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专题01 基本计数原理
题型一：分类加法计数原理的应用
题型二：分步乘法计数原理的应用
题型三：计数原理的判断及综合应用
题型四：计数原理在实际问题中的应用
题型五：代数中的计数问题
题型六：几何中的计数问题
题型七：数字排列问题
题型八：涂色问题
题型九：其它计数模型
题型一：分类加法计数原理的应用
1．（25-26 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某影城有一些电影新上映，其中有3 部科幻片､2 部文艺片､3 部
喜剧片，小华从中任选1 部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A．18
B．9
C．8
D．7
2．（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在
间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此
处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（ ）
A．9
B．11
C．13
D．15
3．（24-25 高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科
学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450 正在加紧试验，预计将在
一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4 张，一等座
10 张，商务座5 张，则小张的购票方案种数为（ ）
A．14
B．19
C．90
D．200
4．（25-26 高二上·全国·单元测试）集合
，
，从两个集合中各取一个元素作为
点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
5．（2025 高二·全国·专题练习）某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一个棋子放在如图所示的正方
形
（边长为
个单位长度）的顶点
处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向走
几个单位长度，如果掷出的点数为
，则棋子就按逆时针方向走i 个单位长度，一直循环下去.
此人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到起点A 处的不同走法共有 种.
6．（2025 高二·全国·专题练习）某玩具厂参加展出，带了四款不同类型、不同价格的玩具，它们的价格分
别是
元、
元、
元、
元.某礼品进货商准备买若干款不同类型的玩具样品（至少购买一款，且每
款只购一只），因信用卡出现故障，他身上只剩
元现金，则他买玩具样品的方案有 种.
题型二：分步乘法计数原理的应用
1．（25-26 高二上·湖北襄阳·阶段练习）李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各1 只，从兔窝中每次摸
取1 只，有放回地摸取3 次，则3 次摸取的颜色各不相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）书架上有6 本不同的书，再往书架放另外3 本不同的书，要求不改
变原来书架上6 本书的左右顺序，则不同的放法有（ ）种.
A．504
B．84
C．1008
D．168
3．（2025 高二·全国·专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，
，
，的个小正方形，使
得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则
共有（ ）种涂法，
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知图中每个开关都有闭合与不闭合2 种可能，因此5 个开关共有
种可
能情况，在这
种可能情况中，电路（从甲到乙）接通的情况有（ ）.
A．30 种
B．24 种
C．16 种
D．10 种
5．（25-26 高二上·全国·单元测试）如图，当一条电路从
处到
处接通时，不同的线路共有 条
（每条线路仅含一条通路）．
6．（2025 高二·全国·专题练习）有编号为1，2，3，4，5 的五个球和编号为1，2，3，4，5 的五个盒子.现
将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，
则共有 种放法.
题型三：计数原理的判断及综合应用
1．现有5 名同学去听同时进行的4 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种
数是（ ）
A．
B．
C．20
D．9
2．（24-25 高二下·新疆喀什·期末）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情
B．从书架上任取数学书、语文书各1 本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题
C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题
D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题
3．（24-25 高二下·全国·课前预习）若完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成
任务，则是 ;而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，
才能完成这件事，则是 .
4．有8 种不同型号的手机供4 位顾客选购，每人只购一台，则共有 种不同的选法.
题型四：计数原理在实际问题中的应用
1．（24-25 高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2 条公路可走，从丙地到乙地有3 条公路可
走，从甲地不经过丙地到乙地有2 条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、
“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅
做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安
排方法共有（ ）
A．12 种
B．14 种
C．7 种
D．9 种
3．（24-25 高三上·江苏南京·开学考试）甲、乙、丙、丁共4 名同学参加某知识竞赛，已决出了第1 名到第
4 名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：
“很遗憾，你没有得到第1 名”，从这个回答分析，4 人的名次排列情况种数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
4．（23-24 高二下·贵州·期中）高二某班级4 名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其
中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（ ）
A．54
B．12
C．8
D．81
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024 届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有
五名屏蔽生总分在前9 名，现在确定第一、二、五名是
三位同学，但
不是第
一名，
两名同学只知道在6 至9 名，且
的成绩比
好，则这5 位同学总分名次有多少种可能
（ ）
A．6
B．12
C．24
D．48
6．某人从上一层到二层需跨10 级台阶，他一步可能跨1 级台阶，称为一阶步，也可能跨2 级台阶，称为
二阶步，最多能跨3 级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6 步，而且任何相邻两步均不同阶，
则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10
B．9
C．8
D．12
7．（2025 高三·全国·专题练习）有红、黄、蓝三色旗各三面，每次可升旗一面、两面或三面，在旗杆上纵
向排列，不同的颜色和旗帜数均代表不同的信号，共可组成不同的信号 种.
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）科学家发现一种特殊的粒子，现在把该粒子放在依次排开的1~5 号密封
箱子中，两个箱子之间只有一条通道相连，该粒子每天只会出现在一个箱子里，第二天会随机出现在相邻
箱子中的一个，若科学家每天只能观察一个箱子，则至少需要 天才能确保观测到该粒子.
9．（24-25 高三下·山东·开学考试）某校为弘扬“顽强拼搏的马拉松”精神，举办了5 千米长跑比赛，若
包含甲、乙在内的共6 名同学进入了决赛，通过赛后成绩得知，其中没有名次并列的情况，甲不是第一名，
且甲和乙的名次之差的绝对值为2．（1）若甲的名次为偶数，则这6 名同学的名次排列情况共有 种；
（2）甲和乙的名次之和为10 的概率为 .
10．（23-24 高二下·天津红桥·期中）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种
动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三
位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙、牛和羊，乙同学喜欢龙和马，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如
果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 种．
题型五：代数中的计数问题
1．（24-25 高二下·山西吕梁·阶段练习）数字540 的不同正因数的个数为（ ）
A．10
B．16
C．20
D．24
2．（23-24 高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9 中，任取两个不同的数作对数的底数和真
数，则所有不同的对数的值有（ ）
A．30 个
B．42 个
C．41 个
D．39 个
3．已知
，且
，则所有满足条件的数对
的个数为（ ）
A．12
B．13
C．20
D．24
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9 这9 个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以
得到不同对数值的个数为（ ）
A．64
B．56
C．53
D．51
5．设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0 (m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格方
程，则合格方程的个数为( )
A．13
B．15
C．17
D．19
6．从1，2，…，2024 中任取两数
，
（可以相同），则
个位为8 的概率为
7．（23-24 高二下·上海·期末）集合
是
的子集，且
中的元素有完全平方数，则满
足条件的集合
共有 个．
8．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知
，
，则不同的有序集合对
有
种.
题型六：几何中的计数问题
1．从正方体的6 个面中选取3 个面，其中有2 个面不相邻的选法共有（ ）.
A．20 种
B．16 种
C．12 种
D．8 种
2．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18
B．30
C．36
D．54
3．一个国际象棋棋盘（由8×8 个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）．
“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则
（ ）
A．至多能剪成19 块“L”形骨牌
B．至多能剪成20 块“L”形骨牌
C．最多能剪成21 块“L”形骨牌
D．前三个答案都不对
4．（24-25 高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个
阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳
中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，
从该正八边形的8 个顶点中任意取出4 个构成四边形，其中梯形的个数为 ．
5．圆周上有
个等分点
，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
题型七：数字排列问题
1．（24-25 高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4 可组成无重复数字的三位奇数的个数为（ ）
A．48
B．36
C．24
D．18
2．（24-25 高二下·河北唐山·阶段练习）由数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的三位数，其中偶数
共有（ ）
A．48 个
B．52 个
C．60 个
D．120 个
3．（24-25 高三下·湖南·阶段练习）用1，3，5 组成数字可以重复的自然数，并按照从小到大的顺序排列，
依次得到1，3，5，11，13，15，31，33，35，51，53，55，…则3135 是这组数的（ ）
A．第69 项
B．第72 项
C．第74 项
D．第75 项
4．（24-25 高三上·重庆长寿·期末）数字0，1，1，2 可以组成不同的三位数共有（ ）
A．24 个
B．12
C．9 个
D．6 个
5．（23-24 高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3 的奇位数，是最中间的数位上的
数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564 的三位数中“凸数”的个数为（ ）
A．147
B．112
C．65
D．50
6．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A．240
B．192
C．120
D．72
7．（25-26 高三上·浙江·阶段练习）用1，2，3 三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个2 相邻
出现，则这样的四位数有 个.（用数字作答）
8．（24-25 高二下·福建福州·期末）用0，1，2，3 这4 个数字，可组成 个没有重复数字的三位数
（用数字作答）
题型八：涂色问题
1．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用四种颜色给下图的6 个区域涂色，每个区域涂一种颜色，
相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（ ）
A．72
B．96
C．120
D．144
2．（24-25 高二下·江苏南京·期中）用n 种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个区域
中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840 种不同的方法，则n 的值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
3．（24-25 高二下·海南海口·期末）如图，现要用4 种不同的颜色对海口市的4 个区地图进行着色，要求有
公共边的2 个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（ ）
A．24
B．48
C．72
D．120
4．（24-25 高二下·四川达州·阶段练习）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有
四个区域，现
有5 种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的
花卉种植方案共有（ ）
A．210 种
B．420 种
C．180 种
D．260 种
5．（24-25 高二下·安徽池州·期中）如图，现要用5 种不同的颜色给池州市4 个区县地图进行着色，要求有
公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（ ）种不同的着色方法.
A．180
B．120
C．60
D．240
6．（24-25 高二下·天津·阶段练习）如图，用4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色，要求每个区域涂一种颜
色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．144 种
B．120 种
C．108 种
D．96 种
7．（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2 行4 列共8 个停车位，现有2 辆红色汽车和2 辆黑色
汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .
8．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8 个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8.现准备给该伞
面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区
域1 与区域5）所涂颜色相同.若有6 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种．
题型九：其它计数模型
1．如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6，24，2013 等均为“好数”)，将所有
“好数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，若an＝2 013，则n＝（ ）
A．50
B．51
C．52
D．53
2．据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，
万百相当."算筹计数法有纵横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示
､
1 个单位，一横表示5 个单位，
例如三竖一横表示8.
现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025 高三·全国·专题练习）几位同学假期组成一个小组去某市旅游，已知该市有6 座塔，它们的位置
分别为
．同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现自己在所在的位置只能看到位于
处的4 座塔，而看不到位于
和
处的塔．已知
（1）同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合；
（2）
中任意3 点不共线；
（3）看不到塔的唯一可能就是视线被其他的塔所阻挡，例如，如果某位同学所在的位置
和
共线，且
在线段
上，那么该同学就看不到位于
处的塔．
请问，这个旅游小组最多可能有多少名同学？（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
4．（2025·辽宁·一模）数学家欧拉把“哥尼斯堡七桥问题（如图①，如何才能走过这七座桥，且每座桥都
只能经过一次，最后又回到原来的出发点？）”转化为能否一笔画出图②的问题.定义若以某一点为端点的
线有偶数条，则称该点为偶点，否则称为奇点.连通图可以一笔画出的充要条件是：奇点的数目不是0 个就
是2 个（要想一笔画成，若有奇点，起点和终点只能在奇点），因此“哥尼斯堡七桥问题”是无解的.借助
上述内容一笔画完成图③的不同路径方法有 种.
5．（23-24 高三上·河南南阳·期末）某楼梯共有
个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者
个台
阶，则小明不同的上楼方法共有 种．（用数字作答）
