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2015-2019 年高考文科数学真题试卷50 套
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设
3
i
1
2i
z
，则z =
A．2
B．
3
C．2
D．1
2．已知集合
1,2,3,4,5,6,7
2,3,4,5
2,3,6,7
U
A
B
，
，
，则
A．
1,6
B．
1,7
C．
6,7
D．
1,6,7
3．已知
0.2
0.3
2
log 0.2,
2
,
0.2
a
b
c
，则
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
c
a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5
1
2
（
5
1
2
≈0.618，称为
黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之
比也是
5
1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其
身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
5．函数f(x)=
2
sin
cos
x
x
x
x
在[-π，π]的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．某学校为了解1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等
距抽取100 名学生进行体质测验.若46 号学生被抽到，则下面4 名学生中被抽到的是
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
D．815 号学生
7．tan255°=
A．-2-
3
B．-2+ 3
C．2-
3
D．2+ 3
8．已知非零向量a，b 满足a =2 b ，且（a-b）b，则a 与b 的夹角为
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A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
9．如图是求
1
1
2
1
2
2
的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
1
2
A
B．A=
1
2
A
C．A=
1
1
2A
D．A=
1
1
2A
10．双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
1
sin50
D．
1
cos50
11．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=- 1
4
，则b
c
=
A．6
B．5
C．4
D．3
12．已知椭圆C 的焦点为
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
，过F2 的直线与C 交于A，B 两点.若
2
2
|
| 2 |
|
AF
F B
，
1
|
| |
|
AB
BF
，
则C 的方程为
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
5
4
x
y
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．曲线
2
)
3(
ex
y
x
x
在点(0,0) 处的切线方程为___________．
14．记Sn 为等比数列{an}的前n 项和.若
1
3
3
1
4
a
S
，
，则S4=___________．
15．函数
3π
( )
sin(2
)
3cos
2
f x
x
x
的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC=2，点P 到∠ACB 两边AC，BC 的距离均为
3 ，那么P 到平面ABC
的距离为___________．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。
17．（12 分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意
的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
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男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
K
a
b c
d a
c b
d
．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（12 分）
记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an 的n 的取值范围．
19．（12 分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D
的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C 到平面C1DE 的距离．
20．（12 分）
已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．
21.（12 分）
已知点A，B 关于坐标原点O 对称，│AB│=4，⊙M 过点A，B 且与直线x+2=0 相切．
（1）若A 在直线x+y=0 上，求⊙M 的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A 运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
2
1
1
4
1
t
x
t
t
y
t
，
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2
cos
3 sin
11
0
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10 分）
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已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
；
（2）
3
3
3
(
)
(
)
(
)
24
a
b
b
c
c
a
．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．B
5．D
6．C
7．D
8．B
9．A
10．D
11．A
12．B
二、填空题
13．y=3x
14．5
8
15．−4
16．2
三、解答题
17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40
0.8
50
，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估
计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为30
0.6
50
，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）
2
2
100 (40 20
30 10)
4.762
50 50 70 30
K
．
由于4.762
3.841
，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设
na
的公差为d．
由
9
5
S
a
得
1
4
0
a
d
．
由a3=4得
1
2
4
a
d
．
于是
1
8,
2
a
d
．
因此
na
的通项公式为
10
2
na
n
．
（2）由（1）得
1
4
a
d
，故
(
9)
(
5) ,
2
n
n
n n
d
a
n
d S
.
由
1
0
a
知
0
d
，故
n
n
S
a 等价于
2
11
10 0
n
n
，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是{ |1
10,
}
n
n
nN ．
19．解：
（1）连结
1 ,
B C ME .因为M，E分别为
1,
BB BC 的中点，所以
1
ME
B C
∥
，且
1
1
2
ME
B C
.又因为N为
1A D 的
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中点，所以
1
1
2
ND
A D
.
由题设知
1
1=
A B
DC
∥
，可得
1
1
=
B C
A D
∥
，故
=
ME
ND
∥
，因此四边形MNDE为平行四边形，MN
ED
∥
.又
MN 平面
1
C DE ，所以MN∥平面
1
C DE .
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DE
BC
，
1
DE
C C
，所以DE⊥平面
1
C CE ，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面
1
C DE ，故CH的长即为C到平面
1
C DE 的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以
1
17
C E
，故
4 17
17
CH
.
从而点C到平面
1
C DE 的距离为4 17
17
.
20．解：
（1）设( )
( )
g x
f
x
，则( )
cos
sin
1,
( )
cos
g x
x
x
x
g x
x
x
.
当
π
(0,
)
2
x
时，
( )
0
g x
；当
π ,π
2
x
时，
( )
0
g x
，所以
( )
g x 在
π
(0,
)
2
单调递增，在π ,π
2
单调递
减.
又
π
(0)
0,
0, (π)
2
2
g
g
g
，故
( )
g x 在(0,π) 存在唯一零点.
所以
( )
f
x
在(0,π) 存在唯一零点.
（2）由题设知
(π)
π,
(π)
0
f
a
f
，可得a≤0.
由（1）知，( )
f
x
在(0,π) 只有一个零点，设为
0x ，且当
0
0,
x
x
时，( )
0
f
x
；当
0,π
x
x
时，( )
0
f
x
，
所以
( )
f x 在
0
0, x
单调递增，在
0,π
x
单调递减.
又
(0)
0,
(π)
0
f
f
，所以，当
[0,π]
x
时，
( ) 0
f x
.
又当
0,
[0,π]
a
x
时，ax≤0，故
( )
f x
ax .
因此，a的取值范围是(
,0]
.
21．解：（1）因为
M
过点
,
A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+ =0
x y
上，且
,
A B 关于坐
标原点O 对称，所以M 在直线y
x
上，故可设
( , )
M a a .
因为
M
与直线x+2=0相切，所以
M
的半径为
|
2 |
r
a
.
由已知得|
|=2
AO
，又MO
AO
，故可得
2
2
2
4
(
2)
a
a
，解得=0
a
或=4
a
.
故
M
的半径=2
r
或=6
r
.
（2）存在定点
(1,0)
P
，使得|
|
|
|
MA
MP
为定值.
理由如下：
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设
( , )
M x y ，由已知得
M
的半径为=| +2|,|
|=2
r
x
AO
.
由于MO
AO
，故可得
2
2
2
4
(
2)
x
y
x
，化简得M的轨迹方程为
2
4
y
x
.
因为曲线
2
:
4
C y
x
是以点
(1,0)
P
为焦点，以直线
1
x 为准线的抛物线，所以|
|= +1
MP x
.
因为|
| |
|=
|
|= +2
( +1)=1
MA
MP r
MP x
x
，所以存在满足条件的定点P.
22 ．解：（1 ）因为
2
2
1
1
1
1
t
t
，且
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
1
1
y
t
t
x
t
t
，所以C 的直角坐标方程为
2
2
1(
1)
4
y
x
x
.
l 的直角坐标方程为2
3
11
0
x
y
.
（2）由（1）可设C的参数方程为
cos ,
2sin
x
y
（为参数，π
π
）.
C上的点到l 的距离为
π
4cos
11
| 2cos
2 3sin
11|
3
7
7
.
当
2π
3
时，
π
4cos
11
3
取得最小值7，故C上的点到l 距离的最小值为
7 .
23．解：（1）因为
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
a
b
ab b
c
bc c
a
ac
，又
1
abc ，故有
2
2
2
1
1
1
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
abc
a
b
c
.
所以
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
.
（2）因为, ,
a b c 为正数且
1
abc ，故有
3
3
3
3
3
3
3
(
)
(
)
(
)
3 (
) (
) (
)
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
a
c
=3( + )( + )( + )
a b b c a c
3 (2
) (2
) (2
)
ab
bc
ac
=24.
所以
3
3
3
(
)
(
)
(
)
24
a
b
b
c
c
a
.
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文科数学
本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无
效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
={ |
1}
A
x x
，
{ |
2}
B
x x
，则A∩B=
A．(-1，+∞)
B．(-∞，2)
C．(-1，2)
D．
2．设z=i(2+i)，则z =
A．1+2i
B．-1+2i
C．1-2i
D．-1-2i
3．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=
A．
2
B．2
C．5
2
D．50
4．生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只测量过
该指标的概率为
A．2
3
B．3
5
C．2
5
D．1
5
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
6．设f(x)为奇函数，且当x≥0 时，f(x)=e
1
x ，则当x<0 时，f(x)=
A．e
1
x
B．e
1
x
C．e
1
x
D．e
1
x
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．若x1= 4
，x2= 4
是函数f(x)=sin
x
(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2
B．3
2
C．1
D．1
2
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
2
2
1
3
x
y
p
p
的一个焦点，则p=
A．2
B．3
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C．4
D．8
10．曲线y=2sinx+cosx 在点(π，-1)处的切线方程为
A．
1
0
x
y
B．2
2
1
0
x
y
C．2
2
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
11．已知a∈（0，π
2 ），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．1
5
B．
5
5
C．
3
3
D．2 5
5
12．设F 为双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2 交于P、
Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为
A．2
B．
3
C．2
D．5
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．若变量x，y 满足约束条件
2
3
6
0
3
0
2
0
x
y
x
y
y
，
，
，
则z=3x–y 的最大值是___________.
14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有20 个车
次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___
________.
15．
ABC
△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时
期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面
体．半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体
的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2
分，第二空3 分．）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1 上，BE⊥EC1．
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9 / 660
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥
1
1
E
BB C C
的体积．
18．（12 分）
已知{
}
na
是各项均为正数的等比数列，
1
3
2
2,
2
16
a
a
a
.
（1）求{
}
na
的通项公式；
（2）设
2
log
n
n
b
a
，求数列{
}
nb
的前n 项和．
19．（12 分）
某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前
一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．
y 的分组
[
0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精
确到0.01）
附：
74
8.602
.
20．（12 分）
已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．
（1）若
2
POF
△
为等边三角形，求C 的离心率；
（2）如果存在点P，使得
1
2
PF
PF
，且
1
2
F PF
△
的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．
21．（12 分）
已知函数
( )
(
1)ln
1
f x
x
x
x
．证明：
（1）
( )
f x 存在唯一的极值点；
（2）
( )=0
f x
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，O 为极点，点
0
0
0
(
,
)(
0)
M
在曲线
:
4sin
C
上，直线l 过点
(4,0)
A
且与OM 垂直，
垂足为P.
（1）当
0= 3
时，求
0
及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
已知
( ) |
|
|
2 | (
).
f x
x
a x
x
x
a
（1）当
1
a
时，求不等式
( )
0
f x
的解集；
（2）若
(
,1)
x
时，
( )
0
f x
，求a的取值范围.
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文科数学·参考答案
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10 / 660
1．C
2．D
3．A
4．B
5．A
6．D
7．B
8．A
9．D
10．C
11．B
12．A
13．9
14．0.98
15．3π
4
16．26；
2
1
17．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE 平面ABB1A1，
故
1
1
B C
BE
．
又
1
BE
EC
，所以BE⊥平面
1
1
EB C ．
（2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以
1
1
45
AEB
A EB
，故AE=AB=3，
1
2
6
AA
AE
.
作
1
EF
BB
，垂足为F，则EF⊥平面
1
1
BB C C ，且
3
EF
AB
．
所以，四棱锥
1
1
E
BB C C
的体积
1
3 6 3
18
3
V
．
18．解：（1）设
na
的公比为q，由题设得
2
2
4
16
q
q
，即
2
2
8
0
q
q
．
解得
2
q
（舍去）或q=4．
因此
na
的通项公式为
1
2
1
2 4
2
n
n
na
．
（2）由（1）得
2
(2
1)log 2
2
1
nb
n
n
，因此数列
nb
的前n项和为
2
1 3
2
1
n
n
．
19．解：
（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14
7
0.21
100
．
产值负增长的企业频率为2
0.02
100
．
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例
为2%．
（2）
1 ( 0.10 2
0.10 24
0.30 53
0.50 14
0.70 7)
0.30
100
y
，
5
2
2
1
1
100
i
i
i
s
n
y
y
2
2
2
2
2
1
( 0.40)
2
( 0.20)
24
0
53
0.20
14
0.40
7
100
=0.0296，
0.0296
0.02
74
0.17
s
，
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．
20．解：（1）连结
1
PF ，由
2
POF
△
为等边三角形可知在
1
2
F PF
△
中，
1
2
90
F PF
，
2
PF
c
，
1
3
PF
c
，
于是
1
2
2
( 3
1)
a
PF
PF
c
，故C 的离心率是
3
1
c
e
a
.
（2）由题意可知，满足条件的点
( , )
P x y 存在．当且仅当1 |
| 2
16
2 y
c
，
1
y
y
x
c x
c
，
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，
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11 / 660
即| |
16
c y
，①
2
2
2
x
y
c
，②
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，③
由②③及
2
2
2
a
b
c
得
4
2
2
b
y
c
，又由①知
2
2
2
16
y
c
，故
4
b
．
由②③得
2
2
2
2
2
a
x
c
b
c
，所以
2
2
c
b
，从而
2
2
2
2
2
32,
a
b
c
b
故
4 2
a
.
当
4
b
，
4 2
a
时，存在满足条件的点P．
所以
4
b
，a的取值范围为[4 2,
)
．
21．解：（1）
( )
f x 的定义域为（0，+ ）.
1
1
( )
ln
1
ln
x
f
x
x
x
x
x
.
因为
ln
y
x
单调递增，
1
y
x
单调递减，所以
( )
f
x
单调递增，又
(1)
1
0
f
，
1
ln 4 1
(2)
ln 2
0
2
2
f
，故存在唯一
0
(1,2)
x
，使得
0
0
f
x
.
又当
0
x
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递减；当
0
x
x
时，
( )
0
f
x
，
( )
f x 单调递增.
因此，
( )
f x 存在唯一的极值点.
（2）由（1）知
0
(1)
2
f x
f
，又
2
2
e
e
3
0
f
，所以
( )
0
f x
在
0,
x 内存在唯一根x
.
由
0
1
x
得
0
1
1
x
.
又
1
1
1
1
( )
1 ln
1
0
f
f
，故1
是
( )
0
f x
在
0
0, x
的唯一根.
综上，
( )
0
f x
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
22．解：（1）因为
0
0
,
M
在C上，当
0
3
时，
0
4sin
2 3
3
.
由已知得|
| |
| cos
2
3
OP
OA
.
设
( , )
Q 为l上除P的任意一点.在Rt
OPQ
△
中，
cos
|
| 2
3
OP
，
经检验，点
(2,
)
3
P
在曲线
cos
2
3
上．
所以，l的极坐标方程为
cos
2
3
．
（2）设
( , )
P ，在Rt
OAP
△
中，|
| |
| cos
4cos ,
OP
OA
即
4cos
．
因为P在线段OM上，且AP
OM
，故的取值范围是
,
4 2
.
所以，P点轨迹的极坐标方程为
4cos ,
,
4 2
.
23．解：（1）当a=1 时，
( )=|
1| +|
2|(
1)
f x
x
x
x
x
.
当
1
x 时，
2
( )
2(
1)
0
f x
x
；当
1
x 时，
( )
0
f x
.
所以，不等式
( )
0
f x
的解集为(
,1)
.
（2）因为
( )=0
f a
，所以
1
a
.
当
1
a
，
(
,1)
x
时，
( )=(
) +(2
)(
)=2(
)(
1)<0
f x
a
x x
x x
a
a
x x
.
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所以，a的取值范围是[1,
)
．
绝密★启用前
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
2
{ 1,0,1,2}
{
1}
A
B
x x
，
，则A
B
A．
1,0,1
B．
0,1
C．
1,1
D．
0,1,2
2．若(1 i)
2i
z
，则z=
A．1 i
B．1+i
C．1 i
D．1+i
3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．1
2
4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学
为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共
有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该
校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
5．函数
( )
2sin
sin2
f x
x
x
在[0，2π]的零点个数为
A．2
B．3
C．4
D．5
6．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4 项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A．16
B．8
C．4
D．2
7．已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．a=e，b=–1
B．a=e，b=1
C．a=e–1，b=1
D．a=e–1，
1
b
8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED 的中点，则
A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s 的值等于
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A.
4
1
2
2
B.
5
1
2
2
C.
6
1
2
2
D.
7
1
2
2
10．已知F 是双曲线C：
2
2
1
4
5
x
y
的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若
=
OP
OF ，则
OPF
△
的面积
为
A．3
2
B．5
2
C．7
2
D．9
2
11 ．记不等式组
6,
2
0
x
y
x
y
表示的平面区域为D ．命题
: ( , )
,2
9
p
x y
D
x
y
；命题
:
( , )
,2
12
q
x y
D
x
y
．下面给出了四个命题
①p
q
②
p
q
③p
q
④
p
q
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③
B．①②
C．②③
D．③④
12．设
f x 是定义域为R 的偶函数，且在
0,单调递减，则
A．f （log3 1
4
）＞f （
3
2
2
）＞f （
2
3
2
）
B．f （log3 1
4
）＞f （
2
3
2
）＞f （
3
2
2
）
C．f （
3
2
2
）＞f （
2
3
2
）＞f （log3 1
4
）
D．f （
2
3
2
）＞f （
3
2
2
）＞f （log3 1
4
）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．已知向量
(2,2),
( 8,6)
a
b
，则cos
,
a b
___________.
14．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若
3
7
5,
13
a
a
，则
10
S
___________.
15．设
1
2
F
F
，
为椭圆C:
2
2
+
1
36
20
x
y
的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若
1
2
MF F
△
为等腰三角形，则M
的坐标为___________.
16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
挖去四棱锥O−EFGH
后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，
1
6 cm
4 cm
AB = BC =
AA =
，
，
3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
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三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，
其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经
过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
18．（12 分）
ABC
△
的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知sin
sin
2
A
C
a
b
A
．
（1）求B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围．
19．（12 分）
图1 是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，
∠FBC=60°．将其沿AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2 中的四边形ACGD 的面积.
20．（12 分）
已知函数
3
2
( )
2
2
f x
x
ax
．
（1）讨论
( )
f x 的单调性；
（2）当0<a<3时，记
( )
f x 在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M
m
的取值范围．
21．（12 分）
已知曲线C：y=
2
2
x
，D 为直线y=
1
2
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB 过定点：
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（2）若以E(0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10 分）
如图，在极坐标系Ox 中，
(2,0)
A
，
( 2,
)
4
B
，
( 2,
)
4
C
，
(2, )
D
，弧
AB ，
BC ，
CD 所在圆的圆心
分别是(1,0) ，(1,
)
2
，(1, )
，曲线
1
M 是弧
AB ，曲线
2
M 是弧
BC ，曲线
3
M 是弧
CD .
（1）分别写出
1
M ，
2
M ，
3
M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由
1
M ，
2
M ，
3
M 构成，若点P 在M 上，且|
|
3
OP
，求P 的极坐标.
23．[选修4–5：不等式选讲]（10 分）
设, ,
x y z R ，且
1
x
y
z
．
（1）求
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
的最小值；
（2）若
2
2
2
1
(
2)
(
1)
(
)
3
x
y
z
a
成立，证明：
3
a 或
1
a .
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．D
4．C
5．B
6．C
7．D
8．B
9．C
10．B
11．A
12．C
二、填空题
13．
2
10
14．100
15．(3, 15)
16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
18．解：（1）由题设及正弦定理得sin
sin
sin
sin
2
A
C
A
B
A
．
因为sinA 0，所以sin
sin
2
A C
B
．
由
180
A B C
，可得sin
cos
2
2
A
C
B
，故cos
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
．
因为cos
0
2
B
，故
1
sin 2
2
B
，因此B=60°．
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（2）由题设及（1）知
ABC
△
的面积
3
4
ABC
S
a
△
．
由正弦定理得
sin 120
sin
3
1
sin
sin
2tan
2
C
c
A
a
C
C
C
．
由于
ABC
△
为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故1
2
2
a
，从而
3
3
8
2
ABC
S
△
．
因此，
ABC
△
面积的取值范围是
3
3
,
8
2
．
19．解：（1）由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC 平面BCGE．
（2）取CG的中点M，连结EM，DM.
因为AB∥DE，AB 平面BCGE，所以DE 平面BCGE，故DE CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60°得EM CG，故CG 平面DEM．
因此DM CG．
在Rt△DEM中，DE=1，EM= 3 ，故DM=2．
所以四边形ACGD的面积为4．
20．解：（1）
2
( )
6
2
2 (3
)
f
x
x
ax
x
x
a
．
令
( )
0
f
x
，得x=0 或
3
a
x
．
若a>0，则当
(
,0)
,
3
a
x
时，( )
0
f
x
；当
0, 3
a
x
时，
( )
0
f
x
．故
( )
f x 在(
,0),
,
3
a
单调递增，在0, 3
a
单调递减；
若a=0，
( )
f x 在(
,
)
单调递增；
若a<0，则当
,
(0,
)
3
a
x
时，
( )
0
f
x
；当
,0
3
a
x
时，( )
0
f
x
．故
( )
f x 在
,
,(0,
)
3
a
单调递增，在
,0
3
a
单调递减．
（2）当0
3
a
时，由（1）知，
( )
f x 在0, 3
a
单调递减，在
,1
3
a
单调递增，所以
( )
f x 在[0,1]的最小值
为
3
2
3
27
a
a
f
，最大值为
(0)=2
f
或
(1)=4
f
a
.于是
3
2
27
a
m
，
4
,0
2,
2,2
3.
a
a
M
a
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所以
3
3
2
,0
2,
27
,2
3.
27
a
a
a
M
m
a
a
当0
2
a
时，可知
3
2
27
a
a
单调递减，所以M
m
的取值范围是
8 ,2
27
．
当2
3
a
时，
3
27
a
单调递增，所以M
m
的取值范围是8
[
,1)
27
．
综上，M
m
的取值范围是8
[
,2)
27
．
21．解：（1）设
1
1
1
,
,
,
2
D t
A x y
，则
2
1
1
2
x
y
．
由于y'
x
，所以切线DA的斜率为
1x ，故
1
1
1
1
2
y
x
x
t
．
整理得
1
1
2
2 +1=0.
tx
y
设
2
2
,
B x
y
，同理可得
2
2
2
2
+1=0
tx
y
．
故直线AB的方程为2
2
1
0
tx
y
．
所以直线AB过定点
1
(0, )
2
．
（2）由（1）得直线AB的方程为
1
2
y
tx
．
由
2
1
2
2
y
tx
x
y
，可得
2
2
1
0
x
tx
．
于是
2
1
2
1
2
1
2
2 ,
1
2
1
x
x
t y
y
t x
x
t
.
设M为线段AB的中点，则
2
1
,
2
M t t
．
由于EM
AB
，而
2
,
2
EM
t t
，AB
与向量(1, )t 平行，所以
2
2
0
t
t
t
．解得t=0或
1
t ．
当t =0时，|
|
EM
=2，所求圆的方程为
2
2
5
4
2
x
y
；
当
1
t 时，|
|
2
EM
，所求圆的方程为
2
2
5
2
2
x
y
．
22．解：（1）由题设可得，弧
,
,
AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为
2cos
，
2sin
，
2cos
.
所以
1
M 的极坐标方程为
π
2cos
0
4
，
2
M 的极坐标方程为
π
3π
2sin
4
4
，
3
M 的极
坐标方程为
3π
2cos
π
4
.
（2）设
( , )
P ，由题设及（1）知
若
π
0
4
，则2cos
3
，解得
π
6
；
若π
3π
4
4
，则2sin
3
，解得
π
3
或
2π
3
；
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若3π
π
4
，则2cos
3
，解得
5π
6
．
综上，P的极坐标为
π
3, 6
或
π
3, 3
或
2π
3, 3
或
5π
3, 6
.
23．解：（1）由于
2
[(
1)
(
1)
(
1)]
x
y
z
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
2[(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)]
x
y
z
x
y
y
z
z
x
2
2
2
3 (
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
，
故由已知得
2
2
2
4
(
1)
(
1)
(
1)
3
x
y
z
，
当且仅当x= 5
3
，
1
3
y
，
1
3
z
时等号成立．
所以
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
的最小值为4
3
．
（2）由于
2
[(
2)
(
1)
(
)]
x
y
z
a
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
2[(
2)(
1)
(
1)(
)
(
)(
2)]
x
y
z
a
x
y
y
z
a
z
a x
2
2
2
3 (
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
，
故由已知得
2
2
2
2
(2
)
(
2)
(
1)
(
)
3
a
x
y
z
a
，
当且仅当
4
3
a
x
，
1
3
a
y
，
2
2
3
a
z
时等号成立．
因此
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
的最小值为
2
(2
)
3
a
．
由题设知
2
(2
)
1
3
3
a
，解得
3
a 或
1
a ．
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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第Ⅰ卷1 至2 页，
第Ⅱ卷3 至5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务
必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号。
2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。
参考公式：
·如果事件A，B 互斥，那么
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
.
·圆柱的体积公式V
Sh
，其中S 表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式
1
3
V
Sh
，其中S 表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合
{ 1,1,2,3,5},
{2,3,4},
{
|1
3}
A
B
C
x
x
R
，则(
)
A
C
B
（A）{2}
（B）{2，3}
（C）{-1，2，3}
（D）{1，2，3，4}
（2）设变量x，y 满足约束条件
2
0,
2
0,
1,
1,
x
y
x
y
x
y
则目标函数
4
z
x
y
的最大值为
（A）2
（B）3
（C）5
（D）6
（3）设xR ，则“0
5
x
”是“|
1| 1
x
”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
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（A）5
（B）8
（C）24
（D）29
（5）已知
0.2
2
3
log 7,
log 8,
0.3
a
b
c
，则a，b，c 的大小关系为
（A）c
b
a
（B）a
b
c
（c）b
c
a
（D）c
a
b
（6）已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F，准线为l.若l 与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线分别交于点A
和点B，且|
| 4 |
|
AB
OF
（O 为原点），则双曲线的离心率为
（A）
2
（B）
3
（C）2
（D）5
（7）已知函数
( )
sin(
)(
0,
0,|
| π)
f x
A
x
A
是奇函数，且
f x 的最小正周期为π，将
y
f x
的
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
g x .若
2
π
4
g
，则
3π
8
f
（A）-2
（B）
2
（C）
2
（D）2
（8）已知函数
2
,
0
1,
( )
1 ,
1.
x
x
f x
x
x
若关于x 的方程
1
( )
(
)
4
f x
x
a a
R 恰有两个互异的实数解，则a
的取值范围为
（A）5 9
,
4 4
（B）5 9
,
4 4
（C）5 9
,
{1}
4 4
（D）5 9
,
{1}
4 4
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数
学（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12 小题，共110 分。
二．填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
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（9）i 是虚数单位，则5
i
1
i
的值为__________.
（10）设xR ，使不等式
2
3
2
0
x
x
成立的x 的取值范围为__________.
（11）曲线
cos
2
x
y
x
在点(0,1) 处的切线方程为__________.
（12）已知四棱锥的底面是边长为
2 的正方形，侧棱长均为
5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的
中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
（13）设
0,
0,
2
4
x
y
x
y
，则(
1)(2
1)
x
y
xy
的最小值为__________.
（14）在四边形ABCD 中，
,
2 3,
5,
30
AD
BC
AB
AD
A
∥
，点E 在线段CB 的延长线上，且
AE
BE
，则BD AE
__________.
三．解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13 分）
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者
住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120 人，现采用分层抽样的方
法，从该单位上述员工中抽取25 人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6 人，分别记为
, , , , ,
A B C D E F .享受情况如
下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6 人中随机抽取2 人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M 为事件“抽取的2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.
（16）（本小题满分13 分）
在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c .已知
2
b
c
a
，3 sin
4 sin
c
B
a
C
.
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）求sin 2
6
π
B
的值.
（17）（本小题满分13 分）
如图，在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 为平行四边形，
PCD
△
为等边三角形，平面PAC 平面PCD，
,
2,
3
PA
CD CD
AD
.
（Ⅰ）设G，H 分别为PB，AC 的中点，求证：GH∥平面PAD ；
（Ⅱ）求证：PA 平面PCD；
（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13 分）
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设{
}
n
a
是等差数列，{ }
nb
是等比数列，公比大于0，已知
1
1
2
3
3
2
3,
,
4
3
a
b
b
a b
a
.
（Ⅰ）求{
}
n
a
和{ }
nb
的通项公式；
（Ⅱ）设数列{ }
nc
满足
2
1
n
n
n
c
b
n
，为奇数,
，为偶数.求
*
1 1
2
2
2
2 (
)
n
n
a c
a c
a c
n
N
.
（19）（本小题满分14 分）
设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知
3 |
| 2 |
|
OA
OB
（O 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F 且斜率为3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C
在直线x=4 上，且OC
AP
∥
，求椭圆的方程.
（20）（本小题满分14 分）
设函数
( )
ln
(
1)ex
f x
x
a x
，其中aR .
（Ⅰ）若a≤0，讨论
( )
f x 的单调性；
（Ⅱ）若
1
0
e
a
，
（i）证明
( )
f x 恰有两个零点；
（ii）设
0x 为
( )
f x 的极值点，
1x 为
( )
f x 的零点，且
1
0
x
x
，证明
0
1
3
2
x
x
.
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数
学（文史类）参考解答
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5 分，满分40 分.
（1）D
（2）C
（3）B
（4）B
（5）A
（6）D
（7）C
（8）D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5 分，满分30 分.
（9）13
（10）
2
1, 3
（11）+2
2=0
x
y
（12）4
（13）9
2
（14）1
三.解答题
（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知
识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13 分.
解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取25 位员工，因
此应从老、中、青员工中分别抽取6 人，9 人，10 人.
（Ⅱ）（i）从已知的6 人中随机抽取2 人的所有可能结果为
{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },
A B
A C
A D
A E
A F
B C
{ , },{ , },{ , },{ ,
{ , }
},
,
B D
B E
B F
C D
C E
{ ,
},
C F
{ , },{ ,
},{ ,
}
D E
D F
E F ，共15 种.
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ ,
{ , },{ ,
},{ ,
},{ ,
},
}
A B
A D
A E
A F
B D
B
C
E
B F
E
C F
D F
E F ，共11 种.
所以，事件M 发生的概率
11
(
)
15
P M
.
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、
余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.满分13 分.
（Ⅰ）解：在
ABC
△
中，由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
，得sin
sin
b
C
c
B
，又由3 sin
4 sin
c
B
a
C
，得
3 sin
4 sin
b
C
a
C
，即3
4
b
a
. 又因为
2
b
c
a
，得到
4
3
b
a
，
2
3
c
a
. 由余弦定理可得
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2
2
2
2
2
2
4
16
1
9
9
cos
2
2
4
2
3
a
a
a
a
c
b
B
ac
a
a
.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得
2
15
sin
1 cos
4
B
B
，从而
15
sin 2
2sin
cos
8
B
B
B
，
2
2
7
cos2
cos
sin
8
B
B
B
，故
15
3
7
1
3 5
7
sin 2
sin 2 cos
cos2 sin
6
6
6
8
2
8
2
16
B
B
B
.
（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考
查空间想象能力和推理论证能力.满分13 分.
（Ⅰ）证明：连接BD ，易知AC
BD
H
，BH
DH
.又由BG = PG ，故GH
PD
∥
.又因为GH 平
面PAD，PD 平面PAD，所以GH∥平面PAD.
（Ⅱ）证明：取棱PC 的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC 平面PCD，平面PAC 平
面PCD
PC
，所以DN 平面PAC，又PA 平面PAC，故DN
PA
.又已知PA
CD
，CD
DN
D
，
所以PA 平面PCD.
（Ⅲ）解：连接AN，由（Ⅱ）中DN 平面PAC，可知
DAN
为直线AD 与平面PAC 所成的角，
因为
PCD
△
为等边三角形，CD=2 且N 为PC 的中点，所以
3
DN
.又DN
AN
，
在Rt
AND
△
中，
3
sin
3
DN
DAN
AD
.
所以，直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为
3
3
.
（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和
运算求解能力.满分13 分.
（Ⅰ）解：设等差数列
na
的公差为d ，等比数列
nb
的公比为q .依题意，得
2
3
3
2 ,
3
15
4 ,
q
d
q
d
解得
3,
3,
d
q
故
1
3
3(
1)
3 ,
3 3
3
n
n
n
n
a
n
n
b
.
所以，
na
的通项公式为
3
na
n
，
nb
的通项公式为
3n
nb
.
（Ⅱ）解：
1 1
2
2
2
2
n
n
a c
a c
a c
1
3
5
2
1
2 1
4 2
6 3
2
n
n n
a
a
a
a
a b
a b
a b
a b
1
2
3
(
1)
3
6
(6 3
12 3
18 3
6
3 )
2
n
n n
n
n
2
1
2
3
6 1 3
2
3
3n
n
n
.
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24 / 660
记
1
2
1 3
2 3
3n
nT
n
,①
则
2
3
1
3
1 3
2 3
3n
nT
n
,②
②−①得，
1
2
3
1
1
3 1 3
(2
1)3
3
2
3 3
3
3
3
1
3
3
2
n
n
n
n
n
n
n
T
n
n
.
所以，
1
2
2
1 1
2
2
2
2
(2
1)3
3
3
6
3
3
2
n
n
n
n
n
a c
a c
a c
n
T
n
2
2
(2
1)3
6
9
2
n
n
n
n
N
.
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性
质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.满分14 分.
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有
3
2
a
b
，又由
2
2
2
a
b
c
，消去b 得
2
2
2
3
2
a
a
c
，解得
1
2
c
a
.
所以，椭圆的离心率为1
2
.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
2 ,
3
a
c b
c
，故椭圆方程为
2
2
2
2
1
4
3
x
y
c
c
.由题意，
(
, 0)
F
c
，则直线l 的方程
为
3 (
)
4
y
x
c
点P 的坐标满足
2
2
2
2
1,
4
3
3 (
),
4
x
y
c
c
y
x
c
消去y 并化简，得到
2
2
7
6
13
0
x
cx
c
，解得
1
2
13
,
7
c
x
c x
.代入到l 的方程，解得
1
2
3
9
,
2
14
y
c y
c
.因为点P 在x 轴上方，所以
3
, 2
P c
c
.由圆心C
在直线
4
x
上，可设
(4, )
C
t .因为OC
AP
∥
，且由（Ⅰ）知
(
2 , 0)
A
c
，故
3
2
4
2
c
t
c
c
，解得
2
t
.因为圆
C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l 相切，得
2
3 (4
)
2
4
2
3
1
4
c
，可得=2
c
.
所以，椭圆的方程为
2
2
1
16
12
x
y
.
（20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化
归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14 分.
（Ⅰ）解：由已知，
( )
f x 的定义域为(0,
)
，且
2
1
1
e
( )
e
(
1)e
x
x
x
f
ax
x
a
a x
x
x
.
因此当a≤0 时，
2
1
e
0
x
ax
，从而
( )
0
f
x
，所以
( )
f x 在(0,
)
内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知
2
1
e
( )
x
ax
f
x
x
.令
2
( )
1
ex
g x
ax
，由
1
0
e
a
，
可知( )
g x 在(0,
)
内单调递减，又(1)
1
e
0
g
a
，且
2
2
1
1
1
1
ln
1
ln
1
ln
0
g
a
a
a
a
a
.
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故
( )
0
g x
在(0,
)
内有唯一解，从而
( )
0
f
x
在(0,
)
内有唯一解，不妨设为
0x ，则
0
1
1
ln
x
a
.当
0
0,
x
x
时，
0
( )
( )
0
g x
g x
f
x
x
x
，所以
( )
f x
在
0
0, x
内单调递增；当
0,
x
x
时，
0
( )
( )
0
g x
g x
f
x
x
x
，所以
( )
f x 在
0,
x 内单调递减，因此
0x 是
( )
f x 的唯一极值点.
令( )
ln
1
h x
x
x
，则当
1
x
时，
1
( )
1
0
h' x
x
，故( )
h x 在(1,
)
内单调递减，从而当
1
x
时，
( )
(1)
0
h x
h
，所以ln
1
x
x
.从而
ln1
1
1
1
1
1
1
ln
lnln
ln
1 e
lnln
ln
1
ln
0
a
f
a
h
a
a
a
a
a
a
，
又因为
0
(1)
0
f x
f
，所以
( )
f x 在
0
(
,
)
x 内有唯零点.又
( )
f x 在
0
0, x
内有唯一零点1，从而，
( )
f x
在(0,
)
内恰有两个零点.
（ii）由题意，
0
1
0,
0,
f
x
f x
即
0
1
2
0
1
1
e
1,
ln
e ,
1
x
x
ax
x
a x
从而
1
0
1
1
2
0
1
ln
ex
x
x
x
x
，即
1
0
2
0
1
1
ln
e
1
x
x
x
x
x
.因为当
1
x
时，ln
1
x
x
，又
1
0
1
x
x
，故
1
0
2
0
1
2
0
1
1
e
1
x
x
x
x
x
x
，两边取对数，得
1
0
2
0
ln e
ln
x
x
x
，于是
1
0
0
0
2ln
2
1
x
x
x
x
，
整理得
0
1
3
2
x
x
.
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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数
学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4 页，选择题部分1 至2 页；非选择题部分3 至4 页。满分150
分。考试用时120 分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置
上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一
律无效。
参考公式：
若事件A，B 互斥，则
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
若事件A，B 相互独立，则
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
若事件A 在一次试验中发生的概率是p，则n 次
独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
( )
C
(1
)
(
0,1,2,
, )
k
k
n k
n
n
P k
p
p
k
n
台体的体积公式
1
1
2
2
1(
)
3
V
S
S S
S h
其中
1
2
,
S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示
台体的高
柱体的体积公式V
Sh
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
锥体的体积公式
1
3
V
Sh
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高
球的表面积公式
2
4
S
R
球的体积公式
3
4
3
V
R
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40 分）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集
1,0,1,2,3
U
，集合
0,1,2
A
，
1,0,1
B
，则(
)
U A
B
ð
=
A．
1
B．
0,1
C．
1,2,3
D．
1,0,1,3
2．渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
3．若实数x，y 满足约束条件
3
4
0
3
4
0
0
x
y
x
y
x
y
，则z=3x+2y 的最大值是
A．1
B．1
C．10
D．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得
到柱体的体积公式V 柱体=Sh，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），
则该柱体的体积（单位：cm3）是
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A．158
B．162
C．182
D．324
5．若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．在同一直角坐标系中，函数y = 1
x
a ，y=loga(x+ 1
2 )(a>0，且a≠1)的图象可能是
7．设0＜a＜1，则随机变量X 的分布列是
则当a 在（0,1）内增大时，
A．D（X）增大
B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小
D．D（X）先减小后增大
8．设三棱锥V–ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成
的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P–AC–B 的平面角为γ，则
A．β<γ，α<γ
B．β<α，β<γ
C．β<α，γ<α
D．α<β，γ<β
9．已知,a bR ，函数
3
2
,
0
( )
1
1 (
1)
,
0
3
2
x x
f x
x
a
x
ax x
．若函数
( )
y
f x
ax
b
恰有3 个零点，则
A．a<–1，b<0
B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0
D．a>–1，b>0
10．设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，b
N ，则
A．当b= 1
2 时，a10>10
B．当b= 1
4 时，a10>10
C．当b=–2 时，a10>10
D．当b=–4 时，a10>10
非选择题部分（共110 分）
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分。
11．复数
1
1 i
z
（i 为虚数单位），则|
|z =___________．
12 ．已知圆C 的圆心坐标是(0,
)
m ，半径长是r . 若直线2
3
0
x
y
与圆C 相切于点
( 2, 1)
A
，则
m =___________，r =___________．
13．在二项式
9
( 2
)x
的展开式中，常数项是___________，系数为有理数的项的个数是___________．
14．在
ABC
△
中，
90
ABC
，
4
AB
，
3
BC
，点D 在线段AC 上，若
45
BDC
，则BD ____，
cos
ABD
___________．
15．已知椭圆
2
2
1
9
5
x
y
的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，
OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．
16．已知a R ，函数
3
( )
f x
ax
x
，若存在t R ，使得
2
|
(
2)
( ) |
3
f t
f t
，则实数a 的最大值是____.
17 ．已知正方形
ABCD
的边长为
1 ，当每个
(
1,2,3,4,5,6)
i i
取遍
1
时，
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1
2
3
4
5
6
|
|
AB
BC
CD
DA
AC
BD
的最小值是___________，最大值是___________．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14 分）设函数
( )
sin ,
f x
x x
R .
（1）已知
[0,2 ),
函数
(
)
f x
是偶函数，求的值；
（2）求函数
2
2
[ (
)]
[ (
)]
12
4
y
f x
f x
的值域．
19．（本小题满分15 分）如图，已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
，平面
1
1
A ACC 平面ABC ,
90
ABC
，
1
1
30 ,
,
,
BAC
A A
AC
AC E F
分别是AC，A1B1 的中点.
（1）证明：EF
BC
；
（2）求直线EF 与平面A1BC 所成角的余弦值.
20．（本小题满分15 分）设等差数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，
3
4
a
，
4
3
a
S
，数列{ }
nb
满足：对每个
1
2
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
S
b S
b S
b
N
成等比数列．
（1）求数列{
},{ }
n
n
a
b
的通项公式；
（2）记
,
,
2
n
n
n
a
c
n
b
N
证明：
1
2+
2
,
.
n
c
c
c
n n
N
21．（本小题满分15 分）如图，已知点
(10)
F ，为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点，过点F 的直线交抛物线于A、B
两点，点C 在抛物线上，使得
ABC
△
的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q，且Q 在点F 的右侧．记
,
AFG
CQG
△
△
的面积分别为
1
2
,
S S ．
（1）求p 的值及抛物线的标准方程；
（2）求
1
2
S
S
的最小值及此时点G 的坐标．
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22．（本小题满分15 分）
已知实数
0
a
，设函数
( )= ln
1,
0.
f x
a
x
x
x
（1）当
3
4
a
时，求函数
( )
f x 的单调区间；
（2）对任意
2
1
[
,
)
e
x
均有
( )
,
2
x
f x
a
求a 的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数
学参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。
1．A
2．C
3．C
4．B
5．A
6．D
7．D
8．B
9．C
10．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．
2
2
12．2, 5
13．16 2,5
14．12 2 7 2
,
5
10
15．15
16．4
3
17．0,2 5
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
18．本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。
（1）因为
(
)
sin(
)
f x
x
是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(
)
sin(
)
x
x
，
即sin
cos
cos sin
sin
cos
cos sin
x
x
x
x
，
故2sin
cos
0
x
，
所以cos
0
．
又
[0,2π)
，因此
π
2
或3π
2
．
（2）
2
2
2
2
π
π
π
π
sin
sin
12
4
12
4
y
f
x
f
x
x
x
π
π
1 cos 2
1 cos 2
1
3
3
6
2
1
cos2
sin 2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
3
π
1
cos 2
2
3
x
．
因此，函数的值域是
3
3
[1
,1
]
2
2
．
19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解
能力。满分15分。
方法一：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
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所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．
所以BC⊥平面A1EF．
因此EF⊥BC．
（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2
3 ，EG= 3 .
由于O为A1G的中点，故
1
15
2
2
AG
EO
OG
，
所以
2
2
2
3
cos
2
5
EO
OG
EG
EOG
EO OG
．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是3
5
．
方法二：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．
不妨设AC=4，则
A1（0，0，2 3 ），B（
3 ，1，0），
1( 3,3,2 3)
B
，
3 3
(
,
,2 3)
2
2
F
，C(0，2，0)．
因此，
3 3
(
,
,2 3)
2
2
EF
，
(
3,1,0)
BC
．
由
0
EF BC
得EF
BC
．
（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．
由（1）可得
1
=(
3 1 0)
=(0 2
2 3)
BC
AC
，，，
，，
．
设平面A1BC的法向量为n
(
)
x
y
z
，，，
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由
1
0
0
BC
AC
n
n
，得
3
0
3
0
x
y
y
z
，
取n
(1
3 1)
，
，，故
|
|
4
sin
| cos
| =
5
|
| |
EF
EF
EF
，
n
n
n |
，
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为3
5
．
20．本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能
力。满分15分。
（1）设数列{
}
n
a
的公差为d，由题意得
1
1
1
2
4,
3
3
3
a
d
a
d
a
d
，
解得
1
0,
2
a
d
．
从而
*
2
2,
na
n
n
N ．
所以
2
*
n
S
n
n
n
N
，
，
由
1
2
,
,
n
n
n
n
n
n
S
b S
b S
b
成等比数列得
2
1
2
n
n
n
n
n
n
S
b
S
b
S
b
．
解得
2
1
2
1
n
n
n
n
b
S
S S
d
．
所以
2
*
,
nb
n
n n
N ．
（2）
*
2
2
1 ,
2
2 (
1)
(
1)
n
n
n
a
n
n
c
n
b
n n
n n
N ．
我们用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
（ii）假设
*
n
k k
N
时不等式成立，即
1
2
2
k
c
c
c
k
．
那么，当
1
n
k
时，
1
2
1
1
2
2
(
1)(
2)
1
k
k
k
c
c
c
c
k
k
k
k
k
2
2
2
2(
1
)
2
1
1
k
k
k
k
k
k
k
．
即当
1
n
k
时不等式也成立．
根据（i）和（ii），不等式
1
2
2
n
c
c
c
n
对任意
*
nN 成立．
21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能
力。满分15分。
（1）由题意得
1
2
p ，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.
（2）设
,
,
,
,
,
A
A
B
B
c
c
A x
y
B x
y
C x
y
，重心
,
G
G
G x
y
.令
2 ,
0
A
y
t t
，则
2
A
x
t
.
由于直线AB过F，故直线AB方程为
2
1
1
2
t
x
y
t
，代入
2
4
y
x
，得
2
2
2
1
4
0
t
y
y
t
，
故2
4
B
ty ，即
2
B
y
t
，所以
2
1
2
,
B t
t
.
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又由于
1
1
,
3
3
G
A
B
c
G
A
B
c
x
x
x
x
y
y
y
y
及重心G 在x 轴上，故
2
2
0
c
t
y
t
，得
2
4
2
2
1
1
2
2
2
,2
,
,0
3
t
t
C
t
t
G
t
t
t
.
所以，直线AC方程为
2
2
2
y
t
t x
t
，得
2
1,0
Q t
.
由于Q在焦点F的右侧，故
2
2
t
.从而
4
2
2
4
2
2
1
2
4
4
2
4
2
2
2
2
2
1
1 | 2 |
|
|
3
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
|
|
|
1
| |
2 |
2
3
A
c
t
t
t
FG
y
t
S
t
t
t
t
t
S
t
t
QG
y
t
t
t
t
.
令
2
2
m
t
，则m>0，
1
2
2
1
1
3
2
2
2
1
3
4
3
2
3
4
2
4
S
m
S
m
m
m
m
m
m
.
当
3
m
时，
1
2
S
S
取得最小值
3
1
2
，此时G（2，0）．
22．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15分。
（1）当
3
4
a
时，
3
( )
ln
1
,
0
4
f x
x
x x
．
3
1
( 1
2)(2 1
1)
( )
4
2 1
4
1
x
x
f' x
x
x
x
x
，
所以，函数
( )
f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+ ）．
（2）由
1
(1)
2
f
a
，得
2
0
4
a
．
当
2
0
4
a
时，
( )
2
x
f x
a
等价于
2
2 1
2ln
0
x
x
x
a
a
．
令
1
t
a
，则
2 2
t
．
设
2
( )
2
1
2ln ,
2 2
g t
t
x
t
x
x t
，
则
2
1
1
( )
(
1
)
2ln
x
g t
x t
x
x
x
．
（i）当
1 ,
7
x
时，
1
1
2 2
x
，则
( )
(2 2)
8
4 2 1
2ln
g t
g
x
x
x
．
记
1
( )
4
2 2 1
ln ,
7
p x
x
x
x x
，则
2
2
1
2
1
2
1
( )
1
1
x
x
x
x
p' x
x
x
x
x x
(
1)[1
( 2
2
1)]
1(
1)(
1
2 )
x
x
x
x x
x
x
x
.
故
x
1
7
1
( ,1)
7
1
(1,
)
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( )
p' x
0
+
( )
p x
1
( )
7
p
单调递减
极小值
(1)
p
单调递增
所以，
( )
(1)
0
p x
p
．
因此，( )
(2 2)
2 ( )
0
g t
g
p x
．
（ii）当
2
1
1
,
e
7
x
时，
1
2
ln
(
1)
( )
1
2
x
x
x
g t
g
x
x
．
令
2
1
1
( )
2
ln
(
1),
,
e
7
q x
x
x
x
x
，则
ln
2
( )
1
0
x
q' x
x
，
故( )
q x 在
2
1
1
,
e
7
上单调递增，所以
1
( )
7
q x
q
．
由（i）得，
1
2 7
1
2 7
(1)
0
7
7
7
7
q
p
p
．
所以，( )<0
q x
．
因此
1
( )
( )
1
0
2
q x
g t
g
x
x
．
由（i）（ii）知对任意
2
1 ,
e
x
，
[2 2,
), ( ) 0
t
g t
，
即对任意
2
1 ,
e
x
，均有
( )
2
x
f x
a
．
综上所述，所求a 的取值范围是
2
0, 4
．
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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4 页，均为非选择题(第1 题~第20 题，共20 题)。本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位
置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
样本数据
1
2
,
,
,
n
x x
x
…
的方差
2
2
1
1
n
i
i
s
x
x
n
，其中
1
1
n
i
i
x
x
n
．
柱体的体积V
Sh
，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．
锥体的体积
1
3
V
Sh
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上
．．．．．．．．．
1．已知集合
{ 1,0,1,6}
A
，
{ |
0,
}
B
x x
x
R ，则A
B
▲
.
2．已知复数(
2i)(1
i)
a
的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是
▲
.
3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是
▲
.
4．函数
2
7
6
y
x
x
的定义域是
▲
.
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是
▲
.
6．从3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有1 名女同学的概率是
▲
.
7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是
▲
.
8．已知数列
*
{
}(
)
na
nN
是等差数列，
n
S 是其前n 项和.若
2
5
8
9
0,
27
a a
a
S
，则
8
S 的值是
▲
.
9．如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的体积是120，E 为
1
CC 的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是
▲
.
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10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线
4 (
0)
y
x
x
x
上的一个动点，则点P 到直线x+y=0 的距离的最小值是
▲
.
11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的
底数），则点A 的坐标是
▲
.
12．如图，在
ABC
△
中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O .若
6
AB AC
AO EC
，
则AB
AC
的值是
▲
.
13．已知
tan
2
π
3
tan
4
，则
π
sin 2
4
的值是
▲
.
14．设
( ), ( )
f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，( )
f x 的周期为4，( )
g x 的周期为2，且
( )
f x 是奇函数.当
2
(
]
0,
x
时，
2
( )
1
(
1)
f x
x
，
(
2),0
1
( )
1 ,1
2
2
k x
x
g x
x
，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程
( )
( )
f x
g x
有8 个不同的实数根，则k 的取值范围是
▲
.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15．（本小题满分14 分）
在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= 2 ，cosB= 2
3
，求c 的值；
（2）若sin
cos
2
A
B
a
b
，求sin(
)
2
B
的值．
16．（本小题满分14 分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，D，E 分别为BC，AC 的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
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17．（本小题满分14 分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的焦点为F1（–1、0），
F2（1，0）．过F2 作x 轴的垂线l，在x 轴的上方，l 与圆F2:
2
2
2
(
1)
4
x
y
a
交于点A，与椭圆C 交于点D.
连结AF1 并延长交圆F2 于点B，连结BF2 交椭圆C 于点E，连结DF1．
已知DF1= 5
2
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求点E 的坐标．
18．（本小题满分16 分）
如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB 是圆O 的直径）．规
划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA 上的所有点到点O 的
距离均不小于圆
．．．．O 的半径．已知点A、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD（C、D 为垂足），测得AB=10，AC=6，
BD=12（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当d 最小时，P、Q 两点间的距离．
19．（本小题满分16 分）
设函数
( )
(
)(
)(
), , ,
f x
x
a x
b x
c a b c
R 、
( )
f ' x 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a 的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和
( )
f ' x 的零点均在集合{
3,1,3}
中，求f（x）的极小值；
（3）若
0,0
1,
1
a
b
c
，且f（x）的极大值为M，求证:M≤4
27
．
20．（本小满分16 分）
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定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}
*
(
)
nN
满足：
2
4
5
3
2
4
,
4
4
0
a a
a a
a
a
，求证：数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}
*
(
)
nN
满足：
1
1
1
2
2
1,
n
n
n
b
S
b
b
，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}
*
(
)
nN
，对任意正整数k，当k≤m 时，都有
1
k
k
k
c
b
c 成立，
求m 的最大值．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ·参考答案
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1.{1,6}
2.2
3.5
4.[
1,7]
5. 5
3
6. 7
10
7.
2
y
x
8.16
9.10
10.4
11.(e, 1)
12. 3
13.
2
10
14. 1
2
,
3
4
二、解答题
15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.
解：（1）因为
2
3 ,
2,cos
3
a
c b
B
，
由余弦定理
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
，得
2
2
2
2
(3 )
( 2)
3
2 3
c
c
c
c
，即
2
1
3
c
.
所以
3
3
c
.
（2）因为sin
cos
2
A
B
a
b
，
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
，得cos
sin
2
B
B
b
b
，所以cos
2sin
B
B
.
从而
2
2
cos
(2sin
)
B
B
，即
2
2
cos
4 1
cos
B
B
，故
2
4
cos
5
B
.
因为sin
0
B
，所以cos
2sin
0
B
B
，从而
2 5
cos
5
B
.
因此
π
2 5
sin
cos
2
5
B
B
.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证
能力.满分14 分.
证明：（1）因为D，E 分别为BC，AC 的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E 为AC 的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14 分.
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解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.
因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.
又因为DF1= 5
2
，AF2⊥x 轴，所以DF2=
2
2
2
2
1
1
2
5
3
( )
2
2
2
DF
F F
，
因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.
由b2=a2-c2，得b2=3.
因此，椭圆C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）解法一：
由（1）知，椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
，a=2，
因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.
将x=1 代入圆F2 的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4.
因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).
又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.
由
2
2
(
)
2
2
1
16
y
x
x
y
，得
2
5
6
11
0
x
x
，
解得
1
x
或
11
5
x
.
将
11
5
x
代入
2
2
y
x
，得
12
5
y
，
因此
11
12
(
,
)
5
5
B
. 又F2(1 ，0) ，所以直线BF2 ：
3 (
1)
4
y
x
.
由
2
2
1
4
3
3 (
1)
4
x
y
x
y
，得
2
7
6
13
0
x
x
，解得
1
x 或
13
7
x
.
又因为E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以
1
x .
将
1
x 代入
3 (
1)
4
y
x
，得
3
2
y
.因此
3
( 1,
)
2
E
.
解法二：
由（1）知，椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
.如图，连结EF1.
因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x 轴，所以EF1⊥x 轴.
因为F1(-1，0)，由
2
2
1
4
3
1
x
x
y
，得
3
2
y
.
又因为E 是线段BF2 与椭圆的交点，所以
3
2
y
.
因此
3
( 1,
)
2
E
.
18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分
析和解决实际问题的能力.满分16分.
解：解法一：
（1）过A作AE
BD
，垂足为E.
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由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
6,
8
DE
BE
AC
AE
CD
.'
因为PB⊥AB，
所以
8
4
cos
sin
10
5
PBD
ABE
.
所以
12
15
4
cos
5
BD
PB
PBD
.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P
选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知
2
2
10
AD
AE
ED
，
从而
2
2
2
7
cos
0
2
25
AD
AB
BD
BAD
AD AB
，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P
符合规划要求.
设
1P 为l上一点，且
1PB
AB
，由（1）知，
1P B=15，
此时
1
1
1
1
3
sin
cos
15
9
5
PD
PB
PBD
PB
EBA
；
当∠OBP>90°时，在
1
PPB
△
中，
1
15
PB
PB
.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2 ）知，要使得QA≥15 ，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求. 当QA=15 时，
2
2
2
2
15
6
3 21
CQ
QA
AC
.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=3 21时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21（百米）.
解法二：
（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.
因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.
因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.
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从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3
4
.
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为
4
3
，
直线PB的方程为
4
25
3
3
y
x
.
所以P（−13，9），
2
2
( 13
4)
(9
3)
15
PB
.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），
所以线段AD：
3
6( 4
4)
4
y
x
x
.
在线段AD上取点M（3，15
4
），因为
2
2
2
2
15
3
3
4
5
4
OM
，
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P
符合规划要求.
设
1P 为l上一点，且
1PB
AB
，由（1）知，
1P B=15，此时
1P （−13，9）；
当∠OBP>90°时，在
1
PPB
△
中，
1
15
PB
PB
.
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由
2
2
(
4)
(9
3)
15(
4)
AQ
a
a
，得a= 4
3 21
，所以Q（4
3 21
，9），此时，线段QA上所有点
到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上，当P（−13，9），Q（4
3 21
，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离
4
3 21
( 13)
17
3 21
PQ
.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17
3 21
（百米）.
19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满
分16分．
解：（1）因为a
b
c
，所以
3
( )
(
)(
)(
)
(
)
f x
x
a x
b x
c
x
a
．
因为
(4)
8
f
，所以
3
(4
)
8
a
，解得
2
a
．
（2）因为b
c
，
所以
2
3
2
2
( )
(
)(
)
(
2 )
(2
)
f x
x
a x
b
x
a
b x
b
a
b x
ab
，
从而
2
( )
3(
)
3
a
b
f ' x
x
b
x
．令
( )
0
f ' x
，得x
b
或
2
3
a
b
x
．
因为
2
, ,
3
a
b
a b
，都在集合{ 3,1,3}
中，且a
b
，
所以2
1,
3,
3
3
a
b
a
b
．
此时
2
( )
(
3)(
3)
f x
x
x
，
( )
3(
3)(
1)
f ' x
x
x
．
令
( )
0
f ' x
，得
3
x 或
1
x
．列表如下：
x
(
, 3)
3
( 3,1)
1
(1,
)
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( )
f ' x
+
0
–
0
+
( )
f x
极大值
极小值
所以
( )
f x 的极小值为
2
(1)
(1 3)(1 3)
32
f
．
（3）因为
0,
1
a
c
，所以
3
2
( )
(
)(
1)
(
1)
f x
x x
b x
x
b
x
bx
，
2
( )
3
2(
1)
f ' x
x
b
x
b
．
因为0
1
b
，所以
2
2
4(
1)
12
(2
1)
3
0
b
b
b
，
则
( )
f ' x 有2个不同的零点，设为
1
2
1
2
,
x x
x
x
．
由
( )
0
f ' x
，得
2
2
1
2
1
1
1
1
,
3
3
b
b
b
b
b
b
x
x
．
列表如下：
x
1
(
,
)
x
1x
1
2
,
x x
2x
2
(
,
)
x
( )
f ' x
+
0
–
0
+
( )
f x
极大值
极小值
所以
( )
f x 的极大值
1
M
f x
．
解法一：
3
2
1
1
1
1
(
1)
M
f x
x
b
x
bx
2
2
1
1
1
1
2
1
1
(
1)
[3
2(
1)
] 3
9
9
9
b
b
x
b
b b
x
b
x
b
x
2
3
2
2
1 (
1)
(
1)
2
1
27
9
27
b
b
b
b b
b
b
2
3
(
1)
2(
1) (
1)
2 (
(
1) 1)
27
27
27
b b
b
b
b b
(
1)
2
4
27
27
27
b b
．因此
4
27
M
．
解法二：
因为0
1
b
，所以
1
(0,1)
x
．
当
(0,1)
x
时，
2
( )
(
)(
1)
(
1)
f x
x x
b x
x x
．
令
2
( )
(
1) ,
(0,1)
g x
x x
x
，则
1
( )
3
(
1)
3
g' x
x
x
．
令
( )
0
g' x
，得
1
3
x
．列表如下：
x
1
(0, )
3
1
3
1
( ,1)
3
( )
g' x
+
0
–
( )
g x
极大值
所以当
1
3
x
时，
( )
g x 取得极大值，且是最大值，故
max
1
4
( )
3
27
g x
g
．
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所以当
(0,1)
x
时，
4
( )
( )
27
f x
g x
，因此
4
27
M
．
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用
数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．
解：（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由
2
4
5
3
2
1
4
4
0
a a
a
a
a
a
，得
2
4
4
1
1
2
1
1
1
4
4
0
a q
a q
a q
a q
a
，解得
1
1
2
a
q
．
因此数列{
}
na
为“M—数列”.
（2）①因为
1
1
2
2
n
n
n
S
b
b
，所以
0
nb
．
由
1
1
1
1,
b
S
b
，得
2
1
2
2
1
1
b
，则
2
2
b
.
由
1
1
2
2
n
n
n
S
b
b
，得
1
1
2(
)
n
n
n
n
n
b b
S
b
b
，
当
2
n
时，由
1
n
n
n
b
S
S
，得
1
1
1
1
2
2
n n
n
n
n
n
n
n
n
b b
b b
b
b
b
b
b
，
整理得
1
1
2
n
n
n
b
b
b
．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为bn=n
*
nN
.
②由①知，bk=k，
*
kN .
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以
1
k
k
q
k
q
，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有ln
ln
ln
1
k
k
q
k
k
．
设f（x）= ln
(
1)
x x
x
，则
2
1 ln
( )
x
f ' x
x
．
令
( )
0
f ' x
，得x=e.列表如下：
x
(1,e)
e
(e，+∞)
( )
f ' x
+
0
–
f（x）
极大值
因为ln 2
ln8
ln9
ln3
2
6
6
3
，所以
max
ln3
( )
(3)
3
f k
f
．
取
3 3
q
，当k=1，2，3，4，5时，ln
ln
k
q
k
，即
k
k
q
，
经检验知
1
k
q
k
也成立．
因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上，所求m的最大值为5．
数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两小题
．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答
．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的
前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
已知矩阵
3
1
2
2
A
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（1）求A2；
（2）求矩阵A的特征值.
B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知两点
3,
,
2,
4
2
A
B
，直线l的方程为
sin
3
4
.
（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.
C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设xR ，解不等式| |+|2
1|>2
x
x
.
【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）设
2
*
0
1
2
(1
)
,
4,
n
n
n
x
a
a x
a x
a x
n
n
N
.已知
2
3
2
4
2
a
a a
.
（1）求n的值；（2）设(1
3)
3
n
a
b
，其中
*
,a bN ，求
2
2
3
a
b
的值.
23. （本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集
{(0,0),(1,0),(2,0),
,( ,0)}
n
A
n
，
(0,1),( ,1)},
{(0,2),(1,2),(2,2),
,( ,2)},
.
n
n
B
n
C
n
n
N
令
n
n
n
n
M
A
B
C
.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21．【选做题】
A．[选修4–2：矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）因为
3
1
2
2
A
，
所以
2
3
1
3
1
2
2
2
2
A
= 3 3 1 2
3 1 1 2
2 3
2 2
2 1 2 2
= 11
5
10
6
．
（2）矩阵A的特征多项式为
2
3
1
( )
5
4
2
2
f
.
令
( )
0
f
，解得A的特征值
1
2
1,
4
.
B．[选修4–4：坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．
解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，4
），B（
2 ，2
），
由余弦定理，得AB=
2
2
3
( 2)
2 3
2
cos(
)
5
2
4
.
（2）因为直线l的方程为
sin(
)
3
4
，
则直线l过点(3 2,
)
2
，倾斜角为3
4
．
又
( 2, )
2
B
，所以点B到直线l的距离为
3
(3 2
2) sin(
)
2
4
2
.
C．[选修4–5：不等式选讲]
本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．
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解：当x<0时，原不等式可化为
1
2
2
x
x
，解得x<- 1
3
；
当0≤x≤1
2
时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；
当x> 1
2
时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.
综上，原不等式的解集为
1
{ |
1}
3
x x
x
或
.
22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．
解：（1）因为
0
1
2
2
(1
)
C
C
C
C
4
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
n
，
，
所以
2
3
2
3
(
1)
(
1)(
2)
C
,
C
2
6
n
n
n n
n n
n
a
a
，
4
4
(
1)(
2)(
3)
C
24
n
n n
n
n
a
．
因为
2
3
2
4
2
a
a a
，
所以
2
(
1)(
2)
(
1)
(
1)(
2)(
3)
[
]
2
6
2
24
n n
n
n n
n n
n
n
，
解得
5
n
．
（2）由（1）知，
5
n
．
5
(1
3)
(1
3)
n
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
C
C
3
C ( 3)
C ( 3)
C ( 3)
C ( 3)
3
a
b
．
解法一：
因为
*
,a bN ，所以
0
2
4
1
3
5
5
5
5
5
5
5
C
3C
9C
76,
C
3C
9C
44
a
b
，
从而
2
2
2
2
3
76
3 44
32
a
b
．
解法二：
5
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
(1
3)
C
C (
3)
C (
3)
C (
3)
C (
3)
C (
3)
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
5
5
5
5
5
5
C
C
C ( 3)
C ( 3)
C ( 3)
(
3
C
3)
．
因为
*
,a bN ，所以
5
(1
3)
3
a
b
．
因此
2
2
5
5
5
3
(
3)(
3)
(1
3)
(1
3)
( 2)
32
a
b
a
b
a
b
．
23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推
理论证能力．满分10分．
解：（1）当
1
n
时，X 的所有可能取值是1
2 2
5
，
，，
．
X 的概率分布为
2
2
6
6
7
7
4
4
(
1)
,
(
2)
C
15
C
15
P X
P X
，
2
2
6
6
2
2
2
2
(
2)
,
(
5)
C
15
C
15
P X
P X
．
（2）设
(
)
A a b
，和
(
)
B c
d
，
是从
n
M 中取出的两个点．
因为
(
)
1
(
)
P X
n
P X
n
，所以仅需考虑X
n
的情况．
①若b
d
，则AB
n
，不存在X
n
的取法；
②若
0
1
b
d
，
，则
2
2
(
)
1
1
AB
a
c
n
，所以X
n
当且仅当
2
1
AB
n
，此时
0
a
c
n
，
或
0
a
n
c
，
，有2 种取法；
③若
0
2
b
d
，
，则
2
2
(
)
4
4
AB
a
c
n
，因为当
3
n
时，
2
(
1)
4
n
n
，所以X
n
当且
仅当
2
4
AB
n
，此时
0
a
c
n
，
或
0
a
n
c
，
，有2 种取法；
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④若
1
2
b
d
，
，则
2
2
(
)
1
1
AB
a
c
n
，所以X
n
当且仅当
2
1
AB
n
，此时
0
a
c
n
，
或
0
a
n
c
，
，有2 种取法．
综上，当X
n
时，X 的所有可能取值是
2
1
n
和
2
4
n
，且
2
2
2
2
2
4
2
4
4
2
(
1)
,
(
4)
C
C
n
n
P X
n
P X
n
．
因此，
2
2
2
2
4
6
(
)
1
(
1)
(
4)
1
C n
P X
n
P X
n
P X
n
．
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绝密★本科目考试启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数
学（文）（北京卷）
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=
（A）（–1，1）
（B）（1，2）
（C）（–1，+∞）
（D）（1，+∞）
（2）已知复数z=2+i，则z z
（A）
3
（B）
5
（C）3
（D）5
（3）下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
（A）
1
2
y
x
（B）y= 2 x
（C）
1
2
log
y
x
（D）
1
y
x
（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（5）已知双曲线
2
2
2
1
x
y
a
（a>0）的离心率是
5 ，则a=
（A）
6
（B）4
（C）2
（D）1
2
（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b 为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
2
1
2
1
5
2
–
lg E
m
m
E
，其中
星等为
k
m 的星的亮度为
k
E （k=1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮
度的比值为
（A）1010.1
（B）10.1
（C）lg10.1
（D）
10.1
10
（8）如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
APB
是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积
的最大值为
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（A）4β+4cosβ
（B）4β+4sinβ
（C）2β+2cosβ
（D）2β+2sinβ
第二部分（非选择题
共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m），且
a
b ，则m=__________．
（10）若x，y 满足
2,
1,
4
3
1
0,
x
y
x
y
则y
x
的最小值为__________，最大值为__________．
（11）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．
（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那
么该几何体的体积为__________．
（13）已知l，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元/盒、
65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，
顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
在△ABC 中，a=3，
–
2
b
c
，cosB=
1
2
．
（Ⅰ）求b，c 的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）的值．
（16）（本小题13 分）
设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n 项和为Sn，求Sn 的最小值．
（17）（本小题12 分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学
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生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000 名学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，
B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额
支付方式
不大于2 000 元
大于2 000 元
仅使用A
27 人
3 人
仅使用B
24 人
1 人
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1 人，求该学生上个月支付金额大于2 000 元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人，发现他本
月的支付金额大于2 000 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000 元
的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题14 分）
如图，在四棱锥P
ABCD
中，PA 平面ABCD，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
（19）（本小题14 分）
已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
的右焦点为(1,0) ，且经过点
(0,1)
A
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设O 为原点，直线:
(
1)
l y
kx
t t
与椭圆C 交于两个不同点P，Q，直线AP 与x 轴交于点M，直
线AQ 与x 轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点．
（20）（本小题14 分）
已知函数
3
2
1
( )
4
f x
x
x
x
．
（Ⅰ）求曲线
( )
y
f x
的斜率为1 的切线方程；
（Ⅱ）当
[ 2,4]
x
时，求证：
6
( )
x
f x
x
；
（Ⅲ）设
( ) |
( )
(
) | (
)
F x
f x
x
a
a
R ，记
( )
F x 在区间[ 2,4]
上的最大值为M（a），当M（a）最小时，
求a 的值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）
（1）C
（2）D
（3）A
（4）B
（5）D
（6）C
（7）A
（8）B
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
（9）8
（10）–3
1
（11）
2
2
(
1)
4
x
y
（12）40
（13）若
,
l
m l
，则m
．（答案不唯一）
（14）130
15
三、解答题（共6 小题，共80 分）
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ）由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，得
2
2
2
1
3
2 3
(
)
2
b
c
c
．
因为
2
b
c
，
所以
2
2
2
1
(
2)
3
2 3
(
)
2
c
c
c
．
解得
5
c
．
所以
7
b
．
（Ⅱ）由
1
cos
2
B
得
3
sin
2
B
．
由正弦定理得
3 3
sin
sin
14
a
A
B
b
．
在
ABC
△
中，B
C
A
．
所以
3 3
sin(
)
sin
14
B
C
A
．
（16）（共13 分）
解：（Ⅰ）设
na
的公差为d ．
因为
1
10
a
，
所以
2
3
4
10
,
10
2 ,
10
3
a
d a
d a
d
．
因为
2
3
4
10,
8,
6
a
a
a
成等比数列，
所以
2
3
2
4
8
10
6
a
a
a
．
所以
2
( 2
2 )
( 4
3 )
d
d
d
．
解得
2
d
．
所以
1
(
1)
2
12
na
a
n
d
n
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2
12
na
n
．
所以，当
7
n
时，
0
na
；当
6
n
时，
0
na
．
所以，
n
S 的最小值为
6
30
S
．
（17）（共12 分）
解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，
A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40
1000
400
100
．
（Ⅱ）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则
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1
( )
0.04
25
P C
．
（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II）知，
( )
P E =0.04．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
( )
P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数
发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，
( )
P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为PA 平面ABCD，
所以PA
BD
．
又因为底面ABCD为菱形，
所以BD
AC
．
所以BD 平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD．
所以AB⊥AE．
所以AE⊥平面PAB．
所以平面PAB⊥平面PAE．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
则FG∥AB，且FG= 1
2
AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE= 1
2
AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF为平行四边形．
所以CF∥EG．
因为CF平面PAE，EG 平面PAE，
所以CF∥平面PAE．
（19）（共14 分）
解：（I）由题意得，b2=1，c=1．
所以a2=b2+c2=2．
所以椭圆C的方程为
2
2
1
2
x
y
．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则直线AP的方程为
1
1
1
1
y
y
x
x
．
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令y=0，得点M的横坐标
1
1
1
M
x
x
y
．
又
1
1
y
kx
t
，从而
1
1
|
|
|
|1
M
x
OM
x
kx
t
．
同理，
2
2
|
| |
|1
x
ON
kx
t
．
由
2
2
,
1
2
y
kx
t
x
y
得
2
2
2
(1
2
)
4
2
2
0
k
x
ktx
t
．
则
1
2
2
4
1 2
kt
x
x
k
，
2
1
2
2
2
2
1
2
t
x x
k
．
所以
1
2
1
2
|
| |
| |
||
|
1
1
x
x
OM
ON
kx
t
kx
t
1
2
2
2
1
2
1
2
|
|
(
1)
(
1)
x x
k x x
k t
x
x
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
|
|
2
2
4
(
1) (
)
(
1)
1
2
1
2
t
k
t
kt
k
k t
t
k
k
1
2|
|
1
t
t
．
又|
| |
| 2
OM
ON
，
所以
1
2|
|
2
1
t
t
．
解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．
（20）（共14 分）
解：（Ⅰ）由
3
2
1
( )
4
f x
x
x
x
得
2
3
( )
2
1
4
f
x
x
x
．
令
( )
1
f
x
，即
2
3
2
1
1
4 x
x
，得
0
x
或
8
3
x
．
又
(0)
0
f
，
8
8
( )
3
27
f
，
所以曲线
( )
y
f x
的斜率为1 的切线方程是y
x
与
8
8
27
3
y
x
，
即y
x
与
64
27
y
x
．
（Ⅱ）令( )
( )
,
[ 2,4]
g x
f x
x x
．
由
3
2
1
( )
4
g x
x
x
得
2
3
( )
2
4
g' x
x
x
．
令
( )
0
g' x
得
0
x
或
8
3
x
．
( ), ( )
g' x g x 的情况如下：
x
2
( 2,0)
0
8
(0, )
3
8
3
8
( ,4)
3
4
( )
g' x
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( )
g x
6
0
64
27
0
所以( )
g x 的最小值为6
，最大值为0 ．
故6
( )
0
g x
，即
6
( )
x
f x
x
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当
3
a 时，
( )
(0) |
(0)
|
3
M
F
g
a
a
a
；
当
3
a 时，
( )
( 2) |
( 2)
| 6
3
M
F
a
g
a
a
；
当
3
a 时，
( )
3
M a
．
综上，当
( )
M a 最小时，
3
a ．
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2018 年浙江省高考数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4.00 分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁UA=（
）
A．∅
B．{1，3}
C．{2，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
2．（4.00 分）双曲线
﹣y2=1 的焦点坐标是（
）
A．（﹣
，0），（
，0）B．（﹣2，0），（2，0）
C．（0，﹣
），（0，
）D．（0，﹣2），（0，2）
3．（4.00 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．（4.00 分）复数
（i 为虚数单位）的共轭复数是（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
5．（4.00 分）函数y=2
|x|sin2x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（4.00 分）已知平面α，直线m，n 满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（4.00 分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p 在（0，1）内增大时，（
）
A．D（ξ）减小
B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大
D．D（ξ）先增大后减小
8．（4.00 分）已知四棱锥S﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC
所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C 的平面角为θ3，则（
）
A．θ1≤θ2≤θ3
B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2
D．θ2≤θ3≤θ1
9．（4.00 分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为
，向量满足
﹣4 • +3=0，
则| ﹣|的最小值是（
）
A．
﹣1
B．
+1C．2
D．2﹣
10．（4.00 分）已知a1，a2，a3，a4 成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（
）
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A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分。
11．（6.00 分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏
三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则
，
当z=81 时，x=
，y=
．
12．（6.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+3y 的最小值是
，最大值是
．
13．（6.00 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若a=
，b=2，A=60°，则sinB=
，c=
．
14．（4.00 分）二项式（
+
）8 的展开式的常数项是
．
15．（6.00 分）已知λ∈R，函数f（x）=
，当λ=2 时，不等式f（x）＜0 的解集是
．若函
数f（x）恰有2 个零点，则λ的取值范围是
．
16．（4.00 分）从1，3，5，7，9 中任取2 个数字，从0，2，4，6 中任取2 个数字，一共可以组成
个没有
重复数字的四位数．（用数字作答）
17．（4.00 分）已知点P（0，1），椭圆
+y2=m（m＞1）上两点A，B 满足
=2
，则当m=
时，点B 横
坐标的绝对值最大．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14.00 分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣
，﹣
）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=
，求cosβ的值．
19．
（15.00分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1 与平面ABB1 所成的角的正弦值．
20．（15.00 分）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2 是a3，a5 的等差中项．数列{bn}满足b1=1，
数列{（bn+1﹣bn）an}的前n 项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
21．（15.00 分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的两点A，B 满足PA，
PB 的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x2+
=1（x＜0）上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
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22．（15.00 分）已知函数f（x）=
﹣lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；
（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有唯一公共点．
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2018 年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4.00 分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁UA=（
）
A．∅
B．{1，3}
C．{2，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
【分析】根据补集的定义直接求解：∁UA 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合．
【解答】解：根据补集的定义，∁UA 是由所有属于集合U 但不属于A 的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，
5 符合元素的条件．
∁UA={2，4，5}
故选：C．
【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题．
2．（4.00 分）双曲线
﹣y2=1 的焦点坐标是（
）
A．（﹣
，0），（
，0）B．（﹣2，0），（2，0）
C．（0，﹣
），（0，
）D．（0，﹣2），（0，2）
【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x 轴上，由平方关系算出c=
=2，即可得到双曲线的焦
点坐标．
【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a2=3，b2=1，
由此可得c=
=2，
∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）
故选：B．
【点评】本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．
3．（4.00 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．
如图所示：
故该几何体的体积为：V=
．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用．
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4．（4.00 分）复数
（i 为虚数单位）的共轭复数是（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
【解答】解：化简可得z=
=
=1+i，
∴z 的共轭复数=1﹣i
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．
5．（4.00 分）函数y=2
|x|sin2x 的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．
【解答】解：根据函数的解析式y=2
|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，
故排除A 和B．
当x=
时，函数的值也为0，
故排除C．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．
6．（4.00 分）已知平面α，直线m，n 满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵m⊄α，n⊂α，
∴当m∥n 时，m∥α成立，即充分性成立，
当m∥α时，m∥n 不一定成立，即必要性不成立，
则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．
7．（4.00 分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
则当p 在（0，1）内增大时，（
）
A．D（ξ）减小
B．D（ξ）增大
C．D（ξ）先减小后增大
D．D（ξ）先增大后减小
【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．
【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是
E（ξ）=0×
+1×
+2×
=p+
；
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方差是D（ξ）=
×
+
×
+
×
=﹣p2+p+
=﹣
+
，
∴p∈（0，
）时，D（ξ）单调递增；
p∈（
，1）时，D（ξ）单调递减；
∴D（ξ）先增大后减小．
故选：D．
【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
8．（4.00 分）已知四棱锥S﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）．设SE 与BC
所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C 的平面角为θ3，则（
）
A．θ1≤θ2≤θ3
B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2
D．θ2≤θ3≤θ1
【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．
【解答】解：∵由题意可知S 在底面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心．
过E 作EF∥BC，交CD 于F，过底面ABCD 的中心O 作ON⊥EF 交EF 于N，
连接SN，
取AB 中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，
则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．
显然，θ1，θ2，θ3 均为锐角．
∵tanθ1=
=
，tanθ3=
，SN≥SO，
∴θ1≥θ3，
又sinθ3=
，sinθ2=
，SE≥SM，
∴θ3≥θ2．
故选：D．
【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题．
9．（4.00 分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为
，向量满足
﹣4 • +3=0，
则| ﹣|的最小值是（
）
A．
﹣1
B．
+1C．2
D．2﹣
【分析】把等式
﹣4 • +3=0 变形，可得得
，即（
）⊥（
），设
，则
的终点在以（2，0）为圆心，以1 为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O 的两条射线y=
（x
＞0）上，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：由
﹣4 • +3=0，得
，
∴（
）⊥（
），
如图，不妨设
，
则的终点在以（2，0）为圆心，以1 为半径的圆周上，
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又非零向量与的夹角为
，则的终点在不含端点O 的两条射线y=
（x＞0）上．
不妨以y=
为例，则| ﹣|的最小值是（2，0）到直线
的距离减1．
即
．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．
10．（4.00 分）已知a1，a2，a3，a4 成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（
）
A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4
【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．
【解答】解：a1，a2，a3，a4 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，
a1＞1，设公比为q，
当q＞0 时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，
即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．
当q=﹣1 时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；
当q＜﹣1 时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，
当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难
度比较大．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分。
11．（6.00 分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏
三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则
，
当z=81 时，x=
8
，y=
11
．
【分析】直接利用方程组以及z 的值，求解即可．
【解答】解：
，当z=81 时，化为：
，
解得x=8，y=11．
故答案为：8；11．
【点评】本题考查方程组的解法，是基本知识的考查．
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12．（6.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+3y 的最小值是
﹣2
，最大值是
8
．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=x+3y 对应的直线进行
平移，观察直线在y 轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．
【解答】解：作出x，y 满足约束条件
表示的平面区域，
如图：
其中B（4，﹣2），A（2，2）．
设z=F（x，y）=x+3y，
将直线l：z=x+3y 进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，
可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值．
∴z 最小值=F（4，﹣2）=﹣2．
可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值：
z 最大值=F（2，2）=8．
故答案为：﹣2；8．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单
的线性规划等知识，属于中档题．
13．（6.00 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若a=
，b=2，A=60°，则sinB=
，c=
3
．
【分析】由正弦定理得
=
，由此能求出sinB，由余弦定理得cos60°=
，由此能求出c．
【解答】解：∵在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．
a=
，b=2，A=60°，
∴由正弦定理得：
，即
=
，
解得sinB=
=
．
由余弦定理得：
cos60°=
，
解得c=3 或c=﹣1（舍），
∴sinB=
，c=3．
故答案为：
，3．
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【点评】本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是中档题．
14．（4.00 分）二项式（
+
）8 的展开式的常数项是
7
．
【分析】写出二项展开式的通项并整理，由x 的指数为0 求得r 值，则答案可求．
【解答】解：由
=
．
令
=0，得r=2．
∴二项式（
+
）8 的展开式的常数项是
．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
15．（6.00 分）已知λ∈R，函数f（x）=
，当λ=2 时，不等式f（x）＜0 的解集是
{x|1＜x＜4}
．若
函数f（x）恰有2 个零点，则λ的取值范围是
（1，3]∪（4，+∞）
．
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．
【解答】解：当λ=2 时函数f（x）=
，显然x≥2 时，不等式x﹣4＜0 的解集：{x|2≤x＜4}；x
＜2 时，不等式f（x）＜0 化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2 个零点，
函数f（x）=
的草图如图：
函数f（x）恰有2 个零点，则1＜λ≤3 或λ＞4．
故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．
16．（4.00 分）从1，3，5，7，9 中任取2 个数字，从0，2，4，6 中任取2 个数字，一共可以组成
1260
个没有
重复数字的四位数．（用数字作答）
【分析】可先从1，3，5，7，9 中任取2 个数字，然后通过0 是否存在，求解即可．
【解答】解：从1，3，5，7，9 中任取2 个数字有
种方法，
从2，4，6，0 中任取2 个数字不含0 时，有
种方法，
可以组成
=720 个没有重复数字的四位数；
含有0 时，0 不能在千位位置，其它任意排列，共有
=540，
故一共可以组成1260 个没有重复数字的四位数．
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故答案为：1260．
【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，注意“0“是否在4 位数中去易错点，
是中档题．
17．（4.00 分）已知点P（0，1），椭圆
+y2=m（m＞1）上两点A，B 满足
=2
，则当m=
5
时，点B 横坐
标的绝对值最大．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，有x22=m﹣（
）
2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m 的值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由P（0，1），
=2
，
可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），
即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，
又x12+4y12=4m，
即为x22+y12=m，①
x22+4y22=4m，②
①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，
可得y1﹣2y2=﹣m，
解得y1=
，y2=
，
则m=x22+（
）2，
即有x22=m﹣（
）2=
=
，
即有m=5 时，x22 有最大值4，
即点B 横坐标的绝对值最大．
故答案为：5．
【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求
法，属于中档题．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14.00 分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣
，﹣
）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=
，求cosβ的值．
【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；
（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
代值计算得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P（﹣
，﹣
）．
∴x=﹣
，y=
，r=|OP|=
，
∴sin（α+π）=﹣sinα=
；
（Ⅱ）由x=﹣
，y=
，r=|OP|=1，
得
，
，
又由sin（α+β）=
，
得
=
，
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则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=
，
或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=
．
∴cosβ的值为
或
．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．
19．
（15.00分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1 与平面ABB1 所成的角的正弦值．
【分析】（I）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；
（II）以AC 的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与
的夹角即可得出线面角的
大小．
【解答】（I）证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，
∴AA1∥BB1，
∵AA1=4，BB1=2，AB=2，
∴A1B1=
=2
，
又AB1=
=2
，∴AA12=AB12+A1B12，
∴AB1⊥A1B1，
同理可得：AB1⊥B1C1，
又A1B1∩B1C1=B1，
∴AB1⊥平面A1B1C1．
（II）解：取AC 中点O，过O 作平面ABC 的垂线OD，交A1C1 于D，
∵AB=BC，∴OB⊥OC，
∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=
，
以O 为原点，以OB，OC，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，﹣
，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，
，1），
∴
=（1，
，0），
=（0，0，2），
=（0，2
，1），
设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则
，
∴
，令y=1 可得=（﹣
，1，0），
∴cos＜
＞=
=
=
．
设直线AC1 与平面ABB1 所成的角为θ，则sinθ=|cos＜
＞|=
．
∴直线AC1 与平面ABB1 所成的角的正弦值为
．
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【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．
20．（15.00 分）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2 是a3，a5 的等差中项．数列{bn}满足b1=1，
数列{（bn+1﹣bn）an}的前n 项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；
（Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1，运用数列的递推式可得cn=4n﹣1，再由数列的恒等式求得bn=b1+（b2
﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1），运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2 是a3，a5 的等差中项，
可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，
解得a4=8，
由
+8+8q=28，可得q=2（
舍去），
则q 的值为2；
（Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1，
可得n=1 时，c1=2+1=3，
n≥2 时，可得cn=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，
上式对n=1 也成立，
则（bn+1﹣bn）an=4n﹣1，
即有bn+1﹣bn=（4n﹣1）•（
）n﹣1，
可得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）
=1+3•（
）0+7•（
）1+…+（4n﹣5）•（
）n﹣2，
bn=
+3•（
）+7•（
）2+…+（4n﹣5）•（
）n﹣1，
相减可得
bn=
+4[（
）+（
）2+…+（
）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（
）n﹣1
=
+4•
﹣（4n﹣5）•（
）n﹣1，
化简可得bn=15﹣（4n+3）•（
）n﹣2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算
能力，属于中档题．
21．（15.00 分）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C：y2=4x 上存在不同的两点A，B 满足PA，
PB 的中点均在C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x2+
=1（x＜0）上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
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【分析】（Ⅰ）设P（m，n），A（
，y1），B（
，y2），运用中点坐标公式可得M 的坐标，再由中点坐标公
式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2 为关于y 的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0 的两根，由韦达定理即可得到结
论；
（Ⅱ）由题意可得m2+
=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，可得△PAB 面积为S=
|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元
法，可得面积S 关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（
，y1），B（
，y2），
AB 中点为M 的坐标为（
，
），
抛物线C：y2=4x 上存在不同的两点A，B 满足PA，PB 的中点均在C 上，
可得（
）2=4•
，
（
）2=4•
，
化简可得y1，y2 为关于y 的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0 的两根，
可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，
可得n=
，
则PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆x2+
=1（x＜0）上的动点，
可得m2+
=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，
由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，
由PM 垂直于y 轴，可得△PAB 面积为S=
|PM|•|y1﹣y2|
=
（
﹣m）•
=[
•（4n2﹣16m+2n2）﹣
m]•
=
（n2﹣4m）
，
可令t=
=
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=
，
可得m=﹣
时，t 取得最大值
；
m=﹣1 时，t 取得最小值2，
即2≤t≤
，
则S=
t3 在2≤t≤
递增，可得S∈[6
，
]，
△PAB 面积的取值范围为[6
，
]．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题．
22．（15.00 分）已知函数f（x）=
﹣lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；
（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【分析】（Ⅰ）推导出x＞0，f′（x）=
﹣
，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，得到
+
=
，
由基本不等式得：
=
≥
，从而x1x2 ＞256 ，由题意得f （x1 ）+f （x2 ）
=
=
﹣ln（x1x2），设g（x）=
，则
，利用导数性
质能证明f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．
（Ⅱ）令m=e
﹣（|a|+k），n=（
）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，推导出存在x0∈（m，n），使f（x0）
=kx0+a，对于任意的a∈R 及k∈（0，+∞），直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=
，
设h（x）=
，则h′（x）=
=
，利用导数性质能证明a≤3﹣4ln2 时，对于任意
k＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=
﹣lnx，
∴x＞0，f′（x）=
﹣
，
∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，
∴
=
﹣
，
∵x1≠x2，∴
+
=
，
由基本不等式得：
=
≥
，
∵x1≠x2，∴x1x2＞256，
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由题意得f（x1）+f（x2）=
=
﹣ln（x1x2），
设g（x）=
，则
，
∴列表讨论：
x
（0，16）
16
（16，+∞）
g′（x）
﹣
0
+
g（x）
↓
2﹣4ln2
↑
∴g（x）在[256，+∞）上单调递增，
∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，
∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．
（Ⅱ）令m=e
﹣（|a|+k），n=（
）2+1，
则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，
f（n）﹣kn﹣a＜n（
﹣
﹣k）≤n（
﹣k）＜0，
∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，
∴对于任意的a∈R 及k∈（0，+∞），直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有公共点，
由f（x）=kx+a，得k=
，
设h（x）=
，则h′（x）=
=
，
其中g（x）=
﹣lnx，
由（1）知g（x）≥g（16），
又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，
∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴方程f（x）﹣kx﹣a=0 至多有一个实根，
综上，a≤3﹣4ln2 时，对于任意k＞0，直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有唯一公共点．
【点评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．
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2018 年天津市高考数学试卷（文科）
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00 分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（
）
A．{﹣1，1} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{2，3，4}
2．（5.00 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=3x+5y 的最大值为（
）
A．6
B．19
C．21
D．45
3．（5.00 分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（5.00 分）已知a=log3
，b=（
）
，c=log
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
6．（5.00 分）将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A．在区间[
]上单调递增B．在区间[﹣
，0]上单调递减
C．在区间[
]上单调递增
D．在区间[
，π]上单调递减
7．（5.00 分）已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，
B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（
）
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A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
8．（5.00 分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，
=2
，
=2
，则
的值为（
）
A．﹣15 B．﹣9
C．﹣6
D．0
二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5.00 分）i 是虚数单位，复数
=
．
10．（5.00 分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为
．
11．（5.00 分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为
．
12．（5.00 分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为
．
13．（5.00 分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+
的最小值为
．
14．（5.00 分）已知a∈R，函数f（x）=
．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a
的取值范围是
．
三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13.00 分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从
中抽取7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7 名同学分别用A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M 为事件“抽取的2 名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．
16．（13.00 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣
）．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin（2A﹣B）的值．
17．（13.00 分）如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB 的中点，AB=2，
AD=2
，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
18．（13.00 分）设{an}是等差数列，其前n 项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Tn（n
∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
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（Ⅰ）求Sn 和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数n 的值．
19．（14.00 分）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
，|AB|=
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q 两点，1 与直线AB 交于点M，且点P，M 均在第四象限．若△BPM
的面积是△BPQ 面积的2 倍，求k 的值．
20．（14.00 分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3 是公差为d 的等差数列．
（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；
（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6
有三个互异的公共点，求d 的取值范围．
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2018 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00 分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（
）
A．{﹣1，1} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{2，3，4}
【分析】直接利用交集、并集运算得答案．
【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，
∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，
又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，
∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题．
2．（5.00 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=3x+5y 的最大值为（
）
A．6
B．19
C．21
D．45
【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y 的最大值．
【解答】解：由变量x，y 满足约束条件
，
得如图所示的可行域，由
解得A（2，3）．
当目标函数z=3x+5y 经过A 时，直线的截距最大，
z 取得最大值．
将其代入得z 的值为21，
故选：C．
【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点
的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最
值．
3．（5.00 分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由x3＞8 得到|x|＞2，由|x|＞2 不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．
【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，
反之，由|x|＞2，得x＜﹣2 或x＞2，
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则x3＜﹣8 或x3＞8．
即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．
4．（5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：若输入N=20，
则i=2，T=0，
=
=10 是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5 不成立，
循环，
=
不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5 不成立，
循环，
=
=5 是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5 成立，
输出T=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
5．（5.00 分）已知a=log3
，b=（
）
，c=log
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【分析】把a，c 化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1 的关系进行比较．
【解答】解：∵a=log3
，c=log
=log35，且5
，
∴
，
则b=（
）
＜
，
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∴c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．
6．（5.00 分）将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A．在区间[
]上单调递增B．在区间[﹣
，0]上单调递减
C．在区间[
]上单调递增
D．在区间[
，π]上单调递减
【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案．
【解答】解：将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣
）+
]=sin2x．
当x∈[
]时，2x∈[
，
]，函数单调递增；
当x∈[
，
]时，2x∈[
，π]，函数单调递减；
当x∈[﹣
，0]时，2x∈[﹣
，0]，函数单调递增；
当x∈[
，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．
故选：A．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题．
7．（5.00 分）已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，
B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线
y=
，即bx﹣ay=0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB 是梯形，
F 是AB 的中点，EF=
=3，
EF=
=b，
所以b=3，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得
，
可得：
，解得a=
．
则双曲线的方程为：
﹣
=1．
故选：A．
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【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
8．（5.00 分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，
=2
，
=2
，则
的值为（
）
A．﹣15 B．﹣9
C．﹣6
D．0
【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，
再利用余弦定理求出MN 和∠OMN 的余弦值，计算
•
即可．
解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN 是平行四边形，
由题意求得
的值．
【解答】解：解法Ⅰ，由题意，
=2
，
=2
，
∴
=
=2，∴BC∥MN，且BC=3MN，
又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣
）=7，
∴MN=
；
∴BC=3
，
∴cos∠OMN=
=
=
，
∴
•
=|
|×|
|cos（π﹣∠OMN）=3
×1×（﹣
）=﹣6．
解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，
由OM=1，ON=2，∠MON=120°，
=2
，
=2
，
知
=
﹣
=3
﹣3
=﹣3
+3
，
∴
=（﹣3
+3
）•
=﹣3
+3
•
=﹣3×12+3×2×1×cos120°
=﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
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9．（5.00 分）i 是虚数单位，复数
=
4﹣i
．
【分析】根据复数的运算法则计算即可．
【解答】解：
=
=
=
=4﹣i，
故答案为：4﹣i
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
10．（5.00 分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为
e
．
【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．
【解答】解：函数f（x）=exlnx，
则f′（x）=exlnx+
•ex；
∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．
故答案为：e．
【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．
11．（5.00 分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为
．
【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．
【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D 的底面是矩形，边长：1 和
，
四棱锥的高：
A1C1=
．
则四棱锥A1﹣BB1D1D 的体积为：
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
12．（5.00 分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为
（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2
﹣2x=0）
．
【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程．
【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．
【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，
结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，
其圆心为（1，0），半径为1，
则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．
【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
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则
，
解得D=﹣2，E=F=0；
∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0．
故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）．
【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题．
13．（5.00 分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+
的最小值为
．
【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，
可得：3b=a+6，
则2a+
=
=
≥2
=
，
当且仅当2a=
．即a=﹣3 时取等号．
函数的最小值为：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．
14．（5.00 分）已知a∈R，函数f（x）=
．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a
的取值范围是
[
]
．
【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【解答】解：当x≤0 时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2 的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，
要使x≤0 时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，
则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，
即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，
当x＞0 时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x 的下方或在y=x 上，
由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，
得a≥
，
综上
≤a≤2，
故答案为：[
，2]．
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【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合．
三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13.00 分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从
中抽取7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的7 名同学分别用A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M 为事件“抽取的2 名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3 人，2 人，2 人．
（Ⅱ）（i）从抽取的7 名同学中抽取2 名同学，利用列举法能求出所有可能结果．
（ii）设抽取的7 名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M 为事件“抽
取的2 名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M 发生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7 名同学，
∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3 人，2 人，2 人．
（Ⅱ）（i）从抽取的7 名同学中抽取2 名同学的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，
{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，
{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21 个．
（i）设抽取的7 名学生中，来自甲年级的是A，B，C，
来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，
M 为事件“抽取的2 名同学来自同一年级”，
则事件M 包含的基本事件有：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5 个基本事件，
∴事件M 发生的概率P（M）=
．
【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考
查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
16．（13.00 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣
）．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin（2A﹣B）的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣
）．由此能求出B．
（Ⅱ）由余弦定理得b=
，由bsinA=acos（B﹣
），得sinA=
，cosA=
，由此能求出sin（2A﹣B）．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得
，得bsinA=asinB，
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又bsinA=acos（B﹣
）．
∴asinB=acos（B﹣
），即sinB=cos（B﹣
）=cosBcos
+sinBsin
=
cosB+
，
∴tanB=
，
又B∈（0，π），∴B=
．
（Ⅱ）在△ABC 中，a=2，c=3，B=
，
由余弦定理得b=
=
，由bsinA=acos（B﹣
），得sinA=
，
∵a＜c，∴cosA=
，
∴sin2A=2sinAcosA=
，
cos2A=2cos2A﹣1=
，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB=
=
．
【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
17．（13.00 分）如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M 为棱AB 的中点，AB=2，
AD=2
，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；
（Ⅱ）取棱AC 的中点N，连接MN，ND，又M 为棱AB 的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC 与MD
所成角，求解三角形可得异面直线BC 与MD 所成角的余弦；
（Ⅲ）连接CM，由△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，可得CM⊥AB，且CM=
，再由面面垂直的性质可
得CM⊥平面ABD，则∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成角，求解三角形可得直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，
得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；
（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N，连接MN，ND，
∵M 为棱AB 的中点，故MN∥BC，
∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，
在Rt△DAM 中，AM=1，故DM=
，
∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，
在Rt△DAN 中，AN=1，故DN=
，
在等腰三角形DMN 中，MN=1，可得cos∠DMN=
．
∴异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为
；
（Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，
故CM⊥AB，CM=
，
又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，
故CM⊥平面ABD，则∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成角．
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在Rt△CAD 中，CD=
，
在Rt△CMD 中，sin∠CDM=
．
∴直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为
．
【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求
解能力与推理论证能力，属中档题．
18．（13.00 分）设{an}是等差数列，其前n 项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Tn（n
∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求Sn 和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数n 的值．
【分析】（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{bn}的通项公式与前n 项和可求；等差数列
{an}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n 项和公
式可得Sn；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+……+Tn，代入Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，化为关于n 的一元二次方程求解正整数n 的
值．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0．
∵q＞0，可得q=2．
故
，
；
设等差数列{an}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，
由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，
∴a1=d=1．
故an=n，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+……+Tn=
=2n+1﹣n﹣2．
由Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，
可得
，
整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4．
∴n 的值为4．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能
力，是中档题．
19．（14.00 分）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
，|AB|=
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q 两点，1 与直线AB 交于点M，且点P，M 均在第四象限．若△BPM
的面积是△BPQ 面积的2 倍，求k 的值．
【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得
，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可．
（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．
由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2 倍，可得x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，
联立方程求出由
＞0.
，可得k．
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【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，
由已知可得
，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为：
，
（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．
∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2 倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，
∴x2=5x1，
易知直线AB 的方程为：2x+3y=6．
由
，可得
＞0．
由
，可得
，
⇒
，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣
或k=﹣
．
由
＞0．可得k
，故k=﹣
，
【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
20．（14.00 分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3 是公差为d 的等差数列．
（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；
（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6
有三个互异的公共点，求d 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出t2=0，d=1 时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；
（Ⅱ）计算d=3 时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值；
（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6
有三个互异的公共点，
等价于关于x 的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6
=0 有三个互异的实数根，
利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），
t2=0，d=1 时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，
∴f′（x）=3x2﹣1，
f（0）=0，f′（0）=﹣1，
∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），
即x+y=0；
（Ⅱ）d=3 时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）
=
﹣9（x﹣t2）
=x3﹣3t2x2+（3
﹣9）x﹣
+9t2；
∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3
﹣9，
令f′（x）=0，解得x=t2﹣
或x=t2+
；
当x 变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；
x
（﹣∞，
t2﹣
）
t2﹣
（t2﹣
，
t2+
）
t2+
（t2+
，
+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
单调增
极大值
单调减
极小值
单调增
∴f（x）的极大值为f（t2﹣
）=
﹣9×（﹣
）=6
，
极小值为f（t2+
）=
﹣9×
=﹣6
；
（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6
有三个互异的公共点，
等价于关于x 的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6
=0 有三个互异的实数根，
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令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6
=0；
设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6
，则
曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6
有3 个互异的公共点，
等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；
又g′（x）=3x2+（1﹣d2），
当d2≤1 时，g′（x）≥0 恒成立，此时g（x）在R 上单调递增，不合题意；
当d2＞1 时，令g′（x）=0，解得x1=﹣
，x2=
；
∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，
在（x2，+∞）上也单调递增；
∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣
）=
+6
＞0；
极小值为g（x2）=g（
）=﹣
+6
；
若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，
函数g（x）至多有两个零点，不合题意；
若g（x2）＜0，即
＞27，解得|d|＞
，
此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6
＞0，且﹣2|d|＜x1；
g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6
＜0，
从而由g（x）的单调性可知，
函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；
∴d 的取值范围是（﹣∞，﹣
）∪（
，+∞）．
【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合
题．
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2018 年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位
置直接填写结果.
1．（4.00 分）行列式
的值为
．
2．（4.00 分）双曲线
﹣y2=1 的渐近线方程为
．
3．（4.00 分）在（1+x）7 的二项展开式中，x2 项的系数为
（结果用数值表示）．
4．（4.00 分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=
．
5．（4.00 分）已知复数z 满足（1+i）z=1﹣7i（i 是虚数单位），则|z|=
．
6．（4.00 分）记等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=
．
7．（5.00 分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
则α=
．
8．（5.00 分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F 是y 轴上的两个动点，且|
|=2，则
的最小值为
．
9．（5.00 分）有编号互不相同的五个砝码，其中5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，
则这三个砝码的总质量为9 克的概率是
（结果用最简分数表示）．
10．（5.00 分）设等比数列{an}的通项公式为an=qn﹣1（n∈N*），前n 项和为Sn．若
=
，则q=
．
11．（5.00 分）已知常数a＞0，函数f（x）=
的图象经过点P（p，
），Q（q，
）．若2p+q=36pq，则
a=
．
12．（5.00 分）已知实数x1、x2、y1、y2 满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=
，则
+
的
最大值为
．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，
将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5.00 分）设P 是椭圆
=1 上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
）
A．2
B．2
C．2
D．4
14．（5.00 分）已知a∈R，则“a＞1”是“
＜1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
15．（5.00 分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1 是正六棱柱的一条侧
棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
16．（5.00 分）设D 是含数1 的有限实数集，f（x）是定义在D 上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转
后
与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（
）
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A．
B．
C．
D．0
三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14.00 分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角
的大小．
18．（14.00 分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．
（1）若f（x）为偶函数，求a 的值；
（2）若f（
）=
+1，求方程f（x）=1﹣
在区间[﹣π，π]上的解．
19．（14.00 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S
中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间
为
f（x）=
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．
20．（16.00 分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，
y≥0）．l 与x 轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．
（1）用t 表示点B 到点F 的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明
理由．
21．（18.00 分）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．
（1）设{an}是首项为1，公比为
的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，
3，4}，求M 中元素的个数m；
（3）已知{an}是公差为d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200
中至少有100 个为正数，求d 的取值范围．
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2018 年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1~6 题每题4 分，第7~12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位
置直接填写结果.
1．（4.00 分）行列式
的值为
18
．
【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．
【解答】解：行列式
=4×5﹣2×1=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查．
2．（4.00 分）双曲线
﹣y2=1 的渐近线方程为
±
．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线
的a=2，b=1，焦点在x 轴上
而双曲线
的渐近线方程为y=±
∴双曲线
的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，
再定量的解题思想
3．（4.00 分）在（1+x）7 的二项展开式中，x2 项的系数为
21
（结果用数值表示）．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2 的系数．
【解答】解：二项式（1+x）7 展开式的通项公式为
Tr+1=
•xr，
令r=2，得展开式中x2 的系数为
=21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．
4．（4.00 分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=
7
．
【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．
【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．
f（x）的反函数的图象经过点（3，1），
∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），
∴log2（1+a）=3，
解得a=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础
题．
5．（4.00 分）已知复数z 满足（1+i）z=1﹣7i（i 是虚数单位），则|z|=
5
．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i，
得
，
则|z|=
．
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故答案为：5．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
6．（4.00 分）记等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=
14
．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n 项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，
∴
，
解得a1=﹣4，d=2，
∴S7=7a1+
=﹣28+42=14．
故答案为：14．
【点评】本题考查等差数列的前7 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
7．（5.00 分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
则α=
﹣1
．
【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a 是奇数，且a＜0，由此能求出a 的值．
【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣
，1，2，3}，
幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，
∴a 是奇数，且a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基
础题．
8．（5.00 分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F 是y 轴上的两个动点，且|
|=2，则
的最小值为
﹣3
．
【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出|a﹣b|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得
，
将a=b+2 带入上式即可求出
的最小值，同理将b=a+2 带入，也可求出
的最小值．
【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；
∴
；
∴a=b+2，或b=a+2；
且
；
∴
；
当a=b+2 时，
；
∵b2+2b﹣2 的最小值为
；
∴
的最小值为﹣3，同理求出b=a+2 时，
的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数
求最值的公式．
9．（5.00 分）有编号互不相同的五个砝码，其中5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，从中随机选取三个，
则这三个砝码的总质量为9 克的概率是
（结果用最简分数表示）．
【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9 克的事件总数，然后求解概率即可．
【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5 克、3 克、1 克砝码各一个，2 克砝码两个，
从中随机选取三个，3 个数中含有1 个2；2 个2，没有2，3 种情况，
所有的事件总数为：
=10，
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这三个砝码的总质量为9 克的事件只有：5，3，1 或5，2，2 两个，
所以：这三个砝码的总质量为9 克的概率是：
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查．
10．（5.00 分）设等比数列{an}的通项公式为an=qn﹣1（n∈N*），前n 项和为Sn．若
=
，则q=
3
．
【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．
【解答】解：等比数列{an}的通项公式为a
=qn﹣1（n∈N*），可得a1=1，
因为
=
，所以数列的公比不是1，
，an+1=qn．
可得
=
=
=
=
，
可得q=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考
查．
11．（5.00 分）已知常数a＞0，函数f（x）=
的图象经过点P（p，
），Q（q，
）．若2p+q=36pq，则a=
6
．
【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值．
【解答】解：函数f（x）=
的图象经过点P（p，
），Q（q，
）．
则：
，
整理得：
=1，
解得：2p+q=a2pq，
由于：2p+q=36pq，
所以：a2=36，
由于a＞0，
故：a=6．
故答案为：6
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
12．（5.00 分）已知实数x1、x2、y1、y2 满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=
，则
+
的
最大值为
+
．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），
=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，
可得三角形OAB 为等边三角形，AB=1，
+
的几何意义为点A，B 两点到直线x+y﹣1=0
的距离d1 与d2 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．
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【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
=（x1，y1），
=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=
，
可得A，B 两点在圆x2+y2=1 上，
且
•
=1×1×cos∠AOB=
，
即有∠AOB=60°，
即三角形OAB 为等边三角形，
AB=1，
+
的几何意义为点A，B 两点
到直线x+y﹣1=0 的距离d1 与d2 之和，
显然A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1 平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），
由圆心O 到直线AB 的距离d=
，
可得2
=1，解得t=
，
即有两平行线的距离为
=
，
即
+
的最大值为
+
，
故答案为：
+
．
【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的
距离公式是解题的关键，属于难题．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，
将代表正确选项的小方格涂黑.
13．（5.00 分）设P 是椭圆
=1 上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
）
A．2
B．2
C．2
D．4
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【解答】解：椭圆
=1 的焦点坐标在x 轴，a=
，
P 是椭圆
=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2
．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．
14．（5.00 分）已知a∈R，则“a＞1”是“
＜1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】“a＞1”⇒“
”，“
”⇒“a＞1 或a＜0”，由此能求出结果．
【解答】解：a∈R，则“a＞1”⇒“
”，
“
”⇒“a＞1 或a＜0”，
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∴“a＞1”是“
”的充分非必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方
程思想，是基础题．
15．（5.00 分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1 是正六棱柱的一条侧
棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（
）
A．4
B．8
C．12
D．16
【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．
【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1 满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1 一样，有2
×6=12，
当A1ACC1 为底面矩形，有2 个满足题意，
当A1AEE1 为底面矩形，有2 个满足题意，
故有12+2+2=16
故选：D．
【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．
16．（5.00 分）设D 是含数1 的有限实数集，f（x）是定义在D 上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转
后
与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（
）
A．
B．
C．
D．0
【分析】直接利用定义函数的应用求出结果．
【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
个单位后与下一个点会重
合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=
，
，0 时，此时得到的圆心角为
，
，0，然而此时x=0 或者
x=1 时，都有2 个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y，因此只有当x=
，此时
旋转
，此时满足一个x 只会对应一个y，因此答案就选：B．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用．
三、解答题（本大题共有5 题，满分76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．（14.00 分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
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（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO=4，OA、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段AB 的中点，如图．求异面直线PM 与OB 所成的角
的大小．
【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4 能求出圆锥的体积．
（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与
OB 所成的角．
【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，
∴圆锥的体积V=
=
=
．
（2）∵PO=4，OA，OB 是底面半径，且∠AOB=90°，
M 为线段AB 的中点，
∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），
M（1，1，0），O（0，0，0），
=（1，1，﹣4），
=（0，2，0），
设异面直线PM 与OB 所成的角为θ，
则cosθ=
=
=
．
∴θ=arccos
．
∴异面直线PM 与OB 所成的角的为arccos
．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．（14.00 分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．
（1）若f（x）为偶函数，求a 的值；
（2）若f（
）=
+1，求方程f（x）=1﹣
在区间[﹣π，π]上的解．
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【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，
（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．
【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，
∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，
∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，
∴2asin2x=0，
∴a=0；
（2）∵f（
）=
+1，
∴asin
+2cos2（
）=a+1=
+1，
∴a=
，
∴f（x）=
sin2x+2cos2x=
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+
）+1，
∵f（x）=1﹣
，
∴2sin（2x+
）+1=1﹣
，
∴sin（2x+
）=﹣
，
∴2x+
=﹣
+2kπ，或2x+
=
π+2kπ，k∈Z，
∴x=﹣
π+kπ，或x=
π+kπ，k∈Z，
∵x∈[﹣π，π]，
∴x=
或x=
或x=﹣
或x=﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．
19．（14.00 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S
中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间
为
f（x）=
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．
【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40 时x 的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100 时，
f（x）=2x+
﹣90＞40，
即x2﹣65x+900＞0，
解得x＜20 或x＞45，
∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当0＜x≤30 时，
g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣
；
当30＜x＜100 时，
g（x）=（2x+
﹣90）•x%+40（1﹣x%）=
﹣
x+58；
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∴g（x）=
；
当0＜x＜32.5 时，g（x）单调递减；
当32.5＜x＜100 时，g（x）单调递增；
说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
20．（16.00 分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，
y≥0）．l 与x 轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．
（1）用t 表示点B 到点F 的距离；
（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明
理由．
【分析】（1）方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；
方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，
即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；
（3）设P 及E 点坐标，根据直线kPF•kFQ=﹣1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据
+
=
，求得E 点
坐标，则（
）2=8（
+6），即可求得P 点坐标．
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2
t），
则|BF|=
=t+2，
∴|BF|=t+2；
方法二：由题意可知：设B（t，2
t），
由抛物线的性质可知：|BF|=t+
=t+2，∴|BF|=t+2；
（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，
∴|AQ|=
，∴Q（3，
），设OQ 的中点D，
D（
，
），
kQF=
=﹣
，则直线PF 方程：y=﹣
（x﹣2），
联立
，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x=
，x=6（舍去），
∴△AQP 的面积S=
×
×
=
；
（3）存在，设P（
，y），E（
，m），则kPF=
=
，kFQ=
，
直线QF 方程为y=
（x﹣2），∴yQ=
（8﹣2）=
，Q（8，
），
根据
+
=
，则E（
+6，
），
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∴（
）2=8（
+6），解得：y2=
，
∴存在以FP、FQ 为邻边的矩形FPEQ，使得点E 在Γ上，且P（
，
）．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
21．（18.00 分）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”．
（1）设{an}是首项为1，公比为
的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由；
（2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，
3，4}，求M 中元素的个数m；
（3）已知{an}是公差为d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200
中至少有100 个为正数，求d 的取值范围．
【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；
（2）由新定义可得an﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4 的范围，即可得到所求个数；
（3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运
算，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）数列{bn}与{an}接近．
理由：{an}是首项为1，公比为
的等比数列，
可得an=
，bn=an+1+1=
+1，
则|bn﹣an|=|
+1﹣
|=1﹣
＜1，n∈N*，
可得数列{bn}与{an}接近；
（2）{bn}是一个与{an}接近的数列，
可得an﹣1≤bn≤an+1，
数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，
可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，
可能b1 与b2 相等，b2 与b3 相等，但b1 与b3 不相等，b4 与b3 不相等，
集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，
M 中元素的个数m=3 或4；
（3）{an}是公差为d 的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，
可得an=a1+（n﹣1）d，
①若d＞0，取bn=an，可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d＞0，
则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中有200 个正数，符合题意；
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②若d=0，取bn=a1﹣
，则|bn﹣an|=|a1﹣
﹣a1|=
＜1，n∈N*，
可得bn+1﹣bn=
﹣
＞0，
则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中有200 个正数，符合题意；
③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1，
则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0，
则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中恰有100 个正数，符合题意；
④若d≤﹣2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，
即为an﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1，
可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）=2+d≤0，
b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200 中无正数，不符合题意．
综上可得，d 的范围是（﹣2，+∞）．
【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论
思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．
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2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）i（2+3i）=（
）
A．3﹣2iB．3+2i C．﹣3﹣2i
D．﹣3+2i
2．（5.00 分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（
）
A．{3}
B．{5}
C．{3，5}
D．{1，2，3，4，5，7}
3．（5.00 分）函数f（x）=
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5.00 分）已知向量，满足| |=1，
=﹣1，则•（2
）=（
）
A．4
B．3
C．2
D．0
5．（5.00 分）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为（
）
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
6．（5.00 分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（
）
A．y=±
x B．y=±
x C．y=±
x D．y=±
x
7．（5.00 分）在△ABC 中，cos
=
，BC=1，AC=5，则AB=（
）
A．4
B．
C．
D．2
8．（5.00 分）为计算S=1﹣
+
﹣
+…+
﹣
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（
）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
9．（5.00 分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱CC1 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（
）
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A．
B．
C．
D．
10．（5.00 分）若f（x）=cosx﹣sinx 在[0，a]是减函数，则a 的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．π
11．（5.00 分）已知F1，F2 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C 的离心率为
（
）
A．1﹣
B．2﹣
C．
D．
﹣1
12．（5.00 分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）
+f（2）+f（3）+…+f（50）=（
）
A．﹣50 B．0
C．2
D．50
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）曲线y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为
．
14．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
．
15．（5.00 分）已知tan（α﹣
）=
，则tanα=
．
16．（5.00 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°．若△SAB 的面积为8，
则该圆锥的体积为
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn 的最小值．
18．（12.00 分）如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000 年至2016
年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010 年至2016 年的数据（时
间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12.00 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AB=BC=2
，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M 在棱BC 上，且MC=2MB，求点C 到平面POM 的距离．
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20．（12.00 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过F 且斜率为k（k＞0）的直线l 与C 交于A，B 两点，|AB|=8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=
x3﹣a（x2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥0 的解集；
（2）若f（x）≤1，求a 的取值范围．
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2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）i（2+3i）=（
）
A．3﹣2iB．3+2i C．﹣3﹣2i
D．﹣3+2i
【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．
【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
2．（5.00 分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（
）
A．{3}
B．{5}
C．{3，5}
D．{1，2，3，4，5，7}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，
∴A∩B={3，5}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（5.00 分）函数f（x）=
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）=
=﹣
=﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1 时，f（1）=e﹣
＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．
4．（5.00 分）已知向量，满足| |=1，
=﹣1，则•（2
）=（
）
A．4
B．3
C．2
D．0
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量，满足| |=1，
=﹣1，则•（2
）=2
﹣
=2+1=3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
5．（5.00 分）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为（
）
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
【分析】（适合理科生）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，共有C52=10 种，其中全是女生的有
C32=3 种，根据概率公式计算即可，
（适合文科生），设2 名男生为a，b，3 名女生为A，B，C，则任选2 人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，
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AB，AC，BC 共10 种，其中全是女生为AB，AC，BC 共3 种，根据概率公式计算即可
【解答】解：（适合理科生）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，共有C52=10 种，其中全是女生
的有C32=3 种，
故选中的2 人都是女同学的概率P=
=0.3，
（适合文科生），设2 名男生为a，b，3 名女生为A，B，C，
则任选2 人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共10 种，其中全是女生为AB，AC，BC 共3 种，
故选中的2 人都是女同学的概率P=
=0.3，
故选：D．
【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．
6．（5.00 分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（
）
A．y=±
x B．y=±
x C．y=±
x D．y=±
x
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c 的关系，结合双曲线a，b，c 的关系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e=
=
，
则
=
=
=
=
=
，
即双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
7．（5.00 分）在△ABC 中，cos
=
，BC=1，AC=5，则AB=（
）
A．4
B．
C．
D．2
【分析】利用二倍角公式求出C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：在△ABC 中，cos
=
，cosC=2×
=﹣
，
BC=1，AC=5，则AB=
=
=
=4
．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
8．（5.00 分）为计算S=1﹣
+
﹣
+…+
﹣
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（
）
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A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，
该程序运行后输出的是
S=N﹣T=（1﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）；
累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．
故选：B．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
9．（5.00 分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱CC1 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE
与CD 所成角的正切值．
【解答】解以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），
C（0，2，0），
=（﹣2，2，1），
=（0，﹣2，0），
设异面直线AE 与CD 所成角为θ，
则cosθ=
=
=
，
sinθ=
=
，
∴tanθ=
．
∴异面直线AE 与CD 所成角的正切值为
．
故选：C．
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【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
思想，是基础题．
10．（5.00 分）若f（x）=cosx﹣sinx 在[0，a]是减函数，则a 的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．π
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣
+2kπ≤x﹣
≤
+2kπ，k∈Z，得﹣
+2kπ≤x≤
+2kπ，
k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣
，
]，结合已知条件即可求出a 的最大值．
【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣
sin（x﹣
），
由﹣
+2kπ≤x﹣
≤
+2kπ，k∈Z，
得﹣
+2kπ≤x≤
+2kπ，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣
，
]，
由f（x）在[0，a]是减函数，
得a≤
．
则a 的最大值是
．
故选：C．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
11．（5.00 分）已知F1，F2 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C 的离心率为
（
）
A．1﹣
B．2﹣
C．
D．
﹣1
【分析】利用已知条件求出P 的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：F1，F2 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2
（c，0），
所以P（
c，
c）．可得：
，可得
，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
解得e=
．
故选：D．
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【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5.00 分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）
+f（2）+f（3）+…+f（50）=（
）
A．﹣50 B．0
C．2
D．50
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4 的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）曲线y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为
y=2x﹣2
．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1 的导函数值，再结合导数的几何意义即
可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2lnx，
∴y′=
，
当x=1 时，y′=2
∴曲线y=2lnx 在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2．
故答案为：y=2x﹣2．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算
求解能力．属于基础题．
14．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
9
．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y 满足约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=x+y 为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z 过A 时，z 取得最大值，
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由
，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5.00 分）已知tan（α﹣
）=
，则tanα=
．
【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．
【解答】解：∵tan（α﹣
）=
，
∴tan（α
）=
，
则tanα=tan（α
+
）=
=
=
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键．
16．（5.00 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°．若△SAB 的面积为8，
则该圆锥的体积为
8π
．
【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体积即可．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB 互相垂直，△SAB 的面积为8，可得：
，解得SA=4，
SA 与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2
，圆锥的高为：2，
则该圆锥的体积为：V=
=8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn 的最小值．
【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an 即可；
（2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn=
=
=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn 以及
Sn 的最小值．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，
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∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，
∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，
∴Sn=
=
=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，
∴当n=4 时，前n 项的和Sn 取得最小值为﹣16．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于中档题．
18．（12.00 分）如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000 年至2016
年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010 年至2016 年的数据（时
间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【分析】（1）根据模型①计算t=19 时的值，根据模型②计算t=9 时的值即可；
（2）从总体数据和2000 年到2009 年间递增幅度以及2010 年到2016 年间递增的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，
计算t=19 时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是226.1 亿元；
根据模型②：=99+17.5t，
计算t=9 时，=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是256.5 亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000 年到2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000 年到2009 年间递增的幅度较小些，
从2010 年到2016 年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19．（12.00 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AB=BC=2
，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M 在棱BC 上，且MC=2MB，求点C 到平面POM 的距离．
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【分析】（1）证明：可得AB2+BC2=AC2，即△ABC 是直角三角形，
又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明PO⊥平面ABC；
（2）设点C 到平面POM 的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒
，解得d 即可
【解答】（1）证明：∵AB=BC=2
，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC 是直角三角形，
又O 为AC 的中点，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，
∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；
（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=
，
在△COM 中，OM=
=
．
S
=
×
×
=
，
S△COM=
=
．
设点C 到平面POM 的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒
，
解得d=
，
∴点C 到平面POM 的距离为
．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．
20．（12.00 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过F 且斜率为k（k＞0）的直线l 与C 交于A，B 两点，|AB|=8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得
直线l 的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=
，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l 的斜率，求得直线l
的方程；
（2）根据过A，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求
得圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；
设直线AB 的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=
，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=
+2=8，解得：k2=1，则k=1，
∴直线l 的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|=
=
=8，
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解得：sin2θ=
，
∴θ=
，则直线的斜率k=1，
∴直线l 的方程y=x﹣1；
（2）由（1）可得AB 的中点坐标为D（3，2），则直线AB 的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
，
解得：
或
，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16 或（x﹣11）2+（y+6）2=144．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换
思想思想，属于中档题．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=
x3﹣a（x2+x+1）．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有一个零点．
【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果．
（2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性．
【解答】解：（1）当a=3 时，f（x）=
x3﹣a（x2+x+1），
所以f′（x）=x2﹣6x﹣3 时，令f′（x）=0 解得x=3
，
当x∈（﹣∞，3﹣2
），x∈（3+2
，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，
当x∈（3﹣2
时，f′（x）＜0，函数是单调递减，
综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2
），（3+2
，+∞），上是增函数，在（3﹣2
上递减．
（2）证明：因为x2+x+1=（x+
）2+
，
所以f（x）=0 等价于
，
令
，
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则
，仅当x=0 时，g′（x）=0，所以g（x）在R 上是增函数；
g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．
又因为f（3a﹣1）=﹣6a2+2a﹣
=﹣6（a﹣
）2﹣
＜0，
f（3a+1）=
＞0，
故f（x）有一个零点，
综上，f（x）只有一个零点．
【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用．考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．
【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为
（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：
．
直线l 的参数方程为
（t 为参数）．
转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：
+
=1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则：
，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
②当直线的斜率存在时，利用中点坐标公式，
，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，
即：直线l 的斜率为﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中
点坐标的应用．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥0 的解集；
（2）若f（x）≤1，求a 的取值范围．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出
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【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=
．
当x≤﹣1 时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，
当﹣1＜x＜2 时，f（x）=2≥0 恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2 时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0 的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6 或a≥2，
故a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
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2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5.00 分）设z=
+2i，则|z|=（
）
A．0
B．
C．1
D．
3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（
）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5.00 分）已知椭圆C：
+
=1 的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（5.00 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的
正方形，则该圆柱的表面积为（
）
A．12
π
B．12π
C．8
π
D．10π
6．（5.00 分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为
（
）
A．y=﹣2x
B．y=﹣xC．y=2x D．y=x
7．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（
）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
8．（5.00 分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（
）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
9．（5.00 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆
柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（
）
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A．2
B．2
C．3
D．2
10．（5.00 分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AC1 与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为
（
）
A．8
B．6
C．8
D．8
11．（5.00 分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且
cos2α=
，则|a﹣b|=（
）
A．
B．
C．
D．1
12．（5.00 分）设函数f（x）=
，则满足f（x+1）＜f（2x）的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（0，+∞）
C．（﹣1，0）
D．（﹣∞，0）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=
．
14．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
．
15．（5.00 分）直线y=x+1 与圆x2+y2+2y﹣3=0 交于A，B 两点，则|AB|=
．
16．（5.00 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC
的面积为
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=
．
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
18．（12.00 分）如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达
点D 的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=
DA，求三棱锥Q﹣ABP 的体积．
19．（12.00 分）某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50 天的日用
水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）
[0.1，
0.2）
[0.2，
0.3）
[0.3，
0.4）
[0.4，
0.5）
[0.5，
0.6）
[0.6，
0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6）
频数
1
5
13
10
16
5
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（1）作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区
间中点的值作代表）
20．（12.00 分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．
（1）设x=2 是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥0．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2 的直角坐标方程；
（2）若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
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2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0，2}
B．{1，2}
C．{0}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩B={0，2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查．
2．（5.00 分）设z=
+2i，则|z|=（
）
A．0
B．
C．1
D．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z=
+2i=
+2i=﹣i+2i=i，
则|z|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（
）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用
数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A 项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故A 项错误．
B 项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，
故B 项正确．
C 项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C 项正确．
D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
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（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D 项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．
4．（5.00 分）已知椭圆C：
+
=1 的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆C：
+
=1 的一个焦点为（2，0），
可得a2﹣4=4，解得a=2
，
∵c=2，
∴e=
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
5．（5.00 分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的
正方形，则该圆柱的表面积为（
）
A．12
π
B．12π
C．8
π
D．10π
【分析】利用圆柱的截面是面积为8 的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积．
【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，
圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，
过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，
可得：4R2=8，解得R=
，
则该圆柱的表面积为：
=12π．
故选：B．
【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．
6．（5.00 分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为
（
）
A．y=﹣2x
B．y=﹣xC．y=2x D．y=x
【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．
【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
7．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（
）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
=
﹣
=
﹣
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=
﹣
×
（
+
）
=
﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
8．（5.00 分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（
）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求
出结果．
【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，
=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，
=4cos2x+sin2x，
=3cos2x+1，
=
，
=
，
故函数的最小正周期为π，
函数的最大值为
，
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用．
9．（5.00 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆
柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（
）
A．2
B．2
C．3
D．2
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度：
=2
．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．
10．（5.00 分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AC1 与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为
（
）
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A．8
B．6
C．8
D．8
【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=2，
AC1 与平面BB1C1C 所成的角为30°，
即∠AC1B=30°，可得BC1=
=2
．
可得BB1=
=2
．
所以该长方体的体积为：2×
=8
．
故选：C．
【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．
11．（5.00 分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且
cos2α=
，则|a﹣b|=（
）
A．
B．
C．
D．1
【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1=
，从而|cosα|=
，进而|tanα|=|
|=|a﹣b|=
．由此能求出结果．
【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，
终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=
，
∴cos2α=2cos2α﹣1=
，解得cos2α=
，
∴|cosα|=
，∴|sinα|=
=
，
|tanα|=|
|=|a﹣b|=
=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函
数与方程思想，是中档题．
12．（5.00 分）设函数f（x）=
，则满足f（x+1）＜f（2x）的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（0，+∞）
C．（﹣1，0）
D．（﹣∞，0）
【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．
【解答】解：函数f（x）=
，的图象如图：
满足f（x+1）＜f（2x），
可得：2x＜0＜x+1 或2x＜x+1≤0，
解得x∈（﹣∞，0）．
故选：D．
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【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=
﹣7
．
【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，
可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查．
14．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
6
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y 得y=﹣
x+
z，
平移直线y=﹣
x+
z，
由图象知当直线y=﹣
x+
z 经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z 最大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6
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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
15．（5.00 分）直线y=x+1 与圆x2+y2+2y﹣3=0 交于A，B 两点，则|AB|=
2
．
【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．
【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0 的圆心（0，﹣1），半径为：2，
圆心到直线的距离为：
=
，
所以|AB|=2
=2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．
16．（5.00 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC
的面积为
．
【分析】直接利用正弦定理求出A 的值，进一步利用余弦定理求出bc 的值，最后求出三角形的面积．
【解答】解：△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB=4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA=
，
则A=
由于b2+c2﹣a2=8，
则：
，
①当A=
时，
，
解得bc=
，
所以
．
②当A=
时，
，
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解得bc=﹣
（不合题意），舍去．
故：
．
故答案为：
．
【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=
．
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项．
（2）利用定义说明数列为等比数列．
（3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，
则：
（常数），
由于
，
故：
，
数列{bn}是以b1 为首项，2 为公比的等比数列．
整理得：
，
所以：b1=1，b2=2，b3=4．
（2）数列{bn}是为等比数列，
由于
（常数）；
（3）由（1）得：
，
根据
，
所以：
．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．
18．（12.00 分）如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达
点D 的位置，且AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=
DA，求三棱锥Q﹣ABP 的体积．
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【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AB=A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC；
（2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=
DA，可得三棱锥Q﹣ABP 的高，求出三角形ABP 的面积即可求得三
棱锥Q﹣ABP 的体积．
【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，
又AB⊥DA．且AD∩AB=A，
∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC；
（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3
，
∴BP=DQ=
DA=2
，
由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，
∴三棱锥Q﹣ABP 的体积V=
=
×
×
=
=1．
【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12.00 分）某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50 天的日用
水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）
[0.1，
0.2）
[0.2，
0.3）
[0.3，
0.4）
[0.4，
0.5）
[0.5，
0.6）
[0.6，
0.7）
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用水量
[0，0.1）
[0.1，0.2）
[0.2，0.3）
[0.3，0.4）
[0.4，0.5）
[0.5，0.6）
频数
1
5
13
10
16
5
（1）作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图；
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（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区
间中点的值作代表）
【分析】（1）根据使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率
分布直方图．
（2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3 的概率．
（3）由题意得未使用水龙头50 天的日均水量为0.48，使用节水龙头50 天的日均用水量为0.35，能此能估计该家
庭使用节水龙头后，一年能节省多少水．
【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：
（2）根据频率分布直方图得：
该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3 的概率为：
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p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48．
（3）由题意得未使用水龙头50 天的日均水量为：
（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48，
使用节水龙头50 天的日均用水量为：
（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35，
∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3．
【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解
能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12.00 分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M，N 两点．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
【分析】（1）当x=2 时，代入求得M 点坐标，即可求得直线BM 的方程；
（2）设直线l 的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得kBN+kBM=0，即可证明∠ABM=∠ABN．
【解答】解：（1）当l 与x 轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2，
所以M（2，2）或M（2，﹣2），
直线BM 的方程：y=
x+1，或：y=﹣
x﹣1．
（2）证明：设直线l 的方程为l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立直线l 与抛物线方程得
，消x 得y2﹣2ty﹣4=0，
即y1+y2=2t，y1y2=﹣4，
则有kBN+kBM=
+
=
=
=0，
所以直线BN 与BM 的倾斜角互补，
∴∠ABM=∠ABN．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属
于中档题．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．
（1）设x=2 是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥0．
【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）=aex﹣
，由x=2 是f（x）的极值点，解得a=
，从而f（x）=
ex﹣lnx
﹣1，进而f′（x）=
，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）当a≥
时，f（x）≥
﹣lnx﹣1，设g（x）=
﹣lnx﹣1，则
﹣
，由此利用导数性质能证明
当a≥
时，f（x）≥0．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=aex﹣lnx﹣1．
∴x＞0，f′（x）=aex﹣
，
∵x=2 是f（x）的极值点，
∴f′（2）=ae2﹣
=0，解得a=
，
∴f（x）=
ex﹣lnx﹣1，∴f′（x）=
，
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当0＜x＜2 时，f′（x）＜0，当x＞2 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥
﹣lnx﹣1，
设g（x）=
﹣lnx﹣1，则
﹣
，
当0＜x＜1 时，g′（x）＜0，
当x＞1 时，g′（x）＞0，
∴x=1 是g（x）的最小值点，
故当x＞0 时，g（x）≥g（1）=0，
∴当a≥
时，f（x）≥0．
【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2 的直角坐标方程；
（2）若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1 的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y 轴对称，且恒过定点（0，2）．
由于该直线与曲线C2 的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2 的距离等于半径2．
故：
，或
解得：k=
或0，（0 舍去）或k=
或0
经检验，直线
与曲线C2 没有公共点．
故C1 的方程为：
．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到
直线的距离公式的应用．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜
，且a＞0，即可
求出a 的范围．
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=
，
由f（x）＞1，
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∴
或
，
解得x＞
，
故不等式f（x）＞1 的解集为（
，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜
，
∴a＜
∵
＞2，
∴0＜a≤2，
故a 的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
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2018 年云南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
2．（5.00 分）（1+i）（2﹣i）=（
）
A．﹣3﹣i
B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5.00 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边
的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
可以是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5.00 分）若sinα=
，则cos2α=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
5．（5.00 分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用
现金支付的概率为（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
6．（5.00 分）函数f（x）=
的最小正周期为（
）
A．
B．
C．π
D．2π
7．（5.00 分）下列函数中，其图象与函数y=lnx 的图象关于直线x=1 对称的是（
）
A．y=ln（1﹣x）B．y=ln（2﹣x）C．y=ln（1+x）
D．y=ln（2+x）
8．（5.00 分）直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点P 在圆（x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP 面积的取值范
围是（
）
A．[2，6]
B．[4，8]
C．[
，3
]
D．[2
，3
]
9．（5.00 分）函数y=﹣x4+x2+2 的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
D．
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10．（5.00 分）已知双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（
）
A．
B．2
C．
D．2
11．（5.00 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若△ABC 的面积为
，则C=（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5.00 分）设A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9
，则三棱
锥D﹣ABC 体积的最大值为（
）
A．12
B．18
C．24
D．54
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ=
．
14．（5.00 分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准
备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是
．
15．（5.00 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=x+
y 的最大值是
．
16．（5.00 分）已知函数f（x）=ln（
﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn 为{an}的前n 项和．若Sm=63，求m．
18．（12.00 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比
较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二
组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填
入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19．（12.00 分）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，D 的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM 上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
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20．（12.00 分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：
+
=1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣
；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
+
+
= ，证明：2|
|=|
|+|
|．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=
．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1 时，f（x）+e≥0．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为
，（θ为参数），过点（0，﹣
）且倾斜
角为α的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b 的最小值．
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2018 年云南省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5.00 分）（1+i）（2﹣i）=（
）
A．﹣3﹣i
B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5.00 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边
的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形
看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3 边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5.00 分）若sinα=
，则cos2α=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=
，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×
=
．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是基础题．
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5．（5.00 分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用
现金支付的概率为（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．
【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4．
故选：B．
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．
6．（5.00 分）函数f（x）=
的最小正周期为（
）
A．
B．
C．π
D．2π
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结
论．
【解答】解：函数f（x）=
=
=
sin2x 的最小正周期为
=π，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．
7．（5.00 分）下列函数中，其图象与函数y=lnx 的图象关于直线x=1 对称的是（
）
A．y=ln（1﹣x）B．y=ln（2﹣x）C．y=ln（1+x）
D．y=ln（2+x）
【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
【解答】解：首先根据函数y=lnx 的图象，
则：函数y=lnx 的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y 轴对称．
由于函数y=lnx 的图象关于直线x=1 对称．
则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2 个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换．
8．（5.00 分）直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点P 在圆（x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP 面积的取值范
围是（
）
A．[2，6]
B．[4，8]
C．[
，3
]
D．[2
，3
]
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2
，设P（2+
，
），点P 到直线x+y+2=0 的
距离：d=
=
∈[
]，由此能求出△ABP 面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=
=2
，
∵点P 在圆（x﹣2）2+y2=2 上，∴设P（2+
，
），
∴点P 到直线x+y+2=0 的距离：
d=
=
，
∵sin（
）∈[﹣1，1]，∴d=
∈[
]，
∴△ABP 面积的取值范围是：
[
，
]=[2，6]．
故选：A．
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【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数
关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
9．（5.00 分）函数y=﹣x4+x2+2 的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
D．
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），
由f′（x）＞0 得2x（2x2﹣1）＜0，
得x＜﹣
或0＜x＜
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0 得2x（2x2﹣1）＞0，
得x＞
或﹣
＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．
10．（5.00 分）已知双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为（
）
A．
B．2
C．
D．2
【分析】利用双曲线的离心率求出a，b 的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，
可得
=
，即：
，解得a=b，
双曲线C：
﹣
=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，
点（4，0）到C 的渐近线的距离为：
=2
．
故选：D．
【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
11．（5.00 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若△ABC 的面积为
，则C=（
）
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A．
B．
C．
D．
【分析】推导出S△ABC=
=
，从而sinC=
=cosC，由此能求出结果．
【解答】解：∵△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
△ABC 的面积为
，
∴S△ABC=
=
，
∴sinC=
=cosC，
∵0＜C＜π，∴C=
．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
与方程思想，是基础题．
12．（5.00 分）设A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9
，则三棱
锥D﹣ABC 体积的最大值为（
）
A．12
B．18
C．24
D．54
【分析】求出，△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．
【解答】解：△ABC 为等边三角形且面积为9
，可得
，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：
O′C=
=
，OO′=
=2，
则三棱锥D﹣ABC 高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC 体积的最大值为：
=18
．
故选：B．
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ=
．
【分析】利用向量坐标运算法则求出
=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），
∴
=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2 + ），
∴
，
解得λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查
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函数与方程思想，是基础题．
14．（5.00 分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准
备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是
分层抽
样
．
【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．
【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，
为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．
【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．（5.00 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=x+
y 的最大值是
3
．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3）时，z 最大．
【解答】解：画出变量x，y 满足约束条件
表示的平面区域如图：由
解得A（2，3）．
z=x+
y 变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，
当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z 最大，
最大值为2+3×
=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．
16．（5.00 分）已知函数f（x）=ln（
﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=
﹣2
．
【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．
【解答】解：函数g（x）=ln（
﹣x）
满足g（﹣x）=ln（
+x）=
=﹣ln（
﹣x）=﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
函数f（x）=ln（
﹣x）+1，f（a）=4，
可得f（a）=4=ln（
﹣a）+1，可得ln（
﹣a）=3，
则f（﹣a）=﹣ln（
﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．
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故答案为：﹣2．
【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn 为{an}的前n 项和．若Sm=63，求m．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．
（2）当a1=1，q=﹣2 时，Sn=
，由Sm=63，得Sm=
=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2 时，Sn=2n
﹣1，由此能求出m．
【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
∴1×q4=4×（1×q2），
解得q=±2，
当q=2 时，an=2n﹣1，
当q=﹣2 时，an=（﹣2）n﹣1，
∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．
（2）记Sn 为{an}的前n 项和．
当a1=1，q=﹣2 时，Sn=
=
=
，
由Sm=63，得Sm=
=63，m∈N，无解；
当a1=1，q=2 时，Sn=
=
=2n﹣1，
由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，
解得m=6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
18．（12.00 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比
较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二
组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填
入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
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（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92 之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85 之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79 和81，计算它们的中位数为m=
=80；
由此填写列联表如下；
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
（3）根据（2）中的列联表，计算
K2=
=
=10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12.00 分）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，D 的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM 上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
【分析】（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CM⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC；
（2）存在P 是AM 的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可．
【解答】（1）证明：矩形ABCD 所在平面与半圆弦
所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦
所在平面，CM⊂半圆弦
所在平面，
∴CM⊥AD，
M 是
上异于C，D 的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB，
∴平面AMD⊥平面BMC；
（2）解：存在P 是AM 的中点，
理由：
连接BD 交AC 于O，取AM 的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，
所以MC∥平面PBD．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面培训的判断定理的应用，考查空间
想象能力以及逻辑推理能力．
20．（12.00 分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：
+
=1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣
；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
+
+
= ，证明：2|
|=|
|+|
|．
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【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k=
=﹣
=﹣
又点M（1，m）在椭圆内，即
，解得m 的取值范围，即可得k＜﹣
，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2
由
+
+
= ，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣
x1，|FB|=2﹣
x2，|FP|=2﹣
x3=
．即
可证明|FA|+|FB|=2|FP|．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB 的中点为M（1，m），
∴x1+x2=2，y1+y2=2m
将A，B 代入椭圆C：
+
=1 中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，
∴k=
=﹣
=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即
，
解得0＜m
∴
．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
可得x1+x2=2
∵
+
+
= ，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，
∴x3=1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣
x1，|FB|=2﹣
x2，|FP|=2﹣
x3=
．
则|FA|+|FB|=4﹣
，
∴|FA|+|FB|=2|FP|，
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，
转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=
．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1 时，f（x）+e≥0．
【分析】（1）
由f′（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程．
（2）可得
=﹣
．可得f（x）在（﹣
），（2，+∞）递
减，在（﹣
，2）递增，注意到a≥1 时，函数g（x）=ax2+x﹣1 在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0
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只需（x）
≥﹣e，即可．
【解答】解：（1）
=﹣
．
∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，
∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x．
即2x﹣y﹣1=0 为所求．
（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，
可得
=﹣
．
令f′（x）=0，可得
，
当x
时，f′（x）＜0，x
时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣
），（2，+∞）递减，在（﹣
，2）递增，
注意到a≥1 时，函数g（x）=ax2+x﹣1 在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0
函数g（x）的图象如下：
∵a≥1，∴
，则
≥﹣e，
∴f（x）
≥﹣e，
∴当a≥1 时，f（x）+e≥0．
【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为
，（θ为参数），过点（0，﹣
）且倾斜
角为α的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【分析】（1）⊙O 的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=
时，直线l 的方程为x=0，成立；
当α≠
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l 的方程为y=tanα•x+
，从而圆心O（0，0）到直线l 的距离
d=
＜1，进而求出
或
，由此能求出α的取值范围．
（2）设直线l 的方程为x=m（y+
），联立
，得（m2+1）y2+2
+2m2﹣1=0，由此利用韦达定
理、中点坐标公式能求出AB 中点P 的轨迹的参数方程．
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【解答】解：（1）∵⊙O 的参数方程为
（θ为参数），
∴⊙O 的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α=
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l 的方程为x=0，成立；
当α≠
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l 的方程为y=tanα•x+
，
∵倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A，B 两点，
∴圆心O（0，0）到直线l 的距离d=
＜1，
∴tan2α＞1，∴tanα＞1 或tanα＜﹣1，
∴
或
，
综上α的取值范围是（
，
）．
（2）由（1）知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=m（y+
），
设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），
联立
，得（m2+1）y2+2
+2m2﹣1=0，
，
=﹣
+2
，
=
，
=﹣
，
∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为
，（m 为参数），（﹣1＜m＜1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角
坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b 的最小值．
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【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣
时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，
当﹣
＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，
当x≥1 时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
则f（x）=
对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0 时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0 时，要使f（x）≤ax+b 恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b 的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y 轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3 且b≥2 时，不等式f（x）≤ax+b 在[0，+∞）上成立，
即a+b 的最小值为5．
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【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．
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2018 年江苏省高考数学试卷
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5.00 分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=
．
2．（5.00 分）若复数z 满足i•z=1+2i，其中i 是虚数单位，则z 的实部为
．
3．（5.00 分）已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均数
为
．
4．（5.00 分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为
．
5．（5.00 分）函数f（x）=
的定义域为
．
6．（5.00 分）某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率
为
．
7．（5.00 分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣
φ＜
）的图象关于直线x=
对称，则φ的值为
．
8．（5.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的
距离为
c，则其离心率的值为
．
9．（5.00 分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=
，则
f（f（15））的值为
．
10．（5.00 分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
．
11．（5.00 分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最
大值与最小值的和为
．
12．（5.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l：y=2x 上在第一象限内的点，B（5，0），以AB 为直径的圆C
与直线l 交于另一点D．若
=0，则点A 的横坐标为
．
13．（5.00 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D，且
BD=1，则4a+c 的最小值为
．
14．（5.00 分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成
一个数列{an}，记Sn 为数列{an}的前n 项和，则使得Sn＞12an+1 成立的n 的最小值为
．
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二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（14.00 分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
16．（14.00 分）已知α，β为锐角，tanα=
，cos（α+β）=﹣
．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
17．（14.00 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧
（P 为此圆弧的中点）和线段MN
构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的
地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B 均在线段MN 上，C，D 均在圆弧上．设OC 与
MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ
为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
18．（16.00 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（
），焦点F1（﹣
，0），F2（
，0），圆
O 的直径为F1F2．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．若△OAB 的面积为
，求直线l 的方程．
19．（16.00 分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）
=g′（x0），则称x0 为函数f（x）与g（x）的一个“S 点”．
（1）证明：函数f（x）=x 与g（x）=x2+2x﹣2 不存在“S 点”；
（2）若函数f（x）=ax2﹣1 与g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数a 的值；
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（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=
．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间
（0，+∞）内存在“S 点”，并说明理由．
20．（16.00 分）设{an}是首项为a1，公差为d 的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q 的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1 对n=1，2，3，4 均成立，求d 的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，
]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1 对n=2，3，…，m+1 均成立，并求
d 的取值范围（用b1，m，q 表示）．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多
做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题
满分10 分）
21．（10.00 分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C．若
PC=2
，求BC 的长．
B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
22．（10.00 分）已知矩阵A=
．
（1）求A 的逆矩阵A
﹣1；
（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P 的坐标．
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0 分）
23．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin（
﹣θ）=2，曲线C 的方程为ρ=4cosθ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0 分）
24．若x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2 的最小值．
【必做题】第25 题、第26 题，每题10 分，共计20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AB=AA1=2，点P，Q 分别为A1B1，BC 的中点．
（1）求异面直线BP 与AC1 所成角的余弦值；
（2）求直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值．
26．设n∈N*，对1，2，……，n 的一个排列i1i2……in，如果当s＜t 时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2……in 的一
个逆序，排列i1i2……in 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3 的一个排列231，只有两个逆序（2，
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1），（3，1），则排列231 的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n 表示）．
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2018 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5.00 分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=
{1，8}
．
【分析】直接利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，
∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，
故答案为：{1，8}．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．
2．（5.00 分）若复数z 满足i•z=1+2i，其中i 是虚数单位，则z 的实部为
2
．
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由i•z=1+2i，
得z=
，
∴z 的实部为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．
（5.00 分）已知5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均数为
90
．
【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．
【解答】解：根据茎叶图中的数据知，
这5 位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，
它们的平均数为
×（89+89+90+91+91）=90．
故答案为：90．
【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．
4．（5.00 分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为
8
．
【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S 值．
【解答】解：模拟程序的运行过程如下；
I=1，S=1，
I=3，S=2，
I=5，S=4，
I=7，S=8，
此时不满足循环条件，则输出S=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．
5．（5.00 分）函数f（x）=
的定义域为
[2，+∞）
．
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【分析】解关于对数函数的不等式，求出x 的范围即可．
【解答】解：由题意得：
≥1，
解得：x≥2，
∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．
6．（5.00 分）某兴趣小组有2 名男生和3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为
0.3
．
【分析】（适合理科生）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，共有C52=10 种，其中全是女生的有
C32=3 种，根据概率公式计算即可，
（适合文科生），设2 名男生为a，b，3 名女生为A，B，C，则任选2 人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，
AB，AC，BC 共10 种，其中全是女生为AB，AC，BC 共3 种，根据概率公式计算即可
【解答】解：（适合理科生）从2 名男同学和3 名女同学中任选2 人参加社区服务，
共有C52=10 种，其中全是女生的有C32=3 种，
故选中的2 人都是女同学的概率P=
=0.3，
（适合文科生），设2 名男生为a，b，3 名女生为A，B，C，
则任选2 人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共10 种，
其中全是女生为AB，AC，BC 共3 种，
故选中的2 人都是女同学的概率P=
=0.3，
故答案为：0.3
【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．
7．（5.00 分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣
φ＜
）的图象关于直线x=
对称，则φ的值为
．
【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣
φ＜
）的图象关于直线x=
对称，
∴2×
+φ=kπ+
，k∈Z，
即φ=kπ﹣
，
∵﹣
φ＜
，
∴当k=0 时，φ=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．
8．（5.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的
距离为
c，则其离心率的值为
2
．
【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．
【解答】解：双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=
x 的距离为
c，
可得：
=b=
，
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可得
，即c=2a，
所以双曲线的离心率为：e=
．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5.00 分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=
，则
f（f（15））的值为
．
【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．
【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4 的周期函数，
则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+
|=
，
f（
）=cos（
）=cos
=
，
即f（f（15））=
，
故答案为：
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．
10．（5.00 分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
．
【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．
【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：
，
八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，
多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
11．（5.00 分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最
大值与最小值的和为
﹣3
．
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【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0 时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，
+∞）上没有零点；当a＞0 时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0 的解为x＞
，f（x）在（0，
）上递减，在（
，+∞）
递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，利用导数性
质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．
【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，
∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），
①当a≤0 时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；
②当a＞0 时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0 的解为x＞
，
∴f（x）在（0，
）上递减，在（
，+∞）递增，
又f（x）只有一个零点，
∴f（
）=﹣
+1=0，解得a=3，
f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，
f′（x）＞0 的解集为（﹣1，0），
f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，
f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，
∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，
∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：
f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．
【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．
12．（5.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l：y=2x 上在第一象限内的点，B（5，0），以AB 为直径的圆C
与直线l 交于另一点D．若
=0，则点A 的横坐标为
3
．
【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C 的坐标，得到圆C 的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D 的坐标，结合
=0 求得a 值得答案．
【解答】解：设A（a，2a），a＞0，
∵B（5，0），∴C（
，a），
则圆C 的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．
联立
，解得D（1，2）．
∴
=
．
解得：a=3 或a=﹣1．
又a＞0，∴a=3．
即A 的横坐标为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．
13．（5.00 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D，且
BD=1，则4a+c 的最小值为
9
．
【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1 的代换进行求解即可．
【解答】解：由题意得
acsin120°=
asin60°+
csin60°，
即ac=a+c，
得
+
=1，
得4a+c=（4a+c）（
+
）=
+
+5≥2
+5=4+5=9，
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当且仅当
=
，即c=2a 时，取等号，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1 的代换结合基本不等式是解决本题的关键．
14．（5.00 分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成
一个数列{an}，记Sn 为数列{an}的前n 项和，则使得Sn＞12an+1 成立的n 的最小值为
27
．
【分析】采用列举法，验证n=26，n=27 即可．
【解答】解：利用列举法可得：当n=26 时，A∪B 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
所以数列{an}的前26 项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．
S26=
，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．
当n=27 时，A∪B 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
所以数列{an}的前26 项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．
S27=
=546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，
故答案为：27．
【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（14.00 分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【分析】（1）由
⇒AB∥平面A1B1C；
（2）可得四边形ABB1A1 是菱形，AB1⊥A1B，
由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB∥A1B1，
AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；
（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1 是菱形，⊥AB1⊥A1B．
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．
∴
⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．
【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．
16．（14.00 分）已知α，β为锐角，tanα=
，cos（α+β）=﹣
．
（1）求cos2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
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【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；
（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣
求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两
角差的正切求解．
【解答】解：（1）由
，解得
，
∴cos2α=
；
（2）由（1）得，sin2
，则tan2α=
．
∵α，β∈（0，
），∴α+β∈（0，π），
∴sin（α+β）=
=
．
则tan（α+β）=
．
∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]=
=
．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
17．（14.00 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧
（P 为此圆弧的中点）和线段MN
构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的
地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B 均在线段MN 上，C，D 均在圆弧上．设OC 与
MN 所成的角为θ．
（1）用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sinθ的取值范围；
（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ
为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD 和△CDP 的面积，求出sinθ的取值范围；
（2）根据题意求出年总产值y 的解析式，构造函数f（θ），
利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．
【解答】解：（1）S 矩形ABCD=（40sinθ+10）•80cosθ
=800（4sinθcosθ+cosθ），
S△CDP=
•80cosθ（40﹣40sinθ）
=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
当B、N 重合时，θ最小，此时sinθ=
；
当C、P 重合时，θ最大，此时sinθ=1，
∴sinθ的取值范围是[
，1）；
（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，
则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）
=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[
，1）；
设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，
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则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ
=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；
令f′（θ）=0，解得sinθ=
，此时θ=
，cosθ=
；
当sinθ∈[
，
）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；
当sinθ∈[
，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；
∴θ=
时，f（θ）取得最大值，即总产值y 最大．
答：（1）S 矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），
S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），
sinθ∈[
，1）；
θ=
时总产值y 最大．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．
18．（16.00 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（
），焦点F1（﹣
，0），F2（
，0），圆
O 的直径为F1F2．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．若△OAB 的面积为
，求直线l 的方程．
【分析】（1）由题意可得
．
，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1 即可．
（2）①可设直线l 的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得
．
由
，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣
，m=3．即
可
②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
O 到直线l 的距离d=
，|AB|=
|x2﹣x1|=
，
△OAB 的面积为S=
=
=
，
解得k=﹣
，（正值舍去），m=3
．即可
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为
，
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∵焦点F1（﹣
，0），F2（
，0），∴
．
∵∴
，又a2﹣b2=c2=3，
解得a=2，b=1．
∴椭圆C 的方程为：
，圆O 的方程为：x2+y2=3．
（2）①可知直线l 与圆O 相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，
∴可设直线l 的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．
由圆心（0，0）到直线l 的距离等于圆半径
，可得
．
由
，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，
可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣
，m=3．
将k=﹣
，m=3 代入
可得
，
解得x=
，y=1，故点P 的坐标为（
．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
⇒k＜﹣
．
联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
|x2﹣x1|=
=
，
O 到直线l 的距离d=
，
|AB|=
|x2﹣x1|=
，
△OAB 的面积为S=
=
=
，
解得k=﹣
，（正值舍去），m=3
．
∴y=﹣
为所求．
【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．
19．（16.00 分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）
=g′（x0），则称x0 为函数f（x）与g（x）的一个“S 点”．
（1）证明：函数f（x）=x 与g（x）=x2+2x﹣2 不存在“S 点”；
（2）若函数f（x）=ax2﹣1 与g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数a 的值；
（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=
．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间
（0，+∞）内存在“S 点”，并说明理由．
【分析】（1）根据“S 点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；
（2）根据“S 点”的定义解两个方程即可；
（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．
【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，
则由定义得
，得方程无解，则f（x）=x 与g（x）=x2+2x﹣2 不存在“S 点”；
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（2）f′（x）=2ax，g′（x）=
，x＞0，
由f′（x）=g′（x）得
=2ax，得x=
，
f（
）=﹣
=g（
）=﹣
lna2，得a=
；
（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=
，（x≠0），
由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b
=﹣
＞0，得0＜x0＜1，
由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a=
=﹣
，得a=x02﹣
，
令h（x）=x2﹣
﹣a=
，（a＞0，0＜x＜1），
设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），
则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，
又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，
则m（x）在（0，1）上有零点，
则h（x）在（0，1）上有零点，
则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．
【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．
20．（16.00 分）设{an}是首项为a1，公差为d 的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q 的等比数列．
（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|an﹣bn|≤b1 对n=1，2，3，4 均成立，求d 的取值范围；
（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，
]，证明：存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1 对n=2，3，…，m+1 均成立，并求
d 的取值范围（用b1，m，q 表示）．
【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；
（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解
即可．
【解答】解：（1）由题意可知|an﹣bn|≤1 对任意n=1，2，3，4 均成立，
∵a1=0，q=2，
∴
，解得
．即
≤d≤
．
证明：（2）∵an=a1+（n﹣1）d，bn=b1•qn﹣1，
若存在d∈R，使得|an﹣bn|≤b1 对n=2，3，…，m+1 均成立，
则|b1+（n﹣1）d﹣b1•qn﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），
即
b1≤d≤
，（n=2，3，…，m+1），
∵q∈（1，
]，∴则1＜qn﹣1≤qm≤2，（n=2，3，…，m+1），
∴
b1≤0，
＞0，
因此取d=0 时，|an﹣bn|≤b1 对n=2，3，…，m+1 均成立，
下面讨论数列{
}的最大值和数列{
}的最小值，
①当2≤n≤m 时，
﹣
=
=
，
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当1＜q≤
时，有qn≤qm≤2，
从而n（qn﹣qn﹣1）﹣qn+2＞0，
因此当2≤n≤m+1 时，数列{
}单调递增，
故数列{
}的最大值为
．
②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0 时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，
∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，
当2≤n≤m 时，
=
≤
（1﹣
）=f（
）＜1，
因此当2≤n≤m+1 时，数列{
}单调递递减，
故数列{
}的最小值为
，
∴d 的取值范围是d∈[
，
]．
【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．
数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多
做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题
满分10 分）
21．（10.00 分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C．若
PC=2
，求BC 的长．
【分析】连接OC，由题意，CP 为圆O 的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO 的长，即可
判断△COB 是等边三角形，BC 的长．
【解答】解：连接OC，
因为PC 为切线且切点为C，
所以OC⊥CP．
因为圆O 的半径为2，
，
所以BO=OC=2，
，
所以
，
所以∠COP=60°，
所以△COB 为等边三角形，
所以BC=BO=2．
【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．
B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
22．（10.00 分）已知矩阵A=
．
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（1）求A 的逆矩阵A
﹣1；
（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P 的坐标．
【分析】（1）矩阵A=
，求出det（A）=1≠0，A 可逆，然后求解A 的逆矩阵A
﹣1．
（2）设P（x，y），通过
•
=
，求出
=
，即可得到点P 的坐标．
【解答】解：（1）矩阵A=
，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A 可逆，
从而：A 的逆矩阵A
﹣1=
．
（2）设P（x，y），则
•
=
，所以
=A
﹣1
=
，
因此点P 的坐标为（3，﹣1）．
【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0 分）
23．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin（
﹣θ）=2，曲线C 的方程为ρ=4cosθ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
【分析】将直线l、曲线C 的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．
【解答】解：∵曲线C 的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，
∴曲线C 是圆心为C（2，0），半径为r=2 得圆．
∵直线l 的方程为ρsin（
﹣θ）=2，∴
﹣
=2，
∴直线l 的普通方程为：x﹣
y=4．
圆心C 到直线l 的距离为d=
，
∴直线l 被曲线C 截得的弦长为2
．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．
D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0 分）
24．若x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2 的最小值．
【分析】根据柯西不等式进行证明即可．
【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，
∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4
是当且仅当
时，不等式取等号，此时x=
，y=
，z=
，
∴x2+y2+z2 的最小值为4
【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，
【必做题】第25 题、第26 题，每题10 分，共计20 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AB=AA1=2，点P，Q 分别为A1B1，BC 的中点．
（1）求异面直线BP 与AC1 所成角的余弦值；
（2）求直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值．
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【分析】设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，以{
}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
（1）由|cos
|=
可得异面直线BP 与AC1 所成角的余弦值；
（2）求得平面AQC1 的一个法向量为，设直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值为θ，
可得sinθ=|cos
|=
，即可得直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值．
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，
设AC，A1C1 的中点分别为O，O1，
则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，
故以{
}为基底，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，
∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（
，0，0），
C（0，1，0），
A1（0，﹣1，2），B1（
，0，2），C1（0，1，2）．
（1）点P 为A1B1 的中点．∴
，
∴
，
．
|cos
|=
=
=
．
∴异面直线BP 与AC1 所成角的余弦值为：
；
（2）∵Q 为BC 的中点．∴Q（
）
∴
，
，
设平面AQC1 的一个法向量为=（x，y，z），
由
，可取=（
，﹣1，1），
设直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值为θ，
sinθ=|cos
|=
=
，
∴直线CC1 与平面AQC1 所成角的正弦值为
．
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【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．
26．设n∈N*，对1，2，……，n 的一个排列i1i2……in，如果当s＜t 时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2……in 的一
个逆序，排列i1i2……in 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3 的一个排列231，只有两个逆序（2，
1），（3，1），则排列231 的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n 表示）．
【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4 的排列，利用已有的1，2，3 的排列，将数字4 添加进
去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4（2）的值；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0 的排列只有一个，逆序数为1 的排列只能是将排列12…n 中的任
意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1．
为计算fn+1（2），当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置只能是最
后三个位置，可得fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n，则当n≥5 时，fn（2）=[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn
﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2），则fn（2）（n≥5）的表达式可求．
【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc 得逆序数，对1，2，3 的所有排列，有
μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，
∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，
对1，2，3，4 的排列，利用已有的1，2，3 的排列，将数字4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位
置．
因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12…n，∴fn（0）=1．
逆序数为1 的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1．
为计算fn+1（2），当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置只能是最
后三个位置．
因此，fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n．
当n≥5 时，fn（2）=[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）
=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=
．
因此，当n≥5 时，fn（2）=
．
【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．
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2018 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00 分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0，1}
B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
2．（5.00 分）在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5.00 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5.00 分）设a，b，c，d 是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5.00 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的
频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（
）
A．
f B．
f
C．
f
D．
f
6 ．（5.00 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
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7．（5.00 分）在平面直角坐标系中，
，
，
，
是圆x2+y2=1 上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以
Ox 为始边，OP 为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P 所在的圆弧是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5.00 分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（
）
A．对任意实数a，（2，1）∈A
B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0 时，（2，1）∉A
D．当且仅当a≤
时，（2，1）∉A
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
9．（5.00 分）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m ﹣），则m=
．
10．（5.00 分）已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴．若l 被抛物线y2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐
标为
．
11．（5.00 分）能说明“若a＞b，则
＜
”为假命题的一组a，b 的值依次为
．
12．（5.00 分）若双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为
，则a=
．
13．（5.00 分）若x，y 满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x 的最小值是
．
14．（5.00 分）若△ABC 的面积为
（a2+c2﹣b2），且∠C 为钝角，则∠B=
；
的取值范围是
．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13.00 分）设{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求e
+e
+…+e
．
16．（13.00 分）已知函数f（x）=sin2x+
sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣
，m]上的最大值为
，求m 的最小值．
17．（13.00 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一
类
第二
类
第三
类
第四
类
第五
类
第六
类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两
类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影
总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
18．（14.00 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F
分别为AD，PB 的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．
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19．（13.00 分）设函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=1 处取得极小值，求a 的取值范围．
20．（14.00 分）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，焦距为2
．斜率为k 的直线l 与椭圆M
有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D．若C，D 和点
Q（﹣
，
）共线，求k．
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2018 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00 分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0，1}
B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
【分析】根据集合的交集的定义进行求解即可．
【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，
∴A∩B={0，1}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5.00 分）在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：复数
=
=
，
共轭复数对应点的坐标（
，﹣
）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．
3．（5.00 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．
【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．
在执行第一次循环时，S=1﹣
=
．
由于k=2≤3，
所以执行下一次循环．S=
，
k=3，直接输出S=
，
故选：B．
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【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．
4．（5.00 分）设a，b，c，d 是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．
【解答】解：若a，b，c，d 成等比数列，则ad=bc，
反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1，
但数列﹣1，﹣1，1，1 不是等比数列，
即“ad=bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．
5．（5.00 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的
频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（
）
A．
f B．
f
C．
f
D．
f
【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．
若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：
=
．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
6 ．（5.00 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC=
，CD=
，
PC=3，PD=2
，可得三角形PCD 不是直角三角形．
所以侧面中有3 个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
故选：C．
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【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．
7．（5.00 分）在平面直角坐标系中，
，
，
，
是圆x2+y2=1 上的四段弧（如图），点P 其中一段上，角α以
Ox 为始边，OP 为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P 所在的圆弧是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可．
【解答】解：A．在AB 段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A 不满足条件．
B．在CD 段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B 不满足条件．
C．在EF 段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，
满足tanα＜cosα＜sinα，
D．在GH 段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，
满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键．
8．（5.00 分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（
）
A．对任意实数a，（2，1）∈A
B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0 时，（2，1）∉A
D．当且仅当a≤
时，（2，1）∉A
【分析】利用a 的取值，反例判断（2，1）∈A 是否成立即可．
【解答】解：当a=﹣1 时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y
≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C 不正确；
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当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）
在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
9．（5.00 分）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m ﹣），则m=
﹣1
．
【分析】利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可．
【解答】解：向量=（1，0），=（﹣1，m）．
m ﹣=（m+1，﹣m）．
∵⊥（m ﹣），
∴m+1=0，解得m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
10．（5.00 分）已知直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴．若l 被抛物线y2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐
标为
（1，0）
．
【分析】先求出直线x=1，代入抛物线中，求出y，根据l 被抛物线y2=4ax 截得的线段长为4，即可求出a，问题得
以解决．
【解答】解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，
∴x=1，
代入到y2=4ax，可得y2=4a，显然a＞0，
∴y=±2
，
∵l 被抛物线y2=4ax 截得的线段长为4，
∴4
=4，
解得a=1，
∴y2=4x，
∴抛物线的焦点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）
【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，属于基础题．
11．（5.00 分）能说明“若a＞b，则
＜
”为假命题的一组a，b 的值依次为
a=1，b=﹣1
．
【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．
【解答】解：当a＞0，b＜0 时，满足a＞b，但
＜
为假命题，
故答案可以是a=1，b=﹣1，
故答案为：a=1，b=﹣1．
【点评】本题主要考查命题的真假的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键．比较基础．
12．（5.00 分）若双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为
，则a=
4
．
【分析】利用双曲线的简单性质，直接求解即可．
【解答】解：双曲线
﹣
=1（a＞0）的离心率为
，
可得：
，解得a=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
13．（5.00 分）若x，y 满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x 的最小值是
3
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
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【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣x，则y=
x+
z，
平移y=
x+
z，
由图象知当直线y=
x+
z 经过点A 时，
直线的截距最小，此时z 最小，
由
得
，即A（1，2），
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
14．（5.00 分）若△ABC 的面积为
（a2+c2﹣b2），且∠C 为钝角，则∠B=
；的取值范围是
（2，+∞）
．
【分析】利用余弦定理，转化求解即可．
【解答】解：△ABC 的面积为
（a2+c2﹣b2），
可得：
（a2+c2﹣b2）=
acsinB，
，
可得：tanB=
，所以B=
，∠C 为钝角，A∈（0，
），cotA∈（
，+∞）．
=
=
=cosB+cotAsinB=
cotA∈（2，+∞）．
故答案为：
；（2，+∞）．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13.00 分）设{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求e
+e
+…+e
．
【分析】（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．
可得：2a1+3d=5ln2，可得d=ln2，
{an}的通项公式；an=a1+（n﹣1）d=nln2，
（Ⅱ）e
=
=2n，
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∴e
+e
+…+e
=21+22+23+…+2n=
=2n+1﹣2．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．
16．（13.00 分）已知函数f（x）=sin2x+
sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣
，m]上的最大值为
，求m 的最小值．
【分析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；
（Ⅱ）求得2x﹣
的范围，结合正弦函数的图象可得2m﹣
≥
，即可得到所求最小值．
【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+
sinxcosx=
+
sin2x
=sin（2x﹣
）+
，
f（x）的最小正周期为T=
=π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣
，m]上的最大值为
，
可得2x﹣
∈[﹣
，2m﹣
]，
即有2m﹣
≥
，解得m≥
，
则m 的最小值为
．
【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属
于中档题．
17．（13.00 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一
类
第二
类
第三
类
第四
类
第五
类
第六
类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两
类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影
总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【分析】（Ⅰ）先求出总数，即可求出答案，
（Ⅱ）根据互斥事件的概率公式计算即可，
（Ⅲ）由题意可得，增加电影部数多的，减少部数少的，即可得到．
【解答】解：（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000 部，
获得好评的第四类电影200×0.25=50，
故从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率
=
；
（Ⅱ）获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372，
估计这部电影没有获得好评的概率为1﹣
=0.814，
（Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中
的电影总部数的比值达到最大．
【点评】本题考查了用频率来估计概率，属于基础题．
18．（14.00 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F
分别为AD，PB 的中点．
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（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．
【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证；
（Ⅱ）作出平面PAB 和平面PCD 的交线，注意运用公理4，再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义，即可得
证；
（Ⅲ）取PC 的中点H，连接DH，FH，运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即
可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）PA=PD，E 为AD 的中点，
可得PE⊥AD，
底面ABCD 为矩形，可得BC∥AD，
则PE⊥BC；
（Ⅱ）由于平面PAB 和平面PCD 有一个公共点P，
且AB∥CD，
在平面PAB 内过P 作直线PG∥AB，
可得PG∥CD，
即有平面PAB∩平面PCD=PG，
由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，
PA⊥PG；
同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，
可得∠APD 为平面PAB 和平面PCD 的平面角，
由PA⊥PD，
可得平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）取PC 的中点H，连接DH，FH，
在三角形PCD 中，FH 为中位线，可得FH∥BC，
FH=
BC，
由DE∥BC，DE=
BC，
可得DE=FH，DE∥FH，
四边形EFHD 为平行四边形，
可得EF∥DH，
EF⊄平面PCD，DH⊂平面PCD，
即有EF∥平面PCD．
【点评】本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判断和性质，注意
运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．
19．（13.00 分）设函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex．
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（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=1 处取得极小值，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f′（2）=0，解方程可得a 的值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=1，a＞1，0＜a＜1，a＜0，由极小值的定义，即可得到所
求a 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]ex 的导数为
f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex．
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，
可得（4a﹣2a﹣2+1）e2=0，
解得a=
；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex=（x﹣1）（ax﹣1）ex，
若a=0 则x＜1 时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．
x=1 处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a=1，则f′（x）=（x﹣1）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a＞1，则
＜1，f（x）在（
，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，
）递增，
可得f（x）在x=1 处取得极小值；
若0＜a＜1，则
＞1，f（x）在（1，
）递减；在（
，+∞），（﹣∞，1）递增，
可得f（x）在x=1 处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则
＜1，f（x）在（
，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，
）递减，
可得f（x）在x=1 处取得极大值，不符题意．
综上可得，a 的范围是（1，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
20．（14.00 分）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，焦距为2
．斜率为k 的直线l 与椭圆M
有两个不同的交点A，B．
（Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；
（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D．若C，D 和点
Q（﹣
，
）共线，求k．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求得a 的值，即可求得b 的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）当k=1 时，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得|AB|的最大值；
（Ⅲ）求得直线PA 的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C 点坐标，同理求得D 点坐标，即可求得
与
，根据向量的共线定理，即可求得直线AB 的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2
，则c=
，椭圆的离心率e=
=
，则a=
，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆的标准方程：
；
（Ⅱ）设直线AB 的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，
x1+x2=﹣
，x1x2=
，
∴|AB|=
=
，
∴当m=0 时，|AB|取最大值，最大值为
；
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（Ⅲ）设直线PA 的斜率kPA=
，直线PA 的方程为：y=
（x+2），
联立
，消去y 整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）=0，
由
代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，
x1•xC=﹣
，xC=﹣
，则yC=
（﹣
+2）=
，
则C（﹣
，
），同理可得：D（﹣
，
），
由Q（﹣
，
），则
=（
，
），
=（
，
），
由
与
三点共线，则
×
=
×
，
整理得：y2﹣x2=y1﹣x1，则直线AB 的斜率k=
=1，
∴k 的值为1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的共线定理，
考查转化思想，属于中档题．
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2017 年浙江省高考数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．（4 分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（
）
A．（﹣1，2）
B．（0，1）
C．（﹣1，0）
D．（1，2）
2．（4 分）椭圆
+
=1 的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（
）
A．
+1
B．
+3
C．
+1
D．
+3
4．（4 分）若x、y 满足约束条件
，则z=x+2y 的取值范围是（
）
A．[0，6]
B．[0，4]
C．[6，+∞）
D．[4，+∞）
5．（4 分）若函数f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（
）
A．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关
6．（4 分）已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（4 分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（4 分）已知随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜
，则（
）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
9．（4 分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，
=
=2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（
）
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A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β
C．α＜β＜γ
D．β＜γ＜α
10．
（4 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O，记I1=
•
，I2=
•
，
I3=
•
，则（
）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分
11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继
承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆
内接正六边形的面积S6，S6=
．
12．（6 分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则a2+b2=
，ab=
．
13．（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=
，a5=
．
14．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC 的面积是
，
cos∠BDC=
．
15．（6 分）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是
，最大值是
．
16．（4 分）从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成4 人服务队，要求服务队中
至少有1 名女生，共有
种不同的选法．（用数字作答）
17．（4 分）已知a∈R，函数f（x）=|x+
﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是
．
三、解答题（共5 小题，满分74 分）
18．（14 分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2
sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（
）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
19．
（15 分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，
E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
20．（15 分）已知函数f（x）=（x﹣
）e
﹣x（x≥
）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间[
，+∞）上的取值范围．
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21．（15 分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣
，
），B（
，
），抛物线上的点P（x，y）（﹣
＜x＜
），过
点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．
22．（15 分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤
；
（Ⅲ）
≤xn≤
．
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2017 年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．（4 分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，那么P∪Q=（
）
A．（﹣1，2）
B．（0，1）
C．（﹣1，0）
D．（1，2）
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可．
【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜2}，
那么P∪Q={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．
2．（4 分）椭圆
+
=1 的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
【解答】解：椭圆
+
=1，可得a=3，b=2，则c=
=
，
所以椭圆的离心率为：
=
．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
3．（4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（
）
A．
+1
B．
+3
C．
+1
D．
+3
【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的
体积．
【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，
圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，
故该几何体的体积为
×
×π×12×3+
×
×
×
×3=
+1，
故选：A．
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【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题
目．
4．（4 分）若x、y 满足约束条件
，则z=x+2y 的取值范围是（
）
A．[0，6]
B．[0，4]
C．[6，+∞）
D．[4，+∞）
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：x、y 满足约束条件
，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值，
由
解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
5．（4 分）若函数f（x）=x2+ax+b 在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（
）
A．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关
【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m 的取值与a，b 的关系，综合可得答案．
【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线x=﹣
为对称轴的抛物线，
①当﹣
＞1 或﹣
＜0，即a＜﹣2，或a＞0 时，
函数f（x）在区间[0，1]上单调，
此时M﹣m=|f（1）﹣f（0）|=|a+1|，
故M﹣m 的值与a 有关，与b 无关
②当
≤﹣
≤1，即﹣2≤a≤﹣1 时，
函数f（x）在区间[0，﹣
]上递减，在[﹣
，1]上递增，
且f（0）＞f（1），
此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣
）=
，
故M﹣m 的值与a 有关，与b 无关
③当0≤﹣
＜
，即﹣1＜a≤0 时，
函数f（x）在区间[0，﹣
]上递减，在[﹣
，1]上递增，
且f（0）＜f（1），
此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣
）=1+a+
，
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故M﹣m 的值与a 有关，与b 无关
综上可得：M﹣m 的值与a 有关，与b 无关
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
6．（4 分）已知等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断．
【解答】解：∵S4+S6＞2S5，
∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），
∴21d＞20d，
∴d＞0，
故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，
故选：C．
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题
7．（4 分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0 时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0 时，函数f（x）单
调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得
函数y=f（x）的图象可能
【解答】解：由当f′（x）＜0 时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0 时，函数f（x）单调递增，
则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，
且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B，
故选：D．
【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基
础题．
8．（4 分）已知随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2．若0＜p1＜p2＜
，则（
）
A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）
D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）
【分析】由已知得0＜p1＜p2＜
，
＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），
由此能求出结果．
【解答】解：∵随机变量ξi 满足P（ξi=1）=pi，P（ξi=0）=1﹣pi，i=1，2，…，
0＜p1＜p2＜
，
∴
＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，
E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，
E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，
D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）=
，
D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）=
，
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D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（
）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，
∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．
故选：A．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能
力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
9．（4 分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，
=
=2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（
）
A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β
C．α＜β＜γ
D．β＜γ＜α
【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P
（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6
），Q
，R
，利用法向量的夹角公式即
可得出二面角．
解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O 分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，
连接DE，DF，DG．．可得tanα=
．tanβ=
，tanγ=
．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．
【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC 的中心为O．
不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6
），B（3
，﹣3，0）．Q
，
R
，
=
，
=（0，3，6
），
=（
，6，0），
=
，
=
．
设平面PDR 的法向量为=（x，y，z），则
，可得
，
可得=
，取平面ABC 的法向量=（0，0，1）．
则cos
=
=
，取α=arccos
．
同理可得：β=arccos
．γ=arccos
．
∵
＞
＞
．
∴α＜γ＜β．
解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O 分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，
连接DE，DF，DG．
设OD=h．
则tanα=
．
同理可得：tanβ=
，tanγ=
．
由已知可得：OE＞OG＞OF．
∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角．
∴α＜γ＜β．
故选：B．
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【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，
属于难题．
10．
（4 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O，记I1=
•
，I2=
•
，
I3=
•
，则（
）
A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2 C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，
∴AC=2
，
∴∠AOB=∠COD＞90°，
由图象知OA＜OC，OB＜OD，
∴0＞
•
＞
•
，
•
＞0，
即I3＜I1＜I2，
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分
11．（4 分）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继
承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆
内接正六边形的面积S6，S6=
．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，
△AOB 是边长为1 的正三角形，
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所以正六边形ABCDEF 的面积为
S6=6×
×1×1×sin60°=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．
12．（6 分）已知a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），则a2+b2=
5
，ab=
2
．
【分析】a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），可得3+4i=a2﹣b2+2abi，可得3=a2﹣b2，2ab=4，解出即可得出．
【解答】解：a、b∈R，（a+bi）2=3+4i（i 是虚数单位），
∴3+4i=a2﹣b2+2abi，
∴3=a2﹣b2，2ab=4，
解得ab=2，
，
．
则a2+b2=5，
故答案为：5，2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（6 分）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=
16
，a5=
4
．
【分析】利用二项式定理的展开式，求解x 的系数就是两个多项式的展开式中x 与常数乘积之和，a5 就是常数的乘
积．
【解答】解：多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
（x+1）3 中，x 的系数是：3，常数是1；（x+2）2 中x 的系数是4，常数是4，
a4=3×4+1×4=16；
a5=1×4=4．
故答案为：16；4．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．
14．（6 分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC 的面积是
，
cos∠BDC=
．
【分析】如图，取BC 得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC=
S△ABC 即可求出，根据等腰三
角形的性质和二倍角公式即可求出
【解答】解：如图，取BC 得中点E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE=
BC=1，AE⊥BC，
∴AE=
=
，
∴S△ABC=
BC•AE=
×2×
=
，
∵BD=2，
∴S△BDC=
S△ABC=
，
∵BC=BD=2，
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∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE 中，
∵cos∠ABE=
=
，
∴cos∠ABE=2cos2∠BDC﹣1=
，
∴cos∠BDC=
，
故答案为：
，
【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题
15．（6 分）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣|的最小值是
4
，最大值是
．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |=
、| ﹣|=
，进而换
元，转化为线性规划问题，计算即得结论．
【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |=
，
| ﹣|=
，
令x=
，y=
，
则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z 过M、N 时z 最小为zmin=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，
由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的
倍，
也就是圆弧MN 所在圆的半径的
倍，
所以zmax=
×
=
．
综上所述，| + |+| ﹣|的最小值是4，最大值是
．
故答案为：4、
．
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【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等
基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．（4 分）从6 男2 女共8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成4 人服务队，要求服务队中
至少有1 名女生，共有
660
种不同的选法．（用数字作答）
【分析】由题意分两类选1 女3 男或选2 女2 男，再计算即可
【解答】解：第一类，先选1 女3 男，有C63C21=40 种，这4 人选2 人作为队长和副队有A42=12 种，故有40×12=480
种，
第二类，先选2 女2 男，有C62C22=15 种，这4 人选2 人作为队长和副队有A42=12 种，故有15×12=180 种，
根据分类计数原理共有480+180=660 种，
故答案为：660
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题
17．（4 分）已知a∈R，函数f（x）=|x+
﹣a|+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是
（﹣∞，
]
．
【分析】通过转化可知|x+
﹣a|+a≤5 且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+
≤5，进而计算可得结论．
【解答】解：由题可知|x+
﹣a|+a≤5，即|x+
﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，
又因为|x+
﹣a|≤5﹣a，
所以a﹣5≤x+
﹣a≤5﹣a，
所以2a﹣5≤x+
≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+
≤5，
所以2a﹣5≤4，解得a≤
，
故答案为：（﹣∞，
]．
【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题（共5 小题，满分74 分）
18．（14 分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2
sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（
）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（
）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2
sinx cosx=﹣
sin2x﹣cos2x=2sin（2x+
）
（Ⅰ）f（
）=2sin（2×
+
）=2sin
=2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
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即f（x）的最小正周期为π，
由2x+
∈[﹣
+2kπ，
+2kπ]，k∈Z 得：
x∈[﹣
+kπ，﹣
+kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣
+kπ，﹣
+kπ]或写成[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．
19．
（15 分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，
E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）取AD 的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC
∥平面PAB．
（Ⅱ）连结BF，过F 作FM⊥PB 于M，连结PF，推导出四边形BCDF 为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，
由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ．
【解答】证明：（Ⅰ）取AD 的中点F，连结EF，CF，
∵E 为PD 的中点，∴EF∥PA，
在四边形ABCD 中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F 为中点，
∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，
∵EC⊂平面EFC，
∴EC∥平面PAB．
解：（Ⅱ）连结BF，过F 作FM⊥PB 于M，连结PF，
∵PA=PD，∴PF⊥AD，
推导出四边形BCDF 为矩形，∴BF⊥AD，
∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，
∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，
设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2，
∴PB=
=
=
，
BF=PF=1，∴MF=
，
又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，
∴MF⊥平面PBC，即点F 到平面PBC 的距离为
，
∵MF=
，D 到平面PBC 的距离应该和MF 平行且相等，为
，
E 为PD 中点，E 到平面PBC 的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，
∴E 到平面PBC 的距离为
，
在
，
由余弦定理得CE=
，
设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sinθ=
=
．
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【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
20．（15 分）已知函数f（x）=（x﹣
）e
﹣x（x≥
）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间[
，+∞）上的取值范围．
【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；
（2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当
＜x＜1 时，当1＜x＜
时，当x＞
时，f（x）的单调性，判断f
（x）≥0，计算f（
），f（1），f（
），即可得到所求取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣
）e
﹣x（x≥
），
导数f′（x）=（1﹣
•
•2）e
﹣x﹣（x﹣
）e
﹣x
=（1﹣x+
）e
﹣x=（1﹣x）（1﹣
）e
﹣x；
（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣
）e
﹣x，
可得f′（x）=0 时，x=1 或
，
当
＜x＜1 时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当1＜x＜
时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞
时，f′（x）＜0，f（x）递减，
且x≥
⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，
则f（x）≥0．
由f（
）=
e
，f（1）=0，f（
）=
e
，
即有f（x）的最大值为
e
，最小值为f（1）=0．
则f（x）在区间[
，+∞）上的取值范围是[0，
e
]．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属
于中档题．
21．（15 分）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣
，
），B（
，
），抛物线上的点P（x，y）（﹣
＜x＜
），过
点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；
（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．
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【分析】（Ⅰ）通过点P 在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣
＜x＜
可得结论；
（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣
＜x＜
，设直线AP 的斜率为k，联立直线AP、BQ 方程可知Q 点坐标，进而
可用k 表示出
、
，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求
导结合单调性可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣
＜x＜
，
所以kAP=
=x﹣
∈（﹣1，1），
故直线AP 斜率的取值范围是：（﹣1，1）；
（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣
＜x＜
，
所以
=（﹣
﹣x，
﹣x2），
设直线AP 的斜率为k，则AP：y=kx+
k+
，BQ：y=﹣
x+
+
，
联立直线AP、BQ 方程可知Q（
，
），
故
=（
，
），
又因为
=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），
故﹣|PA|•|PQ|=
•
=
+
=（1+k）3（k﹣1），
所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），
令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，
则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），
由于当﹣1＜x＜
时f′（x）＞0，当
＜x＜1 时f′（x）＜0，
故f（x）max=f（
）=
，即|PA|•|PQ|的最大值为
．
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
22．（15 分）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤
；
（Ⅲ）
≤xn≤
．
【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
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（Ⅲ）由
≥2xn+1﹣xn 得
﹣
≥2（
﹣
）＞0，继续放缩即可证明
【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0，
当n=1 时，x1=1＞0，成立，
假设当n=k 时成立，则xk＞0，
那么n=k+1 时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，
故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1，
因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），
记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）=
+ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
故2xn+1﹣xn≤
；
（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1，
∴xn≥
，
由
≥2xn+1﹣xn 得
﹣
≥2（
﹣
）＞0，
∴
﹣
≥2（
﹣
）≥…≥2n﹣1（
﹣
）=2n﹣2，
∴xn≤
，
综上所述
≤xn≤
．
【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考
查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题
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2017 年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（
）
A．{2}
B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
2．（5 分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）有5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色
的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2 的
等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）已知奇函数f（x）在R 上是增函数．若a=﹣f（
），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c 的大
小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
7．（5 分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
）=2，f（
）=0，且f（x）的
最小正周期大于2π，则（
）
A．ω=
，φ=
B．ω=
，φ=﹣
C．ω=
，φ=﹣
D．ω=
，φ=
8．（5 分）已知函数f（x）=
，设a∈R，若关于x 的不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，则a 的
取值范围是（
）
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A．[﹣2，2] B．
C．
D．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5 分）已知a∈R，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为
．
10．（5 分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx 的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y 轴上的截距为
．
11．（5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
．
12．（5 分）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A．若
∠FAC=120°，则圆的方程为
．
13．（5 分）若a，b∈R，ab＞0，则
的最小值为
．
14．（5 分）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若
=2
，
=λ
﹣
（λ∈R），且
=﹣4，则λ的值
为
．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=
（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cosA 的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
16．（13 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧
时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟，广告的总播放时间不少于30 分钟，且甲连续
剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍．分别用x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
17．（13 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
18．（13 分）已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2 的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，
b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n 项和（n∈N*）．
19．（14 分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0 处的导数等于0；
（ii）若关于x 的不等式g（x）≤ex 在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b 的取值范围．
20．（14 分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E 的坐标为（0，c），△EFA
的面积为
．
（I）求椭圆的离心率；
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（II）设点Q 在线段AE 上，|FQ|=
c，延长线段FQ 与椭圆交于点P，点M，N 在x 轴上，PM∥QN，且直线PM
与直线QN 间的距离为c，四边形PQNM 的面积为3c．
（i）求直线FP 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
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2017 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（
）
A．{2}
B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．
【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，
∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．
故选：B．
【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．
2．（5 分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由2﹣x≥0 得x≤2，
由|x﹣1|≤1 得﹣1≤x﹣1≤1，
得0≤x≤2．
则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题
的关键．
3．（5 分）有5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色
的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出基本事件总数n=
=10，再求出取出的2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m=
=4，
由此能求出取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率．
【解答】解：有5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，
从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，
基本事件总数n=
=10，
取出的2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m=
=4，
∴取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为p=
=
．
故选：C．
【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．
4．（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（
）
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A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
【解答】解：第一次N=19，不能被3 整除，N=19﹣1=18≤3 不成立，
第二次N=18，18 能被3 整除，N=
=6，N=6≤3 不成立，
第三次N=6，能被3 整除，N═
=2≤3 成立，
输出N=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
5．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2 的
等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b 关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2 的等
边三角形（O 为原点），
可得c=2，
，即
，
，
解得a=1，b=
，双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线方程为：
．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5 分）已知奇函数f（x）在R 上是增函数．若a=﹣f（
），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c 的大
小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
【分析】根据奇函数f（x）在R 上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．
【解答】解：奇函数f（x）在R 上是增函数，
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∴a=﹣f（
）=f（log25），
b=f（log24.1），
c=f（20.8），
又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，
∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），
即c＜b＜a．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．
7．（5 分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
）=2，f（
）=0，且f（x）的
最小正周期大于2π，则（
）
A．ω=
，φ=
B．ω=
，φ=﹣
C．ω=
，φ=﹣
D．ω=
，φ=
【分析】由题意求得
，再由周期公式求得ω，最后由若f（
）=2 求得φ值．
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得
，
又f（
）=2，f（
）=0，得
，
∴T=3π，则
，即
．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（
x+φ），
由f（
）=
，得sin（φ+
）=1．
∴φ+
=
，k∈Z．
取k=0，得φ=
＜π．
∴
，φ=
．
故选：A．
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．
8．（5 分）已知函数f（x）=
，设a∈R，若关于x 的不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，则a 的
取值范围是（
）
A．[﹣2，2] B．
C．
D．
【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|
+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|
+a|
在R 上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解
可得a 的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=
的图象如图：
令g（x）=|
+a|，其图象与x 轴相交与点（﹣2a，0），
在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，
若不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，则函数f（x）的图象在
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g（x）上的上方或相交，
则必有f（0）≥g（0），
即2≥|a|，
解可得﹣2≤a≤2，
故选：A．
【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关
系．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5 分）已知a∈R，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为
﹣2
．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简
，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所
求值．
【解答】解：a∈R，i 为虚数单位，
=
=
=
﹣
i
由
为实数，
可得﹣
=0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，
属于基础题．
10．（5 分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx 的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y 轴上的截距为
1
．
【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l 在y 轴上的截距．
【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣
，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，
切点坐标（1，a），切线方程l 为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），
l 在y 轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
11．（5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
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则a2=3，即a=
，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即
a=2R，
即R=
，
则球的体积V=
π•（
）3=
；
故答案为：
．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的
关键．
12．（5 分）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A．若
∠FAC=120°，则圆的方程为
（x+1）2+
=1
．
【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA=
=1，由此求得OA 的值，可得圆心C 的坐标以及圆
的半径，从而求得圆C 方程．
【解答】解：设抛物线y2=4x 的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴
相切与点A，
∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA=
=
=1，∴OA=
，∴A（0，
），如图所示：
∴C（﹣1，
），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为
，
故答案为：（x+1）2+
=1．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．
13．（5 分）若a，b∈R，ab＞0，则
的最小值为
4
．
【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
【方法二】将
拆成
+
，利用柯西不等式求出最小值．
【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，
∴
≥
=
=4ab+
≥2
=4，
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当且仅当
，
即
，
即a=
，b=
或a=﹣
，b=﹣
时取“=”；
∴上式的最小值为4．
【解法二】a，b∈R，ab＞0，
∴
=
+
+
+
≥4
=4，
当且仅当
，
即
，
即a=
，b=
或a=﹣
，b=﹣
时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
14．（5 分）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若
=2
，
=λ
﹣
（λ∈R），且
=﹣4，则λ的值为
．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用
、
表示出
，
再根据平面向量的数量积
列出方程求出λ的值．
【解答】解：如图所示，
△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2
，
∴
=
+
=
+
=
+
（
﹣
）
=
+
，
又
=λ
﹣
（λ∈R），
∴
=（
+
）•（λ
﹣
）
=（
λ﹣
）
•
﹣
+
λ
=（
λ﹣
）×3×2×cos60°﹣
×32+
λ×22=﹣4，
∴
λ=1，
解得λ=
．
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故答案为：
．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=
（a2﹣b2﹣c2）
（Ⅰ）求cosA 的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA ，结合asinA=4bsinB ，得a=2b ．再由
，得
，代入余弦定理的推论可求cosA 的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，
展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．
【解答】（Ⅰ）解：由
，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得：
，∴a=2b．
由
，得
，
由余弦定理，得
；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得
，代入asinA=4bsinB，得
．
由（Ⅰ）知，A 为钝角，则B 为锐角，
∴
．
于是
，
，
故
．
【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．
16．（13 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧
时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）
广告播放时长（分钟）
收视人次（万）
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟，广告的总播放时间不少于30 分钟，且甲连续
剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2 倍．分别用x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
（I）用x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y 所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面
区域；
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（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优
解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y 满足的数学关系式为
，即
．
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：
（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为z=60x+25y．
考虑z=60x+25y，将它变形为
，这是斜率为
，随z 变化的一族平行直线．
为直线在y 轴上的截距，当
取得最大值时，z 的值最大．
又∵x，y 满足约束条件，
∴由图可知，当直线z=60x+25y 经过可行域上的点M 时，截距
最大，即z 最大．
解方程组
，得点M 的坐标为（6，3）．
∴电视台每周播出甲连续剧6 次、乙连续剧3 次时才能使总收视人次最多．
【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．
17．（13 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．
（Ⅰ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角，由此能求出异面直线AP 与
BC 所成角的余弦值．
（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．
（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F，连结PF，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角，由
PD⊥平面PBC，得到∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角，由此能求出直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，
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故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．
因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．
在Rt△PDA 中，由已知，得
，
故
．
所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为
．
证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，
所以AD⊥PD．
又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．
解：（Ⅲ）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F，连结PF，
则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．
因为PD⊥平面PBC，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，
所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，
由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，
在Rt△DCF 中，可得
．
所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为
．
【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想
象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．
18．（13 分）已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2 的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，
b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n 项和（n∈N*）．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到
．然后
求出公差d，推出an=3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n 项和为Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n 项和即可．
【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得
，
而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，
．
由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．
由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，
由此可得an=3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为
．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n 项和为Tn，由a2n=6n﹣2，有
，
，
上
述
两
式
相
减
，
得
=
．
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得
．
所以，数列{a2nbn}的前n 项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．
19．（14 分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=exf（x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=ex 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f（x）在x=x0 处的导数等于0；
（ii）若关于x 的不等式g（x）≤ex 在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）
的单调区间；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知
，求解可得
．得到f（x）在x=x0 处的导
数等于0；
（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a 时，f（x）≤f（a）
=1 在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex 在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，
得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），
令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．
当x 变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，a）
（a，4﹣a）
（4﹣a，+∞）
f'（x）
+
﹣
+
f（x）
↗
↘
↗
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；
（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由题意知
，
∴
，解得
．
∴f（x）在x=x0 处的导数等于0；
（ii）解：∵g（x）≤ex，x∈[x0﹣1，x0+1]，由ex＞0，可得f（x）≤1．
又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，
故x0 为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．
另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，
由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，
故当x0=a 时，f（x）≤f（a）=1 在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤ex 在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．
由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．
令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，
∴t'（x）=6x2﹣12x，
令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．
∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．
∴b 的取值范围是[﹣7，1]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的
求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．
20．（14 分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E 的坐标为（0，c），△EFA
的面积为
．
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（I）求椭圆的离心率；
（II）设点Q 在线段AE 上，|FQ|=
c，延长线段FQ 与椭圆交于点P，点M，N 在x 轴上，PM∥QN，且直线PM
与直线QN 间的距离为c，四边形PQNM 的面积为3c．
（i）求直线FP 的斜率；
（ii）求椭圆的方程．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过
．转化求解椭圆的离心率．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP 的斜率为
．通过a=2c，可得直线AE 的方
程为
，求解点Q 的坐标为
．利用|FQ|=
，求出m，然后求解直线FP 的斜率．
（ii ）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP 的方程为3x ﹣4y+3c=0 ，与椭圆方程联立通过
，结合直线PM 和QN 都垂直于直线FP．结合四边形PQNM 的面积为3c，求解c，
然后求椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得
．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e
﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得
．
所以，椭圆的离心率为
；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP 的斜率为
．
由（Ⅰ）知a=2c ，可得直线AE 的方程为
，即x+2y ﹣2c=0 ，与直线FP 的方程联立，可解得
，即点Q 的坐标为
．
由已知|FQ|=
，有
，整理得3m2﹣4m=0，所以
，即直线FP 的斜率为
．
（ii）解：由a=2c，可得
，故椭圆方程可以表示为
．
由（i）得直线FP 的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立
消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得
（舍去），或x=c ．因此可得点
，进而可得
，所以
．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和
QN 都垂直于直线FP．
因为QN⊥FP，所以
，所以¡÷FQN 的面积为
，同理¡÷FPM
的面积等于
，由四边形PQNM 的面积为3c，得
，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．
所以，椭圆的方程为
．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
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2017 年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分）
1．（4 分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=
．
2．（4 分）若排列数
=6×5×4，则m=
．
3．（4 分）不等式
＞1 的解集为
．
4．（4 分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于
．
5．（4 分）已知复数z 满足z+
=0，则|z|=
．
6．（4 分）设双曲线
﹣
=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=
．
7．（5 分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系，若
的坐标为（4，3，2），则
的坐标是
．
8．（5 分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f
﹣1（x），若g（x）=
为奇函数，则f
﹣
1（x）=2 的解为
．
9．（5 分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣
，③y=x3，④y=x
，从中任选2 个，则事件“所选2 个函数的图象
有且仅有一个公共点”的概率为
．
10．（5 分）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第
an 项等于{an}的第bn 项，则
=
．
11．（5 分）设a1、a2∈R，且
，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于
．
12．（5 分）如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点
处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P 作直线lP，使得不在lP 上的“▲”的点分布在lP 的两侧．用D1（lP）
和D2（lP）分别表示lP 一侧和另一侧的“▲”的点到lP 的距离之和．若过P 的直线lP 中有且只有一条满足D1（lP）=D2
（lP），则Ω中所有这样的P 为
．
二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）
13．（5 分）关于x、y 的二元一次方程组
的系数行列式D 为（
）
A．
B．
C．
D．
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14．（5 分）在数列{an}中，an=（﹣
）n，n∈N*，则
an（
）
A．等于
B．等于0
C．等于
D．不存在
15．（5 分）已知a、b、c 为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k
成等差数列”的一个必要条件是（
）
A．a≥0 B．b≤0 C．c=0
D．a﹣2b+c=0
16．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1：
=1 和C2：x2+
=1．P 为C1 上的动点，Q 为C2 上的
动点，w 是
的最大值．记Ω={（P，Q）|P 在C1 上，Q 在C2 上，且
=w}，则Ω中元素个数为（
）
A．2 个B．4 个C．8 个D．无穷个
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18=76 分）
17．（14 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4 和2，侧棱AA1
的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积；
（2）设M 是BC 中点，求直线A1M 与平面ABC 所成角的大小．
18．（14 分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+
，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=
，角B 所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC 的面积．
19．（14 分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn（单位：辆），其中
an=
，bn=n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享
单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20．（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：
=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，
M 为x 正半轴上的动点．
（1）若P 在第一象限，且|OP|=
，求P 的坐标；
（2）设P（
），若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C，且
，
，求直线AQ 的方程．
21．（18 分）设定义在R 上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2 时，都有f（x1）≤f（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a 的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g（x）的最大值．函数h（x）=f
（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．
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2017 年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分）
1．（4 分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=
{3，4}
．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，
∴A∩B={3，4}．
故答案为：{3，4}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（4 分）若排列数
=6×5×4，则m=
3
．
【分析】利用排列数公式直接求解．
【解答】解：∵排列数
=6×5×4，
∴由排列数公式得
，
∴m=3．
故答案为：m=3．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．
3．（4 分）不等式
＞1 的解集为
（﹣∞，0）
．
【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．
【解答】解：由
＞1 得：
，
故不等式的解集为：（﹣∞，0），
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．
4．（4 分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于
9π
．
【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．
【解答】解：球的体积为36π，
设球的半径为R，可得
πR3=36π，
可得R=3，
该球主视图为半径为3 的圆，
可得面积为πR2=9π．
故答案为：9π．
【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．
5．（4 分）已知复数z 满足z+
=0，则|z|=
．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．
【解答】解：由z+
=0，
得z2=﹣3，
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设z=a+bi（a，b∈R），
由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，
即
，解得：
．
∴
．
则|z|=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．
6．（4 分）设双曲线
﹣
=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=
11
．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即
可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：
﹣
=1，
其中a=
=3，
则有||PF1|﹣|PF2||=6，
又由|PF1|=5，
解可得|PF2|=11 或﹣1（舍）
故|PF2|=11，
故答案为：11．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．
7．（5 分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系，若
的坐标为（4，3，2），则
的坐标是
（﹣4，3，2）
．
【分析】由
的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C1 的坐标，由此能求出结果．
【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点D 为坐标原点，
过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵
的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），
∴
．
故答案为：（﹣4，3，2）．
【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思
想，是基础题．
8．（5 分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f
﹣1（x），若g（x）=
为奇函数，则f
﹣
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1（x）=2 的解为
．
【分析】由奇函数的定义，当x＞0 时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0 的解析式，再由互为反函数
的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．
【解答】解：若g（x）=
为奇函数，
可得当x＞0 时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3
﹣x﹣1，
由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），
则g（x）=f（x）=1﹣3
﹣x，x＞0，
由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f
﹣1（x），
且f
﹣1（x）=2，
可由f（2）=1﹣3
﹣2=
，
可得f
﹣1（x）=2 的解为x=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．
9．（5 分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣
，③y=x3，④y=x
，从中任选2 个，则事件“所选2 个函数的图象
有且仅有一个公共点”的概率为
．
【分析】从四个函数中任选2 个，基本事件总数n=
，再利用列举法求出事件A：“所选2 个函数的图象有且
只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．
【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣
，③y=x3，④y=x
，
从四个函数中任选2 个，基本事件总数n=
，
③④有两个公共点（0，0），（1，1）．
事件A：“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：
①③，①④共2 个，
∴事件A：“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
10．（5 分）已知数列{an}和{bn}，其中an=n2，n∈N*，{bn}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{bn}的第
an 项等于{an}的第bn 项，则
=
2
．
【分析】an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an 项恒等于{an}中的第bn 项，可得
=
=
．于是
b1=a1=1，
=b4，
=b9，
=b16．即可得出．
【解答】解：∵an=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{bn}中的第an 项恒等于{an}中的第bn 项，
∴
=
=
．
∴b1=a1=1，
=b4，
=b9，
=b16．
∴b1b4b9b16=
．
∴
=2．
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故答案为：2．
【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5 分）设a1、a2∈R，且
，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于
．
【分析】由题意，要使
+
=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1 和α2，即可求出|10π﹣
α1﹣α2|的最小值
【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2 的范围在[﹣1，1]，
要使
+
=2，
∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．
则：
，k1∈Z．
，即
，k2∈Z．
那么：α1+α2=（2k1+k2）π
，k1、k2∈Z．
∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π
﹣（2k1+k2）π|的最小值为
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．
12．（5 分）如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点
处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P 作直线lP，使得不在lP 上的“▲”的点分布在lP 的两侧．用D1（lP）
和D2（lP）分别表示lP 一侧和另一侧的“▲”的点到lP 的距离之和．若过P 的直线lP 中有且只有一条满足D1（lP）=D2
（lP），则Ω中所有这样的P 为
P1、P3、P4
．
【分析】根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点，
过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，
则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．
【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，
线段AB，BC，CD，DA 的中点分别为E，F，G，H，
易知EFGH 为平行四边形，如图所示；
又平行四边形EFGH 的对角线交于点P2，
则符合条件的直线lP 一定经过点P2，
且过点P2 的直线有无数条；
由过点P1 和P2 的直线有且仅有1 条，
过点P3 和P2 的直线有且仅有1 条，
过点P4 和P2 的直线有且仅有1 条，
所以符合条件的点是P1、P3、P4．
故答案为：P1、P3、P4．
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【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．
二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分）
13．（5 分）关于x、y 的二元一次方程组
的系数行列式D 为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．
【解答】解：关于x、y 的二元一次方程组
的系数行列式：
D=
．
故选：C．
【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式
的定义的合理运用．
14．（5 分）在数列{an}中，an=（﹣
）n，n∈N*，则
an（
）
A．等于
B．等于0
C．等于
D．不存在
【分析】根据极限的定义，求出
an=
的值．
【解答】解：数列{an}中，an=（﹣
）n，n∈N*，
则
an=
=0．
故选：B．
【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．
15．（5 分）已知a、b、c 为实常数，数列{xn}的通项xn=an2+bn+c，n∈N*，则“存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k
成等差数列”的一个必要条件是（
）
A．a≥0 B．b≤0 C．c=0
D．a﹣2b+c=0
【分析】由x100+k，x200+k，x300+k 成等差数列，可得：2x200+k=x100+kx300+k，代入化简即可得出．
【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k 成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）
2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．
∴使得x100+k，x200+k，x300+k 成等差数列的必要条件是a≥0．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1：
=1 和C2：x2+
=1．P 为C1 上的动点，Q 为C2 上的
动点，w 是
的最大值．记Ω={（P，Q）|P 在C1 上，Q 在C2 上，且
=w}，则Ω中元素个数为（
）
A．2 个B．4 个C．8 个D．无穷个
【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式
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和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．
【解答】解：椭圆C1：
=1 和C2：x2+
=1．P 为C1 上的动点，Q 为C2 上的动点，
可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，
则
=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），
当α﹣β=2kπ，k∈Z 时，w 取得最大值6，
则Ω={（P，Q）|P 在C1 上，Q 在C2 上，且
=w}中的元素有无穷多对．
另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，
由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，
当且仅当mv=nu，即O、P、Q 共线时，取得最大值6，
显然，满足条件的P、Q 有无穷多对，D 项正确．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，
属于中档题．
三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18=76 分）
17．（14 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4 和2，侧棱AA1
的长为5．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积；
（2）设M 是BC 中点，求直线A1M 与平面ABC 所成角的大小．
【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积V=S△ABC×AA1=
，由此能求出结果．
（2）连结AM，∠A1MA 是直线A1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC 所成角的大小．
【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面为直角三角形，
两直角边AB 和AC 的长分别为4 和2，侧棱AA1 的长为5．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积：
V=S△ABC×AA1
=
=
=20．
（2）连结AM，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面为直角三角形，
两直角边AB 和AC 的长分别为4 和2，侧棱AA1 的长为5，M 是BC 中点，
∴AA1⊥底面ABC，AM=
=
，
∴∠A1MA 是直线A1M 与平面ABC 所成角，
tan∠A1MA=
=
=
，
∴直线A1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan
．
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【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合
思想，是中档题．
18．（14 分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+
，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=
，角B 所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC 的面积．
【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；
（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+
=cos2x+
，x∈（0，π），
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣
π≤x≤kπ，k∈Z，
k=1 时，
π≤x≤π，
可得f（x）的增区间为[
，π）；
（2）设△ABC 为锐角三角形，
角A 所对边a=
，角B 所对边b=5，
若f（A）=0，即有cos2A+
=0，
解得2A=
π，即A=
π，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
化为c2﹣5c+6=0，
解得c=2 或3，
若c=2，则cosB=
＜0，
即有B 为钝角，c=2 不成立，
则c=3，
△ABC 的面积为S=
bcsinA=
×5×3×
=
．
【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能
力，属于中档题．
19．（14 分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn（单位：辆），其中
an=
，bn=n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4 个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享
单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【分析】（1）计算出{an}和{bn}的前4 项和的差即可得出答案；
（2）令an≥bn 得出n≤42，再计算第42 个月底的保有量和容纳量即可得出结论．
【解答】解：（1）∵an=
，bn=n+5
∴a1=5×14+15=20
a2=5×24+15=95
a3=5×34+15=420
a4=﹣10×4+470=430
b1=1+5=6
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b2=2+5=7
b3=3+5=8
b4=4+5=9
∴前4 个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，
前4 个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，
∴该地区第4 个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．
（2）令an≥bn，显然n≤3 时恒成立，
当n≥4 时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤
，
∴第42 个月底，保有量达到最大．
当n≥4，{an}为公差为﹣10 等差数列，而{bn}为等差为1 的等差数列，
∴到第42 个月底，单车保有量为
×39+535﹣
×42=
×39+535﹣
×42=8782．
S42=﹣4×16+8800=8736．
∵8782＞8736，
∴第42 个月底单车保有量超过了容纳量．
【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．
20．（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：
=1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，
M 为x 正半轴上的动点．
（1）若P 在第一象限，且|OP|=
，求P 的坐标；
（2）设P（
），若以A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；
（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C，且
，
，求直线AQ 的方程．
【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立
，能求出P 点坐标．
（2）设M（x0，0），A（0，1），P（
），由∠P=90°，求出x0=
；由∠M=90°，求出x0=1 或x0=
；由∠A=90°，
则M 点在x 轴负半轴，不合题意．由此能求出点M 的横坐标．
（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=
cosβ，从
而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣
cosα，且sinα=
（1﹣2sinα），由此能求出直线
AQ．
【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），
∵椭圆Γ：
=1，A 为Γ的上顶点，
P 为Γ上异于上、下顶点的动点，
P 在第一象限，且|OP|=
，
∴联立
，
解得P（
，
）．
（2）设M（x0，0），A（0，1），
P（
），
若∠P=90°，则
•
，即（x0﹣
，﹣
）•（﹣
，
）=0，
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∴（﹣
）x0+
﹣
=0，解得x0=
．
如图，若∠M=90°，则
•
=0，即（﹣x0，1）•（
﹣x0，
）=0，
∴
=0，解得x0=1 或x0=
，
若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．
∴点M 的横坐标为
，或1，或
．
（3）设C（2cosα，sinα），
∵
，A（0，1），
∴Q（4cosα，2sinα﹣1），
又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），
∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，
整理得：x0=
cosβ，
∵
=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），
=（﹣
cosβ，﹣sinβ），
，
∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，
且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，
∴cosβ=﹣
cosα，且sinα=
（1﹣2sinα），
以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=
，或sinα=﹣1（舍去），
此时，直线AC 的斜率kAC=﹣
=
（负值已舍去），如图．
∴直线AQ 为y=
x+1．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理
论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．
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21．（18 分）设定义在R 上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2 时，都有f（x1）≤f（x2）．
（1）若f（x）=ax3+1，求a 的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；
（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g（x）的最大值．函数h（x）=f
（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．
【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0 求得a 的取值范围；
（2）若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+Tk），证明对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）
≤f（x）≤f（x0+Tk），可得f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，再由…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，
x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；
（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．
【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，
∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．
故a 的范围是[0，+∞）；
（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为Tk，任取x0∈R，则有
f（x0）=f（x0+Tk），
由题意，对任意x∈[x0，x0+Tk]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+Tk），
∴f（x0）=f（x）=f（x0+Tk）．
又∵f（x0）=f（x0+nTk），n∈Z，并且
…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；
（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为Tg，则
h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，
h（x0+Tg）=c1•g（x0+Tg）=c1•g（x0）=h（x0），
故h（x）是周期函数；
必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为Th．
若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，
x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1Tk＞x1，
∴f（x2+N1Tk）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1Tk）=h（x2）．
又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而
h（x2+N1Tk）=g（x2+N1Tk）f（x2+N1Tk）＞0≠h（x2），矛盾．
综上，f（x）＞0 恒成立．
由f（x）＞0 恒成立，
任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2Th≤x0﹣Tg，
即[x0﹣Tg，x0]⊆[x0﹣N2Th，x0]，
∵…∪[x0﹣3Tk，x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk，x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk，x0]∪[x0，x0+Tk]∪[x0+Tk，x0+2Tk]∪…=R，
∴…∪[x0﹣2N2Th，x0﹣N2Th]∪[x0﹣N2Th，x0]∪[x0，x0+N2Th]∪[x0+N2Th，x0+2N2Th]∪…=R．
h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2Th）=g（x0﹣N2Th）•f（x0﹣N2Th），
∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2Th）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2Th）＞0．
因此若h（x0）=h（x0﹣N2Th），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2Th），且f（x0）=f（x0﹣N2Th）=c．
而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．
综上，必要性得证．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置
难度过大．
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2017 年山东省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（
）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，2）
C．（0，2）
D．（1，2）
2．（5 分）已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=1+i，则z2=（
）
A．﹣2i B．2i
C．﹣2
D．2
3．（5 分）已知x，y 满足约束条件
则z=x+2y 的最大值是（
）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
4．（5 分）已知cosx=
，则cos2x=（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
5．（5 分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（
）
A．p∧q B．p∧￢q
C．￢p∧q
D．￢p∧￢q
6．（5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4 时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为
（
）
A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5
7．（5 分）函数y=
sin2x+cos2x 的最小正周期为（
）
A．
B．
C．π
D．2π
8．（5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数
相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（
）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
9．（5 分）设f（x）=
若f（a）=f（a+1），则f（
）=（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
10．（5 分）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有
M 性质，下列函数中具有M 性质的是（
）
A．f（x）=2
﹣x
B．f（x）=x2 C．f（x）=3
﹣x
D．f（x）=cosx
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分
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11．（5 分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若
，则λ=
．
12．（5 分）若直线
=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b 的最小值为
．
13．（5 分）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
．
14．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6
﹣x，则f（919）
=
．
15．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞
0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
．
三、解答题
16．（12 分）某旅游爱好者计划从3 个亚洲国家A1，A2，A3 和3 个欧洲国家B1，B2，B3 中选择2 个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6 个国家中任选2 个，求这2 个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1 个，求这2 个国家包括A1 但不包括B1 的概率．
17．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b=3，
=﹣6，S△ABC=3，求A 和a．
18．（12 分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥C1﹣B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，
O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A1E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；
（Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．
19．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n 项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列
的前n 项和Tn．
20．（13 分）已知函数f（x）=
x3﹣
ax2，a∈R，
（1）当a=2 时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，椭圆C 截直线y=1
所得线段的长度为2
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C 于A，B 两点，交y 轴于点M．点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半
径为|NO|．设D 为AB 的中点，DE，DF 与⊙N 分别相切于点E，F，求∠EDF 的最小值．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（
）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，2）
C．（0，2）
D．（1，2）
【分析】解不等式求出集合M，结合集合的交集运算定义，可得答案．
【解答】解：集合M={x||x﹣1|＜1}=（0，2），
N={x|x＜2}=（﹣∞，2），
∴M∩N=（0，2），
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5 分）已知i 是虚数单位，若复数z 满足zi=1+i，则z2=（
）
A．﹣2i B．2i
C．﹣2
D．2
【分析】根据已知，求出z 值，进而可得答案．
【解答】解：∵复数z 满足zi=1+i，
∴z=
=1﹣i，
∴z2=﹣2i，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，难度不大，属于基础题．
3．（5 分）已知x，y 满足约束条件
则z=x+2y 的最大值是（
）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：x，y 满足约束条件
的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过可行域的A 时，目标函数取得
最大值，
由：
解得A（﹣1，2），
目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，确定目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力．
4．（5 分）已知cosx=
，则cos2x=（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
【分析】利用倍角公式即可得出．
【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，且cosx=
，
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∴cos2x=2×
﹣1=
．
故选：D．
【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5 分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（
）
A．p∧q B．p∧￢q
C．￢p∧q
D．￢p∧￢q
【分析】先判断命题p，q 的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．
【解答】解：命题p：∃x=0∈R，使x2﹣x+1≥0 成立．
故命题p 为真命题；
当a=1，b=﹣2 时，a2＜b2 成立，但a＜b 不成立，
故命题q 为假命题，
故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q 均为假命题；
命题p∧￢q 为真命题，
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．
6．（5 分）若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4 时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为
（
）
A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5
【分析】方法一：由题意可知：输出y=2，则由y=log2x 输出，需要x＞4，则判断框中的条件是x＞4，
方法二：采用排除法，分别进行模拟运算，即可求得答案．
【解答】解：方法一：当x=4，输出y=2，则由y=log2x 输出，需要x＞4，
故选B．
方法二：若空白判断框中的条件x＞3，输入x=4，满足4＞3，输出y=4+2=6，不满足，故A 错误，
若空白判断框中的条件x＞4，输入x=4，满足4=4，不满足x＞3，输出y=y=log24=2，故B 正确；
若空白判断框中的条件x≤4，输入x=4，满足4=4，满足x≤4，输出y=4+2=6，不满足，故C 错误，
若空白判断框中的条件x≤5，输入x=4，满足4≤5，满足x≤5，输出y=4+2=6，不满足，故D 错误，
故选：B．
【点评】本题考查程序框图的应用，考查计算能力，属于基础题．
7．（5 分）函数y=
sin2x+cos2x 的最小正周期为（
）
A．
B．
C．π
D．2π
【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，进而根据ω值，可得函数的周期．
【解答】解：∵函数y=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
），
∵ω=2，
∴T=π，
故选：C．
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【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，难度不大，属于基础题．
8．（5 分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数
相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（
）
A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7
【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，可得x，y 的值．
【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，
故乙组数据的中位数也为65，
即y=5，
则乙组数据的平均数为：66，
故x=3，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是茎叶图，平均数和中位数，难度不大，属于基础题．
9．（5 分）设f（x）=
若f（a）=f（a+1），则f（
）=（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】利用已知条件，求出a 的值，然后求解所求的表达式的值即可．
【解答】解：当a∈（0，1）时，f（x）=
，若f（a）=f（a+1），可得
=2a，
解得a=
，则：f（
）=f（4）=2（4﹣1）=6．
当a∈[1，+∞）时．f（x）=
，若f（a）=f（a+1），
可得2（a﹣1）=2a，显然无解．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．
10．（5 分）若函数exf（x）（e=2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有
M 性质，下列函数中具有M 性质的是（
）
A．f（x）=2
﹣x
B．f（x）=x2 C．f（x）=3
﹣x
D．f（x）=cosx
【分析】根据已知中函数f（x）具有M 性质的定义，可得f（x）=2
﹣x 时，满足定义．
【解答】解：当f（x）=2
﹣x 时，函数exf（x）=（
）x 在R 上单调递增，函数f（x）具有M 性质，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，难度不大，属于基础题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分
11．（5 分）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若
，则λ=
﹣3
．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵
，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力语音计算能力，属于基础题．
12．（5 分）若直线
=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b 的最小值为
8
．
【分析】将（1，2）代入直线方程，求得
+
=1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b 的最小
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值．
【解答】解：直线
=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则
+
=1，
由2a+b=（2a+b）×（
+
）=2+
+
+2=4+
+
≥4+2
=4+4=8，
当且仅当
=
，即a=
，b=1 时，取等号，
∴2a+b 的最小值为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．
13．（5 分）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
2+
．
【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1 圆柱的
，根据长方体及圆
柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=
×π×12×1=
，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+
，
故答案为：2+
．
【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．
14．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6
﹣x，则f（919）
=
6
．
【分析】由题意可知：（x+6）=f（x），函数的周期性可知：f（x）周期为6，则f（919）=f（153×6+1）=f（1），由
f（x）为偶函数，则f（1）=f（﹣1），即可求得答案．
【解答】解：由f（x+4）=f（x﹣2）．则f（x+6）=f（x），
∴f（x）为周期为6 的周期函数，
f（919）=f（153×6+1）=f（1），
由f（x）是定义在R 上的偶函数，则f（1）=f（﹣1），
当x∈[﹣3，0]时，f（x）=6
﹣x，
f（﹣1）=6
﹣（﹣1）=6，
∴f（919）=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
15．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞
0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
y=±
x
．
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【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线
=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关
系、抛物线的定义及其性质即可得出．
【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线
=1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，
∴yA+yB=
，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2×
=4×
，
∴
=p，
∴
=
．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=±
x．
故答案为：y=±
x．
【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
三、解答题
16．（12 分）某旅游爱好者计划从3 个亚洲国家A1，A2，A3 和3 个欧洲国家B1，B2，B3 中选择2 个国家去旅游．
（Ⅰ）若从这6 个国家中任选2 个，求这2 个国家都是亚洲国家的概率；
（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1 个，求这2 个国家包括A1 但不包括B1 的概率．
【分析】（Ⅰ）从这6 个国家中任选2 个，基本事件总数n=
=15，这2 个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数
m=
，由此能求出这2 个国家都是亚洲国家的概率．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1 个，利用列举法能求出这2 个国家包括A1 但不包括B1 的概率．
【解答】解：（Ⅰ）某旅游爱好者计划从3 个亚洲国家A1，A2，A3 和3 个欧洲国家B1，B2，B3 中选择2 个国家去旅
游．
从这6 个国家中任选2 个，基本事件总数n=
=15，
这2 个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m=
，
∴这2 个国家都是亚洲国家的概率P=
=
=
．
（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1 个，包含的基本事件个数为9 个，分别为：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），
这2 个国家包括A1 但不包括B1 包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2 个，
∴这2 个国家包括A1 但不包括B1 的概率P=
．
【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点，考查运算求解能力，考查集合思
想，是基础题．
17．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b=3，
=﹣6，S△ABC=3，求A 和a．
【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A 和c 的值，再根据余弦定理即可求出a．
【解答】解：由
=﹣6 可得bccosA=﹣6，①，
由三角形的面积公式可得S△ABC=
bcsinA=3，②
∴tanA=﹣1，
∵0＜A＜180°，
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∴A=135°，
∴c=
=2
，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29
∴a=
【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题
18．（12 分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥C1﹣B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，
O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A1E⊥平面ABCD，
（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；
（Ⅱ）设M 是OD 的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．
【分析】（Ⅰ）取B1D1 中点G，连结A1G、CG，推导出A1G
OC，从而四边形OCGA1 是平行四边形，进而A1O∥CG，
由此能证明A1O∥平面B1CD1．
（Ⅱ）推导出BD⊥A1E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而BD⊥平面A1EM，再由BD∥B1D1，得B1D1⊥平面A1EM，由此能
证明平面A1EM⊥平面B1CD1．
【解答】证明：（Ⅰ）取B1D1 中点G，连结A1G、CG，
∵四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，
∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥C1﹣B1CD1 后，A1G
OC，
∴四边形OCGA1 是平行四边形，∴A1O∥CG，
∵A1O⊄平面B1CD1，CG⊂平面B1CD1，
∴A1O∥平面B1CD1．
（Ⅱ）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 截去三棱锥C1﹣B1CD1 后，BD
B1D1，
∵M 是OD 的中点，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A1E⊥平面ABCD，
又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥A1E，
∵四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，
∴AO⊥BD，
∵M 是OD 的中点，E 为AD 的中点，∴EM⊥BD，
∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面A1EM，
∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面A1EM，
∵B1D1⊂平面B1CD1，
∴平面A1EM⊥平面B1CD1．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，
考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中
档题．
19．（12 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．
（1）求数列{an}通项公式；
（2）{bn} 为各项非零的等差数列，其前n 项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列
的前n 项和Tn．
【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3，可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；
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（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1，结合S2n+1=bnbn+1 可知bn=2n+1，进而可知
=
，利用错位
相减法计算即得结论．
【解答】解：（1）记正项等比数列{an}的公比为q，
因为a1+a2=6，a1a2=a3，
所以（1+q）a1=6，q
=q2a1，
解得：a1=q=2，
所以an=2n；
（2）因为{bn} 为各项非零的等差数列，
所以S2n+1=（2n+1）bn+1，
又因为S2n+1=bnbn+1，
所以bn=2n+1，
=
，
所以Tn=3•
+5•
+…+（2n+1）•
，
Tn=3•
+5•
+…+（2n﹣1）•
+（2n+1）•
，
两式相减得：
Tn=3•
+2（
+
+…+
）﹣（2n+1）•
，
即
Tn=3•
+（
+
+
+…+
）﹣（2n+1）•
，
即Tn=3+1+
+
+
+…+
）﹣（2n+1）•
=3+
﹣（2n+1）•
=5﹣
．
【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查等差数列的性质，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中
档题．
20．（13 分）已知函数f（x）=
x3﹣
ax2，a∈R，
（1）当a=2 时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程，
（2）先求导，再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值
【解答】解：（1）当a=2 时，f（x）=
x3﹣x2，
∴f′（x）=x2﹣2x，
∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=
×27﹣9=0，
∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0
（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=
x3﹣
ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，
∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），
令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，
①若a＞0 时，当x＜0 时，g′（x）＞0 恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＞a 时，g′（x）＞0 恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，
当0＜x＜a 时，g′（x）＜0 恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，
∴当x=a 时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣
a3﹣sina
当x=0 时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，
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②若a＜0 时，当x＞0 时，g′（x）＞0 恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
当x＜a 时，g′（x）＞0 恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，
当a＜x＜0 时，g′（x）＜0 恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，
∴当x=a 时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣
a3﹣sina
当x=0 时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a
③当a=0 时，g′（x）=x（x+sinx），
当x＞0 时，g′（x）＞0 恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0 时，g′（x）＞0 恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴g（x）在R 上单调递增，无极值．
【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系，关键是分类讨论，考查了学生的运算能
力和转化能力，属于难题
21．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，椭圆C 截直线y=1
所得线段的长度为2
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C 于A，B 两点，交y 轴于点M．点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半
径为|NO|．设D 为AB 的中点，DE，DF 与⊙N 分别相切于点E，F，求∠EDF 的最小值．
【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C 过点（
，1），然后结合离心率可得椭圆方程；
（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N 坐标及⊙N 半径，进而
将DN 长度表示出来，可求∠EDF 最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C 的离心率为
，
∴
=
，a2=2b2，
∵椭圆C 截直线y=1 所得线段的长度为2
，
∴椭圆C 过点（
，1），
∴
+
=1，
∴b2=2，a2=4，
∴椭圆C 的方程为
+
=1．
（Ⅱ）设A，B 的横坐标为x1，x2，
则A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），D（
，
+m），
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联立
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
∴x1+x2=﹣
，
∴D（﹣
，
），
∵M（0，m），则N（0，﹣m），
∴⊙N 的半径为|m|，
|DN|=
=
，
设∠EDF=α，
∴sin
=
=
=
=
，
令y=
，则y′=
，
当k=0 时，sin
取得最小值，最小值为
．
∴∠EDF 的最小值是60°．
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求解．
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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B 中元素的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（5 分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期
间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（
）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5 分）已知sinα﹣cosα=
，则sin2α=（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
5．（5 分）设x，y 满足约束条件
则z=x﹣y 的取值范围是（
）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2]
D．[0，3]
6．（5 分）函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）的最大值为（
）
A．
B．1
C．
D．
7．（5 分）函数y=1+x+
的部分图象大致为（
）
A．
B．
C
．
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D．
8．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（
）
A．π
B．
C．
D．
10．（5 分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱CD 的中点，则（
）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
11．（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx
﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e
﹣x+1）有唯一零点，则a=（
）
A．﹣
B．
C．
D．1
二、填空题
13．（5 分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且
，则m=
．
14．（5 分）双曲线
（a＞0）的一条渐近线方程为y=
x，则a=
．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=
，c=3，则A=
．
16．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围是
．
三、解答题
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17．（12 分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n 项和．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如
果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于
20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布
表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出Y 的
所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
19．（12 分）如图四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体
ACDE 的体积比．
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线y=x2+mx﹣2 与x 轴交于A、B 两点，点C 的坐标为（0，1），当m 变化时，
解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
21．（12 分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0 时，证明f（x）≤﹣
﹣2．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1 的参数方程为
，（t 为参数），直线l2 的参数方程为
，
（m 为参数）．设l1 与l2 的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3 与C 的交点，
求M 的极径．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求m 的取值范围．
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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B 中元素的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B 中元素的个数．
【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，
∴A∩B={2，4}，
∴A∩B 中元素的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5 分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1 对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期
间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（
）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
【分析】根据已知中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结
论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A 错误；
年接待游客量逐年增加，故B 正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月，故C 正确；
各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．
4．（5 分）已知sinα﹣cosα=
，则sin2α=（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．
【解答】解：∵sinα﹣cosα=
，
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∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=
，
∴sin2α=﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．
5．（5 分）设x，y 满足约束条件
则z=x﹣y 的取值范围是（
）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，2] C．[0，2]
D．[0，3]
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．
【解答】解：x，y 满足约束条件
的可行域如图：
目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B 时，目标函数取得最值，
由
解得A（0，3），
由
解得B（2，0），
目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，
目标函数的取值范围：[﹣3，2]．
故选：B．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．
6．（5 分）函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）的最大值为（
）
A．
B．1
C．
D．
【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．
【解答】解：函数f（x）=
sin（x+
）+cos（x﹣
）=
sin（x+
）+cos（﹣x+
）=
sin（x+
）+sin（x+
）
=
sin（x+
）
．
故选：A．
【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力．
7．（5 分）函数y=1+x+
的部分图象大致为（
）
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A．
B．
C
．
D．
【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．
【解答】解：函数y=1+x+
，可知：f（x）=x+
是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，
则函数y=1+x+
的图象关于（0，1）对称，
当x→0
+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．
8．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】通过模拟程序，可得到S 的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S 的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
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要使输出S 的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S 的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时N 的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
9．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（
）
A．π
B．
C．
D．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=
=
，由此能求出该圆柱的体积．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r=
=
，
∴该圆柱的体积：V=Sh=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象
能力，考查化归与转化思想，是中档题．
10．（5 分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为棱CD 的中点，则（
）
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
【分析】法一：连B1C，推导出BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，从而BC1⊥平面A1ECB1，由此得到A1E⊥BC1．
法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：法一：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，
∵A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，
∴A1B1⊥BC1，
∵A1B1∩B1C=B1，
∴BC1⊥平面A1ECB1，
∵A1E⊂平面A1ECB1，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
法二：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为2，
则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
=（﹣2，1，﹣2），
=（0，2，2），
=（﹣2，﹣2，0），
=（﹣2，0，2），
=（﹣2，2，0），
∵
•
=﹣2，
=2，
=0，
=6，
∴A1E⊥BC1．
故选：C．
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【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx
﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，可得原点到直线的距离
=a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，
∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C 的离心率e=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
12．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e
﹣x+1）有唯一零点，则a=（
）
A．﹣
B．
C．
D．1
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象只有一个交点求a 的值．分
a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e
﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+
）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+
）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象只有一个交点．
①当a=0 时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0 时，由于y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+
）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0 时，由于y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
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所以函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+
）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=
，符合条件；
综上所述，a=
，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与
化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
二、填空题
13．（5 分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且
，则m=
2
．
【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．
【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且
，
∴
=﹣6+3m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的
性质的合理运用．
14．（5 分）双曲线
（a＞0）的一条渐近线方程为y=
x，则a=
5
．
【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a 即可．
【解答】解：双曲线
（a＞0）的一条渐近线方程为y=
x，
可得
，解得a=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=
，c=3，则A=
75°
．
【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可
【解答】解：根据正弦定理可得
=
，C=60°，b=
，c=3，
∴sinB=
=
，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题
16．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围是
（
，+∞）
．
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：若x≤0，则x﹣
≤﹣
，
则f（x）+f（x﹣
）＞1 等价为x+1+x﹣
+1＞1，即2x＞﹣
，则x＞
，
此时
＜x≤0，
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当x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣
＞﹣
，
当x﹣
＞0 即x＞
时，满足f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
当0≥x﹣
＞﹣
，即
≥x＞0 时，f（x﹣
）=x﹣
+1=x+
，
此时f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
综上x＞
，
故答案为：（
，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关
键．
三、解答题
17．（12 分）设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{
}的前n 项和．
【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．
（2）
=
=
﹣
．利用裂项求和方法即可得出．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．
n≥2 时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）an=2．∴an=
．
当n=1 时，a1=2，上式也成立．
∴an=
．
（2）
=
=
﹣
．
∴数列{
}的前n 项和=
+
+…+
=1﹣
=
．
【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如
果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于
20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布
表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出Y 的
所有可能值，并估计Y 大于零的概率．
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20 的天数，
由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率．
（2）当温度大于等于25°C 时，需求量为500，求出Y=900 元；当温度在[20，25）°C 时，需求量为300，求出Y=300
元；当温度低于20°C 时，需求量为200，求出Y=﹣100 元，从而当温度大于等于20 时，Y＞0，由此能估计估计Y
大于零的概率．
【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20 的天数为2+16+36=54，
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根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．
如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶，
如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300 瓶，
如果最高气温低于20，需求量为200 瓶，
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300 瓶的概率p=
=
．
（2）当温度大于等于25°C 时，需求量为500，
Y=450×2=900 元，
当温度在[20，25）°C 时，需求量为300，
Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300 元，
当温度低于20°C 时，需求量为200，
Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100 元，
当温度大于等于20 时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C 的天数有：
90﹣（2+16）=72，
∴估计Y 大于零的概率P=
．
【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证
能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（12 分）如图四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体
ACDE 的体积比．
【分析】（1）取AC 中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．
（2）法一：连结OE，设AD=CD=
，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE 与四面体ACDE
的高都是点A 到平面BCD 的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．法二：设AD=CD=
，
则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=
，推导出BO⊥DO，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，
建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
【解答】证明：（1）取AC 中点O，连结DO、BO，
∵△ABC 是正三角形，AD=CD，
∴DO⊥AC，BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，
∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．
解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，
∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，
设AD=CD=
，则OC=OA=1，EC=EA，
∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，
∴EC=EA=
=CD，
∴E 是线段AC 垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=
，
由余弦定理得：
cos∠CBD=
=
，
即
，解得BE=1 或BE=2，
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∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，
∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h，
∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．
法二：设AD=CD=
，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，
∴BO=
=
，∴BO2+DO2=BD2，∴BO⊥DO，
以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，
，0），A（1，0，0），
设E（a，b，c），
，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，
，﹣1），解得E（0，
，1﹣λ），
∴
=（1，
），
=（﹣1，
），
∵AE⊥EC，∴
=﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0，
由λ∈[0，1]，解得
，∴DE=BE，
∵四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h，
∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE，
∴四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档
题．
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线y=x2+mx﹣2 与x 轴交于A、B 两点，点C 的坐标为（0，1），当m 变化时，
解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC 的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
【分析】（1）设曲线y=x2+mx﹣2 与x 轴交于A（x1，0），B（x2，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的
斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；
（2）设过A、B、C 三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），
可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y 轴的交点，进而得到弦长为定值．
【解答】解：（1）曲线y=x2+mx﹣2 与x 轴交于A、B 两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2=﹣2，
若AC⊥BC，则kAC•kBC=﹣1，
即有
•
=﹣1，
即为x1x2=﹣1 这与x1x2=﹣2 矛盾，
故不出现AC⊥BC 的情况；
（2）证明：设过A、B、C 三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），
由题意可得y=0 时，x2+Dx+F=0 与x2+mx﹣2=0 等价，
可得D=m，F=﹣2，
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圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，
另解：设过A、B、C 三点的圆在y 轴上的交点为H（0，d），
则由相交弦定理可得|OA|•|OB|=|OC|•|OH|，
即有2=|OH|，
再令x=0，可得y2+y﹣2=0，
解得y=1 或﹣2．
即有圆与y 轴的交点为（0，1），（0，﹣2），
则过A、B、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3．
【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想
和化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＜0 时，证明f（x）≤﹣
﹣2．
【分析】（1）题干求导可知f′（x）=
（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0 三种情况讨论f′（x）与0 的大
小关系可得结论；
（2）通过（1）可知f（x）max=f（﹣
）=﹣1﹣ln2﹣
+ln（﹣
），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0 时
﹣
t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣
t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可．
【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，
求导f′（x）=
+2ax+（2a+1）=
=
，（x＞0），
①当a=0 时，f′（x）=
+1＞0 恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0 恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＜0 时，令f′（x）=0，解得：x=﹣
．
因为当x∈（0，﹣
）f′（x）＞0、当x∈（﹣
，+∞）f′（x）＜0，
所以y=f（x）在（0，﹣
）上单调递增、在（﹣
，+∞）上单调递减．
综上可知：当a≥0 时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0 时，f（x）在（0，﹣
）上单调递增、在（﹣
，+∞）上单调递减；
（2）证明：由（1）可知：当a＜0 时f（x）在（0，﹣
）上单调递增、在（﹣
，+∞）上单调递减，
所以当x=﹣
时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣
）=﹣1﹣ln2﹣
+ln（﹣
）．
从而要证f（x）≤﹣
﹣2，即证f（﹣
）≤﹣
﹣2，
即证﹣1﹣ln2﹣
+ln（﹣
）≤﹣
﹣2，即证﹣
（﹣
）+ln（﹣
）≤﹣1+ln2．
令t=﹣
，则t＞0，问题转化为证明：﹣
t+lnt≤﹣1+ln2．…（*）
令g（t）=﹣
t+lnt，则g′（t）=﹣
+
，
令g′（t）=0 可知t=2，则当0＜t＜2 时g′（t）＞0，当t＞2 时g′（t）＜0，
所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减，
即g（t）≤g（2）=﹣
×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立，
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所以当a＜0 时，f（x）≤﹣
﹣2 成立．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解
题方法的积累，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1 的参数方程为
，（t 为参数），直线l2 的参数方程为
，
（m 为参数）．设l1 与l2 的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3 与C 的交点，
求M 的极径．
【分析】解：（1）分别消掉参数t 与m 可得直线l1 与直线l2 的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，
消去k 可得C 的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）将l3 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0 化为普通方程：x+y﹣
=0，再与曲线C 的方程联立，可得
，
即可求得l3 与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【解答】解：（1）∵直线l1 的参数方程为
，（t 为参数），
∴消掉参数t 得：直线l1 的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2 的参数方程为
，（m 为参数），
同理可得，直线l2 的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k 得：x2﹣y2=4，即C 的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，
∴其普通方程为：x+y﹣
=0，
联立
得：
，
∴ρ2=x2+y2=
+
=5．
∴l3 与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求m 的取值范围．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=
，解不等式f（x）≥1 可分﹣1≤x≤2 与x＞2 两类
讨论即可解得不等式f（x）≥1 的解集；
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得g
（x）max=
，从而可得m 的取值范围．
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【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=
，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2 时，3≥1 恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R 使得f（x）﹣x2+x≥m 成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=
，
当x≤﹣1 时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=
＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2 时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=
∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（
）=﹣
+
﹣1=
；
当x≥2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=
＜2，
∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；
综上，g（x）max=
，
∴m 的取值范围为（﹣∞，
]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思
想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（
）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4}
D．{1，3，4}
2．（5 分）（1+i）（2+i）=（
）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i
D．3+3i
3．（5 分）函数f（x）=sin（2x+
）的最小正周期为（
）
A．4π
B．2π
C．π
D．
4．（5 分）设非零向量，满足| + |=| ﹣|则（
）
A．⊥
B．| |=| | C．∥
D．| |＞| |
5．（5 分）若a＞1，则双曲线
﹣y2=1 的离心率的取值范围是（
）
A．（
，+∞）
B．（
，2）
C．（1，
）D．（1，2）
6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱
截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
7．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最小值是（
）
A．﹣15 B．﹣9
C．1
D．9
8．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（
）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）
D．（4，+∞）
9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良
好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根
据以上信息，则（
）
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
11．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡
片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为
的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在
l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（
）
A．
B．2
C．2
D．3
二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为
．
14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=
．
15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为
．
16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=
．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．
17．（12 分）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，等比数列{bn}的前n 项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
18．
（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD 面积为2
，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．
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19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量
各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K）
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
K2=
．
20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
=
．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且
•
=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．
选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系
与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程
为ρcosθ=4．
（1）M 为曲线C1 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C2 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为（2，
），点B 在曲线C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（
）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{2，3，4}
D．{1，3，4}
【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求出两集合的并集．
【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∪B={1，2，3，4}
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，是集合中的基本概念型
题．
2．（5 分）（1+i）（2+i）=（
）
A．1﹣i B．1+3i C．3+i
D．3+3i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）函数f（x）=sin（2x+
）的最小正周期为（
）
A．4π
B．2π
C．π
D．
【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可．
【解答】解：函数f（x）=sin（2x+
）的最小正周期为：
=π．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．
4．（5 分）设非零向量，满足| + |=| ﹣|则（
）
A．⊥
B．| |=| | C．∥
D．| |＞| |
【分析】由已知得
，从而
=0，由此得到
．
【解答】解：∵非零向量，满足| + |=| ﹣|，
∴
，
解得
=0，
∴
．
故选：A．
【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用．
5．（5 分）若a＞1，则双曲线
﹣y2=1 的离心率的取值范围是（
）
A．（
，+∞）
B．（
，2）
C．（1，
）D．（1，2）
【分析】利用双曲线方程，求出a，c 然后求解双曲线的离心率的范围即可．
【解答】解：a＞1，则双曲线
﹣y2=1 的离心率为：
=
=
∈（1，
）．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱
截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
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A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，
V=π•32×10﹣
•π•32×6=63π，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最小值是（
）
A．﹣15 B．﹣9
C．1
D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
【解答】解：x、y 满足约束条件
的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，
由
解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
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8．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（
）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）
D．（4，+∞）
【分析】由x2﹣2x﹣8＞0 得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同
增异减”的原则，可得答案．
【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0 得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），
令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，
∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8 为减函数；
x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8 为增函数；
y=lnt 为增函数，
故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．
9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良
好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根
据以上信息，则（
）
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲
是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知
道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假
定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K 值，当K=7 时，程序终止即可得到结论．
【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6 不成立，退出循环输出S 的值为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
11．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡
片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的
基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10 个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=
=
．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
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12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为
的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在
l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（
）
A．
B．2
C．2
D．3
【分析】利用已知条件求出M 的坐标，求出N 的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2=4x 的焦点F（1，0），且斜率为
的直线：y=
（x﹣1），
过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为
的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l
可知：
，解得M（3，2
）．
可得N（﹣1，2
），NF 的方程为：y=﹣
（x﹣1），即
，
则M 到直线NF 的距离为：
=2
．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．
二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为
．
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可．
【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=
（
cosx+
sinx）=
sin（x+θ），其中tanθ=2，
可知函数的最大值为：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．
14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，则f（2）=
12
．
【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
∴f（﹣2）=﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R 上的奇函数，
∴f（2）=12，
故答案为：12
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．
15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为
14π
．
【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的
直径，
所以球的半径为：
=
．
则球O 的表面积为：4×
=14π．
故答案为：14π．
【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=
．
【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可
【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，
2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴cosB=
，
∵0＜B＜π，
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∴B=
，
故答案为：
【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．
17．（12 分）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，等比数列{bn}的前n 项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方
程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式；
（2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2 或d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；
（2）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4 或﹣5，
当q=4 时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5 时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思
想和化简整理的运算能力，属于基础题．
18．
（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°．
（1）证明：直线BC∥平面PAD；
（2）若△PCD 面积为2
，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．
【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可．
【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD 中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴直线BC∥平面PAD；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°．设
AD=2x，
则AB=BC=x，CD=
，O 是AD 的中点，
连接PO，OC，CD 的中点为：E，连接OE，
则OE=
，PO=
，PE=
=
，
△PCD 面积为2
，可得：
=2
，
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即：
，解得x=2，PO=2
．
则V P﹣ABCD=
×
（BC+AD）×AB×PO=
=4
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量
各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．
附：
P（K2≥K）
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
K2=
．
【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案；
（2）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K2=
≈15.705＞6.635，与附表
比较即可得答案；
（3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得：
P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62；
（2）根据题意，补全列联表可得：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则有K2=
≈15.705＞6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由频率分布直方图可得：
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旧养殖法100 个网箱产量的平均数
1=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×
0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1；
新养殖法100 个网箱产量的平均数
2=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×
0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35；
比较可得：
1＜
2，
故新养殖法更加优于旧养殖法．
【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差的计算，关键认真分析频率分布直
方图．
20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
=
．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且
•
=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M 满足椭圆方程，
化简整理可得P 的轨迹方程；
（2）设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q 的
坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P 满足
=
．
可得（x﹣x0，y）=
（0，y0），
可得x﹣x0=0，y=
y0，
即有x0=x，y0=
，
代入椭圆方程
+y2=1，可得
+
=1，
即有点P 的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），
•
=1，可得（
cosα，
sinα）•（﹣3﹣
cosα，m﹣
sinα）=1，
即为﹣3
cosα﹣2cos2α+
msinα﹣2sin2α=1，
当α=0 时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m=
，
即有Q（﹣3，
），
椭圆
+y2=1 的左焦点F（﹣1，0），
由
•
=（﹣1﹣
cosα，﹣
sinα）•（﹣3，
）
=3+3
cosα﹣3（1+
cosα）=0．
可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由
•
=1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，
又P 在圆x2+y2=2 上，可得m2+n2=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
•
=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
则
⊥
，
可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜
率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中
档题．
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21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（2）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面对a 的范围进行讨论：
①当a≥1 时，②当0＜a＜1 时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0 时，
推出结果，然后得到a 的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）ex，x∈R，
所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）ex，
令f′（x）=0 可知x=﹣1±
，
当x＜﹣1﹣
或x＞﹣1+
时f′（x）＜0，当﹣1﹣
＜x＜﹣1+
时f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣
），（﹣1+
，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣
，﹣1+
）上单调递增；
（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）ex．下面对a 的范围进行讨论：
①当a≥1 时，设函数h（x）=（1﹣x）ex，则h′（x）=﹣xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1 时，设函数g（x）=ex﹣x﹣1，则g′（x）=ex﹣1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1﹣0﹣1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1 时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，
所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），
取x0=
∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③当a≤0 时，取x0=
∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
综上所述，a 的取值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系
与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程
为ρcosθ=4．
（1）M 为曲线C1 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C2 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为（2，
），点B 在曲线C2 上，求△OAB 面积的最大值．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16 列方程化简即可；
（2）求出曲线C2 的圆心和半径，得出B 到OA 的最大距离，即可得出最大面积．
【解答】解：（1）曲线C1 的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则
，∴y0=
，
∵|OM||OP|=16，
∴
=16，
即（x2+y2）（1+
）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
两边开方得：x2+y2=4x，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P 的轨迹C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A 的直角坐标为A（1，
），显然点A 在曲线C2 上，|OA|=2，
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∴曲线C2 的圆心（2，0）到弦OA 的距离d=
=
，
∴△AOB 的最大面积S=
|OA|•（2+
）=2+
．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3=2 转化为
=ab，再由均值不等式可得：
=ab≤（
）2，即可得到
（a+b）3
≤2，问题得以证明．
【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（
+
）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当
=
，即a=b=1 时取等号，
（2）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴
=ab，
由均值不等式可得：
=ab≤（
）2，
∴（a+b）3﹣2≤
，
∴
（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1 时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题
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2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（
）
A．A∩B={x|x＜
}
B．A∩B=∅
C．A∪B={x|x＜
}
D．A∪B=R
2．（5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，
xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（
）
A．x1，x2，…，xn 的平均数B．x1，x2，…，xn 的标准差
C．x1，x2，…，xn 的最大值D．x1，x2，…，xn 的中位数
3．（5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（
）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i）C．（1+i）2
D．i（1+i）
4．（5 分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知F 是双曲线C：x2﹣
=1 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则
△APF 的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方
体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．（5 分）函数y=
的部分图象大致为（
）
A．
B．
C
．
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D．
9．（5 分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（
）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1 对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
10．（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000 的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，
可以分别填入（
）
A．A＞1000 和n=n+1 B．A＞1000 和n=n+2
C．A≤1000 和n=n+1 D．A≤1000 和n=n+2
11．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=
，则C=
（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）设A，B 是椭圆C：
+
=1 长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围
是（
）
A．（0，1]∪[9，+∞）
B．（0，
]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[4，+∞）
D．（0，
]∪[4，+∞）
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+ 与垂直，则m=
．
14．（5 分）曲线y=x2+
在点（1，2）处的切线方程为
．
15．（5 分）已知α∈（0，
），tanα=2，则cos（α﹣
）=
．
16．（5 分）已知三棱锥S﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，
SB=BC，三棱锥S﹣ABC 的体积为9，则球O 的表面积为
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21 题为必选题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
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17．（12 分）记Sn 为等比数列{an}的前n 项和．已知S2=2，S3=﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列．
18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD 的体积为
，求该四棱锥的侧面积．
19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并
测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得
=
xi=9.97，s=
=
≈0.212，
≈18.439，
（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行
而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与
标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r=
，
≈0.09．
20．（12 分）设A，B 为曲线C：y=
上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM⊥BM，求直线AB 的方程．
21．（12 分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程选讲]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，
（t 为参数）．
（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为
，求a．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
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（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（
）
A．A∩B={x|x＜
}
B．A∩B=∅
C．A∪B={x|x＜
}
D．A∪B=R
【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．
【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜
}，
∴A∩B={x|x＜
}，故A 正确，B 错误；
A∪B={x||x＜2}，故C，D 错误；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，
xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（
）
A．x1，x2，…，xn 的平均数B．x1，x2，…，xn 的标准差
C．x1，x2，…，xn 的最大值D．x1，x2，…，xn 的中位数
【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．
【解答】解：在A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，
故A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在C 中，最大值是一组数据最大的量，故C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
故D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．
故选：B．
【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均
数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．
3．（5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（
）
A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i）C．（1+i）2
D．i（1+i）
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．
【解答】解：A．i（1+i）2=i•2i=﹣2，是实数．
B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．
C．（1+i）2=2i 为纯虚数．
D．i（1+i）=i﹣1 不是纯虚数．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5 分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
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则黑色部分的面积S=
，
则对应概率P=
=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
5．（5 分）已知F 是双曲线C：x2﹣
=1 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则
△APF 的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF 与x 轴垂直，代入即可求得P 点坐标，根据三角形的面积公
式，即可求得△APF 的面积．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣
=1 的右焦点F（2，0），
PF 与x 轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，
则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP 丨=1，丨PF 丨=3，
∴△APF 的面积S=
×丨AP 丨×丨PF 丨=
，
同理当y＜0 时，则△APF 的面积S=
，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．
6．（5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方
体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D 均不满足题意，从而可得答案．
【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意；
对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D 不满足题意；
所以选项A 满足题意，
故选：A．
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【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，
属于中档题．
7．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．
【解答】解：x，y 满足约束条件
的可行域如图：
，则z=x+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，
由
解得A（3，0），
所以z=x+y 的最大值为：3．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键．
8．（5 分）函数y=
的部分图象大致为（
）
A．
B．
C
．
D．
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．
【解答】解：函数y=
，
可知函数是奇函数，排除选项B，
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当x=
时，f（
）=
=
，排除A，
x=π时，f（π）=0，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方
法．
9．（5 分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（
）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1 对称
D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得函数图象的对称性．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），
∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx，
即f（x）=f（2﹣x），
即y=f（x）的图象关于直线x=1 对称，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称性是解答的关键．
10．（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000 的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，
可以分别填入（
）
A．A＞1000 和n=n+1 B．A＞1000 和n=n+2
C．A≤1000 和n=n+1 D．A≤1000 和n=n+2
【分析】通过要求A＞1000 时输出且框图中在“否”时输出确定“
”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的
特征确定n=n+2．
【解答】解：因为要求A＞1000 时输出，且框图中在“否”时输出，
所以“
”内不能输入“A＞1000”，
又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，
所以“
”中n 依次加2 可保证其为偶数，
所以D 选项满足要求，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．
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11．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=
，则C=
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵
＜A＜π，
∴A=
，
由正弦定理可得
=
，
∴sinC=
，
∵a=2，c=
，
∴sinC=
=
=
，
∵a＞c，
∴C=
，
故选：B．
【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题
12．（5 分）设A，B 是椭圆C：
+
=1 长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围
是（
）
A．（0，1]∪[9，+∞）
B．（0，
]∪[9，+∞）
C．（0，1]∪[4，+∞）
D．（0，
]∪[4，+∞）
【分析】分类讨论，由要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦
点在x 轴上，tan∠AMO=
≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y 轴上时，m＞3，tan∠AMO=
≥tan60°=
，
即可求得m 的取值范围．
【解答】解：假设椭圆的焦点在x 轴上，则0＜m＜3 时，
设椭圆的方程为：
（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，
则a2﹣x2=
，
∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=
，tanβ=
，
则tanγ=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
，
∴tanγ=﹣
，当y 最大时，即y=b 时，∠AMB 取最大值，
∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，
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∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=
≥tan60°=
，
解得：0＜m≤1；
当椭圆的焦点在y 轴上时，m＞3，
当M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=
≥tan60°=
，解得：m≥9，
∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）
故选A．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能
力，属于中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+ 与垂直，则m=
7
．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出
，再由向量+ 与垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值．
【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），
∴
=（﹣1+m，3），
∵向量+ 与垂直，
∴（
）• =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，
解得m=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的
合理运用．
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14．（5 分）曲线y=x2+
在点（1，2）处的切线方程为
x﹣y+1=0
．
【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．
【解答】解：曲线y=x2+
，可得y′=2x﹣
，
切线的斜率为：k=2﹣1=1．
切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0．
【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
15．（5 分）已知α∈（0，
），tanα=2，则cos（α﹣
）=
．
【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα=
，cosα=
，再根据两角差的余弦公式即可求出．
【解答】解：∵α∈（0，
），tanα=2，
∴sinα=2cosα，
∵sin2α+cos2α=1，
解得sinα=
，cosα=
，
∴cos（α﹣
）=cosαcos
+sinαsin
=
×
+
×
=
，
故答案为：
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16．（5 分）已知三棱锥S﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，
SB=BC，三棱锥S﹣ABC 的体积为9，则球O 的表面积为
36π
．
【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：三棱锥S﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，
SB=BC，三棱锥S﹣ABC 的体积为9，
可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得
，解得r=3．
球O 的表面积为：4πr2=36π．
故答案为：36π．
【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21 题为必选题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）记Sn 为等比数列{an}的前n 项和．已知S2=2，S3=﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列．
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【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1=
=
，a2=
=
，由a1+a2=2，列方程即可求得q 及a1，
根据等比数列通项公式，即可求得{an}的通项公式；
（2）由（1）可知．利用等比数列前n 项和公式，即可求得Sn，分别求得Sn+1，Sn+2，显然Sn+1+Sn+2=2Sn，则Sn+1，Sn，
Sn+2 成等差数列．
【解答】解：（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q，
则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1=
=
，a2=
=
，
由a1+a2=2，
+
=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，
则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，
∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；
（2）由（1）可知：Sn=
=
=﹣
[2+（﹣2）n+1]，
则Sn+1=﹣
[2+（﹣2）n+2]，Sn+2=﹣
[2+（﹣2）n+3]，
由Sn+1+Sn+2=﹣
[2+（﹣2）n+2]﹣
[2+（﹣2）n+3]，
=﹣
[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，
=﹣
[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣
（2+（﹣2）n+1）]，
=2Sn，
即Sn+1+Sn+2=2Sn，
∴Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列．
【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n 项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．
18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD 的体积为
，求该四棱锥的侧面积．
【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD 中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=
，PO=
，由四棱锥P﹣ABCD
的体积为
，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD 中，∠BAP=∠CDP=90°，
∴AB⊥PA，CD⊥PD，
又AB∥CD，∴AB⊥PD，
∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD 中点O，连结PO，
∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，
∴PO⊥底面ABCD，且AD=
=
，PO=
，
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∵四棱锥P﹣ABCD 的体积为
，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，
∴VP﹣ABCD=
=
=
=
=
，
解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2
，PO=
，
∴PB=PC=
=2
，
∴该四棱锥的侧面积：
S 侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC
=
+
+
+
=
=6+2
．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并
测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得
=
xi=9.97，s=
=
≈0.212，
≈18.439，
（xi﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中xi为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
（1）求（xi，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行
而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与
标准差．（精确到0.01）
附：样本（xi，yi）（i=1，2，…，n）的相关系数r=
，
≈0.09．
【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25 的大小作出结论；
（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；
（ii）代入公式计算即可．
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【解答】解：（1）r=
=
=﹣0.18．
∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2）（i）=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606），
显然第13 号零件尺寸不在此范围之内，
∴需要对当天的生产过程进行检查．
（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为
=10.02，
=16×0.2122+16×9.972=1591.134，
∴剔除离群值后样本方差为
（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008，
∴剔除离群值后样本标准差为
≈0.09．
【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．
20．（12 分）设A，B 为曲线C：y=
上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM⊥BM，求直线AB 的方程．
【分析】（1）设A（x1，
），B（x2，
），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；
（2）设M（m，
），求出y=
的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M
的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1，x2 的关系式，再由直线AB：y=x+t 与y=
联立，运
用韦达定理，即可得到t 的方程，解得t 的值，即可得到所求直线方程．
【解答】解：（1）设A（x1，
），B（x2，
）为曲线C：y=
上两点，
则直线AB 的斜率为k=
=
（x1+x2）=
×4=1；
（2）设直线AB 的方程为y=x+t，代入曲线C：y=
，
可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，
再由y=
的导数为y′=
x，
设M（m，
），可得M 处切线的斜率为
m，
由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可得
m=1，
解得m=2，即M（2，1），
由AM⊥BM 可得，kAM•kBM=﹣1，
即为
•
=﹣1，
化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，
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即为﹣4t+8+20=0，
解得t=7．
则直线AB 的方程为y=x+7．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率
公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a 的取值范围．
【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，
（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a 的范围．
【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，
∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），
①当a=0 时，f′（x）＞0 恒成立，
∴f（x）在R 上单调递增，
②当a＞0 时，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，
当x＜lna 时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞lna 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
③当a＜0 时，ex﹣a＜0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣
），
当x＜ln（﹣
）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣
）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
综上所述，当a=0 时，f（x）在R 上单调递增，
当a＞0 时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
当a＜0 时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣
））上单调递减，在（ln（﹣
），+∞）上单调递增，
（2）①当a=0 时，f（x）=e2x＞0 恒成立，
②当a＞0 时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，
∴lna≤0，∴0＜a≤1，
③当a＜0 时，由（1）可得：
f（x）min=f（ln（﹣
））=
﹣a2ln（﹣
）≥0，
∴ln（﹣
）≤
，
∴﹣2
≤a＜0，
综上所述a 的取值范围为[﹣2
，1]
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，
属于中档题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程选讲]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，
（t 为参数）．
（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为
，求a．
【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C 上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距
离，再结合距离最大值为
进行分析，可以求出a 的值．
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【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为
（θ为参数），化为标准方程是：
+y2=1；
a=﹣1 时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
联立方程
，
解得
或
，
所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（﹣
，
）．
（2）l 的参数方程
（t 为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C 上的任一点P 可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P 到直线l 的距离d 为：
d=
=
，φ满足tanφ=
，且的d 的最大值为
．
①当﹣a﹣4≤0 时，即a≥﹣4 时，
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17
解得a=8≥﹣4，符合题意．
②当﹣a﹣4＞0 时，即a＜﹣4 时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17
解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线
l 距离的最大值求出a．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．
【分析】（1）当a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=
，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣
∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，
]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1]恒成立，只需
，
解之即可得a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=
的二次函数，
g（x）=|x+1|+|x﹣1|=
，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=
，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单
调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，
]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．
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综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，
]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1]恒成立，则只需
，
解得﹣1≤a≤1，
故a 的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，
属于中档题．
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2017 年江苏省高考数学试卷
一.填空题
1．（5 分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a 的值为
．
2．（5 分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i 是虚数单位，则z 的模是
．
3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的
质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
件．
4．（5 分）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为
，则输出y 的值是
．
5．（5 分）若tan（α﹣
）=
．则tanα=
．
6．（5 分）如图，在圆柱O1O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2 的体积为V1，
球O 的体积为V2，则
的值是
．
7．（5 分）记函数f（x）=
定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是
．
8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
﹣y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是
F1，F2，则四边形F1PF2Q 的面积是
．
9．（5 分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n 项和为Sn，已知S3=
，S6=
，则a8=
．
10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x 吨，运费为6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要
使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是
．
11．（5 分）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
，其中e 是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a 的
取值范围是
．
12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量
，
，
的模分别为1，1，
，
与
的夹角为α，且tanα=7，
与
的夹角为45°．若
=m
+n
（m，n∈R），则m+n=
．
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13．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，A（﹣12，0），B（0，6），点P 在圆O：x2+y2=50 上．若
≤20，则
点P 的横坐标的取值范围是
．
14．（5 分）设f（x）是定义在R 上且周期为1 的函数，在区间[0，1）上，f（x）=
，其中集合D={x|x=
，
n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0 的解的个数是
．
二.解答题
15．（14 分）如图，在三棱锥A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E 与A、D 不重合）
分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
16．（14 分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣
），x∈[0，π]．
（1）若
，求x 的值；
（2）记f（x）=
，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．
17．（14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心
率为
，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F1 作直线PF1 的垂线l1，过点F2 作直线
PF2 的垂线l2．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线l1，l2 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
18．（16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对
角线AC 的长为10
cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1 的长分别为14cm 和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注
入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC1 上，求l 没入水中部分的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG1 上，求l 没入水中部分的长度．
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19．（16 分）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan 对任意正整数n（n
＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．
20．（16 分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．
（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣
，求实数a 的取值范围．
二.非选择题，附加题（21-24 选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0 分）
21．如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C，AP⊥PC，P 为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC2 =AP•AB．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知矩阵A=
，B=
．
（1）求AB；
（2）若曲线C1：
=1 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2 的方程．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），曲线C 的参数方程为
（s
为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
［选修4-5：不等式选讲］
24．已知a，b，c，d 为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
【必做题】
25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=
，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B 与AC1 所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A 的正弦值．
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26．已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的
逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k=1，
2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（1）试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X 的数学期望，证明E（X）＜
．
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2017 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．（5 分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a 的值为
1
．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，
∴a=1 或a2+3=1，
当a=1 时，A={1，1}，B={1，4}，成立；
a2+3=1 无解．
综上，a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．
2．（5 分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i 是虚数单位，则z 的模是
．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，
∴|z|=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的
质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
18
件．
【分析】由题意先求出抽样比例即为
，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000 件，而抽取60 件进行检验，抽样比例为
=
，
则应从丙种型号的产品中抽取300×
=18 件，
故答案为：18
【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，
即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．
4．（5 分）如图是一个算法流程图：若输入x 的值为
，则输出y 的值是
﹣2
．
【分析】直接模拟程序即得结论．
【解答】解：初始值x=
，不满足x≥1，
所以y=2+log2
=2﹣
=﹣2，
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故答案为：﹣2．
【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．
5．（5 分）若tan（α﹣
）=
．则tanα=
．
【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
【解答】解：∵tan（α﹣
）=
=
=
∴6tanα﹣6=tanα+1，
解得tanα=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题
6．（5 分）如图，在圆柱O1O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2 的体积为V1，
球O 的体积为V2，则
的值是
．
【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：
R3，
圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．
则
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
7．（5 分）记函数f（x）=
定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是
．
【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：由6+x﹣x2≥0 得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，
则D=[﹣2，3]，
则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率P=
=
，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解
决本题的关键．
8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
﹣y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是
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F1，F2，则四边形F1PF2Q 的面积是
．
【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
【解答】解：双曲线
﹣y2=1 的右准线：x=
，双曲线渐近线方程为：y=±
x，
所以P（
，
），Q（
，﹣
），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．
则四边形F1PF2Q 的面积是：
=2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
9．（5 分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n 项和为Sn，已知S3=
，S6=
，则a8=
32
．
【分析】设等比数列{an}的公比为q≠1，S3=
，S6=
，可得
=
，
=
，联立解出即可
得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，
∵S3=
，S6=
，∴
=
，
=
，
解得a1=
，q=2．
则a8=
=32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买x 吨，运费为6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要
使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是
30
．
【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=
+4x，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=
+4x≥4×2×
=240（万元）．
当且仅当x=30 时取等号．
故答案为：30．
【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5 分）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
，其中e 是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a 的
取值范围是
[﹣1，
]
．
【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得
f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣
的导数为：
f′（x）=3x2﹣2+ex+
≥﹣2+2
=0，
可得f（x）在R 上递增；
又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e
﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣
=0，
可得f（x）为奇函数，
则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，
即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）
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由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1），
f（2a2）≤f（1﹣a），
即有2a2≤1﹣a，
解得﹣1≤a≤
，
故答案为：[﹣1，
]．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等
式的解法，考查运算能力，属于中档题．
12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量
，
，
的模分别为1，1，
，
与
的夹角为α，且tanα=7，
与
的夹角为45°．若
=m
+n
（m，n∈R），则m+n=
3
．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由
与
的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=
，
sinα=
．C
．可得cos（α+45°）=
．sin（α+45°）=
．B
．利用
=m
+n
（m，n∈
R），即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由
与
的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα=
，sinα=
．
∴C
．
cos（α+45°）=
（cosα﹣sinα）=
．
sin（α+45°）=
（sinα+cosα）=
．
∴B
．
∵
=m
+n
（m，n∈R），
∴
=m﹣
n，
=0+
n，
解得n=
，m=
．
则m+n=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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13．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，A（﹣12，0），B（0，6），点P 在圆O：x2+y2=50 上．若
≤20，则
点P 的横坐标的取值范围是
[﹣5
，1]
．
【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直
线2x+y+5≤0 以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，
=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，
化为：12x0﹣6y0+30≤0，
即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0 以及直线上方的区域，
联立
，解可得x0=﹣5 或x0=1，
结合图形分析可得：点P 的横坐标x0 的取值范围是[﹣5
，1]，
故答案为：[﹣5
，1]．
【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0 的关系式．
14．（5 分）设f（x）是定义在R 上且周期为1 的函数，在区间[0，1）上，f（x）=
，其中集合D={x|x=
，
n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0 的解的个数是
8
．
【分析】由已知中f（x）是定义在R 上且周期为1 的函数，在区间[0，1）上，f（x）=
，其中集合D={x|x=
，
n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．
【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=
，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R 上且周期为1 的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x）=
，此时f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx 无交点；
故f（x）的图象与y=lgx 有8 个交点；
即方程f（x）﹣lgx=0 的解的个数是8，
故答案为：8
【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．
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二.解答题
15．（14 分）如图，在三棱锥A﹣BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E 与A、D 不重合）
分别在棱AD，BD 上，且EF⊥AD．
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．
【分析】（1）利用AB∥EF 及线面平行判定定理可得结论；
（2）通过取线段CD 上点G，连结FG、EG 使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结
合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．
【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F 四点共面，
所以AB∥EF，
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在线段CD 上取点G，连结FG、EG 使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，FG∥BC，
所以FG⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面
垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．
16．（14 分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣
），x∈[0，π]．
（1）若
，求x 的值；
（2）记f（x）=
，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．
【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣
，问题得以解决，
（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣
），∥，
∴﹣
cosx=3sinx，
∴tanx=﹣
，
∵x∈[0，π]，
∴x=
，
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（2）f（x）=
=3cosx﹣
sinx=2
（
cosx﹣
sinx）=2
cos（x+
），
∵x∈[0，π]，
∴x+
∈[
，
]，
∴﹣1≤cos（x+
）≤
，
当x=0 时，f（x）有最大值，最大值3，
当x=
时，f（x）有最小值，最小值﹣2
．
【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题
17．（14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心
率为
，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F1 作直线PF1 的垂线l1，过点F2 作直线
PF2 的垂线l2．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线l1，l2 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±
，则2×
=8，即可求得a 和c 的值，
则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；
（2）设P 点坐标，分别求得直线PF2 的斜率及直线PF1 的斜率，则即可求得l2 及l1 的斜率及方程，联立求得Q 点坐
标，由Q 在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P 点坐标；
方法二：设P（m，n），当m≠1 时，
=
，
=
，求得直线l1 及l1 的方程，联立求得Q 点坐标，根
据对称性可得
=±n2，联立椭圆方程，即可求得P 点坐标．
【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=
=
，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=±
，由2×
=8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程：
；
（2）方法一：设P（x0，y0），则直线PF2 的斜率
=
，
则直线l2 的斜率k2=﹣
，直线l2 的方程y=﹣
（x﹣1），
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直线PF1 的斜率
=
，
则直线l2 的斜率k1=﹣
，直线l1 的方程y=﹣
（x+1），
联立
，解得：
，则Q（﹣x0，
），
由P，Q 在椭圆上，P，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=
，
∴y02=x02﹣1，
则
，解得：
，则
，
又P 在第一象限，所以P 的坐标为：
P（
，
）．
方法二：设P（m，n），由P 在第一象限，则m＞0，n＞0，
当m=1 时，
不存在，解得：Q 与F1 重合，不满足题意，
当m≠1 时，
=
，
=
，
由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则
=﹣
，
=﹣
，
直线l1 的方程y=﹣
（x+1），①直线l2 的方程y=﹣
（x﹣1），②
联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，
），
由Q 在椭圆方程，由对称性可得：
=±n2，
即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，
由P（m，n），在椭圆方程，
，解得：
，或
，无解，
又P 在第一象限，所以P 的坐标为：
P（
，
）．
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【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算
能力，属于中档题．
18．（16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对
角线AC 的长为10
cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1 的长分别为14cm 和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注
入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC1 上，求l 没入水中部分的长度；
（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG1 上，求l 没入水中部分的长度．
【分析】（1）设玻璃棒在CC1 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N 作NP∥MC，交AC 于点P，推导出CC1
⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l 没入水中部分的长
度．
（2）设玻璃棒在GG1 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N 作NP⊥EG，交EG 于点P，过点E 作EQ⊥E1G1，
交E1G1 于点Q，推导出EE1G1G 为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=
，由此能求
出玻璃棒l 没入水中部分的长度．
【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面ACM 中，过N 作NP∥MC，交AC 于点P，
∵ABCD﹣A1B1C1D1 为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，
又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴
=
，
，得AN=16cm．
∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm．
（2）设玻璃棒在GG1 上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面E1EGG1 中，过点N 作NP⊥EG，交EG 于点P，
过点E 作EQ⊥E1G1，交E1G1 于点Q，
∵EFGH﹣E1F1G1H1 为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，
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EG≠E1G1，
∴EE1G1G 为等腰梯形，画出平面E1EGG1 的平面图，
∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，
∴E1Q=24cm，
由勾股定理得：E1E=40cm，
∴sin∠EE1G1=
，sin∠EGM=sin∠EE1G1=
，cos∠EGM=﹣
，
根据正弦定理得：
=
，∴sin∠EMG=
，cos∠EMG=
，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=
，
∴EN=
=
=20cm．
∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm．
【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
19．（16 分）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan 对任意正整数n（n
＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．
【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）
═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；
（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{an}从第3 项起为等差数列，再通过判断a2 与a3 的关系和a1 与a2 的
关系，可知{an}为等差数列．
【解答】解：（1）证明：设等差数列{an}首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，
则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，
=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），
=2an+2an+2an，
=2×3an，
∴等差数列{an}是“P（3）数列”；
（2）证明：当n≥4 时，因为数列{an}是P（3）数列，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，①
因为数列{an}是“P（2）数列”，所以an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，②
则an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，③，
②+③﹣①，得2an=4an﹣1+4an+1﹣6an，即2an=an﹣1+an+1，（n≥4），
因此n≥4 从第3 项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6=4a4，
所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）=a3﹣d，
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因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，
也即前3 项满足等差数列的通项公式，
所以{an}为等差数列．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．
20．（16 分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．
（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）证明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣
，求实数a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1 求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通
过令g′（x）=0 进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣
，从而f（﹣
）=0，整理可知b=
+
（a＞0），结合f（x）
=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知a＞3．
（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=
﹣
+
=
（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3 可知h（a）＞
0，从而可得结论；
（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣
）=b﹣
，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极
值之和为
﹣
+2，进而问题转化为解不等式b﹣
+
﹣
+2=
﹣
≥﹣
，因式分解即得结论．
【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=﹣
．
由于当x＞﹣
时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣
时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；
所以f′（x）的极小值点为x=﹣
，
由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，
所以f（﹣
）=0，即﹣
+
﹣
+1=0，
所以b=
+
（a＞0）．
因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，
所以f′（x）=3x2+2ax+b=0 的实根，
所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣
+
≥0，解得a≥3，
所以b=
+
（a＞3）．
（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=
﹣
+
=
（4a3﹣27）（a3﹣27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣
）=b﹣
，
设x1，x2 是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=
，x1x2=
，
所以f（x1）+f（x2）=
+
+a（
+
）+b（x1+x2）+2
=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2
=
﹣
+2，
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又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣
，
所以b﹣
+
﹣
+2=
﹣
≥﹣
，
因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，
所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，
所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，
由于a＞3 时2a2+12a+9＞0，
所以a﹣6≤0，解得a≤6，
所以a 的取值范围是（3，6]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，
属于难题．
二.非选择题，附加题（21-24 选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0 分）
21．如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C，AP⊥PC，P 为垂足．
求证：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC2 =AP•AB．
【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可
证明．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．
【解答】证明：（1）∵直线PC 切半圆O 于点C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB 为半圆O 的直径，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，
∴
=
．
∴AC2=AP•AB．
【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．已知矩阵A=
，B=
．
（1）求AB；
（2）若曲线C1：
=1 在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2 的方程．
【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；
（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1 的方程化简即可．
【解答】解：（1）AB=
=
，
（2）设点P（x，y）为曲线C1 的任意一点，
点P 在矩阵AB 的变换下得到点P′（x0，y0），
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则
=
，即x0=2y，y0=x，
∴x=y0，y=
，
∴
，即x02+y02=8，
∴曲线C2 的方程为x2+y2=8．
【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），曲线C 的参数方程为
（s
为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．
【分析】求出直线l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d 关于参数s 的函数，从而得出最短距离．
【解答】解：直线l 的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，
∴P 到直线l 的距离d=
=
，
∴当s=
时，d 取得最小值
=
．
【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．
［选修4-5：不等式选讲］
24．已知a，b，c，d 为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．
【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性
即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．
【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，
令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．
∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1 时取等号．
因此ac+bd≤8．
另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当
时取等号．
∴﹣8≤ac+bd≤8．
【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【必做题】
25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=
，∠BAD=120°．
（1）求异面直线A1B 与AC1 所成角的余弦值；
（2）求二面角B﹣A1D﹣A 的正弦值．
【分析】在平面ABCD 内，过A 作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A 为坐标原点，分
别以Ax、AD、AA1 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1 的坐标，进一
步求出
，
，
，
的坐标．
（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B 与AC1 所成角的余弦值；
（2）求出平面BA1D 与平面A1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A 的余弦值，
进一步得到正弦值．
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【解答】解：在平面ABCD 内，过A 作Ax⊥AD，
∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，
∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，
以A 为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系．
∵AB=AD=2，AA1=
，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（
），C（
，1，0），
D（0，2，0），
A1（0，0，
），C1（
）．
=（
），
=（
），
，
．
（1）∵cos＜
＞=
=
．
∴异面直线A1B 与AC1 所成角的余弦值为
；
（2）设平面BA1D 的一个法向量为
，
由
，得
，取x=
，得
；
取平面A1AD 的一个法向量为
．
∴cos＜
＞=
=
．
∴二面角B﹣A1D﹣A 的余弦值为
，则二面角B﹣A1D﹣A 的正弦值为
．
【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．
26．已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的
逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉（k=1，
2，3，…，m+n）．
1
2
3
…
m+n
（1）试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p；
（2）随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X 的数学期望，证明E（X）＜
．
【分析】（1）法一：设事件Ai 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|
）P
（
），由此能求出编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率．
法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n 个位置，故总排法有
种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m
﹣1 个位置，由此能求出编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率．
（2）X 的所有可能取值为
，…，
，P（x=
）=
，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=
（
）
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=
，由此能证明E（X）＜
．
【解答】解：（1）解法一：设事件Ai 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|
）P（
）
=
=
=
．
解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n 个位置，
故总排法有
种，
除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1 个位置，
∴编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p=
=
．
证明：（2）∵X 的所有可能取值为
，…，
，
P（x=
）=
，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）=
（
）=
=
＜
=
=
•（
）
=
=
，
∴E（X）＜
．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求
解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
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2017 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题
1．（5 分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2 或x＞2}，则∁UA=（
）
A．（﹣2，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
2．（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）
D．（﹣1，+∞）
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（
）
A．2
B．
C．
D．
4．（5 分）若x，y 满足
，则x+2y 的最大值为（
）
A．1
B．3
C．5
D．9
5．（5 分）已知函数f（x）=3x﹣（
）x，则f（x）（
）
A．是偶函数，且在R 上是增函数
B．是奇函数，且在R 上是增函数
C．是偶函数，且在R 上是减函数
D．是奇函数，且在R 上是减函数
6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
）
A．60
B．30
C．20
D．10
7．（5 分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是“ • ＜0”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为
1080，则下列各数中与
最接近的是（
）
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（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073
D．1093
二、填空题
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=
，则
sinβ=
．
10．（5 分）若双曲线x2﹣
=1 的离心率为
，则实数m=
．
11．（5 分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2 的取值范围是
．
12．（5 分）已知点P 在圆x2+y2=1 上，点A 的坐标为（﹣2，0），O 为原点，则
•
的最大值为
．
13．
（5 分）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为
．
14．（5 分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为
．
②该小组人数的最小值为
．
三、解答题
15．（13 分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
16．（13 分）已知函数f（x）=
cos（2x﹣
）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣
，
]时，f（x）≥﹣
．
17．（13 分）某大学艺术专业400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽
取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分
布直方图：
（Ⅰ）从总体的400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70 的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和
女生人数的比例．
18．（14 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线
段PC 上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E﹣BCD 的体积．
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19．（14 分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x 轴上，离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M，N，过D 作AM 的垂线交BN 于点E．求
证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．
20．（13 分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
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2017 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5 分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣2 或x＞2}，则∁UA=（
）
A．（﹣2，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【分析】根据已知中集合A 和U，结合补集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2 或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R，
∴∁UA=[﹣2，2]，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）
D．（﹣1，+∞）
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i 在复平面内对应的点在第二象限，可得
，解得a 范围．
【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i 在复平面内对应的点在第二象限，
∴
，解得a＜﹣1．
则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（
）
A．2
B．
C．
D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=
，
当k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=
，
当k=3 时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：
，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
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4．（5 分）若x，y 满足
，则x+2y 的最大值为（
）
A．1
B．3
C．5
D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
【解答】解：x，y 满足
的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由
，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
5．（5 分）已知函数f（x）=3x﹣（
）x，则f（x）（
）
A．是偶函数，且在R 上是增函数
B．是奇函数，且在R 上是增函数
C．是偶函数，且在R 上是减函数
D．是奇函数，且在R 上是减函数
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x 为增函数，y=（
）x 为减函数，结合“增”
﹣“减”=“增”可得答案．
【解答】解：f（x）=3x﹣（
）x=3x﹣3
﹣x，
∴f（﹣x）=3
﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x 为增函数，y=（
）x 为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（
）x 为增函数，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础
题．
6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
）
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A．60
B．30
C．20
D．10
【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积=
=10．
故选：D．
【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5 分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是“ • ＜0”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．反之不成立，
非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．即可判断出结论．
【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．
反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．
∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
8．（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为
1080，则下列各数中与
最接近的是（
）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073
D．1093
【分析】根据对数的性质：T=
，可得：3=10lg3≈100.48，代入M 将M 也化为10 为底的指数形式，进而可得
结果．
【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
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∴
≈
=1093，
故选：D．
【点评】本题解题关键是将一个给定正数T 写成指数形式：T=
，考查指数形式与对数形式的互化，属于简
单题．
二、填空题
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=
，则sinβ=
．
【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，
∴α+β=π+2kπ，k∈Z，
∵sinα=
，
∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求
解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．
10．（5 分）若双曲线x2﹣
=1 的离心率为
，则实数m=
2
．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
【解答】解：双曲线x2﹣
=1（m＞0）的离心率为
，
可得：
，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
11．（5 分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2 的取值范围是
[
，1]
．
【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．
【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，
则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=
，开口向上，
所以函数的最小值为：f（
）=
=
．
最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．
则x2+y2 的取值范围是：[
，1]．
故答案为：[
，1]．
【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
12．（5 分）已知点P 在圆x2+y2=1 上，点A 的坐标为（﹣2，0），O 为原点，则
•
的最大值为
6
．
【分析】设P（cosα，sinα）．可得
=（2，0），
=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性
与值域即可得出．
【解答】解：设P（cosα，sinα）.
=（2，0），
=（cosα+2，sinα）．
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则
•
=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1 时取等号．
故答案为：6．
【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
13．（5 分）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为
﹣
1，﹣2，﹣3
．
【分析】设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即
可，本题答案不唯一
【解答】解：设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，
可设a，b，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．
14．（5 分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（i）男学生人数多于女学生人数；
（ii）女学生人数多于教师人数；
（iii）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为
6
．
②该小组人数的最小值为
12
．
【分析】①设男学生女学生分别为x，y 人，若教师人数为4，则
，进而可得答案；
②设男学生女学生分别为x，y 人，教师人数为z，则
，进而可得答案；
【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y 人，
若教师人数为4，
则
，即4＜y＜x＜8，
即x 的最大值为7，y 的最大值为6，
即女学生人数的最大值为6．
②设男学生女学生分别为x，y 人，教师人数为z，
则
，即z＜y＜x＜2z
即z 最小为3 才能满足条件，
此时x 最小为5，y 最小为4，
即该小组人数的最小值为12，
故答案为：6，12
【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．
三、解答题
15．（13 分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
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所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，
等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．
∴q2=3，
{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．
b1+b3+b5+…+b2n﹣1=
=
．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．
16．（13 分）已知函数f（x）=
cos（2x﹣
）﹣2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求证：当x∈[﹣
，
]时，f（x）≥﹣
．
【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+
），根据周期的定义即可求出，
（Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=
cos（2x﹣
）﹣2sinxcosx，
=
（
co2x+
sin2x）﹣sin2x，
=
cos2x+
sin2x，
=sin（2x+
），
∴T=
=π，
∴f（x）的最小正周期为π，
（Ⅱ）∵x∈[﹣
，
]，
∴2x+
∈[﹣
，
]，
∴﹣
≤sin（2x+
）≤1，
∴f（x）≥﹣
【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题
17．（13 分）某大学艺术专业400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽
取了100 名学生，记录他们的分数，将数据分成7 组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分
布直方图：
（Ⅰ）从总体的400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70 的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40 的学生有5 人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
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（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和
女生人数的比例．
【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70 的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；
（Ⅱ）先计算样本中分数小于40 的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，
50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70 的男女生人数相等．进而得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70 的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4
故从总体的400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70 的概率为0.4；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40 的学生有5 人，
故样本中分数小于40 的频率为：0.05，
则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，
估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20 人，
（Ⅲ）样本中分数不小于70 的频率为：0.6，
由于样本中分数不小于70 的男女生人数相等．
故分数不小于70 的男生的频率为：0.3，
由样本中有一半男生的分数不小于70，
故男生的频率为：0.6，
即女生的频率为：0.4，
即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．
18．（14 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D 为线段AC 的中点，E 为线
段PC 上一点．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）当PA∥平面BDE 时，求三棱锥E﹣BCD 的体积．
【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；
（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，
再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；
（3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE 的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD
的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD⊂平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）证明：由AB=BC，D 为线段AC 的中点，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面PAC∩平面ABC=AC，
BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD⊂平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，
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且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D 为AC 的中点，
可得E 为PC 的中点，且DE=
PA=1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S△BDC=
S△ABC=
×
×2×2=1，
则三棱锥E﹣BCD 的体积为
DE•S△BDC=
×1×1=
．
【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性
质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考
查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
19．（14 分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x 轴上，离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M，N，过D 作AM 的垂线交BN 于点E．求
证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．
【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的
方程；
（Ⅱ）由题意分别求得DE 和BN 的斜率及方程，联立即可求得E 点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得
=
，因此可得△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆方程：
（a＞b＞0），
则a=2，e=
=
，则c=
，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C 的方程
；
（Ⅱ）证明：设D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，
由M，N 在椭圆上，则
，则x02=4﹣4y02，
则直线AM 的斜率kAM=
=
，直线DE 的斜率kDE=﹣
，
直线DE 的方程：y=﹣
（x﹣x0），
直线BN 的斜率kBN=
，直线BN 的方程y=
（x﹣2），
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，解得：
，
过E 做EH⊥x 轴，△BHE∽△BDN，
则丨EH 丨=
，
则
=
，
∴：△BDE 与△BDN 的面积之比为4：5．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，
考查数形结合思想，属于中档题．
20．（13 分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，
]的单调性，即可得
到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x 的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=excosx﹣x 的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex•sinx，
当x∈[0，
]，可得g′（x）=﹣2ex•sinx≤0，
即有g（x）在[0，
]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0，
]递减，
即有函数f（x）在区间[0，
]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
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最小值为f（
）=e
cos
﹣
=﹣
．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次
求导是解题的关键，属于中档题．
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2016 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题
1．（5 分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（
）
A．{1}
B．{3，5}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n 满足m∥α，n⊥β，则（
）
A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n
3．（5 分）函数y=sinx2 的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）若平面区域
，夹在两条斜率为1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
（
）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知a，b＞0 且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（
）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0
B．（a﹣1）（a﹣b）＞0
C．（b﹣1）（b﹣a）＜0
D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
6．（5 分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（
）
A．若f（a）≤|b|，则a≤b
B．若f（a）≤2b，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b
D．若f（a）≥2b，则a≥b
8．（5 分）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，
Bn ≠Bn+1 ，n ∈N* ，（P ≠Q 表示点P 与Q 不重合）若dn=|AnBn| ，Sn 为△AnBnBn+1 的面积，则（
）
A．{Sn}是等差数列
B．{Sn2}是等差数列
C．{dn}是等差数列
D．{dn2}是等差数列
二、填空题
9．（6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
cm2，体积是
cm3．
10．（6 分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是
，半径是
．
11．（6 分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=
，b=
．
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12．（6 分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a=
，
b=
．
13．
（4 分）设双曲线x2﹣
=1 的左、右焦点分别为F1、F2，若点P 在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|
的取值范围是
．
14．（4 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=
，∠ADC=90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△
ACD′，直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值是
．
15．
（4 分）已知平面向量，，| |=1，| |=2，
=1，若为平面单位向量，则|
|+|
|的最大值是
．
三、解答题
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=
，求cosC 的值．
17．（15 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．
（Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n 项和．
18．（15 分）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．
19．（15 分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另一点B，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N，AN 与x 轴交于
点M，求M 的横坐标的取值范围．
20．（15 分）设函数f（x）=x3+
，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2
（Ⅱ）
＜f（x）≤
．
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2016 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5 分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁UP）∪Q=（
）
A．{1}
B．{3，5}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}
【分析】先求出∁UP，再得出（∁UP）∪Q．
【解答】解：∁UP={2，4，6}，
（∁UP）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n 满足m∥α，n⊥β，则（
）
A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n 满足m∥α，
∴m∥β或m⊂β或m 与β相交，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3．（5 分）函数y=sinx2 的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可．
【解答】解：∵sin（﹣x）2=sinx2，
∴函数y=sinx2 是偶函数，即函数的图象关于y 轴对称，排除A，C；
由y=sinx2=0，
则x2=kπ，k≥0，
则x=±
，k≥0，
故函数有无穷多个零点，排除B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础．
4．（5 分）若平面区域
，夹在两条斜率为1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是
（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离．
【解答】解：作出平面区域如图所示：
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∴当直线y=x+b 分别经过A，B 时，平行线间的距离相等．
联立方程组
，解得A（2，1），
联立方程组
，解得B（1，2）．
两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0．
∴平行线间的距离为d=
=
，
故选：B．
【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题．
5．（5 分）已知a，b＞0 且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（
）
A．（a﹣1）（b﹣1）＜0
B．（a﹣1）（a﹣b）＞0
C．（b﹣1）（b﹣a）＜0
D．（b﹣1）（b﹣a）＞0
【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1 或0＜a＜1 进行判断即可．
【解答】解：若a＞1，则由logab＞1 得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
若0＜a＜1，则由logab＞1 得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，
综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基
础．
6．（5 分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，
看能否推出另一结论即可判断．
【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣
，fmin（x）=﹣
．
（1）若b＜0，则﹣
＞﹣
，∴当f（x）=﹣
时，f（f（x））取得最小值f（﹣
）=﹣
，
即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．
∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．
（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），
∴f（t）在（﹣
，﹣
）上单调递减，在（﹣
，+∞）上单调递增，
若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，
则﹣
≤﹣
，解得b≤0 或b≥2．
∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．
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故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．
7．（5 分）已知函数f（x）满足：f（x）≥|x|且f（x）≥2x，x∈R．（
）
A．若f（a）≤|b|，则a≤b
B．若f（a）≤2b，则a≤b
C．若f（a）≥|b|，则a≥b
D．若f（a）≥2b，则a≥b
【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可．
【解答】解：A．若f（a）≤|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，
即|a|≤|b|，则a≤b 不一定成立，故A 错误，
B．若f（a）≤2b，
则由条件知f（x）≥2x，
即f（a）≥2a，则2a≤f（a）≤2b，
则a≤b，故B 正确，
C．若f（a）≥|b|，则由条件f（x）≥|x|得f（a）≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C 错误，
D．若f（a）≥2b，则由条件f（x）≥2x，得f（a）≥2a，则2a≥2b，不一定成立，即a≥b 不一定成立，故D 错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一
定的难度．
8．（5 分）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，
Bn ≠Bn+1 ，n ∈N* ，（P ≠Q 表示点P 与Q 不重合）若dn=|AnBn| ，Sn 为△AnBnBn+1 的面积，则（
）
A．{Sn}是等差数列
B．{Sn2}是等差数列
C．{dn}是等差数列
D．{dn2}是等差数列
【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c 不
确定，判断C，D 不正确，设△AnBnBn+1 的底边BnBn+1 上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=
d•hn，
可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．
【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，c 不确定，则{dn}不一定是等差数列，
{dn2}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1 的底边BnBn+1 上的高为hn，
由三角形的相似可得
=
=
，
=
=
，
两式相加可得，
=
=2，
即有hn+hn+2=2hn+1，
由Sn=
d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，
则数列{Sn}为等差数列．
另解：可设△A1B1B2，△A2B2B3，…，AnBnBn+1 为直角三角形，
且A1B1，A2B2，…，AnBn 为直角边，
即有hn+hn+2=2hn+1，
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由Sn=
d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，
则数列{Sn}为等差数列．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中
档题．
二、填空题
9．（6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
80
cm2，体积是
40
cm3．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面
积和体积即可．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，
表面积为2×4×4+2×42=64cm2，体积为2×42=32cm3；
上部为正方体，其棱长为2，
表面积是6×22=24 cm2，体积为23=8cm3；
所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2，
体积为32+8=40cm3．
故答案为：80；40．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题．
10．（6 分）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是
（﹣2，﹣4）
，半径是
5
．
【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1 或a=2，把a=﹣1 代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2 代
入原方程，由D2+E2﹣4F＜0 说明方程不表示圆，则答案可求．
【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圆，
∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1 或a=2．
当a=﹣1 时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0，
配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5；
当a=2 时，方程化为
，
此时
，方程不表示圆，
故答案为：（﹣2，﹣4），5．
【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．
11．（6 分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=
，b=
1
．
【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．
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【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+
（
cos2x+
sin2x）
=
sin（2x+
）+1，
∴A=
，b=1，
故答案为：
；1．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
12．（6 分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，x∈R，则实数a=
﹣2
，
b=
1
．
【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程
组，求出a、b 的值．
【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+1，
∴f（x）﹣f（a）=x3+3x2+1﹣（a3+3a2+1）
=x3+3x2﹣（a3+3a2）
∵（x﹣b）（x﹣a）2=（x﹣b）（x2﹣2ax+a2）=x3﹣（2a+b）x2+（a2+2ab）x﹣a2b，
且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2，
∴
，解得
或
（舍去），
故答案为：﹣2；1．
【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．
13．
（4 分）设双曲线x2﹣
=1 的左、右焦点分别为F1、F2，若点P 在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|
的取值范围是
．
【分析】由题意画出图形，以P 在双曲线右支为例，求出∠PF2F1 和∠F1PF2 为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2
为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．
【解答】解：如图，
由双曲线x2﹣
=1，得a2=1，b2=3，
∴
．
不妨以P 在双曲线右支为例，当PF2⊥x 轴时，
把x=2 代入x2﹣
=1，得y=±3，即|PF2|=3，
此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；
由PF1⊥PF2，得
，
又|PF1|﹣|PF2|=2，①
两边平方得：
，
∴|PF1||PF2|=6，②
联立①②解得：
，
此时|PF1|+|PF2|=
．
∴使△F1PF2 为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（
）．
故答案为：（
）．
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【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．
14．（4 分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=
，∠ADC=90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△
ACD′，直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值是
．
【分析】如图所示，取AC 的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=
．作D′E⊥AC，垂足为E，
D′E=
．CO=
，CE=
=
，EO=CO﹣CE=
．过点B 作BF∥AC，作FE∥BO 交BF 于点F，则EF⊥AC．连
接D′F．∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角．则四边形BOEF 为矩形，BF=EO=
．EF=BO=
．则∠FED′为二面角D′
﹣CA﹣B 的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2 的最小值即可得出．
【解答】解：如图所示，取AC 的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，
在Rt△ACD′中，
=
．
作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=
=
．
CO=
，CE=
=
=
，
∴EO=CO﹣CE=
．
过点B 作BF∥AC，作FE∥BO 交BF 于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角．
则四边形BOEF 为矩形，∴BF=EO=
．
EF=BO=
=
．
则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B 的平面角，设为θ．
则D′F2=
+
﹣2×
cosθ=
﹣5cosθ≥
，cosθ=1 时取等号．
∴D′B 的最小值=
=2．
∴直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值=
=
=
．
也可以考虑利用向量法求解．
故答案为：
．
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【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
15．（4 分）已知平面向量
，，| |=1，| |=2，
=1，若
为平面单位向量，则|
|+|
|的最大值是
．
【分析】由题意可知，|
|+|
|为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与
共线时，|
|+|
|取得最大值，即
．
【解答】解：|
|+|
|=
，
其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，
当与
共线时，取得最大值．
∴
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，
是中档题．
三、解答题
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=
，求cosC 的值．
【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明．
（II）cosB=
，可得sinB=
．cosA=cos2B=2cos2B﹣1，sinA=
．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣
cosAcosB+sinAsinB 即可得出．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．
∴A=2B．
（II）解：cosB=
，∴sinB=
=
．
cosA=cos2B=2cos2B﹣1=
，sinA=
=
．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=
+
×
=
．
【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
17．（15 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．
（Ⅰ）求通项公式an；
（Ⅱ）求数列{|an﹣n﹣2|}的前n 项和．
【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{an}是公比q=3 的等比数列，
即可求通项公式an；
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（Ⅱ）讨论n 的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n 项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*．
∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，
解得a1=1，a2=3，
当n≥2 时，an+1=2Sn+1，an=2Sn﹣1+1，
两式相减得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an，
即an+1=3an，当n=1 时，a1=1，a2=3，
满足an+1=3an，
∴
=3，则数列{an}是公比q=3 的等比数列，
则通项公式an=3n﹣1．
（Ⅱ）an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，
设bn=|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，
则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，
当n≥3 时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，
则bn=|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，
此时数列{|an﹣n﹣2|}的前n 项和Tn=3+
﹣
=
，
则Tn=
=
．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是
等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和．
18．（15 分）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE
⊥平面ABC 及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F 分别为边BK，
CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）由BF⊥平面ACFD 便可得出∠BDF 为直线BD 和平面ACFD 所成的角，根据条件可以求出BF=
，DF=
，从
而在Rt△BDF 中可以求出BD 的值，从而得出cos∠BDF 的值，即得出直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF 相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；
∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK；
∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2；
∴△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点；
∴BF⊥CK，且AC∩CK=C；
∴BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD；
∴∠BDF 是直线BD 和平面ACFD 所成的角；
∵F 为CK 中点，且DF∥AC；
∴DF 为△ACK 的中位线，且AC=3；
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∴
；
又
；
∴在Rt△BFD 中，
，cos
；
即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为
【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，
线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
19．（15 分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|﹣1，
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）若直线AF 交抛物线于另一点B，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N，AN 与x 轴交于
点M，求M 的横坐标的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p 值；
（Ⅱ）设出直线AF 的方程，与抛物线联立，求出B 的坐标，求出直线AB，FN 的斜率，从而求出直线BN 的方程，
根据A、M、N 三点共线，可求出M 的横坐标的表达式，从而求出m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线x=﹣1 的距离，
由抛物线定义得，
，即p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF 不垂直y 轴，
∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），
联立
，得y2﹣4sy﹣4=0．
y1y2=﹣4，
∴B（
），
又直线AB 的斜率为
，故直线FN 的斜率为
，
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从而得FN：
，直线BN：y=﹣
，
则N（
），
设M（m，0），由A、M、N 三点共线，得
，
于是m=
=
，得m＜0 或m＞2．
经检验，m＜0 或m＞2 满足题意．
∴点M 的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．
20．（15 分）设函数f（x）=x3+
，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x2
（Ⅱ）
＜f（x）≤
．
【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x2﹣x3=
，利用放缩法得
≤
，即可证明结论成立；
（Ⅱ）利用0≤x≤1 时x3≤x，证明f（x）≤
，再利用配方法证明f（x）≥
，结合函数的最小值得出f（x）＞
，
即证结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x3+
，x∈[0，1]，
且1﹣x+x2﹣x3=
=
，
所以
≤
，
所以1﹣x+x2﹣x3≤
，
即f（x）≥1﹣x+x2；
（Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x3≤x，
所以f（x）=x3+
≤x+
=x+
﹣
+
=
+
≤
；
由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x2=
+
≥
，
且f（
）=
+
=
＞
，
所以f（x）＞
；
综上，
＜f（x）≤
．
【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题
的能力，是综合性题目．
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2016 年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（
）
A．{1，3}
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}
2．（5 分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
，甲获胜的概率是
，则甲不输的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几
何体的侧（左）视图为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的焦距为2
，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0 垂直，则
双曲线的方程为（
）
A．
﹣y2=1
B．x2﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
5．（5 分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（
）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f（2
|a﹣1|）＞f（﹣
），则a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，
）
B．（﹣∞，
）∪（
，+∞）C．（
，
）D．（
，+∞）
7．（5 分）已知△ABC 是边长为1 的等边三角形，点D、E 分别是边AB、BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得
DE=2EF，则
•
的值为（
）
A．﹣
B．
C．
D．
8．（5 分）已知函数f（x）=sin2
+
sinωx﹣
（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的
取值范围是（
）
A．（0，
]
B．（0，
]∪[
，1）C．（0，
]
D．（0，
]∪[
，
]
二、填空题本大题6 小题，每题5 分，共30 分
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9．（5 分）i 是虚数单位，复数z 满足（1+i）z=2，则z 的实部为
．
10．（5 分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为
．
11．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为
．
12．（5 分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点（0，
）圆C 上，且圆心到直线2x﹣y=0 的距离为
，则圆
C 的方程为
．
13．（5 分）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE 的长为
．
14．（5 分）已知函数f（x）=
（a＞0，且a≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f（x）
|=2﹣
恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题，80 分
15．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=
bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA=
，求sinC 的值．
16．（13 分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C 三种主要原料，生产1 车皮甲种肥料和生产1 车皮
乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
肥料
原料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A 种原料200 吨，B 种原料360 吨，C 种原料300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1 车皮甲种
肥料，产生的利润为2 万元；生产1 车皮乙种肥料，产生的利润为3 万元、分别用x，y 表示计划生产甲、乙两种
肥料的车皮数．
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（Ⅰ）用x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
17．（13 分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=
，
∠BAD=60°，G 为BC 的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．
18．（13 分）已知{an}是等比数列，前n 项和为Sn（n∈N*），且
﹣
=
，S6=63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*，bn 是log2an 和log2an+1 的等差中项，求数列{（﹣1）nb
}的前2n 项和．
19．（14 分）设椭圆
+
=1（a＞
）的右焦点为F，右顶点为A，已知
+
=
，其中O 为原点，
e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于B（B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M，与y 轴交于点H，若BF⊥
HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l 的斜率．
20．（14 分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于
．
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参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（
）
A．{1，3}
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}
【分析】根据题意，将集合B 用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x﹣1，x∈A}，
则B={1，3，5}，
则A∩B={1，3}，
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，注意集合B 的表示方法．
2．（5 分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
，甲获胜的概率是
，则甲不输的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．
∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=
+
=
．
故选：A．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基
础题．
3．（5 分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几
何体的侧（左）视图为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．
【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，
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棱CD1 在左侧面的投影为BA1，
故选：B．
【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．
4．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的焦距为2
，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0 垂直，则
双曲线的方程为（
）
A．
﹣y2=1
B．x2﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【分析】利用双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的焦距为2
，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0 垂直，求出
几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的焦距为2
，
∴c=
，
∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0 垂直，
∴
=
，
∴a=2b，
∵c2=a2+b2，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为
=1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．
5．（5 分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（
）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】直接根据必要性和充分判断即可．
【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1 时，满足x＞y 但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x
＞|y|”，
而“x＞|y|”⇒“x＞y”，
故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f（2
|a﹣1|）＞f（﹣
），则a 的取值范围是（
）
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A．（﹣∞，
）
B．（﹣∞，
）∪（
，+∞）C．（
，
）D．（
，+∞）
【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2
|a﹣1|＜
即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵2
|a﹣1|＞0，f（﹣
）=f（
），
∴2
|a﹣1|＜
=2
．
∴|a﹣1|
，
解得
．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．
7．（5 分）已知△ABC 是边长为1 的等边三角形，点D、E 分别是边AB、BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得
DE=2EF，则
•
的值为（
）
A．﹣
B．
C．
D．
【分析】由题意画出图形，把
、
都用
表示，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵D、E 分别是边AB、BC 的中点，且DE=2EF，
∴
•
=
=
=
=
=
=
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
8．（5 分）已知函数f（x）=sin2
+
sinωx﹣
（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的
取值范围是（
）
A．（0，
]
B．（0，
]∪[
，1）C．（0，
]
D．（0，
]∪[
，
]
【分析】函数f（x）=
，由f（x）=0，可得
=0，解得x=
∉（π，2π），因
此ω∉
∪
∪
∪…=
∪
，即可得出．
【解答】解：函数f（x）=
+
sinωx﹣
=
+
sinωx
=
，
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由f（x）=0，可得
=0，
解得x=
∉（π，2π），
∴ω∉
∪
∪
∪…=
∪
，
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω∈
∪
．
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题本大题6 小题，每题5 分，共30 分
9．（5 分）i 是虚数单位，复数z 满足（1+i）z=2，则z 的实部为
1
．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z=2，
得
，
∴z 的实部为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10．（5 分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为
3
．
【分析】先求导，再带值计算．
【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex，
∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，
∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
11．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为
4
．
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【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S 的值．
【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；
第二次循环：S=2，n=3；
第三次循环：S=4，n=4，
结束循环，输出S=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题．
12．（5 分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点（0，
）圆C 上，且圆心到直线2x﹣y=0 的距离为
，则圆
C 的方程为
（x﹣2）2+y2=9
．
【分析】由题意设出圆的方程，把点M 的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．
【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），
由点M（0，
）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0 的距离为
，
得
，解得a=2，r=3．
∴圆C 的方程为：（x﹣2）2+y2=9．
故答案为：（x﹣2）2+y2=9．
【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
13．（5 分）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE 的长为
．
【分析】由BD=ED，可得△BDE 为等腰三角形，过D 作DH⊥AB 于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE 中求出
DE，再由相交弦定理求得CE．
【解答】解：如图，
过D 作DH⊥AB 于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH2=AH•BH=2，则DH=
，
在Rt△DHE 中，则
，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴
．
故答案为：
．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．
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14．（5 分）已知函数f（x）=
（a＞0，且a≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f（x）
|=2﹣
恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是
[
，
）
．
【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f
（x）|和y=2﹣
的图象，根据交点个数判断3a 与2 的大小关系，列出不等式组解出．
【解答】解：∵f（x）是R 上的单调递减函数，
∴y=x2+（4a﹣3）x+3a 在（﹣∞．，0）上单调递减，y=loga（x+1）+1 在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴
，解得
≤a≤
．
作出y=|f（x）|和y=2﹣
的函数草图如图所示：
由图象可知|f（x）|=2﹣
在[0，+∞）上有且只有一解，
∵|f（x）|=2﹣
恰有两个不相等的实数解，
∴x2+（4a﹣3）x+3a=2﹣
在（﹣∞，0）上只有1 解，
即x2+（4a﹣
）x+3a﹣2=0 在（﹣∞，0）上只有1 解，
∴
或
，
解得a=
或a＜
，
又
≤a≤
，∴
．
故答案为[
，
）．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于
中档题．
三、解答题：本大题共6 小题，80 分
15．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=
bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA=
，求sinC 的值．
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【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；
（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．
【解答】解：（1）∵asin2B=
bsinA，
∴2sinAsinBcosB=
sinBsinA，
∴cosB=
，∴B=
．
（2）∵cosA=
，∴sinA=
，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
=
．
【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．
16．（13 分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C 三种主要原料，生产1 车皮甲种肥料和生产1 车皮
乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
肥料
原料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A 种原料200 吨，B 种原料360 吨，C 种原料300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1 车皮甲种
肥料，产生的利润为2 万元；生产1 车皮乙种肥料，产生的利润为3 万元、分别用x，y 表示计划生产甲、乙两种
肥料的车皮数．
（Ⅰ）用x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
【分析】（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．
（Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y 满足不等式
，则不等式对应的平面区域为，
（Ⅱ）设年利润为z 万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=﹣
x+
，
平移直线y=﹣
x+
，由图象得当直线经过点M 时，直线的截距最大，此时z 最大，
由
得
，即M（20，24），
此时z=40+72=112，
即分别生产甲肥料20 车皮，乙肥料24 车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112 万元．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．
17．（13 分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=
，
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∠BAD=60°，G 为BC 的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值．
【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据余弦定理求出BD=
，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
（3）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形
即可求出答案．
【解答】证明：（1）BD 的中点为O，连接OE，OG，在△BCD 中，
∵G 是BC 的中点，
∴OG∥DC，且OG=
DC=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，
∴EF∥OG，且EF=OG，
即四边形OGEF 是平行四边形，
∴FG∥OE，
∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，
∴FG∥平面BED；
（2）证明：在△ABD 中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD=
，仅而∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
∵BD⊂平面BED，
∴平面BED⊥平面AED．
（Ⅲ）∵EF∥AB，
∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，
过点A 作AH⊥DE 于点H，连接BH，
又平面BED∩平面AED=ED，
由（2）知AH⊥平面BED，
∴直线AB 与平面BED 所成的角为∠ABH，
在△ADE，AD=1，DE=3，AE=
，由余弦定理得cos∠ADE=
，
∴sin∠ADE=
，
∴AH=AD•
，
在Rt△AHB 中，sin∠ABH=
=
，
∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值
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【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，
运算能力和推理论证能力，属于中档题．
18．（13 分）已知{an}是等比数列，前n 项和为Sn（n∈N*），且
﹣
=
，S6=63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N*，bn 是log2an 和log2an+1 的等差中项，求数列{（﹣1）nb
}的前2n 项和．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；
（2）利用对数的运算性质求出bn，使用分项求和法和平方差公式计算．
【解答】解：（1）设{an}的公比为q，则
﹣
=
，即1﹣
=
，
解得q=2 或q=﹣1．
若q=﹣1，则S6=0，与S6=63 矛盾，不符合题意．∴q=2，
∴S6=
=63，∴a1=1．
∴an=2n﹣1．
（2）∵bn 是log2an 和log2an+1 的等差中项，
∴bn=
（log2an+log2an+1）=
（log22n﹣1+log22n）=n﹣
．
∴bn+1﹣bn=1．
∴{bn}是以
为首项，以1 为公差的等差数列．
设{（﹣1）nbn2}的前2n 项和为Tn，则
Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）
=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n
=
=
=2n2．
【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．
19．（14 分）设椭圆
+
=1（a＞
）的右焦点为F，右顶点为A，已知
+
=
，其中O 为原点，
e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于B（B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M，与y 轴交于点H，若BF⊥
HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l 的斜率．
【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入
+
=
，转化为关于a 的方程，解方程求
得a 值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l 的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利
用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF ⊥HF ，得
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，整理得到M 的坐标与k 的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为
关于k 的等式求得k 的值．
【解答】解：（1）由
+
=
，
得
+
=
，
即
=
，
∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．
∴椭圆方程为
；
（2）由已知设直线l 的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），
设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），
∵∠MOA=∠MAO，
∴x0=1，
再设H（0，yH），
联立
，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．
△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．
由根与系数的关系得
，
∴
，
，
MH 所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣
（x﹣x0），
令x=0，得yH=（k+
）x0﹣2k，
∵BF⊥HF，
∴
，
即1﹣x1+y1yH=1﹣
[（k+
）x0﹣2k]=0，
整理得：
=1，即8k2=3．
∴k=﹣
或k=
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的
解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（14 分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于
．
【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0 时f′（x）≥0，f（x）在R 上递增；当a＞0 时，由导数大于0，可得
增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由条件判断出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0 求出x0，分别代入解析式化简f（x0），f（﹣2x0），化简整理后可
得证；
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（3）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a 分三种情况讨论，运用f（x）单调性
和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a 的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明
结论成立．
【解答】解：（1）若f（x）=x3﹣ax﹣b，则f′（x）=3x2﹣a，
分两种情况讨论：
①、当a≤0 时，有f′（x）=3x2﹣a≥0 恒成立，
此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
②、当a＞0 时，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=
或x=
，
当x＞
或x＜﹣
时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，
当﹣
＜x＜
时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，
故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣
），（
，+∞），减区间为（﹣
，
）；
（2）若f（x）存在极值点x0，则必有a＞0，且x0≠0，
由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则x02=
，
进而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣
x0﹣b，
又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣
x0+2ax0﹣b=f（x0），
由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x1，满足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，
则有x1=﹣2x0，故有x1+2x0=0；
（Ⅲ）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y 两个数的最大值，
下面分三种情况讨论：
①当a≥3 时，﹣
≤﹣1＜1≤
，
由（I）知f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，
所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]，
因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}
=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}=
，
所以M=a﹣1+|b|≥2
②当
a＜3 时，
，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥
=f（
），f（1）≤
=
，
所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（
），f（﹣
）]，
因此M=max{|f（
）|，|f（﹣
）|}=max{|
|，|
|}
=max{|
|，|
|}=
，
③当0＜a＜
时，
，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜
=f（
），f（1）＞
=
，
所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]，
因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}
=max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞
，
综上所述，当a＞0 时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于
．
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【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考
查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．
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2016 年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）设i 为虚数单位，则复数（1+i）2=（
）
A．0
B．2
C．2i
D．2+2i
2．（5 分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z 为整数集，则集合A∩Z 中元素的个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
3．（5 分）抛物线y2=4x 的焦点坐标是（
）
A．（0，2）
B．（0，1）
C．（2，0）
D．（1，0）
4．（5 分）为了得到函数y=sin（x+
）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（
）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向上平行移动
个单位长度
D．向下平行移动
个单位长度
5．（5 分）设p：实数x，y 满足x＞1 且y＞1，q：实数x，y 满足x+y＞2，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）已知a 为函数f（x）=x3﹣12x 的极小值点，则a=（
）
A．﹣4
B．﹣2
C．4
D．2
7．（5 分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015 年全年投入研发资金130 万元，在此
基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是（
）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018 年
B．2019 年
C．2020 年
D．2021 年
8．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项
式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实
例，若输入n，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（
）
A．35
B．20
C．18
D．9
9．（5 分）已知正三角形ABC 的边长为2
，平面ABC 内的动点P，M 满足|
|=1，
=
，则|
|2 的最大值
是（
）
A．
B．
C．
D．
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10．（5 分）设直线l1，l2 分别是函数f（x）=
图象上点P1，P2 处的切线，l1 与l2 垂直相交于点P，
且l1，l2 分别与y 轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）sin750°=
．
12．（5 分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
．
13．（5 分）从2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab 为整数的概率是
．
14．（5 分）若函数f（x）是定义R 上的周期为2 的奇函数，当0＜x＜1 时，f（x）=4x，则f（﹣
）+f（2）=
．
15．（5 分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P′（
，
），当P
是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
d①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
e②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
f③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是
．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（12 分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽
样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9
组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a 的值；
（Ⅱ）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
17．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=
AD．
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（I）在平面PAD 内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
18．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
+
=
．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=
bc，求tanB．
19．（12 分）已知数列{an}的首项为1，Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N
+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3 成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣
=1 的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．
20．（13 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（
，
）在椭圆E 上．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为
的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为M，直线OM 与椭圆E
交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
21．（14 分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=
﹣
，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1 时，g（x）＞0；
（3）确定a 的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
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2016 年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）设i 为虚数单位，则复数（1+i）2=（
）
A．0
B．2
C．2i
D．2+2i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5 分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z 为整数集，则集合A∩Z 中元素的个数是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】利用交集的运算性质即可得出．
【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z 为整数集，
则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．
∴集合A∩Z 中元素的个数是5．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）抛物线y2=4x 的焦点坐标是（
）
A．（0，2）
B．（0，1）
C．（2，0）
D．（1，0）
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．
【解答】解：抛物线y2=4x 的焦点坐标是（1，0），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．
4．（5 分）为了得到函数y=sin（x+
）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（
）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向上平行移动
个单位长度
D．向下平行移动
个单位长度
【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．
【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，
平移后函数解析式为：y=sin（x+
），
可得平移量为向左平行移动
个单位长度，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．
5．（5 分）设p：实数x，y 满足x＞1 且y＞1，q：实数x，y 满足x+y＞2，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由x＞1 且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=
．
【解答】解：由x＞1 且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=
．
∴p 是q 的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（5 分）已知a 为函数f（x）=x3﹣12x 的极小值点，则a=（
）
A．﹣4
B．﹣2
C．4
D．2
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【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a 的值．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；
∴x＜﹣2 时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2 时，f′（x）＜0，x＞2 时，f′（x）＞0；
∴x=2 是f（x）的极小值点；
又a 为f（x）的极小值点；
∴a=2．
故选：D．
【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．
7．（5 分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015 年全年投入研发资金130 万元，在此
基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是（
）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018 年
B．2019 年
C．2020 年
D．2021 年
【分析】设第n 年开始超过200 万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．
【解答】解：设第n 年开始超过200 万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞
=3.8．
取n=2019．
因此开始超过200 万元的年份是2019 年．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项
式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实
例，若输入n，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（
）
A．35
B．20
C．18
D．9
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=3，
故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，
满足进行循环的条件，v=9，i=0，
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满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1
不满足进行循环的条件，
故输出的v 值为：
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5 分）已知正三角形ABC 的边长为2
，平面ABC 内的动点P，M 满足|
|=1，
=
，则|
|2 的最大值
是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C
．A
．点P 的轨迹方程为：
=1，
令x=
+cosθ ，y=3+sinθ ，θ ∈[0 ，2π ）．又
=
，可得M
，代入
|
|2=
+3sin
，即可得出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
B（0，0），C
．
A
．
∵M 满足|
|=1，
∴点P 的轨迹方程为：
=1，
令x=
+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．
又
=
，则M
，
∴|
|2=
+
=
+3sin
≤
．
∴|
|2 的最大值是
．
也可以以点A 为坐标原点建立坐标系．
解法二：取AC 中点N，MN=
，从而M 轨迹为以N 为圆心，为半径的圆，B，N，M 三点共线时，BM 为最大值．所
以BM 最大值为3+
=
．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5 分）设直线l1，l2 分别是函数f（x）=
图象上点P1，P2 处的切线，l1 与l2 垂直相交于点P，
且l1，l2 分别与y 轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）
【分析】设出点P1，P2 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1 与l2 的斜率，由两直线垂直求得P1，P2 的
横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B 两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得
P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围．
【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），
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当0＜x＜1 时，f′（x）=
，当x＞1 时，f′（x）=
，
∴l1 的斜率
，l2 的斜率
，
∵l1 与l2 垂直，且x2＞x1＞0，
∴
，即x1x2=1．
直线l1：
，l2：
．
取x=0 分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
联立两直线方程可得交点P 的横坐标为x=
，
∴
|AB|•|xP|=
=
．
∵函数y=x+
在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，
∴
，则
，
∴
．
∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转
化思想方法，属中档题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）sin750°=
．
【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．
【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
12．（5 分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
．
【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．
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【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S=
=
，棱锥的高为h=1，
∴棱锥的体积V=
Sh=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．
13．（5 分）从2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab 为整数的概率是
．
【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出logab 为整数满足的基本事件个数，由此能求出logab
为整数的概率．
【解答】解：从2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为a，b，
基本事件总数n=
=12，
logab 为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2 个，
∴logab 为整数的概率p=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
14．（5 分）若函数f（x）是定义R 上的周期为2 的奇函数，当0＜x＜1 时，f（x）=4x，则f（﹣
）+f（2）=
﹣
2
．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义R 上的周期为2 的奇函数，当0＜x＜1 时，f（x）=4x，
∴f（2）=f（0）=0，
f（﹣
）=f（﹣
+2）=f（﹣
）=﹣f（
）=﹣
=﹣
=﹣2，
则f（﹣
）+f（2）=﹣2+0=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．
15．（5 分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P′（
，
），当P
是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
d①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
e②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
f③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是
②③
．
【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．
【解答】解：①设A（0，1），则A 的“伴随点”为A′（1，0），
而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，
②若点在单位圆上，则x2+y2=1，
即P（x，y）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P（y，﹣x），
满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，
③若两点关于x 轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），
则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣
，
），
则Q′（﹣
，
）与P′（
，
）关于y 轴对称，故③正确，
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④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1 上，
∴（﹣1，1）的“伴随点”为（
，
），即（
，
），
（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1 的“伴随点”为（
，﹣
），即（
，﹣
），
则（
，
），（1，0），（
，﹣
）三点不在同一直线上，故④错误，
故答案为：②③
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（12 分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽
样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9
组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a 的值；
（Ⅱ）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．
【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9 个矩形的面积即频率，再根据直方图的总
频率为1 求出a 的值；
（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3 吨的频率，结合样本容量为30 万，进而得解．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．
【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，
整理可得：2=1.4+2a，
∴解得：a=0.3．
（II）估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数为3.6 万，理由如下：
由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3 吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，
又样本容量为30 万，
则样本中月均用水量不低于3 吨的户数为30×0.12=3.6 万．
（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，
0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，
∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，
令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，
解得x=0.04；
∴中位数是2+0.04=2.04．
【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×
，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．
17．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=
AD．
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（I）在平面PAD 内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．
【分析】（I）M 为PD 的中点，直线CM∥平面PAB．取AD 的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面
CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；
（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．
【解答】证明：（I）M 为PD 的中点，直线CM∥平面PAB．
取AD 的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，
∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴ME∥平面PAB．
∵AD∥BC，BC=AE，
∴ABCE 是平行四边形，
∴CE∥AB．
∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB，
∵CM⊂平面CME，
∴CM∥平面PAB
若M 为AD 的中点，连接CM，
由四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=
AD．
可得四边形ABCM 为平行四边形，即有CM∥AB，
CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB 与CD 相交，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=
AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BD⊥平面PAB，
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论
证能力，属于中档题．
18．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
+
=
．
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（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=
bc，求tanB．
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A 的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B 的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC 中，∵
+
=
，
∴由正弦定理得：
，
∴
=
，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=
bc，由余弦定理可得cosA=
．
sinA=
，
=
+
=
=1，
=
，
tanB=4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应
用，考查了转化思想，属于中档题．
19．（12 分）已知数列{an}的首项为1，Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N
+
（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3 成等差数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣
=1 的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．
【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a2 与a3 的值，又由a2，a3，a2+a3 成等差数列，可得2a3=a2+（a2+a3），
代入a2 与a3 的值可得q2=2q，解可得q 的值，进而可得Sn+1=2Sn+1，进而可得Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得an=2an﹣
1，即可得数列{an}是以1 为首项，公比为2 的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意Sn+1=qSn+1，同理有Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得an=qan﹣1，分析可得an=qn﹣1；又由双曲线x2﹣
=1
的离心率为en，且e2=2，分析可得e2=
=2，
解可得a2 的值，由an=qn﹣1 可得q 的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得en2=1+an2=1+3n
﹣1，运用分组求和法计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1，
又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，
又有S3=qS2+1，则有a3=q2，
若a2，a3，a2+a3 成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），
则可得q2=2q，（q＞0），
解可得q=2，
则有Sn+1=2Sn+1，①
进而有Sn=2Sn﹣1+1，②
①﹣②可得an=2an﹣1，
则数列{an}是以1 为首项，公比为2 的等比数列，
则an=1×2n﹣1=2n﹣1；
（Ⅱ）根据题意，有Sn+1=qSn+1，③
同理可得Sn=qSn﹣1+1，④
③﹣④可得：an=qan﹣1，
又由q＞0，
则数列{an}是以1 为首项，公比为q 的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1；
若e2=2，则e2=
=2，
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解可得a2=
，
则a2=q=
，即q=
，
an=1×qn﹣1=qn﹣1=（
）n﹣1，
则en2=1+an2=1+3n﹣1，
故e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+
．
【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0 这一条件．
20．（13 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（
，
）在椭圆E 上．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设不过原点O 且斜率为
的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为M，直线OM 与椭圆E
交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳
【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b 得答案；
（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB 中点坐标，得到OM 所在直线方程，再与椭圆方程联立，
求出C，D 的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为（
|AB|）2，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案．
【解答】（Ⅰ）解：如图，
由题意可得
，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆E 的方程为
；
（Ⅱ）证明：设AB 所在直线方程为y=
，
联立
，得x2+2mx+2m2﹣2=0．
∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
则
，
|AB|=
=
．
∴x0=﹣m，
，即M（
），
则OM 所在直线方程为y=﹣
，
联立
，得
或
．
∴C（﹣
，
），D（
，﹣
）．
则︳MC︳•︳MD︳=
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=
=
．
而︳MA︳•︳MB︳=
（10﹣5m2）=
．
∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转
化思想方法，训练了计算能力，是中档题．
21．（14 分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣ln x，g（x）=
﹣
，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1 时，g（x）＞0；
（3）确定a 的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．
【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即
﹣
＞0，即证
，也就是证
；
（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得
，设t（x）=
，由题意知，t（x）＞
0 在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a 的取值范围．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣
=
（x＞0），
当a≤0 时，f′（x）＜0 在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；
当a＞0 时，由f′（x）=0，得x=
=
，
∴当x∈（0，
）时，f′（x）＜0，当x∈（
，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，
）上为减函数，在（
，+∞）上为增函数；
综上，当a≤0 时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0 时，f（x）在（0，
）上为减函数，在（
，+
∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即
﹣
＞0，
即证
，也就是证
，
令h（x）=
，则h′（x）=
，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，
即当x＞1 时，h（x）＞e，∴当x＞1 时，g（x）＞0；
（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得
，
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设t（x）=
，
由题意知，t（x）＞0 在（1，+∞）内恒成立，
∵t（1）=0，
∴有t′（x）=2ax
=
≥0 在（1，+∞）内恒成立，
令φ（x）=
，
则φ′（x）=2a
=
，
当x≥2 时，φ′（x）＞0，
令h（x）=
，h′（x）=
，函数在[1，2）上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=﹣1．
e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，
综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，
∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，
由2a﹣1≥0，
∴a≥
．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，
求导数是关键．
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2016 年上海市高考数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共14 题，每小题4 分，共56 分）.
1．（4 分）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1 的解集为
．
2．（4 分）设z=
，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于
．
3．（4 分）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2 的距离
．
4．（4 分）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是
（米）．
5．（4 分）若函数f（x）=4sinx+acosx 的最大值为5，则常数a=
．
6．（4 分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，则f（x）的反函数f
﹣1（x）=
．
7．（4 分）若x，y 满足
，则x﹣2y 的最大值为
．
8．（4 分）方程3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为
．
9．（4 分）在（
﹣
）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于
．
10．（4 分）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于
．
11．（4 分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率
为
．
12．（4 分）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线y=
上一个动点，则
•
的取值
范围是
．
13．（4 分）设a＞0，b＞0．若关于x，y 的方程组
无解，则a+b 的取值范围是
．
14．（4 分）无穷数列{an}由k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前n 项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k 的最大值
为
．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题有且只有一个正确答案，选对得5 分，否则一脸得零分）.
15．（5 分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
16．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别为BC、BB1 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是
（
）
A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1
17．（5 分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin（3x﹣
）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，
b）的对数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
18．（5 分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g
（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）
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均是以T 为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（
）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
三、简答题：本大题共5 题，满分74 分
19．（12 分）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1 旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长
为
，其中B1 与C 在平面AA1O1O 的同侧．
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1 与OC 所成的角的大小．
20．（14 分）有一块正方形EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别
为两个区域S1 和S2，其中S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S1 和S2 的分界线C 上的
点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1 面积是S2 面积的两倍，由此得到S1 面积的经验值为
．设M 是C 上纵坐标为1 的
点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1 面积
的“经验值”．
21．（14 分）双曲线x2﹣
=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l 过F2 且与双曲线交于A、B 两点．
（1）若l 的倾斜角为
，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b=
，若l 的斜率存在，且|AB|=4，求l 的斜率．
22．（16 分）对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}
均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．
（1）若an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若an=2n 且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16 项的和；
（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．
23．（18 分）已知a∈R，函数f（x）=log2（
+a）．
（1）当a=1 时，解不等式f（x）＞1；
（2）若关于x 的方程f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素，求a 的值；
（3）设a＞0，若对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范
围．
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2016 年上海市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 题，每小题4 分，共56 分）.
1．（4 分）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1 的解集为
（2，4）
．
【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1 的解集．
【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，
∴﹣1＜x﹣3＜1，
解得2＜x＜4．
∴不等式|x﹣3|＜1 的解集为（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．
2．（4 分）设z=
，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于
﹣3
．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：z=
=
=﹣3i+2，则z 的虚部为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（4 分）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2 的距离
．
【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2 的距离：
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
4．（4 分）某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是
1.76
（米）．
【分析】将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：将5 位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80．
则位于中间的数为1.76，即中位数为1.76，
故答案为：1.76
【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键．
5．（4 分）若函数f（x）=4sinx+acosx 的最大值为5，则常数a=
±3
．
【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a 的值．
【解答】解：由于函数f（x）=4sinx+acosx=
sin（x+θ），其中，cosθ=
，sinθ=
，
故f（x）的最大值为
=5，∴a=±3，
故答案为：±3．
【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．
6．（4 分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，则f（x）的反函数f
﹣1（x）=
log2（x﹣1）（x＞1）
．
【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解
得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x 与y 互换即可得出f（x）的反函数f
﹣1（x）．
【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．
∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．
把x 与y 互换可得：f（x）的反函数f
﹣1（x）=log2（x﹣1）．
故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．
【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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7．（4 分）若x，y 满足
，则x﹣2y 的最大值为
﹣2
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：画出可行域（如图），设z=x﹣2y⇒y=
x﹣
z，
由图可知，
当直线l 经过点A（0，1）时，z 最大，且最大值为zmax=0﹣2×1=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问
题的基本方法．
8．（4 分）方程3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为
或
．
【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．
【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，
即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=
，x∈[0，2π]
解得x=
或
．
故答案为：
或
．
【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．
9．（4 分）在（
﹣
）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于
112
．
【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8．在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，
求得r 的值，即可求得展开式中的常数项．
【解答】解：∵在（
﹣
）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，
∴2n=256，解得n=8，
∴（
﹣
）8 中，Tr+1=
=
，
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∴当
=0，即r=2 时，常数项为T3=（﹣2）2
=112．
故答案为：112．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，
属于中档题．
10．（4 分）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于
．
【分析】可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正
弦定理可得该三角形的外接圆半径为
，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，
由余弦定理可得，cosC=
=
=﹣
，
可得sinC=
=
=
，
可得该三角形的外接圆半径为
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．
11．（4 分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率
为
．
【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．
【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为
，乙同学的选法种数为
，
则两同学的选法种数为
种．
两同学相同的选法种数为
．
由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题．
12．（4 分）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线y=
上一个动点，则
•
的取值
范围是
[﹣1，
]
．
【分析】设出
=（x，y），得到
•
=x+
，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到
•
=sinθ+cosθ=
sin
（θ+
），从而求出
•
的范围即可．
【解答】解：设
=（x，y），则
=（x，
），
由A（1，0），B（0，﹣1），得：
=（1，1），
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∴
•
=x+
，
令x=cosθ，θ∈[0，π]，
则
•
=sinθ+cosθ=
sin（θ+
），θ∈[0，π]，
故
•
的范围是[﹣，1，
]，
故答案为：[﹣1，
]．
【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题．
13．（4 分）设a＞0，b＞0．若关于x，y 的方程组
无解，则a+b 的取值范围是
（2，+∞）
．
【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b 的关系，再使用基本不等式得出答案．
【解答】解：∵关于x，y 的方程组
无解，
∴直线ax+y﹣1=0 与直线x+by﹣1=0 平行，
∴﹣a=﹣
，且
．
即a=
且b≠1．
∵a＞0，b＞0．∴a+b=b+
＞2．
故答案为：（2，+∞）．
【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．
14．（4 分）无穷数列{an}由k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前n 项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k 的最大值
为
4
．
【分析】对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4 的情况，归纳可得n＞4 后都为0 或1 或﹣1，则k 的最
大个数为4．
【解答】解：对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，可得
当n=1 时，a1=S1=2 或3；
若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；
若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；
或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；
若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；
或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；
或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；
或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；
或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；
…
即有n＞4 后一项都为0 或1 或﹣1，则k 的最大个数为4，
不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．
故答案为：4．
【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题有且只有一个正确答案，选对得5 分，否则一脸得零分）.
15．（5 分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由a2＞1 得a＞1 或a＜﹣1，
即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题
的关键，比较基础．
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16．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别为BC、BB1 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是
（
）
A．直线AA1 B．直线A1B1 C．直线A1D1 D．直线B1C1
【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C 的直线都和直线EF 异面，而由图形即可看出直线B1C1 和直线
相交，从而便可得出正确选项．
【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1 都和直线EF 为异面直线；
B1C1 和EF 在同一平面内，且这两直线不平行；
∴直线B1C1 和直线EF 相交，即选项D 正确．
故选：D．
【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．
17．（5 分）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin（3x﹣
）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，
b）的对数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．
【解答】解：∵对于任意实数x 都有sin（3x﹣
）=sin（ax+b），
则函数的周期相同，若a=3，
此时sin（3x﹣
）=sin（3x+b），
此时b=﹣
+2π=
，
若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣
）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x﹣b+π），
则﹣
=﹣b+π，则b=
，
综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，
），（﹣3，
），
共有2 组，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导
公式进行转化是解决本题的关键．
18．（5 分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g
（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）
均是以T 为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（
）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【分析】①举反例说明命题不成立；
②根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g
（x+T），
由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．
【解答】解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=﹣x，h（x）=3x；
f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x 都是定义域R 上的增函数，
但g（x）=﹣x 不是增函数，所以①是假命题；
对于②，根据周期函数的定义，f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），
f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），
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h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），
结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），
同理可得：f（x）=f（x+T），所以②是真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目．
三、简答题：本大题共5 题，满分74 分
19．（12 分）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1 旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长
为
，其中B1 与C 在平面AA1O1O 的同侧．
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O1B1 与OC 所成的角的大小．
【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可．
（2）设点B1 在下底面圆周的射影为B，连结BB1，即可求解所求角的大小．
【解答】解：（1）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1 旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为：π•12•1=π．
侧面积为：2π•1=2π．
（2）设点B1 在下底面圆周的射影为B，连结BB1，OB，则OB∥O1B，
∴∠AOB=
，异面直线O1B1 与OC 所成的角的大小就是∠COB，
大小为：
﹣
=
．
【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，
注意空间思维能力的培养．
20．（14 分）有一块正方形EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别
为两个区域S1 和S2，其中S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S1 和S2 的分界线C 上的
点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1 面积是S2 面积的两倍，由此得到S1 面积的经验值为
．设M 是C 上纵坐标为1 的
点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1 面积
的“经验值”．
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【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．
（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积，进行比较即可．
【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=
，得y=2
，（0≤x≤1），
（2）设M（x0，y0），则y0=1，
∴x0=
=
，
∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（
+1）=2×
=
，
设五边形EMOGH 的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=
﹣
×
×1+
=
，
S1﹣S3=
=
，S4﹣S1=
﹣
=
＜
，
∴五边形EMOGH 的面积更接近S1 的面积．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．
21．（14 分）双曲线x2﹣
=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l 过F2 且与双曲线交于A、B 两点．
（1）若l 的倾斜角为
，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b=
，若l 的斜率存在，且|AB|=4，求l 的斜率．
【分析】（1）由题意求出A 点纵坐标，由△F1AB 是等边三角形，可得tan∠AF1F2=tan
=
，从而求得b
值，则双曲线的渐近线方程可求；
（2）写出直线l 的方程y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k 值．
【解答】解：（1）若l 的倾斜角为
，△F1AB 是等边三角形，
把x=c=
代入双曲线的方程可得点A 的纵坐标为b2，
由tan∠AF1F2=tan
=
=
，求得b2=2，b=
，
故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±
x，
即双曲线的渐近线方程为y=±
x．
（2）设b=
，则双曲线为x2﹣
=1，F2（2，0），
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若l 的斜率存在，设l 的斜率为k，则l 的方程为y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，
联立
，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，
由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k2≠0，即k
．
△=36（1+k2）＞0．
x1+x2=
，x1•x2=
．
∵|AB|=
•|x1﹣x2|=
•
=
•
=4，
化简可得，5k4+42k2﹣27=0，解得k2=
，
求得k=
．
∴l 的斜率为
．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了“设
而不求”的解题思想方法，是中档题．
22．（16 分）对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}
均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．
（1）若an=2n﹣1，bn=4n﹣2，判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若an=2n 且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数量{bn}的前16 项的和；
（3）若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36，求{an}与{bn}的通项公式．
【分析】（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N*，即可判断；
（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，再由新定义可得b16=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求
和；
（3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得d=1 或2，讨论d=1，2 求得通项公式，结合新定义，
即可得到所求数列的通项公式．
【解答】解：（1）{an}与{bn}不是无穷互补数列．
理由：由an=2n﹣1，bn=4n﹣2，可得4∉A，4∉B，
即有4∉A∪B=N*，即有{an}与{bn}不是无穷互补数列；
（2）由an=2n，可得a4=16，a5=32，
由{an}与{bn}是无穷互补数列，可得b16=16+4=20，
即有数列{bn}的前16 项的和为
（1+2+3+…+20）﹣（2+4+8+16）=
×20﹣30=180；
（3）设{an}为公差为d（d 为正整数）的等差数列且a16=36，则a1+15d=36，
由a1=36﹣15d≥1，可得d=1 或2，
若d=1，则a1=21，an=n+20，bn=n（1≤n≤20），
与{an}与{bn}是无穷互补数列矛盾，舍去；
若d=2，则a1=6，an=2n+4，bn=
．
综上可得，an=2n+4，bn=
．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于
中档题．
23．（18 分）已知a∈R，函数f（x）=log2（
+a）．
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（1）当a=1 时，解不等式f（x）＞1；
（2）若关于x 的方程f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素，求a 的值；
（3）设a＞0，若对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范
围．
【分析】（1）当a=1 时，不等式f（x）＞1 化为：
＞1，因此
2，解出并且验证即可得出．
（2）方程f（x）+log2（x2）=0 即log2（
+a）+log2（x2）=0，（
+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，对a 分类讨论解出
即可得出．
（3）a＞0，对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意可得
﹣
≤1，因此
≤2，化为：a≥
=g（t），t∈[
，1]，利用导数研究函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）当a=1 时，不等式f（x）＞1 化为：
＞1，
∴
2，化为：
，解得0＜x＜1，
经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．
（2）方程f（x）+log2（x2）=0 即log2（
+a）+log2（x2）=0，∴（
+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，
若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x 的方程f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有一个元素1．
若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=
，解得x=2．经过验证满足：关于x 的方程f（x）+log2（x2）=0 的解集中恰有
一个元素1．
综上可得：a=0 或﹣
．
（3）a＞0，对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
∴
﹣
≤1，
∴
≤2，
化为：a≥
=g（t），t∈[
，1]，
g′（t）=
=
=
≤
＜0，
∴g（t）在t∈[
，1]上单调递减，∴t=
时，g（t）取得最大值，
=
．
∴
．
∴a 的取值范围是
．
【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了
分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
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2016 年山东省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.
1．（5 分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（
）
A．{2，6}
B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
2．（5 分）若复数z=
，其中i 为虚数单位，则=（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5 分）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自
习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根
据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（
）
A．56
B．60
C．120
D．140
4．（5 分）若变量x，y 满足
，则x2+y2 的最大值是（
）
A．4
B．9
C．10
D．12
5．（5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（
）
A．
+
π
B．
+
π
C．
+
π
D．1+
π
6．（5 分）已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0 所得线段的长度是2
，则圆M 与圆N：（x﹣1）2+（y
﹣1）2=1 的位置关系是（
）
A．内切B．相交C．外切D．相离
8．（5 分）△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞
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时，f（x+
）=f（x﹣
）．则f（6）=（
）
A．﹣2
B．1
C．0
D．2
10．（5 分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T
性质．下列函数中具有T 性质的是（
）
A．y=sinx
B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）执行如图的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为
．
12．（5 分）观察下列等式：
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2=
×1×2；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+sin（
）
﹣2=
×2×3；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+sin（
）
﹣2=
×3×4；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+sin（
）
﹣2=
×4×5；
…
照此规律，
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+（sin
）
﹣2=
．
13．（5 分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t + ），则实数t 的值为
．
14．（5 分）已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB，CD 的中点为E 的两
个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是
．
15．（5 分）已知函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x 的方程f（x）=b 有三
个不同的根，则m 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分
16．（12 分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转
动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
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③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
17．（12 分）设f（x）=2
sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移
个单位，
得到函数y=g（x）的图象，求g（
）的值．
18．（12 分）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H 分别是EC 和FB 的中点，求证：GH∥平面ABC．
19．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
20．（13 分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1 处取得极大值，求正实数a 的取值范围．
21．（14 分）已知椭圆
的长轴长为4，焦距为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x 轴与点N，交C 于点A，P（P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过
点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q，延长QM 交C 于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM 的斜率分别为k1，k2，证明
为定值；
（ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值．
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2016 年山东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.
1．（5 分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁U（A∪B）=（
）
A．{2，6}
B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
【分析】求出A 与B 的并集，然后求解补集即可．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，
则A∪B={1，3，4，5}．
∁U（A∪B）={2，6}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力．
2．（5 分）若复数z=
，其中i 为虚数单位，则=（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．
【解答】解：∵z=
=
=1+i，
∴=1﹣i，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键．比较基础．
3．（5 分）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自
习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根
据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（
）
A．56
B．60
C．120
D．140
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5 小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5
小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5 小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4．（5 分）若变量x，y 满足
，则x2+y2 的最大值是（
）
A．4
B．9
C．10
D．12
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2 的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2 的最
大值．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
∵A（0，﹣3），C（0，2），
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∴|OA|＞|OC|，
联立
，解得B（3，﹣1）．
∵
，
∴x2+y2 的最大值是10．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
5．（5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（
）
A．
+
π
B．
+
π
C．
+
π
D．1+
π
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
．
故R=
，故半球的体积为：
=
π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=
，
故组合体的体积为：
+
π，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
6．（5 分）已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．
【解答】解：直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，
反之不成立．
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∴“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5 分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0 所得线段的长度是2
，则圆M 与圆N：（x﹣1）2+（y
﹣1）2=1 的位置关系是（
）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），
则圆心为（0，a），半径R=a，
圆心到直线x+y=0 的距离d=
，
∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0 所得线段的长度是2
，
∴2
=2
=2
=2
，
即
=
，即a2=4，a=2，
则圆心为M（0，2），半径R=2，
圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 的圆心为N（1，1），半径r=1，
则MN=
=
，
∵R+r=3，R﹣r=1，
∴R﹣r＜MN＜R+r，
即两个圆相交．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题
的关键．
8．（5 分）△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进行求解即可．
【解答】解：∵b=c，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA），
∵a2=2b2（1﹣sinA），
∴1﹣cosA=1﹣sinA，
则sinA=cosA，即tanA=1，
即A=
，
故选：C．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．
9．（5 分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
）．则f（6）=（
）
A．﹣2
B．1
C．0
D．2
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0 时，f
（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
），
∴当x＞
时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x），
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∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0 时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（5 分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T
性质．下列函数中具有T 性质的是（
）
A．y=sinx
B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函
数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx 时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx 时，y′=
＞0 恒成立，不满足条件；
当y=ex 时，y′=ex＞0 恒成立，不满足条件；
当y=x3 时，y′=3x2＞0 恒成立，不满足条件；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）执行如图的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为
1
．
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：若输入n 的值为3，
则第一次循环，S=0+
﹣1=
﹣1，1≥3 不成立，
第二次循环，S=
﹣1+
=
﹣1，2≥3 不成立，
第三次循环，S=
﹣1+
﹣
=
﹣1=2﹣1=1，3≥3 成立，
程序终止，输出S=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键．
12．（5 分）观察下列等式：
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（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2=
×1×2；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+sin（
）
﹣2=
×2×3；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+sin（
）
﹣2=
×3×4；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+sin（
）
﹣2=
×4×5；
…
照此规律，
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+（sin
）
﹣2=
n（n+1）
．
【分析】由题意可以直接得到答案．
【解答】解：观察下列等式：
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2=
×1×2；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+sin（
）
﹣2=
×2×3；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+sin（
）
﹣2=
×3×4；
（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+sin（
）
﹣2=
×4×5；
…
照此规律（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+（sin
）
﹣2+…+（sin
）
﹣2=
×n（n+1），
故答案为：
n（n+1）
【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．
13．（5 分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t + ），则实数t 的值为
﹣5
．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．
【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），
∴t + =（t+6，﹣t﹣4），
∵⊥（t + ），
∴•（t + ）=t+6+t+4=0，
解得t=﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．
14．（5 分）已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB，CD 的中点为E 的两
个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是
2
．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±
，再由题意设出A，B，C，D 的坐标，由2|AB|=3|BC|，可
得a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b
=±
，
由题意可设A（﹣c，
），B（﹣c，﹣
），C（c，﹣
），D（c，
），
由2|AB|=3|BC|，可得
2•
=3•2c，即为2b2=3ac，
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由b2=c2﹣a2，e=
，可得2e2﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考
查运算能力，属于中档题．
15．（5 分）已知函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x 的方程f（x）=b 有三
个不同的根，则m 的取值范围是
（3，+∞）
．
【分析】作出函数f（x）=
的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．
【解答】解：当m＞0 时，函数f（x）=
的图象如下：
∵x＞m 时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y 要使得关于x 的方程f（x）=b 有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m 的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m 是难点，属于
中档题．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分
16．（12 分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转
动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
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①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，
1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16 个，
满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5 个，
∴小亮获得玩具的概率为
；
（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6 个，∴小亮获得水杯的概率为
；
小亮获得饮料的概率为1﹣
﹣
=
，
∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．
【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．
17．（12 分）设f（x）=2
sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移
个单位，
得到函数y=g（x）的图象，求g（
）的值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（
）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2
sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2
sin2x﹣1+sin2x=2
•
﹣1+sin2x
=sin2x﹣
cos2x+
﹣1=2sin（2x﹣
）+
﹣1，
令2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，求得kπ﹣
≤x≤kπ+
，
可得函数的增区间为[kπ﹣
，kπ+
]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣
）+
﹣1 的图
象；
再把得到的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+
﹣1 的图象，
∴g（
）=2sin
+
﹣1=
．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，
属于基础题．
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18．（12 分）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H 分别是EC 和FB 的中点，求证：GH∥平面ABC．
【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC
⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．
（Ⅱ）再取CF 的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥
平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．
【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D 是AC 的中点，AB=BC，AE=EC，
∴△BAC、△EAC 都是等腰三角形，
∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥DB，∴E、F、B、D 四点共面，这样，
AC 垂直于平面EFBD 内的两条相交直线ED、BD，
∴AC⊥平面EFBD．
显然，FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB．
（Ⅱ）已知G，H 分别是EC 和FB 的中点，再取CF 的中点O，
则OG∥EF，又∵EF∥DB，故有OG∥BD，
而BD⊂平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC⊂平面ABC，∴OH∥平面ABC．
∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．
19．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n 项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，
∴n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，
n=1 时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
∵an=bn+bn+1，
∴an﹣1=bn﹣1+bn，
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．
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∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；
（
Ⅱ
）
cn=
=
=
=
=
=
=
=6（n+1）•2n，
∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，
∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，
①﹣②可得
﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]
=12+6×
﹣6（n+1）•2n+1
=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，
∴Tn=3n•2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于
中档题．
20．（13 分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1 处取得极大值，求正实数a 的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；
（2）通过讨论a 的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a 的范围即可．
【解答】解：（1）由f′（x）=ln x﹣2ax+2a，
可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=
﹣2a=
，
当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当a＞0，x∈（0，
）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
x∈（
，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
所以当a≤0 时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＞0 时，g（x）的单调增区间为（0，
），单调减区间为（
，+∞）．…（6 分）
（2）由（1）知，f′（1）=0．
①当0＜a＜
时，
＞1，由（1）知f′（x）在（0，
）内单调递增，
可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，
）时，f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，
）内单调递增，
所以f（x）在x=1 处取得极小值，不合题意．
②当a=
时，
=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，
所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
③当a＞
时，0＜
＜1，当x∈（
，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
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所以f（x）在x=1 处取极大值，符合题意．
综上可知，正实数a 的取值范围为（
，+∞）．…（12 分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
21．（14 分）已知椭圆
的长轴长为4，焦距为
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x 轴与点N，交C 于点A，P（P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过
点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q，延长QM 交C 于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM 的斜率分别为k1，k2，证明
为定值；
（ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值．
【分析】（Ⅰ）结合题意分别求出a，c 的值，再求出b 的值，求出椭圆方程即可；
（Ⅱ）（i）设出P 的坐标，表示出直线PM，QM 的斜率，作比即可；
（ii）设出A，B 的坐标，分别求出PA，QB 的方程，联立方程组，求出直线AB 的斜率的解析式，根据不等式的性
质计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知
，
所以
．所以椭圆C 的方程为
．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．
所以直线PM 的斜率k1=
=
，直线QM 的斜率k2=
=﹣
，
此时
=﹣3．所以
为定值﹣3．
（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA 的方程为y=kx+m，
直线QB 的方程为y=﹣3kx+m．
联立
整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4=0．
由
，可得
，
所以
．同理
．
所以
，
，
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所以
．由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
所以
，等号当且仅当
时取得，
此时
，即
，
所以直线AB 的斜率的最小值为
．
【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题．
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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（
）
A．{4，8}
B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10}
D．{0，2，4，6，8，10}
2．（5 分）若z=4+3i，则
=（
）
A．1
B．﹣1
C．
+
i
D．
﹣
i
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，
图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（
）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
5．（5 分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N 中的一个字母，第二位是1，
2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）若tanθ=
，则cos2θ=（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（
）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
8．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
9．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则sinA=（
）
A．
B．
C．
D．
10．
（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（
）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
11．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V 的最
大值是（
）
A．4π
B．
C．6π
D．
12．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C 的左，右顶点．P
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为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则
C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+3y﹣5 的最小值为
．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=2sinx 的图象至少向右平移
个单位长度得到．
15．（5 分）已知直线l：x﹣
y+6=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点．则
|CD|=
．
16．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x≤0 时，f（x）=e
﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是
．
三、解答题（共5 小题，满分60 分）
17．（12 分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
18．（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7 分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
19．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，
AM=2MD，N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM 的体积．
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20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2 分别交C 于A，B 两点，交C 的准线于
P，Q 两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
21．（12 分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜
＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；
（2）设点P 在C1 上，点Q 在C2 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（
）
A．{4，8}
B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10}
D．{0，2，4，6，8，10}
【分析】根据全集A 求出B 的补集即可．
【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB={0，2，6，10}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．
2．（5 分）若z=4+3i，则
=（
）
A．1
B．﹣1
C．
+
i
D．
﹣
i
【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．
【解答】解：z=4+3i，则
=
=
=
﹣
i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【分析】根据向量
的坐标便可求出
，及
的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出
cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值．
【解答】解：
，
；
∴
；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选：A．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范
围，已知三角函数值求角．
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，
图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（
）
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A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8 两个月，故D 错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解
决本题的关键．
5．（5 分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N 中的一个字母，第二位是1，
2，3，4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】列举出从M，I，N 中任取一个字母，再从1，2，3，4，5 中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事
件发生的概率得答案．
【解答】解：从M，I，N 中任取一个字母，再从1，2，3，4，5 中任取一个数字，取法总数为：
（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），
（N，3），（N，4），（N，5）共15 种．
其中只有一个是小敏的密码前两位．
由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
．
故选：C．
【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题．
6．（5 分）若tanθ=
，则cos2θ=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即
可求出值．
【解答】解：∵tanθ=
，
∴cos2θ=2cos2θ﹣1=
﹣1=
﹣1=
．
故选：D．
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（
）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
【分析】b=
=
，c=
=
，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．
【解答】解：∵a=
=
，
b=
，
c=
=
，
综上可得：b＜a＜c，
故选：A．
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【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
8．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n 的值，当s=20 时满足条件s＞
16，退出循环，输出n 的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n 的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s 的值是解题的关键，
属于基础题．
9．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则sinA=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．
【解答】解：∵在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，
∴AB=
BC，
由余弦定理得：AC=
=
=
BC，
故
BC•
BC=
AB•AC•sinA=
•
BC•
BC•sinA，
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∴sinA=
，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．
10．
（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（
）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
侧面的面积为：（3×3+3×
）×2=18+18
，
故棱柱的表面积为：18×2+18+18
=54+18
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
11．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V 的最
大值是（
）
A．4π
B．
C．6π
D．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为
，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC 的内切圆半径r=
=2，
又由AA1=3，
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为
，
此时V 的最大值
=
，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
12．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C 的左，右顶点．P
为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则
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C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意可得F，A，B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E 的坐标，
再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE 的方程为y=k（x+a），
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE 的中点为H，可得H（0，
），
由B，H，M 三点共线，可得kBH=kBM，
即为
=
，
化简可得
=
，即为a=3c，
可得e=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜
率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+3y﹣5 的最小值为
﹣10
．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解
的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立
，解得
，即A（﹣1，﹣1）．
化目标函数z=2x+3y﹣5 为
．
由图可知，当直线
过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=
﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=2sinx 的图象至少向右平移
个单位长度得到．
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【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣
），由﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵y=sinx﹣
cosx=2sin（x﹣
），
令f（x）=2sinx，
则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），
依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣
），
故﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），
即φ=﹣2kπ+
（k∈Z），
当k=0 时，正数φmin=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查函数y=sinx 的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z）
是关键，属于中档题．
15．（5 分）已知直线l：x﹣
y+6=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点．则
|CD|=
4
．
【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=
=3，
∴|AB|=2
=2
，
∵直线l：x﹣
y+6=0
∴直线l 的倾斜角为30°，
∵过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，
∴|CD|=
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
16．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x≤0 时，f（x）=e
﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是
y=2x
．
【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0 时的解析式求出x＞0 时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直
线方程的点斜式得答案．
【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0 时，f（x）=e
﹣x﹣1﹣x，
设x＞0，则﹣x＜0，
∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x，
则f′（x）=ex﹣1+1，
f′（1）=e0+1=2．
∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．
即y=2x．
故答案为：y=2x．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题．
三、解答题（共5 小题，满分60 分）
17．（12 分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1 可得a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，将a1=1 代入可得a2 的值，进
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而令n=2 可得a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，将a2=
代入计算可得a3 的值，即可得答案；
（2）根据题意，将an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0 变形可得（an﹣2an+1）（an+an+1）=0，进而分析可得an=2an+1 或an=
﹣an+1，结合数列各项为正可得an=2an+1，结合等比数列的性质可得{an}是首项为a1=1，公比为
的等比数列，由等
比数列的通项公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，
当n=1 时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，
而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=
，
当n=2 时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，
又由a2=
，解可得a3=
，
故a2=
，a3=
；
（2）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，
变形可得（an﹣2an+1）（an+1）=0，
即有an=2an+1 或an=﹣1，
又由数列{an}各项都为正数，
则有an=2an+1，
故数列{an}是首项为a1=1，公比为
的等比数列，
则an=1×（
）n﹣1=（
）n﹣1，
故an=（
）n﹣1．
【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到an 与an+1 的关系．
18．（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7 分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
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【分析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的t 值为9，代入可预测2016 年我国生活垃
圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r=
=
≈
≈
≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y 与t 之间存在较强的正相关关系；
（2）=
=
≈
≈0.103，
= ﹣
≈1.331﹣0.103×4≈0.92，
∴y 关于t 的回归方程=0.10t+0.92，
2016 年对应的t 值为9，
故=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量为1.82 亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
19．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，
AM=2MD，N 为PC 的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM 的体积．
【分析】（Ⅰ）取BC 中点E，连结EN，EM，得NE 是△PBC 的中位线，推导出四边形ABEM 是平行四边形，由此能
证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC 中点F，连结NF，NF 是△PAC 的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC 至G，使得CG=AM，连结GM，
则四边形AGCM 是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM 的体积．
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【解答】证明：（Ⅰ）取BC 中点E，连结EN，EM，
∵N 为PC 的中点，∴NE 是△PBC 的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD，
∴BE=
BC=AM=2，
∴四边形ABEM 是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC 中点F，连结NF，
∵NF 是△PAC 的中位线，
∴NF∥PA，NF=
=2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC 至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AM
CG，∴四边形AGCM 是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG 的高h=
，
∴S△BCM=
=
=2
，
∴四面体N﹣BCM 的体积VN﹣BCM=
=
=
．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力
的培养．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2 分别交C 于A，B 两点，交C 的准线于
P，Q 两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求出N 的坐标，利用点差法求AB 中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF 及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R 是PQ 的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
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F（
，0），准线为x=﹣
，
S△PQF=
|PQ|=
|y1﹣y2|，
设直线AB 与x 轴交点为N，
∴S△ABF=
|FN||y1﹣y2|，
∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，
∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．
设AB 中点为M（x，y），由
得
=2（x1﹣x2），
又
=
，
∴
=
，即y2=x﹣1．
∴AB 中点轨迹方程为y2=x﹣1．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12 分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜
＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．
【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；
（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单
调性，即可得到x﹣1＜xlnx 成立；
（3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式．
【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1 的导数为f′（x）=
﹣1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．
即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜
＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．
由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1 在（1，+∞）递减，
可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；
设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，
当x＞1 时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；
（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，
则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；
G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，G′′（x）=﹣（lnc）2cx＜0，
∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，
由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，
∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；
即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；
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又因为：G（0）=G（1）=0，
∴x∈（0，1）时G（x）＞0 成立，不等式得证；
即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判
断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质
和四点共圆的判断，可得E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD 的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F 共圆，可得G 为圆心，G 在CD 的中垂线上，即可得证．
【解答】（1）解：连接PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O 中
的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC 中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F 共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F 共圆，
由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G
可得G 为圆心，即有GC=GD，
则G 在CD 的中垂线，又CD 为圆G 的弦，
则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；
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（2）设点P 在C1 上，点Q 在C2 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1 的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正
弦公式，化简可得C2 的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0 平行的直线方程为
x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P 的
直角坐标．
另外：设P（
cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值
和P 的坐标．
【解答】解：（1）曲线C1 的参数方程为
（α为参数），
移项后两边平方可得
+y2=cos2α+sin2α=1，
即有椭圆C1：
+y2=1；
曲线C2 的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
，
即有ρ（
sinθ+
cosθ）=2
，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，
即有C2 的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y﹣4=0 平行的直线方程为x+y+t=0，
联立
可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，
解得t=±2，
显然t=﹣2 时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=
=
，
此时4x2﹣12x+9=0，解得x=
，
即为P（
，
）．
另解：设P（
cosα，sinα），
由P 到直线的距离为d=
=
，
当sin（α+
）=1 时，|PQ|的最小值为
，
此时可取α=
，即有P（
，
）．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要
是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
【分析】（1）当a=2 时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6 的解集．
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（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣
|+|x﹣
|≥
，由此能求出a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2 时，f（x）=|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x﹣
|+2|x﹣
|+a≥3，
|x﹣
|+|x﹣
|≥
，
当a≥3 时，成立，
当a＜3 时，|x﹣
|+|x﹣
|≥
|a﹣1|≥
＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a 的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等
式性质的合理运用．
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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（
）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3}
D．{1，2}
2．（5 分）设复数z 满足z+i=3﹣i，则=（
）
A．﹣1+2i
B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5 分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（
）
A．y=2sin（2x﹣
）B．y=2sin（2x﹣
）C．y=2sin（x+
）
D．y=2sin（x+
）
4．（5 分）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（
）
A．12π
B．
π C．8π
D．4π
5．（5 分）设F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，曲线y=
（k＞0）与C 交于点P，PF⊥x 轴，则k=（
）
A．
B．1
C．
D．2
6．（5 分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线ax+y﹣1=0 的距离为1，则a=（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
7．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
8．（5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到该路口遇到
红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，
n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（
）
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A．7
B．12
C．17
D．34
10．（5 分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是（
）
A．y=x
B．y=lgx C．y=2x D．y=
11．（5 分）函数f（x）=cos2x+6cos（
﹣x）的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
12．（5 分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，
y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
xi=（
）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=
．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x﹣2y 的最小值为
．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b=
．
16．（5 分）有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡
片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10 项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
18．（12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下：
上年度出险
次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
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频数
60
50
30
30
20
10
（I）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
19．（12 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，点E、F 分别在AD，CD 上，AE=CF，EF 交BD 于点H，
将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=
，OD′=2
，求五棱锥D′﹣ABCFE 体积．
20．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4 时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．
21．（12 分）已知A 是椭圆E：
+
=1 的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 于A，M 两点，点N 在E 上，
MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明：
＜k＜2．
请考生在第22～24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE=DG，过D 点作DF⊥CE，
垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
[选项4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，求l 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣
|+|x+
|，M 为不等式f（x）＜2 的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|．
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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（
）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}
B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3}
D．{1，2}
【分析】先求出集合A 和B，由此利用交集的定义能求出A∩B 的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5 分）设复数z 满足z+i=3﹣i，则=（
）
A．﹣1+2i
B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．
【解答】解：∵复数z 满足z+i=3﹣i，
∴z=3﹣2i，
∴=3+2i，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3．（5 分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（
）
A．y=2sin（2x﹣
）B．y=2sin（2x﹣
）C．y=2sin（x+
）
D．y=2sin（x+
）
【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．
【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，
=
，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），
将（
，2）代入可得：2sin（
+φ）=2，
则φ=﹣
满足要求，
故y=2sin（2x﹣
），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．
4．（5 分）体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（
）
A．12π
B．
π C．8π
D．4π
【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为
=2
，
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即为球的直径，所以半径为
，
所以球的表面积为
=12π．
故选：A．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．
5．（5 分）设F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，曲线y=
（k＞0）与C 交于点P，PF⊥x 轴，则k=（
）
A．
B．1
C．
D．2
【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P 点坐标，再由反比例函数的性质，可得k 值．
【解答】解：抛物线C：y2=4x 的焦点F 为（1，0），
曲线y=
（k＞0）与C 交于点P 在第一象限，
由PF⊥x 轴得：P 点横坐标为1，
代入C 得：P 点纵坐标为2，
故k=2，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．
6．（5 分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线ax+y﹣1=0 的距离为1，则a=（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0 的距离d=
=1，
解得：a=
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
7．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，在轴截面中圆锥的
母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表
面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，
∴在轴截面中圆锥的母线长是
=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，
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求表面积就有这样的弊端．
8．（5 分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒．若一名行人来到该路口遇到
红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出一名行人前25 秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率．
【解答】解：∵红灯持续时间为40 秒，至少需要等待15 秒才出现绿灯，
∴一名行人前25 秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为
=
．
故选：B．
【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，
n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（
）
A．7
B．12
C．17
D．34
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a 为2 时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a 为2 时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a 为5 时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S 值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
10．（5 分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是（
）
A．y=x
B．y=lgx C．y=2x D．y=
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【解答】解：函数y=10lgx 的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x 的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx 的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x 的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；
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函数y=
的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．
11．（5 分）函数f（x）=cos2x+6cos（
﹣x）的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，
配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．
【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（
﹣x）
=1﹣2sin2x+6sinx，
令t=sinx（﹣1≤t≤1），
可得函数y=﹣2t2+6t+1
=﹣2（t﹣
）2+
，
由
∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，
即有t=1 即x=2kπ+
，k∈Z 时，函数取得最大值5．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求
法，属于中档题．
12．（5 分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，
y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
xi=（
）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|
与y=f（x）图象的交点关于直线x=1 对称，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），
故函数f（x）的图象关于直线x=1 对称，
函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1 对称，
故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1 对称，
故
xi=
×2=m，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=
﹣6
．
【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，
可得12=﹣2m，解得m=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x﹣2y 的最小值为
﹣5
．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解
的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
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【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立
，解得B（3，4）．
化目标函数z=x﹣2y 为y=
x﹣
z，
由图可知，当直线y=
x﹣
z 过B（3，4）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：3﹣2×4=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b=
．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得
b=
，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=
，cosC=
，可得
sinA=
=
=
，
sinC=
=
=
，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
×
+
×
=
，
由正弦定理可得b=
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运
算能力，属于中档题．
16．（5 分）有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡
片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
1 和3
．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1 和2，或1 和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分
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别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1 和2，或1 和3；
（1）若丙的卡片上写着1 和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1 和3；
（2）若丙的卡片上写着1 和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1 和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1 和3．
故答案为：1 和3．
【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10 项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；
（Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10 项，相加可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a4=4，a5+a7=6．
∴
，
解得：
，
∴an=
；
（Ⅱ）∵bn=[an]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{bn}的前10 项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．
【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．
18．（12 分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下：
上年度出险
次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（I）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
【分析】（I）求出A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计
值；
（Ⅱ）求出B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的
估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【解答】解：（I）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A 的人数为：60+50=110，该险种
的200 名续保，
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P（A）的估计值为：
=
；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B 的人数为：30+30=60，
P（B）的估计值为：
=
；
（
Ⅲ
）
续
保
人
本
年
度
的
平
均
保
费
估
计
值
为
=
=1.1925a．
【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．
19．（12 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，点E、F 分别在AD，CD 上，AE=CF，EF 交BD 于点H，
将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置．
（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=
，OD′=2
，求五棱锥D′﹣ABCFE 体积．
【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．
（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE 的高，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，点E、F 分别在AD，CD 上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD
将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，
则D′H⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE=
，AD=AB=5，
∴DE=5﹣
=
，
∵EF∥AC，
∴
=
=
=
=
，
∴EH=
，EF=2EH=
，DH=3，OH=4﹣3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2
，
∴满足HD′2=OD′2+OH2，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
又OD′⊥AC，AC∩OH=O，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE 的高．
底面五边形的面积S=
+
=
+
=12+
=
，
则五棱锥D′﹣ABCFE 体积V=
S•OD′=
×
×2
=
．
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【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及
五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE 的高．考查学生的运算和推理
能力．
20．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4 时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．
【分析】（I）当a=4 时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a 的取值范围．
【解答】解：（I）当a=4 时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•
﹣4，
则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），
∴f′（x）=1+
+lnx﹣a，
∴f″（x）=
，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．
①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．
另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，
可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，
即为a＜
，
由y=
的导数为y′=
，
由y=x﹣
﹣2lnx 的导数为y′=1+
﹣
=
＞0，
函数y 在x＞1 递增，可得
＞0，
则函数y=
在x＞1 递增，
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则
=
=2，
可得
＞2 恒成立，
即有a≤2．
【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围
的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
21．（12 分）已知A 是椭圆E：
+
=1 的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 于A，M 两点，点N 在E 上，
MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明：
＜k＜2．
【分析】（I）依题意知椭圆E 的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN 为等腰直角三角形，
设M（a﹣2，a），利用点M 在E 上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a=
，从而可求△AMN 的面积；
（II）设直线lAM 的方程为：y=k（x+2），直线lAN 的方程为：y=﹣
（x+2），联立
消去y，得（3+4k2）
x2+16k2x+16k2 ﹣12=0 ，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=
|xM ﹣（﹣2 ）|=
，
|AN|=
=
，
结合2|AM|=|AN|，可得
=
，整理后，构造函数f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调
性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．
【解答】解：（I）由椭圆E 的方程：
+
=1 知，其左顶点A（﹣2，0），
∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN 为等腰直角三角形，
∴MN⊥x 轴，设M 的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），
∵点M 在E 上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a=
或a=0（舍），
∴S△AMN=
a×2a=a2=
；
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（II）设直线lAM 的方程为：y=k（x+2），直线lAN 的方程为：y=﹣
（x+2），由
消去y 得：（3+4k2）
x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴xM﹣2=﹣
，∴xM=2﹣
=
，
∴|AM|=
|xM﹣（﹣2）|=
•
=
∵k＞0，
∴|AN|=
=
，
又∵2|AM|=|AN|，∴
=
，
整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0，
设f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，
则f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0，
∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8 为（0，+∞）的增函数，
又f（
）=4×3
﹣6×3+3
﹣8=15
﹣26=
﹣
＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，
∴
＜k＜2．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通
过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是
难题．
请考生在第22～24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE=DG，过D 点作DF⊥CE，
垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可
转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC 中，GF=
CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S 四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴
=
，
∵DE=DG，CD=BC，
∴
=
，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F 四点共圆．
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（Ⅱ）∵E 为AD 中点，AB=1，∴DG=CG=DE=
，
∴在Rt△DFC 中，GF=
CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S 四边形BCGF=2S△BCG=2×
×1×
=
．
【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．
[选项4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，求l 的斜率．
【分析】（Ⅰ）把圆C 的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C 的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l 的参数方程求出直线l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l 的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C 的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l 的参数方程是
（t 为参数），
∴t=
，代入y=tsinα，得：直线l 的一般方程y=tanα•x，
∵l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，圆C 的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=
．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d=
=
，
解得tan2α=
，∴tanα=±
=±
．
∴l 的斜率k=±
．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线
公式、圆的性质的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣
|+|x+
|，M 为不等式f（x）＜2 的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|．
【分析】（I）分当x＜
时，当
≤x≤
时，当x＞
时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M 时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．
【解答】解：（I）当x＜
时，不等式f（x）＜2 可化为：
﹣x﹣x﹣
＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜
，
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当
≤x≤
时，不等式f（x）＜2 可化为：
﹣x+x+
=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴
≤x≤
，
当x＞
时，不等式f（x）＜2 可化为：﹣
+x+x+
＜2，
解得：x＜1，
∴
＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M 时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（
）
A．{1，3}
B．{3，5}
C．{5，7}
D．{1，7}
2．（5 分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a 等于（
）
A．﹣3
B．﹣2
C．2
D．3
3．（5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2 种花种在另一个
花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知a=
，c=2，cosA=
，则b=（
）
A．
B．
C．2
D．3
5．
（5 分）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）将函数y=2sin（2x+
）的图象向右平移
个周期后，所得图象对应的函数为（
）
A．y=2sin（2x+
）B．y=2sin（2x+
）
C．y=2sin（2x﹣
）D．y=2sin（2x﹣
）
7．
（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
，
则它的表面积是（
）
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
8．（5 分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（
）
A．logac＜logbc
B．logca＜logcb
C．ac＜bc
D．ca＞cb
9．（5 分）函数y=2x2﹣e
|x|在[﹣2，2]的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
D．
10．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（
）
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A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则
m、n 所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）若函数f（x）=x﹣
sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，
]C．[﹣
，
]
D．[﹣1，﹣
]
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分
13．（5 分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=
．
14．（5 分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+
）=
，则tan（θ﹣
）=
．
15．（5 分）设直线y=x+2a 与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于A，B 两点，若|AB|=2
，则圆C 的面积为
．
16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材
料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100
元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，
生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为
元．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知{an}是公差为3 的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=
，anbn+1+bn+1=nbn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{bn}的前n 项和．
18．（12 分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D，D
在平面PAB 内的正投影为点E，连接PE 并延长交AB 于点G．
（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
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19．（12 分）某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以
额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图
柱状图：
记x 表示1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），
n 表示购机的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）若n=19，求y 与x 的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n 的最小值；
（Ⅲ）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分别计算这100
台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买19 个还是20 个易损
零件？
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，直线l：y=t（t≠0）交y 轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M 关
于点P 的对称点为N，连结ON 并延长交C 于点H．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，
OA 为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半
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轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集．
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2016 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（
）
A．{1，3}
B．{3，5}
C．{5，7}
D．{1，7}
【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．
【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，
则A∩B={3，5}．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a 等于（
）
A．﹣3
B．﹣2
C．2
D．3
【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．
【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i 的实部与虚部相等，
可得：a﹣2=2a+1，
解得a=﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．
3．（5 分）为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2 种花种在另一个
花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．
【解答】解：从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2 种花种在另一个花坛中，有
=6 种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2 种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4 种方法，所以所求
的概率为
=
．
另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，
即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），
则P=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
4．（5 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知a=
，c=2，cosA=
，则b=（
）
A．
B．
C．2
D．3
【分析】由余弦定理可得cosA=
，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b 的值．
【解答】解：∵a=
，c=2，cosA=
，
∴由余弦定理可得：cosA=
=
=
，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，
∴解得：b=3 或﹣
（舍去）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于
基础题．
5．
（5 分）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为（
）
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A．
B．
C．
D．
【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆的方程为：
，直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为：
，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的
，
可得：
，
4=b2（
），
∴
，
=3，
∴e=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．
6．（5 分）将函数y=2sin（2x+
）的图象向右平移
个周期后，所得图象对应的函数为（
）
A．y=2sin（2x+
）B．y=2sin（2x+
）
C．y=2sin（2x﹣
）D．y=2sin（2x﹣
）
【分析】求得函数y 的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣
）+
]，化简整理即可得到所求函数
式．
【解答】解：函数y=2sin（2x+
）的周期为T=
=π，
由题意即为函数y=2sin（2x+
）的图象向右平移
个单位，
可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣
）+
]，
即有y=2sin（2x﹣
）．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x 而言，考查运算能力，属于基础题和易错
题．
7．
（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
，
则它的表面积是（
）
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．
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【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉
后的几何体，如图：
可得：
=
，R=2．
它的表面积是：
×4π•22+
=17π．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．
8．（5 分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（
）
A．logac＜logbc
B．logca＜logcb
C．ac＜bc
D．ca＞cb
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，
∴logca＜logcb，故B 正确；
∴当a＞b＞1 时，
0＞logac＞logbc，故A 错误；
ac＞bc，故C 错误；
ca＜cb，故D 错误；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．
9．（5 分）函数y=2x2﹣e
|x|在[﹣2，2]的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
D．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e
|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e
|﹣x|=2x2﹣e
|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，
∴f′（x）=4x﹣ex=0 有解，
故函数y=2x2﹣e
|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
10．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（
）
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A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过
程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，
则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，
则x=
，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，
则x=
，y=6，满足x2+y2≥36，
故y=4x，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则
m、n 所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．
【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，
可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．
则m、n 所成角的正弦值为：
．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
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12．（5 分）若函数f（x）=x﹣
sin2x+asinx 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，
]C．[﹣
，
]
D．[﹣1，﹣
]
【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0 恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t 讨
论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：函数f（x）=x﹣
sin2x+asinx 的导数为f′（x）=1﹣
cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0 恒成立，
即为1﹣
cos2x+acosx≥0，
即有
﹣
cos2x+acosx≥0，
设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
当t=0 时，不等式显然成立；
当0＜t≤1 时，3a≥4t﹣
，
由4t﹣
在（0，1]递增，可得t=1 时，取得最大值﹣1，
可得3a≥﹣1，即a≥﹣
；
当﹣1≤t＜0 时，3a≤4t﹣
，
由4t﹣
在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1 时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤
．
综上可得a 的范围是[﹣
，
]．
另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，
由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，
解得a 的范围是[﹣
，
]．
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数
的单调性的运用，属于中档题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分
13．（5 分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=
．
【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出
，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x 的方程，解方程
便可得出x 的值．
【解答】解：∵
；
∴
；
即x+2（x+1）=0；
∴
．
故答案为：
．
【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．
14．（5 分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+
）=
，则tan（θ﹣
）=
．
【分析】由θ得范围求得θ+
的范围，结合已知求得cos（θ+
），再由诱导公式求得sin（
）及cos（
），
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进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣
）的值．
【解答】解：∵θ是第四象限角，
∴
，则
，
又sin（θ+
）=
，
∴cos（θ+
）=
．
∴cos（
）=sin（θ+
）=
，sin（
）=cos（θ+
）=
．
则tan（θ﹣
）=﹣tan（
）=﹣
=
．
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
15．（5 分）设直线y=x+2a 与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于A，B 两点，若|AB|=2
，则圆C 的面积为
4π
．
【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（0，a），半径为
，利用圆的弦长公式，求出a 值，进而求出
圆半径，可得圆的面积．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 的圆心坐标为（0，a），半径为
，
∵直线y=x+2a 与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0 相交于A，B 两点，且|AB|=2
，
∴圆心（0，a）到直线y=x+2a 的距离d=
，
即
+3=a2+2，
解得：a2=2，
故圆的半径r=2．
故圆的面积S=4π，
故答案为：4π
【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．
16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材
料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100
元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，
生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为
216000
元．
【分析】设A、B 两种产品分别是x 件和y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作
出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；
【解答】解：（1）设A、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元．
由题意，得
，z=2100x+900y．
不等式组表示的可行域如图：由题意可得
，解得：
，A（60，100），
目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．
故答案为：216000．
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【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的
运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知{an}是公差为3 的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=
，anbn+1+bn+1=nbn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{bn}的前n 项和．
【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{an}是公差为3 的等差数列，可得{an}的通项公式；
（Ⅱ）由（1）可得：数列{bn}是以1 为首项，以
为公比的等比数列，进而可得：{bn}的前n 项和．
【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．
当n=1 时，a1b2+b2=b1．
∵b1=1，b2=
，
∴a1=2，
又∵{an}是公差为3 的等差数列，
∴an=3n﹣1，
（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．
即3bn+1=bn．
即数列{bn}是以1 为首项，以
为公比的等比数列，
∴{bn}的前n 项和Sn=
=
（1﹣3
﹣n）=
﹣
．
【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n 项和公式，难度中档．
18．（12 分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D，D
在平面PAB 内的正投影为点E，连接PE 并延长交AB 于点G．
（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．
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【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥
平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；
（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F 为E 在平面PAC 内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得
答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC 为正三棱锥，且D 为顶点P 在平面ABC 内的正投影，
∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，
又E 为D 在平面PAB 内的正投影，
∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，
∵PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，连接PE 并延长交AB 于点G，
则AB⊥PG，
又PA=PB，
∴G 是AB 的中点；
（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．
∵正三棱锥P﹣ABC 的侧面是直角三角形，
∴PB⊥PA，PB⊥PC，
又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，
即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．
连结CG，因为P 在平面ABC 内的正投影为D，所以D 是正三角形ABC 的中心．
由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD=
CG．
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=
PG，DE=
PC．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3
，PE=2
．
在等腰直角三角形EFP 中，可得EF=PF=2．
所以四面体PDEF 的体积V=
×DE×S△PEF=
×2×
×2×2=
．
【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离
关系．
19．（12 分）某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以
额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图
柱状图：
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记x 表示1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），
n 表示购机的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）若n=19，求y 与x 的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n 的最小值；
（Ⅲ）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分别计算这100
台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买19 个还是20 个易损
零件？
【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y 与x 的分段函数解析式；
（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n 的最小值；
（Ⅲ）分别求出每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）当n=19 时，
y=
=
（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16 个频率为0.06，
更换的易损零件数为17 个频率为0.16，
更换的易损零件数为18 个频率为0.24，
更换的易损零件数为19 个频率为0.24
又∵更换易损零件不大于n 的频率为不小于0.5．
则n≥19
∴n 的最小值为19 件；
（Ⅲ）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，
所须费用平均数为：
（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）
假设这100 台机器在购机的同时每台都购买20 个易损零件，
所须费用平均数为
（90×4000+10×4500）=4050（元）
∵4000＜4050
∴购买1 台机器的同时应购买19 台易损零件．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，直线l：y=t（t≠0）交y 轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M 关
于点P 的对称点为N，连结ON 并延长交C 于点H．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．
【分析】（Ⅰ）求出P，N，H 的坐标，利用
=
，求
；
（Ⅱ）直线MH 的方程为y=
x+t，与抛物线方程联立，消去x 可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）将直线l 与抛物线方程联立，解得P（
，t），
∵M 关于点P 的对称点为N，
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∴
=
，
=t，
∴N（
，t），
∴ON 的方程为y=
x，
与抛物线方程联立，解得H（
，2t）
∴
=
=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知kMH=
，
∴直线MH 的方程为y=
x+t，与抛物线方程联立，消去x 可得y2﹣4ty+4t2=0，
∴△=16t2﹣4×4t2=0，
∴直线MH 与C 除点H 外没有其它公共点．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．
21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0 时，a＜﹣
时，a=﹣
时，﹣
＜a＜0，由导数大于0，可得增区
间；由导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，
可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），
①当a≥0 时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，
即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；
②当a＜0 时，（如右下图）若a=﹣
，则f′（x）≥0 恒成立，即有f（x）在R 上递增；
若a＜﹣
时，由f′（x）＞0，可得x＜1 或x＞ln（﹣2a）；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．
即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；
在（1，ln（﹣2a））递减；
若﹣
＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；
由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．
即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；
在（ln（﹣2a），1）递减；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0 时，
f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，
且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；
x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；
②当a=0 时，f（x）=（x﹣2）ex，所以f（x）只有一个零点x=2；
③当a＜0 时，
若a＜﹣
时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，
在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，
又当x≤1 时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；
当a≥﹣
时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，
只有f（ln（﹣2a））等于0 才有两个零点而f（x）小于零所以只有一个零点不符题意．
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综上可得，f（x）有两个零点时，a 的取值范围为（0，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转
化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．
请考生在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，
OA 为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．
【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=
OA，
则AB 是圆O 的切线．
（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．
【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=
OA，
∴直线AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．
∵OA=OB，TA=TB，
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∴OT 为AB 的中垂线，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT 为CD 的中垂线，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三
角形“三合一”的性质．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．
【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，
结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；
（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与
C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．
【解答】解：（Ⅰ）由
，得
，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．
∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．
化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①
由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；
（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x，②
即（x﹣2）2+y2=4．
由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，
∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，
∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，
①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，
∴1﹣a2=0，
∴a=1（a＞0）．
【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直
线方程的求法，是基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集．
【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；
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（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜
时，当x≥
时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求
解集．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=
，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；
当﹣1＜x＜
时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜
，
即有﹣1＜x＜
或1＜x＜
；
当x≥
时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或
≤x＜3．
综上可得，x＜
或1＜x＜3 或x＞5．
则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，
）∪（1，3）∪（5，+∞）．
【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查
运算能力，属于基础题．
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2016 年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 分）
1．（5 分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=
．
2．（5 分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i 为虚数单位，则z 的实部是
．
3．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
﹣
=1 的焦距是
．
4．（5 分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
．
5．（5 分）函数y=
的定义域是
．
6．（5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是
．
7．（5 分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷2 次，
则出现向上的点数之和小于10 的概率是
．
8．（5 分）已知{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9 的值是
．
9．（5 分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是
．
10．（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=
与椭圆交于B，
C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是
．
11．（5 分）设f（x）是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=
，其中
a∈R，若f（﹣
）=f（
），则f（5a）的值是
．
12．（5 分）已知实数x，y 满足
，则x2+y2 的取值范围是
．
13．（5 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，
•
=4，
•
=﹣1，则
•
的值是
．
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14．（5 分）在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是
．
二、解答题（共6 小题，满分90 分）
15．（14 分）在△ABC 中，AC=6，cosB=
，C=
．
（1）求AB 的长；
（2）求cos（A﹣
）的值．
16．（14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别为AB，BC 的中点，点F 在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，
A1C1⊥A1B1．求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
17．（14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正
四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1 的4 倍．
（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1 为多少时，仓库的容积最大？
18．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0 及其上一点A（2，
4）．
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6 上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B、C 两点，且BC=OA，求直线l 的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q，使得
+
=
，求实数t 的取值范围．
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19．（16 分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=
．
①求方程f（x）=2 的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2 有且只有1 个零点，求ab 的值．
20．（16 分）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U 的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，
定义ST=
+
+…+
．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3 的等比数列，且
当T={2，4}时，ST=30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；
（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按
作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1 几何证明选讲】
21．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD．
B.【选修4—2：矩阵与变换】
22．（10 分）已知矩阵A=
，矩阵B 的逆矩阵B
﹣1=
，求矩阵AB．
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），椭圆C 的参数方程为
（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，求线段AB 的长．
24．设a＞0，|x﹣1|＜
，|y﹣2|＜
，求证：|2x+y﹣4|＜a．
附加题【必做题】
25．（10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；
（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q．
①求证：线段PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p 的取值范围．
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26．（10 分）（1）求7C
﹣4C
的值；
（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C
+（m+2）C
+（m+3）C
+…+nC
+（n+1）C
=（m+1）
C
．
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2016 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分70 分）
1．（5 分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B=
{﹣1，2}
．
【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．
【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B={﹣1，2}，
故答案为：{﹣1，2}
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5 分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i 为虚数单位，则z 的实部是
5
．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，
则z 的实部是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
﹣
=1 的焦距是
2
．
【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线
﹣
=1 的焦距．
【解答】解：双曲线
﹣
=1 中，a=
，b=
，
∴c=
=
，
∴双曲线
﹣
=1 的焦距是2
．
故答案为：2
．
【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础．
4．（5 分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是
0.1
．
【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5 的平均数为：
=
（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，
∴该组数据的方差：
S2=
[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．
故答案为：0.1．
【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．
5．（5 分）函数y=
的定义域是
[﹣3，1]
．
【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案．
【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0 得：x2+2x﹣3≤0，
解得：x∈[﹣3，1]，
故答案为：[﹣3，1]
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题．
6．（5 分）如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是
9
．
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【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：当a=1，b=9 时，不满足a＞b，故a=5，b=7，
当a=5，b=7 时，不满足a＞b，故a=9，b=5
当a=9，b=5 时，满足a＞b，
故输出的a 值为9，
故答案为：9
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
7．（5 分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷2 次，
则出现向上的点数之和小于10 的概率是
．
【分析】出现向上的点数之和小于10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公
式能求出出现向上的点数之和小于10 的概率．
【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷2
次，
基本事件总数为n=6×6=36，
出现向上的点数之和小于10 的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，
出现向上的点数之和不小于10 包含的基本事件有：
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6 个，
∴出现向上的点数之和小于10 的概率：
p=1﹣
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．
8．（5 分）已知{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9 的值是
20
．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9 的值．
【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn 是其前n 项和，a1+a22=﹣3，S5=10，
∴
，
解得a1=﹣4，d=3，
∴a9=﹣4+8×3=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查等差数列的第9 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
9．（5 分）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是
7
．
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【分析】法1：画出函数y=sin2x 与y=cosx 在区间[0，3π]上的图象即可得到答案；
法2：由sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，可得cosx=0 或sinx=
，结合题意，解之即可．
【解答】解：法
1 ：画出函数
y=sin2x
与
y=cosx
在区间[0 ，3π] 上的图象如下：
由图可知，共7 个交点．
法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0 或sinx=
，
因为x∈[0，3π]，故x=
，
，
，
，
，
，
，共7 个，
故答案为：7．
【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x 与y=cosx 在区间[0，3π]上的图象是关键，属于
中档题．
10．（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=
与椭圆交于B，
C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是
．
【分析】设右焦点F（c，0），将y=
代入椭圆方程求得B，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，
结合离心率公式，计算即可得到所求值．方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合
离心率公式计算即可得到所求．
【解答】解：设右焦点F（c，0），
将y=
代入椭圆方程可得x=±a
=±
a，
可得B（﹣
a，
），C（
a，
），
由∠BFC=90°，可得kBF•kCF=﹣1，
即有
•
=﹣1，
化简为b2=3a2﹣4c2，
由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，
由e=
，可得e2=
=
，
可得e=
，
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另解：设右焦点F（c，0），
将y=
代入椭圆方程可得x=±a
=±
a，
可得B（﹣
a，
），C（
a，
），
=（﹣
a﹣c，
），
=（
a﹣c，
），
•
=0，则c2﹣
a2 十
b2=0，
因为b2=a2﹣c2，代入得3c2=2a2，
由e=
，可得e2=
=
，
可得e=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，
属于中档题．
11．（5 分）设f（x）是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=
，其中
a∈R，若f（﹣
）=f（
），则f（5a）的值是
﹣
．
【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣
）=f（
），可得a 值，进而得到f（5a）的值．
【解答】解：f（x）是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=
，
∴f（﹣
）=f（﹣
）=﹣
+a，
f（
）=f（
）=|
﹣
|=
，
∴a=
，
∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+
=﹣
，
故答案为：﹣
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a 值，是解答的关键．
12．（5 分）已知实数x，y 满足
，则x2+y2 的取值范围是
[
，13]
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公
式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=x2+y2，则z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
由图象知A 到原点的距离最大，
点O 到直线BC：2x+y﹣2=0 的距离最小，
由
得
，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13，
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点O 到直线BC：2x+y﹣2=0 的距离d=
=
，
则z=d2=（
）2=
，
故z 的取值范围是[
，13]，
故答案为：[
，13]．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键．
13．（5 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，
•
=4，
•
=﹣1，则
•
的值是
．
【分析】由已知可得
=
+
，
=﹣
+
，
=
+3
，
=﹣
+3
，
=
+2
，
=﹣
+2
，结
合已知求出
2=
，
2=
，可得答案．
【解答】解：∵D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点，
∴
=
+
，
=﹣
+
，
=
+3
，
=﹣
+3
，
∴
•
=
2﹣
2=﹣1，
•
=9
2﹣
2=4，
∴
2=
，
2=
，
又∵
=
+2
，
=﹣
+2
，
∴
•
=4
2﹣
2=
，
故答案为：
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．
14．（5 分）在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是
8
．
【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC 可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，
结合函数特性可求得最小值．
【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC 为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC 可得tanB+tanC=2tanBtanC，
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又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣
②，
则tanAtanBtanC=﹣
•tanBtanC，
由tanB+tanC=2tanBtanC 可得tanAtanBtanC=﹣
，
令tanBtanC=t，由A，B，C 为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=﹣
=﹣
，
=（
）2﹣
，由t＞1 得，﹣
≤
＜0，
因此tanAtanBtanC 的最小值为8，
另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B 十C）=2sinBsinC，
sinBcosC 十cosBsinC=2sinBcosC，
两边同除以cosBcosC，tanB 十tanC=2tanBtanC，
∵﹣tanA=tan（B 十C）=
，
∴tanAtanBtanC=tanA 十tanB 十tanC，
∴tanAtanBtanC=tanA 十2tanBtanC≥2
，
令tanAtanBtanC=x＞0，
即x≥2
，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x 的最小值为8．
当且仅当t=2 时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，
解得tanB=2+
，tanC=2﹣
，tanA=4，（或tanB，tanC 互换），此时A，B，C 均为锐角．
【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．
二、解答题（共6 小题，满分90 分）
15．（14 分）在△ABC 中，AC=6，cosB=
，C=
．
（1）求AB 的长；
（2）求cos（A﹣
）的值．
【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB 的长；
（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣
）的值．
【解答】解：（1）∵△ABC 中，cosB=
，
∴sinB=
，
∵
，
∴AB=
=5
；
（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣
．
∵A 为三角形的内角，
∴sinA=
，
∴cos（A﹣
）=
cosA+
sinA=
．
【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
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16．（14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别为AB，BC 的中点，点F 在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，
A1C1⊥A1B1．求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．
【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；
（2）通过证明A1F⊥DE 结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．
【解答】解：（1）∵D，E 分别为AB，BC 的中点，
∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC﹣A1B1C1 为棱柱，
∴AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，
∴DE∥A1C1F；
（2）∵ABC﹣A1B1C1 为直棱柱，
∴AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，
∵DE∥A1C1，
∴DE⊥平面AA1B1B，
又∵A1F⊂平面AA1B1B，
∴DE⊥A1F，
又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，
∴A1F⊥平面B1DE，
又∵A1F⊂平面A1C1F，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F．
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大．
17．（14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正
四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1 的4 倍．
（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1 为多少时，仓库的容积最大？
【分析】（1）由正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1 的4 倍，可得PO1=2m 时，O1O=8m，进而可得仓库的容积；
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（2）设PO1=xm，则O1O=4xm，A1O1=
m，A1B1=
•
m，代入体积公式，求出容积的表达式，利
用导数法，可得最大值．
【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O 是正四棱锥的高PO1 的4 倍．
∴O1O=8m，
∴仓库的容积V=
×62×2+62×8=312m3，
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，
设PO1=xm，
则O1O=4xm，A1O1=
m，A1B1=
•
m，
则仓库的容积V=
×（
•
）2•x+（
•
）2•4x=
x3+312x，（0＜x＜6），
∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），
当0＜x＜2
时，V′＞0，V（x）单调递增；
当2
＜x＜6 时，V′＜0，V（x）单调递减；
故当x=2
时，V（x）取最大值；
即当PO1=2
m 时，仓库的容积最大．
【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．
18．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0 及其上一点A（2，
4）．
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6 上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B、C 两点，且BC=OA，求直线l 的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q，使得
+
=
，求实数t 的取值范围．
【分析】（1）设N（6，n），则圆N 为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N
的标准方程．
（2）由题意得OA=2
，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M 到直线l 的距离：d=
，由此能求出直线l 的方程．
（3）
=
，即|
|=
，又|
|≤10，得t∈[2﹣2
，2+2
]，对于任意t∈[2﹣2
，
2+2
]，欲使
，只需要作直线TA 的平行线，使圆心到直线的距离为
，由此能求出实数t 的
取值范围．
【解答】解：（1）∵N 在直线x=6 上，∴设N（6，n），
∵圆N 与x 轴相切，∴圆N 为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，
又圆N 与圆M 外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，
∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，
∴圆N 的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．
（2）由题意得OA=2
，kOA=2，设l：y=2x+b，
则圆心M 到直线l 的距离：d=
=
，
则|BC|=2
=2
，BC=2
，即2
=2
，
解得b=5 或b=﹣15，
∴直线l 的方程为：y=2x+5 或y=2x﹣15．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
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∵A（2，4），T（t，0），
，
∴
，①
∵点Q 在圆M 上，∴（x2﹣6）2+（y2﹣7）2=25，②
将①代入②，得（x1﹣t﹣4）2+（y1﹣3）2=25，
∴点P（x1，y1）即在圆M 上，又在圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25 上，
从而圆（x﹣6）2+（y﹣7）2=25 与圆[x﹣（t+4）]2+（y﹣3）2=25 有公共点，
∴5﹣5≤
≤5+5．
解得2﹣2
≤t
，
∴实数t 的取值范围是[2﹣2
，2+2
]．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要
认真审题，注意圆的性质的合理运用．
19．（16 分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=
．
①求方程f（x）=2 的根；
②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，求实数m 的最大值；
（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2 有且只有1 个零点，求ab 的值．
【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．
（2）求出g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=
+
，求出g（x）的最小值为：
g（x0）．①若g（x0）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2 有
且只有1 个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．
【解答】解：函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（1）设a=2，b=
．
①方程f（x）=2；即：
=2，可得x=0．
②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，即
≥m（
）﹣6 恒成立．
令t=
，t≥2．
不等式化为：t2﹣mt+4≥0 在t≥2 时，恒成立．可得：△≤0 或
即：m2﹣16≤0 或m≤4，
∴m∈（﹣∞，4]．
实数m 的最大值为：4．
（2）g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，
g′（x）=axlna+bxlnb=ax[
+
]lnb，
0＜a＜1，b＞1 可得
，
令h（x）=
+
，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0，
因此，x0=
时，h（x0）=0，
因此x∈（﹣∞，x0）时，h（x）＜0，axlnb＞0，则g′（x）＜0．
x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，axlnb＞0，则g′（x）＞0，
则g（x）在（﹣∞，x0）递减，（x0，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）．
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①若g（x0）＜0，x＜loga2 时，ax＞
=2，bx＞0，则g（x）＞0，
因此x1＜loga2，且x1＜x0 时，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，
则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．
②若g（x0）≥0，函数g（x）=f（x）﹣2 有且只有1 个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，
由g（0）=a0+b0﹣2=0，
因此x0=0，因此
=0，﹣
=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1．
可得ab=1．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析
问题解决问题的能力．
20．（16 分）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U 的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，
定义ST=
+
+…+
．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66．现设{an}（n∈N*）是公比为3 的等比数列，且
当T={2，4}时，ST=30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；
（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．
【分析】（1）根据题意，由ST 的定义，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1 的值，由等比数
列通项公式即可得答案；
（2）根据题意，由ST 的定义，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n 项和公式计算可得证明；
（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明SC≥2SB，分2 种情况进行讨
论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到SA≥2SB，即可得证明．
【解答】解：（1）等比数列{an}中，a4=3a3=9a2，
当T={2，4}时，ST=a2+a4=a2+9a2=30，
因此a2=3，从而a1=
=1，
故an=3n﹣1，
（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=
＜3k=ak+1，
（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，
分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，则SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，
因此原命题的等价于证明SC≥2SB，
由条件SC≥SD，可得SA≥SB，
①、若B=∅，则SB=0，故SA≥2SB，
②、若B≠∅，由SA≥SB可得A≠∅，设A 中最大元素为l，B 中最大元素为m，
若m≥l+1，则其与SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，
因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，
SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=
≤
=
，即SA≥2SB，
综上所述，SA≥2SB，
故SC+SC∩D≥2SD．
【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按
作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1 几何证明选讲】
21．（10 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：∠EDC=∠ABD．
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【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结
论．
【解答】解：由BD⊥AC 可得∠BDC=90°，
因为E 为BC 的中点，所以DE=CE=
BC，
则：∠EDC=∠C，
由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，
由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，
因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，
所以，∠EDC=∠ABD．
【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C 是关键，属于中档题．
B.【选修4—2：矩阵与变换】
22．（10 分）已知矩阵A=
，矩阵B 的逆矩阵B
﹣1=
，求矩阵AB．
【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B
﹣1）
﹣1=
=
，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．
【解答】解：∵B
﹣1=
，
∴B=（B
﹣1）
﹣1=
=
，又A=
，
∴AB=
=
．
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题．
C.【选修4—4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），椭圆C 的参数方程为
（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，求线段AB 的长．
【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的
距离公式求得答案．
【解答】解：由
，由②得
，
代入①并整理得，
．
由
，得
，
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两式平方相加得
．
联立
，解得
或
．
∴|AB|=
．
【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础
题．
24．设a＞0，|x﹣1|＜
，|y﹣2|＜
，求证：|2x+y﹣4|＜a．
【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．
【解答】证明：由a＞0，|x﹣1|＜
，|y﹣2|＜
，
可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|
≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜
+
=a，
则|2x+y﹣4|＜a 成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，
属于基础题．
附加题【必做题】
25．（10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；
（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q．
①求证：线段PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②求p 的取值范围．
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解kPQ，通过P，Q 关于直线l 对称，点的kPQ=﹣1，推
出
，PQ 的中点在直线l 上，推出
=2﹣p，即可证明线段PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②利用线段PQ 中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出
，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实
数根，列出不等式即可求出p 的范围．
【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l 与x 轴的交点坐标（2，0），
即抛物线的焦点坐标（2，0）．
∴
，
∴抛物线C：y2=8x．
（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：
，
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即：
，kPQ=
=
，
又∵P，Q 关于直线l 对称，∴kPQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴
，
又PQ 的中点在直线l 上，∴
=
=2﹣p，
∴线段PQ 的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；
②因为Q 中点坐标（2﹣p，﹣p）．
∴
，即
∴
，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，
∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，
∴p∈
．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
26．（10 分）（1）求7C
﹣4C
的值；
（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C
+（m+2）C
+（m+3）C
+…+nC
+（n+1）C
=（m+1）
C
．
【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7
的值．
（2）对任意m∈N*，当n=m 时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1 时，命题也成
立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C
+（m+2）C
+（m+3）C
+…+nC
+（n+1）C
=（m+1）
C
．
【解答】解：（1）7
=
﹣4×
=7×20﹣4×35=0．
证明：（2）对任意m∈N*，
①当n=m 时，左边=（m+1）
=m+1，
右边=（m+1）
=m+1，等式成立．
②假设n=k（k≥m）时命题成立，
即（m+1）C
+（m+2）C
+（m+3）C
+…+k
+（k+1）
=（m+1）
，
当n=k+1 时，
左边=（m+1）
+（m+2）
+（m+3）
+
+（k+1）
+（k+2）
=
，
右边=
∵
=（m+1）[
﹣
]
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=（m+1）×
[k+3﹣（k﹣m+1）]
=（k+2）
=（k+2）
，
∴
=（m+1）
，
∴左边=右边，
∴n=k+1 时，命题也成立，
∴m，n∈N*，n≥m，（m+1）C
+（m+2）C
+（m+3）C
+…+nC
+（n+1）C
=（m+1）C
．
【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用．
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2016 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，满分40 分）
1．（5 分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3 或x＞5}，则A∩B=（
）
A．{x|2＜x＜5}
B．{x|x＜4 或x＞5}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2 或x＞5}
2．（5 分）复数
=（
）
A．iB．1+i
C．﹣i
D．1﹣i
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
A．8
B．9
C．27
D．36
4．（5 分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（
）
A．y=
B．y=cosx
C．y=ln（x+1）
D．y=2
﹣x
5．（5 分）圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线y=x+3 的距离为（
）
A．1
B．2
C．
D．2
6．（5 分）从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB 上，则2x﹣y 的最大值为（
）
A．﹣1
B．3
C．7
D．8
8．（5 分）某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10 名学生的预赛
成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30 秒跳绳（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
a﹣1
b
65
在这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，则（
）
A．2 号学生进入30 秒跳绳决赛B．5 号学生进入30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入30 秒跳绳决赛D．9 号学生进入30 秒跳绳决赛
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，满分30 分）
9．（5 分）已知向量=（1，
），=（
，1），则与夹角的大小为
．
10．（5 分）函数f（x）=
（x≥2）的最大值为
．
11．（5 分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为
．
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12．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
，0），则a=
，
b=
．
13．（5 分）在△ABC 中，∠A=
，a=
c，则
=
．
14．（5 分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19 种商品，第二天售出13 种商品，第三天
售出18 种商品；前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有
种；
②这三天售出的商品最少有
种．
三、解答题（共6 小题，满分80 分）
15．（13 分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n 项和．
16．（13 分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．（13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4 元/立方米收费，超出w
立方米的部分按10 元/立方米收费，从该市随机调查了10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如
图频率分布直方图：
（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w 至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3 时，估计该市居民该月的人均水费．
18．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
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19．（14 分）已知椭圆C：
+
=1 过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C 的方程及离心率；
（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N，求证：四边形ABNM
的面积为定值．
20．（13 分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c 的取值范围；
（3）求证：a2﹣3b＞0 是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
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2016 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，满分40 分）
1．（5 分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3 或x＞5}，则A∩B=（
）
A．{x|2＜x＜5}
B．{x|x＜4 或x＞5}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2 或x＞5}
【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3 或x＞5}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．
2．（5 分）复数
=（
）
A．iB．1+i
C．﹣i
D．1﹣i
【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．
【解答】解：
=
=
=i，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
A．8
B．9
C．27
D．36
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：当k=0 时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，
当k=1 时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，
当k=2 时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，
当k=3 时，不满足进行循环的条件，
故输出的S 值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
4．（5 分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（
）
A．y=
B．y=cosx
C．y=ln（x+1）
D．y=2
﹣x
【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上
的单调性，从而找出正确选项．
【解答】解：A．x 增大时，﹣x 减小，1﹣x 减小，∴
增大；
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∴函数
在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
B．y=cosx 在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；
C．x 增大时，x+1 增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
D.
；
∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的
运算．
5．（5 分）圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线y=x+3 的距离为（
）
A．1
B．2
C．
D．2
【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2 的圆心，再利用点到到直线y=x+3 的距离公式求解．
【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2 的圆心为（﹣1，0），
∴圆（x+1）2+y2=2 的圆心到直线y=x+3 的距离为：
d=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质
的合理运用．
6．（5 分）从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同
此能求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，
基本事件总数n=
=10，
甲被选中包含的基本事件的个数m=
=4，
∴甲被选中的概率p=
=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
7．（5 分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB 上，则2x﹣y 的最大值为（
）
A．﹣1
B．3
C．7
D．8
【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．
【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB 上，
令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z 当直线经过B 时截距最小，Z 取得最大值，
可得2x﹣y 的最大值为：2×4﹣1=7．
故选：C．
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【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．
8．（5 分）某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10 名学生的预赛
成绩，其中有三个数据模糊．
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远（单位：米）
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30 秒跳绳（单位：次）
63
a
75
60
63
72
70
a﹣1
b
65
在这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，则（
）
A．2 号学生进入30 秒跳绳决赛B．5 号学生进入30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入30 秒跳绳决赛D．9 号学生进入30 秒跳绳决赛
【分析】根据已知中这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6
人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．
【解答】解：∵这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，
故编号为1，2，3，4，5，6，7，8 的学生进入立定跳远决赛，
又由同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，
则3，6，7 号同学必进入30 秒跳绳决赛，
剩下1，2，4，5，8 号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1 有且只有3 人进入30 秒跳绳决赛，
故成绩为63 的同学必进入30 秒跳绳决赛，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，满分30 分）
9．（5 分）已知向量=（1，
），=（
，1），则与夹角的大小为
．
【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．
【解答】解：∵向量=（1，
），=（
，1），
∴与夹角θ满足：
cosθ=
=
=
，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．
10．（5 分）函数f（x）=
（x≥2）的最大值为
2
．
【分析】分离常数便可得到
，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从
而x=2 时f（x）取最大值，并可求出该最大值．
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【解答】解：
；
∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；
∴x=2 时，f（x）取最大值2．
故答案为：2．
【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的
方法．
11．（5 分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为
．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，
棱柱的底面面积S=
×（1+2）×1=
，
棱柱的高为1，
故棱柱的体积V=
，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
，0），则a=
1
，
b=
2
．
【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
，0），列出方程组，由此能出a，b．
【解答】解：∵双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
，0），
∴
，
解得a=1，b=2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．
13．（5 分）在△ABC 中，∠A=
，a=
c，则
=
1
．
【分析】利用正弦定理求出C 的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．
【解答】解：在△ABC 中，∠A=
，a=
c，
由正弦定理可得：
，
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=
，sinC=
，C=
，则B=
=
．
三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，
则
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．
14．（5 分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19 种商品，第二天售出13 种商品，第三天
售出18 种商品；前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有
16
种；
②这三天售出的商品最少有
29
种．
【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．
【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，
如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有16 种；
②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29 种，
当第三天售出的18 种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29 种．
故答案为：①16；②29．
【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．
三、解答题（共6 小题，满分80 分）
15．（13 分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n 项和．
【分析】（1）设{an}是公差为d 的等差数列，{bn}是公比为q 的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到
所求通项公式；
（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即
可得到所求和．
【解答】解：（1）设{an}是公差为d 的等差数列，
{bn}是公比为q 的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q=
=3，
bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d=
=2，
则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，
则数列{cn}的前n 项和为
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=
n•2n+
=n2+
．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查
运算能力，属于基础题．
16．（13 分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
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（2）求f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x 的取值范围得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx=
=
．
由T=
，得ω=1；
（2）由（1）得，f（x）=
．
再由
，得
．
∴f（x）的单调递增区间为[
]（k∈Z）．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．
17．（13 分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4 元/立方米收费，超出w
立方米的部分按10 元/立方米收费，从该市随机调查了10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如
图频率分布直方图：
（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w 至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3 时，估计该市居民该月的人均水费．
【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在
[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）
的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居
民在该用的用水价为4 元/立方米，w 至少定为3 立方米．
（2）当w=3 时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
用水量在[0.5，1）的频率为0.1，
用水量在[1，1.5）的频率为0.15，
用水量在[1.5，2）的频率为0.2，
用水量在[2，2.5）的频率为0.25，
用水量在[2.5，3）的频率为0.15，
用水量在[3，3.5）的频率为0.05，
用水量在[3.5，4）的频率为0.05，
用水量在[4，4.5）的频率为0.05，
∵用水量小于等于3 立方米的频率为85%，
∴为使80%以上居民在该用的用水价为4 元/立方米，
∴w 至少定为3 立方米．
（2）当w=3 时，该市居民的人均水费为：
（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3
×4+0.05×1.5×10=10.5，
∴当w=3 时，估计该市居民该月的人均水费为10.5 元．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3 时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，
解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
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18．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；
（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB 上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．
【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC=C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB 上存在中点F，使得PA∥平面CEF．
∵点E 为AB 的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档
题．
19．（14 分）已知椭圆C：
+
=1 过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C 的方程及离心率；
（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N，求证：四边形ABNM
的面积为定值．
【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则
，则椭圆C 的方程可求，离心率为e=
；
（2）设P（x0，y0），求出PA、PB 所在直线方程，得到M，N 的坐标，求得|AN|，|BM|．由
，
结合P 在椭圆上求得四边形ABNM 的面积为定值2．
【解答】（1）解：∵椭圆C：
+
=1 过点A（2，0），B（0，1）两点，
∴a=2，b=1，则
，
∴椭圆C 的方程为
，离心率为e=
；
（2）证明：如图，
设P（x0，y0），则
，PA 所在直线方程为y=
，
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取x=0，得
；
，PB 所在直线方程为
，
取y=0，得
．
∴|AN|=
，
|BM|=1﹣
．
∴
=
=﹣
=
=
=
．
∴四边形ABNM 的面积为定值2．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．
20．（13 分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c 的取值范围；
（3）求证：a2﹣3b＞0 是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c 介于极值之间，
解不等式即可得到所求范围；
（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3 个，求出导数，由导数的图象与x 轴有两个
不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3 个
零点．
【解答】解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c 的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，
可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，
切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；
（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，
由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，
由g（x）=x3+4x2+4x 的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），
当x＞﹣
或x＜﹣2 时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当﹣2＜x＜﹣
时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有g（x）在x=﹣2 处取得极大值，且为0；
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g（x）在x=﹣
处取得极小值，且为﹣
．
由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣
＜﹣c＜0，
解得0＜c＜
，
则c 的取值范围是（0，
）；
（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，
可得f（x）的图象与x 轴有三个不同的交点．
即有f（x）有3 个单调区间，
即为导数f′（x）=3x2+2ax+b 的图象与x 轴有两个交点，
可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；
若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b 的图象与x 轴有两个交点，
当c=0，a=b=4 时，满足a2﹣3b＞0，
即有f（x）=x（x+2）2，图象与x 轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2 个．
故a2﹣3b＞0 是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，
考考查化简整理的能力，属于中档题．
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2015 年重庆市高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（
）
A．{2}
B．{1，2}
C．{1，3}
D．{1，2，3}
2．（5 分）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（
）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（
）
A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4．（5 分）重庆市2013 年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（
）
A．19
B．20
C．21.5 D．23
5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）若tanα=
，tan（α+β）=
，则tanβ=（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知非零向量
满足|
|=4|
|，且
⊥（
）则
的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（
）
A．
B．
C．
D．
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9．（5 分）设双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F 做A1A2 的垂线与双
曲线交于B，C 两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（
）
A．±
B．±
C．±1
D．±
10．（5 分）若不等式组
，表示的平面区域为三角形，且其面积等于
，则m 的值为（
）
A．﹣3
B．1
C．
D．3
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5 分）复数（1+2i）i 的实部为
．
12．（5 分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为
．
13．（5 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣
，3sinA=2sinB，则c=
．
14．（5 分）设a，b＞0，a+b=5，则
+
的最大值为
．
15．（5 分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0 有两个负根的概率为
．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）已知等差数列{an}满足a3=2，前3 项和S3=
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n 项和Tn．
17．（13 分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如
下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程= t+ ．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015 年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程= t+ 中
．
18．（13 分）已知函数f（x）=
sin2x﹣
cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈
时，求g（x）的值域．
19．（12 分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值．
（Ⅰ）确定a 的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
20．（12 分）如图，三棱锥P﹣ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=
，点D、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，
PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
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（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．
21．（13 分）如题图，椭圆
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2 的直线交椭圆于P，Q 两点，
且PQ⊥PF1．
（Ⅰ）若|PF1|=2+
，|PF2|=2﹣
，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且
≤λ＜
，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
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2015 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（
）
A．{2}
B．{1，2}
C．{1，3}
D．{1，2，3}
【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可．
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（
）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出方程x2﹣2x+1=0 的解，再和x=1 比较，从而得到答案．
【解答】解：由x2﹣2x+1=0，解得：x=1，
故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要条件，
故选：A．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．
3．（5 分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（
）
A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【分析】利用对数函数的真数大于0 求得函数定义域．
【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0
解得x＞1 或x＜﹣3
所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型．
4．（5 分）重庆市2013 年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（
）
A．19
B．20
C．21.5 D．23
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：样本数据有12 个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为
，
故选：B．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．
5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1
的半圆锥组成的组合体，
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几何体的体积为：
=
．
故选：B．
【点评】本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力．
6．（5 分）若tanα=
，tan（α+β）=
，则tanβ=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．
【解答】解：∵tanα=
，tan（α+β）=
，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]=
=
=
，
故选：A．
【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
7．（5 分）已知非零向量
满足|
|=4|
|，且
⊥（
）则
的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量
的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．
【解答】解：由已知非零向量
满足|
|=4|
|，且
⊥（
），设两个非零向量
的夹角为θ，
所以
•（
）=0，即2
=0，所以cosθ=
，θ∈[0，π]，所以
；
故选：C．
【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．
8．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s 的值，当k=8 时不满足条件k＜8，退出循环，输出s
的值为
．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，k=0
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满足条件k＜8，k=2，s=
满足条件k＜8，k=4，s=
+
满足条件k＜8，k=6，s=
+
+
满足条件k＜8，k=8，s=
+
+
+
=
不满足条件k＜8，退出循环，输出s 的值为
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5 分）设双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F 做A1A2 的垂线与双
曲线交于B，C 两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（
）
A．±
B．±
C．±1
D．±
【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，
），C（c，﹣
），利用A1B⊥A2C，可得
，求
出a=b，即可得出
双曲线的渐近线的斜率．
【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，
），C（c，﹣
），
∵A1B⊥A2C，
∴
，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5 分）若不等式组
，表示的平面区域为三角形，且其面积等于
，则m 的值为（
）
A．﹣3
B．1
C．
D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由
，得
，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0 的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A（2，0），D（﹣2m，0），
由
，解得
，即B（1﹣m，1+m），
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由
，解得
，即C（
，
）．
则三角形ABC 的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC
=
|AD||yB﹣yC|
=
（2+2m）（1+m﹣
）
=（1+m）（1+m﹣
）=
，
即（1+m）×
=
，
即（1+m）2=4
解得m=1 或m=﹣3（舍），
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5 分）复数（1+2i）i 的实部为
﹣2
．
【分析】利用复数的运算法则化简为a+bi 的形式，然后找出实部；注意i2=﹣1．
【解答】解：（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=﹣1．属于基础题．
12．（5 分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为
x+2y﹣5=0
．
【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P 处
的切线的方程．
【解答】解：由题意可得OP 和切线垂直，故切线的斜率为﹣
=
=﹣
，
故切线的方程为y﹣2=﹣
（x﹣1），即x+2y﹣5=0，
故答案为：x+2y﹣5=0．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
13．（5 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣
，3sinA=2sinB，则c=
4
．
【分析】由3sinA=2sinB 即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．
【解答】解：∵3sinA=2sinB，
∴由正弦定理可得：3a=2b，
∵a=2，
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∴可解得b=3，
又∵cosC=﹣
，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×
=16，
∴解得：c=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14．（5 分）设a，b＞0，a+b=5，则
+
的最大值为
3
．
【分析】利用柯西不等式，即可求出
的最大值．
【解答】解：由题意，（
）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，
∴
的最大值为3
，
故答案为：3
．
【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．
15．（5 分）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0 有两个负根的概率为
．
【分析】由一元二次方程根的分布可得p 的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．
【解答】解：方程x2+2px+3p﹣2=0 有两个负根等价于
，
解关于p 的不等式组可得
＜p≤1 或p≥2，
∴所求概率P=
=
故答案为：
【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）已知等差数列{an}满足a3=2，前3 项和S3=
．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n 项和Tn．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出
，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n 项和公式求得{bn}前n 项和
Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：
，解得
．
代入等差数列的通项公式得：
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
．
设{bn}的公比为q，则
，从而q=2，
故{bn}的前n 项和
．
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【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和，是中档题．
17．（13 分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如
下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程= t+ ．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015 年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程= t+ 中
．
【分析】（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y 关于t 的回归方程= t+ ．
（Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区2015 年的人民币储蓄存款．
【
解
答
】
解
：
（
Ⅰ
）
由题意，=3，=7.2，
=55﹣5×32=10，
=120﹣5×3×7.2=12，
∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6，
∴y 关于t 的回归方程=1.2t+3.6．
（Ⅱ）t=6 时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（13 分）已知函数f（x）=
sin2x﹣
cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈
时，求g（x）的值域．
【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣
）﹣
，从而可求最小周
期和最小值；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣
）﹣
，由x∈[
，π]时，可得x﹣
的范
围，即可求得g（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=
sin2x﹣
cos2x=
sin2x﹣
（1+cos2x）=sin（2x﹣
）﹣
，
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∴f（x）的最小周期T=
=π，最小值为：﹣1﹣
=﹣
．
（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣
）﹣
当x∈[
，π]时，有x﹣
∈[
，
]，从而sin（x﹣
）的值域为[
，1]，那么sin（x﹣
）﹣
的值
域为：[
，
]，
故g（x）在区间[
，π]上的值域是[
，
]．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
19．（12 分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值．
（Ⅰ）确定a 的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值，可得f′（﹣
）=0，即可确定a 的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（
x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．
∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=
处取得极值，
∴f′（﹣
）=0，
∴3a•
+2•（﹣
）=0，
∴a=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（
x3+x2）ex，
∴g′（x）=（
x2+2x）ex+（
x3+x2）ex=
x（x+1）（x+4）ex，
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1 或x=﹣4，
当x＜﹣4 时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1 时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0 时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0 时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于
中档题．
20．（12 分）如图，三棱锥P﹣ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=
，点D、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，
PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．
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【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB 与平面PEF 内
两条相交直线PE，EF 都垂直，可证AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC 可得△AFE∽△ABC，求得S△AFE=
S△ABC，由AD=
AE，可求S△AFD，从
而求得四边形DFBC 的面积，由（Ⅰ）知PE 为四棱锥P﹣DFBC 的高，求得PE，由体积VP﹣DFBC=
SDFBC•PE=7，即
可解得线段BC 的长．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．
因为∠ABC=
，EF∥BC，
故AB⊥EF，
从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE，EF 都垂直，
所以AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC 中，AB=
=
，
从而S△ABC=
AB•BC=
x
，
由EF∥BC 知
，得△AFE∽△ABC，
故
=（
）2=
，即S△AFE=
S△ABC，
由AD=
AE，S△AFD=
=
S△ABC=
S△ABC=
x
，
从而四边形DFBC 的面积为：SDFBC=S△ABC﹣SAFD=
x
﹣
x
=
x
．
由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE 为四棱锥P﹣DFBC 的高．
在直角△PEC 中，PE=
=
=2
，
故体积VP﹣DFBC=
SDFBC•PE=
x
=7，
故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9 或x2=27，由于x＞0，可得x=3 或x=3
．
所以：BC=3 或BC=3
．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论
证能力，考查了转化思想，属于中档题．
21．（13 分）如题图，椭圆
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2 的直线交椭圆于P，Q 两点，
且PQ⊥PF1．
（Ⅰ）若|PF1|=2+
，|PF2|=2﹣
，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且
≤λ＜
，试确定椭圆离心率e 的取值范围．
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【分析】（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|，解得a．设椭圆的半焦距为c，由于PQ⊥PF1，利用勾股定理可
得2c=|F1F2|=
，解得c．利用b2=a2﹣c2．即可得出椭圆的标准方程．
（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，可得|QF1|=
，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，
解得|PF1|=
．|PF2|=2a﹣|PF1|，由勾股定理可得：2c=|F1F2|=
，代入化简．令
t=1+λ
，则上式化为e2=
，解出即可．
【解答】解：（I）由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=（2+
）+（2﹣
）=4，解得a=2．
设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF1，
∴2c=|F1F2|=
=
=2
，
∴c=
．
∴b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆的标准方程为
．
（II）如图所示，由PQ⊥PF1，|PQ|=λ|PF1|，
∴|QF1|=
=
，
由椭圆的定义可得：2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|，
∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a，
∴
|PF1|=4a，解得|PF1|=
．
|PF2|=2a﹣|PF1|=
，
由勾股定理可得：2c=|F1F2|=
，
∴
+
=4c2，
∴
+
=e2．
令t=1+λ
，则上式化为
=
，
∵t=1+λ
，且
≤λ＜
，
∴t 关于λ单调递增，∴3≤t＜4．∴
，
∴
，解得
．
∴椭圆离心率的取值范围是
．
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【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
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2015 年浙江省高考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（
）
A．[3，4）
B．（2，3]
C．（﹣1，2）
D．（﹣1，3]
2．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（
）
A．8cm3 B．12cm3
C．
D．
3．（5 分）设a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）设α，β是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（
）
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
5．（5 分）函数f（x）=﹣（x﹣
）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房
间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，
c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（
）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
7．（5 分）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹
是（
）
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
8．（5 分）设实数a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t．则（
）
A．若t 确定，则b2 唯一确定
B．若t 确定，则a2+2a 唯一确定
C．若t 确定，则sin
唯一确定D．若t 确定，则a2+a 唯一确定
二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）
9．（6 分）计算：log2
=
，2
=
．
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10．（6 分）已知{an}是等差数列，公差d 不为零，若a2，a3，a7 成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=
，d=
．
11．（6 分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是
，最小值是
．
12．（6 分）已知函数f（x）=
，则f（f（﹣2））=
，f（x）的最小值是
．
13．（4 分）已知
1，
2 是平面单位向量，且
1•
2=
，若平面向量满足•
1= •
=1，则| |=
．
14．（4 分）已知实数x，y 满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是
．
15．（4 分）椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=
x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心
率是
．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知tan（
+A）=2．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若B=
，a=3，求△ABC 的面积．
17．（15 分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+
b2+
b3+…+
bn=bn+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求an 与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n 项和为Tn，求Tn．
18．（15 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1 在底面ABC 的射影为BC 的中点，
D 是B1C1 的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值．
19．（15 分）如图，已知抛物线C1：y=
x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O 的直线
PA，PB 分别与抛物线C1 和圆C2 相切，A，B 为切点．
（Ⅰ）求点A，B 的坐标；
（Ⅱ）求△PAB 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切
点．
20．（15 分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=
+1 时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．
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（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b 的取值范围．
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2015 年浙江省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知集合P={x|x2﹣2x≥3}，Q={x|2＜x＜4}，则P∩Q=（
）
A．[3，4）
B．（2，3]
C．（﹣1，2）
D．（﹣1，3]
【分析】求出集合P，然后求解交集即可．
【解答】解：集合P={x|x2﹣2x≥3}={x|x≤﹣1 或x≥3}，
Q={x|2＜x＜4}，
则P∩Q={x|3≤x＜4}=[3，4）．
故选：A．
【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（
）
A．8cm3 B．12cm3
C．
D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2 的正方体，上部是底面为边长2 的正方形高为2 的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+
×2×2×2=
．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
3．（5 分）设a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可．
【解答】解：a，b 是实数，如果a=﹣1，b=2 则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．
如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0 不成立，
所以设a，b 是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
4．（5 分）设α，β是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（
）
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
【分析】A 根据线面垂直的判定定理得出A 正确；
B 根据面面垂直的性质判断B 错误；
C 根据面面平行的判断定理得出C 错误；
D 根据面面平行的性质判断D 错误．
【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A 正确；
对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l 与m 可能平行，也可能垂直，∴B 错误；
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对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C 错误；
对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l 与m 可能平行，也可能异面，∴D 错误．
故选：A．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目．
5．（5 分）函数f（x）=﹣（x﹣
）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x 趋向于0 时，f（x）＞0，
结合所给的选项，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）=﹣（
﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，
且满足f（﹣x）=﹣（﹣
+x）cosx=（
﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．
故排除A、B．
当x=π，f（x）＞0，故排除D，
但是当x 趋向于0 时，f（x）＞0，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．
6．（5 分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房
间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，
c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（
）
A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz
【分析】作差法逐个选项比较大小可得．
【解答】解：∵x＜y＜z 且a＜b＜c，
∴ax+by+cz﹣（az+by+cx）
=a（x﹣z）+c（z﹣x）
=（x﹣z）（a﹣c）＞0，
∴ax+by+cz＞az+by+cx；
同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz）
=b（z﹣x）+c（x﹣z）
=（z﹣x）（b﹣c）＜0，
∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；
同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）
=a（z﹣y）+b（y﹣z）
=（z﹣y）（a﹣b）＜0，
∴az+by+cx＜ay+bz+cx，
∴最低费用为az+by+cx
故选：B．
【点评】本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．
7．（5 分）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB=30°，则点P 的轨迹
是（
）
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
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【分析】根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P 的轨迹为一以AB 为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求．
【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母
线平行时，得到抛物线．
此题中平面α上的动点P 满足∠PAB=30°，可理解为P 在以AB 为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段AB 与平面α所成的角为60°，可知P 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点P 的轨迹是椭圆．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
8．（5 分）设实数a，b，t 满足|a+1|=|sinb|=t．则（
）
A．若t 确定，则b2 唯一确定
B．若t 确定，则a2+2a 唯一确定
C．若t 确定，则sin
唯一确定D．若t 确定，则a2+a 唯一确定
【分析】根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案．
【解答】解：∵实数a，b，t 满足|a+1|=t，
∴（a+1）2=t2，
a2+2a=t2﹣1，
t 确定，则t2﹣1 为定值．
sin2b=t2，
A，C 不正确，
∴若t 确定，则a2+2a 唯一确定，
故选：B．
【点评】本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判断．
二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分）
9．（6 分）计算：log2
=
，2
=
．
【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可．
【解答】解：log2
=log2
=﹣
；
2
=
=
=3
．
故答案为：
；
．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查．
10．（6 分）已知{an}是等差数列，公差d 不为零，若a2，a3，a7 成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=
，d=
﹣1
．
【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣
a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列
的通项公式计算即可得到首项和公差．
【解答】解：由a2，a3，a7 成等比数列，
则a32=a2a7，
即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d），
即2d2+3a1d=0，
由公差d 不为零，
则d=﹣
a1，
又2a1+a2=1，
即有2a1+a1+d=1，
即3a1﹣
a1=1，
解得a1=
，d=﹣1．
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故答案为：
，﹣1．
【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的
合理运用．
11．（6 分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是
π
，最小值是
．
【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=
sin（2x﹣
）+
，由正弦函数的图象和性质即可求得
最小正周期，最小值．
【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1
=
+
sin2x+1
=
sin（2x﹣
）+
．
∴最小正周期T=
，最小值为：
．
故答案为：π，
．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
12．（6 分）已知函数f（x）=
，则f（f（﹣2））=
，f（x）的最小值是
2
﹣6
．
【分析】由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得．
【解答】解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4，
∴f（f（﹣2））=f（4）=4+
﹣6=﹣
；
∵当x≤1 时，f（x）=x2，
由二次函数可知当x=0 时，函数取最小值0；
当x＞1 时，f（x）=x+
﹣6，
由基本不等式可得f（x）=x+
﹣6≥2
﹣6=2
﹣6，
当且仅当x=
即x=
时取到等号，即此时函数取最小值2
﹣6；
∵2
﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2
﹣6
故答案为：﹣
；2
﹣6
【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题．
13．（4 分）已知
1，
2 是平面单位向量，且
1•
2=
，若平面向量满足•
1= •
=1，则| |=
．
【分析】根据数量积得出
1，
2 夹角为60°，＜，
1＞=＜，
2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可．
【解答】解：∵
1，
2 是平面单位向量，且
1•
2=
，
∴
1，
2 夹角为60°，
∵向量满足•
1= •
=1
∴与
1，
2 夹角相等，且为锐角，
∴应该在
1，
2 夹角的平分线上，
即＜，
1＞=＜，
2＞=30°，
| |×1×cos30°=1，
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∴| |=
故答案为：
【点评】本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可．
14．（4 分）已知实数x，y 满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是
15
．
【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线
的距离求得|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值．
【解答】解：如图，
由x2+y2≤1，
可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，
则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10，
令z=﹣3x﹣4y+10，得
，
如图，
要使z=﹣3x﹣4y+10 最大，则直线
在y 轴上的截距最小，
由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0．
则
，即z=15 或z=5．
由题意可得z 的最大值为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
15．（4 分）椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=
x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心
率是
．
【分析】设出Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．
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【解答】解：设Q（m，n），由题意可得
，
由①②可得：m=
，n=
，代入③可得：
，
可得，4e6+e2﹣1=0．
即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，
可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0
解得e=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知tan（
+A）=2．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若B=
，a=3，求△ABC 的面积．
【分析】（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解．
（Ⅱ）由tanA=
，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+
），可得
sinC，利用三角形面积公式即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）由tan（
+A）=2．可得tanA=
，
所以
=
=
．
（Ⅱ）由tanA=
，A∈（0，π），可得sinA=
，cosA=
．
又由a=3，B=
及正弦定理
，可得b=3
，
由sinC=sin（A+B）=sin（A+
），可得sinC=
．
设△ABC 的面积为S，则S=
absinC=9．
【点评】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，
属于中档题．
17．（15 分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+
b2+
b3+…+
bn=bn+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求an 与bn；
（Ⅱ）记数列{anbn}的前n 项和为Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；
再由b1=1，b1+
b2+
b3+…+
bn=bn+1﹣1，取n=1 求得b2=2，当n≥2 时，得另一递推式，作差得到
，
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整理得数列{
}为常数列，由此可得{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出
，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n 项和为Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得
．
由题意知，当n=1 时，b1=b2﹣1，故b2=2，
当n≥2 时，b1+
b2+
b3+…+
=bn﹣1，和原递推式作差得，
，整理得：
，
∴
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
因此
，
两式作差得：
，
（n∈N*）．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，
以及推理论证能力，是中档题．
18．（15 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1 在底面ABC 的射影为BC 的中点，
D 是B1C1 的中点．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值．
【分析】（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断．
（II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C 的法向量=（
，0，1），|根据与
数量积求解余弦值，即可得出
直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值．
【解答】证明：（I）∵AB=AC=2，D 是B1C1 的中点．
∴A1D⊥B1C1，
∵BC∥B1C1，
∴A1D⊥BC，
∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，
∴A1O⊥AO，A1O⊥BC
∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC
∴A1D⊥平面A1BC
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解：（II）
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4
∴O（0，0，0），B（0，
，0），B1（﹣
，
，
），A1（0，0，
）
即
=（0，
，﹣
），
=（0，
，0），
=（
，0，
），
设平面BB1C1C 的法向量为=（x，y，z），
即得出
得出=（
，0，1），|
|=4，| |=
∵
=
，
∴cos＜，
＞=
=
，
可得出直线A1B 和平面BB1C1C 所成的角的正弦值为
【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于
中档题．
19．（15 分）如图，已知抛物线C1：y=
x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O 的直线
PA，PB 分别与抛物线C1 和圆C2 相切，A，B 为切点．
（Ⅰ）求点A，B 的坐标；
（Ⅱ）求△PAB 的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切
点．
【分析】
（I）由直线PA 的斜率存在，设切线PA 的方程为：y=k（x﹣t）
（k≠0），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，
利用△=0，解得k=t，可得A 坐标．圆C2 的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B 与O 关于直线PD
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对称，可得
，解得B 坐标．
（II）由（I）可得：
（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P 到直线AB 的距离d，又|AB|=
．即
可得出S△PAB=
．
【解答】解：（I）由直线PA 的斜率存在，设切线PA 的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立
，
化为x2﹣4kx+4kt=0，
∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t2）．
圆C2 的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B 与O 关于直线PD 对称，
∴
，解得
．
∴B
．
（II）由（I）可得：kAB=
=
，直线AB 的方程为：y﹣t2=
，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，
∴点P 到直线AB 的距离d=
=
=t，
又|AB|=
=t2．
∴S△PAB=
=
．
【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离
公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属
于难题．
20．（15 分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=
+1 时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式．
（Ⅱ）已知函数f（x）在[﹣1，1]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小
值；
（Ⅱ）设s，t 是方程f（x）=0 的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s 的不等式，讨论t 的范围，
得到st 的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当b=
+1 时，f（x）=（x+
）2+1，对称轴为x=﹣
，
当a≤﹣2 时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=
+a+2；
当﹣2＜a≤2 时，即有﹣1≤﹣
＜1，则g（a）=f（﹣
）=1；
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当a＞2 时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=
﹣a+2．
综上可得，g（a）=
；
（Ⅱ）设s，t 是方程f（x）=0 的解，且﹣1≤t≤1，
则
，
由于0≤b﹣2a≤1，
由此
≤s≤
（﹣1≤t≤1），
当0≤t≤1 时，
≤st≤
，
由﹣
≤
≤0，由
=9﹣[（2（t+2）+
]≤9﹣2
，
得﹣
≤
≤9﹣4
，
所以﹣
≤b≤9﹣4
；
当﹣1≤t＜0 时，
≤st≤
，
由于﹣2≤
＜0 和﹣3≤
＜0，所以﹣3≤b＜0，
故b 的取值范围是[﹣3，9﹣4
]．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运
用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题．
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2015 年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：每题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（
）
A．{3}
B．{2，5}
C．{1，4，6}
D．{2，3，5}
2．（5 分）若实数x，y 满足条件
，则z=3x+y 的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．14
3．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．（5 分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3
相切，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣y2=1D．x2﹣
=1
6．（5 分）如图，在圆O 中，M、N 是弦AB 的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，
则线段NE 的长为（
）
A．
B．3
C．
D．
7．（5 分）已知定义在R 上的函数f（x）=2
|x﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），
则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
8．（5 分）已知函数f（x）=
，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数
为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
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二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．（5 分）i 是虚数单位，计算
的结果为
．
10．（5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
m3．
11．（5 分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a 为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a
的值为
．
12．（5 分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a 的值为
时，log2a•log2（2b）取得最大值．
13．
（5 分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且
=
，
=
，则
•
的值为
．
14．（5 分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数
y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为
．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会
中抽取6 名运动员组队参加比赛．
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6 名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6 名运动员中随机抽取2 人参
加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A 为事件“编号为A5 和A6 的两名运动员中至少有1 人被抽到”，求事件A 发生的概率．
16．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3
，b﹣c=2，cosA=﹣
．
（Ⅰ）求a 和sinC 的值；
（Ⅱ）求cos（2A+
）的值．
17．（13 分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2
，AA1=
，BB1=2
，点E 和F 分别为
BC 和A1C 的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）求直线A1B1 与平面BCB1 所成角的大小．
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18．（13 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n 项和．
19．（14 分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为
．
（Ⅰ）求直线BF 的斜率．
（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P（P 异于点B），过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q（Q 异于点B），直线
PQ 与y 轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．
（i）求λ的值．
（ii）若|PM|sin∠BQP=
，求椭圆的方程．
20．（14 分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x 轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，
都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a 为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣
+4
．
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2015 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：每题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（
）
A．{3}
B．{2，5}
C．{1，4，6}
D．{2，3，5}
【分析】求出集合B 的补集，然后求解交集即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}，
则集合A∩∁UB={2，5}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．
2．（5 分）若实数x，y 满足条件
，则z=3x+y 的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．14
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=3x+y 得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，
由图象可知当直线y=﹣3x+z 经过点A 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，
此时z 最大．
由
，解得
，即A（2，3），
代入目标函数z=3x+y 得z=3×2+3=9．
即目标函数z=3x+y 的最大值为9．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法．
3．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S 的值，当S=0 时满足条件S≤1，退出循环，输出i 的
值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=10，i=0
i=1，S=9
不满足条件S≤1，i=2，S=7
不满足条件S≤1，i=3，S=4
不满足条件S≤1，i=4，S=0
满足条件S≤1，退出循环，输出i 的值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5 分）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：∵|x﹣2|＜1，
∴1＜x＜3，
∵“1＜x＜2”
∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．
5．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3
相切，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣y2=1D．x2﹣
=1
【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得
，求出a，b 的关系，
结合焦点为F（2，0），求出a，b 的值，即可得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，
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∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3 相切，
∴
，
∴b=
a，
∵焦点为F（2，0），
∴a2+b2=4，
∴a=1，b=
，
∴双曲线的方程为x2﹣
=1．
故选：D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b 的值，是
解题的关键．
6．（5 分）如图，在圆O 中，M、N 是弦AB 的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，
则线段NE 的长为（
）
A．
B．3
C．
D．
【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE 即可．
【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，
∴2×4=AM•2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB，
∴3×NE=4×2，
∴NE=
．
故选：A．
【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5 分）已知定义在R 上的函数f（x）=2
|x﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），
则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2
|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根
据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较
自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c 的大小．
【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
∴2
|﹣x﹣m|﹣1=2
|x﹣m|﹣1；
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=2
|x|﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；
∵0＜log23＜log25；
∴c＜a＜b．
故选：C．
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【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，
+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．
8．（5 分）已知函数f（x）=
，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数
为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用
数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），
由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
即h（x）=
，
作出函数h（x）的图象如图：
当y=3 时，两个函数有2 个交点，
故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2 个，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．（5 分）i 是虚数单位，计算
的结果为
﹣i
．
【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．
【解答】解：i 是虚数单位，
=
=
=﹣i．
故答案为：﹣i．
【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．
10．（5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
m3．
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【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V 几何体=2×
π•12×1+π•12•2
=
π．
故答案为：
π．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．（5 分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a 为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a
的值为
3
．
【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．
【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna•axlnx+
ax，又f′（1）=3，所以a=3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．
12．（5 分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a 的值为
4
时，log2a•log2（2b）取得最大值．
【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4 时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论．
【解答】解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a 和log2（2b）都是正数，
故有a＞1．
再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤
=
=
=4，
当且仅当a=2b=4 时，取等号，即当a=4 时，log2a•log2（2b）取得最大值，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．
13．
（5 分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且
=
，
=
，则
•
的值为
．
【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．
【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，
∴BG=
=
，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，
∵
=
，
=
，
∴
•
=（
+
）•（
+
）=（
+
）•（
+
）
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=
•
+
•
+
•
+
•
=2×1×cos60°+
×2×1×cos0°+
×1×1×cos60°+
×
×1×1×cos120°
=1+
=
，
故答案为：
【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．
14．（5 分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数
y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为
．
【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=
sin（ωx+
），由2kπ﹣
≤ωx+
≤2kπ+
，k
∈Z 可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥
①，ω≤
②，k∈Z，从而解得
k=0，又由ωx+
=kπ+
，可解得函数f（x）的对称轴为：x=
，k∈Z，结合已知可得：ω2=
，从而可求
ω的值．
【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=
sin（ωx+
），
∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0
∴2kπ﹣
≤ωx+
≤2kπ+
，k∈Z 可解得函数f（x）的单调递增区间为：[
，
]，k∈Z，
∴可得：﹣ω≥
①，ω≤
②，k∈Z，
∴解得：0＜ω2≤
且0＜ω2≤2k
，k∈Z，
解得：﹣
，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+
=kπ+
，可解得函数f（x）的对称轴为：x=
，k∈Z，
∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=
，可解得：ω=
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k
的值是解题的关键，属于中档题．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会
中抽取6 名运动员组队参加比赛．
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（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
（Ⅱ）将抽取的6 名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6 名运动员中随机抽取2 人参
加双打比赛．
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设A 为事件“编号为A5 和A6 的两名运动员中至少有1 人被抽到”，求事件A 发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；
（Ⅱ）（i）列举可得从6 名运动员中随机抽取2 名的所有结果共15 种；
（ii）事件A 包含上述9 个，由概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为
=
，
27×
=3，9×
=1，18×
=2，
∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；
（Ⅱ）（i）从6 名运动员中随机抽取2 名的所有结果为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），
共15 种；
（ii）设A 为事件“编号为A5 和A6 的两名运动员中至少有1 人被抽到”，
则事件A 包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），
（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9 个基本事件，
∴事件A 发生的概率P=
=
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．
16．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3
，b﹣c=2，cosA=﹣
．
（Ⅰ）求a 和sinC 的值；
（Ⅱ）求cos（2A+
）的值．
【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC 的值；
（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+
），然后直接求解即可．
【解答】解：
（Ⅰ）在三角形ABC 中，由cosA=﹣
，可得sinA=
，△ABC 的面积为3
，可得：
，
可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，
，解得sinC=
；
（Ⅱ）cos（2A+
）=cos2Acos
﹣sin2Asin
=
=
．
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．
17．（13 分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2
，AA1=
，BB1=2
，点E 和F 分别为
BC 和A1C 的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）求直线A1B1 与平面BCB1 所成角的大小．
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【分析】（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；
（Ⅲ）取BB1 中点M 和B1C 中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N 即为直线A1B1 与平面BCB1 所成角，解三角
形可得．
【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC 中，
∵E 和F 分别是BC 和A1C 的中点，∴EF∥A1B，
又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，
∴EF∥平面A1B1BA；
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E 为BC 中点，∴AE⊥BC，
∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，
又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；
（Ⅲ）取BB1 中点M 和B1C 中点N，连接A1M，A1N，NE，
∵N 和E 分别为B1C 和BC 的中点，∴NE 平行且等于
B1B，
∴NE 平行且等于A1A，∴四边形A1AEN 是平行四边形，
∴A1N 平行且等于AE，
又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，
∴∠A1B1N 即为直线A1B1 与平面BCB1 所成角，
在△ABC 中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，
∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB 且A1M=AB，
又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，
在RT△A1MB1 中，A1B1=
=4，
在RT△A1NB1 中，sin∠A1B1N=
=
，
∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1 与平面BCB1 所成角的大小为30°
【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．
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18．（13 分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n 项和．
【分析】（Ⅰ）设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d 的方程组，求解方程组得到q，d 的
值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）由题意得到
，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n 项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，
由已知有
，消去d 整理得：q4﹣2q2﹣8=0．
∵q＞0，解得q=2，∴d=2，
∴数列{an}的通项公式为
，n∈N*；
数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
，
设{cn}的前n 项和为Sn，则
，
，
两式作差得：
=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．
∴
．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．
19．（14 分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为
．
（Ⅰ）求直线BF 的斜率．
（Ⅱ）设直线BF 与椭圆交于点P（P 异于点B），过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q（Q 异于点B），直线
PQ 与y 轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．
（i）求λ的值．
（ii）若|PM|sin∠BQP=
，求椭圆的方程．
【分析】（Ⅰ）通过e=
、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；
（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）通过（I），联立直线BF 与椭圆方程，利用韦达定理可得
xP=﹣
，利用BQ⊥BP，联立直线BQ 与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=
，计算即得结论；（ii）通过
=
可得|PQ|=
|PM|，利用|PM|sin∠BQP=
，可得|BP|=
，通过yP=2xP+2c=﹣
c 计算可得c=1，进而可得
结论．
【解答】解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），
∵离心率e=
，a2=b2+c2，∴a=
c，b=2c，
又∵B（0，b），∴直线BF 的斜率k=
=
=2；
（Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．
（i）由（I）知a=
c，b=2c，kBF=2，
∴椭圆方程为
+
=1，直线BF 方程为y=2x+2c，
联立直线BF 与椭圆方程，消去y 并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=﹣
，
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∵BQ⊥BP，∴直线BQ 的方程为：y=﹣
x+2c，
联立直线BQ 与椭圆方程，消去y 并整理得：21x2﹣40cx=0，解得xQ=
，
又∵λ=
，及xM=0，∴λ=
=
=
；
（ii）∵
=
，∴
=
=
，即|PQ|=
|PM|，
又∵|PM|sin∠BQP=
，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=
|PM|sin∠BQP=
，
又∵yP=2xP+2c=﹣
c，∴|BP|=
=
c，
因此
=
c，即c=1，
∴椭圆的方程为：
+
=1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥
曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．
20．（14 分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x 轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，
都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a 为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣
+4
．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号
得到原函数的单调性；
（Ⅱ）设出点p 的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利
用导数得到对于任意实数x，
有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
，求出方程g（x）=a 的根
，由g（x）在（﹣∞，+∞）
上单调递减，得到x2≤x2′．
同理得到x1′≤x1，则可证得
．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．
当f′（x）＞0，即x＜1 时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞1 时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：设点p 的坐标为（x0，0），则
，f′（x0）=﹣12，
曲线y=f（x）在点P 处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），
令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），
则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．
∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，
，设方程g（x）=a 的根为x2′，可得
．
∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），
因此x2≤x2′．
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类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，
对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．
设方程h（x）=a 的根为x1′，可得
，
∵h（x）=4x 在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），
因此x1′≤x1，
由此可得
．
【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化
归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．
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2015 年四川省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（
）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|﹣1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|1＜x＜2}
2．（5 分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
3．（5 分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年
级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（
）
A．抽签法
B．系统抽样法
C．分层抽样法
D．随机数法
4．（5 分）设a，b 为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（
）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（
）
A．y=cos（2x+
）
B．y=sin（2x+
）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
6．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
7．（5 分）过双曲线x2﹣
=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=
（
）
A．
B．2
C．6
D．4
8．（5 分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718…为自然对
数的底数，k，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时，在22℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在33℃
的保鲜时间是（
）
A．16 小时
B．20 小时
C．24 小时
D．28 小时
9．（5 分）设实数x，y 满足
，则xy 的最大值为（
）
A．
B．
C．12
D．16
10．（5 分）设直线l 与抛物线y2=4x 相交于A、B 两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M 为线段AB
的中点，若这样的直线l 恰有4 条，则r 的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
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二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．（5 分）设i 是虚数单位，则复数i﹣
=
．
12．（5 分）lg0.01+log216 的值是
．
13．（5 分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是
．
14．（5 分）在三棱住ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1 的正方形，俯视图是直角边长
为1 的等腰直角三角形，设M，N，P 分别是AB，BC，B1C1 的中点，则三棱锥P﹣A1MN 的体积是
．
15．（5 分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=
，
n=
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有
（写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n 项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3 成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列
的前n 项和为Tn，求Tn．
17．（12 分）一辆小客车上有5 名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为1，2，
3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1 因身体原因没有坐自己1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以
下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5 个座位的剩余
空位中选择座位．
（Ⅰ）若乘客P1 坐到了3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4 种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入
余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
（Ⅱ）若乘客P1 坐到了2 号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5 坐到5 号座位的概率．
18．（12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（Ⅰ）请按字母F，G，H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并说明你的结论．
（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．
19．（12 分）已知A、B、C 为△ABC 的内角，tanA，tanB 是关于方程x2+
px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．
（Ⅰ）求C 的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC=
，求p 的值．
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20．（13 分）如图，椭圆E：
=1（a＞b＞0）的离心率是
，点P（0，1）在短轴CD 上，且
•
=﹣1
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A、B 两点．是否存在常数λ，使得
•
+λ
•
为定值？
若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
21．（14 分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+∞）内有唯一解．
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2015 年四川省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|1＜x＜3}，则M∪N=（
）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|﹣1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|1＜x＜2}
【分析】根据并集的定义解答即可．
【解答】解：根据并集的定义知：M∪N={x|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．
2．（5 分）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x．
【解答】解；因为向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，
所以4x=2×6，解得x=3；
故选：B．
【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量=（x，y）与向量=（m，n）共线，那么xn=ym．
3．（5 分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年
级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（
）
A．抽签法
B．系统抽样法
C．分层抽样法
D．随机数法
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，
比较合理．
故选：C．
【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．
4．（5 分）设a，b 为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（
）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出log2a＞log2b＞0 的充要条件，再和a＞b＞1 比较，从而求出答案．
【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1，
故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件，
故选：A．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．
5．（5 分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（
）
A．y=cos（2x+
）
B．y=sin（2x+
）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【解答】解：
y=cos（2x+
）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确
y=sin（2x+
）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；
y=sin2x+cos2x=
sin（2x+
），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；
y=sinx+cosx=
sin（x+
），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；
故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．
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6．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5 时满足条件k＞4，计算并输出S 的值为
．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=1
k=2
不满足条件k＞4，k=3
不满足条件k＞4，k=4
不满足条件k＞4，k=5
满足条件k＞4，S=sin
=
，
输出S 的值为
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
7．（5 分）过双曲线x2﹣
=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=
（
）
A．
B．2
C．6
D．4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB 的方程，得到AB 坐标，即可求解|AB|．
【解答】解：双曲线x2﹣
=1 的右焦点（2，0），渐近线方程为y=
，
过双曲线x2﹣
=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，x=2，
可得yA=2
，yB=﹣2
，
∴|AB|=4
．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
8．（5 分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718…为自然对
数的底数，k，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时，在22℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在33℃
的保鲜时间是（
）
A．16 小时
B．20 小时
C．24 小时
D．28 小时
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【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb 的值，运用指数幂的运算
性质求解e33k+b 即可．
【解答】解：y=ekx+b （e=2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数）．
当x=0 时，eb=192，
当x=22 时e22k+b=48，
∴e22k=
=
e11k=
eb=192
当x=33 时，e33k+b=（ek）33•（eb）=（
）3×192=24
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．
9．（5 分）设实数x，y 满足
，则xy 的最大值为（
）
A．
B．
C．12
D．16
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；
由图象知y≤10﹣2x，
则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（
）2=
，
当且仅当x=
，y=5 时，取等号，
经检验（
，5）在可行域内，
故xy 的最大值为
，
故选：A．
【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
10．（5 分）设直线l 与抛物线y2=4x 相交于A、B 两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M 为线段AB
的中点，若这样的直线l 恰有4 条，则r 的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
【分析】先确定M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2
，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可
得出结论．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，
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则
，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
当l 的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，
因为直线与圆相切，所以
=﹣
，所以x0=3，
即M 的轨迹是直线x=3．
将x=3 代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2
，
∵M 在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，
∵直线l 恰有4 条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，
故2＜r＜4 时，直线l 有2 条；
斜率不存在时，直线l 有2 条；
所以直线l 恰有4 条，2＜r＜4，
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．（5 分）设i 是虚数单位，则复数i﹣
=
2i
．
【分析】直接利用复数的运算法则求解即可．
【解答】解：复数i﹣
=i﹣
=i+i=2i．
故答案为：2i．
【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力．
12．（5 分）lg0.01+log216 的值是
2
．
【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．
【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
13．（5 分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是
﹣1
．
【分析】已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可
求出值．
【解答】解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα，
∴tanα=﹣2，
则原式=
=
=
=
=﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
14．（5 分）在三棱住ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1 的正方形，俯视图是直角边长
为1 的等腰直角三角形，设M，N，P 分别是AB，BC，B1C1 的中点，则三棱锥P﹣A1MN 的体积是
．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣AMN 的体积即可．
【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1 的直
三棱柱，底面积为
，所求三棱锥的高为NP=1，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的
，
所求三棱锥P﹣A1MN 的体积是：
=
．
故答案为：
．
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【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，
考查空间想象能力以及计算能力．
15．（5 分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=
，
n=
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有
①④
（写出所有真命题的序号）．
【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．
【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R 上递增，即有m＞0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣
）递减，在（﹣
，+∞）递增，则n＞0 不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），
考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2，
当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0 或小于0，则④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关
键．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）设数列{an}（n=1，2，3…）的前n 项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3 成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列
的前n 项和为Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）由条件Sn 满足Sn=2an﹣a1，求得数列{an}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3 成等差数列，
求得首项的值，可得数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由于
=
，利用等比数列的前n 项和公式求得数列
的前n 项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2），
即an=2an﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．
又因为a1，a2+1，a3 成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）
所以a1+4a1=2（2a1+1），
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解得：a1=2．
所以，数列{an}是首项为2，公比为2 的等比数列．
故an=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=
，
所以Tn=
+
+
+…+
=
=1﹣
．
【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，
属于中档题．
17．（12 分）一辆小客车上有5 名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5 的座位号分别为1，2，
3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1 因身体原因没有坐自己1 号座位，这时司机要求余下的乘客按以
下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5 个座位的剩余
空位中选择座位．
（Ⅰ）若乘客P1 坐到了3 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4 种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入
余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
（Ⅱ）若乘客P1 坐到了2 号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5 坐到5 号座位的概率．
【分析】（Ⅰ）根据题意，可以完成表格；
（Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1 坐到5 号座位的概率．
【解答】解：（Ⅰ）余下两种坐法：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
（Ⅱ）若乘客P1 坐到了2 号座位，其他乘客按规则就坐，则
所有可能的坐法可用下表表示为
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是，所有可能的坐法共8 种，
设“乘客P5 坐到5 号座位”为事件A，则事件A 中的基本事件的个数为4，所以P（A）=
=
．
答：乘客P5 坐到5 号座位的概率是
．
【点评】本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键．
18．（12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
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（Ⅰ）请按字母F，G，H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并说明你的结论．
（Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG．
【分析】（Ⅰ）直接标出点F，G，H 的位置．
（Ⅱ）先证BCHE 为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可
证明DF⊥平面BEG．
【解答】解：（Ⅰ）点F，G，H 的位置如图所示．
（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下：
∵ABCD﹣EFGH 为正方体，
∴BC∥FG，BC=EH，
又FG∥EH，FG=EH，
∴BC∥EH，BC=EH，
∴BCHE 为平行四边形．
∴BE∥CH，
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
∴BE∥平面ACH，
同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG=B，
∴平面BEG∥平面ACH．
（Ⅲ）连接FH，
∵ABCD﹣EFGH 为正方体，
∴DH⊥EG，
又∵EG⊂平面EFGH，
∴DH⊥EG，
又EG⊥FH，EG∩FH=O，
∴EG⊥平面BFHD，
又DF⊂平面BFHD，
∴DF⊥EG，
同理DF⊥BG，
又∵EG∩BG=G，
∴DF⊥平面BEG．
【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象
能力和推理论证能力，属于中档题．
19．（12 分）已知A、B、C 为△ABC 的内角，tanA，tanB 是关于方程x2+
px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．
（Ⅰ）求C 的大小
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（Ⅱ）若AB=3，AC=
，求p 的值．
【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥
，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣
p，tanAtanB=1
﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=
，结合C 的范围即可求C 的值．
（Ⅱ）由正弦定理可求sinB=
=
，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=
﹣
（tanA+tanB）的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+
px﹣p+1=0 的判别式：△=（
p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，
所以p≤﹣2，或p≥
．
由韦达定理，有tanA+tanB=﹣
p，tanAtanB=1﹣p．
所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，
从而tan（A+B）=
=﹣
=﹣
．
所以tanC=﹣tan（A+B）=
，
所以C=60°．
（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB=
=
=
，
解得B=45°，或B=135°（舍去）．
于是，A=180°﹣B﹣C=75°．
则tanA=tan75°=tan（45°+30°）=
=
=2+
．
所以p=﹣
（tanA+tanB）=﹣
（2+
）=﹣1﹣
．
【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、
化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．
20．（13 分）如图，椭圆E：
=1（a＞b＞0）的离心率是
，点P（0，1）在短轴CD 上，且
•
=﹣1
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A、B 两点．是否存在常数λ，使得
•
+λ
•
为定值？
若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）通过e=
、
•
=﹣1，计算即得a=2、b=
，进而可得结论；
（Ⅱ）分情况对直线AB 斜率的存在性进行讨论：①当直线AB 的斜率存在时，联立直线AB 与椭圆方程，利用韦达
定理计算可得当λ=1 时
•
+λ
•
=﹣3；②当直线AB 的斜率不存在时，
•
+λ
•
=﹣3．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），
又∵P（0，1），且
•
=﹣1，
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∴
，解得a=2，b=
，
∴椭圆E 的方程为：
+
=1；
（Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得
•
+λ
•
为定值﹣3．
理由如下：
对直线AB 斜率的存在性进行讨论：
①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+1，
A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，消去y 并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2=﹣
，x1x2=﹣
，
从而
•
+λ
•
=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]
=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
=
=﹣
﹣λ﹣2．
∴当λ=1 时，﹣
﹣λ﹣2=﹣3，
此时
•
+λ
•
=﹣3 为定值；
②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 即为直线CD，
此时
•
+λ
•
=
+
=﹣2﹣1=﹣3；
故存在常数λ=1，使得
•
+λ
•
为定值﹣3．
【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化
归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14 分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+∞）内有唯一解．
【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′
（x）=
=
，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．
（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数
零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可
得出．
【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．
g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）=
=
，
当0＜x＜1 时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当1＜x 时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，
令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，
则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，
∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，
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令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
由v′（x）=1﹣
≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．
∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0 时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．
再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；
又当x∈（0，1]，f（x）=
﹣2xlnx＞0．
故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0 恒成立．
综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+∞）内有唯一解．
【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、
推理能力与计算能力，属于难题．
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2015 年上海市高考数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共14 小题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律零分）
1．（4 分）函数f（x）=1﹣3sin2x 的最小正周期为
．
2．（4 分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=
．
3．（4 分）若复数z 满足3z+ =1+i，其中i 是虚数单位，则z=
．
4．（4 分）设f
﹣1（x）为f（x）=
的反函数，则f
﹣1（2）=
．
5．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则c1﹣c2=
．
6．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16
，则a=
．
7．（4 分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p=
．
8．（4 分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2 的解为
．
9．（4 分）若x，y 满足
，则目标函数z=x+2y 的最大值为
．
10．（4 分）在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取
方式的种数为
（结果用数值表示）．
11．（4 分）在（2x+
）6 的二项式中，常数项等于
（结果用数值表示）．
12．（4 分）已知双曲线C1、C2 的顶点重合，C1 的方程为
﹣y2=1，若C2 的一条渐近线的斜率是C1 的一条渐近线
的斜率的2 倍，则C2 的方程为
．
13．（4 分）已知平面向量、、满足⊥，且| |，| |，| |}={1，2，3}，则| + + |的最大值是
．
14．（4 分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm 满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）
﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m 的最小值为
．
二、选择题（本大题共4 小题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表
答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律零分.
15．（5 分）设z1、z2∈C，则“z1、z2 均为实数”是“z1﹣z2 是实数”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．（5 分）下列不等式中，与不等式
＜2 解集相同的是（
）
A．（x+8）（x2+2x+3）＜2
B．x+8＜2（x2+2x+3）
C．
＜
D．
＞
17．（5 分）已知点A 的坐标为（4
，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
至OB，则点B 的纵坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
18．（5 分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=
（n∈N*）与圆x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限
=（
）
A．﹣1
B．﹣
C．1
D．2
三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12 分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C 为半圆弧
的中点，E 为劣弧
的中
点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．
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20．（14 分）已知函数f（x）=ax2+
，其中a 为常数
（1）根据a 的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．
21．（14 分）如图，O，P，Q 三地有直道相通，OP=3 千米，PQ=4 千米，OQ=5 千米，现甲、乙两警员同时从O 地
出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5 千米/小时，
乙的路线是OPQ，速度为8 千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待．设t=t1 时乙到达P 地，t=t2 时乙到达Q 地．
（1）求t1 与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米，当t1≤t≤t2 时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上
的最大值是否超过3？说明理由．
22．（16 分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1 和l2 分别与椭圆交于点A、B 和C、D，记△AOC 的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l1 的距离，并证明S=
|；
（2）设l1：y=kx，
，S=
，求k 的值；
（3）设l1 与l2 的斜率之积为m，求m 的值，使得无论l1 和l2 如何变动，面积S 保持不变．
23．（18 分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；
（2）设{an}的第n0 项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n0 项是最大项；
（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且
．
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2015 年上海市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律零分）
1．（4 分）函数f（x）=1﹣3sin2x 的最小正周期为
π
．
【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．
【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3
=﹣
+
cos2x，
∴函数的最小正周期为
=π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．
2．（4 分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=
{2，3}
．
【分析】由A 与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，
∴A∩B={2，3}，
故答案为：{2，3}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（4 分）若复数z 满足3z+ =1+i，其中i 是虚数单位，则z=
．
【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），
又3z+ =1+i，
∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，
化为4a+2bi=1+i，
∴4a=1，2b=1，
解得a=
，b=
．
∴z=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
4．（4 分）设f
﹣1（x）为f（x）=
的反函数，则f
﹣1（2）=
﹣
．
【分析】由原函数解析式把x 用含有y 的代数式表示，x，y 互换求出原函数的反函数，则f
﹣1（2）可求．
【解答】解：由y=f（x）=
，得
，
x，y 互换可得，
，即f
﹣1（x）=
．
∴
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．
5．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则c1﹣c2=
16
．
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【分析】根据增广矩阵的定义得到
，是方程组
的解，解方程组即可．
【解答】解：由题意知
，是方程组
的解，
即
，
则c1﹣c2=21﹣5=16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
6．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16
，则a=
4
．
【分析】由题意可得（
•a•a•sin60°）•a=16
，由此求得a 的值．
【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为
•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，
∴（
•a•a•sin60°）•a=16
，∴a=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
7．（4 分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p=
2
．
【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，
所以
=1，
所以p=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
8．（4 分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2 的解为
2
．
【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．
【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，
∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），
化为（3x）2﹣12•3x+27=0，
因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，
∴3x=3，3x=9，
解得x=1 或2．
经过验证：x=1 不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
9．（4 分）若x，y 满足
，则目标函数z=x+2y 的最大值为
3
．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y 得y=﹣
x+
z，
平移直线y=﹣
x+
z，
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由图象可知当直线y=﹣
x+
z 经过点B 时，直线y=﹣
x+
z 的截距最大，
此时z 最大．
由
，解得
，即B（1，1），
代入目标函数z=x+2y 得z=2×1+1=3
故答案为：3．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性
规划问题中的基本方法．
10．（4 分）在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取
方式的种数为
120
（结果用数值表示）．
【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9 名老师中选取5 人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，
再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
【解答】解：根据题意，报名的有3 名男老师和6 名女教师，共9 名老师，
在9 名老师中选取5 人，参加义务献血，有C95=126 种；
其中只有女教师的有C65=6 种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120 种；
故答案为：120．
【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
11．（4 分）在（2x+
）6 的二项式中，常数项等于
240
（结果用数值表示）．
【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0 求得r 值，则答案可求．
【解答】解：由（2x+
）6，得
=
．
由6﹣3r=0，得r=2．
∴常数项等于
．
故答案为：240．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（4 分）已知双曲线C1、C2 的顶点重合，C1 的方程为
﹣y2=1，若C2 的一条渐近线的斜率是C1 的一条渐近线
的斜率的2 倍，则C2 的方程为
．
【分析】求出C1 的一条渐近线的斜率，可得C2 的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2 的顶点重合，可得C2 的方
程．
【解答】解：C1 的方程为
﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=
，
因为C2 的一条渐近线的斜率是C1 的一条渐近线的斜率的2 倍，
所以C2 的一条渐近线的方程为y=x，
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因为双曲线C1、C2 的顶点重合，
所以C2 的方程为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（4 分）已知平面向量、、满足⊥，且| |，| |，| |}={1，2，3}，则| + + |的最大值是
3+
．
【分析】分别以
所在的直线为x，y 轴建立直角坐标系，分类讨论：当{| |，| |}={1，2}，| |=3，设
，
则x2+y2=9，则+ + =（1+x，2+y），有|
|=
的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9 上点（x，
y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．
【解答】解：分别以
所在的直线为x，y 轴建立直角坐标系，
①当{| |，| |}={1，2}，| |=3，则
，
设
，则x2+y2=9，
∴+ + =（1+x，2+y），
∴|
|=
的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9 上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的
最大值为
=3+
；
②且{| |，| |}={1，3}，| |=2，则
，x2+y2=4，
∴+ + =（1+x，3+y）
∴|
|=
的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4 上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的
最大值为2+
=2+
，
③{| |，| |}={2，3}，| |=1，则
，
设
，则x2+y2=1
∴+ + =（2+x，3+y）
∴|
|=
的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1
上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+
=1+
∵
，
故| + + |的最大值为3+
．
故答案为：3+
【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离
的最大值：r+d（r 为该圆的半径，d 为该点与圆心的距离）．
14．（4 分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm 满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）
﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m 的最小值为
8
．
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f
（x）min=2，要使m 取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小
m 值．
【解答】解：∵y=sinx 对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，
要使m 取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，
按下图取值即可满足条件，
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∴m 的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对
任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2 是解答该题的关键，是难题．
二、选择题（本大题共4 小题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表
答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律零分.
15．（5 分）设z1、z2∈C，则“z1、z2 均为实数”是“z1﹣z2 是实数”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．
【解答】解：若z1、z2 均为实数，则z1﹣z2 是实数，即充分性成立，
当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0 是实数，但z1、z2 均为实数不成立，即必要性不成立，
故“z1、z2 均为实数”是“z1﹣z2 是实数”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．
16．（5 分）下列不等式中，与不等式
＜2 解集相同的是（
）
A．（x+8）（x2+2x+3）＜2
B．x+8＜2（x2+2x+3）
C．
＜
D．
＞
【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式
＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．
【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式
＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
17．（5 分）已知点A 的坐标为（4
，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
至OB，则点B 的纵坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：∵点A 的坐标为（4
，1），
∴设∠xOA=θ，则sinθ=
=
，cosθ=
=
，
将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
至OB，
则OB 的倾斜角为θ+
，则|OB|=|OA|=
，
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则点B 的纵坐标为y=|OB|sin（θ+
）=7（sinθcos
+cosθsin
）=7（
×
+
）=
+6=
，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
18．（5 分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=
（n∈N*）与圆x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限
=（
）
A．﹣1
B．﹣
C．1
D．2
【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=
趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用
圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=
趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（1，1），
而
可看作点Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2 在点（1，1）处的切线的斜率，
其斜率为﹣1．
∴
=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12 分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C 为半圆弧
的中点，E 为劣弧
的中
点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．
【分析】由条件便知PO 为三棱锥P﹣AOC 的高，底面积S△AOC 又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三
棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE 所成角为∠PAC，可取AC 中点H，连接PH，
便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH 中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．
【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；
∴
；
E 为劣弧
的中点；
∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；
∴OE∥AC；
∴∠PAC 便是异面直线PA 和OE 所成角；
在△ACP 中，AC=
，
；
如图，取AC 中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=
；
∴在Rt△PAH 中，cos∠PAH=
；
∴异面直线PA 与OE 所成角的大小为arccos
．
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【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的
定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．
20．（14 分）已知函数f（x）=ax2+
，其中a 为常数
（1）根据a 的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．
【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；
（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．
【解答】解：（1）当a=0 时，f（x）=
，显然为奇函数，
当a≠0 时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，
所以此时f（x）为非奇非偶函数．
（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+
，
∴f′（x）=2ax﹣
=
，
∵a∈（1，3），x∈[1，2]，
∴ax＞1，
∴ax3＞1，
∴2ax3﹣1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
21．（14 分）如图，O，P，Q 三地有直道相通，OP=3 千米，PQ=4 千米，OQ=5 千米，现甲、乙两警员同时从O 地
出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5 千米/小时，
乙的路线是OPQ，速度为8 千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待．设t=t1 时乙到达P 地，t=t2 时乙到达Q 地．
（1）求t1 与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米，当t1≤t≤t2 时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上
的最大值是否超过3？说明理由．
【分析】（1）用OP 长度除以乙的速度即可求得t1=
，当乙到达P 点时，可设甲到达A 点，连接AP，放在△AOP
中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）；
（2）求出t2=
，设t
，且t 小时后甲到达B 地，而乙到达C 地，并连接BC，能够用t 表示出BQ，CQ，
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并且知道cos
，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3 即可．
【解答】解：（1）根据条件知
，设此时甲到达A 点，并连接AP，如图所示，则OA=
；
∴
在
△
OAP
中
由
余
弦
定
理
得
，
f
（
t1
）
=AP=
=
（千米）；
（2）可以求得
，设t 小时后，且
，甲到达了B 点，乙到达了C 点，如图所示：
则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；
∴在△BCQ 中由余弦定理得，f（t）=BC=
=
；
即f（t）=
，
；
设g（t）=25t2﹣42t+18，
，g（t）的对称轴为t=
；
且
；
即g（t）的最大值为
，则此时f（t）取最大值
；
即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．
【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．
22．（16 分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1 和l2 分别与椭圆交于点A、B 和C、D，记△AOC 的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l1 的距离，并证明S=
|；
（2）设l1：y=kx，
，S=
，求k 的值；
（3）设l1 与l2 的斜率之积为m，求m 的值，使得无论l1 和l2 如何变动，面积S 保持不变．
【分析】（1）依题意，直线l1 的方程为y=
x，利用点到直线间的距离公式可求得点C 到直线l1 的距离
d=
，再利用|AB|=2|AO|=2
，可证得S=
|AB|d=
|x1y2﹣x2y1|；
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（2）由（1）得：S=
|x1y2﹣x2y1|=
×
|x1﹣y1|=
，进而得到答案；
（3）方法一：设直线l1 的斜率为k，则直线l1 的方程为y=kx，联立方程组
，消去y 解得x=±
，
可求得x1、x2、y1、y2，利用S=
|x1y2﹣x2y1|=
•
，设
=c（常数），
整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得
，此时S=
；
方法二：设直线l1、l2 的斜率分别为
、
，则
=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，
y2）在椭圆x2+2y2=1 上，可求得面积S 的值．
【解答】解：（1）依题意，直线l1 的方程为y=
x，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l1 的距离
d=
=
，
因为|AB|=2|AO|=2
，所以S=
|AB|d=
|x1y2﹣x2y1|；
（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），
S=
|x1y2﹣x2y1|=
×
|x1﹣y1|=
．
所以|x1﹣y1|=
，由x12+2y12=1，
解得A（
，﹣
）或（
，﹣
）
或（﹣
，
）或（﹣
，
），
由k=
，得k=﹣1 或﹣
；
（3）方法一：设直线l1 的斜率为k，则直线l2 的斜率为
，直线l1 的方程为y=kx，
联立方程组
，消去y 解得x=±
，
根据对称性，设x1=
，则y1=
，
同理可得x2=
，y2=
，
所以S=
|x1y2﹣x2y1|=
•
，设
=c（常数），
所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），
整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，
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由于左右两边恒成立，所以只能是
，所以
，此时S=
，
综上所述，m=﹣
，S=
．
方法二：设直线l1、l2 的斜率分别为
、
，则
=m，
所以mx1x2=y1y2，
∴m2
=
=mx1x2y1y2，
∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1 上，
∴（
）（
）=
+4
+2（
+
）=1，
即（
+4m）x1x2y1y2+2（
+
）=1，
所以
+
﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=
[1﹣（4m+
）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2
=
﹣（2m+
+2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，
所以令2m+
+2=0 即可，
所以，m=﹣
，S=
．
综上所述，m=﹣
，S=
．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．
23．（18 分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；
（2）设{an}的第n0 项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n0 项是最大项；
（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且
．
【分析】（1）把bn=3n+5 代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an 可求；
（2）由an=（an﹣an ﹣1）+（an ﹣1﹣an ﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1，求得
，进一步得到
得答案；
（3）由（2）可得
，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1 三种情况求得an 的最大值M 和最小值m，
再由
∈（
）列式求得λ的范围．
【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，
∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，
∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，
则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；
（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1
=2bn+a1﹣2b1，
∴
，
∴
．
∴数列{bn}的第n0 项是最大项；
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（3）由（2）可得
，
①当﹣1＜λ＜0 时，
单调递减，有最大值
；
单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，
∴
的最小值为
，最大值为
，
则
，解得
．
∴λ∈（
）．
②当λ=﹣1 时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3，
∴M=3，m=﹣1，不满足条件．
③当λ＜﹣1 时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；
当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．
综上所述，λ∈（﹣
，0）时满足条件．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公
式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．
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2015 年陕西省高考数学试卷（文科）
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（
）
A．[0，1]
B．（0，1]
C．[0，1）
D．（﹣∞，1]
2．（5 分）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
（
）
A．93
B．123
C．137
D．167
3．（5 分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（
）
A．（﹣1，0）
B．（1，0）
C．（0，﹣1）
D．（0，1）
4．（5 分）设f（x）=
，则f（f（﹣2））=（
）
A．﹣1
B．
C．
D．
5．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．3π
B．4π
C．2π+4 D．3π+4
6．（5 分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）根据如图框图，当输入x 为6 时，输出的y=（
）
A．1
B．2
C．5
D．10
8．（5 分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（
）
A．|
|≤| || | B．|
|≤|| |﹣| ||
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C．（
）2=|
|2 D．（
）•（
）=
2﹣
2
9．（5 分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（
）
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
10．（5 分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（
），q=f（
），r=
（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的
是（
）
A．q=r＜p
B．p=r＜q
C．q=r＞p
D．p=r＞q
11．（5 分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用
限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（
）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A．12 万元
B．16 万元
C．17 万元
D．18 万元
12．（5 分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x 的概率为（
）
A．
+
B．
+
C．
﹣
D．
﹣
二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
．
14．（5 分）如图，某港口一天6 时到18 时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（
x+φ）+k．据此函数可知，这
段时间水深（单位：m）的最大值为
．
15．（5 分）函数y=xex 在其极值点处的切线方程为
．
16．（5 分）观察下列等式：
1﹣
=
1﹣
+
﹣
=
+
1﹣
+
﹣
+
﹣
=
+
+
…
据此规律，第n 个等式可为
．
三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5 小题，共70 分）
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．向量=（a，
b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
，b=2，求△ABC 的面积．
18．（12 分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=
，AB=BC=
AD=a，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE
的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2 中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
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（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE 时，四棱锥A1﹣BCDE 的体积为36
，求a 的值．
19．（12 分）随机抽取一个年份，对西安市该年4 月份的天气情况进行统计，结果如下：
（Ⅰ）在4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4 月份的一个晴天开始举行连续2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
20．（12 分）如图，椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP 与AQ 斜
率之和为2．
21．（12 分）设fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求fn′（2）；
（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，
）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣
＜
（
）n．
三.请在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，AB 切⊙O 于点B，直线AO 交⊙O 于D，E 两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=
，求⊙O 的直径．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
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24．已知关于x 的不等式|x+a|＜b 的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b 的值；
（Ⅱ）求
+
的最大值．
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2015 年陕西省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（
）
A．[0，1]
B．（0，1]
C．[0，1）
D．（﹣∞，1]
【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故选：A．
【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
2．（5 分）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
（
）
A．93
B．123
C．137
D．167
【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
故选：C．
【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5 分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（
）
A．（﹣1，0）
B．（1，0）
C．（0，﹣1）
D．（0，1）
【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得
=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），
∴
=1，
∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．
4．（5 分）设f（x）=
，则f（f（﹣2））=（
）
A．﹣1
B．
C．
D．
【分析】利用分段函数的性质求解．
【解答】解：∵
，
∴f（﹣2）=2
﹣2=
，
f（f（﹣2））=f（
）=1﹣
=
．
故选：C．
【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．
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5．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．3π
B．4π
C．2π+4 D．3π+4
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积
公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2×
π+（2+π）×2=3π+4，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
6．（5 分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5 分）根据如图框图，当输入x 为6 时，输出的y=（
）
A．1
B．2
C．5
D．10
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当x=﹣3 时不满足条件x≥0，计算并输出y 的值为
10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=6
x=3
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣3
不满足条件x≥0，y=10
输出y 的值为10．
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故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x 的值是解题的关键，属于基础题．
8．（5 分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（
）
A．|
|≤| || | B．|
|≤|| |﹣| ||
C．（
）2=|
|2 D．（
）•（
）=
2﹣
2
【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
【解答】解：选项A 恒成立，∵|
|=| || ||cos＜，＞|，
又|cos＜，＞|≤1，∴|
|≤| || |恒成立；
选项B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|
|≥|| |﹣| ||；
选项C 恒成立，由向量数量积的运算可得（
）2=|
|2；
选项D 恒成立，由向量数量积的运算可得（
）•（
）=
2﹣
2．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．
9．（5 分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（
）
A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数
【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．
【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx 的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），
可得f（x）为奇函数．
再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
10．（5 分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（
），q=f（
），r=
（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的
是（
）
A．q=r＜p
B．p=r＜q
C．q=r＞p
D．p=r＞q
【分析】由题意可得p=
（lna+lnb），q=ln（
）≥ln（
）=p，r=
（lna+lnb），可得大小关系．
【解答】解：由题意可得若p=f（
）=ln（
）=
lnab=
（lna+lnb），
q=f（
）=ln（
）≥ln（
）=p，
r=
（f（a）+f（b））=
（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故选：B．
【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
11．（5 分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用
限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（
）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A．12 万元
B．16 万元
C．17 万元
D．18 万元
【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，
画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．
【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，利润为z 元，
则
，
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目标函数为z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y 得y=﹣
x+
，
平移直线y=﹣
x+
由图象可知当直线y=﹣
x+
经过点B 时，直线y=﹣
x+
的截距最大，
此时z 最大，
解方程组
，解得
，
即B 的坐标为x=2，y=3，
∴zmax=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3 吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．
12．（5 分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x 的概率为（
）
A．
+
B．
+
C．
﹣
D．
﹣
【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．
【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1 为半径的圆以及内
部部分．y≥x 的图形是图形中阴影部分，如图：
复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x 的概率：
=
．
故选：C．
【点评】本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力．
二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
5
．
【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．
【解答】解：设该等差数列的首项为a，
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由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2
解得a=5
故答案为：5
【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．
14．（5 分）如图，某港口一天6 时到18 时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（
x+φ）+k．据此函数可知，这
段时间水深（单位：m）的最大值为
8
．
【分析】由图象观察可得：ymin=﹣3+k=2，从而可求k 的值，从而可求ymax=3+k=3+5=8．
【解答】解：∵由题意可得：ymin=﹣3+k=2，
∴可解得：k=5，
∴ymax=3+k=3+5=8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
15．（5 分）函数y=xex 在其极值点处的切线方程为
y=﹣
．
【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．
【解答】解：依题解：依题意得y′=ex+xex，
令y′=0，可得x=﹣1，
∴y=﹣
．
因此函数y=xex 在其极值点处的切线方程为y=﹣
．
故答案为：y=﹣
．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算
求解能力．属于基础题．
16．（5 分）观察下列等式：
1﹣
=
1﹣
+
﹣
=
+
1﹣
+
﹣
+
﹣
=
+
+
…
据此规律，第n 个等式可为
+…+
=
+…+
．
【分析】由已知可得：第n 个等式含有2n 项，其中奇数项为
，偶数项为﹣
．其等式右边为后n 项的绝对
值之和．即可得出．
【解答】解：由已知可得：第n 个等式含有2n 项，其中奇数项为
，偶数项为﹣
．其等式右边为后n 项的
绝对值之和．
∴第n 个等式为：
+…+
=
+…+
．
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【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5 小题，共70 分）
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．向量=（a，
b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
，b=2，求△ABC 的面积．
【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及a=
，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC 的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，
b）与=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣
=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣
sinBcosA=0，因为sinB≠0，
所以tanA=
，可得A=
；
（Ⅱ）a=
，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，
△ABC 的面积为：
=
．
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
18．（12 分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=
，AB=BC=
AD=a，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE
的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2 中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE 时，四棱锥A1﹣BCDE 的体积为36
，求a 的值．
【分析】（I）运用E 是AD 的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．
（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O 是四棱锥A1﹣BCDE 的高，平行四边形BCDE 的面积S=BC•AB=a2，运
用体积公式求解即可得出a 的值．
【解答】解：
（I）在图1 中，
因为AB=BC=
=a，E 是AD 的中点，
∠BAD=
，
所以BE⊥AC，
即在图2 中，BE⊥A1O，BE⊥OC，
从而BE⊥面A1OC，
由CD∥BE，
所以CD⊥面A1OC，
（II）即A1O 是四棱锥A1﹣BCDE 的高，
根据图1 得出A1O=
AB=
a，
∴平行四边形BCDE 的面积S=BC•AB=a2，
V=
=
a=
a3，
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由a=
a3=36
，得出a=6．
【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要
很熟练．
19．（12 分）随机抽取一个年份，对西安市该年4 月份的天气情况进行统计，结果如下：
（Ⅰ）在4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）西安市某学校拟从4 月份的一个晴天开始举行连续2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
【分析】（Ⅰ）在4 月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；
（Ⅱ）求得4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16 个，其中后一天不下雨的有14 个，可得晴天的次日不下雨
的概率，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）在4 月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为
；
（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16 个，其中后一天不
下雨的有14 个，所以晴天的次日不下雨的概率为
，
从而估计运动会期间不下雨的概率为
．
【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
20．（12 分）如图，椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP 与AQ 斜
率之和为2．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c 的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由题意设直线PQ 的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程
+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公
式，化简计算即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题设知，
=
，b=1，
结合a2=b2+c2，解得a=
，
所以
+y2=1；
（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ 的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），
代入椭圆方程
+y2=1，
可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，
由已知得（1，1）在椭圆外，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，
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则x1+x2=
，x1x2=
，
且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0 或k＜﹣2．
则有直线AP，AQ 的斜率之和为kAP+kAQ=
+
=
+
=2k+（2﹣k）（
+
）=2k+（2﹣k）•
=2k+（2﹣k）•
=2k﹣2（k﹣1）=2．
即有直线AP 与AQ 斜率之和为2．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查
直线的斜率公式，属于中档题．
21．（12 分）设fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）求fn′（2）；
（Ⅱ）证明：fn（x）在（0，
）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣
＜
（
）n．
【分析】（Ⅰ）将已知函数求导，取x=2，得到fn′（2）；
（Ⅱ）只要证明fn（x）在（0，
）内有单调递增，得到仅有一个零点，然后fn（an）变形得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1，
所以
，①
则2f′n（2）=2+2×22+3×23+…+n2n，②，
①﹣②得﹣f′n（2）=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=
=（1﹣n）2n﹣1，
所以
．
（Ⅱ）因为f（0）=﹣1＜0，fn（
）=
﹣1=1﹣2×
≥1﹣2×
＞0，
所以fn（x）在（0，
）内至少存在一个零点，
又f′n（x）=1+2x+3x2+…+nxn﹣1＞0，所以fn（x）在（0，
）内单调递增，
所以fn（x）在（0，
）内有且仅有一个零点an，由于fn（x）=
，
所以0=fn（an）=
，
所以
，故
，
所以0＜
．
【点评】本题考查了函数求导、错位相减法求数列的和、函数的零点判断等知识，计算比较复杂，注意细心．
三.请在22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，AB 切⊙O 于点B，直线AO 交⊙O 于D，E 两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=
，求⊙O 的直径．
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【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．
【解答】证明：（Ⅰ）∵DE 是⊙O 的直径，
则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB 切⊙O 于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠CBA，
则
=3，
∵BC=
，
∴AB=3
，AC=
，
则AD=3，
由切割线定理得AB2=AD•AE，
即AE=
，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O 的直径为3．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
【分析】（I）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．化为ρ2=2
，把
代入即可得出；．
（II）设P
，又C
．利用两点之间的距离公式可得|PC|=
，再利用二次函数的性
质即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
∴ρ2=2
，化为x2+y2=
，
配方为
=3．
（II）设P
，又C
．
∴|PC|=
=
≥2
，
因此当t=0 时，|PC|取得最小值2
．此时P（3，0）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知关于x 的不等式|x+a|＜b 的解集为{x|2＜x＜4}
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（Ⅰ）求实数a，b 的值；
（Ⅱ）求
+
的最大值．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab 的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式=
+
=
+
，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）关于x 的不等式|x+a|＜b 可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，
∴
，解方程组可得
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
+
=
+
=
+
≤
=2
=4，
当且仅当
=
即t=1 时取等号，
∴所求最大值为4
【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．
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2015 年山东省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
2．（5 分）若复数z 满足
=i，其中i 为虚数单位，则z=（
）
A．1﹣i B．1+i
C．﹣1﹣i
D．﹣1+i
3．（5 分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c 的大小关系（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
4．（5 分）要得到函数y=sin（4x﹣
）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（
）个单位．
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
5．（5 分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（
）
A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0
B．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m≤0
C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0
D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0
6．（5 分）为比较甲，乙两地某月14 时的气温，随机选取该月中的5 天，将这5 天中14 时的气温数据（单位：℃）
制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温；
②甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温；
③甲地该月14 时的气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差；
④甲地该月14 时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（
）
A．①③B．①④C．②③D．②④
7．（5 分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log
（x+
）≤1”发生的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）若函数f（x）=
是奇函数，则使f（x）＞3 成立的x 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，+∞）
9．（5 分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成
的几何体的体积为（
）
A．
B．
C．2
π
D．4
π
10．（5 分）设函数f（x）=
，若f（f（
））=4，则b=（
）
A．1
B．
C．
D．
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是
．
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12．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+3y 的最大值为
．
13．（5 分）过点P（1，
）作圆x2+y2=1 的两条切线，切点分别为A，B，则
=
．
14．（5 分）定义运算“⊗”x⊗y=
（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0 时，x⊗y+（2y）⊗x 的最小值为
．
15．（5 分）过双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P．若点P
的横坐标为2a，则C 的离心率为
．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（12 分）某中学调查了某班全部45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
（Ⅰ）从该班随机选1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中，有5 名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学B1，B2，
B3．现从这5 名男同学和3 名女同学中各随机选1 人，求A1 被选中且B1 未被选中的概率．
17．（12 分）△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知cosB=
，sin（A+B）=
，ac=2
，求sinA
和c 的值．
18．（12 分）如图，三棱台DEF﹣ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
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19．（12 分）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{
}的前n 项和为
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（an+1）•2
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
20．（13 分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=
．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0
平行．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，
请说明理由；
（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q 中的较小值），求m（x）的最大值．
21．（14 分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且点（
，
）在椭
圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：
=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 与A，B 两点，射线PO
交椭圆E 于点Q．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求△ABQ 面积的最大值．
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2015 年山东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
【分析】求出集合B，然后求解集合的交集．
【解答】解：B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，A={x|2＜x＜4}，
∴A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）若复数z 满足
=i，其中i 为虚数单位，则z=（
）
A．1﹣i B．1+i
C．﹣1﹣i
D．﹣1+i
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
【解答】解：
=i，则=i（1﹣i）=1+i，
可得z=1﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
3．（5 分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c 的大小关系（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小．
【解答】解：函数y=0.6x 为减函数；
故a=0.60.6＞b=0.61.5，
函数y=x0.6 在（0，+∞）上为增函数；
故a=0.60.6＜c=1.50.6，
故b＜a＜c，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档．
4．（5 分）要得到函数y=sin（4x﹣
）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（
）个单位．
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣
）=sin[4（x﹣
）]，
要得到函数y=sin（4x﹣
）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象向右平移
单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x 的系数是易错点．
5．（5 分）当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（
）
A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0
B．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m≤0
C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0
D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0
【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可．
【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是：若方程
x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0．
故选：D．
【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．
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6．（5 分）为比较甲，乙两地某月14 时的气温，随机选取该月中的5 天，将这5 天中14 时的气温数据（单位：℃）
制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：
①甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温；
②甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温；
③甲地该月14 时的气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差；
④甲地该月14 时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（
）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14 时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据
的平均数、及方差可得答案
【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14 时的气温抽取的样本温度分别为：
甲：26，28，29，31，31
乙：28，29，30，31，32；
可得：甲地该月14 时的平均气温：
（26+28+29+31+31）=29，
乙地该月14 时的平均气温：
（28+29+30+31+32）=30，
故甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温；
甲地该月14 时温度的方差为：
=
[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6
乙地该月14 时温度的方差为：
=
[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2，
故
＞
，
所以甲地该月14 时的气温的标准差大于乙地该月14 时的气温标准差．
故选：B．
【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题
7．（5 分）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“﹣1≤log
（x+
）≤1”发生的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间[0，2]的长度求比值即得．
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．
∵﹣1≤log
（x+
）≤1
∴
解得0≤x≤
，
∵0≤x≤2
∴0≤x≤
∴所求的概率为：P=
故选：A．
【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，
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则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
8．（5 分）若函数f（x）=
是奇函数，则使f（x）＞3 成立的x 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，+∞）
【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式．
【解答】解：∵f（x）=
是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x）
即
整理可得，
∴1﹣a•2x=a﹣2x
∴a=1，
∴f（x）=
∵f（x））=
＞3
∴
﹣3=
＞0，
整理可得，
，
∴1＜2x＜2
解可得，0＜x＜1
故选：C．
【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题．
9．（5 分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成
的几何体的体积为（
）
A．
B．
C．2
π
D．4
π
【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．
【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V=2×
S•h=2×
πR2•h
=2×
π×（
）2×
=
．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．
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10．（5 分）设函数f（x）=
，若f（f（
））=4，则b=（
）
A．1
B．
C．
D．
【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．
【解答】解：函数f（x）=
，若f（f（
））=4，
可得f（
）=4，
若
，即b≤
，可得
，解得b=
．
若
，即b＞
，可得
，解得b=
＜
（舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是
13
．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y 的值，当x=2 时不满足条件x＜2，计算并输出y 的值为13．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=1
满足条件x＜2，x=2
不满足条件x＜2，y=13
输出y 的值为13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．
12．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+3y 的最大值为
7
．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y 对应的直线进行平移，可得当x=1 且y=2 时，z
取得最大值．
【解答】解：作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部，由
可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，
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当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值
∴z 最大值=1+2×3=7．
故答案为：7
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+3y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区
域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
13．（5 分）过点P（1，
）作圆x2+y2=1 的两条切线，切点分别为A，B，则
=
．
【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求
．
【解答】解：连接OA，OB，PO
则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB，
Rt△PAO 中，OA=1，PO=2，PA=
∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60°
∴
=
=
=
故答案为：
【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题．
14．（5 分）定义运算“⊗”x⊗y=
（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0 时，x⊗y+（2y）⊗x 的最小值为
．
【分析】通过新定义可得x⊗y+（2y）⊗x=
，利用基本不等式即得结论．
【解答】解：∵x⊗y=
，
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∴x⊗y+（2y）⊗x=
+
=
，
由∵x＞0，y＞0，
∴x2+2y2≥2
=
xy，
当且仅当x=
y 时等号成立，
∴
≥
=
，
故答案为：
．
【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
15．（5 分）过双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P．若点P
的横坐标为2a，则C 的离心率为
2+
．
【分析】求出P 的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论．
【解答】解：x=2a 时，代入双曲线方程可得y=±
b，取P（2a，﹣
b），
∴双曲线C：
（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为
，
∴
=
∴e=
=2+
．
故答案为：2+
．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（12 分）某中学调查了某班全部45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
（Ⅰ）从该班随机选1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；
（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中，有5 名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学B1，B2，
B3．现从这5 名男同学和3 名女同学中各随机选1 人，求A1 被选中且B1 未被选中的概率．
【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个
数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5 名男同学和3 名女同学中各随机选1 人，有多少中选法，这个可利用分步计数
原理求解，再求出“A1 被选中，而B1 未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概
率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；
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从45 名同学中任选一名有45 种选法，∴基本事件数为45；
通过列表可知事件A 的基本事件数为8+2+5=15；
这是一个古典概型，∴P（A）=
；
（Ⅱ）从5 名男同学中任选一个有5 种选法，从3 名女同学中任选一名有3 种选法；
∴从这5 名男同学和3 名女同学中各随机选1 人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；
设“A1 被选中，而B1 未被选中”为事件B，显然事件B 包含的基本事件数为2；
这是一个古典概型，∴
．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．
17．（12 分）△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知cosB=
，sin（A+B）=
，ac=2
，求sinA
和c 的值．
【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；
②利用正弦定理解之．
【解答】解：①因为△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c 已知cosB=
，
sin（A+B）=
，ac=2
，所以sinB=
，sinAcosB+cosAsinB=
，
所以sinA+
cosA=
①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，
由①②解得27sin2A﹣6
sinA﹣16=0，
解得sinA=
或者sinA=﹣
（舍去）；
②由正弦定理，
由①可知sin（A+B）=sinC=
，sinA=
，
所以a=2
c，又ac=2
，所以c=1．
【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正
弦定理等知识．
18．（12 分）如图，三棱台DEF﹣ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．
【分析】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG 是平行四边形，
DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF﹣ABC 中，AB=2DE，H 为BC 的中点．可得四边形BHFE 为平行四边形．BE∥HF．又GH∥AB，
可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH．
（II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH 是平行四边形，可得HE⊥BC．因
此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH．
【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF﹣ABC 中，AB=2DE，G 为AC 的中点．
∴
，∴四边形CFDG 是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
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∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF﹣ABC 中，AB=2DE，H 为BC 的中点．
∴
，
∴四边形BHFE 为平行四边形．
∴BE∥HF．
在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H 分别为AC，BC 的中点，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H 为BC 的中点，∴EF∥HC，EF=HC，CF⊥BC．
∴EFCH 是矩形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．
【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定
理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题．
19．（12 分）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{
}的前n 项和为
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（an+1）•2
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
【分析】
（1）通过对cn=
分离分母，并项相加并利用数列{
}的前n 项和为
即得首项和公差，
进而可得结论；
（2）通过bn=n•4n，写出Tn、4Tn 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，
∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd，
令cn=
，
则cn=
=
[
﹣
]，
∴c1+c2+…+cn﹣1+cn=
[
﹣
+
﹣
+…+
﹣
]
=
[
﹣
]
=
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=
，
又∵数列{
}的前n 项和为
，
∴
，
∴a1=1 或﹣1（舍），d=2，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）由（1）知bn=（an+1）•2
=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n，
∴Tn=b1+b2+…+bn=1•41+2•42+…+n•4n，
∴4Tn=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，
两式相减，得﹣3Tn=41+42+…+4n﹣n•4n+1=
•4n+1﹣
，
∴Tn=
．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13 分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=
．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0
平行．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，
请说明理由；
（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q 中的较小值），求m（x）的最大值．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；
（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx 的导数为f′（x）=lnx+1+
，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，
由切线与直线2x﹣y=0 平行，
则a+1=2，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+
，
令h（x）=lnx+1+
，h′（x）=
﹣
=
，
当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，
当x＞1 时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增．
当x=1 时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，
g（x）=
的导数为g′（x）=
，
当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增，
当x＞2 时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减．
则x=2 取得最大值，
令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣
，
T（1）=﹣
＜0，T（2）=3ln2﹣
＞0，
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T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+
﹣
，
由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣
，即有lnx+1+
＞2；
ex＞1+x，可得﹣
＞
，
可得lnx+1+
﹣
＞2+
=
＞0，
即为T′（x）＞0 在（1，2）成立，
则T（x）在（1，2）递增，
由零点存在定理可得，存在自然数k=1，
使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=
，其中x0∈（1，2），
且x=2 时，g（x）取得最大值，且为g（2）=
，
则有m（x）的最大值为m（2）=
．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运
算能力，属于中档题．
21．（14 分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且点（
，
）在椭
圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：
=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 与A，B 两点，射线PO
交椭圆E 于点Q．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求△ABQ 面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）通过将点点（
，
）代入椭圆C 方程，结合
=
及a2﹣c2=b2，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）知椭圆E 的方程为：
+
=1．
（i）通过设P（x0，y0）、
=λ可得Q（﹣λx0，﹣λy0），利用
+
=1
及
+
=1，计算即可；（ii）设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别将y=kx+m 代入椭圆E、椭圆C
的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵点（
，
）在椭圆C 上，
∴
，①
∵
=
，a2﹣c2=b2，
∴
=
，②
联立①②，解得：a2=4，b2=1，
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∴椭圆C 的方程为：
+y2=1；
（Ⅱ）由（I）知椭圆E 的方程为：
+
=1．
（i）设P（x0，y0），
=λ，
由题意可得Q（﹣λx0，﹣λy0），
∵
+
=1，及
+
=1，即
（
+
）=1，
∴λ=2，即
=2；
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），
将y=kx+m 代入椭圆E 的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，
由△＞0，可得m2＜4+16k2，
由韦达定理，可得x1+x2=﹣
，x1•x2=
，
∴|x1﹣x2|=
，
∵直线y=kx+m 交y 轴于点（0，m），
∴S△OAB=
|m|•|x1﹣x2|
=
|m|•
=
=2
，
设t=
，将y=kx+m 代入椭圆C 的方程，
可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△≥0，可得m2≤1+4k2，
又∵m2＜4+16k2，
∴0＜t≤1，
∴S=2
=2
=≤2
，
当且仅当t=1，即m2=1+4k2 时取得最大值2
，
由（i）知S△ABQ=3S，
∴△ABQ 面积的最大值为6
．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，
利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．
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2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分
1．（5 分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（
）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，0）
C．（0，2）
D．（2，3）
2．（5 分）若为a 实数，且
=3+i，则a=（
）
A．﹣4
B．﹣3
C．3
D．4
3．（5 分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的
是（
）
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5 分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2 + ）
=（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
5．（5 分）已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值
为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）已知三点A（1，0），B（0，
），C（2，
）则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若
输入a，b 分别为14，18，则输出的a=（
）
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A．0
B．2
C．4
D．14
9．（5 分）已知等比数列{an}满足a1=
，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（
）
A．2
B．1
C．
D．
10．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值
为36，则球O 的表面积为（
）
A．36π
B．64π
C．144π D．256π
11．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将
动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣
，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，
）∪（1，+∞）
B．（
，1）
C．（
）
D．（﹣∞，﹣
，）
二、填空题
13．（3 分）已知函数f（x）=ax3﹣2x 的图象过点（﹣1，4）则a=
．
14．（3 分）若x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为
．
15．（3 分）已知双曲线过点
且渐近线方程为y=±
x，则该双曲线的标准方程是
．
16．（3 分）已知曲线y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则a=
．
三．解答题
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17．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求
．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了40 个用户，根据用户对产品的满意度
评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100）
频数
2
8
14
10
6
（1）做出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不
要求计算出具体值，给出结论即可）
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4．过
E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
20．椭圆C：
=1，（a＞b＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．证明：直线OM 的斜
率与l 的斜率的乘积为定值．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2 时，求a 的取值范围．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于
点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2
，求四边形EBCF 的面积．
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五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1：
（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2
cosθ．
（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；
（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．
六、选修4-5 不等式选讲
24．（10 分）设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则
+
＞
+
；
（2）
+
＞
+
是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
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2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分
1．（5 分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（
）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，0）
C．（0，2）
D．（2，3）
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，
∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）若为a 实数，且
=3+i，则a=（
）
A．﹣4
B．﹣3
C．3
D．4
【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．
【解答】解：由
，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，
则a=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．
3．（5 分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的
是（
）
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【分析】A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；
B 从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误．
【解答】解：A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故
A 正确；
B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多，从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
4．（5 分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2 + ）
=（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
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【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．
【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2 + ）
=（1，0）•（1，﹣1）=1；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．
5．（5 分）已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
【分析】由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．
【解答】解：由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．
则S5=
=5a3=5．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值
为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，
∴正方体切掉部分的体积为
×1×1×1=
，
∴剩余部分体积为1﹣
=
，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为
．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．
7．（5 分）已知三点A（1，0），B（0，
），C（2，
）则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．
【解答】解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x=1 上，
可设圆心P（1，p），由PA=PB 得
|p|=
，
得p=
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圆心坐标为P（1，
），
所以圆心到原点的距离|OP|=
=
=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆性质及△ABC 外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．
8．（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若
输入a，b 分别为14，18，则输出的a=（
）
A．0
B．2
C．4
D．14
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b 的值，当a=b=2 时不满足条件a≠b，输出a 的值为2．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=14，b=18
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6
满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2
满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2
不满足条件a≠b，输出a 的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．
9．（5 分）已知等比数列{an}满足a1=
，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（
）
A．2
B．1
C．
D．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵
，a3a5=4（a4﹣1），
∴
=4
，
化为q3=8，解得q=2
则a2=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
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10．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值
为36，则球O 的表面积为（
）
A．36π
B．64π
C．144π D．256π
【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC 体积的最大值
为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R，
此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=
=
=36，故R=6，则球O 的表面积为4πR2=144π，
故选：C．
【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣
ABC 的体积最大是关键．
11．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将
动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当0≤x≤
时，BP=tanx，AP=
=
，
此时f（x）=
+tanx，0≤x≤
，此时单调递增，
当P 在CD 边上运动时，
≤x≤
且x≠
时，
如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣
=﹣
，
∴OQ=﹣
，
∴PD=AO﹣OQ=1+
，PC=BO+OQ=1﹣
，
∴PA+PB=
，
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当x=
时，PA+PB=2
，
当P 在AD 边上运动时，
≤x≤π，PA+PB=
﹣tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x=
对称，
且f（
）＞f（
），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤
时的解析式是解决本题的关键．
12．（5 分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣
，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，
）∪（1，+∞）
B．（
，1）
C．（
）
D．（﹣∞，﹣
，）
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣
为偶函数，
且在x≥0 时，f（x）=ln（1+x）﹣
，
导数为f′（x）=
+
＞0，
即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
平方得3x2﹣4x+1＜0，
解得：
＜x＜1，
所求x 的取值范围是（
，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关
键．
二、填空题
13．（3 分）已知函数f（x）=ax3﹣2x 的图象过点（﹣1，4）则a=
﹣2
．
【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）
解析式即可求出a．
【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；
∴a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．
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14．（3 分）若x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最大值为
8
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x+y 得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最大，
此时z 最大．
由
，解得
，即A（3，2）
将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，
得z=2×3+2=8．即z=2x+y 的最大值为8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法．
15．（3 分）已知双曲线过点
且渐近线方程为y=±
x，则该双曲线的标准方程是
x2﹣y2=1
．
【分析】设双曲线方程为y2﹣
x2=λ，代入点
，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．
【解答】解：设双曲线方程为y2﹣
x2=λ，
代入点
，可得3﹣
=λ，
∴λ=﹣1，
∴双曲线的标准方程是
x2﹣y2=1．
故答案为：
x2﹣y2=1．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．
16．（3 分）已知曲线y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，则a=
8
．
【分析】求出y=x+lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，有且
只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0 得到a 的值．
【解答】解：y=x+lnx 的导数为y′=1+
，
曲线y=x+lnx 在x=1 处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx 在x=1 处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．
由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1 相切，
故y=ax2+（a+2）x+1 可联立y=2x﹣1，
得ax2+ax+2=0，
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又a≠0，两线相切有一切点，
所以有△=a2﹣8a=0，
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的
导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．
三．解答题
17．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求
．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；
（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．
【解答】解：（Ⅰ）如图，
由正弦定理得：
，
∵AD 平分∠BAC，BD=2DC，
∴
；
（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，
∴
，
由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，
∴tan∠B=
，即∠B=30°．
【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．
18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了40 个用户，根据用户对产品的满意度
评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100）
频数
2
8
14
10
6
（1）做出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不
要求计算出具体值，给出结论即可）
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（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．
（II）计算得出CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满
意”，
P（CA），P（CB），即可判断不满意的情况．
【解答】解：（Ⅰ）
通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度
评分的平均值，
B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A 地区的用户满意度评分的比较分散．
（Ⅱ）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”，
由直方图得P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6
得P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25
∴A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．
19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4．过
E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；
（Ⅱ）求出MH=
=6，AH=10，HB=6，即可求平面a 把该长方体分成的两部分体积的比值．
【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH 如图所示；
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．
因为EFGH 为正方形，所以EH=EF=BC=10，
于是MH=
=6，AH=10，HB=6．
因为长方体被平面α分成两个高为10 的直棱柱，
所以其体积的比值为
．
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【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
20．椭圆C：
=1，（a＞b＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点为M．证明：直线OM 的斜
率与l 的斜率的乘积为定值．
【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过
韦达定理求解KOM，然后推出直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【解答】解：
（1）椭圆C：
=1，
（a＞b＞0）的离心率
，点（2，
）在C 上，可得
，
，
解得a2=8，b2=4，所求椭圆C 方程为：
．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把直线y=kx+b 代入
可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，
故xM=
=
，yM=kxM+b=
，
于是在OM 的斜率为：KOM=
=
，即KOM•k=
．
∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．
21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；
（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2 时，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；
（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=
﹣a=
，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则当x∈（0，
）时，f′（x）＞0，当x∈（
，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，
）上单调递增，
在（
，+∞）上单调递减，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0 时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0 时，f（x）在x=
取得最大值，最大值
为f（
）=﹣lna+a﹣1，
∵f（
）＞2a﹣2，
∴lna+a﹣1＜0，
令g（a）=lna+a﹣1，
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∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，
∴当0＜a＜1 时，g（a）＜0，
当a＞1 时，g（a）＞0，
∴a 的取值范围为（0，1）．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．
四、选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于
点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2
，求四边形EBCF 的面积．
【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF 计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD 是∠CAB 的角平分线，
又∵圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD 是EF 的垂直平分线，
又∵EF 为圆O 的弦，∴O 在AD 上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG 等于圆O 的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形，
∵AE=2
，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=
MN=
，∴OD=1，
∴AD=5，AB=
，
∴四边形EBCF 的面积为
×
﹣
×
×
=
．
【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1：
（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2
cosθ．
（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；
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（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．
【分析】
（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把
代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2
cosθ．可
得直角坐标方程，联立解出可得C2 与C3 交点的直角坐标．
（2）由曲线C1 的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=
时，为x=0（y
≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=
即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y．
同理由C3：ρ=2
cosθ．可得直角坐标方程：
，
联立
，
解得
，
，
∴C2 与C3 交点的直角坐标为（0，0），
．
（2）曲线C1：
（t 为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=
时，为x=0
（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B 都在C1 上，
∴A（2sinα，α），B
．
∴|AB|=
=4
，
当
时，|AB|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、
三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六、选修4-5 不等式选讲
24．（10 分）设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则
+
＞
+
；
（2）
+
＞
+
是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；
（2）从两方面证，①若
+
＞
+
，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得
+
＞
+
，
注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（
+
）2=a+b+2
，
（
+
）2=c+d+2
，
由a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则
＞
，
即有（
+
）2＞（
+
）2，
则
+
＞
+
；
（2）①若
+
＞
+
，则（
+
）2＞（
+
）2，
即为a+b+2
＞c+d+2
，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
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则有（
+
）2＞（
+
）2．
综上可得，
+
＞
+
是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．
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2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
2．（5 分）已知点A（0，1），B（3，2），向量
=（﹣4，﹣3），则向量
=（
）
A．（﹣7，﹣4）
B．（7，4）
C．（﹣1，4）
D．（1，4）
3．（5 分）已知复数z 满足（z﹣1）i=1+i，则z=（
）
A．﹣2﹣i
B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
4．（5 分）如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5
中任取3 个不同的数，则这3 个数构成一组勾股数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
，E 的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B 是C 的准
线与E 的两个交点，则|AB|=（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部
的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周
率约为3，估算出堆放的米约有（
）
A．14 斛B．22 斛C．36 斛D．66 斛
7．（5 分）已知{an}是公差为1 的等差数列，Sn 为{an}的前n 项和，若S8=4S4，则a10=（
）
A．
B．
C．10
D．12
8 ．（5 分）函数f （x ）=cos （ωx+φ ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（
）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（
）
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A．5
B．6
C．7
D．8
10．（5 分）已知函数f（x）=
，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（
）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a 的图象关于y=﹣x 对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（
）
A．﹣1
B．1
C．2
D．4
二、本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn 为{an}的前n 项和，若Sn=126，则n=
．
14．（5 分）已知函数f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=
．
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+y 的最大值为
．
16．（5 分）已知F 是双曲线C：x2﹣
=1 的右焦点，P 是C 的左支上一点，A（0，6
）．当△APF 周长最小时，
该三角形的面积为
．
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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别是△ABC 内角A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC 的面积．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单
位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi 和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处
理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi
﹣）
（wi﹣）
（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出
判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
20．（12 分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1 交于点M、N 两点．
（1）求k 的取值范围；
（2）若
•
=12，其中O 为坐标原点，求|MN|．
21．（12 分）设函数f（x）=e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
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（Ⅱ）证明：当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
四、请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3 的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2 与C3 的交点为M，N，求△C2MN 的面积．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
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2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B 中元素的个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】根据集合的基本运算进行求解．
【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，
则A∩B={8，14}，
故集合A∩B 中元素的个数为2 个，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）已知点A（0，1），B（3，2），向量
=（﹣4，﹣3），则向量
=（
）
A．（﹣7，﹣4）
B．（7，4）
C．（﹣1，4）
D．（1，4）
【分析】顺序求出有向线段
，然后由
=
求之．
【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到
=（3，1），向量
=（﹣4，﹣3），
则向量
=
=（﹣7，﹣4）；
故选：A．
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，
顺序不可颠倒．
3．（5 分）已知复数z 满足（z﹣1）i=1+i，则z=（
）
A．﹣2﹣i
B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i
【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．
【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=
，
∴z=2﹣i．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
4．（5 分）如果3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3 个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5
中任取3 个不同的数，则这3 个数构成一组勾股数的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，4，5 中任取3 个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，
5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10 种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3 个数构成一组勾股数的概率为
．
故选：C．
【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题．
5．（5 分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
，E 的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B 是C 的准
线与E 的两个交点，则|AB|=（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B
坐标，即可求解所求结果．
【解答】解：椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
，E 的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x 的焦点（2，0）重合，
可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：
，
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抛物线的准线方程为：x=﹣2，
由
，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．
|AB|=6．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部
的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周
率约为3，估算出堆放的米约有（
）
A．14 斛B．22 斛C．36 斛D．66 斛
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则
r=8，
解得r=
，
故米堆的体积为
×
×π×（
）2×5≈
，
∵1 斛米的体积约为1.62 立方，
∴
÷1.62≈22，
故选：B．
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7．（5 分）已知{an}是公差为1 的等差数列，Sn 为{an}的前n 项和，若S8=4S4，则a10=（
）
A．
B．
C．10
D．12
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．
【解答】解：∵{an}是公差为1 的等差数列，S8=4S4，
∴8a1+
×1=4×（4a1+
），
解得a1=
．
则a10=
+9×1=
．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8 ．（5 分）函数f （x ）=cos （ωx+φ ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（
）
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A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减
区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为
=2（
﹣
）=2，∴ω=π，f（x）=cos
（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得
+ϕ=
，k∈z，即ϕ=
，f（x）=cos（πx+
）．
由2kπ≤πx+
≤2kπ+π，求得2k﹣
≤x≤2k+
，故f（x）的单调递减区间为（
，2k+
），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还
考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=
，m=
，n=1，不满足退出循环的条件；
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再次执行循环体后，S=
，m=
，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n 值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5 分）已知函数f（x）=
，且f（α）=﹣3，则f（6﹣α）=（
）
A．﹣
B．﹣
C．﹣
D．﹣
【分析】利用分段函数，求出α，再求f（6﹣α）．
【解答】解：由题意，α≤1 时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解；
α＞1 时，﹣log2（α+1）=﹣3，∴α=7，
∴f（6﹣α）=f（﹣1）=2
﹣1﹣1﹣2=﹣
．
故选：A．
【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：
×4πr2+
×πr2
2r×2πr+2r×2r+
×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
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【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．（5 分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a 的图象关于y=﹣x 对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（
）
A．﹣1
B．1
C．2
D．4
【分析】先求出与y=2x+a 的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a 的反函数的图象关于原点对称，继而
求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．
【解答】解：∵与y=2x+a 的图象关于y=x 对称的图象是y=2x+a 的反函数，
y=log2x﹣a（x＞0），
即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．
∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a 的图象关于y=﹣x 对称，
∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，
∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，
∴﹣log22+a﹣log24+a=1，
解得，a=2，
故选：C．
【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题
二、本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn 为{an}的前n 项和，若Sn=126，则n=
6
．
【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2 为首项，以2 为公比的等比数列，代入等比数列的
求和公式即可求解．
【解答】解：∵an+1=2an，
∴
，
∵a1=2，
∴数列{an}是a1=2 为首项，以2 为公比的等比数列，
∴Sn=
=
=2n+1﹣2=126，
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．
14．（5 分）已知函数f（x）=ax3+x+1 的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=
1
．
【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．
【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1 的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，
切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），
所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），
解得a=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+y 的最大值为
4
．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答
案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
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化目标函数z=3x+y 为y=﹣3x+z，
由图可知，当直线y=﹣3x+z 过B（1，1）时，直线在y 轴上的截距最大，
此时z 有最大值为3×1+1=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．（5 分）已知F 是双曲线C：x2﹣
=1 的右焦点，P 是C 的左支上一点，A（0，6
）．当△APF 周长最小时，
该三角形的面积为
12
．
【分析】利用双曲线的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角形的面积．
【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF 周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），
直线AF′的方程为
与x2﹣
=1 联立可得y2+6
y﹣96=0，
∴P 的纵坐标为2
，
∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为
﹣
=12
．
故答案为：12
．
【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P 的坐标是关键．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知a，b，c 分别是△ABC 内角A，B，C 的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=
，求△ABC 的面积．
【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．
（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB=
=
=
．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=
，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=
．
∴S△ABC=
=1．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档
题．
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18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD 的体积为
，求该三棱锥的侧面积．
【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，
∵BE⊥平面ABCD，
∴AC⊥BE，
则AC⊥平面BED，
∵AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°，得AG=GC=
x，GB=GD=
，
∵BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥BG，则△EBG 为直角三角形，
∴EG=
AC=AG=
x，
则BE=
=
x，
∵三棱锥E﹣ACD 的体积V=
=
=
，
解得x=2，即AB=2，
∵∠ABC=120°，
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×
=12，
即AC=
，
在三个直角三角形EBA，EBG，EBC 中，斜边AE=EC=ED，
∵AE⊥EC，∴△EAC 为等腰三角形，
则AE2+EC2=AC2=12，
即2AE2=12，
∴AE2=6，
则AE=
，
∴从而得AE=EC=ED=
，
∴△EAC 的面积S=
=3，
在等腰三角形EAD 中，过E 作EF⊥AD 于F，
则AE=
，AF=
=
，
则EF=
，
∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S=
=
，
故该三棱锥的侧面积为3+2
．
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【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单
位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi 和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处
理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi
﹣）
（wi﹣）
（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出
判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=
，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49 时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d
适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=
，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于=
=68，
= ﹣
=563﹣68×6.8=100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68w，
因此y 关于x 的回归方程为=100.6+68
，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值=100.6+68
=576.6，
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年利润z 的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值=0.2（100.6+68
）﹣x=﹣x+13.6
+20.12，
当
=
=6.8 时，即当x=46.24 时，年利润的预报值最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．
20．（12 分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1 交于点M、N 两点．
（1）求k 的取值范围；
（2）若
•
=12，其中O 为坐标原点，求|MN|．
【分析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，用点斜式求得直线l 的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得
k 的值，可得满足条件的k 的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A 的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解．
【解答】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．
由已知可得圆C 的圆心C 的坐标（2，3），半径R=1．
故由
＜1，
故当
＜k＜
，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1 相交于M，N 两点．
（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），
由题意可得，经过点M、N、A 的直线方程为y=kx+1，代入圆C 的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，
可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=
，
∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1
=
•k2+k•
+1=
，
由
•
=x1•x2+y1•y2=
=12，解得k=1，
故直线l 的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．
圆心C 在直线l 上，MN 长即为圆的直径．
所以|MN|=2．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．
21．（12 分）设函数f（x）=e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0 时，当a＞0 时，根据零点存在定理，即可求出；
（Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只
要最小值大于2a+aln
，问题得以证明．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx 的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2e2x﹣
．
当a≤0 时，f′（x）＞0 恒成立，故f′（x）没有零点，
当a＞0 时，∵y=e2x 为单调递增，y=﹣
单调递增，
∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，
又f′（a）＞0，
假设存在b 满足0＜b＜ln
时，且b＜
，f′（b）＜0，
故当a＞0 时，导函数f′（x）存在唯一的零点，
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，
当x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增，
所欲当x=x0 时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），
由于
﹣
=0，
所以f（x0）=
+2ax0+aln
≥2a+aln
．
故当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．
四、请考生在第22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
【分析】（Ⅰ）连接AE 和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x 的方程x2=
，解方程可得x 值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC 中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2
，BE=
，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=
，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
五、【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2 的极坐标方程；
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（Ⅱ）若直线C3 的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2 与C3 的交点为M，N，求△C2MN 的面积．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2 的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3 的极坐标方程代入ρ2﹣3
ρ+4=0，求得ρ1 和ρ2 的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN
的面积
•C2M•C2N 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的
极坐标方程为ρcosθ=﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3 的极坐标方程θ=
（ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2
，ρ2=
，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=
，由于圆C2 的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN 的面积为
•C2M•C2N=
•1•1=
．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
六、【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解
集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，
从而求得f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得
a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即
①，或
②，
或
③．
解①求得x∈∅，解②求得
＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（
，2）．
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（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=
，
由此求得f（x）的图象与x 轴的交点A （
，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC 的面积大于6，
可得
[2a+1﹣
]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a 的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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2015 年江苏省高考数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分）
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B 中元素的个数为
．
2．（5 分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为
．
3．（5 分）设复数z 满足z2=3+4i（i 是虚数单位），则z 的模为
．
4．（5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为
．
5．（5 分）袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球、1 只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出2 只球，
则这2 只球颜色不同的概率为
．
6．（5 分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为
．
7．（5 分）不等式2
＜4 的解集为
．
8．（5 分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=
，则tanβ的值为
．
9．（5 分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4 的圆锥和底面半径为2，高为8 的圆柱各一个，若将它们重新
制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为
．
10．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，
半径最大的圆的标准方程为
．
11．（5 分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{
}的前10 项的和为
．
12．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x2﹣y2=1 右支上的一个动点，若点P 到直线x﹣y+1=0 的距离大
于c 恒成立，则实数c 的最大值为
．
13．（5 分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=
，则方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为
．
14．（5 分）设向量
=（cos
，sin
+cos
）（k=0，1，2，…，12），则
（ak•ak+1）的值为
．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14 分）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC 的长；
（2）求sin2C 的值．
16．（14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1 的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1．
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17．（14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公
路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，
M，N 为C 的两个端点，测得点M 到l1，l2 的距离分别为5 千米和40 千米，点N 到l1，l2 的距离分别为20 千米和
2.5 千米，以l2，l1 在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C 符合函数y=
（其中a，b
为常数）模型．
（1）求a，b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t．
①请写出公路l 长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．
18．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且右焦点F 到左
准线l 的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P，C，若PC=2AB，求直线
AB 的方程．
19．（16 分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c 是与a 无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣
3）∪（1，
）∪（
，+∞），求c 的值．
20．（16 分）设a1，a2，a3．a4 是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
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（1）证明：2
，2
，2
，2
依次构成等比数列；
（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44 依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在a1，d 及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，
则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D．
求证：△ABD∽△AEB．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10 分）已知x，y∈R，向量
=
是矩阵
的属于特征值﹣2 的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一
个特征值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2
ρsin（θ﹣
）﹣4=0，求圆C 的半径．
[选修4-5：不等式选讲】
24．解不等式x+|2x+3|≥2．
【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=
，
PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．
26．（10 分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a 整除b 或b 整除a，a∈X，
B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn 所含元素的个数．
（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6 时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
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2015 年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分）
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B 中元素的个数为
5
．
【分析】求出A∪B，再明确元素个数
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；
所以A∪B 中元素的个数为5；
故答案为：5
【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题
2．（5 分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为
6
．
【分析】直接求解数据的平均数即可．
【解答】解：数据4，6，5，8，7，6，
那么这组数据的平均数为：
=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．
3．（5 分）设复数z 满足z2=3+4i（i 是虚数单位），则z 的模为
．
【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．
【解答】解：复数z 满足z2=3+4i，
可得|z||z|=|3+4i|=
=5，
∴|z|=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．
4．（5 分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为
7
．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S 的值，当I=10 时不满足条件I＜8，退出循环，输出S
的值为7．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=1，I=1
满足条件I＜8，S=3，I=4
满足条件I＜8，S=5，I=7
满足条件I＜8，S=7，I=10
不满足条件I＜8，退出循环，输出S 的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
5．（5 分）袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球、1 只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出2 只球，
则这2 只球颜色不同的概率为
．
【分析】根据题意，把4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．
【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则
一次取出2 只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2 共6 种，
其中2 只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2 共5 种；
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所以所求的概率是P=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．
6．（5 分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n 的值为
﹣3
．
【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．
【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m +n =（9，﹣8）
可得
，解得m=2，n=5，
∴m﹣n=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．
7．（5 分）不等式2
＜4 的解集为
（﹣1，2）
．
【分析】利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．
【解答】解；∵2
＜4，
∴x2﹣x＜2，
即x2﹣x﹣2＜0，
解得：﹣1＜x＜2
故答案为：（﹣1，2）
【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．
8．（5 分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=
，则tanβ的值为
3
．
【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．
【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=
，
可知tan（α+β）=
=
，
即
=
，
解得tanβ=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．
9．（5 分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4 的圆锥和底面半径为2，高为8 的圆柱各一个，若将它们重新
制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为
．
【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式
求得r．
【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：
．
设新圆锥和圆柱的底面半径为r，
则新圆锥和圆柱的体积和为：
．
∴
，解得：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．
10．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，
半径最大的圆的标准方程为
（x﹣1）2+y2=2
．
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【分析】求出圆心到直线的距离d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【解答】解：圆心到直线的距离d=
=
≤
，
∴m=1 时，圆的半径最大为
，
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．
故答案为：（x﹣1）2+y2=2．
【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5 分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{
}的前10 项的和为
．
【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=
．再利用“裂项求和”即可
得出．
【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），
∴当n≥2 时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=
．
当n=1 时，上式也成立，
∴an=
．
∴
=2
．
∴数列{
}的前n 项的和Sn=
=
=
．
∴数列{
}的前10 项的和为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
12．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x2﹣y2=1 右支上的一个动点，若点P 到直线x﹣y+1=0 的距离大
于c 恒成立，则实数c 的最大值为
．
【分析】双曲线x2﹣y2=1 的渐近线方程为x±y=0，c 的最大值为直线x﹣y+1=0 与直线x﹣y=0 的距离．
【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1 的渐近线方程为x±y=0，
因为点P 到直线x﹣y+1=0 的距离大于c 恒成立，
所以c 的最大值为直线x﹣y+1=0 与直线x﹣y=0 的距离，即
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5 分）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=
，则方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为
4
．
【分析】：由|f（x）+g（x）|=1 可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．
【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1 可得g（x）=﹣f（x）±1．
g（x）与h（x）=﹣f（x）+1 的图象如图所示，图象有2 个交点
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g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1 的图象如图所示，图象有两个交点；
所以方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1 实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能
力，属于中档题．
14．（5 分）设向量
=（cos
，sin
+cos
）（k=0，1，2，…，12），则
（ak•ak+1）的值为
．
【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出．
【解答】解：
=
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
，
∴
（
ak•ak+1
）
=
+
+
+
+
+
+
+…+
+
+
+
+
+
+…+
=
+0+0
=
．
故答案为：9
．
【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理
能力与计算能力，属于中档题．
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二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14 分）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC 的长；
（2）求sin2C 的值．
【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．
（2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×
=7，
所以BC=
．
（2）由正弦定理可得：
，则sinC=
=
=
，
∵AB＜BC，BC=
，AB=2，角A=60°，在三角形ABC 中，大角对大边，大边对大角，
＞2，
∴角C＜角A，角C 为锐角．sinC＞0，cosC＞0 则cosC=
=
=
．
因此sin2C=2sinCcosC=2×
=
．
【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．
16．（14 分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1 的中点为D，B1C∩BC1=E．
求证：
（1）DE∥平面AA1C1C；
（2）BC1⊥AB1．
【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；
（2）【方法一】先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；
再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；
最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．
【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直．
【解答】证明：（1）如图所示，
由据题意得，
E 为B1C 的中点，D 为AB1 的中点，所以DE∥AC；
又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，
所以DE∥平面AA1C1C；
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（2）【方法一】因为棱柱ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，
因为AC⊂平面ABC，
所以AC⊥CC1；
又因为AC⊥BC，
CC1⊂平面BCC1B1，
BC⊂平面BCC1B1，
BC∩CC1=C，
所以AC⊥平面BCC1B1；
又因为BC1⊂平面BCC1B1，
所以BC1⊥AC；
因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1 是正方形，
所以BC1⊥平面B1AC；
又因为AB1⊂平面B1AC，
所以BC1⊥AB1．
【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1，
以C1 为原点建立空间直角座标系，
C1A1 为x 轴，C1B1 为y 轴，C1C 为z 轴，如图所示；
设BC=CC1=a，AC=b，
则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0）；
∴
=（﹣b，a，﹣a），
=（0，﹣a，﹣a），
∴
•
=﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）=0，
∴
⊥
，
即AB1⊥BC1．
【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力
的应用问题．
17．（14 分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公
路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，
M，N 为C 的两个端点，测得点M 到l1，l2 的距离分别为5 千米和40 千米，点N 到l1，l2 的距离分别为20 千米和
2.5 千米，以l2，l1 在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C 符合函数y=
（其中a，b
为常数）模型．
（1）求a，b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t．
①请写出公路l 长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
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②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．
【分析】（1）由题意知，点M，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=
，建立方程组，即
可求a，b 的值；
（2）①求出切线l 的方程，可得A，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②设g（t）=
，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路l 的长度最短，并求出最短长度．
【解答】解：（1）由题意知，点M，N 的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
将其分别代入y=
，得
，
解得
，
（2）①由（1）y=
（5≤x≤20），P（t，
），
∴y′=﹣
，
∴切线l 的方程为y﹣
=﹣
（x﹣t）
设在点P 处的切线l 交x，y 轴分别于A，B 点，则A（
，0），B（0，
），
∴f（t）=
=
，t∈[5，20]；
②设g（t）=
，则g′（t）=2t﹣
=0，解得t=10
，
t∈（5，10
）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10
，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，
从而t=10
时，函数g（t）有极小值也是最小值，
∴g（t）min=300，
∴f（t）min=15
，
答：t=10
时，公路l 的长度最短，最短长度为15
千米．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．
18．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，且右焦点F 到左
准线l 的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P，C，若PC=2AB，求直线
AB 的方程．
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【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c 的方程，解得a，c，再由a，b，c 的关系，可得b，进而得
到椭圆方程；
（2）讨论直线AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线
垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可得，e=
=
，
且c+
=3，解得c=1，a=
，
则b=1，即有椭圆方程为
+y2=1；
（2）当AB⊥x 轴，AB=
，CP=3，不合题意；
当AB 与x 轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
将AB 方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，
则x1+x2=
，x1x2=
，
则C（
，
），且|AB|=
•
=
，
若k=0，则AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；
则k≠0，故PC：y+
=﹣
（x﹣
），P（﹣2，
），
从而|PC|=
，
由|PC|=2|AB|，可得
=
，解得k=±1，
此时AB 的方程为y=x﹣1 或y=﹣x+1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长
公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．
19．（16 分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c 是与a 无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣
3）∪（1，
）∪（
，+∞），求c 的值．
【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣
）=
+b，则函数f（x）有三个不同的零点等
价于f（0）f（﹣
）=b（
+b）＜0，进一步转化为a＞0 时，
﹣a+c＞0 或a＜0 时，
﹣a+c＜0．设
g（a）=
﹣a+c，利用条件即可求c 的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，
∴f′（x）=3x2+2ax，
令f′（x）=0，可得x=0 或﹣
．
a=0 时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
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a＞0 时，x∈（﹣∞，﹣
）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣
，0）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣
），（0，+∞）上单调递增，在（﹣
，0）上单调递减；
a＜0 时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣
，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣
）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣
，+∞）上单调递增，在（0，﹣
）上单调递减；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣
）=
+b，
则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣
）＜0，
∴b＞0 且
+b＜0，
∵b=c﹣a，
∴a＞0 时，
﹣a+c＞0 或a＜0 时，
﹣a+c＜0．
设g（a）=
﹣a+c，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，
）∪（
，+∞），
∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0 且在（1，
）∪（
，+∞）上g（a）＞0 均恒成立，
∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（
）=c﹣1≥0，
∴c=1，
此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，
∵函数有三个零点，
∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0 有两个异于﹣1 的不等实根，
∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，
解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，
）∪（
，+∞），
综上c=1．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．
20．（16 分）设a1，a2，a3．a4 是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．
（1）证明：2
，2
，2
，2
依次构成等比数列；
（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44 依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在a1，d 及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列？并说明理由．
【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；
（2）利用反证法，假设存在a1，d 使得a1，a22，a33，a44 依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；
（3）利用反证法，假设存在a1，d 及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）
n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）
ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推
出假设不成立．
【解答】解：（1）证明：∵
=
=2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，
∴2
，2
，2
，2
依次构成等比数列；
（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4 分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）
假设存在a1，d 使得a1，a22，a33，a44 依次构成等比数列，
则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，
令t=
，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣
＜t＜1，t≠0），
化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1 代入（*）式，
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t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣
，
显然t=﹣
不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44 依次构成等比数列．
（3）假设存在a1，d 及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列，
则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），
分别在两个等式的两边同除以a12（n+k），a12（n+2k），并令t=
，（t＞
，t≠0），
则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），
将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），
且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），
化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，
且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，
再将这两式相除，化简得，
ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）
令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），
则g′（t）=
[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，
令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），
则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，
令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，
令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=
＞0，
由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，
知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣
，0）和（0，+∞）上均单调，
故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，
所以不存在a1，d 及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k 依次构成等比数列．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及
综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，
则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D．
求证：△ABD∽△AEB．
【分析】直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．
【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE 是公共角，
可知：△ABD∽△AEB．
【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10 分）已知x，y∈R，向量
=
是矩阵
的属于特征值﹣2 的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一
个特征值．
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【分析】利用A
=﹣2
，可得A=
，通过令矩阵A 的特征多项式为0 即得结论．
【解答】解：由已知，可得A
=﹣2
，即
=
=
，
则
，即
，
∴矩阵A=
，
从而矩阵A 的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），
∴矩阵A 的另一个特征值为1．
【点评】本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知圆C 的极坐标方程为ρ2+2
ρsin（θ﹣
）﹣4=0，求圆C 的半径．
【分析】先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．
【解答】解：圆的极坐标方程为ρ2+2
ρsin（θ﹣
）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，
化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，
化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，
圆的半径r=
．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，
y=ρsinθ，比较基础，
[选修4-5：不等式选讲】
24．解不等式x+|2x+3|≥2．
【分析】思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；
思路2（零点分段法）：对x 的值分“x≥
”“x＜
”进行讨论求解．
【解答】解法1：x+|2x+3|≥2 变形为|2x+3|≥2﹣x，
得2x+3≥2﹣x，或2x+3≤﹣（2﹣x），
即x≥
，或x≤﹣5，
即原不等式的解集为{x|x≥
，或x≤﹣5}．
解法2：令|2x+3|=0，得x=
．
①当x≥
时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥
，
所以x≥
；
②x＜
时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，
所以x≤﹣5．
综上，原不等式的解集为{x|x≥
，或x≤﹣5}．
【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去
绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或
f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用
零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．
【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25．（10 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=
，
PA=AD=2，AB=BC=1．
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（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．
【分析】以A 为坐标原点，以AB、AD、AP 所在直线分别为x、y、z 轴建系A﹣xyz．
（1）所求值即为平面PAB 的一个法向量与平面PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；
（2）利用换元法可得cos2＜
，
＞≤
，结合函数y=cosx 在（0，
）上的单调性，计算即得结论．
【解答】解：以A 为坐标原点，以AB、AD、AP 所在直线分别为x、y、z 轴建系A﹣xyz 如图，
由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）∵AD⊥平面PAB，∴
=（0，2，0），是平面PAB 的一个法向量，
∵
=（1，1，﹣2），
=（0，2，﹣2），
设平面PCD 的法向量为=（x，y，z），
由
，得
，
取y=1，得=（1，1，1），
∴cos＜
，＞=
=
，
∴平面PAB 与平面PCD 所成两面角的余弦值为
；
（2）∵
=（﹣1，0，2），设
=λ
=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），
又
=（0，﹣1，0），则
=
+
=（﹣λ，﹣1，2λ），
又
=（0，﹣2，2），从而cos＜
，
＞=
=
，
设1+2λ=t，t∈[1，3]，
则cos2＜
，
＞=
=
≤
，
当且仅当t=
，即λ=
时，|cos＜
，
＞|的最大值为
，
因为y=cosx 在（0，
）上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．
又∵BP=
=
，∴BQ=
BP=
．
【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
26．（10 分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n）（n∈N*），设Sn={（a，b）|a 整除b 或b 整除a，a∈X，
B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn 所含元素的个数．
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（1）写出f（6）的值；
（2）当n≥6 时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．
【分析】（1）f（6）=6+2+
+
=13；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．
【解答】解：（1）f（6）=6+2+
+
=13；
（2）当n≥6 时，f（n）=
．
下面用数学归纳法证明：
①n=6 时，f（6）=6+2+
+
=13，结论成立；
②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1 时，Sk+1 在Sk 的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，
k+1）中产生，分以下情形讨论：
1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+
+
，结论成立；
2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+
+
+1=（k+1）+2+
+
，结论成立；
3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
+
+2=（k+1）+2+
+
，结论成立；
4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
+
+2=（k+1）+2+
+
，结论成立；
5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
+
+2=（k+1）+2+
+
，结论成立；
6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+
+
+2=（k+1）+2+
+
，结论成
立．
综上所述，结论f（n）=n+[
]+[
]+2，对满足n≥6 的自然数n 均成立．
【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．
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2015 年湖南省高考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5 分，共50 分）
1．（5 分）已知
=1+i（i 为虚数单位），则复数z=（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到
差编为1﹣35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（5 分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x﹣y 的最小值为（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）若双曲线
﹣
=1 的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）若实数a，b 满足
+
=
，则ab 的最小值为（
）
A．
B．2
C．2
D．4
8．（5 分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（
）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数
B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数
D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
9．（5 分）已知A，B，C 在圆x2+y2=1 上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则|
|的最大值为
（
）
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A．6
B．7
C．8
D．9
10．（5 分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新
工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分）
11．（5 分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）=
．
12．（5 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程
为ρ=2sinθ，则曲线C 的直角坐标方程为
．
13．（5 分）若直线3x﹣4y+5=0 与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B 两点，且∠AOB=120°，（O 为坐标原点），则
r=
．
14．（5 分）已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b 有两个零点，则实数b 的取值范围是
．
15．（5 分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx 与y=2cosωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2
，则
ω=
．
三、解答题
16．（12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2 个红球A1，
A2 和1 个白球B 的甲箱与装有2 个红球a1，a2 和2 个白球b1，b2 的乙箱中，各随机摸出1 个球，若摸出的2 个球
都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
17．（12 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=
，且B 为钝角，求A，B，C．
18．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，E，F 分别是BC，CC1 的中点，
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）若直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC 的体积．
19．（13 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N*，
（Ⅰ）证明an+2=3an；
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（Ⅱ）求Sn．
20．（13 分）已知抛物线C1：x2=4y 的焦点F 也是椭圆C2：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1 与C2 的公共弦的
长为2
，过点F 的直线l 与C1 相交于A，B 两点，与C2 相交于C，D 两点，且
与
同向．
（Ⅰ）求C2 的方程；
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l 的斜率．
21．（13 分）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈[0，+∞]），记xn 为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．
（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；
（Ⅱ）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a 的取值范围．
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2015 年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5 分，共50 分）
1．（5 分）已知
=1+i（i 为虚数单位），则复数z=（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z 的值．
【解答】解：∵已知
=1+i（i 为虚数单位），∴z=
=
=﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
2．（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到
差编为1﹣35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7 人，得到抽取比例为
，然后各层按照此比
例抽取．
【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽
取7 人，得到抽取比例为
，
所以成绩在区间[139，151]中共有20 名运动员，抽取人数为20×
=4；
故选：B．
【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．
3．（5 分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．
【解答】解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，
所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．
4．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x﹣y 的最小值为（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立
，解得A（0，1）．
∴z=2x﹣y 的最小值为2×0﹣1=﹣1．
故选：A．
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【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】列出循环过程中S 与i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，
第1 次循环，S=
，i=2，
第2 次循环，S=
，i=3，
第3 次循环，S=
，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=
=
=
故选：B．
【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
6．（5 分）若双曲线
﹣
=1 的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．
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【解答】解：双曲线
﹣
=1 的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，
解得
=
．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．
7．（5 分）若实数a，b 满足
+
=
，则ab 的最小值为（
）
A．
B．2
C．2
D．4
【分析】由
+
=
，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式
即可求解ab 的最小值
【解答】解：∵
+
=
，
∴a＞0，b＞0，
∵
（当且仅当b=2a 时取等号），
∴
，
解可得，ab
，即ab 的最小值为2
，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题
8．（5 分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（
）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数
B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数
D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；
x=
时，f（
）=ln（1+
）﹣ln（1﹣
）=ln3＞1，显然f（0）＜f（
），函数是增函数，所以B 错误，A 正确．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
9．（5 分）已知A，B，C 在圆x2+y2=1 上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则|
|的最大值为
（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】由题意，AC 为直径，所以|
|=|2
+
|．B 为（﹣1，0）时，|2
+
|≤7，即可得出结论．
【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|
|=|2
+
|
所以B 为（﹣1，0）时，|2
+
|≤7．
所以|
|的最大值为7．
另解：设B（cosα，sinα），
|2
+
|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|=
=
，
当cosα=﹣1 时，B 为（﹣1，0），取得最大值7．
故选：B．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5 分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新
工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（
）
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A．
B．
C．
D．
【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与
圆锥的体积比为所求．
【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2 的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2
，
圆锥是体积为
；
其内接正方体的棱长为x，则
，解得x=
，所以正方体的体积为
，
所以原工件材料的利用率为：
=
；
故选：A．
【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以
及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分）
11．（5 分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）=
{1，2，3}
．
【分析】首先求出集合B 的补集，然后再与集合A 取并集．
【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，
所以∁UB={2}，
所以A∪（∁UB）={1，2，3}．
故答案为：{1，2，3}．
【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题．
12．（5 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程
为ρ=2sinθ，则曲线C 的直角坐标方程为
x2+（y﹣1）2=1
．
【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．
【解答】解：曲线C 的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．
13．（5 分）若直线3x﹣4y+5=0 与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B 两点，且∠AOB=120°，（O 为坐标原点），则r=
2
．
【分析】若直线3x﹣4y+5=0 与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B 两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三
角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0 的距离d=
r，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得
答案．
【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0 与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B 两点，O 为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0 的距离d=rcos
=
r，
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即
=
r，
解得r=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0 的距离d=
r 是
解答的关键．
14．（5 分）已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b 有两个零点，则实数b 的取值范围是
0＜b＜2
．
【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b 有两个零点，可得|2x﹣2|=b 有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b 的
图象有两个交点，结合函数的图象可求b 的范围
【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b 有两个零点，可得|2x﹣2|=b 有两个零点，
从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b 的图象有两个交点，
结合函数的图象可得，0＜b＜2 时符合条件，
故答案为：0＜b＜2
【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为
形象思维，有助于把握数学问题的本质．
15．（5 分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx 与y=2cosωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2
，则ω=
．
【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（
（k1
，
），（
（k2
，
），k1，k2 都为整数，
两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．
【解答】解：∵函数y=2sinωx 与y=2cosωx 的图象的交点，
∴根据三角函数线可得出交点（
（k1
，
），（
（k2
，
），k1，k2 都为整数，
∵距离最短的两个交点的距离为2
，
∴这两个交点在同一个周期内，
∴12=
（
）2+（
）2，ω=
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故答案为：
【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦．
三、解答题
16．（12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2 个红球A1，
A2 和1 个白球B 的甲箱与装有2 个红球a1，a2 和2 个白球b1，b2 的乙箱中，各随机摸出1 个球，若摸出的2 个球
都是红球则中奖，否则不中奖．
（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2 个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的
概率大于不中奖的概率是错误的．
【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：
{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，
{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；
（Ⅱ）不正确．理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12 种，其中摸出的2 个球都是红球的结果为：
{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4 种，
∴中奖的概率为
．
不中奖的概率为：1﹣
．
故这种说法不正确．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．
17．（12 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=
，且B 为钝角，求A，B，C．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得
=
，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．
（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=
，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=
，结
合范围可求B，由sinB=cosA 及A 的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．
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∴
=tanA，
∵由正弦定理：
，又tanA=
，
∴
=
，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=
，由（1）sinB=cosA，
∴sin2B=
，
∵0＜B＜π，
∴sinB=
，
∵B 为钝角，
∴B=
，
又∵cosA=sinB=
，
∴A=
，
∴C=π﹣A﹣B=
，
综上，A=C=
，B=
．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．
18．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，E，F 分别是BC，CC1 的中点，
（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）若直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC 的体积．
【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明
平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）取AB 的中点G，说明直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可
求解几何体的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为2 的正三角形，E 分别是BC 的中点，
∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）解：取AB 的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，
直线A1C 与平面A1ABB1 所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=
，
∴AA1=
=
，CF=
．
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三棱锥F﹣AEC 的体积：
×
=
=
．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（13 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N*，
（Ⅰ）证明an+2=3an；
（Ⅱ）求Sn．
【分析】（Ⅰ）当n≥2 时，通过an+2=3Sn﹣Sn+1+3 与an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3 作差，然后验证当n=1 时命题也成立即可；
（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明：当n≥2 时，由an+2=3Sn﹣Sn+1+3，
可得an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3，
两式相减，得an+2﹣an+1=3an﹣an+1，
∴an+2=3an，
当n=1 时，有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣（1+2）+3=3，
∴a3=3a1，命题也成立，
综上所述：an+2=3an；
（Ⅱ）解：由（I）可得
，其中k 是任意正整数，
∴S2k﹣1=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1
=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1
=
+3k﹣1
=
×3k﹣1﹣
，
S2k=S2k﹣1+a2k=
×3k﹣1﹣
+2×3k﹣1=
﹣
，
综上所述，Sn=
．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13 分）已知抛物线C1：x2=4y 的焦点F 也是椭圆C2：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1 与C2 的公共弦的
长为2
，过点F 的直线l 与C1 相交于A，B 两点，与C2 相交于C，D 两点，且
与
同向．
（Ⅰ）求C2 的方程；
（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l 的斜率．
【分析】（Ⅰ）通过C1 方程可知a2﹣b2=1，通过C1 与C2 的公共弦的长为2
且C1 与C2 的图象都关于y 轴对称可得
，计算即得结论；
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（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过
=
可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，
设直线l 方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）由C1 方程可知F（0，1），
∵F 也是椭圆C2 的一个焦点，∴a2﹣b2=1，
又∵C1 与C2 的公共弦的长为2
，C1 与C2 的图象都关于y 轴对称，
∴易得C1 与C2 的公共点的坐标为（±
，
），
∴
，
又∵a2﹣b2=1，
∴a2=9，b2=8，
∴C2 的方程为
+
=1；
（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
∵
与
同向，且|AC|=|BD|，
∴
=
，∴x1﹣x2=x3﹣x4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，
设直线l 的斜率为k，则l 方程：y=kx+1，
由
，可得x2﹣4kx﹣4=0，
由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
由
，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，
由韦达定理可得x3+x4=﹣
，x3x4=﹣
，
又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，
∴16（k2+1）=
+
，
化简得16（k2+1）=
，
∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±
，
即直线l 的斜率为±
．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计
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算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．（13 分）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈[0，+∞]），记xn 为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．
（Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列；
（Ⅱ）若对一切n∈N*，xn≤|f（xn）|恒成立，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）由n=1 可得a 的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥
π
时，验证得|f（xn+1）|＞xn+1，即可得
到a 的范围．
【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=aexcosx 的导数为f′（x）=aex（cosx﹣sinx），
a＞0，x≥0，则ex≥1，
由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+
，k=0，1，2，…，
当k 为奇数时，f′（x）在kπ+
附近左负右正，
当k 为偶数时，f′（x）在kπ+
附近左正右负．
故x=kπ+
，k=0，1，2，…，均为极值点，
xn=（n﹣1）π+
=nπ﹣
，
f（xn）=a
cos（nπ﹣
），f（xn+1）=a
cos（nπ+
），
当n 为偶数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn），
当n 为奇数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn），
即有数列{f（xn）}是等比数列；
（Ⅱ）解：由于x1≤|f（x1）|，则
≤
a
，
解得a≥
π
，
下面证明8n＞4n+3．
当n=1 时，8＞7 显然成立，假设n=k 时，8k＞4k+3，
当n=k+1 时，8k+1=8•8k＞8（4k+3）=32k+24
=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，
即有n=k+1 时，不等式成立．
综上可得8n＞4n+3（n∈N+），
由eπ＞8，
当a≥
π
时，
由（Ⅰ）可得|f（xn+1）|=|（﹣eπ）|n|f（x1）|
＞8n|f（x1）|=8nf（x1）＞（4n+3）x1＞xn+1，n∈N+，
综上可得a≥
π
成立．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳
法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．
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2015 年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3 分）i 为虚数单位，i607=（
）
A．﹣i
B．i C．1
D．﹣1
2．（3 分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
3．（3 分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（
）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
4．（3 分）已知变量x 和y 满足关系y=﹣0.1x+1，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是（
）
A．x 与y 负相关，x 与z 负相关B．x 与y 正相关，x 与z 正相关
C．x 与y 正相关，x 与z 负相关D．x 与y 负相关，x 与z 正相关
5．（3 分）l1，l2 表示空间中的两条直线，若p：l1，l2 是异面直线，q：l1，l2 不相交，则（
）
A．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C．p 是q 的充分必要条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
6．（3 分）函数f（x）=
+lg
的定义域为（
）
A．（2，3）
B．（2，4]
C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]
7．（3 分）设x∈R，定义符号函数sgnx=
，则（
）
A．|x|=x|sgnx|
B．|x|=xsgn|x|
C．|x|=|x|sgnx
D．|x|=xsgnx
8．（3 分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1 为事件“x+y≤
”的概率，P2 为事件“xy≤
”的概率，则（
）
A．p1＜p2＜
B．
C．p2＜
D．
9．（3 分）将离心率为e1 的双曲线C1 的实半轴长a 和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到
离心率为e2 的双曲线C2，则（
）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b 时，e1＞e2；当a＜b 时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b 时，e1＜e2；当a＜b 时，e1＞e2
10．（3 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，
y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B 中元素的个数为（
）
A．77
B．49
C．45
D．30
二、填空题
11．（3 分）已知向量
⊥
，|
|=3，则
•
=
．
12．（3 分）设变量x，y 满足约束条件
，则3x+y 的最大值为
．
13．（3 分）f（x）=2sin xsin（x+
）﹣x2 的零点个数为
．
14．（3 分）某电子商务公司对10000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）
都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的a=
．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为
．
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15．（3 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向
上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=
m．
16．（3 分）如图，已知圆C 与x 轴相切于点T（1，0），与y 轴正半轴交于两点A，B（B 在A 的上方），且|AB|=2．
（1）圆C 的标准方程为
．
（2）圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距为
．
17．（3 分）a 为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=
时，g（a）的值最
小．
三、解答题
18．（12 分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜
）在某一个时期内的图象时，列表
并填入部分数据，如下表：
wx+φ
0
π
2π
x
Asin（wx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移
个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O 最近的
对称中心．
19．（12 分）设等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1 时，记cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
20．（13 分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E 是PC 的中点，
连接DE、BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若
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不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD 的体积为V1，四面体EBCD 的体积为V2，求
的值．
21．（14 分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其
中e 为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0 时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0 时，ag（x）+（1﹣a）＜
＜bg（x）+（1﹣b）．
22．（14 分）一种画椭圆的工具如图1 所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链
与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动
N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标
系．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设动直线l 与两定直线l1：x﹣2y=0 和l2：x+2y=0 分别交于P，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公
共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
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2015 年湖北省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3 分）i 为虚数单位，i607=（
）
A．﹣i
B．i C．1
D．﹣1
【分析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案．
【解答】解：i607=i606•i=（i2）303•i=（﹣1）303•i=﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了虚数单位i 的运算性质，是基础的计算题．
2．（3 分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
【分析】根据254 粒内夹谷28 粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×
≈169 石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（3 分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（
）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1
D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（3 分）已知变量x 和y 满足关系y=﹣0.1x+1，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是（
）
A．x 与y 负相关，x 与z 负相关B．x 与y 正相关，x 与z 正相关
C．x 与y 正相关，x 与z 负相关D．x 与y 负相关，x 与z 正相关
【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y 与z 正相关，设y=kz，k＞0，得到x 与z 的相关性．
【解答】解：因为变量x 和y 满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x 与y 负相关；
变量y 与z 正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=
，一次项系数小于0，所以z 与x 负
相关；
故选：A．
【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键．
5．（3 分）l1，l2 表示空间中的两条直线，若p：l1，l2 是异面直线，q：l1，l2 不相交，则（
）
A．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C．p 是q 的充分必要条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可．
【解答】解：若l1，l2 是异面直线，则l1，l2 不相交，即充分性成立，
若l1，l2 不相交，则l1，l2 可能是平行或异面直线，即必要性不成立，
故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键．
6．（3 分）函数f（x）=
+lg
的定义域为（
）
A．（2，3）
B．（2，4]
C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]
【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．
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【解答】解：要使函数有意义，则
，
即
，
＞0 等价为①
即
，即x＞3，
②
，即
，此时2＜x＜3，
即2＜x＜3 或x＞3，
∵﹣4≤x≤4，
∴解得3＜x≤4 且2＜x＜3，
即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
7．（3 分）设x∈R，定义符号函数sgnx=
，则（
）
A．|x|=x|sgnx|
B．|x|=xsgn|x|
C．|x|=|x|sgnx
D．|x|=xsgnx
【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．
【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=
，而左边=|x|=
，显然不正确；
对于选项B，右边=xsgn|x|=
，而左边=|x|=
，显然不正确；
对于选项C，右边=|x|sgnx=
，而左边=|x|=
，显然不正确；
对于选项D，右边=xsgnx=
，而左边=|x|=
，显然正确；
故选：D．
【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
8．（3 分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1 为事件“x+y≤
”的概率，P2 为事件“xy≤
”的概率，则（
）
A．p1＜p2＜
B．
C．p2＜
D．
【分析】分别求出事件“x+y≤
”和事件“xy≤
”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大
小．
【解答】解：由题意，事件“x+y≤
”表示的区域如图阴影三角形，
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p1=
；
满足事件“xy≤
”的区域如图阴影部分
所以p2=
=
=
＞
；
所以
；
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答．
9．（3 分）将离心率为e1 的双曲线C1 的实半轴长a 和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到
离心率为e2 的双曲线C2，则（
）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b 时，e1＞e2；当a＜b 时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b 时，e1＜e2；当a＜b 时，e1＞e2
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=
；
双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=
，
∴
=
﹣
=
，
∴当a＞b 时，e1＞e2；当a＜b 时，e1＜e2，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
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10．（3 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，
y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B 中元素的个数为（
）
A．77
B．49
C．45
D．30
【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，
﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），
（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），
（﹣2，2）}，根据定义可求
【解答】解：解法一：
∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），
B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，
2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），
（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，
0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，
﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），
（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共
45 个元素；
解法二：
因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A 中有5 个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，
|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25 个元素，即图中正方形ABCD 中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，
（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1 中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45 个．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．
二、填空题
11．（3 分）已知向量
⊥
，|
|=3，则
•
=
9
．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由
⊥
，得
•
=0，即
•（
）=0，
∵|
|=3，
∴
．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．
12．（3 分）设变量x，y 满足约束条件
，则3x+y 的最大值为
10
．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，
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由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，
此时z 最大．
由
得
．即C（3，1），
此时z 的最大值为z=3×3+1=10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
13．（3 分）f（x）=2sin xsin（x+
）﹣x2 的零点个数为
2
．
【分析】将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可．
【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2，
由f（x）=0 得sin2x=x2，
作出函数y=sin2x 和y=x2 的图象如图：
由图象可知，两个函数的图象有2 个不同的交点，
即函数f（x）的零点个数为2 个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本
题的关键．
14．（3 分）某电子商务公司对10000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）
都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
（1）直方图中的a=
3
．
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为
6000
．
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【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a 的值；
（2）先求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．
【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3
（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000
故答案为：（1）3 （2）6000
【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率×样本容量，属于基础题．
15．（3 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向
上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=
100
m．
【分析】设此山高h（m），在△BCD 中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC 中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=
h，
在△ABC 中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得
=
，
解得h=100
（m）
故答案为：100
．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过
正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
16．（3 分）如图，已知圆C 与x 轴相切于点T（1，0），与y 轴正半轴交于两点A，B（B 在A 的上方），且|AB|=2．
（1）圆C 的标准方程为
（x﹣1）2+（y﹣
）2=2
．
（2）圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距为
﹣1﹣
．
【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C 的标准方程；
（2）求出圆C 在点B 处切线方程，令y=0 可得圆C 在点B 处切线在x 轴上的截距．
【解答】解：（1）由题意，圆的半径为
=
，圆心坐标为（1，
），
∴圆C 的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣
）2=2；
（2）由（1）知，B（0，1+
），
∴圆C 在点B 处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+
﹣
）（y﹣
）=2，
令y=0 可得x=﹣1﹣
．
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故答案为：（x﹣1）2+（y﹣
）2=2；﹣1﹣
．
【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
17．（3 分）a 为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=
2
﹣2
时，g（a）的
值最小．
【分析】通过分a≤0、0＜a≤2
﹣2、a＞2
﹣2 三种情况去函数f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调
性即得结论．
【解答】解：对函数f（x）=|x2﹣ax|=|（x﹣
）2﹣
|分下面几种情况讨论：
①当a≤0 时，f（x）=x2﹣ax 在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）max=g（1）=1﹣a；
②当0＜a≤2
﹣2 时，
=
=
，f（1）=1﹣a，
∵
﹣（1﹣a）=
﹣2＜0，
∴f（x）max=g（1）=1﹣a；
③当2
﹣2＜a≤1 时，f（x）max=g（a）=
；
综上所述，g（a）=
，
∴g（a）在（﹣∞，
]上单调递减，在[
，+∞）上单调递增，
∴g（a）min=g（
）；
④当1＜a＜2 时，g（a）=f（
）=
；
⑤当a≥2 时，g（a）=f（1）=a﹣1；
综上，当a=
时，g（a）min=3﹣2
，
故答案为：
．
【点评】本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
三、解答题
18．（12 分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜
）在某一个时期内的图象时，列表
并填入部分数据，如下表：
wx+φ
0
π
2π
x
Asin（wx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移
个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O 最近的
对称中心．
【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．
【解答】解：（1）数据补充完整如下表：
wx+φ
0
π
2π
x
Asin（wx+φ）
0
5
0
﹣5
0
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函数f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣
）．
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移
个单位长度，得到y=g（x）=5sin[2（x+
）﹣
]=5sin（2x+
）．
由2x+
=kπ，k∈Z，可解得：x=
﹣
，k∈Z，
当k=0 时，可得：x=﹣
．
从而可得离原点O 最近的对称中心为：（﹣
，0）．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基
本知识的考查．
19．（12 分）设等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1 时，记cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
【分析】（1）利用前10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1 时，由（1）知cn=
，写出Tn、
Tn 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即
可．
【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得
，
解得
，或
，
当
时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；
当
时，an=
（2n+79），bn=9•
；
（2）当d＞1 时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，
∴cn=
=
，
∴Tn=1+3•
+5•
+7•
+9•
+…+（2n﹣1）•
，
∴
Tn=1•
+3•
+5•
+7•
+…+（2n﹣3）•
+（2n﹣1）•
，
∴
Tn=2+
+
+
+
+…+
﹣（2n﹣1）•
=3﹣
，
∴Tn=6﹣
．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13 分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E 是PC 的中点，
连接DE、BD、BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若
不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD 的体积为V1，四面体EBCD 的体积为V2，求
的值．
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【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即可得出结论；
（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P﹣ABCD 的高，所以V1=
=
．由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D﹣BCE
的高，BC⊥CE，所以V2=
=
．即可求
的值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD 为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE⊂平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E 是PC 的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P﹣ABCD 的高，所以V1=
=
．
由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D﹣BCE 的高，BC⊥CE，
所以V2=
=
．
因为PD=CD，点E 是PC 的中点，
所以DE=CE=
CD，
所以
=
=
=4
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（14 分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其
中e 为自然对数的底数．
（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0 时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0 时，ag（x）+（1﹣a）＜
＜bg（x）+（1﹣b）．
【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和
基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）当x＞0 时，
＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，
＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）
+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．
【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（x）+g（x）=ex，f（﹣x）+g（﹣x）=e
﹣x，
即为﹣f（x）+g（x）=e
﹣x，
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解得f（x）=
（ex﹣e
﹣x），g（x）=
（ex+e
﹣x），
则当x＞0 时，ex＞1，0＜e
﹣x＜1，f（x）＞0；
g（x）=
（ex+e
﹣x）＞
×2
=1，
则有当x＞0 时，f（x）＞0，g（x）＞1；
（2）证明：f′（x）=
（ex+e
﹣x）=g（x），
g′（x）=
（ex﹣e
﹣x）=f（x），
当x＞0 时，
＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，
＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，
设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，
h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）
=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），
①若c≤0 则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故
＞ag（x）+1﹣a 成立；
②若c≥1 则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），
即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故
＜bg（x）+1﹣b 成立．
综上可得，当x＞0 时，a g（x）+（1﹣a）＜
＜b g（x）+（1﹣b）．
【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调
性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题．
22．（14 分）一种画椭圆的工具如图1 所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链
与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动
N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标
系．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设动直线l 与两定直线l1：x﹣2y=0 和l2：x+2y=0 分别交于P，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公
共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据条件求出a，b 即可求椭圆C 的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，
N（x0，y0），M（x，y），由题意得
=2
，
且|
|=|
|=1，
∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且
，
即
，且t（t﹣2x0）=0，
由于当点D 不动时，点N 也不动，∴t 不恒等于0，
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于是t=2x0，故x0=
，y0=﹣
，
代入x02+y02=1，得方程为
．
（2）①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：x=4 或x=﹣4，都有S△OPQ=
，
②直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m，（k
），
由
消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，
∵直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，
由
，可得P（
，
），同理得Q（
，
），
原点O 到直线PQ 的距离d=
和|PQ|=
•|xP﹣xQ|，
可得S△OPQ=
|PQ|d=
|m||xP﹣xQ|=
|m||
|=|
|②，
将①代入②得S△OPQ=|
|=8|
|，
当k2＞
时，S△OPQ=8（
）=8（1+
）＞8，
当0≤k2＜
时，S△OPQ=8|
|=﹣8（
）=8（﹣1+
），
∵0≤k2＜
时，∴0＜1﹣4k2≤1，
≥2，
∴S△OPQ=8（﹣1+
）≥8，当且仅当k=0 时取等号，
∴当k=0 时，S△OPQ 的最小值为8，
综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，三角形OPQ 的面积存在最小值为8．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本
题的关键．综合性较强，运算量较大．
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2015 年广东省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文
科）
1．（5 分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（
）
A．{0．﹣1} B．{0}
C．{1}
D．{﹣1，1}
2．（5 分）已知i 是虚数单位，则复数（1+i）2=（
）
A．2i
B．﹣2i C．2
D．﹣2
3．（5 分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx
C．y=2x+
D．y=x2+sinx
4．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x+3y 的最大值为（
）
A．2
B．5
C．8
D．10
5．（5 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2
，cosA=
．且b＜c，则b=（
）
A．
B．2
C．2
D．3
6．（5 分）若直线l1 和l2 是异面直线，l1 在平面α内，l2 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的
是（
）
A．l 与l1，l2 都不相交B．l 与l1，l2 都相交
C．l 至多与l1，l2 中的一条相交D．l 至少与l1，l2 中的一条相交
7．（5 分）已知5 件产品中有2 件次品，其余为合格品．现从这5 件产品中任取2 件，恰有一件次品的概率为（
）
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．1
8．（5 分）已知椭圆
+
=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（
）
A．2
B．3
C．4
D．9
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，
=（1，﹣2），
=（2，1）则
•
=
（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
10．（5 分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4 且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，
w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4 且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X 中的元素个数，则card（E）+card（F）
=（
）
A．200
B．150
C．100
D．50
二、填空题（共3 小题，考生作答4 小题，每小题5 分，满分15 分）（一）必做题（11～13 题）
11．（5 分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0 的解集为
．（用区间表示）
12．（5 分）已知样本数据x1，x2，…，xn 的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为
．
13．（5 分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2
，c=5﹣2
，则b=
．
坐标系与参数方程选做题
14．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1 的极坐标方
程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2 的参数方程为
（t 为参数），则C1 与C2 交点的直角坐标为
．
几何证明选讲选做题
15．如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C，过A 作直线EC 的垂线，
垂足为D．若AB=4．CE=2
，则AD=
．
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三、解答题（共6 小题，满分80 分）
16．（12 分）已知tanα=2．
（1）求tan（α+
）的值；
（2）求
的值．
17．（12 分）某城市100 户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，
240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法
抽取11 户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
18．（14 分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
（3）求点C 到平面PDA 的距离．
19．（14 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=
，a3=
，且当n≥2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．
（1）求a4 的值；
（2）证明：{an+1﹣
an}为等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
20．（14 分）已知过原点的动直线l 与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0 相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
说明理由．
21．（14 分）设a 为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a 的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+
在区间（0，+∞）内的零点个数．
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2015 年广东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文
科）
1．（5 分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（
）
A．{0．﹣1} B．{0}
C．{1}
D．{﹣1，1}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．
故选：C．
【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．
2．（5 分）已知i 是虚数单位，则复数（1+i）2=（
）
A．2i
B．﹣2i C．2
D．﹣2
【分析】利用完全平方式展开化简即可．
【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．
3．（5 分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx
C．y=2x+
D．y=x2+sinx
【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．
【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，
对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；
对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；
对于C，
，是偶函数；
对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；
故选：D．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就
是偶函数，相反就是奇函数．
4．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=2x+3y 的最大值为（
）
A．2
B．5
C．8
D．10
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+3y，得y=
，
平移直线y=
，由图象可知当直线y=
经过点B 时，直线y=
的截距最大，此时z 最大．
由
，解得
，
即B（4，﹣1）．
此时z 的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，
故选：B．
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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
5．（5 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2
，cosA=
．且b＜c，则b=（
）
A．
B．2
C．2
D．3
【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b 的方程，结合b＜c，即可得到b=2．
【解答】解：a=2，c=2
，cosA=
．且b＜c，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2﹣2bccosA，
即有4=b2+12﹣4
×
b，
解得b=2 或4，
由b＜c，可得b=2．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．
6．（5 分）若直线l1 和l2 是异面直线，l1 在平面α内，l2 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的
是（
）
A．l 与l1，l2 都不相交B．l 与l1，l2 都相交
C．l 至多与l1，l2 中的一条相交D．l 至少与l1，l2 中的一条相交
【分析】可以画出图形来说明l 与l1，l2 的位置关系，从而可判断出A，B，C 是错误的，而对于D，可假设不正确，
这样l 便和l1，l2 都不相交，这样可推出和l1，l2 异面矛盾，这样便说明D 正确．
【解答】解：A．l 与l1，l2 可以相交，如图：
∴该选项错误；
B．l 可以和l1，l2 中的一个平行，如上图，∴该选项错误；
C．l 可以和l1，l2 都相交，如下图：
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，∴该选项错误；
D．“l 至少与l1，l2 中的一条相交”正确，假如l 和l1，l2 都不相交；
∵l 和l1，l2 都共面；
∴l 和l1，l2 都平行；
∴l1∥l2，l1 和l2 共面，这样便不符合已知的l1 和l2 异面；
∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．
7．（5 分）已知5 件产品中有2 件次品，其余为合格品．现从这5 件产品中任取2 件，恰有一件次品的概率为（
）
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．1
【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5 件产品任取2 件的取法，取到恰有一件次品的取法
可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：这是一个古典概型，从5 件产品中任取2 件的取法为
；
∴基本事件总数为10；
设“选的2 件产品中恰有一件次品”为事件A，则A 包含的基本事件个数为
=6；
∴P（A）=
=0.6．
故选：B．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，
分步计数原理．
8．（5 分）已知椭圆
+
=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（
）
A．2
B．3
C．4
D．9
【分析】利用椭圆
+
=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．
【解答】解：∵椭圆
+
=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），
∴25﹣m2=16，
∵m＞0，
∴m=3，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，
=（1，﹣2），
=（2，1）则
•
=
（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】由向量加法的平行四边形法则可求
=
的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求
【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，
=
=（3，﹣1）．
∴
=3×2+（﹣1）×1=5．
故选：A．
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【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
10．（5 分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4 且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，
w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4 且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X 中的元素个数，则card（E）+card（F）
=（
）
A．200
B．150
C．100
D．50
【分析】对于集合E，s=4 时，p，q，r 从0，1，2，3 任取一数都有4 种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有
4×4×4=64 个，再讨论s=3，2，1 的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E 的元素个数，
而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F 元素个数相加即可．
【解答】解：（1）s=4 时，p，q，r 的取值的排列情况有4×4×4=64 种；
s=3 时，p，q，r 的取值的排列情况有3×3×3=27 种；
s=2 时，有2×2×2=8 种；
s=1 时，有1×1×1=1 种；
∴card（E）=64+27+8+1=100；
（2）u=4 时：若w=4，t，v 的取值的排列情况有4×4=16 种；
若w=3，t，v 的取值的排列情况有4×3=12 种；
若w=2，有4×2=8 种；
若w=1，有4×1=4 种；
u=3 时：若w=4，t，v 的取值的排列情况有3×4=12 种；
若w=3，t，v 的取值的排列情况有3×3=9 种；
若w=2，有3×2=6 种；
若w=1，有3×1=3 种；
u=2 时：若w=4，t，v 的取值的排列情况有2×4=8 种；
若w=3，有2×3=6 种；
若w=2，有2×2=4 种；
若w=1，有2×1=2 种；
u=1 时：若w=4，t，v 的取值的排列情况有1×4=4 种；
若w=3，有1×3=3 种；
若w=2，有1×2=2 种；
若w=1，有1×1=1 种；
∴card（F）=100；
∴card（E）+card（F）=200．
故选：A．
【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏．
二、填空题（共3 小题，考生作答4 小题，每小题5 分，满分15 分）（一）必做题（11～13 题）
11．（5 分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0 的解集为
（﹣4，1）
．（用区间表示）
【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．
【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；
所以不等式的解集为（﹣4，1）；
故答案为：（﹣4，1）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于
基础题．
12．（5 分）已知样本数据x1，x2，…，xn 的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为
11
．
【分析】利用平均数计算公式求解
【解答】解：∵数据x1，x2，…，xn 的平均数为均值=5，
则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1 的均值为：
=5×2+1=11；
故答案为：11．
【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．
13．（5 分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2
，c=5﹣2
，则b=
1
．
【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b
【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，
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∴b2=ac，
∵a=5+2
，c=5﹣2
，
∴
=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题
坐标系与参数方程选做题
14．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1 的极坐标方
程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2 的参数方程为
（t 为参数），则C1 与C2 交点的直角坐标为（2，﹣4）．
【分析】曲线C1 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把
代入可得直角坐标方程．曲线C2 的参数方程
为
（t 为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．
【解答】解：曲线C1 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．
曲线C2 的参数方程为
（t 为参数），化为普通方程：y2=8x．
联立
，解得
，
则C1 与C2 交点的直角坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
几何证明选讲选做题
15．如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C，过A 作直线EC 的垂线，
垂足为D．若AB=4．CE=2
，则AD=
3
．
【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得
，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．
【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴
由切割线定理可得CE2=BE•AE，
∴12=BE•（BE+4），
∴BE=2，
∴OE=4，
∴
，
∴AD=3
故答案为：3．
【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
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三、解答题（共6 小题，满分80 分）
16．（12 分）已知tanα=2．
（1）求tan（α+
）的值；
（2）求
的值．
【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．
（2）利用二倍角公式化简求解即可．
【解答】解：tanα=2．
（1）tan（α+
）=
=
=﹣3；
（2）
=
=
=
=1．
【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．
17．（12 分）某城市100 户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，
240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法
抽取11 户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程
（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5 可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x 的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是
=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5 可得a=224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为
=
，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×
=5 户．
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【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
18．（14 分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．
（1）证明：BC∥平面PDA；
（2）证明：BC⊥PD；
（3）求点C 到平面PDA 的距离．
【分析】（1）利用四边形ABCD 是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；
（3）利用等体积法，求点C 到平面PDA 的距离．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD 是长方形，所以BC∥AD，
因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；
（2）证明：因为四边形ABCD 是长方形，所以BC⊥CD，
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，
所以BC⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，
所以BC⊥PD；
（3）解：取CD 的中点E，连接AE 和PE，
因为PD=PC，所以PE⊥CD，
在Rt△PED 中，PE=
=
=
．
因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD．
由（2）知：BC⊥平面PDC，
由（1）知：BC∥AD，
所以AD⊥平面PDC，
因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．
设点C 到平面PDA 的距离为h．
因为VC﹣PDA=VP﹣ACD，
所以
，
所以h=
=
，
所以点C 到平面PDA 的距离是
．
【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的
积累，属于中档题．
19．（14 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=
，a3=
，且当n≥2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．
（1）求a4 的值；
（2）证明：{an+1﹣
an}为等比数列；
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（3）求数列{an}的通项公式．
【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得
；
（2）由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），变形得到4an+2+an=4an+1（n≥2），进一步得到
，由此可得数
列{
}是以
为首项，公比为
的等比数列；
（3）由{
}是以
为首项，公比为
的等比数列，可得
．进一步得到
，说明{
}是以
为首项，4 为公差的等差数列，由此可得数列{an}的通项公式．
【解答】（1）解：当n=2 时，4S4+5S2=8S3+S1，即
，
解得：
；
（2）证明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn（n≥2），
即4an+2+an=4an+1（n≥2），
∵
，∴4an+2+an=4an+1．
∵
=
．
∴数列{
}是以
=1 为首项，公比为
的等比数列；
（3）解：由（2）知，{
}是以
为首项，公比为
的等比数列，
∴
．
即
，
∴{
}是以
为首项，4 为公差的等差数列，
∴
，即
，
∴数列{an}的通项公式是
．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是
中档题．
20．（14 分）已知过原点的动直线l 与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0 相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
说明理由．
【分析】（1）通过将圆C1 的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l 的方程为y=kx，通过联立直线l 与圆C1 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公
式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
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（3）通过联立直线L 与圆C1 的方程，利用根的判别式△=0 及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结
论．
【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，
∴圆C1 的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l 的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组
，
消去y 可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，
由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜
由韦达定理，可得x1+x2=
，
∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为
，其中﹣
＜k＜
，
∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x﹣
）2+y2=
，其中
＜x≤3；
（3）结论：当k∈（﹣
，
）∪{﹣
，
}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点．
理由如下：
联立方程组
，
消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，
令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±
，
又∵轨迹C 的端点（
，±
）与点（4，0）决定的直线斜率为±
，
∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点时，
k 的取值范围为[﹣
，
]∪{﹣
，
}．
【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14 分）设a 为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a 的取值范围；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+
在区间（0，+∞）内的零点个数．
【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a 分类讨论求解不等式的解集即可．
（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a 时，当x≥a 时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间
即可．
（3）化简F（x）=f（x）+
，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a 的讨论判断函数的单调性，然后讨论
函数的零点的个数．
【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，
当a≥0 时，a
，可得a∈[0，
]．
当a＜0 时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．
综上a
．
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∴a 的取值范围：
；
（2）函数f（x）=
=
，
当x＜a 时，函数f（x）的对称轴为：x=
=a+
＞a，
y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，
当x≥a 时，函数f（x）的对称轴为：x=
=a﹣
＜a，
y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，
（3）F（x）=f（x）+
=
，
，
当x＜a 时，
=
，
所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．
当x≥a 时，因为a≥2，所以，F′（x）=
═
，
所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．
F（a）=a﹣a2+
．当a=2 时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2 时，F（a）=a﹣a2+
，
F′（a）=1﹣2a
=
=
．
所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，
所以F（a）＜
，即F（a）＜0，
当x＞0 且x→0 时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．
综上所述，当a=2 时，F（x）有一个零点，a＞2 时F（x）有两个零点．
【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性
的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．
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2015 年福建省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．
1．（5 分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i 是虚数单位），则a，b 的值分别等于（
）
A．3，﹣2
B．3，2 C．3，﹣3
D．﹣1，4
2．（5 分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（
）
A．{0}
B．{1}
C．{0，1，2}
D．{0，1}
3．（5 分）下列函数为奇函数的是（
）
A．y=
B．y=ex C．y=cosx
D．y=ex﹣e
﹣x
4．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（
）
A．2
B．7
C．8
D．128
5．（5 分）若直线
=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b 的最小值等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．（5 分）若sinα=﹣
，则α为第四象限角，则tanα的值等于（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
7．（5 分）设=（1，2），=（1，1），= +k ，若
，则实数k 的值等于（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
8．
（5 分）如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（1，0），且点C 与点D 在函数f（x）=
的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（
）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（
）
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A．8+2
B．11+2
C．14+2
D．15
10．（5 分）变量x，y 满足约束条件
，若z=2x﹣y 的最大值为2，则实数m 等于（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
11．（5 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0 交椭圆E
于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（
）
A．（0，
] B．（0，
]
C．[
，1）
D．[
，1）
12．（5 分）“对任意x
，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．
13．（4 分）某校高一年级有900 名学生，其中女生400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取
一个容量为45 的样本，则应抽取的男生人数为
．
14．（4 分）在△ABC 中，AC=
，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长度是
．
15．（4 分）若函数f（x）=2
|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m
的最小值等于
．
16．（4 分）若a，b 是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2 这三个数可适当排
序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于
．
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分．
17．（12 分）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2
+n，求b1+b2+b3+…+b10 的值．
18．（12 分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播
2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进
行分组统计，结果如表所示：
组号
分组
频数
1
[4，5）
2
2
[5，6）
8
3
[6，7）
7
4
[7，8]
3
（1）现从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家进行调研，求至少有1 家的融合指数
在[7，8]内的概率；
（2）根据分组统计表求这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
19．（12 分）已知点F 为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E 上，且|AF|=3，
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF 交抛物线E 于点B，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB
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相切．
20．（12 分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1，
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC 体积的最大值；
（Ⅲ）若BC=
，点E 在线段PB 上，求CE+OE 的最小值．
21．（12 分）已知函数f（x）=10
sin
cos
+10cos2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移
个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，
且函数g（x）的最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．
22．（14 分）已知函数f（x）=lnx﹣
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）证明；当x＞1 时，f（x）＜x﹣1；
（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．
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2015 年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．
1．（5 分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i 是虚数单位），则a，b 的值分别等于（
）
A．3，﹣2
B．3，2 C．3，﹣3
D．﹣1，4
【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b 的值．
【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi，
得a=3，b=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题．
2．（5 分）若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（
）
A．{0}
B．{1}
C．{0，1，2}
D．{0，1}
【分析】直接利用交集及其运算得答案．
【解答】解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，
得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．
故选：D．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
3．（5 分）下列函数为奇函数的是（
）
A．y=
B．y=ex C．y=cosx
D．y=ex﹣e
﹣x
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数．
B．函数y=ex 单调递增，为非奇非偶函数．
C．y=cosx 为偶函数．
D．f（﹣x）=e
﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e
﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．
4．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（
）
A．2
B．7
C．8
D．128
【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=
的值，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=
的值，
若x=1
不满足条件x≥2，y=8
输出y 的值为8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．
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5．（5 分）若直线
=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b 的最小值等于（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】将（1，1）代入直线得：
+
=1，从而a+b=（
+
）（a+b），利用基本不等式求出即可．
【解答】解：∵直线
=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），
∴
+
=1（a＞0，b＞0），
所以a+b=（
+
）（a+b）=2+
+
≥2+2
=4，
当且仅当
=
即a=b=2 时取等号，
∴a+b 最小值是4，
故选：C．
【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出
+
=1，得到a+b=（
+
）（a+b）是解题的关键．
6．（5 分）若sinα=﹣
，则α为第四象限角，则tanα的值等于（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可．
【解答】解：sinα=﹣
，则α为第四象限角，cosα=
=
，
tanα=
=﹣
．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
7．（5 分）设=（1，2），=（1，1），= +k ，若
，则实数k 的值等于（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k 的方程，解方程可得．
【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），
∴= +k =（1+k，2+k）
∵
，∴• =0，
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣
故选：A．
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
8．
（5 分）如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（1，0），且点C 与点D 在函数f（x）=
的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（
）
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A．
B．
C．
D．
【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得．
【解答】解：由题意可得B（1，0），把x=1 代入y=x+1 可得y=2，即C（1，2），
把x=0 代入y=x+1 可得y=1，即图中阴影三角形的第3 个定点为（0，1），
令
=2 可解得x=﹣2，即D（﹣2，2），
∴矩形的面积S=3×2=6，阴影三角形的面积S′=
×3×1=
，
∴所求概率P=
=
故选：B．
【点评】本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题．
9．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（
）
A．8+2
B．11+2
C．14+2
D．15
【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，
矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2 的直四棱柱，
底面的梯形上底1，下底2，高为1，
∴侧面为（4
）×2=8
，
底面为
（2+1）×1=
，
故几何体的表面积为8
=11
，
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状．
10．（5 分）变量x，y 满足约束条件
，若z=2x﹣y 的最大值为2，则实数m 等于（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解
的坐标，代入目标函数求得m 的值．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立
，解得A（
），
化目标函数z=2x﹣y 为y=2x﹣z，
由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为
，
解得：m=1．
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故选：C．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．（5 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0 交椭圆E
于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（
）
A．（0，
] B．（0，
]
C．[
，1）
D．[
，1）
【分析】如图所示，设F′ 为椭圆的左焦点，连接AF′ ，BF′ ，则四边形AFBF′ 是平行四边形，可得
4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M 到直线l 的距离不小于
，可得
，解得b≥1．再
利用离心率计算公式e=
=
即可得出．
【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵点M 到直线l 的距离不小于
，∴
，解得b≥1．
∴e=
=
≤
=
．
∴椭圆E 的离心率的取值范围是
．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
12．（5 分）“对任意x
，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．
【解答】解：对任意x
，ksinxcosx＜x，即对任意x
，ksin2x＜2x，
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当k＜1 时，ksin2x＜2x 恒成立（sinx＜x 在x
恒成立），但是对任意x
，ksinxcosx＜x”，可
得k=1 也成立，
所以“对任意x
，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．
13．（4 分）某校高一年级有900 名学生，其中女生400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取
一个容量为45 的样本，则应抽取的男生人数为
25
．
【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．
【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为
=
，
则应抽取的男生人数是500×
=25 人，
故答案为：25．
【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个
体数目．
14．（4 分）在△ABC 中，AC=
，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长度是
．
【分析】根据∠A 和∠C 求得∠B，进而根据正弦定理求得
求得BC．
【解答】解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60°
由正弦定理可知ACsinB=BCsinA
∴BC=
=
故答案为
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．
15．（4 分）若函数f（x）=2
|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m
的最小值等于
1
．
【分析】先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1 轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区
间，求出m≥1．
【解答】解：因为f（1+x）=f（1﹣x），
所以，f（x）的图象关于直线x=1 轴对称，
而f（x）=2
|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x=a 轴对称，
因此，a=1，f（x）=2
|x﹣1|，
且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，
所以，m≥1，即实数m 的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性和单调区间，体现了数形结合的
解题思想，属于中档题．
16．（4 分）若a，b 是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2 这三个数可适当排
序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于
9
．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列列关于a，b 的方程组，求得a，b 后得答案．
【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得
①或
②．
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解①得：
；解②得：
．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
三、解答题：本大题共6 小题，共74 分．
17．（12 分）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2
+n，求b1+b2+b3+…+b10 的值．
【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）bn=2
+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10 的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则
，
解得
，
所以an=3+（n﹣1）=n+2；
（Ⅱ）bn=2
+n=2n+n，
所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）
=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）
=
+
=2101．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键．
18．（12 分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播
2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进
行分组统计，结果如表所示：
组号
分组
频数
1
[4，5）
2
2
[5，6）
8
3
[6，7）
7
4
[7，8]
3
（1）现从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家进行调研，求至少有1 家的融合指数
在[7，8]内的概率；
（2）根据分组统计表求这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
【分析】（1）利用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可．
（2）根据平均数的定义和公式进行计算即可．
【解答】解：（1）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3，
融合指数在[4，5）内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，
从融合指数在[4，5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2 家进行调研的事件为：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，
{B1，B2}，共10 个．
至少有1 家的融合指数在[7，8]内的事件有；{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9 个，
则至少有1 家的融合指数在[7，8]内的概率为
；
（2）根据分组统计表求这20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数为：
=6.05．
【点评】本题主要考查古典概型，频率分布表，平均数等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识，
考查必然与或然思想等．
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19．（12 分）已知点F 为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E 上，且|AF|=3，
（Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF 交抛物线E 于点B，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB
相切．
【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+
=3，解得p．即可得出抛物线E 的方程．
（II）由点A（2，m）在抛物线E 上，解得m，不妨取A
，F（1，0），可得直线AF 的方程，与抛物线
方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B
．又G（﹣1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB=0，∠AGF=∠BGF，
即可证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）由点A（2，m）在抛物线E 上，解得m，不妨取A
，F（1，0），可得直线AF 的方程，与抛物线
方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B
．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB 的方程，利用点到直线的距
离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB 的距离，若相等即可证明此以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与
直线GB 相切．
【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+
=3，解得p=2．
∴抛物线E 的方程为y2=4x；
（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E 上，
∴m2=4×2，解得m=
，不妨取A
，F（1，0），
∴直线AF 的方程：y=2
（x﹣1），
联立
，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2 或
，B
．
又G（﹣1，0），∴kGA=
．kGB=
=﹣
，
∴kGA+kGB=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x 轴平分∠AGB，
因此点F 到直线GA，GB 的距离相等，
∴以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）证明：点A（2，m）在抛物线E 上，∴m2=4×2，解得m=
，不妨取A
，F（1，0），
∴直线AF 的方程：y=2
（x﹣1），
联立
，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2 或
，B
．
又G（﹣1，0），可得直线GA，GB 的方程分别为：
x﹣3y+2
=0，
=0，
点F（1，0）到直线GA 的距离d=
=
，
同理可得点F（1，0）到直线GB 的距离=
．
因此以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考
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查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
20．（12 分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO=OB=1，
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC 体积的最大值；
（Ⅲ）若BC=
，点E 在线段PB 上，求CE+OE 的最小值．
【分析】（Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO．
（Ⅱ）当CO⊥AB 时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC 面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC
的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC 体积的最大值．
（Ⅲ）可求PB=
=
=PC ，即有PB=PC=BC ，由OP=OB ，C′P=C′B ，可证E 为PB 中点，从而可求
OC′=OE+EC′=
=
，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）在△AOC 中，因为OA=OC，D 为AC 的中点，
所以AC⊥DO，
又PO 垂直于圆O 所在的平面，
所以PO⊥AC，
因为DO∩PO=O，
所以AC⊥平面PDO．
（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，
所以当CO⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，
又AB=2，所以△ABC 面积的最大值为
，
又因为三棱锥P﹣ABC 的高PO=1，
故三棱锥P﹣ABC 体积的最大值为：
．
（Ⅲ）在△POB 中，PO=OB=1，∠POB=90°，
所以PB=
=
，
同理PC=
，所以PB=PC=BC，
在三棱锥P﹣ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC′P，使之与平面ABP 共面，如图所示，
当O，E，C′共线时，CE+OE 取得最小值，
又因为OP=OB，C′P=C′B，
所以OC′垂直平分PB，即E 为PB 中点．
从而OC′=OE+EC′=
=
．
亦即CE+OE 的最小值为：
．
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【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能
力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=10
sin
cos
+10cos2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移
个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，
且函数g（x）的最大值为2．
（i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．
【分析】（Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；
（Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a 的值，然后进而写出g
（x）的解析式；
（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0
，由
＜
知，存在0
＜α0＜
，使得sinα0=
由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0）（k∈Z）时，均有sinx
，即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=10
sin
cos
+10cos2
=5
sinx+5cosx+5=10sin（x+
）+5，
∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；
（Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移
个单位长度后得到y=10sinx+5 的图象，
再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5﹣a 的图象，
∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5﹣a=2，解得a=13，
∴函数g（x）=10sinx﹣8．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0，
就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0
，
由
＜
知，存在0＜α0＜
，使得sinα0=
，
由正弦函数的性质可知，当x∈（α0，π﹣α0）时，均有sinx
，
因为y=sinx 的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），
（k∈Z）时，均有sinx
．
因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α0）﹣（2kπ+α0）=π﹣2α0＞
＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），使得sinxk
，
即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．
【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题．
22．（14 分）已知函数f（x）=lnx﹣
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
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（Ⅱ）证明；当x＞1 时，f（x）＜x﹣1；
（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．
【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；
（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k 的所有可能取值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣
，
∴f′（x）=
＞0（x＞0），
∴0＜x＜
，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，
）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=
当x＞1 时，F′（x）＜0，
∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴x＞1 时，F（x）＜F（1）=0，
即当x＞1 时，f（x）＜x﹣1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1 时，不存在x0＞1 满足题意；
当k＞1 时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），
从而不存在x0＞1 满足题意；
当k＜1 时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则
G′（x）=
=0，可得x1=
＜0，x2=
＞1，
当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，
从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），
综上，k 的取值范围为（﹣∞，1）．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．
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2015 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5 分,共40 分）
1．（5 分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（
）
A．{x|﹣3＜x＜2}
B．{x|﹣5＜x＜2}
C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}
2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（
）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
3．（5 分）下列函数中为偶函数的是（
）
A．y=x2sinx
B．y=x2cosx
C．y=|lnx|
D．y=2
﹣x
4．（5 分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，
青年教师有320 人，则该样本的老年教师人数为（
）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
D．300
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．（5 分）设，是非零向量，“
=| || |”是“
”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（
）
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A．1
B．
C．
D．2
8．（5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015 年5 月1 日
12
35000
2015 年5 月15 日
48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为（
）
A．6 升B．8 升C．10 升D．12 升
二、填空题
9．（5 分）复数i（1+i）的实部为
．
10．（5 分）2
﹣3，
，log25 三个数中最大数的是
．
11．（5 分）在△ABC 中，a=3，b=
，∠A=
，则∠B=
．
12．（5 分）已知（2，0）是双曲线x2﹣
=1（b＞0）的一个焦点，则b=
．
13．
（5 分）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D 中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为
．
14．（5 分）高三年级267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情
况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是
．
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三、解答题（共80 分）
15．（13 分）已知函数f（x）=sinx﹣2
sin2
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，
]上的最小值．
16．（13 分）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6 与数列{an}的第几项相等？
17．（13 分）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，
其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．（14 分）如图，在三棱锥V﹣ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=
，O，
M 分别为AB，VA 的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC 的体积．
19．（13 分）设函数f（x）=
﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
]上仅有一个零点．
20．（14 分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C 交于A，B 两点，直线AE
与直线x=3 交于点M．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．
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2015 年北京市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5 分,共40 分）
1．（5 分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（
）
A．{x|﹣3＜x＜2}
B．{x|﹣5＜x＜2}
C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3}
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，
则A∩B={x|﹣3＜x＜2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．
2．（5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（
）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
【解答】解：由题意知圆半径r=
，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
3．（5 分）下列函数中为偶函数的是（
）
A．y=x2sinx
B．y=x2cosx
C．y=|lnx|
D．y=2
﹣x
【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x 与x 的函数值关系，相等的就是偶函数．
【解答】解：对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数；
对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数；
对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；
对于D，定义域为R，但是2
﹣（﹣x）=2x≠2
﹣x，2x≠﹣2
﹣x；是非奇非偶的函数；
故选：B．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；
如果对称，再判断f（﹣x）与f（x）关系，相等是偶函数，相反是奇函数．
4．（5 分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，
青年教师有320 人，则该样本的老年教师人数为（
）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A．90
B．100
C．180
D．300
【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．
【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，
因为青年教师有320 人，所以老年教师有180 人，
故选：C．
【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k 的值，当a=
时满足条件a＜
，退出循环，输出k
的值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=0，a=3，q=
a=
，k=1
不满足条件a＜
，a=
，k=2
不满足条件a＜
，a=
，k=3
不满足条件a＜
，a=
，k=4
满足条件a＜
，退出循环，输出k 的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
6．（5 分）设，是非零向量，“
=| || |”是“
”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由
便可得到
夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到
，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．
【解答】解：（1）
；
∴
时，cos
=1；
∴
；
∴∥；
∴“
”是“ ∥”的充分条件；
（2）∥时，
的夹角为0 或π；
∴
，或﹣
；
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即∥得不到
；
∴“
”不是“ ∥”的必要条件；
∴总上可得“
”是“ ∥”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共
线的定义，向量夹角的定义．
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（
）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，
底面为正方形如图：
其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形
∴PB=1，AB=1，AD=1，
∴BD=
，PD=
=
．
PC═
该几何体最长棱的棱长为：
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键
8．（5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015 年5 月1 日
12
35000
2015 年5 月15 日
48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100 千米平均耗油量为（
）
A．6 升B．8 升C．10 升D．12 升
【分析】由表格信息，得到该车加了48 升的汽油，跑了600 千米，由此得到该车每100 千米平均耗油量．
【解答】解：由表格信息，得到该车加了48 升的汽油，跑了600 千米，所以该车每100 千米平均耗油量48÷6=8；
故选：B．
【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．
二、填空题
9．（5 分）复数i（1+i）的实部为
﹣1
．
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【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．
【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，
所求复数的实部为：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
10．（5 分）2
﹣3，
，log25 三个数中最大数的是
log25
．
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2
﹣3＜1，1＜
＜2，log25＞log24=2，即可得到最大数．
【解答】解：由于0＜2
﹣3＜1，1＜
＜2，
log25＞log24=2，
则三个数中最大的数为log25．
故答案为：log25．
【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．
11．（5 分）在△ABC 中，a=3，b=
，∠A=
，则∠B=
．
【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】解：由正弦定理可得，
=
，
即有sinB=
=
=
，
由b＜a，则B＜A，
可得B=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．
12．（5 分）已知（2，0）是双曲线x2﹣
=1（b＞0）的一个焦点，则b=
．
【分析】求得双曲线x2﹣
=1（b＞0）的焦点为（
，0），（﹣
，0），可得b 的方程，即可得到b 的
值．
【解答】解：双曲线x2﹣
=1（b＞0）的焦点为（
，0），（﹣
，0），
由题意可得
=2，
解得b=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．
13．（5 分）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D 中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为
7
．
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【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．
【解答】解：由z=2x+3y，得y=
，
平移直线y=
，由图象可知当直线y=
经过点A 时，直线y=
的截距最大，此时z 最大．
即A（2，1）．
此时z 的最大值为z=2×2+3×1=7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
14．（5 分）高三年级267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情
况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
乙
；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是
数学
．
【分析】（1）根据散点图1 分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；
（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小
于．
【解答】解：由高三年级267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排
名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5 个点，即丙
的总成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5 个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙
的位置高，所以语文名次更“大”
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；
②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在
语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；
故答案为：乙；数学．
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【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题．
三、解答题（共80 分）
15．（13 分）已知函数f（x）=sinx﹣2
sin2
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，
]上的最小值．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+
）﹣
，由三角函数的周期性及其求法
即可得解；
（2）由x∈[0，
]，可求范围x+
∈[
，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2
sin2
=sinx﹣2
×
=sinx+
cosx﹣
=2sin（x+
）﹣
∴f（x）的最小正周期T=
=2π；
（2）∵x∈[0，
]，
∴x+
∈[
，π]，
∴sin（x+
）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+
）﹣
∈[﹣
，2﹣
]，
∴可解得f（x）在区间[0，
]上的最小值为：﹣
．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基
本知识的考查．
16．（13 分）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6 与数列{an}的第几项相等？
【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，结合等差数列的通项公式可求
（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b6，结合（I）可求
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d．
∵a4﹣a3=2，所以d=2
∵a1+a2=10，所以2a1+d=10
∴a1=4，
∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）
（II）设等比数列{bn}的公比为q，
∵b2=a3=8，b3=a7=16，
∴
∴q=2，b1=4
∴
=128，而128=2n+2
∴n=63
∴b6 与数列{an}中的第63 项相等
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．
17．（13 分）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，
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其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
【分析】（1）从统计表可得，在这1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有200 人，从而求得顾客同时购买乙和丙的
概率．
（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的有300 人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商
品的概率．
（3）在这1000 名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得
出结论．
【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有200 人，
故顾客同时购买乙和丙的概率为
=0.2．
（2）在这1000 名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的有100+200=300（人），
故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3 种商品的概率为
=0.3．
（3）在这1000 名顾客中，同时购买甲和乙的概率为
=0.2，
同时购买甲和丙的概率为
=0.6，
同时购买甲和丁的概率为
=0.1，
故同时购买甲和丙的概率最大．
【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．
18．（14 分）如图，在三棱锥V﹣ABC 中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB 为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=
，O，
M 分别为AB，VA 的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC 的体积．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；
（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB
（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC 的体积．
【解答】（1）证明：∵O，M 分别为AB，VA 的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O 为AB 的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，
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∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC=BC=
，∴AB=2，OC=1，
∴S△VAB=
，
∵OC⊥平面VAB，
∴VC﹣VAB=
•S△VAB=
，
∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=
．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平
面垂直的判定定理是关键．
19．（13 分）设函数f（x）=
﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
]上仅有一个零点．
【分析】（1）利用f'（x）≥0 或f'（x）≤0 求得函数的单调区间并能求出极值；
（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．
【解答】解：（1）由f（x）=
f'（x）=x﹣
由f'（x）=0 解得x=
f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：
X
（0，
）
（
）
f'（x）
﹣
0
+
f（x）
↓
↑
所以，f（x）的单调递增区间为（
），单调递减区间为（0，
）；
f（x）在x=
处的极小值为f（
）=
，无极大值．
（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（
）=
．
因为f（x）存在零点，所以
，从而k≥e
当k=e 时，f（x）在区间（1，
）上单调递减，且f（
）=0
所以x=
是f（x）在区间（1，
）上唯一零点．
当k＞e 时，f（x）在区间（0，
）上单调递减，且
，
所以f（x）在区间（1，
）上仅有一个零点．
综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
]上仅有一个零点．
【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．
20．（14 分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C 交于A，B 两点，直线AE
与直线x=3 交于点M．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；
（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）通过将椭圆C 的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；
（2）通过令直线AE 的方程中x=3，得点M 坐标，即得直线BM 的斜率；
（3）分直线AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．
【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，
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∴椭圆C 的标准方程为：
+y2=1，
∴a=
，b=1，c=
，
∴椭圆C 的离心率e=
=
；
（2）∵AB 过点D（1，0）且垂直于x 轴，
∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），
∵E（2，1），∴直线AE 的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），
令x=3，得M（3，2﹣y1），
∴直线BM 的斜率kBM=
=1；
（3）结论：直线BM 与直线DE 平行．
证明如下：
当直线AB 的斜率不存在时，由（2）知kBM=1，
又∵直线DE 的斜率kDE=
=1，∴BM∥DE；
当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AE 的方程为y﹣1=
（x﹣2），
令x=3，则点M（3，
），
∴直线BM 的斜率kBM=
，
联立
，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，
由韦达定理，得x1+x2=
，x1x2=
，
∵kBM﹣1=
=
=
=0，
∴kBM=1=kDE，即BM∥DE；
综上所述，直线BM 与直线DE 平行．
【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中
档题．
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2015 年安徽省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文
科）
1．（5 分）设i 是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（
）
A．3+3i B．﹣1+3i
C．3+i
D．﹣1+i
2．（5 分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（
）
A．{1，2，5，6} B．{1}
C．{2}
D．{1，2，3，4}
3．（5 分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p 是q 成立的（
）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．y=lnx B．y=x2+1
C．y=sinx
D．y=cosx
5．（5 分）已知x，y 满足约束条件
，则z=﹣2x+y 的最大值是（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．﹣5
D．1
6．（5 分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（
）
A．x2﹣
=1
B．
﹣y2=1
C．x2﹣
=1D．
﹣y2=1
7．（5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（5 分）直线3x+4y=b 与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 相切，则b=（
）
A．﹣2 或12 B．2 或﹣12 C．﹣2 或﹣12
D．2 或12
9．（5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（
）
A．1+
B．1+2
C．2+
D．2
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10．（5 分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0
B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0
D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
二、填空题
11．（3 分）lg
+2lg2﹣（
）
﹣1=
．
12．（3 分）在△ABC 中，AB=
，∠A=75°，∠B=45°，则AC=
．
13．（3 分）已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+
（n≥2），则数列{an}的前9 项和等于
．
14．（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线y=2a 与函数y=|x﹣a|﹣1 的图象只有一个交点，则a 的值为
．
15．（3 分）△ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量
满足
=2
，
=2
+
，则下列结论中正确的
是
．（写出所有正确结论得序号）
①
为单位向量；②
为单位向量；③
；④∥
；⑤（4 + ）⊥
．
三、解答题
16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50 名职工，根据这50 名职工对该部门的评分，
绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2 人，求此2 人评分都在[40，50]的概率．
18．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn 为数列{an}的前n 项和，bn=
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
19．如图，三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P﹣ABC 的体积；
（2）证明：在线段PC 上存在点M，使得AC⊥BM，并求
的值．
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20．设椭圆E 的方程为
=1（a＞b＞0），点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），
点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为
．
（1）求E 的离心率e；
（2）设点C 的坐标为（0，﹣b），N 为线段AC 的中点，证明：MN⊥AB．
21．已知函数f（x）=
（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若
=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．
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2015 年安徽省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文
科）
1．（5 分）设i 是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（
）
A．3+3i B．﹣1+3i
C．3+i
D．﹣1+i
【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．
【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．
2．（5 分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（
）
A．{1，2，5，6} B．{1}
C．{2}
D．{1，2，3，4}
【分析】进行补集、交集的运算即可．
【解答】解：∁RB={1，5，6}；
∴A∩（∁RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}．
故选：B．
【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．
3．（5 分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p 是q 成立的（
）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．
【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p 成立，不一定有q 成立，但是q 成立，必有p 成立，
所以p 是q 成立的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．
4．（5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．y=lnx B．y=x2+1
C．y=sinx
D．y=cosx
【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．
【解答】解：对于A，y=lnx 定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；
对于B，是偶函数，但是不存在零点；
对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；
对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
故选：D．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义
域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．
5．（5 分）已知x，y 满足约束条件
，则z=﹣2x+y 的最大值是（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．﹣5
D．1
【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y 的最大值就是y=2x+z 在y 轴的截距的最大值．
【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，
当直线y=2x+z 经过A 时使得z 最大，由
得到A（1，1），
所以z 的最大值为﹣2×1+1=﹣1；
故选：A．
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【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．
6．（5 分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（
）
A．x2﹣
=1
B．
﹣y2=1
C．x2﹣
=1D．
﹣y2=1
【分析】由双曲线方程
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±
x，对选项一一判断即可得到答案．
【解答】解：由双曲线方程
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为
y=±
x，
由A 可得渐近线方程为y=±2x，
由B 可得渐近线方程为y=±
x，
由C 可得渐近线方程为y=
x，
由D 可得渐近线方程为y=
x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
7．（5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n 的值，当a=
时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，
退出循环，输出n 的值为4．
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【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=1，n=1
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=
，n=2
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=
，n=3
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=
，n=4
不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n 的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．
8．（5 分）直线3x+4y=b 与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 相切，则b=（
）
A．﹣2 或12 B．2 或﹣12 C．﹣2 或﹣12
D．2 或12
【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b 值．
【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
∴圆心坐标为（1，1），半径为1，
∵直线3x+4y=b 与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 相切，
∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0 的距离等于圆的半径，
即
，解得：b=2 或b=12．
故选：D．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
9．（5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（
）
A．1+
B．1+2
C．2+
D．2
【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=
，AB⊥BC，
可判断；△OAB≌△OBC 的直角三角形，
运用面积求解即可．
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【解答】解：∵
∴
三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=
∴AB⊥BC，
∴可判断；△OAB≌△OBC 的直角三角形，
S△OAC=S△ABC=
=1，
S△OAB=S△OBC=
×
2=
该四面体的表面积：2
，
故选：C．
【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．
10．（5 分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0
B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0
D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．
【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，
则f′（x）=0 有两个不同的正实根，
则x1+x2=﹣
＞0 且x1x2=
＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，
由图象知当当x＜x1 时函数递增，当x1＜x＜x2 时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
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则a＞0，且x1+x2=﹣
＞0 且x1x2=
＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题
的关键．
二、填空题
11．（3 分）lg
+2lg2﹣（
）
﹣1=
﹣1
．
【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．
【解答】解：lg
+2lg2﹣（
）
﹣1
=lg5﹣lg2+2lg2﹣2
=lg5+lg2﹣2
=1﹣2
=﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．
12．（3 分）在△ABC 中，AB=
，∠A=75°，∠B=45°，则AC=
2
．
【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．
【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，
由正弦定理可得，
=
，
即有AC=
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．
13．（3 分）已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+
（n≥2），则数列{an}的前9 项和等于
27
．
【分析】通过an=an﹣1+
（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．
【解答】解：∵an=an﹣1+
（n≥2），
∴an﹣an﹣1=
（n≥2），
∴数列{an}的公差d=
，
又a1=1，
∴an=1+
（n﹣1）=
，
∴S9=9a1+
•d=9+36×
=27，
故答案为：27．
【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．
14．（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线y=2a 与函数y=|x﹣a|﹣1 的图象只有一个交点，则a 的值为
．
【分析】由已知直线y=2a 与函数y=|x﹣a|﹣1 的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．
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【解答】解：由已知直线y=2a 是平行于x 轴的直线，由于y=x﹣a 为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函
数y=|x﹣a|﹣1 的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，
所以2a=﹣1，解得a=﹣
；
故答案为：
．
【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．
15．（3 分）△ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量
满足
=2 ，
=2 + ，则下列结论中正确的是
①
④⑤
．（写出所有正确结论得序号）
①
为单位向量；②
为单位向量；③
；④∥
；⑤（4 + ）⊥
．
【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．
【解答】解：△ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量
满足
=2 ，
=2 + ，
则=
，AB=2，所以| |=1，即是单位向量；①正确；
因为
=2
，所以
，故| |=2；故②错误；④正确；
夹角为120°，故③错误；
⑤（4 + ）•
=4
=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．
三、解答题
16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由0≤x≤
求出2x+
的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x
=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=
sin（2x+
）+2，…（4 分）
所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6 分）
（Ⅱ）由0≤x≤
得，
0≤2x≤π，
所以
≤2 x+
≤
；…（8 分）
根据正弦函数y=sinx 的图象可知
当
时，f（x）有最大值为2+
，…（11 分）
当
时，f（x）有最小值为1．…（13 分）
【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50 名职工，根据这50 名职工对该部门的评分，
绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]
（1）求频率分布图中a 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率；
（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2 人，求此2 人评分都在[40，50]的概率．
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【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
（2）对该部门评分不低于80 的即为90 和100，的求出频率，估计概率；
（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2 人，列举法求出所有可能，利用古
典概型公式解答．
【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；
（2）由已知的频率分布直方图可知，50 名受访职工评分不低于80 的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业
职工对该部门评分不低于80 的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），
记为A1，A2，A3；
受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．
从这5 名受访职工中随机抽取2 人，所有可能的结果共有10 种，
分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，
又因为所抽取2 人的评分都在[40，50）的结果有1 种，即{B1，B2}，
故所求的概率为P=
．
【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满
足条件的事件，并求概率．
18．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn 为数列{an}的前n 项和，bn=
，求数列{bn}的前n 项和Tn．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式；
（2）求出bn=
，利用裂项法即可求数列{bn}的前n 项和Tn．
【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．
解得a1=1，a4=8 或a1=8，a4=1（舍），
解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；
（2）Sn=
=2n﹣1，
∴bn=
=
=
﹣
，
∴数列{bn}的前n 项和Tn=
+…+
﹣
=
﹣
=1﹣
．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
19．如图，三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P﹣ABC 的体积；
（2）证明：在线段PC 上存在点M，使得AC⊥BM，并求
的值．
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【分析】（1）利用VP﹣ABC=
•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC 的体积；
（2）过B 作BN⊥AC，垂足为N，过N 作MN∥PA，交PC 于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，
利用MN∥PA，求
的值．
【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
可得S△ABC=
=
．
因为PA⊥平面ABC，PA=1，
所以VP﹣ABC=
•S△ABC•PA=
；
（2）解：过B 作BN⊥AC，垂足为N，过N 作MN∥PA，交PC 于点M，连接BM，
由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，
因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．
因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．
在直角△BAN 中，AN=AB•cos∠BAC=
，
从而NC=AC﹣AN=
．
由MN∥PA 得
=
=
．
【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC 的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能
力，属于中档题．
20．设椭圆E 的方程为
=1（a＞b＞0），点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），
点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为
．
（1）求E 的离心率e；
（2）设点C 的坐标为（0，﹣b），N 为线段AC 的中点，证明：MN⊥AB．
【分析】（1）通过题意，利用
=2
，可得点M 坐标，利用直线OM 的斜率为
，计算即得结论；
（2）通过中点坐标公式解得点N 坐标，利用
•
=0 即得结论．
【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M 在线段AB 上且|BM|=2|MA|，
∴
=2
，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），
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解得x=
a，y=
b，即M（
a，
b），
又∵直线OM 的斜率为
，∴
=
，
∴a=
b，c=
=2b，
∴椭圆E 的离心率e=
=
；
（2）证明：∵点C 的坐标为（0，﹣b），N 为线段AC 的中点，
∴N（
，﹣
），∴
=（
，
），
又∵
=（﹣a，b），
∴
•
=（﹣a，b）•（
，
）=﹣
a2+
=
（5b2﹣a2），
由（1）可知a2=5b2，故
•
=0，即MN⊥AB．
【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．
21．已知函数f（x）=
（a＞0，r＞0）
（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；
（2）若
=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．
【分析】（1）通过令分母不为0 即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；
（2）通过（1）知x=r 是f（x）的极大值点，计算即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=
（a＞0，r＞0），
∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．
又∵f（x）=
=
，
∴f′（x）=
=
，
∴当x＜﹣r 或x＞r 时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r 时，f′（x）＞0；
因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；
（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，
∴x=r 是f（x）的极大值点，
∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）=
=
=
=100．
【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．
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