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2015 年-2019 年全国数学真题试卷40 套
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
2
4
2
{
6
0
{
}
M
x
x
N
x x
x
，
，则M
N
=
A．
{
4
3
x
x
B．
4
2
{x
x
C．
{
2
2
x
x
D．
{ 2
3
x
x
2．设复数z 满足
=1
i
z
，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．
2
2
+1
1
(
)
x
y
B．
2
2
1
(
1)
x
y
C．
2
2
(
1)
1
y
x
D．
2
2
( +1)
1
y
x
3．已知
0.2
0.3
2
log 0.2
2
0.2
a
b
c
，
，
，则
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．b
c
a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5
1
2
（
5
1
2
≈0.618，称为
黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之
比也是
5
1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其
身高可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
5．函数f(x)=
2
sin
cos
x
x
x
x
在[
, ]
的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“——”
和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是
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A．5
16
B．11
32
C．21
32
D．11
16
7．已知非零向量a，b 满足|
| 2|
|
a
b ，且(
)
a
b b，则a 与b 的夹角为
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
8．如图是求
1
1
2
1
2
2
的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
1
2
A
B．A=
1
2
A
C．A=
1
1
2A
D．A=
1
1
2A
9．记
n
S 为等差数列{
}
n
a
的前n 项和．已知
4
5
0
5
S
a
，
，则
A．
2
5
na
n
B．
3
10
na
n
C．
2
2
8
n
S
n
n
D．
2
1
2
2
n
S
n
n
10．已知椭圆C 的焦点为
1
2
1,0
1,0
F
F
(
)，(
)，过F2 的直线与C 交于A，B 两点．若
2
2
|
| 2 |
|
AF
F B
，
1
|
| |
|
AB
BF
，
则C 的方程为
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
5
4
x
y
11．关于函数
( )
sin |
|
| sin |
f x
x
x
有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间（
2
，）单调递增
③f(x)在[
, ]
有4 个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
12．已知三棱锥P−ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是边长为2 的正三角形，E，F 分别是PA，
AB 的中点，∠CEF=90°，则球O 的体积为
A．
6
8
B．
6
4
C．
6
2
D．
6
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．曲线
2
3(
)ex
y
x
x
在点(0 )
0
，处的切线方程为____________．
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14．记Sn 为等比数列{an}的前n 项和．若
2
1
4
6
1
3
a
a
a
，
，则S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛
成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且
各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于
A，B 两点．若
1F A
AB
，
1
2
0
F B F B
，则C 的离心率为____________．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．(12 分)
ABC
△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设
2
2
(sin
sin
)
sin
sin
sin
B
C
A
B
C
．
（1）求A；
（2）若
2
2
a
b
c
，求sinC．
18．（12 分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D
的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A−MA1−N 的正弦值．
19．（12 分）
已知抛物线C：y2=3x 的焦点为F，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A，B，与x 轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l 的方程；
（2）若
3
AP
PB
，求|AB|．
20．（12 分）
已知函数
( )
sin
ln(1
)
f x
x
x
，
( )
f
x
为
( )
f x 的导数．证明：
（1）
( )
f
x
在区间( 1,
)
2
存在唯一极大值点；
（2）
( )
f x 有且仅有2 个零点．
21．（12 分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每
一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗
结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并
认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得1
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲
药得1
分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药
的得分记为X．
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，
(
0,1,
,8)
ip i
表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比
乙药更有效”的概率，则
0
0
p
，
8
1
p
，
1
1
i
i
i
i
p
ap
bp
cp
(
1,2,
,7)
i
，其中
(
1)
a
P X
，
(
0)
b
P X
，
(
1)
c
P X
．假设
0.5
，
0.8
．
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(i)证明：
1
{
}
i
i
p
p
(
0,1,2,
,7)
i
为等比数列；
(ii)求
4p ，并根据
4p 的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2
2
2
1
1
4
1
t
x
t
t
y
t
，
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2
cos
3 sin
11
0
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）求C 上的点到l 距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）
已知a，b，c 为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
；
（2）
3
3
3
(
)
(
)
(
)
24
a
b
b
c
c
a
．
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学•参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．B
8．A
9．A
10．B
11．C
12．D
二、填空题
13．y=3x
14．121
3
15．0.18
16．2
三、解答题
17．解：（1）由已知得
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
B
C
A
B
C
，故由正弦定理得
2
2
2
b
c
a
bc
．
由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
．
因为0
180
A
，所以
60
A
．
（2）由（1）知
120
B
C
，由题设及正弦定理得
2 sin
sin 120
2sin
A
C
C
，
即
6
3
1
cos
sin
2sin
2
2
2
C
C
C
，可得
2
cos
60
2
C
．
由于0
120
C
，所以
2
sin
60
2
C
，故
sin
sin
60
60
C
C
sin
60
cos60
cos
60
sin 60
C
C
6
2
4
．
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME= 1
2
B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND= 1
2
A1D．
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由题设知A1B1 DC，可得B1CA1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
又MN 平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，则
(2,0,0)
A
，A1(2，0，4)，
(1, 3,2)
M
，(1,0,2)
N
，
1
(0,0, 4)
A A
，
1
( 1, 3, 2)
A M
，
1
( 1,0, 2)
A N
，
(0,
3,0)
MN
．
设
( , , )
x y z
m
为平面A1MA的法向量，则
1
1
0
0
A M
A A
m
m
，
所以
3
2
0
4
0
x
y
z
z
，
．
可取
( 3,1,0)
m
．
设
( , , )
p q r
n
为平面A1MN的法向量，则
1
0
0
MN
A N
，
．
n
n
所以
3
0
2
0
q
p
r
，
．
可取
(2,0, 1)
n
．
于是
2 3
15
cos
,
|
|
5
2
5
‖
m n
m n
m n
，
所以二面角
1
A
MA
N
的正弦值为
10
5
．
19．解：设直线
1
1
2
2
3
:
,
,
,
,
2
l y
x
t A x y
B x y
．
（1）由题设得
3 ,0
4
F
，故
1
2
3
|
|
|
|
2
AF
BF
x
x
，由题设可得
1
2
5
2
x
x
．
由
2
3
2
3
y
x
t
y
x
，可得
2
2
9
12(
1)
4
0
x
t
x
t
，则
1
2
12(
1)
9
t
x
x
．
从而12(
1)
5
9
2
t
，得
7
8
t
．
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所以l 的方程为
3
7
2
8
y
x
．
（2）由
3
AP
PB
可得
1
2
3
y
y
．
由
2
3
2
3
y
x
t
y
x
，可得
2
2
2
0
y
y
t
．
所以
1
2
2
y
y
．从而
2
2
3
2
y
y
，故
2
1
1,
3
y
y
．
代入C 的方程得
1
2
1
3,
3
x
x
．
故
4 13
|
|
3
AB
．
20．解：（1）设( )
( )
g x
f ' x
，则
1
( )
cos
1
g x
x
x
，
2
1
sin
(
)
)
(1
x
'
x
g x
.
当
1, 2
x
时，
( )
g' x 单调递减，而
(0)
0,
( )
0
2
g'
g'
，可得
( )
g' x 在
1, 2
有唯一零点，
设为.
则当
( 1,
)
x
时，
( )
0
g' x
；当
, 2
x
时，
( )
0
g' x
.
所以
( )
g x 在( 1,
)
单调递增，在
, 2
单调递减，故
( )
g x 在
1, 2
存在唯一极大值点，即
( )
f ' x 在
1, 2
存在唯一极大值点.
（2）
( )
f x 的定义域为( 1,
)
.
（i）当
( 1,0]
x
时，由（1）知，
( )
f ' x 在( 1,0)
单调递增，而
(0)
0
f '
，所以当
( 1,0)
x
时，
( )
0
f ' x
，
故
( )
f x 在( 1,0)
单调递减，又
(0)=0
f
，从而
0
x
是
( )
f x 在( 1,0]
的唯一零点.
（ii）当
0, 2
x
时，由（1）知，
( )
f ' x 在(0,
)
单调递增，在
, 2
单调递减，而
(0)=0
f '
，
0
2
f '
，
所以存在
, 2
，使得
( )
0
f '
，且当
(0,
)
x
时，
( )
0
f ' x
；当
, 2
x
时，
( )
0
f ' x
.故
( )
f x
在(0,
)
单调递增，在
, 2
单调递减.
又
(0)=0
f
，
1 ln 1
0
2
2
f
，所以当
0, 2
x
时，
( )
0
f x
.从而，
( )
f x
在0, 2
没有零点.
（iii）当
,
2
x
时，
( )
0
f ' x
，所以
( )
f x 在
,
2
单调递减.而
0
2
f
，
( )
0
f
，所以
( )
f x 在
,
2
有唯一零点.
（iv）当
( ,
)
x时，ln(
1)
1
x
，所以
( )
f x <0，从而
( )
f x 在( ,
)
没有零点.
综上，
( )
f x 有且仅有2个零点.
21．解：X 的所有可能取值为1,0,1
.
(
1)
(1
)
(
0)
(1
)(1
)
(
1)
(1
)
P X
P X
P X
，
，
，
所以X 的分布列为
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（2）（i）由（1）得
0.4,
0.5,
0.1
a
b
c
.
因此
1
1
=0.4
+0.5 +0.1
i
i
i
i
p
p
p
p
，故
1
1
0.1
0.4
i
i
i
i
p
p
p
p
，即
1
1
4
i
i
i
i
p
p
p
p
.
又因为
1
0
1
0
p
p
p
，所以
1
(
0,1,2,
,7)
i
i
p
p
i
为公比为4，首项为
1p 的等比数列．
（ii）由（i）可得
8
8
8
7
7
6
1
0
0
8
7
7
6
1
0
1
3
4
1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
.
由于
8=1
p
，故
1
8
3
4
1
p
，所以
4
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
4
1
1 .
3
25
7
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8 时，认为
甲药更有效的概率为
4
1
0.0039
257
p
，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.
22 ．解：（1 ）因为
2
2
1
1
1
1
t
t
，且
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
1
1
y
t
t
x
t
t
，所以C 的直角坐标方程为
2
2
1(
1)
4
y
x
x
.
l 的直角坐标方程为2
3
11
0
x
y
.
（2）由（1）可设C的参数方程为
cos ,
2sin
x
y
（为参数，π
π
）.
C上的点到l 的距离为
π
4cos
11
| 2cos
2 3sin
11|
3
7
7
.
当
2π
3
时，
π
4cos
11
3
取得最小值7，故C上的点到l 距离的最小值为
7 .
23．解：（1）因为
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
a
b
ab b
c
bc c
a
ac
，又
1
abc ，故有
2
2
2
1
1
1
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
abc
a
b
c
.
所以
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
.
（2）因为, ,
a b c 为正数且
1
abc ，故有
3
3
3
3
3
3
3
(
)
(
)
(
)
3 (
) (
) (
)
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
a
c
=3( + )( + )( + )
a b b c a c
3 (2
) (2
) (2
)
ab
bc
ac
=24.
所以
3
3
3
(
)
(
)
(
)
24
a
b
b
c
c
a
.
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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无
效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=
A．(–∞，1)
B．(–2，1)
C．(–3，–1)
D．(3，+∞)
2．设z=–3+2i，则在复平面内z 对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知AB
=(2,3)，AC
=(3，t)，|
|
BC
=1，则AB BC
=
A．–3
B．–2
C．2
D．3
4．2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，
实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥
四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
2
L 点的轨道运行．2
L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设
地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，
2
L 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
r 满足方程：
1
2
1
2
2
3
(
)
(
)
M
M
M
R
r
R
r
r
R
. 设
r
R
，由于的值很小，因此在近似计算中
3
4
5
3
2
3
3
3
(1
)
，则r 的近似值为
A．
2
1
M R
M
B．
2
1
2
M R
M
C．
2
3
1
3M R
M
D．
2
3
1
3
M R
M
5．演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、
1 个最低分，得到7 个有效评分．7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数
B．平均数
C．方差
D．极差
6．若a>b，则
A．ln(a−b)>0
B．3a<3b
C．a3−b3>0
D．│a│>│b│
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
8．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆
2
2
3
1
x
y
p
p
的一个焦点，则p=
A．2
B．3
C．4
D．8
9．下列函数中，以
2
为周期且在区间(
4
，
2
)单调递增的是
A．f(x)=│cos2x│
B．f(x)=│sin2x│
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C．f(x)=cos│x│
D．f(x)=sin│x│
10．已知α∈(0，
2
)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．1
5
B．
5
5
C．
3
3
D．2
5
5
11．设F 为双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆
2
2
2
x
y
a
交于
P，Q 两点．若PQ
OF
，则C 的离心率为
A．2
B．
3
C．2
D．
5
12．设函数
( )
f x 的定义域为R，满足
(
1)
2 ( )
f x
f x
，且当
(0,1]
x
时，( )
(
1)
f x
x x
．若对任意
(
,
]
x
m
，
都有
8
( )
9
f x
，则m 的取值范围是
A．
9
, 4
B．
7
, 3
C．
5
, 2
D．
8
, 3
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有20 个车
次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
__________．
14．已知
( )
f x 是奇函数，且当
0
x
时，
( )
eax
f x
.若
(ln 2)
8
f
，则a __________．
15．
ABC
△
的内角
, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c .若
π
6,
2 ,
3
b
a
c B
，则
ABC
△
的面积为_________．
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时
期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面
体．半正多面体体现了数学的对称美．图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体
的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2
分，第二空3 分．）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22、23 为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA1 上，BE⊥EC1．
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（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1 的正弦值．
18．（12 分）
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该
局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，
各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.
19．（12 分）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，
1
4
3
4
n
n
n
a
a
b
，
1
4
3
4
n
n
n
b
b
a
.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
20．（12 分）
已知函数
1
1
ln
x
f x
x
x
.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0 是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx 在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线
ex
y
的切线.
21．（12 分）
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−1
2
.记M 的轨迹为曲线C.
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P，Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连结QE 并延长交C 于点
G.
（i）证明：
PQG
△
是直角三角形；
（ii）求
PQG
△
面积的最大值.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，O 为极点，点
0
0
0
(
,
)(
0)
M
在曲线
:
4sin
C
上，直线l 过点
(4,0)
A
且与OM 垂直，
垂足为P.
（1）当
0= 3
时，求
0
及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10 分）
已知
( ) |
|
|
2 | (
).
f x
x
a x
x
x
a
（1）当
1
a
时，求不等式
( )
0
f x
的解集；
（2）若
(
,1)
x
时，
( )
0
f x
，求a的取值范围.
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理科数学·参考答案
1．A
2．C
3．C
4．D
5．A
6．C
7．B
8．D
9．A
10．B
11．A
12．B
13．0.98
14．–3
15．6 3
16．26；
2
1
17．解：（1）由已知得，
1
1
B C 平面
1
1
ABB A ，BE 平面
1
1
ABB A ，
故
1
1
B C BE ．
又
1
BE
EC
，所以BE 平面
1
1
EB C ．
（2）由（1）知
1
90
BEB
．由题设知Rt
ABE
△
≌
1
1
Rt
A B E
△
，所以
45
AEB
，
故AE
AB
，
1
2
AA
AB
．
以D 为坐标原点，DA
的方向为x轴正方向，|
|
DA
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0），
1
C （0，1，2），E（1，0，1），
(1,0,0)
CB
，
(1, 1,1)
CE
，
1
(0,0,2)
CC
．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
0,
0,
CB
CE
n
n
即
0,
0,
x
x
y
z
所以可取n=(0, 1, 1)
.
设平面
1
ECC 的法向量为m=（x，y，z），则
1
0,
0,
CC
CE
m
m
即2
0,
0.
z
x
y
z
所以可取m=（1，1，0）．
于是
1
cos
,
|
||
|
2
n m
n m
n m
．
所以，二面角
1
B
EC
C
的正弦值为
3
2
．
18．解：（1）X=2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因
此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．
（2）X=4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、
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乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．
19．解：（1）由题设得
1
1
4(
)
2(
)
n
n
n
n
a
b
a
b
，即
1
1
1 (
)
2
n
n
n
n
a
b
a
b
．
又因为a1+b1=l，所以
n
n
a
b
是首项为1，公比为1
2
的等比数列．
由题设得
1
1
4(
)
4(
)
8
n
n
n
n
a
b
a
b
，即
1
1
2
n
n
n
n
a
b
a
b
．
又因为a1–b1=l，所以
n
n
a
b
是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，
1
1
2
n
n
n
a
b
，
2
1
n
n
a
b
n
．
所以
1
1
1
[(
)
(
)]
2
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
b
a
b
n
，
1
1
1
[(
)
(
)]
2
2
2
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
b
n
．
20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．
因为
2
1
2
( )
0
(
1)
f ' x
x
x
，所以
( )
f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=
e 1
1
0
e 1
，
2
2
2
2
2
e
1
e
3
(e )
2
0
e
1
e
1
f
，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）
=0．又
1
1
0
1
x
，
1
1
1
1
1
1
1
(
)
ln
(
)
0
1
x
f
x
f x
x
x
，故f（x）在（0，1）有唯一零点
1
1
x ．
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为
0
ln
0
1
e
x
x
，故点B（–lnx0，
0
1
x ）在曲线y=ex 上．
由题设知
0
(
)
0
f x
，即
0
0
0
1
ln
1
x
x
x
，故直线AB 的斜率
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
ln
1
1
1
ln
1
x
x
x
x
x
k
x
x
x
x
x
x
．
曲线y=ex 在点
0
0
1
( ln
,
)
B
x
x
处切线的斜率是
0
1
x ，曲线
ln
y
x
在点
0
0
(
,ln
)
A x
x
处切线的斜率也是
0
1
x ，
所以曲线
ln
y
x
在点
0
0
(
,ln
)
A x
x
处的切线也是曲线y=ex 的切线．
21．解：（1）由题设得
1
2
2
2
y
y
x
x
，化简得
2
2
1(|
| 2)
4
2
x
y
x
，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴
上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ 的斜率为k，则其方程为
(
0)
y
kx k
．
由
2
2
1
4
2
y
kx
x
y
得
2
2
1
2
x
k
．
记
2
2
1
2
u
k
，则
( ,
),
(
,
),
( ,0)
P u uk Q
u
uk
E u
．
于是直线QG 的斜率为2
k ，方程为
(
)
2
k
y
x
u
．
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由
2
2
(
),
2
1
4
2
k
y
x
u
x
y
得
2
2
2
2
2
(2
)
2
8
0
k
x
uk x
k u
．①
设
(
,
)
G
G
G x
y
，则u
和
G
x 是方程①的解，故
2
2
(3
2)
2
G
u
k
x
k
，由此得
3
2
2
G
uk
y
k
．
从而直线PG 的斜率为
3
2
2
2
1
2
(3
2)
2
uk
uk
k
u
k
k
u
k
．
所以PQ
PG
，即
PQG
△
是直角三角形．
（ii）由（i）得
2
|
| 2
1
PQ
u
k
，
2
2
2
1
|
|
2
uk k
PG
k
，所以△PQG 的面积
2
2
2
2
1
8(
)
1
8 (1
)
|
|
1
2
(1
2
)(2
)
1
2(
)
k
k
k
k
S
PQ PG
k
k
k
k
‖
．
设t=k+ 1
k
，则由k>0 得t≥2，当且仅当k=1 时取等号．
因为
2
8
1 2
t
S
t
在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1 时，S 取得最大值，最大值为16
9
．
因此，△PQG 面积的最大值为16
9
．
22．解：（1）因为
0
0
,
M
在C上，当
0
3
时，
0
4sin
2 3
3
．
由已知得|
| |
| cos
2
3
OP
OA
．
设
( , )
Q 为l上除P的任意一点．在Rt
OPQ
△
中，
cos
|
| 2
3
OP
，
经检验，点
(2,
)
3
P
在曲线
cos
2
3
上．
所以，l的极坐标方程为
cos
2
3
．
（2）设
( , )
P ，在Rt
OAP
△
中，|
| |
| cos
4cos ,
OP
OA
即
4cos
．
因为P在线段OM上，且AP
OM
，故的取值范围是
,
4 2
．
所以，P点轨迹的极坐标方程为
4cos ,
,
4 2
．
23．解：（1）当a=1 时，
( )=|
1| +|
2|(
1)
f x
x
x
x
x
．
当
1
x 时，
2
( )
2(
1)
0
f x
x
；当
1
x 时，
( )
0
f x
．
所以，不等式
( )
0
f x
的解集为(
,1)
．
（2）因为
( )=0
f a
，所以
1
a
．
当
1
a
，
(
,1)
x
时，
( )=(
) +(2
)(
)=2(
)(
1)<0
f x
a
x x
x x
a
a
x x
．
所以，a的取值范围是[1,
)
．
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
2
{ 1,0,1,2}
{ |
1}
A
B
x x
，
，则A
B
A．
1,0,1
B．
0,1
C．
1,1
D．
0,1,2
2．若(1 i)
2i
z
，则z=
A．1 i
B．1+i
C．1 i
D．1+i
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学
为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共
有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该
校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
4．（1+2x2 ）（1+x）4 的展开式中x3 的系数为
A．12
B．16
C．20
D．24
5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4 项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A．16
B．8
C．4
D．2
6．已知曲线
e
ln
x
y
a
x
x
在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．
e
1
a
b
，
B．a=e，b=1
C．
1
e
1
a
b
，
D．
1
e
a
，
1
b
7．函数
3
2
2
2
x
x
x
y
在
6,6
的图像大致为
A．
B．
C．
D．
8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M 是线段ED 的中点，则
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A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线
C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线
9．执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s 的值等于
A．
4
1
2
2
B．
5
1
2
2
C．
6
1
2
2
D．
7
1
2
2
10．双曲线C：
2
2
4
2
x
y
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若
=
PO
PF ，则△PFO 的
面积为
A．3 2
4
B．3 2
2
C．2 2
D．3 2
11．设
f x 是定义域为R 的偶函数，且在
0,+单调递减，则
A．f （log3 1
4
）＞f （
3
2
2
）＞f （
2
3
2
）
B．f （log3 1
4
）＞f （
2
3
2
）＞f （
3
2
2
）
C．f （
3
2
2
）＞f （
2
3
2
）＞f （log3 1
4
）
D．f （
2
3
2
）＞f （
3
2
2
）＞f （log3 1
4
）
12．设函数
f x =sin（
5
x
）(＞0)，已知
f x 在
0,2有且仅有5 个零点，下述四个结论：
①
f x 在（0,2）有且仅有3 个极大值点
②
f x 在（0,2）有且仅有2 个极小值点
③
f x 在（0,10
）单调递增
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④的取值范围是[12 29
5 10
，
)
其中所有正确结论的编号是
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．已知a，b 为单位向量，且a·b=0，若
2
5
c
a
b ，则cos
,
a c
___________.
14．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，
1
2
1
0
3
a
a
a
≠，
，则
10
5
S
S
___________.
15．设
1
2
F
F
，
为椭圆C:
2
2
+
1
36
20
x
y
的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若
1
2
MF F
△
为等腰三角形，则M 的
坐标为___________.
16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
挖去四棱锥O—
EFGH 后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，
1
6 cm
4 cm
AB = BC =
, AA =
，
3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小鼠随机分成A，B 两组，每组100
只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经
过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b 的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
18．（12 分）
△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin
sin
2
A
C
a
b
A
．
（1）求B；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c=1，求△ABC 面积的取值范围．
19．（12 分）
图1 是由矩形ADEB，Rt△ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿
AB，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2 中的A，C，G，D 四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
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（2）求图2 中的二面角B−CG−A 的大小.
20．（12 分）
已知函数
3
2
( )
2
f x
x
ax
b
.
（1）讨论
( )
f x 的单调性；
（2）是否存在,a b ，使得
( )
f x 在区间[0,1] 的最小值为1
且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不
存在，说明理由.
21．已知曲线C：y=
2
2
x
，D 为直线y=
1
2
上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10 分）
如图，在极坐标系Ox 中，
(2,0)
A
，
( 2,
)
4
B
，
( 2,
)
4
C
，
(2, )
D
，弧
AB ，
BC ，
CD 所在圆的圆心
分别是(1,0) ，(1,
)
2
，(1, )
，曲线
1
M 是弧
AB ，曲线
2
M 是弧
BC ，曲线
3
M 是弧
CD .
（1）分别写出
1
M ，
2
M ，
3
M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由
1
M ，
2
M ，
3
M 构成，若点P 在M 上，且|
|
3
OP
，求P 的极坐标.
23．[选修4−5：不等式选讲]（10 分）
设, ,
x y z R ，且
1
x
y
z
.
（1）求
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
的最小值；
（2）若
2
2
2
1
(
2)
(
1)
(
)
3
x
y
z
a
成立，证明：
3
a 或
1
a .
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学·参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．C
4．A
5．C
6．D
7．B
8．B
9．C
10．A
11．C
12．D
二、填空题
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13．2
3
14．4
15．(3, 15)
16．118.8
三、解答题
17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
18．解：（1）由题设及正弦定理得sin
sin
sin
sin
2
A
C
A
B
A
．
因为sinA 0，所以sin
sin
2
A C
B
．
由
180
A B C
，可得sin
cos
2
2
A
C
B
，故cos
2sin
cos
2
2
2
B
B
B
．
因为cos
0
2
B
，故
1
sin 2
2
B
，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积
3
4
ABC
S
a
△
．
由正弦定理得
sin 120
sin
3
1
sin
sin
2tan
2
C
c
A
a
C
C
C
．
由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故1
2
2
a
，从而
3
3
8
2
ABC
S
△
．
因此，△ABC面积的取值范围是
3
3
,
8
2
．
19．解：（1）由已知得AD BE，CG BE，所以AD CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB BE，AB BC，故AB 平面BCGE．
又因为AB平面ABC，所以平面ABC 平面BCGE．
（2）作EH BC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE 平面ABC，所以EH 平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH= 3 ．
以H为坐标原点，HC
的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，
则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，
3 ），CG
=（1，0，
3 ），AC
=（2，–1，0）．
设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则
0,
0,
CG
AC
n
n
即
3
0,
2
0.
x
z
x
y
所以可取n=（3，6，– 3 ）．
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又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以
3
cos
,
|
||
|
2
n m
n m
n m
．
因此二面角B–CG–A的大小为30°．
20. 解：（1）
2
( )
6
2
2 (3
)
f
x
x
ax
x
x
a
．
令
( )
0
f
x
，得x=0 或
3
a
x
.
若a>0，则当
(
,0)
,
3
a
x
时，( )
0
f
x
；当
0, 3
a
x
时，
( )
0
f
x
．故
( )
f x 在(
,0),
,
3
a
单调递增，在0, 3
a
单调递减；
若a=0，
( )
f x 在(
,
)
单调递增；
若a<0，则当
,
(0,
)
3
a
x
时，
( )
0
f
x
；当
,0
3
a
x
时，( )
0
f
x
．故
( )
f x 在
,
,(0,
)
3
a
单调递增，在
,0
3
a
单调递减.
（2）满足题设条件的a，b 存在.
（i）当a≤0 时，由（1）知，
( )
f x 在[0，1]单调递增，所以
( )
f x 在区间[0，l]的最小值为
(0)=
f
b ，最大值
为
(1)
2
f
a
b
.此时a，b 满足题设条件当且仅当
1
b ，2
1
a
b
，即a=0，
1
b ．
（ii）当a≥3 时，由（1）知，
( )
f x 在[0，1]单调递减，所以
( )
f x 在区间[0，1]的最大值为
(0)=
f
b ，最小值
为
(1)
2
f
a
b
．此时a，b 满足题设条件当且仅当2
1
a
b
，b=1，即a=4，b=1．
（iii）当0<a<3 时，由（1）知，
( )
f x 在[0，1]的最小值为
3
3
27
a
a
f
b
，最大值为b 或2
a
b
．
若
3
1
27
a
b
，b=1，则
3
3 2
a
，与0<a<3 矛盾.
若
3
1
27
a
b
，2
1
a
b
，则
3 3
a
或
3 3
a
或a=0，与0<a<3 矛盾．
综上，当且仅当a=0，
1
b 或a=4，b=1 时，
( )
f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．
21．解：（1）设
1
1
1
,
,
,
2
D t
A x y
，则
2
1
1
2
x
y
.
由于y'
x
，所以切线DA的斜率为
1x ，故
1
1
1
1
2
y
x
x
t
.
整理得
1
1
2
2 +1=0.
tx
y
设
2
2
,
B x
y
，同理可得
2
2
2
2
+1=0
tx
y
.
故直线AB的方程为2
2
1
0
tx
y
.
所以直线AB过定点
1
(0, )
2
.
（2）由（1）得直线AB的方程为
1
2
y
tx
.
由
2
1
2
2
y
tx
x
y
，可得
2
2
1
0
x
tx
.
于是
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 ,
1,
1
2
1
x
x
t
x x
y
y
t x
x
t
，
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2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
1
4
2
1
AB
t
x
x
t
x
x
x x
t
.
设
1
2
,
d d 分别为点D，E到直线AB的距离，则
2
1
2
2
2
1,
1
d
t
d
t
.
因此，四边形ADBE的面积
2
2
1
2
1 |
|
3
1
2
S
AB
d
d
t
t
.
设M为线段AB的中点，则
2
1
,
2
M t t
.
由于EM
AB
，而
2
,
2
EM
t t
，AB
与向量(1, )t 平行，所以
2
2
0
t
t
t
.解得t=0或
1
t .
当t =0时，S=3；当
1
t 时，
4 2
S
.
因此，四边形ADBE的面积为3或4 2 .
22.解：（1）由题设可得，弧
,
,
AB BC CD所在圆的极坐标方程分别为
2cos
，
2sin
，
2cos
.
所以
1
M 的极坐标方程为
π
2cos
0
4
，
2
M 的极坐标方程为
π
3π
2sin
4
4
，
3
M 的极
坐标方程为
3π
2cos
π
4
.
（2）设
( , )
P ，由题设及（1）知
若
π
0
4
，则2cos
3
，解得
π
6
；
若π
3π
4
4
，则2sin
3
，解得
π
3
或
2π
3
；
若3π
π
4
，则2cos
3
，解得
5π
6
.
综上，P的极坐标为
π
3, 6
或
π
3, 3
或
2π
3, 3
或
5π
3, 6
.
23．解：（1）由于
2
[(
1)
(
1)
(
1)]
x
y
z
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
2[(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)]
x
y
z
x
y
y
z
z
x
2
2
2
3 (
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
，
故由已知得
2
2
2
4
(
1)
(
1)
(
1)
3
x
y
z
，
当且仅当x= 5
3
，y=– 1
3
，
1
3
z
时等号成立．
所以
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
的最小值为4
3
.
（2）由于
2
[(
2)
(
1)
(
)]
x
y
z
a
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
2[(
2)(
1)
(
1)(
)
(
)(
2)]
x
y
z
a
x
y
y
z
a
z
a x
2
2
2
3 (
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
，
故由已知
2
2
2
2
(2
)
(
2)
(
1)
(
)
3
a
x
y
z
a
，
当且仅当
4
3
a
x
，
1
3
a
y
，
2
2
3
a
z
时等号成立．
因此
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
的最小值为
2
(2
)
3
a
．
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由题设知
2
(2
)
1
3
3
a
，解得
3
a 或
1
a ．
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绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第Ⅰ卷1 至2 页，
第Ⅱ卷3 至5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务
必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号。
2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。
参考公式：
·如果事件A 、B 互斥，那么
(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
．
·如果事件A 、B 相互独立，那么
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
．
·圆柱的体积公式V
Sh
，其中S 表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高．
·棱锥的体积公式
1
3
V
Sh
，其中S 表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合
{ 1,1,2,3,5},
{2,3,4},
{
|1
3}
A
B
C
x
x
R
，则(
)
A
C
B
A．
2
B．
2,3
C．
1,2,3
D．
1,2,3,4
2．设变量,x y 满足约束条件
2
0,
2
0,
1,
1,
x
y
x
y
x
y
则目标函数
4
z
x
y
的最大值为
A．2
B．3
C．5
D．6
3．设xR ，则“
2
5
0
x
x
”是“|
1| 1
x
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
A．5
B．8
C．24
D．29
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23 / 581
5．已知抛物线
2
4
y
x
的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线
2
2
2
2
1
(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的两条渐近线分别交于点
A 和点B ，且|
| 4 |
|
AB
OF
（O 为原点），则双曲线的离心率为
A．
2
B．3
C．2
D．
5
6．已知
5
log 2
a
，
0.5
og
2.
l
0
b
，
0.2
0.5
c
，则, ,
a b c 的大小关系为
A．a
c
b
B．a
b
c
C．b
c
a
D．c
a
b
7．已知函数
( )
sin(
)(
0,
0,|
|
)
f x
A
x
A
是奇函数，将
y
f x
的图象上所有点的横坐标伸长到
原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
g x ．若
g x 的最小正周期为2π，且
2
4
g
，则
3
8
f
A．2
B．
2
C．
2
D．2
8．已知aR ，设函数
2
2
2 ,
1,
( )
ln ,
1.
x
ax
a
x
f x
x
a
x
x
若关于x 的不等式
( )
0
f x
在R 上恒成立，则a的取值范
围为
A．
0,1
B．
0,2
C．
0,e
D．
1,e
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12 小题，共110 分。
二．填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．i 是虚数单位，则5
i
i
1
的值为_____________．
10．
8
3
1
2
8
x
x
的展开式中的常数项为_____________．
11．已知四棱锥的底面是边长为
2 的正方形，侧棱长均为
5 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的
中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．
12．设aR ，直线
2
0
ax
y
和圆
2
2cos ,
1 2sin
x
y
（为参数）相切，则a的值为_____________．
13．设
0,
0,
2
5
x
y
x
y
，则(
1)(2
1)
x
y
xy
的最小值为_____________．
14．在四边形ABCD 中，
,
2 3,
5,
30
AD
BC
AB
AD
A
∥
，点E 在线段CB 的延长线上，且
AE
BE
，则BD AE
_____________．
三．解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13 分）
在
ABC
△
中，内角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ．已知
2
b
c
a
，3 sin
4 sin
c
B
a
C
．
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）求sin 2
6
B
的值．
16．（本小题满分13 分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为2
3
．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，
且任一同学每天到校情况相互独立．
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24 / 581
（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的天数
恰好多2”，求事件M 发生的概率．
17．（本小题满分13 分）
如图，AE 平面ABCD ，
,
CF
AE
AD
BC
∥
∥
，
,
1,
2
AD
AB
AB
AD
AE
BC
．
（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角E
BD
F
的余弦值为1
3
，求线段CF 的长．
18．（本小题满分13 分）
设椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为
5
5
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若
|
| |
|
ON
OF
（O 为原点），且OP
MN
，求直线PB 的斜率．
19．（本小题满分14 分）
设
na
是等差数列，
nb
是等比数列．已知
1
1
2
2
3
3
4,
6
2
2,
2
4
a
b
b
a
b
a
，
．
（Ⅰ）求
na
和
nb
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
nc
满足
1
1
1,
2
2
,
2
,
1,
,
k
k
n
k
k
c
n
c
b n
其中
*
k N ．
（i）求数列
2
2
1
n
n
a
c
的通项公式；
（ii）求
2
*
1
n
i i
i
a c
n
N
．
20．（本小题满分14 分）
设函数
( )
e cos ,
( )
x
f x
x
g x
为
f x 的导函数．
（Ⅰ）求
f x 的单调区间；
（Ⅱ）当
,
4 2
x
时，证明
( )
( )
0
2
f x
g x
x
；
（Ⅲ）设
nx
为函数
( )
( ) 1
u x
f x
在区间
2
,2
4
2
n
n
内的零点，其中nN ，证明
2
0
0
2
2
sin
c s
e
o
n
n
n
x
x
x
．
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5 分，满分40 分．
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25 / 581
1．D
2．C
3．B
4．B
5．D
6．A
7．C
8．C
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5 分，满分30 分．
9．13
10．28
11．π
4
12．3
4
13．4 3
14．1
三．解答题
15．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余
弦定理等基础知识．考查运算求解能力，满分13 分．
（Ⅰ）解：在
ABC
△
中，由正弦定理sin
sin
b
c
B
C
，得sin
sin
b
C
c
B
，又由3 sin
4 sin
c
B
a
C
，得
3 sin
4 sin
b
C
a
C
，即3
4
b
a
．又因为
2
b
c
a
，得到
4
3
b
a
，
2
3
c
a
．由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
4
16
1
9
9
cos
2
2
4
2
3
a
a
a
a
c
b
B
ac
a
a
．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得
2
15
sin
1 cos
4
B
B
，从而
15
sin 2
2sin
cos
8
B
B
B
，
2
2
7
cos2
cos
sin
8
B
B
B
，故
15
3
7
1
3 5
7
sin 2
sin 2 cos
cos2 sin
6
6
6
8
2
8
2
16
B
B
B
．
16．本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考
查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13 分．
（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30 之前到校的概率均为2
3
，故
2
~
3, 3
X
B
，从而
3
3
2
1
(
)
C
,
0,1,2,3
3
3
k
k
k
P X
k
k
．
所以，随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
27
2
9
4
9
8
27
随机变量X 的数学期望
2
(
)
3
2
3
E X
．
（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7 ：30 之前到校的天数为Y ，则
2
~
3, 3
Y
B
，且
{
3,
1}
{
2,
0}
M
X
Y
X
Y
．由题意知事件{
3,
1}
X
Y
与{
2,
0}
X
Y
互斥，且事件
3
X
与
1
Y
，事件
2
X
与
0
Y
均相互独立，从而由（Ⅰ）知
(
)
({
3,
1}
{
2,
0})
(
3,
1)
(
2,
0)
P M
P
X
Y
X
Y
P X
Y
P X
Y
8
2
4
1
20
(
3) (
1)
(
2) (
0)
27
9
9
27
243
P X
P Y
P X
P Y
．
17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问
题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13 分．
依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE
，
，
的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如
图），可得
(0,0,0),
(1,0,0),
(1,2,0),
(0,1,0)
A
B
C
D
，
(0,0,2)
E
．设
(
0)
CF
h
h
> ，则
1,2,
F
h ．
（Ⅰ）证明：依题意，
(1,0,0)
AB
是平面ADE 的法向量，又
(0,2, )
BF
h
，可得
0
BF AB
，又因为直
线BF 平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．
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（Ⅱ）解：依题意，
( 1,1,0),
( 1,0,2),
( 1, 2,2)
BD
BE
CE
．
设
( , , )
x y z
n
为平面BDE 的法向量，则
0,
0,
BD
BE
n
n
即
0,
2
0,
x
y
x
z
不妨令
1
z ，
可得
(2,2,1)
n
．因此有
4
cos
,
9
|
||
|
CE
CE
CE
n
n
n
．
所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为4
9
．
（Ⅲ）解：设
( , , )
x y z
m
为平面BDF 的法向量，则
0,
0,
BD
BF
m
m
即
0,
2
0,
x
y
y
hz
不妨令
1
y ，可得
2
1,1,
h
m
．
由题意，有
2
2
4
|
|
1
cos
,
|
||
|
3
4
3 2
h
h
m n
m n
m
n
，解得
8
7
h
．经检验，符合题意．
所以，线段CF 的长为8
7
．
18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考
查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分13 分．
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，依题意，
5
2
4,
5
c
b
a
，又
2
2
2
a
b
c
，可得
5
a
，
2,
b
1
c ．
所以，椭圆的方程为
2
2
1
5
4
x
y
．
（Ⅱ）解：由题意，设
0 ,
,0
P
P
p
M
P x
y
x
M x
，
．设直线PB 的斜率为
0
k k
，又
0,2
B
，则直线
PB 的方程为
2
y
kx
，与椭圆方程联立
2
2
2,
1,
5
4
y
kx
x
y
整理得
2
2
4
5
20
0
k
x
kx
，可得
2
20
4
5
P
k
x
k
，
代入
2
y
kx
得
2
2
8 10
4
5
P
k
y
k
，进而直线OP 的斜率
2
4
5
10
P
p
y
k
x
k
．在
2
y
kx
中，令
0
y
，得
2
M
x
k
．由题意得
0, 1
N
，所以直线MN 的斜率为
2
k
．由OP
MN
，得
2
4
5
1
10
2
k
k
k
，化简
得
2
24
5
k
，从而
2 30
5
k
．
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所以，直线PB 的斜率为2 30
5
或
2 30
5
．
19．本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求
和的基本方法以及运算求解能力．满分14 分．
（Ⅰ）解：设等差数列
na
的公差为d ，等比数列
nb
的公比为q ．依题意得
2
6
6
2 ,
6
12
4 ,
q
d
q
d
解得
3,
2,
d
q
故
1
4
(
1) 3
3
1,
6 2
3 2
n
n
n
n
a
n
n
b
．
所以，
na
的通项公式为
3
1,
n
n
a
n
b
的通项公式为
3 2n
nb
．
（Ⅱ）（i）解：
2
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
9
4
1
n
n
n
n
n
n
n
a
c
a
b
．
所以，数列
2
2
1
n
n
a
c
的通项公式为
2
2
1
9
4
1
n
n
n
a
c
．
（ii）解：
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
i
i
n
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
a c
a
a c
a
a
c
1
2
2
1
2
4
3
9 4
1
2
n
n
n
n
i
i
2
1
1
4 1
4
3 2
5 2
9
1
4
n
n
n
n
2
1
1
*
27
2
5
2
12
n
n
n
n
N
．
20．本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归
与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．满分14 分．
（Ⅰ）解：由已知，有
( )
e (cos
sin )
x
f ' x
x
x
．因此，当
5
2
,2
4
4
x
k
k
(
)
k Z 时，有sin
cos
x
x
，
得
( )
0
f' x
，则
f x 单调递减；当
3
2
,2
4
4
x
k
k
(
)
k Z 时，有sin
cos
x
x
，得
( )
0
f' x
，
则
f x 单调递增．
所以，
f x
的单调递增区间为
3
2
,2
(
),
( )
4
4
k
k
k
f x
Z
的单调递减区间为
5
2
,2
(
)
4
4
k
k
k
Z ．
（Ⅱ）证明：记
( )
( )
( ) 2
h x
f x
g x
x
．依题意及（Ⅰ），有
( )
e (cos
sin )
x
g x
x
x
，从而
( )
2e sin
x
g' x
x
．当
,
4 2
x
时，
0
( )
g' x
，故
( )
( )
( )
( )( 1)
( )
0
2
2
h' x
f ' x
g' x
x
g x
g' x
x
．
因此，
h x 在区间
,
4 2
上单调递减，进而( )
0
2
2
h x
h
f
．
所以，当
,
4 2
x
时，
( )
( )
0
2
f x
g x
x
．
（Ⅲ）证明：依题意，
1
0
n
n
u x
f x
，即
cos
e
1
nx
nx
．记
2
n
n
y
x
n
，则
,
4 2
ny
，且
2
2
e
cos
e
cos
2
e
n
n
y
x
n
n
n
n
n
f
y
y
x
n
n
N ．
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由
2
0
e
1
n
n
f
y
f
y
及（Ⅰ），得
0
ny
y
．由（Ⅱ）知，当
,
4 2
x
时，
( )
0
g' x
，所以
g x
在
,
4 2
上为减函数，因此
0
0
4
n
g y
g y
g
．又由（Ⅱ）知，
0
2
n
n
n
f
y
g y
y
，故
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
sin
cos
sin
c
e
e
e
e
os
e
n
n
n
n
n
n
y
n
n
f
y
y
g y
g y
g y
y
y
x
x
．
所以，
2
0
0
2
2
sin
c s
e
o
n
n
n
x
x
x
．
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绝密★本科目考试启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
数
学（理）（北京卷）
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则z z
（A）
3
（B）
5
（C）3
（D）5
（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
（3）已知直线l 的参数方程为
1 3 ,
2
4
x
t
y
t
（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是
（A）1
5
（B）2
5
（C）4
5
（D）6
5
（4）已知椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a＞b＞0）的离心率为1
2
，则
（A）a2=2b2
（B）3a2=4b2
（C）a=2b
（D）3a=4b
（5）若x，y 满足|
1
|
x
y
，且y≥−1，则3x+y 的最大值为
（A）−7
（B）1
（C）5
（D）7
（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1= 5
2
lg
2
1
E
E ，其中星
等为mk 的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度
的比值为
（A）1010.1
（B）10.1
（C）lg10.1
（D）10−10.1
（7）设点A，B，C 不共线，则“ AB
与AC
的夹角为锐角”是“|
| |
|
AB
AC
BC
”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
2
2
1 |
|
x
y
x y
就是其中之一（如图）．给出下列三
个结论：
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①曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2 ；
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
（A）①
（B）②
（C）①②
（D）①②③
第二部分（非选择题
共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
（9）函数f（x）=sin22x 的最小正周期是__________．
（10）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn 的最小值为__________．
（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那
么该几何体的体积为__________．
（12）已知l，m 是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥；
③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
（13）设函数f（x）=ex+ae−x（a 为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R 上的增函数，则a
的取值范围是___________．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元/盒、
65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，
顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13 分）
在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB=
1
2
．
（Ⅰ）求b，c 的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
（16）（本小题14 分）
如图，在四棱锥P–ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E 为PD 的中点，点F
在PC 上，且
1
3
PF
PC
．
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（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P 的余弦值；
（Ⅲ）设点G 在PB 上，且
2
3
PG
PB
．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．
（17）（本小题13 分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学
生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付
方式都不使用的有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18 人
9 人
3 人
仅使用B
10 人
14 人
1 人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月支付金额大于1000 元
的人数，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3 人，发现他
们本月的支付金额都大于2000 元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000
元的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题14 分）
已知抛物线C：x2=−2py 经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M，N，直线y=−1 分别交直
线OM，ON 于点A 和点B．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
（19）（本小题13 分）
已知函数
3
2
1
( )
4
f x
x
x
x
．
（Ⅰ）求曲线
( )
y
f x
的斜率为1 的切线方程；
（Ⅱ）当
[ 2,4]
x
时，求证：
6
( )
x
f x
x
；
（Ⅲ）设
( ) |
( )
(
) | (
)
F x
f x
x
a
a
R ，记
( )
F x 在区间[ 2,4]
上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，
求a 的值．
（20）（本小题13 分）
已知数列{an}，从中选取第i1 项、第i2 项、…、第im 项（i1<i2<…<im），若
1
2
m
i
i
i
a
a
a
，则称新数列
1
2
m
i
i
i
a
a
a
，，，
为{an}的长度为m 的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1 的递增子列．
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为4 的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p 的递增子列的末项的最小值为
0
m
a
，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
0
na
．若p<q，求证：
0
m
a
<
0
na
；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s 的递增子列末项的最小值为
2s–1，且长度为s 末项为2s–1 的递增子列恰有2s-1 个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D
（2）B
（3）D
（4）B
（5）C
（6）A
（7）C
（8）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）π
2
（10）0
10
（11）40
（12）若l
m
，l
，则m
∥
.（答案不唯一）
（13）1
(
,0]
（14）130
15
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13 分）
解：（Ⅰ）由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
，得
2
2
2
1
3
2 3
2
b
c
c
.
因为
2
b
c
，
所以
2
2
2
1
(
2)
3
2 3
2
c
c
c
.
解得
5
c
.
所以
7
b
.
（Ⅱ）由
1
cos
2
B
得
3
sin
2
B
.
由正弦定理得
5 3
sin
sin
14
c
C
B
b
.
在
ABC
△
中，∠B是钝角，
所以∠C为锐角.
所以
2
11
cos
1 sin
14
C
C
.
所以
4 3
sin(
)
sin
cos
cos
sin
7
B
C
B
C
B
C
.
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．
又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．
（Ⅱ）过A作AD的垂线交BC于点M．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．
如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，
2）．
因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．
所以
(0,1,1),
(2,2, 2),
(0,0,2)
AE
PC
AP
．
所以
1
2 2
2
2 2 4
,
,
,
,
,
3
3 3
3
3 3 3
PF
PC
AF
AP
PF
.
设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则
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0,
0,
AE
AF
n
n
即
0,
2
2
4
0.
3
3
3
y
z
x
y
z
令z=1，则
1,
1
y
x
．
于是=( 1, 1,1)
n
．
又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以
3
cos
,
|
|
3
‖
n p
n p
n p
.
由题知，二面角F-AE-P为锐角，所以其余弦值为
3
3
．
（Ⅲ）直线AG在平面AEF内．
因为点G在PB上，且
2 ,
(2, 1, 2)
3
PG
PB
PB
，
所以
2
4
2
4
4
2 2
,
,
,
,
,
3
3
3
3
3
3 3
PG
PB
AG
AP
PG
.
由（Ⅱ）知，平面AEF的法向量=( 1, 1,1)
n
.
所以
4
2
2
0
3
3
3
AG
n
.
所以直线AG在平面AEF内.
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付
方式都不使用的学生有5人.
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为40
0.4
100
.
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅
使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.
由题设知，事件C，D相互独立，且
9
3
14 1
( )
0.4,
(
)
0.6
30
25
P C
P D
.
所以
(
2)
(
)
( ) (
)
0.24
P X
P CD
P C P D
，
(
1)
(
)
P X
P CD
CD
( ) (
)
( ) (
)
P C P D
P C P D
=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6
=0.52，
(
0)
(
)
( ) (
)
0.24
P X
P CD
P C P D
.
所以X的分布列为
X
0
1
2
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P
0.24
0.52
0.24
故X的数学期望E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.
（Ⅲ）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得
3
30
1
1
( )
C
4060
P E
.
答案示例1：可以认为有变化.理由如下：
P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人
数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：
事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.
（18）（共14 分）
解：（Ⅰ）由抛物线
2
:
2
C x
py
经过点(2, 1)
，得
2
p
.
所以抛物线C 的方程为
2
4
x
y
，其准线方程为
1
y .
（Ⅱ）抛物线C 的焦点为
(0, 1)
F
.
设直线l 的方程为
1(
0)
y
kx
k
.
由
2
1,
4
y
kx
x
y
得
2
4
4
0
x
kx
.
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
1
2
4
x x .
直线OM 的方程为
1
1
y
y
x
x
.
令
1
y ，得点A 的横坐标
1
1
A
x
x
y
.
同理得点B 的横坐标
2
2
B
x
x
y
.
设点
(0, )
D
n ，则
1
2
1
2
, 1
,
, 1
x
x
DA
n
DB
n
y
y
，
2
1
2
1
2
(
1)
x x
DA DB
n
y y
2
1
2
2
2
1
2
(
1)
4
4
x x
n
x
x
2
1
2
16
(
1)
n
x x
2
4
(
1)
n
.
令
0
DA DB
，即
2
4
(
1)
0
n
，则
1
n
或
3
n .
综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1) 和(0,
3)
.
（19）（共13 分）
解：（Ⅰ）由
3
2
1
( )
4
f x
x
x
x
得
2
3
( )
2
1
4
f
x
x
x
.
令
( )
1
f
x
，即
2
3
2
1
1
4 x
x
，得
0
x
或
8
3
x
.
又
(0)
0
f
，
8
8
( )
3
27
f
，
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所以曲线
( )
y
f x
的斜率为1 的切线方程是y
x
与
8
8
27
3
y
x
，
即y
x
与
64
27
y
x
.
（Ⅱ）令( )
( )
,
[ 2,4]
g x
f x
x x
.
由
3
2
1
( )
4
g x
x
x
得
2
3
( )
2
4
g' x
x
x
.
令
( )
0
g' x
得
0
x
或
8
3
x
.
( ), ( )
g' x g x 的情况如下：
x
2
( 2,0)
0
8
(0, )
3
8
3
8
( ,4)
3
4
( )
g' x
( )
g x
6
0
64
27
0
所以( )
g x 的最小值为6
，最大值为0 .
故6
( )
0
g x
，即
6
( )
x
f x
x
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当
3
a 时，
( )
(0) |
(0)
|
3
M
F
g
a
a
a
；
当
3
a 时，
( )
( 2) |
( 2)
| 6
3
M
F
a
g
a
a
；
当
3
a 时，
( )
3
M a
.
综上，当
( )
M a 最小时，
3
a .
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）
（Ⅱ）设长度为q末项为
0
na
的一个递增子列为
1
2
1
0
,
,
,
,
q
r
r
r
n
a
a
a
a
.
由p<q，得
1
0
p
q
r
r
n
a
a
a
.
因为
na
的长度为p的递增子列末项的最小值为
0
m
a
，
又
1
2
,
,
,
p
r
r
r
a
a
a
是
na
的长度为p的递增子列，
所以
0
p
m
r
a
a
.
所以
0
0
m
n
a
a
·
（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是
na
中的项.
先证明：若2m是
na
中的项，则2m必排在2m−1之前（m为正整数）.
假设2m排在2m−1之后.
设
1
2
1
,
,
,
,2
1
m
p
p
p
a
a
a
m
是数列
na
的长度为m末项为2m−1的递增子列，则
1
2
1
,
,
,
,2
1,2
m
p
p
p
a
a
a
m
m
是
数列
na
的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.
再证明：所有正偶数都是
na
中的项.
假设存在正偶数不是
na
中的项，设不在
na
中的最小的正偶数为2m.
因为2k排在2k−1之前（k=1，2，…，m−1），所以2k和2
1
k 不可能在
na
的同一个递增子列中.
又
na
中不超过2m+1的数为1，2，…，2m−2，2m−1，2m+1，所以
na
的长度为m+1且末项为2m+1的递增子
列个数至多为
1
(
1)
2 2 2
2 1 1
2
2
m
m
m
个
.
与已知矛盾.
最后证明：2m排在2m−3之后（m≥2为整数）.
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假设存在2m（m≥2），使得2m排在2m−3之前，则
na
的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于2m .
与已知矛盾.
综上，数列
na
只可能为2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，….
经验证，数列2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，…符合条件.
所以
1,
1,
n
n
n
a
n
n
为奇数，
为偶数.
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2018 年天津市高考数学试卷（理科）
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00 分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁RB）=（
）
A．{x|0＜x≤1}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|0＜x＜2}
2．（5.00 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=3x+5y 的最大值为（
）
A．6
B．19
C．21
D．45
3．（5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（5.00 分）设x∈R，则“|x﹣
|＜
”是“x3＜1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5.00 分）已知a=log2e，b=ln2，c=log
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
6．（5.00 分）将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A．在区间[
，
]上单调递增B．在区间[
，π]上单调递减
C．在区间[
，
]上单调递增D．在区间[
，2π]上单调递减
7．（5.00 分）已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，
B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（
）
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A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
8．（5.00 分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点，
则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．3
二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5.00 分）i 是虚数单位，复数
=
．
10．（5.00 分）在（x﹣
）5 的展开式中，x2 的系数为
．
11．（5.00 分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，
G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH 的体积为
．
12．（5.00 分）已知圆x2+y2﹣2x=0 的圆心为C，直线
，（t 为参数）与该圆相交于A，B 两点，则△ABC
的面积为
．
13．（5.00 分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+
的最小值为
．
14．（5.00 分）已知a＞0，函数f（x）=
．若关于x 的方程f（x）=ax 恰有2 个互异的实数
解，则a 的取值范围是
．
三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
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15．（13.00 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣
）．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin（2A﹣B）的值．
16．（13.00 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7
人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查．
（i）用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
（ii）设A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．
17．（13.00 分）如图，AD∥BC 且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD 且EG=AD，CD∥FG 且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，
DA=DC=DG=2．
（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F 的正弦值；
（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长．
18．（13.00 分）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，
a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{Sn}的前n 项和为Tn（n∈N*），
（i）求Tn；
（ii）证明
=
﹣2（n∈N*）．
19．（14.00 分）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
，点A 的坐标
为（b，0），且|FB|•|AB|=6
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l 与直线AB 交于点Q．若
=
sin∠AOQ
（O 为原点），求k 的值．
20．（14.00 分）已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g
（x2）=﹣
；
（Ⅲ）证明当a≥e
时，存在直线l，使l 是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．
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2018 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00 分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁RB）=（
）
A．{x|0＜x≤1}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|0＜x＜2}
【分析】根据补集、交集的定义即可求出．
【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，
∴∁RB={x|x＜1}，
∴A∩（∁RB）={x|0＜x＜1}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2．（5.00 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=3x+5y 的最大值为（
）
A．6
B．19
C．21
D．45
【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y 的最大值．
【解答】解：由变量x，y 满足约束条件
，
得如图所示的可行域，由
解得A（2，3）．
当目标函数z=3x+5y 经过A 时，直线的截距最大，
z 取得最大值．
将其代入得z 的值为21，
故选：C．
【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点
的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最
值．
3．（5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（
）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：若输入N=20，
则i=2，T=0，
=
=10 是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5 不成立，
循环，
=
不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5 不成立，
循环，
=
=5 是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5 成立，
输出T=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
4．（5.00 分）设x∈R，则“|x﹣
|＜
”是“x3＜1”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出．
【解答】解：由|x﹣
|＜
可得﹣
＜x﹣
＜
，解得0＜x＜1，
由x3＜1，解得x＜1，
故“|x﹣
|＜
”是“x3＜1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件，属于基础题．
5．（5.00 分）已知a=log2e，b=ln2，c=log
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【分析】根据对数函数的单调性即可比较．
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【解答】解：a=log2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log
=log23＞log2e=a，
则a，b，c 的大小关系c＞a＞b，
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题，
6．（5.00 分）将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数（
）
A．在区间[
，
]上单调递增B．在区间[
，π]上单调递减
C．在区间[
，
]上单调递增D．在区间[
，2π]上单调递减
【分析】将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为[﹣
+kπ，
+kπ]，
k∈Z，减区间为[
+kπ，
+kπ]，k∈Z，由此能求出结果．
【解答】解：将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，
得到的函数为：y=sin2x，
增区间满足：﹣
+2kπ≤2x≤
，k∈Z，
减区间满足：
≤2x≤
，k∈Z，
∴增区间为[﹣
+kπ，
+kπ]，k∈Z，
减区间为[
+kπ，
+kπ]，k∈Z，
∴将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度，
所得图象对应的函数在区间[
，
]上单调递增．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是中档题．
7．（5.00 分）已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，
B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1 和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线
y=
，即bx﹣ay=0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB 是梯形，
F 是AB 的中点，EF=
=3，
EF=
=b，
所以b=3，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得
，
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可得：
，解得a=
．
则双曲线的方程为：
﹣
=1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
8．（5.00 分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点，
则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．3
【分析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A，B，C 的坐标，根
据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．
【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，
以DC 所在的直线为y 轴，
过点B 做BN⊥x 轴，过点B 做BM⊥y 轴，
∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，
∴AN=ABcos60°=
，BN=ABsin60°=
，
∴DN=1+
=
，
∴BM=
，
∴CM=MBtan30°=
，
∴DC=DM+MC=
，
∴A（1，0），B（
，
），C（0，
），
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设E（0，m），
∴
=（﹣1，m），
=（﹣
，m﹣
），0≤m≤
，
∴
=
+m2﹣
m=（m﹣
）2+
﹣
=（m﹣
）2+
，
当m=
时，取得最小值为
．
故选：A．
【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．
二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5.00 分）i 是虚数单位，复数
=
4﹣i
．
【分析】根据复数的运算法则计算即可．
【解答】解：
=
=
=
=4﹣i，
故答案为：4﹣i
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
10．（5.00 分）在（x﹣
）5 的展开式中，x2 的系数为
．
【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为2 求得r 值，则答案可求．
【解答】解：（x﹣
）5 的二项展开式的通项为
=
．
由
，得r=2．
∴x2 的系数为
．
故答案为：
．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
11．（5.00 分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，
G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH 的体积为
．
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【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可．
【解答】解：正方体的棱长为1，M﹣EFGH 的底面是正方形的边长为：
，
四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为
，
四棱锥M﹣EFGH 的体积：
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
12．（5.00 分）已知圆x2+y2﹣2x=0 的圆心为C，直线
，（t 为参数）与该圆相交于A，B 两点，则△ABC
的面积为
．
【分析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；
直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，
计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求出△ABC 的面积．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0 化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；
直线
化为普通方程是x+y﹣2=0，
则圆心C 到该直线的距离为d=
=
，
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弦长|AB|=2
=2
=2×
=
，
∴△ABC 的面积为S=
•|AB|•d=
×
×
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了参数方程应用问题，是基础题．
13．（5.00 分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+
的最小值为
．
【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，
可得：3b=a+6，
则2a+
=
=
≥2
=
，
当且仅当2a=
．即a=﹣3 时取等号．
函数的最小值为：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．
14．（5.00 分）已知a＞0，函数f（x）=
．若关于x 的方程f（x）=ax 恰有2 个互异的实数
解，则a 的取值范围是
（4，8）
．
【分析】分别讨论当x≤0 和x＞0 时，利用参数分离法进行求解即可．
【解答】解：当x≤0 时，由f（x）=ax 得x2+2ax+a=ax，
得x2+ax+a=0，
得a（x+1）=﹣x2，
得a=﹣
，
设g（x）=﹣
，则g′（x）=﹣
=﹣
，
由g′（x）＞0 得﹣2＜x＜﹣1 或﹣1＜x＜0，此时递增，
由g′（x）＜0 得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2 时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，
当x＞0 时，由f（x）=ax 得﹣x2+2ax﹣2a=ax，
得x2﹣ax+2a=0，
得a（x﹣2）=x2，当x=2 时，方程不成立，
当x≠2 时，a=
设h（x）=
，则h′（x）=
=
，
由h′（x）＞0 得x＞4，此时递增，
由h′（x）＜0 得0＜x＜2 或2＜x＜4，此时递减，即当x=4 时，h（x）取得极小值为h（4）=8，
要使f（x）=ax 恰有2 个互异的实数解，
则由图象知4＜a＜8，
故答案为：（4，8）
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【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导数之间的关系以及数形结合是解决
本题的关键．
三.解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13.00 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣
）．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin（2A﹣B）的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣
）．由此能求出B．
（Ⅱ）由余弦定理得b=
，由bsinA=acos（B﹣
），得sinA=
，cosA=
，由此能求出sin（2A﹣B）．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得
，得bsinA=asinB，
又bsinA=acos（B﹣
）．
∴asinB=acos（B﹣
），即sinB=cos（B﹣
）=cosBcos
+sinBsin
=
cosB+
，
∴tanB=
，
又B∈（0，π），∴B=
．
（Ⅱ）在△ABC 中，a=2，c=3，B=
，
由余弦定理得b=
=
，由bsinA=acos（B﹣
），得sinA=
，
∵a＜c，∴cosA=
，
∴sin2A=2sinAcosA=
，
cos2A=2cos2A﹣1=
，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB=
=
．
【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16．（13.00 分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7
人，进行睡眠时间的调查．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查．
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（i）用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；
（ii）设A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；
（Ⅱ）若（i）用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然
后求解数学期望；
（ii）利用互斥事件的概率求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，
从中抽取7 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2 人．
（Ⅱ）若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查．
（i）用X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，
随机变量X 的取值为：0，1，2，3，
，k=0，1，2，3．
所以随机变量的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量X 的数学期望E（X）=
=
；
（ii）设A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，
设事件B 为：抽取的3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有2 人，事件C 为抽取的3 人中，
睡眠充足的员工有2 人，睡眠不足的员工有1 人，
则：A=B∪C，且P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1），
故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=
．
所以事件A 发生的概率：
．
【点评】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定X 的可能取值，求
出相应的概率是关键．
17．（13.00 分）如图，AD∥BC 且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD 且EG=AD，CD∥FG 且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，
DA=DC=DG=2．
（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F 的正弦值；
（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长．
【分析】（Ⅰ）依题意，以D 为坐标原点，分别以
、
、
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐
标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE 的法向
量及
，由
，结合直线MN⊄平面CDE，可得MN∥
平面CDE；
（Ⅱ）分别求出平面BCE 与平面平面BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BC﹣F 的正弦
值；
（Ⅲ）设线段DP 的长为h，（h∈[0，2]），则点P 的坐标为（0，0，h），求出
，而
为平面ADGE 的一个法向量，由直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，可得线段DP 的长．
【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以
、
、
的方向为x 轴，
y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．
可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），
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E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，
，1），N（1，0，2）．
设
为平面CDE 的法向量，
则
，不妨令z=﹣1，可得
；
又
，可得
．
又∵直线MN⊄平面CDE，
∴MN∥平面CDE；
（Ⅱ）解：依题意，可得
，
，
．
设
为平面BCE 的法向量，
则
，不妨令z=1，可得
．
设
为平面BCF 的法向量，
则
，不妨令z=1，可得
．
因此有cos＜
＞=
，于是sin＜
＞=
．
∴二面角E﹣BC﹣F 的正弦值为
；
（Ⅲ）解：设线段DP 的长为h，（h∈[0，2]），则点P 的坐标为（0，0，h），
可得
，而
为平面ADGE 的一个法向量，
故|cos＜
＞|=
．
由题意，可得
，解得h=
∈[0，2]．
∴线段DP 的长为
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
18．（13.00 分）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Sn（n∈N*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，
a4=b3+b5，a5=b4+2b6．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{Sn}的前n 项和为Tn（n∈N*），
（i）求Tn；
（ii）证明
=
﹣2（n∈N*）．
【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{an}的通项公式可求；等差数列{bn}的公差
为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；
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（Ⅱ）（i）由等比数列的前n 项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n 项和求得数列{Sn}的前n 项和为Tn；
（ii）化简整理
，再由裂项相消法证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0．
∵q＞0，可得q=2．
故
．
设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，
由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，
∴b1=d=1．
故bn=n；
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得
，
故
=
；
（ii）证明：∵
=
=
．
∴
=
=
﹣2．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能
力，是中档题．
19．（14.00 分）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
，点A 的坐标
为（b，0），且|FB|•|AB|=6
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l 与直线AB 交于点Q．若
=
sin∠AOQ
（O 为原点），求k 的值．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，
求出a、b 的值，再写出椭圆的方程；
（Ⅱ）设出点P、Q 的坐标，由题意利用方程思想，
求得直线AB 的方程以及k 的值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的焦距为2c，
由椭圆的离心率为e=
，
∴
=
；
又a2=b2+c2，
∴2a=3b，
由|FB|=a，|AB|=
b，且|FB|•|AB|=6
；
可得ab=6，
从而解得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为
+
=1；
（Ⅱ）设点P 的坐标为（x1，y1），点Q 的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；
∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；
又|AQ|=
，且∠OAB=
，
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∴|AQ|=
y2，
由
=
sin∠AOQ，可得5y1=9y2；
由方程组
，消去x，可得y1=
，
∴直线AB 的方程为x+y﹣2=0；
由方程组
，消去x，可得y2=
；
由5y1=9y2，可得5（k+1）=3
，
两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，
解得k=
或k=
；
∴k 的值为
或
．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等知识的应用问题，也考查了利用代数方法求研究
圆锥曲线的性质应用问题，考查了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力．
20．（14.00 分）已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g
（x2）=﹣
；
（Ⅲ）证明当a≥e
时，存在直线l，使l 是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．
【分析】（Ⅰ）把f（x）的解析式代入函数h（x）=f（x）﹣xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由
导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；
（Ⅱ）分别求出函数y=f（x）在点（x1，f（x1））处与y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率，由斜率相等，
两边取对数可得结论；
（Ⅲ）分别求出曲线y=f（x）在点（
）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线方程，把问
题转化为证明当a≥
时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1 与l2 重合，进一步转化为证明当a≥
时，方程
存在实数解．然后利用导数证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=ax﹣xlna，有h′（x）=axlna﹣lna，
令h′（x）=0，解得x=0．
由a＞1，可知当x 变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，0）
0
（0，+∞）
h′（x）
﹣
0
+
h（x）
↓
极小值
↑
∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）证明：由f′（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为
lna．
由g′（x）=
，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为
．
∵这两条切线平行，故有
，即
，
两边取以a 为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0，
∴x1+g（x2）=﹣
；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（
）处的切线l1：
，
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曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：
．
要证明当a≥
时，存在直线l，使l 是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，
只需证明当a≥
时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1 与l2 重合，
即只需证明当a≥
时，方程组
由①得
，代入②得：
，③
因此，只需证明当a≥
时，关于x1 的方程③存在实数解．
设函数u（x）=
，既要证明当a≥
时，函数y=u（x）存在零点．
u′（x）=1﹣（lna）2xax，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，
又u′（0）=1＞0，u′
=
＜0，
故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即
．
由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
u（x）在x=x0 处取得极大值u（x0）．
∵
，故lnlna≥﹣1．
∴
=
．
下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，
由（Ⅰ）可得ax≥1+xlna，当
时，有
u（x）≤
=
．
∴存在实数t，使得u（t）＜0．
因此，当a≥
时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．
∴当a≥
时，存在直线l，使l 是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．
【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考
查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题．
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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）
=（
）
A．
i
B．
C．
D．
2．（5.00 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
3．（5.00 分）函数f（x）=
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5.00 分）已知向量，满足| |=1，
=﹣1，则•（2
）=（
）
A．4
B．3
C．2
D．0
5．（5.00 分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（
）
A．y=±
x B．y=±
x C．y=±
x D．y=±
x
6．（5.00 分）在△ABC 中，cos
=
，BC=1，AC=5，则AB=（
）
A．4
B．
C．
D．2
7．（5.00 分）为计算S=1﹣
+
﹣
+…+
﹣
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（
）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
8．（5.00 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的
偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概
率是（
）
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A．
B．
C．
D．
9．（5.00 分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=
，则异面直线AD1 与DB1 所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5.00 分）若f（x）=cosx﹣sinx 在[﹣a，a]是减函数，则a 的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．π
11．（5.00 分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）
+f（2）+f（3）+…+f（50）=（
）
A．﹣50 B．0
C．2
D．50
12．（5.00 分）已知F1，F2 是椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率
为
的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为
．
14．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
．
15．（5.00 分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=
．
16．（5.00 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 所成角的余弦值为
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的
面积为5
，则该圆锥的侧面积为
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60 分。
17．（12.00 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn 的最小值．
18．（12.00 分）如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000 年至2016
年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010 年至2016 年的数据（时
间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
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（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12.00 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过F 且斜率为k（k＞0）的直线l 与C 交于A，B 两点，|AB|=8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．（12.00 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AB=BC=2
，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M﹣PA﹣C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=ex﹣ax2．
（1）若a=1，证明：当x≥0 时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥0 的解集；
（2）若f（x）≤1，求a 的取值范围．
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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）
=（
）
A．
i
B．
C．
D．
【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】解：
=
=
+
．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．
2．（5.00 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．
【解答】解：当x=﹣1 时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，
当x=0 时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，
当x=1 时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，
即集合A 中元素有9 个，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．
3．（5.00 分）函数f（x）=
的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）=
=﹣
=﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1 时，f（1）=e﹣
＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．
4．（5.00 分）已知向量，满足| |=1，
=﹣1，则•（2
）=（
）
A．4
B．3
C．2
D．0
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量，满足| |=1，
=﹣1，则•（2
）=2
﹣
=2+1=3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
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5．（5.00 分）双曲线
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，则其渐近线方程为（
）
A．y=±
x B．y=±
x C．y=±
x D．y=±
x
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c 的关系，结合双曲线a，b，c 的关系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e=
=
，
则
=
=
=
=
=
，
即双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
6．（5.00 分）在△ABC 中，cos
=
，BC=1，AC=5，则AB=（
）
A．4
B．
C．
D．2
【分析】利用二倍角公式求出C 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：在△ABC 中，cos
=
，cosC=2×
=﹣
，
BC=1，AC=5，则AB=
=
=
=4
．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
7．（5.00 分）为计算S=1﹣
+
﹣
+…+
﹣
，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（
）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，
该程序运行后输出的是
S=N﹣T=（1﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）；
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累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．
故选：B．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
8．（5.00 分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2 的
偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概
率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用列举法先求出不超过30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：在不超过30 的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共10 个，
从中选2 个不同的数有
=45 种，
和等于30 的有（7，23），（11，19），（13，17），共3 种，
则对应的概率P=
=
，
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30 的素数是解决本题的关键．
9．（5.00 分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=
，则异面直线AD1 与DB1 所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1
与DB1 所成角的余弦值．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，
AA1=
，
∴A（1，0，0），D1（0，0，
），D（0，0，0），
B1（1，1，
），
=（﹣1，0，
），
=（1，1，
），
设异面直线AD1 与DB1 所成角为θ，
则cosθ=
=
=
，
∴异面直线AD1 与DB1 所成角的余弦值为
．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查
运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5.00 分）若f（x）=cosx﹣sinx 在[﹣a，a]是减函数，则a 的最大值是（
）
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A．
B．
C．
D．π
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由
，k ∈Z ，得
，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[
，
]，结合已知条件即可求出a
的最大值．
【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=
，
由
，k∈Z，
得
，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[
，
]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得
，∴
．
则a 的最大值是
．
故选：A．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
11．（5.00 分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）
+f（2）+f（3）+…+f（50）=（
）
A．﹣50 B．0
C．2
D．50
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4 的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
12．（5.00 分）已知F1，F2 是椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率
为
的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求得直线AP 的方程：根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），
直线AP 的方程为：y=
（x+a），
由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，
c），
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代入直线AP：
c=
（2c+a），整理得：a=4c，
∴题意的离心率e=
=
．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为
y=2x
．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义
即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2ln（x+1），
∴y′=
，
当x=0 时，y′=2，
∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．
故答案为：y=2x．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算
求解能力．属于基础题．
14．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
9
．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y 满足约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=x+y 为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z 过A 时，z 取得最大值，
由
，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
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【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5.00 分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=
．
【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）
=﹣1，可得结果．
【解答】解：sinα+cosβ=1，
两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，
cosα+sinβ=0，
两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，
∴2sin（α+β）=﹣1．
∴sin（α+β）=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
16．（5.00 分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB 所成角的余弦值为
，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的
面积为5
，则该圆锥的侧面积为
40
π
．
【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB 所成角的余弦值为
，可得sin∠ASB=
=
．
△SAB 的面积为5
，
可得
sin∠ASB=5
，即
×
=5
，即SA=4
．
SA 与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：
=2
．
则该圆锥的侧面积：
π=40
π．
故答案为：40
π．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60 分。
17．（12.00 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn 的最小值．
【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an 即可；
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（2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn=
=
=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn 以及
Sn 的最小值．
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15，
∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，
∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
（2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，
∴Sn=
=
=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，
∴当n=4 时，前n 项的和Sn 取得最小值为﹣16．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于中档题．
18．（12.00 分）如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000 年至2016
年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010 年至2016 年的数据（时
间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【分析】（1）根据模型①计算t=19 时的值，根据模型②计算t=9 时的值即可；
（2）从总体数据和2000 年到2009 年间递增幅度以及2010 年到2016 年间递增的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，
计算t=19 时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是226.1 亿元；
根据模型②：=99+17.5t，
计算t=9 时，=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是256.5 亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000 年到2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000 年到2009 年间递增的幅度较小些，
从2010 年到2016 年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19．（12.00 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过F 且斜率为k（k＞0）的直线l 与C 交于A，B 两点，|AB|=8．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
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【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得
直线l 的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=
，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l 的斜率，求得直线l
的方程；
（2）根据过A，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求
得圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；
设直线AB 的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=
，x1x2=1，
由|AB|=x1+x2+p=
+2=8，解得：k2=1，则k=1，
∴直线l 的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|=
=
=8，
解得：sin2θ=
，
∴θ=
，则直线的斜率k=1，
∴直线l 的方程y=x﹣1；
（2）由（1）可得AB 的中点坐标为D（3，2），则直线AB 的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则
，
解得：
或
，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16 或（x﹣11）2+（y+6）2=144．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换
思想思想，属于中档题．
20．（12.00 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AB=BC=2
，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M﹣PA﹣C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
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【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB 即可；
（2）根据二面角的大小求出平面PAM 的法向量，利用向量法即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BO，
∵AB=BC=2
，O 是AC 的中点，
∴BO⊥AC，且BO=2，
又PA=PC=PB=AC=2，
∴PO⊥AC，PO=2
，
则PB2=PO2+BO2，
则PO⊥OB，
∵OB∩AC=O，
∴PO⊥平面ABC；
（2）建立以O 坐标原点，OB，OC，OP 分别为x，y，z 轴的空间直角坐标系如图：
A（0，﹣2，0），P（0，0，2
），C（0，2，0），B（2，0，0），
=（﹣2，2，0），
设
=λ
=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1
则
=
﹣
=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），
则平面PAC 的法向量为=（1，0，0），
设平面MPA 的法向量为=（x，y，z），
则
=（0，﹣2，﹣2
），
则•
=﹣2y﹣2
z=0，•
=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0
令z=1，则y=﹣
，x=
，
即=（
，﹣
，1），
∵二面角M﹣PA﹣C 为30°，
∴cos30°=|
=
，
即
=
，
解得λ=
或λ=3（舍），
则平面MPA 的法向量=（2
，﹣
，1），
=（0，2，﹣2
），
PC 与平面PAM 所成角的正弦值sinθ=|cos＜
，＞|=|
|=
=
．
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【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，
利用向量法是解决本题的关键．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=ex﹣ax2．
（1）若a=1，证明：当x≥0 时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，
（2）方法一、分离参数可得a=
在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a 与G（x）=
的图象在（0，+∞）只有
一个交点．结合图象即可求得a．
方法二、：①当a≤0 时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．
②当a≤0 时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．
利用h′（x）=x（x﹣2）e
﹣x，可得h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，结合函数h（x）图象即可求得a．
【解答】证明：（1）当a=1 时，函数f（x）=ex﹣x2．
则f′（x）=ex﹣2x，
令g（x）=ex﹣2x，则g′（x）=ex﹣2，
令g′（x）=0，得x=ln2．
当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，
解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0 在（0，+∞）只有一个根，
⇔a=
在（0，+∞）只有一个根，
即函数y=a 与G（x）=
的图象在（0，+∞）只有一个交点．
G
，
当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
当→0 时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=
．
方法二：①当a≤0 时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．
②当a＞0 时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．
h′（x）=x（x﹣2）e
﹣x，当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴
，（x≥0）．
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当h（2）＜0 时，即a
，由于h（0）=1，
且当x＞0 时，ex＞x2，可得h（4a）=1﹣
=
=1﹣
＞0．h（x）在（0，+∞）有2 个
零点
当h（2）＞0 时，即
，h（x）在（0，+∞）没有零点，
当h（2）=0 时，即a=
，h（x）在（0，+∞）只有一个零点，
综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=
．
【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为（1，2），求l 的斜率．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．
【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为
（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：
．
直线l 的参数方程为
（t 为参数）．
转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：
+
=1
整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则：
，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
②当直线的斜率存在时，利用中点坐标公式，
，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，
即：直线l 的斜率为﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中
点坐标的应用．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥0 的解集；
（2）若f（x）≤1，求a 的取值范围．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
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（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=
．
当x≤﹣1 时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，
当﹣1＜x＜2 时，f（x）=2≥0 恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2 时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0 的解集为[﹣2，3]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，
∴|x+a|+|x﹣2|≥4，
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，
∴|a+2|≥4，
解得a≤﹣6 或a≥2，
故a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．
【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）设z=
+2i，则|z|=（
）
A．0
B．
C．1
D．
2．（5.00 分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（
）
A．{x|﹣1＜x＜2}
B．{x|﹣1≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（
）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．（5.00 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（
）
A．﹣12 B．﹣10 C．10
D．12
5．（5.00 分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为
（
）
A．y=﹣2x
B．y=﹣xC．y=2x D．y=x
6．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（
）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
7．（5.00 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆
柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（
）
A．2
B．2
C．3
D．2
8．（5.00 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为
的直线与C 交于M，N 两点，则
•
=
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．（5.00 分）已知函数f（x）=
，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2 个零点，则a 的取值范围是（
）
A．[﹣1，0）
B．[0，+∞）
C．[﹣1，+∞）
D．[1，+∞）
10．（5.00 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别
为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记
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为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（
）
A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3
11．（5.00 分）已知双曲线C：
﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点
分别为M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（
）
A．
B．3
C．2
D．4
12．（5.00 分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的
最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
．
14．（5.00 分）记Sn 为数列{an}的前n 项和．若Sn=2an+1，则S6=
．
15．
（5.00 分）从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有
种．
（用
数字填写答案）
16．（5.00 分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2
，求BC．
18．（12.00 分）如图，四边形ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C
到达点P 的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
19．（12.00 分）设椭圆C：
+y2=1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
20．（12.00 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出
不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有
产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的p0 作为p 的值．已知每件产品的检验
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费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12.00 分）已知函数f（x）=
﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
＜a﹣2．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2 的直角坐标方程；
（2）若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）设z=
+2i，则|z|=（
）
A．0
B．
C．1
D．
【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．
【解答】解：z=
+2i=
+2i=﹣i+2i=i，
则|z|=1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
2．（5.00 分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（
）
A．{x|﹣1＜x＜2}
B．{x|﹣1≤x≤2}
C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}
【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．
【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，
可得A={x|x＜﹣1 或x＞2}，
则：∁RA={x|﹣1≤x≤2}．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．
3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的
经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（
）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用
数据推出结果．
【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．
A 项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，
故建设后，种植收入增加，故A 项错误．
B 项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，
建设前，其他收入为4%a，
故10%a÷4%a=2.5＞2，
故B 项正确．
C 项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故60%a÷30%a=2，
故C 项正确．
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D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）×2a=58%×2a，
经济收入为2a，
故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，
故D 项正确．
因为是选择不正确的一项，
故选：A．
【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．
4．（5.00 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（
）
A．﹣12 B．﹣10 C．10
D．12
【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程，能求出a5 的值．
【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n 项和，3S3=S2+S4，a1=2，
∴
=a1+a1+d+4a1+
d，
把a1=2，代入得d=﹣3
∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方
程思想，是基础题．
5．（5.00 分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为
（
）
A．y=﹣2x
B．y=﹣xC．y=2x D．y=x
【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．
【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，
曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，
则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．
6．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则
=（
）
A．
﹣
B．
﹣
C．
+
D．
+
【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
=
﹣
=
﹣
=
﹣
×
（
+
）
=
﹣
，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
7．（5.00 分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆
柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（
）
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A．2
B．2
C．3
D．2
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．
【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度：
=2
．
故选：B．
【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．
8．（5.00 分）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为
的直线与C 交于M，N 两点，则
•
=
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N 的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【解答】解：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为
的直线为：3y=2x+4，
联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x 可得：y2﹣6y+8=0，
解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），
，
．
则
•
=（0，2）•（3，4）=8．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．
9．（5.00 分）已知函数f（x）=
，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2 个零点，则a 的取值范围是（
）
A．[﹣1，0）
B．[0，+∞）
C．[﹣1，+∞）
D．[1，+∞）
【分析】由g（x）=0 得f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行
转化求解即可．
【解答】解：由g（x）=0 得f（x）=﹣x﹣a，
作出函数f（x）和y=﹣x﹣a 的图象如图：
当直线y=﹣x﹣a 的截距﹣a≤1，即a≥﹣1 时，两个函数的图象都有2 个交点，
即函数g（x）存在2 个零点，
故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），
故选：C．
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【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题
的关键．
10．（5.00 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别
为直角三角形ABC 的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记
为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（
）
A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3
【分析】如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．
【解答】解：如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，
∴r12=r22+r32，
∴SⅠ=
×4r2r3=2r2r3，SⅢ=
×πr12﹣2r2r3，
SⅡ=
×πr32+
×πr22﹣SⅢ=
×πr32+
×πr22﹣
×πr12+2r2r3=2r2r3，
∴SⅠ=SⅡ，
∴P1=P2，
故选：A．
【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．
11．（5.00 分）已知双曲线C：
﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点
分别为M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=（
）
A．
B．3
C．2
D．4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN 的坐标，然后求解|MN|．
【解答】解：双曲线C：
﹣y2=1 的渐近线方程为：y=
，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直
线为：y=
，
则：
解得M（
，
），
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解得：N（
），
则|MN|=
=3．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
12．（5.00 分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的
最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示
的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，
此时正六边形的边长
，
α截此正方体所得截面最大值为：6×
=
．
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
6
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y 得y=﹣
x+
z，
平移直线y=﹣
x+
z，
由图象知当直线y=﹣
x+
z 经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z 最大，
最大值为z=3×2=6，
故答案为：6
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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
14．（5.00 分）记Sn 为数列{an}的前n 项和．若Sn=2an+1，则S6=
﹣63
．
【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1 为首项，以2 为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．
【解答】解：Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn=2an+1，①
当n=1 时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，
当n≥2 时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②，
由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1，
∴an=2an﹣1，
∴{an}是以﹣1 为首项，以2 为公比的等比数列，
∴S6=
=﹣63，
故答案为：﹣63
【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．
15．
（5.00 分）从2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有
16
种．
（用
数字填写答案）
【分析】方法一：直接法，分类即可求出，
方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．
【解答】解：方法一：直接法，1 女2 男，有C21C42=12，2 女1 男，有C22C41=4
根据分类计数原理可得，共有12+4=16 种，
方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16 种，
故答案为：16
【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题
16．（5.00 分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是
．
【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端
点值，比较可得．
【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x 的一个周期，
故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x 在[0，2π）上的值域，
先来求该函数在[0，2π）上的极值点，
求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），
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令f′（x）=0 可解得cosx=
或cosx=﹣1，
可得此时x=
，π或
；
∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点x=
，π或
和边界点x=0 中取到，
计算可得f（
）=
，f（π）=0，f（
）=﹣
，f（0）=0，
∴函数的最小值为﹣
，
故答案为：
．
【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2
，求BC．
【分析】（1）由正弦定理得
=
，求出sin∠ADB=
，由此能求出cos∠ADB；
（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=
，再由DC=2
，利用余弦定理能求出BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：
=
，即
=
，
∴sin∠ADB=
=
，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB=
=
．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=
，
∵DC=2
，
∴BC=
=
=5．
【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（12.00 分）如图，四边形ABCD 为正方形，E，F 分别为AD，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C
到达点P 的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．
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【分析】（1）利用正方形的性质可得BF 垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．
（2）利用等体积法可求出点P 到面ABCD 的距离，进而求出线面角．
【解答】（1）证明：由题意，点E、F 分别是AD、BC 的中点，
则
，
，
由于四边形ABCD 为正方形，所以EF⊥BC．
由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．
又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．
（2）在平面DEF 中，过P 作PH⊥EF 于点H，联结DH，
由于EF 为面ABCD 和面PEF 的交线，PH⊥EF，
则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．
在三棱锥P﹣DEF 中，可以利用等体积法求PH，
因为DE∥BF 且PF⊥BF，
所以PF⊥DE，
又因为△PDF≌△CDF，
所以∠FPD=∠FCD=90°，
所以PF⊥PD，
由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，
故VF﹣PDE=
，
因为BF∥DA 且BF⊥面PEF，
所以DA⊥面PEF，
所以DE⊥EP．
设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a
在△PDE 中，
，
所以
，
故VF﹣PDE=
，
又因为
，
所以PH=
=
，
所以在△PHD 中，sin∠PDH=
=
，
即∠PDH 为DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为：
．
【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及
计算能力．
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19．（12.00 分）设椭圆C：
+y2=1 的右焦点为F，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，点M 的坐标为（2，0）．
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；
（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．
【分析】（1）先得到F 的坐标，再求出点A 的方程，根据两点式可得直线方程，
（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明．
【解答】解：（1）c=
=1，
∴F（1，0），
∵l 与x 轴垂直，
∴x=1，
由
，解得
或
，
∴A（1.
），或（1，﹣
），
∴直线AM 的方程为y=﹣
x+
，y=
x﹣
，
证明：（2）当l 与x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜
，x2＜
，
直线MA，MB 的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=
+
，
由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k 得kMA+kMB=
，
将y=k（x﹣1）代入
+y2=1 可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=
（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0
从而kMA+kMB=0，
故MA，MB 的倾斜角互补，
∴∠OMA=∠OMB，
综上∠OMA=∠OMB．
【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20．（12.00 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出
不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有
产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的p0 作为p 的值．已知每件产品的检验
费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【
分
析
】
（
1
）
求
出
f
（
p
）
=
，
则
=
，利用导数性质能求出f （p）的最大值
点p0=0.1．
（2）（i）由p=0.1，令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X=20×2+25Y，
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即X=40+25Y，能求出E（X）．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400 元，E（X）=490＞400，从而应该对余下的产
品进行检验．
【解答】解：（1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为f（p），
则f（p）=
，
∴
=
，
令f′（p）=0，得p=0.1，
当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，
当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，
∴f （p）的最大值点p0=0.1．
（2）（i）由（1）知p=0.1，
令Y 表示余下的180 件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），
X=20×2+25Y，即X=40+25Y，
∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400 元，
∵E（X）=490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品
作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=
﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
＜a﹣2．
【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=﹣
﹣1+
=﹣
，
设g（x）=x2﹣ax+1，
当a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞0 时，判别式△=a2﹣4，
①当0＜a≤2 时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
②当a＞2 时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
（0，
）
（
，
）
（
，
+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
递减
递增
递减
综上当a≤2 时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞2 时，在（0，
），和（
，+∞）上是减函数，
则（
，
）上是增函数．
（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，
则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+
）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），
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则
=﹣2+
，
则问题转为证明
＜1 即可，
即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，
则lnx1﹣ln
＞x1﹣
，
即lnx1+lnx1＞x1﹣
，
即证2lnx1＞x1﹣
在（0，1）上恒成立，
设h（x）=2lnx﹣x+
，（0＜x＜1），其中h（1）=0，
求导得h′（x）=
﹣1﹣
=﹣
=﹣
＜0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+
＞0，
故2lnx＞x﹣
，
则
＜a﹣2 成立．
【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本
题的关键．综合性较强，难度较大．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
（1）求C2 的直角坐标方程；
（2）若C1 与C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）曲线C2 的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．
转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，
转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．
（2）由于曲线C1 的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y 轴对称，且恒过定点（0，2）．
由于该直线与曲线C2 的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线y=kx+2 的距离等于半径2．
故：
，或
解得：k=
或0，（0 舍去）或k=
或0
经检验，直线
与曲线C2 没有公共点．
故C1 的方程为：
．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到
直线的距离公式的应用．
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[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，求a 的取值范围．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜
，且a＞0，即可
求出a 的范围．
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=
，
由f（x）＞1，
∴
或
，
解得x＞
，
故不等式f（x）＞1 的解集为（
，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x 成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x＜
，
∴a＜
∵
＞2，
∴0＜a≤2，
故a 的取值范围为（0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
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2018 年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
2．（5.00 分）（1+i）（2﹣i）=（
）
A．﹣3﹣i
B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5.00 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边
的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
可以是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5.00 分）若sinα=
，则cos2α=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
5．（5.00 分）（x2+
）5 的展开式中x4 的系数为（
）
A．10
B．20
C．40
D．80
6．（5.00 分）直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点P 在圆（x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP 面积的取值范
围是（
）
A．[2，6]
B．[4，8]
C．[
，3
]
D．[2
，3
]
7．（5.00 分）函数y=﹣x4+x2+2 的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
D．
8．（5.00 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10
位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（
）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
9．（5.00 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若△ABC 的面积为
，则C=（
）
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A．
B．
C．
D．
10．（5.00 分）设A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9
，则三棱
锥D﹣ABC 体积的最大值为（
）
A．12
B．18
C．24
D．54
11．（5.00 分）设F1，F2 是双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F2 作C 的一条
渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=
|OP|，则C 的离心率为（
）
A．
B．2
C．
D．
12．（5.00 分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（
）
A．a+b＜ab＜0
B．ab＜a+b＜0
C．a+b＜0＜ab
D．ab＜0＜a+b
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ=
．
14．（5.00 分）曲线y=（ax+1）ex 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=
．
15．（5.00 分）函数f（x）=cos（3x+
）在[0，π]的零点个数为
．
16．（5.00 分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两点．若∠
AMB=90°，则k=
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn 为{an}的前n 项和．若Sm=63，求m．
18．（12.00 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比
较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二
组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填
入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19．（12.00 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，D 的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
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20．（12.00 分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：
+
=1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣
；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
+
+
= ．证明：|
|，|
|，|
|成等差数列，并求该数列
的公差．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0；
（2）若x=0 是f（x）的极大值点，求a．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为
，（θ为参数），过点（0，﹣
）且倾斜
角为α的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b 的最小值．
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2018 年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5.00 分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0}
B．{1}
C．{1，2}
D．{0，1，2}
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5.00 分）（1+i）（2﹣i）=（
）
A．﹣3﹣i
B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5.00 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边
的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形
看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3 边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5.00 分）若sinα=
，则cos2α=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα=
，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×
=
．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是基础题．
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5．（5.00 分）（x2+
）5 的展开式中x4 的系数为（
）
A．10
B．20
C．40
D．80
【分析】由二项式定理得（x2+
）5 的展开式的通项为：Tr+1=
（x2）5﹣r（
）r=
，由10﹣3r=4，解得
r=2，由此能求出（x2+
）5 的展开式中x4 的系数．
【解答】解：由二项式定理得（x2+
）5 的展开式的通项为：
Tr+1=
（x2）5﹣r（
）r=
，
由10﹣3r=4，解得r=2，
∴（x2+
）5 的展开式中x4 的系数为
=40．
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式中x4 的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5.00 分）直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，点P 在圆（x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP 面积的取值范
围是（
）
A．[2，6]
B．[4，8]
C．[
，3
]
D．[2
，3
]
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2
，设P（2+
，
），点P 到直线x+y+2=0 的
距离：d=
=
∈[
]，由此能求出△ABP 面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0 分别与x 轴，y 轴交于A，B 两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=
=2
，
∵点P 在圆（x﹣2）2+y2=2 上，∴设P（2+
，
），
∴点P 到直线x+y+2=0 的距离：
d=
=
，
∵sin（
）∈[﹣1，1]，∴d=
∈[
]，
∴△ABP 面积的取值范围是：
[
，
]=[2，6]．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数
关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
7．（5.00 分）函数y=﹣x4+x2+2 的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
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D．
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），
由f′（x）＞0 得2x（2x2﹣1）＜0，
得x＜﹣
或0＜x＜
，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0 得2x（2x2﹣1）＞0，
得x＞
或﹣
＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．
8．（5.00 分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10
位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（
）
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可．
【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），
P（x=4）＜P（X=6），可得
，可得1﹣2p＜0．即p
．
因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6 或p=0.4（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5.00 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若△ABC 的面积为
，则C=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】推导出S△ABC=
=
，从而sinC=
=cosC，由此能求出结果．
【解答】解：∵△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．
△ABC 的面积为
，
∴S△ABC=
=
，
∴sinC=
=cosC，
∵0＜C＜π，∴C=
．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
与方程思想，是基础题．
10．（5.00 分）设A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9
，则三棱
锥D﹣ABC 体积的最大值为（
）
A．12
B．18
C．24
D．54
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【分析】求出，△ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可．
【解答】解：△ABC 为等边三角形且面积为9
，可得
，解得AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：
O′C=
=
，OO′=
=2，
则三棱锥D﹣ABC 高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC 体积的最大值为：
=18
．
故选：B．
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
11．（5.00 分）设F1，F2 是双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O 是坐标原点．过F2 作C 的一条
渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=
|OP|，则C 的离心率为（
）
A．
B．2
C．
D．
【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b ，再求出|OP|=a ，在三角形F1PF2 中，由余弦定理可得
|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整理可得
a=c，问题得以解决．
【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，
∴点F2 到渐近线的距离d=
=b，即|PF2|=b，
∴|OP|=
=
=a，cos∠PF2O=
，
∵|PF1|=
|OP|，
∴|PF1|=
a，
在三角形F1PF2 中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×
=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2=c2，
即
a=c，
∴e=
=
，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．
12．（5.00 分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（
）
A．a+b＜ab＜0
B．ab＜a+b＜0
C．a+b＜0＜ab
D．ab＜0＜a+b
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案．
【解答】解：∵a=log0.20.3=
，b=log20.3=
，
∴
=
，
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，
∵
，
，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5.00 分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ=
．
【分析】利用向量坐标运算法则求出
=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），
∴
=（4，2），
∵=（1，λ），∥（2 + ），
∴
，
解得λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查
函数与方程思想，是基础题．
14．（5.00 分）曲线y=（ax+1）ex 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=
﹣3
．
【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可．
【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，
曲线y=（ax+1）ex 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，
可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力．
15．（5.00 分）函数f（x）=cos（3x+
）在[0，π]的零点个数为
3
．
【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+
）=0，可得3x+
=
+kπ，k∈Z，即x=
+
kπ，即可求出．
【解答】解：∵f（x）=cos（3x+
）=0，
∴3x+
=
+kπ，k∈Z，
∴x=
+
kπ，k∈Z，
当k=0 时，x=
，
当k=1 时，x=
π，
当k=2 时，x=
π，
当k=3 时，x=
π，
∵x∈[0，π]，
∴x=
，或x=
π，或x=
π，
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故零点的个数为3，
故答案为：3
【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题．
16．（5.00 分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A，B 两点．若∠
AMB=90°，则k=
2
．
【分析】由已知可求过A，B 两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2﹣2（2+k2）
x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k．
【解答】解：∵抛物线C：y2=4x 的焦点F（1，0），
∴过A，B 两点的直线方程为y=k（x﹣1），
联立
可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=1，
∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=
，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，
∵M（﹣1，1），
∴
=（x1+1，y1﹣1），
=（x2+1，y2﹣1），
∵∠AMB=90°，∴
•
=0
∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，
整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，
∴1+2+
﹣4﹣
+2=0，
即k2﹣4k+4=0，
∴k=2．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。
17．（12.00 分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn 为{an}的前n 项和．若Sm=63，求m．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式．
（2）当a1=1，q=﹣2 时，Sn=
，由Sm=63，得Sm=
=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2 时，Sn=2n
﹣1，由此能求出m．
【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
∴1×q4=4×（1×q2），
解得q=±2，
当q=2 时，an=2n﹣1，
当q=﹣2 时，an=（﹣2）n﹣1，
∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．
（2）记Sn 为{an}的前n 项和．
当a1=1，q=﹣2 时，Sn=
=
=
，
由Sm=63，得Sm=
=63，m∈N，无解；
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当a1=1，q=2 时，Sn=
=
=2n﹣1，
由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，
解得m=6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
18．（12.00 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比
较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人．第一组工人用第一种生产方式，第二
组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填
入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=
，
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92 之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85 之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79 和81，计算它们的中位数为m=
=80；
由此填写列联表如下；
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
（3）根据（2）中的列联表，计算
K2=
=
=10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12.00 分）如图，边长为2 的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，M 是
上异于C，D 的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
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【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM 即可．
（2）根据三棱锥的体积最大，确定M 的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC，
∵正方形ABCD 所在的平面与半圆弧
所在平面垂直，
∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC，
∵AD∩DM=D，
∴MC⊥平面ADM，
∵MC⊂平面MBC，
∴平面AMD⊥平面BMC．
（2）∵△ABC 的面积为定值，
∴要使三棱锥M﹣ABC 体积最大，则三棱锥的高最大，
此时M 为圆弧的中点，
建立以O 为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵正方形ABCD 的边长为2，
∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），
则平面MCD 的法向量=（1，0，0），
设平面MAB 的法向量为=（x，y，z）
则
=（0，2，0），
=（﹣2，1，1），
由•
=2y=0，•
=﹣2x+y+z=0，
令x=1，
则y=0，z=2，即=（1，0，2），
则cos＜，＞=
=
=
，
则面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值sinα=
=
．
【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法
是解决本题的关键．
20．（12.00 分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C：
+
=1 交于A，B 两点，线段AB 的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣
；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且
+
+
= ．证明：|
|，|
|，|
|成等差数列，并求该数列
的公差．
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【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k=
=﹣
=﹣
又点M（1，m）在椭圆内，即
，解得m 的取值范围，即可得k＜﹣
，
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2
由
+
+
= ，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣
x1，|FB|=2﹣
x2，|FP|=2﹣
x3=
．即
可证明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B 坐标再求公差．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵线段AB 的中点为M（1，m），
∴x1+x2=2，y1+y2=2m
将A，B 代入椭圆C：
+
=1 中，可得
，
两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，
∴k=
=﹣
=﹣
点M（1，m）在椭圆内，即
，
解得0＜m
∴
．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
可得x1+x2=2，
∵
+
+
= ，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，
∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m
∵m＞0，可得P 在第四象限，故y3=﹣
，m=
，k=﹣1
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣
x1，|FB|=2﹣
x2，|FP|=2﹣
x3=
．
则|FA|+|FB|=4﹣
，∴|FA|+|FB|=2|FP|，
联立
，可得|x1﹣x2|=
所以该数列的公差d 满足2d=
|x1﹣x2|=
，
∴该数列的公差为±
．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，
转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题．
21．（12.00 分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0；
（2）若x=0 是f（x）的极大值点，求a．
【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0 即可得出结论；
（2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a 的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a 的值．
【解答】（1）证明：当a=0 时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．
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，
，
可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0
∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴f′（x）≥f′（0）=0，
∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x 在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．
∴当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0．
（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得
f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+
﹣2=
，
令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），
h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．
当a≥0，x＞0 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0 不是f（x）的极大值点，不符合题意．
当a＜0 时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+
，
显然h″（x）单调递减，
①令h″（0）=0，解得a=﹣
．
∴当﹣1＜x＜0 时，h″（x）＞0，当x＞0 时，h″（x）＜0，
∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴h′（x）≤h′（0）=0，
∴h（x）单调递减，又h（0）=0，
∴当﹣1＜x＜0 时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，
当x＞0 时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴x=0 是f（x）的极大值点，符合题意；
②若﹣
＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e
﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e
）＜0，
∴h″（x）=0 在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，
∴当0＜x＜x0 时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，
∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；
③若a＜﹣
，则h″（0）=1+6a＜0，h″（
﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，
∴h″（x）=0 在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，
∴当x1＜x＜0 时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，
∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，
∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．
综上，a=﹣
．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10.00 分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为
，（θ为参数），过点（0，﹣
）且倾斜
角为α的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
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【分析】（1）⊙O 的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=
时，直线l 的方程为x=0，成立；
当α≠
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l 的方程为y=tanα•x+
，从而圆心O（0，0）到直线l 的距离
d=
＜1，进而求出
或
，由此能求出α的取值范围．
（2）设直线l 的方程为x=m（y+
），联立
，得（m2+1）y2+2
+2m2﹣1=0，由此利用韦达定
理、中点坐标公式能求出AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）∵⊙O 的参数方程为
（θ为参数），
∴⊙O 的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α=
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l 的方程为x=0，成立；
当α≠
时，过点（0，﹣
）且倾斜角为α的直线l 的方程为y=tanα•x+
，
∵倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A，B 两点，
∴圆心O（0，0）到直线l 的距离d=
＜1，
∴tan2α＞1，∴tanα＞1 或tanα＜﹣1，
∴
或
，
综上α的取值范围是（
，
）．
（2）由（1）知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=m（y+
），
设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），
联立
，得（m2+1）y2+2
+2m2﹣1=0，
，
=﹣
+2
，
=
，
=﹣
，
∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为
，（m 为参数），（﹣1＜m＜1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角
坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b 的最小值．
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【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣
时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，
当﹣
＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，
当x≥1 时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
则f（x）=
对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0 时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0 时，要使f（x）≤ax+b 恒成立，
则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b 的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y 轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3 且b≥2 时，不等式f（x）≤ax+b 在[0，+∞）上成立，
即a+b 的最小值为5．
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【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键．
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2018 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00 分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0，1}
B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
2．（5.00 分）在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5.00 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5.00 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的
频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（
）
A．
f B．
f
C．
f
D．
f
5 ．（5.00 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（5.00 分）设，均为单位向量，则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
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7．（5.00 分）在平面直角坐标系中，记d 为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0 的距离．当θ、m 变化时，d 的
最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（5.00 分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（
）
A．对任意实数a，（2，1）∈A
B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0 时，（2，1）∉A
D．当且仅当a≤
时，（2，1）∉A
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
9．（5.00 分）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为
．
10．（5.00 分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=
．
11．（5.00 分）设函数f（x）=cos（ωx﹣
）（ω＞0），若f（x）≤f（
）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值
为
．
12．（5.00 分）若x，y 满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x 的最小值是
．
13．（5.00 分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一
个函数是
．
14．（5.00 分）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣
=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M
的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为
；双曲线N 的离心率
为
．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13.00 分）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣
．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
16．（14.00 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A1C1，BB1 的中点，
AB=BC=
，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．
17．（12.00 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k 类电影得到人们喜
欢．“ξk=0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6 的
大小关系．
18．（13.00 分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
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（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2 处取得极小值，求a 的取值范围．
19．（14.00 分）已知抛物线C：y2=2px 经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，
B，且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
=λ
，
=μ
，求证：
+
为定值．
20．（14.00 分）设n 为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A 中的任意
元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），记
M（α，β）=
[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）当n=3 时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；
（Ⅱ）当n=4 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，
β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2 的n，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出
一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
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2018 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5.00 分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（
）
A．{0，1}
B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
【分析】根据集合的基本运算进行计算即可．
【解答】解：A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}，
则A∩B={0，1}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础．
2．（5.00 分）在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：复数
=
=
，
共轭复数对应点的坐标（
，﹣
）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查．
3．（5.00 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用程序框图的应用求出结果．
【解答】解：执行循环前：k=1，S=1．
在执行第一次循环时，S=1﹣
=
．
由于k=2≤3，
所以执行下一次循环．S=
，
k=3，直接输出S=
，
故选：B．
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【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用．
4．（5.00 分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的
频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（
）
A．
f B．
f
C．
f
D．
f
【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可．
【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．
若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：
=
．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力．
5 ．（5.00 分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果．
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC=
，CD=
，
PC=3，PD=2
，可得三角形PCD 不是直角三角形．
所以侧面中有3 个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查．
6．（5.00 分）设，均为单位向量，则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．
【解答】解：∵“| ﹣3 |=|3 + |”
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∴平方得|
|2+9| |2﹣6 • =9|
|2+| |2+6 • ，
即1+9﹣6 • =9+1+6 • ，
即12 • =0，
则• =0，即⊥，
则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．
7．（5.00 分）在平面直角坐标系中，记d 为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0 的距离．当θ、m 变化时，d 的
最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由题意d=
=
，当sin（θ+α）=﹣1 时，dmax=1+
≤3．由
此能求出d 的最大值．
【解答】解：由题意d=
=
，tanα=﹣
，
∴当sin（θ+α）=﹣1 时，
dmax=1+
≤3．
∴d 的最大值为3．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运
算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
8．（5.00 分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（
）
A．对任意实数a，（2，1）∈A
B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0 时，（2，1）∉A
D．当且仅当a≤
时，（2，1）∉A
【分析】利用a 的取值，反例判断（2，1）∈A 是否成立即可．
【解答】解：当a=﹣1 时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y
≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C 不正确；
当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）
在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了．
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
9．（5.00 分）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为
an=6n﹣3
．
【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{an}的通项公式．
【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，
∴
，
解得a1=3，d=6，
∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．
∴{an}的通项公式为an=6n﹣3．
故答案为：an=6n﹣3．
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
10．（5.00 分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=
1+
．
【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．
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【解答】解：圆ρ=2cosθ，
转化成：ρ2=2ρcosθ，
进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，
把直线ρ（cosθ+sinθ）=a 的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0．
由于直线和圆相切，
所以：利用圆心到直线的距离等于半径．
则：
=1，
解得：a=1±
．a＞0
则负值舍去．
故：a=1+
．
故答案为：1+
．
【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．
11．（5.00 分）设函数f（x）=cos（ωx﹣
）（ω＞0），若f（x）≤f（
）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值
为
．
【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．
【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣
）（ω＞0），若f（x）≤f（
）对任意的实数x 都成立，
可得：
，k∈Z，解得ω=
，k∈Z，ω＞0
则ω的最小值为：
．
故答案为：
．
【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．
12．（5.00 分）若x，y 满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x 的最小值是
3
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2y﹣x，则y=
x+
z，
平移y=
x+
z，
由图象知当直线y=
x+
z 经过点A 时，
直线的截距最小，此时z 最小，
由
得
，即A（1，2），
此时z=2×2﹣1=3，
故答案为：3
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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．
13．（5.00 分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一
个函数是
f（x）=sinx
．
【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．
【解答】解：例如f（x）=sinx，
尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，
当x∈[0，
）上为增函数，在（
，2]为减函数，
故答案为：f（x）=sinx．
【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题．
14．（5.00 分）已知椭圆M：
+
=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣
=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M
的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为
；双曲线N 的离心率
为
2
．
【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲
线的离心率即可．
【解答】解：椭圆M：
+
=1（a＞b＞0），双曲线N：
﹣
=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四
个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（
，
），可得：
，可得
，
可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
解得e=
．
同时，双曲线的渐近线的斜率为
，即
，
可得：
，即
，
可得双曲线的离心率为e=
=2．
故答案为：
；2．
【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
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15．（13.00 分）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣
．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可．
（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A 是锐角，
∵cosB=﹣
，∴sinB=
=
=
，
由正弦定理得
=
得sinA=
=
=
，
则A=
．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2×7×c×
，
即c2+2c﹣15=0，
得（c﹣3）（c+5）=0，
得c=3 或c=﹣5（舍），
则AC 边上的高h=csinA=3×
=
．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．
16．（14.00 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G 分别为AA1，AC，A1C1，BB1 的中点，
AB=BC=
，AC=AA1=2．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．
【分析】（I）证明AC⊥BE，AC⊥EF 即可得出AC⊥平面BEF；
（II）建立坐标系，求出平面BCD 的法向量，通过计算与
的夹角得出二面角的大小；
（III）计算
与的数量积即可得出结论．
【解答】（I）证明：∵E，F 分别是AC，A1C1 的中点，∴EF∥CC1，
∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，
∵AB=BC，E 是AC 的中点，
∴BE⊥AC，
又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，
∴AC⊥平面BEF．
（II）解：以E 为原点，以EB，EC，EF 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），
∴
=（﹣2，1，0），
=（0，﹣2，1），
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设平面BCD 的法向量为=（x，y，z），则
，即
，
令y=2 可得=（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1，
∴
=（2，0，0）为平面CD﹣C1 的一个法向量，
∴cos＜，
＞=
=
=
．
由图形可知二面角B﹣CD﹣C1 为钝二面角，
∴二面角B﹣CD﹣C1 的余弦值为﹣
．
（III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），∴
=（2，0，﹣1），
∴
• =2+0﹣4=﹣2≠0，
∴
与不垂直，
∴FG 与平面BCD 不平行，又FG⊄平面BCD，
∴FG 与平面BCD 相交．
【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．
17．（12.00 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获得好评的概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk=1”表示第k 类电影得到人们喜
欢．“ξk=0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6 的
大小关系．
【分析】（Ⅰ）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解．
（Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，恰有1 部获得好评”，第四类获得好评的有
50 部，第五类获得好评的有160 部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获
得好评的概率．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk=
，则ξk 服从两点分布，分别求出六
类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6 的大小关系．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，
总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000 部，
第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50 部，
∴从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：
P（A）=
=0.025．
（Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，恰有1 部获得好评”，
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第四类获得好评的有：200×0.25=50 部，
第五类获得好评的有：800×0.2=160 部，
则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估计恰有1 部获得好评的概率：
P（B）=
=0.35．
（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：
ξk=
，
则ξk 服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：
第一类电影：
ξ1
1
0
P
0.4
0.6
E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4，
D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24．
第二类电影：
ξ2
1
0
P
0.2
0.8
E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第三类电影：
ξ3
1
0
P
0.15
0.85
E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15，
D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275．
第四类电影：
ξ4
1
0
P
0.25
0.75
E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15，
D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875．
第五类电影：
ξ5
1
0
P
0.2
0.8
E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2，
D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16．
第六类电影：
ξ6
1
0
P
0.1
0.9
E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1，
D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09．
∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6 的大小关系为：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等基础知识，考查运
算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
18．（13.00 分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2 处取得极小值，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f′（1）=0，解方程可得a 的值；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=
，a＞
，0＜a＜
，a＜0，由极小值的定义，即可得到
所求a 的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex 的导数为
f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，
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解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a=0 则x＜2 时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．
x=2 处f（x）取得极大值，不符题意；
若a＞0，且a=
，则f′（x）=
（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；
若a＞
，则
＜2，f（x）在（
，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，
）递增，
可得f（x）在x=2 处取得极小值；
若0＜a＜
，则
＞2，f（x）在（2，
）递减；在（
，+∞），（﹣∞，2）递增，
可得f（x）在x=2 处取得极大值，不符题意；
若a＜0，则
＜2，f（x）在（
，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，
）递减，
可得f（x）在x=2 处取得极大值，不符题意．
综上可得，a 的范围是（
，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
19．（14.00 分）已知抛物线C：y2=2px 经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A，
B，且直线PA 交y 轴于M，直线PB 交y 轴于N．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，
=λ
，
=μ
，求证：
+
为定值．
【分析】（Ⅰ）将P 代入抛物线方程，即可求得p 的值，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k
的取值范围；
（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ=1﹣yM，μ=1﹣yN，求得直线PA 的方程，令x=0，求得M 点坐标，同理求得
N 点坐标，根据韦达定理即可求得
+
为定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px 经过点
P（1，2），∴4=2p，解得p=2，
设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程组可得
，
消y 可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，
∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0 解得k＜1，
且k≠0，x1+x2=﹣
，x1x2=
，
故直线l 的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），
则
=（0，yM﹣1），
=（0，﹣1）
因为
=λ
，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN，
直线PA 的方程为y﹣2=
（x﹣1）=
（x﹣1）=
（x﹣1），
令x=0，得yM=
，同理可得yN=
，
因
为
+
=
+
=
+
=
=
=
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=
=
=2，
∴
+
=2，∴
+
为定值．
【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属
于中档题．
20．（14.00 分）设n 为正整数，集合A={α|α=（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}，对于集合A 中的任意
元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…yn），记
M（α，β）=
[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]
（Ⅰ）当n=3 时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；
（Ⅱ）当n=4 时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，
β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2 的n，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出
一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算．
（Ⅱ）注意到1 的个数的奇偶性，根据定义反证证明．
（Ⅲ）根据抽屉原理即可得证．
【解答】解：（I ）M（α，α）=1+1+0=2，M（α，β）=0+1+0=1．
（II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的
分别为0、
0、0、1，
所以B 中的每个元素应有奇数个1，
所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），
（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），
对于任意两个只有1 个1 的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，
所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足题意，
假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少1 个含有3 个1 的元素α，
则互补元素中含有1 个1 的元素β与之满足M（α，β）=1 不合题意，
故B 中元素个数的最大值为4．
（Ⅲ）B={（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，
（0，0，0，…，1）}，
此时B 中有n+1 个元素，下证其为最大．
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对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在B 有多于n+1 个元素，由于α=（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M（α，β）=0，
所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1 个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi=yi=l，此时M（α，β）≥1 不满足题意，
故B 中最多有n+1 个元素．
【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大．
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2017 年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（
）
A．{2}
B．{1，2，4}
C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
2．（5 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=x+y 的最大值为（
）
A．
B．1
C．
D．3
3．（5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（5 分）设θ∈R，则“|θ﹣
|＜
”是“sinθ＜
”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为
．若经过F 和P（0，4）两点的直线
平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（
）
A．
=1
B．
=1
C．
=1
D．
=1
6．（5 分）已知奇函数f（x）在R 上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，
c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
7．（5 分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
）=2，f（
）=0，且f（x）的
最小正周期大于2π，则（
）
A．ω=
，φ=
B．ω=
，φ=﹣
C．ω=
，φ=﹣
D．ω=
，φ=
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8．（5 分）已知函数f（x）=
，设a∈R，若关于x 的不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，则a 的
取值范围是（
）
A．[﹣
，2]
B．[﹣
，
] C．[﹣2
，2]
D．[﹣2
，
]
二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5 分）已知a∈R，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为
．
10．（5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
．
11．（5 分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣
）+1=0 与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为
．
12．（5 分）若a，b∈R，ab＞0，则
的最小值为
．
13．（5 分）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若
=2
，
=λ
﹣
（λ∈R），且
=﹣4，则λ的值
为
．
14．（5 分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的
四位数一共有
个．（用数字作答）
三.解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=
．
（Ⅰ）求b 和sinA 的值；
（Ⅱ）求sin（2A+
）的值．
16．（13 分）从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别
为
，
，
．
（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率．
17．（13 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N 分别为棱PA，PC，BC 的中点，
M 是线段AD 的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
，求线段AH 的长．
18．（13 分）已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn（n∈N
+），{bn}是首项为2 的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，
b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n 项和（n∈N
+）．
19．（14 分）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为
．已知A 是抛物线y2=2px（p
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＞0）的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为
．
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l 上两点P，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B（B 异于A），直线BQ 与x 轴相交于点D．若△
APD 的面积为
，求直线AP 的方程．
20．（14 分）设a∈Z，已知定义在R 上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）
为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且
∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|
﹣x0|≥
．
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2017 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（
）
A．{2}
B．{1，2，4}
C．{1，2，4，5} D．{x∈R|﹣1≤x≤5}
【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．
【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，
又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．
故选：B．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
2．（5 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=x+y 的最大值为（
）
A．
B．1
C．
D．3
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：变量x，y 满足约束条件
的可行域如图：
目标函数z=x+y 结果可行域的A 点时，目标函数取得最大值，
由
可得A（0，3），目标函数z=x+y 的最大值为：3．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．
3．（5 分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（
）
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A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
【解答】解：第一次N=24，能被3 整除，N=
≤3 不成立，
第二次N=8，8 不能被3 整除，N=8﹣1=7，N=7≤3 不成立，
第三次N=7，不能被3 整除，N=7﹣1=6，N=
=2≤3 成立，
输出N=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
4．（5 分）设θ∈R，则“|θ﹣
|＜
”是“sinθ＜
”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可
得到结论．
【解答】解：|θ﹣
|＜
⇔﹣
＜θ﹣
＜
⇔0＜θ＜
，
sinθ＜
⇔﹣
+2kπ＜θ＜
+2kπ，k∈Z，
则（0，
）⊊（﹣
+2kπ，
+2kπ），k∈Z，
可得“|θ﹣
|＜
”是“sinθ＜
”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关
键，属于基础题．
5．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为
．若经过F 和P（0，4）两点的直线
平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（
）
A．
=1
B．
=1
C．
=1
D．
=1
【分析】由双曲线的离心率为
，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求
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得c 的值，求得a 和b 的值，即可求得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e=
=
，c=
a，
则双曲线为等轴双曲线，即a=b，
双曲线的渐近线方程为y=±
x=±x，
则经过F 和P（0，4）两点的直线的斜率k=
=
，
则
=1，c=4，则a=b=2
，
∴双曲线的标准方程：
；
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．
6．（5 分）已知奇函数f（x）在R 上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，
c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【分析】由奇函数f（x）在R 上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）
=g（log25.1），则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c
【解答】解：奇函数f（x）在R 上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，
∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），
则2＜log25.1＜3，1＜20.8＜2，
由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），
∴b＜a＜c，
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．
7．（5 分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（
）=2，f（
）=0，且f（x）的
最小正周期大于2π，则（
）
A．ω=
，φ=
B．ω=
，φ=﹣
C．ω=
，φ=﹣
D．ω=
，φ=
【分析】由题意求得
，再由周期公式求得ω，最后由若f（
）=2 求得φ值．
【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得
，
又f（
）=2，f（
）=0，得
，
∴T=3π，则
，即
．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（
x+φ），
由f（
）=
，得sin（φ+
）=1．
∴φ+
=
，k∈Z．
取k=0，得φ=
＜π．
∴
，φ=
．
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故选：A．
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．
8．（5 分）已知函数f（x）=
，设a∈R，若关于x 的不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，则a 的
取值范围是（
）
A．[﹣
，2]
B．[﹣
，
] C．[﹣2
，2]
D．[﹣2
，
]
【分析】讨论当x≤1 时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+
x﹣3≤a≤x2﹣
x+3，再由二次函数
的最值求法，可得a 的范围；讨论当x＞1 时，同样可得﹣（
x+
）≤a≤
+
，再由基本不等式可得最值，可得
a 的范围，求交集即可得到所求范围．
【解答】解：当x≤1 时，关于x 的不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，
即为﹣x2+x﹣3≤
+a≤x2﹣x+3，
即有﹣x2+
x﹣3≤a≤x2﹣
x+3，
由y=﹣x2+
x﹣3 的对称轴为x=
＜1，可得x=
处取得最大值﹣
；
由y=x2﹣
x+3 的对称轴为x=
＜1，可得x=
处取得最小值
，
则﹣
≤a≤
①
当x＞1 时，关于x 的不等式f（x）≥|
+a|在R 上恒成立，
即为﹣（x+
）≤
+a≤x+
，
即有﹣（
x+
）≤a≤
+
，
由y=﹣（
x+
）≤﹣2
=﹣2
（当且仅当x=
＞1）取得最大值﹣2
；
由y=
x+
≥2
=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．
则﹣2
≤a≤2②
由①②可得，﹣
≤a≤2．
另解：作出f（x）的图象和折线y=|
+a|
当x≤1 时，y=x2﹣x+3 的导数为y′=2x﹣1，
由2x﹣1=﹣
，可得x=
，
切点为（
，
）代入y=﹣
﹣a，解得a=﹣
；
当x＞1 时，y=x+
的导数为y′=1﹣
，
由1﹣
=
，可得x=2（﹣2 舍去），
切点为（2，3），代入y=
+a，解得a=2．
由图象平移可得，﹣
≤a≤2．
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故选：A．
【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的
运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．
二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.
9．（5 分）已知a∈R，i 为虚数单位，若
为实数，则a 的值为
﹣2
．
【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简
，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所
求值．
【解答】解：a∈R，i 为虚数单位，
=
=
=
﹣
i
由
为实数，
可得﹣
=0，
解得a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，
属于基础题．
10．（5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为
．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，
∵这个正方体的表面积为18，
∴6a2=18，
则a2=3，即a=
，
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，
∴正方体的体对角线等于球的直径，
即
a=2R，
即R=
，
则球的体积V=
π•（
）3=
；
故答案为：
．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的
关键．
11．（5 分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣
）+1=0 与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为
2
．
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【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．
【解答】解：直线4ρcos（θ﹣
）+1=0 展开为：4ρ
+1=0，化为：2
x+2y+1=0．
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．
∴圆心C（0，1）到直线的距离d=
=
＜1=R．
∴直线4ρcos（θ﹣
）+1=0 与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
12．（5 分）若a，b∈R，ab＞0，则
的最小值为
4
．
【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
【方法二】将
拆成
+
，利用柯西不等式求出最小值．
【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，
∴
≥
=
=4ab+
≥2
=4，
当且仅当
，
即
，
即a=
，b=
或a=﹣
，b=﹣
时取“=”；
∴上式的最小值为4．
【解法二】a，b∈R，ab＞0，
∴
=
+
+
+
≥4
=4，
当且仅当
，
即
，
即a=
，b=
或a=﹣
，b=﹣
时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
13．（5 分）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若
=2
，
=λ
﹣
（λ∈R），且
=﹣4，则λ的值为
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．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用
、
表示出
，
再根据平面向量的数量积
列出方程求出λ的值．
【解答】解：如图所示，
△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2
，
∴
=
+
=
+
=
+
（
﹣
）
=
+
，
又
=λ
﹣
（λ∈R），
∴
=（
+
）•（λ
﹣
）
=（
λ﹣
）
•
﹣
+
λ
=（
λ﹣
）×3×2×cos60°﹣
×32+
λ×22=﹣4，
∴
λ=1，
解得λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
14．（5 分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的
四位数一共有
1080
个．（用数字作答）
【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2 种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、
四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2 种情况讨论：
①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9 种任选4 个，组成一共四位数即可，
有A54=120 种情况，即有120 个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字，
在1、3、5、7、9 种选出3 个，在2、4、6、8 中选出1 个，有C53•C41=40 种取法，
将取出的4 个数字全排列，有A44=24 种顺序，
则有40×24=960 个只有一个偶数数字的四位数；
则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080 个；
故答案为：1080．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．
三.解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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15．（13 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=
．
（Ⅰ）求b 和sinA 的值；
（Ⅱ）求sin（2A+
）的值．
【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵a＞b，
故由sinB=
，可得cosB=
．
由已知及余弦定理，有
=13，
∴b=
．
由正弦定理
，得sinA=
．
∴b=
，sinA=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=
，∴sin2A=2sinAcosA=
，
cos2A=1﹣2sin2A=﹣
．
故sin（2A+
）=
=
．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．
16．（13 分）从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别
为
，
，
．
（Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1 个红灯的概率．
【分析】（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，
写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．
【解答】解：（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3；
则P（X=0）=（1﹣
）×（1﹣
）（1﹣
）=
，
P（X=1）=
×（1﹣
）×（1﹣
）+（1﹣
）×
×（1﹣
）+（1﹣
）×（1﹣
）×
=
，
P（X=2）=（1﹣
）×
×
+
×（1﹣
）×
+
×
×（1﹣
）=
，
P（X=3）=
×
×
=
；
所以，随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X 的数学期望为E（X）=0×
+1×
+2×
+3×
=
；
（Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，
则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）
=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）
=
×
+
×
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=
；
所以，这2 辆车共遇到1 个红灯的概率为
．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
17．（13 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N 分别为棱PA，PC，BC 的中点，
M 是线段AD 的中点，PA=AC=4，AB=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
，求线段AH 的长．
【分析】（Ⅰ）取AB 中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，
则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A 为原点，分别以AB、AC、AP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐
标系．求出平面MEN 与平面CME 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N 的余弦值，进一
步求得正弦值；
（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出
的坐标，结合直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
列式求得线
段AH 的长．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB 中点F，连接MF、NF，
∵M 为AD 中点，∴MF∥BD，
∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．
∵N 为BC 中点，∴NF∥AC，
又D、E 分别为AP、PC 的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．
∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．
又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
∴以A 为原点，分别以AB、AC、AP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AC=4，AB=2，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），
则
，
，
设平面MEN 的一个法向量为
，
由
，得
，取z=2，得
．
由图可得平面CME 的一个法向量为
．
∴cos＜
＞=
．
∴二面角C﹣EM﹣N 的余弦值为
，则正弦值为
；
（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），
，
．
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∵直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
，
∴|cos＜
＞|=|
|=|
|=
．
解得：t=
或t=
．
∴线段AH 的长为
或
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．
18．（13 分）已知{an}为等差数列，前n 项和为Sn（n∈N
+），{bn}是首项为2 的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，
b3=a4﹣2a1，S11=11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n 项和（n∈N
+）．
【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．
又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n．
由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．
由S11=11b4，可得a1+5d=16②，
联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．
所以，数列{an}的通项公式为an=3n﹣2，数列{bn}的通项公式为bn=2n．
（II）设数列{a2nb2n﹣1}的前n 项和为Tn，
由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=
4n，有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n，
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，
上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1
=
=﹣（3n﹣2）4n+1﹣8
得Tn=
．
所以，数列{a2nb2n﹣1}的前n 项和为
．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．
19．（14 分）设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为
．已知A 是抛物线y2=2px（p
＞0）的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为
．
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
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（II）设l 上两点P，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B（B 异于A），直线BQ 与x 轴相交于点D．若△
APD 的面积为
，求直线AP 的方程．
【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p 即可得出方程；
（II）设AP 方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q 三点坐标，从而得出直线BQ 的方程，解出D 点坐标，根据
三角形的面积列方程解出m 即可得出答案．
【解答】（Ⅰ）解：设F 的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得
，
解得a=1，c=
，p=2，于是b2=a2﹣c2=
．
所以，椭圆的方程为x2+
=1，抛物线的方程为y2=4x．
（Ⅱ）解：直线l 的方程为x=﹣1，设直线AP 的方程为x=my+1（m≠0），
联立方程组
，解得点P（﹣1，﹣
），故Q（﹣1，
）．
联立方程组
，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣
．
∴B（
，
）．
∴直线BQ 的方程为（
﹣
）（x+1）﹣（
）（y﹣
）=0，
令y=0，解得x=
，故D（
，0）．
∴|AD|=1﹣
=
．
又∵△APD 的面积为
，∴
×
=
，
整理得3m2﹣2
|m|+2=0，解得|m|=
，∴m=±
．
∴直线AP 的方程为3x+
y﹣3=0，或3x﹣
y﹣3=0．
【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
20．（14 分）设a∈Z，已知定义在R 上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）
为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且
∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|
﹣x0|≥
．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出
单调区间即可．
（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且
，令m=
，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
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由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|
﹣x0|=
≥
=
．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，
进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=
．
当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，﹣1）
（﹣1，
）
（
，+∞）
g′（x）
+
﹣
+
g（x）
↗
↘
↗
所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（
，+∞），单调递减区间是（﹣1，
）．
（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），
h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．
由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，
故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；
当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．
因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0 即h（m）＞0，
令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，
故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，
当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0 即h（x0）＜0，．
所以，h（m）h（x0）＜0．
（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且
，
令m=
，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；
当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．
所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（
﹣x0）﹣f（
）=0．
由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），
于是|
﹣x0|=
≥
=
．
因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在区间[1，2]上除x0 外没有其他的零点，而
≠x0，故f（
）≠0．
又因为p，q，a 均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，
从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．
所以|
﹣x0|≥
．所以，只要取A=g（2），就有|
﹣x0|≥
．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想
的应用，是难度比较大的题目．
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2017 年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.
1．（5 分）设函数y=
的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（
）
A．（1，2）
B．（1，2]
C．（﹣2，1）
D．[﹣2，1）
2．（5 分）已知a∈R，i 是虚数单位，若z=a+
i，z• =4，则a=（
）
A．1 或﹣1
B．
或﹣
C．﹣
D．
3．（5 分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（
）
A．p∧q B．p∧￢q
C．￢p∧q
D．￢p∧￢q
4．（5 分）已知x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最大值是（
）
A．0
B．2
C．5
D．6
5．（5 分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，
根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为
=
x+
，已知
xi=22.5，
yi=160，
=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（
）
A．160
B．163
C．166
D．170
6．（5 分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次
输出的a 值分别为（
）
A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
7．（5 分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（
）
A．a+
＜
＜log2（a+b））
B．
＜log2（a+b）＜a+
C．a+
＜log2（a+b）＜
D．log2（a+b））＜a+
＜
8．（5 分）从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1 张，则抽到在2 张卡片上的
数奇偶性不同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
9．
（5 分）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，
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则下列等式成立的是（
）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
10．（5 分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=
+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的
取值范围是（
）
A．（0，1]∪[2
，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）
C．（0，
）∪[2
，+∞）
D．（0，
]∪[3，+∞）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分
11．（5 分）已知（1+3x）n 的展开式中含有x2 的系数是54，则n=
．
12．
（5 分）已知
，
是互相垂直的单位向量，若
﹣
与
+λ
的夹角为60°，则实数λ的值是
．
13．（5 分）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
．
14．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞
0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
．
15．（5 分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有
M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为
．
①f（x）=2
﹣x②f（x）=3
﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（12 分）设函数f（x）=sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已知f（
）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
个单
位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
，
]上的最小值．
17．（12 分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°
得到的，G 是
的中点．
（Ⅰ）设P 是
上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2 时，求二面角E﹣AG﹣C 的大小．
18．（12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验
的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示
后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6 和4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，
从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含B1 的概率．
（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．
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19．（12 分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，
求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1 所围成的区域的面积Tn．
20．（13 分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
21．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣
交椭圆E 于A，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为k2，且k1k2=
，
M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为
S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．
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2017 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.
1．（5 分）设函数y=
的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（
）
A．（1，2）
B．（1，2]
C．（﹣2，1）
D．[﹣2，1）
【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A 和B，即可求得A∩B．
【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=
的定义域[﹣2，2]，
由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），
则A∩B=[﹣2，1），
故选：D．
【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．
2．（5 分）已知a∈R，i 是虚数单位，若z=a+
i，z• =4，则a=（
）
A．1 或﹣1
B．
或﹣
C．﹣
D．
【分析】求得z 的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a 的值．
【解答】解：由z=a+
i，则z 的共轭复数=a﹣
i，
由z• =（a+
i）（a﹣
i）=a2+3=4，则a2=1，解得：a=±1，
∴a 的值为1 或﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题．
3．（5 分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（
）
A．p∧q B．p∧￢q
C．￢p∧q
D．￢p∧￢q
【分析】由对数函数的性质可知命题p 为真命题，则￢p 为假命题，命题q 是假命题，则￢q 是真命题．因此p∧
￢q 为真命题．
【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；
取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题．
∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．
4．（5 分）已知x，y 满足约束条件
，则z=x+2y 的最大值是（
）
A．0
B．2
C．5
D．6
【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是
由
解得的点A 的坐标，
代入目标函数求出最大值．
【解答】解：画出约束条件
表示的平面区域，如图所示；
由
解得A（﹣3，4），
此时直线y=﹣
x+
z 在y 轴上的截距最大，
所以目标函数z=x+2y 的最大值为
zmax=﹣3+2×4=5．
故选：C．
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【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．
5．（5 分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，
根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为
=
x+
，已知
xi=22.5，
yi=160，
=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（
）
A．160
B．163
C．166
D．170
【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24 代入回归直线方程
即可估计其身高．
【解答】解：由线性回归方程为=4x+ ，
则=
xi=22.5，=
yi=160，
则数据的样本中心点（22.5，160），
由回归直线方程样本中心点，则= ﹣4x=160﹣4×22.5=70，
∴回归直线方程为=4x+70，
当x=24 时，=4×24+70=166，
则估计其身高为166，
故选：C．
【点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．
6．（5 分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次，第二次
输出的a 值分别为（
）
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A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0
【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．
【解答】解：当输入的x 值为7 时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x 能被b 整数，故b=3；
第二次，满足b2＞x，故输出a=1；
当输入的x 值为9 时，
第一次，不满足b2＞x，也不满足x 能被b 整数，故b=3；
第二次，不满足b2＞x，满足x 能被b 整数，故输出a=0；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．
7．（5 分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（
）
A．a+
＜
＜log2（a+b））
B．
＜log2（a+b）＜a+
C．a+
＜log2（a+b）＜
D．log2（a+b））＜a+
＜
【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=
．代入计算即可得出大小关系．
【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，
∴可取a=2，b=
．
则
=4，
=
=
，log2（a+b）=
=
∈（1，2），
∴
＜log2（a+b）＜a+
．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5 分）从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1 张，则抽到在2 张卡片上的
数奇偶性不同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
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【解答】解：从分别标有1，2，…，9 的9 张卡片中不放回地随机抽取2 次，共有
=36 种不同情况，
且这些情况是等可能发生的，
抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的情况有
=20 种，
故抽到在2 张卡片上的数奇偶性不同的概率P=
=
，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础题．
9．
（5 分）在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，
则下列等式成立的是（
）
A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A
【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．
【解答】解：在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin
（A+C）=sinAcosC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC 为锐角三角形，所以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．
故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．
10．（5 分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2 的图象与y=
+m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的
取值范围是（
）
A．（0，1]∪[2
，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）
C．（0，
）∪[2
，+∞）
D．（0，
]∪[3，+∞）
【分析】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，
）为减函数，（
，+
∞）为增函数，分2 种情况讨论：①、当0＜m≤1 时，有
≥1，②、当m＞1 时，有
＜1，结合图象分析两个函
数的单调性与值域，可得m 的取值范围，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由于m 为正数，y=（mx﹣1）2 为二次函数，在区间（0，
）为减函数，（
，+∞）为增
函数，
函数y=
+m 为增函数，
分2 种情况讨论：
①、当0＜m≤1 时，有
≥1，
在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m﹣1）2，1]，
函数y=
+m 为增函数，其值域为[m，1+m]，
此时两个函数的图象有1 个交点，符合题意；
②、当m＞1 时，有
＜1，
y=（mx﹣1）2 在区间（0，
）为减函数，（
，1）为增函数，
函数y=
+m 为增函数，其值域为[m，1+m]，
若两个函数的图象有1 个交点，则有（m﹣1）2≥1+m，
解可得m≤0 或m≥3，
又由m 为正数，则m≥3；
综合可得：m 的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m 的分类讨论．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分
11．（5 分）已知（1+3x）n 的展开式中含有x2 的系数是54，则n=
4
．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：（1+3x）n 的展开式中通项公式：Tr+1=
（3x）r=3r
xr．
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∵含有x2 的系数是54，∴r=2．
∴
=54，可得
=6，∴
=6，n∈N*．
解得n=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．
（5 分）已知
，
是互相垂直的单位向量，若
﹣
与
+λ
的夹角为60°，则实数λ的值是
．
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
【解答】解：【方法一】由题意，设
=（1，0），
=（0，1），
则
﹣
=（
，﹣1），
+λ
=（1，λ）；
又夹角为60°，
∴（
﹣
）•（
+λ
）=
﹣λ=2×
×cos60°，
即
﹣λ=
，
解得λ=
．
【方法二】
，
是互相垂直的单位向量，
∴|
|=|
|=1，且
•
=0；
又
﹣
与
+λ
的夹角为60°，
∴（
﹣
）•（
+λ
）=|
﹣
|×|
+λ
|×cos60°，
即
+（
﹣1）
•
﹣λ
=
×
×
，
化简得
﹣λ=
×
×
，
即
﹣λ=
，
解得λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
13．（5 分）由一个长方体和两个
圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为
2+
．
【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1 圆柱的
，根据长方体及圆
柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，
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圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2=
×π×12×1=
，
则该几何体的体积V=V1+2V1=2+
，
故答案为：2+
．
【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题．
14．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞
0）交于A，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为
y=±
x
．
【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线
=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关
系、抛物线的定义及其性质即可得出．
【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线
=1（a＞0，b＞0），
可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，
∴yA+yB=
，
∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2×
=4×
，
∴
=p，
∴
=
．
∴该双曲线的渐近线方程为：y=±
x．
故答案为：y=±
x．
【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
15．（5 分）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有
M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为
①④
．
①f（x）=2
﹣x②f（x）=3
﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．
【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．
【解答】解：对于①，f（x）=2
﹣x，则g（x）=exf（x）=
为实数集上的增函数；
对于②，f（x）=3
﹣x，则g（x）=exf（x）=
为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3，则g（x）=exf（x）=ex•x3，
g′（x）=ex•x3+3ex•x2=ex（x3+3x2）=ex•x2（x+3），当x＜﹣3 时，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定义域R 上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0 在实数集R 上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定义域R 上是增函数．
∴具有M 性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
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16．（12 分）设函数f（x）=sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已知f（
）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
个单
位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
，
]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（
）=0 求出ω的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣
，
]时g（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣
）+sin（ωx﹣
）
=sinωxcos
﹣cosωxsin
﹣sin（
﹣ωx）
=
sinωx﹣
cosωx
=
sin（ωx﹣
），
又f（
）=
sin（
ω﹣
）=0，
∴
ω﹣
=kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
sin（2x﹣
），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数y=
sin（x﹣
）的图象；
再将得到的图象向左平移
个单位，得到y=
sin（x+
﹣
）的图象，
∴函数y=g（x）=
sin（x﹣
）；
当x∈[﹣
，
]时，x﹣
∈[﹣
，
]，
∴sin（x﹣
）∈[﹣
，1]，
∴当x=﹣
时，g（x）取得最小值是﹣
×
=﹣
．
【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．
17．（12 分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°
得到的，G 是
的中点．
（Ⅰ）设P 是
上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；
（Ⅱ）当AB=3，AD=2 时，求二面角E﹣AG﹣C 的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；
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（Ⅱ）法一、取
的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH 为菱形，取AG 中点M，连接EM，CM，EC，
得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC 为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C 的大小．
法二、以B 为坐标原点，分别以BE，BP，BA 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C 的坐
标，进一步求出平面AEG 与平面ACG 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C 的大小．
【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，
∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，
∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，
因此∠CBP=30°；
（Ⅱ）解法一、
取
的中点H，连接EH，GH，CH，
∵∠EBC=120°，∴四边形BECH 为菱形，
∴AE=GE=AC=GC=
．
取AG 中点M，连接EM，CM，EC，
则EM⊥AG，CM⊥AG，
∴∠EMC 为所求二面角的平面角．
又AM=1，∴EM=CM=
．
在△BEC 中，由于∠EBC=120°，
由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，
∴
，因此△EMC 为等边三角形，
故所求的角为60°．
解法二、以B 为坐标原点，分别以BE，BP，BA 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系．
由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，
，3），C（﹣1，
，0），
故
，
，
．
设
为平面AEG 的一个法向量，
由
，得
，取z1=2，得
；
设
为平面ACG 的一个法向量，
由
，可得
，取z2=﹣2，得
．
∴cos＜
＞=
．
∴二面角E﹣AG﹣C 的大小为60°．
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【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的
大小，是中档题．
18．（12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验
的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示
后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6 和4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，
从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含B1 的概率．
（Ⅱ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX．
【分析】（1）利用组合数公式计算概率；
（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．
【解答】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1 但不包含B1 的事件为M，
则P（M）=
=
．
（II）X 的可能取值为：0，1，2，3，4，
∴P（X=0）=
=
，
P（X=1）=
=
，
P（X=2）=
=
，
P（X=3）=
=
，
P（X=4）=
=
．
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X 的数学期望EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=2．
【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学期望，属于中档题．
19．（12 分）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1（x1，1），P2（x2，2）…Pn+1（xn+1，n+1）得到折线P1 P2…Pn+1，
求由该折线与直线y=0，x=x1，x=xn+1 所围成的区域的面积Tn．
【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；
（II）从各点向x 轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．
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【解答】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，
由题意得
，
两式相比得：
，解得q=2 或q=﹣
（舍），
∴x1=1，
∴xn=2n﹣1．
（II）过P1，P2，P3，…，Pn 向x 轴作垂线，垂足为Q1，Q2，Q3，…，Qn，
记梯形PnPn+1Qn+1Qn 的面积为bn，
则bn=
=（2n+1）×2n﹣2，
∴Tn=3×2
﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2，①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1，②
①﹣②得：﹣Tn=
+（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1
=
+
﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣
+（1﹣2n）×2n﹣1．
∴Tn=
．
【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．
20．（13 分）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【分析】（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．
（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x
﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R 上单调递增．
由u（0）=0，可得x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0．
对a 分类讨论：a≤0 时，0＜a＜1 时，当a=1 时，a＞1 时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．
∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．
化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．
（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）
h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）
=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．
令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R 上单调递增．
∵u（0）=0，∴x＞0 时，u（x）＞0；x＜0 时，u（x）＜0．
（1）a≤0 时，ex﹣a＞0，∴x＞0 时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；
x＜0 时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
∴x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
（2）a＞0 时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．
解得x1=lna，x2=0．
①0＜a＜1 时，x∈（﹣∞，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（lna，0）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（0，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
②当a=1 时，lna=0，x∈R 时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R 上单调递增．
③1＜a 时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
x∈（0，lna）时，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴当x=0 时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．
当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．
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综上所述：a≤0 时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0 时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．
x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．
0＜a＜1 时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当
x=0 时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin
（lna）+cos（lna）+2]．
当a=1 时，lna=0，函数h（x）在R 上单调递增．
a＞1 时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0 时，
函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）
+cos（lna）+2]．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法、不等式的解法、三角函数求值、分类讨论方法，
考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程．
（Ⅱ）如图，动直线l：y=k1x﹣
交椭圆E 于A，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC 的斜率为k2，且k1k2=
，
M 是线段OC 延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M 的半径为|MC|，OS，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为
S，T，求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．
【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c 的方程组，求解方程组得a，b 的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B 的横坐标的和与积，
由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M 的半径r，则r=
．由题意设知
．得
到直线OC 的方程，与椭圆方程联立，求得C 点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin
=
．转
化为关于k1 的函数，换元后利用配方法求得∠SOT 的最大值为
，取得最大值时直线l 的斜率为
．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，
，解得a=
，b=1．
∴椭圆E 的方程为
；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，得
．
由题意得△=
＞0．
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，
．
∴|AB|=
．
由题意可知圆M 的半径r 为
r=
．
由题意设知，
，∴
．
因此直线OC 的方程为
．
联立
，得
．
因此，|OC|=
．
由题意可知，sin
=
．
而
=
．
令t=
，则t＞1，
∈（0，1），
因此，
=
≥1．
当且仅当
，即t=2 时等式成立，此时
．
∴
，因此
．
∴∠SOT 的最大值为
．
综上所述：∠SOT 的最大值为
，取得最大值时直线l 的斜率为
．
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【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，训练了利用配方法求函数的最值，考查计算能力，是压轴
题．
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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
2．（5 分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（
）
A．
B．
C．
D．2
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期
间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（
）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5 的展开式中的x3y3 系数为（
）
A．﹣80 B．﹣40 C．40
D．80
5．（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，且与椭圆
+
=1 有公共
焦点，则C 的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
6．（5 分）设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是（
）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x=
对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（
，π）单调递减
7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（
）
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A．5
B．4
C．3
D．2
8．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（
）
A．π
B．
C．
D．
9．（5 分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{an}前6 项的和为（
）
A．﹣24 B．﹣3
C．3
D．8
10．（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx
﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e
﹣x+1）有唯一零点，则a=（
）
A．﹣
B．
C．
D．1
12．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
=λ
+μ
，则λ+μ
的最大值为（
）
A．3
B．2
C．
D．2
二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x﹣4y 的最小值为
．
14．（5 分）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=
．
15．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围是
．
16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边
AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
其中正确的是
．（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+
cosA=0，a=2
，b=2．
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（1）求c；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如
果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于
20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布
表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少
时，Y 的数学期望达到最大值？
19．（12 分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C 的余弦
值．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l 交C 于A，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P（4，﹣2），求直线l 与圆M 的方程．
21．（12 分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）≥0，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m，求m 的最小值．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1 的参数方程为
，（t 为参数），直线l2 的参数方程为
，
（m 为参数）．设l1 与l2 的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3 与C 的交点，
求M 的极径．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求m 的取值范围．
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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B 中元素的个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【分析】解不等式组求出元素的个数即可．
【解答】解：由
，解得：
或
，
∴A∩B 的元素的个数是2 个，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．
2．（5 分）设复数z 满足（1+i）z=2i，则|z|=（
）
A．
B．
C．
D．2
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．
则|z|=
．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1 月至2016 年12 月期
间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（
）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月
D．各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳
【分析】根据已知中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结
论的正误，可得答案．
【解答】解：由已有中2014 年1 月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A 错误；
年接待游客量逐年增加，故B 正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月，故C 正确；
各年1 月至6 月的月接待游客量相对于7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题．
4．（5 分）（x+y）（2x﹣y）5 的展开式中的x3y3 系数为（
）
A．﹣80 B．﹣40 C．40
D．80
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【分析】（2x﹣y）5 的展开式的通项公式：Tr+1=
（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r
x5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得
r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．
【解答】解：（2x﹣y）5 的展开式的通项公式：Tr+1=
（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r
x5﹣ryr．
令5﹣r=2，r=3，解得r=3．
令5﹣r=3，r=2，解得r=2．
∴（x+y）（2x﹣y）5 的展开式中的x3y3 系数=22×（﹣1）3
+23×
=40．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，且与椭圆
+
=1 有公共
焦点，则C 的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的
长，即可得到双曲线方程．
【解答】解：椭圆
+
=1 的焦点坐标（±3，0），
则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，
双曲线C：
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
x，
可得
，即
，可得
=
，解得a=2，b=
，
所求的双曲线方程为：
﹣
=1．
故选：B．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
6．（5 分）设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是（
）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y=f（x）的图象关于直线x=
对称
C．f（x+π）的一个零点为x=
D．f（x）在（
，π）单调递减
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1 时，周期T=﹣2π，故A 正确，
B．当x=
时，cos（x+
）=cos（
+
）=cos
=cos3π=﹣1 为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=
对称，故B 正确，
C 当x=
时，f（
+π）=cos（
+π+
）=cos
=0，则f（x+π）的一个零点为x=
，故C 正确，
D．当
＜x＜π时，
＜x+
＜
，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
7．（5 分）执行如图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（
）
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A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】通过模拟程序，可得到S 的取值情况，进而可得结论．
【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，
要使输出S 的值小于91，应满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，
要使输出S 的值小于91，应接着满足“t≤N”，
则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，
要使输出S 的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，
此时N 的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
8．（5 分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（
）
A．π
B．
C．
D．
【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=
=
，由此能求出该圆柱的体积．
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，
∴该圆柱底面圆周半径r=
=
，
∴该圆柱的体积：V=Sh=
=
．
故选：B．
【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象
能力，考查化归与转化思想，是中档题．
9．（5 分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6 成等比数列，则{an}前6 项的和为（
）
A．﹣24 B．﹣3
C．3
D．8
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6 项的和．
【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6 成等比数列，
∴
，
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∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，
解得d=﹣2，
∴{an}前6 项的和为
=
=﹣24．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列前6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合
理运用．
10．（5 分）已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2 为直径的圆与直线bx
﹣ay+2ab=0 相切，则C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，可得原点到直线的距离
=a，化简即可得出．
【解答】解：以线段A1A2 为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0 相切，
∴原点到直线的距离
=a，化为：a2=3b2．
∴椭圆C 的离心率e=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
11．（5 分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e
﹣x+1）有唯一零点，则a=（
）
A．﹣
B．
C．
D．1
【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象只有一个交点求a 的值．分
a=0、a＜0、a＞0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e
﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+
）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+
）有唯一解，
等价于函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象只有一个交点．
①当a=0 时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0 时，由于y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+
）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象与y=a（ex﹣1+
）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0 时，由于y=1﹣（x﹣1）2 在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（ex﹣1+
）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1﹣（x﹣1）2 的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+
）的图象的最低点为B（1，2a），
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由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=
，符合条件；
综上所述，a=
，
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与
化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
12．（5 分）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若
=λ
+μ
，则λ+μ
的最大值为（
）
A．3
B．2
C．
D．2
【分析】如图：以A 为原点，以AB，AD 所在的直线为x，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再
设点P 的坐标为（
cosθ+1，
sinθ+2），根据
=λ
+μ
，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
【解答】解：如图：以A 为原点，以AB，AD 所在的直线为x，y 轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD=
=
∴
BC•CD=
BD•r，
∴r=
，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=
，
设点P 的坐标为（
cosθ+1，
sinθ+2），
∵
=λ
+μ
，
∴（
cosθ+1，
sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴
cosθ+1=λ，
sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=
cosθ+
sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能
力和转化能力，属于中档题．
二、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
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13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=3x﹣4y 的最小值为
﹣1
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y 的最小值．
【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=
x﹣
，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=
x﹣
，由平移可知当直线y=
x﹣
，
经过点B（1，1）时，直线y=
x﹣
的截距最大，此时z 取得最小值，
将B 的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y 的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法．
14．（5 分）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=
﹣8
．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出
即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，
∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，
解得a1=1，q=﹣2．
则a4=（﹣2）3=﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（x）+f（x﹣
）＞1 的x 的取值范围是
（
，+∞）
．
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x 的取值范围，进行求解即可．
【解答】解：若x≤0，则x﹣
≤﹣
，
则f（x）+f（x﹣
）＞1 等价为x+1+x﹣
+1＞1，即2x＞﹣
，则x＞
，
此时
＜x≤0，
当x＞0 时，f（x）=2x＞1，x﹣
＞﹣
，
当x﹣
＞0 即x＞
时，满足f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
当0≥x﹣
＞﹣
，即
≥x＞0 时，f（x﹣
）=x﹣
+1=x+
，
此时f（x）+f（x﹣
）＞1 恒成立，
综上x＞
，
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故答案为：（
，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关
键．
16．（5 分）a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a，b 都垂直，斜边
AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；
其中正确的是
②③
．（填写所有正确结论的编号）
【分析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1 的正方体，|AC|=1，|AB|=
，
斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，以C 坐标原点，以
CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|=1，|AB|=
，
斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，
B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，
以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a 的方向单位向量=（0，1，0），| |=1，
直线b 的方向单位向量=（1，0，0），| |=1，
设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C 与CD 的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量，
=（cosθ，sinθ，﹣1），|
|=
，
设
与所成夹角为α∈[0，
]，
则cosα=
=
|sinθ|∈[0，
]，
∴α∈[
，
]，∴③正确，④错误．
设
与所成夹角为β∈[0，
]，
cosβ=
=
=
|cosθ|，
当
与夹角为60°时，即α=
，
|sinθ|=
=
=
，
∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=
|cosθ|=
，
∵β∈[0，
]，∴β=
，此时
与的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．
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【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、
运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+
cosA=0，a=2
，b=2．
（1）求c；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．
【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（2）先根据夹角求出cosC，求出CD 的长，得到S△ABD=
S△ABC．
【解答】解：（1）∵sinA+
cosA=0，
∴tanA=
，
∵0＜A＜π，
∴A=
，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣
），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
故c=4．
（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2
×2×cosC，
∴cosC=
，
∴CD=
=
=
∴CD=
BC
∵S△ABC=
AB•AC•sin∠BAC=
×4×2×
=2
，
∴S△ABD=
S△ABC=
【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题
18．（12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如
果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于
20，需求量为200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布
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表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少
时，Y 的数学期望达到最大值？
【分析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500 瓶，至少为200 瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500
和200≤n≤300 分类讨论经，能得到当n=300 时，EY 最大值为520 元．
【解答】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，
P（X=200）=
=0.2，
P（X=300）=
，
P（X=500）=
=0.4，
∴X 的分布列为：
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500 瓶，至少为200 瓶，
∴只需考虑200≤n≤500，
当300≤n≤500 时，
若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；
若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，
∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，
当200≤n≤300 时，
若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，
若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，
∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．
∴n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520 元．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分
布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档
题．
19．（12 分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC 的平面交BD 于点E，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C 的余弦
值．
【分析】（1）如图所示，取AC 的中点O，连接BO，OD．△ABC 是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD
≌△CBD，AD=CD．△ACD 是直角三角形，可得AC 是斜边，∠ADC=90°．可得DO=
AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可
得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．
（2）设点D，B 到平面ACE 的距离分别为hD，hE．则
=
．根据平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部
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分，可得
=
=
=1，即点E 是BD 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用
法向量的夹角公式即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC 的中点O，连接BO，OD．
∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC．
△ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．
∵△ACD 是直角三角形，
∴AC 是斜边，∴∠ADC=90°．
∴DO=
AC．
∴DO2+BO2=AB2=BD2．
∴∠BOD=90°．
∴OB⊥OD．
又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC．
（2）解：设点D，B 到平面ACE 的距离分别为hD，hE．则
=
．
∵平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，
∴
=
=
=1．
∴点E 是BD 的中点．
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，
，0），E
．
=（﹣1，0，1），
=
，
=（﹣2，0，0）．
设平面ADE 的法向量为=（x，y，z），则
，即
，取=
．
同理可得：平面ACE 的法向量为=（0，1，
）．
∴cos
=
=
=﹣
．
∴二面角D﹣AE﹣C 的余弦值为
．
【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
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20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l 交C 于A，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P（4，﹣2），求直线l 与圆M 的方程．
【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A 和B 的坐标，由
•
=0，则坐标原点O 在圆M
上；当直线l 斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得
•
=0，则坐标原点O 在圆M 上；
方法二：设直线l 的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得
•
=0，
则坐标原点O 在圆M 上；
（2）由题意可知：
•
=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k 的值，求得M 点坐标，则半径r=丨MP 丨，
即可求得圆的方程．
【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l 的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），
则
=（2，2），
=（2，﹣2），则
•
=0，
∴
⊥
，
则坐标原点O 在圆M 上；
当直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，
则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，
则y1y2=﹣4，
由
•
=x1x2+y1y2=0，
则
⊥
，则坐标原点O 在圆M 上，
综上可知：坐标原点O 在圆M 上；
方法二：设直线l 的方程x=my+2，
，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1y2=﹣4，
则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则
•
=x1x2+y1y2=0，
则
⊥
，则坐标原点O 在圆M 上，
∴坐标原点O 在圆M 上；
（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=
，y1+y2=
，y1y2=﹣4，
圆M 过点P（4，﹣2），则
=（4﹣x1，﹣2﹣y1），
=（4﹣x2，﹣2﹣y2），
由
•
=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，
整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，
当k=﹣2 时，直线l 的方程为y=﹣2x+4，
则x1+x2=
，y1+y2=﹣1，
则M（
，﹣
），半径为r=丨MP 丨=
=
，
∴圆M 的方程（x﹣
）2+（y+
）2=
．
当直线斜率k=1 时，直线l 的方程为y=x﹣2，
同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP 丨=
，
∴圆M 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，
综上可知：直线l 的方程为y=﹣2x+4，圆M 的方程（x﹣
）2+（y+
）2=
，
或直线l 的方程为y=x﹣2，圆M 的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）≥0，求a 的值；
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（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m，求m 的最小值．
【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0 两种情况考虑导函数f′（x）与0 的大小
关系可得结论；
（2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+
）＜
，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放
缩可知（1+
）（1+
）…（1+
）＜e，另一方面可知（1+
）（1+
）…（1+
）＞2，从而当n≥3 时，（1+
）
（1+
）…（1+
）∈（2，e），比较可得结论．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，
所以f′（x）=1﹣
=
，且f（1）=0．
所以当a≤0 时f′（x）＞0 恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0 矛盾；
当a＞0 时令f′（x）=0，解得x=a，
所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），
若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0 矛盾；
所以a=1；
（2）由（1）可知当a=1 时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，
所以ln（x+1）≤x 当且仅当x=0 时取等号，
所以ln（1+
）＜
，k∈N*．
一方面，ln（1+
）+ln（1+
）+…+ln（1+
）＜
+
+…+
=1﹣
＜1，
即（1+
）（1+
）…（1+
）＜e；
另一方面，（1+
）（1+
）…（1+
）＞（1+
）（1+
）（1+
）=
＞2；
从而当n≥3 时，（1+
）（1+
）…（1+
）∈（2，e），
因为m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m 成立，
所以m 的最小值为3．
【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，
考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线l1 的参数方程为
，（t 为参数），直线l2 的参数方程为
，
（m 为参数）．设l1 与l2 的交点为P，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C．
（1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，M 为l3 与C 的交点，
求M 的极径．
【分析】解：（1）分别消掉参数t 与m 可得直线l1 与直线l2 的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，
消去k 可得C 的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）将l3 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0 化为普通方程：x+y﹣
=0，再与曲线C 的方程联立，可得
，
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即可求得l3 与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【解答】解：（1）∵直线l1 的参数方程为
，（t 为参数），
∴消掉参数t 得：直线l1 的普通方程为：y=k（x﹣2）①；
又直线l2 的参数方程为
，（m 为参数），
同理可得，直线l2 的普通方程为：x=﹣2+ky②；
联立①②，消去k 得：x2﹣y2=4，即C 的普通方程为x2﹣y2=4；
（2）∵l3 的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣
=0，
∴其普通方程为：x+y﹣
=0，
联立
得：
，
∴ρ2=x2+y2=
+
=5．
∴l3 与C 的交点M 的极径为ρ=
．
【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．
（1）求不等式f（x）≥1 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m 的解集非空，求m 的取值范围．
【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=
，解不等式f（x）≥1 可分﹣1≤x≤2 与x＞2 两类
讨论即可解得不等式f（x）≥1 的解集；
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2 三类讨论，可求得g
（x）max=
，从而可得m 的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=
，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2 时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2 时，3≥1 恒成立，故x＞2；
综上，不等式f（x）≥1 的解集为{x|x≥1}．
（2）原式等价于存在x∈R 使得f（x）﹣x2+x≥m 成立，
即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．
由（1）知，g（x）=
，
当x≤﹣1 时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=
＞﹣1，
∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；
当﹣1＜x＜2 时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=
∈（﹣1，2），
∴g（x）≤g（
）=﹣
+
﹣1=
；
当x≥2 时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=
＜2，
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∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；
综上，g（x）max=
，
∴m 的取值范围为（﹣∞，
]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思
想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．
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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）
=（
）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i
D．2﹣i
2．（5 分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（
）
A．{1，﹣3} B．{1，0}
C．{1，3}
D．{1，5}
3．（5 分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十
一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7 层，每层悬挂的红灯数是上一层
的2 倍，共有381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱
截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
5．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最小值是（
）
A．﹣15 B．﹣9
C．1
D．9
6．（5 分）安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（
）
A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种
7．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良
好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根
据以上信息，则（
）
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
8．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
9．（5 分）若双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得的弦长为2，则C 的
离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
10．（5 分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值
为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）若x=﹣2 是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，则f（x）的极小值为（
）
A．﹣1
B．﹣2e
﹣3
C．5e
﹣3 D．1
12．（5 分）已知△ABC 是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
•（
+
）的最小值是（
）
A．﹣2
B．﹣
C．﹣
D．﹣1
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次．X 表示抽到的二等
品件数，则DX=
．
14．（5 分）函数f（x）=sin2x+
cosx﹣
（x∈[0，
]）的最大值是
．
15．（5 分）等差数列{an}的前n 项和为Sn，a3=3，S4=10，则
=
．
16．（5 分）已知F 是抛物线C：y2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N．若M 为FN 的中点，则
|FN|=
．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分。
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17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2
．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b．
18．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量
各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于
50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=
．
19．
（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，
E 是PD 的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D 的余弦值．
20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
=
．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且
•
=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
21．（12 分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e
﹣2＜f（x0）＜2
﹣2．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程
为ρcosθ=4．
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（1）M 为曲线C1 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C2 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为（2，
），点B 在曲线C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分）
=（
）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i
D．2﹣i
【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i 的幂运算性质，求出结果．
【解答】解：
=
=
=2﹣i，
故选：D．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分
母的共轭复数．
2．（5 分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（
）
A．{1，﹣3} B．{1，0}
C．{1，3}
D．{1，5}
【分析】由交集的定义可得1∈A 且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．
【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．
若A∩B={1}，则1∈A 且1∈B，
可得1﹣4+m=0，解得m=3，
即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基
础题．
3．（5 分）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十
一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔（古称浮屠），本题说它一共有7 层，每层悬挂的红灯数是上一层
的2 倍，共有381 盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出的结果是（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【分析】设塔顶的a1 盏灯，由题意{an}是公比为2 的等比数列，利用等比数列前n 项和公式列出方程，能求出结果．
【解答】解：设塔顶的a1 盏灯，
由题意{an}是公比为2 的等比数列，
∴S7=
=381，
解得a1=3．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
4．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱
截去一部分后所得，则该几何体的体积为（
）
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A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半，
V=π•32×10﹣
•π•32×6=63π，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的最小值是（
）
A．﹣15 B．﹣9
C．1
D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．
【解答】解：x、y 满足约束条件
的可行域如图：
z=2x+y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，
由
解得A（﹣6，﹣3），
则z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．
6．（5 分）安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（
）
A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种
【分析】把工作分成3 组，然后安排工作方式即可．
【解答】解：4 项工作分成3 组，可得：
=6，
安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，
可得：6×
=36 种．
故选：D．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．
7．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良
好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根
据以上信息，则（
）
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
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C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，
甲不知自己的成绩
→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩
→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，
给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲
是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知
道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假
定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了
故选：D．
【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．
8．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K 值，当K=7 时，程序终止即可得到结论．
【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，
第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；
满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；
满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；
满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；
满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6 不成立，退出循环输出S 的值为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．
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9．（5 分）若双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得的弦长为2，则C 的
离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=4 的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4 所截得的弦长为2，
可得圆心到直线的距离为：
=
，
解得：
，可得e2=4，即e=2．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．
10．（5 分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1 与BC1 所成角的余弦值
为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】【解法一】设M、N、P 分别为AB，BB1 和B1C1 的中点，得出AB1、BC1 夹角为MN 和NP 夹角或其补角；
根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP 和∠MNP 的余弦值即可．
【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．
【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P 分别为AB，BB1 和B1C1 的中点，
则AB1、BC1 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，
]），
可知MN=
AB1=
，
NP=
BC1=
；
作BC 中点Q，则△PQM 为直角三角形；
∵PQ=1，MQ=
AC，
△ABC 中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣
）
=7，
∴AC=
，
∴MQ=
；
在△MQP 中，MP=
=
；
在△PMN 中，由余弦定理得
cos∠MNP=
=
=﹣
；
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又异面直线所成角的范围是（0，
]，
∴AB1 与BC1 所成角的余弦值为
．
【解法二】如图所示，
补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D 即可；
BC1=
，BD=
=
，
C1D=
，
∴
+BD2=
，
∴∠DBC1=90°，
∴cos∠BC1D=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．
11．（5 分）若x=﹣2 是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，则f（x）的极小值为（
）
A．﹣1
B．﹣2e
﹣3
C．5e
﹣3 D．1
【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，
可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，
x=﹣2 是函数f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1 的极值点，
可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．
解得a=﹣1．
可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，
=（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，
当x＜﹣2 或x＞1 时，f′（x）＞0 函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x=1 时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．
12．（5 分）已知△ABC 是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
•（
+
）的最小值是（
）
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A．﹣2
B．﹣
C．﹣
D．﹣1
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，
则A（0，
），B（﹣1，0），C（1，0），
设P（x，y），则
=（﹣x，
﹣y），
=（﹣1﹣x，﹣y），
=（1﹣x，﹣y），
则
•（
+
）=2x2﹣2
y+2y2=2[x2+（y﹣
）2﹣
]
∴当x=0，y=
时，取得最小值2×（﹣
）=﹣
，
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次．X 表示抽到的二等
品件数，则DX=
1.96
．
【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．
【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，
则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案为：1.96．
【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键．
14．（5 分）函数f（x）=sin2x+
cosx﹣
（x∈[0，
]）的最大值是
1
．
【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．
【解答】解：f（x）=sin2x+
cosx﹣
=1﹣cos2x+
cosx﹣
，
令cosx=t 且t∈[0，1]，
则y=﹣t2+
t+
=﹣（t﹣
）2+1，
当t=
时，f（t）max=1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题
15．（5 分）等差数列{an}的前n 项和为Sn，a3=3，S4=10，则
=
．
【分析】利用已知条件求出等差数列的前n 项和，然后化简所求的表达式，求解即可．
【解答】解：等差数列{an}的前n 项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，
可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，
Sn=
，
=
，
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则
=2[1﹣
+
+…+
]=2（1﹣
）=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．
16．（5 分）已知F 是抛物线C：y2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N．若M 为FN 的中点，则
|FN|=
6
．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M 坐标，然后求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2=8x 的焦点F（2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N．若M 为FN 的中点，
可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：
，
|FN|=2|FM|=2
=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分。
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2
．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin2
，
结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
（2）由（1）可知sinB=
，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2
，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB=
；
（2）由（1）可知sinB=
，
∵S△ABC=
ac•sinB=2，
∴ac=
，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×
×
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题
18．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量
各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：
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（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于
50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=
．
【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；
（2）完成2×2 列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．
【解答】解：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，
由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
故P（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，
故P（C）的估计值为，
则事件A 的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；
∴A 发生的概率为0.4092；
（2）2×2 列联表：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
总计
旧养殖法
62
38
100
新养殖法
34
66
100
总计
96
104
200
则K2=
≈15.705，
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图的面积：
（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，
箱产量低于55kg 的直方图面积为：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+
≈52.35（kg），
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．
19．
（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，
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E 是PD 的中点．
（1）证明：直线CE∥平面PAB；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D 的余弦值．
【分析】（1）取PA 的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（2）利用已知条件转化求解M 到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D 的余弦值即可．
【解答】（1）证明：取PA 的中点F，连接EF，BF，因为E 是PD 的中点，
所以EF
AD，AB=BC=
AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥
AD，
∴BCEF 是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
∴直线CE∥平面PAB；
（2）解：四棱锥P﹣ABCD 中，
侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=
AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点．
取AD 的中点O，M 在底面ABCD 上的射影N 在OC 上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=
，
∴∠PCO=60°，直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，
可得：BN=MN，CN=
MN，BC=1，
可得：1+
BN2=BN2，BN=
，MN=
，
作NQ⊥AB 于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN 就是二面角M﹣AB﹣D 的平面角，MQ=
=
，
二面角M﹣AB﹣D 的余弦值为：
=
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
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20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：
+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足
=
．
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且
•
=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M 满足椭圆方程，
化简整理可得P 的轨迹方程；
（2）设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q 的
坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF 的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证．
【解答】解：（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），
设P（x，y），由点P 满足
=
．
可得（x﹣x0，y）=
（0，y0），
可得x﹣x0=0，y=
y0，
即有x0=x，y0=
，
代入椭圆方程
+y2=1，可得
+
=1，
即有点P 的轨迹方程为圆x2+y2=2；
（2）证明：设Q（﹣3，m），P（
cosα，
sinα），（0≤α＜2π），
•
=1，可得（
cosα，
sinα）•（﹣3﹣
cosα，m﹣
sinα）=1，
即为﹣3
cosα﹣2cos2α+
msinα﹣2sin2α=1，
当α=0 时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m=
，
即有Q（﹣3，
），
椭圆
+y2=1 的左焦点F（﹣1，0），
由
•
=（﹣1﹣
cosα，﹣
sinα）•（﹣3，
）
=3+3
cosα﹣3（1+
cosα）=0．
可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由
•
=1，
可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，
又P 在圆x2+y2=2 上，可得m2+n2=2，
即有nt=3+3m，
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），
•
=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
则
⊥
，
可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜
率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中
档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e
﹣2＜f（x0）＜2
﹣2．
【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0 等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣
可得h（x）min=h（
），
从而可得结论；
（2）通过（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（
）=ln2﹣1
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＜0，从而可知f′（x）=0 存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0 及x0＜
可知f（x0）＜
，另一方
面可知f（x0）＞f（
）=
．
【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
则f（x）≥0 等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣
．
则当a≤0 时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当x0＞1 时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．
因为当0＜x＜
时h′（x）＜0、当x＞
时h′（x）＞0，
所以h（x）min=h（
），
又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，
所以
=1，解得a=1；
另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0 等价于f（x）在x＞0 时的最小值为f（1），
所以等价于f（x）在x=1 处是极小值，
所以解得a=1；
（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣
，
令t′（x）=0，解得：x=
，
所以t（x）在区间（0，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增，
所以t（x）min=t（
）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0 有解，即f′（x）=0 存在两根x0，x2，
且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，
所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，
所以f（x0）=
﹣x0﹣x0lnx0=
﹣x0+2x0﹣2
=x0﹣
，
由x0＜
可知f（x0）＜（x0﹣
）max=﹣
+
=
；
由f′（
）＜0 可知x0＜
＜
，
所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，
）上单调递减，
所以f（x0）＞f（
）=
；
综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e
﹣2＜f（x0）＜2
﹣2．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．
（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程
为ρcosθ=4．
（1）M 为曲线C1 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C2 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为（2，
），点B 在曲线C2 上，求△OAB 面积的最大值．
【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M 点坐标，根据|OM|•|OP|=16 列方程化简即可；
（2）求出曲线C2 的圆心和半径，得出B 到OA 的最大距离，即可得出最大面积．
【解答】解：（1）曲线C1 的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y0），则
，∴y0=
，
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∵|OM||OP|=16，
∴
=16，
即（x2+y2）（1+
）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
两边开方得：x2+y2=4x，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴点P 的轨迹C2 的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（2）点A 的直角坐标为A（1，
），显然点A 在曲线C2 上，|OA|=2，
∴曲线C2 的圆心（2，0）到弦OA 的距离d=
=
，
∴△AOB 的最大面积S=
|OA|•（2+
）=2+
．
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
【分析】（1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3=2 转化为
=ab，再由均值不等式可得：
=ab≤（
）2，即可得到
（a+b）3
≤2，问题得以证明．
【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（
+
）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当
=
，即a=b=1 时取等号，
（2）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴
=ab，
由均值不等式可得：
=ab≤（
）2，
∴（a+b）3﹣2≤
，
∴
（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1 时等号成立．
【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题
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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（
）
A．A∩B={x|x＜0}
B．A∪B=R
C．A∪B={x|x＞1}
D．A∩B=∅
2．（5 分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）设有下面四个命题
p1：若复数z 满足
∈R，则z∈R；
p2：若复数z 满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2 满足z1z2∈R，则z1=
；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（
）
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
4．（5 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
5．（5 分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1 的x 的
取值范围是（
）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4]
D．[1，3]
6．（5 分）（1+
）（1+x）6 展开式中x2 的系数为（
）
A．15
B．20
C．30
D．35
7．（5 分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为
2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（
）
A．10
B．12
C．14
D．16
8．（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000 的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，
可以分别填入（
）
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A．A＞1000 和n=n+1 B．A＞1000 和n=n+2
C．A≤1000 和n=n+1 D．A≤1000 和n=n+2
9．（5 分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+
），则下面结论正确的是（
）
A．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
B．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
C．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
D．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
10．（5 分）已知F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与C 交于A、B 两点，直
线l2 与C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（
）
A．16
B．14
C．12
D．10
11．（5 分）设x、y、z 为正数，且2x=3y=5z，则（
）
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x
D．3y＜2x＜5z
12．（5 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，
4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求
满足如下条件的最小整数N：N＞100 且该数列的前N 项和为2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（
）
A．440
B．330
C．220
D．110
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=
．
14．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=3x﹣2y 的最小值为
．
15．（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A 为圆心，b 为半径作圆A，圆A 与双曲
线C 的一条渐近线交于M、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为
．
16．（5 分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O．D、E、F 为圆O
上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB
为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单
位：cm3）的最大值为
．
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三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为
．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．
18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C 的余弦值．
19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量
其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，
σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X
≥1）及X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得=
=9.97，s=
=
≈0.212，其中xi 为抽取的第i 个零件的
尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值
，用样本标准差s 作为σ的估计值
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程
进行检查？剔除（
﹣3
+3
）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，
≈0.09．
20．（12 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，
），P4（1，
）中
恰有三点在椭圆C 上．
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P2 点且与C 相交于A，B 两点．若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．
21．（12 分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
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22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，
（t 为参数）．
（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为
，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．
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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（
）
A．A∩B={x|x＜0}
B．A∪B=R
C．A∪B={x|x＞1}
D．A∩B=∅
【分析】先分别求出集合A 和B，再求出A∩B 和A∪B，由此能求出结果．
【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，
B={x|3x＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}，故A 正确，D 错误；
A∪B={x|x＜1}，故B 和C 都错误．
故选：A．
【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．
2．（5 分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积S=
，
则对应概率P=
=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
3．（5 分）设有下面四个命题
p1：若复数z 满足
∈R，则z∈R；
p2：若复数z 满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2 满足z1z2∈R，则z1=
；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（
）
A．p1，p3
B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
【解答】解：若复数z 满足
∈R，则z∈R，故命题p1 为真命题；
p2：复数z=i 满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2 为假命题；
p3：若复数z1=i，z2=2i 满足z1z2∈R，但z1≠
，故命题p3 为假命题；
p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4 为真命题．
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属
于基础题．
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4．（5 分）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【分析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n 项和，a4+a5=24，S6=48，
∴
，
解得a1=﹣2，d=4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运
用．
5．（5 分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1 的x 的
取值范围是（
）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4]
D．[1，3]
【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1 化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．
6．（5 分）（1+
）（1+x）6 展开式中x2 的系数为（
）
A．15
B．20
C．30
D．35
【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．
【解答】解：（1+
）（1+x）6 展开式中：
若（1+
）=（1+x
﹣2）提供常数项1，则（1+x）6 提供含有x2 的项，可得展开式中x2 的系数：
若（1+
）提供x
﹣2 项，则（1+x）6 提供含有x4 的项，可得展开式中x2 的系数：
由（1+x）6 通项公式可得
．
可知r=2 时，可得展开式中x2 的系数为
．
可知r=4 时，可得展开式中x2 的系数为
．
（1+
）（1+x）6 展开式中x2 的系数为：15+15=30．
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．
7．（5 分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为
2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（
）
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A．10
B．12
C．14
D．16
【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可
【解答】解：由三视图可画出直观图，
该立体图中只有两个相同的梯形的面，
S 梯形=
×2×（2+4）=6，
∴这些梯形的面积之和为6×2=12，
故选：B．
【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000 的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，
可以分别填入（
）
A．A＞1000 和n=n+1 B．A＞1000 和n=n+2
C．A≤1000 和n=n+1 D．A≤1000 和n=n+2
【分析】通过要求A＞1000 时输出且框图中在“否”时输出确定“
”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的
特征确定n=n+2．
【解答】解：因为要求A＞1000 时输出，且框图中在“否”时输出，
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所以“
”内不能输入“A＞1000”，
又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，
所以“
”中n 依次加2 可保证其为偶数，
所以D 选项满足要求，
故选：D．
【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．
9．（5 分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+
），则下面结论正确的是（
）
A．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
B．把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
C．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到曲线C2
D．把C1 上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C2
【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
【解答】解：把C1 上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左
平移
个单位长度，得到函数y=cos2（x+
）=cos（2x+
）=sin（2x+
）的图象，即曲线C2，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．
10．（5 分）已知F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与C 交于A、B 两点，直
线l2 与C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（
）
A．16
B．14
C．12
D．10
【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D，B，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据
弦长公式计算即可．
方法二：设直线l1 的倾斜角为θ，则l2 的倾斜角为
+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求
得答案
【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1 与C 交于A、B 两点，
直线l2 与C 交于D、E 两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A 与D，B，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，
又直线l2 过点（1，0），
则直线l2 的方程为y=x﹣1，
联立方程组
，则y2﹣4y﹣4=0，
∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，
∴|DE|=
•|y1﹣y2|=
×
=8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，
方法二：设直线l1 的倾斜角为θ，则l2 的倾斜角为
+θ，
根据焦点弦长公式可得|AB|=
=
|DE|=
=
=
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∴|AB|+|DE|=
+
=
=
，
∵0＜sin22θ≤1，
∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相
关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
11．（5 分）设x、y、z 为正数，且2x=3y=5z，则（
）
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x
D．3y＜2x＜5z
【分析】x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=
，y=
，z=
．可得3y=
，2x=
，
5z=
．根据
=
=
，
＞
=
．即可得出大小关系．
另解：x、y、z 为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=
，y=
，z=
．
=
=
＞1，可得
2x＞3y，同理可得5z＞2x．
【解答】解：x、y、z 为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x=
，y=
，z=
．
∴3y=
，2x=
，5z=
．
∵
=
=
，
＞
=
．
∴
＞lg
＞
＞0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z 为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x=
，y=
，z=
．
∴
=
=
＞1，可得2x＞3y，
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=
=
＞1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，
4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求
满足如下条件的最小整数N：N＞100 且该数列的前N 项和为2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（
）
A．440
B．330
C．220
D．110
【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{bn}的通项公式及前n 项和，可知当N 为
时（n∈N+），数列{an}
的前N 项和为数列{bn}的前n 项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100 时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件
的激活码；
方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和Sn=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1 为2 的整数幂．只需将
﹣2﹣n 消去即可，分别即可求得N 的值．
【解答】解：设该数列为{an}，设bn=
+…+
=2n+1﹣1，（n∈N+），则
=
ai，
由题意可设数列{an}的前N 项和为SN，数列{bn}的前n 项和为Tn，则Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，
可知当N 为
时（n∈N+），数列{an}的前N 项和为数列{bn}的前n 项和，即为2n+1﹣n﹣2，
容易得到N＞100 时，n≥14，
A 项，由
=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．
B 项，仿上可知
=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2 的整数幂，故B 项不符合题意．
C 项，仿上可知
=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2 的整数幂，故C 项不
符合题意．
D 项，仿上可知
=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2 的整数幂，故D 项不符合题
意．
故选A．
方法二：由题意可知：
，
，
，…
，
根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为N=1+2+3+…+n=
，
所有项数的和为Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=
﹣n=2n+1﹣2﹣n，
由题意可知：2n+1 为2 的整数幂．只需将﹣2﹣n 消去即可，
则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有
+2=3，不满足N＞100，
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有
+3=18，不满足N＞100，
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有
+4=95，不满足N＞100，
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有
+5=440，满足N＞100，
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∴该款软件的激活码440．
故选：A．
【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考查计算能力，属于难题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=
2
．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1，
∴
=
+4 • +4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12，
∴| +2 |=2
．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形
=
+
= +2 ；
在△OAC 中，由余弦定理得
|
|=
=2
，
即| +2 |=2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．
14．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=3x﹣2y 的最小值为
﹣5
．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由x，y 满足约束条件
作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立
，解得A（﹣1，1）．
∴z=3x﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．
故答案为：﹣5．
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【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A 为圆心，b 为半径作圆A，圆A 与双曲
线C 的一条渐近线交于M、N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为
．
【分析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A 为圆心，b 为半径做圆A，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点．
若∠MAN=60°，可得A 到渐近线bx+ay=0 的距离为：bcos30°=
，
可得：
=
，即
，可得离心率为：e=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能
力．
16．（5 分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O．D、E、F 为圆O
上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB
为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单
位：cm3）的最大值为
4
cm3
．
【分析】由题，连接OD，交BC 于点G，由题意得OD⊥BC，OG=
BC，设OG=x，则BC=2
x，DG=5﹣x，三棱
锥的高h=
，求出S△ABC=3
，V=
=
，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），
f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．
【解答】解：由题意，连接OD，交BC 于点G，由题意得OD⊥BC，OG=
BC，
即OG 的长度与BC 的长度成正比，
设OG=x，则BC=2
x，DG=5﹣x，
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三棱锥的高h=
=
=
，
=3
，
则V=
=
=
，
令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，
），f′（x）=100x3﹣50x4，
令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，
则f（x）≤f（2）=80，
∴V≤
=4
cm3，∴体积最大值为4
cm3．
故答案为：4
cm3．
【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等
基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为
．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．
【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2）根据两角余弦公式可得cosA=
，即可求出A=
，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，
问题得以解决．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=
acsinB=
，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=
；
（2）∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=
，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=
﹣
=﹣
，
∴cos（B+C）=﹣
，
∴cosA=
，
∵0＜A＜π，
∴A=
，
∵
=
=
=2R=
=2
，
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∴sinBsinC=
•
=
=
=
，
∴bc=8，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc=9，
∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+
．
【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能
力，属于中档题．
18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C 的余弦值．
【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，
进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，
设PA=AB=2a，则AD=
．取AD 中点O，BC 中点E，连接PO、OE，以O 为坐标原点，分别以OA、OE、OP 所
在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得
为平面PAB
的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C 的余弦值．
【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD 为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，
在△APD 中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD 为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD=
．
取AD 中点O，BC 中点E，连接PO、OE，
以O 为坐标原点，分别以OA、OE、OP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
则：D（
），B（
），P（0，0，
），C（
）．
，
，
．
设平面PBC 的一个法向量为
，
由
，得
，取y=1，得
．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则
为平面PAB 的一个法向量，
．
∴cos＜
＞=
=
．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C 为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为
．
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【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，
是中档题．
19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量
其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，
σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X
≥1）及X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过
程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得=
=9.97，s=
=
≈0.212，其中xi 为抽取的第i 个零件的
尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值
，用样本标准差s 作为σ的估计值
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程
进行检查？剔除（
﹣3
+3
）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z 服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，
≈0.09．
【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s 估计
、
可知（
﹣3
+3
）=（9.334，10.606），进而需剔
除（
﹣3
+3
）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．
【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，
则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，
因为P（X=0）=
×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，
所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，
又因为X～B（16，0.0026），
所以E（X）=16×0.0026=0.0416；
（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（
﹣3
+3
）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的
16 个零件中，出现尺寸在（
﹣3
+3
）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发
生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为
=9.97，σ的估计值为
=0.212，由样本数据可以看出一个
零件的尺寸在（
﹣3
+3
）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．
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剔除（
﹣3
+3
）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为
（16×9.97﹣9.22）=10.02，
因此μ的估计值为10.02．
2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，
剔除（
﹣3
+3
）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为
（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，
因此σ的估计值为
≈0.09．
【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题
方法的积累，属于中档题．
20．（12 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，
），P4（1，
）中
恰有三点在椭圆C 上．
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P2 点且与C 相交于A，B 两点．若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．
【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，
），P4（1，
）三点在椭圆C 上．把P2（0，1），
P3（﹣1，
）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C 的方程．
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立
，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2
﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点（2，﹣1）．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，
），P4（1，
）两点必在椭圆C 上，
又P4 的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1，
），P4（1，
）三点在椭圆C 上．
把P2（0，1），P3（﹣1，
）代入椭圆C，得：
，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C 的方程为
=1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为﹣1，
∴
=
=
=﹣1，
解得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，
，x1x2=
，
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则
=
=
=
=
=﹣1，又t≠1，
∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0 成立，
∴直线l 的方程为y=kx﹣2k﹣1，
当x=2 时，y=﹣1，
∴l 过定点（2，﹣1）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；
（2）由（1）可知：当a＞0 时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a
﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e
﹣2）=e
﹣2lne
﹣2+e
﹣2﹣1=﹣
﹣1，g（1）=0，即可求得a 的取值范围．
（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；
（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a 的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，
当a=0 时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，
∴当x∈R，f（x）单调递减，
当a＞0 时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+
）（ex﹣
），
令f′（x）=0，解得：x=ln
，
当f′（x）＞0，解得：x＞ln
，
当f′（x）＜0，解得：x＜ln
，
∴x∈（﹣∞，ln
）时，f（x）单调递减，x∈（ln
，+∞）单调递增；
当a＜0 时，f′（x）=2a（ex+
）（ex﹣
）＜0，恒成立，
∴当x∈R，f（x）单调递减，
综上可知：当a≤0 时，f（x）在R 单调减函数，
当a＞0 时，f（x）在（﹣∞，ln
）是减函数，在（ln
，+∞）是增函数；
（2）①若a≤0 时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，
当a＞0 时，f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，
当x→﹣∞时，e2x→0，ex→0，
∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，
当x→∞，e2x→+∞，且远远大于ex 和x，
∴当x→∞，f（x）→+∞，
∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0 即可，
由f（x）在（﹣∞，ln
）是减函数，在（ln
，+∞）是增函数，
∴f（x）min=f（ln
）=a×（
）+（a﹣2）×
﹣ln
＜0，
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∴1﹣
﹣ln
＜0，即ln
+
﹣1＞0，
设t=
，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），
求导g′（t）=
+1，由g（1）=0，
∴t=
＞1，解得：0＜a＜1，
∴a 的取值范围（0，1）．
方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）ex﹣1，
当a=0 时，f′（x）=﹣2ex﹣1＜0，
∴当x∈R，f（x）单调递减，
当a＞0 时，f′（x）=（2ex+1）（aex﹣1）=2a（ex+
）（ex﹣
），
令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，
当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，
当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，
∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；
当a＜0 时，f′（x）=2a（ex+
）（ex﹣
）＜0，恒成立，
∴当x∈R，f（x）单调递减，
综上可知：当a≤0 时，f（x）在R 单调减函数，
当a＞0 时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；
（2）①若a≤0 时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，
②当a＞0 时，由（1）可知：当x=﹣lna 时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣
﹣ln
，
当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，
当a∈（1，+∞）时，由1﹣
﹣ln
＞0，即f（﹣lna）＞0，
故f（x）没有零点，
当a∈（0，1）时，1﹣
﹣ln
＜0，f（﹣lna）＜0，
由f（﹣2）=ae
﹣4+（a﹣2）e
﹣2+2＞﹣2e
﹣2+2＞0，
故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，
假设存在正整数n0，满足n0＞ln（
﹣1），则f（n0）=
（a
+a﹣2）﹣n0＞
﹣n0＞
﹣n0＞0，
由ln（
﹣1）＞﹣lna，
因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．
∴a 的取值范围（0，1）．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考
查分类讨论思想，属于中档题．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
，（θ为参数），直线l 的参数方程为
，
（t 为参数）．
（1）若a=﹣1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l 距离的最大值为
，求a．
【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；
（2）曲线C 上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距
离，再结合距离最大值为
进行分析，可以求出a 的值．
【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为
（θ为参数），化为标准方程是：
+y2=1；
a=﹣1 时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；
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联立方程
，
解得
或
，
所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和（﹣
，
）．
（2）l 的参数方程
（t 为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，
椭圆C 上的任一点P 可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以点P 到直线l 的距离d 为：
d=
=
，φ满足tanφ=
，且的d 的最大值为
．
①当﹣a﹣4≤0 时，即a≥﹣4 时，
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17
解得a=8≥﹣4，符合题意．
②当﹣a﹣4＞0 时，即a＜﹣4 时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17
解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．
【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C 上的点到直线
l 距离的最大值求出a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1 时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．
【分析】（1）当a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=
，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣
∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，
]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1]恒成立，只需
，
解之即可得a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=
的二次函数，
g（x）=|x+1|+|x﹣1|=
，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=
，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单
调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，
]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，
]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1]恒成立，则只需
，
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解得﹣1≤a≤1，
故a 的取值范围是[﹣1，1]．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，
属于中档题．
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2017 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题.（每小题5 分）
1．（5 分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或x＞3}，则A∩B=（
）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1}
B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}
2．（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）
D．（﹣1，+∞）
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（
）
A．2
B．
C．
D．
4．（5 分）若x，y 满足
，则x+2y 的最大值为（
）
A．1
B．3
C．5
D．9
5．（5 分）已知函数f（x）=3x﹣（
）x，则f（x）（
）
A．是奇函数，且在R 上是增函数
B．是偶函数，且在R 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数
D．是偶函数，且在R 上是减函数
6．（5 分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是“ • ＜0”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（
）
A．3
B．2
C．2
D．2
8．（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为
1080，则下列各数中与
最接近的是（
）
（参考数据：lg3≈0.48）
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A．1033 B．1053 C．1073
D．1093
二、填空题（每小题5 分）
9．（5 分）若双曲线x2﹣
=1 的离心率为
，则实数m=
．
10．（5 分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则
=
．
11．
（5 分）在极坐标系中，点A 在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0 上，点P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为
．
12．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=
，则cos
（α﹣β）=
．
13．
（5 分）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为
．
14．（5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai 的横、纵坐标分别为第i 名工
人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，
3．
（1）记Qi为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3 中最大的是
．
（2）记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3 中最大的是
．
三、解答题
15．（13 分）在△ABC 中，∠A=60°，c=
a．
（1）求sinC 的值；
（2）若a=7，求△ABC 的面积．
16．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PB 上，PD
∥平面MAC，PA=PD=
，AB=4．
（1）求证：M 为PB 的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A 的大小；
（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
17．（13 分）为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药．一
段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60 的概率；
（2）从图中A，B，C，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人数，求ξ的分布列和数
学期望E（ξ）；
（3）试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）
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18．（14 分）已知抛物线C：y2=2px 过点P（1，1）．过点（0，
）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M，N，过
点M 作x 轴的垂线分别与直线OP、ON 交于点A，B，其中O 为原点．
（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A 为线段BM 的中点．
19．（13 分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
20．（13 分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中
max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs 这s 个数中最大的数．
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3 的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m 时，
＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…
是等差数列．
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2017 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题.（每小题5 分）
1．（5 分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或x＞3}，则A∩B=（
）
A．{x|﹣2＜x＜﹣1}
B．{x|﹣2＜x＜3}
C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}
【分析】根据已知中集合A 和B，结合集合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1 或x＞3}，
∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题．
2．（5 分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）
D．（﹣1，+∞）
【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i 在复平面内对应的点在第二象限，可得
，解得a 范围．
【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i 在复平面内对应的点在第二象限，
∴
，解得a＜﹣1．
则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（
）
A．2
B．
C．
D．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当k=0 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2，
当k=1 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=
，
当k=2 时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=
，
当k=3 时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为：
，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
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4．（5 分）若x，y 满足
，则x+2y 的最大值为（
）
A．1
B．3
C．5
D．9
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．
【解答】解：x，y 满足
的可行域如图：
由可行域可知目标函数z=x+2y 经过可行域的A 时，取得最大值，由
，可得A（3，3），
目标函数的最大值为：3+2×3=9．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
5．（5 分）已知函数f（x）=3x﹣（
）x，则f（x）（
）
A．是奇函数，且在R 上是增函数
B．是偶函数，且在R 上是增函数
C．是奇函数，且在R 上是减函数
D．是偶函数，且在R 上是减函数
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3x 为增函数，y=（
）x 为减函数，结合“增”
﹣“减”=“增”可得答案．
【解答】解：f（x）=3x﹣（
）x=3x﹣3
﹣x，
∴f（﹣x）=3
﹣x﹣3x=﹣f（x），
即函数f（x）为奇函数，
又由函数y=3x 为增函数，y=（
）x 为减函数，
故函数f（x）=3x﹣（
）x 为增函数，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础
题．
6．（5 分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是“ • ＜0”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．反之不成立，
非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．即可判断出结论．
【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得=λ ，则向量，共线且方向相反，可得• ＜0．
反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足• ＜0，而=λ 不成立．
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∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ ”是• ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
7．（5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（
）
A．3
B．2
C．2
D．2
【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：由三视图可得直观图，
再四棱锥P﹣ABCD 中，
最长的棱为PA，
即PA=
=
=2
，
故选：B．
【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．
8．（5 分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为
1080，则下列各数中与
最接近的是（
）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073
D．1093
【分析】根据对数的性质：T=
，可得：3=10lg3≈100.48，代入M 将M 也化为10 为底的指数形式，进而可得
结果．
【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，
∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，
∴
≈
=1093，
故选：D．
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【点评】本题解题关键是将一个给定正数T 写成指数形式：T=
，考查指数形式与对数形式的互化，属于简
单题．
二、填空题（每小题5 分）
9．（5 分）若双曲线x2﹣
=1 的离心率为
，则实数m=
2
．
【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
【解答】解：双曲线x2﹣
=1（m＞0）的离心率为
，
可得：
，
解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力．
10．（5 分）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，则
=
1
．
【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果．
【解答】解：等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=﹣1，a4=b4=8，
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．
可得：8=﹣1+3d，d=3，a2=2；
8=﹣q3，解得q=﹣2，∴b2=2．
可得
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．
11．（5 分）在极坐标系中，点A 在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0 上，点P 的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为
1
．
【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P 的距离的最小值．
【解答】解：设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0 为圆C，将圆C 的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，
再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；
如图，当A 在CP 与⊙C 的交点Q 处时，|AP|最小为：
|AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大．
12．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=
，则cos
（α﹣β）=
﹣
．
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【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=
，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出
方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出
【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，
∴sinα=sinβ=
，cosα=﹣cosβ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos2α+sin2α=2sin2α﹣1=
﹣1=﹣
方法二：∵sinα=
，
当α在第一象限时，cosα=
，
∵α，β角的终边关于y 轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα=
，cosβ=﹣cosα=﹣
，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣
×
+
×
=﹣
：∵sinα=
，
当α在第二象限时，cosα=﹣
，
∵α，β角的终边关于y 轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα=
，cosβ=﹣cosα=
，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣
×
+
×
=﹣
综上所述cos（α﹣β）=﹣
，
故答案为：﹣
【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题
13．（5 分）能够说明“设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c 的值依次为
﹣
1，﹣2，﹣3
．
【分析】设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即
可，本题答案不唯一
【解答】解：设a，b，c 是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，
则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，
可设a，b，c 的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），
故答案为：﹣1，﹣2，﹣3
【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．
14．（5 分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai 的横、纵坐标分别为第i 名工
人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，
3．
（1）记Qi为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3 中最大的是
Q1
．
（2）记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3 中最大的是
p2
．
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【分析】（1）若Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=Ai 的综坐标+Bi 的纵坐标；进而得到答案．
（2）若pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi 为AiBi 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．
【解答】解：（1）若Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，
Q1=A1 的纵坐标+B1 的纵坐标；
Q2=A2 的纵坐标+B2 的纵坐标，
Q3=A3 的纵坐标+B3 的纵坐标，
由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3 中最大的是Q1，
（2）若pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
则pi 为AiBi 中点与原点连线的斜率，
故p1，p2，p3 中最大的是p2
故答案为：Q1，p2
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Qi 和pi 的几何意义，是解答的关键．
三、解答题
15．（13 分）在△ABC 中，∠A=60°，c=
a．
（1）求sinC 的值；
（2）若a=7，求△ABC 的面积．
【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案，
（2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∠A=60°，c=
a，
由正弦定理可得sinC=
sinA=
×
=
，
（2）a=7，则c=3，
∴C＜A，
由（1）可得cosC=
，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
×
+
×
=
，
∴S△ABC=
acsinB=
×7×3×
=6
．
【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题
16．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M 在线段PB 上，PD
∥平面MAC，PA=PD=
，AB=4．
（1）求证：M 为PB 的中点；
（2）求二面角B﹣PD﹣A 的大小；
（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
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【分析】（1）设AC∩BD=O，则O 为BD 的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线
段成比例可得M 为PB 的中点；
（2）取AD 中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
再证明OG⊥AD．以G 为坐标原点，分别以GD、GO、GP 所在直线为x、y、z 轴距离空间直角坐标系，求出平面
PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A 的大小；
（3）求出
的坐标，由
与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC 与平面BDP 所成角的正弦
值．
【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM，
∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，
∴PD∥OM，则
，即M 为PB 的中点；
（2）解：取AD 中点G，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，
由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．
以G 为坐标原点，分别以GD、GO、GP 所在直线为x、y、z 轴距离空间直角坐标系，
由PA=PD=
，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，
），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣
1，2，
），
，
．
设平面PBD 的一个法向量为
，
则由
，得
，取z=
，得
．
取平面PAD 的一个法向量为
．
∴cos＜
＞=
=
．
∴二面角B﹣PD﹣A 的大小为60°；
（3）解：
，平面BDP 的一个法向量为
．
∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos＜
＞|=|
|=|
|=
．
【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．
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17．（13 分）为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药．一
段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．
（1）从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60 的概率；
（2）从图中A，B，C，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7 的人数，求ξ的分布列和数
学期望E（ξ）；
（3）试判断这100 名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）
【分析】（1）由图求出在50 名服药患者中，有15 名患者指标y 的值小于60，由此能求出从服药的50 名患者中随
机选出一人，此人指标小于60 的概率．
（2）由图知：A、C 两人指标x 的值大于1.7，而B、D 两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2 人中指标x
的值大于1.7 的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．
（3）由图知100 名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．
【解答】解：（1）由图知：在50 名服药患者中，有15 名患者指标y 的值小于60，
则从服药的50 名患者中随机选出一人，此人指标小于60 的概率为：
p=
=
．
（2）由图知：A、C 两人指标x 的值大于1.7，而B、D 两人则小于1.7，
可知在四人中随机选项出的2 人中指标x 的值大于1.7 的人数ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=
，
P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=2）=
=
，
∴ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
E（ξ）=
=1．
（3）由图知100 名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、
运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
18．（14 分）已知抛物线C：y2=2px 过点P（1，1）．过点（0，
）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M，N，过
点M 作x 轴的垂线分别与直线OP、ON 交于点A，B，其中O 为原点．
（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A 为线段BM 的中点．
【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C 的方程，焦点坐标和准线方程；
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（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+
，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=
，x1x2=
，
根据中点的定义即可证明．
【解答】解：（1）∵y2=2px 过点P（1，1），
∴1=2p，
解得p=
，
∴y2=x，
∴焦点坐标为（
，0），准线为x=﹣
，
（2）证明：设过点（0，
）的直线方程为
y=kx+
，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴直线OP 为y=x，直线ON 为：y=
x，
由题意知A（x1，x1），B（x1，
），
由
，可得k2x2+（k﹣1）x+
=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
∴y1+
=kx1+
+
=2kx1+
=2kx1+
=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，
∴A 为线段BM 的中点．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．
19．（13 分）已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，
]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，
]的单调性，即可得
到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x 的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=excosx﹣x 的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
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令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex•sinx，
当x∈[0，
]，可得g′（x）=﹣2ex•sinx≤0，
即有g（x）在[0，
]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0，
]递减，
即有函数f（x）在区间[0，
]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（
）=e
cos
﹣
=﹣
．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次
求导是解题的关键，属于中档题．
20．（13 分）设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann}（n=1，2，3，…），其中
max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs 这s 个数中最大的数．
（1）若an=n，bn=2n﹣1，求c1，c2，c3 的值，并证明{cn}是等差数列；
（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m 时，
＞M；或者存在正整数m，使得cm，cm+1，cm+2，…
是等差数列．
【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）
≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，则cn=b1﹣na1=1﹣n，cn+1﹣cn=﹣1 对∀n∈N*均成立；
（2）由bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，
d1＜0 三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得cm，cm+1，cm+2，…是等差数列；设
=An+B+
对任
意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，
＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正
整数m，使得当n≥m 时，
＞M．
【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，
当n=1 时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，
当n=2 时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，
当n=3 时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，
下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有cn=b1﹣na1，
当n∈N*，且2≤k≤n 时，
则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1），
=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，
=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），
=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，
则（bk﹣nak）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥bk﹣nak，
因此，对∀n∈N*，且n≥2，cn=b1﹣na1=1﹣n，
cn+1﹣cn=﹣1，
∴c2﹣c1=﹣1，
∴cn+1﹣cn=﹣1 对∀n∈N*均成立，
∴数列{cn}是等差数列；
（2）证明：设数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，下面考虑的cn 取值，
由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，bn﹣ann，
考虑其中任意bi﹣ain，（i∈N*，且1≤i≤n），
则bi﹣ain=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，
=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），
下面分d1=0，d1＞0，d1＜0 三种情况进行讨论，
①若d1=0，则bi﹣ain═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，
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当若d2≤0，则（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，
则对于给定的正整数n 而言，cn=b1﹣a1n，此时cn+1﹣cn=﹣a1，
∴数列{cn}是等差数列；
当d2＞0，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣n）d2＞0，
则对于给定的正整数n 而言，cn=bn﹣ann=bn﹣a1n，
此时cn+1﹣cn=d2﹣a1，
∴数列{cn}是等差数列；
此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；
②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2 为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在m∈N*，使得n≥m 时，﹣d1n+d2＜0，
则当n≥m 时，（bi﹣ain）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），
因此当n≥m 时，cn=b1﹣a1n，
此时cn+1﹣cn=﹣a1，故数列{cn}从第m 项开始为等差数列，命题成立；
③若d1＜0，此时﹣d1n+d2 为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数，
故必存在s∈N*，使得n≥s 时，﹣d1n+d2＞0，
则当n≥s 时，（bi﹣ain）﹣（bn﹣ann）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），
因此，当n≥s 时，cn=bn﹣ann，
此时=
=﹣an+
，
=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+
，
令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，
下面证明：
=An+B+
对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，
＞M，
若C≥0，取m=[
+1]，[x]表示不大于x 的最大整数，
当n≥m 时，
≥An+B≥Am+B=A[
+1]+B＞A•
+B=M，
此时命题成立；
若C＜0，取m=[
]+1，
当n≥m 时，
≥An+B+
≥Am+B+C＞A•
+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，
此时命题成立，
因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m 时，
＞M；
综合以上三种情况，命题得证．
【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生
分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．
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2016 年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）=（
）
A．[2，3]
B．（﹣2，3] C．[1，2）
D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n 满足m∥α，n⊥β，则（
）
A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n
3．（5 分）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域
中的点
在直线x+y﹣2=0 上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（
）
A．2
B．4
C．3
D．6
4．（5 分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（
）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
5．（5 分）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（
）
A．与b 有关，且与c 有关B．与b 有关，但与c 无关
C．与b 无关，且与c 无关D．与b 无关，但与c 有关
6．（5 分）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，
Bn ≠Bn+1 ，n ∈N* ，（P ≠Q 表示点P 与Q 不重合）若dn=|AnBn| ，Sn 为△AnBnBn+1 的面积，则（
）
A．{Sn}是等差数列
B．{Sn2}是等差数列
C．{dn}是等差数列
D．{dn2}是等差数列
7．（5 分）已知椭圆
与双曲线C2：
﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2 分别为C1，C2
的离心率，则（
）
A．m＞n 且e1e2＞1
B．m＞n 且e1e2＜1
C．m＜n 且e1e2＞1
D．m＜n 且e1e2＜1
8．（5 分）已知实数a，b，c．（
）
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
9．（4 分）若抛物线y2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是
．
10．（6 分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=
，b=
．
11．（6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
cm2，体积是
cm3．
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12．（6 分）已知a＞b＞1，若logab+logba=
，ab=ba，则a=
，b=
．
13．（6 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=
，S5=
．
14．（4 分）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D，满足PD=DA，
PB=BA，则四面体PBCD 的体积的最大值是
．
15．（4 分）已知向量
，，| |=1，| |=2，若对任意单位向量，均有| • |+| • |≤
，则
• 的最大值
是
．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC 的面积S=
，求角A 的大小．
17．（15 分）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F 的余弦值．
18．（15 分）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2 成立的x 的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）
19．（15 分）如图，设椭圆C：
+y2=1（a＞1）
（Ⅰ）求直线y=kx+1 被椭圆截得到的弦长（用a，k 表示）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
20．（15 分）设数列满足|an﹣
|≤1，n∈N*．
（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（Ⅱ）若|an|≤（
）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）=（
）
A．[2，3]
B．（﹣2，3] C．[1，2）
D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）
【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．
【解答】解：Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2 或x≤﹣2}，
即有∁RQ={x∈R|﹣2＜x＜2}，
则P∪（∁RQ）=（﹣2，3]．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．
2．（5 分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n 满足m∥α，n⊥β，则（
）
A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n 满足m∥α，
∴m∥β或m⊂β或m 与β相交，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3．（5 分）在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域
中的点
在直线x+y﹣2=0 上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（
）
A．2
B．4
C．3
D．6
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线x+y﹣2=0 上的投影构成线段R′Q′，即SAB，
而R′Q′=RQ，
由
得
，即Q（﹣1，1）
由
得
，即R（2，﹣2），
则|AB|=|QR|=
=
=3
，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题
的关键．
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4．（5 分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（
）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可
【解答】解：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2“
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．
5．（5 分）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（
）
A．与b 有关，且与c 有关B．与b 有关，但与c 无关
C．与b 无关，且与c 无关D．与b 无关，但与c 有关
【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断．
【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，
∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c 无关，
当b=0 时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣
cos2x+
+c 的最小正周期为T=
=π，
当b≠0 时，f（x）=﹣
cos2x+bsinx+
+c，
∵y=cos2x 的最小正周期为π，y=bsinx 的最小正周期为2π，
∴f（x）的最小正周期为2π，
故f（x）的最小正周期与b 有关，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．
6．（5 分）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1，n∈N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，
Bn ≠Bn+1 ，n ∈N* ，（P ≠Q 表示点P 与Q 不重合）若dn=|AnBn| ，Sn 为△AnBnBn+1 的面积，则（
）
A．{Sn}是等差数列
B．{Sn2}是等差数列
C．{dn}是等差数列
D．{dn2}是等差数列
【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c 不
确定，判断C，D 不正确，设△AnBnBn+1 的底边BnBn+1 上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=
d•hn，
可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列{Sn}为等差数列．
【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，c 不确定，则{dn}不一定是等差数列，
{dn2}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1 的底边BnBn+1 上的高为hn，
由三角形的相似可得
=
=
，
=
=
，
两式相加可得，
=
=2，
即有hn+hn+2=2hn+1，
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由Sn=
d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，
则数列{Sn}为等差数列．
另解：可设△A1B1B2，△A2B2B3，…，AnBnBn+1 为直角三角形，
且A1B1，A2B2，…，AnBn 为直角边，
即有hn+hn+2=2hn+1，
由Sn=
d•hn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn，
则数列{Sn}为等差数列．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中
档题．
7．（5 分）已知椭圆
与双曲线C2：
﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2 分别为C1，C2
的离心率，则（
）
A．m＞n 且e1e2＞1
B．m＞n 且e1e2＜1
C．m＜n 且e1e2＞1
D．m＜n 且e1e2＜1
【分析】由题意可得m2﹣1=n2+1，即m2=n2+2，由条件可得m＞n，再由离心率公式，即可得到结论．
【解答】解：由题意可得m2﹣1=n2+1，即m2=n2+2，
又m＞1，n＞0，则m＞n，
由e12•e22=
•
=
•
=
=1+
＞1，
则e1•e2＞1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属
于中档题．
8．（5 分）已知实数a，b，c．（
）
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100
B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100
C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100
D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100
【分析】本题可根据选项特点对a，b，c 设定特定值，采用排除法解答．
【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；
B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；
C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
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9．（4 分）若抛物线y2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是
9
．
【分析】根据抛物线的性质得出M 到准线x=﹣1 的距离为10，故到y 轴的距离为9．
【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1，
∵点M 到焦点的距离为10，
∴点M 到准线x=﹣1 的距离为10，
∴点M 到y 轴的距离为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
10．（6 分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=
，b=
1
．
【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．
【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+
（
cos2x+
sin2x）
=
sin（2x+
）+1，
∴A=
，b=1，
故答案为：
；1．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
11．（6 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是
80
cm2，体积是
40
cm3．
【分析】由三视图可得，该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，代入体积公式和面积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可得，该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，
则其表面积为6×22+2×42+4×2×4﹣2×22=80cm2，
其体积为23+4×2×4=40，
故答案为：80，40
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何
量，考查空间想象能力．
12．（6 分）已知a＞b＞1，若logab+logba=
，ab=ba，则a=
4
，b=
2
．
【分析】设t=logba 并由条件求出t 的范围，代入logab+logba=
化简后求出t 的值，得到a 与b 的关系式代入ab=ba
化简后列出方程，求出a、b 的值．
【解答】解：设t=logba，由a＞b＞1 知t＞1，
代入logab+logba=
得
，
即2t2﹣5t+2=0，解得t=2 或t=
（舍去），
所以logba=2，即a=b2，
因为ab=ba，所以b2b=ba，则a=2b=b2，
解得b=2，a=4，
故答案为：4；2．
【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．
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13．（6 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=
1
，S5=
121
．
【分析】运用n=1 时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1 时，an+1=Sn+1﹣Sn，结合条件，计
算即可得到所求和．
【解答】解：由n=1 时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，
又S2=4，即a1+a2=4，
即有3a1+1=4，解得a1=1；
由an+1=Sn+1﹣Sn，可得
Sn+1=3Sn+1，
由S2=4，可得S3=3×4+1=13，
S4=3×13+1=40，
S5=3×40+1=121．
故答案为：1，121．
【点评】本题考查数列的通项和前n 项和的关系：n=1 时，a1=S1，n＞1 时，an=Sn﹣Sn﹣1，考查运算能力，属于中档
题．
14．（4 分）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D，满足PD=DA，
PB=BA，则四面体PBCD 的体积的最大值是
．
【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD 是由△ABD 绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD，底面
积BCD 为定值，要使得体积最大，△PBD 必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．
【解答】解：如图，M 是AC 的中点．
①当AD=t ＜AM=
时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，
DM=
﹣t，由△ADE∽△BDM，可得
，∴h=
，
V=
=
，t∈（0，
）
②当AD=t ＞AM=
时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，
DM=t﹣
，由等面积，可得
，∴
，
∴h=
，
∴V=
=
，t∈（
，2
）
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综上所述，V=
，t∈（0，2
）
令m=
∈[1，2），则V=
，∴m=1 时，Vmax=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技
巧有一定要求，难度大．
15．（4 分）已知向量，，| |=1，| |=2，若对任意单位向量，均有| • |+| • |≤
，则• 的最大值是
．
【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．
【解答】解：由绝对值不等式得
≥| • |+| • |≥| • + • |=|（+ ）• |，
于是对任意的单位向量，均有|（+ ）• |≤
，
∵|（+ ）|2=| |2+| |2+2 • =5+2 • ，
∴|（+ ）|=
，
因此|（+ ）• |的最大值
≤
，
则• ≤
，
下面证明：• 可以取得
，
（1）若| • |+| • |=| • + • |，则显然满足条件．
（2）若| • |+| • |=| • ﹣• |，此时| ﹣|2=| |2+| |2﹣2 • =5﹣1=4，
此时| ﹣|=2 于是| • |+| • |=| • ﹣• |≤2，符合题意，
综上• 的最大值是
，
法2：由于任意单位向量，可设=
，
则| • |+| • |=|
|+|
|≥||
+
|=|
|=| + |，
∵| • |+| • |≤
，∴| + |≤
，
即（+ ）2≤6，
即| |2+| |2+2 • ≤6，
∵| |=1，| |=2，
∴• ≤
，
即• 的最大值是
．
法三：设
= ，
= ，
= ，
则
= + ，
= ﹣，
| • |+| • |=|
|+|
|=|
|≤|
|，
由题设当且仅当与
同向时，等号成立，此时（+ ）2 取得最大值6，
由于| + |2+| ﹣|）2=2（| |2+| |2）=10，
于是（﹣）2 取得最小值4，
则• =
，
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• 的最大值是
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题
的关键．综合性较强，有一定的难度．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC 的面积S=
，求角A 的大小．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B
（Ⅱ）若△ABC 的面积S=
，则
bcsinA=
，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A 的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）
∵A，B 是三角形中的角，
∴B=A﹣B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC 的面积S=
，
∴
bcsinA=
，
∴2bcsinA=a2，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．
17．（15 分）如图，在三棱台ABC﹣DEF 中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F 的余弦值．
【分析】（I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F 的平面角，再在Rt△BQF 中计算，即可得出；
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方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK 与平面ABK 的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F 的平面角
的余弦值．
【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF 相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF⊥CK，
∴BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：过点F 作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，
∴BQ⊥AK．∴∠BQF 是二面角B﹣AD﹣F 的平面角．
在Rt△ACK 中，AC=3，CK=2，可得FQ=
．
在Rt△BQF 中，BF=
，FQ=
．可得：cos∠BQF=
．
∴二面角B﹣AD﹣F 的平面角的余弦值为
．
方法二：如图，延长AD，BE，CF 相交于点K，则△BCK 为等边三角形，
取BC 的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，
以点O 为原点，分别以OB，OK 的方向为x，z 的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．
可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，
），A（﹣1，﹣3，0），
，
．
=（0，3，0），
=
，
=（2，3，0）．
设平面ACK 的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABK 的法向量为=（x2，y2，z2），由
，可得
，
取=
．
由
，可得
，取=
．
∴
=
=
．
∴二面角B﹣AD﹣F 的余弦值为
．
【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中
档题．
18．（15 分）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
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（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2 成立的x 的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）
【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1 时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F
（x）=x2﹣2ax+4a﹣2 成立的x 的取值范围；
（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）
的最小值；
（ii）分别对当0≤x≤2 时，当2＜x≤6 时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在[0，6]上的最大值M（a）．
【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1 时，
x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；
当x＞1 时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），
则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2 成立的x 的取值范围是[2，2a]；
（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，
则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．
由﹣a2+4a﹣2=0，解得a1=2+
，a2=2﹣
（负的舍去），
由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，
即m（a）=
；
（ii）当0≤x≤2 时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；
当2＜x≤6 时，f（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}
=max{2，34﹣8a}=max{f（2），f（6）}．
则M（a）=
．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，
考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（15 分）如图，设椭圆C：
+y2=1（a＞1）
（Ⅰ）求直线y=kx+1 被椭圆截得到的弦长（用a，k 表示）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
【分析】（Ⅰ）联立直线y=kx+1 与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．
（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A 与椭圆有4 个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的
圆与椭圆至多有3 个公共点，a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：
，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，
得x1=0 或x2=
，
直线y=kx+1 被椭圆截得到的弦长为：
=
．
（Ⅱ）假设圆A 与椭圆有4 个公共点，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，
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记直线AP，AQ 的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|=
，
|AQ|=
，
故：
=
，
所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2，
k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0，
因此
a2（a2﹣2）①，
因为①式关于k1，k2 的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1，
所以a＞
．
因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a≤
，
e=
=
得，所求离心率的取值范围是：
．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的
能力，考查转化思想以及计算能力．
20．（15 分）设数列满足|an﹣
|≤1，n∈N*．
（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）
（Ⅱ）若|an|≤（
）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．
【分析】（I）使用三角不等式得出|an|﹣
|an+1|≤1，变形得
﹣
≤
，使用累加法可求得
＜1，即结论成立；
（II）利用（I）的结论得出
﹣
＜
，进而得出|an|＜2+（
）m•2n，利用m 的任意性可证|an|≤2．
【解答】解：（I）∵|an﹣
|≤1，∴|an|﹣
|an+1|≤1，
∴
﹣
≤
，n∈N*，
∴
= （
﹣
）+ （
﹣
）+…+ （
﹣
）≤
+
+
+…+
=
=1﹣
＜1．
∴|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．
（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，
﹣
=（
﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）
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≤
+
+…+
=
＜
．
∴|an|＜（
+
）•2n≤[
+
•（
）m]•2n=2+（
）m•2n．①
由m 的任意性可知|an|≤2．
否则，存在n0∈N*，使得|a
|＞2，
取正整数m0＞log
且m0＞n0，则
2
•（
）
＜2
•（
）
=|a
|﹣2，与①式矛盾．
综上，对于任意n∈N*，都有|an|≤2．
【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．
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2016 年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（
）
A．{1}
B．{4}
C．{1，3}
D．{1，4}
2．（5 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x+5y 的最小值为（
）
A．﹣4
B．6
C．10
D．17
3．（5 分）在△ABC 中，若AB=
，BC=3，∠C=120°，则AC=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（5 分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S 的值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．（5 分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（
）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近
线相交于A，B，C，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
7．（5 分）已知△ABC 是边长为1 的等边三角形，点D、E 分别是边AB、BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得
DE=2EF，则
•
的值为（
）
A．﹣
B．
C．
D．
8．（5 分）已知函数f（x）=
（a＞0，且a≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f（x）
|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（
）
A．（0，
]
B．[
，
] C．[
，
]∪{
}
D．[
，
）∪{
}
二、填空题
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9．（5 分）已知a，b∈R，i 是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则
的值为
．
10．（5 分）（x2﹣
）8 的展开式中x7 的系数为
（用数字作答）
11．（5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
m3
12．（5 分）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE 的长为
．
13．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f（2
|a﹣1|）＞f
（﹣
），则a 的取值范围是
．
14．（5 分）设抛物线
（t 为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为
B，设C（
p，0），AF 与BC 相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为3
，则p 的值为
．
三、计算题
15．（13 分）已知函数f（x）=4tanxsin（
﹣x）cos（x﹣
）﹣
．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）讨论f（x）在区间[﹣
，
]上的单调性．
16．（13 分）某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数分别为2，4，4．现
从这10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A 为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
（II）设X 为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
17．（13 分）如图，正方形ABCD 的中心为O，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G 为AB 的中点，
AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C 的正弦值；
（3）设H 为线段AF 上的点，且AH=
HF，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．
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18．（13 分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N
+，bn 是an 和an+1 的等比中项．
（1）设cn=bn+12﹣bn2，n∈N
+，求证：数列{cn}是等差数列；
（2）设a1=d，Tn=
（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：
＜
．
19．（14 分）设椭圆
+
=1（a＞
）的右焦点为F，右顶点为A．已知
+
=
，其中O 为原点，
e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B（B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥
HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l 的斜率的取值范围．
20．（14 分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于
．
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2016 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5 分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（
）
A．{1}
B．{4}
C．{1，3}
D．{1，4}
【分析】把A 中元素代入y=3x﹣2 中计算求出y 的值，确定出B，找出A 与B 的交集即可．
【解答】解：把x=1，2，3，4 分别代入y=3x﹣2 得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=2x+5y 的最小值为（
）
A．﹣4
B．6
C．10
D．17
【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l0：2x+5y=0，平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y 取
得最小值6．
【解答】解：作出不等式组
表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y 取得最小值6．
故选：B．
【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的
平面区域．
3．（5 分）在△ABC 中，若AB=
，BC=3，∠C=120°，则AC=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC 中，若AB=
，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1 或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．
4．（5 分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S 的值为（
）
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A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可．
【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判断不满足条件n＞3：
第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判断n＞3 不满足条件，
第五次判断S＞6 不满足条件，S=4．n=4，
第六次判断满足条件n＞3，
故输出S=4，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
5．（5 分）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（
）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．
【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，
若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：当首项为2，q=﹣
时，各项为2，﹣1，
，﹣
，…，此时2+（﹣1）=1＞0，
+（﹣
）=
＞0；
而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，
故选：C．
【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
6．（5 分）已知双曲线
﹣
=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近
线相交于A，B，C，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±
x，
利用四边形ABCD 的面积为2b，求出A 的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．
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【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±
x，
设A（x，
x），则∵四边形ABCD 的面积为2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1
将A（1，
）代入x2+y2=4，可得1+
=4，∴b2=12，
∴双曲线的方程为
﹣
=1，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
7．（5 分）已知△ABC 是边长为1 的等边三角形，点D、E 分别是边AB、BC 的中点，连接DE 并延长到点F，使得
DE=2EF，则
•
的值为（
）
A．﹣
B．
C．
D．
【分析】由题意画出图形，把
、
都用
表示，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵D、E 分别是边AB、BC 的中点，且DE=2EF，
∴
•
=
=
=
=
=
=
=
=
．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
8．（5 分）已知函数f（x）=
（a＞0，且a≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f（x）
|=2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（
）
A．（0，
]
B．[
，
] C．[
，
]∪{
}
D．[
，
）∪{
}
【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a 的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，
利用函数的图象，方程的解的个数，推出a 的范围．
【解答】解：y=loga（x+1）+1 在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，
函数f（x）在R 上单调递减，则：
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；
解得，
；
由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x 有且仅有一个解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x 同样有且仅有一个解，
当3a＞2 即a＞
时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，
则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，
解得a=
或1（舍去），
当1≤3a≤2 时，由图象可知，符合条件，
综上：a 的取值范围为[
，
]∪{
}，
故选：C．
【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数
形结合的思想，属于中档题．
二、填空题
9．（5 分）已知a，b∈R，i 是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则
的值为
2
．
【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b 的方程，解得a，b 的值，进而可得答案．
【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，
∴
，
解得：
，
∴
=2，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．
10．（5 分）（x2﹣
）8 的展开式中x7 的系数为
﹣56
（用数字作答）
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：Tr+1=
=
x16﹣3r，
令16﹣3r=7，解得r=3．
∴（x2﹣
）8 的展开式中x7 的系数为
=﹣56．
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故答案为：﹣56．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5 分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为
2
m3
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
棱锥的底面是底为2，高为1 的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，
棱锥的高h=3m，
故体积V=
=2m3，
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．（5 分）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE 的长为
．
【分析】由BD=ED，可得△BDE 为等腰三角形，过D 作DH⊥AB 于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE 中求出
DE，再由相交弦定理求得CE．
【解答】解：如图，
过D 作DH⊥AB 于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH2=AH•BH=2，则DH=
，
在Rt△DHE 中，则
，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴
．
故答案为：
．
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【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．
13．（5 分）已知f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f（2
|a﹣1|）＞f
（﹣
），则a 的取值范围是
（
，
）
．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
则f（2
|a﹣1|）＞f（﹣
），等价为f（2
|a﹣1|）＞f（
），
即﹣
＜2
|a﹣1|＜
，
则|a﹣1|＜
，即
＜a＜
，
故答案为：（
，
）
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
14．（5 分）设抛物线
（t 为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为
B，设C（
p，0），AF 与BC 相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为3
，则p 的值为
．
【分析】化简参数方程为普通方程，求出F 与l 的方程，然后求解A 的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即
可．
【解答】解：抛物线
（t 为参数，p＞0）的普通方程为：y2=2px 焦点为F（
，0），如图：过抛物线上一
点A 作l 的垂线，垂足为B，设C（
p，0），AF 与BC 相交于点E．|CF|=2|AF|，
|CF|=3p，|AB|=|AF|=
p，A（p，
），
△ACE 的面积为3
，
，
可得
=S△ACE．
即：
=3
，
解得p=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
三、计算题
15．（13 分）已知函数f（x）=4tanxsin（
﹣x）cos（x﹣
）﹣
．
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
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（2）讨论f（x）在区间[﹣
，
]上的单调性．
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．
（2）利用三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（
﹣x）cos（x﹣
）﹣
．
∴x≠kπ+
，即函数的定义域为{x|x≠kπ+
，k∈Z}，
则f（x）=4tanxcosx•（
cosx+
sinx）﹣
=4sinx（
cosx+
sinx）﹣
=2sinxcosx+2
sin2x﹣
=sin2x+
（1﹣cos2x）﹣
=sin2x﹣
cos2x
=2sin（2x﹣
），
则函数的周期T=
；
（2）由2kπ﹣
≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z，
得kπ﹣
≤x≤kπ+
，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣
，kπ+
]，k∈Z，
当k=0 时，增区间为[﹣
，
]，k∈Z，
∵x∈[﹣
，
]，∴此时x∈[﹣
，
]，
由2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
，k∈Z，
得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z，
当k=﹣1 时，减区间为[﹣
，﹣
]，k∈Z，
∵x∈[﹣
，
]，∴此时x∈[﹣
，﹣
]，
即在区间[﹣
，
]上，函数的减区间为∈[﹣
，﹣
]，增区间为[﹣
，
]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将
函数进行化简是解决本题的关键．
16．（13 分）某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数分别为2，4，4．现
从这10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A 为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
（II）设X 为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．
【分析】（I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A 发生的概率；
（Ⅱ）根据题意知随机变量X 的所有可能取值，
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计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（I）由已知得：
，
所以，事件A 发生的概率为
；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）
（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
计算
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7 分）
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分）
所以，随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
随机变量X 的数学期望为
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．
17．（13 分）如图，正方形ABCD 的中心为O，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G 为AB 的中点，
AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C 的正弦值；
（3）设H 为线段AF 上的点，且AH=
HF，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．
【分析】（1）取AD 的中点I，连接FI，证明四边形EFIG 是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证
明：EG∥平面ADF；
（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF 的法向量，平面OEF 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求
二面角O﹣EF﹣C 的正弦值；
（3）求出
=（﹣
，
，
），利用向量的夹角公式求出直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：取AD 的中点I，连接FI，
∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，
∵G，I 是中点，
∴GI∥BD，GI=
BD．
∵O 是正方形ABCD 的中心，
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∴OB=
BD．
∴EF∥GI，EF=GI，
∴四边形EFIG 是平行四边形，
∴EG∥FI，
∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，
∴EG∥平面ADF；
（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣
，0），C（
，0，0），E（0，﹣
，2），
F（0，0，2），
设平面CEF 的法向量为=（x，y，z），则
，取=（
，0，1）
∵OC⊥平面OEF，
∴平面OEF 的法向量为=（1，0，0），
∵|cos＜，＞|=
∴二面角O﹣EF﹣C 的正弦值为
=
；
（3）解：AH=
HF，∴
=
=（
，0，
）．
设H（a，b，c），则
=（a+
，b，c）=（
，0，
）．
∴a=﹣
，b=0，c=
，
∴
=（﹣
，
，
），
∴直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值=|cos＜
，＞|=
=
．
【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C 的正弦值，直线BH 和平面CEF 所成角的正弦
值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（13 分）已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N
+，bn 是an 和an+1 的等比中项．
（1）设cn=bn+12﹣bn2，n∈N
+，求证：数列{cn}是等差数列；
（2）设a1=d，Tn=
（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：
＜
．
【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{cn}的通项公式，结合等差数列
的定义进行证明即可．
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（2）求出Tn=
（﹣1）kbk2 的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可．
【解答】证明：（1）∵{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N
+，bn 是an 和an+1 的等比中项．
∴cn=b
﹣b
=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，
∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d2 为定值；
∴数列{cn}是等差数列；
（2）Tn=
（﹣1）kbk2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d
=2d2n（n+1），
∴
=
=
（1﹣
…+
﹣
）=
（1﹣
）
．
即不等式
成立．
【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的
通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
19．（14 分）设椭圆
+
=1（a＞
）的右焦点为F，右顶点为A．已知
+
=
，其中O 为原点，
e 为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B（B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥
HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l 的斜率的取值范围．
【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入
+
=
，转化为关于a 的方程，解方程求
得a 值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l 的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利
用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF ⊥HF ，得
，整理得到M 的坐标与k 的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，转化
为关于k 的不等式求得k 的范围．
【解答】解：（1）由
+
=
，得
，
即
，
∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．
∴椭圆方程为
；
（2）由已知设直线l 的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），
设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x0≥1，
再设H（0，yH），
联立
，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．
△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．
由根与系数的关系得
，
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∴
，
，
MH 所在直线方程为
，
令x=0，得
，
∵BF⊥HF，
∴
，
即1﹣x1+y1yH=
，
整理得：
，即8k2≥3．
∴
或
．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的
解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（14 分）设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于
．
【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0 时，f′（x）≥0，f（x）在R 上递增；当a＞0 时，由导数大于0，可得
增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分别计算f（x0），f（3﹣2x0），化简整理即可得证；
（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于
，即证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥
．讨
论当a≥3 时，当0＜a＜3 时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b 的导数为
f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，
当a≤0 时，f′（x）≥0，f（x）在R 上递增；
当a＞0 时，当x＞1+
或x＜1﹣
时，f′（x）＞0，
当1﹣
＜x＜1+
，f′（x）＜0，
可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣
），（1+
，+∞），减区间为（1﹣
，1+
）；
（2）证明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，
由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b
=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），
即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；
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（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于
，
只需证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥
．
当a≥3 时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞
，递减，成立；
当0＜a＜3 时，f（1﹣
）=（﹣
）3﹣a（1﹣
）﹣b=﹣
﹣a+a
﹣b
=
﹣a﹣b，
f（1+
）=（
）3﹣a（1+
）﹣b=
﹣a﹣a
﹣b
=﹣
﹣a﹣b，
f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（2）﹣f（0）=2﹣2a，
若0＜a≤
时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥
成立；
若a＞
时，f（1﹣
）﹣f（1+
）=
＞
成立．
综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于
．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，
考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．
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2016 年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z 为整数集，则A∩Z 中元素的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（5 分）设i 为虚数单位，则（x+i）6 的展开式中含x4 的项为（
）
A．﹣15x4
B．15x4 C．﹣20ix4
D．20ix4
3．（5 分）为了得到函数y=sin（2x﹣
）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（
）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
4．（5 分）用数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（
）
A．24
B．48
C．60
D．72
5．（5 分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015 年全年投入研发资金130 万元，在此
基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是（
）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018 年
B．2019 年
C．2020 年
D．2021 年
6．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项
式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个
实例，若输入n，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（
）
A．9
B．18
C．20
D．35
7．（5 分）设p：实数x，y 满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y 满足
，则p 是q 的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．
（5 分）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，
则直线OM 的斜率的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
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9．（5 分）设直线l1，l2 分别是函数f（x）=
图象上点P1，P2 处的切线，l1 与l2 垂直相交于点P，
且l1，l2 分别与y 轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）
10．（5 分）在平面内，定点A，B，C，D 满足
=
=
，
•
=
•
=
•
=﹣2，动点P，M 满
足
=1，
=
，则|
|2 的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．（5 分）
﹣
=
．
12．（5 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2 次试验中
成功次数X 的均值是
．
13．（5 分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积
是
．
14．（5 分）若函数f（x）是定义R 上的周期为2 的奇函数，当0＜x＜1 时，f（x）=4x，则f（﹣
）+f（2）=
．
15．（5 分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P′（
，
）；当P
是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C 的“伴随曲
线”．现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是
（写出所有真命题的序列）．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，
拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收
费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，
0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a 的值；
（Ⅱ）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．
17．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
+
=
．
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（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=
bc，求tanB．
18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=
AD．E 为棱AD 的中点，异面直
线PA 与CD 所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB 内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．
19．（12 分）已知数列{an}的首项为1，Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*．
（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2 成等差数列，求an 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣
=1 的离心率为en，且e2=
，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+en＞
．
20．（13 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3 个顶点，直线l：
y=﹣x+3 与椭圆E 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E 交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常
数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．
21．（14 分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得f（x）＞
﹣e1﹣x 在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．
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2016 年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，Z 为整数集，则A∩Z 中元素的个数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】由A 与Z，求出两集合的交集，即可作出判断．
【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤2}，Z 为整数集，
∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，
则A∩Z 中元素的个数是5，
故选：C．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）设i 为虚数单位，则（x+i）6 的展开式中含x4 的项为（
）
A．﹣15x4
B．15x4 C．﹣20ix4
D．20ix4
【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．
【解答】解：（x+i）6 的展开式中含x4 的项为
x4•i2=﹣15x4，
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．
3．（5 分）为了得到函数y=sin（2x﹣
）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（
）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：把函数y=sin2x 的图象向右平移
个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣
）=sin（2x﹣
）的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．（5 分）用数字1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（
）
A．24
B．48
C．60
D．72
【分析】用1、2、3、4、5 组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5 个空，要求个位是奇数，其它位置无条件
限制，因此先从3 个奇数中任选1 个填入，其它4 个数在4 个位置上全排列即可．
【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5 中的一个数，共有3 种排法，
然后还剩4 个数，剩余的4 个数可以在十位到万位4 个位置上全排列，共有
=24 种排法．
由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72 个．
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基
础题．
5．（5 分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015 年全年投入研发资金130 万元，在此
基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是（
）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018 年
B．2019 年
C．2020 年
D．2021 年
【分析】设第n 年开始超过200 万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．
【解答】解：设第n 年开始超过200 万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞
=3.8．
取n=2019．
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因此开始超过200 万元的年份是2019 年．
故选：B．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项
式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个
实例，若输入n，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（
）
A．9
B．18
C．20
D．35
【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v 的值，当i=﹣1 时，不满足条件i≥0，跳出循环，
输出v 的值为18．
【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：
v=1
i=2 v=1×2+2=4
i=1 v=4×2+1=9
i=0 v=9×2+0=18
i=﹣1 跳出循环，输出v 的值为18．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v 的值是解题的关键，属
于基础题．
7．（5 分）设p：实数x，y 满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y 满足
，则p 是q 的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】画出p，q 表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2 表示以（1，1）为圆心，以
为半径的圆内区域（包括边界）；
满足
的可行域如图有阴影部分所示，
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故p 是q 的必要不充分条件，
故选：A．
【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．
8．
（5 分）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，
则直线OM 的斜率的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【分析】由题意可得F（
，0），设P（
，y0），要求kOM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得
=
+
=
（
+
，
），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．
【解答】解：由题意可得F（
，0），设P（
，y0），
显然当y0＜0，kOM＜0；当y0＞0，kOM＞0．
要求kOM 的最大值，设y0＞0，
则
=
+
=
+
=
+
（
﹣
）
=
+
=（
+
，
），
可得kOM=
=
≤
=
，
当且仅当y02=2p2，取得等号．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查
运算能力，属于中档题．
9．（5 分）设直线l1，l2 分别是函数f（x）=
图象上点P1，P2 处的切线，l1 与l2 垂直相交于点P，
且l1，l2 分别与y 轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（
）
A．（0，1）
B．（0，2）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）
【分析】设出点P1，P2 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1 与l2 的斜率，由两直线垂直求得P1，P2 的
横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B 两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得
P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围．
【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），
当0＜x＜1 时，f′（x）=
，当x＞1 时，f′（x）=
，
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∴l1 的斜率
，l2 的斜率
，
∵l1 与l2 垂直，且x2＞x1＞0，
∴
，即x1x2=1．
直线l1：
，l2：
．
取x=0 分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
联立两直线方程可得交点P 的横坐标为x=
，
∴
|AB|•|xP|=
=
．
∵函数y=x+
在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，
∴
，则
，
∴
．
∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转
化思想方法，属中档题．
10．（5 分）在平面内，定点A，B，C，D 满足
=
=
，
•
=
•
=
•
=﹣2，动点P，M 满
足
=1，
=
，则|
|2 的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由
=
=
，可得D 为△ABC 的外心，又
•
=
•
=
•
，可得可得D 为△ABC 的垂
心，则D 为△ABC 的中心，即△ABC 为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC 的边长，以A 为坐标原点，
AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy，求得B，C 的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式
可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可
得到最大值．
【解答】解：由
=
=
，可得D 为△ABC 的外心，
又
•
=
•
=
•
，可得
•（
﹣
）=0，
•（
﹣
）=0，
即
•
=
•
=0，
即有
⊥
，
⊥
，可得D 为△ABC 的垂心，
则D 为△ABC 的中心，即△ABC 为正三角形．
由
•
=﹣2，即有|
|•|
|cos120°=﹣2，
解得|
|=2，△ABC 的边长为4cos30°=2
，
以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy，
可得B（3，﹣
），C（3，
），D（2，0），
由
=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
由
=
，可得M 为PC 的中点，即有M（
，
），
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则|
|2=（3﹣
）2+（
+
）2
=
+
=
=
，
当sin（θ﹣
）=1，即θ=
时，取得最大值，且为
．
故选：B．
【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考
查化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．（5 分）
﹣
=
．
【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值．
【解答】解：cos2
﹣sin2
=cos（2×
）=cos
=
．
故答案为：
【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．（5 分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2 次试验中
成功次数X 的均值是
．
【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2 次试验中成功次数X～B（2，
），由
此能求出在2 次试验中成功次数X 的均值E（X）．
【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，
∴这次试验成功的概率p=1﹣（
）2=
，
∴在2 次试验中成功次数X～B（2，
），
∴在2 次试验中成功次数X 的均值E（X）=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的
合理运用．
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13．（5 分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是
．
【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2
，高为1，棱锥的高为1，进而得到
答案．
【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2 的等腰三角形，
结合给定的三棱锥的正视图，
可得：三棱锥的底面是底为2
，高为1，
棱锥的高为1，
故棱锥的体积V=
×（
×2
×1）×1=
，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
14．（5 分）若函数f（x）是定义R 上的周期为2 的奇函数，当0＜x＜1 时，f（x）=4x，则f（﹣
）+f（2）=
﹣
2
．
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是定义R 上的周期为2 的奇函数，当0＜x＜1 时，f（x）=4x，
∴f（2）=f（0）=0，
f（﹣
）=f（﹣
+2）=f（﹣
）=﹣f（
）=﹣
=﹣
=﹣2，
则f（﹣
）+f（2）=﹣2+0=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．
15．（5 分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P′（
，
）；当P
是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C 的“伴随曲
线”．现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是
②③
（写出所有真命题的序列）．
【分析】利用新定义，对4 个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（
，
），则点A′（
，
）的“伴随点”
是点（﹣x，﹣y），故不正确；
②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；
③若曲线C 关于x 轴对称，点A（x，y）关于x 轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣
，
），
则其“伴随曲线”C′关于y 轴对称，故正确；
④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则
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∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（
，
），∴
，∴x=﹣
，y=
∵m=
，∴代入整理可得
n﹣1=0 表示圆，故不正确．
故答案为：②③．
【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，
拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收
费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，
0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a 的值；
（Ⅱ）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，并说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a 值；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3 吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3 吨的人数；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5 吨的频率及月均用水量低于3 吨的频率，进而可得x 值．
【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，
∴a=0.3；
（Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3 吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
由30×0.12=3.6 得：全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数约为3.6 万；
（Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5 吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%；
月均用水量低于3 吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%；
则x=2.5+0.5×
=2.9 吨
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题．
17．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且
+
=
．
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=
bc，求tanB．
【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．
（Ⅱ）由余弦定理求出A 的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B 的正切函数值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC 中，∵
+
=
，
∴由正弦定理得：
，
∴
=
，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
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（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=
bc，由余弦定理可得cosA=
．
sinA=
，
=
+
=
=1，
=
，
tanB=4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应
用，考查了转化思想，属于中档题．
18．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=
AD．E 为棱AD 的中点，异面直
线PA 与CD 所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB 内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．
【分析】（I）延长AB 交直线CD 于点M，由点E 为AD 的中点，可得AE=ED=
AD，由BC=CD=
AD，可得ED=BC，
已知ED∥BC．可得四边形BCDE 为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE
即可．
（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA 与CD 所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD
⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA 是二面角P﹣CD﹣A 的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=
AD=1．可
得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．
【解答】解：（I）延长AB 交直线CD 于点M，∵点E 为AD 的中点，∴AE=ED=
AD，
∵BC=CD=
AD，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB∥CD．
∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，
∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，
∵M∈AB，AB⊂平面PAB，
∴M∈平面PAB，故在平面PAB 内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．
（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA 与CD 所成的角为90°，AB∩CD=M，
∴AP⊥平面ABCD．
∴CD⊥PD，PA⊥AD．
因此∠PDA 是二面角P﹣CD﹣A 的平面角，大小为45°．
∴PA=AD．
不妨设AD=2，则BC=CD=
AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴
=（﹣1，1，0），
=（0，1，﹣2），
=（0，0，2），
设平面PCE 的法向量为=（x，y，z），则
，可得：
．
令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．
设直线PA 与平面PCE 所成角为θ，
则sinθ=
=
=
=
．
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【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，
属于中档题．
19．（12 分）已知数列{an}的首项为1，Sn 为数列{an}的前n 项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N*．
（Ⅰ）若2a2，a3，a2+2 成等差数列，求an 的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x2﹣
=1 的离心率为en，且e2=
，证明：e1+e2+⋅⋅⋅+en＞
．
【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{an}为首项等于1、公比为q 的等比数列，再根据2a2，
a3，a2+2 成等差数列求得公比q 的值，可得{an}的通项公式．
（Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得en=
，根据e2=
=
，求得q 的值，可得{an}的解析式，再
利用放缩法可得∴en=
＞
，从而证得不等式成立．
【解答】解：（Ⅰ）∵Sn+1=qSn+1 ①，∴当n≥2 时，Sn=qSn﹣1+1 ②，两式相减可得an+1=q•an，
即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．
当n=1 时，∵数列{an}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2 =a1•q，
∴数列{an}为等比数列，公比为q．
∵2a2，a3，a2+2 成等差数列，∴2a3=2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，或q=﹣
．
根据q＞0，故取q=2，∴an=2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）证明：设双曲线x2﹣
=1 的离心率为en，
∴en=
=
．
由于数列{an}为首项等于1、公比为q 的等比数列，
∴e2=
=
=
，q=
，
∴an=
，∴en=
=
＞
=
．
∴e1+e2+⋅⋅⋅+en＞1+
+
+…+
=
=
，原不等式得证．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，双曲线的简单性质，属于难题．
20．（13 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3 个顶点，直线l：
y=﹣x+3 与椭圆E 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E 交于不同的两点A、B，且与直线l 交于点P．证明：存在常
数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．
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【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C 与左右焦点F1、F2 构成等腰直角三角形，结合直线l 与椭圆E 只有一个交点，
利用判别式△=0，即可求出椭圆E 的方程和点T 的坐标；
（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=
y，把椭圆E 变为圆E′，利用圆幂定理求出λ的值，
从而证明命题成立．
【解法二】设出点P 的坐标，根据l′∥OT 写出l′的参数方程，代入椭圆E 的方程中，整理得出方程，
再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA|•|PB|求出λ的值．
【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），
F2（c，0），其中c＞0，则c2+b2=a2；
由题意，△F1F2C 为直角三角形，
∴
=
+
，解得b=c=
a，
∴椭圆E 的方程为
+
=1；
代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，
又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，
∴椭圆E 的方程为
+
=1；
由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T 的坐标为（2，1）；
（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=
y，
则椭圆E 变为圆E′：x′2+y′2=6，
设此时P、A、B、T 对应的点分别为P′、A′、B′、T′，
如图所示；
则
=
=
，
=
=
，
两式相比，得
：
=
，
由圆幂定理得，|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|，
所以
=
，即λ=
，原命题成立．
【解法二】设P（x0，3﹣x0）在l 上，由kOT=
，l′平行OT，
得l′的参数方程为
，
代入椭圆E 中，得
+2
=6，
整理得2t2+4t+
﹣4x0+4=0；
设两根为tA，tB，则有tA•tB=
；
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而|PT|2=
=2
，
|PA|=
=|
tA|，
|PB|=
=|
tB|，
且|PT|2=λ|PA|•|PB|，
∴λ=
=
=
，
即存在满足题意的λ值．
【另解】，判断出c=b，e=
，经仿射变换
=
×
E→⊙O′：x′2+y′2=a2；
lPT→lP′T′：
x+y﹣3
=0；
∴
=a=
，b=
a=
，
∴E：
+
=1；
设T（x0，y0），PT 为切线也是极线方程．
：
+
=1⇔x0x+2y0y﹣6=0⇔2x+2y﹣6=0，
∴T（2，1）；
证明：由图知，根据圆幂定理：
|P′T′|2=|P′A′|•|P′B′|，KOT=
，KO′T′=
，
KPT=﹣1，KP′T′=﹣
，
∴|PT|2=λ|PA|•|PB|，
∴
=
=
，
又
=
=
，
∴对比λ=
，原命题成立．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应
用问题，是难题．
21．（14 分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得f（x）＞
﹣e1﹣x 在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718…为自然对数的底数）．
【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a 分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即
可判断出其单调性；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣
+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣
+e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a
，
又，当a
时，F′（x）=2a+
≥
+e1﹣x，可得F′（x）在a
时恒大于0，即F（x）在x∈
（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）
＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a 所有可能取值．
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【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣
=
，x＞0，
①当a≤0 时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②当a＞0 时，f′（x）=
，当x∈（0，
）时，f′（x）＜0，
当x∈（
，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣
+e1﹣x＞0 在x∈（1．+∞）上恒成立，
一方面，令g（x）=f（x）﹣
+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣
+e1﹣x﹣a，
只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0 即可，
又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1 处必大于等于0．
令F（x）=g′（x）=2ax﹣
+
﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a
．
另一方面，当a
时，F′（x）=2a+
≥1+
=
+e1﹣x，
∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a
时恒大于0．
∴当a
时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．
∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．
∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．
综上，a
．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转
化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．
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2016 年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分.
1．（4 分）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1 的解集为
．
2．（4 分）设z=
，其中i 为虚数单位，则Imz=
．
3．（4 分）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2 的距离
．
4．（4 分）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中
位数是
（米）．
5．（4 分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，则f（x）的反函数f
﹣1（x）=
．
6．（4 分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面ABCD 的边长为3，BD1 与底面所成角的大小为arctan
，则该正四
棱柱的高等于
．
7．（4 分）方程3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为
．
8．（4 分）在（
﹣
）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于
．
9．（4 分）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于
．
10．（4 分）设a＞0，b＞0，若关于x，y 的方程组
无解，则a+b 的取值范围为
．
11．（4 分）无穷数列{an}由k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前n 项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k 的最大值
为
．
12．（4 分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线y=
上一个动点，则
•
的取值
范围是
．
13．（4 分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin（3x﹣
）=asin（bx+c），则满足条件的有序实
数组（a，b，c）的组数为
．
14．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A1A2…A8 的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，
点P 满足
+
+
= ，则点P 落在第一象限的概率是
．
二、选择题（5×4=20 分）
15．（5 分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
16．（5 分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（
）
A．ρ=6+5cosθ
B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ
D．ρ=6﹣5sinθ
17．（5 分）已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn，且
=S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）
恒成立的是（
）
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A．a1＞0，0.6＜q＜0.7
B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6
C．a1＞0，0.7＜q＜0.8D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
18．（5 分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）
+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h
（x）均是以T 为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（
）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
三、解答题（74 分）
19．（12 分）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1 旋转一周形成圆柱，如图，
长为
π，
长为
，
其中B1 与C 在平面AA1O1O 的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O1A1B1 的体积；
（2）求异面直线B1C 与AA1 所成的角的大小．
20．（14 分）有一块正方形EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别
为两个区域S1 和S2，其中S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S1 和S2 的分界线C 上的
点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1 面积是S2 面积的两倍，由此得到S1 面积的经验值为
．设M 是C 上纵坐标为1 的
点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1 面积
的“经验值”．
21．（14 分）双曲线x2﹣
=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l 过F2 且与双曲线交于A，B 两点．
（1）直线l 的倾斜角为
，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b=
，若l 的斜率存在，且（
+
）•
=0，求l 的斜率．
22．（16 分）已知a∈R，函数f（x）=log2（
+a）．
（1）当a=5 时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x 的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范
围．
23．（18 分）若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P．
（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；
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（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}
是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是
常数列”．
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2016 年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4
分，否则一律得零分.
1．（4 分）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1 的解集为
（2，4）
．
【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1 的解集．
【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，
∴﹣1＜x﹣3＜1，
解得2＜x＜4．
∴不等式|x﹣3|＜1 的解集为（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．
2．（4 分）设z=
，其中i 为虚数单位，则Imz=
﹣3
．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z 的最简形式，由此能求出Imz．
【解答】解：∵Z=
=
=
=2﹣3i，
∴Imz=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．
3．（4 分）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2 的距离
．
【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2 的距离：
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
4．（4 分）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中
位数是
1.76
（米）．
【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．
【解答】解：∵6 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，
位于中间的两个数值为1.75，1.77，
∴这组数据的中位数是：
=1.76（米）．
故答案为：1.76．
【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．
5．（4 分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，则f（x）的反函数f
﹣1（x）=
log2（x﹣1）（x＞1）
．
【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解
得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x 与y 互换即可得出f（x）的反函数f
﹣1（x）．
【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+ax 的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．
∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．
把x 与y 互换可得：f（x）的反函数f
﹣1（x）=log2（x﹣1）．
故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．
【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（4 分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面ABCD 的边长为3，BD1 与底面所成角的大小为arctan
，则该正四
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棱柱的高等于
2
．
【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD 为直线BD1 与底面ABCD 所成的角，
即可求出正四棱柱的高．
【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的侧棱D1D⊥底面ABCD，
∴∠D1BD 为直线BD1 与底面ABCD 所成的角，
∴tan∠D1BD=
，
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面ABCD 的边长为3，
∴BD=3
，
∴正四棱柱的高=3
×
=2
，
故答案为：2
．
【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的
角．
7．（4 分）方程3sinx=1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为
或
．
【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．
【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，
即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=
，x∈[0，2π]
解得x=
或
．
故答案为：
或
．
【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力．
8．（4 分）在（
﹣
）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于
112
．
【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得n=8．在展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，
求得r 的值，即可求得展开式中的常数项．
【解答】解：∵在（
﹣
）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，
∴2n=256，解得n=8，
∴（
﹣
）8 中，Tr+1=
=
，
∴当
=0，即r=2 时，常数项为T3=（﹣2）2
=112．
故答案为：112．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，
属于中档题．
9．（4 分）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于
．
【分析】可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正
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弦定理可得该三角形的外接圆半径为
，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，
由余弦定理可得，cosC=
=
=﹣
，
可得sinC=
=
=
，
可得该三角形的外接圆半径为
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题．
10．（4 分）设a＞0，b＞0，若关于x，y 的方程组
无解，则a+b 的取值范围为
（2，+∞）
．
【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b 的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求
解即可．
【解答】解：∵关于x，y 的方程组
无解，
∴直线ax+y=1 与x+by=1 平行，
∵a＞0，b＞0，
∴
≠
，
即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=
，
由基本不等式有：
a+b=a+
≥2
=2，当且仅当a=1 时取等，而a 的范围为a＞0 且a≠1，不满足取等条件，
∴a+b＞2，
故答案为：（2，+∞）．
【点评】本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用，考查学生的计算能力．
11．（4 分）无穷数列{an}由k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前n 项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k 的最大值
为
4
．
【分析】对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4 的情况，归纳可得n＞4 后都为0 或1 或﹣1，则k 的最
大个数为4．
【解答】解：对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，可得
当n=1 时，a1=S1=2 或3；
若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；
若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；
或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；
若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；
或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；
或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；
或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；
或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；
…
即有n＞4 后一项都为0 或1 或﹣1，则k 的最大个数为4，
不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．
故答案为：4．
【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．
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12．（4 分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P 是曲线y=
上一个动点，则
•
的取值
范围是
[0，1+
]
．
【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则
=（1，1），
=（cosα，sinα+1），由此能求出
•
的取值范围．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），
P 是曲线y=
上一个动点，
∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，
∴
=（1，1），
=（cosα，sinα+1），
=cosα+sinα+1=
，
∴
•
的取值范围是[0，1+
]．
故答案为：[0，1+
]．
【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的
合理运用．
13．（4 分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin（3x﹣
）=asin（bx+c），则满足条件的有序实
数组（a，b，c）的组数为
4
．
【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．
【解答】解：∵对于任意实数x 都有2sin（3x﹣
）=asin（bx+c），
∴必有|a|=2，
若a=2，则方程等价为sin（3x﹣
）=sin（bx+c），
则函数的周期相同，若b=3，此时C=
，
若b=﹣3，则C=
，
若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣
）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），
若b=﹣3，则C=
，若b=3，则C=
，
综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，
），（2，﹣3，
），（﹣2，﹣3，
），（﹣2，3，
），
共有4 组，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导
公式进行转化是解决本题的关键．
14．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A1A2…A8 的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，
点P 满足
+
+
= ，则点P 落在第一象限的概率是
．
【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8 的八个顶点中任取两个的事件总数，满足
+
+
= ，且
点P 落在第一象限，则需向量
+
的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答
案．
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【解答】解：从正八边形A1A2…A8 的八个顶点中任取两个，基本事件总数为
．
满足
+
+
= ，且点P 落在第一象限，对应的Ai，Aj，为：
（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5 种取法．
∴点P 落在第一象限的概率是
，
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．
二、选择题（5×4=20 分）
15．（5 分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由a2＞1 得a＞1 或a＜﹣1，
即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题
的关键，比较基础．
16．（5 分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（
）
A．ρ=6+5cosθ
B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ
D．ρ=6﹣5sinθ
【分析】由图形可知：
时，ρ取得最大值，即可判断出结论．
【解答】解：由图形可知：
时，ρ取得最大值，
只有D 满足上述条件．
故选：D．
【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（5 分）已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn，且
=S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）
恒成立的是（
）
A．a1＞0，0.6＜q＜0.7
B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6
C．a1＞0，0.7＜q＜0.8D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7
【分析】由已知推导出
，由此利用排除法能求出结果．
【解答】解：∵
，S=
=
，﹣1＜q＜1，
2Sn＜S，
∴
，
若a1＞0，则
，故A 与C 不可能成立；
若a1＜0，则qn
，
在B 中，a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 故B 成立；
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在D 中，a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q2＞
，D 不成立．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
18．（5 分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R 的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）
+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h
（x）均是以T 为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（
）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
【分析】①不成立．可举反例：f（x）=
．g（x）=
，h（x）=
．
②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g
（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．
【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=
．g（x）=
，h（x）=
．
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同
理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（74 分）
19．（12 分）将边长为1 的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1 旋转一周形成圆柱，如图，
长为
π，
长为
，
其中B1 与C 在平面AA1O1O 的同侧．
（1）求三棱锥C﹣O1A1B1 的体积；
（2）求异面直线B1C 与AA1 所成的角的大小．
【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1 为正三角形，从而
=
，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1 的体积．
（2）设点B1 在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C 为直线B1C 与AA1 所成角（或补角），由此
能求出直线B1C 与AA1 所成角大小．
【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=
，
∴△O1A1B1 为正三角形，
∴
=
，
=
=
．
（2）设点B1 在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，
∴∠BB1C 为直线B1C 与AA1 所成角（或补角），
BB1=AA1=1，
连结BC、BO、OC，
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∠AOB=∠A1O1B1=
，
，∴∠BOC=
，
∴△BOC 为正三角形，
∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，
∴直线B1C 与AA1 所成角大小为45°．
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空
间思维能力的培养．
20．（14 分）有一块正方形EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别
为两个区域S1 和S2，其中S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S1 和S2 的分界线C 上的
点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图
（1）求菜地内的分界线C 的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出S1 面积是S2 面积的两倍，由此得到S1 面积的经验值为
．设M 是C 上纵坐标为1 的
点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S1 面积
的“经验值”．
【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．
（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积，进行比较即可．
【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=
，得y=2
，（0≤x≤1），
（2）设M（x0，y0），则y0=1，
∴x0=
=
，
∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（
+1）=2×
=
，
设五边形EMOGH 的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=
﹣
×
×1+
=
，
S1﹣S3=
=
，S4﹣S1=
﹣
=
＜
，
∴五边形EMOGH 的面积更接近S1 的面积．
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【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．
21．（14 分）双曲线x2﹣
=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l 过F2 且与双曲线交于A，B 两点．
（1）直线l 的倾斜角为
，△F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b=
，若l 的斜率存在，且（
+
）•
=0，求l 的斜率．
【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．
（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B 坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．
【解答】解：（1）双曲线x2﹣
=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，
直线l 过F2 且与双曲线交于A，B 两点，
直线l 的倾斜角为
，△F1AB 是等边三角形，
可得：A（c，b2），可得：
，
3b4=4（a2+b2），
即3b4﹣4b2﹣4=0，
b＞0，解得b2=2．
所求双曲线方程为：x2﹣
=1，
其渐近线方程为y=±
x．
（2）b=
，双曲线x2﹣
=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=
，
直线l 的方程为：y=k（x﹣2），
由题意可得：
，消去y 可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，
△=36（1+k2）＞0 且3﹣k2≠0，
可得x1+x2=
，
则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（
﹣4）=
．
=（x1+2，y1），
=（x2+2，y2），
（
+
）•
=0 可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，
可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，
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得
+4+
•k=0
可得：k2=
，
解得k=±
．
l 的斜率为：±
．
【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算
能力，转化思想的应用．
22．（16 分）已知a∈R，函数f（x）=log2（
+a）．
（1）当a=5 时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x 的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[
，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范
围．
【分析】（1）当a=5 时，解导数不等式即可．
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．
（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）当a=5 时，f（x）=log2（
+5），
由f（x）＞0；得log2（
+5）＞0，
即
+5＞1，则
＞﹣4，则
+4=
＞0，即x＞0 或x＜﹣
，
即不等式的解集为{x|x＞0 或x＜﹣
}．
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0 得log2（
+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．
即log2（
+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即
+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，
当a=4 时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立
当a=3 时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立
当a≠4 且a≠3 时，方程②的解为x=﹣1 或x=
，
若x=﹣1 是方程①的解，则
+a=a﹣1＞0，即a＞1，
若x=
是方程①的解，则
+a=2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a≤2，或a=3
或a=4．
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（
+a）﹣log2（
+a）≤1，
即
+a≤2（
+a），即a≥
﹣
=
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设1﹣t=r，则0≤r≤
，
=
=
，
当r=0 时，
=0，
当0＜r≤
时，
=
，
∵y=r+
在（0，
）上递减，
∴r+
≥
=
，
∴
=
=
，
∴实数a 的取值范围是a≥
．
【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的
关键．综合性较强，难度较大．
23．（18 分）若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P．
（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；
（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}
是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是
常数列”．
【分析】（1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，转化求解a3 即可．
（2）设无穷数列{bn}的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d 与q，求出bn，cn 得到
an 的表达式，推出a2≠a6，说明{an}不具有性质P．
（3）充分性：若{bn}是常数列，设bn=C，通过an+1=C+sinan，证明ap+1=aq+1，得到{an}具有性质P．
必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P，得到a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，说明bn+1=bn，即
可说明{bn}是常数列．
【解答】解：（1）∵a2=a5=2，∴a3=a6，
a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16．
（2）设无穷数列{bn}的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，
b5﹣b1=4d=80，
∴d=20，∴bn=20n﹣19，
=q4=
，∴q=
，∴cn=
∴an=bn+cn=20n﹣19+
．
∵a1=a5=82，
而a2=21+27=48，a6=101
=
．a1=a5，但是a2≠a6，{an}不具有性质P．
（3）充分性：若{bn}是常数列，
设bn=C，则an+1=C+sinan，
若存在p，q 使得ap=aq，则ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，
故{an}具有性质P．
必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P，
则a2=b1+sina1，
设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，
由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，
∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，
∴a2=b1+sina1=a1，∴an=an+1，
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故bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn，
∴{bn}是常数列．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能
力，难度比较大．
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2016 年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）若复数z 满足2z+ =3﹣2i，其中i 为虚数单位，则z=（
）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i
D．﹣1﹣2i
2．（5 分）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（
）
A．（﹣1，1）
B．（0，1）
C．（﹣1，+∞）
D．（0，+∞）
3．（5 分）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自
习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根
据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（
）
A．56
B．60
C．120
D．140
4．（5 分）若变量x，y 满足
，则x2+y2 的最大值是（
）
A．4
B．9
C．10
D．12
5．（5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（
）
A．
+
π
B．
+
π
C．
+
π
D．1+
π
6．（5 分）已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx﹣sinx）的最小正周期是（
）
A．
B．π
C．
D．2π
8．（5 分）已知非零向量，满足4| |=3| |，cos＜，＞=
．若⊥（t + ），则实数t 的值为（
）
A．4
B．﹣4
C．
D．﹣
9．（5 分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞
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时，f（x+
）=f（x﹣
）．则f（6）=（
）
A．﹣2
B．1
C．0
D．2
10．（5 分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T
性质．下列函数中具有T 性质的是（
）
A．y=sinx
B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的a，b 的值分别为0 和9，则输出的i 的值为
．
12．（5 分）若（ax2+
）5 的展开式中x5 的系数是﹣80，则实数a=
．
13．（5 分）已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB，CD 的中点为E 的两
个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是
．
14．（5 分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx 与圆（x﹣5）2+y2=9 相交”发生的概率为
．
15．（5 分）已知函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x 的方程f（x）=b 有三
个不同的根，则m 的取值范围是
．
三、解答题,：本大题共6 小题，共75 分.
16．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=
+
．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC 的最小值．
17．（12 分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．
（I）已知G，H 分别为EC，FB 的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=
AC=2
，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A 的余弦值．
18．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
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（Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
19．（12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人
都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲
每轮猜对的概率是
，乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设
“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3 个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX．
20．（13 分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+
，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1 时，证明f（x）＞f′（x）+
对于任意的x∈[1，2]成立．
21．（14 分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率是
，抛物线E：x2=2y 的焦点F
是C 的一个顶点．
（I）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为D，
直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M．
（i）求证：点M 在定直线上；
（ii）直线l 与y 轴交于点G，记△PFG 的面积为S1，△PDM 的面积为S2，求
的最大值及取得最大值时点P 的坐
标．
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2016 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5 分）若复数z 满足2z+ =3﹣2i，其中i 为虚数单位，则z=（
）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i
D．﹣1﹣2i
【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．
【解答】解：复数z 满足2z+ =3﹣2i，
设z=a+bi，
可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．
解得a=1，b=﹣2．
z=1﹣2i．
故选：B．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
2．（5 分）设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（
）
A．（﹣1，1）
B．（0，1）
C．（﹣1，+∞）
D．（0，+∞）
【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．
【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），
B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），
∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5 分）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自
习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根
据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是（
）
A．56
B．60
C．120
D．140
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5 小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5
小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5 小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4．（5 分）若变量x，y 满足
，则x2+y2 的最大值是（
）
A．4
B．9
C．10
D．12
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2 的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2 的最
大值．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
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∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|，
联立
，解得B（3，﹣1）．
∵
，
∴x2+y2 的最大值是10．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
5．（5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（
）
A．
+
π
B．
+
π
C．
+
π
D．1+
π
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=
．
故R=
，故半球的体积为：
=
π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=
，
故组合体的体积为：
+
π，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
6．（5 分）已知直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．
【解答】解：直线a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，
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反之不成立．
∴“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5 分）函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx﹣sinx）的最小正周期是（
）
A．
B．π
C．
D．2π
【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．
【解答】解：函数f（x）=（
sinx+cosx）（
cosx﹣sinx）=2sin（x+
）•2cos（x+
）=2sin（2x+
），
∴T=π，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．
8．（5 分）已知非零向量，满足4| |=3| |，cos＜，＞=
．若⊥（t + ），则实数t 的值为（
）
A．4
B．﹣4
C．
D．﹣
【分析】若⊥（t + ），则•（t + ）=0，进而可得实数t 的值．
【解答】解：∵4| |=3| |，cos＜，＞=
，⊥（t + ），
∴•（t + ）=t • +
2=t| |•| |•
+| |2=（
）| |2=0，
解得：t=﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
9．（5 分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0 时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
）．则f（6）=（
）
A．﹣2
B．1
C．0
D．2
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0 时，f
（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞
时，f（x+
）=f（x﹣
），
∴当x＞
时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1 时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0 时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（5 分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T
性质．下列函数中具有T 性质的是（
）
A．y=sinx
B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函
数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
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则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx 时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx 时，y′=
＞0 恒成立，不满足条件；
当y=ex 时，y′=ex＞0 恒成立，不满足条件；
当y=x3 时，y′=3x2＞0 恒成立，不满足条件；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.
11．（5 分）执行如图的程序框图，若输入的a，b 的值分别为0 和9，则输出的i 的值为
3
．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：∵输入的a，b 的值分别为0 和9，i=1．
第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2；
第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3；
第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，
故输出的i 值为：3，
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
12．（5 分）若（ax2+
）5 的展开式中x5 的系数是﹣80，则实数a=
﹣2
．
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=
（ax2）5﹣r
，化简可得求的x5 的系数．
【解答】解：（ax2+
）5 的展开式的通项公式Tr+1=
（ax2）5﹣r
=
a5﹣r
，
令10﹣
=5，解得r=2．
∵（ax2+
）5 的展开式中x5 的系数是﹣80
∴
a3=﹣80，
得a=﹣2．
【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．
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13．（5 分）已知双曲线E：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB，CD 的中点为E 的两
个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是
2
．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±
，再由题意设出A，B，C，D 的坐标，由2|AB|=3|BC|，可
得a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b
=±
，
由题意可设A（﹣c，
），B（﹣c，﹣
），C（c，﹣
），D（c，
），
由2|AB|=3|BC|，可得
2•
=3•2c，即为2b2=3ac，
由b2=c2﹣a2，e=
，可得2e2﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考
查运算能力，属于中档题．
14．（5 分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx 与圆（x﹣5）2+y2=9 相交”发生的概率为
．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公
式可求出所求．
【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9 的圆心为（5，0），半径为3．
圆心到直线y=kx 的距离为
，
要使直线y=kx 与圆（x﹣5）2+y2=9 相交，则
＜3，解得﹣
＜k＜
．
∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx 与圆（x﹣5）2+y2=9 相交相交的概率为
=
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算
能力，属于基础题．
15．（5 分）已知函数f（x）=
，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x 的方程f（x）=b 有三
个不同的根，则m 的取值范围是
（3，+∞）
．
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【分析】作出函数f（x）=
的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．
【解答】解：当m＞0 时，函数f（x）=
的图象如下：
∵x＞m 时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y 要使得关于x 的方程f（x）=b 有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m 的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m 是难点，属于
中档题．
三、解答题,：本大题共6 小题，共75 分.
16．（12 分）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=
+
．
（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC 的最小值．
【分析】（Ⅰ）由切化弦公式
，带入
并整理可得2
（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可
得出a+b=2c；
（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab 得出c2
≥ab，也就得到了
，这样由余弦定理便可得出
，从而得出cosC 的范围，进而便可得出cosC
的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由
得：
；
∴两边同乘以cosAcosB 得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，
；
∴
，带入（1）得：
；
∴a+b=2c；
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（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b 时取等号；
又a，b＞0；
∴
；
∴由余弦定理，
=
；
∴cosC 的最小值为
．
【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不
等式a2+b2≥2ab 的应用，不等式的性质．
17．（12 分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．
（I）已知G，H 分别为EC，FB 的中点，求证：GH∥平面ABC；
（Ⅱ）已知EF=FB=
AC=2
，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A 的余弦值．
【分析】（Ⅰ）取FC 中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．
（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量
法能求出二面角F﹣BC﹣A 的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取FC 中点Q，连结GQ、QH，
∵G、H 为EC、FB 的中点，
∴GQ
，QH
，
又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，
∵QH∩GQ=Q，BC∩BO=B，
∴平面GQH∥平面ABC，
∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，
又∵OO′⊥面ABC，
∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO′为z 轴，建立空间直角坐标系，
则A（
，0，0），C（﹣2
，0，0），B（0，2
，0），O′（0，0，3），F（0，
，3），
=（﹣2
，﹣
，﹣3），
=（2
，2
，0），
由题意可知面ABC 的法向量为
=（0，0，3），
设=（x0，y0，z0）为面FCB 的法向量，
则
，即
，
取x0=1，则=（1，﹣1，﹣
），
∴cos＜
，＞=
=﹣
．
∵二面角F﹣BC﹣A 的平面角是锐角，
∴二面角F﹣BC﹣A 的余弦值为
．
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【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合
理运用．
18．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n 项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，
∴n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，
n=1 时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
∵an=bn+bn+1，
∴an﹣1=bn﹣1+bn，
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；
（
Ⅱ
）
cn=
=
=
=
=
=
=
=6（n+1）•2n，
∴Tn=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，
∴2Tn=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，
①﹣②可得
﹣Tn=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]
=12+6×
﹣6（n+1）•2n+1
=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，
∴Tn=3n•2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于
中档题．
19．（12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人
都猜对，则“星队”得3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分．已知甲
每轮猜对的概率是
，乙每轮猜对的概率是
；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设
“星队”参加两轮活动，求：
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（I）“星队”至少猜对3 个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX．
【分析】（I）“星队”至少猜对3 个成语包含“甲猜对1 个，乙猜对2 个”，“甲猜对2 个，乙猜对1 个”，“甲猜对2 个，
乙猜对2 个”三个基本事件，进而可得答案；
（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X 的分布列和数学期望．
【解答】解：（I）“星队”至少猜对3 个成语包含“甲猜对1 个，乙猜对2 个”，“甲猜对2 个，乙猜对1 个”，“甲猜对
2 个，乙猜对2 个”三个基本事件，
故概率P=
+
+
=
+
+
=
，
（II）“星队”两轮得分之和为X 可能为：0，1，2，3，4，6，
则P（X=0）=
=
，
P（X=1）=2×[
+
]=
，
P
（
X=2
）
=
+
+
+
=
，
P（X=3）=2×
=
，
P（X=4）=2×[
+
]=
P（X=6）=
=
故X 的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
∴数学期望EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
+6×
=
=
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．
20．（13 分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+
，a∈R．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）当a=1 时，证明f（x）＞f′（x）+
对于任意的x∈[1，2]成立．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=
．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g
（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞
恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+
对
于任意的x∈[1，2]成立．
【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+
，
得f′（x）=a（1﹣
）+
=
=
（x＞0）．
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若a≤0，则ax2﹣2＜0 恒成立，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（
，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，
）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若a=2，f′（x）≥0 恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
若a＞2，当x∈（0，
）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（
，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
（Ⅱ）解：∵a=1，
令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx
﹣1
=x﹣lnx+
．
令g（x）=x﹣lnx，h（x）=
．
则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），
由
，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1 时取等号；
又
，
设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，
且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，
∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，
∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，
由于h（1）=1，h（2）=
，因此h（x）≥h（2）=
，当且仅当x=2 取等号，
∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=
，
∴F（x）＞
恒成立．
即f（x）＞f′（x）+
对于任意的x∈[1，2]成立．
【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和
数学转化思想方法，是压轴题．
21．（14 分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率是
，抛物线E：x2=2y 的焦点F
是C 的一个顶点．
（I）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A，B，线段AB 的中点为D，
直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M．
（i）求证：点M 在定直线上；
（ii）直线l 与y 轴交于点G，记△PFG 的面积为S1，△PDM 的面积为S2，求
的最大值及取得最大值时点P 的坐
标．
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【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c 的关系，解得a，b，进而得到椭圆
的方程；
（Ⅱ）（i）设P（x0，y0），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D 的坐标，
求得OD 的方程，再令x=x0，可得y=﹣
．进而得到定直线；
（ii）由直线l 的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），运用三角形的面积公式，可得S1=
|FG|•|x0|=
x0•
（
+y0），S2=
|PM|•|x0﹣
|，化简整理，再1+2x02=t（t≥1），整理可得t 的二次方程，进而得到最大值
及此时P 的坐标．
【解答】解：（I）由题意可得e=
=
，抛物线E：x2=2y 的焦点F 为（0，
），
即有b=
，a2﹣c2=
，
解得a=1，c=
，
可得椭圆的方程为x2+4y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，
由y=
x2 的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），
可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，
可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，
△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=
，即有中点D（
，﹣
），
直线OD 的方程为y=﹣
x，可令x=x0，可得y=﹣
．
即有点M 在定直线y=﹣
上；
（ii）直线l 的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），
则S1=
|FG|•|x0|=
x0•（
+y0）=
x0（1+x02）；
S2=
|PM|•|x0﹣
|=
（y0+
）•
=
x0•
，
则
=
，
令1+2x02=t（t≥1），则
=
=
=
=2+
﹣
=﹣（
﹣
）2+
，
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则当t=2，即x0=
时，
取得最大值
，
此时点P 的坐标为（
，
）．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，
以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．
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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（
）
A．[2，3]
B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）
D．（0，2]∪[3，+∞）
2．（5 分）若z=1+2i，则
=（
）
A．1
B．﹣1
C．i D．﹣i
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，
图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（
）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
5．（5 分）若tanα=
，则cos2α+2sin2α=（
）
A．
B．
C．1
D．
6．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（
）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
7．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
8．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则cosA 等于（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
9．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（
）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
10．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V 的最
大值是（
）
A．4π
B．
C．6π
D．
11．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C 的左，右顶点．P
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为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则
C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）定义“规范01 数列”{an}如下：{an}共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，
ak 中0 的个数不少于1 的个数，若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（
）
A．18 个B．16 个C．14 个D．12 个
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=sinx+
cosx 的图象至少向右平移
个单位长度得到．
15．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方
程是
．
16．（5 分）已知直线l：mx+y+3m﹣
=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D
两点，若|AB|=2
，则|CD|=
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5=
，求λ．
18．（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7 分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
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19．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，
AM=2MD，N 为PC 的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2 分别交C 于A，B 两点，交C 的准线于
P，Q 两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
21．（12 分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；
（2）设点P 在C1 上，点Q 在C2 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
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[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（
）
A．[2，3]
B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）
D．（0，2]∪[3，+∞）
【分析】求出S 中不等式的解集确定出S，找出S 与T 的交集即可．
【解答】解：由S 中不等式解得：x≤2 或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），
∵T=（0，+∞），
∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）若z=1+2i，则
=（
）
A．1
B．﹣1
C．i D．﹣i
【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】解：z=1+2i，则
=
=
=i．
故选：C．
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．
3．（5 分）已知向量
=（
，
），
=（
，
），则∠ABC=（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【分析】根据向量
的坐标便可求出
，及
的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出
cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值．
【解答】解：
，
；
∴
；
又0°≤∠ABC≤180°；
∴∠ABC=30°．
故选：A．
【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范
围，已知三角函数值求角．
4．（5 分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，
图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（
）
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A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5 个
【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．
【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确
B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确
D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8 两个月，故D 错误，
故选：D．
【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解
决本题的关键．
5．（5 分）若tanα=
，则cos2α+2sin2α=（
）
A．
B．
C．1
D．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
【解答】解：∵tanα=
，
∴cos2α+2sin2α=
=
=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
6．（5 分）已知a=
，b=
，c=
，则（
）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
【分析】b=
=
，c=
=
，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．
【解答】解：∵a=
=
，
b=
，
c=
=
，
综上可得：b＜a＜c，
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故选：A．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
7．（5 分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n 的值，当s=20 时满足条件s＞
16，退出循环，输出n 的值为4．
【解答】解：模拟执行程序，可得
a=4，b=6，n=0，s=0
执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2
不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3
不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4
满足条件s＞16，退出循环，输出n 的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s 的值是解题的关键，
属于基础题．
8．（5 分）在△ABC 中，B=
，BC 边上的高等于
BC，则cosA 等于（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ=
=
=
，sinθ=
，利用两角和的
余弦即可求得答案．
【解答】解：设△ABC 中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC 于D，令∠DAC=θ，
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∵在△ABC 中，B=
，BC 边上的高AD=h=
BC=
a，
∴BD=AD=
a，CD=
a，
在Rt△ADC 中，cosθ=
=
=
，故sinθ=
，
∴cosA=cos（
+θ）=cos
cosθ﹣sin
sinθ=
×
﹣
×
=﹣
．
故选：A．
【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档
题．
9．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（
）
A．18+36
B．54+18
C．90
D．81
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
侧面的面积为：（3×3+3×
）×2=18+18
，
故棱柱的表面积为：18×2+18+18
=54+18
．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
10．（5 分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1 内有一个体积为V 的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V 的最
大值是（
）
A．4π
B．
C．6π
D．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为
，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
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故三角形ABC 的内切圆半径r=
=2，
又由AA1=3，
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的内切球半径为
，
此时V 的最大值
=
，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．
11．（5 分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B 分别为C 的左，右顶点．P
为C 上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M，与y 轴交于点E．若直线BM 经过OE 的中点，则
C 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意可得F，A，B 的坐标，设出直线AE 的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E 的坐标，
再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE 的方程为y=k（x+a），
令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE 的中点为H，可得H（0，
），
由B，H，M 三点共线，可得kBH=kBM，
即为
=
，
化简可得
=
，即为a=3c，
可得e=
=
．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜
率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
12．（5 分）定义“规范01 数列”{an}如下：{an}共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，
ak 中0 的个数不少于1 的个数，若m=4，则不同的“规范01 数列”共有（
）
A．18 个B．16 个C．14 个D．12 个
【分析】由新定义可得，“规范01 数列”有偶数项2m 项，且所含0 与1 的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4
时，数列中有四个0 和四个1，然后一一列举得答案．
【解答】解：由题意可知，“规范01 数列”有偶数项2m 项，且所含0 与1 的个数相等，首项为0，末项为1，若
m=4，说明数列有8 项，满足条件的数列有：
0，0，0，0，1，1，1，1；
0，0，0，1，0，1，1，1；
0，0，0，1，1，0，1，1；
0，0，0，1，1，1，0，
1；
0，0，1，0，0，1，1，1；
0，0，1，0，1，0，1，1；
0，0，1，0，1，1，0，1；
0，0，1，1，0，1，0，1；
0，0，1，1，0，0，1，
1；
0，1，0，0，0，1，1，1；
0，1，0，0，1，0，1，1；
0，1，0，0，1，1，0，1；
0，1，0，1，0，0，1，1；
0，1，0，1，0，1，0，
1．共14 个．
故选：C．
【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
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13．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，
由
得D（1，
），
所以z=x+y 的最大值为1+
；
故答案为：
．
【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．
14．（5 分）函数y=sinx﹣
cosx 的图象可由函数y=sinx+
cosx 的图象至少向右平移
个单位长度得到．
【分析】令f（x）=sinx+
cosx=2sin（x+
），则f（x﹣φ）=2sin（x+
﹣φ），依题意可得2sin（x+
﹣φ）=2sin
（x﹣
），由
﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵y=f（x）=sinx+
cosx=2sin（x+
），y=sinx﹣
cosx=2sin（x﹣
），
∴f（x﹣φ）=2sin（x+
﹣φ）（φ＞0），
令2sin（x+
﹣φ）=2sin（x﹣
），
则
﹣φ=2kπ﹣
（k∈Z），
即φ=
﹣2kπ（k∈Z），
当k=0 时，正数φmin=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查函数y=sinx 的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到
﹣φ=2kπ﹣
（k
∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．
15．（5 分）已知f（x）为偶函数，当x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方
程是
2x+y+1=0
．
【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0 时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由
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点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），
当x＜0 时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有
x＞0 时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=
﹣3，
可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，
则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），
即为2x+y+1=0．
故答案为：2x+y+1=0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．
16．（5 分）已知直线l：mx+y+3m﹣
=0 与圆x2+y2=12 交于A，B 两点，过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D
两点，若|AB|=2
，则|CD|=
4
．
【分析】先求出m，可得直线l 的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．
【解答】解：由题意，|AB|=2
，∴圆心到直线的距离d=3，
∴
=3，
∴m=﹣
∴直线l 的倾斜角为30°，
∵过A，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C，D 两点，
∴|CD|=
=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12 分）已知数列{an}的前n 项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5=
，求λ．
【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．
（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．
【解答】解：（1）∵Sn=1+λan，λ≠0．
∴an≠0．
当n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，
即（λ﹣1）an=λan﹣1，
∵λ≠0，an≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，
即
=
，（n≥2），
∴{an}是等比数列，公比q=
，
当n=1 时，S1=1+λa1=a1，
即a1=
，
∴an=
•（
）n﹣1．
（2）若S5=
，
则若S5=1+λ[
•（
）4]=
，
即（
）5=
﹣1=﹣
，
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则
=﹣
，得λ=﹣1．
【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1 的关系进行递推是解决本题的关键．考查
学生的运算和推理能力．
18．（12 分）如图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码1﹣7 分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
yi=9.32，
tiyi=40.17，
=0.55，
≈2.646．
参考公式：相关系数r=
，
回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
=
，= ﹣
．
【分析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；
（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016 年对应的t 值为9，代入可预测2016 年我国生活垃
圾无害化处理量．
【解答】解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：
∵r=
=
≈
≈
≈0.993，
∵0.993＞0.75，
故y 与t 之间存在较强的正相关关系；
（2）=
=
≈
≈0.103，
= ﹣
≈1.331﹣0.103×4≈0.92，
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∴y 关于t 的回归方程=0.10t+0.92，
2016 年对应的t 值为9，
故=0.10×9+0.92=1.82，
预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量为1.82 亿吨．
【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．
19．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，
AM=2MD，N 为PC 的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
【分析】（1）法一、取PB 中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=
，再由已知得
AM∥BC，且AM=
BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG 为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平
行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC 中，过N 作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平
面PAB，则结论得证；
（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A 作AF⊥PM，交PM 于F，
连接NF，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：法一、如图，取PB 中点G，连接AG，NG，
∵N 为PC 的中点，
∴NG∥BC，且NG=
，
又AM=
，BC=4，且AD∥BC，
∴AM∥BC，且AM=
BC，
则NG∥AM，且NG=AM，
∴四边形AMNG 为平行四边形，则NM∥AG，
∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，
∴MN∥平面PAB；
法二、
在△PAC 中，过N 作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，
在△ABC 中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=
，
∵AD∥BC，
∴cos
，则sin∠EAM=
，
在△EAM 中，
∵AM=
，AE=
，
由余弦定理得：EM=
=
，
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∴cos∠AEM=
，
而在△ABC 中，cos∠BAC=
，
∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，
∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．
由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，
∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM=E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC 中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=
，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=
．
∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，
∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD 内，过A 作AF⊥PM，交PM 于F，连接NF，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．
在Rt△PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN=
=
，
在Rt△PAM 中，由PA•AM=PM•AF，得AF=
，
∴sin
．
∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为
．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想
象能力和计算能力，是中档题．
20．（12 分）已知抛物线C：y2=2x 的焦点为F，平行于x 轴的两条直线l1，l2 分别交C 于A，B 两点，交C 的准线于
P，Q 两点．
（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；
（Ⅱ）利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求出N 的坐标，利用点差法求AB 中点的轨迹方程．
【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF 及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，
∴∠PFQ=90°，
∵R 是PQ 的中点，
∴RF=RP=RQ，
∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
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∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
∴∠FQB=∠PAR，
∴∠PRA=∠PQF，
∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
F（
，0），准线为x=﹣
，
S△PQF=
|PQ|=
|y1﹣y2|，
设直线AB 与x 轴交点为N，
∴S△ABF=
|FN||y1﹣y2|，
∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，
∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．
设AB 中点为M（x，y），由
得
=2（x1﹣x2），
又
=
，
∴
=
，即y2=x﹣1．
∴AB 中点轨迹方程为y2=x﹣1．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．（12 分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．
【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；
（Ⅱ）讨论a 的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；
（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．
【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．
（II）当a≥1 时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）
（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）
（|cosx|+1）
|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．
当0＜a＜1 时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，
令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，
则A 是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，
且当t=
时，g（t）取得极小值，极小值为g（
）=﹣
﹣1=﹣
，（二次函数在对称轴处取
得极值）
令﹣1＜
＜1，得a＜
（舍）或a＞
．
①当0＜a≤
时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，
∴A=2﹣3a，
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②当
＜a＜1 时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（
），
又|g（
）|﹣|g（﹣1）|=
＞0，
∴A=|g（
）|=
，
综上，A=
．
（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，
当0＜a≤
时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，
当
＜a＜1 时，A=
=
+
+
＞1，
∴|f′（x）|≤1+a≤2A，
当a≥1 时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，
综上：|f′（x）|≤2A．
【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数
是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
请考生在第22-24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，⊙O 中
的中点为P，弦PC，PD 分别交AB 于E，F 两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD 的大小；
（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质
和四点共圆的判断，可得E，C，D，F 共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD 的度数；
（2）运用圆的定义和E，C，D，F 共圆，可得G 为圆心，G 在CD 的中垂线上，即可得证．
【解答】（1）解：连接PB，BC，
设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，
∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，
由⊙O 中
的中点为P，可得∠4=∠5，
在△EBC 中，∠1=∠2+∠3，
又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，
即有∠2=∠4，则∠D=∠1，
则四点E，C，D，F 共圆，
可得∠EFD+∠PCD=180°，
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，
即有3∠PCD=180°，
可得∠PCD=60°；
（2）证明：由C，D，E，F 共圆，
由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G
可得G 为圆心，即有GC=GD，
则G 在CD 的中垂线，又CD 为圆G 的弦，
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则OG⊥CD．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴
为极轴，建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
．
（1）写出C1 的普通方程和C2 的直角坐标方程；
（2）设点P 在C1 上，点Q 在C2 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1 的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正
弦公式，化简可得C2 的直角坐标方程；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0 平行的直线方程为
x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P 的
直角坐标．
另外：设P（
cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值
和P 的坐标．
【解答】解：（1）曲线C1 的参数方程为
（α为参数），
移项后两边平方可得
+y2=cos2α+sin2α=1，
即有椭圆C1：
+y2=1；
曲线C2 的极坐标方程为ρsin（θ+
）=2
，
即有ρ（
sinθ+
cosθ）=2
，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，
即有C2 的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；
（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0 的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值．
设与直线x+y﹣4=0 平行的直线方程为x+y+t=0，
联立
可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，
由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，
解得t=±2，
显然t=﹣2 时，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=
=
，
此时4x2﹣12x+9=0，解得x=
，
即为P（
，
）．
另解：设P（
cosα，sinα），
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由P 到直线的距离为d=
=
，
当sin（α+
）=1 时，|PQ|的最小值为
，
此时可取α=
，即有P（
，
）．
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要
是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2 时，求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求a 的取值范围．
【分析】（1）当a=2 时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6 的解集．
（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣
|+|x﹣
|≥
，由此能求出a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a=2 时，f（x）=|2x﹣2|+2，
∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，
|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，
∴﹣2≤x﹣1≤2，
解得﹣1≤x≤3，
∴不等式f（x）≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤3}．
（2）∵g（x）=|2x﹣1|，
∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，
2|x﹣
|+2|x﹣
|+a≥3，
|x﹣
|+|x﹣
|≥
，
当a≥3 时，成立，
当a＜3 时，|x﹣
|+|x﹣
|≥
|a﹣1|≥
＞0，
∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，
解得2≤a＜3，
∴a 的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等
式性质的合理运用．
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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣3，1）
B．（﹣1，3）
C．（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）
2．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B 等于（
）
A．{1}
B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5 分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+ ）⊥，则m=（
）
A．﹣8
B．﹣6
C．6
D．8
4．（5 分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线ax+y﹣1=0 的距离为1，则a=（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
5．（5 分）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
A．24
B．18
C．12
D．9
6．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
7．（5 分）若将函数y=2sin2x 的图象向左平移
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（
）
A．x=
﹣
（k∈Z）
B．x=
+
（k∈Z）
C．x=
﹣
（k∈Z）
D．x=
+
（k∈Z）
8．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，
n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（
）
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A．7
B．12
C．17
D．34
9．（5 分）若cos（
﹣α）=
，则sin2α=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
10．（5 分）从区间[0，1]随机抽取2n 个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn 构成n 个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，
yn），其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知F1，F2 是双曲线E：
﹣
=1 的左，右焦点，点M 在E 上，MF1 与x 轴垂直，sin∠MF2F1=
，
则E 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
12．（5 分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=
与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，
y2），…，（xm，ym），则
（xi+yi）=（
）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分．
13．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b=
．
14．（5 分）α，β是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确的命题是
（填序号）
15．（5 分）有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡
片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
．
16．（5 分）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2 的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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17．
（12 分）Sn 为等差数列{an}的前n 项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，
[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000 项和．
18．（12 分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（12 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，AB=5，AC=6，点E，F 分别在AD，CD 上，AE=CF=
，
EF 交于BD 于点H，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′=
．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C 的正弦值．
20．（12 分）已知椭圆E：
+
=1 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 于A，M 两
点，点N 在E 上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．
21．（12 分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=
ex 的单调性，并证明当x＞0 时，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=
（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h
（a）的值域．
请考生在第22～24 题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE=DG，过D 点作DF⊥CE，
垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25．
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（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，求l 的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣
|+|x+
|，M 为不等式f（x）＜2 的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|．
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参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣3，1）
B．（﹣1，3）
C．（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）
【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i 在复平面内对应的点在第四象限，
可得：
，解得﹣3＜m＜1．
故选：A．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力．
2．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B 等于（
）
A．{1}
B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B 的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
3．（5 分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+ ）⊥，则m=（
）
A．﹣8
B．﹣6
C．6
D．8
【分析】求出向量+ 的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m 的方程，解得答案．
【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），
∴+ =（4，m﹣2），
又∵（+ ）⊥，
∴12﹣2（m﹣2）=0，
解得：m=8，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
4．（5 分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心到直线ax+y﹣1=0 的距离为1，则a=（
）
A．﹣
B．﹣
C．
D．2
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0 的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0 的距离d=
=1，
解得：a=
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
5．（5 分）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
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A．24
B．18
C．12
D．9
【分析】从E 到F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4 段，其中2 段方向相同，另2 段方向相同，每种最短走法，
即是从4 段中选出2 段走东向的，选出2 段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F 到G，最短的走法，有
C31=3 种走法，利用乘法原理可得结论．
【解答】解：从E 到F，每条东西向的街道被分成2 段，每条南北向的街道被分成2 段，
从E 到F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4 段，其中2 段方向相同，另2 段方向相同，
每种最短走法，即是从4 段中选出2 段走东向的，选出2 段走北向的，故共有C42C22=6 种走法．
同理从F 到G，最短的走法，有C31C22=3 种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18 种走法．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
6．（5 分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，在轴截面中圆锥的
母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表
面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
，
∴在轴截面中圆锥的母线长是
=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，
求表面积就有这样的弊端．
7．（5 分）若将函数y=2sin2x 的图象向左平移
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（
）
A．x=
﹣
（k∈Z）
B．x=
+
（k∈Z）
C．x=
﹣
（k∈Z）
D．x=
+
（k∈Z）
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】解：将函数y=2sin2x 的图象向左平移
个单位长度，得到y=2sin2（x+
）=2sin（2x+
），
由2x+
=kπ+
（k∈Z）得：x=
+
（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=
+
（k∈Z），
故选：B．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中
档题．
8．（5 分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，
n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（
）
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A．7
B．12
C．17
D．34
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a 为2 时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a 为2 时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a 为5 时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S 值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5 分）若cos（
﹣α）=
，则sin2α=（
）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（
﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1°：∵cos（
﹣α）=
，
∴sin2α=cos（
﹣2α）=cos2（
﹣α）=2cos2（
﹣α）﹣1=2×
﹣1=﹣
，
法2°：∵cos（
﹣α）=
（sinα+cosα）=
，
∴
（1+sin2α）=
，
∴sin2α=2×
﹣1=﹣
，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．
10．（5 分）从区间[0，1]随机抽取2n 个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn 构成n 个数对（x1，y1），（x2，y2）…（xn，
yn），其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
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【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为
π•12，从区间[0，1】随机抽取2n 个数x1，x2，…，
xn，y1，y2，…，yn，构成n 个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），对应的区域的面积为12．
∴
=
∴π=
．
故选：C．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不
能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
11．（5 分）已知F1，F2 是双曲线E：
﹣
=1 的左，右焦点，点M 在E 上，MF1 与x 轴垂直，sin∠MF2F1=
，
则E 的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．2
【分析】由条件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1=
，列出关系式，从而可求离心率．
【解答】解：由题意，M 为双曲线左支上的点，
则丨MF1 丨=
，丨MF2 丨=
，
∴sin∠MF2F1=
，∴
=
，
可得：2b4=a2c2，即
b2=ac，又c2=a2+b2，
可得
e2﹣e﹣
=0，
e＞1，解得e=
．
故选：A．
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【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
12．（5 分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=
与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，
y2），…，（xm，ym），则
（xi+yi）=（
）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=
，即y=1+
的图象关于
点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，计算即可得到所求和．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=
，即y=1+
的图象关于点（0，1）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，
（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，
…
则有
（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
=
[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]
=m．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分．
13．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若cosA=
，cosC=
，a=1，则b=
．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得
b=
，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=
，cosC=
，可得
sinA=
=
=
，
sinC=
=
=
，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
×
+
×
=
，
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由正弦定理可得b=
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运
算能力，属于中档题．
14．（5 分）α，β是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．
其中正确的命题是
②③④
（填序号）
【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m⊂α，那么m 与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n 与α所成的角和m，n 与β所成的角均相等．故正确；
故答案为：②③④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．
15．（5 分）有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡
片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
1 和3
．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1 和2，或1 和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分
别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1 和2，或1 和3；
（1）若丙的卡片上写着1 和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1 和3；
（2）若丙的卡片上写着1 和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2 和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1 和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1 和3．
故答案为：1 和3．
【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．
16．（5 分）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2 的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=
1﹣ln2
．
【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
【解答】解：设y=kx+b 与y=lnx+2 和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；
由导数的几何意义可得k=
=
，得x1=x2+1
再由切点也在各自的曲线上，可得
联立上述式子解得
；
从而kx1+b=lnx1+2 得出b=1﹣ln2．
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【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
（12 分）Sn 为等差数列{an}的前n 项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，
[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000 项和．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1，b11，b101；
（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{bn}的前1000 项和．
【解答】解：（Ⅰ）Sn 为等差数列{an}的前n 项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．
可得a4=4，则公差d=1．
an=n，
bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0，
b11=[lg11]=1，
b101=[lg101]=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．
b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．
数列{bn}的前1000 项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．
【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．
18．（12 分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其
上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【分析】（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2 时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年
内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．
（Ⅱ）设事件A 表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B 表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出
60%”，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费
比基本保费高出60%的概率．
（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解答】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），
上年度出险次数大于等于2 时，续保人本年度的保费高于基本保费，
∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p1=1﹣0.30﹣0.15=0.55．
（Ⅱ）设事件A 表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B 表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出
60%”，
由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出60%的概率：
p2=P（B|A）=
=
=
．
（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
=1.23，
∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的
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合理运用．
19．（12 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，AB=5，AC=6，点E，F 分别在AD，CD 上，AE=CF=
，
EF 交于BD 于点H，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD′=
．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C 的正弦值．
【分析】（Ⅰ）由底面ABCD 为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF 可得EF∥AC，再由ABCD 是菱形，得AC⊥BD，进
一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平
面ABCD；
（Ⅱ）以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到
的坐标，
分别求出平面ABD′与平面AD′C 的一个法向量
，设二面角二面角B﹣D′A﹣C 的平面角为θ，求出|cosθ|．则
二面角B﹣D′A﹣C 的正弦值可求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD 是菱形，
∴AD=DC，又AE=CF=
，
∴
，则EF∥AC，
又由ABCD 是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，
∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH=
=1，则DH=D′H=3，
∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，
又OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：以H 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），
，
，
设平面ABD′的一个法向量为
，
由
，得
，取x=3，得y=﹣4，z=5．
∴
．
同理可求得平面AD′C 的一个法向量
，
设二面角二面角B﹣D′A﹣C 的平面角为θ，
则|cosθ|=
．
∴二面角B﹣D′A﹣C 的正弦值为sinθ=
．
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【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体
现了数学转化思想方法，是中档题．
20．（12 分）已知椭圆E：
+
=1 的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E 于A，M 两
点，点N 在E 上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）方法一、求出t=4 时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM 的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用
弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN 的
面积；
方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM 的斜率为1，求得AM 的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N 的坐标，
运用三角形的面积公式计算即可得到；
（Ⅱ）直线AM 的方程为y=k（x+
），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求
得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4 时，椭圆E 的方程为
+
=1，A（﹣2，0），
直线AM 的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，
解得x=﹣2 或x=﹣
，则|AM|=
•|2﹣
|=
•
，
由AN⊥AM，可得|AN|=
•
=
•
，
由|AM|=|AN|，k＞0，可得
•
=
•
，
整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0 无实根，可得k=1，
即有△AMN 的面积为
|AM|2=
（
•
）2=
；
方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N 关于x 轴对称，
由MA⊥NA．可得直线AM 的斜率为1，直线AM 的方程为y=x+2，
代入椭圆方程
+
=1，可得7x2+16x+4=0，
解得x=﹣2 或﹣
，M（﹣
，
），N（﹣
，﹣
），
则△AMN 的面积为
×
×（﹣
+2）=
；
（Ⅱ）直线AM 的方程为y=k（x+
），代入椭圆方程，
可得（3+tk2）x2+2t
k2x+t2k2﹣3t=0，
解得x=﹣
或x=﹣
，
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即有|AM|=
•|
﹣
|=
•
，
|AN|═
•
=
•
，
由2|AM|=|AN|，可得2
•
=
•
，
整理得t=
，
由椭圆的焦点在x 轴上，则t＞3，即有
＞3，即有
＜0，
可得
＜k＜2，即k 的取值范围是（
，2）．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整
理的运算能力，属于中档题．
21．（12 分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=
ex 的单调性，并证明当x＞0 时，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=
（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h
（a）的值域．
【分析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行
求导，然后逐步分析即可
【解答】解：（1）证明：f（x）=
f'（x）=ex（
）=
∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增
∴x＞0 时，
＞f（0）=﹣1
即（x﹣2）ex+x+2＞0
（2）g'（x）=
=
=
a∈[0，1）
由（1）知，当x＞0 时，f（x）=
的值域为（﹣1，+∞），只有一解使得
，
只需
•et≤0 恒成立，可得﹣2＜t≤2，
由x＞0，可得
t∈（0，2]
当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；
当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；
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h（a）=
=
=
记k（t）=
，在t∈（0，2]时，k'（t）=
＞0，
故k（t）单调递增，
所以h（a）=k（t）∈（
，
]．
【点评】该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，
难度较大．
请考生在第22～24 题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点重合），且DE=DG，过D 点作DF⊥CE，
垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．
【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F 四点共圆可证明四边形BCGF 对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可
转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC 中，GF=
CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S 四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴
=
，
∵DE=DG，CD=BC，
∴
=
，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F 四点共圆．
（Ⅱ）∵E 为AD 中点，AB=1，∴DG=CG=DE=
，
∴在Rt△DFC 中，GF=
CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S 四边形BCGF=2S△BCG=2×
×1×
=
．
【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
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23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的参数方程是
（t 为参数），l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，求l 的斜率．
【分析】（Ⅰ）把圆C 的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C 的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l 的参数方程求出直线l 的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l 的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C 的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l 的参数方程是
（t 为参数），
∴t=
，代入y=tsinα，得：直线l 的一般方程y=tanα•x，
∵l 与C 交与A，B 两点，|AB|=
，圆C 的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=
．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d=
=
，
解得tan2α=
，∴tanα=±
=±
．
∴l 的斜率k=±
．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线
公式、圆的性质的合理运用．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣
|+|x+
|，M 为不等式f（x）＜2 的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab|．
【分析】（I）分当x＜
时，当
≤x≤
时，当x＞
时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M 时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．
【解答】解：（I）当x＜
时，不等式f（x）＜2 可化为：
﹣x﹣x﹣
＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜
，
当
≤x≤
时，不等式f（x）＜2 可化为：
﹣x+x+
=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴
≤x≤
，
当x＞
时，不等式f（x）＜2 可化为：﹣
+x+x+
＜2，
解得：x＜1，
∴
＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M 时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
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即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（
）
A．（﹣3，﹣
）B．（﹣3，
）
C．（1，
）D．（
，3）
2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（
）
A．1
B．
C．
D．2
3．（5 分）已知等差数列{an}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（
）
A．100
B．99
C．98
D．97
4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达
发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）已知方程
﹣
=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（
）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，
）
C．（0，3）
D．（0，
）
6．
（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
，
则它的表面积是（
）
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
7．（5 分）函数y=2x2﹣e
|x|在[﹣2，2]的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
D．
8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（
）
A．ac＜bc
B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
9．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（
）
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A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4
，|DE|=2
，
则C 的焦点到准线的距离为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则
m、n 所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
），x=﹣
为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的
对称轴，且f（x）在（
，
）上单调，则ω的最大值为（
）
A．11
B．9
C．7
D．5
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则m=
．
14．（5 分）（2x+
）5 的展开式中，x3 的系数是
．（用数字填写答案）
15．（5 分）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an 的最大值为
．
16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材
料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100
元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，
生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为
元．
三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=
，△ABC 的面积为
，求△ABC 的周长．
18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面
角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．
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19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以
额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图
柱状图：
以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共
需更换的易损零件数，n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件
数．
（Ⅰ）求X 的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？
20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过
B 作AC 的平行线交AD 于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边
形MPNQ 面积的取值范围．
21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 有两个零点．
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，
OA 为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
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（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集．
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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（
）
A．（﹣3，﹣
）B．（﹣3，
）
C．（1，
）D．（
，3）
【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），
B={x|2x﹣3＞0}=（
，+∞），
∴A∩B=（
，3），
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则|x+yi|=（
）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】根据复数相等求出x，y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，
∴x+xi=1+yi，
即
，解得
，即|x+yi|=|1+i|=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y 的值是解决本题的关键．
3．（5 分）已知等差数列{an}前9 项的和为27，a10=8，则a100=（
）
A．100
B．99
C．98
D．97
【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．
【解答】解：∵等差数列{an}前9 项的和为27，S9=
=
=9a5．
∴9a5=27，a5=3，
又∵a10=8，
∴d=1，
∴a100=a5+95d=98，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．
4．（5 分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30 发车，小明在7：50 至8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达
发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出小明等车时间不超过10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，
当y 在7：50 至8：00，或8：20 至8：30 时，
小明等车时间不超过10 分钟，
故P=
=
，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
5．（5 分）已知方程
﹣
=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（
）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，
）
C．（0，3）
D．（0，
）
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【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n 的取
值范围．
【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，
当焦点在x 轴上时，
可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，
∵方程
﹣
=1 表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y 轴上时，
可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，
无解．
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
6．
（5 分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
，
则它的表面积是（
）
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．
【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉
后的几何体，如图：
可得：
=
，R=2．
它的表面积是：
×4π•22+
=17π．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．
7．（5 分）函数y=2x2﹣e
|x|在[﹣2，2]的图象大致为（
）
A．
B．
C
．
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D．
【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e
|x|，
∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e
|﹣x|=2x2﹣e
|x|，
故函数为偶函数，
当x=±2 时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；
当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，
∴f′（x）=4x﹣ex=0 有解，
故函数y=2x2﹣e
|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
8．（5 分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（
）
A．ac＜bc
B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）=xc 在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A 错误；
函数f（x）=xc﹣1 在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B 错误；
logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即
=
＜1，即logac＞logbc．故D 错误；
0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C 正确；
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．
9．（5 分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y 的值满足（
）
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y 的值，模拟程序的运行过
程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，
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则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，
则x=
，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，
则x=
，y=6，满足x2+y2≥36，
故y=4x，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5 分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A、B 两点，交C 的准线于D、E 两点．已知|AB|=4
，|DE|=2
，
则C 的焦点到准线的距离为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．
【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4
，|AM|=2
，
|DE|=2
，|DN|=
，|ON|=
，
xA=
=
，
|OD|=|OA|，
=
+5，
解得：p=4．
C 的焦点到准线的距离为：4．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．
11．（5 分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则
m、n 所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】画出图形，判断出m、n 所成角，求解即可．
【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，
可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1 是正三角形．m、n 所成角就是∠CD1B1=60°．
则m、n 所成角的正弦值为：
．
故选：A．
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【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
12．（5 分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤
），x=﹣
为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的
对称轴，且f（x）在（
，
）上单调，则ω的最大值为（
）
A．11
B．9
C．7
D．5
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣
为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的对称轴，求
出满足条件的解析式，并结合f（x）在（
，
）上单调，可得ω的最大值．
【解答】解：∵x=﹣
为f（x）的零点，x=
为y=f（x）图象的对称轴，
∴
，即
，（n∈N）
即ω=2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（
，
）上单调，则
﹣
=
≤
，
即T=
≥
，解得：ω≤12，
当ω=11 时，﹣
+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤
，
∴φ=﹣
，
此时f（x）在（
，
）不单调，不满足题意；
当ω=9 时，﹣
+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤
，
∴φ=
，
此时f（x）在（
，
）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）设向量=（m，1），=（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则m=
﹣2
．
【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．
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【解答】解：| + |2=| |2+| |2，
可得• =0．
向量=（m，1），=（1，2），
可得m+2=0，解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
14．（5 分）（2x+
）5 的展开式中，x3 的系数是
10
．（用数字填写答案）
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项，令x 的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3 的系数．
【解答】解：（2x+
）5 的展开式中，通项公式为：Tr+1=
=25﹣r
，
令5﹣
=3，解得r=4
∴x3 的系数2
=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5 分）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an 的最大值为
64
．
【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值．
【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，
可得q（a1+a3）=5，解得q=
．
a1+q2a1=10，解得a1=8．
则a1a2…an=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•
=
=
，
当n=3 或4 时，表达式取得最大值：
=26=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．
16．（5 分）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg，乙材
料1kg，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100
元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600 个工时的条件下，
生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为
216000
元．
【分析】设A、B 两种产品分别是x 件和y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作
出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；
【解答】解：（1）设A、B 两种产品分别是x 件和y 件，获利为z 元．
由题意，得
，z=2100x+900y．
不等式组表示的可行域如图：由题意可得
，解得：
，A（60，100），
目标函数z=2100x+900y．经过A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000 元．
故答案为：216000．
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【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的
运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．
三、解答题：本大题共5 小题，满分60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=
，△ABC 的面积为
，求△ABC 的周长．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不
为0 求出cosC 的值，即可确定出出C 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b 的值，即可求△ABC 的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=
，
∴C=
；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•
，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=
absinC=
ab=
，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC 的周长为5+
．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本
题的关键．
18．（12 分）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面
角D﹣AF﹣E 与二面角C﹣BE﹣F 都是60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．
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【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）证明四边形EFDC 为等腰梯形，以E 为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC 的法向量，
代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A 的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF 为正方形，∴AF⊥EF．
∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，
∵DF∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
∵AF⊂平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，
可得∠DFE 为二面角D﹣AF﹣E 的平面角；
由ABEF 为正方形，AF⊥平面EFDC，
∵BE⊥EF，
∴BE⊥平面EFDC
即有CE⊥BE，
可得∠CEF 为二面角C﹣BE﹣F 的平面角．
可得∠DFE=∠CEF=60°．
∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，
∴AB∥平面EFDC，
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，
∴AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴四边形EFDC 为等腰梯形．
以E 为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，
则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（
，0，
a），A（2a，2a，0），
∴
=（0，2a，0），
=（
，﹣2a，
a），
=（﹣2a，0，0）
设平面BEC 的法向量为=（x1，y1，z1），则
，
则
，取=（
，0，﹣1）．
设平面ABC 的法向量为=（x2，y2，z2），则
，
则
，取=（0，
，4）．
设二面角E﹣BC﹣A 的大小为θ，则cosθ=
=
=﹣
，
则二面角E﹣BC﹣A 的余弦值为﹣
．
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【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为
向量夹角问题是解答的关键．
19．（12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以
额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图
柱状图：
以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共
需更换的易损零件数，n
表示购买
2
台机器的同时购买的易损零件
数．
（Ⅰ）求X 的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n 的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19 与n=20 之中选其一，应选用哪个？
【分析】（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分
布列．
（Ⅱ）由X 的分布列求出P（X≤18）=
，P（X≤19）=
．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5 中n 的最小值．
（Ⅲ）法一：由X 的分布列得P（X≤19）=
．求出买19 个所需费用期望EX1 和买20 个所需费用期望EX2，由此
能求出买19 个更合适．
法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
分别求出n=19 时，费用的期望和当n=20 时，费用的期望，从而得到买19 个更合适．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得X 的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
P（X=16）=（
）2=
，
P（X=17）=
，
P（X=18）=（
）2+2（
）2=
，
P（X=19）=
=
，
P（X=20）=
=
=
，
P（X=21）=
=
，
P（X=22）=
，
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∴X 的分布列为：
X
16
17
18
19
20
21
22
P
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）
=
=
．
P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=
+
=
．
∴P（X≤n）≥0.5 中，n 的最小值为19．
（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）
=
+
=
．
买19 个所需费用期望：
EX1=200×
+（200×19+500）×
+（200×19+500×2）×
+（200×19+500×3）×
=4040，
买20 个所需费用期望：
EX2=
+（200×20+500）×
+（200×20+2×500）×
=4080，
∵EX1＜EX2，
∴买19 个更合适．
解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当n=19 时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，
当n=20 时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，
∴买19 个更合适．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独
立事件概率乘法公式的合理运用．
20．（12 分）设圆x2+y2+2x﹣15=0 的圆心为A，直线l 过点B（1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C，D 两点，过
B 作AC 的平行线交AD 于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1 于M，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P，Q 两点，求四边
形MPNQ 面积的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求得圆A 的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和
椭圆的定义，可得E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣
1），求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，
即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0 即为（x+1）2+y2=16，
可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，
由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，
由AC=AD，可得∠D=∠C，
即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，
则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，
故E 的轨迹为以A，B 为焦点的椭圆，
且有2a=4，即a=2，c=1，b=
=
，
则点E 的轨迹方程为
+
=1（y≠0）；
（Ⅱ）椭圆C1：
+
=1，设直线l：x=my+1，
由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），
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由
可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得y1+y2=﹣
，y1y2=﹣
，
则|MN|=
•|y1﹣y2|=
•
=
•
=12•
，
A 到PQ 的距离为d=
=
，
|PQ|=2
=2
=
，
则四边形MPNQ 面积为S=
|PQ|•|MN|=
•
•12•
=24•
=24
，
当m=0 时，S 取得最小值12，又
＞0，可得S＜24•
=8
，
即有四边形MPNQ 面积的取值范围是[12，8
）．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公
式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 有两个零点．
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对
a 进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．
（Ⅱ）设x1，x2 是f（x）的两个零点，则﹣a=
=
，令g（x）=
，则g（x1）
=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=
，
设h（m）=
，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0 恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，
令m=1﹣x1＞0，可得结论．
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【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，
∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），
①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）ex=0⇔x=2，
函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；
②若a＞0，那么ex+2a＞0 恒成立，
当x＜1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；
当x＞1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；
此时当x=1 时，函数f（x）取极小值﹣e，
由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1 存在一个零点；
当x＜1 时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0，
∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，
令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0 的两根为t1，t2，且t1＜t2，
则当x＜t1，或x＞t2 时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，
故函数f（x）在x＜1 存在一个零点；
即函数f（x）在R 是存在两个零点，满足题意；
③若﹣
＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，
当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，
ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，
当ln（﹣2a）＜x＜1 时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞1 时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，
由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0 得：
函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；
④若a=﹣
，则ln（﹣2a）=1，
当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，
当x＞1 时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，
故函数f（x）在R 上单调递增，
函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若a＜﹣
，则ln（﹣2a）＞lne=1，
当x＜1 时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，
当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0 恒成立，故f（x）单调递减，
当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0，
即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0 恒成立，故f（x）单调递增，
故当x=1 时，函数取极大值，
由f（1）=﹣e＜0 得：
函数f（x）在R 上至多存在一个零点，不合题意；
综上所述，a 的取值范围为（0，+∞）
证明：（Ⅱ）∵x1，x2 是f（x）的两个零点，
∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，
∴﹣a=
=
，
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令g（x）=
，则g（x1）=g（x2）=﹣a，
∵g′（x）=
，
∴当x＜1 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞1 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=
﹣
=
，
设h（m）=
，m＞0，
则h′（m）=
＞0 恒成立，
即h（m）在（0，+∞）上为增函数，
h（m）＞h（0）=0 恒成立，
即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，
令m=1﹣x1＞0，
则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，
即x1+x2＜2．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．
请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10 分）如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB=120°．以O 为圆心，
OA 为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）点C，D 在⊙O 上，且A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．
【分析】（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK．根据等腰三角形AOB 的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=
OA，
则AB 是圆O 的切线．
（Ⅱ）设圆心为T，证明OT 为AB 的中垂线，OT 为CD 的中垂线，即可证明结论．
【解答】证明：（Ⅰ）设K 为AB 中点，连结OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=
OA，
∴直线AB 与⊙O 相切；
（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O 不是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．设T 是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．
∵OA=OB，TA=TB，
∴OT 为AB 的中垂线，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT 为CD 的中垂线，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三
角形“三合一”的性质．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为
（t 为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半
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轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3 的极坐标方程为θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，若曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，求a．
【分析】（Ⅰ）把曲线C1 的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1 是圆，化为一般式，
结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；
（Ⅱ）化曲线C2、C3 的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，把C1 与
C2 的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x 可得1﹣a2=0，则a 值可求．
【解答】解：（Ⅰ）由
，得
，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．
∴C1 为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．
化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①
由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；
（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，
∴x2+y2=4x，②
即（x﹣2）2+y2=4．
由C3：θ=α0，其中α0 满足tanα0=2，得y=2x，
∵曲线C1 与C2 的公共点都在C3 上，
∴y=2x 为圆C1 与C2 的公共弦所在直线方程，
①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，
∴1﹣a2=0，
∴a=1（a＞0）．
【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直
线方程的求法，是基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1 的解集．
【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；
（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1 时，当﹣1＜x＜
时，当x≥
时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求
解集．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=
，
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
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当x≤﹣1 时，|x﹣4|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x≤﹣1；
当﹣1＜x＜
时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1 或x＜
，
即有﹣1＜x＜
或1＜x＜
；
当x≥
时，|4﹣x|＞1，解得x＞5 或x＜3，即有x＞5 或
≤x＜3．
综上可得，x＜
或1＜x＜3 或x＞5．
则|f（x）|＞1 的解集为（﹣∞，
）∪（1，3）∪（5，+∞）．
【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查
运算能力，属于基础题．
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2016 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5 分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（
）
A．{0，1}
B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1}
D．{﹣1，0，1，2}
2．（5 分）若x，y 满足
，则2x+y 的最大值为（
）
A．0
B．3
C．4
D．5
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（5 分）设，是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣|”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（
）
A．
﹣
＞0B．sinx﹣siny＞0 C．（
）x﹣（
）y＜0D．lnx+lny＞0
6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．1
7．（5 分）将函数y=sin（2x﹣
）图象上的点P（
，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函
数y=sin2x 的图象上，则（
）
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A．t=
，s 的最小值为
B．t=
，s 的最小值为
C．t=
，s 的最小值为
D．t=
，s 的最小值为
8．（5 分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，
将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所
有球都被放入盒中，则（
）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．（5 分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=
．
10．（5 分）在（1﹣2x）6 的展开式中，x2 的系数为
．（用数字作答）
11．（5 分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣
ρsinθ﹣1=0 与圆ρ=2cosθ交于A，B 两点，则|AB|=
．
12．（5 分）已知{an}为等差数列，Sn 为其前n 项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=
．
13．（5 分）双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA，OC 所在的直线，点B 为该双曲
线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a=
．
14．（5 分）设函数f（x）=
．
①若a=0，则f（x）的最大值为
；
②若f（x）无最大值，则实数a 的取值范围是
．
三、解答题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）在△ABC 中，a2+c2=b2+
ac．
（Ⅰ）求∠B 的大小；
（Ⅱ）求
cosA+cosC 的最大值．
16．（13 分）A，B，C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的
锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A 班
6
6.5
7
7.5
8
B 班
6
7
8
9
10
11
12
C 班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；
（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学
生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3 个新
数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0 和μ1 的大小．（结论不
要求证明）
17．
（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=
．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
的值，若不存在，说明理由．
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18．（13 分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
19．（14 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的面
积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．
20．（13 分）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k 都有ak＜an，则称n
是数列A 的一个“G 时刻”，记G（A）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A 中存在an 使得an＞a1，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A 满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．
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2016 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5 分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（
）
A．{0，1}
B．{0，1，2}
C．{﹣1，0，1}
D．{﹣1，0，1，2}
【分析】先求出集合A 和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，
B={﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．（5 分）若x，y 满足
，则2x+y 的最大值为（
）
A．0
B．3
C．4
D．5
【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z 的取值范围．
【解答】解：作出不等式组
对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设z=2x+y 得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z 经过点A 时，直线y=﹣2x+z 的截距最大，
此时z 最大．
由
，解得
，即A（1，2），
代入目标函数z=2x+y 得z=1×2+2=4．
即目标函数z=2x+y 的最大值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（
）
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A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：输入的a 值为1，则b=1，
第一次执行循环体后，a=﹣
，不满足退出循环的条件，k=1；
第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；
第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，
故输出的k 值为2，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
4．（5 分）设，是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣|”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：若“| |=| |”，则以，为邻边的平行四边形是菱形；
若“| + |=| ﹣|”，则以，为邻边的平行四边形是矩形；
故“| |=| |”是“| + |=| ﹣|”的既不充分也不必要条件；
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“| |=| |”与“| + |=| ﹣|”表示的几何意义，是解
答的关键．
5．（5 分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（
）
A．
﹣
＞0B．sinx﹣siny＞0 C．（
）x﹣（
）y＜0D．lnx+lny＞0
【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：
，sinx 与siny 的大小关系不确定，
＜
，lnx+lny 与0 的
大小关系不确定，即可判断出结论．
【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则
，sinx 与siny 的大小关系不确定，
＜
，即
﹣
＜0，lnx+lny 与0 的大小关系不确定．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
）
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A．
B．
C．
D．1
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积S=
×1×1=
，
高为1，
故棱锥的体积V=
=
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
7．（5 分）将函数y=sin（2x﹣
）图象上的点P（
，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函
数y=sin2x 的图象上，则（
）
A．t=
，s 的最小值为
B．t=
，s 的最小值为
C．t=
，s 的最小值为
D．t=
，s 的最小值为
【分析】将x=
代入得：t=
，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s 的最小值．
【解答】解：将x=
代入得：t=sin
=
，
将函数y=sin（2x﹣
）图象上的点P 向左平移s 个单位，
得到P′（
﹣s，
）点，
若P′位于函数y=sin2x 的图象上，
则sin（
﹣2s）=cos2s=
，
则2s=
+2kπ，k∈Z，
则s=
+kπ，k∈Z，
由s＞0 得：当k=0 时，s 的最小值为
，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．
8．（5 分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，
将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所
有球都被放入盒中，则（
）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
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B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可
以从乙中的红球个数为切入点进行分析．
【解答】解：取两个球共有4 种情况：
①红+红，则乙盒中红球数加1 个；
②黑+黑，则丙盒中黑球数加1 个；
③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1 个；
④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1 个．
设一共有球2a 个，则a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x 个，黑球y 个，x+y=a．
则乙中有x 个球，其中k 个红球，j 个黑球，k+j=x；
丙中有y 个球，其中l 个红球，i 个黑球，i+l=y；
黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j
由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球．
故选：B．
【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．（5 分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=
﹣1
．
【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案．
【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，
若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，
则a+1=0，
解得：a=﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题．
10．（5 分）在（1﹣2x）6 的展开式中，x2 的系数为
60
．（用数字作答）
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．
【解答】解：（1﹣2x）6 的展开式中，通项公式Tr+1=
（﹣2x）r=（﹣2）r
xr，
令r=2，则x2 的系数=
=60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5 分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣
ρsinθ﹣1=0 与圆ρ=2cosθ交于A，B 两点，则|AB|=
2
．
【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C 在直线上可得|AB|．
【解答】解：直线ρcosθ﹣
ρsinθ﹣1=0 化为y 直线x﹣
y﹣1=0．
圆ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．
则圆心C 在直线上，∴|AB|=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题．
12．（5 分）已知{an}为等差数列，Sn 为其前n 项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=
6
．
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n 项和公式能求出S6．
【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn 为其前n 项和．
a1=6，a3+a5=0，
∴a1+2d+a1+4d=0，
∴12+6d=0，
解得d=﹣2，
∴S6=
=36﹣30=6．
故答案为：6．
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【点评】本题考查等差数列的前6 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
13．（5 分）双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC 的边OA，OC 所在的直线，点B 为该双曲
线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a=
2
．
【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴
双曲线的性质进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA，OC 所在的直线，
∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，
即a=b，
∵正方形OABC 的边长为2，
∴OB=2
，即c=2
，
则a2+b2=c2=8，
即2a2=8，
则a2=4，a=2，
故答案为：2
【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关
键．
14．（5 分）设函数f（x）=
．
①若a=0，则f（x）的最大值为
2
；
②若f（x）无最大值，则实数a 的取值范围是
（﹣∞，﹣1）
．
【分析】①将a=0 代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=﹣1 时，f（x）的最大值为2；
②若f（x）无最大值，则
，或
，解得答案．
【解答】解：①若a=0，则f（x）=
，
则f′（x）=
，
当x＜﹣1 时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＞﹣1 时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=﹣1 时，f（x）的最大值为2；
②f′（x）=
，
令f′（x）=0，则x=±1，
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若f（x）无最大值，则
，或
，
解得：a∈（﹣∞，﹣1）．
故答案为：2，（﹣∞，﹣1）
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．
三、解答题共6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）在△ABC 中，a2+c2=b2+
ac．
（Ⅰ）求∠B 的大小；
（Ⅱ）求
cosA+cosC 的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=
，进而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C=
﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得
cosA+cosC 的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a2+c2=b2+
ac．
∴a2+c2﹣b2=
ac．
∴cosB=
=
=
，
∴B=
（Ⅱ）由（I）得：C=
﹣A，
∴
cosA+cosC=
cosA+cos（
﹣A）
=
cosA﹣
cosA+
sinA
=
cosA+
sinA
=sin（A+
）．
∵A∈（0，
），
∴A+
∈（
，π），
故当A+
=
时，sin（A+
）取最大值1，
即
cosA+cosC 的最大值为1．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．
16．（13 分）A，B，C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的
锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A 班
6
6.5
7
7.5
8
B 班
6
7
8
9
10
11
12
C 班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
（Ⅰ）试估计C 班的学生人数；
（Ⅱ）从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学
生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3 个新
数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0 和μ1 的大小．（结论不
要求证明）
【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C 班的学生人数；
（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
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（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1．
【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20 个学生，其中C 班抽取8 个，
故抽样比K=
=
，
故C 班有学生8÷
=40 人，
（Ⅱ）从从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人，
共有5×8=40 种情况，
而且这些情况是等可能发生的，
当甲锻炼时间为6 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2 种情况；
当甲锻炼时间为6.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；
当甲锻炼时间为7 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；
当甲锻炼时间为7.5 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3 种情况；
当甲锻炼时间为8 时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4 种情况；
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=
=
；
（Ⅲ）μ0＞μ1．
【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．
17．
（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=
．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA 上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求
的值，若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的
判定得到PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD 中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量
的坐标，再求出
平面PCD 的法向量，设PB 与平面PCD 的夹角为θ，由
求得直线PB 与
平面PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）假设存在M 点使得BM∥平面PCD，设
，M（0，y1，z1），由
可得M（0，1﹣λ，λ），
，由BM∥平面PCD，可得
，由此列式求得当
时，M 点即为所求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD 中点为O，连接CO，PO，
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∵CD=AC=
，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），
则
，
，
设
为平面PCD 的法向量，
则由
，得
，则
．
设PB 与平面PCD 的夹角为θ，则
=
；
（Ⅲ）解：假设存在M 点使得BM∥平面PCD，设
，M（0，y1，z1），
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），
，B（1，1，0），
，
则有
，可得M（0，1﹣λ，λ），
∴
，
∵BM∥平面PCD，
为平面PCD 的法向量，
∴
，即
，解得
．
综上，存在点M，即当
时，M 点即为所求．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向
量求解降低了问题的难度，属中档题．
18．（13 分）设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b
的值；
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
∴当x=2 时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同时f′（2）=e﹣1，
∵f（x）=xea﹣x+bx，
∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，
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则
，
即a=2，b=e；
（Ⅱ）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe2﹣x+ex，
∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e=（1﹣x+ex﹣1）e2﹣x，
∵e2﹣x＞0，
∴1﹣x+ex﹣1 与f′（x）同号，
令g（x）=1﹣x+ex﹣1，
则g′（x）=﹣1+ex﹣1，
由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数，
由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数，
则当x=1 时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）=1，
则g（x）≥g（1）=1＞0，
故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间．
【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数
之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．
19．（14 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB 的面
积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M，直线PB 与x 轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c 的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得
到椭圆方程；
（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x0，y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA 的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线
PB 的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．
方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA 的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB 的方程，
令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e=
=
，
又△OAB 的面积为1，可得
ab=1，
且a2﹣b2=c2，
解得a=2，b=1，c=
，
可得椭圆C 的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），
可得x02+4y02=4，
直线PA：y=
（x﹣2），令x=0，可得y=﹣
，
则|BM|=|1+
|；
直线PB：y=
x+1，令y=0，可得x=﹣
，
则|AN|=|2+
|．
可得|AN|•|BM|=|2+
|•|1+
|
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=|
|=|
|
=|
|=4，
即有|AN|•|BM|为定值4．
证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=
（x﹣2），令x=0，可得y=﹣
，
则|BM|=|
|；
直线PB：y=
x+1，令y=0，可得x=﹣
，
则|AN|=|
|．
即有|AN|•|BM|=|
|•|
|
=2|
|
=2|
|=4．
则|AN|•|BM|为定值4．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运
用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．
20．（13 分）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k 都有ak＜an，则称n
是数列A 的一个“G 时刻”，记G（A）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A 中存在an 使得an＞a1，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A 满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．
【分析】（Ⅰ）结合“G 时刻”的定义进行分析；
（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；
（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．
【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a1=﹣2，a2=2，a3=﹣1，a4=1，a5=3，a1＜a2 满足条件，2 满足条件，a2＞a3 不满
足条件，3 不满足条件，
a2＞a4 不满足条件，4 不满足条件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5 满足条件，因此G（A）={2，5}．
（Ⅱ）因为存在an＞a1，设数列A 中第一个大于a1 的项为ak，则ak＞a1≥ai，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G
（A）≠∅；
（Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为i1＜i2＜…＜ik，
对于第一个“G 时刻”i1，有
＞a1≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则
﹣a1≤
﹣
≤1．
对于第二个“G 时刻”i1，有
＞
≥ai（i=2，3，…，i1﹣1），则
﹣
≤
﹣
≤1．
类似的
﹣
≤1，…，
﹣
≤1．
于是，k≥（
﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）+（
﹣a1）=
﹣a1．
对于aN，若N∈G（A），则
=aN．
若N∉G（A），则aN≤
，否则由（2）知
，
，…，aN，中存在“G 时刻”与只有k 个“G 时刻”矛盾．
从而k≥
﹣a1≥aN﹣a1．
【点评】本题属于新定义题型，重点在于对“G 时刻”定义的把握，难度较大．
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2015 年重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（
）
A．A=B B．A∩B=∅
C．A
BD．B
A
2．（5 分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．6
3．（5 分）重庆市2013 年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（
）
A．19
B．20
C．21.5 D．23
4．（5 分）“x＞1”是“
（x+2）＜0”的（
）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）若非零向量，满足| |=
| |，且（﹣）⊥（3 +2 ），则与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．π
7．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（
）
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A．s≤
B．s≤
C．s≤
D．s≤
8．（5 分）已知直线x+ay﹣1=0 是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点
为B，则|AB|=（
）
A．2
B．6
C．4
D．2
9．（5 分）若tanα=2tan
，则
=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（5 分）设双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B，C
两点，过B，C 分别作AC，AB 的垂线，两垂线交于点D．若D 到直线BC 的距离小于a+
，则该双曲线的
渐近线斜率的取值范围是（
）
A．（﹣1，0）∪（0，1）
B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣
，0）∪（0，
）
D．（﹣∞，﹣
）∪
（
，+∞）
二、填空题：本大题共3 小题，考生作答5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5 分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为
，则（a+bi）（a﹣bi）=
．
12．（5 分）
的展开式中x8 的系数是
（用数字作答）．
13．（5 分）在△ABC 中，B=120°，AB=
，A 的角平分线AD=
，则AC=
．
三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．（5 分）如题图，圆O 的弦AB，CD 相交于点E，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，
PC=3，CE：ED=2：1，则BE=
．
15．（5 分）已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
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曲线C 的极坐标方程为
，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为
．
16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=
．
四、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3 个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1 个的概率；
（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．
18．（13 分）已知函数f（x）=sin（
﹣x）sinx﹣
cos2x．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在[
，
]上的单调性．
19．（13 分）如题图，三棱锥P﹣ABC 中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=
．D，E 分别为线段AB，BC 上的点，
且CD=DE=
，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C 的余弦值．
20．（12 分）设函数f（x）=
（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a 的取值范围．
21．（12 分）如题图，椭圆
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2 的直线交椭圆于P，Q 两点，
且PQ⊥PF1
（Ⅰ）若|PF1|=2+
|=2﹣
，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．
22．（12 分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）
（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若λ=
（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+
＜
＜2+
．
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2015 年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（
）
A．A=B B．A∩B=∅
C．A
BD．B
A
【分析】直接利用集合的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，
可得A≠B，A∩B={2，3}，B
A，所以D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．
2．（5 分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．6
【分析】直接利用等差中项求解即可．
【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=
（a2+a6）=
=2，
解得a6=0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．
3．（5 分）重庆市2013 年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（
）
A．19
B．20
C．21.5 D．23
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：样本数据有12 个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为
，
故选：B．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．
4．（5 分）“x＞1”是“
（x+2）＜0”的（
）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
【分析】解“
（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1 比较，从而求出答案．
【解答】解：由“
（x+2）＜0”
得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，
故“x＞1”是“
（x+2）＜0”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．
5．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
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A．
B．
C．
D．
【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为
，高为1，一个侧
面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，
所求几何体的体积为：
=
．
故选：A．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
6．（5 分）若非零向量，满足| |=
| |，且（﹣）⊥（3 +2 ），则与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．π
【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．
【解答】解：∵（﹣）⊥（3 +2 ），
∴（﹣）•（3 +2 ）=0，
即3
2﹣2
2﹣• =0，
即• =3
2﹣2
2=
2，
∴cos＜，＞=
=
=
，
即＜，＞=
，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．
7．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框图可填入的条件是（
）
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A．s≤
B．s≤
C．s≤
D．s≤
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S 的值，当S＞
时，退出循环，输出k 的值为8，故
判断框图可填入的条件是S
．
【解答】解：模拟执行程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，
因此S=
（此时k=6），
因此可填：S
．
故选：C．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S 值是解题的关键．
8．（5 分）已知直线x+ay﹣1=0 是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0 的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点
为B，则|AB|=（
）
A．2
B．6
C．4
D．2
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0 经过圆C 的圆心（2，1），求得a 的值，可得点
A 的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2 的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0 经过圆C 的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC=
=2
，CB=R=2，
∴切线的长|AB|=
=
=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基
础题．
9．（5 分）若tanα=2tan
，则
=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化
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和差个数化简求解即可．
【解答】解：tanα=2tan
，则
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=3．
故选：C．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．
10．（5 分）设双曲线
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B，C
两点，过B，C 分别作AC，AB 的垂线，两垂线交于点D．若D 到直线BC 的距离小于a+
，则该双曲线的
渐近线斜率的取值范围是（
）
A．（﹣1，0）∪（0，1）
B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣
，0）∪（0，
）
D．（﹣∞，﹣
）∪
（
，+∞）
【分析】由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB 得
•
=﹣1，求出c﹣x，利用D 到直
线BC 的距离小于a+
，即可得出结论．
【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，
），C（c，﹣
），由双曲线的对称性知D 在x 轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AB 得
•
=﹣1，
∴c﹣x=
，
∵D 到直线BC 的距离小于a+
，
∴c﹣x=|
|＜a+
，
∴
＜c2﹣a2=b2，
∴0＜
＜1，
∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：A．
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【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D 到直线BC 的距离是关键．
二、填空题：本大题共3 小题，考生作答5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5 分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为
，则（a+bi）（a﹣bi）=
3
．
【分析】将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．
【解答】解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为
，
所以a2+b2=
=3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；
故答案为：3．
【点评】本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．
12．（5 分）
的展开式中x8 的系数是
（用数字作答）．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于8，求得r 的值，即可求得展开式中的x8 的系数．
【解答】解：由于
的展开式的通项公式为Tr+1=
•
•
，
令15﹣
=8，求得r=2，故开式中x8 的系数是
•
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
13．（5 分）在△ABC 中，B=120°，AB=
，A 的角平分线AD=
，则AC=
．
【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC 即可．
【解答】解：由题意以及正弦定理可知：
，即
，∠ADB=45°，
A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC 是等腰三角形，
AC=2
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．（5 分）如题图，圆O 的弦AB，CD 相交于点E，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，
PC=3，CE：ED=2：1，则BE=
2
．
【分析】利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE 即可．
【解答】解：设CE=2x，ED=x，则
∵过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P，
∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x），
∵x=3，
由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3，
∴BE=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（5 分）已知直线l 的参数方程为
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
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曲线C 的极坐标方程为
，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为
（2，
π）
．
【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2 极坐标即可．
【解答】解：直线l 的参数方程为
（t 为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；
曲线C 的极坐标方程为
，
可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．
由
，可得x=﹣2，y=0，
交点坐标为（﹣2，0），
它的极坐标为（2，π）．
故答案为：（2，π）．
【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．
16．若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=
﹣6 或4
．
【分析】分类讨论a 与﹣1 的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）
的最小值等于5，求得a 的值．
【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1 时，f（x）=
，
根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．
当a=﹣1 时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．
当a≥﹣1 时，f（x）=
，
根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．
综上可得，a=﹣6 或a=4，
故答案为：﹣6 或4．
【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中
档题．
四、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（13 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3 个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到1 个的概率；
（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．
【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；
（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到1 个”，
则由古典概型的概率公式有P（A）=
=
．
（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，
则P（X=0）=
=
，P（X=1）=
=
，P（X=2）=
=
，
X
0
1
2
P
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EX=0×
+1×
+2×
=
．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
18．（13 分）已知函数f（x）=sin（
﹣x）sinx﹣
cos2x．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）讨论f（x）在[
，
]上的单调性．
【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正
周期和最大值．
（Ⅱ）根据2x﹣
∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在
上的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（
﹣x）sinx﹣
x=cosxsinx﹣
（1+cos2x）
=
sin2x﹣
cos2x﹣
=sin（2x﹣
）﹣
，
故函数的周期为
=π，最大值为1﹣
．
（Ⅱ）当x∈
时，2x﹣
∈[0，π]，故当0≤2x﹣
≤
时，即x∈[
，
]时，f（x）为增函
数；
当
≤2x﹣
≤π时，即x∈[
，
]时，f（x）为减函数．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
19．（13 分）如题图，三棱锥P﹣ABC 中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=
．D，E 分别为线段AB，BC 上的点，
且CD=DE=
，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C 的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ）以C 为原点，分别以
，
，
的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，易得
，
，
的坐标，
可求平面PAD 的法向量
，平面PCD 的法向量
可取
，由向量的夹角公式可得．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，
∵CE=2，CD=DE=
，∴△CDE 为等腰直角三角形，
∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE 垂直于平面PCD 内的两条相交直线，
∴DE⊥平面PCD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE=
，
过点D 作DF 垂直CE 于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，
由∠ACB=
得DF∥AC，
，故AC=
DF=
，
以C 为原点，分别以
，
，
的方向为xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系，
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则C（0，0，0），P（0，0，3），A（
，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
∴
=（1，﹣1，0），
=（﹣1，﹣1，3），
=（
，﹣1，0），
设平面PAD 的法向量
=（x，y，z），由
，
故可取
=（2，1，1），
由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD 的法向量
可取
=（1，﹣1，0），
∴两法向量夹角的余弦值cos＜
，
＞=
=
∴二面角A﹣PD﹣C 的余弦值为
．
【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．
20．（12 分）设函数f（x）=
（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a 的取值范围．
【分析】（I）f′（x）=
，由f（x）在x=0 处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），
即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=
，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=
，
x2=
．对x 分类讨论：当x＜x1 时；当x1＜x＜x2 时；当x＞x2 时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，
可知：x2=
≤3，解得即可．
解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥
，在[3，+∞）上
恒成立．令u（x）=
，利用导数研究其最大值即可．
【解答】解：（I）f′（x）=
=
，
∵f（x）在x=0 处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．
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当a=0 时，f（x）=
，f′（x）=
，
∴f（1）=
，f′（1）=
，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
，化为：3x﹣ey=0；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=
，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，
由g（x）=0，解得x1=
，x2=
．
当x＜x1 时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
当x1＜x＜x2 时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
当x＞x2 时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．
由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=
≤3，解得a≥﹣
．
因此a 的取值范围为：
．
解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，
可得a≥
，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=
，u′（x）=
＜0，
∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，
∴a≥u（3）=﹣
．
因此a 的取值范围为：
．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查
了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12 分）如题图，椭圆
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2 的直线交椭圆于P，Q 两点，
且PQ⊥PF1
（Ⅰ）若|PF1|=2+
|=2﹣
，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c=|F1F2|=
=2
，求出c，进
而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=
|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣
）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2
（
﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2+
+2﹣
=4，故a=2，
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设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|=
=2
，即c=
，从而b=
=1，
故所求椭圆的标准方程为
．
（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，
从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，
有|QF1|=4a﹣2|PF1|，
又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=
|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣
）a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（
﹣1）a，
由
PF2
⊥
PF1
，
知
2c=|F1F2|=
，
因
此
e=
=
=
=
=
．
【点评】本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．
22．（12 分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）
（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若λ=
（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+
＜
＜2+
．
【分析】（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2 代入数列递推式，得到
（n∈N+），分析an≠0 后可得an+1=2an（n∈N+），
即{an}是一个公比q=2 的等比数列．从而可得数列的通项公式；
（Ⅱ）把
代入数列递推式，整理后可得
（n ∈N ）．进一步得到
=
，对n=1，2，…，k0 求和后放缩可得不等式左边，结
合
，进一步利用放缩法证明不等式右边．
【解答】（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有
（n∈N+）．
若存在某个n0∈N+，使得
，则由上述递推公式易得
，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3 矛盾，
∴对任意n∈N+，an≠0．
从而an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2 的等比数列．
故
．
（Ⅱ）证明：由
，数列{an}的递推关系式变为
，变形为：
（n∈N）．
由上式及a1=3＞0，归纳可得
3=a1＞a2＞…＞an＞an+1＞…＞0．
∵
=
，
∴对n=1，2，…，k0 求和得：
=
＞
．
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另一方面，由上已证的不等式知，
，
得
=
2+
．
综上，2+
＜
＜2+
．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．
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2015 年浙江省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理
科）
1．（5 分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（
）
A．[0，1）
B．（0，2]
C．（1，2）
D．[1，2]
2．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（
）
A．8cm3 B．12cm3
C．
D．
3．（5 分）已知{an}是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是Sn，若a3，a4，a8 成等比数列，则（
）
A．a1d＞0，dS4＞0
B．a1d＜0，dS4＜0
C．a1d＞0，dS4＜0
D．a1d＜0，dS4＞0
4．（5 分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（
）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
5．（5 分）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B 在抛物
线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）设A，B 是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A 中的
元素个数（
）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立
7．（5 分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R 都有（
）
A．f（sin2x）=sinx
B．f（sin2x）=x2+x
C．f（x2+1）=|x+1|
D．f（x2+2x）=|x+1|
8．（5 分）如图，已知△ABC，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B 的平面角
为α，则（
）
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A．∠A′DB≤α
B．∠A′DB≥α
C．∠A′CB≤α
D．∠A′CB≥α
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
9．（6 分）双曲线
﹣y2=1 的焦距是
，渐近线方程是
．
10．（6 分）已知函数f（x）=
，则f（f（﹣3））=
，f（x）的最小值是
．
11．（6 分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是
，单调递减区间是
．
12．（4 分）若a=log43，则2a+2
﹣a=
．
13．（4 分）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC 的中点，则异面直线
AN，CM 所成的角的余弦值是
．
14．（4 分）若实数x，y 满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是
．
15．（6 分）已知
是空间单位向量，
，若空间向量满足
，且对于任意x，
y∈R，
=1（x0，y0∈R），则x0=
，y0=
，
|=
．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知A=
，b2﹣a2=
c2．
（1）求tanC 的值；
（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．
17．（15 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1 在底面ABC 的射影为BC 的中点，
D 是B1C1 的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值．
18．（15 分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2 时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b 满足M（a，b）≤2 时，求|a|+|b|的最大值．
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19．（15 分）已知椭圆
上两个不同的点A，B 关于直线y=mx+
对称．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．
20．（15 分）已知数列{an}满足a1=
且an+1=an﹣an2（n∈N*）
（1）证明：1≤
≤2（n∈N*）；
（2）设数列{an2}的前n 项和为Sn，证明
（n∈N*）．
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2015 年浙江省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理
科）
1．（5 分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（
）
A．[0，1）
B．（0，2]
C．（1，2）
D．[1，2]
【分析】求出P 中不等式的解集确定出P，求出P 补集与Q 的交集即可．
【解答】解：由P 中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，
解得：x≤0 或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），
∴∁RP=（0，2），
∵Q=（1，2]，
∴（∁RP）∩Q=（1，2），
故选：C．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5 分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（
）
A．8cm3 B．12cm3
C．
D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2 的正方体，上部是底面为边长2 的正方形高为2 的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+
×2×2×2=
．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．
3．（5 分）已知{an}是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是Sn，若a3，a4，a8 成等比数列，则（
）
A．a1d＞0，dS4＞0
B．a1d＜0，dS4＜0
C．a1d＞0，dS4＜0
D．a1d＜0，dS4＞0
【分析】由a3，a4，a8 成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d 和dS4 的符号．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，
由a3，a4，a8 成等比数列，得
，整理得：
．
∵d≠0，∴
，
∴
，
=
＜0．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．
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4．（5 分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（
）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
5．（5 分）如图，设抛物线y2=4x 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B 在抛物
线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为
的关系进行求解即可．
【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，
过A，B 分别作AE⊥DE 于E，交y 轴于N，BD⊥DE 于D，交y 轴于M，
由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，
则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，
|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，
则
=
=
=
，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．
6．（5 分）设A，B 是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A 中的
元素个数（
）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）
A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立
【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．
【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，
B）＞0”成立，
若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，
命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），
∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]
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﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]
≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，
故选：A．
【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注
意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属
于基础题．
7．（5 分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R 都有（
）
A．f（sin2x）=sinx
B．f（sin2x）=x2+x
C．f（x2+1）=|x+1|
D．f（x2+2x）=|x+1|
【分析】利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．
【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；
取x=
，则sin2x=0，∴f（0）=1；
∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；
∴不存在函数f（x），对任意x∈R 都有f（sin2x）=sinx；
B．取x=0，则f（0）=0；
取x=π，则f（0）=π2+π；
∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；
这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；
∴该选项错误；
D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；
令t2﹣1=x，则t=±
；
∴
；
即存在函数f（x）=
，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；
∴该选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．
8．（5 分）如图，已知△ABC，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B 的平面角
为α，则（
）
A．∠A′DB≤α
B．∠A′DB≥α
C．∠A′CB≤α
D．∠A′CB≥α
【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC 两种情况讨论即可．
【解答】解：①当AC=BC 时，∠A′DB=α；
②当AC≠BC 时，如图，点A′投影在AE 上，
α=∠A′OE，连结AA′，
易得∠ADA′＜∠AOA′，
∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α
综上所述，∠A′DB≥α，
故选：B．
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【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
9．（6 分）双曲线
﹣y2=1 的焦距是
2
，渐近线方程是
y=±
x
．
【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．
【解答】解：双曲线
=1 中，a=
，b=1，c=
，
∴焦距是2c=2
，渐近线方程是y=±
x．
故答案为：2
；y=±
x．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（6 分）已知函数f（x）=
，则f（f（﹣3））=
0
，f（x）的最小值是
．
【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1 时，f（x）=
，当x＜1
时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解
【解答】解：∵f（x）=
，
∴f（﹣3）=lg10=1，
则f（f（﹣3））=f（1）=0，
当x≥1 时，f（x）=
，即最小值
，
当x＜1 时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0 最小值0，
故f（x）的最小值是
．
故答案为：0；
．
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
11．（6 分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是
π
，单调递减区间是
[kπ+
，kπ+
]（k∈
Z）
．
【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=
sin（2x﹣
）+
，易得最小正周期，解不等式2kπ+
≤2x﹣
≤
2kπ+
可得函数的单调递减区间．
【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1
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=
（1﹣cos2x）+
sin2x+1
=
sin（2x﹣
）+
，
∴原函数的最小正周期为T=
=π，
由2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
可得kπ+
≤x≤kπ+
，
∴函数的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）
故答案为：π；[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）
【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．
12．（4 分）若a=log43，则2a+2
﹣a=
．
【分析】直接把a 代入2a+2
﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．
【解答】解：∵a=log43，可知4a=3，
即2a=
，
所以2a+2
﹣a=
+
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
13．（4 分）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC 的中点，则异面直线
AN，CM 所成的角的余弦值是
．
【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME 说明异面直线AN，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求
解即可．
【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM 所成的角就是∠EMC，
∵AN=2
，
∴ME=
=EN，MC=2
，
又∵EN⊥NC，∴EC=
=
，
∴cos∠EMC=
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
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14．（4 分）若实数x，y 满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是
3
．
【分析】根据所给x，y 的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0 将圆x2+y2=1 分成两部分，分
别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．
【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，
如图直线2x+y﹣2=0 将圆x2+y2=1 分成两部分，
在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，
利用线性规划可得在A（
，
）处取得最小值3；
在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，
即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），
此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，
利用线性规划可得在A（
，
）处取得最小值3．
综上可得，当x=
，y=
时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．
15．（6 分）已知
是空间单位向量，
，若空间向量满足
，且对于任意x，
y∈R，
=1（x0，y0∈R），则x0=
1
，y0=
2
，
|=
2
．
【分析】由题意和数量积的运算可得＜
•
＞=
，不妨设
=（
，
，0），
=（1，0，0），由已知可解=
（
，
，t），可得| ﹣（
|2=（x+
）2+
（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2 时，（x+
）
2+
（y﹣2）2+t2 取最小值1，由模长公式可得
．
【解答】解：∵
•
=|
||
|cos＜
•
＞=cos＜
•
＞=
，
∴＜
•
＞=
，
不妨设
=（
，
，0），
=（1，0，0），=（m，n，t），
则由题意可知
=
m+
n=2，
=m=
，
解得m=
，n=
，
∴=（
，
，t），
∵﹣（
）=（
﹣
x﹣y，
，t），
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∴| ﹣（
）|2=（
﹣
x﹣y）2+（
）2+t2
=x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+
）2+
（y﹣2）2+t2，
由题意当x=x0=1，y=y0=2 时，（x+
）2+
（y﹣2）2+t2 取最小值1，
此时t2=1，故
=
=2
故答案为：1；2；2
【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（14 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知A=
，b2﹣a2=
c2．
（1）求tanC 的值；
（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．
【分析】（1）由余弦定理可得：
，已知b2﹣a2=
c2．可得
，a=
．利用余
弦定理可得cosC．可得sinC=
，即可得出tanC=
．
（2）由
=
×
=3，可得c，即可得出b．
【解答】解：（1）∵A=
，∴由余弦定理可得：
，∴b2﹣a2=
bc﹣c2，
又b2﹣a2=
c2．∴
bc﹣c2=
c2．∴
b=
c．可得
，
∴a2=b2﹣
=
，即a=
．
∴cosC=
=
=
．
∵C∈（0，π），
∴sinC=
=
．
∴tanC=
=2．
或由A=
，b2﹣a2=
c2．
可得：sin2B﹣sin2A=
sin2C，
∴sin2B﹣
=
sin2C，
∴﹣
cos2B=
sin2C，
∴﹣sin
=sin2C，
∴﹣sin
=sin2C，
∴sin2C=sin2C，
∴tanC=2．
（2）∵
=
×
=3，
解得c=2
．
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∴
=3．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
17．（15 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1 在底面ABC 的射影为BC 的中点，
D 是B1C1 的中点．
（1）证明：A1D⊥平面A1BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值．
【分析】（1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB、OA、OA1 所在直线分别为x、y、z 轴建系，通过
•
=
•
=0
及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）所求值即为平面A1BD 的法向量与平面B1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．
【解答】（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB、OA、OA1 所在直线分别为x、y、z 轴建系．
则BC=
AC=2
，A1O=
=
，
易知A1（0，0，
），B（
，0，0），C（﹣
，0，0），
A（0，
，0），D（0，﹣
，
），B1（
，﹣
，
），
=（0，﹣
，0），
=（﹣
，﹣
，
），
=（﹣
，0，0），
=（﹣2
，0，0），
=（0，0，
），
∵
•
=0，∴A1D⊥OA1，
又∵
•
=0，∴A1D⊥BC，
又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；
（2）解：设平面A1BD 的法向量为=（x，y，z），
由
，得
，
取z=1，得=（
，0，1），
设平面B1BD 的法向量为=（x，y，z），
由
，得
，
取z=1，得=（0，
，1），
∴cos＜，＞=
=
=
，
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值为﹣
．
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【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（15 分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2 时，M（a，b）≥2；
（2）当a，b 满足M（a，b）≤2 时，求|a|+|b|的最大值．
【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变
形所求得到证明；
（2）讨论a=b=0 以及分析M（a，b）≤2 得到﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．
【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣
，
因为|a|≥2，所以
或
≥1，
所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，
所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，
所以M（a，b）≥
（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥
|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥
|2a|=|a|≥2；
（2）当a=b=0 时，|a|+|b|=0 又|a|+|b|≥0，所以0 为最小值，符合题意；
又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，
得到﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤
≤2，
易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2 时符合题意，
所以|a|+|b|的最大值为3．
【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，
1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．
19．（15 分）已知椭圆
上两个不同的点A，B 关于直线y=mx+
对称．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．
【分析】（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，
y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线
y=mx+
，可得
，代入△＞0，即可解出．
（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n，可得S△OAB=
，再利用均值不等式即可得出．
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【解答】解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程
，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2
﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，
设线段AB 的中点P（x0，y0），则
．x0=﹣m×
+n=
，
由于点P 在直线y=mx+
上，∴
=
+
，
∴
，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，
解得m2
，∴
或m
．
（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n，
∴S△OAB=
=
|n|•
=
，
由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）
=
，
∴S△AOB
=
，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵
，解得m=
，
当且仅当m=
时，S△AOB 取得最大值为
．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中
点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计
算能力，属于难题．
20．（15 分）已知数列{an}满足a1=
且an+1=an﹣an2（n∈N*）
（1）证明：1≤
≤2（n∈N*）；
（2）设数列{an2}的前n 项和为Sn，证明
（n∈N*）．
【分析】（1）通过题意易得0＜an≤（n∈N*），利用an﹣an+1=
可得
＞1，利用
=
=
≤2，
即得结论；
（2）通过
=an﹣an+1 累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2 两边同除以an+1an 采用累积法可求出an+1 的范围，从而得
出结论．
【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，
故an≤
，1≤
．
由an=（1﹣an﹣1）an﹣1 得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．
所以0＜an≤
（n∈N*），
又∵a2=a1﹣
=
，∴
=
=2，
又∵an﹣an+1=
，∴an＞an+1，∴
＞1，
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∴
=
=
≤2，
∴1≤
≤2（n∈N*），
综上所述，1＜
≤2（n∈N*）；
（2）由已知，
=an﹣an+1，
=an﹣1﹣an，…，
=a1﹣a2，
累加，得Sn=
+
+…+
=a1﹣an+1，①
由an+1=an﹣an2 两边同除以an+1an 得，
和1≤
≤2，
得1≤
≤2，
累加得1+1+…1≤
+
﹣
+…+
﹣
≤2+2+…+2，
所以n≤
﹣
≤2n，
因此
≤an+1≤
（n∈N*）②，
由①②得
≤
（n∈N*）．
【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题
方法的积累，属于难题．
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2015 年天津市高考数学试卷（理科）
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A
∩∁UB=（
）
A．{2，5}
B．{3，6}
C．{2，5，6}
D．{2，3，5，6，8}
2．（5 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=x+6y 的最大值为（
）
A．3
B．4
C．18
D．40
3．（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（
）
A．﹣10 B．6
C．14
D．18
4．（5 分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）如图，在圆O 中，M、N 是弦AB 的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，
则线段NE 的长为（
）
A．
B．3
C．
D．
6．（5 分）已知双曲线
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，
），且双曲线的一个焦点在抛物线
y2=4
x 的准线上，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
7．（5 分）已知定义在R 上的函数f（x）=2
|x﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），
则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
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8．（5 分）已知函数f（x）=
，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）
恰有4 个零点，则b 的取值范围是（
）
A．（
，+∞）
B．（﹣∞，
）
C．（0，
）D．（
，2）
二.填空题（每小题5 分，共30 分）
9．（5 分）i 是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a 的值为
．
10．（5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
m3．
11．（5 分）曲线y=x2 与y=x 所围成的封闭图形的面积为
．
12．（5 分）在（x﹣
）6 的展开式中，x2 的系数为
．
13．（5 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知△ABC 的面积为3
，b﹣c=2，cosA=﹣
，
则a 的值为
．
14．（5 分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，
且
=λ
，
=
，则
•
的最小值为
．
三.解答题（本大题共6 小题，共80 分）
15．（13 分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣
），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
，
]内的最大值和最小值．
16．（13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员
3 名，其中种子选手2 名，乙协会的运动员5 名，其中种子选手3 名，从这8 名运动员中随机选择4 人参加比赛．
（Ⅰ）设A 为事件“选出的4 人中恰有2 名种子选手，且这2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
17．（13 分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=
，
且点M 和N 分别为B1C 和D1D 的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱A1B1 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为
，求线段A1E 的长．
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18．（13 分）已知数列{an}满足an+2=qan（q 为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5 成等差
数列
（1）求q 的值和{an}的通项公式；
（2）设bn=
，n∈N*，求数列{bn}的前n 项和．
19．（14 分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为
，点M 在椭圆上且位于第一
象限，直线FM 被圆x2+y2=
截得的线段的长为c，|FM|=
．
（Ⅰ）求直线FM 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于
，求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．
20．（14 分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x 轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数
x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a（a 为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜
+2．
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2015 年天津市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A
∩∁UB=（
）
A．{2，5}
B．{3，6}
C．{2，5，6}
D．{2，3，5，6，8}
【分析】由全集U 及B，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可；
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，
∴∁UB={2，5，8}，
则A∩∁UB={2，5}．
故选：A．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（5 分）设变量x，y 满足约束条件
，则目标函数z=x+6y 的最大值为（
）
A．3
B．4
C．18
D．40
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+6y 得y=﹣
x+
z，
平移直线y=﹣
x+
z，
由图象可知当直线y=﹣
x+
z 经过点A 时，直线y=﹣
x+
z 的截距最大，
此时z 最大．
由
，解得
，即A（0，3）
将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，
得z=3×6=18．即z=x+6y 的最大值为18．
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法．
3．（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（
）
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A．﹣10 B．6
C．14
D．18
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S 的值，当i=8 时满足条件i＞5，退出循环，输出S 的值
为6．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=20，i=1
i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14
不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S 的值为6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5 分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0 得x＞1 或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．（5 分）如图，在圆O 中，M、N 是弦AB 的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，
则线段NE 的长为（
）
A．
B．3
C．
D．
【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE 即可．
【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，
∴2×4=AM•2AM，
∴AM=2，
∴MN=NB=2，
又CN•NE=AN•NB，
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∴3×NE=4×2，
∴NE=
．
故选：A．
【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（5 分）已知双曲线
﹣
=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，
），且双曲线的一个焦点在抛物线
y2=4
x 的准线上，则双曲线的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方
程渐近线方程，得a、b 的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意，
=
，
∵抛物线y2=4
x 的准线方程为x=﹣
，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4
x 的准线上，
∴c=
，
∴a2+b2=c2=7，
∴a=2，b=
，
∴双曲线的方程为
．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5 分）已知定义在R 上的函数f（x）=2
|x﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），
则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2
|x|﹣1，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递增，根
据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较
自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c 的大小．
【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）=f（x）；
∴2
|﹣x﹣m|﹣1=2
|x﹣m|﹣1；
∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=2
|x|﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；
∵0＜log23＜log25；
∴c＜a＜b．
故选：C．
【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，
+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．
8．（5 分）已知函数f（x）=
，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）
恰有4 个零点，则b 的取值范围是（
）
A．（
，+∞）
B．（﹣∞，
）
C．（0，
）D．（
，2）
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【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用
数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，
设h（x）=f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．
即h（x）=
，
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0 时，h（x）=2+x+x2=（x+
）2+
≥
，
当x＞2 时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣
）2+
≥
，
故当b=
时，h（x）=b，有两个交点，
当b=2 时，h（x）=b，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4 个零点，
即h（x）=b 恰有4 个根，
则满足
＜b＜2，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
二.填空题（每小题5 分，共30 分）
9．（5 分）i 是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a 的值为
﹣2
．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0 且虚部不等于0 求得a 的值．
【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．
10．（5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为
m3．
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【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，
且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；
∴该几何体的体积为
V 几何体=2×
π•12×1+π•12•2
=
π．
故答案为：
π．
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．
11．（5 分）曲线y=x2 与y=x 所围成的封闭图形的面积为
．
【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形
的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0
直线y=x 与曲线y=x2 所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx
而∫01（x﹣x2）dx=（
）|01=
﹣
=
∴曲边梯形的面积是
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的
能力，解题的关键就是求原函数．
12．（5 分）在（x﹣
）6 的展开式中，x2 的系数为
．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得x2 的系数．
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【解答】解：（x﹣
）6 的展开式的通项公式为Tr+1=
•（x）6﹣r•（﹣
）r=（﹣
）r•
•x6﹣2r，
令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2 的系数为
×
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
13．（5 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知△ABC 的面积为3
，b﹣c=2，cosA=﹣
，
则a 的值为
8
．
【分析】由cosA=﹣
，A∈（0，π），可得sinA=
．利用S△ABC=
=
，化为bc=24，又b﹣c=2，
解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA 即可得出．
【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA=
=
．
∵S△ABC=
=
bc=
，化为bc=24，
又b﹣c=2，解得b=6，c=4．
由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×
=64．
解得a=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属
于中档题．
14．（5 分）在等腰梯形ABCD 中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，
且
=λ
，
=
，则
•
的最小值为
．
【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．
【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以
•
=（
）•（
）=（
）•（
）
=
=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+
×2×1+
×1×1×cos120°
=1+
+
﹣
≥
+
=
（当且仅当
时等号成立）；
故答案为：
．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利
用基本不等式求最小值．
三.解答题（本大题共6 小题，共80 分）
15．（13 分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣
），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
，
]内的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣
sin（2x﹣
），由周期公式可得；
（Ⅱ）由x∈[﹣
，
]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．
【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣
）
=
（1﹣cos2x）﹣
[1﹣cos（2x﹣
）]
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=
（1﹣cos2x﹣1+
cos2x+
sin2x）
=
（﹣
cos2x+
sin2x）
=
sin（2x﹣
）
∴f（x）的最小正周期T=
=π；
（Ⅱ）∵x∈[﹣
，
]，∴2x﹣
∈[﹣
，
]，
∴sin（2x﹣
）∈[﹣1，
]，∴
sin（2x﹣
）∈[﹣
，
]，
∴f（x）在区间[﹣
，
]内的最大值和最小值分别为
，﹣
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．
16．（13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员
3 名，其中种子选手2 名，乙协会的运动员5 名，其中种子选手3 名，从这8 名运动员中随机选择4 人参加比赛．
（Ⅰ）设A 为事件“选出的4 人中恰有2 名种子选手，且这2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；
（Ⅱ）设X 为选出的4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．
【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A 发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；
（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公
式求期望．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=
，
∴事件A 发生的概率为
；
（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．
P（X=k）=
（k=1，2，3，4）．
∴随机变量X 的分布列为：
X
1
2
3
4
P
随机变量X 的数学期望E（X）=
．
【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，
考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．
17．（13 分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=
，
且点M 和N 分别为B1C 和D1D 的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1 的正弦值；
（Ⅲ）设E 为棱A1B1 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为
，求线段A1E 的长．
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【分析】（Ⅰ）以A 为坐标原点，以AC、AB、AA1 所在直线分别为x、y、z 轴建系，通过平面ABCD 的一个法向量
与
的数量积为0，即得结论；
（Ⅱ）通过计算平面ACD1 的法向量与平面ACB1 的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；
（Ⅲ）通过设
=λ
，利用平面ABCD 的一个法向量与
的夹角的余弦值为
，计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A 为坐标原点，以AC、AB、AA1 所在直线分别为x、y、z 轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M、N 分别为B1C、D1D 的中点，∴M（1，
，1），N（1，﹣2，1）．
由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD 的一个法向量，
=（0，﹣
，0），
∵•
=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（I）可知：
=（1，﹣2，2），
=（2，0，0），
=（0，1，2），
设=（x，y，z）是平面ACD1 的法向量，
由
，得
，
取z=1，得=（0，1，1），
设=（x，y，z）是平面ACB1 的法向量，
由
，得
，
取z=1，得=（0，﹣2，1），
∵cos＜，＞=
=﹣
，∴sin＜，＞=
=
，
∴二面角D1﹣AC﹣B1 的正弦值为
；
（Ⅲ）解：由题意可设
=λ
，其中λ∈[0，1]，
∴E=（0，λ，2），
=（﹣1，λ+2，1），
又∵=（0，0，1）是平面ABCD 的一个法向量，
∴cos＜
，＞=
=
=
，
整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=
﹣2 或﹣2﹣
（舍），
∴线段A1E 的长为
﹣2．
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【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几
何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
18．（13 分）已知数列{an}满足an+2=qan（q 为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5 成等差
数列
（1）求q 的值和{an}的通项公式；
（2）设bn=
，n∈N*，求数列{bn}的前n 项和．
【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5 成等差数列，计算即可；
（2）通过（1）知bn=
，n∈N*，写出数列{bn}的前n 项和Tn、2Tn 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求
和公式，计算即可．
【解答】解：（1）∵an+2=qan（q 为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，
∴a3=q，a5=q2，a4=2q，
又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5 成等差数列，
∴2×3q=2+3q+q2，
即q2﹣3q+2=0，
解得q=2 或q=1（舍），
∴an=
；
（2）由（1）知bn=
=
=
，n∈N*，
记数列{bn}的前n 项和为Tn，
则Tn=1+2•
+3•
+4•
+…+（n﹣1）•
+n•
，
∴2Tn=2+2+3•
+4•
+5•
+…+（n﹣1）•
+n•
，
两式相减，得Tn=3+
+
+
+…+
﹣n•
=3+
﹣n•
=3+1﹣
﹣n•
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=4﹣
．
【点评】本题考查求数列的通项与前n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题
方法的积累，属于中档题．
19．（14 分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为
，点M 在椭圆上且位于第一
象限，直线FM 被圆x2+y2=
截得的线段的长为c，|FM|=
．
（Ⅰ）求直线FM 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于
，求直线OP（O 为原点）的斜率的取值范围．
【分析】（Ⅰ）通过离心率为
，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM 的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心
距公式，计算可得结论；
（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM 的方程，可得M（c，
c），利用|FM|=
计算即可；
（Ⅲ）设动点P 的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP 与椭圆方程，分x∈（﹣
，﹣1）与x∈（﹣1，0）
两种情况讨论即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为
，∴
=
=
，
∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，
设直线FM 的斜率为k（k＞0），则直线FM 的方程为y=k（x+c），
∵直线FM 被圆x2+y2=
截得的线段的长为c，
∴圆心（0，0）到直线FM 的距离d=
，
∴d2+
=
，即（
）2+
=
，
解得k=
，即直线FM 的斜率为
；
（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：
+
=1，直线FM 的方程为y=
（x+c），
联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣
c，或x=c，
∵点M 在第一象限，∴M（c，
c），
∵|FM|=
，∴
=
，
解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，
即椭圆的方程为
+
=1；
（Ⅲ）设动点P 的坐标为（x，y），直线FP 的斜率为t，
∵F（﹣1，0），∴t=
，即y=t（x+1）（x≠﹣1），
联立方程组
，消去y 并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，
又∵直线FP 的斜率大于
，
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∴
＞
，6﹣2x2＞6（x+1）2，
整理得：x（2x+3）＜0 且x≠﹣1，
解得﹣
＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，
设直线OP 的斜率为m，得m=
，即y=mx（x≠0），
联立方程组
，消去y 并整理，得m2=
﹣
．
①当x∈（﹣
，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，
∴m=
，∴m∈（
，
）；
②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，
∴m=﹣
，∴m∈（﹣∞，﹣
）；
综上所述，直线OP 的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣
）∪（
，
）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基
础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于
中档题．
20．（14 分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x 轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数
x，都有f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a（a 为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜
+2．
【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x），分n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．
（Ⅱ）设点P 的坐标为（x0，0），则可求x0=n
，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）
﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nxn﹣1+n 在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）
上单调递减，即可得证．
（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a 的根为
，由（Ⅱ）可得x2≤
．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h
（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a 的根为
，可得
＜x1，从而可得：x2﹣x1＜
﹣
=
，
由n≥2，即2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+
=1+n﹣1=n，推得：2
=x0，即可得证．
【解答】（本题满分为14 分）
解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x）=n﹣nxn﹣1=n（1﹣xn﹣1），其中n∈N•，且n≥2．
下面分两种情况讨论：
（1）当n 为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x 变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，﹣1）
（﹣1，1）
（1，+∞）
f′（x）
﹣
+
﹣
f（x）
所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．
（2）当n 为偶数时，
当f′（x）＞0，即x＜1 时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞1 时，函数f（x）单调递减；
所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
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（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为（x0，0），则x0=n
，f′（x0）=n﹣n2，
曲线y=f（x）在点P 处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），
令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．
由于f′（x）=﹣nxn﹣1+n 在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，
所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，
即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．
（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，
由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），
设方程g（x）=a 的根为
，可得
=
，
由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（
），可得x2≤
．
类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），
可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣xn＜0，
即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），
设方程h（x）=a 的根为
，可得
=
，
因为h（x）=nx 在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（
）=a=f（x1）＜h（x1），
因此
＜x1，
由此可得：x2﹣x1＜
﹣
=
，
因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+
=1+n﹣1=n，
故：2
=x0．
所以：|x2﹣x1|＜
+2．
【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，
考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．
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2015 年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5 分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（
）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|﹣1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
2．（5 分）设i 是虚数单位，则复数i3﹣
=（
）
A．﹣i
B．﹣3i C．i D．3i
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
4．（5 分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（
）
A．y=cos（2x+
）
B．y=sin（2x+
）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
5．（5 分）过双曲线x2﹣
=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=
（
）
A．
B．2
C．6
D．4
6．（5 分）用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有（
）
A．144 个
B．120 个
C．96 个D．72 个
7．（5 分）设四边形ABCD 为平行四边形，|
|=6，|
|=4，若点M、N 满足
，
，则
=（
）
A．20
B．15
C．9
D．6
8．（5 分）设a、b 都是不等于1 的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（
）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．（5 分）如果函数f（x）=
（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，那么mn 的
最大值为（
）
A．16
B．18
C．25
D．
10．（5 分）设直线l 与抛物线y2=4x 相交于A、B 两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M 为线段AB
的中点，若这样的直线l 恰有4 条，则r 的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11．（5 分）在（2x﹣1）5 的展开式中，含x2 的项的系数是
（用数字填写答案）．
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12．（5 分）sin15°+sin75°的值是
．
13．（5 分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然
对数的底数，k、b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时，在22℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在
33℃的保鲜时间是
小时．
14．（5 分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E、F 分
别为AB、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为
．
15．（5 分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=
，
n=
．现有如下命题：
①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有
（写出所有真命题的序号）．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12 分）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n 项和Sn 满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3 成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{
}的前n 项和为Tn，求使得|Tn﹣1|
成立的n 的最小值．
17．（12 分）某市A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了3 名男
生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，
女生中随机抽取3 人组成代表队．
（Ⅰ）求A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期
望．
18．（12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC 的中点为M、
GH 的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M 的余弦值．
19．（12 分）如图，A、B、C、D 为平面四边形ABCD 的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan
=
；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan
+tan
+tan
+tan
的值．
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20．（13 分）如图，椭圆E：
的离心率是
，过点P（0，1）的动直线l 与椭圆相交于A、
B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得
恒成立？若存在，求出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（14 分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+∞）内有唯
一解．
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2015 年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5 分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（
）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|﹣1＜x＜1}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}
【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，
根据集合的并集可求解答案．
【解答】解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，
∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，
∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，
故选：A．
【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．
2．（5 分）设i 是虚数单位，则复数i3﹣
=（
）
A．﹣i
B．﹣3i C．i D．3i
【分析】通分得出
，利用i 的性质运算即可．
【解答】解：∵i 是虚数单位，则复数i3﹣
，
∴
=
=
=i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5 时满足条件k＞4，计算并输出S 的值为
．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=1
k=2
不满足条件k＞4，k=3
不满足条件k＞4，k=4
不满足条件k＞4，k=5
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满足条件k＞4，S=sin
=
，
输出S 的值为
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
4．（5 分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（
）
A．y=cos（2x+
）
B．y=sin（2x+
）
C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx
【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．
【解答】解：
y=cos（2x+
）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确
y=sin（2x+
）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；
y=sin2x+cos2x=
sin（2x+
），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；
y=sinx+cosx=
sin（x+
），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；
故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．
5．（5 分）过双曲线x2﹣
=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B 两点，则|AB|=
（
）
A．
B．2
C．6
D．4
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB 的方程，得到AB 坐标，即可求解|AB|．
【解答】解：双曲线x2﹣
=1 的右焦点（2，0），渐近线方程为y=
，
过双曲线x2﹣
=1 的右焦点且与x 轴垂直的直线，x=2，
可得yA=2
，yB=﹣2
，
∴|AB|=4
．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．
6．（5 分）用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有（
）
A．144 个
B．120 个
C．96 个D．72 个
【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5 其中1 个，末位数字为0、2、4 中其中1 个；进而对
首位数字分2 种情况讨论，①首位数字为5 时，②首位数字为4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安
排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5 其中1 个，末位数字为0、2、4 中其中1 个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5 时，末位数字有3 种情况，在剩余的4 个数中任取3 个，放在剩余的3 个位置上，有A43=24 种情
况，此时有3×24=72 个，
②首位数字为4 时，末位数字有2 种情况，在剩余的4 个数中任取3 个，放在剩余的3 个位置上，有A43=24 种情
况，此时有2×24=48 个，
共有72+48=120 个．
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可
得其可选的情况．
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7．（5 分）设四边形ABCD 为平行四边形，|
|=6，|
|=4，若点M、N 满足
，
，则
=（
）
A．20
B．15
C．9
D．6
【分析】根据图形得出
=
+
=
，
=
=
，
=
•（
）=
2﹣
，
结合向量结合向量的数量积求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，点M、N 满足
，
，
∴根据图形可得：
=
+
=
，
=
=
，
∴
=
，
∵
=
•（
）=
2﹣
，
2=
2
2，
=
2
2
，
|
|=6，|
|=4，
∴
=
2
2=12﹣3=9
故选：C
【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．
8．（5 分）设a、b 都是不等于1 的正数，则“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的（
）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，
loga3＜logb3，
或
根据对数函数的性质求解即可，
再利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：a、b 都是不等于1 的正数，
∵3a＞3b＞3，
∴a＞b＞1，
∵loga3＜logb3，
∴
，
即
＜0，
或
求解得出：a＞b＞1 或1＞a＞b＞0 或b＞1，0＜a＜1
根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的充分条不必要件，
故选：B．
【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．
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9．（5 分）如果函数f（x）=
（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，那么mn 的
最大值为（
）
A．16
B．18
C．25
D．
【分析】函数f（x）=
（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，则f′（x）≤0，故
（m﹣2）x+n﹣8≤0 在[
，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8 是一次函数，在[
，2]上的图象是一条线段．故只
须在两个端点处f′（
）≤0，f′（2）≤0 即可．结合基本不等式求出mn 的最大值．
【解答】解：∵函数f（x）=
（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，
∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0 在[
，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8 是一次函数，在[
，2]上的图象是
一条线段．故只须在两个端点处f′（
）≤0，f′（2）≤0 即可．即
由（2）得m≤
（12﹣n），
∴mn≤
n（12﹣n）≤
=18，当且仅当m=3，n=6 时取得最大值，经检验m=3，n=6 满足（1）和（2）．
故选：B．
解法二：
∵函数f（x）=
（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[
]上单调递减，
∴①m=2，n＜8
对称轴x=﹣
，
②
即
③
即
设
或
或
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设y=
，y′=
，
当切点为（x0，y0），k 取最大值．
①﹣
=﹣2．k=2x
，
∴y0=﹣2x0+12，y0=
=2x0，可得x0=3，y0=6，
∵x=3＞2
∴k 的最大值为3×6=18
②﹣
=﹣
．，k=
，
y0=
=
，
2y0+x0﹣18=0，
解得：x0=9，y0=
∵x0＜2
∴不符合题意．
③m=2，n=8，k=mn=16
综合得出：m=3，n=6 时k 最大值k=mn=18，
故选：B．
【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于
难题．
10．（5 分）设直线l 与抛物线y2=4x 相交于A、B 两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M 为线段AB
的中点，若这样的直线l 恰有4 条，则r 的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
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【分析】先确定M 的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2
，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可
得出结论．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），
斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，
则
，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），
当l 的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，
因为直线与圆相切，所以
=﹣
，所以x0=3，
即M 的轨迹是直线x=3．
将x=3 代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2
，
∵M 在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16，
∵直线l 恰有4 条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，
故2＜r＜4 时，直线l 有2 条；
斜率不存在时，直线l 有2 条；
所以直线l 恰有4 条，2＜r＜4，
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11．（5 分）在（2x﹣1）5 的展开式中，含x2 的项的系数是
﹣40
（用数字填写答案）．
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令x 的指数为2 求得r，
再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1=
；
要求x2 的项的系数，
∴5﹣r=2，
∴r=3，
∴x2 的项的系数是22（﹣1）3C53=﹣40．
故答案为：﹣40．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二
项展开式的特定项问题的工具．
12．（5 分）sin15°+sin75°的值是
．
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=
（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=
sin60°=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．
13．（5 分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然
对数的底数，k、b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时，在22℃的保鲜时间是48 小时，则该食品在
33℃的保鲜时间是
24
小时．
【分析】由题意可得，x=0 时，y=192；x=22 时，y=48．代入函数y=ekx+b，解方程，可得k，b，再由x=33，代入即
可得到结论．
【解答】解：由题意可得，x=0 时，y=192；x=22 时，y=48．
代入函数y=ekx+b，
可得eb=192，e22k+b=48，
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即有e11k=
，eb=192，
则当x=33 时，y=e33k+b=
×192=24．
故答案为：24．
【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题．
14．（5 分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E、F 分
别为AB、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cosθ的最大值为
．
【分析】首先以AB，AD，AQ 三直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），
从而可求出向量
的坐标，由cosθ=
得到
，对函数
求
导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．
【解答】解：根据已知条件，AB，AD，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直
角坐标系，设AB=2，则：
A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；
M 在线段PQ 上，设M（0，y，2），0≤y≤2；
∴
；
∴cosθ=
=
；
设f（y）=
，
；
函数g（y）=﹣2y﹣5 是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0；
∴g（y）＜0 在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上单调递减；
∴y=0 时，f（y）取到最大值
．
故答案为：
．
【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，
向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．
15．（5 分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=
，
n=
．现有如下命题：
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①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；
②对于任意的a 及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；
③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；
④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．
其中的真命题有
①④
（写出所有真命题的序号）．
【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；
通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；
通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．
【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R 上递增，即有m＞0，则①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣
）递减，在（﹣
，+∞）递增，则n＞0 不恒成立，
则②错误；
对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），
考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2，
当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；
对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，
h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0 或小于0，则④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关
键．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12 分）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n 项和Sn 满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3 成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{
}的前n 项和为Tn，求使得|Tn﹣1|
成立的n 的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到an=2an﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3 成等差数列求出数列首项，可得数
列{an}是首项为2，公比为2 的等比数列，则其通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{
}的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得Tn，结合
求解指数不
等式得n 的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 （n≥2），
即an=2an﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，
又∵a1，a2+1，a3 成等差数列，
∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．
∴数列{an}是首项为2，公比为2 的等比数列．故
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，
∴
．
由
，得
，即2n＞1000．
∵29=512＜1000＜1024=210，
∴n≥10．
于是，使|Tn﹣1|
成立的n 的最小值为10．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能
力，是中档题．
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17．（12 分）某市A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了3 名男
生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，
女生中随机抽取3 人组成代表队．
（Ⅰ）求A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和数学期
望．
【分析】（Ⅰ）求出A 中学至少有1 名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可；
（Ⅱ）求出X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X 的分布列，然后求解数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6 人，参赛学生全从B 中抽出（等价于A 中没有学生入选
代表队）的概率为：
=
，因此A 中学至少有1 名学生入选代表队的概率为：1﹣
=
；
（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，X 表示参赛的男生人数，
则X 的可能取值为：1，2，3，
P（X=1）=
=
，
P（X=2）=
=
，
P（X=3）=
=
．
X 的分布列：
X
1
2
3
P
和数学期望EX=1×
=2．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能
力．
18．（12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC 的中点为M、
GH 的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M 的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．
法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）F、G、H 的位置如图；
证明：（Ⅱ）连接BD，设O 是BD 的中点，
∵BC 的中点为M、GH 的中点为N，
∴OM∥CD，OM=
CD，
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HN∥CD，HN=
CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四边形MNHO 是平行四边形，
∴MN∥OH，
∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH，
∴直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）方法一：
连接AC，过M 作MH⊥AC 于P，
则正方体ABCD﹣EFGH 中，AC∥EG，
∴MP⊥EG，
过P 作PK⊥EG 于K，连接KM，
∴EG⊥平面PKM
则KM⊥EG，
则∠PKM 是二面角A﹣EG﹣M 的平面角，
设AD=2，则CM=1，PK=2，
在Rt△CMP 中，PM=CMsin45°=
，
在Rt△PKM 中，KM=
=
，
∴cos∠PKM=
，
即二面角A﹣EG﹣M 的余弦值为
．
方法二：以D 为坐标原点，
分别为DA，DC，DH 方向为x，y，z 轴建立空间坐标系如图：
设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），
则
=（2，﹣2，0），
，
设平面EGM 的法向量为=（x，y，z），
则
，即
，令x=2，得=（2，2，1），
在正方体中，DO⊥平面AEGC，
则=
=（1，1，0）是平面AEG 的一个法向量，
则cos＜
＞=
=
=
=
．
二面角A﹣EG﹣M 的余弦值为
．
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【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象
能力，推理能力，运算求解能力．
19．（12 分）如图，A、B、C、D 为平面四边形ABCD 的四个内角．
（Ⅰ）证明：tan
=
；
（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan
+tan
+tan
+tan
的值．
【分析】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．
（Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简tan
+tan
+tan
+tan
=
，连结
BD，在△ABD 中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．
【解答】证明：（Ⅰ）tan
=
=
=
．等式成立．
（
Ⅱ
）
由
A+C=180°
，
得
C=180°
﹣
A
，
D=180°
﹣
B
，
由
（
Ⅰ
）
可
知
：
tan
+tan
+tan
+tan
=
=
，连结BD，
在△ABD 中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，
在△BCD 中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，
所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，
则：cosA=
=
=
．
于是sinA=
=
，
连结AC，同理可得：cosB=
=
=
，
于是sinB=
=
．
所以tan
+tan
+tan
+tan
=
=
=
．
【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归
思想的应用．
20．（13 分）如图，椭圆E：
的离心率是
，过点P（0，1）的动直线l 与椭圆相交于A、
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B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q，使得
恒成立？若存在，求出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E 截得的线段长为2
及离心率是
，计算即得结论；
（Ⅱ）通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是（0，2）．然
后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有
即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2
，
∴点（
，1）在椭圆E 上，
又∵离心率是
，
∴
，解得a=2，b=
，
∴椭圆E 的方程为：
+
=1；
（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点Q（0，2），使得
恒成立．
理由如下：
当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C、D 两点，
如果存在定点Q 满足条件，则有
=
=1，即|QC|=|QD|．
∴Q 点在直线y 轴上，可设Q（0，y0）．
当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M、N 两点，
则M、N 的坐标分别为（0，
）、（0，﹣
），
又∵
=
，∴
=
，解得y0=1 或y0=2．
∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是（0，2）．
下面证明：对任意直线l，均有
．
当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y=kx+1，
A、B 的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立
，消去y 并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，
∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，
∴x1+x2=﹣
，x1x2=﹣
，
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∴
+
=
=2k，
已知点B 关于y 轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），
又kAQ=
=
=k﹣
，kQB′=
=
=﹣k+
=k﹣
，
∴kAQ=kQB′，即Q、A、B′三点共线，
∴
=
=
=
．
故存在与点P 不同的定点Q（0，2），使得
恒成立．
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、
运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难
题．
21．（14 分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+∞）内有唯
一解．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，
然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；
（Ⅱ）由f （x ）的导函数等于0 把a 用含有x 的代数式表示，然后构造函数φ （x ）
=
x2
，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），
使得φ（x0）=0．令
，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导
数说明当a=a0 时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 在区间（1，+∞）
内恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+∞）内有唯一解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
g（x）=
，
∴
．
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当0＜a＜
时，g（x）在
上单调递增，
在区间
上单调递减；
当a
时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由
=0，解得
，
令φ（x）=
x2
，
则φ（1）=1＞0，φ（e）=
．
故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．
令
，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），
由
知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴
．
即a0∈（0，1），
当a=a0 时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．
由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．
综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+∞）内有唯一
解．
【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求
解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．
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2015 年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14 题，满分48 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4
分，否则一律得零分．
1．（4 分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=
．
2．（4 分）若复数z 满足3z+ =1+i，其中i 是虚数单位，则z=
．
3．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则c1﹣c2=
．
4．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16
，则a=
．
5．（4 分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p=
．
6．（4 分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为
．
7．（4 分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2 的解为
．
8．（4 分）在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方
式的种数为
（结果用数值表示）．
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2 倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C1 和C2．若C1 的
渐近线方程为y=±
x，则C2 的渐近线方程为
．
10．（4 分）设f
﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+
，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f
﹣1（x）的最大值为
．
11．（4 分）在（1+x+
）10 的展开式中，x2 项的系数为
（结果用数值表示）．
12．（4 分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡
片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4
倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1 和ξ2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=
（元）．
13．（4 分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm 满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）
﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m 的最小值为
．
14．在锐角三角形A BC 中，tanA=
，D 为边BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2 和4．过D 作D E⊥A B
于E，DF⊥AC 于F，则
•
=
．
二、选择题（本大题共有4 题，满分15 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表
答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分．
15．（5 分）设z1，z2∈C，则“z1、z2 中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2 是虚数”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
16．（5 分）已知点A 的坐标为（4
，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
至OB，则点B 的纵坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3 是正实数．当a1，a2，a3
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（
）
A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根
18．（5 分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=
（n∈N*）与圆x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限
=（
）
A．﹣1
B．﹣
C．1
D．2
三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=1，AB=AD=2，E、F 分别是AB、BC 的中点，证明A1、C1、F、
E 四点共面，并求直线CD1 与平面A1C1FE 所成的角的大小．
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20．（14 分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米．现甲、乙两警员同时从A 地出
发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5 千米/小时，乙
的路线是ACB，速度为8 千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t1 时乙到达C 地．
（1）求t1 与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米．当t1≤t≤1 时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上
的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14 分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1 和l2 分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD
的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l1 的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；
（2）设l1 与l2 的斜率之积为﹣
，求面积S 的值．
22．（16 分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
（2）设{an}的第n0 项是最大项，即a
≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0 项是最大项；
（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M 与最小值m，且
∈（﹣2，2）．
23．（18 分）对于定义域为R 的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T 为周期的函数，则称g（x）为
余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f（x）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调
递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin
是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；
（3）证明：“u0 为方程cosf（x）=1 在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T 为方程cosf（x）=1 在区间[T，2T]上的
解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
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2015 年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14 题，满分48 分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4
分，否则一律得零分．
1．（4 分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=
{1，4}
．
【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，
∴（∁UB）={x|x＞3 或x＜2}，
∴A∩（∁UB）={1，4}，
故答案为：{1，4}．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了
推理判断的能力．
2．（4 分）若复数z 满足3z+ =1+i，其中i 是虚数单位，则z=
．
【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），
又3z+ =1+i，
∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，
化为4a+2bi=1+i，
∴4a=1，2b=1，
解得a=
，b=
．
∴z=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
3．（4 分）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则c1﹣c2=
16
．
【分析】根据增广矩阵的定义得到
，是方程组
的解，解方程组即可．
【解答】解：由题意知
，是方程组
的解，
即
，
则c1﹣c2=21﹣5=16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
4．（4 分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16
，则a=
4
．
【分析】由题意可得（
•a•a•sin60°）•a=16
，由此求得a 的值．
【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为
•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，
∴（
•a•a•sin60°）•a=16
，∴a=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
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5．（4 分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p=
2
．
【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，
所以
=1，
所以p=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（4 分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为
．
【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得
l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，
∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，
∴l=2h，
设母线与轴的夹角为θ，
则cosθ=
=
，
故θ=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．
7．（4 分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2 的解为
2
．
【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．
【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，
∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），
化为（3x）2﹣12•3x+27=0，
因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，
∴3x=3，3x=9，
解得x=1 或2．
经过验证：x=1 不满足条件，舍去．
∴x=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
8．（4 分）在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方
式的种数为
120
（结果用数值表示）．
【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9 名老师中选取5 人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，
再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
【解答】解：根据题意，报名的有3 名男老师和6 名女教师，共9 名老师，
在9 名老师中选取5 人，参加义务献血，有C95=126 种；
其中只有女教师的有C65=6 种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120 种；
故答案为：120．
【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2 倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C1 和C2．若C1 的
渐近线方程为y=±
x，则C2 的渐近线方程为
．
【分析】设C1 的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q 的轨迹方程，即可求出C2 的渐近线方程．
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【解答】解：设C1 的方程为y2﹣3x2=λ，
设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，
∴C2 的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
10．（4 分）设f
﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+
，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f
﹣1（x）的最大值为
4
．
【分析】由f（x）=2x﹣2+
在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f
﹣1（x）在[
]上为增函数，由函数的
单调性求得y=f（x）+f
﹣1（x）的最大值．
【解答】解：由f（x）=2x﹣2+
在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[
]，
可得y=f
﹣1（x）在[
]上为增函数，
因此y=f（x）+f
﹣1（x）在[
]上为增函数，
∴y=f（x）+f
﹣1（x）的最大值为f（2）+f
﹣1（2）=1+1+2=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．
11．（4 分）在（1+x+
）10 的展开式中，x2 项的系数为
45
（结果用数值表示）．
【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2 项，然后写出第一项二项展开式的通项，
由x 的指数为2 求得r 值，则答案可求．
【解答】解：∵（1+x+
）10=
，
∴仅在第一部分中出现x2 项的系数．
再由
，令r=2，可得，
x2 项的系数为
．
故答案为：45．
【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（4 分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡
片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4
倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1 和ξ2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=
0.2 （元）．
【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．
【解答】解：赌金的分布列为
ξ1
1
2
3
4
5
P
所以
Eξ1=
（1+2+3+4+5）=3，
奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4 种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3 种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2 种，
若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1 种，
则P（ξ2=1.4）=
=
，P（ξ2=2.8）=
=
，P（ξ2=4.2）=
=
，P（ξ2=5.6）=
=
ξ2
1.4
2.8
4.2
5.6
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P
所以Eξ2=1.4×（
×1+
×2+
×3+
×4）=2.8，
则Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2 元．
故答案为：0.2
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．
13．（4 分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm 满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）
﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），则m 的最小值为
8
．
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f
（x）min=2，要使m 取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小
m 值．
【解答】解：∵y=sinx 对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，
要使m 取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，
按下图取值即可满足条件，
∴m 的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对
任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2 是解答该题的关键，是难题．
14．在锐角三角形A BC 中，tanA=
，D 为边BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2 和4．过D 作D E⊥A B
于E，DF⊥AC 于F，则
•
=
﹣
．
【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=
，
，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵△ABD 与△ACD 的面积分别为2 和4，∴
，
，
可得
，
，∴
．
又tanA=
，∴
，联立sin2A+cos2A=1，得
，cosA=
．
由
，得
．
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则
．
∴
•
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中
档题．
二、选择题（本大题共有4 题，满分15 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表
答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分．
15．（5 分）设z1，z2∈C，则“z1、z2 中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2 是虚数”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．
【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2 中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1 是实数，则z1﹣z2 是虚数不成立，
若z1、z2 都是实数，则z1﹣z2 一定不是虚数，因此当z1﹣z2 是虚数时，
则z1、z2 中至少有一个数是虚数，即必要性成立，
故“z1、z2 中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2 是虚数”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．
16．（5 分）已知点A 的坐标为（4
，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
至OB，则点B 的纵坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【解答】解：∵点A 的坐标为（4
，1），
∴设∠xOA=θ，则sinθ=
=
，cosθ=
=
，
将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转
至OB，
则OB 的倾斜角为θ+
，则|OB|=|OA|=
，
则点B 的纵坐标为y=|OB|sin（θ+
）=7（sinθcos
+cosθsin
）=7（
×
+
）=
+6=
，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3 是正实数．当a1，a2，a3
成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（
）
A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根
【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3 成等比数列求出方程③的判别式
△的取值即可得到结论．
【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，
即a12≥4，a22＜8，
∵a1，a2，a3 成等比数列，
∴a22=a1a3，
即a3=
，
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则a32=（
）2=
，
即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，
故选：B．
【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系
是解决本题的关键．
18．（5 分）设Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=
（n∈N*）与圆x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限
=（
）
A．﹣1
B．﹣
C．1
D．2
【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=
趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用
圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=
趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（1，1），
而
可看作点Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2 在点（1，1）处的切线的斜率，
其斜率为﹣1．
∴
=﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12 分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=1，AB=AD=2，E、F 分别是AB、BC 的中点，证明A1、C1、F、
E 四点共面，并求直线CD1 与平面A1C1FE 所成的角的大小．
【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角．
【解答】解：连接AC，因为E，F 分别是AB，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF∥AC．由长方体的
性质知AC∥A1C1，
所以EF∥A1C1，
所以A1、C1、F、E 四点共面．
以D 为坐标原点，DA、DC、DD1 分别为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，易求得
，
设平面A1C1EF 的法向量为
则
，所以
，即
，
z=1，得x=1，y=1，所以
，
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所以
=
，
所以直线CD1 与平面A1C1FE 所成的角的大小arcsin
．
【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型．
20．（14 分）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米．现甲、乙两警员同时从A 地出
发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5 千米/小时，乙
的路线是ACB，速度为8 千米/小时．乙到达B 地后原地等待．设t=t1 时乙到达C 地．
（1）求t1 与f（t1）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米．当t1≤t≤1 时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上
的最大值是否超过3？说明理由．
【分析】（1）由题意可得t1=
=
h，由余弦定理可得f（t1）=PC=
，代值计算可得；
（2）当t1≤t≤
时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=
，当
＜t≤1 时，f（t）=PB=5﹣5t，
综合可得当
＜t≤1 时，f（t）∈[0，
]，可得结论．
【解答】解：（1）由题意可得t1=
=
h，
设此时甲运动到点P，则AP=v 甲t1=5×
=
千米，
∴f（t1）=PC=
=
=
千米；
（2）当t1≤t≤
时，乙在CB 上的Q 点，设甲在P 点，
∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，
∴f（t）=PQ=
=
=
，
当
＜t≤1 时，乙在B 点不动，设此时甲在点P，
∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t
∴f（t）=
∴当
＜t≤1 时，f（t）∈[0，
]，
故f（t）的最大值没有超过3 千米．
【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．
21．（14 分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1 和l2 分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD
的面积为S．
（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C 的坐标表示点C 到直线l1 的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；
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（2）设l1 与l2 的斜率之积为﹣
，求面积S 的值．
【分析】（1）依题意，直线l1 的方程为y=
x，利用点到直线间的距离公式可求得点C 到直线l1 的距离
d=
，再利用|AB|=2|AO|=2
，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；当l1 与l2 时的斜率之一
不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l1 的斜率为k，则直线l2 的斜率为﹣
，可得直线l1 与l2 的方程，联立方程组
，
可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．
方法二：设直线l1、l2 的斜率分别为
、
，则
=﹣
，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1 上，
可求得面积S 的值．
【解答】解：（1）依题意，直线l1 的方程为y=
x，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l1 的距离
d=
=
，
因为|AB|=2|AO|=2
，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；
当l1 与l2 时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立；
（2）方法一：设直线l1 的斜率为k，则直线l2 的斜率为﹣
，
设直线l1 的方程为y=kx，联立方程组
，消去y 解得x=±
，
根据对称性，设x1=
，则y1=
，
同理可得x2=
，y2=
，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=
．
方法二：设直线l1、l2 的斜率分别为
、
，则
=﹣
，
所以x1x2=﹣2y1y2，
∴
=4
=﹣2x1x2y1y2，
∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1 上，
∴（
）（
）=
+4
+2（
+
）=1，
即﹣4x1x2y1y2+2（
+
）=1，
所以（x1y2﹣x2y1）2=
，即|x1y2﹣x2y1|=
，
所以S=2|x1y2﹣x2y1|=
．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．
22．（16 分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．
（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；
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（2）设{an}的第n0 项是最大项，即a
≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0 项是最大项；
（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M 与最小值m，且
∈（﹣2，2）．
【分析】（1）把bn=3n+5 代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an 可求；
（2）由an=（an﹣an ﹣1）+（an ﹣1﹣an ﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1，求得
，进一步得到
得答案；
（3）由（2）可得
，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1 三种情况求得an 的最大值M 和最小值m，
再由
∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．
【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，
∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，
∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，
则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；
（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1
=2bn+a1﹣2b1，
∴
，
∴
．
∴数列{bn}的第n0 项是最大项；
（3）由（2）可得
，
①当﹣1＜λ＜0 时，
单调递减，有最大值
；
单调递增，有最小值m=a1=λ，
∴
∈（﹣2，2），
∴λ∈
，
∴
．
②当λ=﹣1 时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，
∴M=3，m=﹣1，
（﹣2，2），不满足条件．
③当λ＜﹣1 时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；
当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．
综上所述，λ∈（﹣
，0）时满足条件．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公
式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．
23．（18 分）对于定义域为R 的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T 为周期的函数，则称g（x）为
余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．已知f（x）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调
递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin
是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；
（3）证明：“u0 为方程cosf（x）=1 在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T 为方程cosf（x）=1 在区间[T，2T]上的
解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可；
（2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R 上单调递增即可说明x0∈[a，
b]，从而完成证明；
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（3）只需证明u0+T 为方程cosf（x）=1 在区间[T，2T]上的解得出u0 为方程cosf（x）=1 在[0，T]上的解，是否为
方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，
x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0 时是显然成立的；x=T 时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，
根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1 在[T，2T]和它在[0，T]上解的
个数的情况说明k1=3，和k1≥5 是不存在的，而k1=4 时结论成立，这便说明x=T 时结论成立；而对于x∈（0，T）
时，通过考查cosf（x）=c 的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可．
【解答】解：（1）g（x）=x+sin
；
∴
=
=cosg（x）
∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）∵f（x）的值域为R；
∴存在x0，使f（x0）=c；
又c∈[f（a），f（b）]；
∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数；
∴a≤x0≤b；
即存在x0∈[a，b]，使f（x0）=c；
（3）证明：若u0+T 为方程cosf（x）=1 在区间[T，2T]上的解；
则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T；
∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T；
∴u0 为方程cosf（x）=1 在[0，T]上的解；
∴“u0 为方程cosf（x）=1 在[0，T]上得解”的充分条件是“u0+T 为方程cosf（x）=1 在区间[T，2T]上的解”；下面证
明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）：
①当x=0 时，f（0）=0，∴显然成立；
②当x=T 时，cosf（2T）=cosf（T）=1；
∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；
1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π；
cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z；
∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）；
∴4π＜2k2π＜6π；
∴2＜k2＜3，无解；
2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π；
则T，x1，x2，2T 为cosf（x）=1 在[T，2T]上的4 个解；
但方程cosf（x）=1 在[0，2T]上只有f（x）=0，2π，4π，3 个解，矛盾；
3）当k1=4 时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立；
③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c 在（0，T）上的解；
设其解为f（x1），f（x2），…，f（xn），（x1＜x2＜…＜xn）；
则f（x1+T），f（x2+T），…，f（xn+T）为方程cosf（x）=c 在（T，2T）上的解；
又f（x+T）∈（4π，8π）；
而f（x1）+4π，f（x2）+4π，…，f（xn）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c 在（T，2T）上的解；
∴f（xi+T）=f（xi）+4π=f（xi）+f（T）；
∴综上对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．
【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1 能得出f（x）
=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．
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2015 年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题，共12 小题，每小题5 分，共60 分
1．（5 分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（
）
A．[0，1]
B．（0，1]
C．[0，1）
D．（﹣∞，1]
2．（5 分）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
（
）
A．93
B．123
C．137
D．167
3．（5 分）如图，某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（
x+φ）+k．据此函数可知，这
段时间水深（单位：m）的最大值为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
4．（5 分）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2 的系数为15，则n=（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
5．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．3π
B．4π
C．2π+4 D．3π+4
6．（5 分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（
）
A．|
|≤| || | B．|
|≤|| |﹣| ||
C．（
）2=|
|2 D．（
）•（
）=
2﹣
2
8．（5 分）根据如图框图，当输入x 为2006 时，输出的y=（
）
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A．2
B．4
C．10
D．28
9．（5 分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（
），q=f（
），r=
（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是
（
）
A．q=r＜p
B．p=r＜q
C．q=r＞p
D．p=r＞q
10．（5 分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用
限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（
）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A．12 万元
B．16 万元
C．17 万元
D．18 万元
11．（5 分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x 的概率为（
）
A．
+
B．
+
C．
﹣
D．
﹣
12．（5 分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是
错误的，则错误的结论是（
）
A．﹣1 是f（x）的零点
B．1 是f（x）的极值点
C．3 是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上
二、填空题，共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
．
14．（5 分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1 的一个焦点，则p=
．
15．（5 分）设曲线y=ex 在点（0，1）处的切线与曲线y=
（x＞0）上点P 的切线垂直，则P 的坐标为
．
16．（5 分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则
原始的最大流量与当前最大流量的比值为
．
三、解答题，共5 小题，共70 分
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．向量=（a，
b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
，b=2，求△ABC 的面积．
18．（12 分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=
，AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE
的交点，将ABE 沿BE 折起到A1BE 的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
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（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．
19．（12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200 的样本进
行统计，结果如下：
T（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
40
60
80
20
（1）求T 的分布列与数学期望ET；
（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校
区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．
20．（12 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O 到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距
离为
c．
（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；
（Ⅱ）如图，AB 是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=
的一条直径，若椭圆E 经过A、B 两点，求椭圆E 的方程．
21．（12 分）设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn 的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2 在（
，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=
+
x
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn
（x）的大小，并加以证明．
四、选修题，请在22、23、24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，AB 切⊙O 于点B，直线AO 交⊙O 于D，E 两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=
，求⊙O 的直径．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
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六、选修4-5：不等式选讲
24．已知关于x 的不等式|x+a|＜b 的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b 的值；
（Ⅱ）求
+
的最大值．
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2015 年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共12 小题，每小题5 分，共60 分
1．（5 分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（
）
A．[0，1]
B．（0，1]
C．[0，1）
D．（﹣∞，1]
【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．
【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故选：A．
【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
2．（5 分）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为
（
）
A．93
B．123
C．137
D．167
【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．
【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，
∴该校女教师的人数为77+60=137，
故选：C．
【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5 分）如图，某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（
x+φ）+k．据此函数可知，这
段时间水深（单位：m）的最大值为（
）
A．5
B．6
C．8
D．10
【分析】由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值．
【解答】解：由题意可得当sin（
x+φ）取最小值﹣1 时，
函数取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5，
∴y=3sin（
x+φ）+5，
∴当当sin（
x+φ）取最大值1 时，
函数取最大值ymax=3+5=8，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
4．（5 分）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2 的系数为15，则n=（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
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【分析】由题意可得
=
=15，解关于n 的方程可得．
【解答】解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2 的系数为15，
∴
=15，即
=15，解得n=6，
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理，属基础题．
5．（5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A．3π
B．4π
C．2π+4 D．3π+4
【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积
公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，
底面半径为1，高为2，
故该几何体的表面积S=2×
π+（2+π）×2=3π+4，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．
6．（5 分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5 分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（
）
A．|
|≤| || | B．|
|≤|| |﹣| ||
C．（
）2=|
|2 D．（
）•（
）=
2﹣
2
【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
【解答】解：选项A 恒成立，∵|
|=| || ||cos＜，＞|，
又|cos＜，＞|≤1，∴|
|≤| || |恒成立；
选项B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|
|≥|| |﹣| ||；
选项C 恒成立，由向量数量积的运算可得（
）2=|
|2；
选项D 恒成立，由向量数量积的运算可得（
）•（
）=
2﹣
2．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．
8．（5 分）根据如图框图，当输入x 为2006 时，输出的y=（
）
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A．2
B．4
C．10
D．28
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当x=﹣2 时不满足条件x≥0，计算并输出y 的值为
10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=2006，
x=2004
满足条件x≥0，x=2002
满足条件x≥0，x=2000
…
满足条件x≥0，x=0
满足条件x≥0，x=﹣2
不满足条件x≥0，y=10
输出y 的值为10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5 分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（
），q=f（
），r=
（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是
（
）
A．q=r＜p
B．p=r＜q
C．q=r＞p
D．p=r＞q
【分析】由题意可得p=
（lna+lnb），q=ln（
）≥ln（
）=p，r=
（lna+lnb），可得大小关系．
【解答】解：由题意可得若p=f（
）=ln（
）=
lnab=
（lna+lnb），
q=f（
）=ln（
）≥ln（
）=p，
r=
（f（a）+f（b））=
（lna+lnb），
∴p=r＜q，
故选：B．
【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
10．（5 分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用
限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（
）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A．12 万元
B．16 万元
C．17 万元
D．18 万元
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【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，
画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．
【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，利润为z 元，
则
，
目标函数为z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y 得y=﹣
x+
，
平移直线y=﹣
x+
由图象可知当直线y=﹣
x+
经过点B 时，直线y=﹣
x+
的截距最大，
此时z 最大，
解方程组
，解得
，
即B 的坐标为x=2，y=3，
∴zmax=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3 吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18 万元，
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．
11．（5 分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x 的概率为（
）
A．
+
B．
+
C．
﹣
D．
﹣
【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．
【解答】解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，
∴|z|=
≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，
∴点（x，y）在（1，0）为圆心1 为半径的圆及其内部，
而y≥x 表示直线y=x 左上方的部分，（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率P=
=
故选：D．
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【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．
12．（5 分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是
错误的，则错误的结论是（
）
A．﹣1 是f（x）的零点
B．1 是f（x）的极值点
C．3 是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上
【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D 中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得
到结论．
【解答】解：可采取排除法．
若A 错，则B，C，D 正确．即有f（x）=ax2+bx+c 的导数为f′（x）=2ax+b，
即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，
又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a 为非零整数．
若B 错，则A，C，D 正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且
=3，解得a∈∅，不成立；
若C 错，则A，B，D 正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣
不为非零整数，不成立；
若D 错，则A，B，C 正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且
=3，解得a=﹣
不为非零整数，不成立．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．
二、填空题，共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）中位数为1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为
5
．
【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．
【解答】解：设该等差数列的首项为a，
由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2
解得a=5
故答案为：5
【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．
14．（5 分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1 的一个焦点，则p=
2
．
【分析】先求出x2﹣y2=1 的左焦点，得到抛物线y2=2px 的准线，依据p 的意义求出它的值．
【解答】解：双曲线x2﹣y2=1 的左焦点为（﹣
，0），故抛物线y2=2px 的准线为x=﹣
，
∴
=
，∴p=2
，
故答案为：2
．
【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px 中p 的意义．
15．（5 分）设曲线y=ex 在点（0，1）处的切线与曲线y=
（x＞0）上点P 的切线垂直，则P 的坐标为
（1，
1）
．
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【分析】利用y=ex 在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．
【解答】解：∵f'（x）=ex，
∴f'（0）=e0=1．
∵y=ex 在（0，1）处的切线与y=
（x＞0）上点P 的切线垂直
∴点P 处的切线斜率为﹣1．
又y'=﹣
，设点P（x0，y0）
∴﹣
=﹣1，
∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1
∴y0=1
∴点P（1，1）
故答案为：（1，1）
【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．
16．（5 分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则
原始的最大流量与当前最大流量的比值为
1.2
．
【分析】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推
出结果．
【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=
，
所以抛物线方程：y=
，
横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：
2×
=2（
）=
，
等腰梯形的面积为：
=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣
，
原始的最大流量与当前最大流量的比值为：
=1.2．
故答案为：1.2．
【点评】本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．
三、解答题，共5 小题，共70 分
17．（12 分）△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．向量=（a，
b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=
，b=2，求△ABC 的面积．
【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；
（Ⅱ）利用A，以及a=
，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC 的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，
b）与=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣
=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣
sinBcosA=0，因为sinB≠0，
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所以tanA=
，可得A=
；
（Ⅱ）a=
，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，
△ABC 的面积为：
=
．
【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．
18．（12 分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=
，AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE
的交点，将ABE 沿BE 折起到A1BE 的位置，如图2．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在图1 中，∵AB=BC=1，AD=2，E 是AD 的中点，∠BAD=
，
∴BE⊥AC，
即在图2 中，BE⊥OA1，BE⊥OC，
则BE⊥平面A1OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，
∴∠A1OC 为二面角A1﹣BE﹣C 的平面角，
∴∠A1OC=
，
如图，建立空间坐标系，
∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（
，0，0），E（﹣
，0，0），A1（0，0，
），C（0，
，0），
=（﹣
，
，0），
=（0，
，﹣
），
设平面A1BC 的法向量为=（x，y，z），平面A1CD 的法向量为=（a，b，c），
则
得
，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），
由
得
，
取=（0，1，1），
则cos＜
＞=
=
=
，
∴平面A1BC 与平面A1CD 夹角的余弦值为
．
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【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用
方法．
19．（12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为200 的样本进
行统计，结果如下：
T（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
40
60
80
20
（1）求T 的分布列与数学期望ET；
（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校
区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．
【分析】（1）由统计结果可得T 的频率分布，以频率估计概率得T 的分布列，能求出T 的分布列与数学期望ET．
（II）设T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“唐教授共
用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，事件A 对应于“唐教授在途中的时间不超过70 分钟”．由此能
求出唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120 分钟的概率．
【解答】解：（1）由统计结果可得T 的频率分布为
T（分钟）
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T 的分布列为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32．（分钟）…（4 分）
（II）设T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与T 的分布列相同．
设事件A 表示“唐教授共用时间不超过120 分钟”，由于讲座时间为50 分钟，
所以事件A 对应于“唐教授在途中的时间不超过70 分钟”．
P（A）=P（T1+T2≤70）=P（T1=25，T2≤45）+P（T1=30，T2≤40）+P（T1=35，T2≤35）+P（T1=40，T2≤30）
=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．…（10 分）
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，
注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．（12 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O 到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距
离为
c．
（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；
（Ⅱ）如图，AB 是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=
的一条直径，若椭圆E 经过A、B 两点，求椭圆E 的方程．
【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可
得到所求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公
式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．
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【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，
则原点到直线的距离为d=
=
c，即为a=2b，
e=
=
=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为x2+4y2=4b2，①
由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB 的中点，则|AB|=
，
易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得
（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
．x1x2=
，
由M 为AB 的中点，可得x1+x2=﹣4，得
=﹣4，解得k=
，
从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=
•|x1﹣x2|=
•
=
=
，解得b2=3，
则有椭圆E 的方程为
+
=1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，
运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于
中档题．
21．（12 分）设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn 的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2 在（
，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=
+
x
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn
（x）的大小，并加以证明．
【分析】（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2，求得Fn（1）＞0，Fn（
）＜0．再由导数判断出函数Fn
（x）在（
，1）内单调递增，得到Fn（x）在（
，1）内有且仅有一个零点xn，由Fn（xn）=0，得到
；
（Ⅱ）先求出
，构造函数h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…++xn﹣
，当
x=1 时，fn（x）=gn（x）．
当x≠1 时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到fn（x）＜gn（x）．
【解答】证明：（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+…+xn﹣2，
则Fn（1）=n﹣1＞0，
Fn（
）=1+
．
∴Fn（x）在（
，1）内至少存在一个零点，
又
，∴Fn（x）在（
，1）内单调递增，
∴Fn（x）在（
，1）内有且仅有一个零点xn，
∵xn 是Fn（x）的一个零点，∴Fn（xn）=0，
即
，故
；
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（Ⅱ）由题设，
，
设h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+…+xn﹣
，x＞0．
当x=1 时，fn（x）=gn（x）．
当x≠1 时，
．
若0＜x＜1，h′（x）＞
=
．
若x＞1，h′（x）＜
=
．
∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，
∴h（x）＜h（1）=0，即fn（x）＜gn（x）．
综上，当x=1 时，fn（x）=gn（x）；
当x＞0 且x≠1 时，fn（x）＜gn（x）．
【点评】本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n 项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查
了数学转化与化归等思想方法，是中档题．
四、选修题，请在22、23、24 中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，AB 切⊙O 于点B，直线AO 交⊙O 于D，E 两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=
，求⊙O 的直径．
【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．
【解答】证明：（Ⅰ）∵DE 是⊙O 的直径，
则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB 切⊙O 于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分∠CBA，
则
=3，
∵BC=
，
∴AB=3
，AC=
，
则AD=3，
由切割线定理得AB2=AD•AE，
即AE=
，
故DE=AE﹣AD=3，
即可⊙O 的直径为3．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
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23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
【分析】（I）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．化为ρ2=2
，把
代入即可得出；．
（II）设P
，又C
．利用两点之间的距离公式可得|PC|=
，再利用二次函数的性
质即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2
sinθ．
∴ρ2=2
，化为x2+y2=
，
配方为
=3．
（II）设P
，又C
．
∴|PC|=
=
≥2
，
因此当t=0 时，|PC|取得最小值2
．此时P（3，0）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了
推理能力与计算能力，属于中档题．
六、选修4-5：不等式选讲
24．已知关于x 的不等式|x+a|＜b 的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b 的值；
（Ⅱ）求
+
的最大值．
【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab 的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式=
+
=
+
，由柯西不等式可得最大值．
【解答】解：（Ⅰ）关于x 的不等式|x+a|＜b 可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，
又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，
∴
，解方程组可得
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
+
=
+
=
+
≤
=2
=4，
当且仅当
=
即t=1 时取等号，
∴所求最大值为4
【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．
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2015 年山东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分）
1．（5 分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
2．（5 分）若复数z 满足
=i，其中i 为虚数单位，则z=（
）
A．1﹣i B．1+i
C．﹣1﹣i
D．﹣1+i
3．（5 分）要得到函数y=sin（4x﹣
）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（
）个单位．
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
4．（5 分）已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=60°，则
=（
）
A．﹣
a2
B．﹣
a2
C．
a2 D．
a2
5．（5 分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2 的解集是（
）
A．（﹣∞，4）
B．（﹣∞，1）
C．（1，4）
D．（1，5）
6．（5 分）已知x，y 满足约束条件
，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（
）
A．3
B．2
C．﹣2
D．﹣3
7．（5 分）在梯形ABCD 中，∠ABC=
，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形
成的曲面所围成的几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．2π
8．（5 分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落
在区间（3，6）内的概率为（
）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
9．（5 分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1 相切，则反射光线所在直线
的斜率为（
）
A．﹣
或﹣
B．﹣
或﹣
C．﹣
或﹣
D．﹣
或﹣
10．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（f（a））=2f（a）的a 的取值范围是（
）
A．[
，1]
B．[0，1]
C．[
，+∞）
D．[1，+∞）
二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分）
11．（5 分）观察下列各式：
C
=40；
C
+C
=41；
C
+C
+C
=42；
C
+C
+C
+C
=43；
…
照此规律，当n∈N*时，
C
+C
+C
+…+C
=
．
12．（5 分）若“∀x∈[0，
]，tanx≤m”是真命题，则实数m 的最小值为
．
13．（5 分）执行右边的程序框图，输出的T 的值为
．
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14．（5 分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=
．
15．（5 分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）
交于点O，A，B，若△OAB 的垂心为C2 的焦点，则C1 的离心率为
．
三、解答题
16．（12 分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+
）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若f（
）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．
17．（12 分）如图，在三棱台DEF﹣ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．
18．（12 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n 项和Tn．
19．（12 分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递
增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1 个数，
且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分，若能被5
整除，但不能被10 整除，得﹣1 分，若能被10 整除，得1 分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX．
20．（13 分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，左、右焦点分别是F1，
F2，以F1 为圆心以3 为半径的圆与以F2 为圆心以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：
+
=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A，B 两点，射线PO
交椭圆E 于点Q．
（i）求|
|的值；
（ii）求△ABQ 面积的最大值．
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21．（14 分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0 成立，求a 的取值范围．
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2015 年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分）
1．（5 分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（
）
A．（1，3）
B．（1，4）
C．（2，3）
D．（2，4）
【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．
【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，
则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）若复数z 满足
=i，其中i 为虚数单位，则z=（
）
A．1﹣i B．1+i
C．﹣1﹣i
D．﹣1+i
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
【解答】解：
=i，则=i（1﹣i）=1+i，
可得z=1﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
3．（5 分）要得到函数y=sin（4x﹣
）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（
）个单位．
A．向左平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向右平移
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣
）=sin[4（x﹣
）]，
要得到函数y=sin（4x﹣
）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象向右平移
单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x 的系数是易错点．
4．（5 分）已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=60°，则
=（
）
A．﹣
a2
B．﹣
a2
C．
a2 D．
a2
【分析】由已知可求
，
，根据
=（
）•
=
代入可求
【解答】解：∵菱形ABCD 的边长为a，∠ABC=60°，
∴
=a2，
=a×a×cos60°=
，
则
=（
）•
=
=
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题
5．（5 分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2 的解集是（
）
A．（﹣∞，4）
B．（﹣∞，1）
C．（1，4）
D．（1，5）
【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不
等式，最后求并集即可．
【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2 成立，故x＜1；
②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；
③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2 不成立，故x∈∅．
综上知解集为（﹣∞，4）．
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故选：A．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．
6．（5 分）已知x，y 满足约束条件
，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（
）
A．3
B．2
C．﹣2
D．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y 过A 时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，
若z=ax+y 过B 时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，
故a=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基
本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
7．（5 分）在梯形ABCD 中，∠ABC=
，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形
成的曲面所围成的几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．2π
【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2 的圆柱，挖去一个相同底面高为1
的倒圆锥，
几何体的体积为：
=
．
故选：C．
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【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．
8．（5 分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落
在区间（3，6）内的概率为（
）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=
（95.44%﹣68.26%），
即可得出结论．
【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，
所以P（3＜ξ＜6）=
（95.44%﹣68.26%）=13.59%．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称
性，属于基础题．
9．（5 分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1 相切，则反射光线所在直线
的斜率为（
）
A．﹣
或﹣
B．﹣
或﹣
C．﹣
或﹣
D．﹣
或﹣
【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），
利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A′（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1 相切，
∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=
=1，
化为24k2+50k+24=0，
∴k=
或﹣
．
故选：D．
【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算
能力，属于中档题．
10．（5 分）设函数f（x）=
，则满足f（f（a））=2f（a）的a 的取值范围是（
）
A．[
，1]
B．[0，1]
C．[
，+∞）
D．[1，+∞）
【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1 时，以及a
＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1 时，3t﹣1=2t，
由g（t）=3t﹣1﹣2t 的导数为g′（t）=3﹣2tln2，
在t＜1 时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
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即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t﹣1=2t 无解；
当t≥1 时，2t=2t 成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥
，且a＜1；
或a≥1，2a≥1 解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a 的范围是a≥
．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分）
11．（5 分）观察下列各式：
C
=40；
C
+C
=41；
C
+C
+C
=42；
C
+C
+C
+C
=43；
…
照此规律，当n∈N*时，
C
+C
+C
+…+C
=
4n﹣1
．
【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．
【解答】解：因为C
=40；
C
+C
=41；
C
+C
+C
=42；
C
+C
+C
+C
=43；
…
照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，
可得：当n∈N*时，C
+C
+C
+…+C
=4n﹣1；
故答案为：4n﹣1．
【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．
12．（5 分）若“∀x∈[0，
]，tanx≤m”是真命题，则实数m 的最小值为
1
．
【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围．
【解答】解：“∀x∈[0，
]，tanx≤m”是真命题，
可得tanx≤1，所以，m≥1，
实数m 的最小值为：1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．
13．（5 分）执行右边的程序框图，输出的T 的值为
．
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【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：赋值：n=1，T=1，
判断1＜3，
执行T=1+
=1+
=1+
，n=2；
判断2＜3，
执行T=
+
=
=
，n=3；
判断3＜3 不成立，算法结束，输出T=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题．
14．（5 分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=
．
【分析】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．
【解答】解：当a＞1 时，函数f（x）=ax+b 在定义域上是增函数，
所以
，
解得b=﹣1，
=0 不符合题意舍去；
当0＜a＜1 时，函数f（x）=ax+b 在定义域上是减函数，
所以
，
解得b=﹣2，a=
，
综上a+b=
，
故答案为：
【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．
15．（5 分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）
交于点O，A，B，若△OAB 的垂心为C2 的焦点，则C1 的离心率为
．
【分析】求出A 的坐标，可得
=
，利用△OAB 的垂心为C2 的焦点，可得
×（﹣
）=﹣1，
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由此可求C1 的离心率．
【解答】解：双曲线C1：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±
x，
与抛物线C2：x2=2py 联立，可得x=0 或x=±
，
取A（
，
），设垂心H（0，
），
则kAH=
=
，
∵△OAB 的垂心为C2 的焦点，
∴
×（﹣
）=﹣1，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A 的坐标是关键．
三、解答题
16．（12 分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+
）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若f（
）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣
，由2k
≤2x≤2k
，k∈Z 可解得
f（x）的单调递增区间，由2k
≤2x≤2k
，k∈Z 可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f（
）=sinA﹣
=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc
，且当b=c 时等号成立，从而可求
bcsinA
≤
，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=
sin2x﹣
=
sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k
≤2x≤2k
，k∈Z 可解得：k
≤x≤k
，k∈Z；
由2k
≤2x≤2k
，k∈Z 可解得：k
≤x≤k
，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间是[k
，k
]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k
，k
]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（
）=sinA﹣
=0，可得sinA=
，
由题意知A 为锐角，所以cosA=
，
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由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+
bc=b2+c2≥2bc，即bc
，且当b=c 时等号成立．
因此S=
bcsinA≤
，
所以△ABC 面积的最大值为
．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．
17．（12 分）如图，在三棱台DEF﹣ABC 中，AB=2DE，G，H 分别为AC，BC 的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．
【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE 便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有
BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；
（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z 轴，建立空间
直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明
为平面ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为
，根据
即可求出法向量
，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ ，根据
cosθ=
即可求出平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；
△DEF∽△ABC，又AB=2DE，
∴BC=2EF=2BH，
∴四边形EFHB 为平行四边形；
∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；
∴BE∥平面FGH；
同样，因为GH 为△ABC 中位线，∴GH∥AB；
又DE∥AB；
∴DE∥GH；
∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；
∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；
∴BD∥平面FGH；
（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；
∵CF⊥平面ABC；
∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；
∴HC，HG，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：
H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；
连接BG，根据已知条件BA=BC，G 为AC 中点；
∴BG⊥AC；
又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；
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∴BG⊥CF，AC∩CF=C；
∴BG⊥平面ACFD；
∴向量
为平面ACFD 的法向量；
设平面FGH 的法向量为
，则：
，取z=1，则：
；
设平面FGH 和平面ACFD 所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos
|=
；
∴平面FGH 与平面ACFD 所成的角为60°．
【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的
性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，
向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．
18．（12 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n 项和Tn．
【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1 时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，
从而可得{an}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=
，当n＞1 时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=
；当
n＞1 时，Tn=b1+b2+…+bn=
+（1×3
﹣1+2×3
﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n 项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，
当n＞1 时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，
此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，
所以an=
．
（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=
，
当n＞1 时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，
所以T1=b1=
；
当n＞1 时，Tn=b1+b2+…+bn=
+（1×3
﹣1+2×3
﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），
所以3Tn=1+（1×30+2×3
﹣1+3×3
﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），
两式相减得：2Tn=
+（30+3
﹣1+3
﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=
+
﹣（n﹣1）×31﹣n=
﹣
，
所以Tn=
﹣
，经检验，n=1 时也适合，
综上可得Tn=
﹣
．
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，
属于中档题．
19．（12 分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递
增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1 个数，
且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分，若能被5
整除，但不能被10 整除，得﹣1 分，若能被10 整除，得1 分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX．
【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，﹣1，1 分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
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【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5 的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为
，
随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，
当X=0 时，可以选择除去5 以外的剩下8 个数字中选择3 个进行组合，即
；
当X=﹣1 时，首先选择5，由于不能被10 整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9 中选择两个数
字和5 进行组合，即
；
当X=1 时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8 中选择2 个数字和5 进行组合，即
；
第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8 中选择1 个数字，再从1，3，7，9 中选择1 个数字，最后把3 个数字
进行组合，即
．
则P（X=0）=
=
，P（X=﹣1）=
=
，P（X=1）=
=
，
X
0
﹣1
1
P
EX=0×
+（﹣1）×
+1×
=
．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
20．（13 分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，左、右焦点分别是F1，
F2，以F1 为圆心以3 为半径的圆与以F2 为圆心以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：
+
=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A，B 两点，射线PO
交椭圆E 于点Q．
（i）求|
|的值；
（ii）求△ABQ 面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c 的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（i）设P（x0，y0），|
|=λ，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C，E 的方程，化简整理，
即可得到所求值；
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线
y=kx+m 代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ 的面积为3S，即可
得到所求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，
又
=
，a2﹣c2=b2，
可得b=1，即有椭圆C 的方程为
+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为
+
=1，
（i）设P（x0，y0），|
|=λ，由题意可知，
Q（﹣λx0，﹣λy0），由于
+y02=1，
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又
+
=1，即
（
+y02）=1，
所以λ=2，即|
|=2；
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m 代入椭圆E 的方程，可得
（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①
则有x1+x2=﹣
，x1x2=
，所以|x1﹣x2|=
，
由直线y=kx+m 与y 轴交于（0，m），
则△AOB 的面积为S=
|m|•|x1﹣x2|=
|m|•
=2
，设
=t，则S=2
，
将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△≥0 可得m2≤1+4k2，②
由①②可得0＜t≤1，则S=2
在（0，1]递增，即有t=1 取得最大值，
即有S
，即m2=1+4k2，取得最大值2
，
由（i）知，△ABQ 的面积为3S，
即△ABQ 面积的最大值为6
．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积
公式和二次函数的最值，属于中档题．
21．（14 分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0 成立，求a 的取值范围．
【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．
=
．令
g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a 与△分类讨论可得：（1）当a=0 时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的
情况．
（2）当a＞0 时，△=a（9a﹣8）．①当
时，△≤0，②当a
时，△＞0，即可得出函数的单调性与极
值的情况．
（3）当a＜0 时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．
（II）由（I）可知：（1）当0≤a
时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．
（2）当
＜a≤1 时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．
（3）当1＜a 时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；
（4）当a＜0 时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出
【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．
=
．
令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．
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（1）当a=0 时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
（2）当a＞0 时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．
①当
时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
②当a
时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0 的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．
∵x1+x2=
，
∴
，
．
由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1
．
∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此函数f（x）有两个极值点．
（3）当a＜0 时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．
∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此函数f（x）有一个极值点．
综上所述：当a＜0 时，函数f（x）有一个极值点；
当0≤a
时，函数f（x）无极值点；
当a
时，函数f（x）有两个极值点．
（II）由（I）可知：
（1）当0≤a
时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（2）当
＜a≤1 时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
又f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（3）当1＜a 时，由g（0）＜0，可得x2＞0，
∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．
又f（0）=0，
∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；
（4）当a＜0 时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=
＞0．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，
可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，
当x＞
时，
ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．
综上所述，a 的取值范围为[0，1]．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查
了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
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2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（
）
A．{﹣1，0} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{0，1，2}
2．（5 分）若a 为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
3．（5 分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的
是（
）
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．（5 分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（
）
A．21
B．42
C．63
D．84
5．（5 分）设函数f（x）=
，则f（﹣2）+f（log212）=（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值
为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y 轴于M，N 两点，则|MN|=（
）
A．2
B．8
C．4
D．10
8．（5 分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入
的a，b 分别为14，18，则输出的a=（
）
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A．0
B．2
C．4
D．14
9．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为
36，则球O 的表面积为（
）
A．36π
B．64π
C．144π D．256π
10．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将
动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（5 分）已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心
率为（
）
A．
B．2
C．
D．
12．（5 分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0 时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使
得f（x）＞0 成立的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，
+∞）
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设向量，不平行，向量λ + 与+2 平行，则实数λ=
．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
．
15．（5 分）（a+x）（1+x）4 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=
．
16．（5 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=
．
三、解答题（共5 小题，满分60 分）
17．（12 分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2 倍．
（1）求
；
（2）若AD=1，DC=
，求BD 和AC 的长．
18．（12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的
满意度评分如下：
A 地区：62
73
81
92
95
85
74
64
53
76
78
86
95
66
97
78
88
82
76
89
B 地区：73
83
62
51
91
46
53
73
64
82
93
48
65
81
74
56
54
76
65
79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程
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度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据
所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．
19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，
过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．
20．（12 分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线
段AB 的中点为M．
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（2）若l 过点（
，m），延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；
若不能，说明理由．
21．（12 分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m 的取值范围．
四、选做题.选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于
点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2
，求四边形EBCF 的面积．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1：
（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴
为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2
cosθ．
（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；
（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．
选修4-5：不等式选讲
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24．设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则
+
＞
+
；
（2）
+
＞
+
是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
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2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（
）
A．{﹣1，0} B．{0，1}
C．{﹣1，0，1}
D．{0，1，2}
【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；
∴A∩B={﹣1，0}．
故选：A．
【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．
2．（5 分）若a 为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．
【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，
4a=0，并且a2﹣4=﹣4，
所以a=0；
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．
3．（5 分）根据如图给出的2004 年至2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的
是（
）
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【分析】A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；
B 从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误．
【解答】解：A 从图中明显看出2008 年二氧化硫排放量比2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故
A 正确；
B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多，从2007 年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；
C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；
D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．
4．（5 分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（
）
A．21
B．42
C．63
D．84
【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．
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【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，
∴
，
∴q4+q2+1=7，
∴q4+q2﹣6=0，
∴q2=2，
∴a3+a5+a7=
=3×（2+4+8）=42．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．
5．（5 分）设函数f（x）=
，则f（﹣2）+f（log212）=（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．
【解答】解：函数f（x）=
，
即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，
f（log212）=
=2
×
=12×
=6，
则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．
6．（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值
为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，
∴正方体切掉部分的体积为
×1×1×1=
，
∴剩余部分体积为1﹣
=
，
∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为
．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．
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7．（5 分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y 轴于M，N 两点，则|MN|=（
）
A．2
B．8
C．4
D．10
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y2+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2
，
∴|MN|=4
．
故选：C．
【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．
8．（5 分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入
的a，b 分别为14，18，则输出的a=（
）
A．0
B．2
C．4
D．14
【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b 的值，即可得到结论．
【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，
则b 变为18﹣14=4，
由a＞b，则a 变为14﹣4=10，
由a＞b，则a 变为10﹣4=6，
由a＞b，则a 变为6﹣4=2，
由a＜b，则b 变为4﹣2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2．
故选：B．
【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．
9．（5 分）已知A，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为
36，则球O 的表面积为（
）
A．36π
B．64π
C．144π D．256π
【分析】当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC 体积的最大值
为36，求出半径，即可求出球O 的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R，
此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=
=
=36，故R=6，则球O 的表面积为4πR2=144π，
故选：C．
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【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O﹣
ABC 的体积最大是关键．
10．（5 分）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将
动点P 到A，B 两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．
【解答】解：当0≤x≤
时，BP=tanx，AP=
=
，
此时f（x）=
+tanx，0≤x≤
，此时单调递增，
当P 在CD 边上运动时，
≤x≤
且x≠
时，
如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣
=﹣
，
∴OQ=﹣
，
∴PD=AO﹣OQ=1+
，PC=BO+OQ=1﹣
，
∴PA+PB=
，
当x=
时，PA+PB=2
，
当P 在AD 边上运动时，
≤x≤π，PA+PB=
﹣tanx，
由对称性可知函数f（x）关于x=
对称，
且f（
）＞f（
），且轨迹为非线型，
排除A，C，D，
故选：B．
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【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤
时的解析式是解决本题的关键．
11．（5 分）已知A，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，顶角为120°，则E 的离心
率为（
）
A．
B．2
C．
D．
【分析】设M 在双曲线
﹣
=1 的左支上，由题意可得M 的坐标为（﹣2a，
a），代入双曲线方程可得a=b，
再由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：设M 在双曲线
﹣
=1 的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M 的坐标为（﹣2a，
a），
代入双曲线方程可得，
﹣
=1，
可得a=b，
c=
=
a，
即有e=
=
．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M
的坐标是解题的关键．
12．（5 分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0 时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使
得f（x）＞0 成立的x 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，
+∞）
【分析】由已知当x＞0 时总有xf′（x）﹣f（x）＜0 成立，可判断函数g（x）=
为减函数，由已知f（x）是定
义在R 上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单
调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0 等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．
【解答】解：设g（x）=
，则g（x）的导数为：g′（x）=
，
∵当x＞0 时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0 时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0 时，函数g（x）=
为减函数，
又∵g（﹣x）=
=
=
=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）=
=0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0
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⇔
或
，
⇔0＜x＜1 或x＜﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）设向量，不平行，向量λ + 与+2 平行，则实数λ=
．
【分析】利用向量平行的条件直接求解．
【解答】解：∵向量，不平行，向量λ + 与+2 平行，
∴λ + =t（+2 ）=
，
∴
，解得实数λ=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归
与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
，则z=x+y 的最大值为
．
【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，
由
得D（1，
），
所以z=x+y 的最大值为1+
；
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故答案为：
．
【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．
15．（5 分）（a+x）（1+x）4 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=
3
．
【分析】给展开式中的x 分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2 得到答案．
【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，
令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①
令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②
①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），
所以2×32=16（a+1），
所以a=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．
16．（5 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=
﹣
．
【分析】通过Sn+1﹣Sn=an+1 可知Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，两边同时除以Sn+1Sn 可知
﹣
=1，进而可知数列{
}是以首
项、公差均为﹣1 的等差数列，计算即得结论．
【解答】解：∵an+1=Sn+1Sn，
∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，
∴
﹣
=1，
又∵a1=﹣1，即
=﹣1，
∴数列{
}是以首项是﹣1、公差为﹣1 的等差数列，
∴
=﹣n，
∴Sn=﹣
，
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题（共5 小题，满分60 分）
17．（12 分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积的2 倍．
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（1）求
；
（2）若AD=1，DC=
，求BD 和AC 的长．
【分析】（1）如图，过A 作AE⊥BC 于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD 平分∠BAC 及正弦定理可得sin
∠B=
，sin∠C=
，从而得解
．
（2）由（1）可求BD=
．过D 作DM⊥AB 于M，作DN⊥AC 于N，由AD 平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，
则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长．
【解答】解：（1）如图，过A 作AE⊥BC 于E，
∵
=
=2
∴BD=2DC，
∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD 中，
=
，∴sin∠B=
在△ADC 中，
=
，∴sin∠C=
；
∴
=
=
．…6 分
（2）由（1）知，BD=2DC=2×
=
．
过D 作DM⊥AB 于M，作DN⊥AC 于N，
∵AD 平分∠BAC，
∴DM=DN，
∴
=
=2，
∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC，
∴cos∠BAD=cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：
=
，
∴x=1，
∴AC=1，
∴BD 的长为
，AC 的长为1．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．
18．（12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的
满意度评分如下：
A 地区：62
73
81
92
95
85
74
64
53
76
78
86
95
66
97
78
88
82
76
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B 地区：73
83
62
51
91
46
53
73
64
82
93
48
65
81
74
56
54
76
65
79
（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程
度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70 分
70 分到89 分
不低于90 分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据
所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．
【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；
（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．
【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意评分的平均值高于B 地区用户满意评分的平均值；A 地区用户满意度评分比
较集中，B 地区用户满意度评分比较分散；
（2）记CA1 表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”，
记CA2 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”，
记CB1 表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意”，
记CB2 表示事件“B 地区用户满意度等级为满意”，
则CA1 与CB1 独立，CA2 与CB2 独立，CB1 与CB2 互斥，
则C=CA1CB1∪CA2CB2，
P（C）=P（CA1CB1）+P（CA2CB2）=P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2），
由所给的数据CA1，CA2，CB1，CB2，发生的频率为
，
，
，
，
所以P（CA1）=
，P（CA2）=
，P（CB1）=
，P（CB2）=
，
所以P（C）=
×
+
×
=0.48．
【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．
19．（12 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，
过点E，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．
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【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出
这个正方形；
（2）分别以直线DA，DC，DD1 为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，
E，F 几点的坐标．设平面EFGH 的法向量为
，根据
即可求出法向量，
坐标可以求出，
可设直线AF 与平面EFGH 所成角为θ，由sinθ=
即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．
【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH 如图：
（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：
EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；
∴
，∴AH=10；
以边DA，DC，DD1 所在直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；
∴
；
设
为平面EFGH 的法向量，则：
，取z=3，则
；
若设直线AF 和平面EFGH 所成的角为θ，则：
sinθ=
=
；
∴直线AF 与平面α所成角的正弦值为
．
【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和
平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．
20．（12 分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线
段AB 的中点为M．
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；
（2）若l 过点（
，m），延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；
若不能，说明理由．
【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
（2）四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
将y=kx+b 代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，
则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
则x1+x2=
，则xM=
=
，yM=kxM+b=
，
于是直线OM 的斜率kOM=
=
，
即kOM•k=﹣9，
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∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
（2）四边形OAPB 能为平行四边形．
∵直线l 过点（
，m），
∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，
即k2m2＞9b2﹣9m2，
∵b=m﹣
m，
∴k2m2＞9（m﹣
m）2﹣9m2，
即k2＞k2﹣6k，
即6k＞0，
则k＞0，
∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，
由（1）知OM 的方程为y=
x，
设P 的横坐标为xP，
由
得
，即xP=
，
将点（
，m）的坐标代入l 的方程得b=
，
即l 的方程为y=kx+
，
将y=
x，代入y=kx+
，
得kx+
=
x
解得xM=
，
四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即xP=2xM，
于是
=2×
，
解得k1=4﹣
或k2=4+
，
∵ki＞0，ki≠3，i=1，2，
∴当l 的斜率为4﹣
或4+
时，四边形OAPB 能为平行四边形．
【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是
解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
21．（12 分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m 的取值范围．
【分析】（1）利用f′（x）≥0 说明函数为增函数，利用f′（x）≤0 说明函数为减函数．注意参数m 的讨论；
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最
小值问题．从而求得m 的取值范围．
【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0 处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1 的充要条件是
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即
设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．
当t＜0 时，g′（t）＜0；当t＞0 时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e
﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．
当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1 时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1 时，g（﹣m）＞0，即e
﹣m+m＞e﹣1．
综上，m 的取值范围是[﹣1，1]
【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．
四、选做题.选修4-1：几何证明选讲
22．（10 分）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M，N 两点，与底边上的高AD 交于
点G，且与AB，AC 分别相切于E，F 两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2
，求四边形EBCF 的面积．
【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；
（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF 计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD 是∠CAB 的角平分线，
又∵圆O 分别与AB、AC 相切于点E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD 是EF 的垂直平分线，
又∵EF 为圆O 的弦，∴O 在AD 上，
连结OE、OM，则OE⊥AE，
由AG 等于圆O 的半径可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC 与△AEF 都是等边三角形，
∵AE=2
，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=
MN=
，∴OD=1，
∴AD=5，AB=
，
∴四边形EBCF 的面积为
×
﹣
×
×
=
．
【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．
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选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy 中，曲线C1：
（t 为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴
为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2
cosθ．
（1）求C2 与C3 交点的直角坐标；
（2）若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值．
【分析】
（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把
代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2
cosθ．可
得直角坐标方程，联立解出可得C2 与C3 交点的直角坐标．
（2）由曲线C1 的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=
时，为x=0（y
≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=
即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y．
同理由C3：ρ=2
cosθ．可得直角坐标方程：
，
联立
，
解得
，
，
∴C2 与C3 交点的直角坐标为（0，0），
．
（2）曲线C1：
（t 为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠
；α=
时，为x=0
（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），
∵A，B 都在C1 上，
∴A（2sinα，α），B
．
∴|AB|=
=4
，
当
时，|AB|取得最大值4．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、
三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
选修4-5：不等式选讲
24．设a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则
+
＞
+
；
（2）
+
＞
+
是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；
（2）从两方面证，①若
+
＞
+
，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得
+
＞
+
，
注意运用不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：（1）由于（
+
）2=a+b+2
，
（
+
）2=c+d+2
，
由a，b，c，d 均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则
＞
，
即有（
+
）2＞（
+
）2，
则
+
＞
+
；
（2）①若
+
＞
+
，则（
+
）2＞（
+
）2，
即为a+b+2
＞c+d+2
，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
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于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，
即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；
②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，
即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（
+
）2＞（
+
）2．
综上可得，
+
＞
+
是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．
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2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设复数z 满足
=i，则|z|=（
）
A．1
B．
C．
D．2
2．（5 分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（
）
A．
B．
C．
D．
3．（5 分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p 为（
）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
4．（5 分）投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各
次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（
）
A．0.648B．0.432C．0.36 D．0.312
5．（5 分）已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1 上的一点，F1，F2 是C 的左、右两个焦点，若
＜0，
则y0 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部
的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周
率约为3，估算出堆放的米约有（
）
A．14 斛B．22 斛C．36 斛D．66 斛
7．（5 分）设D 为△ABC 所在平面内一点，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
8 ．（5 分）函数f （x ）=cos （ωx+φ ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（
）
A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（
）
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A．5
B．6
C．7
D．8
10．（5 分）（x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为（
）
A．10
B．20
C．30
D．60
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0 使得f（x0）＜0，则a 的取值范
围是（
）
A．[
）
B．[
）C．[
）
D．[
）
二、填空题（本大题共有4 小题，每小题5 分）
13．（5 分）若函数f（x）=xln（x+
）为偶函数，则a=
．
14．（5 分）一个圆经过椭圆
=1 的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为
．
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
．则
的最大值为
．
16．（5 分）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB 的取值范围是
．
三、解答题：
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17．（12 分）Sn 为数列{an}的前n 项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF 丄
平面ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单
位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi 和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处
理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi
﹣）
（wi﹣）
（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出
判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C：y=
与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N 两点．
（Ⅰ）当k=0 时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
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21．（12 分）已知函数f（x）=x3+ax+
，g（x）=﹣lnx
（i）当a 为何值时，x 轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min {m，n }表示m，n 中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个
数．
选修4 一1:几何证明选讲
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
选修4 一4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C1，C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3 的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2 与C3 的交点为M，N，求△C2MN 的面积．
选修4 一5：不等式选讲
24．（10 分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
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2015 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）
1．（5 分）设复数z 满足
=i，则|z|=（
）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】先化简复数，再求模即可．
【解答】解：∵复数z 满足
=i，
∴1+z=i﹣zi，
∴z（1+i）=i﹣1，
∴z=
=i，
∴|z|=1，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5 分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
=sin30°
=
．
故选：D．
【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．
3．（5 分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p 为（
）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（5 分）投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各
次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（
）
A．0.648B．0.432C．0.36 D．0.312
【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【解答】解：由题意可知：同学3 次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为
=0.648．
故选：A．
【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．
5．（5 分）已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1 上的一点，F1，F2 是C 的左、右两个焦点，若
＜0，
则y0 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0 的取值范围．
【解答】解：由题意，
=（﹣
﹣x0，﹣y0）•（
﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，
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所以﹣
＜y0＜
．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部
的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周
率约为3，估算出堆放的米约有（
）
A．14 斛B．22 斛C．36 斛D．66 斛
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则
r=8，
解得r=
，
故米堆的体积为
×
×π×（
）2×5≈
，
∵1 斛米的体积约为1.62 立方，
∴
÷1.62≈22，
故选：B．
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7．（5 分）设D 为△ABC 所在平面内一点，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】将向量
利用向量的三角形法则首先表示为
，然后结合已知表示为
的形式．
【解答】解：由已知得到如图
由
=
=
=
；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量
表示为
．
8 ．（5 分）函数f （x ）=cos （ωx+φ ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（
）
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A．（kπ﹣
，kπ+
），k∈z B．（2kπ﹣
，2kπ+
），k∈z
C．（k﹣
，k+
），k∈z
D．（
，2k+
），k∈z
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减
区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为
=2（
﹣
）=2，∴ω=π，f（x）=cos
（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得
+ϕ=
，k∈z，即ϕ=
，f（x）=cos（πx+
）．
由2kπ≤πx+
≤2kπ+π，求得2k﹣
≤x≤2k+
，故f（x）的单调递减区间为（
，2k+
），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还
考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=
，m=
，n=1，不满足退出循环的条件；
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再次执行循环体后，S=
，m=
，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=
，m=
，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n 值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5 分）（x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为（
）
A．10
B．20
C．30
D．60
【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．
【解答】解：（x2+x+y）5 的展开式的通项为Tr+1=
，
令r=2，则（x2+x）3 的通项为
=
，
令6﹣k=5，则k=1，
∴（x2+x+y）5 的展开式中，x5y2 的系数为
=30．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．
11．（5 分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：
×4πr2+
×πr2
2r×2πr+2r×2r+
×πr2=5πr2+4r2，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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12．（5 分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0 使得f（x0）＜0，则a 的取值范
围是（
）
A．[
）
B．[
）C．[
）
D．[
）
【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0 使得g（x0）在直线y=ax﹣a 的下方，求
导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1 且g（﹣1）=﹣3e
﹣1≥﹣a﹣a，解关于a 的不等式组可得．
【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，
由题意知存在唯一的整数x0 使得g（x0）在直线y=ax﹣a 的下方，
∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），
∴当x＜﹣
时，g′（x）＜0，当x＞﹣
时，g′（x）＞0，
∴当x=﹣
时，g（x）取最小值﹣2
，
当x=0 时，g（0）=﹣1，当x=1 时，g（1）=e＞0，
直线y=ax﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）=﹣1 且g（﹣1）=﹣3e
﹣1≥﹣a﹣a，解得
≤a＜1
故选：D．
【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
二、填空题（本大题共有4 小题，每小题5 分）
13．（5 分）若函数f（x）=xln（x+
）为偶函数，则a=
1
．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）=xln（x+
）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+
）=xln（x+
），
∴﹣ln（﹣x+
）=ln（x+
），
∴ln（﹣x+
）+ln（x+
）=0，
∴ln（
+x）（
﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
14．（5 分）一个圆经过椭圆
=1 的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为
（x﹣
）
2+y2=
．
【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．
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【解答】解：一个圆经过椭圆
=1 的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．
可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），
设圆的圆心（a，0），则
，解得a=
，
圆的半径为：
，
所求圆的方程为：（x﹣
）2+y2=
．
故答案为：（x﹣
）2+y2=
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．
15．（5 分）若x，y 满足约束条件
．则
的最大值为
3
．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=
，则k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA 的斜率最大，
由
，解得
，即A（1，3），
kOA=
=3，
即
的最大值为3．
故答案为：3．
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【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解
决此类问题的基本方法．
16．（5 分）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB 的取值范围是
（
﹣
，
+
）
．
【分析】如图所示，延长BA，CD 交于点E，设AD=
x，AE=
x，DE=
x，CD=m，求出
x+m=
+
，
即可求出AB 的取值范围．
【解答】解：方法一：
如图所示，延长BA，CD 交于点E，则
在△ADE 中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴设AD=
x，AE=
x，DE=
x，CD=m，
∵BC=2，
∴（
x+m）sin15°=1，
∴
x+m=
+
，
∴0＜x＜4，
而AB=
x+m﹣
x=
+
﹣
x，
∴AB 的取值范围是（
﹣
，
+
）．
故答案为：（
﹣
，
+
）．
方法二：
如下图，作出底边BC=2 的等腰三角形EBC，B=C=75°，
倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC 于A、D，则四边形ABCD 即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C 时，AB 趋近最小，为
﹣
；
②直线接近点E 时，AB 趋近最大值，为
+
；
故答案为：（
﹣
，
+
）．
【点评】本题考查求AB 的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
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三、解答题：
17．（12 分）Sn 为数列{an}的前n 项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=
，求数列{bn}的前n 项和．
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn=
，利用裂项法即可求数列{bn}的前n 项和．
【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an=2，
∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=﹣1（舍）或a1=3，
则{an}是首项为3，公差d=2 的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn=
=
=
（
﹣
），
∴数列{bn}的前n 项和Tn=
（
﹣
+…+
﹣
）=
（
﹣
）=
．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
18．（12 分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF 丄
平面ABCD，BE=2DF，AE 丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面
面垂直的判定定理，即可得到；
（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB，GC 为x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，
E，F，C 的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，
设BD∩AC=G，
连接EG、EF、FG，
在菱形ABCD 中，
不妨设BG=1，
由∠ABC=120°，
可得AG=GC=
，
BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，
可知AE=EC，又AE⊥EC，
所以EG=
，且EG⊥AC，
在直角△EBG 中，可得BE=
，故DF=
，
在直角三角形FDG 中，可得FG=
，
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在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=
，FD=
，可得EF=
=
，
从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，
（或由tan∠EGB•tan∠FGD=
•
=
•
=1，
可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG）
AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，
由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以GB，GC 为x 轴，y 轴，|GB|为单位长度，
建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣
，0），E（1，0，
），
F（﹣1，0，
），C（0，
，0），
即有
=（1，
，
），
=（﹣1，﹣
，
），
故cos＜
，
＞=
=
=﹣
．
则有直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为
．
【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角
的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．
19．（12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单
位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi 和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处
理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（xi﹣）2
（wi﹣）2
（xi﹣）（yi
﹣）
（wi﹣）
（yi﹣）
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=
i，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d
哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出
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判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x、y 的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
=
，
= ﹣
．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=
，建立y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49 时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d
适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=
，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于=
=68，
= ﹣
=563﹣68×6.8=100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68w，
因此y 关于x 的回归方程为=100.6+68
，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49 时，年销售量y 的预报值=100.6+68
=576.6，
年利润z 的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z 的预报值=0.2（100.6+68
）﹣x=﹣x+13.6
+20.12，
当
=
=6.8 时，即当x=46.24 时，年利润的预报值最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．
20．（12 分）在直角坐标系xOy 中，曲线C：y=
与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N 两点．
（Ⅰ）当k=0 时，分別求C 在点M 和N 处的切线方程．
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
【分析】（I）联立
，可得交点M，N 的坐标，由曲线C：y=
，利用导数的运算法则可得：y′=
，利用导
数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN 的
斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得
k1+k2=
．k1+k2=0⇔直线PM，PN 的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．
【解答】解：（I）联立
，不妨取M
，N
，
由曲线C：y=
可得：y′=
，
∴曲线C 在M 点处的切线斜率为
=
，其切线方程为：y﹣a=
，化为
．
同理可得曲线C 在点N 处的切线方程为：
．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN 的斜率分别为：k1，k2．
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联立
，化为x2﹣4kx﹣4a=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．
∴k1+k2=
+
=
=
．
当b=﹣a 时，k1+k2=0，直线PM，PN 的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，﹣a）符合条件．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立
可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知函数f（x）=x3+ax+
，g（x）=﹣lnx
（i）当a 为何值时，x 轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min {m，n }表示m，n 中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个
数．
【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x 轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0 解出即可．
（ii）对x 分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，
即可得出零点的个数．
当x=1 时，对a 分类讨论：a≥﹣
，a＜﹣
，即可得出零点的个数；
当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a 分类讨论：①当a≤
﹣3 或a≥0 时，②当﹣3＜a＜0 时，利用导数研究其单调性极值即可得出．
【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．
设曲线y=f（x）与x 轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，
∴
，解得
，a=
．
因此当a=﹣
时，x 轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，
∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，
故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．
当x=1 时，若a≥﹣
，则f（1）=a+
≥0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1 是函数h（x）的一个零点；
若a＜﹣
，则f（1）=a+
＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1 不是函数h（x）的零点；
当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．
①当a≤﹣3 或a≥0 时，f′（x）=3x2+a 在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，
而f（0）=
，f（1）=a+
，∴当a≤﹣3 时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
当a≥0 时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．
②当﹣3＜a＜0 时，函数f（x）在
内单调递减，在
内单调递增，故当x=
时，f（x）取
得最小值
=
．
若
＞0，即
，则f（x）在（0，1）内无零点．
若
=0，即a=﹣
，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．
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若
＜0，即
，由f（0）=
，f（1）=a+
，
∴当
时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a
时，f（x）在（0，1）内有一个零点．
综上可得：a＜
时，函数h（x）有一个零点．
当
时，h（x）有一个零点；
当a=
或
时，h（x）有两个零点；
当
时，函数h（x）有三个零点．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查
了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
选修4 一1:几何证明选讲
22．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E．
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若OA=
CE，求∠ACB 的大小．
【分析】（Ⅰ）连接AE 和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x 的方程x2=
，解方程可得x 值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC 中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2
，BE=
，
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=
，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
选修4 一4：坐标系与参数方程
23．（10 分）在直角坐标系xOy 中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系．
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（Ⅰ）求C1，C2 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C3 的极坐标方程为θ=
（ρ∈R），设C2 与C3 的交点为M，N，求△C2MN 的面积．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2 的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C3 的极坐标方程代入ρ2﹣3
ρ+4=0，求得ρ1 和ρ2 的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN
的面积
•C2M•C2N 的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的
极坐标方程为ρcosθ=﹣2，
故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，
化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C3 的极坐标方程θ=
（ρ∈R）代入
圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，
可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ1=2
，ρ2=
，
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=
，由于圆C2 的半径为1，∴C2M⊥C2N，
△C2MN 的面积为
•C2M•C2N=
•1•1=
．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
选修4 一5：不等式选讲
24．（10 分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1 时，求不等式f（x）＞1 的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a=1 时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解
集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，
从而求得f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得
a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1 时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即
①，或
②，
或
③．
解①求得x∈∅，解②求得
＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（
，2）．
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（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=
，
由此求得f（x）的图象与x 轴的交点A （
，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x 轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC 的面积大于6，
可得
[2a+1﹣
]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a 的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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2015 年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题，共10 小题，每小题5 分，共50 分
1．（5 分）已知
=1+i（i 为虚数单位），则复数z=（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
2．（5 分）设A、B 是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（
）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件
，则z=3x﹣y 的最小值为（
）
A．﹣7
B．﹣1
C．1
D．2
5．（5 分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（
）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数
B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数
D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
6．（5 分）已知（
﹣
）5 的展开式中含x
的项的系数为30，则a=（
）
A．
B．﹣
C．6
D．﹣6
7．（5 分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N（0，1）的密度曲
线）的点的个数的估计值为（
）
附“若X﹣N=（μ，a2），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
8．（5 分）已知A，B，C 在圆x2+y2=1 上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则|
|的最大值为
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（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
9．（5 分）将函数f（x）=sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜
）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）
﹣g（x2）|=2 的x1、x2，有|x1﹣x2|min=
，则φ=（
）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新
工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题，共5 小题，每小题5 分，共25 分
11．（5 分）
（x﹣1）dx=
．
12．（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到
差编号为1﹣35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139，151] 上的运动员人数
是
．
13．（5 分）设F 是双曲线C：
﹣
=1 的一个焦点．若C 上存在点P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，
则C 的离心率为
．
14．（5 分）设Sn 为等比数列{an}的前n 项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3 成等差数列，则an=
．
15．（5 分）已知函数f（x）=
若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b 有两个零点，则a 的取值范围
是
．
三、简答题，共1 小题，共75 分，16、17、18 为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：
几何证明选讲
16．（6 分）如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB，CD 的中点分别是M，N，直线MO 与直线CD 相交于点F，
证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．
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选修4-4：坐标系与方程
17．（6 分）已知直线l：
（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M 的直角坐标为（5，
），直线l 与曲线C 的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
选修4-5：不等式选讲
18．设a＞0，b＞0，且a+b=
+
．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2 与b2+b＜2 不可能同时成立．
七、标题
19．设△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B 为钝角．
（Ⅰ）证明：B﹣A=
；
（Ⅱ）求sinA+sinC 的取值范围．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4 个红球、6 个白球的甲箱
和装有5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有
1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X 的分布列和数学期望．
21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为3 和6 的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，
点P、Q 分别在棱DD1、BC 上．
（1）若P 是DD1 的中点，证明：AB1⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A 的余弦值为
，求四面体ADPQ 的体积．
22．（13 分）已知抛物线C1：x2=4y 的焦点F 也是椭圆C2：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1 与C2 的公共弦长
为2
．
（Ⅰ）求C2 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线l 与C1 相交于A、B 两点，与C2 相交于C、D 两点，且
与
同向．
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（1）若|AC|=|BD|，求直线l 的斜率；
（2）设C1 在点A 处的切线与x 轴的交点为M，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．
23．（13 分）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x∈[0，+∞]）．记xn 为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证
明：
（Ⅰ）数列{f（xn）}是等比数列；
（Ⅱ）若a≥
，则对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．
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2015 年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题，共10 小题，每小题5 分，共50 分
1．（5 分）已知
=1+i（i 为虚数单位），则复数z=（
）
A．1+i
B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z 的值．
【解答】解：∵已知
=1+i（i 为虚数单位），∴z=
=
=﹣1﹣i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
2．（5 分）设A、B 是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．
【解答】解：A、B 是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，
“A⊆B”，可得“A∩B=A”．
所以A、B 是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】列出循环过程中S 与i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，
第1 次循环，S=
，i=2，
第2 次循环，S=
，i=3，
第3 次循环，S=
，i=4，
此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=
=
=
故选：B．
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【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力
4．（5 分）若变量x、y 满足约束条件
，则z=3x﹣y 的最小值为（
）
A．﹣7
B．﹣1
C．1
D．2
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立
，解得C（0，﹣1）．由
解得A（﹣2，1），由
，解得B（1，1）
∴z=3x﹣y 的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B 点．
5．（5 分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（
）
A．奇函数，且在（0，1）上是增函数
B．奇函数，且在（0，1）上是减函数
C．偶函数，且在（0，1）上是增函数
D．偶函数，且在（0，1）上是减函数
【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），
函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．
排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；
x=
时，f（
）=ln（1+
）﹣ln（1﹣
）=ln3＞1，显然f（0）＜f（
），函数是增函数，所以B 错误，A 正确．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．
6．（5 分）已知（
﹣
）5 的展开式中含x
的项的系数为30，则a=（
）
A．
B．﹣
C．6
D．﹣6
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令x 的指数为
求得r，
再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1=
=
；
展开式中含x
的项的系数为30，
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∴
，
∴r=1，并且
，解得a=﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二
项展开式的特定项问题的工具．
7．（5 分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N（0，1）的密度曲
线）的点的个数的估计值为（
）
附“若X﹣N=（μ，a2），则
P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．
p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．
A．2386 B．2718 C．3413 D．4772
【分析】求出P（0＜X≤1）=
×0.6826=0.3413，即可得出结论．
【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=
×0.6826=0.3413，
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称
性，属于基础题．
8．（5 分）已知A，B，C 在圆x2+y2=1 上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则|
|的最大值为
（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】由题意，AC 为直径，所以|
|=|2
+
|．B 为（﹣1，0）时，|2
+
|≤7，即可得出结论．
【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|
|=|2
+
|
所以B 为（﹣1，0）时，|2
+
|≤7．
所以|
|的最大值为7．
另解：设B（cosα，sinα），
|2
+
|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|=
=
，
当cosα=﹣1 时，B 为（﹣1，0），取得最大值7．
故选：B．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9．（5 分）将函数f（x）=sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜
）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）
﹣g（x2）|=2 的x1、x2，有|x1﹣x2|min=
，则φ=（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2 的值，然后判断选项即可．
【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x 的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜
）个单位后得到函数g（x）
的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=
，
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不妨x1=
，x2=
，即g（x）在x2=
，取得最小值，sin（2×
﹣2φ）=﹣1，此时φ=
，不合题意，
x1=
，x2=
，即g（x）在x2=
，取得最大值，sin（2×
﹣2φ）=1，此时φ=
，满足题意．
另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+
，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣
+2mπ，m∈Z，
x1﹣x2=
﹣φ+（k﹣m）π，
由|x1﹣x2|min=
，可得
﹣φ=
，解得φ=
，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好
题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．
10．（5 分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新
工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=
）（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．
利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n 的正方形，高为x，
利用轴截面的图形可判断得出n=
（1﹣
），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率
求解即．
【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，
∵底面半径为1，高为2，
∴V=
×2=
∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，
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∴此长方体底面边长为n 的正方形，高为x，
∴根据轴截面图得出：
=
，
解得；n=
（1﹣
），0＜x＜2，
∴长方体的体积Ω=2（1﹣
）2x，Ω′=
x2﹣4x+2，
∵，Ω′=
x2﹣4x+2=0，x=
，x=2，
∴可判断（0，
）单调递增，（
，2）单调递减，
Ω最大值=2（1﹣
）2×
=
，
∴原工件材料的利用率为
=
×
=
，
故选：A．
【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题．
二、填空题，共5 小题，每小题5 分，共25 分
11．（5 分）
（x﹣1）dx=
0
．
【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．
【解答】解：
（x﹣1）dx=（
﹣x）|
=0；
故答案为：0．
【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数．
12．（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到
差编号为1﹣35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是
4
．
【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．
【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；
成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，
用系统抽样方法从35 人中抽取7 人，
成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取
7×
=4（人）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目．
13．（5 分）设F 是双曲线C：
﹣
=1 的一个焦点．若C 上存在点P，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，
则C 的离心率为
．
【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF 的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M 的坐标代
入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），
设PF 的中点为M（0，b），
即有m=﹣c，n=2b，
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将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，
﹣
=1，
可得e2=
=5，
解得e=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中
档题．
14．（5 分）设Sn 为等比数列{an}的前n 项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3 成等差数列，则an=
3n﹣1
．
【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．
【解答】解：设等比数列的公比为q，Sn 为等比数列{an}的前n 项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3 成等差数列，
可得4S2=S3+3S1，a1=1，
即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．
∴an=3n﹣1．
故答案为：3n﹣1．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．
15．（5 分）已知函数f（x）=
若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b 有两个零点，则a 的取值范围
是
{a|a＜0 或a＞1}
．
【分析】由g（x）=f（x）﹣b 有两个零点可得f（x）=b 有两个零点，即y=f（x）与y=b 的图象有两个交点，则函
数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围
【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b 有两个零点，
∴f（x）=b 有两个零点，即y=f（x）与y=b 的图象有两个交点，
由x3=x2 可得，x=0 或x=1
①当a＞1 时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1 满足题意
②当a=1 时，由于函数f（x）在定义域R 上单调递增，故不符合题意
③当0＜a＜1 时，函数f（x）单调递增，故不符合题意
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④a=0 时，f（x）单调递增，故不符合题意
⑤当a＜0 时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b 使得，y=f（x）与y=b 有两个交点
综上可得，a＜0 或a＞1
故答案为：{a|a＜0 或a＞1}
【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
三、简答题，共1 小题，共75 分，16、17、18 为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：
几何证明选讲
16．（6 分）如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB，CD 的中点分别是M，N，直线MO 与直线CD 相交于点F，
证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．
【分析】（1）证明O，M，E，N 四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°
（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．
【解答】证明：（1）∵N 为CD 的中点，
∴ON⊥CD，
∵M 为AB 的中点，
∴OM⊥AB，
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在四边形OMEN 中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，
∴O，M，E，N 四点共圆，
∴∠MEN+∠NOM=180°
（2）在△FEM 与△FON 中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，
∴△FEM∽△FON，
∴
=
∴FE•FN=FM•FO．
【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
选修4-4：坐标系与方程
17．（6 分）已知直线l：
（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；
（2）设点M 的直角坐标为（5，
），直线l 与曲线C 的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．
【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方
程；
（2）直线l 的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．
【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；
（2）直线l：
（t 为参数），普通方程为
，（5，
）在直线l 上，
过点M 作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，
由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．
选修4-5：不等式选讲
18．设a＞0，b＞0，且a+b=
+
．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a2+a＜2 与b2+b＜2 不可能同时成立．
【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；
（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2 与b2+b＜2 可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，
可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1 矛盾，即可得证．
【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，
则a+b=
+
=
，
由于a+b＞0，则ab=1，
即有a+b≥2
=2，
当且仅当a=b 取得等号．
则a+b≥2；
（ⅱ）假设a2+a＜2 与b2+b＜2 可能同时成立．
由a2+a＜2 及a＞0，可得0＜a＜1，
由b2+b＜2 及b＞0，可得0＜b＜1，
这与ab=1 矛盾．
a2+a＜2 与b2+b＜2 不可能同时成立．
【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．
七、标题
19．设△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B 为钝角．
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（Ⅰ）证明：B﹣A=
；
（Ⅱ）求sinA+sinC 的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；
（Ⅱ）由题意可得A∈（0，
），可得0＜sinA＜
，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣
）2+
，由二次函数区间
的最值可得．
【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA 和正弦定理可得
=
=
，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（
+A）
又B 为钝角，∴
+A∈（
，π），
∴B=
+A，∴B﹣A=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+
+A）=
﹣2A＞0，
∴A∈（0，
），∴sinA+sinC=sinA+sin（
﹣2A）
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2（sinA﹣
）2+
，
∵A∈（0，
），∴0＜sinA＜
，
∴由二次函数可知
＜﹣2（sinA﹣
）2+
≤
∴sinA+sinC 的取值范围为（
，
]
【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．
20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4 个红球、6 个白球的甲箱
和装有5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出1 个球，在摸出的2 个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有
1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1 次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3 次抽奖机会，记该顾客在3 次抽奖中获一等奖的次数为X，求X 的分布列和数学期望．
【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽
奖1 次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1 次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1 次能获奖}，利用A1，A2 相互独立，
，
互斥，B1，B2 互斥，然后求出所求概率即可．
（2）顾客抽奖1 次可视为3 次独立重复试验，判断X～B
．求出概率，得到X 的分布列，然后求解期望．
【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾
客抽奖1 次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1 次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1 次能获奖}，由题意A1，A2 相互独
立，
，
互斥，B1，B2 互斥，且B1=A1A2，B2=
+
，C=B1+B2，因为P（A1）=
，P（A2）=
，
所以，P （B1 ）=P （A1 ）P （A2 ）=
=
，P （B2 ）=P （
）+P （
）
=
+
=
=
，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）
=
．
（2）顾客抽奖1 次可视为3 次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1 次获一等奖的概率为：
所以．X～
B
．于是，P（X=0）=
=
，P（X=1）=
=
，P（X=2）=
=
，
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P（X=3）=
=
．
故X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
E（X）=3×
=
．
【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概
率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产
生深远的影响．
21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1 的上、下底面分别是边长为3 和6 的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，
点P、Q 分别在棱DD1、BC 上．
（1）若P 是DD1 的中点，证明：AB1⊥PQ；
（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A 的余弦值为
，求四面体ADPQ 的体积．
【分析】（1）首先以A 为原点，AB，AD，AA1 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐
标，Q 在棱BC 上，从而可设Q（6，y1，0），只需求
即可；
（2）设P（0，y2，z2），根据P 在棱DD1 上，从而由
即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P 坐标为P（0，
y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1 便知道
与平面ABB1A1 的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q 点坐标变成Q
（6，y2，0），设平面PQD 的法向量为
，根据
即可表示
，平面AQD
的一个法向量为
，从而由
即可求出y2，从而得出P 点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD 的
高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD 的体积，从而求出四面体的体积．
【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1 三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z 轴，建立如图所示
空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；
Q 在棱BC 上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；
∴（1）证明：若P 是DD1 的中点，则P
；
∴
，
；
∴
；
∴
；
∴AB1⊥PQ；
（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P 在棱DD1 上；
∴
，0≤λ≤1；
∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；
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∴
；
∴z2=12﹣2y2；
∴P（0，y2，12﹣2y2）；
∴
；
平面ABB1A1 的一个法向量为
；
∵PQ∥平面ABB1A1；
∴
=6（y1﹣y2）=0；
∴y1=y2；
∴Q（6，y2，0）；
设平面PQD 的法向量为
，则：
；
∴
，取z=1，则
；
又平面AQD 的一个法向量为
；
又二面角P﹣QD﹣A 的余弦值为
；
∴
；
解得y2=4，或y2=8（舍去）；
∴P（0，4，4）；
∴三棱锥P﹣ADQ 的高为4，且
；
∴V 四面体ADPQ=V 三棱锥P﹣ADQ=
．
【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直
线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关
系，三棱锥的体积公式．
22．（13 分）已知抛物线C1：x2=4y 的焦点F 也是椭圆C2：
+
=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1 与C2 的公共弦长
为2
．
（Ⅰ）求C2 的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线l 与C1 相交于A、B 两点，与C2 相交于C、D 两点，且
与
同向．
（1）若|AC|=|BD|，求直线l 的斜率；
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（2）设C1 在点A 处的切线与x 轴的交点为M，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．
【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1 与C2 的公共弦长为2
，得到
=1，
解得即可求出；
（Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l 的方程，分别与
C1，C2 构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k 的方程，解得即可；
（2）根据导数的几何意义得到C1 在点A 处的切线方程，求出点M 的坐标，利用向量的乘积∠AFM 是锐角，问题
得以证明．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y 的焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆C2 的一个焦点，
∴a2﹣b2=1，①，
又C1 与C2 的公共弦长为2
，C1 与C2 的都关于y 轴对称，且C1 的方程为x2=4y，
由此易知C1 与C2 的公共点的坐标为（±
，
），
所以
=1，②，
联立①②得a2=9，b2=8，
故C2 的方程为
+
=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
（1）因为
与
同向，且|AC|=|BD|，
所以
=
，
从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是
（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③
设直线的斜率为k，则l 的方程为y=kx+1，
由
，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2 是这个方程的两根，
所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④
由
，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4 是这个方程的两根，
所以x3+x4=
，x3x4=﹣
，⑤
将④⑤代入③，得16（k2+1）=
+
，
即16（k2+1）=
，
所以（9+8k2）2=16×9，
解得k=±
．
（2）由x2=4y 得y′=
x，
所以C1 在点A 处的切线方程为y﹣y1=
x1（x﹣x1），
即y=
x1x﹣
x12，
令y=0，得x=
x1，
M（
x1，0），
所以
=（
x1，﹣1），
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而
=（x1，y1﹣1），
于是
•
=
x12﹣y1+1=
x12+1＞0，
因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM 是钝角，
故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．
【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关
系，得到关于k 的方程，计算量大，属于难题．
23．（13 分）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x∈[0，+∞]）．记xn 为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证
明：
（Ⅰ）数列{f（xn）}是等比数列；
（Ⅱ）若a≥
，则对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．
【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0 的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可
得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；
（Ⅱ）由sinφ=
，可得对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．即为nπ﹣φ＜
ea（nπ﹣φ）恒成立⇔
＜
，①设g（t）=
（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．
【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=eax（asinx+cosx）=
•eaxsin（x+φ），
tanφ=
，0＜φ＜
，
令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，
对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，
则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．
于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以xn=nπ﹣φ，n∈N*，
此时f（xn）=ea（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1ea（nπ﹣φ）sinφ，
易知f（xn）≠0，而
=
=﹣eaπ是常数，
故数列{f（xn）}是首项为f（x1）=ea（π﹣φ）sinφ，公比为﹣eaπ的等比数列；
（Ⅱ）由sinφ=
，可得对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．
即为nπ﹣φ＜
ea（nπ﹣φ）恒成立⇔
＜
，①
设g（t）=
（t＞0），g′（t）=
，
当0＜t＜1 时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1 时，g′（t）＞0，g（t）递增．
t=1 时，g（t）取得最小值，且为e．
因此要使①恒成立，只需
＜g（1）=e，
只需a＞
，当a=
，tanφ=
=
，且0＜φ＜
，
可得
＜φ＜
，于是π﹣φ＜
＜
，且当n≥2 时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞
＞
，
因此对n∈N*，axn=
≠1，即有g（axn）＞g（1）=e=
，
故①亦恒成立．
综上可得，若a≥
，则对一切n∈N*，xn＜|f（xn）|恒成立．
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【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和
通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题．
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2015 年湖北省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）i 为虚数单位，i607 的共轭复数为（
）
A．iB．﹣i
C．1
D．﹣1
2．（5 分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
3．（5 分）已知（1+x）n 的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（
）
A．212
B．211
C．210
D．29
4．（5 分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（
）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5 分）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an 成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=
（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（
）
A．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C．p 是q 的充分必要条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
6．（5 分）已知符号函数sgnx=
，f（x）是R 上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（
）
A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx
C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）]
D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]
7．（5 分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1 为事件“x+y≥
”的概率，P2 为事件“|x﹣y|≤
”的概率，P3
为事件“xy≤
”的概率，则（
）
A．P1＜P2＜P3
B．P2＜P3＜P1
C．P3＜P1＜P2
D．P3＜P2＜P1
8．（5 分）将离心率为e1 的双曲线C1 的实半轴长a 和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到
离心率为e2 的双曲线C2，则（
）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b 时，e1＞e2；当a＜b 时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b 时，e1＜e2；当a＜b 时，e1＞e2
9．（5 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，
y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B 中元素的个数为（
）
A．77
B．49
C．45
D．30
10．（5 分）设x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n 同时成立，则正
整数n 的最大值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题：本大题共4 小题，考生需作答5 小题，每小题5 分，共25 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置
上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（5 分）已知向量
⊥
，|
|=3，则
•
=
．
12．（5 分）函数f（x）=4cos2
cos（
﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为
．
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13．（5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向
上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=
m．
14．（5 分）如图，圆C 与x 轴相切于点T（1，0），与y 轴正半轴交于两点A，B（B 在A 的上方），且|AB|=2．
（1）圆C 的标准方程为
；
（2）过点A 任作一条直线与圆O：x2+y2=1 相交于M，N 两点，下列三个结论：
①
=
；
②
﹣
=2；
③
+
=2
．
其中正确结论的序号是
．（写出所有正确结论的序号）
选修4-1：几何证明选讲
15．（5 分）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC=3PB，则
=
．
选修4-4：坐标系与参数方程
16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ（sinθ
﹣3cosθ）=0，曲线C 的参数方程为
（t 为参数），l 与C 相交于A，B 两点，则|AB|=
．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（11 分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）在某一个周期内的图象时，列表
并填入了部分数据，如表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
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（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一
个对称中心为（
，0），求θ的最小值．
18．（12 分）设等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1 时，记cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
19．（12 分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC 的中点E，作
EF⊥PB 交PB 于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不
是，说明理由；
（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为
，求
的值．
20．（12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B 两种奶制品．生产1 吨A 产品需鲜牛奶2 吨，使用设备1 小时，
获利1000 元；生产1 吨B 产品需鲜牛奶1.5 吨，使用设备1.5 小时，获利1200 元．要求每天B 产品的产量不超过
A 产品产量的2 倍，设备每天生产A，B 两种产品时间之和不超过12 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单
位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z 的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3 天中至少有1 天的最大获利超过10000 元的概率．
21．（14 分）一种画椭圆的工具如图1 所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链
与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动
N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标
系．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设动直线l 与两定直线l1：x﹣2y=0 和l2：x+2y=0 分别交于P，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公
共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
22．（14 分）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+
）nan（n∈N+），e 为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣ex 的单调区间，并比较（1+
）n 与e 的大小；
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（2）计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
（3）令cn=（a1a2…an）
，数列{an}，{cn}的前n 项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．
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2015 年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）i 为虚数单位，i607 的共轭复数为（
）
A．iB．﹣i
C．1
D．﹣1
【分析】直接利用复数的单位的幂运算求解即可．
【解答】解：i607=i604+3=i3=﹣i，
它的共轭复数为：i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．
2．（5 分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，
抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
【分析】根据254 粒内夹谷28 粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×
≈169 石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
3．（5 分）已知（1+x）n 的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（
）
A．212
B．211
C．210
D．29
【分析】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．
【解答】解：已知（1+x）n 的展开式中第4 项与第8 项的二项式系数相等，
可得
，可得n=3+7=10．
（1+x）10 的展开式中奇数项的二项式系数和为：
=29．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．
4．（5 分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（
）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
【分析】直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．
【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）．
故选：C．
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【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结
合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．
5．（5 分）设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an 成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=
（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（
）
A．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
B．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
C．p 是q 的充分必要条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，讨论等号成立的
条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．
【解答】解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．
运用柯西不等式，可得：
（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，
若a1，a2，…，an 成等比数列，即有
=
=…=
，
则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，
即由p 推得q，
但由q 推不到p，比如a1=a2=a3=…=an=0，则a1，a2，…，an 不成等比数列．
故p 是q 的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．
6．（5 分）已知符号函数sgnx=
，f（x）是R 上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（
）
A．sgn[g（x）]=sgnx B．sgn[g（x）]=﹣sgnx
C．sgn[g（x）]=sgn[f（x）]
D．sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]
【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a 的值，判断选项即可．
【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=
，f（x）是R 上的增函数，g（x）
=f（x）﹣f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A 不正确，B 正确，
sgn[f（x）]=sgnx，C 不正确；D 正确；
对于D，令f（x）=x+1，a=2，
则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，
sgn[f（x）]=sgn（x+1）=
；
sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=
，
﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=
；所以D 不正确；
故选：B．
【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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7．（5 分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1 为事件“x+y≥
”的概率，P2 为事件“|x﹣y|≤
”的概率，P3
为事件“xy≤
”的概率，则（
）
A．P1＜P2＜P3
B．P2＜P3＜P1
C．P3＜P1＜P2
D．P3＜P2＜P1
【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．
【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：
P1：D（0，
），F（
，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），
则阴影部分的面积S1=1×1﹣
=1﹣
=
，
S2=1×1﹣2×
=1﹣
=
，
S3=1×
+
dx=
+
lnx|
=
﹣
ln
=
+
ln2，
∴S2＜S3＜S1，
即P2＜P3＜P1，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积
的大小即可比较大小．
8．（5 分）将离心率为e1 的双曲线C1 的实半轴长a 和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到
离心率为e2 的双曲线C2，则（
）
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b 时，e1＞e2；当a＜b 时，e1＜e2
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C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b 时，e1＜e2；当a＜b 时，e1＞e2
【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．
【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=
；
双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=
，
∴
=
﹣
=
，
∴当a＞b 时，e1＞e2；当a＜b 时，e1＜e2，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
9．（5 分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，
y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B 中元素的个数为（
）
A．77
B．49
C．45
D．30
【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，
﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），
（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），
（﹣2，2）}，根据定义可求
【解答】解：解法一：
∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），
B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，
2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），
（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}
∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，
0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，
﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），
（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共
45 个元素；
解法二：
因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A 中有5 个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，
|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25 个元素，即图中正方形ABCD 中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，
（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1 中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45 个．
故选：C．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．
10．（5 分）设x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[tn]=n 同时成立，则正
整数n 的最大值是（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】由新定义可得t 的范围，验证可得最大的正整数n 为4．
【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），
若[t2]=2，则t∈[
，
）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），
若[t3]=3，则t∈[
，
），
若[t4]=4，则t∈[
，
），
若[t5]=5，则t∈[
，
），
其中
≈1.732，
≈1.587，
≈1.495，
≈1.431＜1.495，
通过上述可以发现，当t=4 时，可以找到实数t 使其在区间[1，2）∩[
，
）∩[
，
）∩[
，
）
上，
但当t=5 时，无法找到实数t 使其在区间[1，2）∩[
，
）∩[
，
）∩[
，
）∩[
，
）
上，
∴正整数n 的最大值4
故选：B．
【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．
二、填空题：本大题共4 小题，考生需作答5 小题，每小题5 分，共25 分．请将答案填在答题卡对应题号的位置
上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
11．（5 分）已知向量
⊥
，|
|=3，则
•
=
9
．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由
⊥
，得
•
=0，即
•（
）=0，
∵|
|=3，
∴
．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．
12．（5 分）函数f（x）=4cos2
cos（
﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为
2
．
【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．
【解答】解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．
f（x）=4cos2
cos（
﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|
=2sinx
﹣|ln（x+1）|
=sin2x﹣|ln（x+1）|，
分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，
由函数的图象可知，交点个数为2．
所以函数的零点有2 个．
故答案为：2．
【点评】本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．
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13．（5 分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向
上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=
100
m．
【分析】设此山高h（m），在△BCD 中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC 中利用正弦定理求得h．
【解答】解：设此山高h（m），则BC=
h，
在△ABC 中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．
根据正弦定理得
=
，
解得h=100
（m）
故答案为：100
．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过
正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
14．（5 分）如图，圆C 与x 轴相切于点T（1，0），与y 轴正半轴交于两点A，B（B 在A 的上方），且|AB|=2．
（1）圆C 的标准方程为
（x﹣1）2+（y﹣
）2=2
；
（2）过点A 任作一条直线与圆O：x2+y2=1 相交于M，N 两点，下列三个结论：
①
=
；
②
﹣
=2；
③
+
=2
．
其中正确结论的序号是
①②③
．（写出所有正确结论的序号）
【分析】（1）取AB 的中点E，通过圆C 与x 轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；
（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出
、
、
的值即可．
【解答】解：（1）∵圆C 与x 轴相切于点T（1，0），
∴圆心的横坐标x=1，取AB 的中点E，
∵|AB|=2，∴|BE|=1，
则|BC|=
，即圆的半径r=|BC|=
，
∴圆心C（1，
），
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣
）2=2，
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣
）2=2．
（2）∵圆心C（1，
），∴E（0，
），
又∵|AB|=2，且E 为AB 中点，
∴A（0，
﹣1），B（0，
+1），
∵M、N 在圆O：x2+y2=1 上，
∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），
∴|NA|=
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=
=
=
=
，
|NB|=
=
=
=
，
∴
=
=
=
，
同理可得
=
，
∴
=
，①成立，
﹣
=
﹣（
）=2，②正确．
+
=
+（
）=
，③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，
属于难题．
选修4-1：几何证明选讲
15．（5 分）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC=3PB，则
=
．
【分析】利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．
【解答】解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，
可得PA=2PB，
在△PAB 与△PAC 中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），
可得△PAB∽△PAC，
∴
=
=
．
故答案为：
．
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【点评】本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．
选修4-4：坐标系与参数方程
16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ（sinθ
﹣3cosθ）=0，曲线C 的参数方程为
（t 为参数），l 与C 相交于A，B 两点，则|AB|=
．
【分析】化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两
点间的距离公式得答案．
【解答】解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，
由C 的参数方程为
（t 为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．
联立
，得
，即
．
∴A（
），B（
），
∴|AB|=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础
的计算题．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（11 分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）在某一个周期内的图象时，列表
并填入了部分数据，如表：
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一
个对称中心为（
，0），求θ的最小值．
【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣
．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x
﹣
）．
（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣
）．令2x+2θ﹣
=kπ，解得
x=
，k∈Z．令
=
，解得θ=
，k∈Z．由θ＞0 可得解．
【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣
．数据补全如下表：
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ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
5
0
﹣5
0
且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣
）．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣
），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣
）．
因为y=sinx 的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ﹣
=kπ，解得x=
，k∈Z．
由于函数y=g（x）的图象关于点（
，0）成中心对称，令
=
，
解得θ=
，k∈Z．由θ＞0 可知，当K=1 时，θ取得最小值
．
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应
用，属于基本知识的考查．
18．（12 分）设等差数列{an}的公差为d，前n 项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式
（2）当d＞1 时，记cn=
，求数列{cn}的前n 项和Tn．
【分析】（1）利用前10 项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1 时，由（1）知cn=
，写出Tn、
Tn 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即
可．
【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得
，
解得
，或
，
当
时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；
当
时，an=
（2n+79），bn=9•
；
（2）当d＞1 时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，
∴cn=
=
，
∴Tn=1+3•
+5•
+7•
+9•
+…+（2n﹣1）•
，
∴
Tn=1•
+3•
+5•
+7•
+…+（2n﹣3）•
+（2n﹣1）•
，
∴
Tn=2+
+
+
+
+…+
﹣（2n﹣1）•
=3﹣
，
∴Tn=6﹣
．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（12 分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC 的中点E，作
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EF⊥PB 交PB 于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不
是，说明理由；
（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为
，求
的值．
【分析】解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，
即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，确定直角．
（2）根据公理2 得出DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据
平面角的定义得出∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．
解法2）
（1）以D 为原点，射线DA，DC，DP 分别为x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断
即可．
2）由PD⊥底面ABCD，所以
=（0，0，1）是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以
=
（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF 的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD 为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E 是PC 的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）如图1，
在面BPC 内，延长BC 与FE 交于点G，则DG 是平面DEF 与平面ACBD 的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，
设PD=DC=1，BC=λ，有BD=
，
在Rt△PDB 中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=
，
则tan
=tan∠DPF=
=
=
，解得
．
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所以
=
=
故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为
时，
=
．
（解法2）
（1）以D 为原点，射线DA，DC，DP 分别为x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），
=（λ1，﹣1），点E 是PC 的中点，所以E（0，
，
），
=（0，
，
），
于是
=0，即PB⊥DE．
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．
因
=（0，1，﹣1），
=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）由PD⊥底面ABCD，所以
=（0，0，1）是平面ACDB 的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以
=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF 的一个法向量．
若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为
，
则运用向量的数量积求解得出cos
=
=
，
解得
．所以所以
=
=
故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为
时，
=
．
【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于
难题．
20．（12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B 两种奶制品．生产1 吨A 产品需鲜牛奶2 吨，使用设备1 小时，
获利1000 元；生产1 吨B 产品需鲜牛奶1.5 吨，使用设备1.5 小时，获利1200 元．要求每天B 产品的产量不超过
A 产品产量的2 倍，设备每天生产A，B 两种产品时间之和不超过12 小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单
位：吨）是一个随机变量，其分布列为
W
12
15
18
P
0.3
0.5
0.2
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z 的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3 天中至少有1 天的最大获利超过10000 元的概率．
【分析】（1）设每天A，B 两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12
时，当W=15 时，当W=18 时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z 的分布列．求出期望即可．
（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．
【解答】（12 分）
解：（1）设每天A，B 两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有
，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．
当W=12 时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．
将z=1000x+1200y 变形为
，
当x=2.4，y=4.8 时，直线l：
在y 轴上的截距最大，
最大获利Z=Zmax=2.4×1000+4.8×1200=8160．
当W=15 时，①表示的平面区域如图2 ，三个顶点分别为A （0 ，0 ），B （3 ，6 ），C （7.5 ，
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0）．．
将z=1000x+1200y 变形为
，
当x=3，y=6 时，直线l：
在y 轴上的截距最大，
最大获利Z=Zmax=3×1000+6×1200=10200．
当W=18 时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．
将z=1000x+1200y 变形为：
，
当x=6，y=4 时，直线l：y=﹣56x+z1200 在y 轴上的截距最大，最大获利Z=Zmax=6×1000+4×1200=10800．
故最大获利Z 的分布列为：
Z
8160
10200
10800
P
0.3
0.5
0.2
因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000 元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，
由二项分布，3 天中至少有1 天最大获利超过10000 元的概率为：
．
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【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问
题解决问题的能力．
21．（14 分）一种画椭圆的工具如图1 所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链
与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动
N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2 所示的平面直角坐标
系．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设动直线l 与两定直线l1：x﹣2y=0 和l2：x+2y=0 分别交于P，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公
共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据条件求出a，b 即可求椭圆C 的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，
N（x0，y0），M（x，y），由题意得
=2
，
且|
|=|
|=1，
∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且
，
即
，且t（t﹣2x0）=0，
由于当点D 不动时，点N 也不动，∴t 不恒等于0，
于是t=2x0，故x0=
，y0=﹣
，
代入x02+y02=1，得方程为
．
（2）①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：x=4 或x=﹣4，都有S△OPQ=
，
②直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m，（k
），
由
消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，
∵直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，
∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，
由
，可得P（
，
），同理得Q（
，
），
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原点O 到直线PQ 的距离d=
和|PQ|=
•|xP﹣xQ|，
可得S△OPQ=
|PQ|d=
|m||xP﹣xQ|=
|m||
|=|
|②，
将①代入②得S△OPQ=|
|=8|
|，
当k2＞
时，S△OPQ=8（
）=8（1+
）＞8，
当0≤k2＜
时，S△OPQ=8|
|=﹣8（
）=8（﹣1+
），
∵0≤k2＜
时，∴0＜1﹣4k2≤1，
≥2，
∴S△OPQ=8（﹣1+
）≥8，当且仅当k=0 时取等号，
∴当k=0 时，S△OPQ 的最小值为8，
综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，三角形OPQ 的面积存在最小值为8．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本
题的关键．综合性较强，运算量较大．
22．（14 分）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+
）nan（n∈N+），e 为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x﹣ex 的单调区间，并比较（1+
）n 与e 的大小；
（2）计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出证明；
（3）令cn=（a1a2…an）
，数列{an}，{cn}的前n 项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．
【分析】（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜ex．取x=
即可得到答案；
（2）由bn=n（1+
）nan（n∈N+），变形求得
，
，
，由此推测
=（n+1）n．然后利用
数学归纳法证明．
（3）由cn 的定义、
=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、bn 的定义及
，利用放缩法证得
Tn＜eSn．
【解答】（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣ex．
当f′（x）＞0，即x＜0 时，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞0 时，f（x）单调递减．
故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
当x＞0 时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜ex．
令
，得
，即
．①
（2）解：
；
=
；
．
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由此推测：
=（n+1）n．②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当n=1 时，左边=右边=2，②成立．
（2）假设当n=k 时，②成立，即
．
当n=k+1 时，
，由归纳假设可得
=
．
∴当n=k+1 时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．
（3）证明：由cn 的定义，②，算术﹣几何平均不等式，bn 的定义及①得
Tn=c1+c2+…+cn=
=
=
=
=
＜ea1+ea2+…+ean=eSn．
即Tn＜eSn．
【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、
运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题．
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2015 年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．）
1．（5 分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（
）
A．{1，4}
B．{﹣1，﹣4}
C．{0}
D．∅
2．（5 分）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（
）
A．2﹣3iB．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5 分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A．y=
B．y=x+
C．y=2x+
D．y=x+ex
4．（5 分）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5 个红球．从袋中任取2 个球，所取的2
个球中恰有1 个白球，1 个红球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．1
5．（5 分）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x2+y2=5 相切的直线的方程是（
）
A．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+
=0 或2x+y﹣
=0
C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0
D．2x﹣y+
=0 或2x﹣y﹣
=0
6．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最小值为（
）
A．4
B．
C．6
D．
7．（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1 的离心率e=
，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C 的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
8．（5 分）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（
）
A．至多等于3
B．至多等于4
C．等于5
D．大于5
二、填空题（本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分．）（一）必做题（11～13 题）
9．（5 分）在（
﹣1）4 的展开式中，x 的系数为
．
10．（5 分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=
．
11．（5 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若a=
，sinB=
，C=
，则b=
．
12．（5 分）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
条毕业
留言．（用数字作答）
13．（5 分）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=
．
14．（5 分）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣
）=
，点A 的极坐标为A（2
，
），则点A 到直线l
的距离为
．
15．如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4，EC 是圆O 的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交
EC 和AC 于D 和点P，则OD=
．
三、解答题
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16．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（
，﹣
），=（sinx，cosx），x∈（0，
）．
（1）若⊥，求tanx 的值；
（2）若与的夹角为
，求x 的值．
17．（12 分）某工厂36 名工人年龄数据如图：
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
2
3
4
5
6
7
8
9
40
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
35
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39
（1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列
出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36 名工人中年龄在﹣s 和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
18．（14 分）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E 是CD
的中点，点F、G 分别在线段AB、BC 上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C 的正切值；
（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．
19．（14 分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），
证明：m≤
﹣1．
20．（14 分）已知过原点的动直线l 与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0 相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
说明理由．
21．（14 分）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣
，n∈N
+．
（1）求a3 的值；
（2）求数列{an}的前n 项和Tn；
（3）令b1=a1，bn=
+（1+
+
+…+
）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n 项和Sn 满足Sn＜2+2lnn．
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2015 年广东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．）
1．（5 分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（
）
A．{1，4}
B．{﹣1，﹣4}
C．{0}
D．∅
【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．
【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，
N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，
则M∩N=∅．
故选：D．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．
2．（5 分）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（
）
A．2﹣3iB．2+3i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．
3．（5 分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A．y=
B．y=x+
C．y=2x+
D．y=x+ex
【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．
【解答】解：对于A，y=
是偶函数，所以A 不正确；
对于B，y=x+
函数是奇函数，所以B 不正确；
对于C，y=2x+
是偶函数，所以C 不正确；
对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．
4．（5 分）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5 个红球．从袋中任取2 个球，所取的2
个球中恰有1 个白球，1 个红球的概率为（
）
A．
B．
C．
D．1
【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2 个球中恰有1 个白球，1 个红球”事件包含
的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15 个球任取2 球的取法，而在求“所取的2 个球中恰有1 个白球，
1 个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：这是一个古典概型，从15 个球中任取2 个球的取法有
；
∴基本事件总数为105；
设“所取的2 个球中恰有1 个白球，1 个红球”为事件A；
则A 包含的基本事件个数为
=50；
∴P（A）=
．
故选：B．
【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．
5．（5 分）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x2+y2=5 相切的直线的方程是（
）
A．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+
=0 或2x+y﹣
=0
C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0
D．2x﹣y+
=0 或2x﹣y﹣
=0
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【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．
【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，
所以
=
，所以b=±5，
所以所求直线方程为：2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0
故选：A．
【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
6．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最小值为（
）
A．4
B．
C．6
D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．
【解答】解：不等式组
对应的平面区域如图：
由z=3x+2y 得y=﹣
x+
，平移直线y=﹣
x+
，
则由图象可知当直线y=﹣
x+
，经过点A 时直线y=﹣
x+
的截距最小，
此时z 最小，
由
，解得
，即A（1，
），
此时z=3×1+2×
=
，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
7．（5 分）已知双曲线C：
﹣
=1 的离心率e=
，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C 的方程为（
）
A．
﹣
=1
B．
﹣
=1
C．
﹣
=1
D．
﹣
=1
【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线C：
﹣
=1 的离心率e=
，且其右焦点为F2（5，0），
可得：
，c=5，∴a=4，b=
=3，
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所求双曲线方程为：
﹣
=1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
8．（5 分）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（
）
A．至多等于3
B．至多等于4
C．等于5
D．大于5
【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球
和三角形三边的关系，即可判断．
【解答】解：考虑平面上，3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4 个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立；
n 大于4，也不成立；
在空间中，4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5 时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，
但显然球的半径不等于棱长，故不成立；
同理n＞5，不成立．
故选：B．
【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第
三边的关系，属于中档题和易错题．
二、填空题（本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分．）（一）必做题（11～13 题）
9．（5 分）在（
﹣1）4 的展开式中，x 的系数为
6
．
【分析】根据题意二项式（
﹣1）4 的展开式的通项公式为Tr+1=
•（﹣1）r•
，分析可得，r=2 时，有x 的
项，将r=2 代入可得答案．
【解答】解：二项式（
﹣1）4 的展开式的通项公式为Tr+1=
•（﹣1）r•
，
令2﹣
=1，求得r=2，
∴二项式（
﹣1）4 的展开式中x 的系数为
=6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题
10．（5 分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=
10
．
【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简
后，将a5 的值代入即可求答案．
【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，
得到a5=5，
则a2+a8=2a5=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题．
11．（5 分）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若a=
，sinB=
，C=
，则b=
1
．
【分析】由sinB=
，可得B=
或B=
，结合a=
，C=
及正弦定理可求b
【解答】解：∵sinB=
，
∴B=
或B=
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当B=
时，a=
，C=
，A=
，
由正弦定理可得，
则b=1
当B=
时，C=
，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键
12．（5 分）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
1560
条毕业
留言．（用数字作答）
【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．
【解答】解：某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
=40×39=1560
条．
故答案为：1560．
【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．
13．（5 分）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=
．
【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．
【解答】解：随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，
可得np=30，npq=20，q=
，则p=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．
14．（5 分）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣
）=
，点A 的极坐标为A（2
，
），则点A 到直线l
的距离为
．
【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣
）=
，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，
点A 的极坐标为A（2
，
），它的直角坐标为（2，﹣2）．
点A 到直线l 的距离为：
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．
15．如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4，EC 是圆O 的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交
EC 和AC 于D 和点P，则OD=
8
．
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【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=
BC=
，Rt△OCD 中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．
【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，
∵AB 是圆O 的直径，
∴BC⊥AC，
∵OP∥BC，
∴OP⊥AC，OP=
BC=
，
Rt△OCD 中，由射影定理可得OC2=OP•OD，
∴4=
OD，
∴OD=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题
16．（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（
，﹣
），=（sinx，cosx），x∈（0，
）．
（1）若⊥，求tanx 的值；
（2）若与的夹角为
，求x 的值．
【分析】（1）若⊥，则• =0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值；
（2）若与的夹角为
，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值．
【解答】解：（1）若⊥，
则• =（
，﹣
）•（sinx，cosx）=
sinx﹣
cosx=0，
即
sinx=
cosx
sinx=cosx，即tanx=1；
（2）∵| |=
，| |=
=1，• =（
，﹣
）•（sinx，cosx）
=
sinx﹣
cosx，
∴若与的夹角为
，
则• =| |•| |cos
=
，
即
sinx﹣
cosx=
，
则sin（x﹣
）=
，
∵x∈（0，
）．
∴x﹣
∈（﹣
，
）．
则x﹣
=
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即x=
+
=
．
【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
17．（12 分）某工厂36 名工人年龄数据如图：
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
2
3
4
5
6
7
8
9
40
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
35
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39
（1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列
出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）36 名工人中年龄在﹣s 和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？
【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；
（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；
（3）求出样本和方差即可得到结论．
【解答】解：（1）由系统抽样知，36 人分成9 组，每组4 人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，
∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），
其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．
（2）由平均值公式得=
（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．
由方差公式得s2=
[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=
．
（3）∵s2=
．∴s=
∈（3，4），
∴36 名工人中年龄在﹣s 和+s 之间的人数等于区间[37，43]的人数，
即40，40，41，…，39，共23 人．
∴36 名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为
≈63.89%．
【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．
18．（14 分）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E 是CD
的中点，点F、G 分别在线段AB、BC 上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P﹣AD﹣C 的正切值；
（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．
【分析】（1）通过△PDC 为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；
（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC 为二面角P﹣AD﹣C 的平面角，利用勾股定理即得结论；
（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC 中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角
即为直线PA 与直线AC 所成角∠PAC 的余弦值．
【解答】（1）证明：在△PDC 中PO=PC 且E 为CD 中点，
∴PE⊥CD，
又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，
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∴PE⊥平面ABCD，
又∵FG⊂平面ABCD，
∴PE⊥FG；
（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，
又∵CD⊥AD 且PE∩CD=E，
∴AD⊥平面PDC，
又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，
又∵AD⊥CD，∴∠PDC 为二面角P﹣AD﹣C 的平面角，
在Rt△PDE 中，由勾股定理可得：
PE=
=
=
，
∴tan∠PDC=
=
；
（3）解：连结AC，则AC=
=3
，
在Rt△ADP 中，AP=
=
=5，
∵AF=2FB，CG=2GB，
∴FG∥AC，
∴直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角∠PAC，
在△PAC 中，由余弦定理得
cos∠PAC=
=
=
．
【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题
方法的积累，属于中档题．
19．（14 分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），
证明：m≤
﹣1．
【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．
（2）证明只有1 个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．
（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．
【解答】解：（1）f′（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）=（1+x2）ex﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．
（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，
∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，
∵f（
）=（1+a）
﹣a=
+a（
﹣1），a＞1，
∴
＞1，
﹣1＞0，即f（
）＞0，
且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．
（3）证明：f′（x）=ex（x+1）2，
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设点P（x0，y0）则）f'（x）=ex0（x0+1）2，
∵y=f（x）在点P 处的切线与x 轴平行，
∴f′（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，
∴x0=﹣1，
将x0=﹣1 代入y=f（x）得y0=
．
∴
，
∴
，
要证m≤
﹣1，即证（m+1）3≤a﹣
，
需要证（m+1）3≤em（m+1）2，
即证m+1≤em，
因此构造函数g（m）=em﹣（m+1），
则g′（m）=em﹣1，由g′（m）=0 得m=0．
当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，
当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，
∴g（m）的最小值为g（0）=0，
∴g（m）=em﹣（m+1）≥0，
∴em≥m+1，
∴em（m+1）2≥（m+1）3，
即：
，
∴m≤
．
【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．
20．（14 分）已知过原点的动直线l 与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0 相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，
说明理由．
【分析】（1）通过将圆C1 的一般式方程化为标准方程即得结论；
（2）设当直线l 的方程为y=kx，通过联立直线l 与圆C1 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公
式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；
（3）通过联立直线L 与圆C1 的方程，利用根的判别式△=0 及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结
论．
【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，
∴圆C1 的圆心坐标为（3，0）；
（2）设当直线l 的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），
联立方程组
，
消去y 可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，
由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜
由韦达定理，可得x1+x2=
，
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∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为
，其中﹣
＜k＜
，
∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（x﹣
）2+y2=
，其中
＜x≤3；
（3）结论：当k∈（﹣
，
）∪{﹣
，
}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点．
理由如下：
联立方程组
，
消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，
令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±
，
又∵轨迹C 的端点（
，±
）与点（4，0）决定的直线斜率为±
，
∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C 只有一个交点时，
k 的取值范围为[﹣
，
]∪{﹣
，
}．
【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．
21．（14 分）数列{an}满足：a1+2a2+…nan=4﹣
，n∈N
+．
（1）求a3 的值；
（2）求数列{an}的前n 项和Tn；
（3）令b1=a1，bn=
+（1+
+
+…+
）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n 项和Sn 满足Sn＜2+2lnn．
【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3 的值；
（2）利用作差法求出数列{an}的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{an}的前n 项和Tn；
（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．
【解答】解：（1）∵a1+2a2+…nan=4﹣
，n∈N
+．
∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣
=2，
解得a2=
，
∵a1+2a2+…+nan=4﹣
，n∈N
+．
∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=4﹣
，n∈N
+．
两式相减得nan=4﹣
﹣（4﹣
）=
，n≥2，
则an=
，n≥2，
当n=1 时，a1=1 也满足，
∴an=
，n≥1，
则a3=
；
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（2）∵an=
，n≥1，
∴数列{an}是公比q=
，
则数列{an}的前n 项和Tn=
=2﹣21﹣n．
（3）bn=
+（1+
+
+…+
）an，
∴b1=a1，b2=
+（1+
）a2，b3=
（1+
+
）a3，
∴bn=
+（1+
+
+…+
）an，
∴Sn=b1+b2+…+bn=（1+
+
+…+
）a1+（1+
+
+…+
）a2+…+（1+
+
+…+
）an
=（1+
+
+…+
）（a1+a2+…+an）=（1+
+
+…+
）Tn
=（1+
+
+…+
）（2﹣21﹣n）＜2×（1+
+
+…+
），
设f（x）=lnx+
﹣1，x＞1，
则f′（x）=
﹣
．
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵f（1）=0，即f（x）＞0，
∵k≥2，且k∈N•时，
，
∴f（
）=ln
+
﹣1＞0，即ln
＞
，
∴
ln
，
，…
，
即
=lnn，
∴2×（1+
+
+…+
）=2+2×（
+
+…+
）＜2+2lnn，
即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn．
【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项
公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．
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2015 年福建省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，共50 分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工
类）
1．（5 分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i 是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B 等于（
）
A．{﹣1}
B．{1}
C．{1，﹣1} D．∅
2．（5 分）下列函数为奇函数的是（
）
A．y=
B．y=|sinx|
C．y=cosx
D．y=ex﹣e
﹣x
3．（5 分）若双曲线E：
=1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（
）
A．11
B．9
C．5
D．3
4．（5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程
，其中
，据此估计，该社区一户收入为15 万元家庭年支
出为（
）
A．11.4 万元B．11.8 万元C．12.0 万元D．12.2 万元
5．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
则z=2x﹣y 的最小值等于（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．
6．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（
）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
7．（5 分）若l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5 分）若a，b 是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2 这三个数可适当排序
后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
9．
（5 分）已知
，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且
，则
的最大值等于（
）
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A．13
B．15
C．19
D．21
10．（5 分）若定义在R 上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定
错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分.
11．（4 分）（x+2）5 的展开式中，x2 的系数等于
．（用数字作答）
12．（4 分）若锐角△ABC 的面积为
，且AB=5，AC=8，则BC 等于
．
13．（4 分）如图，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，
则此点取自阴影部分的概率等于
．
14．（4 分）若函数f（x）=
（a＞0 且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是
．
15．（4 分）一个二元码是由0 和1 组成的数字串
，其中xk（k=1，2，…，n）称为第k 位码
元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0 变为1，或者由1 变为0）
已知某种二元码x1x2…x7 的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定
k 等于
．
三、解答题
16．（13 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，
发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6 个密码之一，小王决定从中不重复
地随机选择1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X 的分布列和数学期望．
17．（13 分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别
是线段BE，DC 的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．
18．（13 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）过点
，且离心率e 为
．
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（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E 于A，B 两点，判断点G
与以线段AB 为直径的圆的位置关系，
并说明理由．
19．（13 分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx 的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵
坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移
个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于x 的方程f（x）+g（x）=m 在[0，2π）内有两个不同的解α，β
（i）求实数m 的取值范围；
（ii）证明：cos（α﹣β）=
﹣1．
20．（7 分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）
（1）证明：当x＞0 时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1 时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；
（3）确定k 的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．
四、选修4-2：矩阵与变换
21．（7 分）已知矩阵A=
，B=
（1）求A 的逆矩阵A
﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
22．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐
标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为
ρsin（θ﹣
）=m，
（m∈R）
（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
六、选修4-5：不等式选讲
23．（7 分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c 的最小值为4．
（1）求a+b+c 的值；
（2）求
a2+
b2+c2 的最小值．
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2015 年福建省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，共50 分）2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工
类）
1．（5 分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i 是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B 等于（
）
A．{﹣1}
B．{1}
C．{1，﹣1} D．∅
【分析】利用虚数单位i 的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案．
【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}，
∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i 的运算性质，是基础题．
2．（5 分）下列函数为奇函数的是（
）
A．y=
B．y=|sinx|
C．y=cosx
D．y=ex﹣e
﹣x
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数．
B．f（﹣x）=|sin（﹣x）|=|sinx|=f（x），则f（x）为偶函数．
C．y=cosx 为偶函数．
D．f（﹣x）=e
﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e
﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．
3．（5 分）若双曲线E：
=1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（
）
A．11
B．9
C．5
D．3
【分析】确定P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．
【解答】解：由题意，双曲线E：
=1 中a=3．
∵|PF1|=3，∴P 在双曲线的左支上，
∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，
∴|PF2|=9．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
4．（5 分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程
，其中
，据此估计，该社区一户收入为15 万元家庭年支
出为（
）
A．11.4 万元B．11.8 万元C．12.0 万元D．12.2 万元
【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15 代入方程求得y 值即可．
【解答】解：由题意可得=
（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，
=
（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，
代入回归方程可得=8﹣0.76×10=0.4，
∴回归方程为=0.76x+0.4，
把x=15 代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．
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5．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
则z=2x﹣y 的最小值等于（
）
A．2
B．﹣2
C．
D．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立
，解得A（﹣1，
）．
∴z=2x﹣y 的最小值为2×（﹣1）﹣
=
．
故选：D．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
6．（5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（
）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S 的值，当i=6 时满足条件i＞5，退出循环，输出S 的值
为0．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
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i=1，S=0
S=cos
，i=2
不满足条件i＞5，S=cos
+cosπ，i=3
不满足条件i＞5，S=cos
+cosπ+cos
，i=4
不满足条件i＞5，S=cos
+cosπ+cos
+cos2π，i=5
不满足条件i＞5，S=cos
+cosπ+cos
+cos2π+cos
=0﹣1+0+1+0=0，i=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S 的值为0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S 的值是解题的关键，属于基础
题．
7．（5 分）若l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可．
【解答】解：l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α，反之，“l∥α”一定有“l
⊥m”，
所以l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查．
8．（5 分）若a，b 是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2 这三个数可适当排序
后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，
也可适当排序后成等比数列列关于a，b 的方程组，求得a，b 后得答案．
【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，
∵p＞0，q＞0，
可得a＞0，b＞0，
又a，b，﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，
可得
①或
②．
解①得：
；解②得：
．
∴p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．
9．
（5 分）已知
，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且
，则
的最大值等于（
）
A．13
B．15
C．19
D．21
【分析】建系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化
=﹣4（
﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4•
+t），由基
本不等式可得．
【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（
，0），C（0，t），
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∵
，∴P（1，4），
∴
=（
﹣1，﹣4），
=（﹣1，t﹣4），
∴
=﹣4（
﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+
），
由基本不等式可得
+4t≥2
=4，
∴17﹣（4t+
）≤17﹣4=13，
当且仅当4t=
即t=
时取等号，
∴
的最大值为13，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．
10．（5 分）若定义在R 上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定
错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据导数的概念得出
＞k＞1，用x=
代入可判断出f（
）＞
，即可判断答案．
【解答】解；∵f′（0）=
f′（x）＞k＞1，
∴
＞k＞1，
即
＞k＞1，
当x=
时，f（
）+1＞
×k=
，
即f（
）
﹣1=
故f（
）＞
，
所以f（
）＜
，一定出错，
另解：设g（x）=f（x）﹣kx+1，
g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣k＞0，
g（x）在R 上递增，
k＞1，对选项一一判断，可得C 错．
故选：C．
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【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共20 分.
11．（4 分）（x+2）5 的展开式中，x2 的系数等于
80
．（用数字作答）
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的x2 项的系数．
【解答】解：（x+2）5 的展开式的通项公式为Tr+1=
•x5﹣r•2r，
令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2 项的系数为
=80，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，
属于基础题．
12．（4 分）若锐角△ABC 的面积为
，且AB=5，AC=8，则BC 等于
7
．
【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．
【解答】解：因为锐角△ABC 的面积为
，且AB=5，AC=8，
所以
，
所以sinA=
，
所以A=60°，
所以cosA=
，
所以BC=
=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础．
13．（4 分）如图，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，
则此点取自阴影部分的概率等于
．
【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答．
【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4，
阴影部分的面积为
=（4x﹣
）|
=
，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于
；
故答案为：
．
【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公
式解答．
14．（4 分）若函数f（x）=
（a＞0 且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是
（1，
2]
．
【分析】当x≤2 时，检验满足f（x）≥4．当x＞2 时，分类讨论a 的范围，依据函数的单调性，求得a 的范围，
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综合可得结论．
【解答】解：由于函数f（x）=
（a＞0 且a≠1）的值域是[4，+∞），
故当x≤2 时，满足f（x）=6﹣x≥4．
①若a＞1，f（x）=3+logax 在它的定义域上单调递增，
当x＞2 时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．
②若0＜a＜1，f（x）=3+logax 在它的定义域上单调递减，
f（x）=3+logax＜3+loga2＜3，不满足f（x）的值域是[4，+∞）．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．
15．（4 分）一个二元码是由0 和1 组成的数字串
，其中xk（k=1，2，…，n）称为第k 位码
元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0 变为1，或者由1 变为0）
已知某种二元码x1x2…x7 的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定
k 等于
5
．
【分析】根据二元码x1x2…x7 的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则，将k 的值从1 至7 逐个验证即可．
【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，
①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；
②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；
③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；
④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；
⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，
从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，
故k=5 符合题意；
⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；
⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，
从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；
综上，k 等于5．
故答案为：5．
【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的
绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了．
三、解答题
16．（13 分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，
发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6 个密码之一，小王决定从中不重复
地随机选择1 个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X 的分布列和数学期望．
【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）随机变量X 的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
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则P（A）=
．
（2）有可能的取值是1，2，3
又则P（X=1）=
，
P（X=2）=
=
，
P（X=3）=
=
，
所以X 的分布列为：
X
1
2
3
P
EX=1×
+2×
+3×
=
．
【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，
考查必然与或然思想．
17．（13 分）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F 分别
是线段BE，DC 的中点．
（1）求证：GF∥平面ADE；
（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．
【分析】解法一：（1）取AE 的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF∥DH，由线
面平行的判定定理可得；
（2）以B 为原点，分别以
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC
和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得．
解法二：（1）如图，取AB 中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE 来证明GF∥平面ADE；（2）同
解法一．
【解答】解法一：（1）如图，取AE 的中点H，连接HG，HD，
∵G 是BE 的中点，∴GH∥AB，且GH=
AB，
又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形，
∴DF∥AB，且DF=
AB，即GH∥DF，且GH=DF，
∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF∥DH，
又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．
（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ∥CE，
∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，
又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，
以B 为原点，分别以
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）
∵AB⊥平面BEC，∴
为平面BEC 的法向量，
设=（x，y，z）为平面AEF 的法向量．又
=（2，0，﹣2），
=（2，2，﹣1）
由垂直关系可得
，取z=2 可得
．
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∴cos＜，
＞=
=
∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为
．
解法二：（1）如图，取AB 中点M，连接MG，MF，
又G 是BE 的中点，可知GM∥AE，且GM=
AE
又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，
∴GM∥平面ADE．
在矩形ABCD 中，由M，F 分别是AB，CD 的中点可得MF∥AD．
又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．
又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF
∴平面GMF∥平面ADE，
∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE
（2）同解法一．
【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问
题的关键，属难题．
18．（13 分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）过点
，且离心率e 为
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E 于A，B 两点，判断点G
与以线段AB 为直径的圆的位置关系，
并说明理由．
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【分析】解法一：（1）由已知得
，解得即可得出椭圆E 的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB 中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
利
用
根
与
系
数
的
关
系
中
点
坐
标
公
式
可
得
：
y0=
．|GH|2=
．
=
，作差|GH|2﹣
即可判断出．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则
=
，
=
．直线方程与椭圆方程联立化为
（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算
=
即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．
【解答】解法一：（1）由已知得
，解得
，
∴椭圆E 的方程为
．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB 中点为H（x0，y0）．
由
，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
∴y1+y2=
，y1y2=
，∴y0=
．
G
，
∴|GH|2=
=
+
=
+
+
．
=
=
=
，
故|GH|2﹣
=
+
=
﹣
+
=
＞0．
∴
，故G 在以AB 为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则
=
，
=
．
由
，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
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∴y1+y2=
，y1y2=
，
从而
=
=
+y1y2
=
+
=
﹣
+
=
＞0．
∴
＞0，又
，
不共线，
∴∠AGB 为锐角．
故点G
在以AB 为直径的圆外．
【点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，
考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
19．（13 分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx 的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵
坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移
个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于x 的方程f（x）+g（x）=m 在[0，2π）内有两个不同的解α，β
（i）求实数m 的取值范围；
（ii）证明：cos（α﹣β）=
﹣1．
【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程．
（2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=
sin（x+φ）（其中sinφ=
，cosφ=
），
从而可求|
|＜1，即可得解．
（ii）由题意可得sin（α+φ）=
，sin（β+φ）=
．当1≤m＜
时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣
＜m＜0
时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos（α﹣β）=2sin2（β+φ）﹣1，从而得证．
【解答】解：（1）将g（x）=cosx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变）得到y=2cosx 的图象，
再将y=2cosx 的图象向右平移
个单位长度后得到y=2cos（x﹣
）的图象，故f（x）=2sinx，
从而函数f（x）=2sinx 图象的对称轴方程为x=k
（k∈Z）．
（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=
（
）=
sin（x+φ）（其中sinφ=
，cosφ=
）
依题意，sin（x+φ）=
在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当|
|＜1，故m 的取值范围是（﹣
，
）．
（ii）因为α，β是方程
sin（x+φ）=m 在区间[0，2π）内的两个不同的解，
所以sin（α+φ）=
，sin（β+φ）=
．
当1≤m＜
时，α+β=2（
﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；
当﹣
＜m＜1 时，α+β=2（
﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；
所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（
）2﹣1=
．
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【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、
推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想．
20．（7 分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）
（1）证明：当x＞0 时，f（x）＜x；
（2）证明：当k＜1 时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；
（3）确定k 的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2．
【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，求导得到F′（x）≤0，说明F（x）在[0，+∞）上单调递
减，则x＞0 时，f（x）＜x；
（2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0 时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+
∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1 时，由G′（x）=0，求得
．取
，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）
=0，即f（x）＞g（x）；
（3）分k＞1、k＜1 和k=1 把不等式|f（x）﹣g（x）|＜x2 的左边去绝对值，当k＞1 时，利用导数求得|f（x）﹣g
（x）|＞x2，满足题意的t 不存在．
当k＜1 时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，
x∈[0，+∞），求导数分析满足题意的t 不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）
﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在[0，+∞）
上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0 时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，此时，满足t＞0 的实数t 存在．
【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，
则有F′（x）=
﹣1=﹣
，
∵x≥0，
∴F′（x）≤0，
∴F（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时，有F（x）＜F（0）=0，
∴x＞0 时，f（x）＜x；
（2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），
则有G′（x）=
﹣k=
，
当k≤0 时，G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴G（x）＞G（0）=0，
故对任意正实数x0 均满足题意．
当0＜k＜1 时，令G′（x）=0，得
．
取
，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f
（x）＞g（x）．
综上，当k＜1 时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；
（3）解：当k＞1 时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），
|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），
令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有
，
故当
时，M′（x）＞0，M（x）在[0，
）上单调递增，
故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t 不存在．
当k＜1 时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．
此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，
令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有
，
故当
时，N′（x）＞0，N（x）在[0，
）上单
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调递增，故N（x）＞N（0）=0，
即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0 与
中较小的为x1，
则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t 不存在．
当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），
令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有
，
当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，
故当x＞0 时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0 的实数t 存在．
综上，k=1．
【点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方
程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题．
四、选修4-2：矩阵与变换
21．（7 分）已知矩阵A=
，B=
（1）求A 的逆矩阵A
﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A 的逆矩阵A
﹣1；
（2）由AC=B 得（A
﹣1A）C=A
﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．
【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，
所以
；
（2）由AC=B 得（A
﹣1A）C=A
﹣1B，
故
．
【点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
22．（7 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐
标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为
ρsin（θ﹣
）=m，
（m∈R）
（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．
（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．
【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，
由
ρsin（θ﹣
）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，
所以直线l 的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．
（2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0 的距离等于2，即
，解得m=﹣3±2
．
【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转
化思想．
六、选修4-5：不等式选讲
23．（7 分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c 的最小值为4．
（1）求a+b+c 的值；
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（2）求
a2+
b2+c2 的最小值．
【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．
【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当﹣a≤x≤b 时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=4；
（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，
（
a2+
b2+c2）（4+9+1）≥（
•2+
•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，
即
a2+
b2+c2≥
当且仅当
=
=
，即a=
，b=
，c=
时，等号成立．
所以
a2+
b2+c2 的最小值为
．
【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．
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2015 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5 分，共40 分）
1．（5 分）复数i（2﹣i）=（
）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i
D．﹣1﹣2i
2．（5 分）若x，y 满足
，则z=x+2y 的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．2
3．（5 分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（
）
A．（﹣2，2）
B．（﹣4，0）
C．（﹣4，﹣4）
D．（0，﹣8）
4．（5 分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（
）
A．2+
B．4+
C．2+2
D．5
6．（5 分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（
）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
7．（5 分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（
）
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A．{x|﹣1＜x≤0}
B．{x|﹣1≤x≤1}
C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}
8．（5 分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下
燃油效率情况，下列叙述中正确的是（
）
A．消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
9．（5 分）在（2+x）5 的展开式中，x3 的系数为
（用数字作答）
10．（5 分）已知双曲线
﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为
x+y=0，则a=
．
11．（5 分）在极坐标系中，点（2，
）到直线ρ（cosθ+
sinθ）=6 的距离为
．
12．（5 分）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则
=
．
13．（5 分）在△ABC 中，点M，N 满足
=2
，
=
，若
=x
+y
，则x=
，y=
．
14．（5 分）设函数f（x）=
，
①若a=1，则f（x）的最小值为
；
②若f（x）恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是
．
三、解答题（共6 小题，共80 分）
15．（13 分）已知函数f（x）=
sin
cos
﹣
sin
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
16．（13 分）A，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B 两组随机各选1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14 天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
17．（14 分）如图，在四棱锥A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，
∠EBC=∠FCB=60°，O 为EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
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（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B 的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a 的值．
18．（13 分）已知函数f（x）=ln
，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞
；
（Ⅲ）设实数k 使得f（x）
对x∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．
19．（14 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭
圆C 上，直线PA 交x 轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N，问：y 轴上是否存在点Q，使得∠OQM=
∠ONQ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
20．（13 分）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=
（n=1，2，…），记集合M={an|n∈
N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）如集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3 的倍数；
（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
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2015 年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5 分，共40 分）
1．（5 分）复数i（2﹣i）=（
）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i
D．﹣1﹣2i
【分析】利用复数的运算法则解答．
【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．
2．（5 分）若x，y 满足
，则z=x+2y 的最大值为（
）
A．0
B．1
C．
D．2
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y 对应的直线进行平移，即可求出z 取得最大值．
【解答】解：作出不等式组
表示的平面区域，
当l 经过点B 时，目标函数z 达到最大值
∴z 最大值=0+2×1=2．
故选：D．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区
域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
3．（5 分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（
）
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A．（﹣2，2）
B．（﹣4，0）
C．（﹣4，﹣4）
D．（0，﹣8）
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
x=1，y=1，
k=0 时，s=x﹣y=0，t=x+y=2；
x=s=0，y=t=2，
k=1 时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2；
x=s=﹣2，y=t=2，
k=2 时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0；
x=s=﹣4，y=t=0，
k=3 时，循环终止，
输出（x，y）是（﹣4，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．
4．（5 分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（
）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，
显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必
要条件，及必要不充分条件的概念．
5．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（
）
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A．2+
B．4+
C．2+2
D．5
【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E 为BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，
AC=
，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
【解答】解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC=AB，E 为BC 中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=
，OE=
∴S△ABC=
2×2=2，S△OAC=S△OAB=
×1=
．
S△BCO=
2×
=
．
故该三棱锥的表面积是2
，
故选：C．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性
质．
6．（5 分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（
）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0 时，结论成立，即A 不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0 时，结论成立，即B 不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2
，∴a2＞
，即C 正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D 不正确．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5 分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（
）
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A．{x|﹣1＜x≤0}
B．{x|﹣1≤x≤1}
C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}
【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．
【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图
满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x 范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选：C．
【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．
8．（5 分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下
燃油效率情况，下列叙述中正确的是（
）
A．消耗1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．某城市机动车最高限速80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
D．甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油
【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确．
【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h 时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h 时，消耗1 升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A 错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；
对于C，由图象可知当速度小于80km/h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故C 正确；
对于D，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km 时，耗油1 升，故行驶1 小时，路程为80km，燃油为8 升，故D 错误．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的意义，属于中档题．
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
9．（5 分）在（2+x）5 的展开式中，x3 的系数为
40
（用数字作答）
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【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x 的指数为3，求出r，然后求解所求数值．
【解答】解：（2+x）5 的展开式的通项公式为：Tr+1=
25﹣rxr，
所求x3 的系数为：
=40．
故答案为：40．
【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
10．（5 分）已知双曲线
﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为
x+y=0，则a=
．
【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±
，结合条件可得
=
，即可得到a 的值．
【解答】解：双曲线
﹣y2=1 的渐近线方程为y=±
，
由题意可得
=
，
解得a=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
11．（5 分）在极坐标系中，点（2，
）到直线ρ（cosθ+
sinθ）=6 的距离为
1
．
【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
【解答】解：点P（2，
）化为P
．
直线ρ（cosθ+
sinθ）=6 化为
．
∴点P 到直线的距离d=
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5 分）在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则
=
1
．
【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC 中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC=
=
，cosA=
=
∴sinC=
，sinA=
，
∴
=
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5 分）在△ABC 中，点M，N 满足
=2
，
=
，若
=x
+y
，则x=
，y=
﹣
．
【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量
表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y 值．
【解答】解：由已知得到
=
=
=
；
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由平面向量基本定理，得到x=
，y=
；
故答案为：
．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等
式成立．
14．（5 分）设函数f（x）=
，
①若a=1，则f（x）的最小值为
﹣1
；
②若f（x）恰有2 个零点，则实数a 的取值范围是
≤a＜1 或a≥2
．
【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．
【解答】解：①当a=1 时，f（x）=
，
当x＜1 时，f（x）=2x﹣1 为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1 时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣
）2﹣1，
当1＜x＜
时，函数单调递减，当x＞
时，函数单调递增，
故当x=
时，f（x）min=f（
）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1 时，h（x）=与x 轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1 时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以
≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a 在x＜1 时，与x 轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0 时，h（x）与x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤0 时，即a≥2 时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a 的取值范围是
≤a＜1，或a≥2．
【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属
于中档题．
三、解答题（共6 小题，共80 分）
15．（13 分）已知函数f（x）=
sin
cos
﹣
sin
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x 的范围，可得x+
的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=
sin
cos
﹣
sin
=
sinx﹣
（1﹣cosx）
=sinxcos
+cosxsin
﹣
=sin（x+
）﹣
，
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则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣
≤x+
≤
，
即有﹣1
，
则当x=﹣
时，sin（x+
）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣
．
【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．
16．（13 分）A，B 两组各有7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B 两组随机各选1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14 天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【分析】设事件Ai 为“甲是A 组的第i 个人”，事件Bi 为“乙是B 组的第i 个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=
，i=1，
2，••，7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A 组的第5 或第6 或第7 个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
易得P（C）=10P（A4B1），易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．
【解答】解：设事件Ai 为“甲是A 组的第i 个人”，事件Bi 为“乙是B 组的第i 个人”，
由题意可知P（Ai）=P（Bi）=
，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14 天”等价于“甲是A 组的第5 或第6 或第7 个人”
∴甲的康复时间不少于14 天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=
；
（Ⅱ）设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）
=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=
（Ⅲ）当a 为11 或18 时，A，B 两组病人康复时间的方差相等．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．
17．（14 分）如图，在四棱锥A﹣EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，
∠EBC=∠FCB=60°，O 为EF 的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B 的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a 的值．
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【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B 的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a 的值
【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF 为等边三角形，O 为EF 的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取BC 的中点G，连接OG，
∵EFCB 是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=
，
则E（a，0，0），A（0，0，
a），B（2，
，0），
=（﹣a，0，
a），
=（a﹣2，﹣
，0），
设平面AEB 的法向量为=（x，y，z），
则
，即
，
令z=1，则x=
，y=﹣1，
即=（
，﹣1，1），
平面AEF 的法向量为
，
则cos＜
＞=
=
即二面角F﹣AE﹣B 的余弦值为
；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE⊥OC，
即
=0，
∵
=（a﹣2，﹣
，0），
=（﹣2，
，0），
∴
=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，
解得a=
．
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【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用
方法．
18．（13 分）已知函数f（x）=ln
，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞
；
（Ⅲ）设实数k 使得f（x）
对x∈（0，1）恒成立，求k 的最大值．
【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围．
【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+
），则
g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=
，
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+
）．
（3）由（2）知，当k≤2 时，f（x）＞
对x∈（0，1）恒成立．
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当k＞2 时，令h（x）=f（x）﹣
，则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=
，
所以当
时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，
）上单调递减．
当
时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜
．
所以当k＞2 时，f（x）＞
并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k 的最大值为2．
【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．
19．（14 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭
圆C 上，直线PA 交x 轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N，问：y 轴上是否存在点Q，使得∠OQM=
∠ONQ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出
求解即可．
（II）求解得出M（
，0），N（
，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，
=
，求解即可得出即yQ2=xM•xN，
+n2，根据m，m 的关系整体求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得出
解得：a=
，b=1，c=1
∴
+y2=1，
∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1
∴PA 的方程为：y﹣1=
x，y=0 时，xM=
∴M（
，0）
（II）∵点B 与点A 关于x 轴对称，点A（m，n）（m≠0）
∴点B（m，﹣n）（m≠0）
∵直线PB 交x 轴于点N，
∴N（
，0），
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∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ），
∴tan∠OQM=tan∠ONQ，
∴
=
，即yQ2=xM•xN，
+n2=1
yQ2=
=2，
∴yQ=
，
故y 轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，
）或Q（0，﹣
）
【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难
度较大，属于难题．
20．（13 分）已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an+1=
（n=1，2，…），记集合M={an|n∈
N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M 的所有元素；
（Ⅱ）如集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3 的倍数；
（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．
【分析】（Ⅰ）a1=6，利用an+1=
可求得集合M 的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak 是3 的倍数，由an+1=
（n=1，2，…），
可归纳证明对任意n≥k，an 是3 的倍数；
（Ⅲ）分a1 是3 的倍数与a1 不是3 的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）若a1=6，由于an+1=
（n=1，2，…），M={an|n∈N*}．
故集合M 的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak 是3 的倍数，由an+1=
（n=1，2，…），
可归纳证明对任意n≥k，an 是3 的倍数．
如果k=1，M 的所有元素都是3 的倍数；
如果k＞1，因为ak=2ak﹣1，或ak=2ak﹣1﹣36，所以2ak﹣1 是3 的倍数；于是ak﹣1 是3 的倍数；
类似可得，ak﹣2，…，a1 都是3 的倍数；
从而对任意n≥1，an 是3 的倍数；
综上，若集合M 存在一个元素是3 的倍数，则集合M 的所有元素都是3 的倍数
（Ⅲ）对a1≤36，an=
（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an＜36（n=2，3，…）
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因为a1 是正整数，a2=
，所以a2 是2 的倍数．
从而当n≥2 时，an 是2 的倍数．
如果a1 是3 的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an 是3 的倍数．
因此当n≥3 时，an∈{12，24，36}，这时M 的元素个数不超过5．
如果a1 不是3 的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an 不是3 的倍数．
因此当n≥3 时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M 的元素个数不超过8．
当a1=1 时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8 个元素．
综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．
【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．
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2015 年安徽省高考数学试卷（理科）
一.选择题（每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5 分）设i 是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．y=cosx
B．y=sinx
C．y=lnx D．y=x2+1
3．（5 分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p 是q 成立的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（
）
A．x2﹣
=1
B．
﹣y2=1
C．
﹣x2=1D．y2﹣
=1
5．（5 分）已知m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（
）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面
6．（5 分）若样本数据x1，x2，…，x10 的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1 的标准差为（
）
A．8
B．15
C．16
D．32
7．（5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（
）
A．1+
B．2+
C．1+2
D．2
8．（5 分）△ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量，满足
=2 ，
=2 + ，则下列结论正确的是（
）
A．| |=1
B．⊥
C．• =1
D．（4 + ）⊥
9．（5 分）函数f（x）=
的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
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10．（5 分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=
时，函数f（x）
取得最小值，则下列结论正确的是（
）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）
B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）
D．f（2）＜f（0）
＜f（﹣2）
二.填空题（每小题5 分，共25 分）
11．（5 分）（x3+
）7 的展开式中的x5 的系数是
（用数字填写答案）
12．（5 分）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=
（ρ∈R）距离的最大值是
．
13．（5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为
14．（5 分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n 项和等于
．
15．（5 分）设x3+ax+b=0，其中a，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是
（写出所
有正确条件的编号）
①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．
三.解答题（共6 小题，75 分）
16．（12 分）在△ABC 中，∠A=
，AB=6，AC=3
，点D 在BC 边上，AD=BD，求AD 的长．
17．（12 分）已知2 件次品和3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，
直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100 元，设X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时所需要的检测费
用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）
18．（12 分）设n∈N*，xn 是曲线y=x2n+2+1 在点（1，2）处的切线与x 轴交点的横坐标．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n﹣12，证明：Tn≥
．
19．（13 分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA 中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E 为B1D1 的中点，
过A1，D，E 的平面交CD1 于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1 的余弦值．
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20．（13 分）设椭圆E 的方程为
+
=1（a＞b＞0），点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B 的坐标为
（0，b），点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为
（Ⅰ）求E 的离心率e；
（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，﹣b），N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为
，求E 的方程．
21．（13 分）设函数f（x）=x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣
，
）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣
，
]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣
满足条件D≤1 时的最大值．
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2015 年安徽省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题5 分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（5 分）设i 是虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：
=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．y=cosx
B．y=sinx
C．y=lnx D．y=x2+1
【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．
【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；
对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；
对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；
对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇
非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与
函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．
3．（5 分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p 是q 成立的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．
【解答】解：由1＜x＜2 可得2＜2x＜4，则由p 推得q 成立，
若2x＞1 可得x＞0，推不出1＜x＜2．
由充分必要条件的定义可得p 是q 成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．
4．（5 分）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（
）
A．x2﹣
=1
B．
﹣y2=1
C．
﹣x2=1D．y2﹣
=1
【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．
【解答】解：由A 可得焦点在x 轴上，不符合条件；
由B 可得焦点在x 轴上，不符合条件；
由C 可得焦点在y 轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；
由D 可得焦点在y 轴上，渐近线方程为y=
x，不符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．
5．（5 分）已知m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（
）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面
【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．
【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A 错误；
对于B，若m，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误；
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对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；
对于D，若m，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；
故D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．
6．（5 分）若样本数据x1，x2，…，x10 的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1 的标准差为（
）
A．8
B．15
C．16
D．32
【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．
【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10 的标准差为8，
∴
=8，即DX=64，
数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1 的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，
则对应的标准差为
=
=16，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．
7．（5 分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（
）
A．1+
B．2+
C．1+2
D．2
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数
据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；
∴该几何体的表面积为
S 表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC
=
×2×1+2×
×
+
×2×1
=2+
．
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
8．（5 分）△ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量，满足
=2 ，
=2 + ，则下列结论正确的是（
）
A．| |=1
B．⊥
C．• =1
D．（4 + ）⊥
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【分析】由题意，知道
，
，根据已知三角形为等边三角形解之．
【解答】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，，满足
=2 ，
=2 + ，又
，∴的方向应该
为
的方向．
所以
，
，
所以
=2，
=1×2×cos120°=﹣1，
4
=4×1×2×cos120°=﹣4，
=4，所以
=0，即（4
）
=0，即
=0，所以
；
故选：D．
【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．
9．（5 分）函数f（x）=
的图象如图所示，则下列结论成立的是（
）
A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．
【解答】解：函数在P 处无意义，由图象看P 在y 轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0，
f（0）=
，∴b＞0，
由f（x）=0 得ax+b=0，即x=﹣
，
即函数的零点x=﹣
＞0，
∴a＜0，
综上a＜0，b＞0，c＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决
本题的关键．
10．（5 分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=
时，函数f（x）
取得最小值，则下列结论正确的是（
）
A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）
B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）
C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）
D．f（2）＜f（0）
＜f（﹣2）
【分析】依题意可求ω=2，又当x=
时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+
），
利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，
∴ω=
=2．
又∵当x=
时，函数f（x）取得最小值，
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∴2×
+φ=2kπ+
，k∈Z，可解得：φ=2kπ+
，k∈Z，
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+
）=Asin（2x+
）．
∴f（﹣2）=Asin（﹣4+
）=Asin（
﹣4+2π）＞0．
f（2）=Asin（4+
）＜0，
f（0）=Asin
=Asin
＞0，
又∵
＞
﹣4+2π＞
＞
，而f（x）=Asinx 在区间（
，
）是单调递减的，
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单
调区间是比较大小的关键，属于中档题．
二.填空题（每小题5 分，共25 分）
11．（5 分）（x3+
）7 的展开式中的x5 的系数是
35
（用数字填写答案）
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1 项，整理成最简形式，令x 的指数为5 求得r，
再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1=
=
；
要求展开式中含x5 的项的系数，
∴21﹣4r=5，
∴r=4，可得：
=35．
故答案为：35．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二
项展开式的特定项问题的工具．
12．（5 分）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=
（ρ∈R）距离的最大值是
6
．
【分析】圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，把
代入可得直角坐标方程，直线θ=
（ρ∈R）化为y=
x．利
用点到直线的距离公式可得圆心C（0，4）到直线的距离d，可得圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=
（ρ∈R）距离的最大
值=d+r．
【解答】解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．
直线θ=
（ρ∈R）化为y=
x．
∴圆心C（0，4）到直线的距离d=
=2，
∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=
（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（5 分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为
4
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【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n 的值，当a=
时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，
退出循环，输出n 的值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
a=1，n=1
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=
，n=2
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=
，n=3
满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=
，n=4
不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n 的值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．
14．（5 分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n 项和等于
2n﹣1
．
【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{an}的前n 项和．
【解答】解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，
可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，
∴8=1×q3，q=2，
数列{an}的前n 项和为：
=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】本题考查等比数列的性质，数列{an}的前n 项和求法，基本知识的考查．
15．（5 分）设x3+ax+b=0，其中a，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是
①③④⑤
（写
出所有正确条件的编号）
①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．
【分析】对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值．
【解答】解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，
①a=﹣3，b=﹣3 时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1 时f（1）=﹣5，f（﹣1）=﹣1；
并且x＞1 或者x＜﹣1 时f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，
所以函数图象与x 轴只有一个交点，故x3+ax+b=0 仅有一个实根；如图
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②a=﹣3，b=2 时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1 时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图
③a=﹣3，b＞2 时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0 只有一
个根；
④a=0，b=2 时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0 恒成立，故原函数在R 上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0 只有
一个根；
⑤a=1，b=2 时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0 恒成立，故原函数在R 上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0
只有一个根；
综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．
三.解答题（共6 小题，75 分）
16．（12 分）在△ABC 中，∠A=
，AB=6，AC=3
，点D 在BC 边上，AD=BD，求AD 的长．
【分析】由已知及余弦定理可解得BC 的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D 作AB 的垂线DE，垂
足为E，由AD=BD 得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD 的长．
【解答】解：∵∠A=
，AB=6，AC=3
，
∴在△ABC 中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．
∴BC=3
…4 分
∵在△ABC 中，由正弦定理可得：
，
∴sinB=
，
∴cosB=
…8 分
∵过点D 作AB 的垂线DE，垂足为E，由AD=BD 得：cos∠DAE=cosB，
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∴Rt△ADE 中，AD=
=
=
…12 分
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．
17．（12 分）已知2 件次品和3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，
直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结束．
（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100 元，设X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时所需要的检测费
用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）
【分析】（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可．
（Ⅱ）X 的可能取值为：200，300，400．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
【解答】解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P（A）=
=
．
（Ⅱ）X 的可能取值为：200，300，400
P（X=200）=
=
．
P（X=300）=
=
．
P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=
．
X 的分布列为：
X
200
300
400
P
EX=200×
+300×
+400×
=350．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．
18．（12 分）设n∈N*，xn 是曲线y=x2n+2+1 在点（1，2）处的切线与x 轴交点的横坐标．
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）记Tn=x12x32…x2n﹣12，证明：Tn≥
．
【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；
（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．
【解答】解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1 在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，
从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）
令y=0，解得切线与x 轴的交点的横坐标为
，
（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：
Tn=x12x32…x2n﹣12=
，
当n=1 时，
，
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当n≥2 时，因为x2n﹣12=
=
＞
=
=
，
所以Tn
；
综上所述，可得对任意的n∈N+，均有
．
【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．
19．（13 分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA 中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E 为B1D1 的中点，
过A1，D，E 的平面交CD1 于F．
（Ⅰ）证明：EF∥B1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1 的余弦值．
【分析】（Ⅰ）通过四边形A1B1CD 为平行四边形，可得B1C∥A1D，利用线面平行的判定定理即得结论；
（Ⅱ）以A 为坐标原点，以AB、AD、AA1 所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设边长为2，
则所求值即为平面A1B1CD 的一个法向量与平面A1EFD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D 且A1B1=CD，
∴四边形A1B1CD 为平行四边形，
∴B1C∥A1D，
又∵B1C⊄平面A1EFD，
∴B1C∥平面A1EFD，
又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，
∴EF∥B1C；
（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，以AB、AD、AA1 所在直线分别为x、y、z 轴建立空间直角坐标系A﹣xyz 如图，设边
长为2，
∵AD1⊥平面A1B1CD，∴
=（0，2，2）为平面A1B1CD 的一个法向量，
设平面A1EFD 的一个法向量为=（x，y，z），
又∵
=（0，2，﹣2），
=（1，1，0），
∴
，
，
取y=1，得=（﹣1，1，1），
∴cos＜，
＞=
=
，
∴二面角E﹣A1D﹣B1 的余弦值为
．
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【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．（13 分）设椭圆E 的方程为
+
=1（a＞b＞0），点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B 的坐标为
（0，b），点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为
（Ⅰ）求E 的离心率e；
（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，﹣b），N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为
，求E 的方程．
【分析】（I）由于点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，即
，可得
．利用
，可
得
．
（II）由（I）可得直线AB 的方程为：
=1，利用中点坐标公式可得N．设点N 关于直线AB 的对称点为
S
，线段NS 的中点T，又AB 垂直平分线段NS，可得b，解得即可．
【解答】解：（I）∵点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，∴
，
∵A（a，0），B（0，b），∴
=
．
∵
，∴
，a=
b．
∴
=
．
（II）由（I）可得直线AB 的方程为：
=1，N
．
设点N 关于直线AB 的对称点为S
，线段NS 的中点T
，
又AB 垂直平分线段NS，∴
，解得b=3，
∴a=3
．
∴椭圆E 的方程为：
．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间
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的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（13 分）设函数f（x）=x2﹣ax+b．
（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣
，
）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣
，
]上的最大值D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣
满足条件D≤1 时的最大值．
【分析】（Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；
（Ⅱ）结合不等式的性质求得最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）结合不等式的性质求得z=b﹣
的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣
，
）递增，
即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，
①当a≥2 时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；
当a≤﹣2 时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．
即有a≥2 或a≤﹣2 时，不存在极值．
②当﹣2＜a＜2 时，﹣1＜t＜
，f′（t）＜0，f（sinx）递减；
＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．
f（sinx）有极小值f（
）=b﹣
；
（Ⅱ）﹣
≤x≤
时，|f（sinx）﹣f0（sinx）|=|（a﹣a0）sinx+b﹣b0|≤|a﹣a0|+|b﹣b0|
当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0 时，取x=
，等号成立；
当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0 时，取x=﹣
，等号成立．
由此可知，|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣
，
]上的最大值为D=|a﹣a0|+|b﹣b0|．
（Ⅲ）D≤1 即为|a|+|b|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z=b﹣
≤1
取a=0，b=1，则|a|+|b|≤1，并且z=b﹣
=1．
由此可知，z=b﹣
满足条件D≤1 的最大值为1．
【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形
结合的思想，属于难题．
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