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SHUXUE 第三册
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普 通 高 中 教 科 书
选择性必修
第三册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
A
版
·北京·主 编：章建跃 李增沪
副 主 编：李 勇 李海东 李龙才
本册主编：程海奎 陈雪梅
编写人员：王 嵘 白 涛 李 勇 张唯一
张淑梅 金克勤 章建跃 程海奎
责任编辑：张唯一
美术编辑：王俊宏
封面设计：
版面设计：
插图绘制：
普通高中教科书 数学 选择性必修 第三册
人民教育出版社 课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心
出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
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02 高中物理必修第一册
本书根据 《普通高中数学课程标准 （２０１７年版）》编写，包括 “计数原理”“随机变
量及其分布”“成对数据的统计分析”三章内容．
计数问题在日常生活、生产实践中大量存在，也是数学研究的重要问题之一．在 “计
数原理”一章中，同学们将学习分类加法计数原理和分步乘法计数原理，体会这两个原理
在解决计数问题中的基础性作用；运用两个基本计数原理探索排列、组合、二项式定理等
问题，推导相关的公式；在运用它们解决一些简单的计数问题和实际问题的过程中，理解
排列、组合、二项式定理与两个计数原理的关系，体会数学抽象、化繁为简等基本思想．
概率论是研究随机现象数量规律的科学．在 “随机变量及其分布”一章中，同学们将
结合具体实例，在学习条件概率的过程中，理解随机事件独立性与条件概率之间的关系，
掌握用乘法公式、全概率公式计算复杂事件概率的方法；通过具体实例体会用随机变量刻
画随机现象的好处，从中感悟随机变量与随机事件的关系；通过二项分布、超几何分布、
正态分布的学习，理解随机变量及其分布．在本章的学习过程中，同学们可以体会到用随
机变量的概率分布描述随机现象规律的思想，进一步加深对随机现象的认识，提高用概率
的方法解决问题的能力．
在必修课程中，同学们已经学习了获取样本数据，从样本数据中提取信息，用样本估
计总体的分布及数字特征的一些统计方法．在 “成对数据的统计分析”一章中，同学们将
结合典型案例，研究如何利用成对样本数据分析两个随机变量之间关系的问题．从中可以
了解到，两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析；通过构建一元线性回归
模型，可以研究变量之间的随机关系并进行预测；利用２×２列联表可以检验两个分类变
量的独立性等．在本章的学习过程中，同学们可以进一步体会统计思想在解决实际问题中
的作用．
祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核
心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的
认识．
书书书第六章 计数原理
…………………………………………… １
６．１ 分类加法计数原理与分步乘法计数原理…………… ２
探究与发现 子集的个数有多少 ………………… １２
６．２ 排列与组合 ………………………………………… １４
探究与发现 组合数的两个性质 ………………… ２８
６．３ 二项式定理 ………………………………………… ２９
小结………………………………………………………… ３６
复习参考题６……………………………………………… ３７
数学探究 杨辉三角的性质与应用
………………… ３９
第七章 随机变量及其分布
…………………………… ４３
７．１ 条件概率与全概率公式 …………………………… ４４
阅读与思考 贝叶斯公式与人工智能 …………… ５３
７．２ 离散型随机变量及其分布列 ……………………… ５６
７．３ 离散型随机变量的数字特征 ……………………… ６２
７．４ 二项分布与超几何分布 …………………………… ７２
探究与发现 二项分布的性质 …………………… ８１
７．５ 正态分布 …………………………………………… ８３
信息技术应用 概率分布图及概率计算 ………… ８７
小结………………………………………………………… ８９
复习参考题７……………………………………………… ９０
第八章 成对数据的统计分析
………………………… ９２
８．１ 成对数据的统计相关性 …………………………… ９３
８．２ 一元线性回归模型及其应用……………………… １０５
阅读与思考 回归与相关………………………… １２２
８．３ 列联表与独立性检验……………………………… １２４
小结 ……………………………………………………… １３７
复习参考题８ …………………………………………… １３８
数学建模 建立统计模型进行预测
………………… １４１
部分中英文词汇索引…………………………………………… １４７第六章
计数原理
汽车号牌的序号一般是从２６个英文字母、１０个阿拉伯数字中
选出若干个，并按适当顺序排列而成．随着人们生活水平的提高，
家庭汽车拥有量迅速增长，汽车号牌序号需要扩容．那么，交通管
理部门应如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这
就需要 “数 （狊犺ǔ）出”某种汽车号牌序号的组成方案下所有可能
的序号数，这就是计数．
日常生活、生产中类似的问题大量存在．例如，幼儿会通过一
个一个地数的方法，统计自己拥有玩具的数量；学校要举行班际
篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多
少场比赛；用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排
列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……
如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法．
但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？
在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个 “小”的数结合
成 “较大”的数最基本的方法．这两种方法经过推广就成了本章将
要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理．这两个原理是解
决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计数原理还可以
得到两类特殊计数问题的计数公式———排列数公式和组合数公式，
应用公式就可以方便地解决一些计数问题．作为计数原理与计数公
式的一个应用，我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理．
书书书６１ 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个
地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的
方法效率不高．能否设计巧妙的 “数法”，以提高效率呢？
下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数
方法．

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出
多少种不同的号码？
因为英文字母共有２６个，阿拉伯数字共有１０个，所以总共可以编出
２６＋１０＝３６
种不同的号码．

你能说一说这个问题的特征吗？
首先，这里要完成的事情是 “给一个座位编号”；其次是 “或”字的出现：一个座位
编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以
用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到
号码的总数．
上述计数过程的基本环节是：
（１）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字
号码两类； 你能举一些生活中类
（２）分别计算各类号码的个数； 似的例子吗？
（３）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
一般地，有如下分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案 ，在第１类方案中有犿种
?
?两类不同方案中的
不同的方法，在第２类方案中有狀种不同的方法，那么完成
方法互不相同．
这件事共有
２ 第六章 计数原理犖＝犿＋狀
种不同的方法．
例１ 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，Ａ，Ｂ两所大学各有一些自己
感兴趣的强项专业，如表６．１１．
表６１１
Ａ大学 Ｂ大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
分析：要完成的事情是 “选一个专业”．因为这名同学在Ａ，Ｂ两所大学中只能选择一
所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法
计数原理的条件．
解：这名同学可以选择Ａ，Ｂ两所大学中的一所．在Ａ大学中有５种专业选择方法，
在Ｂ大学中有４种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分
类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为
犖＝５＋４＝９．

如果完成一件事有三类不同方案，在第１类方案中有犿 种不同的方法，在第２
１
类方案中有犿 种不同的方法，在第３类方案中有犿 种不同的方法，那么完成这件
２ ３
事共有多少种不同的方法？
如果完成一件事有狀类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那
么应当如何计数呢？

用前６个大写英文字母和１～９这９个阿拉伯数字，以Ａ ，Ａ ，…，Ａ ，Ｂ，
１ ２ ９ １
Ｂ，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
２
这里要完成的事情仍然是 “给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同．在前一问
题中，用２６个英文字母中的任意一个或１０个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个
第六章 计数原理 ３座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组
成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤．
用图６．１１所示的方法可以列出所有可能的号码．
  
1 A
1
2 A
2
3 A 3
4 A
4
图６．１１是解决计数
A 5 A 5
问题常用的 “树状图”．你
6 A
6
7 A 7 能用树状图列出所有可能
8 A 8 的号码吗？
9 A
9
图６．１１
也可以这样思考：
由于前６个英文字母中的任意一个都能与９个数字中的任意一个组成一个号码，而且
它们互不相同，因此共有
６×９＝５４
种不同的号码．

你能说一说这个问题的特征吗？
上述问题要完成的一件事情仍然是 “给一个座位编号”，其中最重要的特征是 “和”
字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要
经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的
数字组成的号码是互不相同的．
一般地，有如下分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤 ，做第１步有犿种不同的方
?
?无论第１步采用哪
法，做第２步有狀种不同的方法，那么完成这件事共有
种方法，与之对应的第２
犖＝犿×狀
步都有相同的方法数．
种不同的方法．
例２ 某班有男生３０名、女生２４名，从中任选男生和女生各１名代表班级参加比
赛，共有多少种不同的选法？
分析：要完成的一件事是 “选男生和女生各１名”，可以分两个步骤：第１步，选男
生；第２步，选女生．
４ 第六章 计数原理解：任选男生和女生各１名，可以分两个步骤完成：第１步，从３０名男生中选出１
名，有３０种不同选法；第２步，从２４名女生中选出１名，有２４种不同选法．根据分步
乘法计数原理，共有不同选法的种数为
犖＝３０×２４＝７２０．

如果完成一件事需要三个步骤，做第１步有犿 种不同的方法，做第２步有犿 种
１ ２
不同的方法，做第３步有犿 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
３
如果完成一件事需要狀个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如
何计数呢？
例３ 书架的第１层放有４本不同的计算机书，第２层放有３本不同的文艺书，第３
层放有２本不同的体育书．
（１）从书架上任取１本书，有多少种不同取法？
（２）从书架的第１层、第２层、第３层各取１本书，有多少种不同取法？
分析：（１）要完成的一件事是 “从书架上取１本书”，可以分从第１层、第２层和第
３层中取三类方案；（２）要完成的一件事是 “从书架的第１层、第２层、第３层各取１本
书”，可以分三个步骤完成．
解：（１）从书架上任取１本书，有三类方案：第１类方案是从第１层取１本计算机
书，有４种方法；第２类方案是从第２层取１本文艺书，有３种方法；第３类方案是从第
３层取１本体育书，有２种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为
犖＝４＋３＋２＝９．
（２）从书架的第１层、第２层、第３层各取１本书，可以分三个步骤完成：第１步，从
第１层取１本计算机书，有４种方法；第２步，从第２层取１本文艺书，有３种方法；第３
步，从第３层取１本体育书，有２种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为
犖＝４×３×２＝２４．

１．填空题
（１）一项工作可以用２种方法完成，有５人只会用第１种方法完成，另有４人只会用第２种方法完
成，从中选出１人来完成这项工作，不同选法的种数是 ；
（２）从Ａ村去Ｂ村的道路有３条，从Ｂ村去Ｃ村的道路有２条，则从Ａ村经Ｂ村去Ｃ村，不同路
线的条数是 ．
２．在例１中，若数学也是Ａ大学的强项专业，则Ａ大学有６个专业可以选择，Ｂ大学有４个专业可以选
择，应用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为６＋４＝１０．这种算法有什么问题？
第六章 计数原理 ５３．书架上层放有６本不同的数学书，下层放有５本不同的语文书．
（１）从书架上任取１本书，有多少种不同的取法？
（２）从书架上任取数学书和语文书各１本，有多少种不同的取法？
４．现有高一年级的学生３名，高二年级的学生５名，高三年级的学生４名．
（１）从三个年级的学生中任选１人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（２）从三个年级的学生中各选１人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
例４ 要从甲、乙、丙３幅不同的画中选出２幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位
置，共有多少种不同的挂法？
分析：要完成的一件事是 “从３幅画中选出２幅，并
   
分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成．
 
解：从３幅画中选出２幅分别挂在左、右两边墙上，

 
可以分两个步骤完成：第１步，从３幅画中选１幅挂在左
 
边墙上，有３种选法；第２步，从剩下的２幅画中选１幅

 
挂在右边墙上，有２种选法．根据分步乘法计数原理，不
 
同挂法的种数为

 
犖＝３×２＝６．
图６．１２
这６种挂法如图６．１２所示．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的
问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是 “分类”问题，其中各种方法相互独立，用
其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是 “分步”问题，各个步
骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事．
例５ 给程序模块命名，需要用３个字符，其中首字符要求用字母Ａ～Ｇ或Ｕ～Ｚ，
后两个字符要求用数字１～９，最多可以给多少个程序模块命名？
分析：要完成的一件事是 “给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第１步，
选首字符；第２步，选中间字符；第３步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．
解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为
７＋６＝１３．
后两个字符从１～９中选，因为数字可以重复，所以不
同选法的种数都为９． 你还能给出不同的解
由分步乘法计数原理，不同名称的个数是 法吗？
１３×９×９＝１０５３，
即最多可以给１０５３个程序模块命名．
６ 第六章 计数原理例６ 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容
易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有０或１两种数字的记数法，即二
进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用１个或多个字
节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成．
（１）１个字节 （８位）最多可以表示多少个不同的字符？
（２）计算机汉字国标码包含了６７６３个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进
行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析：（１）要完成的一件事是 “确定１个字节各二进制位上的数字”．由于每个字节
有８个二进制位，每一位上的数字都有０，１两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，
因此可以用分步乘法计数原理求解；（２）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少
于６７６３个即可．
解：（１）用图６．１３表示１个字节，每一格代表一位．
       
图６．１３
１个字节共有８位，每位上有２种选择．根据分步乘法计数原理，１个字节最多可以
表示不同字符的个数是
２×２×２×２×２×２×２×２＝２８＝２５６．
（２）由 （１）知，１个字节所能表示的不同字符不够６７６３个，我们考虑２个字节能够
表示多少个字符．前１个字节有２５６种不同的表示方法，后１个字节也有２５６种表示方法．
根据分步乘法计数原理，２个字节可以表示不同字符的个数是
２５６×２５６＝６５５３６．
这已经大于汉字国标码包含的汉字个数６７６３．因此要对这些汉字进行编码，每个汉字至
少要用２个字节表示．

１．某电话局管辖范围内的电话号码由８位数字组成，其中前４位的数字是不变的，后４位数字都是０～
９中的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？
２．从５名同学中选出正、副组长各１名，有多少种不同的选法？
３．从１，２，…，１９，２０中任选一个数作被减数，再从１，２，…，１０中任选一个数作减数，然后写成
一个减法算式，共可得到多少个不同的算式？
４．在１，２，…，５００中，被５除余２的数共有多少个？
５．由数字１，２，３，４，５可以组成多少个三位数 （各位上的数字可以重复）？
第六章 计数原理 ７例７ 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底
有多少条执行路径 （程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据．一
般地，一个程序模块由许多子模块组成．图６．１４是一个具有许多执行路径的程序模块，
它有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个
测试方法，以减少测试次数吗？

     
     
A
   
   

图６．１４
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第１步是从开始执行到Ａ点；
第２步是从Ａ点执行到结束．而第１步可由子模块１、子模块２、子模块３中任何一个来
完成；第２步可由子模块４、子模块５中任何一个来完成．因此，分析一条指令在整个模
块的执行路径需要用到两个计数原理．
解：由分类加法计数原理，子模块１、子模块２、子模块３中的子路径条数共为
１８＋４５＋２８＝９１；
子模块４、子模块５中的子路径条数共为
３８＋４３＝８１．
又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径条数共为
９１×８１＝７３７１．
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了
正确的子模块的方式来测试整个模块．这样，他可以先分别单独测试５个模块，以考察每
个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为
１８＋４５＋２８＋３８＋４３＝１７２．
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第１步中的各个子模块和
第２步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为
３×２＝６．
８ 第六章 计数原理如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信
息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常．这样，测试
整个模块的次数就变为 你看出了程序员是如
何实现减少测试次数的吗？
１７２＋６＝１７８．
显然，１７８与７３７１的差距是非常大的．
例８ 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、
自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文
字母组成的序号，如图６．１５所示．
对于省和自治区，发
牌机关通常是指其地级市的
公共交通管理部门，并用英
文字母依次编码．例如，河

 
  北省石家庄市、唐山市的发

牌机关代号分别为Ａ，Ｂ．
 
直辖市的发牌机关代号可备
图６．１５
案后依次自行使用．
其中，序号的编码规则为：
（１）由１０个阿拉伯数字和除Ｏ，Ｉ之外的２４个英文字母组成；
（２）最多只能有２个英文字母．
如果某地级市发牌机关采用５位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车
号牌？
分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌
数．按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三
类：没有字母，有１个字母，有２个字母．以字母所在位置为分类标准，可将有１个字母
的序号分为五个子类，将有２个字母的序号分为十个子类．
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．
根据序号编码规则，５位序号可以分为三类：没有字母，有１个字母，有２个字母．
（１）当没有字母时，序号的每一位都是数字．确定一个序号可以分５个步骤，每一步
都可以从１０个数字中选１个，各有１０种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为
１０×１０×１０×１０×１０＝１０００００．
（２）当有１个字母时，这个字母可以分别在序号的第１位、第２位、第３位、第４位
或第５位，这类序号可以分为五个子类．
当第１位是字母时，分５个步骤确定一个序号中的字母和数字：第１步，从２４个字
第六章 计数原理 ９母中选１个放在第１位，有２４种选法；第２～５步都是从１０个数字中选１个放在相应的
位置，各有１０种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为
２４×１０×１０×１０×１０＝２４００００．
同样，其余四个子类号牌也各有２４００００张．
根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为
２４００００＋２４００００＋２４００００＋２４００００＋２４００００＝１２０００００．
（３）当有２个字母时，根据这２个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子
类：第１位和第２位，第１位和第３位，第１位和第４位，第１位和第５位，第２位和第
３位，第２位和第４位，第２位和第５位，第３位和第４位，第３位和第５位，第４位和
第５位．
当第１位和第２位是字母时，分５个步骤确定一个序号中的字母和数字：第１，２步
都是从２４个字母中选１个分别放在第１位、第２位，各有２４种选法；第３～５步都是从
１０个数字中选１个放在相应的位置，各有１０种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张
数为
２４×２４×１０×１０×１０＝５７６０００．
同样，其余九个子类号牌也各有５７６０００张．
于是，这类号牌张数一共为
５７６０００×１０＝５７６００００．
综合 （１）（２）（３），根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张
数为
１０００００＋１２０００００＋５７６００００＝７０６００００．

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：
（１）要完成的 “一件事”是什么；（２）需要分类还是需要分步．
分类要做到 “不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计
数原理求和，得到总数．
分步要做到 “步骤完整”，即完成了所有步骤，才能完成任务．分步后再计算每一步
的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理和分类加法计数原理
也有这种类似的关系吗？
１０ 第六章 计数原理
１．乘积 （犪＋犪＋犪）（犫＋犫＋犫）（犮＋犮＋犮＋犮＋犮）展开后共有多少项？
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３ ４ ５
２．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有多少个？
３．某商场有６个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，那么共有多
少种不同的进出商场的方式？
４．任意画一条直线，在直线上任取狀个分点．
（１）从这狀个分点中任取２个点形成一条线段，可得到多少条线段？
（２）从这狀个分点中任取２个点形成两条有向线段，可得到多少条有向线段？
习题６．１

１．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有４种，外地的产品有７种．要买１台这种
型号的电视机，有多少种不同的选法？
２．如图，从甲地到乙地有２条路，从乙地到丁地有３条路；从甲地到丙地有４条路，从丙地到丁
地有２条路．从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
 
A B
 
（第２题） （第３题）
３．如图，要让电路从犃处到犅处只有一条支路接通，可有多少条不同的路径？
４．用１，５，９，１３中的任意一个数作分子，４，８，１２，１６中任意一个数作分母，可构成多少个不
同的分数？可构成多少个不同的真分数？
５．一个口袋内装有５个小球，另一个口袋内装有６个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两
个袋子中分别取１个球，共有多少种不同的取法？
６． （１）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在犃＝｛０，１，２，３，４，５｝内取值的不同点共有
多少个？
（２）在平面直角坐标系内，斜率在集合犅＝｛１，３，５，７｝内取值，狔轴上的截距在集合犆＝
｛２，４，６，８｝内取值的不同直线共有多少条？
第六章 计数原理 １１
７．一种密码锁有４个拨号盘，每个拨号盘上有０～９共１０个数字．现最后一个拨号盘出现了故
障，只能在０～５这６个数字中拨号，这４个拨号盘可组成多少个四位数字号码？
８． （１）４名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，
不同报法的种数是３４ 还是４３ ？
（２）３个班分别从５个景点中选择一处游览，不同选法的种数是３５ 还是５３ ？
９． （１）从５件不同的礼物中选出４件送给４位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
（２）有５个编了号的抽屉，要放进３本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书．）
１０．口袋中装有８个白球和１０个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出２个球．
（１）恰好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（２）恰好是两个白球的取法有多少种？
（３）至少有一个白球的取法有多少种？
（４）两球的颜色相同的取法有多少种？
 
１１．在国庆长假期间，要从７人中选若干人在７天假期值班 （每天只需１人值班），不出现同一人
连续值班２天，有多少种可能的安排方法？
１２．２１６０有多少个不同的正因数？

子集的个数有多少
问题 狀元集合犃＝｛犪，犪，…，犪｝的子集有多少个？
１ ２ 狀
为了解决这个问题，一个可行的思路是先研究一下某些具体集合，如犛＝
｛犪，犪，犪｝的子集个数，从中获得启发，然后对一般的情况进行研究．
１ ２ ３
由于犛中的元素只有３个，因此可以用列举
法列出它的所有子集：
，｛犪｝， ｛犪｝， ｛犪｝， ｛犪，犪｝， ｛犪，
１ ２ ３ １ ２ １ 虽然列举法较 “笨”，但
犪｝，｛犪，犪｝，犛．
３ ２ ３ 它是计数的基本方法．请你列
可见，一个含有３个元素的集合共有８个子集．
举一下４元集合 ｛犪，犪，
１ ２
如果一个集合所含元素较少，可以用列举法 犪，犪｝、５元集合 ｛犪，犪，
３ ４ １ ２
确定其子集的个数．但如果集合中的元素较多， 犪，犪，犪｝的子集．
３ ４ ５
用这种方法确定子集个数就不太方便了．另外，
１２ 第六章 计数原理从上述描述中较难发现集合犛中所含元素的个数３与其子集个数８之间的关系．
为了发现规律，需要采取另外的方法．一个自然的想法是，应当设法用两个
计数原理．
显然，元素犪（犻＝１，２，３）与各子集的关系只有两种：犪属于子集或犪不
犻 犻 犻
属于子集．这样，我们可以考虑用考察犛中的每一个元素属不属于某个子集的方
法来得到一个子集．因为犛中有３个元素，所以要得到集合犛的一个子集犛，可
１
以分三个步骤：
第１步，考察元素犪 是否在犛 中，有２种可能 （犪∈犛，犪犛）；
１ １ １ １ １ １
第２步，考察元素犪 是否在犛 中，有２种可能 （犪∈犛，犪犛）；
２ １ ２ １ ２ １
第３步，考察元素犪 是否在犛 中，有２种可能 （犪∈犛，犪犛）．
３ １ ３ １ ３ １
只要完成上述三个步骤，那么集合犛 中元素
１
就完全确定了．根据分步乘法计数原理，对于由３
由此，你是否对把空
个元素组成的集合，子集的个数为
集及原集合自身作为子集
２×２×２＝２３＝８．
的规定有进一步的理解？
从上述过程，可以看到集合犛中所含元素的
个数３与其子集个数８之间的关系：３是２３ 中的
指数，而８是２３ 的运算结果．
一般地，我们有：
狀元集合犃＝｛犪，犪，…，犪｝的不同子集有２狀 个．
１ ２ 狀
证明：要得到集合犃的一个子集犛，可以分狀个步骤：
１
第１步，考察元素犪 是否在犛 中，有２种可能 （犪∈犛，犪犛）；
１ １ １ １ １ １
第２步，考察元素犪 是否在犛 中，有２种可能 （犪∈犛，犪犛）；
２ １ ２ １ ２ １
……
第犽步，考察元素犪是否在犛 中，有２种可能 （犪∈犛，犪犛）；
犽 １ 犽 １ 犽 １
……
第狀步，考察元素犪是否在犛 中，有２种可能 （犪∈犛，犪犛）．
狀 １ 狀 １ 狀 １
只要完成上述狀个步骤，那么集合犛 中元素就完全确定了．根据分步乘法
１
计数原理，对于由狀个元素组成的集合，子集的个数为
２×２×…×２＝２狀．
烏 烐 烑
狀个２
你还能用另外的方法证明上述结论吗？
第六章 计数原理 １３６２ 排列与组合
在上节例８的解答中我们看到，用分步乘法计数原理解决
问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐．能否对这类计数
问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题．
６２１
! "#
问题１ 从甲、乙、丙３名同学中选出２名参加一项活动，其中１名同学参加上午的
活动，另１名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
此时，要完成的一件事是 “选出２名同学参加活动，１名同学参加上午的活动，另
１名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤：
第１步，确定参加上午活动的同学，从３人中任选
   
１人，有３种选法；  

第２步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活  
动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的２  

人中去选，有２种选法．  
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为  

３×２＝６．  
这６种不同的选法如图６．２１所示．
图６．２１
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：
从３个不同的元素犪，犫，犮中任意取出２个，并按
一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是 问题１中的 “顺序”
犪犫，犪犮，犫犪，犫犮，犮犪，犮犫， 是什么？
不同的排列方法种数为
３×２＝６．
问题２ 从１，２，３，４这４个数字中，每次取出３个排成一个三位数，共可得到多
少个不同的三位数？
显然，从４个数字中，每次取出３个，按 “百位、十位、个位”的顺序排成一列，就
得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步
１４ 第六章 计数原理骤来解决这个问题：
第１步，确定百位上的数字，从１，２，３，４这４个数字中任取１个，有４种方法；
第２步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的３
个数字中去取，有３种方法；
第３步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下
的２个数字中去取，有２种方法．
根据分步乘法计数原理，从１，２，３，４这４个不同的数字中，每次取出３个数字，
按 “百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
４×３×２＝２４．
因而共可得到２４个不同的三位数，如图６．２２所示．
 1 2 3 4
 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2
图６．２２
由此可写出所有的三位数：
１２３，１２４，１３２，１３４，１４２，１４３，
２１３，２１４，２３１，２３４，２４１，２４３，
３１２，３１４，３２１，３２４，３４１，３４２，
４１２，４１３，４２１，４２３，４３１，４３２．
同样，问题２可以归结为：
从４个不同的元素犪，犫，犮，犱中任意取出３个，并按照一定的顺序排成一列，共有
多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
犪犫犮，犪犫犱，犪犮犫，犪犮犱，犪犱犫，犪犱犮，
犫犪犮，犫犪犱，犫犮犪，犫犮犱，犫犱犪，犫犱犮， 问题２中的 “顺序”
犮犪犫，犮犪犱，犮犫犪，犮犫犱，犮犱犪，犮犱犫， 是什么？
犱犪犫，犱犪犮，犱犫犪，犱犫犮，犱犮犪，犱犮犫．
不同的排列方法种数为
４×３×２＝２４．

上述问题１，２的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
问题１和问题２都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一
列的方法数．
第六章 计数原理 １５一般地，从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫
做从狀个不同元素中取出犿个元素的一个排列 （ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ）．
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的
排列顺序也相同．例如，在问题１中，“甲乙”与 “甲丙”的元素不完全相同，它们是不
同的排列；“甲乙”与 “乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不
同的排列．又如，在问题２中，１２３与１３４的元素不完全相同，它们是不同的排列；１２３
与１３２虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
例１ 某省中学生足球赛预选赛每组有６支队，每支队都要与同组的其他各队在主、
客场分别比赛１场，那么每组共进行多少场比赛？
分析：每组任意２支队之间进行的１场比赛，可以看作是从该组６支队中选取２支，
按 “主队、客队”的顺序排成的一个排列．
解：可以先从这６支队中选１支为主队，然后从剩下的５支队中选１支为客队．按分
步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为
６×５＝３０．
例２ （１）一张餐桌上有５盘不同的菜，甲、乙、丙３名同学每人从中各取１盘菜，
共有多少种不同的取法？
（２）学校食堂的一个窗口共卖５种菜，甲、乙、丙３名同学每人从中选一种，共有多
少种不同的选法？
分析：３名同学每人从５盘不同的菜中取１盘菜，可看作是从这５盘菜中任取３盘，
放在３个位置 （给３名同学）的一个排列；而３名同学每人从食堂窗口的５种菜中选１
种，每人都有５种选法，不能看成一个排列．
解：（１）可以先从这５盘菜中取１盘给同学甲，然后从剩下的４盘菜中取１盘给同学
乙，最后从剩下的３盘菜中取１盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为
５×４×３＝６０．
（２）可以先让同学甲从５种菜中选１种，有５种选法；再让同学乙从５种菜中选１
种，也有５种选法；最后让同学丙从５种菜中选１种，同样有５种选法．按分步乘法计数
原理，不同的选法种数为
５×５×５＝１２５．

１．写出：
（１）用０～４这５个自然数组成的没有重复数字的全部两位数；
（２）从犪，犫，犮，犱中取出２个字母的所有排列．
１６ 第六章 计数原理２．一位老师要给４个班轮流做讲座，每个班讲１场，有多少种轮流次序？
３．学校乒乓团体比赛采用５场３胜制 （５场单打），每支球队派３名运动员参赛，前３场比赛每名运动
员各出场１次，其中第１，２位出场的运动员在后２场比赛中还将各出场１次．
（１）从５名运动员中选３名参加比赛，前３场比赛有几种出场情况？
（２）甲、乙、丙３名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况．
６２２
! "#$
前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的
公式．
符号Ａ犿 中的Ａ是英
我们把从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素的所有 狀
文 ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ （排 列）
不同排列的个数，叫做从狀个不同元素中取出犿个元素的
的第一个字母．
排列数，用符号Ａ犿 表示．
狀
例如，前面问题１是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，表示为Ａ２．已经算得
３
Ａ２＝３×２＝６．
３
问题２是求从４个不同元素中取出３个元素的排列数，表示为Ａ３．已经算得
４
Ａ３＝４×３×２＝２４．
４

从狀个不同元素中取出犿个元素的排列数Ａ犿 （犿≤狀）是多少？
狀
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 Ａ２．根据前面的求解经验，可以这样
狀
考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图６．２３所示，从狀个
 
不同元素中取出２个元素去填空，一个空位填上一个元素，
每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由
这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数Ａ２． n (n-1)
狀
现在来计算有多少种填法．完成 “填空”这件事可以分
图６．２３
为两个步骤完成：
第１步，填第１个位置的元素，可以从这狀个不同元素中任选１个，有狀种选法；
第２步，填第２个位置的元素，可以从剩下的 （狀－１）个元素中任选１个，有 （狀－１）
种选法．
根据分步乘法计数原理，２个空位的填法种数为
Ａ２＝狀（狀－１）．
狀
第六章 计数原理 １７同理，求排列数Ａ３ 可以按依次填３个空位来考虑，有
狀
Ａ３＝狀（狀－１）（狀－２）．
狀
一般地，求排列数Ａ犿 可以按依次填犿个空位来考虑：
狀
假定有排好顺序的犿个空位，如图６．２４所示，从狀个不同元素中取出犿个元素去
填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数
就是排列数Ａ犿．
狀
   m
n (n-1) (n-2) (n-m+1)
图６．２４
填空可以分为犿个步骤完成：
第１步，从狀个不同元素中任选１个填在第１位，有狀种选法；
第２步，从剩下的 （狀－１）个元素中任选１个填在第２位，有 （狀－１）种选法；
第３步，从剩下的 （狀－２）个元素中任选１个填在第３位，有 （狀－２）种选法；
……
第犿步，从剩下的 ［狀－（犿－１）］个元素中任选１个填在第犿位，有 （狀－犿＋１）种选法．
根据分步乘法计数原理，犿个空位的填法种数为
狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１）．
这样，我们就得到公式
你能说一下排列数公
Ａ犿＝狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１）．
狀 式的特点吗？
这里，犿，狀∈犖

，并且犿≤狀．这个公式叫做排列数公式．
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素的
所有排列的个数．例如，
Ａ２＝５×４＝２０，
５
Ａ３＝８×７×６＝３３６．
８
特别地，我们把狀个不同的元素全部取出的一个排列，叫做狀个元素的一个全排列．
这时，排列数公式中犿＝狀，即有
Ａ狀＝狀×（狀－１）×（狀－２）×…×３×２×１．
狀
也就是说，将狀个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数１到狀的连乘积．正整数１
到狀的连乘积，叫做狀的阶乘，用狀！表示．于是，狀个元素的全排列数公式可以写成
Ａ狀＝狀！．
狀
另外，我们规定，０！＝１．
１８ 第六章 计数原理Ａ７
例３ 计算：（１）Ａ３ ； （２）Ａ４ ； （３） ７； （４）Ａ４×Ａ２．
７ ７ Ａ４ ６ ２
４
解：根据排列数公式，可得
（１）Ａ３＝７×６×５＝２１０；
７
（２）Ａ４＝７×６×５×４＝８４０；
７
Ａ７ ７！
（３） ７＝ ＝７×６×５＝２１０；
Ａ４ ４！
４
（４）Ａ４×Ａ２＝６×５×４×３×２×１＝６！＝７２０．
６ ２

Ａ７ ７！ Ａ６ ６！
由例３可以看到，Ａ３
７
＝
Ａ４
７＝
４！
；Ａ４
６
×Ａ２
２
＝６！＝Ａ６
６
，即Ａ４
６
＝
Ａ２
６＝
２！
．观察这两
４ ２
个结果，从中你发现它们的共性了吗？
事实上，
Ａ犿＝狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１）
狀
狀×（狀－１）×（狀－２）×…×（狀－犿＋１）×（狀－犿）×…×２×１
＝
（狀－犿）×…×２×１
Ａ狀
＝ 狀
Ａ狀－犿
狀－犿
狀！
＝ ．
（狀－犿）！
因此，排列数公式还可以写成
狀！
Ａ
狀
犿＝
（狀－犿）！
．
例４ 用０～９这１０个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在０～９这１０个数字中，因为０不能在百位上，而其他９个数字可以在任意数
位上，因此０是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．
解法１：如图６．２５所示，由于三位数的百位上的数字不能是
  
０，所以可以分两步完成：第１步，确定百位上的数字，可以从
１～９这９个数字中取出１个，有Ａ１ 种取法；第２步，确定十位和
９
个位上的数字，可以从剩下的９个数字中取出２个，有Ａ２ 种取法． A1 9  A2 9 
９ 图６．２５
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
Ａ１×Ａ２＝９×９×８＝６４８．
９ ９
第六章 计数原理 １９解法２：如图６．２６所示，符合条件的三位数可以分成三类：第１类，每一位数字都
不是０的三位数，可以从１～９这９个数字中取出３个，有Ａ３ 种取法；第２类，个位上的
９
数字是０的三位数，可以从剩下的９个数字中取出２个放在百位和十位，有Ａ２ 种取法；
９
第３类，十位上的数字是０的三位数，可以从剩下的９个数字中取出２个放在百位和个
位，有Ａ２ 种取法．
９
        
0 0
A3 A2 A2
9 9 9
图６．２６
根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
Ａ３＋Ａ２＋Ａ２＝９×８×７＋９×８＋９×８＝６４８．
９ ９ ９
解法３：从０～９这１０个数字中选取３个的排列数为Ａ３ ，其中０在百位上的排列数
１０
为Ａ２ ，它们的差就是用这１０个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的
９
个数为
Ａ３ －Ａ２＝１０×９×８－９×８＝６４８．
１０ ９
对于例４这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法．解法１根据百位数字不
能是０的要求，按分步乘法计数原理完成从１０个数中取出３个数组成没有重复数字的三
位数这件事；解法２是以０是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这
件事；解法３是一种间接法，先求出从１０个数中取出３个数的排列数，然后减去其中百
位是０的排列数 （不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．
从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便
捷地求解 “从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数
问题．

１．先计算，然后用计算工具检验：
Ａ７
（１）Ａ４； （２）Ａ８； （３）Ａ５－１５Ａ４； （４） １２．
１２ ８ １５ １４ Ａ６
１２
２．求证：
（１）Ａ犿＝狀Ａ犿－１； （２）Ａ８－８Ａ７＋７Ａ６＝Ａ７．
狀 狀－１ ８ ７ ６ ７
３．一个火车站有８股岔道，如果每股道只能停放１列火车，现要停放４列不同的火车，共有多少种不
同的停放方法？
２０ 第六章 计数原理６２３
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从甲、乙、丙３名同学中选２名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问
题与６．２．１节的问题１有什么联系与区别？
在６．２．１节问题１的６种选法中，存在 “甲上午、乙下午”和 “乙上午、甲下午”２
种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙２名同学，然后再分配上午和下午
而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有２种方法．而从
甲、乙、丙３名同学中选２名去参加一项活动，就只需考虑将选出的２名同学作为一组，
不需要考虑他们的顺序．于是，在６．２．１节问题１的６种选法中，将选出的２名同学作为
一组的选法就只有如下３种情况：
甲乙，甲丙，乙丙．
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从３个不同元素中取出２个元素作为一组，一共有多少个不同的组？
这就是我们要研究的问题．
一般地，从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素作为一组，叫做从狀个不同元素中
取出犿个元素的一个组合 （ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）．

你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素，
这是它们的共同点．但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同
且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，
都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与 “乙甲”的元素完全相同，但元素的
排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列．这样，以 “元素相同”为标准分
类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图６．２７所示．
   
      
图６．２７
第六章 计数原理 ２１由此，６．２．１节问题１的６个排列可以分成每组有２个不同排列的３个组，也就是上
面探究问题的３个组合．

校门口停放着９辆共享自行车，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（１）从中选３辆，有多少种不同的方法？
（２）从中选３辆给３位同学，有多少种不同的方法？
例５ 平面内有犃，犅，犆，犇共４个点．
（１）以其中２个点为端点的有向线段共有多少条？
（２）以其中２个点为端点的线段共有多少条？
分析：（１）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列
问题；（２）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．
解：（１）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内４个点中的２个为端点
的有向线段的条数，就是从４个不同元素中取出２个元素的排列数，即有向线段条数为
Ａ２＝４×３＝１２．
４
这１２条有向线段分别为
→ → → → → → → → → → → →
犃犅，犅犃，犃犆，犆犃，犃犇，犇犃，犅犆，犆犅，犅犇，犇犅，犆犇，犇犆．
（２）由于不考虑两个端点的顺序，因此将 （１）中端点相同、方向不同的２条有向线
段作为一条线段，就是以平面内４个点中的２个点为端点的线段的条数，共有如下６条：
犃犅，犃犆，犃犇，犅犆，犅犇，犆犇．

利用排列和组合之间的关系，以 “元素相同”为标准分类，你能建立起例５ （１）
中排列和 （２）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由
排列数求出组合的个数？

１．甲、乙、丙、丁４支足球队举行单循环赛．
（１）列出所有各场比赛的双方；
（２）列出所有冠、亚军的可能情况．
２．已知平面内犃，犅，犆，犇这４个点中任何３个点都不在一条直线上，写出以其中任意３个点为顶点
的所有三角形．
２２ 第六章 计数原理３．现有１，３，７，１３这４个数．
（１）从这４个数中任取２个相加，可以得到多少个不相等的和？
（２）从这４个数中任取２个相减，可以得到多少个不相等的差？
６２４
! %&$
类比排列数，我们引进组合数概念：
从狀个不同元素中取出犿（犿≤狀）个元素的所有不同组
符号Ｃ犿 中的Ｃ是英
合的个数，叫做从狀个不同元素中取出犿个元素的组合数， 狀
文ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ（组合）的
用符号Ｃ犿 表示．
第一个字母．组合数还可
狀
（ ）
例如，从３个不同元素中取出２个元素的组合数表示为 狀
以用符号 表示．
犿
Ｃ２ ，从４个不同元素中取出３个元素的组合数表示为Ｃ３．
３ ４

前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数Ａ犿 来求
狀
组合数Ｃ犿 呢？
狀
前面，我们利用 “元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两
个排列不同”，以 “元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从
３个不同元素中取出２个元素的组合数
Ｃ２＝３．
３
运用同样的方法，我们来求从４个不同元素中取出３个元素的组合数Ｃ３．设这４个元
４
素为犪，犫，犮，犱，那么从中取出３个元素的排列数Ａ３＝２４，以 “元素相同”为标准将这
４
２４个排列分组，一共有４组，如图６．２８所示，因此组合数Ｃ３＝４．
４
 
a b c b a c c a b
a b c
a c b b c a c b a
a b d b a d d a b
a b d
a d b b d a d b a
a c d c a d d a c
a c d
a d c c d a d c a
b c d c b d d b c
b c d
b d c c d b d c b
图６．２８
观察图６．２８，也可以这样理解求 “从４个元素中取出３个元素的排列数Ａ３ ”：
４
第１步，从４个元素中取出３个元素作为一组，共有Ｃ３ 种不同的取法；
４
第２步，将取出的３个元素作全排列，共有Ａ３ 种不同的排法．
３
第六章 计数原理 ２３于是，根据分步乘法计数原理，有
Ａ３＝Ｃ３ ·Ａ３ ，
４ ４ ３
即
Ａ３
Ｃ３＝ ４＝４．
４ Ａ３
３
同样地，求 “从狀个元素中取出犿个元素的排列数Ａ犿 ”，可以看作由以下两个步骤得到：
狀
第１步，从狀个不同元素中取出犿个元素作为一组，共有Ｃ犿 种不同的取法；
狀
第２步，将取出的犿个元素作全排列，共有Ａ犿 种不同的排法．
犿
根据分步乘法计数原理，有
Ａ犿＝Ｃ犿 ·Ａ犿．
狀 狀 犿
因此，
Ａ犿 狀（狀－１）（狀－２）…（狀－犿＋１）
Ｃ
狀
犿＝
Ａ
狀
犿
＝
犿！
．
犿
这里狀，犿∈犖

，并且犿≤狀．这个公式叫做组合数公式．
因为
狀！
Ａ
狀
犿＝
（狀－犿）！
，
所以，上面的组合数公式还可以写成
狀！
Ｃ
狀
犿＝
犿！（狀－犿）！
．
另外，我们规定Ｃ０＝１．
狀
例６ 计算：（１）Ｃ３ ； （２）Ｃ７ ； （３）Ｃ１０ ； （４）Ｃ０ ．
１０ １０ １０ １０
解：根据组合数公式，可得
Ａ３ １０×９×８
（１）Ｃ３
１０
＝
Ａ
１
３
０＝
３！
＝１２０；
３
１０！ １０×９×８×７！ １０×９×８
（２）Ｃ７
１０
＝
７！（１０－７）！
＝
７！×３！
＝
３！
＝１２０；
Ａ１０ １０！
（３）Ｃ１ １ ０ ０ ＝ Ａ１ １ ０ ０＝ １０！ ＝１；
１０
（４）Ｃ０ ＝１．
１０

观察例６的 （１）与 （２），（３）与 （４）的结果，你有什么发现？（１）与 （２）分
别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？
２４ 第六章 计数原理例７ 在１００件产品中，有９８件合格品，２件次品．从这１００件产品中任意抽出３件．
（１）有多少种不同的抽法？
（２）抽出的３件中恰好有１件是次品的抽法有多少种？
（３）抽出的３件中至少有１件是次品的抽法有多少种？
分析：（１）从１００件产品中任意抽出３件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；
（２）可以先从２件次品中抽出１件，再从９８件合格品中抽出２件，因此可以看作是一个
分步完成的组合问题；（３）从１００件产品抽出的３件中至少有１件是次品，包括有１件次
品和有２件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解：（１）所有的不同抽法种数，就是从１００件产品中抽出３件的组合数，所以抽法种
数为
Ａ３ １００×９９×９８
Ｃ３
１００
＝
Ａ
１
３
００＝
３！
＝１６１７００；
３
（２）从２件次品中抽出１件的抽法有Ｃ１ 种，从９８件合
２
格品中抽出２件的抽法有Ｃ２ 种，因此抽出的３件中恰好有１
９８
件次品的抽法种数为 从２件次品中抽出１
件的抽法数可以是Ａ１ 吗？
９８×９７ ２
Ｃ１
２
×Ｃ２
９８
＝２×
２！
＝９５０６．
（３）方法１ 从１００件产品抽出的３件中至少有１件是次品，包括有１件次品和有２件
次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的３件中至少有１件是次品的抽法种数为
Ｃ１×Ｃ２ ＋Ｃ２×Ｃ１ ＝９５０６＋９８＝９６０４．
２ ９８ ２ ９８
方法２ 抽出的３件中至少有１件是次品的抽法种数，就是从１００件产品中抽出３件
的抽法种数减去３件都是合格品的抽法种数，即
９８×９７×９６
Ｃ３
１００
－Ｃ３
９８
＝１６１７００－
３！
＝９６０４．
当狀和犿取较小数值时，可以通过手算得出Ａ犿 和Ｃ犿．当狀和犿取较大数值时，可
狀 狀
以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确．许多信息技术工具都有计算排列数Ａ犿 和
狀
组合数Ｃ犿 的内置函数，输入狀和犿的值后，便可以直接得到结果．
狀

１．先计算，然后用计算工具检验：
（１）Ｃ２； （２）Ｃ７； （３）Ｃ３－Ｃ２； （４）３Ｃ３－２Ｃ２．
６ ９ ７ ６ ８ ５
犿＋１
２．求证：Ｃ犿＝ Ｃ犿＋１．
狀 狀＋１ 狀＋１
３．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这６门学科的学业水平考试成绩，现要从中选３门考试成绩．
第六章 计数原理 ２５（１）共有多少种不同的选法？
（２）如果物理和化学恰有１门被选，那么共有多少种不同的选法？
（３）如果物理和化学至少有１门被选，那么共有多少种不同的选法？
习题６．２

１．先计算，然后用计算工具检验：
（１）５Ａ３＋４Ａ２； （２）Ａ１＋Ａ２＋Ａ３＋Ａ４．
５ ４ ４ ４ ４ ４
２．先计算，然后用计算工具检验：
（１）Ｃ３； （２）Ｃ１９７； （３）Ｃ３÷Ｃ４； （４）Ｃ狀 ·Ｃ狀－２．
１５ ２００ ６ ８ 狀＋１ 狀
３．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各１张，一共可以组成多少种币值？
４．填空题
（１）有３张参观券，要在５人中确定３人去参观，不同方法的种数是 ；
（２）要从５件不同的礼物中选出３件分别送３位同学，不同方法的种数是 ；
（３）５名工人各自在３天中选择１天休息，不同方法的种数是 ；
（４）集合犃有犿个元素，集合犅有狀个元素，从两个集合中各取１个元素，不同方法的种数
是 ．
５．一名同学有４本不同的数学书，５本不同的物理书，３本不同的化学书，现要将这些书放在一
个单层的书架上．
（１）如果要选其中的６本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？
（２）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？
６．（１）空间中有８个点，其中任何４个点不共面，过每３个点作一个平面，可以作多少个平面？
（２）空间中有１０个点，其中任何４个点不共面，过每４个点为顶点作一个四面体，可以作多
少个四面体？
７．在一次考试的选做题部分，要求在第１题的４个小题中选做３个小题，在第２题的３个小题中
选做２个小题，在第３题的２个小题中选做１个小题，有多少种不同的选法？

８．求证：
（狀＋１）！ 狀！ （狀－犽＋１）·狀！
（１）Ａ狀 狀 ＋ ＋ １ １ －Ａ 狀 狀＝狀２Ａ狀 狀 － － １ １ ； （２） 犽！ － （犽－１）！ ＝ 犽！ （犽≤狀）．
９．学校要安排一场文艺晚会的１１个节目的演出顺序．除第１个节目和最后１个节目已确定外，４
个音乐节目要求排在第２，５，７，１０的位置，３个舞蹈节目要求排在第３，６，９的位置，２个
曲艺节目要求排在第４，８的位置，有多少种不同的排法？
２６ 第六章 计数原理１０．班上每个小组有１２名同学，现要从每个小组选４名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．
（１）每个小组有多少种选法？
（２）如果还要从选出的同学中指定１名作替补，那么每个小组有多少种选法？
（３）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？
１１．一个数阵有犿行狀列，第一行中的狀个数互不相同，其余行都由这狀个数以不同的顺序组
成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么犿的值最大可取多少？
１２． （１）从０，２，４，６中任取３个数字，从１，３，５中任取２个数字，一共可以组成多少个没有
重复数字的五位数？
（２）由数字０，１，２，３，４，５，６可以组成多少个没有重复数字，并且比５００００００大的正整数？
１３．从５名男生和４名女生中选出４人去参加一项创新大赛．
（１）如果４人中男生女生各选２人，那么有多少种选法？
（２）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（３）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有１人在内，那么有多少种选法？
（４）如果４人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
１４．一个宿舍的６名同学被邀请参加一个晚会．
（１）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
（２）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
１５．从含有３件次品的１００件产品中，任意抽取５件进行检验．
（１）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？
（２）抽出的产品中恰好有２件是次品的抽法有多少种？
（３）抽出的产品中至少有２件是次品的抽法有多少种？
（４）抽出的产品中至多有２件是次品的抽法有多少种？
 
１６．根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从１～３７这３７个数中选取７个数．如果所选７个
数与开出的７个数一样 （不管排列顺序），彩票即中一等奖．
（１）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？
１
（２）如果要将一等奖的中奖机会提高到 以上且不超过 

３００００００
１ 

，可在３７个数中取几个数？ 

２００００００
１７．如图，现要用５种不同的颜色对某市的４个区县地图进行着色，要 

求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色
方法？
（第１７题）
１８．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加
“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个 “群”（“群里”的人彼此不一定是 “好友”关
系）共同交流．如果某人在平台上发了信息，他的 “好友”都可以看到，但 “群”里的非 “好友”
第六章 计数原理 ２７
书书书不能看到．现有一个１０人的 “群”，其中１人在平台上发了一条信息，“群”里有３人说看到
了，那么这个 “群”里与发信息这人是 “好友”关系的情况可能有多少种？
１９．甲、乙、丙、丁、戊共５名同学进行劳动技术比赛，决出第１名到第５名的名次．甲和乙去
询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差
的．”从这两个回答分析，５人的名次排列可能有多少种不同情况？

组合数的两个性质
在例６中，我们已经发现Ｃ３ 与Ｃ７ ，Ｃ０ 与Ｃ１０ 都是相同的数．现在再用计算工
１０ １０ １０ １０
具计算下列各组组合数的值，还能发现什么？你能解释你的发现吗？
Ｃ５ 与Ｃ７ ，Ｃ４ 与Ｃ１１ ，Ｃ３ 与Ｃ１５．
１２ １２ １５ １５ １８ １８
通过计算不难发现，各组的两个组合数都相等．观察同组的两个组合数，还
可以发现，它们的上标之和等于下标，即
５＋７＝１２，４＋１１＝１５，３＋１５＝１８．
如何解释上述结果呢？
等式的两边是对同一问题的两个等价解释，这启发我们，如果把Ｃ５ 解释为
１２
“从１２名学生中选出５人参加某项活动的选法种数”，那么Ｃ７ 可以解释为 “从１２名
１２
学生中留下７人不参加活动的选法种数”．由于留下７人后其余５人就是参加活动
的，所以不参加活动的人员选法种数Ｃ７ 就等于参加活动的人员选法种数Ｃ５ ，即有
１２ １２
Ｃ５ ＝Ｃ７ ．
１２ １２
一般地，从狀个不同元素中取出犿个元素后，必然剩下（狀－犿）个元素，因
此从狀个不同元素中取出犿个元素的组合，与剩下的（狀－犿）个元素的组合一一
对应．这样，从狀个不同元素中取出犿个元素的组合数，等于从这狀个不同元素
中取出（狀－犿）个元素的组合数．于是我们有
性质１ Ｃ犿＝Ｃ狀－犿．
狀 狀
由于Ｃ０＝１，因此上面的等式在犿＝狀时也成立．
狀
在推导性质１时，我们运用了说明组合等式的一个常用而重要的方法，即把
等号两边的不同表达式解释为对同一个组合问题的两个不同的计数方案．
你能根据上述思想方法，利用分类加法计数原理，说明下面的组合数性质吗？
性质２ Ｃ犿 ＝Ｃ犿＋Ｃ犿－１．
狀＋１ 狀 狀
２８ 第六章 计数原理６３ 二项式定理
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它
们解决一个在数学上有着广泛应用的（犪＋犫）
狀
展开的问题．
６３１
! ’()*+

我们知道，
（犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ，
（犪＋犫） ３＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３．
（１）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
（２）根据你发现的规律，你能写出（犪＋犫）４ 的展开式吗？
（３）进一步地，你能写出（犪＋犫）
狀
的展开式吗？
我们先来分析（犪＋犫）２ 的展开过程．根据多项式乘法法则，
（犪＋犫）２＝（犪＋犫）（犪＋犫）
＝犪（犪＋犫）＋犫（犪＋犫）
＝犪×犪＋犪×犫＋犫×犪＋犫×犫
＝犪２＋２犪犫＋犫２．
可以看到，（犪＋犫）２ 是２个（犪＋犫）相乘，只要从一个（犪＋犫）中选一项 （犪或犫），再从另一个
（犪＋犫）中选一项 （犪或犫），相乘就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类
项之前，（犪＋犫）２ 的展开式共有Ｃ１×Ｃ１＝２２ 项，而且每一项都是犪２－犽犫犽 （犽＝０，１，２）的形式．
２ ２
下面我们再来分析一下形如犪２－犽犫犽 的同类项的个数．
当犽＝０时，犪２－犽犫犽＝犪２ ，这是由２个（犪＋犫）中都不选犫得到的．因此，犪２ 出现的次
数相当于从２个（犪＋犫）中取０个犫（都取犪）的组合数Ｃ０ ，即犪２ 只有１个．
２
当犽＝１时，犪２－犽犫犽＝犪犫，这是由１个（犪＋犫）中选犪，另１个（犪＋犫）中选犫得到的．由
于犫选定后，犪的选法也随之确定，因此，犪犫出现的次数相当于从２个（犪＋犫）中取１个犫
的组合数Ｃ１ ，即犪犫共有２个．
２
当犽＝２时，犪２－犽犫犽＝犫２ ，这是由２个（犪＋犫）中都选犫得到的．因此，犫２ 出现的次数
相当于从２个（犪＋犫）中取２个犫的组合数Ｃ２ ，即犫２ 只有１个．
２
由上述分析可以得到
（犪＋犫）２＝Ｃ０犪２＋Ｃ１犪犫＋Ｃ２犫２．
２ ２ ２
第六章 计数原理 ２９
仿照上述过程，你能利用计数原理，写出（犪＋犫）
３
，（犪＋犫）
４
的展开式吗？
从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数狀，我们有如下猜想：
（犪＋犫） 狀＝Ｃ０犪狀＋Ｃ１犪狀－１犫１＋…＋Ｃ犽犪狀－犽犫犽＋…＋Ｃ狀犫狀 ，狀∈犖

． （１）
狀 狀 狀 狀
下面我们对上述猜想的正确性予以说明．
由于 （犪＋犫）
狀
是狀个 （犪＋犫）相乘，每个 （犪＋犫）在相乘时有两种选择，选犪或犫，
而且每个 （犪＋犫）中的犪或犫都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项．因此，由分
步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，（犪＋犫）
狀
的展开式共有２狀 项，其中每一项都是
犪狀－犽犫犽 （犽＝０，１，…，狀）的形式．
对于每个犽（犽＝０，１，２，…，狀），对应的项犪狀－犽犫犽 是由 （狀－犽）个 （犪＋犫）中选
犪，另外犽个 （犪＋犫）中选犫得到的．由于犫选定后，犪的选法也随之确定，因此，犪狀－犽犫犽
出现的次数相当于从狀个 （犪＋犫）中取犽个犫的组合数Ｃ犽．这样，（犪＋犫）
狀
的展开式中，
狀
犪狀－犽犫犽 共有Ｃ犽 个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式．
狀
公式 （１）叫做二项式定理 （ｂｉｎｏｍｉａｌｔｈｅｏｒｅｍ），右边的多项式叫做（犪＋犫）
狀
的二项
展开式，其中各项的系数Ｃ犽 （犽＝０，１，２，…，狀）叫做二项式系数．式中的Ｃ犽犪狀－犽犫犽 叫
狀 狀
做二项展开式的通项，用犜 表示，即通项为展开式的第犽＋１项：
犽＋１
犜 ＝Ｃ犽犪狀－犽犫犽．
犽＋１ 狀
在二项式定理中，若设犪＝１，犫＝狓，则得到公式：
（１＋狓） 狀＝Ｃ０＋Ｃ１狓＋Ｃ２狓２＋…＋Ｃ犽狓犽＋…＋Ｃ狀狓狀．
狀 狀 狀 狀 狀
（ １）
例１ 求狓＋ ６的展开式．
狓
解：根据二项式定理，
（ １）
狓＋ ６＝（狓＋狓－１）６
狓
＝Ｃ０狓６＋Ｃ１狓５狓－１＋Ｃ２狓４狓－２＋Ｃ３狓３狓－３＋Ｃ４狓２狓－４＋Ｃ５狓１狓－５＋Ｃ６狓－６
６ ６ ６ ６ ６ ６ ６
＝狓６＋６狓４＋１５狓２＋２０＋１５狓－２＋６狓－４＋狓－６．
例２ （１）求（１＋２狓）７ 的展开式的第４项的系数；
（１＋２狓）７ 的展开式的
第４项的二项式系数是
（ １）
６
（２）求 ２槡狓－ 的展开式中狓２ 的系数． Ｃ３＝３５．一个二项展开式
槡狓 ７
的某一项的二项式系数与
解：（１）（１＋２狓）７ 的展开式的第４项是
这一项的系数是两个不同
犜 ＝Ｃ３×１７－３×（２狓） ３ 的概念．
３＋１ ７
３０ 第六章 计数原理＝Ｃ３×２３狓３＝３５×８×狓３
７
＝２８０狓３．
因此，展开式第４项的系数是２８０．
（ １）
６
（２） ２槡狓－ 的展开式的通项是
槡狓
Ｃ犽 （ ２槡狓 ） ６－犽
（
－
１）
犽 ＝（－１） 犽２６－犽Ｃ犽狓３－犽．
６ 槡狓 ６
根据题意，得
３－犽＝２，
犽＝１．
因此，狓２ 的系数是
（－１）×２５×Ｃ１＝－１９２．
６

１．写出（狆＋狇）５ 的展开式．
２．求（２犪＋３犫）６ 的展开式的第３项．
（ ）
１ 狀
３．写出 槡３狓－ 的展开式的第狉＋１项．
２槡３狓
４．（狓－１）１０ 的展开式的第６项的系数是 （ ）．
（Ａ）Ｃ６ （Ｂ）－Ｃ６ （Ｃ）Ｃ５ （Ｄ）－Ｃ５
１０ １０ １０ １０
５．在（狓－１）（狓－２）（狓－３）（狓－４）（狓－５）的展开式中，含狓４ 的项的系数是 ．
６３２
! ’(),$-./
（犪＋犫）
狀
的展开式的二项式系数
Ｃ０ ，Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃ犽 ，…，Ｃ狀
狀 狀 狀 狀 狀
有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究．

用计算工具计算（犪＋犫）
狀
的展开式的二项式系数，并填入表６．３１．
表６３１
狀 （犪＋犫）狀 的展开式的二项式系数
１
２
第六章 计数原理 ３１续表
狀 （犪＋犫）狀 的展开式的二项式系数
３
４
５
６
通过计算、填表，你发现了什么规律？
从表６．３１可以发现，每一行中的系数具有对称性．除此以外还有什么规律呢？为了
便于发现规律，上表还可以写成如图６．３１所示的形式．
a b ……………………………………………  
a b ………………………………………  
表示形式的变化常常
a b …………………………………   
能帮助我们发现某些规律．
a b ……………………………     
a b ………………………     
a b …………………       
图６．３１
观察图６．３１，你还能发现哪些规律？
f(r)
对于（犪＋犫）
狀
的展开式的二项式系数
20
Ｃ０ ，Ｃ１ ，Ｃ２ ，…，Ｃ狀 ，
15
狀 狀 狀 狀
我们还可以从函数的角度分析它们．Ｃ狉 可看成以狉为自变
10
狀
量的函数犳（狉），其定义域是
5
｛０，１，２，…，狀｝．
O 1 2 3 4 5 6 r
对于确定的狀，我们还可以画出它的图象．例如，当狀＝６
图６．３２
时，函数犳（狉）＝Ｃ狉狉（∈｛０，１，２，３，４，５，６｝）的图象
狀
是７个离散点，如图６．３２所示．

（１）观察图６．３２，你发现了什么规律？
（２）请你分别画出狀＝７，８，９时函数犳（狉）＝Ｃ狉 的图象，比较它们的异同，你
狀
发现了什么规律？
分析图６．３１和图６．３２，可以得到二项式系数的以下性质．
３２ 第六章 计数原理１对称性
与首末两端 “等距离”的两个二项式系数相等．事实
上，这一性质可直接由Ｃ犿＝Ｃ狀－犿? 得到．
狀 狀 ?你能用组合的意义
狀
直线狉＝ 将函数犳（狉）＝Ｃ狉 的图象分成对称的两部分， 解释一下这个 “组合等
２ 狀
式”吗？
它是图象的对称轴．
２增减性与最大值
因为
狀（狀－１）…（狀－犽＋２）（狀－犽＋１） 狀－犽＋１
Ｃ犽 狀 ＝ （犽－１）！犽 ＝Ｃ犽 狀 －１ 犽 ，
即
Ｃ犽 狀－犽＋１
狀 ＝ ，
Ｃ犽－１ 犽
狀
狀－犽＋１ 狀＋１ 狀＋１
所以，当 ＞１，即犽＜ 时，Ｃ犽 随犽的增加而增大；由对称性知，当犽＞
犽 ２ 狀 ２
时，Ｃ犽 随犽的增加而减小．当狀是偶数时，中间的一项Ｃ狀 取得最大值；当狀是奇数时，
狀 狀２
中间的两项Ｃ狀－１ 与Ｃ狀＋１ 相等，且同时取得最大值．
狀２ 狀２
３各二项式系数的和
已知
（１＋狓） 狀＝Ｃ０＋Ｃ１狓＋Ｃ２狓２＋…＋Ｃ狀狓狀 ，
狀 狀 狀 狀
令狓＝１，得
２狀＝Ｃ０＋Ｃ１＋Ｃ２＋…＋Ｃ狀．
狀 狀 狀 狀
这就是说，（犪＋犫）
狀
的展开式的各二项式系数的和等于２狀．
例３ 求证：在（犪＋犫）
狀
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式
系数的和．
分析：奇数项的二项式系数的和为
Ｃ０＋Ｃ２＋Ｃ４＋…，
狀 狀 狀
偶数项的二项式系数的和为
?实际上，犪，犫既可
Ｃ１＋Ｃ３＋Ｃ５＋…．
狀 狀 狀 以取任意实数，也可以取任
由于
意多项式，还可以是别的．
（犪＋犫） 狀＝Ｃ０犪狀＋Ｃ１犪狀－１犫＋Ｃ２犪狀－２犫２＋…＋Ｃ狀犫狀 我们可以根据具体问题的需
狀 狀 狀 狀
中的犪，犫 可以取任意实数，因此我们可以通过对犪，犫适 要灵活选取犪，犫的值．
?
当赋值来得到上述两个系数和．
证明：在展开式
（犪＋犫） 狀＝Ｃ０犪狀＋Ｃ１犪狀－１犫＋Ｃ２犪狀－２犫２＋…＋Ｃ狀犫狀
狀 狀 狀 狀
中，令犪＝１，犫＝－１，则得
第六章 计数原理 ３３（１－１） 狀＝Ｃ０－Ｃ１＋Ｃ２＋…＋（－１） 犽Ｃ犽＋…＋（－１） 狀Ｃ狀．
狀 狀 狀 狀 狀
即
（Ｃ０＋Ｃ２＋Ｃ４＋…）－（Ｃ１＋Ｃ３＋Ｃ５＋…）＝０．
狀 狀 狀 狀 狀 狀
因此，
Ｃ０＋Ｃ２＋Ｃ４＋…＝Ｃ１＋Ｃ３＋Ｃ５＋…，
狀 狀 狀 狀 狀 狀
即在（犪＋犫）
狀
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

１．填空题
（１）Ｃ１＋Ｃ３＋Ｃ５＋…＋Ｃ１１＝ ；
１１ １１ １１ １１
Ｃ０＋Ｃ１＋Ｃ２＋…＋Ｃ狀
（２） 狀 狀 狀 狀 ＝ ．
Ｃ０ ＋Ｃ１ ＋Ｃ２ ＋…＋Ｃ狀＋１
狀＋１ 狀＋１ 狀＋１ 狀＋１
２．证明：Ｃ０＋Ｃ２＋Ｃ４＋…＋Ｃ狀＝２狀－１ （狀是偶数）．
狀 狀 狀 狀
３．写出狀从１到１０的二项式系数表．
４．若一个集合含有狀个元素，则这个集合共有多少个子集？
习题６．３

１．选择题
（１）在（１－狓）５＋（１－狓）６＋（１－狓）７＋（１－狓）８ 的展开式中，含狓３ 的项的系数是 （ ）．
（Ａ）７４ （Ｂ）１２１ （Ｃ）－７４ （Ｄ）－１２１
（２）（狓＋１）狀 的展开式中狓２ 的系数为１５，则狀＝ （ ）．
（Ａ）７ （Ｂ）６ （Ｃ）５ （Ｄ）４
２．（狓＋狔）（狓－狔）５ 的展开式中狓３狔３ 的系数是 ．
３．用二项式定理展开：
（ ）
槡狓 ２
（１）（ 犪＋３槡犫 ） ９； （２） － ７ ．
２ 槡狓
４．化简：
（１）（ １＋槡狓 ） ５＋（ １－槡狓 ） ５； （２）（２狓１＋３狓－１）４＋（２狓１－３狓－１）４．
２ ２ ２ ２
５． （１）求（１－２狓）１５ 的展开式的前４项；
（２）求（２犪３－３犫２）１０ 的展开式的第８项；
（ ）
槡狓 ３ １２
（３）求 － 的展开式的中间一项；
３ 槡狓
（４）求（ 狓槡狔－狔槡狓 ） １５的展开式的中间两项．
３４ 第六章 计数原理６．求下列各式的二项展开式中指定项的系数：
（ ） （ ）
１ １０ １ １ １０
（１）１－ 的含 的项； （２） ２狓３－ 的常数项．
２狓 狓５ ２狓３

７．证明：
（ ）
１ ２狀 １×３×５×…×（２狀－１）
（１）狓－
狓
的展开式中常数项是（－２）狀
狀！
；
１×３×５×…×（２狀－１）
（２）（１＋狓）２狀 的展开式的中间一项是
狀！
（２狓）狀．
８．已知（１＋狓）狀 的展开式中第４项与第８项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数．
９．用二项式定理证明：
（１）（狀＋１）狀－１能被狀２ 整除；
（２）９９１０－１能被１０００整除．
 
１０．求证：２狀－Ｃ１×２狀－１＋Ｃ２×２狀－２＋…＋（－１）狀－１Ｃ狀－１×２＋（－１）狀＝１．
狀 狀 狀
１１．下图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：


e
  
a 
 a n 
m 
n


N

 
 
 
 
  
  m
a b  a b  a b  a b n 
n


N  



  
 

a b n 
n


Q


  
   
a b n 
n  a b n 
n


N  x n 
x 
n


R


 x n 
x 
n


C
（第１１题）
（１）在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般．如今，数学研究的一个
发展趋势就是尽可能地一般化．请你试一试，从 （犪＋犫）狀 推广到 （犪＋犪＋…＋犪）狀
１ ２ 犿
（犿，狀∈犖 ）．
（２）请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从３次到狀次，从二项到犿项
等，说一说数学家是如何发现问题和解决问题的．
第六章 计数原理 ３５
01 234567
 
 
     

’1 89:;<
本章我们首先学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理；然后，从一
般到特殊，学习了两类特殊的计数问题———排列与组合，并用两个计数原理推
导出排列数公式与组合数公式；最后，作为一个应用，根据多项式的乘法运算
法则和计数原理推导出了二项式定理，并研究了二项式系数的一些性质．
当我们面对一个复杂问题时，通过分类或分步，将它分解成为一些简单的
问题．先解决简单问题，然后再将它们整合起来得到整个问题的解答，达到以
简驭繁的效果，这是一种重要而基本的思想方法．两个计数原理就是这种思想
的体现．分类加法计数原理对应着 “分类”活动，而且每一类方法都能完成相
应的事情；分步乘法计数原理对应着 “分步”活动，而且只有完成每一个步骤
才能完成相应的事情．如果从集合的角度来考虑，那么分类加法计数原理表明
了这样一个事实：将集合犝分成一些两两不交的子集犛，犛，…，犛，而且
１ ２ 犽
犛（犻＝１，２，…，犽）的元素个数分别为狀，那么集合犝的元素个数
犻 犻
狀＝狀＋狀＋…＋狀．
１ ２ 犽
排列、组合是两类特殊的计数问题．排列的特殊性在于排列中元素的 “互
异性”和 “有序性”，组合的特殊性在于它只有元素的 “互异性”而不需要考虑
顺序．我们看到，排列与组合之间有紧密的联系，从狀个不同元素中取出
犿（犿≤狀）个元素的组合可以看成是相应排列的一个步骤．
二项式定理是计数原理在多项式展开中的应用．把（犪＋犫）
狀
的展开相乘看成
是作狀次选取，每次有２种选择———犪或犫，因此，展开式中的每一项都是
犪狀－犽犫犽 （犽＝０，１，…，狀）的形式．利用分步乘法计数原理可知，合并同类项前
共有２狀 项，每一项犪狀－犽犫犽 都可以看作是在狀个 （犪＋犫）中恰好有犽个取犫得到
的，从而同类项的个数为Ｃ犽．
狀
３６ 第六章 计数原理在本章中，无论是概念的得出还是数学公式的推导，都是从特殊到一般，
从具体到抽象，通过归纳而得出的，这是代数中研究问题的基本方法，也是数
学学习中经常使用的思维方法．
请你结合下面的问题，复习一下全章的内容吧！
１．在数学学习中，举例是理解一般原理的好方法．例如，进入一个院子要
通过一道墙，这道墙左边有犿个门，右边有狀个门，那么进入院子的方法数为
犿＋狀（犿，狀分别表示走左、右边进入院子的方法数）；进入一个院子要通过两
道墙，第一道墙有犿个门，第二道墙有狀个门，那么进入院子的方法数为犿×
狀（犿，狀分别表示通过第一、第二道墙的方法数）．你能再举几个应用两个计数
原理的例子吗？你觉得在分类和分步时需要注意些什么？
２．加强数学知识间的联系，是深入理解知识的重要方法．例如，把本章的
知识与集合的有关内容联系起来，可以简洁地表述有关原理．你能举例说明吗？
３．举例说明排列和组合的特殊性．
４．运用计数原理和组合知识推导二项式定理，是一个有奇趣、有意味的过
程．请回味这个过程，并和同学谈谈你的学习体会．
５．请你回顾本章学习过程，结合具体知识，如计数原理、排列数公式、组合数
公式或二项式定理，谈谈这些知识的获得是如何从特殊到一般，或从具体到抽象的？
复习参考题６

１．填空题
（１）乘积 （犪＋犪＋…＋犪）（犫＋犫＋…＋犫）展开后，共有 项；
１ ２ 狀 １ ２ 狀
（２）学生可从本年级开设的７门选修课中任意选择３门，并从６种课外活动小组中选择２种，
不同的选法种数是 ；
（３）安排６名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法
的种数是 ；
（４）５个人分４张无座足球票，每人至多分１张，而且票必须分完，那么不同分法的种数
是 ；
（５）５名同学去听同时举行的３个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的１个讲座，不
同选择的种数是 ；
（６）正十二边形的对角线的条数是 ；
第六章 计数原理 ３７（７）（１＋狓）２狀 的展开式中，系数最大的项是第 项．
２．一个集合有５个元素．
（１）这个集合的含有３个元素的子集有多少个？
（２）这个集合的子集共有多少个？
３．填空题
（１）已知Ｃ狀－１＝２１，那么狀＝ ；
狀＋１
（２）某班一天上午有４节课，下午有２节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、
艺术６堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是 ；
（３）某人设计的电脑开机密码由２个英文字母后接４个数字组成，且２个英文字母不相同，该
密码可能的个数是 ；
（４）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 ；
（５）在 （１－２狓）狀 的展开式中，各项系数的和是 ．
４． （１）平面内有狀条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？
（２）空间有狀个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？

５． （１）求 （１－２狓）５ （１＋３狓）４ 的展开式中按狓的升幂排列的第３项；
（ ）
１ １８
（２）求 ９狓＋ 的展开式的常数项；
３ 槡狓
（３）已知 （１＋槡狓）狀 的展开式中第９项、第１０项、第１１项的二项式系数成等差数列，求狀；
（４）求 （１＋狓＋狓２）（１－狓）１０ 的展开式中狓４ 的系数；
（５）求 （狓２＋狓＋狔）５ 的展开式中狓５狔２ 的系数．
６．用二项式定理证明５５５５＋９能被８整除．（提示：５５５５＋９＝（５６－１）５５＋９．）
７． （１）平面内有两组平行线，一组有犿条，另一组有狀条，这两组平行线相交，可以构成多少
个平行四边形？
（２）空间有三组平行平面，第一组有犿个，第二组有狀个，第三组有犾个，不同两组的平面
都相交，且交线不都平行，可以构成多少个平行六面体？
８．某种产品的加工需要经过５道工序．
（１）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（２）如果其中某２道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（３）如果其中某２道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（４）如果其中某２道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
 
９．在 （１＋狓）３＋（１＋狓）４＋…＋（１＋狓）狀＋２ 的展开式中，含狓２ 项的系数是多少？
１０．你能构造一个实际背景，对等式Ｃ犽·Ｃ犿－犽＝Ｃ犿·Ｃ犽 的意义作出解释吗？
狀 狀－犽 狀 犿
３８ 第六章 计数原理 
杨辉三角的性质与应用
在探究（犪＋犫）
狀
的展开式的二项式系数性质时，我们曾把系数写成一张表 （图１），借
助它发现了系数的一些规律．事实上，在我国南宋数学家杨辉１２６１年所著的 《详解九章
算法》一书中，就已经出现了这个表．所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本
书里是用汉字表示 （图２）．我们称这个表为杨辉三角．
 
 



 


a b ……………………………………………     

a b ………………………………………      
a b …………………………………          

     
a b ……………………………      
      
a b ………………………         
    
a b …………………           
    
      
 
图１ 图２
杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有
《详解九章算法》 《日用算法》和 《杨辉算法》．在编写这些
算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解
许多已经失传的数学方法．杨辉在 《详解九章算法》里指
? “释锁”和开方有
出，杨辉三角这种方法出于 《释锁》 算书，且我国北宋数
?
关．杨辉三角原名为 “开方
学家贾宪 （约１１世纪）曾用过．由此可以推断，我国发现
作法本源图”，也有人称它
这个表不晚于１１世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学 为 “乘方求廉图”，在我国
家帕斯卡 （Ｂ．Ｐａｓｃａｌ，１６２３—１６６２）首先发现的，他们把这 古代用来作为开方的工具．
个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲
早５００年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题．下面
让我们一起来探索吧！
数学探究 杨辉三角的性质与应用 ３９01=>-?@A BCDE-./:FG
（一）杨辉三角的性质
１．观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、
斜行等，画一画，连一连，算一算，写出你发现的结论．
例如：
（１）结合图１和图２，可以发现，杨辉三角的第狀行的第狉个数可以表示为Ｃ狉－１ ，第
狀
狀行就是（犪＋犫）
狀
的展开式的二项式系数，如图３所示．


 


  


   


    


     


      


       
 
第狀－１行 １ Ｃ１ Ｃ２ … Ｃ狉－１ Ｃ狉 … Ｃ狀－２ １
狀－１ 狀－１ 狀－１ 狀－１ 狀－１
第狀行 １ Ｃ１ Ｃ２ … Ｃ狉－１ Ｃ狉 Ｃ狉＋１ … Ｃ狀－１ １
狀 狀 狀 狀 狀 狀
 
图３
（２）观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个
1
腰上的数都是１，其余的数都等于它肩上的两个数相加．
1 1
如图４所示，２＝１＋１，３＝１＋２，４＝１＋３，６＝３＋３，…． 1 2 1
1 3 3 1
一般地，有
1 4 6 4 1
Ｃ狉＝Ｃ狉－１＋Ｃ狉 ． ① 1 5 10 10 5 1
狀 狀－１ 狀－１
1 6 15 20 15 6 1
２．利用已学知识，尝试对所得结论进行证明．
图４
例如，对于①式，可按如下方式进行证明．
因为
（狀－１）！ （狀－１）！
Ｃ狉 狀 － － １ １ ＋Ｃ狉 狀－１ ＝ 狉（－１）！（狀－狉）！ ＋ 狉！（狀－１－狉）！
（狀－１）！
＝ ［狉＋（狀－狉）］
狉！（狀－狉）！
狀！
＝ ，
狉！（狀－狉）！
又
狀！
Ｃ狉
狀
＝
狉！（狀－狉）！
，
４０ 数学探究 杨辉三角的性质与应用所以
Ｃ狉＝Ｃ狉－１＋Ｃ狉 ．
狀 狀－１ 狀－１ ?利用数学知识间的联
上式是杨辉三角最基本的性质，也是二项式系数和组合
系性，我们可以从不同角度
数的性质．正因为杨辉三角中的数与开方、解方程，以及组
? 研究这些性质．结合已有知
合数学、概率论中的有关问题都有密切的关系，所以历代数 识，对比一下不同角度发现
学家从不同角度研究它的性质，例如帕斯卡在 《论算术三 和证明性质的过程，说一说
角》一书中就给出了１９条性质．你也来试一试吧，看能发 自己的体会．
现和证明多少性质！
（二）杨辉三角的应用
在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题等．
例如，开方古算题 （出自杨辉 《详解九章算法》）：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何．
在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方．因此，这个问题相
当于解方程狓４＝１３３６３３６．
杨辉三角 （图２）中的五句话，前三句 “左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分
别说明了图中数字代表的意义，后两句 “以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行
系数进行开方．
你可以查阅相关书籍或上网搜索相关资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含
的算法思想，感受我国古代数学的独特风格．
再如，数列古算题 （出自杨辉 《详解九章算法》）：
三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何．
在我国古代，很多数学家研究数列的问题，并取得了辉煌
的成就．就像通过研究 “三角垛”这样的一类问题———垛积问
题，发现了一系列数列的求和公式．上述三角垛问题一般化
后，就相当于如下将圆球堆成三角垛的问题：
图５
底层是每边堆狀个圆球的三角形 （如图５），向上逐层每
边减少１个，顶层是１个，求总数．
利用杨辉三角，就可以解决以上问题，并获得每层圆球数所构成的数列的一般求和公
式．你可以试一试．
除此之外，你还可以通过查阅相关书籍或上网搜索相关资料，从杨辉三角出发，一步
步探究，拓展到更多类数列的问题．
’1H=>IJ-KL
以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动．建议按如下步骤完成：
１．小组集体讨论探究方案，确定研究思路．
数学探究 杨辉三角的性质与应用 ４１２．小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告．
３．小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告．
４．全班进行成果交流、评价．
D1M>NO-P<Q)
杨辉三角的性质与应用
年级 班 完成时间：
１．课题组成员及分工
２．发现的数学结论及发现过程概述
３．证明思路及其形成过程描述
４．结论的证明或否定
５．杨辉三角的应用举例
６．收获与体会
４２ 数学探究 杨辉三角的性质与应用第七章
随机变量及其分布
概率是随机事件发生可能性大小的度量．在必修课程的概率
学习中，我们结合古典概型，研究了简单随机事件及其概率的计
算方法，并讨论了概率的一些性质．本章将在此基础上，结合古
典概型，研究随机事件的条件概率，建立概率的乘法公式和全概
率公式，并用它们计算较复杂事件的概率．
为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的
规律，本章我们还将把随机试验的结果数量化，引入随机变量的
概念．对离散型随机变量，我们主要研究其分布列及数字特征，
并对二项分布、超几何分布进行重点研究．对于连续型随机变
量，我们只研究服从正态分布的情况．通过用随机变量描述和分
析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的
作用及概率思想和方法的特点．
书书书７１ 条件概率与全概率公式
在必修 “概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验
中两个事件犃与犅同时发生（积事件犃犅）的概率的问题．当
事件犃与犅相互独立时，有
犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅）．
如果事件犃与犅不相互独立，如何表示积事件犃犅的概率
呢？下面我们从具体问题入手．
７１１
! "#$%
问题１ 某个班级有４５名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表７．１１
所示．
表７１１ 单位：人
团员 非团员 合计
男生 １６ ９ ２５
女生 １４ ６ ２０
合计 ３０ １５ ４５
在班级里随机选择一人做代表．
（１）选到男生的概率是多少？
（２）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多少？
随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含４５个等可能的样本点．用犃表示事件 “选
到团员”，犅表示事件 “选到男生”，根据表７．１１中的数据可以得出，狀（Ω）＝４５，
狀（犃）＝３０，狀（犅）＝２５．
（１）根据古典概型知识可知，选到男生的概率
狀（犅） ２５ ５
犘（犅）＝ ＝ ＝ ．
狀（Ω） ４５ ９
（２）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是 “在事件犃发生的条件下，事件
犅发生”的概率，记为犘（犅｜犃）．此时相当于以犃为样本空间来考虑事件犅发生的概率，
而在新的样本空间中事件犅就是积事件犃犅，包含的样本点数狀（犃犅）＝１６．根据古典概型
知识可知，
狀（犃犅） １６ ８
犘（犅｜犃）＝ ＝ ＝ ．
狀（犃） ３０ １５
４４ 第七章 随机变量及其分布问题２ 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭．随机选择一个
家庭，那么
（１）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（２）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察 两 个 小 孩 的 性 别，用犫表 示 男 孩，犵 表 示 女 孩，则 样 本 空 间 Ω＝
犫｛犫，犫犵，犵犫，犵犵｝，且所有样本点是等可能的．用犃表示事件 “选择的家庭中有女孩”，
犅表示事件 “选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则犃＝犫｛犵，犵犫，犵犵｝，犅＝｛犵犵｝．
（１）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率
狀（犅） １
犘（犅）＝ ＝ ．
狀（Ω） ４
（２）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是 “在事件犃发
生的条件下，事件犅发生”的概率，记为犘（犅｜犃）．此时犃成为样本空间，事件犅就是
积事件犃犅．根据古典概型知识可知，
狀（犃犅） １
犘（犅｜犃）＝ ＝ ．
狀（犃） ３
在上面两个问题中，在事件犃发生的条件下，事件犅发生的概率都是
狀（犃犅）
犘（犅｜犃）＝ ．
狀（犃）
这个结论对于一般的古典概型仍然成立．事实上，如图７．１１所示，若已知事件犃
发生，则犃成为样本空间．此时，事件犅发生的概率是犃犅包含的样本点数与犃包含的
样本点数的比值，即
狀（犃犅）
犘（犅｜犃）＝ ．
狀（犃） Ω
因为
A AB B
狀（犃犅）
狀（犃犅） 狀（Ω） 犘（犃犅）
犘（犅｜犃）＝ ＝ ＝ ，
狀（犃） 狀（犃） 犘（犃）
图７．１１
狀（Ω）
所以，在事件犃发生的条件下，事件犅发生的概率还可以
犘（犃犅）
通过 来计算．
犘（犃）
一般地，设犃，犅为两个随机事件，且犘（犃）＞０，我们称
犘（犃犅）
犘（犅｜犃）＝
犘（犃）
为在事件犃发生的条件下，事件犅发生的条件概率，简称条件概率 （ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｐｒｏｂａ
ｂｉｌｉｔｙ）．
第七章 随机变量及其分布 ４５
在问题１和问题２中，都有犘（犅｜犃）≠犘（犅）．一般地，犘（犅｜犃）与犘（犅）不一定
相等．如果犘（犅｜犃）与犘（犅）相等，那么事件犃与犅应满足什么条件？
直观上看，当事件犃与犅相互独立时，事件犃发生与否不影响事件犅发生的概率，
这等价于犘（犅｜犃）＝犘（犅）成立．
事实上，若事件犃与犅相互独立，即犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅），且犘（犃）＞０，则
犘（犃犅） 犘（犃）犘（犅）
犘（犅｜犃）＝ ＝ ＝犘（犅）；
犘（犃） 犘（犃）
反之，若犘（犅｜犃）＝犘（犅），且犘（犃）＞０，则
犘（犃犅）
犘（犅）＝ 犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅），
犘（犃）
即事件犃与犅相互独立．
因此，当犘（犃）＞０时，当且仅当事件犃与犅相互独立时，有犘（犅｜犃）＝犘（犅）．

对于任意两个事件犃与犅，如果已知犘（犃）与犘（犅｜犃），如何计算犘（犃犅）呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件犃与犅，若犘（犃）＞０，则
犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅｜犃）．
我们称上式为概率的乘法公式．
例１ 在５道试题中有３道代数题和２道几何题，每次从中随机抽出１道题，抽出的
题不再放回．求：
（１）第１次抽到代数题且第２次抽到几何题的概率；
（２）在第１次抽到代数题的条件下，第２次抽到几何题的概率．
分析：如果把 “第１次抽到代数题”和 “第２次抽到几何题”作为两个事件，那么问
题 （１）就是积事件的概率，问题 （２）就是条件概率．可以先求积事件的概率，再用条件
概率公式求条件概率；也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率．
解：设犃＝ “第１次抽到代数题”，犅＝ “第２次抽到几何题”，则 “第１次抽到代数
题且第２次抽到几何题”就是事件犃犅．
方法１ （１）从５道试题中每次不放回地随机抽取２道，试验的样本空间Ω包含２０个
等可能的样本点，即狀（Ω）＝Ａ２＝５×４＝２０．
５
因为狀（犃犅）＝Ａ１×Ａ１＝３×２＝６，所以
３ ２
４６ 第七章 随机变量及其分布狀（犃犅） ６ ３
犘（犃犅）＝ ＝ ＝ ．
狀（Ω） ２０ １０
（２）“在第１次抽到代数题的条件下，第２次抽到几何题”的概率就是事件犃发生的
３
条件下，事件犅发生的概率．显然犘（犃）＝ ．利用条件概率公式，得
５
３
犘（犃犅） １０ １
犘（犅｜犃）＝ ＝ ＝ ．
犘（犃） ３ ２
５
方法２ 因为狀（犃）＝３×４＝１２，狀（犃犅）＝３×２＝６，所以
狀（犃犅） ６ １
犘（犅｜犃）＝ ＝ ＝ ．
狀（犃） １２ ２
３
又犘（犃）＝ ，利用乘法公式可得
５
３ １ ３
犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅｜犃）＝ × ＝ ．
５ ２ １０
例１求条件概率用了两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算犘（犃）和犘（犃犅），
再利用条件概率公式求犘（犅｜犃）；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了 “犃发生”
的条件后，样本空间缩小为犃，求犘（犅｜犃）就是以犃为样本空间计算犃犅的概率．
在例１中，已知第１次抽到代数题，这时还余下４道试题，其中代数题和几何题各２
２ １
道．显然，事件犃发生的条件下，事件犅发生的概率为犘（犅｜犃）＝ ＝ ．这等价于将犃
４ ２
中的１２个样本点合并为４个等可能的样本点，通常用这种方法求犘（犅｜犃）更便捷．
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设犘（犃）＞０，则
（１）犘（Ω｜犃）＝１；
（２）如果犅和犆是两个互斥事件，则犘（犅∪犆｜犃）＝犘（犅｜犃）＋犘（犆｜犃）；
（３）设犅和犅互为对立事件，则犘（犅｜犃）＝１－犘（犅｜犃）．
例２ 已知３张奖券中只有１张有奖，甲、乙、丙３名同学依次不放回地各随机抽取
１张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙３名同学的中奖概
率是否相等．因为只有１张有奖，所以 “乙中奖”等价于 “甲没中奖且乙中奖”， “丙中
奖”等价于 “甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率．
解：用犃，犅，犆分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则犅＝犃犅，犆＝犃犅 ．
１
犘（犃）＝ ；
３
２ １ １
犘（犅）＝犘（犃犅）＝犘（犃）犘（犅｜犃）＝ × ＝ ；
３ ２ ３
第七章 随机变量及其分布 ４７２ １ １
犘（犆）＝犘（犃犅 ）＝犘（犃）犘（犅｜犃）＝ × ＝ ．
３ ２ ３
因为犘（犃）＝犘（犅）＝犘（犆），所以中奖的概率与抽奖的次序无关．
事实上，在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与
抽奖的次序无关．
例３ 银行储蓄卡的密码由６位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了
密码的最后１位数字．求：
（１）任意按最后１位数字，不超过２次就按对的概率；
（２）如果记得密码的最后１位是偶数，不超过２次就按对的概率．
分析：最后１位密码 “不超过２次就按对”等价于 “第１次按对，或者第１次按错但
第２次按对”．因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的性质求解．
解：（１）设犃＝ “第犻次按对密码”（犻＝１，２），则事件 “不超过２次就按对密码”
犻
可表示为
犃＝犃∪犃犃．
１ １ ２
事件犃与事件犃犃 互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
１ １ ２
１ ９ １ １
犘（犃）＝犘（犃）＋犘（犃犃）＝犘（犃）＋犘（犃）犘（犃｜犃）＝ ＋ × ＝ ．
１ １ ２ １ １ ２ １ １０ １０ ９ ５
１
因此，任意按最后１位数字，不超过２次就按对的概率为 ．
５
（２）设犅＝ “最后１位密码为偶数”，则
１ ４×１ ２
犘（犃｜犅）＝犘（犃｜犅）＋犘（犃犃｜犅）＝ ＋ ＝ ．
１ １ ２ ５ ５×４ ５
２
因此，如果记得密码的最后１位是偶数，不超过２次就按对的概率为 ．
５

１．设犃犅，且犘（犃）＝０．３，犘（犅）＝０．６．根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出
犘（犅｜犃）和犘（犃｜犅）的值，再由条件概率公式进行验证．
２．从一副不含大小王的５２张扑克牌中，每次从中随机抽出１张扑克牌，抽出的牌不再放回．已知第１
次抽到Ａ牌，求第２次抽到Ａ牌的概率．
３．袋子中有１０个大小相同的小球，其中７个白球，３个黑球．每次从袋子中随机摸出１个球，摸出的
球不再放回．求：
（１）在第１次摸到白球的条件下，第２次摸到白球的概率；
（２）两次都摸到白球的概率．
４８ 第七章 随机变量及其分布７１２
! &$%’(
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单
事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率．下面，再看一个求复杂
事件概率的问题．

从有犪个红球和犫个蓝球的袋子中，每次随机摸出１个球，摸出的球不再放回．
犪
显然，第１次摸到红球的概率为 ．那么第２次摸到红球的概率是多大？如何计算
犪＋犫
这个概率呢？
因为抽签具有公平性，所以第２次摸到红球
犪
的概率也应该是 ．但是这个结果并不显然，
犪＋犫 R P(R 2 R 1 ) R 2 RR 11 RR 22
1
因为第２次摸球的结果受第１次摸球结果的影 P(R )
1 P(B
2 R 1 ) B 2 R 1 B 2
响．下面我们给出严格的推导．
用犚 表示事件 “第犻次摸到红球”，犅 表 P(R 2 B 1 ) R 2 B 1 R 2
P(B )
犻 犻 1
B
示事件 “第犻次摸到蓝球”，犻＝１，２．如图 1 P(B 2 B 1 ) B 2 B 1 B 2
７．１２所示，事件犚 可按第１次可能的摸球结果 图７．１２
２
（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即犚＝犚犚∪犅犚．利用概率的加法公式和乘
２ １ ２ １ ２
法公式，得
犘（犚）＝犘（犚犚∪犅犚）＝犘（犚犚）＋犘（犅犚）
２ １ ２ １ ２ １ ２ １ ２
＝犘（犚）犘（犚｜犚）＋犘（犅）犘（犚｜犅）
１ ２ １ １ ２ １
犪 犪－１ 犫 犪
＝ × ＋ ×
犪＋犫 犪＋犫－１ 犪＋犫犪＋犫－１
犪
＝ ．
犪＋犫
上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，
再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率．
一般地，设犃，犃，…，犃 是一组两两互斥的事件，犃∪犃∪…∪犃 ＝Ω，且
１ ２ 狀 １ ２ 狀
犘（犃）＞０，犻＝１，２，…，狀，则对任意的事件犅Ω，有
犻
∑狀
犘（犅）＝ 犘（犃）犘（犅狘犃）．
犻 犻
犻＝１
我们称上面的公式为全概率公式 （ｔｏｔａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｆｏｒｍｕｌａ）．全概率公式是概率论中最基
本的公式之一．
第七章 随机变量及其分布 ４９例４ 某学校有Ａ，Ｂ两家餐厅，王同学第１天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如
果第１天去Ａ餐厅，那么第２天去Ａ餐厅的概率为０．６；如果第１天去Ｂ餐厅，那么第２
天去Ａ餐厅的概率为０．８．计算王同学第２天去Ａ餐厅用餐的概率．
分析：第２天去哪家餐厅用餐的概率受第１天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第１天
可能去的餐厅，将样本空间表示为 “第１天去Ａ餐厅”和 “第１天去Ｂ餐厅”两个互斥
事件的并，利用全概率公式求解．
解：设犃＝ “第１天去Ａ餐厅用餐”，犅＝ “第１天去Ｂ餐厅用餐”，犃＝ “第２天
１ １ ２
去Ａ餐厅用餐”，则Ω＝犃∪犅，且犃 与犅 互斥．根据题意得
１ １ １ １
犘（犃）＝犘（犅）＝０．５，犘（犃｜犃）＝０．６，犘（犃｜犅）＝０．８．
１ １ ２ １ ２ １
由全概率公式，得
犘（犃）＝犘（犃）犘（犃｜犃）＋犘（犅）犘（犃｜犅）
２ １ ２ １ １ ２ １
＝０．５×０．６＋０．５×０．８
＝０．７．
因此，王同学第２天去Ａ餐厅用餐的概率为０．７．
例５ 有３台车床加工同一型号的零件，第１台加工的次品率为６％，第２，３台加工
的次品率均为５％，加工出来的零件混放在一起．已知第１，２，３台车床加工的零件数分
别占总数的２５％，３０％，４５％．
（１）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（２）如果取到的零件是次品，计算它是第犻（犻＝１，２，３）台车床加工的概率．
分析：取到的零件可能来自第１台车床，也可能来自第２
台或第３台车床，有３种可能．设犅＝ “任取一零件为次品”，
A
1
犃＝ “零件为第犻台车床加工”（犻＝１，２，３），如图７．１３所
犻 A 3 A 3 B A 1 B
示，可将事件犅表示为３个两两互斥事件的并，利用全概率
A B
2
B
公式可以计算出事件犅的概率．
A
2
解：设犅＝ “任取一个零件为次品”，犃＝ “零件为第犻
犻
图７．１３
台车床加工”（犻＝１，２，３），则Ω＝犃∪犃∪犃，且犃，
１ ２ ３ １
犃，犃 两两互斥．根据题意得
２ ３
犘（犃）＝０．２５，犘（犃）＝０．３，犘（犃）＝０．４５，
１ ２ ３
犘（犅｜犃）＝０．０６，犘（犅｜犃）＝犘（犅｜犃）＝０．０５．
１ ２ ３
（１）由全概率公式，得
犘（犅）＝犘（犃）犘（犅｜犃）＋犘（犃）犘（犅｜犃）＋犘（犃）犘（犅｜犃）
１ １ ２ ２ ３ ３
＝０．２５×０．０６＋０．３×０．０５＋０．４５×０．０５
＝０．０５２５．
（２）“如果取到的零件是次品，计算它是第犻（犻＝１，２，３）台车床加工的概率”，就是
５０ 第七章 随机变量及其分布计算在犅发生的条件下，事件犃 发生的概率．
犻
犘（犃犅） 犘（犃）犘（犅｜犃） ０．２５×０．０６ ２
犘（犃｜犅）＝ １ ＝ １ １ ＝ ＝ ．
１ 犘（犅） 犘（犅） ０．０５２５ ７
类似地，可得
２ ３
犘（犃｜犅）＝ ，犘（犃｜犅）＝ ．
２ ７ ３ ７

例５中犘（犃），犘（犃｜犅）的实际意义是什么？
犻 犻
犘（犃）是试验之前就已知的概率，它是第犻台车床加工的零件所占的比例，称为先验
犻
概率．当已知抽到的零件是次品（犅发生），犘（犃｜犅）是这件次品来自第犻台车床加工的可
犻
能性大小，通常称为后验概率．如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么
２ ２ ３
， ， 就分别是第１，２，３台车床操作员应承担的份额．
７ ７ ７
贝叶斯公式是由英国
将例５中的问题 （２）一般化，可以得到贝叶斯公式．
数学家贝叶斯 （Ｔ．Ｂａｙｅｓ，

贝叶斯公式（Ｂａｙｅｓｆｏｒｍｕｌａ）：设犃，犃，…，犃 是
１ ２ 狀 １７０２－１７６１）发现的，它
一组 两 两 互 斥 的 事 件，犃 ∪犃 ∪ … ∪犃 ＝Ω，且
１ ２ 狀 用来描述两个条件概率之
犘（犃）＞０，犻＝１，２，…，狀，则对任意的事件犅Ω，
间的关系．
犻
犘（犅）＞０，有
犘（犃）犘（犅狘犃） 犘（犃）犘（犅狘犃）
犘（犃狘犅）＝ 犻 犻 ＝ 犻 犻 ，犻＝１，２，…，狀．
犻 犘（犅） ∑狀
犘（犃）犘（犅狘犃）
犽 犽
犽＝１
例６ 在数字通信中，信号是由数字０和１组成的序列．由于随机因素的干扰，发送
的信号０或１有可能被错误地接收为１或０．已知发送信号０时，接收为０和１的概率分
别为０．９和０．１；发送信号１时，接收为１和０的概率分别为０．９５和０．０５．假设发送信号
０和１是等可能的．
（１）分别求接收的信号为０和１的概率；
P(B A)=0.9
0(A) 0(B)
１ 的

概
（２
率
）
．
已知接收的信号为０，求发送的信号是
P(B
A)=0.1
分析：设犃＝ “发送的信号为０”，犅＝
A)=0.05
P(B
1(A) 1(B)
“接收到的信号为０”．为便于求解，我们可将题
P(B A)=0.95
目中所包含的各种信息用图７．１４直观表示． 图７．１４
标有号的内容为选学内容，不作考试要求．
第七章 随机变量及其分布 ５１
书书书解：设犃＝ “发送的信号为０”，犅＝ “接收到的信号为０”，则犃＝ “发送的信号为
１”，犅＝ “接收到的信号为１”．由题意得
犘（犃）＝犘（犃）＝０．５，犘（犅｜犃）＝０．９，犘（犅｜犃）＝０．１，
犘（犅｜犃）＝０．０５，犘（犅｜犃）＝０．９５．
（１）犘（犅）＝犘（犃）犘（犅｜犃）＋犘（犃）犘（犅｜犃）＝０．５×０．９＋０．５×０．０５＝０．４７５，
犘（犅）＝１－犘（犅）＝１－０．４７５＝０．５２５．
犘（犃）犘（犅｜犃） ０．５×０．０５ １
（２）犘（犃｜犅）＝ ＝ ＝ ．
犘（犅） ０．４７５ １９

１．现有１２道四选一的单选题，学生张君对其中９道题有思路，３道题完全没有思路．有思路的题做对
的概率为０．９，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为０．２５．张君从这１２道题中随
机选择１题，求他做对该题的概率．
２．两批同种规格的产品，第一批占４０％，次品率为５％；第二批占６０％，次品率为４％．将两批产品混
合，从混合产品中任取１件．
（１）求这件产品是合格品的概率；

（２）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率．
习题７．１

１．为了研究不同性别学生患色盲的比 单位：人
例，调查了某学校２０００名学生，数 男 女 合计
据如右表所示．从这２０００人中随机 色盲 ６０ ２ ６２
选择１人． 非色盲 １１４０ ７９８ １９３８
合计 １２００ ８００ ２０００
（１）已知选到的是男生，求他患色盲
的概率；
（２）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率．
２．从人群中随机选出１人，设犅＝ “选出的人患有心脏病”，犆＝ “选出的人是年龄大于５０岁的
心脏病患者”，请你判断犘（犅）和犘（犆）的大小关系，并说明理由．
３．甲、乙两人向同一目标各射击１次，已知甲命中目标的概率为０．６，乙命中目标的概率为０．５．
已知目标至少被命中１次，求甲命中目标的概率．
４．甲和乙两个箱子中各装有１０个球，其中甲箱中有５个红球、５个白球，乙箱中有８个红球、２
个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为１或２，从甲箱子随机摸出１个球；如果点数为
３，４，５，６，从乙箱子中随机摸出１个球．求摸到红球的概率．
５２ 第七章 随机变量及其分布５．在Ａ，Ｂ，Ｃ三个地区暴发了流感，这三个地区分别有６％，５％，４％的人患了流感．假设这三
个地区的人口数的比为５∶７∶８，现从这三个地区中任意选取一个人．
（１）求这个人患流感的概率；

（２）如果此人患流感，求此人选自Ａ地区的概率．
６．已知犘（犃）＞０，犘（犅）＞０，犘（犅｜犃）＝犘（犅），证明：犘（犃｜犅）＝犘（犃）．

７．一批产品共有１００件，其中５件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并
按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第１件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽
检的第１件产品合格，则再抽１件，如果抽检的第２件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝
整批产品．求这批产品被拒绝的概率．
８．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为ＤＤ，Ｄｄ，ｄｄ，其中Ｄ为显性基因，ｄ为隐性基因，
且这三种基因型的比为１∶２∶１．如果在子二代中任意选取２株豌豆进行杂交试验，那么子三
代中基因型为ｄｄ的概率是多大？
９．证明条件概率的性质 （１）和 （２）．
 
１０．证明：当犘（犃犅）＞０时，犘（犃犅犆）＝犘（犃）犘（犅｜犃）犘（犆｜犃犅）． 据此你能发现计算
犘（犃犃…犃）的公式吗？
１ ２ 狀
 
贝叶斯公式与人工智能
人工智能（ＡｒｔｉｆｉｃｉａｌＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，缩写为ＡＩ）是研究用于模拟和延伸人类智能
的技术科学，目的是理解人类智能的实质，并制造以近似人类智能方式工作的机
器，如机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理、自动驾驶等．人工智能被
认为是２１世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域
也在不断扩大．人工智能理论背后的一个基本原理就是本节的贝叶斯公式．
贝叶斯公式的思想最早出现于贝叶斯的论文 《论有关机遇问题的求解》，发
表于他去世后的１７６３年．后来法国数学家拉普拉斯（Ｐ．Ｓ．Ｌａｐｌａｃｅ，１７４９—１８２７）
独立地发现了这个公式．统计学家经过长期的努力，发展出了以贝叶斯公式为基
础的系统的推理和决策方法，称为贝叶斯方法．该方法的基本程序是首先确定先
验概率，然后利用贝叶斯公式计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，
再根据后验概率作出推理和决策．下面用一个例子说明这种方法．
第七章 随机变量及其分布 ５３在一个抽奖游戏中，主持人从编号为１，２，３的三个外观相同的空箱子中随
机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里．
游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品
由抽奖人获得．抽奖人当然希望选中有奖品的箱子！
假定你是抽奖人，不妨设你选择了１号箱．在打开１号箱之前，主持人先打
开了另外两个箱子中的一个空箱子．按游戏规定，主持人只打开你的选择之外的
空箱子，当两个都是空箱子时，他随机选择其中一个打开．不妨设主持人打开的
是３号箱．现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选１号箱，还是改选２号箱？
显然，由于随机性，你无法保证一定能够成功选中有奖品的箱子．因此，要
不要改变选择是个风险决策问题，应以得到奖品的概率最大为准则．
对于是否应改选２号箱，人们有如下几种不同的观点：（１）三个箱子中有奖
１
品的概率都是 ，不必换号；（２）既然３号是空箱，那么奖品在１号箱、２号箱
３
１ １
中的概率都是 ，不必换号；（３）奖品在１号箱中的概率是 ，当知道３号是空
２ ３
２
箱后，２号箱中有奖品的概率就变为 ，应该改选２号．
３
哪种观点是正确的呢？下面用两种方法进行分析：
１ ２
分析１：选择１号箱，其中有奖品的概率为 ，无奖品的概率为 ．主持人打
３ ３
开了无奖品的３号箱，若决策是不换号，则你在１号箱里有奖品的情况下得奖，
１
成功的概率为 ；若决策是换号，则你在１号箱里无奖品的情况下得奖，成功的
３
２
概率为 ．所以改选２号是正确的决策．
３
分析２：利用全概率公式和贝叶斯公式，可以从条件概率的角度进行分析．
用犃，犃，犃分别表示１，２，３号箱子里有奖品，用犅，犅，犅分别表示主持
１ ２ ３ １ ２ ３
人打开１，２，３号箱子．如上所述，你初次选择了１号箱．因为你在做选择时不知
道奖品在哪个箱子里，你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件
１
犃，犃，犃的概率仍为 ，此为先验概率．主持人打开１号箱之外的一个空箱
１ ２ ３ ３
子，有以下几种可能情况：
１
奖品在１号箱里，主持人可打开２，３号箱，故犘（犅｜犃）＝ ；
３ １ ２
奖品在２号箱里，主持人只能打开３号箱，故犘（犅｜犃）＝１；
３ ２
奖品在３号箱里，主持人只能打开２号箱，故犘（犅｜犃）＝０．
３ ３
利用全概率公式，主持人打开３号箱的概率为
５４ 第七章 随机变量及其分布∑３ １（１ ） １
犘（犅）＝ 犘（犃）犘（犅狘犃）＝ ＋１ ＝ ．
３ 犻 ３ 犻 ３ ２ ２
犻＝１
再根据贝叶斯公式，在３号箱打开的条件下，１号箱和２号箱里有奖品的条
件概率分别为
犘（犃）犘（犅｜犃） １ 犘（犃）犘（犅｜犃） ２
犘（犃｜犅）＝ １ ３ １ ＝ ，犘（犃｜犅）＝ ２ ３ ２ ＝ ．
１ ３ 犘（犅） ３ ２ ３ 犘（犅） ３
３ ３
这两个条件概率是后验概率，它们修正了前面的先验概率．通过比较后验概率不难
发现，改选２号箱是正确的决策．现在想一想，观点 （１）和观点 （２）错在哪里？
前面分析１给出的方法简单直接，也比较容易理解，但是分析２中基于贝叶
斯公式的方法具有更广泛的适用性．事实上，只要把三个箱子改为四个或更多，
主持人还是每次打开一个空箱子，此时再用分析１中的方法就比较复杂了．利用
贝叶斯公式的方法可以发现，对于上述多个箱子的抽奖游戏，在你第１次选择
后，当主持人打开此外的一个空箱子，并给你重新选择的机会时，你同样可以通
过改变选择提高成功的概率．而且，假如在你第２次选择后，主持人又打开此外
的一个空箱子，并再次给你重新选择的机会时，你仍然应该改变自己的选择，以
获得更大的成功概率．因此，这个策略也适用于多次选择的情况．
事实上，在上述多次选择的游戏中，主持人每打开一个空箱子都提供了新的有用
信息，抽奖人需要不断根据这些信息，利用贝叶斯公式计算出（新的）后验概率，并据
此修正自己的选择以提高成功的概率．这种不断改进和校正决策的过程非常近似于人
类的学习和思维模式，也是贝叶斯方法许多应用的关键．正是由于这个特点，贝叶斯
方法在人工智能领域发挥了非常重要的作用，已经成为学习型人工智能的理论基础．
曾经被人们津津乐道的围棋人工智能系统阿尔法狗（ＡｌｐｈａＧｏ）系列就是学习型
人工智能成功应用的典型例子．在战胜人类高手之前，阿尔法狗结合人类自古以来
积累的数百万部棋谱，进行了几个月的自我学习训练，最终超越了世界顶尖棋手．
作为阿尔法狗的升级版，阿尔法狗零（ＡｌｐｈａＧｏＺｅｒｏ）则不再需要人类积累的围棋数
据，它通过自我博弈进行学习．经过几天的训练后，阿尔法狗零就轻松地击败了此
前所有版本的阿尔法狗．阿尔法狗零之所以有如此强大的自学能力，是因为采用了
一种叫做强化学习的新模式．它从一个对围棋技术一无所知的神经网络开始，结合
一个强力搜索算法，在自我对弈中调整升级，循环往复，不断提高，在几天内就走
完了人类几千年的围棋历史，并探索出了不少新的招法和策略．人们认为，围棋人
工智能系统象征着计算机技术已进入人工智能的新信息技术时代，其特征就是大数
据、大计算、大决策，三位一体．贝叶斯方法在当今最先进的科技领域中扮演着重
要角色，你是否感到非常神奇？是否觉得现在的学习很有意义？
请你上网查阅有关资料，进一步了解人工智能方面的最新发展．
第七章 随机变量及其分布 ５５７２ 离散型随机变量及其分布列
求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本
空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题．类似函数在数
集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间
与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表
示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验．
有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系．例如，掷
一枚骰子，用实数犿（犿＝１，２，３，４，５，６）表示 “掷出的点数为犿”；又如，掷两枚骰
子，样本空间为Ω＝｛（狓，狔）｜狓，狔＝１，２，…，６｝，用狓＋狔表示 “两枚骰子的点数之
和”，样本点（狓，狔）就与实数狓＋狔对应．
有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点
指定一个数值．例如，随机抽取一件产品，有 “抽到次品”和 “抽到正品”两种可能结
果，它们与数值无关．如果 “抽到次品”用１表示，“抽到正品”用０表示，即定义
烄１， 抽到次品，
犡＝烅
烆０， 抽到正品，
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系．
类似地，掷一枚硬币，可将试验结果 “正面朝上”用１表示，“反面朝上”用０表示；
随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值
５，４，３，２，１；等等．
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个
取值依赖于样本点的变量犡，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．因
为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量犡的取值也具有随机性．

考察下列随机试验及其引入的变量：
试验１：从１００个电子元件（至少含３个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变
量犡表示三个元件中的次品数；
试验２：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量犢表示需要的抛掷次数．
这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变
量犡，犢有哪些共同的特征？
５６ 第七章 随机变量及其分布对于试验１，如果用０表示 “元件为合格品”，１表示 “元件为次品”，用０和１构成
的长度为３的字符串表示样本点，则样本空间
Ω＝｛０００，００１，０１０，０１１，１００，１０１，１１０，１１１｝．
１
各样本点与变量犡的值的对应关系如图７．２１所示．
Ω Y
Ω1 X 2
000 0 h h 1
001 1
h th 2
010 1
011 2 t
h tth 3
100 1
t
101 2 h ttth 4
110 2
t
111 3
t
图７．２１ 图７．２２
对于试验２，如果用ｈ表示 “正面朝上”，ｔ表示 “反面朝上”，例如用ｔｔｈ表示第３次
才出现 “正面朝上”，则样本空间
Ω＝｛ｈ，ｔｈ，ｔｔｈ，ｔｔｔｈ，…｝，
２
Ω包含无穷多个样本点．各样本点与变量犢的值的对应关系如图７．２２所示．
２
在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应．变量犡，犢有如
下共同点：
（１）取值依赖于样本点；
（２）所有可能取值是明确的．
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，
都有唯一的实数犡（ω）与之对应，我们称犡为随机变量
随机变量的概念是俄
（ｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ）．试验１中随机变量犡的可能取值为０，
国数学家切比雪夫 （Ｃｈｅ
１，２，３，共有４个值；试验２中随机变量犢的可能取值为
ｂｙｓｈｅｖ，１８２１—１８９４）在
１，２，３，…，有无限个取值，但可以一一列举出来．像这 １９世纪中叶建立和提倡使
样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称 用的．
为离散型随机变量 （ｄｉｓｃｒｅｔｅｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ）．通常用大写
英文字母表示随机变量，例如犡，犢，犣；用小写英文字母
表示随机变量的取值，例如狓，狔，狕．
不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的
自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．随机变量的
取值犡（ω）随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件．
现实生活中，离散型随机变量的例子有很多．例如，某射击运动员射击一次可能命中
的环数犡，它的可能取值为０，１，２，…，１０；某网页在２４ｈ内被浏览的次数犢，它的可
能取值为０，１，２，…；等等．
第七章 随机变量及其分布 ５７现实生活中还有大量不是离散型的随机变量的例子．例
如，种子含水量的测量误差犡；某品牌电视机的使用寿命
１ 你能再举出一些离散
犡；测量某一个零件的长度产生的测量误差犡．这些都是
２ ３ 型随机变量和不是离散型
可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量．本节
的随机变量的例子吗？
我们只研究取有限个值的离散型随机变量．
根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数
学工具研究随机试验中的概率问题．例如，掷一枚质地均匀的骰子，犡表示掷出的点数，
则事件 “掷出犿点”可以表示为 ｛犡＝犿｝（犿＝１，２，３，４，５，６），事件 “掷出的点数
不大于２”可以表示为｛犡≤２｝，事件 “掷出偶数点”可以表示为｛犡＝２｝∪｛犡＝４｝∪
｛犡＝６｝，等等．由掷出各种点数的等可能性，可得
１
犘（犡＝犿）＝ ，犿＝１，２，３，４，５，６．
６
这一规律可以用表７．２１表示．
表７２１
犡 １ ２ ３ ４ ５ ６
１ １ １ １ １ １
犘
６ ６ ６ ６ ６ ６
一般地，设离散型随机变量犡的可能取值为狓，狓，…，狓，我们称犡取每一个
１ ２ 狀
值狓 的概率
犻
犘（犡＝狓）＝狆，犻＝１，２，…，狀
犻 犻
为犡的概率分布列，简称分布列．
与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示（表７．２２），还可
以用图形表示．例如，图７．２３直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数犡的分布列，称为
犡的概率分布图．
表７２２ P
1
犡 狓 狓 … 狓 6
１ ２ 狀
犘 狆 狆 … 狆
１ ２ 狀
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质： 0 1 2 3 4 5 6 X
图７．２３
（１）狆≥０，犻＝１，２，…，狀；
犻
（２）狆＋狆＋…＋狆＝１．
１ ２ 狀
利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率．例如，在
掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件 “掷出的点数不大于２”的概率为
１ １ １
犘（犡≤２）＝犘（犡＝１）＋犘（犡＝２）＝ ＋ ＝ ．
６ ６ ３
类似地，事件 “掷出偶数点”的概率为
犘（｛犡＝２｝∪｛犡＝４｝∪｛犡＝６｝）
５８ 第七章 随机变量及其分布＝犘（犡＝２）＋犘（犡＝４）＋犘（犡＝６）
１ １ １ １
＝ ＋ ＋ ＝ ．
６ ６ ６ ２
例１ 一批产品中次品率为５％，随机抽取１件，定义
烄１， 抽到次品，
犡＝烅
烆０， 抽到正品．
求犡的分布列．
解：根据犡的定义，｛犡＝１｝＝ “抽到次品”，｛犡＝０｝＝ “抽到正品”，犡的分布
列为
犘（犡＝０）＝０．９５，犘（犡＝１）＝０．０５．
对于只有两个可能结果的随机试验，用犃表示 “成功”，犃表示 “失败”，定义
烄１，犃发生，
犡＝烅
烆０， 犃发生．
如果犘（犃）＝狆，则犘（犃）＝１－狆，那么犡的分布列如表７．２３所示．
表７２３
犡 ０ １
犘 １－狆 狆
我们称犡服从两点分布 （ｔｗｏｐｏｉｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）或０－１分布．实际上，犡为在一次试验
中成功 （事件犃发生）的次数 （０或１）．像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投
篮是否命中等，都可以用两点分布来描述．
例２ 某学校高二年级有２００名学生，他们的体育综合测试成绩分５个等级，每个等
级对应的分数和人数如表７．２４所示．
表７２４
等级 不及格 及格 中等 良 优
分数 １ ２ ３ ４ ５
人数 ２０ ５０ ６０ ４０ ３０
从这２００名学生中任意选取１人，求所选同学分数犡的分布列，以及犘（犡≥４）．
解：由题意知，犡是一个离散型随机变量，其可能取值为１，２，３，４，５，且
｛犡＝１｝＝ “不 及 格”，｛犡＝２｝＝ “及 格”，｛犡＝３｝＝ “中 等”，｛犡＝４｝＝ “良”，
｛犡＝５｝＝ “优”．根据古典概型的知识，可得犡的分布列，如表７．２５所示．
第七章 随机变量及其分布 ５９表７２５
犡 １ ２ ３ ４ ５
１ １ ３ １ ３
犘
１０ ４ １０ ５ ２０
１ ３ ７
犘（犡≥４）＝犘（犡＝４）＋犘（犡＝５）＝ ＋ ＝ ．
５ ２０ ２０
例３ 一批笔记本电脑共有１０台，其中Ａ品牌３台，Ｂ品牌７台．如果从中随机挑选
２台，求这２台电脑中Ａ品牌台数的分布列．
解：设挑选的２台电脑中Ａ品牌的台数为犡，则犡的可能取值为０，１，２．根据古
典概型的知识，可得犡的分布列为
Ｃ０Ｃ２ ７ Ｃ１Ｃ１ ７ Ｃ２Ｃ０ １
犘（犡＝０）＝ ３ ７＝ ，犘（犡＝１）＝ ３ ７＝ ，犘（犡＝２）＝ ３ ７＝ ．
Ｃ２ １５ Ｃ２ １５ Ｃ２ １５
１０ １０ １０
用表格表示犡的分布列，如表７．２６所示．
表７２６
犡 ０ １ ２
７ ７ １
犘
１５ １５ １５

１．举出两个离散型随机变量的例子．
２．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这
些值所表示的随机试验的结果．
（１）抛掷２枚骰子，所得点数之和；
（２）某足球队在５次点球中射进的球数；
（３）任意抽取一瓶标有１５００ｍＬ的饮料，其实际含量与规定含量之差．
３．篮球比赛中每次罚球命中得１分，不中得０分．已知某运动员罚球命中的概率为０．７，求他一次罚球
得分的分布列．
４．抛掷一枚质地均匀的硬币２次，写出正面向上次数犡的分布列．
习题７．２

１．张同学从学校回家要经过４个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．
（１）写出随机试验的样本空间；
（２）设他可能遇到红灯的次数为犡，写出犡的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．
６０ 第七章 随机变量及其分布２．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为
犡 ０ １ ２ ３
犘 ０．２ ０．３ ０．１５ ０．４５
试说明该同学的计算结果是否正确．
３．在某项体能测试中，跑１ｋｍ时间不超过４ｍｉｎ为优秀．某位同学跑１ｋｍ所花费的时间犡是
离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？
４．某位射箭运动员命中目标箭靶的环数犡的分布列为
犡 ６ ７ ８ ９ １０
犘 ０．０５ ０．１５ ０．２５ ０．３５ ０．２０
如果命中９环或１０环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？

５．老师要从１０篇课文中随机抽３篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中２篇才能及格．
某位同学只能背诵其中的６篇，求：
（１）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（２）他能及格的概率．
６．某种资格证考试，每位考生一年内最多有３次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证
书，不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完３次机会．李明决定参加考试，如
果他每次参加考试通过的概率依次为０．６，０．７，０．８，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（１）李明在一年内参加考试次数犡的分布列；
（２）李明在一年内领到资格证书的概率．
第七章 随机变量及其分布 ６１７３ 离散型随机变量的数字特征
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量
的取值规律．但在解决有些实际问题时，直接使用分布列
并不方便．例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会
比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般
会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性．
因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研
究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的
数字特征．
７３１
! )*+,-./012
问题１ 甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表７．３１所示．
表７３１
环数犡 ７ ８ ９ １０
甲射中的概率 ０．１ ０．２ ０．３ ０．４
乙射中的概率 ０．１５ ０．２５ ０．４ ０．２
如何比较他们射箭水平的高低呢？
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性．
狀 狀 狀 狀
假设甲射箭狀次，射中７环、８环、９环和１０环的频率分别为 １， ２， ３， ４．甲狀
狀 狀 狀 狀
次射箭射中的平均环数为
狀 狀 狀 狀
狓＝７× １＋８× ２＋９× ３＋１０× ４．
狀 狀 狀 狀
当狀足够大时，频率稳定于概率，所以狓 稳定于
７×０．１＋８×０．２＋９×０．３＋１０×０．４＝９．
即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为９，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射
箭水平．
同理，乙射中环数的平均值为
７×０．１５＋８×０．２５＋９×０．４＋１０×０．２＝８．６５．
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高．
６２ 第七章 随机变量及其分布一般地，若离散型随机变量犡的分布列如表７．３２所示，
表７３２
犡 狓 狓 … 狓
１ ２ 狀
犘 狆 狆 … 狆
１ ２ 狀
则称
犈（犡）＝狓狆＋狓狆＋…＋狓狆
１ １ ２ ２ 狀 狀
∑狀
＝ 狓狆
犻犻
犻＝１
为随机变量犡的均值（ｍｅａｎ）或数学期望 （ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ），数学期望简称期
望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取
值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
例１ 在篮球比赛中，罚球命中１次得１分，不中得０分．如果某运动员罚球命中的
概率为０．８，那么他罚球１次的得分犡的均值是多少？
分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时犡＝１，不中时犡＝０，因此随机变
量犡服从两点分布．犡的均值反映了该运动员罚球１次的平均得分水平．
解：因为
犘（犡＝１）＝０．８，犘（犡＝０）＝０．２，
所以
犈（犡）＝０×０．２＋１×０．８＝０．８．
即该运动员罚球１次的得分犡的均值是０．８．
一般地，如果随机变量犡服从两点分布，那么
犈（犡）＝０×（１－狆）＋１×狆＝狆．
例２ 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为犡，求犡的均值．
分析：先求出犡的分布列，再根据定义计算犡的均值．
解：犡的分布列为
１
犘（犡＝犽）＝ ，犽＝１，２，３，４，５，６．
６
因此，
１
犈（犡）＝ （１＋２＋３＋４＋５＋６）＝３．５．
６
第七章 随机变量及其分布 ６３
掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数犡的均值为３．５．随机模拟这个试验，重复
６０次和重复３００次各做６次，观测出现的点数并计算平均数．根据观测值的平均数
（样本均值）绘制统计图，分别如图７．３１ （１）和 （２）所示．观察图形，在两组试验
中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
4 4
3.9 3.9
3.8 3.8
3.7 3.7
3.6 3.6
3.5 3.5
3.4 3.4
3.3 3.3
3.2 3.2
3.1 3.1
3 3
0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7
n=60 n=300
（１） （２）
图７．３１
观察图７．３１可以发现：在这１２组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷
出点数犡的均值３．５附近波动，且重复掷３００次的样本均值波动幅度明显小于重复６０次的．
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量
的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此，我
们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值．

如果犡是一个离散型随机变量，犡加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样
变化？即犈（犡＋犫）和犈（犪犡）（其中犪，犫为常数）分别与犈（犡）有怎样的关系？
设犡的分布列为
犘（犡＝狓）＝狆，犻＝１，２，…，狀．
犻 犻
根据随机变量均值的定义，
犈（犡＋犫）＝（狓＋犫）狆＋（狓＋犫）狆＋…＋（狓＋犫）狆
１ １ ２ ２ 狀 狀
＝（狓狆＋狓狆＋…＋狓狆）＋犫（狆＋狆＋…＋狆）
１ １ ２ ２ 狀 狀 １ ２ 狀
＝犈（犡）＋犫．
类似地，可以证明
你能给出证明吗？
犈（犪犡）＝犪犈（犡）．
６４ 第七章 随机变量及其分布一般地，下面的结论成立：
犈（犪犡＋犫）＝犪犈（犡）＋犫．
例３ 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，
猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲Ａ，Ｂ，Ｃ歌名的概率及猜对时获得相应的
公益基金如表７．３３所示．
表７３３
歌曲 Ａ Ｂ Ｃ
猜对的概率 ０．８ ０．６ ０．４
获得的公益基金额／元 １０００ ２０００ ３０００
规则如下：按照Ａ，Ｂ，Ｃ的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．
求嘉宾获得的公益基金总额犡的分布列及均值．
分析：根据规则，公益基金总额犡的可能取值有四种情况：猜错Ａ，获得０元基金；
猜对Ａ而猜错Ｂ，获得１０００元基金；猜对Ａ和Ｂ而猜错Ｃ，获得３０００元基金；Ａ，Ｂ，
Ｃ全部猜对，获得６０００元基金．因此犡是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法
公式可求分布列．
解：分别用犃，犅，犆表示猜对歌曲Ａ，Ｂ，Ｃ歌名的事件，则犃，犅，犆相互独立．
犘（犡＝０）＝犘（犃）＝０．２，
犘（犡＝１０００）＝犘（犃犅）＝０．８×０．４＝０．３２，
犘（犡＝３０００）＝犘（犃犅犆）＝０．８×０．６×０．６＝０．２８８，
犘（犡＝６０００）＝犘（犃犅犆）＝０．８×０．６×０．４＝０．１９２．
犡的分布列如表７．３４所示．
表７３４
如果改变猜歌的顺序，
犡 ０ １０００ ３０００ ６０００
获得公益基金的均值是否
犘 ０．２ ０．３２ ０．２８８ ０．１９２
相同？如果不同，你认为
犡的均值为
哪个顺序获得的公益基金
犈（犡）＝０×０．２＋１０００×０．３２＋３０００×０．２８８＋６０００×０．１９２
均值最大？
＝２３３６．
例４ 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为０．２５，有大洪水的概率为０．０１．
该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失６００００元，遇到小洪水时要损失
１００００元．为保护设备，有以下３种方案：
方案１ 运走设备，搬运费为３８００元；
方案２ 建保护围墙，建设费为２０００元，但围墙只能防小洪水；
第七章 随机变量及其分布 ６５方案３ 不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
分析：决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案
在不同状态下的总损失如表７．３５所示．
表７３５
天气状况
大洪水 小洪水 没有洪水
概率 ０．０１ ０．２５ ０．７４
方案１ ３８００ ３８００ ３８００
总损失／元 方案２ ６２０００ ２０００ ２０００
方案３ ６００００ １００００ ０
方案２和方案３的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．
解：设方案１、方案２、方案３的总损失分别为犡，犡，犡．
１ ２ ３
采用方案１，无论有无洪水，都损失３８００元．因此，
犘（犡＝３８００）＝１．
１
采用方案２，遇到大洪水时，总损失为２０００＋６００００＝６２０００元；没有大洪水时，总
损失为２０００元．因此，
犘（犡＝６２０００）＝０．０１，犘（犡＝２０００）＝０．９９．
２ ２
采用方案３，
犘（犡＝６００００）＝０．０１，犘（犡＝１００００）＝０．２５，犘（犡＝０）＝０．７４．
３ ３ ３
于是，
犈（犡）＝３８００，
１
犈（犡）＝６２０００×０．０１＋２０００×０．９９＝２６００，
２
犈（犡）＝６００００×０．０１＋１００００×０．２５＋０×０．７４＝３１００．
３
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案２．
值得注意的是，上述结论是通过比较 “期望总损失”而得出的．一般地，我们可以这
样来理解 “期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案２将会使总损
失减到最小．不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的
一次决策，采用方案２也不一定是最好的．

１．已知随机变量犡的分布列为
犡 １ ２ ３ ４ ５
犘 ０．１ ０．３ ０．４ ０．１ ０．１
（１）求犈（犡）；
６６ 第七章 随机变量及其分布（２）求犈（３犡＋２）．
２．抛掷一枚硬币，规定正面向上得１分，反面向上得－１分，求得分犡的均值．
３．甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在１ｈ内生产出的次品数分别为犡，犡，
１ ２
其分布列分别为
甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列
犡 ０ １ ２ ３ 犡 ０ １ ２
１ ２
犘 ０．４ ０．３ ０．２ ０．１ 犘 ０．３ ０．５ ０．２
哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义．
７３２
! )*+,-./034
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的
“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度
的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征．
问题２ 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、
乙两名同学击中目标靶的环数犡和犢的分布列如表７．３６和表７．３７所示．
表７３６ 表７３７
犡 ６ ７ ８ ９ １０ 犢 ６ ７ ８ ９ １０
犘 ０．０９ ０．２４ ０．３２ ０．２８ ０．０７ 犘 ０．０７ ０．２２ ０．３８ ０．３０ ０．０３
如何评价这两名同学的射击水平？
通过计算可得，
犈（犡）＝８，犈（犢）＝８．
因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平．
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散
程度．图７．３２和图７．３３分别是犡和犢的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同
学的射击成绩更集中于８环，即乙同学的射击成绩更稳定．
P P
0.4 0.4
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
6 7 8 9 10 X 6 7 8 9 10 Y
图７．３２ 图７．３３
第七章 随机变量及其分布 ６７
怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样
本均值的 “偏差平方的平均值”来实现的．一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否
用可能取值与均值的 “偏差平方的平均值”来度量呢？
设离散型随机变量犡的分布列如表７．３８所示．
表７３８
犡 狓 狓 … 狓
１ ２ 狀
犘 狆 狆 … 狆
１ ２ 狀
考虑犡所有可能取值狓 与犈（犡）的偏差的平方（狓－犈（犡））
２
，（狓－犈（犡））
２
，…，
犻 １ ２
（狓－犈（犡）） ２．因为犡取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的
狀
加权平均，来度量随机变量犡取值与其均值犈（犡）的偏离程度．我们称
犇（犡）＝（狓－犈（犡）） ２狆＋（狓－犈（犡）） ２狆＋…＋（狓－犈（犡）） ２狆
１ １ ２ ２ 狀 狀
∑狀
＝ （狓－犈（犡）） ２狆
犻 犻
犻＝１
为随机变量犡的方差（ｖａｒｉａｎｃｅ），有时也记为犞犪狉（犡），并称槡犇（犡）为随机变量犡的标
准差（ｓｔａｎｄａｒｄｄｅｖｉａｔｉｏｎ），记为σ（犡）．
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机
变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，
随机变量的取值越分散．
现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性．由方
差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为
∑１０
犇（犡）＝ （犻－８） ２犘（犡＝犻）＝１．１６，槡犇（犡）≈１．０７７；
犻＝６
∑１０
犇（犢）＝ （犻－８） ２犘（犢＝犻）＝０．９２，槡犇（犢）≈０．９５９．
犻＝６
因为犇（犢）＜犇（犡）（等价地，槡犇（犢）＜槡犇（犡）），所以随机变量犢的取值相对更集中，
即乙同学的射击成绩相对更稳定．
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化．
∑狀
犇（犡）＝ （狓－犈（犡）） ２狆
犻 犻
犻＝１
∑狀
＝ （狓２－２犈（犡）狓＋（犈（犡）） ２ ）狆
犻 犻 犻
犻＝１
６８ 第七章 随机变量及其分布∑狀 ∑狀 ∑狀
＝ 狓２狆－２犈（犡） 狓狆＋（犈（犡）） ２ 狆
犻犻 犻犻 犻
犻＝１ 犻＝１ 犻＝１
∑狀
＝ 狓２狆－（犈（犡）） ２．
犻犻
犻＝１
方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更
好地理解其本质．

离散型随机变量犡加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量犡乘
以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量犡加上一个常数犫，其均值也相应加上常数犫，故不改变犡与其均
值的离散程度，方差保持不变，即
犇（犡＋犫）＝犇（犡）．
而离散型随机变量犡乘以一个常数犪，其方差变为原方差的犪２ 倍，即
犇（犪犡）＝犪２犇（犡）．
一般地，可以证明下面的结论成立：
犇（犪犡＋犫）＝犪２犇（犡）．
例５ 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数犡的方差．
解：随机变量犡的分布列为
１
犘（犡＝犽）＝ ，犽＝１，２，３，４，５，６．
６
因为
７ ∑６ １ １ ９１
犈（犡）＝ ， （犽２× ）＝ （１２＋２２＋３２＋４２＋５２＋６２）＝ ，
２ ６ ６ ６
犽＝１
所以
∑６ １ （７） ２ ３５
犇（犡）＝ （犽２× ）－ ＝ ．
６ ２ １２
犽＝１
例６ 投资Ａ，Ｂ两种股票，每股收益的分布列分别如表７．３９和表７．３１０所示．
表７３９ 股票犃收益的分布列 表７３１０ 股票犅收益的分布列
收益犡／元 －１ ０ ２ 收益犢／元 ０ １ ２
概率 ０．１ ０．３ ０．６ 概率 ０．３ ０．４ ０．３
（１）投资哪种股票的期望收益大？
（２）投资哪种股票的风险较高？
第七章 随机变量及其分布 ６９分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益
的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投
资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
解：（１）股票Ａ和股票Ｂ投资收益的期望分别为
犈（犡）＝（－１）×０．１＋０×０．３＋２×０．６＝１．１，
犈（犢）＝０×０．３＋１×０．４＋２×０．３＝１．
因为犈（犡）＞犈（犢），所以投资股票Ａ的期望收益较大．
（２）股票Ａ和股票Ｂ投资收益的方差分别为
在实际中，可以选择
犇（犡）＝（－１） ２×０．１＋０２×０．３＋２２×０．６－１．１２＝１．２９，
适当的比例投资两种股
犇（犢）＝０２×０．３＋１２×０．４＋２２×０．３－１２＝０．６．
票，使期望收益最大或风
因为犈（犡）和犈（犢）相差不大，且犇（犡）＞犇（犢），所以
险最小．
投资股票Ａ比投资股票Ｂ的风险高．
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程
度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的
解释．例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定
性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机
变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等．

１．已知随机变量犡的分布列为
犡 １ ２ ３ ４
犘 ０．２ ０．３ ０．４ ０．１
求犇（犡）和σ（２犡＋７）．
２．若随机变量犡满足犘（犡＝犮）＝１，其中犮为常数，求犇（犡）．
３．甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差犡和犢（单位：ｃｍ）的分布列如下：
甲班的目测误差分布列 乙班的目测误差分布列
犡 －２ －１ ０ １ ２ 犢 －２ －１ ０ １ ２
犘 ０．１ ０．２ ０．４ ０．２ ０．１ 犘 ０．０５ ０．１５ ０．６ ０．１５ ０．０５
先直观判断犡和犢的分布哪一个离散程度大，再分别计算犡和犢的方差，验证你的判断．
７０ 第七章 随机变量及其分布习题７．３

１．某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情
况．按定价售出每部利润１００元，打折后售出每部利润０元，没有售出而收回每部利润－３００
元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为０．６，０．３，０．１．求每部手机利润的均值和
方差．
２．现要发行１００００张彩票，其中中奖金额为２元的彩票１０００张，１０元的彩票３００张，５０元的
彩票１００张，１００元的彩票５０张，１０００元的彩票５张．１张彩票中奖金额的均值是多少元？
３．随机变量犡的分布列为犘（犡＝０）＝０．２，犘（犡＝１）＝犪，犘（犡＝２）＝犫．若犈（犡）＝１，求犪
和犫．
４．在单项选择题中，每道题有四个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一
个，选对的概率为０．２５．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值
为０．
５．证明：犇（犪犡＋犫）＝犪２犇（犡）．

６．有Ａ和Ｂ两道谜语，张某猜对Ａ谜语的概率为０．８，猜对得奖金１０元；猜对Ｂ谜语的概率为
０．５，猜对得奖金２０元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如
果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？
７．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为犡和犢（单位：ｓ），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列 乙品牌的走时误差分布列
犡 －１ ０ １ 犢 －２ －１ ０ １ ２
犘 ０．１ ０．８ ０．１ 犘 ０．１ ０．２ ０．４ ０．２ ０．１
试比较甲、乙两种品牌手表的性能．
 
８．设犈（犡）＝μ，犪是不等于
μ
的常数，探究犡相对于
μ
的偏离程度与犡相对于犪的偏离程度的
大小关系，并说明结论的意义．
第七章 随机变量及其分布 ７１７４ 二项分布与超几何分布
前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用
这些知识研究两类重要的概率模型———二项分布和超几何分布．
７４１
! 5678
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能
结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果
为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验 （Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉｔｒｉａｌｓ）．
我们将一个伯努利试验独立地重复进行狀次所组成的随
机试验称为狀重伯努利试验．显然，狀重伯努利试验具有如
下共同特征：
? “重复”意味着各
（１）同一个伯努利试验重复 做狀次；
? 次试验成功的概率相同．
（２）各次试验的结果相互独立．

下面３个随机试验是否为狀重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什
么？对于每个试验，定义 “成功”的事件为犃，那么犃的概率是多大？重复试验的
次数是多少？
（１）抛掷一枚质地均匀的硬币１０次．
（２）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为０．８，连续射击３次．
（３）一批产品的次品率为５％，有放回地随机抽取２０件．
在伯努利试验中，我们关注某个事件犃是否发生，而在狀重伯努利试验中，我们关
注事件犃发生的次数犡．进一步地，因为犡是一个离散型随机变量，所以我们实际关心
的是它的概率分布列．例如，对产品抽样检验，随机抽取狀件，我们关心样本中不合格品
数的概率分布列．

某飞碟运动员每次射击中靶的概率为０．８．连续３次射击，中靶次数犡的概率分
布列是怎样的？
７２ 第七章 随机变量及其分布用犃表示 “第犻次射击中靶”犻（＝１，２，３），用如图７．４１的树状图表示试验的可能结果．
犻
  X
0.8 A 3 A 1 A 2 A 3 3
0.8 A 2
0.2 A 3 A 1 A 2 A 3 2
A
1
0.8 A A A A 2
0.8 3 1 2 3
0.2 A
2
0.2 A 3 A 1 A 2 A 3 1
0.8 A A A A 2
3 1 2 3
A
0.2 A 0.8 2 0.2 A 3 A 1 A 2 A 3 1
1
0.8 A 3 A 1 A 2 A 3 1
0.2 A
2
0.2 A 3 A 1 A 2 A 3 0
图７．４１
由分步乘法计数原理，３次独立重复试验共有２３＝８种可能结果，它们两两互斥，每
个结果都是３个相互独立事件的积．由概率的加法公式和乘法公式得
犘（犡＝０）＝犘（犃犃犃）＝０．２３ ，
１ ２ ３
犘（犡＝１）＝犘（犃犃犃）＋犘（犃犃犃）＋犘（犃犃犃）＝３×０．８×０．２２ ，
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３
犘（犡＝２）＝犘（犃犃犃）＋犘（犃犃犃）＋犘（犃犃犃）＝３×０．８２×０．２，
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３
犘（犡＝３）＝犘（犃犃犃）＝０．８３．
１ ２ ３
为了简化表示，每次射击用１表示中靶，用０表示脱靶，那么３次射击恰好２次中靶
的所有可能结果可表示为０１１，１１０，１０１，这三个结果发生的概率都相等，均为０．８２×
０．２，并且与哪两次中靶无关．因此，３次射击恰好２次中靶的概率为Ｃ２×０．８２×０．２．同
３
理可求中靶０次、１次、３次的概率．于是，中靶次数犡的分布列为
犘（犡＝犽）＝Ｃ犽×０．８犽×０．２３－犽 ，犽＝０，１，２，３．
３

如果连续射击４次，类比上面的分析，表示中靶次数犡等于２的结果有哪些？
写出中靶次数犡的分布列．
一般地，在狀重伯努利试验中，设每次试验中事件犃
发生的概率为狆（０＜狆＜１），用犡表示事件犃发生的次数，
则犡的分布列为
对比二项分布与二项
式定理，你能看出它们之
犘（犡＝犽）＝Ｃ犽狆犽 （１－狆）
狀－犽
，犽＝０，１，２，…，狀．
狀 间的联系吗？
如果随机变量犡的分布列具有上式的形式，则称随机变量
犡 服 从 二 项 分 布 （ｂｉｎｏｍｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），记 作 犡～
犅（狀，狆）．
第七章 随机变量及其分布 ７３由二项式定理，容易得到
∑狀 ∑狀
犘（犡＝犽）＝ Ｃ犽狆犽 （１－狆） 狀－犽＝［狆＋（１－狆）］ 狀＝１．
狀
犽＝０ 犽＝０
例１ 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷１０次，求：
（１）恰好出现５次正面朝上的概率；
（２）正面朝上出现的频率在 ［０．４，０．６］内的概率．
分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现 “正面朝上”和 “反面朝上”两种结果且可
能性相等，这是一个１０重伯努利试验．因此，正面朝上的次数服从二项分布．
解：设犃＝ “正面朝上”，则犘（犃）＝０．５．用犡表示事件犃发生的次数，则犡～
犅（１０，０．５）．
（１）恰好出现５次正面朝上等价于犡＝５，于是
２５２ ６３
犘（犡＝５）＝Ｃ５ ×０．５１０＝ ＝ ；
１０ １０２４ ２５６
（２）正面朝上出现的频率在 ［０．４，０．６］内等价于４≤犡≤６，于是
６７２ ２１
犘（４≤犡≤６）＝Ｃ４ ×０．５１０＋Ｃ５ ×０．５１０＋Ｃ６ ×０．５１０＝ ＝ ．
１０ １０ １０ １０２４ ３２
例２ 图７．４２是一块高尔顿板的示意图．在
一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆
柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通
道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小
球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地
向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子
从左到右分别编号为０，１，２，…，１０，用犡表
示小球最后落入格子的号码，求犡的分布列．
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程
图７．４２
中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰
到小木钉后下落的方向，有 “向左下落”和 “向 P
0.30
右下落”两种可能结果，且概率都是０．５．在下落
0.25
的过程中，小球共碰撞小木钉１０次，且每次碰撞
0.20
后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这
0.15
是一个１０重伯努利试验．小球最后落入格子的号 0.10
0.05
码等于向右落下的次数，因此犡服从二项分布．
0
解：设犃＝ “向右下落”，则犃＝ “向左下 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X
图７．４３
落”，且犘（犃）＝犘（犃）＝０．５．因为小球最后落
７４ 第七章 随机变量及其分布入格子的号码犡等于事件犃发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉１０次，所
以犡～犅（１０，０．５）．于是，犡的分布列为
犘（犡＝犽）＝Ｃ犽×０．５１０ ，犽＝０，１，２，…，１０．
１０
犡的概率分布图如图７．４３所示．
例３ 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为０．６，乙获胜的概
率为０．４，那么采用３局２胜制还是采用５局３胜制对甲更有利？
分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大．可以把
“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果
的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有狀局，把狀局比赛看成狀重伯努利试验，利
用二项分布求 “甲最终获胜”的概率．
解法１：采用３局２胜制，甲最终获胜有两种可能的比分２∶０或２∶１，前者是前两
局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第３局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，
甲最终获胜的概率为
狆＝０．６２＋Ｃ１×０．６２×０．４＝０．６４８．
１ ２
类似地，采用５局３胜制，甲最终获胜有３种比分３∶０，３∶１或３∶２．因为每局比
赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
狆＝０．６３＋Ｃ２×０．６３×０．４＋Ｃ２×０．６３×０．４２＝０．６８２５６．
２ ３ ４
解法２：采用３局２胜制，不妨设赛满３局，用犡表示３局比赛中甲胜的局数，则
犡～犅（３，０．６）．甲最终获胜的概率为
狆＝犘（犡＝２）＋犘（犡＝３）＝Ｃ２×０．６２×０．４＋Ｃ３×０．６３＝０．６４８．
１ ３ ３
采用５局３胜制，不妨设赛满５局，用犡表示５局比
赛中甲胜的局数，则犡～犅（５，０．６）．甲最终获胜的概率为
狆＝犘（犡＝３）＋犘（犡＝４）＋犘（犡＝５） 为什么假定赛满３局
２
＝Ｃ３×０．６３×０．４２＋Ｃ４×０．６４×０．４＋Ｃ５×０．６５ 或５局，不影响甲最终获
５ ５ ５
胜的概率？
＝０．６８２５６．
因为狆＞狆，所以５局３胜制对甲有利．实际上，比赛
２ １
局数越多，对实力较强者越有利．

一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（１）明确伯努利试验及事件犃的意义，确定事件犃发生的概率狆；
（２）确定重复试验的次数狀，并判断各次试验的独立性；
（３）设犡为狀次独立重复试验中事件犃发生的次数，则犡～犅（狀，狆）．
第七章 随机变量及其分布 ７５对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差
等数字特征．因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的．

假设随机变量犡服从二项分布犅（狀，狆），那么犡的均值和方差各是什么？
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为０．５，如果掷１００次硬
币，期望有１００×０．５＝５０次正面朝上．根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量
犡，我们猜想犈（犡）＝狀狆．
我们不妨从简单开始，先考察狀较小的情况．
（１）当狀＝１时，犡服从两点分布，分布列为
犘（犡＝０）＝１－狆，犘（犡＝１）＝狆．
均值和方差分别为
犈（犡）＝狆，犇（犡）＝狆（１－狆）．
（２）当狀＝２时，犡的分布列为
犘（犡＝０）＝（１－狆）
２
，犘（犡＝１）＝２狆（１－狆），犘（犡＝２）＝狆２．
均值和方差分别为
犈（犡）＝０×（１－狆） ２＋１×２狆（１－狆）＋２×狆２＝２狆．
犇（犡）＝０２×（１－狆） ２＋１２×２狆（１－狆）＋２２×狆２－（２狆） ２＝２狆（１－狆）．
一般地，可以证明：
如果犡～犅（狀，狆），那么犈（犡）＝狀狆，犇（犡）＝狀狆（１－狆）．
下面我们对均值进行证明．
令狇＝１－狆，由犽Ｃ犽＝狀Ｃ犽－１ ，可得
狀 狀－１
∑狀 ∑狀 ∑狀
犈（犡）＝ 犽Ｃ犽狆犽狇狀－犽＝ 狀Ｃ犽－１狆犽狇狀－犽＝狀狆 Ｃ犽－１狆犽－１狇狀－１－（犽－１）．
狀 狀－１ 狀－１
犽＝０ 犽＝１ 犽＝１
令犽－１＝犿，则
狀∑－１
犈（犡）＝狀狆 Ｃ犿狆犿狇狀－１－犿＝狀狆（狆＋狇） 狀－１＝狀狆．
狀－１
犿＝０
二项分布的应用非常广泛．例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分
布为基础的；参加某保险的人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，
感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述．

１．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷４次，犡表示 “正面朝上”出现的次数．
（１）求犡的分布列；
７６ 第七章 随机变量及其分布（２）犈（犡）＝ ，犇（犡）＝ ．
２．鸡接种一种疫苗后，有８０％不会感染某种病毒．如果５只鸡接种了疫苗，求：
（１）没有鸡感染病毒的概率；
（２）恰好有１只鸡感染病毒的概率．
３．判断下列表述正确与否，并说明理由：
（１）１２道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数犡～犅（１２，０．２５）；
（２）１００件产品中包含１０件次品，不放回地随机抽取６件，其中的次品数犢～犅（６，０．１）．
４．举出两个服从二项分布的随机变量的例子．
７４２
! 9:;78
问题 已知１００件产品中有８件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取４
件．设抽取的４件产品中次品数为犡，求随机变量犡的分布列．
我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为０．０８，且各次抽样的结
果相互独立，此时犡服从二项分布，即犡～犅（４，０．０８）．

如果采用不放回抽样，那么抽取的４件产品中次品数犡是否也服从二项分布？
如果不服从，那么犡的分布列是什么？
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是０．０８，但每次抽取不是同一个试验，
而且各次抽取的结果也不独立，不符合狀重伯努利试验的特征，因此犡不服从二项分布．
可以根据古典概型求犡的分布列．由题意可知，犡可
能的取值为０，１，２，３，４．从１００件产品中任取４件，样
本空间包含Ｃ４ 个样本点，且每个样本点都是等可能发生 计算结果数时，考虑
１００
的．其中４件产品中恰有犽件次品的结果数为Ｃ犽Ｃ４－犽．由古 抽取的次序和不考虑抽取
８ ９２
的次序，对分布列的计算
典概型的知识，得犡的分布列为
有影响吗？为什么？
Ｃ犽Ｃ４－犽
犘（犡＝犽）＝ ８ ９２ ，犽＝０，１，２，３，４．
Ｃ４
１００
计算的具体结果（精确到０．００００１）如表７．４１所示．
表７４１
犡 ０ １ ２ ３ ４
犘 ０．７１２５７ ０．２５６２１ ０．０２９８９ ０．００１３１ ０．００００２
一般地，假设一批产品共有犖件，其中有犕件次品．从犖件产品中随机抽取狀件
（不放回），用犡表示抽取的狀件产品中的次品数，则犡的分布列为
第七章 随机变量及其分布 ７７Ｃ犽Ｃ狀－犽
犘（犡＝犽）＝ 犕 犖－犕，犽＝犿，犿＋１，犿＋２，…，狉．
Ｃ狀
犖
其中狀，犖，犕∈犖

，犕≤犖，狀≤犖，犿＝ｍａｘ｛０，狀－犖＋犕｝，狉＝ｍｉｎ｛狀，犕｝．如果随
机变量犡的分布列具有上式的形式，那么称随机变量犡服从超几何分布（ｈｙｐｅｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃ
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）．
例４ 从５０名学生中随机选出５名学生代表，求甲被
选中的概率．
容易发现，每个人被
解：设犡表示选出的５名学生中含甲的人数 （只能取０ １
抽到的概率都是 ．这个
１０
或１），则犡服从超几何分布，且犖＝５０，犕＝１，狀＝５．
结论非常直观，这里给出
因此甲被选中的概率为
了严格的推导．
Ｃ１Ｃ４ １
犘（犡＝１）＝ １ ４９＝ ．
Ｃ５ １０
５０
例５ 一批零件共有３０个，其中有３个不合格．随机抽取１０个零件进行检测，求至
少有１件不合格的概率．
解：设抽取的１０个零件中不合格品数为犡，则犡服从超几何分布，且犖＝３０，犕＝
３，狀＝１０．犡的分布列为
Ｃ犽Ｃ１０－犽
犘（犡＝犽）＝ ３ ２７ ，犽＝０，１，２，３．
Ｃ１０
３０
至少有１件不合格的概率为
犘（犡≥１）＝犘（犡＝１）＋犘（犡＝２）＋犘（犡＝３）
Ｃ１Ｃ９ Ｃ２Ｃ８ Ｃ３Ｃ７
＝ ３ ２７＋ ３ ２７＋ ３ ２７≈０．７１９２．
Ｃ１０ Ｃ１０ Ｃ１０
３０ ３０ ３０
也可以按如下方法求解：
Ｃ０Ｃ１０
犘（犡≥１）＝１－犘（犡＝０）＝１－ ３ ２７≈０．７１９２．
Ｃ１０
３０

服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
设随机变量犡服从超几何分布，则犡可以解释为从包含犕件次品的犖件产品中，
犕 犡
不放回地随机抽取狀件产品中的次品数．令狆＝ ，则狆是犖件产品的次品率，而 是
犖 狀
（犡）
抽取的狀件产品的次品率，我们猜想犈 ＝狆，即犈（犡）＝狀狆．
狀
实际上，令犿＝ｍａｘ｛０，狀－犖＋犕｝，狉＝ｍｉｎ｛狀，犕｝，由随机变量均值的定义：
７８ 第七章 随机变量及其分布
书书书当犿＞０时，
∑狉 Ｃ犽Ｃ狀－犽 ∑狉 Ｃ犽－１Ｃ狀－犽
犈（犡）＝ 犽 犕 犖－犕＝犕 犕－１ 犖－犕． （１）
Ｃ狀 Ｃ狀
犽＝犿 犖 犽＝犿 犖
因为∑狉
Ｃ犽－１Ｃ狀－犽 ＝Ｃ狀－１ ，所以
犕－１ 犖－犕 犖－１
犽＝犿
犕 ∑狉 犕Ｃ狀－１ 狀犕
犈（犡）＝ Ｃ犽－１Ｃ狀－犽 ＝ 犖－１＝ ＝狀狆．
Ｃ狀 犕－１ 犖－犕 Ｃ狀 犖
犖犽＝犿 犖
当犿＝０时，注意到 （１）式中间求和的第一项为０，类似可以证明结论依然成立．
例６ 一个袋子中有１００个大小相同的球，其中有４０个黄球、６０个白球，从中随机
地摸出２０个球作为样本．用犡表示样本中黄球的个数．
（１）分别就有放回摸球和不放回摸球，求犡的分布列；
（２）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，
求误差的绝对值不超过０．１的概率．
分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出２０个球，采用
有放回摸球，各次试验的结果相互独立，犡～犅（２０，０．４）；而采用不放回摸球，各次试
验的结果不独立，犡服从超几何分布．
解：（１）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为０．４，且各次试验之间的结果是独
立的，因此犡～犅（２０，０．４），犡的分布列为
狆 ＝犘（犡＝犽）＝Ｃ犽×０．４犽×０．６２０－犽 ，犽＝０，１，２，…，２０．
１犽 ２０
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，犡服从超几何分布，犡的分布列为
Ｃ犽Ｃ２０－犽
狆 ＝犘（犡＝犽）＝ ４０ ６０ ，犽＝０，１，２，…，２０．
２犽 Ｃ２０
１００
（２）利用统计软件计算出两个分布列的概率值 （精确到０．００００１），如表７．４２所示．
表７４２
犽 狆 狆 犽 狆 狆
１犽 ２犽 １犽 ２犽
０ ０．００００４ ０．００００１ １１ ０．０７０９９ ０．０６３７６
在Ｅｘｃｅｌ中，计算二项
１ ０．０００４９ ０．０００１５ １２ ０．０３５５０ ０．０２６６７
分布概率和超几何分布概率
２ ０．００３０９ ０．００１３５ １３ ０．０１４５６ ０．００８６７
的函数分别为ＢＩＮＯＭ．ＤＩＳＴ
３ ０．０１２３５ ０．００７１４ １４ ０．００４８５ ０．００２１７ 和ＨＹＰＧＥＯＭ．ＤＩＳＴ．
４ ０．０３４９９ ０．０２５５１ １５ ０．００１２９ ０．０００４１
５ ０．０７４６５ ０．０６５３０ １６ ０．０００２７ ０．００００６
６ ０．１２４４１ ０．１２４２２ １７ ０．００００４ ０．００００１
７ ０．１６５８８ ０．１７９７２ １８ ０．０００００ ０．０００００
８ ０．１７９７１ ０．２００７８ １９ ０．０００００ ０．０００００
９ ０．１５９７４ ０．１７４８３ ２０ ０．０００００ ０．０００００
１０ ０．１１７１４ ０．１１９２４
第七章 随机变量及其分布 ７９犡
样本中黄球的比例犳 ＝ 是一个随机变量，根据表７．４２，计算得：
２０ ２０
有放回摸球：犘（狘犳 －０．４狘≤０．１）＝犘（６≤犡≤１０）≈０．７４６９．
２０
不放回摸球：犘（狘犳 －０．４狘≤０．１）＝犘（６≤犡≤１０）≈０．７９８８．
２０
由例６可以发现，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．
两种摸球方式下，随机变量犡分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的
均值（都是８），但从两种分布的概率分布图（图７．４４）看，超几何分布更集中在均值附近．
P
0.25
0.20
 
0.15

0.10
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 X
图７．４４
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的狀件产品中次品数的分布规律，并且
二者的均值相同．对于不放回抽样，当狀远远小于犖时，每抽取一次后，对犖的影响很
小，此时，超几何分布可以用二项分布近似．

１．一箱２４罐的饮料中４罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取２罐，求这２罐中有奖券的
概率．
２．学校要从１２名候选人中选４名同学组成学生会，已知有４名候选人来自甲班．假设每名候选人都有
相同的机会被选到，求甲班恰有２名同学被选到的概率．
３．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子．
习题７．４

１．抛掷一枚骰子，当出现５点或６点时，就说这次试验成功，求在３０次试验中成功次数犡的均
值和方差．
２．若某射手每次射击击中目标的概率为０．９，每次射击的结果相互独立，则在他连续４次射击
８０ 第七章 随机变量及其分布中，恰好有一次未击中目标的概率是多大？
３．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点０出发，每隔１ｓ等可能地向左或向右移动一个
单位，共移动６次．求下列事件的概率．
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
（第３题）
（１）质点回到原点；
（２）质点位于４的位置．
４．从一副不含大小王的５２张扑克牌中任意抽出５张，求至少有２张 Ａ牌的概率（精确到
０．００００１）．

５．某射手每次射击击中目标的概率为０．８，共进行１０次射击，求（精确到０．０１）：
（１）恰有８次击中目标的概率；
（２）至少有８次击中目标的概率．
６．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有１０个红球和２０个白球，这些球除颜色外完全相同，一次
从中摸出５个球，至少摸到３个红球就中奖．求中奖的概率（精确到０．００１）．
７．一个车间有３台车床，它们各自独立工作．设同时发生故障的车床数为犡，在下列两种情形下
分别求犡的分布列．
（１）假设这３台车床型号相同，它们发生故障的概率都是２０％；
（２）这３台车床中有Ａ型号２台，Ｂ型号１台，Ａ型车床发生故障的概率为１０％，Ｂ型车床发
生故障的概率为２０％．
 
８．某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为９０％．随机选择了１０名患者，经过使
用该药治疗后，治愈的人数不超过６人，你是否怀疑药厂的宣传？

二项分布的性质
设随机变量犡～犅（狀，狆），则犡的分布列为
犘（犡＝犽）＝Ｃ犽狆犽 （１－狆）
狀－犽
，犽＝０，１，…，狀．
狀
对不同的狀和狆的值，绘制的概率分布图如图１所示．
第七章 随机变量及其分布 ８１P P P
0.3 0.3 0.3
0.2 0.2 0.2
0.1 0.1 0.1
0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
n=9,p=0.3 n=9,p=0.5 n=9,p=0.7
 











































  














































 
P P
0.3 0.3
0.2 0.2
0.1 0.1
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415 X
n=12,p=0.4 n=15,p=0.4
 











































































  


图１
观察图形，类比函数性质的研究，你能发现二项分布的哪些性质？提出你的
猜想．
记狆＝犘（犡＝犽），观察图形我们发现：当犽由０增大到狀时，狆 先增后
犽 犽
减，在某一个（或两个）犽值处达到最大．二项分布当狆＝０．５时是对称的，当
狆＜０．５时向左偏倚，当狆＞０．５时向右偏倚．
下面，我们利用分布列的表达式来研究狆 的增减变化及最大值．
犽
狆 Ｃ犽狆犽 （１－狆） 狀－犽 （狀－犽＋１）狆
犽 ＝ 狀 ＝
狆 Ｃ犽－１狆犽－１ （１－狆） 狀－犽＋１ 犽（１－狆）
犽－１ 狀
犽（１－狆）＋（狀＋１）狆－犽 （狀＋１）狆－犽
＝ ＝１＋ ．
犽（１－狆） 犽（１－狆）
当犽＜（狀＋１）狆时，狆＞狆 ，狆 随犽值的增加而增加；当犽＞（狀＋１）狆
犽 犽－１ 犽
时，狆＜狆 ，狆 随犽值的增加而减小．
犽 犽－１ 犽
如果（狀＋１）狆为正整数，当犽＝（狀＋１）狆时，狆＝狆 ，此时这两项概率均
犽 犽－１
为最大值．如果（狀＋１）狆为非整数，而犽取（狀＋１）狆的整数部分，则狆 是唯一
犽
的最大值．
对你发现的二项分布的其他性质，你能给出证明吗？
８２ 第七章 随机变量及其分布７５ 正态分布
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还
有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充
满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为０，我们称这
类随 机 变 量 为 连 续 型 随 机 变 量 （ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｒａｎｄｏｍ
ｖａｒｉａｂｌｅ）．下面我们看一个具体问题．
问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为４００ｇ．由于各种不可控制的因素，
任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去
标准质量）．用犡表示这种误差，则犡是一个连续型随机变量．检测人员在一次产品检验
中，随机抽取了１００袋食盐，获得误差犡（单位：ｇ）的观测值如下：
－０．６ －１．４ －０．７ ３．３ －２．９ －５．２ １．４ ０．１ ４．４ ０．９
－２．６ －３．４ －０．７ －３．２ －１．７ ２．９ ０．６ １．７ ２．９ １．２
０．５ －３．７ ２．７ １．１ －３．０ －２．６ －１．９ １．７ ２．６ ０．４
２．６ －２．０ －０．２ １．８ －０．７ －１．３ －０．５ －１．３ ０．２ －２．１
２．４ －１．５ －０．４ ３．８ －０．１ １．５ ０．３ －１．８ ０．０ ２．５
３．５ －４．２ －１．０ －０．２ ０．１ ０．９ １．１ ２．２ ０．９ －０．６
－４．４ －１．１ ３．９ －１．０ －０．６ １．７ ０．３ －２．４ －０．１ －１．７
－０．５ －０．８ １．７ １．４ ４．４ １．２ －１．８ －３．１ －２．１ －１．６
２．２ ０．３ ４．８ －０．８ －３．５ －２．７ ３．８ １．４ －３．５ －０．９
－２．２ －０．７ －１．３ １．５ －１．５ －２．２ １．０ １．３ １．７ －０．９
（１）如何描述这１００个样本误差数据的分布？
（２）如何构建适当的概率模型刻画误差犡的分布？
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这

组误差数据的分布，如图７．５１所示．频率分布直方图中 0.20
每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所 0.15
有小矩形的面积之和为１． 0.10
0.05
观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称
0
地分布在犡＝０的两侧，而且小误差比大误差出现得更 -6 -4 -2 0 2 4 6 X
频繁． 图７．５１
第七章 随机变量及其分布 ８３随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，
频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图７．５２所示．
f(x)

0.20 0.20
0.15 0.15
0.10 0.10
0.05 0.05
0 0
-6 -4 -2 0 2 4 6 X -6 -4 -2 0 2 4 6 x
图７．５２ 图７．５３
根据频率与概率的关系，可用图７．５３中的钟形曲线（曲线与水平轴之间的区域的面
积为１）来描述袋装食盐质量误差的概率分布．例如，任意抽取一袋食盐，误差落在 ［－２，
－１］内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示．
由函数知识可知，图７．５３中的钟形曲线是一个函数．那么，这个函数是否存在解析式呢？
答案是肯定的．在数学家的不懈努力下，找到了以下刻
画随机误差分布的解析式：
１ （狓－μ）２
犳（狓）＝ ｅ－ ，狓∈犚． 早在１７３３年，法国
２σ２
σ槡２π
数学家棣莫弗 （Ａ．Ｄｅ
其中 μ∈犚，σ＞０为参数．
Ｍｏｉｖｒｅ，１６６７—１７５４）在研
显然，对任意的狓∈犚，犳（狓）＞０，它的图象在狓轴的
究二项概率的近似计算时，
上方．可以证明狓轴和曲线之间的区域的面积为１．我们称 已提出了正态密度函数的
犳（狓）为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称 形式，但当时只是作为一个
正态曲线，如图７．５４所示．若随机变量犡的概率分布密度 数学表达式．直到德国数
学家高斯 （Ｃ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ，
函数为犳（狓），则称随机变量犡服从正态分布（ｎｏｒｍａｌｄｉｓ
１７７７—１８５５）提出 “正态
ｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），记为犡～犖（
μ
，σ２ ）．特别地，当 μ＝０，σ＝１
误差”的理论后，正态密
时，称随机变量犡服从标准正态分布．
度函数才取得 “概率分
f( )
布”的身份．因此，人们
1 也称正态分布为高斯分布．
σ 2π
B
A
O x µ a b 犘（犡≤狓）只能通过数
图７．５４ 值积分近似计算．可以查
若犡～犖（
μ
，σ２ ），则如图７．５４所示，犡取值不超过 正态分布表或利用计算机
狓的概率犘（犡≤狓）为图中区域犃的面积，而犘（犪≤犡≤犫） 软件计算．Ｅｘｃｅｌ中对应的
函数为ＮＯＲＭ．ＤＩＳＴ．
为图中区域犅的面积．
８４ 第七章 随机变量及其分布正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之
中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．例如，某些物理量的测量误
差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、
单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容
器的电容），某地每年７月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布．

观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
由犡的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点：
（１）曲线是单峰的，它关于直线狓＝μ 对称；
１
（２）曲线在狓＝μ 处达到峰值 ；
σ槡２π
（３）当狓无限增大时，曲线无限接近狓轴．

一个正态分布由参数
μ
和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？
它们反映正态分布的哪些特征？
我们知道，函数狔＝犳（狓－μ ）的图象可由狔＝犳（狓）的图象平移得到．因此，在参数σ取
固定值时，正态曲线的位置由
μ
确定，且随着
μ
的变化而沿狓轴平移，如图７．５５所示．
y y
σ=1 µ=0 0.8
σ=0.5
µ=-1
0.4µ=0
µ=1 0.4
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 O 1 2 3 x -3 -2 -1 O 1 2 3 x
图７．５５ 图７．５６
１
当
μ
取定值时，因为正态曲线的峰值 与σ成反比，而且对任意的σ＞０，正态曲
σ槡２π
线与狓轴之间的区域的面积总为１．因此，当σ较小时，峰值高，正态曲线 “瘦高”，表
示随机变量犡的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线 “矮胖”，表示随机变量
犡的分布比较分散，如图７．５６所示．
观察图７．５５和图７．５６可以发现，参数
μ
反映了正态
分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值 μ 的 在实际问题中，参数
离散程度．实际上，我们有 μ，σ可以分别用样本均值
若犡～犖（
μ
，σ２ ），则犈（犡）＝μ ，犇（犡）＝σ２．
和样本标准差来估计．
第七章 随机变量及其分布 ８５
书书书例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了５０次坐公交车和骑自行
车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时３０ｍｉｎ，样本方差为３６；骑自行
车平均用时３４ｍｉｎ，样本方差为４．假设坐公交车用时犡和骑自行车用时犢都服从正态
分布．
（１）估计犡，犢的分布中的参数；
（２）根据 （１）中的估计结果，利用信息技术工具画出犡和犢的分布密度曲线；
（３）如果某天有３８ｍｉｎ可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有３４ｍｉｎ可
用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．
分析：对于第 （１）问，正态分布由参数
μ
和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，
可以分别用样本均值和样本标准差来估计．对于第 （３）问，这是一个概率决策问题，首
先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根
据概率的表示，比较概率的大小，作出判断．
解：（１）随机变量犡的样本均值为３０，样本标准差为６；随机变量犢的样本均值为
３４，样本标准差为２．用样本均值估计参数
μ
，用样本标准差估计参数σ，可以得到
犡～犖（３０，６２ ），犢～犖（３４，２２ ）．
（２）犡和犢的分布密度曲线如图７．５７所示．
y
（３）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通
工具．由图７．５７可知，
Y 
犘（犡≤３８）＜犘（犢≤３８），犘（犡≤３４）＞犘（犢≤３４）． X 
所以，如果有３８ｍｉｎ可用，那么骑自行车不迟到的概
O 26 30 34 38 t/min
率大，应选择骑自行车；如果只有３４ｍｉｎ可用，那么
图７．５７
坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车．
假设犡～犖（
μ
，σ２ ），可以证明：对给定的犽∈犖

，犘（ μ－犽σ≤犡≤μ＋犽σ）是一个只
与犽有关的定值．特别地，
犘（ μ－σ≤犡≤μ＋σ）≈０．６８２７，
犘（ μ－２σ≤犡≤μ＋２σ）≈０．９５４５，
犘（ μ－３σ≤犡≤μ＋３σ）≈０．９９７３．
上述结果可用图７．５８表示．
由此看到，尽管正态变量的取值范围是
µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ
（－∞，＋∞），但在一次试验中，犡的取值
68.27%
95.45%
几乎总是落在区间 ［ μ－３σ， μ＋３σ］内，而
99.73%
图７．５８
在此区间以外取值的概率大约只有０．００２７，
通常认为这种情况几乎不可能发生．
８６ 第七章 随机变量及其分布在实际应用中，通常认为服从于正态分布 犖（ μ ，σ２ ）的随机变量 犡 只取
［μ－３σ， μ＋３σ］中的值，这在统计学中称为３σ原则．

１．设随机变量犡～犖（０，１），则犡的密度函数为 ，犘（犡≤０）＝ ，
犘（｜犡｜≤１）＝ ，犘（犡≤１）＝ ，犘（犡＞１）＝ ．（精确到０．０００１．）
２．设随机变量犡～犖（０，２２），随机变量犢～犖（０，３２），画出分布密度曲线草图，并指出犘（犡≤－２）
与犘（犡≤２）的关系，以及犘（｜犡｜≤１）与犘（｜犢｜≤１）之间的大小关系．
３．举出两个服从正态分布的随机变量的例子．
习题７．５

１．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩犡服从正态分布犖（７２，８２），女生成绩犢服从
正态分布犖（７４，６２）．请你从不同角度比较男生、女生的考试成绩．
２．某市高二年级男生的身高犡（单位：ｃｍ）近似服从正态分布犖（１７０，５２），随机选择一名本市高
二年级的男生，求下列事件的概率：
（１）｛１６５＜犡≤１７５｝； （２）｛犡≤１６５｝； （３）｛犡＞１７５｝．
３．若犡～犖（μ，σ２），则犡位于区域［μ，μ＋σ］内的概率是多少？

４．袋装食盐标准质量为４００ｇ，规定误差的绝对值不超过４ｇ就认为合格．假设误差服从正态分布，
随机抽取１００袋食盐，误差的样本均值为０，样本方差为４．请你估计这批袋装食盐的合格率．
 
概率分布图及概率计算
利用ＧｅｏＧｅｂｒａ动态教学软件，可以画二项分布、超几何分布、正态分布等
概率分布图，计算随机变量取值于某区间内的概率．
打开软件，进入ＧｅｏＧｅｂｒａ的界面，点击右侧边框中的小三角，在显示的经
典菜单中选择 “概率统计”．
第七章 随机变量及其分布 ８７１．二项分布
选择二项分布，输入试验次数狀＝２０及成功概率狆＝０．５，即犅（２０，０．５）．
如图１，绘图区显示二项概率分布图，右侧显示分布列．输入随机变量的取值范
围，窗口底部显示随机变量落在该范围的概率，例如
犘（８≤犡≤１２）＝０．７３６８．
图１ 图２
２．超几何分布
选择超几何分布，输入总体犖＝１００，犕＝１０及样本狀＝３０，即犺（３０，１００，
１０）．如图２，绘图区显示超几何概率分布图，右侧显示分布列．输入随机变量的
取值范围，窗口底部显示随机变量落在该范围的概率，例如
犘（１≤犡≤５）＝０．９３８３．
３．正态分布
选择正态分布，输入均值 μ＝０，标
准差σ＝１，即犖（０，１）．如图３，绘图区
显示正态密度曲线图．输入随机变量的取
值范围，窗口底部显示随机变量落在该范
围的概率，例如
犘（－１≤犡≤１）＝０．６８２７，
犘（－２≤犡≤２）＝０．９５４５，
犘（－３≤犡≤３）＝０．９９７３．
图３
通过窗口左下角的按钮，还可以求变量落在单边区间内的概率，例如
犘（犡≤１．５）＝０．９３３２．
请你再选择一些正态分布犖（
μ
，σ２ ），分别计算犘（ μ－σ≤犡≤μ＋σ），
犘（ μ－２σ≤犡≤μ＋２σ），犘（ μ－３σ≤犡≤μ＋３σ）的值，并总结这些值的规律．
８８ 第七章 随机变量及其分布
<= >?@ABC
第七章 随机变量及其分布
  
 
  


  

  

  
  
σ
5= DEFGH
本章我们在已有概率学习的基础上，研究了在一个事件发生的条件下，求
另一个事件发生的概率问题，从而得到了条件概率的计算方法．这一方法的基
本思想是利用一些已知条件，通过缩小样本空间的方法计算概率．利用条件概
率，我们得到了一般的概率乘法公式．特别地，当两个事件相互独立时，乘法
公式就是求两个独立事件的积事件的概率公式．有了这些知识，当我们面对一
个复杂事件时，就可以先把它表示为一些简单事件运算的结果，再利用概率的
加法公式和乘法公式计算出复杂事件的概率．这是全概率公式蕴含的数学思想
方法，体现了利用研究对象的性质探寻解决问题的方法、将复杂问题化归为简
单问题的数学思想．
在古典概型的学习中我们发现，为了计算随机事件的概率，往往需要为不
同背景的问题建立不同的样本空间，这样 “单个地”处理问题显然是麻烦而不
经济的．类似于引入函数概念，通过函数描述现实世界中变量关系和规律一样，
本章我们先引入随机变量的概念，建立起样本空间到实数集的对应关系，为随
机事件的表示带来方便；然后再引入分布列概念，建立起随机变量取值与其概
率的对应关系．有了随机变量及其分布列的概念，就可以将不同背景的概率问
题转化为统一的数学问题，从而为我们利用各种数学工具，系统、全面地研究
随机现象的规律奠定基础．
本章的学习中，我们重点关注了随机变量的分布列和数字特征．分布列全面
８９彻底地刻画了随机变量的取值规律；均值和方差是随机变量的两个重要的数字
特征，均值反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的离
散程度，它们在推断随机现象的规律进而作出决策中有重要作用．
在函数的学习中我们有这样的经验：通过学习幂函数、指数函数、对数函
数、三角函数等基本函数类，不仅加深了对一般函数概念的理解，而且奠定了
建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础．类似地，我们通过研
究二项分布、超几何分布等离散型随机变量的分布，以及正态分布这一连续型
随机变量的分布，不仅进一步理解了随机变量在描述随机现象中的作用，而且
对随机思想在解决实际问题中的作用也有了更深入的理解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！
１．两个随机事件的独立性和条件概率有什么关系？
２．用全概率公式求一个复杂事件的概率的思路是什么？
３．离散型随机变量的分布列与样本频率分布有什么联系与区别？
４．离散型随机变量的均值与方差的意义和作用是什么？它们与随机变量的
观测值的平均值和方差的联系与区别是什么？
５．归纳二项分布模型的特征．有人说：“随机掷一枚质地均匀的硬币，出现
正面的概率是０．５．因此，随机抛掷１００次硬币，出现５０次正面的可能性应该
也是０．５．”你认为正确吗？为什么？
６．离散型随机变量的分布规律与服从正态分布的随机变量的分布规律的区
别是什么？
复习参考题７

１．举例说明犘（犅）与犘（犅｜犃）没有确定的大小关系．
２．抛掷两枚质地均匀的骰子，求：
（１）两个点数都出现偶数的概率；
（２）已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率．
３．假设有两箱零件，第一箱内装有１０件，其中有２件次品；第二箱内装有２０件，其中有３件次
品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取１个零件．
（１）求取出的零件是次品的概率；

（２）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．
９０ 第七章 随机变量及其分布４．已知离散型随机变量犡的分布列如下表所示．
犡 ０ １ ２
犘 ０．３６ １－２狇 狇２
求：（１）常数狇的值； （２）犈（犡）和犇（犡）．
５．已知随机变量犡取所有的值１，２，…，狀是等可能的，且犈（犡）＝１０，求狀的值．
６．已知每门大炮击中目标的概率都是０．３，现在狀门大炮同时对某一目标各射击一次．
（１）当狀＝１０时，求恰好击中目标３次的概率 （精确到０．００１）；
（２）如果使目标至少被击中一次的概率超过９５％，至少需要多少门大炮？

７．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约４０％的人近视，而该校大约有２０％的学
生每天玩手机超过１ｈ，这些人的近视率约为５０％．现从每天玩手机不超过１ｈ的学生中任意
调查一名学生，求他近视的概率．
８．某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行．统计资
料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润２万元；商场外的促销活动，如果不遇到有
雨天气可获得利润８万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失３万元．９月３０日气象台预报
国庆节当地的降水概率是４０％，商场应该选择哪种促销方式？
９．一份某种意外伤害保险费为２０元，保险金额为５０万元．某城市的一家保险公司一年能销售１０
万份保单，而每一份保单需要赔付的概率为１０－５．利用计算工具求 （精确到０．０００１）：
（１）这家保险公司在这个险种上亏本的概率；
（２）这家保险公司在这个险种上一年内获利不少于１００万元的概率．
 
１０．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第１次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将
球传给另外两个人中的任何一人．求狀次传球后球在甲手中的概率．
１１．某单位有１００００名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占５％，
如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验１００００次．统计专家提出了一种化验方法：随机
地按５人一组分组，然后将各组５个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这５
个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人
再分别化验一次．
（１）按照这种化验方法能减少化验次数吗？
（２）如果携带病毒的人只占２％，按照犽个人一组，犽取多大时化验次数最少？
１２．某城市高中数学统考，假设考试成绩服从正态分布犖（７５，８２）．如果按照１６％，３４％，３４％，
１６％的比例将考试成绩分为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级，试确定各等级的分数线（精确到１）．
第七章 随机变量及其分布 ９１第八章
成对数据的统计分析
在必修课程中，我们学习了单个变量的观测数据的直观表示
和统计特征的刻画等知识与方法．例如，用直方图描述样本数据
的分布规律，用均值刻画样本数据的集中趋势，用方差刻画样本
数据的离散程度等．这些方法主要适用于通过样本认识单个变量
的统计规律．在现实中，我们还经常需要了解两个或两个以上变
量之间的关系．例如，教育部门为掌握学生身体健康状况，需要
了解身高变量和体重变量之间的关系；医疗卫生部门要制定预防
青少年近视的措施，需要了解有哪些因素会影响视力，以及这些
因素是如何影响视力的；商家要根据顾客的意见改进服务水平，
希望了解哪些因素影响服务水平，以及这些因素是如何起作用
的；等等．为此，我们需要进一步学习通过样本推断变量之间关
系的知识和方法．
本章的学习内容有成对数据的统计相关性、一元线性回归模
型和２×２列联表等，这些知识与方法在解决实际问题中非常有
用．可以发现，两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进
行分析；利用一元线性回归模型可以研究变量之间的随机关系，
进行预测；利用２×２列联表可以检验两个随机变量的独立性．
本章的学习对于提高我们解决实际问题的能力，提升数据分析、
数学建模等素养都是非常有帮助的．
书书书８１ 成对数据的统计相关性
我们知道，如果变量狔是变量狓的函数，那么由狓就
可以唯一确定狔．然而，现实世界中还存在这样的情况：两
个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度．
例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不
能确定他的体重值．那么，该如何刻画这两个变量之间的关
系呢？下面我们就来研究这个问题．
８１１
! "#$%&&’
我们知道，一个人的体重与他的身高有关系．一般而言，个子高的人往往体重值较
大，个子矮的人往往体重值较小．但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食
习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素．像这样，两个变量
有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关
关系 （ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）．
两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在．例如：
１．子女身高狔与父亲身高狓之间的关系．一般来说，父亲的个子高，其子女的个子
也会比较高；父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮．但影响子女身高的因素，除父亲身
高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决
定子女身高．
２．商品销售收入狔与广告支出狓之间的关系．一般来说，广告支出越多，商品销售
收入越高．但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与商品质
量、居民收入等因素有关．
３．空气污染指数狔与汽车保有量狓之间的关系．一般来说，汽车保有量增加，空气
污染指数会上升．但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业废气排
放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素．
４．粮食亩产量狔与施肥量狓之间的关系．在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量
就越高．但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降
水量、田间管理水平等因素的影响．
因为在相关关系中，变量狔的值不能随变量狓的值的确定而唯一确定，所以我们无
法直接用函数去描述变量之间的这种关系．对上述各例中两个变量之间的相关关系，我们
第八章 成对数据的统计分析 ９３往往会根据自己以往积累的经验作出推断．“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决
策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足．例如，不同经验的人对同一情形可能会得
出不同结论，不是所有的情形都有经验可循等．因此，在研究两个变量之间的相关关系
时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模
型，再利用模型进行估计或推断．

在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪
含量的简单随机样本数据，如表８．１１所示．表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据
都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据．
表８１１
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
年龄／岁 ２３ ２７ ３９ ４１ ４５ ４９ ５０
脂肪含量／％ ９．５ １７．８ ２１．２ ２５．９ ２７．５ ２６．３ ２８．２
编号 ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４
年龄／岁 ５３ ５４ ５６ ５７ ５８ ６０ ６１
脂肪含量／％ ２９．６ ３０．２ ３１．４ ３０．８ ３３．５ ３５．２ ３４．６
根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？
为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方
图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征．用横轴
表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表８．１１中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标
系中的点表示出来，由这些点组成了如图８．１１所示的统计图．我们把这样的统计图叫做
散点图 （ｓｃａｔｔｅｒｐｌｏｔ）．
/%
40
35
利用统计软件画散点
30
25 图，Ｅｘｃｅｌ软件可以通过
20
插入图表，从图表类型中
15
10 选取散点图；Ｒ软件可以
5
0 用函数ｐｌｏｔ．
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 /
图８．１１
观察图８．１１，可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表
明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增加的趋势．这样，由成对样本数据的分布规
律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系．
９４ 第八章 成对数据的统计分析
书书书从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们
就称这两个变量正相关 （ｐｏｓｉｔｉｖｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）；当一个变量的值增加时，另一个变量的相
应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关 （ｎｅｇａｔｉｖｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ）．
由图８．１１，能够推断脂肪含量与年龄这两个变量正相关．

（１）两个变量负相关时，成对样本数据的散点图有什么特点？
（２）你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗？
散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法．观察散点图８．１１，从中我们不仅
可以大致看出脂肪含量和年龄呈现正相关，而且从整体上可以看出散点落在某条直线附
近．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我
们就称这两个变量线性相关．
观察散点图８．１２，我们发现：图 （１）中的散点落在某条曲线附近，而不是落在一
条直线附近，说明这两个变量具有相关性，但不是线性相关；类似地，图 （２）中的散点
落在一条折线附近，这两个变量也具有相关性，但它们既不是正相关，也不是负相关；图
（３）中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出这两个变量有什么相关性．
y y y
12 12 12
10 10 10
8 8 8
6 6 6
4 4 4
2 2 2
0 0 0
0 2 4 6 8 10 1214 0 2 4 6 8 10 1214 0 2 4 6 8 10 1214
（１） （２） （３）
图８．１２
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线
性相关或曲线相关．

１．举例说明什么叫相关关系．相关关系与函数关系有什么区别？
２．根据下面的散点图，推断图中的两个变量是否存在相关关系．
第八章 成对数据的统计分析 ９５y y
10 10
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（１） （２）
y y
10 10
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（３） （４）
（第２题）
３．下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相
关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？
地区 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ Ｊ Ｋ
海拔高度／ｍ １２５０ １１５８ １０６７ ４５７ ７０１ ７３１ ６１０ ６７０ １４９３ ７６２ ５４９
鸟的种类／种 ３６ ３０ ３７ １１ １１ １３ １７ １３ ２９ ４ １５
８１２
! ()%&’*
通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变量是否存在相
关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等．散点图虽然直观，但无法
确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小．能否
像引入均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的 “数字特
征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢？
对于变量狓和变量狔，设经过随机抽样获得的成对样本数据为 （狓，狔）， （狓，
１ １ ２
狔），…，（狓，狔），其中狓，狓，…，狓 和狔，狔，…，狔 的均值分别为狓和狔．为
２ 狀 狀 １ ２ 狀 １ ２ 狀
了刻画每个变量的观测数据相对其均值的增减情况，将数据以 （狓，狔）为零点进行平移，
得到平移后的成对数据为
（狓－狓，狔－狔），（狓－狓，狔－狔），…，（狓－狓，狔－狔），
１ １ ２ ２ 狀 狀
并绘制散点图．
９６ 第八章 成对数据的统计分析利用上述方法处理表８．１１中的数据，得到图８．１３．我们发现，这时的散点大多数
分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号．显然，这样的规律是由人体
脂肪含量与年龄正相关所决定的．
y
10
5
-30 -25 -20 -15 -10 -5 O 5 10 15
-5
-10
-15
-20
图８．１３
一般地，如果变量狓和狔正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一
象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如图８．１４ （１）所示；如果变量狓和狔
负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数
据异号的居多，如图８．１４ （２）所示．
O O
（１） （２）
图８．１４

根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的
规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？
从上述讨论得到启发，利用散点（狓－狓，狔－狔）（犻＝１，２，…，狀）的横、纵坐标是
犻 犻
否同号，可以构造一个量
１
犔 ＝ ［（狓－狓）（狔－狔）＋（狓－狓）（狔－狔）＋…＋（狓－狓）（狔－狔）］．
狓狔 狀 １ １ ２ ２ 狀 狀
一般情形下，犔 ＞０表明成对样本数据正相关；犔 ＜０表明成对样本数据负相关．
狓狔 狓狔
第八章 成对数据的统计分析 ９７
你认为犔 的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？
狓狔
因为犔 的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程
狓狔
度的大小．例如，在研究体重与身高之间的相关程度时，如果体重的单位不变，把身高的
单位由米改为厘米，则相应的犔 将变为原来的１００倍，但单位的改变并不会导致体重与
狓狔
身高之间相关程度的改变．
为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的 “标准化”处理．我们用
狊＝ 槡
１
∑ 狀 （狓－狓）２ ，狊＝ 槡
１
∑ 狀 （狔－狔）２
狓 狀 犻 狔 狀 犻
犻＝１ 犻＝１
分别除狓－狓和狔－狔（犻＝１，２，…，狀），得
犻 犻
（狓－狓 狔－狔） （狓－狓 狔－狔） （狓－狓 狔－狔）
１ ， １ ， ２ ， ２ ，…， 狀 ， 狀 ．
狊 狊 狊 狊 狊 狊
狓 狔 狓 狔 狓 狔
为简单起见，把上述 “标准化”处理后的成对数据分别记为
（狓′，狔′），（狓′，狔′），…，（狓′，狔′），
１ １ ２ ２ 狀 狀
仿照犔 的构造，可以得到
狓狔
１
狉＝ （狓′狔′＋狓′狔′＋…＋狓′狔′）
狀 １ １ ２ ２ 狀 狀
∑
狀（狓－狓）（狔－狔）
犻 犻
＝ 犻＝１ ． （１）
槡
∑
狀（狓－狓）
２
槡
∑
狀（狔－狔）
２
犻 犻
犻＝１ 犻＝１
我们称狉为变量狓和变量狔的样本相关系数 （ｓａｍｐｌｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）．
这样，我们利用成对样本数据构造了样本相关系数狉．样本相关系数狉是一个描述成
对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征：
当狉＞０时，称成对样本数据正相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数
据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大．
当狉＜０时，称成对样本数据负相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数
据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小．
那么，样本相关系数狉的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢？为此，
我们先考察一下狉的取值范围．
观察狉的结构，联想到二维 （平面）向量、三维 （空间）向量数量积的坐标表示，我
们将向量的维数推广到狀维，狀维向量犪，犫的数量积仍然定义为
犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓθ，
其中θ为向量犪，犫的夹角．类似于平面或空间向量的坐标表示，对于向量犪＝（犪，犪，
１ ２
９８ 第八章 成对数据的统计分析…，犪）和犫＝（犫，犫，…，犫），我们有
狀 １ ２ 狀
犪·犫＝犪犫＋犪犫＋…＋犪犫．
１ １ ２ ２ 狀狀
设 “标准化”处理后的成对数据（狓′，狔′），（狓′，狔′），…，（狓′，狔′）的第一分量构
１ １ ２ ２ 狀 狀
成狀维向量
狓′＝（狓′，狓′，…，狓′），
１ ２ 狀
第二分量构成狀维向量
狔′＝（狔′，狔′，…，狔′），
１ ２ 狀
则有
１ １
狉＝ 狓′·狔′＝ 狓′｜狔′｜ｃｏｓθ．
狀 狀
因为狓′＝｜狔′｜＝槡狀，所以样本相关系数
狉＝ｃｏｓθ，
其中θ为向量狓′和向量狔′的夹角．
由－１≤ｃｏｓθ≤１，可知
－１≤狉≤１．

当｜狉｜＝１时，成对样本数据之间具有怎样的关系呢？
当｜狉｜＝１时，狉＝ｃｏｓθ中的θ＝０或π，向量狓′和狔′共线．由向量的知识可知，存在
实数λ，使得狔′＝λ狓′，即
狔－狔 狓－狓
犻 ＝λ犻 ，犻＝１，２，…，狀．
狊 狊
狔 狓
这表明成对样本数据 （狓，狔）都落在直线
犻 犻
λ狊
狔－狔＝ 狔（狓－狓） 样本相关系数狉有时
狊
狓 也称样本线性相关系数，
上．这时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系．
｜狉｜刻画了样本点集中于
由此可见，样本相关系数狉的取值范围为 ［－１，１］．
某条直线的程度．当狉＝０
样本相关系数狉的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线
时，只表明成对样本数据
性相关的程度： 间没有线性相关关系，但
当｜狉｜越接近１时，成对样本数据的线性相关程度越强； 不排除它们之间有其他相
当｜狉｜越接近０时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 关关系．
图８．１５是不同成对样本数据的散点图和相应的样本相关系数．图 （１）中的散点有
明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，说明成对样本数据呈现出线性相关关系；样
本相关系数狉＝０．９７，表明成对样本数据的正线性相关程度很强．图 （２）中的散点有明
第八章 成对数据的统计分析 ９９显的从左上角到右下角沿直线分布的趋势，说明成对样本数据也呈现出线性相关关系；样
本相关系数狉＝－０．８５，表明成对样本数据的负线性相关程度比较强．从样本相关系数来
看，图 （１）中成对样本数据的线性相关程度要比图 （２）中强一些；图 （３）和图 （４）中
的成对样本数据的线性相关程度很弱，其中图 （４）中成对样本数据的线性相关程度极弱．
y y
3 3
2 2
1 1
0 0
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
r=0.97 r=-0.85
（１） （２）
y y
3 3
2 2
1 1
0 0
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
r=0.24 r=-0.05
（３） （４）
图８．１５
综上可知，两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析，而样本相关系数
狉可以反映两个随机变量之间的线性相关程度：狉的符号反映了相关关系的正负性；｜狉｜
的大小反映了两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度．
在有限总体中，若要确切地了解两个变量之间相关关系的正负性及线性相关的程度，
我们可以利用这两个变量取值的所有成对数据，通过公式 （１）就可以计算出两个变量的
相关系数．例如，要确切了解脂肪含量狔与年龄狓的线性相关程度，需要调查所有人的年
龄及其脂肪含量，再将得到的成对数据代入公式 （１），计算出相关系数．这个相关系数就
能确切地反映变量之间的相关程度．
不过，在实际中，获得总体中所有的成对数据往往是不容易的．因此，我们还是要用样
本估计总体的思想来解决问题．也就是说，我们先要通过抽样获取两个变量的一些成对样本
１００第八章 成对数据的统计分析数据，再计算出样本相关系数，通过样本相关系数去估计总体相关系数，从而了解两个变
量之间的相关程度．对于简单随机样本而言，样本具有随机性，因此样本相关系数狉也具有
随机性．一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好．
例１ 根据表８．１１中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计
算样本相关系数，并推断它们的相关程度．
解：先画出散点图，如图８．１１所示．观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直
线附近，由此推断脂肪含量和年龄线性相关．
根据样本相关系数的定义，
∑１４ ∑１４
（狓－狓）（狔－狔） 狓狔－１４狓狔
犻 犻 犻犻
狉＝ 犻＝１ ＝ 犻＝１ ． ①
槡∑１４
（狓－狓） ２
槡∑１４
（狔－狔） ２
槡∑１４
狓２－１４狓２
槡∑１４
狔２－１４狔２
犻 犻 犻 犻
犻＝１ 犻＝１ 犻＝１ 犻＝１
利用计算工具计算可得
∑１４
狓≈４８．０７，狔≈２７．２６， 狓狔＝１９４０３．２，
犻犻 利用统计软件计算样
犻＝１
∑１４ ∑１４
本相关系数，Ｅｘｃｅｌ软件
狓２＝３４１８１， 狔２＝１１０５１．７７．
犻 犻 用函数ＣＯＲＲＥＬ；Ｒ软件
犻＝１ 犻＝１
代入 ① 式，得 用函数ｃｏｒ．
１９４０３．２－１４×４８．０７×２７．２６
狉≈ ≈０．９７．
槡３４１８１－１４×４８．０７２× 槡１１０５１．７７－１４×２７．２６２
由样本相关系数狉≈０．９７，可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关
程度很强．
例２ 有人收集了某城市居民年收入 （所有居民在一年内收入的总和）与Ａ商品销售
额的１０年数据，如表８．１２所示．
表８１２
第狀年 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
居民年收入／亿元 ３２．２ ３１．１ ３２．９ ３５．８ ３７．１ ３８．０ ３９．０ ４３．０ ４４．６ ４６．０
Ａ商品销售额／万元 ２５．０ ３０．０ ３４．０ ３７．０ ３９．０ ４１．０ ４２．０ ４４．０ ４８．０ ５１．０
画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断Ａ商品销
售额与居民年收入的相关程度和变化趋势的异同．
解：画出成对样本数据的散点图，如图８．１６所示．从散点图看，Ａ商品销售额与居
民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
第八章 成对数据的统计分析 １０１A 
55
50
45
40
35
30
25
20
30 35 40 45 50 
图８．１６
由样本数据计算得样本相关系数狉≈０．９５．由此可以推断，Ａ商品销售额与居民年收
入正线性相关，即Ａ商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强．
例３ 在某校高一年级中随机抽取２５名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，
如表８．１３所示．
表８１３
编号 身高／ｃｍ 体重／ｋｇ 臂展／ｃｍ 编号 身高／ｃｍ 体重／ｋｇ 臂展／ｃｍ
１ １７３ ５５ １６９ １４ １６６ ６６ １６１
２ １７９ ７１ １７０ １５ １７６ ６１ １６６
３ １７５ ５２ １７２ １６ １７６ ４９ １６５
４ １７９ ６２ １７７ １７ １７５ ６０ １７３
５ １８２ ８２ １７４ １８ １６９ ４８ １６２
６ １７３ ６３ １６６ １９ １８４ ８６ １８９
７ １８０ ５５ １７４ ２０ １６９ ５８ １６４
８ １７０ ８１ １６９ ２１ １８２ ５４ １７０
９ １６９ ５４ １６６ ２２ １７１ ５８ １６４
１０ １７７ ５４ １７６ ２３ １７７ ６１ １７３
１１ １７７ ５９ １７０ ２４ １７３ ５８ １６５
１２ １７８ ６７ １７４ ２５ １７３ ５１ １６９
１３ １７４ ５６ １７０
体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？
解：根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图８．１７（１）和
（２）所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征．
/kg /cm
90 190
85
185
80
75 180
70
175
65
60 170
55 165
50
160
45
40 155
165 170 175 180 185  /cm 165 170 175 180 185 /cm
（１） （２）
图８．１７
１０２第八章 成对数据的统计分析通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为０．３４和０．７８，都为
正线性相关．其中，臂展与身高的相关程度更高．

１．由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系？
为什么？
２．已知变量狓和变量狔的３对随机观测数据 （２，２），（３，－１），（５，－７），计算成对样本数据的样
本相关系数．能据此推断这两个变量线性相关吗？为什么？
３．画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数．据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本
数据相关关系上的特点．
（１）（－２，－３），（－１，－１），（０，１），（１，３），（２，５），（３，７）；
（２）（０，０），（１，１），（２，４），（３，９），（４，１６）；
（３）（－２，－８），（－１，－１），（０，０），（１，１），（２，８），（３，２７）；
（４）（２，０），（１， 槡３），（０，２），（－１， 槡３），（－２，０）．
４．随机抽取７家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：
超市 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ
广告支出／万元 １ ２ ４ ６ １０ １４ ２０
销售额／万元 １９ ３２ ４４ ４０ ５２ ５３ ５４
请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征．
习题８．１

１．在以下４幅散点图中，推断哪些图中的狔和狓之间存在相关关系？其中哪些正相关，哪些负
相关？哪些图所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系？哪些图所对应的成对样本数据呈现
出非线性相关关系？
0 2 1 0 1 2
（１） （２）
第八章 成对数据的统计分析 １０３y y
2 2
1 1
0 0
-1 -1
-2 -2
-3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2
（３） （４）
（第１题）

２．随机抽取１０家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据
如下：
航空公司编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
航班正点率／％ ８１．８ ７６．８ ７６．６ ７５．７ ７３．８ ７２．２ ７１．２ ７０．８ ９１．４ ６８．５
顾客投诉／次 ２１ ５８ ８５ ６８ ７４ ９３ ７２ １２２ １８ １２５
顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋
势有何特征？
３．根据物理中的胡克定律，在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．在弹性限度
内，测得一根弹簧伸长长度狓和相应所受外力犉的一组数据如下：
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
狓／ｃｍ １ １．２ １．４ １．６ １．８ ２．０ ２．２ ２．４ ２．８ ３．０
犉／Ｎ ３．０８ ３．７６ ４．３１ ５．０２ ５．５１ ６．２５ ６．７４ ７．４０ ８．５４ ９．２４
两个变量的样本相关系数是否为１？请你解释其中的原因．
 
４．某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍．有人发现了一个有趣的现象，该地区有５个村庄，其中
３个村庄附近栖息的天鹅较多，婴儿出生率也较高；２个村庄附近栖息的天鹅较少，婴儿的出
生率也较低．有人认为婴儿出生率和天鹅数之间存在相关关系，并得出一个结论：天鹅能够带
来孩子．你同意这个结论吗？为什么？
１０４第八章 成对数据的统计分析８２ 一元线性回归模型及其应用
通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的
散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关
系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等．进
一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性
关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相
关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的
随机关系，并通过模型进行预测．
下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样
本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题．
８２１
! +,-./012
生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父
亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高．为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了
某所高校１４名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表８．２１所示．
表８２１
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４
父亲身高／ｃｍ １７４ １７０ １７３ １６９ １８２ １７２ １８０ １７２ １６８ １６６ １８２ １７３ １６４ １８０
儿子身高／ｃｍ １７６ １７６ １７０ １７０ １８５ １７６ １７８ １７４ １７０ １６８ １７８ １７２ １６５ １８２
利用前面表示数据的方法，以横轴表示
 /cm
父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标
190
系，再将表８．２１中的成对样本数据表示为散
185
点图，如图８．２１所示．可以发现，散点大致 180
175
分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表
170
明儿子身高和父亲身高线性相关．利用统计软 165
160
件，求得样本相关系数为狉≈０．８８６，表明儿子 160 165 170 175 180 185  /cm
图８．２１
身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高．

根据表８．２１中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数
模型刻画吗？
第八章 成对数据的统计分析 １０５在表８．２１的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况．例如，第６个和
第８个观测的父亲身高均为１７２ｃｍ，而对应的儿子身高分别为１７６ｃｍ和１７４ｃｍ；同样，
第３，４两个观测中，儿子身高都是１７０ｃｍ，而父亲身高分别为１７３ｃｍ和１６９ｃｍ．可见
儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画．
图８．２１中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之
间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，
而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到
刻画两个变量之间关系的线性回归模型．其中，随机误差是一个随机变量．
用狓表示父亲身高，犢表示儿子身高，犲表示随机误
差．假定随机误差犲的均值为０，方差为与父亲身高无关的
定值σ２ ，则它们之间的关系可以表示为
为什么假设犈（犲）＝
０，而不假设其为某个不
烄犢＝犫狓＋犪＋犲，
烅
（１） 为０的常数？
烆犈（犲）＝０，犇（犲）＝σ２．
我们称 （１）式为犢关于狓的一元线性回归模型 （ｓｉｍｐｌｅｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌ）．其中，
犢称为因变量或响应变量，狓称为自变量或解释变量；犪和犫为模型的未知参数，犪称为
截距参数，犫称为斜率参数；犲是犢与犫狓＋犪之间的随机误差．模型中的犢也是随机变
量，其值虽然不能由变量狓的值确定，但是却能表示为犫狓＋犪与犲的和 （叠加），前一部
分由狓所确定，后一部分是随机的．如果犲＝０，那么犢与狓之间的关系就可用一元线性
函数模型来描述．
对于父亲身高狓和儿子身高犢的一元线性回归模型 （１），可以解释为父亲身高为狓
犻
的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为犫狓＋犪，即该子总体的均值
犻
与父亲身高是线性函数关系．而对于父亲身高为狓 的某一名男大学生，他的身高狔 并不
犻 犻
一定为犫狓＋犪，它仅是该子总体中的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项犲＝
犻 犻
狔－（犫狓＋犪）．
犻 犻

你能结合具体实例解释产生模型 （１）中随机误差项的原因吗？
在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差犲的原因有：
（１）除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食
习惯和锻炼时间等；
（２）在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；
（３）实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元
线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差犲的原因．
１０６第八章 成对数据的统计分析
１．说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型和回归模型的例子．
２．在一元线性回归模型 （１）中，参数犫的含义是什么？
３．将图８．２１中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图象是一个折线图，可以用这条
折线表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？
８２２
! +,-./0123*$456789
在一元线性回归模型中，表达式犢＝犫狓＋犪＋犲刻画的是变量犢与变量狓之间的线性
相关关系，其中参数犪和犫未知，需要根据成对样本数据进行估计．由模型的建立过程可
知，参数犪和犫刻画了变量犢与变量狓的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个
参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线
最接近．

利用散点图８．２１找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近．
有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距
离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置．测量出此时的斜率和截距，就可得
到一条直线，如图８．２２所示．
 /cm  /cm
190 190
185 185
180 180
175 175
170 170
165 165
160 160
160 165 170 175 180 185 /cm 160 165 170 175 180 185  /cm
图８．２２ 图８．２３
有的同学可能会想，可以在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基
本相同，把这条直线作为所求直线，如图８．２３所示．
还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些
直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图８．２４
所示．
第八章 成对数据的统计分析 １０７ /cm
190
185
180
175
170
165
160
160 165 170 175 180 185  /cm
图８．２４
同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行．
上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径．
先进一步明确我们面临的任务：从成对样本数据出发，用数学的方法刻画 “从整体上
看，各散点与直线最接近”．
通常，我们会想到利用点到直线狔＝犫狓＋犪的 “距离”来刻画散点与该直线的接近程
度，然后用所有 “距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度．我们设满足一
元线性回归模型的两个变量的狀对样本数据为 （狓，狔）， （狓，狔），…， （狓，狔），
１ １ ２ ２ 狀 狀
由狔＝犫狓＋犪＋犲（犻＝１，２，…，狀），得
犻 犻 犻
狔－（犫狓＋犪）＝犲 ．显然犲 越小，表  /cm
犻 犻 犻 犻
示点 （狓，狔）与点 （狓，犫狓＋犪）的 “距 190
犻 犻 犻 犻
185
离”越小，即样本数据点离直线狔＝犫狓＋犪的
180
竖直距离越小，如图８．２５所示．特别地，当 175
170
犲＝０时，表示点 （狓，狔）在这条直线上．
165
犻 犻 犻
160
因此，可以用这狀个竖直距离之和
160 165 170 175 180 185  /cm
图８．２５
∑狀
狔－（犫狓＋犪）
犻 犻
犻＝１
来刻画各样本观测数据与直线狔＝犫狓＋犪的 “整体接近程度”．
在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距
离的平方之和
∑狀
犙＝ （狔－犫狓－犪） ２
犻 犻
犻＝１
来刻画 “整体接近程度”．
在上式中，狓，狔（犻＝１，２，３，…，狀）是已知的成对样本数据，所以犙由犪和犫所
犻 犻
决定，即它是犪和犫的函数．因为犙还可以表示为
∑狀
犲２ ，即它是随机误差的平方和，这
犻
犻＝１
个和当然越小越好，所以我们取使犙达到最小的犪和犫的值，作为截距和斜率的估计值．
下面利用成对样本数据求使犙取最小值的犪，犫．
记狓＝
１ ∑狀
狓，狔＝
１ ∑狀
狔．因为
狀 犻 狀 犻
犻＝１ 犻＝１
１０８第八章 成对数据的统计分析∑狀
犙（犪，犫）＝ （狔－犫狓－犪）
２
犻 犻
犻＝１
∑狀
＝ ［狔－犫狓－（狔－犫狓）＋（狔－犫狓）－犪］ ２
犻 犻
犻＝１
∑狀
＝ ［（狔－狔）－犫（狓－狓）＋（狔－犫狓）－犪］ ２
犻 犻
犻＝１
∑狀 ∑狀
＝ ［（狔－狔）－犫（狓－狓）］ ２＋２ ［（狔－狔）－犫（狓－狓）］×
犻 犻 犻 犻
犻＝１ 犻＝１
［（狔－犫狓）－犪］＋狀［（狔－犫狓）－犪］
２
，
注意到
∑狀
［（狔－狔）－犫（狓－狓）］（狔－犫狓－犪）
犻 犻
犻＝１
∑狀
＝（狔－犫狓－犪） ［（狔－狔）－犫（狓－狓）］
犻 犻
犻＝１
∑狀 ∑狀
＝（狔－犫狓－犪）［ （狔－狔）－犫 （狓－狓）］
犻 犻
犻＝１ 犻＝１
＝（狔－犫狓－犪）［（狀狔－狀狔）－犫（狀狓－狀狓）］
＝０，
所以
∑狀
犙（犪，犫）＝ ［（狔－狔）－犫（狓－狓）］ ２＋狀（狔－犫狓－犪） ２．
犻 犻
犻＝１
上式右边各项均为非负数，且前狀项与犪无关．所以，要使犙取到最小值，狀（狔－
犫狓－犪）
２
的值应为０，即犪＝狔－犫狓．此时
∑狀
犙（犪，犫）＝ ［（狔－狔）－犫（狓－狓）］
２
犻 犻
犻＝１
∑狀 ∑狀 ∑狀
＝犫２ （狓－狓） ２－２犫 （狓－狓）（狔－狔）＋ （狔－狔） ２．
犻 犻 犻 犻
犻＝１ 犻＝１ 犻＝１
上式是关于犫的二次函数，因此要使犙取得最小值，当且仅当犫的取值为
∑狀
（狓－狓）（狔－狔）
犻 犻
＾
犫＝犻＝１ ．
∑狀
（狓－狓）
２
犻
犻＝１
综上，当犪，犫的取值为
烄 ∑狀
（狓－狓）（狔－狔）
犻 犻
＾ 犫＝犻＝１ ，
烅
∑狀
（狓－狓）
２
（２）
犻
犻＝１
＾
烆＾犪＝狔－犫狓
时，犙达到最小．
第八章 成对数据的统计分析 １０９我们将＾狔＝ ＾ 犫狓＋＾犪称为犢关于狓的经验回归方程，也称
经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．
?这里的 “二乘”是
这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法 ，求得的＾ 犫，＾ 犪
?
平方的意思．
叫做犫，犪的最小二乘估计 （ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｅｓｔｉｍａｔｅ）．
对于表８．２１中的数据，利用公式 （２）可以计算出
＾ 犫＝０．８３９，＾犪＝２８．９５７，得到儿子身高犢关于父亲身高狓的
经验回归方程为
＾狔＝０．８３９狓＋２８．９５７，
相应的经验回归直线如图８．２６所示．
利用统计软件求经验
 /cm 回归模型，Ｅｘｃｅｌ软件可
以用数据分析中的 “回
190
185 归”分析工具或通过 “添
180
加趋势线”得到；Ｒ软件
175
170
y?=0.839x+28.957
可以用函数ｌｍ计算参数
165 的最小二乘估计结果．
160
160 165 170 175 180 185  /cm
图８．２６

当狓＝１７６时，＾狔≈１７７．如果一位父亲的身高为１７６ｃｍ，他儿子长大成人后的身
高一定是１７７ｃｍ吗？为什么？
显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲
身高不能完全决定儿子身高．不过，我们可以作出推测，当
英国著名统计学家高
父亲身高为１７６ｃｍ时，儿子身高一般在１７７ｃｍ左右．
尔顿 （Ｆ．Ｇａｌｔｏｎ，１８２２—
实际上，如果把这所学校父亲身高为１７６ｃｍ的所有儿
１９１１）把这种后代的身高
子身高作为一个子总体，那么１７７ｃｍ是这个子总体的均值 向中间值靠近的趋势称为
的估计值． “回归现象”．后来，人们
这里的经验回归方程＾狔＝０．８３９狓＋２８．９５７，其斜率可以 把由一个或多个变量的变
化去推测另一个变量的变
解释为父亲身高每增加１ｃｍ，其儿子身高平均增加０．８３９ｃｍ．
化的方法称为回归分析．
分析模型还可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，
但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均
身高，例如
根据模型，父亲身高
狓＝１８５（ｃｍ），则＾狔＝１８４．１７２（ｃｍ）；
为多少时，长大成人的儿
矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿
子的平均身高与父亲的一
子们的平均身高要高于父亲们的平均身高，例如 样？你怎么看这个判断？
１１０第八章 成对数据的统计分析狓＝１７０（ｃｍ），则＾狔＝１７１．５８７（ｃｍ）．
对于响应变量犢，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的＾狔称为
预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可
以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为
残差分析．
例如，对于表８．２１中的第６个观测，父亲身高为１７２ｃｍ，其儿子身高的观测值为
狔＝１７６（ｃｍ），
６
预测值为
＾狔＝０．８３９×１７２＋２８．９５７＝１７３．２６５（ｃｍ），
６
残差为
１７６－１７３．２６５ ２．７３５（ｃｍ）．
!
类似地，可以得到其他的残差，如表８．２２所示．
表８２２
编号 父亲身高／ｃｍ 儿子身高观测值／ｃｍ 儿子身高预测值／ｃｍ 残差／ｃｍ
１ １７４ １７６ １７４．９４３ １．０５７
２ １７０ １７６ １７１．５８７ ４．４１３
３ １７３ １７０ １７４．１０４ －４．１０４
４ １６９ １７０ １７０．７４８ －０．７４８
５ １８２ １８５ １８１．６５５ ３．３４５
６ １７２ １７６ １７３．２６５ ２．７３５
７ １８０ １７８ １７９．９７７ －１．９７７
８ １７２ １７４ １７３．２６５ ０．７３５
９ １６８ １７０ １６９．９０９ ０．０９１
１０ １６６ １６８ １６８．２３１ －０．２３１
１１ １８２ １７８ １８１．６５５ －３．６５５
１２ １７３ １７２ １７４．１０４ －２．１０４
１３ １６４ １６５ １６６．５５３ －１．５５３
１４ １８０ １８２ １７９．９７７ ２．０２３
为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，
如图８．２７所示．
 /cm
5
4
3
2
1  /cm
0
160 165 170 175 180 185
-1
-2
-3
-4
-5
图８．２７
第八章 成对数据的统计分析 １１１观察表８．２２可以看到，残差有正有负，残差的绝对值最大是４．４１３．观察残差的散
点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两侧．说明残差比较符合一元线性回归模型
的假定，是均值为０、方差为σ２ 的随机变量的观测值．可见，通过观察残差图可以直观判
断模型是否满足一元线性回归模型的假设．
一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析．借助残差
分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策．

观察图８．２８中四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机
误差的假定？
 
100 1500
1000
50
500
0 0
-500
-50
-1000
-100 -1500
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 
（１） （２）

200 
150 4
3
100
2
50
1
0
0
-50
-1
-100 -2
-150 -3
-200 -4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
（３） （４）
图８．２８ 四种类型的残差图
根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为０、方差为σ２ 的随机
变量的观测值．在图８．２８中，图 （１）显示残差与观测时间有线性关系，应将时间变量
纳入模型；图 （２）显示残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函
数部分；图 （３）说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大；图 （４）的残差
比较均匀地分布在以取值为０的横轴为对称轴的水平带状区域内．可见，在图８．２８中，
只有图 （４）满足一元线性回归模型对随机误差的假设．
１１２第八章 成对数据的统计分析
１．对一元线性回归模型参数犪和犫的估计中，有人认为：“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数
据到直线 ‘整体接近程度’的定义，可以得到参数犪和犫不同的估计，只要 ‘整体接近程度’定义
合理即可．”你觉得这个说法对吗？
２．假如女儿身高狔（单位：ｃｍ）关于父亲身高狓（单位：ｃｍ）的经验回归方程为＾狔＝０．８１狓＋２５．８２．
已知父亲身高为１７５ｃｍ，请估计女儿的身高．
３．根据８．１．１节表８．１１中的数据，建立人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程，画出残差图，描
述残差图的特点．
４．计算表８．２２中的所有残差之和，你能发现什么规律？
５．假设变量狓与变量犢的狀对观测数据为 （狓，狔），（狓，狔），…，（狓，狔），两个变量满足一元
１ １ ２ ２ 狀 狀
线性回归模型
烄犢＝犫狓＋犲，
烅
烆犈（犲）＝０，犇（犲）＝σ２．
请写出参数犫的最小二乘估计．
例 经验表明，一般树的胸径 （树的主干在地面以上１．３ｍ处的直径）越大，树就
越高．由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高．在研究树高与
胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据 （表８．２３），试根据这些数据建立
树高关于胸径的经验回归方程．
表８２３
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６
胸径／ｃｍ １８．１ ２０．１ ２２．２ ２４．４ ２６．０ ２８．３
树高／ｍ １８．８ １９．２ ２１．０ ２１．０ ２２．１ ２２．１
编号 ７ ８ ９ １０ １１ １２
胸径／ｃｍ ２９．６ ３２．４ ３３．７ ３５．７ ３８．３ ４０．２
树高／ｍ ２２．４ ２２．６ ２３．０ ２４．３ ２３．９ ２４．７
分析：因为要由胸径预测树高，所以要以成对样本数据的胸径为横坐标、树高为纵坐
标画出散点，进而得到散点图，再根据散点图推断树高与胸径是否线性相关．如果是，再
利用公式 （２）计算出＾ 犫，＾犪即可．
解：以胸径为横坐标、树高为纵坐标作 /m
26
散点图，得到图８．２９． 24
22
在图８．２９中，散点大致分布在一条从
20
左下角到右上角的直线附近，表明两个变量
18
线性相关，并且是正相关，因此可以用一元 16
15 20 25 30 35 40 45  /cm
线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系． 图８．２９
第八章 成对数据的统计分析 １１３用犱表示胸径，犺表示树高，根据最小二乘法，计算可得经验回归方程为
＾ 犺＝０．２４９３犱＋１４．８４，
相应的经验回归直线如图８．２１０所示．
/m
26
24
22
h?=0.249 3d+14.84
20
18
16
15 20 25 30 35 40 45  /cm
图８．２１０
根据经验回归方程，由表８．２３中胸径的数据可以计算出树高的预测值 （精确到
０．１）以及相应的残差，如表８．２４所示．
表８２４
编号 胸径／ｃｍ 树高观测值／ｍ 树高预测值／ｍ 残差／ｍ
１ １８．１ １８．８ １９．４ －０．６
２ ２０．１ １９．２ １９．９ －０．７
３ ２２．２ ２１．０ ２０．４ ０．６
４ ２４．４ ２１．０ ２０．９ ０．１
５ ２６．０ ２２．１ ２１．３ ０．８
６ ２８．３ ２２．１ ２１．９ ０．２
７ ２９．６ ２２．４ ２２．２ ０．２
８ ３２．４ ２２．６ ２２．９ －０．３
９ ３３．７ ２３．０ ２３．２ －０．２
１０ ３５．７ ２４．３ ２３．７ ０．６
１１ ３８．３ ２３．９ ２４．４ －０．５
１２ ４０．２ ２４．７ ２４．９ －０．２
以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到图８．２１１．
 /m
1.0
0.5
0.0
15 20 25 30 35 40 45  /cm
-0.5
-1.0
图８．２１１
观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是０．８，所有残差分布在以横轴
为对称轴、宽度小于２的带状区域内．可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关
系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高．
１１４第八章 成对数据的统计分析问题 人们常将男子短跑１００ｍ的高水平运动员称为 “百米飞人”．表８．２５给出了
１９６８年之前男子短跑１００ｍ世界纪录产生的年份和世界纪录的数据．试依据这些成对数
据，建立男子短跑１００ｍ世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程．
表８２５
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
年份 １８９６ １９１２ １９２１ １９３０ １９３６ １９５６ １９６０ １９６８
纪录／ｓ １１．８０ １０．６０ １０．４０ １０．３０ １０．２０ １０．１０ １０．００ ９．９５
以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得到图
８．２１２．
 s
12.0
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 
图８．２１２
在图８．２１２中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型
建立经验回归方程．
用犢表示男子短跑１００ｍ的世界纪录，狋表示纪录产生的年份，利用一元线性回归
模型
烄犢＝犫狋＋犪＋犲，
烅
烆犈犲（）＝０，犇犲（）＝σ２
来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系．根据最小二乘法，由表中的数据得到经
验回归方程为
＾狔＝－０．０２０３３７４３狋＋４９．７６９１３０３１． ①
１
将经验回归直线叠加到散点图，得到图８．２１３．
Ys
12.0
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 t
图８．２１３
第八章 成对数据的统计分析 １１５
从图８．２１３中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势．请再
仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？
以经验回归直线为参照，可以发现经验回归方程的不足之处，以及散点的更为精细的
分布特征．例如，第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中
的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方．这说明散
点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，
即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征．

你能对模型进行修改，以使其更好地反映散点的分布特征吗？
仔细观察图８．２１２，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近．
回顾已有的函数知识，可以发现函数狔＝－ｌｎ狓的图象具有类似的形状特征．注意到
１００ｍ短跑的第一个世界纪录产生于１８９６年，因此可以认为散点是集中在曲线
狔＝犳（狋）＝犮＋犮ｌｎ（狋－１８９５）
１ ２
的周围，其中犮和犮为未知的参数，且犮＜０．
１ ２ ２
用上述函数刻画数据变化的趋势，这是一个非线性经验回归函数，其中犮，犮 是待
１ ２
定参数．现在问题转化为如何利用成对数据估计参数犮和犮．
１ ２
为了利用一元线性回归模型估计参数犮 和犮，我们引进一个中间变量狓，令狓＝
１ ２
ｌｎ（狋－１８９５）．通过狓＝ｌｎ（狋－１８９５），将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据 （精
确到０．０１），如表８．２６所示．
表８２６
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
狓 ０．００ ２．８３ ３．２６ ３．５６ ３．７１ ４．１１ ４．１７ ４．２９
犢／ｓ １１．８０ １０．６０ １０．４０ １０．３０ １０．２０ １０．１０ １０．００ ９．９５
如果表８．２６对应的散点图呈现出很强的线性相关特征，我们就可以借助一元线性回
归模型和新的成对数据，对参数犮和犮作出估计，进而可以得到犢关于狋的非线性经验
１ ２
回归方程．
在直角坐标系中画出表８．２６中成对数据的散点图，如图８．２１４所示，散点的分布
呈现出很强的线性相关特征．
１１６第八章 成对数据的统计分析Ys
12.0
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
0 1 2 3 4 5
图８．２１４
因此，用一元线性回归模型
烄犢＝犮狓＋犮＋狌，
２ １
烅
烆犈（狌）＝０，犇（狌）＝δ２
拟合表８．２６中的成对数据，得到经验回归方程
＾狔＝－０．４２６４３９８狓＋１１．８０１２６５３， （）
２
再在图８．２１４中画出 （）式所对应的经验回归直线，得到图８．２１５．
Ys
12.0
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
0 1 2 3 4 5
图８．２１５
图８．２１５表明，经验回归方程 （）对于表８．２６中的成对数据具有非常好的拟合
精度．将图８．２１５与图８．２１３进行对比，可以发现狓和犢之间的线性相关程度比原始样
本数据的线性相关程度强得多．
将狓＝ｌｎ狋（－１８９５）代入 （）式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程
＾狔＝－０．４２６４３９８ｌｎ（狋－１８９５）＋１１．８０１２６５３． ②
２
在同一直角坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象 （蓝色）以
及经验回归方程①的图象 （红色），如图８．２１６所示．我们发现，散点图中各散点都非常
靠近②的图象，表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归
方程①．
下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏．在表８．２５中，用狋表
犻
示编号为犻的年份数据，用狔 表示编号为犻的纪录数据，则经验回归方程①和②的残差
犻
计算公式分别为
＾犲＝狔＋０．０２０３３７４３狋－４９．７６９１３０３１，犻＝１，２，…，８；
犻 犻 犻
＾狌＝狔＋０．４２６４３９８ｌｎ狋（ －１８９５）－１１．８０１２６５３，犻＝１，２，…，８．
犻 犻 犻
第八章 成对数据的统计分析 １１７Ys
12.0
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 t
图８．２１６
两个经验回归方程的残差 （精确到０．００１）如表８．２７所示．观察各项残差的绝对值，
发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①．
表８２７
编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
狋 １８９６ １９１２ １９２１ １９３０ １９３６ １９５６ １９６０ １９６８
＾犲 ０．５９１ －０．２８４ －０．３０１ －０．２１８ －０．１９６ ０．１１１ ０．０９２ ０．２０５
＾狌 －０．００１ ０．００７ －０．０１２ ０．０１５ －０．０１８ ０．０５２ －０．０２１ －０．０２２
在一般情况下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残
差的绝对值比另一个模型的小，而另一些散点的情况则相反．可以通过比较残差的平方和
来比较两个模型的效果．由
∑８ ∑８
犙 ＝ ＾犲（ ）２≈０．６６９，犙 ＝ ＾（狌）２≈０．００４，
１ 犻 ２ 犻
犻＝１ 犻＝１
可知犙 小于犙．因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型
２ １
烄犢＝犮ｌｎ狋（－１８９５）＋犮＋狌，
２ １
烅
烆犈（狌）＝０，犇（狌）＝δ２
的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果．
也可以用决定系数犚２ 来比较两个模型的拟合效果，犚２ 的计算公式为
∑狀
（狔－＾狔）２
犻 犻
犚２＝１－犻＝１ ．
∑狀
（狔－狔）２
犻
犻＝１
在犚２ 表达式中，
∑狀
（狔－狔） ２
与经验回归方程无关，残差平方和∑狀
（狔－＾狔）２ 与经验回
犻 犻 犻
犻＝１ 犻＝１
归方程有关．因此犚２ 越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；犚２ 越小，表
示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．
由表８．２７容易算出经验回归方程①和②的犚２ 分别约为０．７３２５和０．９９８３，因此经
验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多．
另外，我们还可以用新的观测数据来检验模型的拟合效果．事实上，我们还有１９６８
年之后的男子短跑１００ｍ世界纪录数据，如表８．２８所示．
１１８第八章 成对数据的统计分析表８２８
编号 ９ １０ １１ １２ １３ １４
狋 １９８３ １９８８ １９９１ １９９１ １９９４ １９９６
犢／ｓ ９．９３ ９．９２ ９．９０ ９．８６ ９．８５ ９．８４
编号 １５ １６ １７ １８ １９ ２０
狋 １９９９ ２００５ ２００７ ２００８ ２００８ ２００９
犢／ｓ ９．７９ ９．７７ ９．７４ ９．７２ ９．６９ ９．５８
在散点图８．２１２中，绘制表８．２８中的散点 （绿色），再添加经验回归方程①所对应
的经验回归直线 （红色），以及经验回归方程②所对应的经验回归曲线 （蓝色），得到图
８．２１７．显然绿色散点分布在蓝色经验回归曲线的附近，远离红色经验回归直线，表明经
验回归方程②对于新数据的预报效果远远好于①．
Y/s
12.0
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
9.0
1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 t
图８．２１７

在上述问题情境中，男子短跑１００ｍ世界纪录和纪录产生年份之间呈现出对数关
系，能借助于样本相关系数刻画这种关系的强弱吗？
在使用经验回归方程进行预测时，需要注意下列问题：
（１）经验回归方程只适用于所研究的样本的总体．例如，根据我国父亲身高与儿子身
高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述美国父亲身高与儿子身高之间的关系．同
样，根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的数据建立的经验回归方程，不能用来描述北
方干旱地区的树高与胸径之间的关系．
（２）经验回归方程一般都有时效性．例如，根据２０世纪８０年代的父亲身高与儿子身
高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述现在的父亲身高与儿子身高之间的关系．
（３）解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范
围内，经验回归方程的预报效果会比较好，超出这个范围越远，预报的效果越差．
（４）不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值．事实上，它是响应
变量的可能取值的平均值．
第八章 成对数据的统计分析 １１９
１．在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题？
２．１９９７—２００６年我国的国内生产总值 （ＧＤＰ）的数据 （摘自 《中国统计年鉴—２０１７》）如下：
年份 ＧＤＰ／亿元 年份 ＧＤＰ／亿元
１９９７ ７９７１５．０ ２００２ １２１７１７．４
１９９８ ８５１９５．５ ２００３ １３７４２２．０
１９９９ ９０５６４．４ ２００４ １６１８４０．２
２０００ １００２８０．１ ２００５ １８７３１８．９
２００１ １１０８６３．１ ２００６ ２１９４３８．５
（１）作ＧＤＰ和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；
（２）建立年份为解释变量，ＧＤＰ为响应变量的一元线性回归模型，并计算残差；
（３）根据你得到的一元线性回归模型，预测２０１７年的ＧＤＰ，看看你的预测值与实际的ＧＤＰ的误差
是多少；
（４）你认为这个模型能较好地刻画ＧＤＰ和年份的关系吗？请说明理由．
（５）随着时间的发展，又收集到２００７—２０１６年的ＧＤＰ数据 （摘自 《中国统计年鉴—２０１７》）如下：
年份 ＧＤＰ／亿元 年份 ＧＤＰ／亿元
２００７ ２７０２３２．３ ２０１２ ５４０３６７．４
２００８ ３１９５１５．５ ２０１３ ５９５２４４．４
２００９ ３４９０８１．４ ２０１４ ６４３９７４．０
２０１０ ４１３０３０．３ ２０１５ ６８９０５２．１
２０１１ ４８９３００．６ ２０１６ ７４４１２７．２
建立年份 （１９９７—２０１６）为解释变量，ＧＤＰ为响应变量的经验回归方程，并预测２０１７年的
ＧＤＰ，与实际的ＧＤＰ误差是多少？你能发现什么？
习题８．２

１．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非０的直线上，请回答下列问题：
（１）解释变量和响应变量的关系是什么？
（２）犚２ 是多少？
２．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了１０次试验，收集
数据如表所示．
１２０第八章 成对数据的统计分析零件数／个 １０ ２０ ３０ ４０ ５０ ６０ ７０ ８０ ９０ １００
加工时间／ｍｉｎ ６２ ６８ ７５ ８１ ８９ ９５ １０２ １０８ １１５ １２２
（１）画出散点图；
（２）建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型；
（３）关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
３．根据８．１．２节例２中某城市居民年收入与Ａ商品销售额的数据：
（１）建立Ａ商品销售额关于居民年收入的一元线性回归模型；
（２）如果这座城市居民的年收入为４０亿元，估计Ａ商品的销售额是多少．

４．人口问题是关乎国计民生的大问题．下表是１９４９—２０１６年我国的人口总数 （摘自 《中国统计
年鉴—２０１７》）．
年份 总人口／万人 年份 总人口／万人 年份 总人口／万人
１９４９ ５４１６７ １９８２ １０１６５４ ２０００ １２６７４３
１９５０ ５５１９６ １９８３ １０３００８ ２００１ １２７６２７
１９５１ ５６３００ １９８４ １０４３５７ ２００２ １２８４５３
１９５５ ６１４６５ １９８５ １０５８５１ ２００３ １２９２２７
１９６０ ６６２０７ １９８６ １０７５０７ ２００４ １２９９８８
１９６５ ７２５３８ １９８７ １０９３００ ２００５ １３０７５６
１９７０ ８２９９２ １９８８ １１１０２６ ２００６ １３１４４８
１９７１ ８５２２９ １９８９ １１２７０４ ２００７ １３２１２９
１９７２ ８７１７７ １９９０ １１４３３３ ２００８ １３２８０２
１９７３ ８９２１１ １９９１ １１５８２３ ２００９ １３３４５０
１９７４ ９０８５９ １９９２ １１７１７１ ２０１０ １３４０９１
１９７５ ９２４２０ １９９３ １１８５１７ ２０１１ １３４７３５
１９７６ ９３７１７ １９９４ １１９８５０ ２０１２ １３５４０４
１９７７ ９４９７４ １９９５ １２１１２１ ２０１３ １３６０７２
１９７８ ９６２５９ １９９６ １２２３８９ ２０１４ １３６７８２
１９７９ ９７５４２ １９９７ １２３６２６ ２０１５ １３７４６２
１９８０ ９８７０５ １９９８ １２４７６１ ２０１６ １３８２７１
１９８１ １０００７２ １９９９ １２５７８６
（１）画出散点图；
（２）建立总人口数关于年份的一元线性回归模型；
（３）直接用上面建立的回归模型预测２０２０年的我国人口总数，得到的结果合理吗？为什么？
第八章 成对数据的统计分析 １２１５．在某地区的一段时间内观测到的不小于某震级狓的地震数犖的数据如下表：
震级狓 ３．０ ３．２ ３．４ ３．６ ３．８ ４．０ ４．２ ４．４ ４．６ ４．８ ５．０
地震数犖２８３８１２０３８０１４７９５１０６９５７６４１ ５５０２ ３８４２ ２６９８ １９１９ １３５６ ９７３
震级狓 ５．２ ５．４ ５．６ ５．８ ６．０ ６．２ ６．４ ６．６ ６．８ ７．０
地震数犖 ７４６ ６０４ ４３５ ２７４ ２０６ １４８ ９８ ５７ ４１ ２５
试建立经验回归方程表示二者之间的关系，该模型对预测地震有帮助吗？
 
６．生活中有许多变量之间的关系是值得我们去研究的．例如，数学成绩、物理成绩和化学成绩两
两之间是相关的吗？哪两个学科成绩之间相关性更大，你能解释其中的原因吗？语文成绩对数
学成绩有影响吗？等等，请用你们班的某次考试成绩，研究它们之间的关系．如果它们之间有
关系，请建立统计模型进行分析．
 
回归与相关
回归分析法和相关分析法是统计学中的两种重要方法，前者用于由一个或多
个变量的变化去推测另一个变量的变化，后者研究随机变量间的相关关系，它们
是由英国科学家高尔顿创立的．
高尔顿的科研兴趣十分广泛，在地理学、气象学、统计学、心理学、人类学
等众多领域都有建树．他在遗传学的研究中发现了一个令人困惑的问题．通常，
高个子的人会和高个子的人结婚，矮个子的人会和矮个子的人结婚，而人类的遗
传是把上一代的优势性状传递给下一代．这样，在人群中，高个子、矮个子的比
例都应逐渐增多，而中等个子的比例应逐渐下降．但事实并非如此，为什么呢？
这个问题一直萦绕在他的心头．
１８７５年，为了确定豌豆尺寸的遗传规律，他将自己精心挑选的４９０粒甜豌豆按
照尺寸大小分成７组，在７个不同地区各种植７０粒 （每组１０粒）．豌豆成熟后，他
仔细测量了新豌豆 （子代）的尺寸，并与豌豆种子 （母代）的尺寸进行比较．数据
分析发现，母代尺寸大的子代尺寸较大，母代尺寸小的子代尺寸也较小．但无论尺
寸大小，都有子代向母代的平均值 （７种尺寸豌豆的平均值）靠近的趋势．
１２２第八章 成对数据的统计分析这一结论在遗传学上是否具有普遍性呢？能否用它来解释人的个子高矮的遗
传现象呢？为此，在１８８５年，高尔顿随机选取了２０５对夫妇及其９２８个成年子女
的身高数据进行研究．由于男女身高存在差异，他采用女子身高乘１．０８的方法将
女子身高换算成男子身高．他将父母的平均身高称为 “中亲身高”，用
犪×１．０８＋犫
２
进行计算，其中犪为母亲身高，犫为父亲身高．记中亲身高为犡 （母代变量），子
女身高为犢（子代变量），分析犡和犢的数据，他惊奇地发现，犡和犢的平均值
均为１７３．４ｃｍ．在此基础上，他还发现：当中亲身高大于平均值时，他们的子女
相对较高，但与父母相比还是矮一些，例如，当中亲身高为１８１．６ｃｍ时，他们
子女的平均身高仅为１７７．５ｃｍ ；当中亲身高小于平均值时，他们的子女相对较
矮，但比父母又要高一些，例如，当中亲身高为１６６．４ｃｍ时，他们子女的平均
身高为１６９．４ｃｍ．这表明，子女身高有向平均值 “回归”的倾向．１８８６年，高尔
顿将这一研究成果写成了论文 《遗传身高向平均身高的回归》，文中正式引入了
“回归”这个概念．１８８８年，高尔顿发表了统计史上第一篇有关相关系数值的论
文，文中用到了一种用图形估计相关系数值的方法．
高尔顿提出的回归和相关思想是开创性的，但他的工作做得还不够彻底．后
来，埃奇沃思 （Ｆ．Ｙ．Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ，１８４５—１９２６）和皮尔逊 （Ｋ．Ｐｅａｒｓｏｎ，１８５７—
１９３６）等一批学者加入到研究中来，使回归和相关理论得到了完善与发展．埃奇
沃思不仅给出了常见的样本相关系数的公式，还赋予 “回归”以纯数学的意义，
为这一方法的广泛应用奠定了基础．皮尔逊则系统整理和完善了当时的已有成果，
用极大似然法对相关系数的估计问题做了改进，并把相关和回归方法运用到生物
测量数据，推动了这一方法在生物领域的应用．
回归和相关方法的创立，为统计方法增添了重要的工具，推动了统计学的应
用和发展，标志着统计学描述时代的结束和推断时代的开始．随着时代的发展，
“回归”一词的内涵得到了极大扩展，它可以泛指在任何情况下自变量与因变量
之间的统计关系；回归分析、相关分析也在科学研究的各个方面得到广泛应用，
成为探索变量之间关系的重要方法．
请你进一步查阅资料，了解回归与相关的发展和应用．
第八章 成对数据的统计分析 １２３８３ 列联表与独立性检验
前面两节所讨论的变量，如人的身高、树的胸径、树的
高度、短跑１００ｍ世界纪录和创纪录的时间等，都是数值变
量．数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义．
在现实生活中，人们经常需要回答一定范围内的两种现
象或性质之间是否存在关联性或相互影响的问题．例如，就
读不同学校是否对学生的成绩有影响，不同班级学生用于体
育锻炼的时间是否有差别，吸烟是否会增加患肺癌的风险，
等等．本节将要学习的独立性检验方法为我们提供了解决这
类问题的方案．
在讨论上述问题时，为了表述方便，我们经常会使用一
种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变
量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示，例如，
学生所在的班级可以用１，２，３等表示，男性、女性可以用
１，０表示，等等．在很多时候，这些数值只作为编号使用，
并没有通常的大小和运算意义．本节我们主要讨论取值于
｛０，１｝的分类变量的关联性问题．
８３１
! :;"#<=>?
如何利用统计数据判断一对分类变量之间是否具有关联性呢？对于这样的统计问题，
有时可以利用普查数据，通过比较相关的比率给出问题的准确回答，但在大多数情况下，
需要借助概率的观点和方法．我们先看下面的具体问题．
问题 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对
本校学生体育锻炼的经常性有影响，为此对学生是否经常锻炼的情况进行了普查．全校学
生的普查数据如下：５２３名女生中有３３１名经常锻炼；６０１名男生中有４７３名经常锻炼．
你能利用这些数据，说明该校女生和男生在体育锻炼的经常性方面是否存在差异吗？
这是一个简单的统计问题．最直接的解答方法是，比较经常锻炼的学生在女生和男生
中的比率．为了方便，我们设
经常锻炼的女生数 经常锻炼的男生数
犳＝ ，犳＝ ．
０ 女生总数 １ 男生总数
那么，只要求出犳 和犳 的值，通过比较这两个值的大小，就可以知道女生和男生在锻
０ １
１２４第八章 成对数据的统计分析炼的经常性方面是否有差异．由所给的数据，经计算得到
３３１ ４７３
犳＝ ≈０．６３３，犳＝ ≈０．７８７．
０ ５２３ １ ６０１
由
犳－犳≈０．７８７－０．６３３＝０．１５４
１ ０
可知，男生经常锻炼的比率比女生高出１５．４个百分点，所以该校的女生和男生在体育锻
炼的经常性方面有差异，而且男生更经常锻炼．
上面的问题还可以通过建立一个古典概型，使用条件概率的语言，给出另外一种解答
方法．用Ω表示该校全体学生构成的集合，这是我们所关心的对象的总体．考虑以Ω为样
本空间的古典概型，并定义一对分类变量犡和犢如下：对于Ω中的每一名学生，分别令
烄０， 该生为女生， 烄０， 该生不经常锻炼，
犡＝烅 犢＝烅
烆１， 该生为男生， 烆１， 该生经常锻炼．
我们希望通过比较条件概率犘（犢＝１犡＝０）和犘（犢＝１犡＝１）回答上面的问题．按照条件
概率的直观解释，如果从该校女生和男生中各随机选取一名学生，那么该女生属于经常锻
炼群体的概率是犘（犢＝１犡＝０），而该男生属于经常锻炼群体的概率是犘（犢＝１犡＝１）．
因此，“性别对体育锻炼的经常性没有影响”可以描述为
犘（犢＝１犡＝０）＝犘（犢＝１犡＝１）；
而 “性别对体育锻炼的经常性有影响”可以描述为
犘（犢＝１犡＝０）≠犘（犢＝１犡＝１）．
为了清楚起见，我们用表格整理数据，如表８．３１所示．
表８３１ 单位：人
锻炼
性别 合计
不经常 （犢＝０） 经常 （犢＝１）
女生 （犡＝０） １９２ ３３１ ５２３
男生 （犡＝１） １２８ ４７３ ６０１
合计 ３２０ ８０４ １１２４
我们用｛犡＝０，犢＝１｝表示事件｛犡＝０｝和｛犢＝１｝的积事件，用｛犡＝１，犢＝１｝表示事
件｛犡＝１｝和｛犢＝１｝的积事件．根据古典概型和条件概率的计算公式，我们有
狀（犡＝０，犢＝１） ３３１
犘（犢＝１犡＝０）＝ ＝ ≈０．６３３，
狀（犡＝０） ５２３
狀（犡＝１，犢＝１） ４７３
犘（犢＝１犡＝１）＝ ＝ ≈０．７８７．
狀（犡＝１） ６０１
由犘（犢＝１犡＝１）大于犘（犢＝１犡＝０）可以作出判断，在该校的学生中，性别对体育锻炼
的经常性有影响，即该校的女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异，而且男生更经
常锻炼．
第八章 成对数据的统计分析 １２５在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类
统计，并做成表格加以保存．我们将如表８．３１这种形式的数据统计表称为２×２列联表
（ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｃｙｔａｂｌｅ）．２×２列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．以表８．３１
为例，它包含了犡和犢的如下信息：最后一行的前两个数分别是事件｛犢＝０｝和｛犢＝１｝中
样本点的个数；最后一列的前两个数分别是事件｛犡＝０｝和｛犡＝１｝中样本点的个数；中间
的四个格中的数是表格的核心部分，给出了事件｛犡＝狓，犢＝狔｝（狓，狔＝０，１）中样本点
的个数；右下角格中的数是样本空间中样本点的总数．
在上面问题的两种解答中，使用了学校全部学生的调查
将所关心的对象的全
数据，利用这些数据能够完全确定解答问题所需的比率和条
体看成古典概型的样本空
件概率．然而，对于大多数实际问题，我们无法获得所关心
间，就可以用概率的语言
的全部对象的数据，因此无法准确计算出有关的比率或条件 刻画相关的问题，进而用
概率．在这种情况下，上述古典概型和条件概率的观点为我 频率稳定于概率的原理推
们提供了一个解决问题的思路．比较简单的做法是利用随机 断问题的答案．很多统计
方法都是基于这种思想建
抽样获得一定数量的样本数据，再利用随机事件发生的频率
立起来的．
稳定于概率的原理对问题答案作出推断．
例１ 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取８８名
学生．通过测验得到了如下数据：甲校４３名学生中有１０名数学成绩优秀；乙校４５名学
生中有７名数学成绩优秀．试分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异．
解：用Ω表示两所学校的全体学生构成的集合．考虑以Ω为样本空间的古典概型．
对于Ω中每一名学生，定义分类变量犡和犢如下：
烄０， 该生来自甲校， 烄０， 该生数学成绩不优秀，
犡＝烅 犢＝烅
烆１， 该生来自乙校， 烆１， 该生数学成绩优秀．
我们将所给数据整理成表８．３２．
表８３２ 单位：人
数学成绩
学校 合计
不优秀 （犢＝０） 优秀 （犢＝１）
甲校 （犡＝０） ３３ １０ ４３
乙校 （犡＝１） ３８ ７ ４５
合计 ７１ １７ ８８
表８．３２是关于分类变量犡和犢的抽样数据的２×２列联表：最后一行的前两个数分
别是事件｛犢＝０｝和｛犢＝１｝的频数；最后一列的前两个数分别是事件｛犡＝０｝和｛犡＝１｝的频
数；中间的四个格中的数是事件｛犡＝狓，犢＝狔｝（狓，狔＝０，１）的频数；右下角格中的数
是样本容量．因此，甲校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为
１２６第八章 成对数据的统计分析３３ １０
≈０．７６７４和 ≈０．２３２６；
４３ ４３
乙校学生中数学成绩不优秀和数学成绩优秀的频率分别为
３８ ７
≈０．８４４４和 ≈０．１５５６．
４５ ４５
我们可以用等高堆积条形图直观地展示上述计算结果，如图８．３１所示．
1.0

0.8

利用统计软件画条形
0.6 图，Ｅｘｃｅｌ软件可以通过
插入图表，从图表类型中
0.4
选取条形图；Ｒ软件可以
0.2
用函数ｂａｒｐｌｏｔ．
0.0
 
图８．３１
在图８．３１中，左边的蓝色和红色条的高度分别是甲校学生中数学成绩不优秀和数学
成绩优秀的频率；右边的蓝色和红色条的高度分别是乙校学生中数学成绩不优秀和数学成
绩优秀的频率．通过比较发现，两个学校学生抽样数据中数学成绩优秀的频率存在差异，
甲校的频率明显高于乙校的频率．依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断
犘（犢＝１犡＝０）＞犘（犢＝１犡＝１）．也就是说，如果从甲校和乙校各随机选取一名学生，
那么甲校学生数学成绩优秀的概率大于乙校学生数学成绩优秀的概率．因此，可以认为两
校学生的数学成绩优秀率存在差异，甲校学生的数学成绩优秀率比乙校学生的高．

你认为 “两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这一结论是否有可能是错误的？
事实上，“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差
异推断出来的．有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差
异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的．这就是说，样本的随机性导致了
两个频率间出现较大差异．在这种情况下，我们推断出的结论就是错误的．后面我们将讨
论犯这种错误的概率大小问题．

１．成语 “名师出高徒”可以解释为 “知名老师指导出高水平学生的概率较大”，即老师的名声与学生的
水平之间有关联．你能举出更多的描述生活中两种属性或现象之间关联的成语吗？
第八章 成对数据的统计分析 １２７２．例１中的随机抽样数据是否足够确定与犡和犢有关的所有概率和条件概率？为什么？
３．根据有关规定，香烟盒上必须印上 “吸烟有害健康”的警示语．那么
（１）吸烟是否对每位烟民一定会引发健康问题？
（２）有人说吸烟不一定引起健康问题，因此可以吸烟．这种说法对吗？
４．假设在本小节 “问题”中，只是随机抽取了４４名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下的列联表：
单位：人
锻炼
性别 合计
不经常 经常
女生 ５ １５ ２０
男生 ６ １８ ２４
合计 １１ ３３ ４４
（１）据此推断性别因素是否影响学生锻炼的经常性；
（２）说明你的推断结论是否可能犯错，并解释原因．
８３２
! @A.BC
前面我们通过２×２列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率
的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联．对于随机样本而言，因为频率具有随机性，
频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误
的可能性会较大．因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推
断的概率有一定的控制或估算．
考虑以Ω为样本空间的古典概型．设犡和犢为定义在Ω上，取值于｛０，１｝的成对分
类变量．我们希望判断事件｛犡＝１｝和｛犢＝１｝之间是否有关联．注意到｛犡＝０｝和｛犡＝１｝，
｛犢＝０｝和｛犢＝１｝都是互为对立事件，与前面的讨论类似，我们需要判断下面的假定关系
犎：犘（犢＝１犡＝０）＝犘（犢＝１犡＝１）
０
是否成立，通常称犎 为零假设或原假设 （ｎｕｌｌｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ）．这里，犘（犢＝１犡＝０）表示从
０
｛犡＝０｝中随机选取一个样本点，该样本点属于｛犡＝０，犢＝１｝的概率；而犘（犢＝１犡＝１）表
示从｛犡＝１｝中随机选取一个样本点，该样本点属于｛犡＝１，犢＝１｝的概率．
由条件概率的定义可知，零假设犎 等价于
０
犘（犡＝０，犢＝１） 犘（犡＝１，犢＝１）
＝ ，
犘（犡＝０） 犘（犡＝１）
或
犘（犡＝０，犢＝１）犘（犡＝１）＝犘（犡＝１，犢＝１）犘（犡＝０）． ①
注意到｛犡＝０｝和｛犡＝１｝为对立事件，于是犘（犡＝０）＝１－犘（犡＝１）．再由概率的性质，
我们有
１２８第八章 成对数据的统计分析犘（犡＝０，犢＝１）＝犘（犢＝１）－犘（犡＝１，犢＝１）．
由此推得①式等价于
犘（犡＝１）犘（犢＝１）＝犘（犡＝１，犢＝１）．
因此，零假设犎 等价于｛犡＝１｝与｛犢＝１｝独立．
０
根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价：
｛犡＝０｝与｛犢＝０｝独立；｛犡＝０｝与｛犢＝１｝独立；
｛犡＝１｝与｛犢＝０｝独立；｛犡＝１｝与｛犢＝１｝独立．
如果这些性质成立，我们就称分类变量犡和犢独立．这相当于下面四个等式成立：
犘（犡＝０，犢＝０）＝犘（犡＝０）犘（犢＝０）；
犘（犡＝０，犢＝１）＝犘（犡＝０）犘（犢＝１）；
②
犘（犡＝１，犢＝０）＝犘（犡＝１）犘（犢＝０）；
犘（犡＝１，犢＝１）＝犘（犡＝１）犘（犢＝１）．
因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为
犎：分类变量犡和犢独立．
０
假定我们通过简单随机抽样得到了犡和犢的抽样数据列联表，如表８．３３所示．
表８３３
犢
犡 合计
犢＝０ 犢＝１
犡＝０ 犪 犫 犪＋犫
犡＝１ 犮 犱 犮＋犱
合计 犪＋犮 犫＋犱 狀＝犪＋犫＋犮＋犱
表８．３３是关于分类变量犡和犢的抽样数据的２×２列
联表：最后一行的前两个数分别是事件｛犢＝０｝和｛犢＝１｝的
对于随机样本，表
频数；最后一列的前两个数分别是事件｛犡＝０｝和｛犡＝１｝的
８．３３中的频数犪，犫，犮，
频数；中间的四个数犪，犫，犮，犱是事件｛犡＝狓，犢＝狔｝（狓，
犱都是随机变量，而表
狔＝０，１）的频数；右下角格中的数狀是样本容量． ８．３２中的相应数据是这些
随机变量的一次观测结果．

如何基于②中的四个等式及列联表８．３３中的数据，构造适当的统计量，对成对
分类变量犡和犢是否相互独立作出推断？
在零假设犎 成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式，我
０
们可以用概率犘（犡＝０）和犘（犢＝０）对应的频率的乘积
第八章 成对数据的统计分析 １２９（犪＋犫）（犪＋犮）
狀２
估计概率犘（犡＝０，犢＝０），而把
（犪＋犫）（犪＋犮）
狀
视为事件 ｛犡＝０，犢＝０｝发生的频数的期望值 （或预期值）．这样，该频数的观测值犪和
（犪＋犫）（犪＋犮）
期望值 应该比较接近．
狀
综合②中的四个式子，如果零假设犎 成立，下面四个量的取值都不应该太大：
０
（犪＋犫）（犪＋犮） （犪＋犫）（犫＋犱）
犪－ ，犫－ ，
狀 狀
③
（犮＋犱）（犪＋犮） （犮＋犱）（犫＋犱）
犮－ ，犱－ ．
狀 狀
反之，当这些量的取值较大时，就可以推断犎 不成立．
０
显然，分别考虑③中的四个差的绝对值很困难．我们需要找到一个既合理又能够计算
分布的统计量，来推断犎 是否成立．一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差
０
的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小．为了合
理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到
如下的统计量：
烄 （犪＋犫）（犪＋犮）烌２ 烄 （犪＋犫）（犫＋犱）烌２
犪－ 犫－
烆 狀 烎 烆 狀 烎
χ＝ ＋ ＋
２ （犪＋犫）（犪＋犮） （犪＋犫）（犫＋犱）
狀 狀
烄 （犮＋犱）（犪＋犮）烌２ 烄 （犮＋犱）（犫＋犱）烌２
犮－ 犱－
烆 狀 烎 烆 狀 烎
＋ ．
（犮＋犱）（犪＋犮） （犮＋犱）（犫＋犱）
狀 狀
该表达式可化简为
狀（犪犱－犫犮）２
χ＝ ． （１）
２ （犪＋犫）（犮＋犱）（犪＋犮）（犫＋犱）
统计学家建议，用随机变量χ取值的大小作为判断零假设犎 是否成立的依据，当它
２
０
比较大时推断犎 不成立，否则认为犎 成立．那么，究竟χ大到什么程度，可以推断
２
０ ０
犎 不成立呢？或者说，怎样确定判断χ大小的标准呢？
２
０
根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以通过确定一个与
犎 相矛盾的小概率事件来实现．在假定犎 的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样
０ ０
本容量狀充分大时，统计学家得到了χ的近似分布．忽略χ的实际分布与该近似分布的误
２ ２
差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数狓，使得下面关系成立：
α
犘（χ ２ ≥狓）＝α． ④
α
１３０第八章 成对数据的统计分析我们称狓为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ大小的标准．概率值α越小，临界值
２
α
狓越大．当总体很大时，抽样有、无放回对χ的分布影响较小．因此，在应用中往往不严
２
α
格要求抽样必须是有放回的．
由④式可知，只要把概率值α取得充分小，在假设犎 成立的情况下，事件｛χ≥狓｝是
２
０ α
不大可能发生的．根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断犎 不成立．不过这
０
个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过α．
基于小概率值α的检验规则是：
当χ≥狓时，我们就推断犎 不成立，即认为犡和犢不独立，该推断犯错误的概率
２
α ０
不超过α；
当χ＜狓时，我们没有充分证据推断犎 不成立，可以认为犡和犢独立．
２
α ０
这种利用χ的取值推断分类变量犡和犢是否独立的方法称为χ独立性检验，读作
２ ２
“卡方独立性检验”，简称独立性检验 （ｔｅｓｔｏｆｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ）．
表８．３４给出了χ独立性检验中５个常用的小概率值和相应的临界值．
２
表８３４
α ０．１ ０．０５ ０．０１ ０．００５ ０．００１
狓 ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ ７．８７９ １０．８２８
α
例如，对于小概率值α＝０．０５，我们有如下的具体检验规则：
（１）当χ≥狓 ＝３．８４１时，我们推断犎 不成立，即认为犡和犢不独立，该推断
２
０．０５ ０
犯错误的概率不超过０．０５；
（２）当χ＜狓 ＝３．８４１时，我们没有充分证据推断犎 不成立，可以认为犡和犢独立．
２
０．０５ ０
例２ 依据小概率值α＝０．１的χ独立性检验，分析例１中的抽样数据，能否据此推
２
断两校学生的数学成绩优秀率有差异？
解：零假设为
犎：分类变量犡与犢相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异．
０
根据表８．３２中的数据，计算得到
８８×（３３×７－１０×３８）２
χ＝ ≈０．８３７＜２．７０６＝狓 ．
２
４３×４５×７１×１７ ０．１
根据小概率值α＝０．１的χ独立性检验，没有充分证据推断犎 不成立，因此可以认
２
０
为犎 成立，即认为两校的数学成绩优秀率没有差异．
０

例１和例２都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，你能说明其中
的原因吗？
第八章 成对数据的统计分析 １３１事实上，如前所述，例１只是根据一个样本的两个频率间存在差异得出两校学生数学
成绩优秀率有差异的结论，并没有考虑由样本随机性可能导致的错误，所以那里的推断依
据不太充分．在例２中，我们用χ独立性检验对零假设犎 进行了检验．通过计算，发现
２
０
χ≈０．８３７小于α＝０．１所对应的临界值２．７０６，因此认为没有充分证据推断犎 不成立，
２
０
所以接受犎，推断出两校学生的数学成绩优秀率没有显著
０
差异的结论．这个检验结果意味着，抽样数据中两个频率的
当我们接受零假设
差异很有可能是由样本随机性导致的．因此，只根据频率的
犎 时，也可能犯错误．
０
差异得出两校学生的数学成绩优秀率有差异的结论是不可靠的．
我们不知道犯这类错误的
由此可见，相对于简单比较两个频率的推断，用χ
２
独立
概率狆的大小，但是知
性检验得到的结果更理性、更全面，理论依据也更充分． 道，若α越大，则狆越小．
例３ 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的
方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿６７名，其中未治
愈１５名，治愈５２名；抽到接受乙种疗法的患儿６９名，其中未治愈６名，治愈６３名．试
根据小概率值α＝０．００５的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好．
解：零假设为
犎：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
０
将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表，如表８．３５所示．
表８３５ 单位：人
疗效
疗法 合计
未治愈 治愈
甲 １５ ５２ ６７
乙 ６ ６３ ６９
合计 ２１ １１５ １３６
根据列联表中的数据，经计算得到
１３６×（１５×６３－５２×６）
２
χ＝ ≈４．８８１＜７．８７９＝狓 ．
２
６７×６９×２１×１１５ ０．００５
根据小概率值α＝０．００５的独立性检验，没有充分证据推断犎 不成立，因此可以认
０
为犎 成立，即认为两种疗法效果没有差异．
０

在表８．３５中，若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置，则表达式 （１）
中犪，犫，犮，犱的赋值都会相应地改变．这样做会影响χ取值的计算结果吗？
２
１３２第八章 成对数据的统计分析例４ 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，
调查了９９６５人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表８．３６所示．依据小概率
值α＝０．００１的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险．
表８３６ 单位：人
肺癌
吸烟 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者 ７７７５ ４２ ７８１７
吸烟者 ２０９９ ４９ ２１４８
合计 ９８７４ ９１ ９９６５
解：零假设为
犎：吸烟与患肺癌之间无关联．
０
根据列联表中的数据，经计算得到
９９６５×（７７７５×４９－４２×２０９９）
２
χ＝ ≈５６．６３２＞１０．８２８＝狓 ．
２
７８１７×２１４８×９８７４×９１ ０．００１
根据小概率值α＝０．００１的独立性检验，我们推断犎 不成立，即认为吸烟与患肺癌
０
有关联，此推断犯错误的概率不大于０．００１．
根据表８．３６中的数据计算，不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
７７７５ ４２
≈０．９９４６和 ≈０．００５４；
７８１７ ７８１７
吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为
２０９９ ４９
≈０．９７７２和 ≈０．０２２８．
２１４８ ２１４８
由
０．０２２８
≈４．２
０．００５４
可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌的频率的４倍以上．于是，
根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌
的概率，即吸烟更容易引发肺癌．
总结上面的例子，应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：
（１）提出零假设犎：犡和犢相互独立，并给出在问题中的解释．
０
（２）根据抽样数据整理出２×２列联表，计算χ的值，并与临界值狓比较．
２
α
（３）根据检验规则得出推断结论．
（４）在犡和犢不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析犡和犢间的
影响规律．
注意，上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整．例如，在有些时候，分类变
量的抽样数据列联表是问题中给定的．
第八章 成对数据的统计分析 １３３
独立性检验的思想类似于我们常用的反证法，你能指出二者之间的相同和不同之
处吗？
简单地说，反证法是在某种假设犎 之下，推出一个矛盾结论，从而证明犎 不成
０ ０
立；而独立性检验是在零假设犎 之下，如果出现一个与犎 相矛盾的小概率事件，就推
０ ０
断犎 不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率．另外，在全部逻辑推理正确的
０
情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误．
独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由χ所代表的这种差异的大
２
小是通过确定适当的小概率值进行判断的．这是一种非常重要的推断方法，不仅有相当广
泛的应用，也开启了人类认识世界的一种新的思维方式．

１．对于例３中的抽样数据，采用小概率值α＝０．０５的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗
法好．
２．根据同一抽查数据推断两个分类变量之间是否有关联，应用不同的小概率值，是否会得出不同的结
论？为什么？
３．为考察某种药物Ａ对预防疾病Ｂ的效果，进行了动物试验，根据１０５个有放回简单随机样本的数
据，得到如下列联表：
单位：只
疾病Ｂ
药物Ａ 合计
未患病 患病
未服用 ２９ １５ ４４
服用 ４７ １４ ６１
合计 ７６ ２９ １０５
依据α＝０．０５的独立性检验，分析药物Ａ对预防疾病Ｂ的有效性．
４．从某学校获取了容量为４００的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数
据整理如下：
单位：人
语文成绩
数学成绩 合计
不优秀 优秀
不优秀 ２１２ ６１ ２７３
优秀 ５４ ７３ １２７
合计 ２６６ １３４ ４００
依据α＝０．０５的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
１３４第八章 成对数据的统计分析习题８．３

１．为什么必须基于成对样本数据推断两个分类变量之间是否有关联？
２．为什么χ独立性检验方法不适用于普查数据？
２
３．等高堆积条形图在两个分类变量之间关联性的研究中能够起到什么作用？
４．对于已经获取的成对样本数据，检验结论 “两个变量之间有关联”的实际含义是什么？检验结
论 “两个变量之间没有关联”的实际含义又是什么？

５．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于１７０ｃｍ的关联性，调查了某中学所有高三年级
的学生，整理得到如下列联表：
单位：人
身高
性别 合计
低于１７０ｃｍ 不低于１７０ｃｍ
女 ８１ １６ ９７
男 ２８ ７５ １０３
合计 １０９ ９１ ２００
请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结
论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响．
６．第５题中的身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？
７．从第５题的高三学生中获取容量为４０的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列
联表：
单位：人
身高
性别 合计
低于１７０ｃｍ 不低于１７０ｃｍ
女 １４ ７ ２１
男 ８ １１ １９
合计 ２２ １８ ４０
（１）依据α＝０．０５的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所
得结论的实际含义．
（２）得到的结论与第５题的一致吗？如果不一致，你认为原因是什么．
８．调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下的列联表：
第八章 成对数据的统计分析 １３５单位：人
出生时间
性别 合计
晚上 白天
女 ２４ ３１ ５５
男 ８ ２６ ３４
合计 ３２ ５７ ８９
依据α＝０．１的独立性检验，能否认为性别与出生时间有关联？解释所得结论的实际含义．
 
９．对例１列联表８．３２中的数据，依据α＝０．１的独立性检验，我们已经知道独立性检验的结论
是学校和成绩无关．如果表８．３２中所有数据都扩大为原来的１０倍，在相同的检验标准下，再
用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
１３６第八章 成对数据的统计分析
+D )EFGHI



  


2f2 
6D /J<KL
在必修课程中学习过用样本观测数据推断变量的统计特征的方法，本章
我们学习用成对样本观测数据推断两个变量之间关系的方法．贯穿本章的主
要思想依然是通过样本估计总体的思想．
对两个数值型变量，通过样本散点图可以直观描述它们之间的相关关
系，通过样本相关系数可以定量地度量它们之间线性相关的程度，进而推断
两个变量之间的相关关系．对两个相关的变量，我们常常用回归模型刻画一
个变量对另一个变量的影响，不同的相关关系用不同的回归模型．一元线性
回归模型主要用于刻画线性相关的两个变量之间的关系，通常根据样本数
据，用最小二乘法估计出模型的参数，得到经验回归模型．通过分析残差可
以对模型进行评价和改进，使模型不断完善．如果模型比较好地刻画了两个
变量的关系，我们就可以根据自变量的取值去预测因变量的取值，进而帮助
我们决策．
对于两个分类变量，可以通过２×２列联表反映两个变量之间的有关统
计信息，据此我们可以从直观上推断两个变量是否有关联．独立性检验是对
变量之间的关联性进行统计推断，这种推断基于小概率原理，这与基于逻辑
矛盾的反证法有所不同．为了使拒绝零假设犯错误的概率更小，就要取更小
的概率值α．
回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，采
用了归纳推理的方法，所以得出的结论都可能犯错误，这是用样本估计总体
所得出的统计结论的一个特点，体现了统计学的特性．事实上，统计学面向
随机现象，探究或然性下的规律性，即使是同样的数据，也允许人们根据自
己对数据背景的理解，采用不同的推断方法进行分析，得出不同的推断结
论，其判断结论的准则是 “好”与 “坏”．当然，所采用的方法越好，所得
结论犯错误的概率越小．所以，面对具体问题，我们要尽量选择合适的、好
的统计方法．
第八章 成对数据的统计分析 １３７请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！
１．举例说明成对数据是如何形成的．
２．举例说明什么叫相关关系，它与函数关系有什么区别？
３．借助样本相关系数和回归模型，可以刻画两个变量的非线性相关程
度的高低吗？
４．一元线性回归模型中，模型参数犪和犫的统计意义是什么？
５．最小二乘原理是什么？你能说一说它的基本思想吗？
６．举例说明用条件概率的语言刻画两个分类变量关联性的关键点是什么？
７．分类变量和数值变量有何本质不同？
８．独立性检验的基本思想是什么？它和反证法有何异同？
９．若依据α＝０．０５的独立性检验，结论是两个变量之间有关联，如何解
释这个结论？如果是两个变量之间没有关联，又该如何解释这个结论？
１０．通过本章的学习，你对统计方法和确定性方法的差异性有哪些新的认识？
复习参考题８

１．变量狓与狔的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量狓与狔之间 （ ）．
y
8
66
4
2
0
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
（第１题）
（Ａ）很可能存在负相关
（Ｂ）一定存在正相关
（Ｃ）很可能存在正相关
（Ｄ）一定不存在负相关
烄犢＝犫狓＋犪＋犲，
２．根据变量犢和狓的成对样本数据，由一元线性回归模型烅 得到经验回归模
烆犈（犲）＝０，犇（犲）＝σ２
型＾狔＝ ＾犫狓＋＾犪，对应的残差如图所示．模型误差 （ ）．
１３８第八章 成对数据的统计分析
3
2
1
0
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x
-1
-2
-3
（第２题）
（Ａ）满足一元线性回归模型的所有假设
（Ｂ）不满足一元线性回归模型的犈（犲）＝０的假设
（Ｃ）不满足一元线性回归模型的犇（犲）＝σ２ 的假设
（Ｄ）不满足一元线性回归模型的犈（犲）＝０和犇（犲）＝σ２ 的假设
３．根据分类变量狓与狔的成对样本数据，计算得到χ
２
＝２．９７４．依据α＝０．０５的独立性检验，结
论为 （ ）．
（Ａ）变量狓与狔不独立
（Ｂ）变量狓与狔不独立，这个结论犯错误的概率不超过０．０５
（Ｃ）变量狓与狔独立
（Ｄ）变量狓与狔独立，这个结论犯错误的概率不超过０．０５
４．８．３节例４中推断吸烟与患肺癌是有关联的，能用一元线性回归模型建立它们之间的关系吗？
为什么？

５．根据８．１．２节例３中的数据，建立臂展关于身高的经验回归模型，画出残差图，描述残差图的
特点．
６．下表是１８９６—２０１６年男子三级跳远奥运会冠军的成绩，请分析这组数据，能用一元线性回归
模型刻画这组数据吗？
年份 成绩／ｍ 年份 成绩／ｍ 年份 成绩／ｍ 年份 成绩／ｍ
１８９６ １３．７１ １９２８ １５．２１ １９６４ １６．８５ １９９２ １８．１７
１９００ １４．４７ １９３２ １５．７２ １９６８ １７．３９ １９９６ １８．０９
１９０４ １４．３５ １９３６ １６．００ １９７２ １７．３５ ２０００ １７．７１
１９０８ １４．９２ １９４８ １５．４０ １９７６ １７．２９ ２００４ １７．７９
１９１２ １４．６４ １９５２ １６．２２ １９８０ １７．３５ ２００８ １７．６７
１９２０ １４．５０ １９５６ １６．３５ １９８４ １７．２５ ２０１２ １７．８１
１９２４ １５．５３ １９６０ １６．８１ １９８８ １７．６１ ２０１６ １７．８６
７．汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损．某实验室通过试验
测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，请根据数据建立轮胎凹槽深度和汽车行驶里程
的关系，并解释模型的含义．
第八章 成对数据的统计分析 １３９行驶里程／万ｋｍ ０．００ ０．６４ １．２９ １．９３ ２．５７ ３．２２ ３．８６ ４．５１ ５．１５
轮胎凹槽深度／ｍｍ １０．０２ ８．３７ ７．３９ ６．４８ ５．８２ ５．２０ ４．５５ ４．１６ ３．８２
８．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：
单位：只
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服用 ７５ ６６ １４１
服用 １１２ ４７ １５９
合计 １８７ １１３ ３００
依据α＝０．０５的独立性检验，能否认为药物有效呢？如何解释得到的结论？
 
９．气象部门由每天的最高气温的数据，得到每月最高气温的平均数，简称平均高温．下表是２０１７
年３１个城市１月和７月的平均高温数据．
城市 １月平均高温／℃ ７月平均高温／℃ 城市 １月平均高温／℃ ７月平均高温／℃
北京 ３ ３２ 南京 ９ ３５
成都 １２ ３２ 南宁 ２０ ３３
重庆 １２ ３６ 上海 １０ ３６
福州 １７ ３６ 沈阳 －３ ３１
广州 ２１ ３３ 石家庄 ３ ３３
贵阳 ９ ２８ 太原 ３ ３２
哈尔滨 －１１ ３０ 天津 ３ ３３
海口 ２２ ３２ 乌鲁木齐 －３ ３２
杭州 １１ ３６ 武汉 １０ ３４
合肥 ９ ３５ 西安 ８ ３６
呼和浩特 －３ ３０ 西宁 ４ ２７
济南 ６ ３３ 银川 ２ ３２
昆明 １７ ２４ 长春 －８ ２９
拉萨 ８ ２３ 长沙 １１ ３５
兰州 ５ ３３ 郑州 ７ ３４
南昌 １３ ３５
（１）画出并观察各城市１月与７月的平均高温的散点图，你认为１月与７月的平均高温有线性
趋势吗？描述散点图的特点．
（２）结合地理知识并用统计方法分析表中的数据，解释这两个月平均高温的关系．
１４０第八章 成对数据的统计分析
建立统计模型进行预测
在现实世界中有许多随机现象需要研究．已有的学习告诉我们，研究随机现象，就是
要在明确研究对象和问题的基础上，通过收集数据、整理数据、提取信息、构建数学模
型，再利用模型进行推断，得出结论．通过这样的研究所得出的结论，可以为我们作出决
策提供有力的依据．
下面我们看一个通过建立统计模型进行随机现象的分析和决策的实际事例．
背景 大气污染物ＰＭ （大气中直径小于或等于２．５ ｍ的颗粒物）的浓度超过一
２．５ "
定的限度会影响人的身体健康．为了研究ＰＭ 的浓度是否受到汽车流量、气候状况等因
２．５
素的影响，研究人员选择了２４个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交
通点建立监测点，统计每个监测点２４ｈ内过往的汽车流量 （单位：千辆），同时在低空相
同的高度测定每个监测点该时间段的平均气温 （单位：℃）、风速 （单位：ｍ／ｓ）、空气湿
度 （绝对湿度，单位：ｇ／ｍ３ ）以及空气中ＰＭ 的平均浓度 （单位： ｇ／ｍ３ ），得到的数
２．５ "
据如表１所示．
表１ ２４个城市交通点空气中犘犕 浓度监测数据
２５
城市 汽车 平均 空气 ＰＭ 城市 汽车 平均 空气 ＰＭ
风速 ２．５ 风速 ２．５
编号 流量 气温 湿度 浓度 编号 流量 气温 湿度 浓度
１ １．３００ ２０．０ ８０ ０．４５ ６６ １３ ０．９４８ ２２．５ ６９ ２．００ ３５
２ １．４４４ ２３．０ ５７ ０．５０ ７６ １４ １．４４０ ２１．５ ７９ ２．４０ ５８
３ ０．７８６ ２６．５ ６４ １．５０ ２１ １５ １．０８４ ２８．５ ５９ ３．００ ２９
４ １．６５２ ２３．０ ８４ ０．４０ １７０ １６ １．８４４ ２６．０ ７３ １．００ １４０
５ １．７５６ ２９．５ ７２ ０．９０ １５６ １７ １．１１６ ３５．０ ９２ ２．８０ ４３
６ １．７５４ ３０．０ ７６ ０．８０ １２０ １８ １．６５６ ２０．０ ８３ １．４５ ６９
７ １．２００ ２２．５ ６９ １．８０ ７２ １９ １．５３６ ２３．０ ５７ １．５０ ８７
８ １．５００ ２１．８ ７７ ０．６０ １２０ ２０ ０．９６０ ２４．８ ６７ １．５０ ４５
９ １．２００ ２７．０ ５８ １．７０ １００ ２１ １．７８４ ２３．３ ８３ ０．９０ ２２２
１０ １．４７６ ２７．０ ６５ ０．６５ １２９ ２２ １．４９６ ２７．０ ６５ ０．６５ １４５
１１ １．８２０ ２２．０ ８３ ０．４０ １３５ ２３ １．０６０ ２６．０ ５８ １．８３ ３４
１２ １．４３６ ２８．０ ６８ ２．００ ９９ ２４ １．４３６ ２８．０ ６８ ２．００ １０５
数学建模 建立统计模型进行预测 １４１我们希望通过这些数据，定量探究与ＰＭ 浓度相关的影响因素，为作出控制空气污
２．５
染的决策提供依据．
建立统计模型进行预测的一般流程如图１所示．我们按照这个流程，对上述问题进行研究．

 

  
 

    
图１
+DMNOP:Q
影响ＰＭ 浓度的因素很多，原因也比较复杂，我们甚至不能确切地了解ＰＭ 产生
２．５ ２．５
的原因，但我们可以先从简单的问题入手开展研究．
例如，如果只考虑ＰＭ 浓度与汽车流量的关系，我们可以以汽车流量为自变量，
２．５
ＰＭ 浓度为因变量，采用回归分析的方法进行研究．
２．５
这时，我们需要考虑以下三个方面的问题：
１．统计描述，即直观描述成对样本数据的统计相关性．例如，ＰＭ 浓度是否随汽车
２．５
流量的增加而增加？ＰＭ 浓度与汽车流量的关系是线性关系还是非线性关系？如果汽车
２．５
流量每增加１００辆，ＰＭ 浓度平均增加多少？等等．
２．５
２．统计建模与推断，即建立回归模型，检验并估计模型参数．例如，ＰＭ 浓度是否
２．５
随汽车流量的变化而变化？汽车流量对ＰＭ 浓度的影响有多大？汽车流量对ＰＭ 浓度
２．５ ２．５
的影响是否具有统计学意义？等等．
３．统计应用，即利用模型进行统计预测或控制．例如，如何由汽车流量预测大气中
ＰＭ 的浓度？如何通过控制汽车流量达到控制空气中ＰＭ 浓度的目的？等等．
２．５ ２．５
6DRAS912
１．绘制散点图
绘制散点图是进行回归分析的第一步，可以直观地考察两个变量之间的关系，为我们
分析两个变量之间的关系类型提供帮助．
以汽车流量为横轴、ＰＭ 浓度为纵轴绘制散点图．为了研究方便，我们使用Ｒ软件．
２．５
首先将表１中的数据建立一个 “ｃｓｖ”文件，例如建立 “ｐｍ２５．ｃｓｖ”文件 （图２）．然后在
１４２数学建模 建立统计模型进行预测工作区域中输入 “ｗ＝ｒｅａｄ．ｃｓｖ（“ｐｍ２５．ｃｓｖ”）”，读入数据．再用 “ｐｌｏｔ（ＰＭ２．５浓度～
汽车流量，ｗ）”函数，画出散点图 （图３）．
图２ 图３
由图３可以发现，ＰＭ 浓度随着汽车流量的增加呈线性增长趋势，但在汽车流量相
２．５
近时，ＰＭ 的浓度有时相差很大，说明ＰＭ 浓度除了受汽车流量的影响外，可能还受
２．５ ２．５
到其他一些已知或未知的因素 （如风速、空气温度、空气湿度等）影响．因此ＰＭ 浓度
２．５
与汽车流量之间是一种相关关系．
２．建立线性回归方程
烄犢＝犫狓＋犪＋犲，
一元线性回归模型为 根据样本数据，利用最小二乘法对模型参
烅
烆犈（犲）＝０，犇（犲）＝σ２ ，
数犪，犫进行估计，得到经验回归模型＾狔＝ ＾ 犫狓＋＾犪．
在Ｒ软件的工作区域输入 “ａ＝ｌｍ（ＰＭ２．５浓度～汽车流量，ｗ）”，建立ＰＭ 浓度
２．５
与汽车流量之间的回归方程并进行相关的分析．我们可以用 “ａｂｌｉｎｅ（ａ）”画出回归直线
（图４），用 “ｓｕｍｍａｒｙ（ａ）”输出回归结果 （图５）．这样，我们得到了ＰＭ 浓度关于汽
２．５
车流量的回归方程
＾狔＝１３８．６０狓－９９．６９． ①
图４ 图５
数学建模 建立统计模型进行预测 １４３３．回归结果分析
（１）回归系数估计的输出结果如下：
Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ：
Ｅｓｔｉｍａｔｅ Ｓｔｄ．Ｅｒｒｏｒ ｔｖａｌｕｅ Ｐｒ（＞｜ｔ｜）
（Ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ） －９９．６９ ２９．５８ －３．３７０ ０．００２７６
汽车流量 １３８．６０ ２０．６２ ６．７２１ ９．３７ｅ－０７
在输出结果中，估计量 （Ｅｓｔｉｍａｔｅ）对应的列是回归系数犪和犫的估计值，即＾犪＝
－９９．６９，＾ 犫＝１３８．６０．由＾ 犫＝１３８．６０，说明ＰＭ 浓度随着汽车流量的增加而增加，汽车
２．５
流量每增加１００辆 （０．１千辆），空气中的ＰＭ 浓度平均可能增加１３．８６ ｇ／ｍ３．
２．５ "
汽车流量对应的狋值 （狋ｖａｌｕｅ）是检验回归系数犫是否为０的指标．结果显示：狋统
计量的值为６．７２１，自由度狀－２＝２２．给定显著性水平α＝０．０５，临界值狋 （２２）＝２．０７４．
０．０２５
由于狋＝６．７２１＞狋 （２２），表明犫显著地不为０，说明汽车流量是影响ＰＭ 浓度的一个
０．０２５ ２．５
显著性因素．或者根据狆值（犘狉（＞｜狋｜））９．３７×１０－７＜０．０５，也说明汽车流量是影响
ＰＭ 浓度的一个显著性因素．
２．５
（２）线性关系显著性检验的输出结果如下：
Ｒｅｓｉｄｕａｌｓｔａｎｄａｒｄｅｒｒｏｒ：２９．９７ｏｎ２２ｄｅｇｒｅｅｓｏｆｆｒｅｅｄｏｍ
Ｆｓｔａｔｉｓｔｉｃ：４５．１７ｏｎ１ａｎｄ２２ＤＦ，ｐｖａｌｕｅ：９．３６６ｅ－０７
在输出结果中，犉统计量 （犉ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）是检验两变量线性关系显著性的指标．结果
显示：犉统计量的值为４５．１７，分子自由度犱犳＝１，分母自由度犱犳＝狀－２＝２２．给定显
著性水平α＝０．０５，临界值犉 （１，２２）＝４．３０１，由于犉＝４５．１７＞犉 （１，２２），或狆
０．０５ ０．０５
值（狆ｖａｌｕｅ）９．３６６×１０－７＜０．０５，表明ＰＭ 浓度与汽车流量的线性关系是显著的．可以
２．５
认为ＰＭ 浓度与汽车流量之间的回归方程①具有统计学意义．
２．５
（３）决定系数和调整的决定系数的输出结果如下：
ＭｕｌｔｉｐｌｅＲｓｑｕａｒｅｄ：０．６７２５， ＡｄｊｕｓｔｅｄＲｓｑｕａｒｅｄ：０．６５７６
决定系数犚２ 是回归分析中重要的统计量，犚２ 数值的大小反映了自变量对回归的贡
献，也就是在因变量的总变异中回归关系所能解释的百分比．决定系数也反映了回归模型
的拟合效果．当自变量与因变量均为随机变量时，决定系数等于样本相关系数狉的平方．
其中调整的决定系数犚′＝０．６５７６＝６５．７６％，说明ＰＭ 浓度总变异的６５．７６％与汽车流
２．５
量有关．
TD12$UV
回归模型的重要应用之一是预测，在给定狓值时，根据回归方程，计算犢的预测值
＾狔．我国规定空气中 ＰＭ 浓度的安全标准为年平均浓度３５ ｇ／ｍ３ ，２４ｈ平均浓度
２．５ "
７５ ｇ／ｍ３．当汽车流量为１３００辆，即狓＝１．３时，＾狔＝８０．４９，说明ＰＭ 浓度在安全标
" ２．５
１４４数学建模 建立统计模型进行预测准附近；当汽车流量为２３００辆，即狓＝２．３时，＾狔＝２１９．０９，说明ＰＭ 浓度严重超标，
２．５
需要预警和采取措施进行干预．
某城市为使ＰＭ 浓度的平均值在６０～１２０，拟对汽车流量作适当控制，可以利用回
２．５
归方程得到汽车流量．当＾狔＝６０时，狓＝１．１５２；当＾狔＝１２０时，狓＝１．５８５．因此要使该
１ １ ２ ２
城市的ＰＭ 浓度的平均值控制在６０～１２０，２４ｈ的汽车流量就要控制在１１５２～１５８５辆．
２．５
WD*XR1YZ$[N
请同学们仿照上述过程，开展建立统计模型进行预测的活动．可以从下列选题中选择
一个，继续研究ＰＭ 浓度与各相关因素的关系 （可借助信息技术工具如Ｒ软件，Ｅｘｃｅｌ，
２．５
图形计算器等）：
１．依照上面的研究方法与过程，研究影响ＰＭ 浓度的其他因素 （如气温、空气湿
２．５
度、风速等）与ＰＭ 浓度的回归模型；
２．５
２．影响ＰＭ 浓度的各因素之间是否独立，这些因素的选择是否合理；
２．５
３．ＰＭ 浓度实际上是受到多个因素的影响，你可以在上述研究的基础上，利用信息
２．５
技术工具，采用多元线性回归模型进行预测或控制，使分析更加客观和精确．
也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究．
\D*XR1YZ$]^
１．组建合作团队
数学建模实践活动需要团队协作．首先在班级中组成３～５人的研究小组，每位同学
参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟
定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册．然后在班里进行一次开题
报告．
２．开展研究活动
根据开题报告所规划的研究流程，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、
获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．
３．撰写研究报告
以小组为单位，撰写一份研究报告．
４．交流展示
（１）对同一个课题，先由３～４个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成
果，相互借鉴、取长补短．在小组报告的基础上形成大组的研究报告．选定代表，制作向
全班汇报的演示文稿．
（２）与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各大组代表作研究报告的基础上，
通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足．开展自我评价、同学间相互评
价和老师评价，完成本次数学建模活动．
数学建模 建立统计模型进行预测 １４５说明：数学建模可能需要用到一些数学软件工具，还有可能涉及一些课外的知识，同
学们可以通过阅读一些课外的学习材料获得相关的知识．
_D*XR1YZ‘abc$3Lde
年级 班 完成时间：
１．课题名称
２．课题组成员及分工
３．选题的意义
４．研究计划 （包括对选题的分析、解决问题的思路等）
５．研究过程 （包括收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点、解
决方案等）
６．研究结果
７．收获与体会
８．对此研究的评价 （由评价小组或老师填写）
１４６数学建模 建立统计模型进行预测  
中文 英文 页码
排列 ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ １６
组合 ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ２１
二项式定理 ｂｉｎｏｍｉａｌｔｈｅｏｒｅｍ ３０
条件概率 ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ４５
全概率公式 ｔｏｔａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｆｏｒｍｕｌａ ４９
贝叶斯公式 Ｂａｙｅｓｆｏｒｍｕｌａ ５１
随机变量 ｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ ５７
离散型随机变量 ｄｉｓｃｒｅｔｅｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ ５７
两点分布 ｔｗｏｐｏｉｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ５９
均值 ｍｅａｎ ６３
数学期望 ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ６３
方差 ｖａｒｉａｎｃｅ ６８
标准差 ｓｔａｎｄａｒｄｄｅｖｉａｔｉｏｎ ６８
伯努利试验 Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉｔｒｉａｌｓ ７２
二项分布 ｂｉｎｏｍｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ７３
超几何分布 ｈｙｐｅｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ７８
连续型随机变量 ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅ ８３
正态分布 ｎｏｒｍａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ８４
相关关系 ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ９３
散点图 ｓｃａｔｔｅｒｐｌｏｔ ９４
正相关 ｐｏｓｉｔｉｖｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ９５
负相关 ｎｅｇａｔｉｖｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ９５
样本相关系数 ｓａｍｐｌｅｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ９８
一元线性回归模型 ｓｉｍｐｌｅｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌ １０６
最小二乘估计 ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｅｓｔｉｍａｔｅ １１０
列联表 ｃｏｎｔｉｎｇｅｎｃｙｔａｂｌｅ １２６
零假设 ｎｕｌｌｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ １２８
独立性检验 ｔｅｓｔｏｆｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ １３１
部分中英文词汇索引 １４７后 记
本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教
育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会2019年审查通过.
本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004
年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的
教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集
体智慧. 本册教科书的编写者还有李增沪、张伟等；本书插图绘制为王俊宏.
我们感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的主编刘绍学，
副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员. 我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教
等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友.
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作
者进行了联系，得到了他们的大力支持. 对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作
者与我们联系，以便及时支付稿酬.
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见. 我
们将集思广益，不断修订，使教科书趋于完善.
联系方式
电话：010-58758866
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
2019年4月
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