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重庆市巴蜀中学校高 2025 届高二（下）期末考试
数学试题
（命题人：吴子轩，审题人：韩武红）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟.
一､单选题
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数 在区间 上连续可导，则“ 在区间 上恒成立”是“ 在区间 上单
调递增”的（ ）条件.
A.必要不充分 B.充分不必要
C.充要 D.既不充分也不必要
4.对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们
的平均身高为 ，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为 ，则这个班级的平均身高估计
为（ ） .
A.168.75 B.169 C.171 D.171.25
5.甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他
俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回
家的概率为0.6；已知第二天他俩单班回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ）
A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.6
6.已知 分别是椭圆 的左､右焦点，点 是椭圆 上的任意一点，动点 满足
，且 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A. B.
学科网（北京）股份有限公司C. D.
7.设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8.某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每
个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城
市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.
A.6 B.7 C.8 D.9
二､多选题
9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
患病 未患病
服用药 10 45
没服用药 20 30
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）
附： ；
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
A.根据小概率值 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025
B.根据小概率值 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01
C.该药物的预防有效率超过
D.若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值 的独立性检验，推断服用药物是有效
的，此推断犯错误的概率不超过0.005
10.已知三次函数 有极小值点 ，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B.函数 有三个零点
学科网（北京）股份有限公司C.函数 的对称中心为
D.过 可以作两条直线与 的图象相切
11.已知实数 ，满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题
12.函数 的值域为__________.
13.设函数 ，则不等式 的解集为__________.
14.小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等
分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字 ，假设每次转动转盘后箭头指向数字 的概率相
等，游戏 要转动转盘 次，如果这 次箭头指向的数字不大于 ，则算游戏胜利.则小明
参加游戏2胜利的概率为__________.
四､解答题
15.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重
要工具.对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分数列，其中 ，已知数
列 为常数列，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
16.随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车
等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验
等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难
之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5 6
学科网（北京）股份有限公司新能源汽车年
销量 万辆
（1）若该地区新能源汽车车主的年龄 （单位：岁）近似服从正态分布 ，其中年龄
的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数）
（2）已知变量 与 之间的相关系数 ，请求出 关于 的线性回归方程 ，并据此估计
2025年时，该地区新能源汽车的年销量.
参考公式与数据：
①若随机变量 ，则 ；
；
② ；
③ .
17.已知抛物线 与双曲线 在第一象限内的交点 到原点的距离为 .
（1）求拋物线 的标准方程；
（2）设直线 与抛物线 交于 两点，且直线 的倾斜角互补，求直线 的斜率.
18.甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如
下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，
以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为 ，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽
样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第 场比赛的概率为 .
（1）求 ；
（2）求 ；
学科网（北京）股份有限公司（3）记前 场比赛（即从第1场比赛到第 场比赛）中甲参加的比赛的场数为 ，求 .
参考资料：若 为 个随机变量，则 .
19.请阅读下列2段材料：
材料1：若函数 的导数 仍是可导函数，则 的导数 成为 的二阶导数，
记为 ；若 仍是可导函数，则 的导数 成为 的三阶导数，记为 ；
以此类推，我们可以定义 阶倒数：设函数 的 阶导数 仍是可导函
数，则 的导数 称为 的 阶导数，记为 ，即 .
材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶
的概念，如果分子是 阶多项式，分母是 阶多项式，那么帕德逼近就是 阶的帕德逼近.
一般地，函数 在 处的 阶帕德逼近函数定义为： 且满足
（其中 为自然对
数的底数）.
请根据以上材料回答下列问题：
（1）求函数 在 处的 阶帕德逼近函数 ；
（2）求函数 在 处的 阶帕德逼近函数 ，并比较 与 的大小；
（3）求证：当 时， 恒成立.
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