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2023-2024 学年上学期期末模拟考试 02
高一数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册 全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知全集 ， ， ，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图确定阴影部分表示的集合为 ，根据集合的补集以及交集运算，即可求得
答案.
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为 ，
而 或 ，故 ，
故选：A
2．已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的正半轴，若角 终边有一点 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据正弦定义即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，
故选：B.
3．若 ， ：关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 是 成立的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到 或 ，进而判断出答案.
【详解】由 ，解得 或 ，
由于 或 ，但 或 ，
故 是 成立的充分不必要条件.
故选：C.
4．三个数 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由 ，即可得到结果.
【详解】由三个数 ，
可知其大小关系为 .
故选：A
5．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇
子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中 ， ，则扇面（曲边四边形
ABDC）的面积是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB、COD的面积即可得解.
【详解】由题意可得，扇形AOB的面积是 ，
扇形COD的面积是 ．
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是 ．
故选：C
6．已知 ，且满足 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
【答案】B
【分析】由基本不等式得到 ，求出答案.
【详解】 ，故 ，
即 ，可得 ，
当且仅当 取得等号，则 的最小值为4.
故选：B.
7．函数 的图像大致为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性与函数值的正负确定选项.
【详解】设 ，则 ，
故 为奇函数，A，D符合，排除B，C.
又 ，所以当 时， 恒成立，故A满足，D排除.
故选：A
8．已知函数 是定义在R上的偶函数，且图像关于点 中心对称．设 ，
若 ， （ ）
A．4048 B．－4048 C．2024 D．－2024
【答案】D
【分析】求出函数 的周期，然后对所求式分奇偶讨论分别进行计算即可.
【详解】由已知 ， ，
所以 ，
所以函数 的周期为 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，则 ，
所以 ， ，
，
，
学科网（北京）股份有限公司所以
.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ACD
【详解】选项A：由 ，可得 .判断正确；
选项B：令 ，
满足 ，但是
则 不成立.判断错误；
选项C：由 ，可得 ，
则不等式两边均除以 可得 .判断正确；
选项D：
又 ，则 ，
则 ，则 .判断正确.
故选：ACD
10．已知 ， ，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】构造关于 的方程求得 的值判断选项A；利用同角三角函数关系求得 的值
学科网（北京）股份有限公司判断选项B；分别求得 ， 的值判断选项CD.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，
解之得 ，或
又 ，则 ，故选项A判断正确；
则 ， ，故选项B判断正确；
，故选项C判断错误；
，故选项D判断正确.
故选：ABD
11．已知函数 ， ，下列成立的是（ ）
A．若 是偶函数，则
B． 的值域为
C． 在 上单调递减
D．当 时，方程 有一个实数根
【答案】ACD
【分析】对于A选项，由偶函数定义可得答案.
对于B选项，因 ，则 .
对于C选项，由复合函数单调性可得答案.
对于D选项，结合 单调性可画出 大致图像，方程 根的个数即是 与
图像交点个数.
【详解】对于A选项，由于 是偶函数，则 即可得 ，故A
正确.
对于B选项，注意到 ，又 在R上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司则 值域为 ，故B错误.
对于C选项，由B选项可知， 在 上单调递减，又 在R上单调递增，
由复合函数单调性“同增异减”可知， 在 上单调递减，故C正确.
对于D选项，由选项B，C可知， 在 上单调递增， 在 上单调递减，据
此可画出 大致图像如下，由图可知 图像最高点所对应的纵坐标为 .则当 时，
与 图像交点个数为2，即方程 都有两个实数根，故D错误.
故选：CD
12．函数 的部分图像如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．若把 的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到的函数在 上增函数
C．若把函数 的图像向左平移 个单位，则所得函数是奇函数
D． ，若 恒成立，则 的最小值为 .
【答案】ACD
学科网（北京）股份有限公司【分析】对A，由函数图像即可算出函数的周期 ，由 ,即可求出 ，再代入一个最高点即
可求出函数的解析式；对B、C，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数
的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对D，通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识
即可求得 的最小值.
【详解】对A，由题意知 ， ， ， ，
即 ， （ ）， （ ），
又 ， ， ，所以A正确 ；
对B，把 的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，
得到的函数 ， ， ，
在 上不单调递增，故B错误；
对C，把 的图像向左平移 个单位，
则所得函数为 ，是奇函数，故C正确；
对D，对 ， 恒成立，即 ， 恒成立，
令 ， ，则 ， ，
， ， ，
的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
学科网（北京）股份有限公司【答案】11
【分析】根据指对运算公式求解.
【详解】
故答案为：11
14．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级 计
算公式为 ，其中 是地震仪接收到的 级地震的地震波的最大振幅（单位：
米）， （单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 倍．
【答案】10000
【分析】由题可得 ，进而可得 ， ，即得.
【详解】∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，即8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的10000倍.
故答案为：10000
15．已知 ， ，则 ．
【答案】
【分析】先根据二倍角公式化简原方程，然后结合 求解出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
而 ，故 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
又 ，得 ，
由 ，知 ，
故答案为： .
16．已知函数 ，关于 的方程 有4个不同的
实数解，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】令 ，解方程 ，根据m的范围，结合图象讨论方程
和 的解的个数可得.
【详解】令 ，
则 ，
解 ，得 ，
当 时， ，由图可知， 有两个实数解， 有一个实数解，
此时方程 有3个不同的实数解，不满足题意；
当 时， ，由图可知， 有3个实数解， 有一个实数解，
满足题意；
当 时， ， 有两个实数解， 有一个实数解，不满足题意；
当 时， ，由图可知， 有1个实数解， 有1个或2个实
数解，不满足题意；
当 时， ，由图可知， 有1个实数解， 有3个实数解，
满足题意；
当 时， ，由图可知， 有1个实数解， 有2个实数解，不满足题意.
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
17．（10分）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
已知_______．
(1)求 的值；
(2)当 为第三象限角时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式及同角的三角函数关系，得出条件①②③的结论都为 ，根据
同角三角函数的关系化简 ，代入即可；
（2）由 及 为第三象限角求出 和 ，再根据诱导公式化简
，代值计算即可．
【详解】（1）若选① ，则 ；
若选② ，则 ，即 ，则 ；
若选③ ，则 ，即 ；
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
将 代入，原式 ．
（2）由（1）得 ，即 ，
由 ，则 ，解得 ，
因为 为第三象限角，所以 ，则 ，
．
18．（12分）已知函数 ， ，
(1)设命题p： ， ，若p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若实数 ，解关于x的不等式 .
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据 是真命题，结合对 分类讨论来求得 的取值范围.
（2）化简不等式 ，对 进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）由已知 ： ， 为真命题，
当 时， 成立，
当 时， 为真命题 ，∴ ；
综上， .
（2）
∵ ，∴ 的根为1， ，
学科网（北京）股份有限公司当 即 时， 的大致图象为：
∴ 解集为 ；
当 即 时， 的大致图象为：
∴ 解集为 ；
当 即 时， 的大致图象为：
∴ 解集为 ；
综上，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集 ；
当 时，不等式的解集为 .
19．（12分）已知函数 ，是定义在 上的奇函数.
(1)求 和实数 的值；
(2)若 在 上是增函数且满足 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）计算出 ，根据 列出方程，求出 ；
（2）根据奇偶性得到 ，从而由单调性和定义域得到不等式组，求出实数 的
取值范围.
【详解】（1）∵
因为 是奇函数，
所以
∴
∴ ，
∴ 对定义域内的 都成立.
∴ .
所以 或 （舍）,
∴ .
（2）由 ，
得 ，
∵函数 是奇函数，
∴ ，
又∵ 在 上是增函数，
∴ ，
∴ ，
∴b的取值范围是 .
20．（12分）已知函数 ，其中 ， ，函数 图象上相邻的两条
学科网（北京）股份有限公司对称轴之间的距离为 .
(1)求 的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 个单位长
度，得到函数 的图象，求函数 在 上的最大值.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据题意可求出 的值，然后求出 的解析式后再求解其单调递增区间；
（2）根据题意进行变化得到 的解析式，然后求出 的解析式并求出其最大值.
【详解】（1）由题知， ，所以， ，所以， .
所以得： .
所以得： ，即 ，
故 的单调递增区间为 .
（2）将函数 图像上所有点横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
得 ，再向右平移 个单位长度，得 .所以可得：
， 因
为 ，所以得： ，
所以当： 时，即： 时， 取得最大值为 .
21．（12分）杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，
中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人
类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一
学科网（北京）股份有限公司60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运
动，该阶段每千克体重消耗体力 （ 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗
过大变为 的减速运动（ 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定
恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为 不考虑其
他因素，所用时间为 （单位：h），请回答下列问题：
(1)请写出该运动员剩余体力 关于时间 的函数 ；
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】(1)
(2) 时有最小值，最小值为 .
【分析】（1）先写出速度 关于时间 的函数，进而求出剩余体力 关于时间 的函数；
（2）分 和 两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【详解】（1）由题可先写出速度 关于时间 的函数 ，
代入 与 公式可得
解得 ；
（2）①稳定阶段中 单调递减，此过程中 最小值 ；
②疲劳阶段 ，
则有 ，
当且仅当 ，即 时，“ ”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为 ，
由于 ，因此，在 时，运动员体力有最小值 .
22．（12分）已知 定义域为 ，对任意 都有 ．当 时，
学科网（北京）股份有限公司，且 ．
(1)求 的值；
(2)判断函数 的单调性，并证明；
(3)若对 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 是 上的单调递减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法取 可得 ，再令x=2,y=−2可得 ；
（2）结合函数满足 ，且当 时， ，按照单调性定义证明步骤
证明即可；
（3）利用 可将不等式化为 ，即可得
，在利用换元法令 ，结合单调性可得对于
， 恒成立，即可解得 .
【详解】（1）取 ，
则 ，于是 ，
令x=2,y=−2，
则 ，
又 ，则 ；
（2） 是 上的单调递减函数．
证明：
任取 ，
则 ，
由于当 时， ，易知 ，则 ，
故 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 是 上的单调递减函数．
（3）不等式可化为 ，
也即 ，
令
于是 ，都有 恒成立，
由于 为 上的单减函数，则 ，
都有 恒成立，
即 成立，即 恒成立；
令 ，它是关于 的一次函数，
故只需 ，解得 ．
即 ，
解得
学科网（北京）股份有限公司
