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高二数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若 则 在 处的瞬时变化率为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【详解】 ，
将 代入导函数得 ，
因此 在 处的瞬时变化率为 .
2. 某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类
有 门互不相同的课程，自然科学类有 门互不相同的课程，艺术体育类有 门互不相同的课程.若要求每
位学生选择 门课程，且 门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】若选择的 门课程为人文社科、自然科学，则有 种选法，若选择的 门课程为人文社科、艺术体育，则有 种选法，
若选择的 门课程为自然科学、艺术体育，则有 种选法，
由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为 .
3. 某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、
成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案
种数为（ ）
A. 120 B. 180 C. 240 D. 320
【答案】C
【解析】
【详解】因为甲、乙不负责模型训练，则需要从另外4人中选出1人负责模型训练，共有 种情况，
然后从剩下的5人中选出3人负责另外三项任务，共有 种情况，
再根据分步乘法计数原理可得符合要求的安排方案种数为 种.
4. 设点 为函数 图象上的任意一点，点 处的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范
围是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ .
又点 为函数 图象上的任意一点，点 处的切线的倾斜角为 ，
∴ ，∵ ，
∴ .
5. 若 是定义在区间 上的函数，其图象如图所示，设 的导函数为 ，则
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，直接写出 的单调区间，进而得出 在区间 上的符号，即可求解.
【详解】由图知函数的减区间为 ， ，增区间为 ，
和 分别是 的极小值点和极大值点，
所以当 时， ，当 时， ，
当 和 时， ，
又由图知 时， ， 时， ，
又 等价于 ，所以 的解集为 .
6. 已 知 函 数 ， 为 的 导 函 数 ， 则（ ）
A. 0 B. 2 C. D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】求导，然后分别化简 ，即可求解.
【详解】由于
，所以 ，
又 ，
故
，
则 ，
所以 .
7. 若函数 在x∈[0，a]上存在唯一的极大值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】已知函数 ，求导得 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
易知 是函数 的第一个极大值点， 是第二个极大值点，若要满足函数 在 上存在唯一的极大值点，实数 的取值范围为 ，故A正确.
8. 若 是定义在R上的函数，且满足 ， ，则下列说法正确的是（
）
提示：若函数 满足 ，则 ，其中 为常数
A. 在R上既有极大值又有极小值
B. 在R上有极大值没有极小值
C. 在R上有极小值没有极大值
D. 在R上没有极值
【答案】A
【解析】
【分析】构造 ，求导可得 ，进而可得 ，进而得
，即可利用导数求解单调性得解.
【详解】根据题意， ，故 ，
又 ，故 ，
令 ，则 ，
即 ，故 ，
由于 ，故 ，则 ，
从而 ，故 ，则 ，
记 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
又 ，
因此存在 使得 ，且当 和 时， 当 ，
故 和 时， 当 ，
所以 在 和 处分别取到极小值和极大值，因此 既有极大值又有极小值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正
确.10. 已知 则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 展开式中含 项的系数为
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合赋值法来求解各项系数.
【详解】已知 ，令 ，
则 ，即 ，选项A正确；
展开式 的通项公式为 ，（其中 ），
要求 的系数，令 ，解得 ，
当 时， ，
所以展开式中含 项的系数为 ，选项B错误；
令 ，可得 ，
即 ①，
令 ，可得 ，
即 ②．
①＋②得： ，则 ，选项C正确；
对 两边求导，
可得 ，
令 ，则 ，
即 ，又因为 ，所以
，选项D错误.
11. 已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（ ）
A. 若f（x）的极大值点为1，则a=1
B. 若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0
C. 当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方
D. 若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，
d的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【详解】 ， 的定义域为
对于A， 的极大值点为1， ，即 ，解得
当 时，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减是 的极大值点，故A选项正确.
对于B，由 可得 ，可求得
设 ，则
令 ，则 ，解得
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减
在 处取得极大值，也是最大值，
当 时， ；当 时，
当 在定义域上有唯一解时， 或 ，故选项B错误.
对于C，当 时，
设
则
令 ,解得
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减
当 在 处取得极大值，也是最大值，
，即曲线 恒在直线l的下方，故选项C正确.
对于D，当 时， ，则
直线 的斜率为
令 ，即 ，解得
当 时， ，则曲线 在点 处的切线与直线l平行
直线 ， 直线 ，
则点 到直线l的距离
的最小值为 ，故选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算 ______
【答案】
【解析】
【详解】 ．
13. 已知曲线 在 处 的切线l也是曲线 的切线，则实数 _______
【答案】 或
【解析】
【分析】求曲线 在 处的切线方程，设出 的切点联立方程组可解得 .【详解】对曲线 ，由 ，故切点为 ，
又 ，所以切线 的斜率 ，故切线 的方程为 ，即 ；
由切线 也是曲线 的切线，设切点为 ，又 ，
则 ，解得 或 ，
所以实数 的值为 或 .
14. 若存在实数t，使得对于 ，则m的最大值为______
【答案】4
【解析】
【分析】利用特殊值 思的路当 时， 为 的公共零点，再利用导数确定单调性并分析
的符号求得 的范围.
【详解】当 时， ，当且仅当 时取等号，
设函数 ， ，取 ，则 为 的公共零点，
函数 ，求导得 ，由 ，得 ；
由 ，得 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，函数 在 上单调递增， ，当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ，
因此 ， ，当 时， ，则 ，
而 恒成立，则 ，即 ，
所以 的最大值为4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若圆锥的内接圆柱的轴截面为边长为2的正方形，设圆锥的底面半径为r，高为x.
（1）试将 表示成关于x的函数 ；
（2）求圆锥体积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过圆锥与内接圆柱的轴截面，利用相似三角形对应边成比例得到 关于 的函数.
（2）先求圆锥体积公式，再对其求导，根据导数判断单调性进而求出最小值.
【小问1详解】
因为圆锥的内接圆柱的轴截面为边长2的正方形，则圆柱底面半径为 ，高为 ，
由题意作图如下，根据图形可知：圆锥的轴截面为等腰三角形 ，其内接圆柱的轴截面为边长为 的
正方形，
易得 ， 则 ，整理得 ： ，
即 .
【小问2详解】由（1）可知， ，
则 ，
对 求导可得： ，
令 ，可得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
因此 在 处取极小值，也就是最小值，
故 .
16. 某人工智能社团有5位同学（含甲、乙），计划对ChatGPT、Sora、GPT-4这3种人工智能模型展开学
习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型.请解答下列问题：
（1）共有多少种不同的安排方案?
（2）若甲、乙不能调研同一种模型，且ChatGPT模型最多只能由2人负责，共有多少种不同的安排方案?
【答案】（1）150 （2）100
【解析】
【小问1详解】
将5人分配给3种模型，每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择一种模型，安排方案有两种：方案1（3，1，1型），共有 种安排方案；
方案2（2，2，1型），共有 种安排方案.
故共有安排方案 种.
【小问2详解】
依题意，可从对立事件的方法数考虑.
由（1）可知，若无任何限制，则总方案数为150种.
①若甲、乙调研同一模型，有两种情况：
甲、乙与另外一人调研同一种模型，有 种安排方案；
只有甲、乙两人调研同一种模型，有 种安排方案；
所以甲、乙调研同一模型，共有 种安排方案.
②若ChatGPT模型由3人负责，有 种安排方案.
③若甲、乙调研同一种模型，且ChatGPT模型由3人负责，有 种安排方案.
综上，共有 种安排方案.
17. 已知 的展开式中，所有二项式系数的和为256.
（1）求n 的值，并求展开式中第5项的二项式系数；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.
【答案】（1） ，展开式中第5项的二项式系数为 ；
（2） ， ， ， ， ； （3）1792.
【解析】
【分析】（1）先列方程，求解 ，再代入展开项第5项的 值，求二项式系数；
（2）先确定有理项中 的范围，再求解有理项；（3）利用系数的单调性，求出系数的最大值即可.
【小问1详解】
二项式系数和为 ，所以
展开式中第5项的二项式系数为
【小问2详解】
当 ，时，展开项为有理项
因为 且 ，所以展开项为有理项时
【小问3详解】
设第 项的系数为 ，则
所以当 时， ， ，即 ；
当 时， ， ，即 ；
当 时， ， ，即 ；
综上，当 取最大值时， 或
所以展开式中各项系数的最大值为1792.
18. 已知函数 .
（1）若函数 在定义域上单调，求 的最大值；
（2）若函数 存在两个极值点 .
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明: .
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数f′ (x)，利用给定单调确定恒成立的不等式求出 的范围，再利用导
数求出函数的最大值.
（2）（i）由 有两个不等的正根列式求出 的范围；（ii）化简不等式的左边，利用分析法、换元并构造函数，利用导数证明不等式.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ，求导得 ，
由函数 在 上单调，得 ， 恒成立，
或 ， 恒成立，而当 时， ，
因此 对 不可能恒成立，则 ， ，
而 ，当且仅当 时取等号，则 ，
令 ，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
所以 的最大值为 .
【小问2详解】
（i）由（1）知， 有两个不等的正根，则 ，解得 ，
所以a的取值范围是 .
（ii）由（i）得 ，
要证 ，即证 ，
令 ，即证 ，令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
因此 ，即 成立，
所以 .
19. 已知函数 ，其中a为正实数.
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 时， .
（i）求 的取值范围；
（ii）当 取最大值时，若 为正实数，且 ，证明： .
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）（i）求出 ，设 ，则 可转化为 ，设 ，分别按照
和 讨论，借助单调性及恒成立的不等式求出 的取值范围；（ii）由（i）确定 在
上单调性，由 结合单调性推理得证.
【小问1详解】
， ， ，， 切点为 ，
，
， ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ；
【小问2详解】
（i） ，
，
设 ， ， ， ，
可转化为 ，
设 ， ，
当 时，即 时， ， ，
， 在 上是单调递增函数；
，满足条件；
当 时，即 时，
的两个根为 ，且 ，则当 时， ， ，
， 在 上是单调递减函数；
，不满足条件；
综上可知， 的取值范围是 ；
（ii） 的取值范围是 ， 的最大值为 ，
， ，
在 上是单调递增函数，
，
，
， ，
不妨设 ，则 ，则 ，
， ， ，
， ，
，
.
