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2023-2024 学年上学期期末模拟考试 01
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册 全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知全集 ,集合 , ,则集合 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】全集 ,集合 ,
则集合 ,且
所以集合 .
故选：C
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 ，得 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司但若 ，取 ，则 不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件；
故选:A.
3．某同学居住地距离学校1km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1
分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】该同学从居住地出发，一开始距离学校距离为1km，排除C、D，
先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合
适.
故选：A.
4．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 在 上单调递增，而 ，因此 ，
而 ，
所以 .
故选：B
5．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.
09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝
酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考
数据： ， ）（ ）
A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【详解】设经过 小时，血液中的酒精含量为 ，则 .
由 ，得 ，则 .因为 ，则
，所以开车前至少要休息4.2小时.
故选：B.
6．要得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【详解】 ， ，
，
所以 的图象向右平移 得到 的图象.
故选：A.
7．设函数 ，则使得 成立的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 为偶函数，且在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 或
故选：D.
8．已知函数 ，若函数 在 上恰有3个零点，则实数 的取值
范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，
解得 或 ，
即 或 ，
因为函数 在 上恰有3个零点，
所以 ，
第一个不等式组解得 ，
第二个不等式组解得
所以所求取值范围为 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
学科网（北京）股份有限公司目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知幂函数 的图象经过点 ，则（ ）
A．函数 为奇函数 B．函数 在定义域上为减函数
C．函数 的值域为 D．当 时，
【答案】AD
【详解】设幂函数为
将 代入解析式得 ，故 ，所以 ，
定义域为 ，
因为 ，故函数为奇函数，故A正确；
函数 在 上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；
显然 的值域为 ，故C错误；
当 时， ，
即满足 ，故D正确
故选：AD
10．对于实数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，
【答案】BC
【详解】对于A，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故B正确；
学科网（北京）股份有限公司对于C，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D，取 ，满足 ，
而 ，故D错误.
故选：BC.
11．已知函数 ，下列四个结论中，正确的有（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于点 对称 D．函数 在 上单调递增
【答案】AD
【详解】函数 ，最小正周期 ，A选项正确；
由 ，解得函数 的图象的对称轴方程为 ，
当 时，得函数 的图象关于直线 对称，BC选项错误；
时， ， 是正弦函数的单调递增区间，所以函数 在
上单调递增，D选项正确.
故选：AD
12．已知函数 ，若 有三个不等实根 ， ， ，且 ，则
（ ）
A． 的单调递增区间为
B．a的取值范围是
C． 的取值范围是
D．函数 有4个零点
【答案】CD
学科网（北京）股份有限公司【详解】作出函数 的图象，如图所示：
对于A，由图象可得 的单调递增区间为 ，故A不正确；
对于B，因为 有三个不等实根，即 与 有三个不同交点，所以 , ，故B不
正确；
对于C，则题意可知： ， ，所以 ，所以 , ，故C正
确；
对于D，令 ，则有 ，令 ，则有 或 ，
当 时，即 ，即 ，解得 ；
当 时，即 ，所以 或 ，解得 ，或 或 ，
所以 共有4个零点，即 有4个零点，故D正确．
故选：CD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若“ ，使得 ”是假命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为“ ，使得 ”是假命题，
所以“ ，使得 ”是真命题，
所以 ，解得 ，
故答案为: .
14．若 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】9
【详解】由于 ， ，且 ，
则 ，
当且仅当 ， 时取等号．
故 的最小值为9．
故答案为：9．
15．若函数 满足 ，则称函数 为“ 类期函数”．已知函数 为
“－2类期函数”，且曲线 恒过点 ，则点 的坐标为 ．
【答案】
【详解】由题可知，
，
令 得， ，
故 ， ，
所以曲线 恒过点 .
故答案为：
16．已知函数 ，若函数 有7个零点，则实数 的取
值范围是 ．
【答案】
【详解】函数 的图象如下图所示：
学科网（北京）股份有限公司令 ，函数 可化为 ，
函数 有7个零点，等价于方程 有7个不相等的实
根，
当 时， 可有三个不相等的实根，
当 时， 可有四个不相等的实根，
当 时， 可有三个不相等的实根，
设 的两根为 ，且 ，
若 ，方程 无零根，不符合题意，
若 ， ，由题意可知：
，
若 ，则有 ，此时 ，
这时 ，显然不满足 ，
综上所述：实数 的取值范围是 ，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
17．已知全集 ，集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）因为 ，当 时， ，
因为全集 ，则 或 ， 或 ，
因此， 或 .
（2）易知集合 为非空集合，
因为 是 的必要不充分条件，则 ，所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
18．已知 ，其中 ．
(1)求 ；
(2)求 ．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以 ．
因为 ， ，所以 ，
则 ，
又因为 ，所以 ．
（2）由（1）可得 ， ，
因为 ，
则 ，
所以
19．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .
学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 单调递增，求实数 的取值范围.
【详解】（1）解：设 ，则 ，所以 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
又因函数 是定义在 上的奇函数，可得 ，
所以函数 在 上的解析式为 .
（2）解：作出函数 的图象，如图所示，
由函数图象可知， 在 上单调递增，
要使函数 在区间 上单调递增，
则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
20．已知函数 ， ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)当 时，求 的最大值和最小值．
【详解】（1）因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司由正弦函数的单调性可令 ，
解之得 ，即 的单调递增区间为 ；
（2）当 时， ，
由正弦函数的单调性可知：
当 ，即 时， 取得最小值 ，
当 ，即 时， 取得最大值 ，
故当 时， 的最大值为 ，最小值为 .
21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小
镇”．经调研发现：某水果树的单株产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）满足如
下关系： ，肥料成本投入为 元，其他成本投入（如培育管理､施肥等
人工费） 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株
利润为 （单位：元）．
(1)求单株利润 （元）关于施用肥料 （千克）的关系式；
(2)当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
【详解】（1）依题意可得， ，
所以 .
（2）当 时， 图象开口向上，对称轴为 ，
所以函数 在 单调递减， 单调递增，
所以 ；
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
因为 ，所以当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元.
22．已知函数 的最小正周期为 ，其图象关于点 对称.
(1)令 ，判断函数 的奇偶性；
(2)是否存在实数 满足对任意 ，任意 ，使 成立.若存
在，求 的取值范围；若不存在，说明理由.
【详解】（1） 的最小正周期为 .
函数 的图象关于点 对称，
.
，
，易得 定义域为 ，
函数 为偶函数.
（2）由（1）可知 ，
实数 满足对任意 ，任意 ，
使得 成立
即 成立
令 ，设 ，
那么
，
学科网（北京）股份有限公司可等价转化为： 在 上恒成立.
令 ，其图象对称轴 ，
①当 时，即 ，解得 ；
②当 ，即 时， ，解得 ；
③当 ，即 时， ，解得 ；
综上可得，存在 ，且 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：函数不等式恒成立的一些结论：
（1） ， 恒成立 ；
（2） ， 恒成立 ；
（3） ， 恒成立 ；
（4） ，使得 成立 ．
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