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2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{0，1}
D．{1，2}
2．（5 分）设复数z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（
）
A．﹣5
B．5
C．﹣4+i
D．﹣4﹣i
3．（5 分）设向量，满足| + |=
，| ﹣|=
，则• =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
4．（5 分）钝角三角形ABC 的面积是
，AB=1，BC=
，则AC=（ ）
A．5
B．
C．2
D．1
5．（5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75
，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的
空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
6．（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画
出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体
毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t 均为2，则输出的S=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
8．（5 分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
9．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x﹣y 的最大值为（ ）
A．10
B．8
C．3
D．2
10．（5 分）设F 为抛物线C：y2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于
A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是A1B1，A1C1 的
中点，BC=CA=CC1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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12．（5 分）设函数f（x）=
sin
，若存在f（x）的极值点x0 满足x02+[f（x0
）]2＜m2，则m 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）
B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.（第13 题~第21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22 题~第24 题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5 分）（x+a）10 的展开式中，x7 的系数为15，则a=
．
14．（5 分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为
．
15．（5 分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞
0，则x 的取值范围是
．
16．（5 分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠OMN=45°
，则x0 的取值范围是
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（12 分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（Ⅰ）证明{an+
}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：
+
+…+
＜
．
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18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，
E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C 为60°，AP=1，AD=
，求三棱锥E﹣ACD 的体积．
19．（12 分）某地区2007 年至2013 年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千
元）的数据如表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭
人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=
，= ﹣
．
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20．（12 分）设F1，F2 分别是C：
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是C
上一点且MF2 与x 轴垂直，直线MF1 与C 的另一个交点为N．
（1）若直线MN 的斜率为
，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
21．（12 分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0 时，g（x）＞0，求b 的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜
＜1.4143，估计ln2 的近似值（精确到0.001）．
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请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10 分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O
相交于点B，C，PC=2PA，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系
，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，
]
（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l：y=
x+2 垂直，根据
（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
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六、解答题（共1 小题，满分0 分）
24．设函数f（x）=|x+
|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a 的取值范围．
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2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{0，1}
D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】求出集合N 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，
∴M∩N={1，2}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）设复数z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（
）
A．﹣5
B．5
C．﹣4+i
D．﹣4﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．
【解答】解：z1=2+i 对应的点的坐标为（2，1），
∵复数z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z2=﹣2+i，
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则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关
键，比较基础．
3．（5 分）设向量，满足| + |=
，| ﹣|=
，则• =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：∵| + |=
，| ﹣|=
，
∴分别平方得
+2 • +
=10，
﹣2 • +
=6，
两式相减得4 • =10﹣6=4，
即• =1，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，
比较基础．
4．（5 分）钝角三角形ABC 的面积是
，AB=1，BC=
，则AC=（ ）
A．5
B．
C．2
D．1
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC 的值代入求出
sinB 的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B 为锐角时，利用同角三角
函数间的基本关系求出cosB 的值，利用余弦定理求出AC 的值即可．
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【解答】解：∵钝角三角形ABC 的面积是
，AB=c=1，BC=a=
，
∴S=
acsinB=
，即sinB=
，
当B 为钝角时，cosB=﹣
=﹣
，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=
，
当B 为锐角时，cosB=
=
，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=
．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本
关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5．（5 分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75
，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的
空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，
由此解得p 的值．
【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×
p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
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6．（5 分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画
出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体
毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即
可．
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3 高为2，一个是底
面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．
底面半径为3cm，高为6cm 的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：
=
．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想
象能力以及计算能力．
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7．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t 均为2，则输出的S=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
【解答】解：若x=t=2，
则第一次循环，1≤2 成立，则M=
，S=2+3=5，k=2，
第二次循环，2≤2 成立，则M=
，S=2+5=7，k=3，
此时3≤2 不成立，输出S=7，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．
8．（5 分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
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第13 页（共31 页）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0 处的切线斜率
，再代入计算．
【解答】解：
，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经
常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为
一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不
等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
9．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x﹣y 的最大值为（ ）
A．10
B．8
C．3
D．2
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形
结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x﹣y 得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z 经过点C 时，直线y=2x﹣z 的截距最小，
此时z 最大．
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由
，解得
，即C（5，2）
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×5﹣2=8．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形
结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
10．（5 分）设F 为抛物线C：y2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于
A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B
两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与
系数关系得到A，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三
角形AOF 与BOF 的面积和得答案．
【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=
，
则F（
，0）．
∴过A，B 的直线方程为y=
（x﹣
），
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即x=
y+
．
联立
，得4y2﹣12
y﹣9=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=3
，y1y2=﹣
．
∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=
×
|y1﹣y2|=
=
×
=
．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直
线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方
程的根与系数关系解题，是中档题．
11．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是A1B1，A1C1 的
中点，BC=CA=CC1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与
AN 所成角的余弦值．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BCA=90°，M，N 分别是A1B1，A1C1
的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=
，AN=
，MB=
=
=
，
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在△ANO 中，由余弦定理可得：cos∠ANO=
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解
题的关键，同时考查余弦定理的应用．
12．（5 分）设函数f（x）=
sin
，若存在f（x）的极值点x0 满足x02+[f（x0
）]2＜m2，则m 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）
B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得，f（x0）=±
，且
=kπ+
，k∈Z，再由题意可得当
m2 最小时，|x0|最小，而|x0|最小为
|m|，可得m2 ＞
m2+3，由此求得m
的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x0）=±
，即
=kπ+
，k∈z，即
x0=
m．
再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2 最小时，|x0|最小，而|x0|
最小为
|m|，
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第17 页（共31 页）
∴m2 ＞
m2+3，∴m2＞4．
求得 m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的
数学思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.（第13 题~第21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22 题~第24 题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5 分）（x+a）10 的展开式中，x7 的系数为15，则a=
．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可
求得x7 的系数，再根据x7 的系数为15，求得a 的值．
【解答】解：（x+a）10 的展开式的通项公式为 Tr+1=
•x10﹣r•ar，
令10﹣r=7，求得r=3，可得x7 的系数为a3•
=120a3=15，
∴a=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式
中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
14．（5 分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 1 ．
【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）
=sinx，从而求得函数的最大值．
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【解答】解：函数f （x ）=sin （x+2φ ）﹣2sinφcos （x+φ ）=sin[ （x+φ ）
+φ]﹣2sinφcos（x+φ）
=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ
）sinφ
=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最
值，属于中档题．
15．（5 分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞
0，则x 的取值范围是 （﹣1，3） ．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）
＞f（2），即可得到结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x﹣1）＞0 等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价
转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．
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16．（5 分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠OMN=45°
，则x0 的取值范围是 [﹣1，1] ．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），
要使圆O：x2+y2=1 上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN 的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN 与圆相切时∠OMN 取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，
∴x0 的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合
是快速解得本题的策略之一．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（12 分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（Ⅰ）证明{an+
}是等比数列，并求{an}的通项公式；
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（Ⅱ）证明：
+
+…+
＜
．
【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即
=常
数，又首项不为0，所以为等比数列；
再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；
（Ⅱ）将
进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证
明不等式．
【解答】证明（Ⅰ）
=
=3，
∵
≠0，
∴数列{an+
}是以首项为
，公比为3 的等比数列；
∴an+
=
=
，即
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
当n≥2 时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴
＜
=
，
∴当n=1 时，
成立，
当n≥2 时，
+
+…+
＜1+
…+
=
=
＜
．
∴对n∈N+时，
+
+…+
＜
．
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，
只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是
常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新
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数列．属于中档题．
18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，
E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C 为60°，AP=1，AD=
，求三棱锥E﹣ACD 的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的
平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接BD 交AC 于O 点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB
∥平面AEC；
（Ⅱ）延长AE 至M 连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平
面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD 的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 于O 点，连接EO，
∵O 为BD 中点，E 为PD 中点，
∴EO∥PB，（2 分）
EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6 分）
（Ⅱ）解：延长AE 至M 连结DM，使得AM⊥DM，
∵四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∴CD⊥MD．
∵二面角D﹣AE﹣C 为60°，
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∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD=
，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E 为PD 的中点．AE=1，
∴DM=
，
CD=
=
．
三棱锥E﹣ACD 的体积为：
=
=
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指
数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．
19．（12 分）某地区2007 年至2013 年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千
元）的数据如表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007 年至2013 年该地区农村居民家庭
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人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=
，= ﹣
．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，
横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的
值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015
年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，=
×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=
×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴
=
=
=0.5，
= ﹣
=4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y 关于t 的线性回归方程为
=0.5t+2.3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007 年至2013 年该地区农村居民家庭人均纯
收入逐年增加，平均每年增加0.5 千元．
将2015 年的年份代号t=9 代入
=0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015 年农村居民家庭人均纯收入为6.8 千元．
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【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认
真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基
础题．
20．（12 分）设F1，F2 分别是C：
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是C
上一点且MF2 与x 轴垂直，直线MF1 与C 的另一个交点为N．
（1）若直线MN 的斜率为
，求C 的离心率；
（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为
，建立关于a
，c 的方程即可求C 的离心率；
（2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，
求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵M 是C 上一点且MF2 与x 轴垂直，
∴M 的横坐标为c，当x=c 时，y=
，即M（c，
），
若直线MN 的斜率为
，
即tan∠MF1F2=
，
即b2=
=a2﹣c2，
即c2+
﹣a2=0，
则
，
即2e2+3e﹣2=0
解得e=
或e=﹣2（舍去），
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即e=
．
（Ⅱ）由题意，原点O 是F1F2 的中点，则直线MF1 与y 轴的交点D（0，2）是
线段MF1 的中点，
设M（c，y），（y＞0），
则
，即
，解得y=
，
∵OD 是△MF1F2 的中位线，
∴
=4，即b2=4a，
由|MN|=5|F1N|，
则|MF1|=4|F1N|，
解得|DF1|=2|F1N|，
即
设N（x1，y1），由题意知y1＜0，
则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．
即
，即
代入椭圆方程得
，
将b2=4a 代入得
，
解得a=7，b=
．
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【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是
解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
21．（12 分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0 时，g（x）＞0，求b 的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜
＜1.4143，估计ln2 的近似值（精确到0.001）．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，
从而问题转化为“判断g′（x）＞0 是否成立”的问题；
对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用
的近似值，并寻求ln2，于
是在b=2 及b＞2 的情况下分别计算
，最后可估计ln2 的近似值．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2
，
即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x 即x=0 时，f′（x）=0，
∴函数f（x）在R 上为增函数．
（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]
=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]
=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．
①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，
∴当2b≤4，即b≤2 时，g′（x）≥0，当且仅当x=0 时取等号，
从而g（x）在R 上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0 时，g（x）＞0，符合题意．
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②当b ＞2 时，若x 满足2 ＜ex+e﹣x ＜2b﹣2 即
，得
，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0 知，当
时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b 的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜
＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）
+（8b﹣4）x，
为了凑配ln2，并利用
的近似值，故将ln
即
代入g（x）的解析式中，
得
．
当b=2 时，由g（x）＞0，得
，
从而
；
令
，得
＞2，当
时，
由
g
（
x
）
＜
0
，
得
，
得
．
所以ln2 的近似值为0.693．
【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的
把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．
2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到
对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究
b 的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为
的范围的端点值，
达到了估值的目的．
请考生在第22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10 分）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O
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相交于点B，C，PC=2PA，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】17：选作题；5Q：立体几何．
【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E 是
的中点，从而BE=EC；
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2
．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D 为PC 的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E 是
的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B，C，
∴PA2=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
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∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB2．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查
学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系
，半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，
]
（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在半圆C 上，半圆C 在D 处的切线与直线l：y=
x+2 垂直，根据
（1）中你得到的参数方程，求直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用
即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1 进
而得出参数方程．
（2）利用半圆C 在D 处的切线与直线l：y=
x+2 垂直，则直线CD 的斜率与直
线l 的斜率相等，即可得出直线CD 的倾斜角及D 的坐标．
【解答】解：（1）由半圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，
]，即ρ2=2ρcosθ
，可得C 的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C 的参数方程为
（t 为参数，0≤t≤π）．
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（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C 是以C（1，0）为圆心，1 为半径的
上半圆，
∵直线CD 的斜率与直线l 的斜率相等，∴tant=
，t=
．
故D 的直角坐标为
，即（
，
）．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、
直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六、解答题（共1 小题，满分0 分）
24．设函数f（x）=|x+
|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a 的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+
|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本
不等式证得f（x）≥2 成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+
|+|3﹣a|＜5，分当a＞3 时和当0＜a≤3 时两种情况，分
别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+
|+|x﹣a|≥|（x+
）﹣（x﹣a
）|=|a+
|=a+
≥2
=2，
故不等式f（x）≥2 成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+
|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3 时，不等式即a+
＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜
．
当0＜a≤3 时，不等式即 6﹣a+
＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得
＜a≤3．
综上可得，a 的取值范围（
，
）．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、
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分类讨论的数学思想，属于中档题．
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