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2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷04
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）设集合 ， ，若 ，则由实数 组成的集合为
（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（本题5分）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（本题5分）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
5．（本题5分）设数列 满足 （ 且 ）， 是前 项和，且 ，
，则 （ ）
A．1014 B． C．1013 D．1012
6．（本题5分）已知点 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．16 D．不存在
7．（本题5分）直线 与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关
8．（本题5分）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，当 时，
试卷第1页，共3页，则 （ ）
A．4 B．2 C．0 D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）已知数列 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是等比数列
C． 的通项公式为 D．数列 是递增数列
10．（本题6分）过抛物线 ： 焦点 的直线 与 交于 ， 两点， 在 轴上方，则
（ ）
A．抛物线 的准线方程为 B．当 的倾斜角为 时，
C．当 垂直于 轴时，弦长 最小 D．
11．（本题6分）如图，已知圆锥的底面直径 ，母线 ，则下列说法正确的有（ ）
A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆锥展开图中圆心角为 D．若 ，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，
则最短距离为
试卷第1页，共3页三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则向量 在向量 上的投影向量
为________.
13．（本题5分） 的展开式中的常数项为__________．
14．（本题5分）如图，是由 七个正六边形区域组成的平面图形，现给这七个
区域涂色，有四种不同的颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六
边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案有________种.
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知 ， ， ．
(1)求函数 的解析式及最小正周期；
(2)设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 且 ，求 周长的
最大值．
16．（本题15分）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求m的取值范围．
17．（本题15分）在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 是正方形，
， ，点 是棱 上一点．
试卷第1页，共3页(1)当点 是棱 中点时，求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
18．（本题17分）某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每
个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从
中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表：
不超过5 超过5
次 次
慢充 140 60
快充 200 400
超级快充 60 140
(1)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超过5次的
概率；
(2)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、10元、
20元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取3个，设 为抽取的3个充电桩的日
均维护费用之和，求 的分布列和数学期望 ；
(3)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运
营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7:3.在日均使用不超过5次的快充充
电桩中，公用充电桩的占比为 ；在日均使用超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为
0.7.试比较 与0.7的大小.（结论不要求证明）
试卷第1页，共3页19．（本题17分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，过点 ．
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，过点 的直线 交 于 ， 两点（ ， 在 轴的下方），直线
交直线 于点 ．
（ⅰ）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，判断 是否为定值，并说明理由；
（ⅱ）证明：直线 过定点．
试卷第1页，共3页《2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷04》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A B A A B AC ABC
题号 11
答案 ACD
12． 13． 14．
15．【详解】（1）由 ， ，
则 ，
所以 的最小正周期为 ．
（2）由 ，即 ，即 ，又B为 的内角，则 ，则
，所以 ，解得 ，
又 ，由余弦定理有 ，得 ，即 ，
由均值不等式有 ，则 ，即 ，即 ，解得
，当且仅当 时取等号，此时 为等边三角形，
所以 周长的最大值为 ．
16．【详解】（1）当 时， ，则 ．
由 ，得 ，所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由 ，得 ．因 ，则得 ，
依题意，只需 即可.设函数 ，则 ，由 ，得，所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，即 的取值范围为
．
17．(1)证明：连接 ，交 于点 ，连接 ．
因底面 是正方形，则点 是 中点，又因点 是棱 中点，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为侧面 底面 ，平面 底面 ，因 ， 平面 ,则
平面 ．又因 平面 ,则 ．因为 ， ，满足
,则得 ．故可以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立
空间直角坐标系 ．则 ， ， ， ， ．设 ，则
,且 ，则 , , ,设平面 的法向量为
．
由 ,故可取 ．
因为直线 与平面 所成角 的正弦值为 ，所以 ．
整理得 ，解得 或 ,经检验均符合题意.故线段 的长为 或 ．
18．【详解】（1）随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数超过5次的有： 个，设事
件 ：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超过5次”，则
.
（2）设事件 ：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10元”，
依题意可得， ，
随机变量 的可能取值为 ，
， ，
， .
所以随机变量 的分布列如下表所示：
30 40 50 60
P
故 .
（3） 快充充电桩共600个，公用和专用充电桩数量之比为7:3，
故公用充电桩的个数为 ，日均使用超过5次的快充充电桩的个数为400个，其中公用占
比为0.7，故公用充电桩的个数为 ，日均使用不超过5次的快充充电桩的个数为200个，
设公用占比为 ，则公用充电桩的个数为200a，由题意可得 ，解得 ，故 .19．【详解】（1）由题可知： ，解得
(2)（i） 不为定值.理由如下.设点 ，
设 ，由 得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
又点 , 在 轴下方，则 ，
由韦达定理得 得 ，即 ，因为
，
所以
，
所以 不是定值.
（ⅱ） 由（i）得则直线 的方程为 ，即 ，
当 时，得 ，所以 必过定点 .，所以椭圆 的方程为 .
