文档内容
第一章 集合与常用逻辑用语 单元优化测试卷
一、单选题
1．设集合 ，则下列集合中与集合 相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知集合 ， ，那么集合 等于（ ）
A． B．
C． D．
5．集合 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
6．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做
事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设全集为 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 ，则下面选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．给定数集M，若对于任意a， ，有 ，且 ，则称集合M为闭集合，则下列说
法中不正确的是（ ）
A．集合 为闭集合
B．正整数集是闭集合
C．集合 为闭集合
D．若集合 为闭集合，则 为闭集合
10．设全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．集合 的真子集个数为811．对任意A， ，记 ，则称 为集合A，B的对称差．例如，
若 ， ，则 ，下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若A， 且 ，则
B．若A， 且 ，则
C．若A， 且 ，则
D．存在A， ，使得
12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，
用有理数的“分割”来定义无理数 史称戴德金分割 ，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束
了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机 所谓戴德金分割，
是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素
都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割 试判断，对于任一戴德金分割 ，下列选项
中，可能成立的是（ ）
A．M没有最大元素，N有一个最小元素
B．M没有最大元素，N也没有最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M有一个最大元素，N没有最小元素
三、填空题
13．若一个整数是4的倍数或这个整数中含有数字4，我们则称这个数是“含4数”，例如20、34，将
[0，50]中所有“含4数”取出组成一个集合，则这个集合中的所有元素之和为___________.
14．已知集合 ， ，若 ，则实数m的取值范围
______________
15．已知集合A= ，若 ，则实数 的值是____________.
16．已知方程 的解集为 ，且 ，则 ______.
四、解答题
17．已知集合 或 ，集合 或 ，若 “ ”是“ ”的必要
条件，但“ ”不是“ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
18．设集合 ， ，若 ，求实数a的取值范围.19．已知集合 ， ．若 且 ⫋ ，试求实数 的值．
20．设全集 ，集合 ， .
（1）求 及 ；
（2）求 .
21．设数集 由实数构成，且满足：若 （ 且 ），则 .
（1）若 ，试证明 中还有另外两个元素；
（2）集合 是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若 中元素个数不超过8个，所有元素的和为 ，且 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求
集合 .
22．设集合 ， ， .
（1）讨论集合 与 的关系；
（2）若 ，且 ，求实数 的值.参考答案
1．C
【解析】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合 中有2个元素，分别是1和2，所以与集合
相等的集合是 .
故选：C
2．A
【解析】因为集合 ， ，
则 ，
故选：A.
3．A
【解析】如图：
由交、并、补的定义可知： .
故选：A.
4．C
【解析】因为 ，又 ，所以 .
故选：C.
5．A
【解析】因为 ， ，
所以 ，
故选：A.
6．B
【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，
故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．
故选：B
7．B
【解析】因为集合 ，则 ，而 ，所以 .
故选：B.
8．B【解析】解： ， ，当 时， ， 错误；
， ， ， 正确；
，所以 ， 错误；
， 时， ， 错误．
故选： ．
9．ABD
【解析】选项A：当集合 时， ，而 ，所以集合M不为闭集合，A
选项错误；选项B：设 是任意的两个正整数，则 ，当 时， 是负数，不属于正整数
集，所以正整数集不为闭集合，B选项错误；
选项C：当 时，设 ，
则 ，所以集合M是闭集合，C选项正确；
选项D：设 ，由C可知，集合 为闭集合，
，而 ，故 不为闭集合，D选项错误．
故选：ABD．
10．AC
【解析】因为全集 ，集合 ， ，
所以 ， ， ，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合 的元素共有3个，所以它的真子集个数为： ，因此选项D不正确，
故选：AC
11．ABD
【解析】解：对于A选项，因为 ，所以 ，所以 ，且B中的元
素不能出现在 中，因此 ，即选项A正确；
对于B选项，因为 ，所以 ，即 与 是相同的，所以
，即选项B正确；
对于C选项，因为 ，所以 ，所以 ，即选项C错误；
对于D选项， 时， ， ，D正确；
故选：ABD．
12．ABD
【解析】令 ， ，显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；
令 ， ，显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元
素，即选项B可能；
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；
令 ， ，显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，
即选项D可能.
故选：ABD．
13．673
【解析】解：[0，50]中所有“含4数”有0，4，8，12，14，16， 20， 24，28，32，34，36，40，41，
42，43，44，45，46，47，48，49，
所以所有元素之和为4+8+12+14+...+40+41+44...+49 =673.
故答案为：673.
14．
【解析】解： ， ，
由 ，
，
当 时，满足 ，
此时 ，
；
当 时，
，
则 ，
解得 ．
综上， ．
15．
【解析】由题可知：集合 ，所以 或 ，则 或
当 时， ，不符合集合元素的互异性，
当 时， ，符合题意
所以
故答案为：
16．-4
【解析】方程 的解集为 ，所以 ，
且 ，解得
= =3，解得 ，
故答案为：-4
17．
【解析】因为“ ”是“ ”的必要条件，且“ ”不是“ ”的充分条件，
所以 是 的真子集，
∴ 或 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
18． 或
【解析】由题意知 ，所以 ，
因为 ，所以 分以下三种情况：
（1）当 时， ，可得 和 是方程 的两个根，
由根与系数的关系，得 ，解得 ；
（2）当集合 为单元素集合时，即 或 }，
则 ，解得 ，此时 满足题意；
（3）当 时，则 ，解得 ，
综上所述，所求实数a的取值范围是 或
19． 或【解析】解： ， 且 ⫋ ， 或
当 时， ，解得
当 时， ，解得
综上所述， 或
20．（1） ， ；（2） .
【解析】解：（1）因为 ， ，
所以 ，
（2）因为 ，所以 ，
所以 .
21．（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3） .
【解析】（1）证明：若x∈A，则
又∵2∈A，∴
∵-1∈A，∴
∴ 中另外两个元素为 ， ；
（2） ， ， ，且 ， ，
，故集合 中至少有3个元素，∴不是双元素集合；
（3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则 ．
∴x∈A， ， ，
， ， ，
∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为： 1，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为 ，
且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，∴ ，
∵ ，∴ 2∈A，∴ ，∴ ∈A，
设m＝a，同理得 ∈A， ∈A，
∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为 ，
∴ 、3、 ，
∴ ．
22．（1）当 时， ；当 时， 是 的真子集；（2） 或 .
【解析】（1） ，
当 时， ；
当 时， 是 的真子集.
（2）当 时，因为 ，所以 .
当 时，解得 (舍去)或 ，此时 ，符合题意.
当 时，解得 ，此时 符合题意.
综上， 或 .
