中学、海安高级中学、海门中学2026年高二下学期6月测试数学答案_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年06月高三试卷（数理化）_2026年6月高中数学试题汇编_0623数学

南师附中、天一、海安、海门 2027 届高二年级 6 月测试
数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合要求
 x2 
1. 设集合 Ax| 0,B  x|log x12  ，则 AB
 x2  2
A.
2,2
B.
2,2
C.
1,2
D.
1,2
【答案】D
x2
【解析】由 0 得 2 x2 ,由 log x12 得 1 x3 ,故 AB1,2 .
x2 2
2. 若随机变量 X N  3,2 ,且 PX 60.8 ,则 PX 0 的值为
A. 0.2 B. 0.32 C. 0.4 D. 0.8
【答案】A
【解析】由正态分布的对称性可知
PX 0 PX 61PX 60.2.
3.已知 m,n 是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，若 m//,n// ，则 “ mn ” 是 “ ”
的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由 m//,n//,mn 不能推出 ; 由 也不能推出任意满足 m//,n// 的直线
mn ,故为既不充分也不必要条件 .
4.若命题“ xR ，使得 mx2 2mx30 ”是假命题，则实数 m 的取值范围是
A.
3,0
B.
3,0
C.
3,0
D.
3,0
【答案】D
【解析】原命题是假命题,等价于 mx2 2mx30 恒成立. 当 m0 时成立; 当 m0 时, 需
Δ4m2 12m0 ,得 3m0 ,故 3m0.
5.为研究空气相对湿度 x 和土壤含水量 y 之间的关系,某课题研究小组采集了 9 组数据, 绘制散点图如图所示,
并对 x,y 进行线性回归分析. 若在此图中加上点 P 后,再次对 x,y 进行线性回归分析, 则下列说法正确的是A. x,y 不具有线性相关性 B. x,y 线性相关性变强
C. 相关系数 r 变小 D. x,y 负相关
【答案】C
【解析】原散点图中各点呈正相关趋势,加入点 P 后偏离原来的线性趋势,线性相关性变弱,相关系数 r 变小.
6.某校高二年级开设数学、物理、化学、生物四个竞赛课程, 小李, 小王, 小陈三名同学, 每人至少选一个课程，
至多选两个课程，且每个课程恰有 1 人选择，则不同的选择方法种数为
A. 72 B. 36 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】三名同学所选课程数只能为 2,1,1,先选出选两门课的同学有 3 种,再从四门课中选出两门给该同学有
C 2 种,剩余两门分给另外两人有 2 种,故共有 3C 2236 种.
4 4
7.某平台有 10% 的文章由 AI 生成, 为识别 AI 文章, 平台使用一款 AI 检测系统. 该系统对 AI 生成文章的识别率
为 90%，但对人类撰写的文章会有 5%的概率误判为 AI 生成. 现从平台上随机抽取一篇文章, 如果被该系统判
定为 AI 生成, 那么这篇文章实际是 AI 生成的概率为
1 1 2 9
A. B. C. D.
3 2 3 10
【答案】C
0.10.9 2
【解析】所求概率为  .
0.10.90.90.05 3
8.已知平行六面体 ABCDABC D 的底面是边长为 2 的正方形， AA3 ， AABAAD60￿.
1 1 1 1 1 1 1
￿￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿ ￿￿￿￿
动点 M 满足 AM  AA xAB yAD,x,y0,1 ，且 CM // 平面 ABD ，则 CM 的最小值为
1 1
A. 1 B. 5 C. 3 D. 7
【答案】B
￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿ ￿￿￿￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ￿￿ ￿
【解析】设 ABu,ADv,AA w ,则 u  v 2, w 3,uv 0,wu wv 3 . 由 CM // 平面
1
A
1
BD 得 x y 1 ,故 C ￿￿ M ￿￿￿  ￿ w ￿ x1u ￿ xv ￿ ,所以 C ￿￿ M ￿￿￿ 2 8x2 8x78 

x 1

2 5 ,故最小值为
 2
5.二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
1 1
9.设 a 0,b0 ,且  1 ,则
a b
A. ab4 B. ab4 C. a4b9 D. 2a 2b 8
【答案】BCD
1 1
【解析】由  1 得 abab ,且 a 1,b1 . 由 abab2 ab 得 ab4,A 错误,B 正确;
a b
1 4
令 a1tt 0 ,则 b1 ,所以 a4bt 59,C 正确;
t t
由凸函数性质及 ab4 可知 2a 2b 222 8,D 正确.
10.已知 f xx32026 a a x1a x12 a x12026 ,则
0 1 2 2026
A. a 202622025
1
B. a a a a 132026
0 2 4 2026
C. a 2a 3a 2026a 2026
1 2 3 2026
D. 今天是星期二, f 1 天后是星期三
【答案】AC
【解析】令 t  x1 ,则 f xt22026 ,故 a C 22025 202622025 , A 正确;
1 20261
f 2 f 0 132026
偶次项系数和为  , B 错误；
2 2
a 2a 2026a  f
22026232025
 2026, C 正确;
1 2 2026
f 122026 ,且 22026 2 mod7 ,星期二再过 f 1 天是星期四, D 错误.
a lnalnx a
11.已知函数 f x lnx ax a 0 ， gxex ex   ，则下列选项正确的是
x a x
1
A. f    f x
 x
B. 函数 f x 的最小值为 2a
1
C. 若 gx0 有且仅有一个实根,则 a 
ex
D. 若 gx0 有三个实根 x ,x ,x x  x  x  ,则 ex 1 x 2  2
1 2 3 1 2 3 x
1
【答案】ABD
1 a
【解析】 f    lnx  ax f x , A 正确;
 x x
1
lnx 0,x 2 ,当 x1 时等号成立,故 f x 的最小值为 2a,B 正确;
x
1
gx0 可化为 a  xex 或 a  xex ,其中 a  xex 恒有一个正根, a  xex 在 0a 时有两个正根,
e
1 1
在 a  时有一个正根,在 a  时无正根,故 C 错误;
e e
x
若有三个实根,则 xex 1  x ex 2 ,故 ex 1 x 2  2 ,D 正确.
1 2 x
1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
9
 1
12.3x

x 

的展开式中， x4 的系数为________.
 x
【答案】9
 1 9 9 3 9 3
【解析】  x   的通项中 x 的指数为  k ,令  k 4 无整数解; 令其为 3,得 k 1 , 系数为 -9 ,
 x 2 2 2 2
故原式中 x4 的系数为 99 .
13.已知 PN 1 ,P  M∣N   3 ,P  M∣N   3 ，则 PM_______.
3 8 4
3
【答案】
8
【解析】PM∣N 5 ,P  M∣N   1 ,故 PM 5  1  1  2  3 .
8 4 8 3 4 3 8
14.某同学进行一项摸球试验, 已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球, 分别标有数字 1, 2, 3. 某同学从袋中
有放回地依次随机摸出一球: 若连续摸出三次奇数编号的球, 则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试
验失败. 则该同学试验成功的概率为________.
32
【答案】
51
【解析】设从无连续记录开始成功的概率为 p ,已连续摸出 1 次、 2 次奇数的成功概率分别为 p , p ,已连续
0 1 22 1 2 1 2 1 2
摸出 1 次偶数的成功概率为 q . 由题意得 p  p  q, p  p  q, p   q,q  p ，解得
0 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 3 1
32 32
p  ，故试验成功的概率为 .
0 51 51
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知集合 Ax∣3 x6 ，集合 B {x∣x2m1或 xm1,mR} .
(1)若 m0 ， AB  ，求实数 m 的取值范围；
(2)设 p:xA ， q:xB ，若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围 .
【解析】 (1)已知 Ax∣3 x6,B{x∣xm1 或 x2m1} ，
 m13
若 AB  ， 则 A 的所有元素都不在 B 中,可得不等式组:  ,
2m16
7 7 
解得 m4 ,即 m 的取值范围为  ,4  ;
2 2 
(2)若p是q的充分条件，则 A B ，即 A 的所有元素都属于 B ，
因此有两种情况:
①
Ax∣xm1
，此时 m16 ，解得 m7 ；
②
Ax∣x2m1
，此时 2m13 ，解得 m2 ，
综上, m 的取值范围是 m2 或 m7 .
1
16.如图，在四棱锥 PABCD 中， AB//CD,AB AD,AB AD CD1,M 为棱 CD 的中点，
2
PD 平面 ABCD .
(1)求证: CB// 平面 PMA ；
(2)若二面角 PCBD 的大小为 60￿，求点 A 到平面 PBC 的距离.
P
D C
M
A B
1
【解析】(1)因为 AB CD ，所以四边形 ABCM 为平行四边形，则 BC//AM ，
 2
又 BC 平面 PAM,AM  平面 PAM ,所以 BC￿平面 PAM ;
(2)如图建立坐标系,则
A1,0,0,B1,1,0,C0,2,0,D0,0,0,P0,0,t￿
设平面 PBC 法向量为 n x,y,z ,
￿￿￿￿
￿
 nPB0 x ytz 0 ￿  2
则￿ ￿￿￿￿  取 n   1,1, .
nBC 0 x y 0  t 
￿
平面 BCD 的法向量为
m0,0,1
2
￿ ￿
nm t
因为二面角大小 60￿,所以 cos60￿ ￿ ￿  t  6 .
n m 4
1 11
t2
￿￿￿￿
￿
ABn
6
所以 A 到平面 PBC 的距离等于 ￿  .
n 4
17.某社团调研男女同学课余运动偏好, 统计数据如下列联表:
喜爱球类 喜爱慢跑 合计
男生 24 16 40
女生 12 28 40
合计 36 44 80
(1)依据小概率值0.05 的独立性检验，判断是否认为运动偏好与性别有关；
(2)从男生中按喜爱的运动分层抽样抽取 10 人，再从这 10 人中随机选 6 人，设 X 为 6 人中喜爱球类与喜爱
慢跑人数之差的绝对值，求 X 的分布列与数学期望.
nad bc2
附: 2  ,其中 nabcd .
abcdacbd
a 0.1 0.05 0.01
x 2.706 3.841 6.635

【解析】
(1)提出零假设 H : 运动偏好与性别无关.
0
nad bc2 80242816122
80
2    7.273x2 3.841,
abcdacbd 36444040 11 0.05
所以有 95%的把握认为运动偏好与性别有关. 6 分
(2)按分层抽样 10 名男生中中喜爱球类有 6 人，喜爱慢跑有 4 人.
X 的可能取值为 0,2,4,6 .
C3C3 8
PX 0 6 4  .
C6 21
10C2C4 C4C2 1
PX 2 6 4 6 4  .
C6 2
10
C5C1 4
PX 4 6 4  .
C6 35
10
C6C0 1
PX 6 6 4  .
C6 210
10
所以 X 的分布列为
X 0 2 4 6
8 1 4 1
P
21 2 35 210
8 1 4 1 52
所以EX0 2 4 6  .
21 2 35 210 35
18.已知函数 f x xe2x 2sinxax .
(1)当 a1 ，求函数 f x 在 x0 处的切线方程；
(2)若函数 f x 在(0，  )单调递增，求 a 的取值范围；
(3)当 a1 ，求证: f xlnx.
【解析】(1)当 a1 时， f x xe2x 2sinxx ， f 00
对 f x 求导: fx2x1e2x 2cosx1.
代入 x0 得切线斜率: k  f02 因此切线方程为 y 2x .
(2) f x xe2x 2sinxax ，则 fx2x1e2x 2cosxa0.
令 gx2x1e2x 2cosx ,则 a gx 在 0, 恒成立,
求
gx
在
0,
的最小值即可。
对 gx 求导:gx4x4e2x 2sinx
当 x0 时, 4x44,e2x 1 ,故 4x4e2x 4 ;
同时
2sinx2,2
, 因此
gx4220
,
所以
gx
在
0,
上单调递增,
gx
在
0,
的最小值为
g01
.
因此 a 的取值范围是: ,1 .(3) 当 a1 时, f x xe2x 2sinxx . 由切线不等式,当 x0 时, sinx x
1
且 lnx x1 ，所以只需 证 xe2x 2xx x1 ， e2x  4.
x
1 1 2
令 hxe2x  ,求导得:hx2e2x  ,hx4e2x  0,
x x2 x3
因此在
0,
上
hx
单调递增。
1  1
又因为 lim hx,h   2e40 ,所以存在唯一的 x   0,  ,
x0 2 0  2
1
hx 2e2x 0  0.
0 x2
0
因此
hx
在
0,x 
上单调递减,在
x ,
上单调递增.
0 0
1 1 1
hx 在 x 处取到最小值 hx e2x 0    4.
0 0 x 2x2 x
0 0 0
所以
hx4
在
0,
上恒成立.
因此,当 a1 时,不等式成立.
19.某工厂生产某种商品的成本为每件 2a 元
a 0
,正常售价为每件 4a 元. 该商品的市场需求量为随机变
量 X (单位:万件),当产量大于市场需求量时会造成商品积压，积压
的商品必须降价处理,按每件 a 元售出 (假设降价后所有积压商品均可售出). 根据一段时间的统计,得到该商品
的市场需求量 X 的频率分布表如下:
X (万件) 1 2 3 4 5 6 7
频率 0.01 0.02 0.04 0.07 0.10 0.12 0.13
X (万件) 8 9 10 11 12 13 14
频率 0.12 0.11 0.09 0.07 0.05 0.03 0.04
以该商品需求量的频率代替其概率. 设计划产量为 nn 为正整数,1 n14 万件时,该商品的总利润为随机
变量 W (单位: 万元).
n
(1)求 PX 10∣X 5 ；
(2)当 n5 时，求 W 的分布列(用含 a 的式子表示)；
5
n
(3)证明: EW 3aPX kan ，并求计划产量 n 的值，使总利润的数学期望 EW  最大.
n n
k1P5 X 10 0.100.120.130.120.110.09 67
【解析】(1) PX 10∣X 5   ；
PX 5 10.010.020.040.07 86
(2)已知 n5 时，成本 52a 10a (万元)；
当 X 5 时:商品全部售出，收入 54a 20a ，利润 W 10a ；
5
当 X k 5 时:正常售价的收入 4ak ，降价销售的收入
a5k
，总收入
a3k5
， 利润
W a3k5
5
所以
PW 2a PX 10.01
,
5
PW a PX 20.02,
5
PW 4a PX 30.04,
5
PW 7a PX 40.07
,
5
PW 10a PX 510.010.020.040.070.86;
5
即 W 的分布列为:
5
W 2a a 4a 7a 10a
5
P 0.01 0.02 0.04 0.07 0.86
(3)设计划产量为 n1n14 万件时,正常售出的件数为 Y ，降价售出的件数为 nY ,则 Y 的分布列为:
n n n
Y 1 2 ... n1 n
n
P
PX 1 PX 2
...
PX n1 PX n
总利润 W 4aY anY 2an3aY an ,所以 EW 3aEY an ;
n n n n n n
注意到:
n
PY  k PY 1PY  2￿ PY  n
n n n n
k1
PY 1PY 2￿ PY nPY 2￿ PY n￿ PY n
 n n n   n n  n
1PY 12PY 2￿ n1PY n1nPY n EY 
n n n n n
n
EY  PY 1PY 2￿ PY n PX 1PX 2￿ PX nPX k
n n n n n
k1
n
所以
EW 3aEY an3aPX kan
;
n n
k1n1 n
所以 E W EW 3aPX kan1[3aPX kan]3aPX n1a ,
n1 n
k1 k1
1
令 EW EW 0 ,得 PX n1 ,由频率分布表可知:
n1 n 3
1
n9 时, PX n1 PX 100.280 ,
3
1
n8 时, PX n1 PX 90.390 ,所以 n8 时, EY  EY ,n9 时,
3 n1 n
EY  EY 
; 即 n9 时
EW 
取得最大值 .
n1 n n