文档内容
2023~2024 学年度第二学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，
超出答题区域或写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 下列函数的求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. 3 D.
3. 2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队 完胜日本队，该事件吸引了大批大学生
开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者的力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正
式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布 ，若80分以上为达标，则估计能被吸
收为正式社员的人数为（ ）
（附：若随机变量 ，则 ，
， .）
A. 18 B. 13 C. 9 D. 5
4. 有3台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率分别为 ，加工出来的零件混放在一起．己知第 台车床加工的零件数的比为 ，现任取一个零件，记事件 “零件为第i台车
床加工” ，事件 “零件为次品”，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.05 C. D.
5. 已知数列 满足： ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如果方程 能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如
下：在方程 中，把y看成x的函数 ，则方程可看成关于x的恒等式 ，
在等式两边同时对x求导，然后解出 即可．例如，求由方程 所确定的隐函数的导数 ，
将方程 的两边同时对x求导，则 （ 是中间变量，需要用复合函数的求
导法则），得 ．那么曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以
此类推，记第 层货物的个数为 ，则数列 的前2023项和为（ ）
A. B.C. D.
8. 若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机事件 的概率分别为 ，且 ，则（
）
A. 事件 与事件 相互独立 B. 事件 与事件 相互对立
C. D.
10. 已知函数 ，下列选项中正确的是（ ）
A. 在 上单调递增，在 上单调递减
B. 有极大值
C. 无最小值
D. 若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
11. 已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， B.C. 数列 等差数列 D.
是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量 ， ，且 ， ，则
__________.
13. 已知数列 满足 ，则 __________.
14. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
，则不等式 的解集是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，函数 的图象在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
为2.
（1）求 的值；
（2）求 在 上的值域.
16. 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 .
17. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八
节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对
“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
（1）在100名受调人群中，得到如下数据：
年龄 了解程度不了解 了解
30岁以下 16 24
50岁以上 16 44
根据小概率值 的 独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部
回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答
案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：
① ．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
.
0.1 0.05 0.01 0.005 0001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
②随机变量X，Y 的期望满足：
18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球 的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙
中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动
员，则这次有 的概率再传给该运动员，有 的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，
且教练第 次传球传给甲运动员的概率为 .
（1）求 ， ；
（2）求 的表达式；
.
（3）设 ，证明：
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 ，其中 为参数．当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地我们可
以定义双曲正弦函数 ．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系， ， ，请写出 ， 具
有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求 的最小值．2023~2024 学年度第二学期期末考试
高二数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，
超出答题区域或写在本试卷上无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
的
1. 下列函数 求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则，可对选项一一判断即得.
【详解】对于A项，因 ，故A项错误；
对于B项， ，故B项正确；
对于C项， ，故C项错误；
对于D项， ，故D项错误.
故选：B.
2. 已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）A. 1 B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】两式相除即可得解.
【详解】因为 ， ， ， ，
所以 .
故选：C
3. 2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队 完胜日本队，该事件吸引了大批大学生
开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者 的力量和速度进行综合评分，评分达标者方能被吸收为正
式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布 ，若80分以上为达标，则估计能被吸
收为正式社员的人数为（ ）
（附：若随机变量 ，则 ，
， .）
A. 18 B. 13 C. 9 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用正态分布的对称性求出80分以上的概率，即可求解.
【详解】因为X服从正态分布 ，
所以 ，
则估计能被吸收为正式社员的人数为 （人）.
故选：C
4. 有3台车床加工同一型号的零件，第 台加工的次品率分别为 ，加工出来的零件混放在一起．己知第 台车床加工的零件数的比为 ，现任取一个零件，记事件 “零件为第i台车
床加工” ，事件 “零件为次品”，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.05 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可.
【详解】根据题意可得： ；
；
由全概率公式可得：
；
故 .
故选：D.
5. 已知数列 满足： ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可找到规律，从而得解.
【详解】因为 ，所以 ， ， ，
， ， ， ， ， ，
可知从第6项起数列为周期为3的周期数列，
又 ，所以 .
故选：B
6. 如果方程 能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．隐函数的求导方法如
下：在方程 中，把y看成x的函数 ，则方程可看成关于x的恒等式 ，
在等式两边同时对x求导，然后解出 即可．例如，求由方程 所确定的隐函数的导数 ，
将方程 的两边同时对x求导，则 （ 是中间变量，需要用复合函数的求
导法则），得 ．那么曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对 左右两侧同时求导，
可得 ，将点 代入，得 ，
解得 ，故切线斜率为 ，得到切线方程为 ，化简得方程为 ，故B正确.
故选：B
7. 现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，以
此类推，记第 层货物的个数为 ，则数列 的前2023项和为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由累加法可得 ，利用裂项相消求和法求出 ，即可得解.
【详解】依题意， ， ， ， ，
则由累加法得， ，因此 ，
而 满足上式，即 ，则 ，
所以 ， .
故选：D
8. 若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用作商法可得 ；构建函数 ， ，利用导数判断 的单调性，可得，构建 ， ，利用导数判断 的单调性，可得 .
【详解】显然 ， ，
因为 ，所以 ；
又因为 ， ，
令 ， ．则 ，
可知 在 上单调递增，
则 ，可得 ，
令 ， ，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增，
则 ，即 ，所以 ；
综上所述： ．
故选：A．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机事件 的概率分别为 ，且 ，则（
）
A. 事件 与事件 相互独立 B. 事件 与事件 相互对立
C. D.【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意可求得 再利用条件概率公式可得 ，由相互独立事件的
定义可知 ，即事件 与事件 相互独立；显然 ，即事件 与事
件 不是相互对立事件；由概率的加法公式和条件概率公式计算可得C正确，D错误.
【详解】对A，根据题意可得
由条件概率公式可得 ，又
所以 ，又易知 ，
所以 ；
即满足 ，所以事件 与事件 相互独立，即A正确；
对B，又 ，不满足 ，所以事件 与事件 不是相互对立事
件，即B错误；
对C，易知 ，即C正确；
对D，由条件概率公式可得 ，所以D错误.
故选：AC
10. 已知函数 ，下列选项中正确的是（ ）A. 在 上单调递增，在 上单调递减
B. 有极大值
C. 无最小值
D. 若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用导数判断 在 的单调性，对于B，由选项A中的单调性进行判断，对于
C，分别求出 和 时的值域分析判断，对于D，作出 的图象，结合函数图象，根据一元二次
方程根的分布得到关于 的不等式，解不等式即可得到实数 的取值范围.
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以A正确，
对于B，由选项A可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，所以B正确，
对于C，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，且当 时， 恒成立，综上， 的值域为 ，所以 有最小值0，所以C错误，
对于D，因为 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，
所以 的大致图象如图所示
由 ，得 ，
令 ，则 ，
由 的图象可知，要使 有6个零点，则方程 有两个不相等的实数根 ，不妨令
，
若 ，则由图可知 有6个零点，但 ，所以不符合题意，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ，所以D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，利用导
数解决函数零点问题，选项D解题的关键是根据题意画出函数的大致图象，换元后根据图象将问题转化为
方程有两个不等的实根，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.11. 已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 时， B.
C. 数列 是等差数列 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算数列首项及第二项可判定A，利用等差数列的定义及 的关系可判定C，从而求出 的
通项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B、D.
【详解】对A，由题意可知 ，所以 ，
则 ，所以 ，故A错误；
对C，由 ，故C正确；
对C，所以 ，
则 ，故B正确；
对D，易知 ，令 ，
则 ，则 单调递增，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量 ， ，且 ， ，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正态曲线的性质求出 ，即可得到 ，从而求出 ，再由二项分布的期望
公式计算可得.
【详解】因为 且 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
13. 已知数列 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 依 题 意 可 得 ， 两 边 同 除 得 到
，即可得到 是以 为首项， 为公差的等差数列，即可求出 的通项，
即可得解.
【详解】因为 ， ，则 ，
因为 ，显然 ，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，则 .
故答案为：
14. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
，则不等式 的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可构造函数 ，求得 的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得
结果.
【详解】构造函数 ，则 ；
因为 ，
所以当 时， ，即 ，此时 在 上单调递增；当 时， ，即 ，此时 在 上单调递减；
又 ，所以 ，即 ；
所以函数 图像上的点 关于 的对称点 也在函数图像上，
即函数 图像关于直线 对称，
不等式 变形为 ，即 ；
可得 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，解得 .
则不等式的解集为 .
为
故答案 ：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据 的结构特征构造函数 ，
判断出其单调性，再由 得出其对称性解不等式即可.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，函数 的图象在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积
为2.
（1）求 的值；
（2）求 在 上的值域.
【答案】（1）（2） .
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程 ，求出切
线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；
（2）由（1）可得 在 上单调递增，在 上单调递减，求出 ， ，
的值可得结果.
【小问1详解】
因为 ，所以 ，则 .
因为 ，所以切点坐标为 ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 .
令 ，得 ，又 ，所以 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）可知 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增.
令 ，解得 ，所以 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以 在 上的值域为 .
16. 记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中 的项的个数，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）（2） .
【解析】
【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求得 ，再利用 求 即可得解；
（2）利用“错位相减求和法”即可得解.
【小问1详解】
因为 ，故 ，所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
则 ，两式相减得 ，即 ，
所以 ，
因此 的通项公式为 .
【小问2详解】
由题可知 ，
则 ，所以 ，
，
两式相减得 ，
所以 .
17. 2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八
节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对
“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
（1）在100名受调人群中，得到如下数据：了解程度
年龄
不了解 了解
30岁以下 16 24
50岁以上 16 44
根据小概率值 的 独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部
回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答
案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式：
① ．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
②随机变量X，Y的期望满足：
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）计算出 参考独立性检验常用小概率值和相应临界值表比较可得答案；
（2）用 分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，求出 、 ，由
可得答案.
【小问1详解】
，
根据小概率值 的独立性检验，
认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异；【小问2详解】
用 分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，
则 ，所以 ，
则 可取则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
由 ，
该受调者答对题目数量的期望为 .
18. 某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙
中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动
员，则这次有 的概率再传给该运动员，有 的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，
且教练第 次传球传给甲运动员的概率为 .
（1）求 ， ；
（2）求 的表达式；
（3）设 ，证明： .
【答案】（1） ，
（2）
（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和独立事件概率公式进行求解即可；
（2）根据互斥事件和独立事件概率公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；
（3）利用构造函数法，结合导数与函数单调性的关系、等比数列的前 项和公式进行证明即可.
【小问1详解】
， ， ；
【小问2详解】
由已知 ，∴ ，即 ，
∴ 是以 为公比的等比数列，
∴ ，∴ .
【小问3详解】
.
设 ， ，∴ ，∴ 在 上单调递增，
显然 ，则 ，
∴ ，则 ，
即 ，
∴ .
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意利用独立事件概率公式得到递推关系式.
的
19. 固定项链 两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方
程为 ，其中 为参数．当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地我们可
以定义双曲正弦函数 ．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系， ， ，请写出 ， 具
有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求 的最小值．
【答案】（1） ,
（2）
（3）0
【解析】
【分析】（1）求导即可得结论;
（2）构造函数 ,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;
（3）多次求导最终判断函数 单调在 内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.
【小问1详解】
求导易知 , .
【小问2详解】
构造函数 ， ，由（1）可知 ，①当 时，由 ,
可知， ，故 单调递增，
此时 ，故对任意 ， 恒成立，满足题意；
②当 时，令 ， ，
则 ，可知 单调递增，
由 与 可知，
存在唯一 ，使得 ，
故当 时， ，
则 在 内单调递减，
故对任意 ， ，即 ，矛盾；
综上所述，实数 的取值范围为 ．
【小问3详解】
， ，
令 ，则 ；
令 ，则 ，
当 时，由（2）可知， ，
则 ，
令 ，则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 内单调递增，
因为 ，
即 为偶函数，故 在 内单调递减，
则 ，故当且仅当 时， 取得最小值0．
