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2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）
1．（5 分）设z=
，则z 的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i
B．﹣1﹣3i
C．1+3i
D．1﹣3i
2．（5 分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4]
B．[0，4）
C．[﹣1，0）
D．（﹣1，0]
3．（5 分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
4．（5 分）若向量、满足：| |=1，（+ ）⊥，（2 + ）⊥，则| |=（
）
A．2
B．
C．1
D．
5．（5 分）有6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成
一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
6．（5 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率
为
，过F2 的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4
，则C 的方
程为（ ）
A．
+
=1
B．
+y2=1
C．
+
=1
D．
+
=1
7．（5 分）曲线y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e
B．e
C．2
D．1
8．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2
，则该球的表面积为（ ）
A．
B．16π
C．9π
D．
9．（5 分）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F1、F2，点A 在C 上，若
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|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8 项和等于（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
11．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β 为60°，AB⊂α，AB⊥l，A 为垂足，CD⊂β，C∈
l，∠ACD=135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0 对称，
则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x）
B．y=g（﹣x）
C．y=﹣g（x）
D．y=﹣g（﹣x）
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)
13．（5 分）
的展开式中x2y2 的系数为
．（用数字作答）
14．（5 分）设x、y 满足约束条件
，则z=x+4y 的最大值为
．
15．（5 分）直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1 与l2 的交点为（1，3），
则l1 与l2 的夹角的正切值等于
．
16．（5 分）若函数f（x）=cos2x+asinx 在区间（
，
）是减函数，则a 的
取值范围是
．
三、解答题
17．（10 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA
，tanA=
，求B．
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18．（12 分）等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1=13，a2 为整数，且Sn≤S4
．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC
上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1 与平面BCC1B1 的距离为
，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小．
20．（12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为
0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
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21．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交
点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=
|PQ|．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M
、N 两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．
22．（12 分）函数f（x）=ln（x+1）﹣
（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：
＜an≤
（n∈N*）．
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2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）
1．（5 分）设z=
，则z 的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i
B．﹣1﹣3i
C．1+3i
D．1﹣3i
【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z 的共轭可求．
【解答】解：∵z=
=
，
∴
．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础
题．
2．（5 分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4]
B．[0，4）
C．[﹣1，0）
D．（﹣1，0]
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
又N={x|0≤x≤5}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．
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故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5 分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=
＞sin35°，综合可得．
【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°=
＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，
属基础题．
4．（5 分）若向量、满足：| |=1，（+ ）⊥，（2 + ）⊥，则| |=（
）
A．2
B．
C．1
D．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+ ）• =0，（2 + ）• =0，
由此求得| |．
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【解答】解：由题意可得，（+ ）• =
+
=1+
=0，∴
=﹣1；
（2 + ）• =2
+
=﹣2+
=0，∴b2=2，
则| |=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积
等于零，属于基础题．
5．（5 分）有6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成
一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2 步分析，先从6 名男医生中选2 人，再从5 名女医生
中选出1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计
算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6 名男医生中选2 人，有C62=15 种选法，
再从5 名女医生中选出1 人，有C51=5 种选法，
则不同的选法共有15×5=75 种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
6．（5 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率
为
，过F2 的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4
，则C 的方
程为（ ）
A．
+
=1
B．
+y2=1
C．
+
=1
D．
+
=1
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【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF1B 的周长为4
，求出a=
，根据离心率为
，可得c=1，
求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B 的周长为4
，
∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4
，
∴a=
，
∵离心率为
，
∴
，c=1，
∴b=
=
，
∴椭圆C 的方程为
+
=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算
能力，属于基础题．
7．（5 分）曲线y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e
B．e
C．2
D．1
【考点】62：导数及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1 时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1 在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
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故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，
比较基础．
8．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2
，则该球的表面积为（ ）
A．
B．16π
C．9π
D．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PO1 上，记为O，求出PO1
，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（
）2，
∴R=
，
∴球的表面积为4π•（
）2=
．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础
题．
9．（5 分）已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F1、F2，点A 在C 上，若
|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
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A．
B．
C．
D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线C 的离心率为2，
∴e=
，即c=2a，
点A 在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则
由
余
弦
定
理
得
cos
∠
AF2F1=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是
解决本题的关键，考查学生的计算能力．
10．（5 分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8 项和等于（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性
质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
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∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2•…•a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．
11．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β 为60°，AB⊂α，AB⊥l，A 为垂足，CD⊂β，C∈
l，∠ACD=135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB 与CD 所成角，
利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
【解答】解：如图，过A 点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A 做AF∥CD，
过点E 做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA 中，设AE=a，则AB=2a，BE=
a，
在Rt△AEF 中，则EF=a，AF=
a，
在Rt△BEF 中，则BF=2a，
∴异面直线AB 与CD 所成的角即是∠BAF，
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∴cos∠BAF=
=
=
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平
面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难
题．
12．（5 分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0 对称，
则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x）
B．y=g（﹣x）
C．y=﹣g（x）
D．y=﹣g（﹣x）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P 关于y=x 的
对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0 的对
称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．
【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P 关于y=x 的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0 对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0 的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
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故选：D．
【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)
13．（5 分）
的展开式中x2y2 的系数为 70 ．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y 的幂指数都等于2，求得r
的值，即可求得展开式中x2y2 的系数．
【解答】解：
的展开式的通项公式为 Tr+1=
•（﹣1）r•
•
=
•（﹣1）r•
•
，
令 8﹣
=
﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2 的系数为
=70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式
的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．（5 分）设x、y 满足约束条件
，则z=x+4y 的最大值为 5 ．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到
最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
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【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立
，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得
．
由图可知，当直线
过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．
此时zmax=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档
题．
15．（5 分）直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1 与l2 的交点为（1，3），
则l1 与l2 的夹角的正切值等于
．
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】设l1 与l2 的夹角为2θ，由于l1 与l2 的交点A（1，3）在圆的外部，由
直角三角形中的边角关系求得sinθ=
的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根
据tan2θ=
，计算求得结果．
【解答】解：设l1 与l2 的夹角为2θ，由于l1 与l2 的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A 与圆心O 之间的距离为OA=
=
，
圆的半径为r=
，
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∴sinθ=
=
，
∴cosθ=
，tanθ=
=
，
∴tan2θ=
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角
三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
16．（5 分）若函数f（x）=cos2x+asinx 在区间（
，
）是减函数，则a 的
取值范围是 （﹣∞，2] ．
【考点】HM：复合三角函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx 换元，根据给出的x 的
范围求出t 的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求
解a 的范围．
【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
∵x∈（
，
）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1 在t∈（
，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1 的图象开口向下，且对称轴方程为t=
．
∴
，解得：a≤2．
∴a 的取值范围是（﹣∞，2]．
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故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为
减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．
三、解答题
17．（10 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA
，tanA=
，求B．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同
角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C
）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=
，
∴2tanC=3×
=1，解得tanC=
．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣
=﹣
=﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切
公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，
属于中档题．
18．（12 分）等差数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1=13，a2 为整数，且Sn≤S4
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．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）通过Sn≤S4 得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2 为整数可得d=﹣4，
进而可得结论；
（2）通过an=13﹣3n，分离分母可得bn=
（
﹣
），并项相加即可．
【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由Sn≤S4 得：
a4≥0，a5≤0，
又∵a1=13，
∴
，解得﹣
≤d≤﹣
，
∵a2 为整数，∴d=﹣4，
∴{an}的通项为：an=17﹣4n；
（2）∵an=17﹣4n，
∴bn=
=
=﹣
（
﹣
），
于是Tn=b1+b2+……+bn
=﹣
[（
﹣
）+（
﹣
）+……+（
﹣
）]
=﹣
（
﹣
）
=
．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积
累，属于中档题．
19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC
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上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1 与平面BCC1B1 的距离为
，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角
函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，
由侧面AA1C1C 为菱形可得AC1⊥A1C，
又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，
∴AC1⊥A1B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，
∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，
作A1E⊥CC1，E 为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，
又直线AA1∥平面BCC1B1，
∴A1E 为直线AA1 与平面BCC1B1 的距离，即A1E=
，
∵A1C 为∠ACC1 的平分线，∴A1D=A1E=
，
作DF⊥AB，F 为垂足，连结A1F，
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又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，
∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF
∴A1F⊥AB，
∴∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角，
由AD=
=1 可知D 为AC 中点，
∴DF=
=
，
∴tan∠A1FD=
=
，
∴二面角A1﹣AB﹣C 的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关
键，属中档题．
20．（12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为
0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机
变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】记Ai 表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B 表示事
件：甲需要设备，C 表示事件，丁需要设备，D 表示事件：同一工作日至少3
人需使用设备
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（Ⅰ）把4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有3 个人使用设备的概率相加，
即得所求．
（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计
算即可．
【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3 人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6
×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×
（1﹣0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P （X=2 ）=1﹣P （X=0 ）﹣P （X=1 ）﹣P （X=3 ）﹣P （X=4 ）
=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，
计算要有耐心，属于难题．
21．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交
点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=
|PQ|．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M
、N 两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
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【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C 的方程
，求得x0=
，根据|QF|=
|PQ|求得 p 的值，可得C 的方程．
（Ⅱ）设l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、
中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，
利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN 垂直平分线段AB，故AMBN
四点共圆等价于|AE|=|BE|=
|MN|，由此求得m 的值，可得直线l 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C：
y2=2px（p＞0），
可得x0=
，∵点P（0，4），∴|PQ|=
．
又|QF|=x0+
=
+
，|QF|=
|PQ|，
∴
+
=
×
，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C 的方程为 y2=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点F（1，0），
设l 的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，
y1•y2=﹣4．
∴
AB
的
中
点
坐
标
为
D
（
2m2+1
，
2m
）
，
弦
长
|AB|=
|y1﹣y2|=
=4（m2+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣
y+2m2+3．
过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两
点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+
y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=
，
y3•y4=﹣4（2m2+3）．
故线段MN 的中点E 的坐标为（
+2m2+3，
），∴|MN|=
|y3﹣y4|=
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，
∵MN 垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=
|MN|，
∴
+DE2=
MN2，
∴4（m2+1）2 +
+
=
×
，化简可得
m2﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l 的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应
用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
22．（12 分）函数f（x）=ln（x+1）﹣
（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：
＜an≤
（n∈N*）．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a 的取值范围，即可得到f（x）的单
调性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=
，
①当1＜a＜2 时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1
，a2﹣2a）上是增函数，
若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函
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数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2 时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2 时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）
上是增函数，
若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函
数，
若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是
增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2 时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞
，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3 时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜
，
下面用数学归纳法进行证明
＜an≤
成立，
①当n=1 时，由已知
，故结论成立．
②假设当n=k 时结论成立，即
，
则当n=k+1 时，an+1=ln（an+1）＞ln（
）
，
ak+1=ln（ak+1）＜ln（
）
，
即当n=k+1 时，
成立，
综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．
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【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证
明不等式，综合性较强，难度较大．
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