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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4}
D．{1，3，4}
2．（5 分）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i
B．1+3i
C．3+i
D．3+3i
3．（5 分）函数f（x）=sin（2x+
）的最小正周期为（ ）
A．4π
B．2π
C．π
D．
4．（5 分）设非零向量，满足| + |=| ﹣|则（ ）
A．⊥
B．| |=| |
C．∥
D．| |＞| |
5．（5 分）若a＞1，则双曲线
﹣y2=1 的离心率的取值范围是（ ）
A．（
，+∞） B．（
，2）
C．（1，
）
D．（1，2）
6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三
视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
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7．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最小值是（ ）
A．﹣15
B．﹣9
C．1
D．9
8．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞）
D．（4，+∞）
9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师
说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看
丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根
据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．5
11．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再
随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为
的直线交C 于点M（M
在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距
离为（ ）
A．
B．2
C．2
D．3
二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为
．
14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（
x）=2x3+x2，则f（2）=
．
15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，
则球O 的表面积为
．
16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA
，则B=
．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要
求作答．（一）必考题：共60 分．
17．（12 分）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，等比数列{bn}的前n 项和为Tn
，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
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18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD 面积为2
，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．
19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收
获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频
率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
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新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K）
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
K2=
．
20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
+y2=1 上，过M 作x 轴的
垂线，垂足为N，点P 满足
=
．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且
•
=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l
过C 的左焦点F．
21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．
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选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M 为曲线C1 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点
P 的轨迹C2 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为（2，
），点B 在曲线C2 上，求△OAB 面积的最大值
．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4}
D．{1，3，4}
【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法．
【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求出
两集合的并集．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∪B={1，2，3，4}
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的
运算规则，是集合中的基本概念型题．
2．（5 分）（1+i）（2+i）=（ ）
A．1﹣i
B．1+3i
C．3+i
D．3+3i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
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．
3．（5 分）函数f（x）=sin（2x+
）的最小正周期为（ ）
A．4π
B．2π
C．π
D．
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
【解答】解：函数f（x）=sin（2x+
）的最小正周期为：
=π．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
4．（5 分）设非零向量，满足| + |=| ﹣|则（ ）
A．⊥
B．| |=| |
C．∥
D．| |＞| |
【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】由已知得
，从而
=0，由此得到
．
【解答】解：∵非零向量，满足| + |=| ﹣|，
∴
，
，
，
解得
=0，
∴
．
故选：A．
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【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意
向量的模的性质的合理运用．
5．（5 分）若a＞1，则双曲线
﹣y2=1 的离心率的取值范围是（ ）
A．（
，+∞） B．（
，2）
C．（1，
）
D．（1，2）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线方程，求出a，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可．
【解答】解：a＞1，则双曲线
﹣y2=1 的离心率为：
=
=
∈（1，
）．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三
视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
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【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半
，即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的
一半，
V=π•32×10﹣
•π•32×6=63π，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最小值是（ ）
A．﹣15
B．﹣9
C．1
D．9
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值
即可．
【解答】解：x、y 满足约束条件
的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，
由
解得A（﹣6，﹣3），
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则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
8．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞）
D．（4，+∞）
【考点】3G：复合函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由x2﹣2x﹣8＞0 得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，
则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0 得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8 为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8 为增函数；
y=lnt 为增函数，
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次
数函数的图象和性质，难度中档．
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第12 页（共27 页）
9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说
：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙
的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据
以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明．
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正
确答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知
道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，
则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙
看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道
自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲
丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已
的成绩了
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所
说及最后甲说话，属于中档题．
10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）
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第13 页（共27 页）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K 值，当K=7 时，程序终
止即可得到结论．
【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；
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满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6 不成立，退出循环输出S 的值为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
11．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再
随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上
的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张
卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再
随机抽取1 张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），
（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10 个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=
=
．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合
理运用．
12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为
的直线交C 于点M（M
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第15 页（共27 页）
在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距
离为（ ）
A．
B．2
C．2
D．3
【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．
【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公
式求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2=4x 的焦点F（1，0），且斜率为
的直线：y=
（x﹣1
），
过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为
的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），
l
可知：
，解得M（3，2
）．
可得N（﹣1，2
），NF 的方程为：y=﹣
（x﹣1），即
，
则M 到直线NF 的距离为：
=2
．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．
二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为
．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图
像与性质．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=
（
cosx+
sinx）=
sin（x+θ），
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第16 页（共27 页）
其中tanθ=2，
可知函数的最大值为：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能
力．
14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（
x）=2x3+x2，则f（2）= 12 ．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而
根据奇函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
∴f（﹣2）=﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R 上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基
础题．
15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，
则球O 的表面积为 14π ．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，
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第17 页（共27 页）
可知长方体的对角线的长就是球的直径，
所以球的半径为：
=
．
则球O 的表面积为：4×
=14π．
故答案为：14π．
【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算
能力．
16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA
，则B=
．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：
解三角形．
【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=
，
∵0＜B＜π，
∴B=
，
故答案为：
【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要
求作答．（一）必考题：共60 分．
17．（12 分）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，等比数列{bn}的前n 项和为Tn
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第18 页（共27 页）
，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差
数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公
式；
（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和
求和，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2 或d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；
（2）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4 或﹣5，
当q=4 时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5 时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差
和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题．
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第19 页（共27 页）
18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面
ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD 面积为2
，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD 中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵
AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，
AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，
则AB=BC=x，CD=
，O 是AD 的中点，
连接PO，OC，CD 的中点为：E，连接OE，
则OE=
，PO=
，PE=
=
，
△PCD 面积为2
，可得：
=2
，
即：
，解得x=2，PO=2
．
则V P﹣ABCD=
×
（BC+AD）×AB×PO=
=4
．
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【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考
查空间想象能力以及计算能力．
19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收
获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频
率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K）
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
K2=
．
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【考点】B8：频率分布直方图；BL：独立性检验．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（2 ）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K2=
≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案；
（3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：
P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；
（2）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则有K2=
≈15.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由频率分布直方图可得：
旧养殖法100 个网箱产量的平均数
1= （27.5 × 0.012+32.5 × 0.014+37.5 ×
0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5
×0.012）×5=5×9.42=47.1；
新养殖法100 个网箱产量的平均数
2= （37.5 × 0.004+42.5 × 0.020+47.5 ×
0.044+52.5 × 0.054+57.5 × 0.046+62.5 × 0.010+67.5 × 0.008 ）× 5=5 ×
10.47=52.35；
比较可得：
1＜
2，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差
的计算，关键认真分析频率分布直方图．
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20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
+y2=1 上，过M 作x 轴的
垂线，垂足为N，点P 满足
=
．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且
•
=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l
过C 的左焦点F．
【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．
【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向
量的坐标运算，结合M 满足椭圆方程，化简整理可得P 的轨迹方程；
（2）设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数
量积的坐标表示，可得m，即有Q 的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ
，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P 满足
=
．
可得（x﹣x0，y）=
（0，y0），
可得x﹣x0=0，y=
y0，
即有x0=x，y0=
，
代入椭圆方程
+y2=1，可得
+
=1，
即有点P 的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），
•
=1，可得（
cosα，
sinα）•（﹣3﹣
cosα，m﹣
sinα）=1，
即为﹣3
cosα﹣2cos2α+
msinα﹣2sin2α=1，
当α=0 时，上式不成立，则0＜α＜2π，
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解得m=
，
即有Q（﹣3，
），
椭圆
+y2=1 的左焦点F（﹣1，0），
由
•
=（﹣1﹣
cosα，﹣
sinα）•（﹣3，
）
=3+3
cosα﹣3（1+
cosα）=0．
可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由
•
=1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，
又P 在圆x2+y2=2 上，可得m2+n2=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
•
=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
则
⊥
，
可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考
查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和
两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题
．
21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的
单调性即可．
（2）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对a 的范围进行讨论
：
①当a≥1 时，②当0＜a＜1 时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（
x＞0），推出结论；③当a≤0 时，推出结果，然后得到a 的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）ex，x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex，
令f′（x）=0 可知x=﹣1±
，
当x＜﹣1﹣
或x＞﹣1+
时f′（x）＜0，当﹣1﹣
＜x＜﹣1+
时f′（x）＞
0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣
），（﹣1+
，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣
，﹣1+
）上单调递增；
（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对a 的范围进行讨论：
①当a≥1 时，设函数h（x）=（1﹣x）ex，则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1 时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1 时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
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取x0=
∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③当a≤0 时，取x0=
∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1
，矛盾；
综上所述，a 的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考
查转化思想以及计算能力．
选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M 为曲线C1 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点
P 的轨迹C2 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为（2，
），点B 在曲线C2 上，求△OAB 面积的最大值
．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16 列
方程化简即可；
（2）求出曲线C2 的圆心和半径，得出B 到OA 的最大距离，即可得出最大面积．
【解答】解：（1）曲线C1 的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则
，∴y0=
，
∵|OM||OP|=16，
∴
=16，
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即（x2+y2）（1+
）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
两边开方得：x2+y2=4x，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P 的轨迹C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A 的直角坐标为A（1，
），显然点A 在曲线C2 上，|OA|=2，
∴曲线C2 的圆心（2，0）到弦OA 的距离d=
=
，
∴△AOB 的最大面积S=
|OA|•（2+
）=2+
．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线
与圆的位置关系，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3=2 转化为
=ab，再由均值不等式可得：
=ab≤（
）2，即可得到
（a+b）3≤2，问题得以证明．
【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（
+
）2=
（a3+b3）2≥4，
当且仅当
=
，即a=b=1 时取等号，
（2）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
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∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴
=ab，
由均值不等式可得：
=ab≤（
）2，
∴（a+b）3﹣2≤
，
∴
（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1 时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于
中档题
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