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广西河池市2025-2026学年高二下学期5月阶段性测试
数学试题
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
2．小明有4件不同的上衣、5条不同的裤子、2双不同的鞋子．他从中各选一件搭配，不同的穿法共有（
）
A．11种 B．22种 C．24种 D．40种
3．甲乙两人投篮投中的概率分别为 ， ，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人
投中的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．若随机变量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知6名学生中有4名男生，从中选出3名代表，则选出的代表中有2名男生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．工厂制造某种机器零件的尺寸 ，任取10000个零件时，尺寸在 内的个数约
为（ ）（附：若 ，则 ， ，
）
A．2718 B．1359 C．430 D．215
7．从5人中选出4人分别到吉林、沈阳、大连、哈尔滨四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只
游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去沈阳游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．120种
8．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ）
A．264种 B．288种 C．312种 D．336种
二、多选题
9．已知离散型随机变量 ， 满足 ，其中 的分布列如下表所示，则（ ）
1 3 6
A． B． C． D．
10．已知 的展开式中各二项式系数之和为64，则（ ）
A． B．常数项为160
C．含 项的系数为240 D．二项式系数最大的项为第3项
11．有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为 ，乙组的合格率为 ．已知甲、乙两组的人
数分别占这两组总人数的 ， ．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件 ， 分别表示选取
的该人来自甲、乙组，事件 表示选取的该人测试合格，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．曲线 在点 处的切线方程为________．
13．从10名学生中随机选出4人，其中甲学生的被选中的概率为________．
14． 的展开式中 的系数为______________．（用数字作答）
四、解答题
15．（1）计算 的值；（2）若 ，求 的值．
16．一个箱子中装有除颜色外其他都相同的2个红球，2个黑球，5个绿球．
(1)若从箱子中任取两个球，求这两个球颜色不同的概率；
(2)若从箱子中任取3个球，记取出的黑球的个数为随机变量X，求 的分布列与数学期望．
17．已知函数为 ．
(1)求 ；
(2)求 的单调区间；
(3)求 在区间 上的最值．
18．在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试
题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.
(1)求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
(2)求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
(3)求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.
19．甲、乙两选手进行乒乓球比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3
局2胜制还是采用5局3胜制对乙更有利？参考答案
1．D
【详解】 .
2．D
【详解】第一步选上衣有4种选法，第二步选裤子有5种选法，第三步选鞋子有2种选法，所以共有
种选法.
3．A
【详解】因为甲乙两人投篮投中的概率分别为 ， ，
又因为两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，
则只有一个人投中的概率是 .
4．C
【详解】随机变量 满足 ，则 ，则 .
5．C
【详解】选择三名代表的可能性有 种，选出的代表中有2名男生的可能性为 ，
所以 .
6．B
【详解】由 ，得 ，则
，
所以任取10000个零件时，尺寸在 内的个数约为 ．
7．B
【详解】先从除甲、乙两人之外的3人中选1人去沈阳游览，共有 种，
再从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有 种，
所以不同的选择方案共有 种．故选：B
8．B
【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有 种方法，
再让3名女同学插空，有 种方法，所以满足条件的站法有 种.
9．ACD
【详解】由离散型随机变量分布列性质，得 ，解得 ，
对于A，由题意得 ，所以A正确；
对于B，由期望性质得 ， ，
可得 ，所以B错误；
对于C， ，所以C正确；
对于D，由方差性质得 ， ，所以D正确.
10．AC
【详解】对于A，由二项式 的展开式中各二项式系数之和为64，
可得 ，解得 ，故A正确；
对于B，二项展开式的通项公式为 ，
令 ，可得 ，所以展开式的常数项为 ，故B错误；
对于C，令 ，解得 ，所以含 项的系数为 ，故C正确；
对于D，二项式系数最大的项为第 项，故D错误.
11．AC【详解】由题意可得： ， ， ， .
对于A，根据乘法公式， ，故A正确.
对于B，根据乘法公式， ，故B错误.
对于C，根据全概率公式， ，故C正确.
对于D，根据条件概率公式， ，故D错误.
12．
【详解】因为 ，所以 ， ，
则 ，
即切点为 ，切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
13． /0.4
【详解】从10名学生中随机选出4名学生有 种方法，
其中“甲学生被选中”有 种方法，
所以甲学生被选中的概率是 .
14．
【详解】由二项式 的展开式的通项为 ，
其中含 项的系数为0，含 项的系数为 ，
所以 的展开式中 的系数为 ．
15．（1）87；（2）6【详解】（1） ，
，
故原式 ；
（2）等式 ，
整理可得
计算可得 ，
整理可得 ，可得 （舍去），
所以 .
16．(1)
(2)分布列为：
数学期望为
【详解】（1） ；
（2） 的可能取值为 、 、 ，
，
，
，
则 的分布列为：则 .
17．(1)
(2)单调递增区间为 、 ，单调递减区间为
(3)最大值为 ，最小值为
【详解】（1） ；
（2）由 ，
则当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ；
（3）由 的单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ，
则当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
，
，
故 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）记“选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题”为事件 ，“选手甲第2次抽到“函数与导数”试题”为事件 ，
法一： .
法二：由概率乘法公式可得 .
（2）由全概率公式可得 .
（3）由条件概率公式可得 .
19．3局2胜制对乙更有利
【详解】采用3局2胜制，乙最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，
前者是前两局乙连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局乙胜，
因为每局比赛的结果是独立的，乙最终获胜的概率为 ．
类似地，采用5局3胜制，乙最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2，
因为每局比赛的结果是独立的，所以乙最终获胜的概率为 ．
